Mulyana
11.81
KALKULUS UNTUK STATISTIKA
5.91 f(x) g(x)
10
5
0
5
10
5.91 11.81 x
8.05
BUKU AJAR
4.03 gx () hx ()
10
5
0
5
10
4.03 8.05 x
UNIVERSITAS PADJADJARAN FAKULTAS MIPA JURUSAN STATISTIKA
BANDUNG 2005
Kata Pengantar Diktat ini disusun dalam upaya pengadaan bahan ajar Kalkulus I di Fakultas Teknik Universitas Pasundan, mengingat mata kuliah ini merupakan mata kuliah dasar keakhlian, sehingga materi kuliah yang diberikan diharapkan dapat mendukung para mahasiswa Fakultas Teknik Universitas Pasundan dalam mempelajari materi kuliah ilmu-ilmu teknik yang banyak memerlukan pemahaman ilmu kalkulus. Selain itu, karena mata kuliah Kalkulus ini merupakan salah satu mata kuliah yang diberikan pada kelas-kelas paralel, yang diajarkan oleh beberapa dosen, sehingga keragaman materi dan pencapaian materi kemungkinannya cukup besar.
Oleh karena itu, dengan adanya diktat ini
diharapkan keragaman tersebut dapat diperkecil. Penulis merasa materi pada diktat ini masih belum sempurna, sehingga kritik dan saran untuk perbaikan dan penyempurnaannya sangat diharapkan, karena editing akan selalu dilakukan setiap waktu, agar diktat ini dapat dijadikan acuan sebagai bahan ajar mata kuliah Kalkulus untuk mahasiswa fakultas teknik. Kritik, saran, dan bantuan pemikiran dari semua pihak sehingga terwujudnya diktat ini, dan harapan untuk menjadikan diktat ini sebagai acuan materi perkuliahan, sekali lagi sangat diharapkan, dan diucapkan banyak terima kasih atas semua kerja-samanya.
Bandung , Oktober 2004 Penulis
i
DAFTAR ISI Halaman Kata Pengantar
i
Daftar Isi
ii
BAB I PENDAHULUAN
1
I.1.
Struktur Bilangan
1
I.2.
Sistem Bilangan Riil
2
I.3.
Kalimat Matematis
4
I.4.
Persamaan Linier
5
I.5.
Persamaan Kuadrat
5
I.6.
Bentuk-Bentuk Pertidaksamaan
8
I.6.1.
Pertidaksamaan Linier
8
I.6.2.
Pertidaksamaan Irasional
9
I.6.3.
Pertidaksamaan Pangkat Dua atau Lebih
11
I.6.4.
Pertidaksamaan Pecahan
13
I.6.5.
Pertidaksamaan Yang Mengandung Nilai Mutlak
15
BAB II FUNGSI DAN GRAFIK
19
II.1.
Deskripsi Fungsi
19
II.2.
Gambar Fungsi
21
II.3.
Fungsi Komposisi
23
II.4.
Beberapa Bentuk Fungsi
24
II.4.1.
Fungsi Linier
24
II.4.2.
Fungsi Kuadrat
29
II.4.3.
Fungsi Pangkat
33
II.4.4.
Fungsi Logaritma
33
II.4.4.
Fungsi Siklometri (fungsi goniometri , fungsi trigonometri)
34
II.5.
Fungsi Irisan Kerucut
39
II.5.1.
Lingkaran
39
II.5.2.
Ellips
42
II.5.3.
Hiperbola
43 ii
BAB III LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI
46
III.1.
Cara menghitung nilai limit
46
III.2.
Dalil-Dalil Limit Fungsi
48
III.3.
Limit Kiri , Limit Kanan
50
III.4.
Kekontinuan Fungsi
52
BAB IV TURUNAN (DIFERENSIASI)
54
IV.1.
Arti Turunan Fungsi
55
IV.2.
Dalil Dasar Untuk Turunan
55
IV.3.
Turunan Fungsi Implisit
58
IV.4.
Turunan dan Kekontinuan Fungsi
59
IV.5.
Turunan Orde Tinggi
60
IV.6.
Nilai Ekstrim Fungsi
61
IV.7.
Beberapa Penggunaan Turunan
63
iii
BAB I SISTEM BILANGAN Bilangan adalah sebuah aksioma, sehingga tidak perlu didefinisikan.
Untuk
menyatakan sebuah bilangan digunakan lambang bilangan, yang berupa himpunan benda sejenis yang ada di sekitar kita. Misalnya bilangan lima, dapat dilambangkan oleh lima jari atau lima buah benda sejenis. Untuk keperluan perhitungan, digunakan gambar lambang bilangan yang dinamakan dengan angka. Angka inilah yang digunakan sebagai “wakil bilangan”. Misal pernyataan 5 + 2 = 7. Dalam hal ini, 5, 2 dan 7, bukan sebagai angka, tetapi sebagai wakil dari bilangan “lima”, “dua” dan “tujuh”. I.1.
Struktur Bilangan Bilangan dapat dikelompokan atas himpunan,
1. Bilangan asli : {1 , 2 , 3 , . . . } 2. Bilangan cacah : {0 , 1 , 2 , 3 , . . . } Pada himpunan bilangan ini didefinisikan bilangan prima, yaitu bilangan yang hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri. Misal : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . 3. Bilangan bulat : { . . . , −3 , –2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . . } Bilangan yang berada di “sebelah kiri” 0 atau bilangan yang lebih kecil dari 0, dinamakan bilangan negatif. Yang di “kanannya” atau bilangan yang lebih besar dari 0, dinamakan bilangan positif. 4. Bilangan real yang terdiri atas bilangan rasional dan bilangan irasional Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat disajikan dalam bentuk
a , b tidak sama b
dengan 0 (ditulis b ≠ 0), dengan a dan b bilangan bulat. Bilangan rasional jika disajikan dalam bilangan desimal, yaitu bilangan yang disajikan dengan menggunakan tanda koma (,) jika nilainnya antara 0 dengan 1. Maka pada desimalnya (bilangan disebelah kanan tanda koma) terjadi pengulangan bilangan atau “terhenti”pada 0. Misalnya, 2 4 1 = 0,285714285714... , = 1,333... , = 0,2500... , 3 = 0,000… 7 3 4
1
Dalam bilangan rasional, pernyataan
a , b ≠ 0, jika a lebih kecil dari b (ditulis a < b), b
dinamakan pecahan murni, sedangkan jika a lebih besar dari b (ditulis a > b), dinamakan pecahan campuran, sebab bentuknya dapat disajikan atas bilangan bulat dan pecahan murni, misalnya :
4 1 =1 . 3 3
Bilangan yang tidak memiliki ciri seperti
bilangan rasional dinamakan bilangan irasional. Bilangan irasional merupakan kawan (komplemen) dari bilangan rasional. Bilangan irasional jika disajikan dalam bilangan desimal, maka pada desimalnya tidak akan terjadi pengulangan. Yang termasuk bilangan irasional diantaranya, 1. π = 3,141592654…, yang biasa diidentikan dengan
22 , 7
2. bilangan eksponensial e = 2,7182818…, yang biasa diidentikan dengan 3, 3. bilangan akar yang tidak dapat dirasionalkan, misalnya
2,
5 , dan sejenisnya
5. Bilangan kompleks, yaitu bilangan yang disajikan oleh : a + ib dengan a dan b bilangan real, i =
− 1 yang dinamakan bilangan imaginer.
Pada sajian ini a dinamakan bagian real dan b bagian imaginer. Jika dibangun struktur bilangan, maka bentuknya akan seperti pada Gambar I.1.
2
bilangan kompleks bilangan imaginer
bilangan real bilangan irasional
bilangan rasional bilangan pecahan
bilangan bulat
bilangan bulat negatif bilangan nol (0)
bilangan cacah bilangan asli
Gambar I.1 Struktur Bilangan
Jika dinotasikan, N = himpunan bilangan asli, C = himpunan bilangan cacah, Z = himpunan bilangan bulat, Q = himpunan bilangan rasional, I = himpunan bilangan irasional, R = himpunan bilangan real, dan K = himpunan bilangan kompleks, maka berlaku hubungan, 1. C = N ∪ {0} 2. Q ∩ I = φ 3. R = Q ∪ I 4. N ⊂ C ⊂ Z ⊂ R ⊂ K
I.2.
Sistem Bilangan Real Dalam matematika, yang disebut dengan sistem, adalah himpunan tidak kosong yang di
dalamnya dilibatkan operasi terhadap anggota himpunannya. Pada himpunan bilangan real, operasi antar anggotanya adalah, perkalian (notasinya, x atau . ), yang memiliki kawan,
pembagian (notasinya, : atau ÷ ), dan perjumlahan (notasinya, + ) yang memiliki kawan, pengurangan (notasinya, − ).
Pada proses perhitungan, operasi perkalian harus 3
didahulukan dari operasi perjumlahan, kecuali jika operasi perjumlahan itu ada didalam tanda kurung, sedangkan operasi perkalian dengan pembagian, dan perjumlahan dengan pengurangan, sifatnya setara, artinya mana yang lebih dulu disajikannya.
Jadi yang
dimaksud dengan sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real yang di
dalammya dilibatkan operasi-operasi x dan +. Sistem bilangan real merupakan sitem bilangan yang banyak digunakan dalam perhitungan sehari-hari dan persoalan terapan. Operasi dalam sistem bilangan real memiliki sifat : 1. Tertutup. Jika a dan b bilangan real, maka a x b (ditulis ab) dan a + b juga bilangan real. 2. Komutatif. Jika a dan b bilangan real, maka ab = ba , dan a + b = b + a . 3. Asosiatif. Jika a , b , dan c bilangan real, maka a(bc) = (ab)c , dan a + (b + c) = (a + b) 4. Distributif. Jika a , b , dan c bilngan real, maka a(b + c) = ab + ac Sifat asosiatif dan distributif menyatakan bahwa operasi dalam tanda kurung harus selalu didahulukan. 5. Trikhotomi. Jika a dan b bilangan real, maka hanya satu dari tiga hubungan di bawah ini yang berlaku. 1) a = b, 2) a > b yang berarti : a – b positif ( a – b > 0), 3) a < b yang berarti : a – b negatif ( a – b < 0), Sifat trikhotomi ini menyimpulkan, jika a dan b bilangan real, maka kemungkinannya a = b atau a
b. Dan jika a
b, maka kemungkinannya a < b atau a > b.
Dalam sistem bilalangan real, disajikan pula pernyataan a ≥ b, atau a ≤ b. Perbedaan arti dari sajian a ≥ b dengan a > b, (a ≤ b dengan a ≤ b) adalah : jika a < b (a > b) artinya a dengan b murni tidak sama. Tetapi untuk a ≤ b (a ≥ b) tidak murni tidak sama, artinya ada kemungkinan a = b. 4
Sebagai implikasi dari sifat trikhotomi, maka berlaku hubungan 1) a + b > 0, jika a > 0, b > 0, a + b < 0, jika a < 0, b < 0, ab > 0, jika a > 0, b > 0, atau a < 0, b< 0 ab < 0, jika a > 0, b < 0, atau a < 0, b > 0. 2) untuk setiap bilangan real c, (1)
a + c > b + c, jika a > b,
(2)
a + c < b + c, jika a < b,
(3)
jika a > b, maka ac > bc, jika c > 0. Dan ac < bc, jika c < 0, sebaliknya, jika a < b, maka ac < bc, jika c > 0. Dan ac > bc, jika c < 0.
6. Adanya unsur satuan
Definisi s dinamakan unsur satuan dari x terhadap operasi *, jika s*x = x atau x*s = x. Dalam sistem bilangan real, unsur satuan terhadap perkalian (x) adalah 1, dan terhadap perjumlahan (+) adalah 0. 7. Adanya unsur kawan
Definisi k dinamakan unsur kawan dari x terhadap operasi *, jika k*x = s atau x*k = s, s unsur satuan. Dalam sistem bilangan real, unsur kawan dari x terhadap perkalian adalah : terhadap perjumlahan : –x. Berdasarkan unsur kawan ini, berlaku pernyataan 1 y
x:y=x
=
x y
dan x – y = x + (−y).
5
1 -1 (x ), dan x
I.3.
Kalimat Matematis Kalimat matematis adalah kalimat yang memiliki nilai salah atau benar. Jika nilainya
dapat ditentukan secara langsung tanpa sebuah proses perhitungan, maka kalimat matematis dinamakan kalimat tertutup. Sedangkan jika tidak langsung (nilainya harus dicari melalui sebuah proses perhitungan) dinamakan kalimat terbuka. Contoh Kalimat tertutup :
2+3=5 3 x 6 < 20
Kalimat terbuka :
x+3=5 3x < 20
Dalam sistem bilangan real, yang termasuk kalimat tertutup adalah kesamaan dan
ketidaksamaan, sedangkan kalimat terbuka persamaan dan pertidaksamaan. KALIMAT MATEMATIS KALIMAT TERBUKA KESAMAAN
KALIMAT TERTUTUP
KETIDAKSAMAAN
PERSAMAAN
PERTIDAKSAMAAN
Gambar I.2 Struktur Kalimat Matematis
Sifat trikhotomi merupakan perwujudan (implemantion) dari kalimat tertutup dalam sistem bilangan real. Sebab jika ada dua bilangan real a dan b, maka kemungkinannya, a sama dengan b (a = b), atau a tidak sama dengan b a ≠ b (a ≠ b). Dalam hal a ≠ b, kemungkinannya,
a > b atau a < b.
Bentuk ketidaksamaan, a > b (a < b), dinamakan ketidaksamaan murni, sedangkan a ≥ b , (a ≤ b) dinamakan ketidaksamaan tidak murni. Karena nilai dari kalimat tertutup dapat ditentukan secara langsung, sehingga untuk menentukan jawabnya tidak diperlukan perhitungan atau analisis tertentu, maka tidak ada
6
pembahasan lanjut tentang kalimat tertutup. Pembahasan lanjut dilakukan hanya untuk kalimat terbuka, yaitu persamaan dan pertidaksamaan, sebab untuk menentukan jawabnya diperlukan perhitungan tertentu. Sudah dikemukakan, dalam sistem bilangan riil, yang termasuk dalam kalimat terbuka adalah persamaan, yaitu kalimat terbuka yang melibatkan tanda sama dengan (=), dan
pertidaksamaan yaitu kalimat terbuka yang melibatkan tanda tidak sama dengan (> , ≥ , < , ≤). Dalam persamaan atau pertidaksamaan, 1. Bagian di sebelah kiri tanda = , > , ≥ , < atau ≤ , dinamakan ruas kiri, dan disebelah kanannya, ruas kanan, 2. Lambang yang memiliki nilai, dengan nilainya ditentukan atau diperoleh melalui sebuah proses perhitungan, sehingga persamaan menjadi kesamaan atau pertidaksamaan
menjadi ketidaksamaan, dinamakan variabel, 3. Nilai variabel yang menyebabkan persamaan atau pertidaksamaan bernilai benar, dinamakan jawab, akar, solusi atau penyelesaian. Dalam buku ajar ini, akan digunakan kata jawab, sebagai hasil perhitungan dari persamaan atau pertidaksamaan yang bernilai benar.
I.4.
Beberapa Bentuk Persamaan Sudah dikemukakan, persamaan adalah kalimat matematis terbuka yang melibatkan
tanda =. Untuk mencari jawab sebuah persamaan, lakukan langkah-langkah sebagai berikut, 1. Ruas kanan disama dengankan 0, 2. Jika dimungkinkan, maka faktorkan ruas kiri atas faktor-faktor linear. Jika tidak, maka lakukan analisis ciri. 3. Berdasarkan hasil faktorisasi atau analisis ciri, tentukan jawab persamaan.
7
I.4.1. Persamaan Linear Persamaan linear merupakan persamaan yang bentuknya paling sederhana.
Bentuk
umum persamaannya adalah ax + b = 0 dengan a ≠ 0 dan b, bilangan real. x variabel. Jawab dari persamaan ini adalah, x=−
b a
Contoh 1. Tentukan jawab persamaan 2x – 3x2 + 1 = 5x – 3x2 – 7
Jawab : Ruas kanan disama dengankan 0
2x – 3x2 + 1 − 5x + 3x2 + 7 = 0
Sehingga jawab persamaannya : x = −
−3x + 8 = 0
8 8 2 = = 2 −3 3 3
I.4.2. Persamaan Kuadrat Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah
ax 2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0 , b dan c bilangan real. x variabel. Jawab dari persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan cara 1. Metode faktorisasi. Konsepsinya, (1)
faktorkan hasil kali a dengan c, dengan jumlah kedua faktornya sama dengan b. a x c = d = d1 x d2 , d1 + d2 = b,
(2)
ubah persamaan kuadrat menjadi ax2 + d1x + d2x + c = 0
(3)
lakukan perhitungan sebagai kerikut. ax2 + d1x + d2x + c = (ax2 +d1x) + (d2x + c) = ax(x +
Karena a x c = d1 x d2 yang identik dengan
d1 c = = e , maka a d2
(ax + d2)(x + e) = 0 8
d1 c ) + d2(x + )=0 a d2
Sehingga jawabnya, d2 a
ax + d2 = 0
x1 = −
x+e=0
x2 = − e = −
d1 a
2. Dengan menggunakan rumus. Konsepsinya, jika x1 dan x2 jawab persamaan kuadrat, maka dipenuhi hubungan :
x 1.,2 =
− b ± b 2 − 4ac . 2a
dalam formulasi tersebut, b2 – 4ac = D , dinamakan diskriminan. Nilai diskriminan dapat digunakan untuk menentukan ciri dari jawab persamaan. Jika 1)
D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua jawab bilangan real,
2)
D = 0 maka persamaan memiliki satu jawab bilangan real,
3)
D < 0 maka persamaan memiliki jawab bilangan kompleks.
Contoh 2. Tentukan jawab dari persamaan 2x2 – 3x – 2 = 0 !
Jawab : Dengan cara faktorisasi: (2) x (−2) = −4 = (−4) x (1) , sebab (−4) + (1) = −3 . Jika dihubungkan dengan teorinya : a = 2 , d1 = −4 , d2 = 1 , maka jawabnya x1 = −
d2 1 =− a 2
x2 = −
d1 −4 =− =2 a 2
Dengan menggunakan rumus : D = (-3)2 – 4(2)(-2) = 25 > 0, jadi persamaan kuadrat memiliki jawab dua bilangan real, yaitu
9
x 1.,2 =
− (− 3) ± 25 3 ± 5 = 2(2 ) 4
x1 =
3+5 =2 4
x2 =
3−5 1 =− 4 2
Jadi jawab persamaan 2x2 – 3x – 2 = 0 adalah, x = 2 dan x = −
1 . 2
Jika disajikan dalam sebuah bentuk himpunan, maka himpunan jawabnya, H = {−
1 . 2}. 2
Dari rumus untuk mencari jawab persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 ,
x 1.2 =
− b ± b 2 − 4ac − b + b 2 − 4ac , yang berarti x 1 = 2a 2a
dan x 2 =
yaitu
− b − b 2 − 4ac . 2a
Maka diperoleh hubungan 1) x 1 + x 2 =
− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac − 2b b + = =− 2a 2a 2a a
− b + b 2 − 4ac 2) x 1 .x 2 = 2a =
(
− b − b 2 − 4ac = 2a
(− b )2 − ( b 2 − 4ac ) (2a )2
2
)
b 2 − b 2 − 4ac 4ac c = 2 = 2 a 4a 4a
Yang menyimpulkan bahwa, jika x1 dan x2 jawab persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka berlaku hubungan 1) x 1 + x 2 = − 2) x 1 .x 2 =
b a
c . a
10
Contoh 3. Jika x1 dan x2 jawab persamaan 3x2 + 2x – 1 = 0 , maka dengan tidak menghitung nilainilainya, hitunglah a) x12 + X22 ! b) x12 – x22 !
Jawab : a) x 1 + x 2 = (x 1 + x 2 ) − 2 x 1 x 2 = − 2
2
2
b) x 1 − x 2 = (x 1 − x 2 )(x 1 + x 2 ) = 2
2
2 2 2 x 1 − 2x 1 x 2 + x 2 3
=−
2 3
=−
2 1
2
)
2
−2
(x 1 − x 2 )2
=−
(x
2 3
+ x 2 − 2x 1 x 2 = −
−1 4 2 10 = + = 3 9 3 9 −
2 3
2 10 −1 2 10 2 −2 =− + 3 9 3 3 9 3
2 16 8 =− 3 9 9
Contoh 4. Bangun persamaan kuadrat yang jumlah nilai jawabnya sama dengan 3, dan hasil kalinya sama dengan –2 !
Jawab : Jika dimisalkan bentuk persamaannya ax2 + bx + c = 0 dan x1 , x2 , maka x1 + x2 = − x1x2 =
b =3 a
c = −2 a
b = −3a c = −2a
sehingga persamaan yang dicari ax2 – 3x –2a = 0. Karena a ≠ 0 maka kedua ruas dari persamaan dapat dibagi oleh a , sehingga bentuk persamaan kuadratnya, x2 – 3x –2 = 0 11
Contoh 5. Bangun persamaan kuadrat yang jawab-jawabnya lebih besar 2 dari persamaan −3x2 + 4x –2 = 0
Jawab : Jika dimisalkan x1 , x2 jawab persamaan −3x2 + 4x –2 = 0 ,
dan y1 , y2 jawab persamaan kuadrat yang akan dibangun dengan persamaan ay2 + by + c = 0 , maka y1 + y2 = − y1y2 = c=
b 4 16 = (x1 + 2)(x2 + 2) = (x1 + x2) + 4 = − +4= a −3 3
b=−
16 a 3
c −2 22 4 = (x1 + 2)(x2 +2) = x1x2 + 2(x1 + x2) + 4 = − +2 − +4= a −3 3 −3 22 a 3
Sehingga bentuk persamaan yang dicari adalah ay 2 − Karena a
16 22 ay + a = 0 . 3 3
0, jika persamaan dibagi a dan dikalikan 3 , maka persamaan kuadrat yang dicari, 3y 2 − 16 y + 22 = 0 ,
atau 3x 2 − 16 x + 22 = 0 jika variabelnya disajikan oleh x
Definisi Bentuk kuadrat ax2 + bx + c, dinamakan 1) definit positif, jika ax2 + bx + c > 0, untuk sembarang nilai x. Hal ini akan terjadi jika D = b2 – 4ac < 0 dan a > 0. 2) definit semi positif, jika ax2 + bx + c Hal ini terjadi jika D = b2 – 4ac
0, untuk sembarang nilai x.
0 dan a > 0.
3) definit negatif, jika ax2 + bx +c < 0, untuk sembarang nilai x. Hal ini terjadi jika D = b2 – 4ac < 0 dan a< 0 12
4) definit semi positif, jika ax2 + bx +c Hal ini terjadi jika D = b2 – 4ac
0, untuk sembarang nilai x.
0 dan a< 0
I.4.3. Persamaan Polinom Persamaan anxn + an-1xn-1 + . . . + a1x + a0 = 0, dengan n
3 dan an
0, dinamakan
persamaan polinom berderajat n. Menyelesaikan persamaan ini, tidak sesederhana dan semudah seperti menyelesaikan persamaan kuadrat atau persamaan linear, karena untuk memfaktorkan ruas kiri tidak ada acuan khusus. Salah satu acuan yang dapat digunakan (walaupun belum tentu mudah prosesnya), adalah faktor dari konstanta persamaan (a0).
Contoh 6 Tentukan jawab persamaan 6x3 – 13x2 + 4x + 3 = 0
Jawab : a0 = 3 = 3 x 1 = −3 x − 1 Jika disubtitusikan x = 1 ke ruas kiri
6(1)3 – 13(1)2 + 4(1) + 3 = 6 – 13 + 4 + 3 = 0 maka
x - 1 salah satu faktor dari 6x3 – 13x2 + 4x + 3. Untuk mencari faktor yang lainnya, 1) bagi 6x3 – 13x2 + 4x + 3 oleh (x – 1) 2) faktorkan 6x2 – 13x – 3
(6x3–13x2+4x+3) : (x–1) = 6x2–13x–3
6x2 – 13x – 3 = (2x – 3)(3x + 1).
Sehingga faktorisasi persamaan : 6x3 – 13x2 + 4x + 3 = (x – 1)(2x – 3)(3x + 1) = 0 dan jawabnya x–1=0
x1 = 1
2x – 3 = 0
x2 =
3x + 1 = 0
x3 = −
3 1 =1 2 2 1 3
Contoh 7 Tentukan jawab persamaan 2x3 − 7x2 + 7x − 5 = 0
Jawab : a0 = −5 = 5 x −1 = −5 x 1. Jika disubtitusikan ke ruas kiri : x=1
2(1)3 − 7(1)2 + 7(1) – 5 = 2 – 7 + 7 – 5 = −3 13
0
x = −1
2(−1)3 – 7(−1)2 + 7(−1) – 5 = −2 – 7 – 7 – 5 = −21
x=5
2(5)3 – 7(5)2 + 7(5) – 5 = 250 – 175 + 35 – 5 = 105
x = −5
2(−5)3 – 7(−5)2 + 7(−5) – 5 = −250 – 175 – 35 – 5 = −465
0 0 0
Jadi tidak ada jawab persamaan yang merupakan bilangan bulat. Jika menelaah hasil perhitungan, nilai persamaan untuk x = −5 dengan x = 5 berbeda tanda. Artinya, dalam selang −5 < x < 5, ada nilai x yang menyebabkan persamaan sama dengan 0. Jika disubtitusikan x =
5 ke ruas kiri, maka diperoleh hasil 2
5 5 5 125 175 35 2( )3 – 7( )2 + 7( ) – 5 = − + −5=0 2 2 2 4 4 2 Yang berarti, (x −
5 ) adalah salah satu faktor persamaan. 2
Sehingga faktorisasinya, 2x3 − 7x2 + 7x − 5 = (x −
5 2 )(x – x + 1). 2
Jika dihitung, determinan dari bentuk kuadrat x2 – x + 1, D = (−1)2 − 4(1)(1) = −3 < 0, dan koefisien kuadratnya, a = 1 > 0. Sehingga bentuk kuadrat (x2 – x + 1) definit positif, atau x2 – x + 1 > 0, untuk setiap nilai x. Sehingga jawab persamaan 2x3 − 7x2 + 7x − 5 = 0 adalah : x = Untuk menyelesaikan persamaan polinom berderajat n, n
5 . 2 3, jika sulit dilakukan secara
“manual”, dapat digunakan perangkat lunak komputer (software), diantaranya Mathcad. Mathcad adalah perangkat lunak komputer untuk membantu perhitungan dalam persoalan Matematika dan terapannya. Program ini sangat berguna bagi para profesional, pendidik, dan mahasiswa, yang sering menggunakan kalkulus untuk menyelesaikan persoalan terapan. Karena program ini memiliki kemampuan yang tinggi, dalam proses penyelesaiannya. Sebagai sebuah spreadsheet, cukup sederhana dalam penggunaannya. Misalnya untuk mencari jawab persamaan 2x4 - x3 + 3x2 - x -2 = 0. Jika dilakukan secara “manual”, prosesnya tidak sederhana dan memerlukan waktu yang cukup lama.
Sedangkan jika diselesaikan dengan menggunakan Mathcad 2000, maka
prosesnya cukup sederhana, sebagai berikut. 14
1. “Jalankan” program Mathcad 2000, sehingga diperoleh tampilan seperti di bawah ini.
2) “Tutup” tampilan Resource Centre, sehingga tampilan menjadi seperti di bawah ini.
3) Pada “ruang editor” (bidang putih yang ada “ponter” +) secara berurut tulis 2x4 - x3 + 3x2 - x -2
f(x) x
(tulis sembarang nilai)
soln
root(f(x),x), selanjutnya klik
pada fungsi Evaluati…
soln = Catatan tanda , dapat diperoleh dengan mengkliknya pada fungsi Calculator atau
Evaluati… 15
Dari tampilan spreadsheet, diperoleh himpunan jawabnya H = {0,885 , -0,578 , 0,097 + 1,349i , 0,097 - 1,349i}
I.5.
Bentuk-bentuk Pertidaksamaan Sudah dikemukakan, pertidaksamaan adalah kalimat matematis yang melibatkan tanda
>, , <, atau . Menentukan jawab sebuah pertidaksamaan identik dengan penyelesaian sebuah persamaan, yaitu 1) ruas kanan disama dengankan 0, 2) jika memungkinkan, lakukan faktorisasi ruas kiri. Jika tidak, lakukan telaah ciri, 3) gunakan garis bilangan, yaitu garis yang titik-titiknya merupakan wakil dari bilangan
real, 4) tentukan daerah tanda pada garis bilangan, 5) tentukan daerah tanda yang sesuai dengan pertidaksamaannya. Di bawah ini disajikan beberapa bentuk pertidaksamaan yang sering muncul dalam persoalan sehari-hari atau terapan.
I.5.1. Pertidaksamaan Linear Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang variabel-variabel pada setiap ruasnya berderajat satu, dan pertidaksamaan ini merupakan pertidaksamaan yang paling sederhana bentuk dan penyelesaiannya.
16
Contoh 8. Tentukan harga x yang memenuhi pertidaksamaan 5x – 3 < 2x + 9 !
Jawab : 5x – 3 < 2x + 9
5x – 2x < 9 + 3
3x < 12
x <4
Jawab pertidaksamaan, x<4. Jika disajikan pada garis bilangan ) 4
Contoh 9. Tentukan himpunan jawab dari pertidaksamaan 3x + 2 ≤ 7x + 10 !
Jawab : 3x + 2 ≤ 7x + 10
3x – 7x ≤ 10 – 2
−4x ≤ 8
x≥2
Jadi himpunan jawabnya, H={x|x≥2}. Jika disajikan pada garis bilangan [ 2
Contoh 10. Tentukan harga x yang memenuhi pertidaksamaan 3x – 2 ≤ 4x + 1 ≤ 6x - 3 !
Jawab : Karena semua ruas memuat variabel, sebaiknya dilakukan pemecahan jawaban yang selanjutnya dilakukan penggabungan, sebagai berikut
17
3x – 2
4x + 1 < 6x – 3
3x – 2 4x + 1 3x – 4x 1 + 2 −x 3 x 3
4x + 1 < 6x – 3 4x – 6x < −3 – 1 −2x < −4 x>2
[ 3 ( 2 Jawab pertidaksamaan adalah irisan kedua garis bilangan, yaitu : x≥3.
I.5.2. Pertidaksamaan Irasional Pertidaksamaan irasional adalah pertidaksamaan yang satu atau beberapa suku variabelnya berada di bawah tanda akar, sehingga untuk mencari jawabnya harus diperhatikan syarat dari suku di bawah tanda akarnya, agar diperoleh nilai dalam bilangan
real.
Prinsip mencari jawab dari pertidaksamaan ini, adalah dengan mengubah suku
irasional menjadi rasional, yang salah satu diantaranya melalui proses pengkuadratan.
Contoh 11. Selesaikan pertidaksamaan
3x − 2 < 5 !
Jawab : Agar nilai dari
3x − 2 real, maka harus dipenuhi syarat : 3x – 2 ≥ 0
Untuk penyelesaian pertidaksamaannya, kuadratkan kedua ruasnya. masing-masing ruas positif, maka tanda pertidaksamaan tidak berubah. 18
x≥2
x≥
2 3
Karena suku pada
3x − 2 < 5
(
3x − 2
)
2
< 52
3x – 2 < 25
3x < 25 + 2
x<9
Jika kedua jawab digabungkan dengan menggunakan garis bilangan, [ 2 3 ) 9
maka himpunan jawabnya H= x
2 ≤x<9 3
Contoh 12. Untuk harga-harga x manakah yang memenuhi pertidaksamaan
2 x − 3 < 3x − 4 ?
Jawab : Syarat untuk suku di bawah tanda akar agar diperoleh bilangan real 3 (1) 2 4 3x – 4 ≥ 0 x≥ (2) 3 Untuk penyelesaian pertidaksamaannya. 2x – 3 ≥ 0
x≥
Karena ruas kiri dan ruas kanan merupakan
bilangan positif, maka jika keduanya dikuatdratkan, tidak akan mengubah tanda pertidaksamaan. 0 < 2 x − 3 < 3x − 4 −x < −1
x>1
(
2x - 3
) <( 2
3x − 4
(3)
19
)
2
2x – 3 < 3x – 4
2x – 3x < -4 + 3
Jika ketiga jawab, (1), (2), dan (3), digabungkan dengan menggunakan garis bilangan
[ 3 2 [ 4 3 ( 1 maka himpunan jawabnya : H = x x ≥
3 . 2
Contoh 13. x + 6 − x −1 < 1 !
Tentukan harga x yang memenuhi pertidaksamaan
Jawab : Syarat untuk unsur di bawah tanda akar x+6≥0
x ≥ -6
(1)
x–1≥0
x≥1
(2)
Penyelesaian pertidaksamaannya x + 6 − x −1 < 1
x + 6 < 1+ x −1
x + 6 < 1+ 2 x −1 + x −1 x −1 > 3
(
)
x+6
) < (1 + 2
x + 6 < 2 x −1 + x
x − 1 > (3) 2
(
2
x −1 > 9
x > 10
[ 1 ( 10 20
)
2
2 x −1 > 6
[ −6
sehingga himpunan jawabnya : H = { x | x > 10 }
x −1
(3)
I.5.3
Pertidaksamaan Polinom
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan polinom, dapat dilakukan dengan proses sebagai berikut 1. Jadikanlah ruas kanan sama dengan 0 , dan pangkat variabel yang paling tinggi koefisiennya positif. 2. Unsur di ruas kiri, jika mungkin uraikan atas faktor-faktor linier, dan hitung nilai-nilai yang menyebabkan faktor-faktor sama dengan 0 (nilai ini dinamakan nilai nol). 3. Sajikan nilai-nilai nol pada garis bilangan, dan lakukan uji tanda untuk menentukan daerah himpunan jawab, dengan cara sebagai berikut : 3.1.
ambil sebuah nilai yang bukan nilai nol dan subtitusikan ke ruas kiri.
3.2
perhatikan tanda dari nilai yang diperoleh, positif (+) atau negatif (-).
3.3
tandai daerah di mana nilai yang diambil tersebut berada dengan tanda yang diperoleh, dan tanda berubah jika melewati nilai nol yang berasal dari faktor berpangkat ganjil, sedangkan jika berasal dari faktor berpangkat genap tanda tetap.
Contoh 14. Tentukan himpunan jawab dari pertidaksamaan 5x2 – 4x + 11 < 2x2 + 6x + 8 !
Jawab : 5x2 – 4x + 11 < 2x2 + 6x + 8 3x2 – 10x + 3 < 0
5x2 – 4x + 11 – 2x2 – 6x – 8 < 0 (3x – 1)(x – 3) < 0
Nilai-nilai nolnya : 1 3
3x – 1 = 0
x=
x–3=0
x=3
Ambil sembarang nilai x yang tidak sama dengan
1 dan 3. Misalnya x = 0. 3
Subtitusikan x = 0 ke ruas kiri : (3x – 1)(x – 3) = (3.0 – 1)(0) – 3) = 3 > 0 yang berarti daerah di sebelah kiri
1 1 bertanda + , antara dan 3 bertanda −, dan di sebelah 3 3
kanan 3 bertanda + , sehingga gambar daerah tandanya : 21
−−−
+++
+++
1 3
3
Karena tanda pertidaksamaannya < 0 , jadi himpunan jawabnya H= x
1
Contoh 15. Tentukan harga x yang memenuhi pertidaksamaan (x2 – 4x + 3)(x2 – 3x – 10) > 0
Jawab : (x2 – 4x + 3)(x2 – 3x – 10) > 0
(x –2 )2(x –5)(x + 2) > 0
Nilai-nilai nolnya : x–2=0
x=2
x–5=0
x=5
x+2=0
x = -2
Gambar daerah tandanya : +++
--−2
--2
+++ 5
Karena tanda pertidaksamaan > 0 , jadi himpunan jawabnya H = { x x <−2 } ∪ { x x > 5 }
Contoh 16. Tentukan batas-batas harga x yang memenuhi pertidaksamaan 3x2 – x + 10 > x2 + 2x - 2
Jawab : 3x2 – x + 10 > x2 + 2x – 2
3x2 – x +10 – x – 2x + 2 > 0
Karena bentuk kuadrat 2x2 – 3x + 12, memiliki ciri diskriminannya : D = (-3)2 – 4(2)(12) = -87 < 0 22
2x2 – 3x + 12 > 0
koefisien kuadratnya : a = 2 > 0, maka bentuk kuadrat 2x2 – 3x + 12 definit positif, 2x2 – 3x + 12 > 0 untuk setiap nilai x. Sehingga himpunan jawabnya, H = { x x bilangan real }.
I.5.4. Pertidaksamaan Pecahan Pertidaksamaan pecahan adalah pertidaksamaan yang merupakan sebuah pecahan atas suku-suku. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini prosesnya sebagai berikut, 1. Ruas kanan disama dengankan 0 2. Lakukan perhitungan di ruas kiri sehingga diperoleh sebuah bentuk pecahan atas sukusuku, yang selanjutnya ubah menjadi bangun perkalian. 3. Faktorkan bangun perkalian tersebut (jika bisa), dan tentukan nilai-nilai nolnya. 4. Sajikan nilai-nilai nol pada garis bilangan dan lakukan penentuan daerah tanda.
Contoh 17. Tentukan harga x yang memenuhi pertidaksamaan
2x − 3 ≤6 ! 5x + 4
Jawab : 2x − 3 ≤6 5x + 4
2x − 3 −6≤ 0 5x + 4
2x − 3 − 6(5x + 4 ) ≤0 5x + 4
⇔ (−28x – 27)(5x + 4) ≤ 0 Nilai nolnya : −28x – 27 = 0
x=−
27 135 =− 28 140
5x + 4 = 0
x=−
4 112 =− 5 140
23
− 28x − 27 ≤0 5x + 4
Gambar daerah tanda −−−
−−−
+++ −
27 28
−
sehingga himpunan jawabnya, H = x x ≤ −
27 28
xx≥−
4 5
4 5
Contoh 18. Selesaikan pertidaksamaan
2x + 3 x + 5 ≤ ! 2x − 3 x − 6
Jawab : 2x + 3 x + 5 ≤ 2x − 3 x − 6
(2x + 3)(x − 6) − (x + 5)(2x − 3) ≤ 0 (2x − 3)(x − 6)
2x + 3 x + 5 − ≤0 2x − 3 x − 6
(
)
2x 2 − 9x − 18 − 2x 2 + 7 x − 15 ≤0 (2x − 3)(x − 6) ⇔ (− 16x − 3)(2 x − 3)(x − 6 ) ≤ 0
− 16x − 3 ≤0 (2x − 3)(x − 6)
Nilai-nilai nolnya : −16x – 3 = 0
x= −
2x – 3 = 0
x=
x–6=0
x=6
3 16
3 2
Gambar daerah tandanya −−−
+++ −
3 16
−−−
+++ 3 2
sehingga himpunan jawabnya, H = x −
6
3 3 ≤x≤ 16 2
24
{x x ≥ 6}
Contoh 19. Tentukan himpunan jawab untuk pertidaksamaan
Jawab : 5x − 11 ≤ −3 2 x − 5x + 6
5x − 11 ≤ −3 ! x − 5x + 6 2
(
)
5x − 11 + 3 x 2 − 5x + 6 ≤0 (x − 3)(x − 2)
5x − 11 +3≤ 0 2 x − 5x + 6
(3x − 7 )(x − 1) ≤ 0 (x − 3)(x − 2)
3x 2 − 10 x + 7 ≤0 (x − 3)(x − 2)
(3x – 7)(x – 1)(x – 3)(x – 2) ≤ 0 Nilai nolnya : 7 3
3x – 7 = 0
x=
x–1=0
x=1
x–3=0
x=3
x–2=0
x=2
Gambar daerah tandanya −−−
+++ 1
−−−
+++ 2
+++
7 3
3
Sehingga himpunan jawabnya, H = {x 1 ≤ x ≤ 2}
x
7 ≤x≤3 3
I.5.5. Pertidaksamaan Yang Mengandung Nilai Mutlak Nilai mutlak dari x , ditulis x , didefinisikan sebagai berikut
x , jika x > 0 x =
0 , jika x = 0 - x , jika x < 0
Berdasarkan definisi tersebut berarti nilai mutlak dari suatu bilangan riil adalah bilangan positif atau 0. Sebagai contoh, 3 = 3 , −3 = −(−3) = 3. 25
Secara ilmu ukur x adalah jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real. x
-x
x
0
x
Gambar I.3 Sajian ilmu ukur dari x
Sifat-sifat dari nilai mutlak 1. Untuk setiap bilangan real x , berlaku hubungan : 1) x ≥ 0 2) x = −x 3) x2 = x2 = x2 2. Untuk setiap bilangan real x dan y , berlaku hubungan : 1) x = y ⇔ x = ±y ⇔ x2 = y2 1) x − y = y − x 3) x + y ≤ y + x dan x − y ≤ x + y 4) x −y ≤ x − y dan x − y = x − y 5) xy = xy dan
x x = y y
3. Untuk setiap bilangan real x dan a ≥ 0 , berlaku hubungan : 1) x ≤ a , a > 0 ⇔ −a ≤ x ≤ a ⇔ x2 ≤ a2 2) x ≥ a , a > 0 ⇔ x ≥ a atau x ≤ -a ⇔ x2 ≥ a2 Berdasarkan telaahan dari nilai mutlak tersebut, proses penyelesaian pertidaksamaan yang mengandung nilai mutlak, adalah dengan mengubah pertidaksamaan menjadi pertidaksamaan yang tidak mengandung nilai mutlak. pertidaksamaan dilakukan berdasarkan bentuk kasusnya.
Selanjutnya penyelesaian Menghilangkan nilai mutlak
dalam pertidaksamaan dilakukan dengan memperhatikan sifat-sifat dari nilai mutlak seperti yang telah dikemukakan.
26
Contoh 20. Tentukan himpunan jawab pertidaksamaan a. x2 − x ≤ 2 b. x2 – x −1 ≥ 1
Jawab : a. x2 − x ≤ 2
⇔
−2 ≤ x2 – x ≤ 2 −2 ≤ x2 – x ≤ 2
−2 ≤ x2 – x −2 – x2 + x ≤ 0 x2 – x + 2 ≥ 0 Karena bentuk kuadrat x2 – x + 2 diskriminannya : D=(−1)2– 4(1)(2) = −7<0 koefisien kuadratnya : a = 1 > 0 yang berarti pertidaksamaan x2 – x + 2 ≥ 0, selalu benar, atau himpunan jawabnya, H1 = { xx bilangan riil }.
x2 – x ≤ 2 x2 – x –2 ≤ 0 (x – 2)(x + 1) ≤ 0 Nilai nol : x – 2 = 0 x=2 x+1=1 x = −1 Gambar daerah tandanya +++ −−− +++ −1 2 sehingga himpunan jawabnya, H2 = { x−1 ≤ x ≤ 2 }.
Karena H1 ∩ H2 = H2 , jadi himpunan jawab pertidaksamaan x2 −x ≤ 2 adalah H2 = { x−1 ≤ x ≤ 2 }
27
b. x2 – x − 1 ≥ 1
x2 – x – 1 ≥ 1
⇔
atau
x2 – x – 1 ≤ −1
x2 – x − 1 ≥ 1 x2 – x – 1 ≥ 1 x2 – x – 1 – 1 ≥ 0 x2 – x – 2 ≥ 0 (x –2)(x + 1) ≥ 0 Nilai nol : x – 2 = 0 x=2 x+1=0 x = −1 Gambar daerah tandanya +++
---
x2 – x – 1 ≤ −1 x2 – x – 1 + 1≤ 0 x2 – x ≤ 0 x(x – 1) ≤ 0 Nilai nolnya : x = 0 x–1=0 x=1 Gambar daerah tandanya
+++
+++
−1 2 himpunan jawabnya, H1 = { xx ≤ −1 } ∪ { xx ≥ 2 }
---
+++
0 1 himpunan jawabnya, H2 = { x0 ≤ x ≤ 1 }
Jika kedua himpunan jawab diiriskan dengan menggambarkan daerah tandanya +++
---
+++
−1
2
+++
--0
+++ 1
maka himpunan jawab pertidaksamaan x2 – x − 1 ≥ 1 adalah himpunan kosong, H = φ. Sehingga tidak ada nilai x memenuhi pertidaksamaan x2 – x − 1 ≥ 1
Contoh 21. Selesaikanlah pertidaksamaan
x x−2 ≤ x −1 x +1
28
Jawab :
x x−2 ≤ x −1 x +1
2
x x −1
x2 (x − 2 ) ≤ 2 (x − 1) (x + 1)2
x−2 ≤ x +1
2
x x −1
2
2
x−2 x +1
≤
x2 (x − 2 ) ≤ 0 − 2 (x − 1) (x + 1)2
2
2
{x (x + 1)} − {(x − 2)(x − 1)} ≤ 0 x 2 (x + 1) − (x − 2) (x − 1) ≤0 2 2 (x − 1) (x + 1) (x − 1)2 (x + 1)2 [{x (x + 1)} − {(x − 2)(x − 1)}][{x (x + 1)} + {(x − 2)(x − 1)}] ≤ 0 (x − 1)2 (x + 1)2 2
{x
2
2
2
(
2
)}{
2
(
)}
+ x − x 2 − x − 2x + 1 x 2 + x + x 2 − x − 2x + 1 ≤0 (x − 1)2 (x + 1)2
(4x − 1)(2x 2 − 2x + 1) ≤ 0 (x − 1)2 (x + 1)2 Nilai-nilai nolnya :
1 4
(1)
x–1=0
x=1
(2)
(x + 1)2 = 0
x+1=0
1) 4x –1 = 0
x=
x = −1
(3)
2) 2x2 – 2x + 1 = 0. Karena bentuk kuadrat 2x2 – 2x + 1 memiliki nilai diskriminan D=(−2)2 – 4(2)(1) = −4 <0 dan nilai koefisien kuadrat a > 0, maka 2x2–2x+1 > 0, untuk setiap nilai x. Sehingga gambar daerah tandanya
−−−
−−− 1 4
-1 dan himpunan jawabnya, H = x x ≤
+++
1 4 29
+++ 1
Jika kita menelaah proses penyelesaian sebuah pertidaksamaan, yang pada dasarnya adalah, bagaimana menentukan nilai nol dari ruas kiri, setelah ruas kanan disama dengankan nol ? Maka jika diinginkan menyelesaikan sebuah pertidaksamaan dengan menggunakan program Mathcad, identik dengan menyelesaikan sebuah persamaan dari bentuk ruas kirinya, yang dilanjutkan dengan menentukan daerah tandanya.
SOAL-SOAL UNTUK LATIHAN 1.
Bentuk pembagian Bukti : Jika
a , dengan a b
0, terdefinisikan, jika b
a = b, maka a = 0.b = 0. 0
Hal ini kontradiktif dengan ketentuan bahwa a Selanjutnya tunjukan bahwa bentuk pembagian, 2.
0.
0
0 juga tidak terdefinisikan. 0
Dalil fundamental dalam ilmu hitung (aritmetika) : Setiap bilangan asli merupakan hasil perkalian dari bilangan prima. Makna dari dalil tersebut, untuk menunjukan apakah bilangan asli merupakan bilangan prima, adalah dengan memfaktorkannya atas bilangan-bilangan prima. Jika memiliki lebih dari satu faktor bilangan prima, maka bilangan asli itu bukan bilangan prima. Misal : 4 = 2.2 , 24 = 2.2.2.3 , 95 = 5.19 , dan sejenisnya, bukan bilangan prima. Untuk bilangan-bilangan di bawah ini, mana yang merupakan bilangan prima a) 240
3.
b) 119
Menunjukan bahwa Misalkan
c) 1723
d) 5433 e) 12771
2 adalah bilangan rasional, sehingga dapat disajikan
2b2 = a2
g) 57655
2 bilangan irasional dengan pembuktian kontradiktif.
bilangan asli yang tidak sama dengan 1, b a2 = 2 b
f) 155711
2 =
a , a dan b b
0. Jika kedua ruas dikuadratkan, maka
2
a2 = 2.b.b
Berdasarkan dalil fundamental, kuadrat bilangan asli dapat disajikan dalam perkalian atas bilangan prima yang bersifat tunggal, dengan banyaknya bilangan prima masingmasing genap. 30
Dari sajian, a2 = 2.b.b 1) jika b bilangan asli ganjil, maka banyaknya bilangan prima 2 dalam perkalian hanya satu, ganjil 2) jika b bilangan asli genap, b = 2.b1
a2 = 2.2.b1.2.b1 = 2.2.2.b1.b1 , maka bilangan
prima 2 dalam perkalian ada tiga, ganjil Karena a2 kuadrat bilangan asli, jadi kontradiksi dengan dalil fundamental, atau
2
bukan bilangan rasional. Untuk bilangan-bilangan di bawah ini, tunjukan bahwa merupakan bilangan irasional, dengan mengunakan kontradiktif dalil fundamental a) 4.
3
b)
5
c)
12
d)
18
e)
15
f)
10
g)
30
Tunjukan bahwa a)
Jika a dan b bilangan rasional, maka c = a.b , bilangan rasional. Apakah hal ini berlaku untuk bilangan irasional ? Lakukan analisisnya !
b)
Jika a bilangan rasional dan b bilangan irasional, maka c = a.b , bilangan irasional.
c)
Jika a bilangan rasional, a
0, dan b bilangan irasional, maka c = a.b , bilangan
irasional. 5.
Tunjukan bahwa jika a > 0, b > 0, maka a)
a < b jika dan hanya jika a2 < b2
b)
a < b jika dan hanya jika
1 1 > a b a+b
6.
Tunjukan bahwa jika a < b , maka a <
7.
Tentukan jawab persamaan-persamaan di bawah ini a)
2x3 – 3x2 = 5 + 7x – 3x2 + 2x3
b)
4x3 + 2x2 – 3x + 5 = 3x2 + 7x + 4x2 – 3
c)
2x3 – 3x2 – 6x + 1 = −2 + 2x + 2x2 – 4x3
d)
3 – 3x + 2x2 – 2x3 + 2x4 = x3 + 9x2 – 15x + 7
e)
5x2 – x3 + x + 3 = x3 – 2x2 – 3x + 3
31
8.
Jika x1 dan x2 jawab persamaan 2x2 + 3x + 4 = 0, maka dengan tidak menghitung nilainilai x1 dan x2 , hitunglah a)
x13 − x23
b) x13 + x23 c) x14 − x24 d) x14 + x24 e) x12 – 2x1x2 + x22 9.
Jika ditetapkan persamaan kuadrat 3x2 – 2x + 3 = 0, maka bangun persamaan kuadrat yang jawab-jawabnya a) dua kali lebih besar b) lebih besar dua c) dua kali lebih besar dan lebih besar dua
10. Tentukan jawab pertidaksamaan-pertidaksamaan di bawah ini a)
x3 – 2x2 – 3x + 2
b)
2x5 – 3x4 + 2x3 < 6x4 – 9x3 -2x2 + 12x – 8
c)
x −1 6−x 15 − ≤− x−2 x+2 x−2
d)
2x + 5 ≤ −
e) f) g) h)
−4 + 2x + 3x – x3
2x 2 − x − 3 3x − 2
6 x 2 + 5x + 11 3x + 1 5x 2 + 9 x − 2 x−2
> +
x −3 2x + 1 x −1
x −1
x+2
x2 − 4
x −1 + 2 x 2 − 3x + 1 x−2 2x + 5 −
15 x−2
6−x > 3 – 2x x+2
32
11. Tunjukan bahwa a)
x < y jika dan hanya jika x2 < y2
b)
Jika a > b > 0 maka
c)
a + b + c ≤ a + b + c
d)
Jika x ≤ 2 maka
e)
Jika x
0 maka x2 +
f)
Jika a
0 dan b
a>
b
x 2 + 2x + 7 ≤ 15 x2 +1 1 x2
0 maka
2 ab ≤
a+b 2
g)
1 1 1 1 1 1 ≤ 2 + ≤ + + x +2 3 2 x +3 x +3 x +2
h)
x +2 x−2 ≤ 9 x2 + 9
2
i)
x < x2 jika x < 0 atau x >1, dan x > x2 jika 0 < x < 1
j)
Jika a
0 bilangan rasional dan b bilangan irasional, maka a + b dan ab adalah
bilangan irasional.
33
BAB II FUNGSI REAL DAN GRAFIKNYA Fungsi adalah bentuk khusus dari relasi (perkawanan) antara dua buah himpunan tidak kosong.
Jika kedua himpunan yang direlasikan, dengan relasinya membangun sebuah
fungsi, adalah himpunan bilangan real, maka fungsi dinamakan fungsi real. Pada bab ini akan disajikan deskripsi dan konsepsi pada fungsi real. II.1.
Deskripsi Fungsi Fungsi dari himpunan X ke himpunan Y, adalah sebuah relasi (perkawanan) dengan
cara, setiap anggota himpunan X hanya dikawankan (dipasangkan) dengan satu dan hanya satu kali dengan anggota himpunan Y. Sebagai ilustrasi perhatikan gambar-gambar di bawah ini,
x1 x2 x3 x4
x1 x2
y1 y2 Z
x3
y3
x4
x5 X
y1 y2
Z
y3
x5 X
Y
Gambar II.1 Relasi yang merupakan fungsi [Sebab setiap anggota X hanya memiliki satu kawan]
Y
Gambar II.2 Relasi yang bukan fungsi [Sebab ada anggota X yang memiliki kawan lebih dari satu ]
Untuk menyatakan sebuah fungsi dari himpunan X ke himpunan Y, dapat digunakan salah satu dari bentuk notasi di bawah ini, Tabel II.1 Bentuk-bentuk Notasi Fungsi
Notasi Panah f:X→Y x→ y
Persamaan Ekplisit
Persamaan Implisit
Y = f(X)
f (X , Y) = 0
34
Dalam deskripsi fungsi tersebut, X disebut Domain (daerah asal) dan Y Kodomain (daerah kawan). Sedangkan himpunan Z yang merupakan himpunan bagian dari Y, dengan setiap anggotanya adalah kawan dari X, disebut Range (daerah harga, daerah peta). Misalnya fungsi seperti pada Gambar 1, rangenya : Z = {y1 , y2 , y3}. Berdasarkan kondisi dari range dan cara perkawanannya, fungsi dibedakan atas 1. Fungsi ke dalam (into), yaitu fungsi dengan rangenya merupakan himpunan bagian murni dari kodomain. 2. Fungsi pada (onto), yaitu fungsi dengan rangenya sama dengan kodomain. 3. Fungsi satu-Satu (one to one), yaitu fungsi dengan setiap anggota X dan Y hanya memiliki satu dan hanya satu pasangan. Fungsi satu-satu ini dibedakan atas fungsi satu-satu pada dan fungsi satu-satu ke dalam. Untuk ilustrasi perhatikan gambar-gambar di bawah ini
Z Z
X
X
Y
Gambar II.3 f : X → Y , fungsi kedalam [sebab ada anggota Y yang tidak memiliki kawan]
Y
Gambar II.4 f : X → Y , fungsi pada [sebab setiap anggota Y memiliki kawan]
35
f x1
x1
y1 y2 . . Z . yn
x2 . . .
y1 y2 . . Z . yn
x2 . . . xk
xk
f -1
Y
X
X
Gambar II.5 f : X → Y , fungsi satu-satu ke dalam
Y
Gambar II.6 f : X → Y , fungsi satu-satu pada
Setiap fungsi yang merupakan fungsi satu-satu pada, akan memiliki fungsi invers. Definisi Jika f:X→Y xi → yi fungsi satu-satu pada, maka fungsi g : Y → X, yi → xi dinamakan fungsi invers dari f, ditulis : f −1 Misal, jika X = { x | x bilangan real , x ≥ 0 } dan Y = { y | y bilangan real , y ≥ 0 }, maka fungsi f:X→Y x → y = x2 adalah fungsi satu-satu pada, dan fungsi inversnya f -1 : Y → X y→x=
36
y
II.2.
Sistem Salib Sumbu Setiap bentuk fungsi dapat digambarkan sajian hubungan elemen domain dengan
kodomainnya.
Untuk menggambarkannya diperlukan sebuah media, yang dinamakan
sistem salib sumbu, yaitu dua garis berpotongan tegak lurus, yang masing-masing titiknya menyajikan bilangan riil. Sumbu datar, dinamakan sumbu absis, dinotasikan dengan X, dan Sedangkan sumbu tegak, dinamakan sumbu ordinat,
“berperan” sebagai domain.
dinotasikan dengan Y, dan “berperan” sebagai kodomain. Titik potong sumbu absis dengan ordinat dinamakan titik pusat, dan dinotasikan dengan O. Pasangan nilai berurut (x0 , y0), dengan x0 nilai pada sumbu absis, dan y0 pada sumbu ordinat, dinamakan koordinat. x0 dinamakan absis, dan y0 ordinat. Koordinat seperti ini
sumbu ordinat
dinamakan koordinat kartesius.
Y
T=(x0,y0)
y0
X O=(0,0)
x0
Gambar II.7 Sistem Koordinat Kartesius
37
sumbu absis
Selanjutnya perhatikan gambar di bawah ini. Y y0
r : jarak antara titik O = (0 , 0) dengan titik T = (x0 , y0), r = OT.
T=(x0,y0) r φ
X
x0
O
φ : sudut antara sumbu-X dengan garis OT, yang diukur dari sumbu-X ke garis OT dengan berlawanan arah gerak jarum jam.
Gambar II.9 Sistem Koordinat Polar
Koordinat titik T yang disajikan dalam pasangan r dengan φ, T = (r , φ), dinamakan Koordinat Polar. Dengan menggunakan goneometri, dapat diformulasikan hubungan antara koordinat polar dengan koordinat kartesius. Jika (r,φ) koordinat polar dari koordinat kartesius (x0,y0), maka r=
x 02 + y 02 dan tg φ =
y0 . x0
Koordinat polar dapat digunakan sebagai koordinat alternatif, jika analisis dengan menggunakan koordinat kartesius sulit diselesaikan. II.3.
Diagram dan Grafik Gambar dari fungsi dinamakan Grafik, jika bentuknya sebuah garis atau lengkungan.
Sedangkan jika sebuah pencaran titik, disebut Diagram. Misalnya, fungsi dari himpunan X = {-2 , -1 , 0 , 1 , 2} ke himpunan Y = {0 , 1 , 2 , 3 , 4} dengan bentuk f:X→Y x → y = x2 38
maka diagramnya Y •
•
4 3 2 •
-2
-1
•
1 • 0
1
2
X
Gambar II.7 Diagram fungsi f : x → y = x2
Sedangkan jika X = {x x bilangan riel}, Y = {y y bilangan riel}, dan bentuk fungsinya f :X →Y x → y = x2 maka grafiknya Y 4 3 2 1 -2
-1
0
1
2
X
Gambar 8 Grafik fungsi f : x → y = x2
Menggambarkan grafik fungsi, jika dilakukan secara “manual”, maka prosesnya sebagai berikut. 39
1.
Menentukan titik-titik yang dilalui oleh grafik. a.
Titik-titik tertentu, misalnya titik potong dengan sumbu koordinat, titik ekstrim, titik simetris dan sejenisnya.
b.
Titik-titik sembarang, yang dapat dilakukan dengan menentukan sembarang nilai x, dan mensubtitusikannya ke persamaan fungsi. Prosesnya dapat dilakukan melalui sebuah tabel perhitungan Misal untuk fungsi y = x2. x -2 -1 1,5 dst
y = x2 (-2)2 = 4 (-1)2 = 1 (1,5)2 = 2,25
Koordinat Titik (-2 , 4) (-1 , 1) (1,5 , 2,25)
2.
Menggambarkan koordinat titik-titik yang dilalui grafik.
3.
Menghubungkan titik-titik yang digambarkan pada langkah pertama, Tingkat “akurasi” dan “estetika” grafik yang digambarkan secara “manual”, sangat
bergantung pada pengalaman dan keahlian menggambar dari si-pembuat-nya.
Untuk
mendapatkan gambar grafik fungsi yang bagus, tanpa diperlukan pengalaman dan daya estetika, dengan proses cukup sederhana adalah dengan menggunakan program komputer Mathcad. Langkah-langkah menggambarkan grafik fungsi dengan Mathcad 2000 : 1. “Jalankan” program Mathcad 2000, sehingga diperoleh tampilan
40
2) “Tutup” tampilan Resource Centre, sehingga diperoleh tampilan
3) Pada “pointer” + tulis persamaan fungsi yang akan digambarkan dengan formulasi f(x)
“persamaan fungsi”
Tanda , dapat diperoleh dengan mengkliknya pada fungsi Calculator atau Evaluati… Misal fungsi yang akan digambarkan, Y = 2x2 – 3x + 1. Formulasi penulisan pada “bidang editor” seperti di bawah ini.
41
4) “Klik” gambar grafik yang ada pada sudut kiri atas “kotak Graph” (lihat tanda panah), sehingga diperoleh tampilan
klik persamaan fungsi setelah menulis x dan f(x) di kotak hitam kecil
tulis : f(x)
tulis : x
5) Pada “kotak hitam kecil” di bawah “kotak putih besar”, tulis : x, dan f(x) yang ada di sebelah kirinya. 6) “Klik” persamaan fungsi, sehingga diperoleh tampilan
pada kotak putih klik dua kali untuk formating grafik
42
7) “Klik” dua kali pada kotak putih yang ada gambar grafik f(x), untuk formating grafik,
8) Lakukan formating grafik sehingga diperoleh gambar yang bagus, menurut si pembuat. Misalnya seperti tampilan di bawah ini.
43
II.4.
Fungsi Komposisi
Jika f : X → Y , fungsi dari himpunan X ke Y, dan g : Y → Z , fungsi dari himpunan Y ke Z, yang merelasikan elemen-elemen dari range fungsi f, dengan elemen himpunan Z. Maka fungsi h : X → Z disebut fungsi komposisi dari f dengan g, ditulis h = f o g atau h = f(g)
f
ff f
g
fog
X
Y
Z
Gambar II.10 Diagram fungsi komposisi
Sebagai contoh, jika
dan maka
f:X→Y x → y = x2 g:Y→Z y → z = Sin y fog : X → Z x → z = Sin x2
Sajian tersebut jika dalam persamaan eksplisit adalah : Y = X2 Z = Sin Y
Z = Sin X 2
44
II.4.
Operasi Pada Fungsi
Karena nilai dari fungsi real adalah bilangan real, maka himpunan dari fungsi real yang tidak kosong, yang di dalamnya dilibatkan operator perkalian dan perjumlahan, merupakan sebuah sistem bilangan real. Sehingga jika dimiliki dua buah fungsi atau lebih, dengan domain dan kodomain yang sama, maka dapat dilakukan proses perkalian, perjumlahan, atau kombinasi keduanya, beserta operasi kawannya. Domain dan kodomain fungsi hasil operasi adalah irisan dari domain dan range fungsi komponennya. Perhatikan ilustrasi di bawah ini. B A
f(x)
f(x)*g(x)
M
V
N
g(x)
X
W
Y
Gambar II.11 Konsepsi Operasi Fungsi
Jika f(x), fungsi dari himpunan A ke himpunan B ; dan g(x), fungsi dari himpunan V ke himpunan W ; maka operasi f(x) dengan g(x) yang disajikan oleh f(x)*g(x), adalah fungsi dari himpunan M = A∩V ke himpunan N = B∪W. Sebagai contoh, jika f(x) = x2 , domain = {−∞ < x < ∞} , kodomain = {x g(x) = Sin x , domain = {−π
x
0}
π} , kodomain = {−1
x
1}
dan dilakukan operasi fungsi, H(x) = f(x) + g(x) dan I(x) = f(x).g(x), yang jika digambarkan grafiknya dengan Mathcad, hasilnya seperti di bawah ini
45
f(x) = x2
4
g(x) = Sin x H(x) = f(x) + g(x) I(x) = f(x).g(x) f ( x)
Pada
g( x) H( x)
3.14
0
3.14
gambar
untuk
fungsi H(x) dengan I(x), domain = {−π
I( x)
tersurat, x
π}
kodomain = {−∞ < x < ∞}.
4 x
II.5. II.5.1.
Beberapa Bentuk Fungsi Fungsi Linear
Fungsi linear (atau fungsi pangkat satu) jika disajikan dalam persamaan eksplisit bentuknya : Y = aX + b dan dalam persamaan implisit bentuknya : aX + bY + c = 0 Domain, kodomain, dan range dari fungsi linear adalah himpunan bilangan real, dan fungsi ini merupakan fungsi satu-satu pada, dengan fungsi inversnya Y=
1 b X− a a
Fungsi linear biasa juga disebut persamaan garis, karena grafiknya merupakan garis lurus.
46
φ sudut antara grafik fungsi dengan sumbu-X, diukur dari sumbu-X berlawanan arah gerak jarum jam
Y Y = aX + b
φ
(0,b) titik potong
(0,b) X
grafik fungsi dengan sumbu-Y
Gambar II.12 Grafik fungsi linear
Pada persamaan eksplisit, Y = aX + b, jika φ sudut antara sumbu-X dengan grafik fungsi, maka a = Tg φ dinamakan Koefisien Arah atau Gradient. Sedangkan φ disebut Sudut Arah. Dalam persamaan implisit, aX + bY + c = 0 koefisien arah grafik fungsi sama dengan − sumbu-Y :
0,−
c b
a , dan koordinat titik potong grafik dengan b
.
Cara menggambarkan grafik fungsi linear ada dua cara, yaitu berdasarkan 1) dua titik yang dilalui grafik 2) nilai koefisien arah dan sebuah titik yang dilalui grafik.
Contoh soal 1. Gambarkan grafik fungsi Y = 2X − 3 !
Jawab : 1.
Jika berdasarkan dua titik yang dilalui grafik, maka ambil dua nilai sembarang dari X dan hitung nilai Y sesuai dengan persamaan fungsinya, misalnya :
X Y
−2 2(−2) – 3 = −7 47
1 2(1) – 3 = −1
Y -2
1 X -1
(2 , -7)
2.
(1 , -1)
-7
Jika berdasarkan nilai koefisien arah dan sebuah titik yang dilalui grafik, maka 1)
gambarkan garis arah dengan sudut arah φ, yang nilai koefisien arahnya 2, Tg φ = 2.
2)
tentukan sebuah titik yang dilalui grafik, dan untuk kemudahan ambil titik potong grafik dengan sumbu-Y, (0 , -3),
3)
gambarkan garis yang sejajar garis arah dan melalui titik potong tersebut Y
garis arah
2 φ 1
(0 , -3)
48
X
Berdasarkan cara menggambarkan grafiknya, membangun persamaan fungsi linear, dapat dilakukan berdasarkan 1. dua titik yang dilalui grafik 2. nilai koefisien arah dan sebuah titik yang dilalui grafik. Persamaan fungsi linear jika melalui titik (x0 , y0) dan (x1 , y1) adalah Y − y0 X − x0 = y1 − y 0 x1 − x 0 Jika disajikan dalam persamaan eksplisit, bentuknya menjadi
Y=
y1 − y 0 y − y0 y − y0 y x − y 0 x 0 y 0 x1 − y 0 x 0 + X− 1 x0 + y0 = 1 X− 1 0 x1 − x 0 x1 − x 0 x1 − x 0 x1 − x 0 x1 − x 0
=
y x − y 0 x1 y1 − y 0 X− 1 0 x1 − x 0 x1 − x 0
Sedangkan persamaannya jika nilai koefisien arah, a dan melalui titik (x0 , y0) adalah, Y – y0 = a(X – x0) Yang jika disajikan dalam persamaan eksplisit, bentuknya Y = aX – ax0 +y0 = aX – (ax0 – y0)
Contoh soal 2. Tentukan persamaan fungsi linear, jika grafiknya a. melalui titik-titik (-1 , 2) dan (2 , -3) b. memiliki koefisien arah –2 dan melalui titik (2 , 3)
Jawab : a.
Y − ( 2) X − ( −1) = ( −3) − ( 2) ( 2) − ( −1) Y – 6 = −5X – 5
b.
Y − 2 X +1 = −5 3
5X + 3Y – 6 + 5 = 0
5X + 3Y – 1 = 0
(persamaan eksplisit)
5 1 Y=− X− 3 3
(persamaan implisit)
Y – (3) = (2)(X - 2)
Y = 2X – 4 + 3
Y = 2X – 1
(persamaam implisit)
2X − Y − 1 = 0
(persamaan eksplisit)
49
(3)(Y – 2) = (−5)(X + 1)
II.5.1.1.
Sudut antara dua grafik
Salah satu segi yang dapat diturunkan dari koefisien arah grafik fungsi linear, adalah sudut antara dua grafik seperti di bawah ini. Y g : Y=aX + b l : Y= mX + n ϕ
ϕ1
ϕ2
X
Gambar II.13 ϕ sudut antara g dan l (0≤ ϕ ≤ ½π)
Pada Gambar II.13. ϕ1 sudut arah l
Tg ϕ1 = m
ϕ2 sudut arah g
Tg ϕ2 = a
ϕ = ϕ2 − ϕ1 Tg ϕ = Tg (ϕ2 − ϕ1) =
Sin (ϕ 2 − ϕ1 ) Sinϕ 2 Cosϕ1 − Cosϕ 2 Sinϕ1 = Cos(ϕ 2 − ϕ1 ) Cosϕ 2 Cosϕ1 + Sinϕ 2 Sinϕ1
Sinϕ 2 Cosϕ1 Cosϕ 2Sinϕ1 Sinϕ 2 Sinϕ1 − − Cosϕ 2 Cosϕ1 Cosϕ 2 Cosϕ1 Cosϕ 2 Cosϕ1 Tgϕ 2 − Tgϕ1 = = = Cosϕ 2 Cosϕ1 Sinϕ 2Sinϕ1 Sinϕ 2 Sinϕ1 1 + Tgϕ 2 Tgϕ1 + 1+ Cosϕ 2 Cosϕ1 Cosϕ 2 Cosϕ1 Cosϕ 2 Cosϕ1 =
a−m 1 + am
Karena sudut antara dua grafik yang digunakan adalah sudut lancip, 0 ≤ ϕ ≤ ½π, yang berarti Tg ϕ
0. Sedangkan dari formulasi kesamaan dimungkinkan Tg ϕ ≤ 0, maka pada 50
formulasi kesamaan, ruas kanan harus disajikan dalam harga mutlak. Sehingga jika ϕ sudut antara dua grafik fungsi linear, g : Y=aX + b dengan l : Y= mX + n, maka Tg ϕ =
II.5.1.2.
a-m 1 + am
Dua grafik fungsi linear
Dari konsepsi sudut antara dua grafik fungsi linear, maka dapat disimpulkan bahwa antara dua grafik fungsi linear hanya satu dari dua hal di bawah ini yang berlaku, yaitu 1) Sejajar. Dua grafik fungsi linear akan sejajar jika koefisien arah keduanya sama, a = m. 2) Berpotongan, yang dibedakan atas a) berpotongan tegak lurus. Dua grafik fungsi linear akan berpotongan tegak lurus jika hasil kali koefisien arahnya sama dengan –1, a.m = −1. b) berpotongan biasa. Untuk menentukan titik potong dua grafik dapat dilakukan dengan mempersamakan kedua persamaan fungsinya. Jika diketahui dua grafik fungsi linear, Y = aX + b dan Y = nX + m , maka koordinat titik potongnya dapat dihitung dengan cara sebagai berikut : Y = aX + b Y = nX + m
X=
aX + b = mX + n
n−b a−m
dari persamaan Y = aX + b Y=
aX – mX = n – b
Y= a
n−b +b a−m
a ( n − b) b(a − m ) an − bm + = a−m a−m a−m
sehingga koordinat titik potongnya. n − b an − bm , a−m a−m 51
(a – m)X = n – b
Y
Y
Y
X
X
sejajar
berpotongan
X
berpotongan tegak lurus
Gambar II.14 Kemungkinan dua grafik fungsi linear
Contoh soal 3. Tentukan persamaan fungsi linear yang grafiknya berpotongan tegak lurus dengan grafik fungsi Y = −2 X + 3 dan melalui titik potong grafik fungsi Y = 2X + 3 dengan Y = −3X − 2 !
Jawab : Jika a koefisien arah grafik yang tegak lurus grafik Y = −2X + 3 , maka (a)(−2) = −1
a=
1 2
Koordinat titik potong grafik Y = 2X + 3 dengan Y = −3X – 2 : Y = 2X + 3 Y = −3X − 2 X =1 Y = 2X + 3
2X + 3 = −3X – 2
2X + 3X = −2 – 3
Y = 2(−1) + 3 = 1
5X = −5
X = −1
koordinat titik potongnya : (−1 , 1),
Sehingga persamaan fungsi linear yang dicari, adalah fungsi yang grafiknya melalui titik (−1 , 1) dengan koefisien arah Y – (1) =
1 (X – (−1) 2
1 , yaitu : 2
Y=
1 1 X+ +1 2 2
52
Y=
1 1 X+1 . 2 2
Persamaan fungsi jika disajikan dalam
10.78
persamaan implisit, maka diperoeh hasil Y=
1 1 X+1 2 2
f ( x)
2Y = X + 3
g( x) h ( x)
X – 2Y + 3 = 0
10
0
10
i ( x)
Jika grafik fungsi-fungsi tersebut digambarkan
i(x)
dengan menggunakan program Mathcad pada domain {−10 ≤ x ≤ 10}, maka hasilnya seperti di
10.78
g(x)
samping ini. Dengan fungsi-fungsi yang ditetapkan :
x
h(x)
f(x)
Gambar posisi grafik fungsi linier yang ditetapkan dengan yang dicari
f(x) : Y = −2X + 3 , g(x) : Y = 2X + 3 , h(x) : Y = −3x – 2 , dan fungsi yang dicari : i(x) : Y =
II.5.2.
1 1 X+1 . 2 2
Fungsi Kuadrat
Persamaan fungsi kuadrat, atau biasa juga disebut persamaan parabola tegak, adalah : Y = aX2 + bX + c , a ≠ 0 . Selanjutnya perhatikan proses aljabar di bawah ini : Y = aX 2 + bX + c X2 + X+
b b X+ a 2a
aX 2 + bX = Y − c 2
−
b 2a
2
=
Y−c a
b ( 4a )(Y − c) + b 2 =± 2a 4a 2
Karena
X=±
X2 + X+
b Y−c X= a a
b 2a
2
=
Y − c b2 + 2 a 4a
1 b 4aY − 4ac + b 2 − 2a 2a
4aY − 4ac + b2 akan bernilai real jika 4aY − 4ac + b 2 ≥ 0 , atau
b 2 − 4ac b 2 − 4ac Y≥− , jika a > 0 , dan Y ≤ − , jika a < 0 . 4a 4a Maka range fungsi kuadrat adalah, Y ={y≥−
b 2 − 4ac b 2 − 4ac } , jika a < 0 atau Y = { y ≤ − } , jika a > 0. 4a 4a 53
Dari hubungan X +
b ( 4a )(Y − c) + b 2 =± , karena 2a 4a 2
( 4a )(Y − c) + b 2 ≥ 0, 4a 2
maka ( 4a )(Y − c) + b 2 4a 2
X+
b = 2a
X+
b ( 4a )(Y − c) + b 2 =− 2a 4a 2
, jika X +
b b ≥ 0 atau X ≥ − 2a 2a
, jika X +
b b ≤ 0 atau X ≤ − 2a 2a
Hal ini menyimpulkan bahwa, fungsi kuadrat merupakan fungsi satu-satu pada, jika domainnya X = { x ≥ −
b b } atau X = { x ≤ − }. 2a 2a
Dalam domain tersebut, fungsi inversnya Y=
1 b b 4aX − (b 2 − 4ac) − , jika X > − 2a 2a 2a
Y=−
1 b b 4aX − (b 2 − 4ac) − , jika X < − 2a 2a 2a
Sehingga jika domainnya − ∞ < X < ∞ maka fungsi kuadrat bukan fungsi satu-satu pada, tetapi hanya merupakan fungsi ke dalam. Dari uraian tersebut, garis dengan persamaan X = −
b , dinamakan Sumbu Simetris, 2a
b 2 − 4ac dan nilai Y = − , adalah nilai ekstrim fungsi. Nilai ekstrim ini, merupakan nilai 4a minimum jika a > 0, dan nilai maksimum jika a < 0. Untuk menggambarkan fungsi kuadrat secara “manual” diperlukan komponenkomponen : 1. Sumbu simetris, yaitu garis dengan persamaan X = − 2. Titik ekstrim, yaitu titik dengan koordinat −
b . 2a
b b 2 − 4ac ,− 2a 4a
3. Titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat, 1) dengan sumbu-Y : X = 0 2) dengan sumbu-X : Y = 0
Y=c
koordinat titik potongnya (0 , c)
aX2 + bX + c = 0 54
Persamaan kuadrat aX2 + bX + c = 0 akan memiliki jawab riil, jika b2 – 4ac ≥ 0, sehingga grafik fungsi kuadrat akan a) memotong sumbu-X, jika b2 – 4ac > 0, b) menyinggung sumbu-X jika b2 – 4ac = 0. 4. Titik-titik yang dilalui grafik, Untuk ini buat tabel pasangan harga X dengan Y.
Contoh soal 4. Gambarkan grafik fungsi Y = −2X2 + X +1 !
Jawab : 1) Sumbu simetrinya : X = −
1 1 = . 2( − 2 ) 4
2) Titik ekstrimnya : Koefisien kuadratnya, a = −2 < 0, jadi titik ekstrim merupakan titik maksimum. Koordinatnya :
1 (1)2 − 4( −2)(1) 1 9 ,− = , 4 4( − 2 ) 4 8
3) Koordinat titik potong dengan : a)
sumbu-Y : (0 , 1)
b)
sumbu-X : Diskriman fungsi D = (1)2 – 4(-2)(1) = 9 > 0, jadi grafik memotong sumbu-X. Koordinat titik potongnya Y=0 Y = −2 X 2 + X + 1 2X + 1 = 0 − X +1 = 0
−2X2 + X + 1 = 0 1 2 X =1
X=−
Koordinat titik-titik potongnya : ( −
1 , 0) dan (1,0) 2
55
(2X + 1)(−X + 1) = 0
4) Koordinat titik-titik lain yang dilalui grafik : Ambil nilai X sembarang yang belum ada, dan sepihak terhadap sumbu simetri. Pada contoh ini sumbu simetrinya X = Jika diambil X <
1 1 1 , jadi yang diambil nilai X < atau X > . 4 4 4
1 , maka bangun tabel seperti di bawah ini 4
X −1 1 −1 2 dst.
Y −2(−1)2 + (−1) + 1 = −2 1 1 −2(−1 )2 + (−1 ) + 1 = −5 2 2
Koordinat titik (−1 , −2) 1 (−1 , −5) 2
Sehingga bentuk grafiknya seperti di bawah ini Y 1 9 , 4 8 (-
1 ,0) 2
X
(1,0)
X
(-1,-2)
X=
1 (−1 ,-5) 2
1 4 15
Grafik fungsi kuadrat
10
f(x) : Y = −2X2 + X +1
5
jika digambarkan dengan program Mathcad pada domain X = {−10
x
10}, hasilnya seperti di
disamping ini.
f ( x)
10
5
0
5
10
5
10
15
Grafik fungsi kuadrat Y = −2X2 + X +1 jika digambarkan dengan Mathcad
56
Kemungkinan grafik fungsi kuadrat jika ditelaah berdasarkan sumbu-X, disajikan pada Gambar II.15 di bawah ini.
a>0
a<0 20
10
10
D>0
f ( x)
10
0
f(x)
10
10
0
10
10
x
x
Grafik memotong sumbu-X dan terbuka ke atas
Grafik memotong sumbu-X dan terbuka ke bawah 10
10
D=0
f ( x)
10
0
f(x)
10
10
10
0
x
Grafik menyinggung sumbu-X dan terbuka ke atas
Grafik menyinggung sumbu-X dan terbuka ke bawah 10
10
f ( x)
10
10
10
x
D<0
10
0
f ( x)
10
10
10
0
10
10
x
Grafik tidak memotong terbuka ke atas
x
sumbu-X
dan
Grafik tidak memotong terbuka ke bawah
Gambar II.15 Kemungkinan posisi grafik fungsi kuadrat terhadap Sumbu-X
57
sumbu-X
dan
II.5.2.1.
Grafik fungsi kuadrat dengan fungsi linear
Jika dimiliki sebuah grafik fungsi kuadrat dengan sebuah grafik fungsi linear, maka hanya satu dari tiga kemungkinan di bawah ini yang terjadi, yaitu a) tidak berpotongan b) berpotongan c) bersinggungan Y = aX + b
aX + b = cX2 + dX + e
Y = cX + dX + e 2
cX2 + (d – a)X + (e – b) = 0
Diskriminan bentuk kuadrat cX2 + (d – a)X + (e – b) : D = (d – a)2 – 4(c)(e – b) Ada tiga kemungkinan untuk D a) D < 0
grafik fungsi linear dengan fungsi kuadrat tidak berpotongan
b) D = 0
grafik fungsi linear menyinggung grafik fungsi kuadrat
c) D > 0
grafik fungsi linear memotong grafik fungsi kuadrat 10.2
8.05 4.03
5.1
f ( x)
f ( x) g( x)
10
5
0
5
h ( x)
10
10
5
0
5
10
4.03
5.1
8.05
10.2
x
x
Grafik fungsi linear dengan fungsi kuadrat tidak berpotongan
Grafik fungsi linear menyinggung grafik fungsi kuadrat
8.05 4.03 f( x) i( x)
10
5
0
5
10
4.03 8.05 x
Grafik fungsi linear memotong grafik fungsi kuadrat
Gambar II.16 Kemungkinan grafik fungsi linear dengan fungsi kuadrat
58
Contoh soal 5 Tentukan a) persamaan garis singgung pada parabola Y = 2X2 – 3X +1 di titik (1 , 0) b) hubungan a dan b pada persamaan parabola Y = aX2 + bX – 1, agar grafiknya memotong grafik fungsi linear Y = 2X – 3
Jawab a) Jika dimisalkan persamaan garis singungnya Y = aX + b, maka 1) melalui titik (1, 0)
0 = a(1) + b
a = −b
Y = −bX + b
2) menyinggung parabola Y = 2X2 – 3X +1 Y = − bX + b Y = 2X − 3X + 1 2
−bX + b = 2X2 – 3X +1
2X2 + (b– 3)X +(1−b) = 0
diskriminan bentuk kuadrat 2X2 + (b– 3)X +(1-b) : D = (b– 3)2 – 4(2)(1-b) = b2 – 6b + 9 – 8 + 8b = b2 + 2b + 1 = (b + 1)2 Karena yang ditentukan menyinggung, maka D harus disama-dengankan 0, D = 0, atau b = −1 Sehingga persamaan garis singgunggnya, Y = −(−1)X + (−1) = X – 1
b)
Y = 2X − 3 Y = aX + bX − 1 2
2X – 3 = aX2 + bX – 1
aX2 + (b+2)X + 2 = 0
diskriminan bentuk kuadrat aX2 + (b+2)X + 2 : D = (b+2)2 – 4(a)(2) = b2 + 4b + 4 – 8a Karena yang ditentukan berpotongan, maka D harus lebih besar dari 0, D > 0, atau b2 + 4b + 4 – 8a > 0
(b + 2)2 – 8a > 0
Hal ini berarti, hubungan a dengan b 1) (b+2) −
8a > 0
b>
8a − 2
(b+2) +
8a > 0
b > − 8a − 2
(b+2) −
8a < 0
b<
(b+2) +
8a < 0
b < − 8a − 2
atau 2)
8a − 2
59
{(b+2) −
8a }{(b+2) +
8a } > 0
II.5.3.
Fungsi Pangkat
Bentuk umum dari fungsi pangkat adalah Y = aX , dengan a > 0 bilangan real. Dalam hal a = e , yaitu bilangan irasional yang nilainya e = 3,141592654…, bentuk Y = eX dinamakan fungsi eksponensial. Grafik dari fungsi pangkat seperti pada Gambar II.15.
Y=aX , a > 1
Y
(0,1)
Y=aX , 0< a < 1 X
Gambar II.17 Grafik fungsi pangkat 10
Misal grafik fungsi
1 f(x) : Y = 4 dan g(x) : Y = 4 X
X
g(x)
f ( x)
jika digambarkan dengan program
g( x)
Mathcad dalam domain
10
0
f(x) 10
X = {−10 < x < 10}, maka hasilnya seperti di samping ini : 10
Domain fungsi pangkat adalah X = {−∞ < x <∞}
x
dan rangenya
1 Grafik fungsi f(x) : Y = 4 dan g(x) : Y = 4 X
Y = {y > 0}.
jika digambarkan dengan Mathcad
Fungsi ini merupakan fungsi satu-satu pada, dengan fungsi inversinya : Y = alog Y.
Sifat perpangkatan 1 a
X , X−a =
1 Xa
1.
X =
2.
Xa+b = Xa x Xb , Xa-b = Xa X-b =
3.
(xa)b = Xab
a
Xa Xb 60
X
II.4.4.
Fungsi Logaritma
Bentuk umum dari fungsi logaritma adalah Y = alog X dengan a > 0, bilangan real. Dalam hal a = 10, 10log X ditulis log X, dan dinamakan Logaritma Biasa. Jika a = e , yaitu bilangan irasional, e = 3,141592654… , maka elog X ditulis ln X, dan dinamakan
Logaritma Natural. Y Y=alog X , a > 1
(1,0)
X
Y=alog X , 0 < a < 1 Gambar II.18 Grafik fungsi logaritma
5
Misal grafik fungsi
f(x)
f ( x) g( x)
1
f(x) : Y = 4log X dengan g(x) : Y = 4 log x
0
5
10
g(x)
jika digambarkan dengan program Mathcad dalam domain X = {0 < x < 10}, hasilnya
5
seperti di samping ini.
x
Domain dari fungsi logaritma adalah, X = {x > 0}, dan rangenya, Y = {−∞ < y < ∞}.
Grafik fungsi f(x) : Y = 4log X dan g(x) : Y =
Sifat logaritma : 1.
a
log XY = alog X + alog Y ,
2.
X
3.
a
log Y =
a a
a
log
X a = log X − a log Y Y
log Y log X
log Xb = b alog X 61
1 4
log x
II.4.5. Fungsi siklometri (fungsi goniometri , fungsi trigonometri) Perhatikan gambar di bawah ini
r
y
ϕ x dan perbandingan-perbandingan sisi-sisi dari segi-tiga siku-sikunya. Berdasarkan hal-hal tersebut didefinisikan y = Sinus ϕ = Sin ϕ r
⇔
r = Cosecan ϕ = Cosec ϕ y
x = Cosinus ϕ = Cos ϕ r
⇔
r = Secan ϕ = Sec ϕ x
x = Tangens ϕ = Tg ϕ y
⇔
y = Cotangens ϕ = Ctg ϕ x
Formulasi perbandingan tersebut dinamakan perbandingan goniometri (trigonometri). Dari perbandingan goniometri tersebut diperoleh hubungan-hubungan sebagai berikut 1) –1 ≤ Sin ϕ≤ 1 , –1 ≤ Cos ϕ≤ 1 2) Sin (900 − ϕ) = Cos ϕ , Cos (900 − ϕ) = Sin ϕ , Tg (900 − ϕ) = Ctg ϕ 3) Cosec ϕ =
1 1 Sin ϕ 1 , Sec ϕ = , Tg ϕ = , Cotg ϕ = Sin ϕ Cos ϕ Cos ϕ Tg ϕ
4) Sin2ϕ + Cos2ϕ = 1 , Tg2ϕ − Sec2ϕ = 1 , Ctg2ϕ − Cosec2ϕ = 1 Fungsi Y = Sin X dan Y = Cos X, merupakan fungsi dasar dari fungsi goniometri, sebab fungsi-fungsi goniometri yang lainnya dapat diturunkan dari keduanya. Range dari fungsi ini adalah Y = {–1 ≤ y ≤ 1}.
62
Grafik fungsi
10
f(x) : Y = Sin X dan g(x) : Y = Cos X digambarkan dengan Mathcad dalam
5
domain X = {−10 < x < 10}, hasilnya seperti di samping ini. Domain fungsi Y = Sin X adalah
f ( x) g( x)
10
5
0
X = {kπ < x < (k + 2)π} ,
5
10
5
k=0,1,2,... 10
atau
x
X = {−kπ < x < (−k − 2)π} , k=0,1,2,...
Gambar II.19 Grafik fungsi siklometri : f(x) = Sin x , g(x) = Cos x
Domain fungsi Y = Sin X adalah X = {kπ < x < (k + 2)π} , k = 0 , 1 , 2 , . . . atau X = {−kπ < x < (−k − 2)π} , k = 0 , 1 , 2 , . . . Dan domain fungsi Y = Cos X adalah X = {(k + atau X = (−k +
1 1 )π < X < (k + 2 )π} , k = 0 , 1 , 2 , . . . 2 2
1 1 )π < X < (−k − 1 )π , k = 0 , 1 , 2 , . . . Sehingga pada domain tersebut 2 2
fungsi memiliki fungsi invers. Fungsi invers untuk Y = Sin X, adalah Y = Arc Sin X. Sedangkan untuk Y = Cos X, adalah Y = Arc Cos X.. Fungsi goniometri yang lainnya, 1. Y = Tg X =
10
Sin x . Cos x
5
Fungsi ini terdefinisikan jika Cos ≠ 0, atau jika X ≠ 2. Y = Ctg X =
f ( x)
1 1 1 π,±1 π,±2 π,.... 2 2 2 1 Cos x = Tg x Sin x
g( x)
10
5
0
5
10
5
10 x
Fungsi ini terdefinisikan jika Sin X ≠ 0
Gambar II.20 Grafik fungsi siklometri f(x) : Y = Tg X ; g(x) : Y = Ctg X
atau jika X ≠ 0 , ± π , ± 2π , . . . 63
Grafik fungsi f(x) : Y = Tg X dan g(x) : Y = Ctg X, jika digambarkan dengan Mathcad dalam domain X = {−10 < x < 10}, hasilnya seperti pada Gambar II.20. Fungsi Y = Tg X memiliki range Y = {−∞ < y < ∞}, dan merupakan fungsi satu-satu pada, dalam domain X = {(−k +
1 1 )π < x < (−k + 1 )π} , k = 0 , 1 , 2 , . . . , 2 2
atau X = {(−k −
1 1 )π < x < (−k + )π} , k = 0 , 1 , 2 , . . . 2 2
dengan fungsi inversnya Y = Arc Tg X. Sedangkan fungsi Y = Ctg X memiliki range yang sama dengan Y = Tg X, yaitu Y = {−∞ < y < ∞}, dan merupakan fungsi satu-satu pada, dalam domain X = {kπ < X < (k + 1)π} , k = 0 , 1 , 2 , . . . atau X = {−(k + 1)π < X < −kπ} , k = 0 , 1 , 2 , . . . dengan fungsi inversnya Y = Arc Ctg X. 3.
Y = Sec X =
1 Cos X
10
Fungsi ini terdefinisikan jika Cos X ≠ 0, 1 1 1 atau jika X ≠ π , ±1 π , ±2 π , . . ., 2 2 2 4.
Y = Cosex X =
5 f( x) g( x)
1 Sin X
10
Fungsi ini terdefinisikan jika Sin X ≠ 0, atau jika X ≠ 0, ± π , ±2π, . . . .
5
0
5
10
5
10
Grafik fungsi f(x) : Y = Cosec X
x
dan g(x) : Y = Sec X jika digambarkan dengan Mathcad dalam domain X = {−10 < x < 10}, hasilnya seperti pada Gambar II.21. 64
Gambar II.21 Grafik fungsi siklometri g(x) : Y = Sec X ; f(x) : Y = Cosec X
Range fungsi Y = Sec X adalah Y = {1 ≤ y < ∞ } atau Y = { − ∞ < y ≤ −1}, dan merupakan fungsi satu-satu pada, dalam domain, X = {(k + ½)π < x < (k + 1½)π} , k = 0 , 1 , 2 , . . . atau X(-k - ½)π < X < (-k + ½)π , k = 0 , 1 , 2 , . . . dengan fungsi inversnya Y = Arc Sec X. Sedangkan fungsi Y = Cosec X, rangenya juga sama yaitu Y = {1 ≤ y < ∞ } atau Y = { − ∞ < y ≤ −1}, dan merupakan fungsi satu-satu pada, dalam domain X = {kπ < x < (k + 1)π , k = 0 , 1 , 2 , . . . atau X = {−(k + 1)π < x < −kπ} , k = 0 , 1 , 2 , . . . dengan fungsi inversnya Y = Arc Cosec X. Karena grafik dari fungsi goniometri merupakan lengkungan yang memiliki ciri (karakteristik, characteristic) periodik (membentuk bangun yang berulang), maka fungsi goniometri biasa juga dinamakan fungsi siklometri.
II.5.6.
Fungsi Pecahan
Bentuk fungsi pecahan sangat banyak formulasinya, tetapi yang sering digunakan adalah bentuk-bentuk 1)
Y=
ax + b , cx + d cx + d
2)
Y=
ax + b , cx2 + dx + e cx + dx + e
0 untuk setiap nilai x.
3)
Y=
ax 2 + bx + c , dx2 + ex + f 2 dx + ex + f
0 untuk setiap nilai x.
0 untuk setiap nilai x.
2
Pada fungsi pecahan dideskripsikan sumbu (garis) asimtut (asimptot), yaitu garis yang akan dipotong grafik fungsi di titik tak berhingga, sehingga grafik fungsi dengan sumbu asimtut hampir berimpit mulai nilai x tertentu. Untuk fungsi-fungsi pecahan seperti yang disajikan tersebut, sumbu asimtutnya dua jenis, yaitu asimtut datar dan asimtut tegak. 65
1) Untuk fungsi Y =
ax + b cx + d
Asimtut tegaknya : Y → ∞ ⇔ cx + d → 0
x= −
d c
Asimtut datarnya :
ax b + ax + b a x → ∞ ⇔ Y = Lim = Lim x x = x → ∞ cx + d x → ∞ cx d c + x x 2) Untuk fungsi Y =
ax + b cx + dx + e 2
Asimtut tegaknya : Y → ∞ ⇔ cx2 + dx + e → 0 , D = d2 – 4ce
0
dua buah , jika D > 0 Sehingga asimtut tegaknya : satu buah , jika D = 0
tidak ada , jika D < 0 Nilai persamaan asimtut tegaknya, merupakan jawab dari persamaan cx2 + dx + e = 0 . Asimtut datarnya :
ax b + 2 2 ax + b x x = Lim 2 =0 x → ∞ ⇔ Y = Lim 2 x → ∞ cx + dx + e x → ∞ cx dx e + + x2 x2 x2 ax 2 + bx + c 3) Untuk fungsi Y = 2 dx + ex + f Asimtut tegaknya : Y → ∞ ⇔ dx2 + ex + f → 0 ⇔ D = e2 – 4df
0
dua buah , jika D > 0 Sehingga asimtut tegaknya : satu buah , jika D = 0
tidak ada , jika D < 0 Nilai persamaan asimtut tegaknya, merupakan jawab dari persamaan dx2 + ex + f = 0 .
66
Asimtut datarnya : ax 2 bx c + 2 + 2 2 ax + bx + c x x =a x → ∞ ⇔ Y = Lim 2 = Lim 2 x x → ∞ dx + ex + f x → ∞ dx d ex f + 2 + 2 2 x x x 2
Perhatikan fungsi-fungsi di bawah ini : 1)
f(x) =
2x − 3 − 5x + 7
asimtut tegaknya : x = − asimtut datarnya : y = 2)
0.5
7 7 = , dan −5 5
2 2 =− . −5 5
f(x)
2x − 3 g(x) = − 5x 2 + 7 x − 9
gx ()
dan
0.13 5
2.5
0
2.5
0.25
h(x)
2 x 2 − 3x + 5 h(x) = − 5x 2 + 7 x − 9
0.63
Diskriminan fungsi penyebut : D = (7)2 – 4(−5)(−7) < 0.
1
Jadi g(x) dan h(x) tidak memiliki asimtut tegak. Asimtut datar untuk : g(x) : y = 0 (sumbu-X) h(x) : y =
Gambar II.22 Gafik fungsi
2x − 3 − 5x + 7 2x − 3 g(x) : Y = − 5x 2 + 7 x − 9 2 x 2 − 3x + 5 h(x) : Y = − 5x 2 + 7 x − 9
f(x) : Y =
2 2 =− −5 5
Jika digambarkan dengan program Mathcad pada domain {−5 ≤ x ≤ 5}, grafik ketiga fungsi tersebut seperti pada Gambar II.22.
67
5
II.6.
Fungsi Irisan Kerucut Sebuah kerucut jika diiris, maka bidang irisannya akan membangun suatu bangun ilmu
ukur, sesuai dengan cara pengirisannya. 1) Jika diiris sejajar bidang alas maka akan diperoleh bangun lingkaran, dan 2) Jika diiris miring dengan tidak mengiris bagian alas maka akan diperoleh bangun ellips, sedangkan 3) Jika diiris miring dan mengiris bagian alas, dengan kemiringan kurang dari 430, maka akan diperoleh bangun hiperbola, sedangkan jika kemiringannya lebih dari 450, diperoleh parabola. Bangun-bangun tersebut dapat didefinisikan secara matematis dan dibangun persamaan fungsinya. selalu
Persamaan fungsi irisan kerucut
disajikan
dalam
sehingga jika akan
bentuk
implisit,
elips
digambarkan dengan
menggunakan kemasan program Mathcad,
parabola
harus diubah dulu menjadi bentuk eksplisit.
lingkaran hiperbola
II.6.1.
Lingkaran Bangun-bangun irisan kerucut
Definisi matematisnya. Lingkaran adalah
tempat kedudukan titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu, yang dinamakan
pusat lingkaran (dinotasikan oleh P), sedangakn jarak yang sama dinamakan jari-jari lingkaran (dinotasikan oleh r). Y r b
P (a,b) a
Gambar II.23 Lingkaran dengan pusat P dan jari-jari r
68
X
Persamaan lingkaran dengan pusat (a , b) dan jari-jari r > 0 , adalah (X – a)2 + (Y – b)2 = r2. Jika persamaan dijabarkan sebagai berikut, X2 − 2aX + a2 + Y2 − 2bY + b2 = r2 X2 + Y2 − 2aX − 2bY + a2 + b2 – r2 = 0 dan ditulis A = −2a , B = −2b , C = a2 + b2 – r2 maka persamaan lingkaran dapat disajikan oleh X2 + Y2 + AX + BY + C = 0 dengan koordinat pusatnya, P = (−
1 1 A , − B) 2 2
dan jari-jarinya,
r=
1 2 1 2 a + b −c. 4 4
Contoh soal 6. Tentukan persamaan lingkaran yang berjari-jari 5 satuan, melalui titik (0 , 0) dan pusatnya terletak pada garis X + Y = 1 !
7.69
Jawab : Misalkan persamaan lingkarannya :
3.84
(X – a)2 + (Y – b)2 = (5)2 Lingkaran melalui titik (0 , 0) : (0 – a)2 + (0 – b)2 = 25
a2 + b2 = 25
10
(1)
5
0
5
10
3.84
Titik pusat (a,b) terletak pada garis X + Y = 1 a+b=1
a=1–b
(2)
7.69 x
Grafik lingkaran (X + 3)2 + (Y – 4)2 = 25 dan garis X + Y = 1
69
Subtitusikan (2) ke (1) : (1 – b)2 + b2 = 25
1 – 2b + b2 + b2 = 25
b2 –b – 12 = 0
2b2 –2b +1 – 25 = 0
2b2 –2b – 24 = 0
b = 4 dan b = −3.
(b – 4)(b + 3) = 0
Dan subtitusikan b = 4 ke (2)
a = 1 – 4 = −3 ,
b = −3 ke (2)
a = 1 – (−3) = 4.
Jadi persamaan lingkaran yang dicari adalah, (X – (−3))2 + (Y – (4))2 = 25
(X + 3)2 + (Y – 4)2 = 25
(X – (4))2 + (Y – (-3))2 = 25
(X − 4)2 + (Y + 3)2 = 25
atau
Contoh soal 7. Tentukan persamaan lingkaran singgung segitiga, yang sisi-sisinya berupa garis dengan persamaan : 4X + 3Y = 24 , 3X – 4Y = 18 , 4X – 3Y = -32 !
Jawab : Untuk menyelesaikan soal ini gunakan deskripsi jarak sebuah titik pada sebuah garis.
Definisi Jarak titik T = (x0 , y0) ke garis aX + bY + c = 0 sama dengan d=
ax 0 + by 0 + c a 2 + b2
Jika dimisalkan pusat lingkarannya P = (a , b)
17.15
dan jari-jarinya r , maka jarak P ke garis 1) 4X + 3Y = 24
4X + 3Y – 24 = 0
4a + 3b − 24 4 2 + 32 2) 3X – 4Y = 18
=
8.58
4a + 3b − 24 =r 5
20
12.5
5
2.5
10
3X – 4Y – 18 = 0 8.58
3a − 4b − 18 3 + ( − 4) 2
2
=
3a − 4b − 18 =r 5
17.15
Grafik lingkaran singgung (X + 1)2 + (Y – 1)2 = 25
70
3) 4X – 3Y = −32
4a − 3b + 32 4 2 + (−3) 2
4X – 3Y + 32 = 0 =
4a − 3b + 32 =r 5
Hal ini berarti 5r = 4a + 3b − 24 = 3a − 4b − 18 = 4a − 3b + 32 untuk 5r = 4a+3b−24
25r2 = (4a+3b−24)2 = 16a2 + 9b2 + 576 + 24ab − 192a − 144b
(1)
5r = 3a−4b−18
25r2 = (3a−4b−18)2 = 9a2 + 16b2 + 324 − 24ab − 108a + 14
(2)
5r = 4a-3b+32
25r2 = (4a-3b+32)2 = 16a2 + 9b2 + 1024 − 24ab + 256a − 196b
(3)
Jika diselesaikan, sistem persamaan (1), (2), dan (3) memiliki jawab : a = −1 , b = 1 , r = 5 , sehingga persamaan lingkaran singgung yang dicari adalah : (X – (−1))2 + (Y – (1))2 = (5)2 (X + 1)2 + (Y – 1)2 = 25
II.6.2..
Ellips
Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu, yang dinamakan titik fokus, selalu tetap. Titik tengah garis hubung titik fokus dinamakan
titik pusat. Y A
C • F1
•P D
• F2
B X
Gambar II.24 Ellips dengan titik fokus F1 dan F2, titik pusat P
Segmen garis AB dinamakan sumbu panjang, sedangkan segmen garis CD dinamakan
sumbu pendek. P titik tengah sumbu panjang dan sumbu pendek, dengan sumbu panjang dan sumbu pendek berpotongan tegak lurus di P. 71
Ellips dengan sumbu panjang sejajar sumbu X dinamakan ellips datar, sedangkan jika sejajar sumbu Y dinamakan ellips tegak. Jika sumbu panjang sama dengan 2a, dan sumbu pendek sama dengan 2b, a > b, dan koordinat P = (x0 , y0), maka koordinat fokus-fokus ellips datar sama dengan F1 = (x0−c , y0) dan F2 = (x0+c , y0), dan ellips tegak sama dengan F1 = (x0 , y0−c) dan F2 = (x0 , y0+c), dengan c < a, b2 = a2 – c2. Persamaan ellips datar dengan pusat P = (x0 , y0), sumbu panjang 2a, dan sumbu pendek 2b, sama dengan
(X − x 0 )2 (Y − y 0 )2 +
a2
b2
=1
sedangkan persamaan ellips tegak sama dengan
(X − x 0 )2 (Y − y 0 )2 b2
+
a2
=1
Seperti halnya lingkaran, persamaan ellips dapat disajikan dalam bentuk kuadratik AX2 + BY2 – 2CX – 2DY + E = 0
Contoh soal 8. Tentukan koordinat titik pusat, sumbu panjang, dan
9.95
sumbu pendek dari ellips dengan persamaan 16X2 + 9Y2 + 64X – 72Y + 64 = 0 !
4.98
Jawab : 16X2 + 9Y2 + 64X – 72Y + 64 = −64
f(x)
16(X2 + 4X) + 9(Y2 – 8Y) = −64
g( x)
10
6.25
2.5
1.25
5
16(X2 + 4x + 4 – 4) + 9(Y2 – 8Y + 16 – 16) = −64 4.98
16{(X + 2)2 – 4} + 9{(Y – 4)2 – 16} = −64 16(X + 2)2 – 64 + 9(Y – 4)2 – 144 = −64 16(X + 2)2 + 9(Y – 4)2 = -64 + 64 + 144
9.95
16(X + )2 + 9(Y – 4)2 = 144
Gambar elips
72
(X+ 2)2 + (Y− 4)2 =1 9
16
Jika kedua ruas dibagi 144, maka diperoleh persamaan
(X + 2)2 + (Y − 4)2 9
16
=1
yang merupakan persamaan dari ellips dengan pusat P = (−2 , 4), sumbu panjang sama dengan 2(√16) = 8, dan sumbu pendek sama dengan 2(√9) = 6.
II.6.3.
Hiperbola
Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jarak terhadap dua titik tertentu, yang dinamakan titik fokus, selalu tetap.
Pada hiperbola didefinisikan garis
asimtut, yaitu garis yang akan memotong grafik di titik tak berhingga. Banyaknya asimtut dua buah yang saling berpotongan, dan titik potongnya dinamakan pusat hiperbola. Jika asimtut-asimtut berpotongan tegak lurus, maka hiperbola dinamakan hipebola tegak atau
hiperbola ortogonal. Terhadap asimtutnya grafik hiperbola selalu merupakan dua pasang yang berkawanan. Y
Y
=
b a
X
X
Y = −
b X a
Gambar II.25 Hiperbola dengan titik pusat O = (0 , 0), asimtut Y = b X dengan Y = − b X a
a
73
Persamaan hiperbola dengan pusat (0 , 0) dan asimtut Y =
b b X dengan Y = − X a a
adalah X2 Y2 − 2 =1 a2 b dengan koordinat titik fokusnya F1 = (−c , 0) dan F2 = (c , 0). Sedangkan hiperbola kawannya, memiliki persamaan X2 Y2 − 2 = −1 a2 b dengan koordinat titik fokusnya F3 = (0 , −c) dan F4 = (0 , c). Jika pusat parabola ditranslasikan dari O = (0 , 0) ke P = (x0 , y0), maka persamaan asimtutnya menjadi Y − y0 =
b (X − x 0 ) dan Y − y 0 = − b (X − x 0 ) . a a
Persamaan parabolanya menjadi
(X − x 0 )2 (Y − y 0 )2 a2
−
b2
=1 .
Koordinat titik fokusnya menjadi F1 = (x0-c , y0) dengan F2 = (x0+c , y0) dan persamaan parabola kawannya
(X − x 0 )2 (Y − y 0 )2 a2
−
b2
= −1
dengan koordinat titik fokusnya F1 = (x0 , y0−c) dan F2 = (x0 , y0+c). Nilai-nilai a, b, dan c, memenuhi hubungan a2 = c2 – b2 dan 0 < b < c.
74
Seperti halnya pada lingkaran dan ellips, hiperbola juga bisa disajikan dalam persamaan kuadratik AX2 – BY2 – 2CX + 2DY + E = 0.
Contoh 9
11.64
Tentukan koordinat titik pusat, titik-titik fokus, dan persamaan asimtut-asimtutnya dari hiperbola 9X2 – 4Y2 –36X + 24Y – 36 = 0.
5.82
f(x)
Jawab :
gx ()
Jika bentuk kuadratik tersebut disajikan dalam
h(x)
bentuk kuadrat sempurna, maka diperoleh hasil
10
5
0
5
10
i(x)
9X2 – 4Y2 –36X + 24Y – 36 = 0
5.82
(9X2 – 36X) – (4Y2 – 24Y) = 36 9(X2 – 4X) – 4(Y2 – 6Y) = 36 9(X2 – 4X + 4 – 4) – 4(Y2 – 6Y + 9 – 9) = 36
11.64
9(X – 2)2 – 36 – 4(Y – 3)2 + 36 = 36 2
Gambar hiperbola
2
9(X – 2) – 4(Y – 3) = 36.
(X − 2)2 − (Y − 3)2 x
4
9
Jika kedua ruas dibagi dengan 36, maka diperoleh persamaan
(X − 2)2 − (Y − 3)2 4
9
=1
Dari bentuk kuadrat sempurna ini, nilai-nilai : a = 2 , b = 3 , dan c =
4 + 9 = √13, sehingga
koordinat titik pusat hiperbola : (2 , 3), koordinat titik fokus : F1 = (2+ 13 , 3) dan F2 = (2- 13 , 3), persamaan asimtutnya : Y − 3 =
3 (X − 2) 2
Y=1
Y −3=−
3 (X − 2) 2
Y = −1
II.7.
1 X , dan 2 1 X+6 2
Fungsi Genap, Fungsi Ganjil Fungsi y = f(x) dinamakan fungsi genap jika dipenuhi hubungan f(−x) = f(x), dan
dinamakan fungsi ganjil, jika hubungan yang dipenuhi, f(−x) = −f(x). Dalam hal lain dinamakan bukan fungsi genap atau fungsi ganjil. 75
=1
Sebagai contoh, 1.
8.42
x 3 + 3x , fungsi ganjil, x 4 − 3x 2 + 4
y = sebab
4.21
x 3 + 3x x 4 − 3x 2 + 4
f( x)
(− x ) 3 + 3(− x ) f(−x) = (− x ) 4 − 3(− x ) 2 + 4
h( x)
f(x) =
=− y=
0
5
10
8.42
x + 3x = − f(x) x − 3x 2 + 4 3
x
4
x 3 + 3x ; x 4 − 3x 2 + 4 x2 2 g(x) : Y = ; h(x) : Y = 4 x −1 1+ x Grafik fungsi f(x) : Y =
x , fungsi genap, 1+ x4
sebab x2 1+ x4
f(−x) = 3. y =
5
4.21
2
f(x) =
10
− x 3 − 3x x 4 − 3x 2 + 4
=
2.
g( x)
(− x ) 2 x2 = = f(x) 1 + (− x ) 4 1+ x4
2 , bukan fungsi genap atau fungsi ganjil, sebab x −1
f(x) =
2 x −1
f(−x) =
2 2 = (− x ) − 1 − x −1
=−
2 x +1
f(x) : bukan fungsi genap
− f(x) : bukan fungsi ganjil
f(x) = Sin x , g(x) = Cos x Dari deskripsi tersebut tersurat, fungsi genap merupakan
fungsi yang grafiknya simetris terhadap sumbu-Y, sedangkan fungsi ganjil grafiknya simetris terhadap titik pangkal, O = (0 , 0). Sehingga jika grafik fungsi tidak simetris terhadap titik O maupun sumbu-Y, maka fungsi tersebut bukan fungsi genap maupun fungsi 76
ganjil. Hal ini dapat ditelaah pada gambar grafik fungsi di atas, yang digambarkan dengan menggunakan program Mathcad, dalam domain X = {−10 ≤ x ≤ 10}. Pada gambar terlihat, f(x) simetris terhadap titik O = (0 , 0), dan g(x) simetris terhadap sumbu-Y, sedangkan h(x) tidak simetris terhadap titik O maupun sumbu-Y.
SOAL-SOAL UNTUK LATIHAN 1.
Relasi dari himpunan X ke Y, dengan elemen-elemen dan bentuk relasinya seperti di bawah ini, manakah yang merupakan fungsi ? Sajikan alasan saudara mengemukakan hal tersebut ! a) X = {−5 , −4 , −3 , −2 , −1, 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5} ; Y = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 9} Relasinya : x ∈X → y ∈ Y : y = x2 b) X = {0,1,4,9,16,25,36} ; Y = {−6,−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6} Relasinya : x ∈X → y ∈ Y : y =
x
c) X = {wanita} ; Y = {laki-laki} Relasinya : x ∈X → y ∈ Y : pernikahan d) X = {pengunjung di pusat perbelanjaan} ; Y = {pembeli di pusat perbelanjaan} Relasinya : x ∈X → y ∈ Y : transaksi pembelian e) X = {bilangan irasional} ; Y = {bilangan rasional} Relasinya : x ∈X → y ∈ Y : perpangkatan 2.
Fungsi-fungsi di bawah ini, mana yang merupakan fungsi pada, fungsi ke dalam, fungsi satu-satu pada, fungsi satu-satu ke dalam ? Sajikan alasan saudara mengemukakan hal itu ! a) Y = X , jika X = {bilangan riel} ; Y = {bilangan riel}
X , jika X = { x : bilangan prima , x ≤ 17} ; Y = {bilangan riel}
b) Y = c) Y =
X,X ≥ 0 -X,X < 0
; X = Y = {bilangan riel}
d) Y = [[ X ]] , bilangan bulat yang lebih kecil sama dengan X ; X = Y = {bilangan bulat} e) Y =
X −1 ; X = Y = {bilangan riel} X +1 77
3.
Tentukan domain dari fungsi-fungsi di bawah ini (a) Y = ln (Sin X) (e) Y =
4.
(b) Y = e2x – 3
x −1 Sin ( x − 1)
(f) Y =
(c) Y =
2 x 2 − 3x − 1 x 2 − 2x + 1
2 x 2 − 3x − 1 Sin ( x − 1) (g) Y =
(d) Y = (x – 1)Sin(2x – 1)
Tg ( x − 1) x −1
(h) Y = log(2x2–3x)
Tentukan fog(x), jika (a) f(x) = Sin(x+1) ; g(x) = 2x2 – x – 3 (b) f(x) = x + 1 ; g(x) = Tg(x2 + 2x – 1) (c) f(x) = 2x – 3 ; g(x) = log (3x – 1) (e) f(x) = x – 3 ; g(x) =
5.
Jika f(x) = (a) (f + g)(x)
6.
3x − 1 2x + 1
2 x − 3 dan g(x) = (b) (f – g)(x)
(d) f(x) = Sin(x + 1) ; g(x) = ln(x – 1)
(f) f(x) =
2 x 2 − 3x x −1 ; g(x) = log 2x + 1 x +1
x −1 , maka tentukan x + x +1 2
(c)
f (x) g
(d) (f.g)(x)
(e) fog(x)
Tentukan persamaan dan gambar grafik fungsi linier yang a) grafiknya sejajar grafik fungsi 2x – 3y +1 = 0, dan melalui titik potong grafik fungsi y = 2x – 3 dengan x + y – 1 = 0 b) melalui titik (−2 , 3) dan memotong tegak lurus grafik fungsi 3x – 2 – 6 = 0 c) melalui titik potong grafik fungsi 2x – 3x + 6 = 0 dengan x + y + 1 = 0, dan titik potong grafik fungsi y = 2x – 3 dengan y = 3x + 2 d) membangun sebuah segitiga dengan titik-titik sudutnya (−2 , −3) ; (2 , 3) ; (−3 , 5) e) melalui titik (2 , 3) dan grafiknya tegak lurus grafik fungsi 6 – 2y – x = 0
7.
Tentukan persamaan dan gambarkan grafik fungsi kuadrat, yang a) sumbu simetrisny x = −2 dan titik maksimumnya (3 , 5) b) melalui titik-titik (2 , 3) ; (5 , −3) ; dan (−4 , −7) c) titik minimumnya (−3 , −5) dan memotong sumbu-X di (−6 , 0) d) menyinggung grafik fungsi 2x – 3y + 6 = 0 dengan titik ekstrimnya (3 , 5) e) tidak memotong sumbu-X, memiliki sumbu simetris x = 3, menyinggung grafik fungsi y = 4, dengan salah satu titik pada grafiknya berjarak 3 dari sumbu simetris.
78
8.
Untuk fungsi-fungsi di bawah ini, mana yang merupakan fungsi ganjil, fungsi genap, atau fungsi yang bukan fungsi ganjil maupun fungsi genap ? (a) y = (d) y =
9.
2 x 2 − 3x + 6 x 2 − 2x + 1 2x − 3 Sin (2x − 3)
(b) y =
2x − 3 2 x − 3x + 1 2
(e) y = (2x2 – 3x +1)log(2x – 1)
(c) y = x3 – 2x2 + x + 3 (f) y = 3x2 – 2xe-2x+1
Sebuah pabrik dapat menghasilkan antara 0 sampai 100 unit barang perhari, dengan
overhead cost harian $ 2.200, dan ongkos produksi untuk setiap unit barang $ 152. Sajikan persamaan fungsi biaya (a) untuk total produksi x unit barang
(b) rata-rata perunit barang
Untuk kedua fungsi tersebut, tentukan domainnya ! 10. Sebuah penyewaan mobil menetapkan charge harian $ 24, dan ongkos $ 0.40 per km. a) Tentukan biaya penyewaan dalam satu hari, jika digunakan sejauh x km. b) Jika sebuah mobil disewa untuk satu hari dengan biaya $ 120, maka berapa jauh jarak yang harus ditempuh ? 11. Jika fungsi biaya untuk membuat x buah barang sama dengan 400 + 5 2x 2 − 3 dolar, dengan harga jual perunitnya $ 6, maka tentukan fungsi pendapatannya ! 12. Apakah a) jumlah dua fungsi ganjil, merupakan fungsi ganjil ? b) jumlah dua fungsi genap, merupakan fungsi genap ? c) perkalian dua fungsi ganjil, merupakan fungsi ganjil ? d) perkalian dua fungsi genap, merupakan fungsi genap ? e) perkalian sebuah fungsi ganjil dengan fungsi genap, merupakan fungsi ganjil ? Sajikan alasan saudara untuk mengemukakan hal tersebut ! 13. Jika domain fungsi y = f(x) selain memiliki nilai x, juga nilai −x, maka selidiki apakah pernyataan-pernyataan di bawah salah atau benar ? Sajikan alasan saudara mengemukakan hal tersebut ! a) f(x) – f(−x) adalah fungsi ganjil. b) f(x) + f(−x) adalah fungsi genap. c) f(x) selalu dapat disajikan sebagai perjumlahan fungsi genap dengan fungsi ganjil. 79
14. Pesawat udara A terbang mengarah ke utara dengan kecepatan 400 km/jam, dan setelah mengudara satu jam, pesawat udara B terbang mengarah ke timur dengan kecepatan 300 km/jam. Dengan mengabaikan lengkungan bumi dan ketinggian pesawat dari permukaan laut, maka sajikan fungsi jarak antara kedua pesawat tersebut, jika diukur sejak pesawat A terbang. 15. Segitiga apakah yang akan diperoleh, jika sisi-sinya merupakan segmen grafik fungsi linier Y = −2X + 3, Y = 2X – 5, dengan Y = −5X – 3 ? 16. Fungsi genap dan fungsi ganjil termasuk dalam kelompok fungsi mana ? Fungsi pada, fungsi ke dalam, fungsi satu-satu pada, atau fungsi satu-satu ke dalam ? Sajikan alasan saudara untuk mengemukakan hal itu ! 17. Tentukan fungsi komponen dari fungsi komposisi di bawah ini. (a) Y = log
2x 2 − 3
2x − 3 3x + 2 (d) Y = 2 x 2 − 3x + 1 ln
18. Jika f(x) = (a) (f + g)(x)
(b) Y = Tg
2x − 3 2 x − 3x + 1 2
(e) Y = 3x2 – 2xe-2x+1
(c) Y = ln
Tg ( x − 1) x −1
(f) Y = Sec
x −1 x +1
2x 2 − 3 dan g(x) = x2 – 1, maka tentukan domain untuk fungsi h(x) = (b)
f (x) g
(c) (f.g)(x)
(d) fog(x)
(e) gof(x)
(f)
g (x) f
19. Sebuah pelat seng berukuran 24 x 32 meter, akan dibuat kotak persegi (panjang, lebar, dan tinggi sama) tanpa tutup.
Jika V(x) menyatakan fungsi volume kotak, maka
tentukan (a) persamaan untuk V(x)
(b) domain dari V(x)
20. Untuk fungsi-fungsi siklometri, fungsi mana yang merupakan fungsi genap, dan yang mana yang merupakan fungsi ganjil ? Sajikan telaahan saudara !
80
BAB III LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI Salah satu segi dalam fungsi real adalah nilai pendekatan (limit) dan kekontinuan fungsi.
Kekontiuan fungsi merupakan implementasi langsung dari perhitungan limit.
Perhitungan limit banyak digunakan dalam analisis statistika, matematika dan ilmu-ilmu terapan. Definisi Limit dari fungsi y = f(x) sama dengan b, jika x menuju nilai a, ditulis : Lim f ( x ) = b X →a
artinya, untuk setiap bilangan yang cukup kecil, ε > 0 , (ε : dibaca epsilon) selalu ada bilangan yang cukup kecil lainnya, δ > 0 , (δ : dibaca delta), sedemikian rupa sehingga
f(x) – b < ε , jikax – a < δ. Dari deskripsi ini, nilai f(x) hanya mendekati b, artinya, nilai f(x) tidak pernah sama dengan b, jika x mendekati a. Y
f(a)
a
Gambar III.1 Gambaran ilmu ukur Lim f ( x ) X→a
81
X
Ilustrasi : Tunjukan bahwa Lim X →1
x −1 =0 x +1
Jawab Ambil ε > 0, sehingga
x −1 x −1 x −1 = < ε. Karena x + 1 > 0, maka −0 = x +1 x +1 x +1
x − 1 < εx + 1. Dalam hal ini, jika ε merupakan bilangan yang cukup kecil, maka εx + 1 = δ > 0 juga akan merupakan bilangan yang cukup kecil. Sehingga untuk setiap ε > 0 ada δ = εx + 1 > 0, sedemikian rupa sehingga x −1 x −1 < ε, jika x − 1 < δ. −0 = x +1 x +1 Hal ini menyatakan bahwa Lim X →1
x −1 = 0, benar. x +1
Menghitung nilai limit dengan menggunakan definisi tidaklah mudah.
Sehingga
diperlukan sebuah metode praktis untuk menghitungnya. Berikut ini disajikan bagaimana menghitung limit fungsi dan segi-segi yang dapat ditelaah pada perhitungan limit fungsi.
III.1.
Cara menghitung nilai limit Jika dimiliki persoalan sebagai berikut : Berapakah Lim f ( x ) ? X→a
maka cara menghitungnya : 1. Subtitusikan x = a ke f(x), sehingga diperoleh nilai f(a). 2. Selidiki apakah nilai f(a) bukan nilai tak-tentu ? 0 0 ∞ ∞ Yang termasuk nilai tak-tentu adalah bentuk-bentuk : ∞.∞ , ∞.0 , , , , . 0 ∞ 0 ∞ 3. Jika f(a) bukan nilai tak tentu, maka f(a) adalah nilai limit yang dicari. Sedangkan jika nilai tak-tentu, maka bentuk f(x) harus diubah melalui sebuah proses aljabar, sehingga jika disubtitusikan nilai x = a diperoleh nilai yang bukan nilai tak tentu.
82
Contoh 1 Hitunglah Lim f ( x →1
x2 −1 ) ! x +1
Jawab : Jika disubtitusikan x = 1 ke f (x ) = (
x 2 −1 (1) 2 − 1 0 ) maka diperoleh nilai f (1) = = = 0, x +1 (1) + 1 1
x 2 −1 yang bukan nilai tak tentu. Sehingga Lim f ( ) = 0. x →1 x +1
Contoh 2 Hitunglah Lim f ( x →1
x2 −1 ) ! x −1
Jawab : Jika disubtitusikan x = 1 ke f (x ) = (
(1) 2 − 1 0 x 2 −1 ) maka diperoleh nilai f (1) = = , yang x −1 (1) − 1 0
merupakan sebuah nilai tak tentu. x 2 − 1 (x − 1)(x + 1) Sehingga bentuk fungsi harus diubah menjadi, f (x ) = = = x + 1 , yang x −1 x −1 jika disubtitusikan x = 1 ke f(x) = x + 1 akan diperoleh nilai f(1) = (1) + 1 = 2. Sehingga Lim f ( x →1
x 2 −1 ) = 2. x −1
Khusus untuk menghitung limit fungsi pecahan Lim x →∞
f (x) , g(x) g(x )
0 untuk setiap nilai x,
dengan f(x) dan g(x) merupakan fungsi polinom. Caranya sebagai berikut. 1. bagi kedua fungsi tersebut oleh x yang berpangkat paling tinggi, 2. subtitusikan x = ∞ ke fungsi hasil bagi.
83
Contoh 3 a) Hitunglah Lim x →∞
2 x 2 − 3x − 3 3x 2 + 2 x − 4
Jawab : Bagi pembilang dan penyebut oleh x2,
3 3 3 3 2 x 2 3x 3 2− − 2 2− − 2 − 2 − 2 2 2 x − 3x − 3 x x = ∞ ∞ = 2−0−0 = 2 x = Lim Lim 2 = Lim x 2 x x x → ∞ 3x + 2 x − 4 → ∞ x → ∞ 3x 2 4 2 4 3+ 0−0 3 2x 4 3+ − 2 3+ − 2 + 2 − 2 2 x x ∞ ∞ x x x 2
b) Hitunglah Lim x →∞
− 2 x 2 + 3x + 1 3x 3 − 2 x 2 − 2 x + 2
Jawab : Bagi pembilang dan penyebut oleh x3,
1 1 1 x2 x 1 −2 +3 2 + 3 +3 3 + 3 2 3 − 2 x + 3x + 1 x x x x = Lim 3 x 2 x = Lim Lim 3 x →∞ x → ∞ 3x − 2 x 2 − 2 x + 2 x →∞ 1 1 2 x x x 2 3− 2 − 2 2 + 3 3 3 −2 3 −2 3 + 3 x x x x x x x −2
1 1 1 +3 2 − 3 ∞ ∞ ∞ = − 2 .0 + 3 .0 − 0 = 0 = 0 = 1 1 2 3 − 2.0 − 2.0 + 0 3 3−2 −2 2 + 3 ∞ ∞ ∞ −2
III.2
Dalil Limit
Untuk mempermudah perhitungan limit fungsi, dapat digunakan dalil-dalil tentang limit di bawah ini. 1. Lim x →0
Sin x x = Lim =1 x → 0 x Sin x
Bukti Jika diambil ε > 0, sedemikian rupa sehingga
Sin x − x Sin x + x 1+ x Sin x ≤ ≤ <ε −1 = x x x x 84
maka 1 + x < εx
(1 − ε)x < −1
x <
−1 −1 < =δ>0 1− ε 1− ε
Hal ini menyatakan bahwa, untuk setiap ε > 0 selalu ada δ = sehingga
−1 sedemikian rupa 1− ε
Sin x x Sin x = Lim =1 − 1 < ε, jika x < δ. Dengan perkataan lain Lim x →0 x →0 Sin x x x
benar.
Contoh 4 Hitunglah Lim (2 x − π )Tg x ! 1 x→ π 2
Jawab : Lim (2 x − π )Tg x = Lim (2 x − π ) Lim Tg x = Lim (2 x − π ) Lim Tg x
1 x→ π 2
1 x→ π 2
= 2
1 x→ π 2
1 x→ π 2
1 x→ π 2
1 π − π Tg(½π) = 0.∞. 2
Hasilnya merupakan nilai tak tentu, sehingga bentuk fungsi harus diubah menjadi 1 π−x Sin x 2 (2x − π)Tg x = 2(x − ½π) = 2(x − ½π) 1 Cos x Sin π − x ) 2 Cos
1 1 π x− π 2 2 = 2Cos(½π−x) = −2Cos(½π−x) 1 1 Sin − x − π Sin x − π 2 2 x−
85
sehingga 1 x− π 2 Lim (2 x − π )Tg x = Lim (2 x − π )Tg x = = Lim −2Cos(½π−x) 1 1 1 1 x→ π x − π →0 x − π →0 2 Sin x − π 2 2 2
=
Lim − 2Cos
1 x − π →0 2
1 π 2 Lim = = −2Cos(−0).(1) = −2(1)(1) = −2 1 1 x − π →0 Sin x − π 2 2 x−
1 π−x 2
1
2. Lim(1 + x ) x = e , e bilangan irasional. x →∞
Bukti Karena Lim(1 + x ) x →∞
1 x
1 = e identik dengan Lim 1 + y →0 y
y
= e , sehingga jika diambil ε > 0,
sedemikian rupa sehingga
1 1+ y
y
y +1 y
−e =
y
−e <
y +1 y
y
+e<ε
maka 0<
y +1 y
y
y +1 y
y
< ε − e < ε − e = δ y
δ>
=
( y + 1) yy
y
=
i =0
y i y i y
y
=
y −1
yi > y
i=0
Hal ini menyatakan bahwa, untuk setiap ε > 0 selalu ada δ = ε − e, sedemikian rupa
1 sehingga 1 + y Catatan :
y i
=
y
1
− e < ε, y < δ. Dengan perkataaan lain Lim(1 + x ) x = e benar. x →∞
y! , y! = 1.2.3. . . . y , dengan 0! didefinisikan sama dengan 1. ( y − i)!i! 86
Contoh 5 a. Lim x →2
x −1 x−2
(x −2 )
= Lim 1 + x →2
Jika ditulis : y = Lim x →2
x −1 x−2
(x −2 )
1 x−2
(x −2 )
1 x−2
(x – 2) =
1 , maka : x y
2
y → ∞, sehingga
1
= Lim(1 + y ) y = e y →∞
Ctg ( x )
Cos( x ) + Sin ( x ) b. Lim π Cos( x ) x→ 2
Sin ( x ) = Lim 1 + π Cos( x ) x→ 2
Jika ditulis : Tg(x) = y, maka x → Ctg ( x )
Cos( x ) + Sin ( x ) Lim π Cos( x ) x→
π 2
Ctg ( x )
1
= Lim(1 + Tg ( x ) ) Tg ( x ) x→
π 2
y → ∞, sehingga 1
= Lim(1 + y) ) y = e. y →∞
2
3. Lim k = k , k : konstanta. x →a
Bukti Karena k − k = 0 < ε, maka selalu ada δ > 0, sedemikian rupa sehingga x − a < δ, dengan perkataan lain Lim k = k benar. x →a
Contoh 6 Lim 5 = 5 x → −1
4
Lim f ( x )g ( x ) = Lim f ( x ) Lim g ( x ) , jika hasilnya bukan nilai tak tentu, sedangkan jika x →a
x →a
x →a
hasilnya nilai tak tentu maka bentuk f(x)g(x) harus diubah dulu, baru dihitung nilai limitnya.
Bukti Jika dimisalkan Lim f ( x ) = u dan Lim g ( x ) = v , maka ada ε1, ε2, dan δ, sedemikian x →a
x →a
rupa sehingga f ( x ) − u < ε1, g ( x ) − v < ε2, x − a < δ.
87
Karena f(x)g(x) – uv = {f(x) – u}{g(x) – v} + vf(x) + ug(x) – 2uv = {f(x) – u}{g(x) – v} + v{f(x) – 1} + u{f(x) – 1} f(x)g(x) – uv = {f(x) – u}{g(x) – v} + v{f(x) – 1} + u{f(x) – 1} ≤ {f(x) – u}{g(x) – v} + v{f(x) – 1} + u{f(x) – 1} < {f(x) – u}{g(x) – v} = {f(x) – u}{g(x) – v} < ε1ε2 = ε, jika x − a < δ. Hal ini menyatakan bahwa Lim f ( x )g ( x ) = Lim f ( x ) Lim g ( x ) , benar. x →a
x →a
x →a
Contoh 7 a.
Lim(x − 2π )Sin (2 x − π) , jika diselesaikan sesuai dalil x→π
Lim(x − 2π )Sin (2 x − π) = Lim(x − 2π ) Lim Sin (2 x − π) x→π
(
)
x →π
x →π
= Lim x − Lim π Sin (2π − π ) = (π − 2π )Sinπ = (-π)(0) = 0 (bentuk tentu)
b.
x →π
x →π
Lim
3x + 5 Sin ( x − 2) , jika diselesaikan sesuai dalil 2x 2 − x − 6
Lim
3x + 5 3x + 5 Sin ( x − 2) = Lim 2 Lim Sin ( x − 2) 2 x → 2 2x − x − 6 2x − x − 6 x →2
x →2
x →2
=
3(2) + 5 11 Sin (2 − 2) = .0 = ∞.0 (bentuk tak tentu) 2 0 2( 2) − ( 2) − 6
Fungsi harus diubah menjadi 3x + 5 3x + 5 Sin ( x − 2) 3x + 5 Sin ( x − 2) = Sin ( x − 2) = 2 (2 x + 3)( x − 2) (2 x + 3) ( x − 2) 2x − x − 6 sehingga Lim x →2
=
3x + 5 3x + 5 Sin ( x − 2) 3x + 5 Sin ( x − 2) Sin ( x − 2) = Lim = Lim Lim 2 x →2 2x + 3 x →2 2x + 3 x → 2 ( x − 2) ( x − 2) 2x − x − 6
3(2) + 5 11 .1 = 2( 2) + 3 7
88
5
Lim kf ( x ) = k Lim f ( x ) , k : konstanta x →a
x →a
Bukti Gunakan analogi pembuktian Dalil 4, dengan mengambil g(x) = k.
Contoh 8
(
)
(
Lim − 5 3x 3 − 2 x 2 − x = − 5 Lim 5 3x 3 − 2 x 2 − x x → −2
(
x → −2
) (
)
= -5 Lim 3x 2 − Lim 2 x 2 − Lim x = -5 3 Lim x 2 − 2Lim x 2 − Lim x x → −2
x → −2
x → −2
x → −2
x → −2
x → −2
)
= -5{3(-2)3 – 2(-2)2 – (-2)} = -5(-24 – 4 + 2) = 130
6
Lim x →a
f (x) f ( x ) Lim = x →a , jika hasilnya bukan nilai tak tentu, sedangkan jika hasilnya nilai g ( x ) Lim g ( x ) x →a
tak tentu maka bentuk
fx ) harus diubah baru dihitung nilai limitnya. g( x )
Bukti Gunakan analogi Dalil 4, dengan menyajikan
fx ) 1 = f(x) g( x ) g( x )
Contoh 9 2 x 2 − 3x − 2 , jika dihitung sesuai dalil x → −1 x 2 + 2 x + 1
a. Lim
( (
) )
2 x 2 − 3x − 2 2 x 2 − 3x − 2 Lim 2(−1) 2 − 3(−1) − 2 3 x → −1 Lim 2 = = = = ∞ (bentuk tentu) 2 2 x → −1 x + 2 x + 1 0 Lim x + 2 x + 1 (−1) + 2(−1) + 1 x → −1
b. Lim x →2
Lim x →2
x−2 Tg ( x − 2) , jika dihitung sesuai dalil x − 3x + 2 2
x−2 ( 2) − 2 0 0 Tg ( x − 2) = Tg (2 − 2) = .0 = (bentuk tak tentu) 2 0 0 x − 3x + 2 (2) − 3(2) + 2 2
Fungsi harus diubah menjadi x−2 x−2 1 Tg ( x − 2) = Tg ( x − 2) = Tg ( x − 2) ( x − 2)( x − 1) ( x − 1) x − 3x + 2 2
89
sehingga Lim x →2
x−2 1 1 Tg ( x − 2) = Lim Tg ( x − 2) = Tg (2 − 2) = 1.0 = 0. x → 2 ( x − 1) (2 − 1) x − 3x + 2 2
7. Lim(f ( x ) + g ( x ) ) = Lim f ( x ) + Lim g ( x ) x →a
x →a
x →a
Bukti Jika dimisalkan Lim f ( x ) = u dan Lim g ( x ) = v , maka ada ε1, ε2, dan δ, sedemikian x →a
x →a
rupa sehingga f ( x ) − u < ε1, g ( x ) − v < ε2, x − a < δ. Karena {f(x) + g(x)} – uv = {f(x) – u} + {g(x) – v} + u + v – uv {f(x) + g(x)} – uv = {f(x) – u} + {g(x) – v} + u + v – uv ≤ {f(x) – u} + {g(x) – v} + u + v – uv < {f(x) – u} + {g(x) – v} < ε1 + ε2 = ε, jika x − a < δ. Hal ini menyatakan bahwa Lim(f ( x ) + g ( x ) ) = Lim f ( x ) + Lim g ( x ) , benar. x →a
x →a
x →a
Contoh 10 Lim(Sin (2 x − π) + Cos( x − 2π) ) = Lim(Sin (2 x − π) ) + Lim(Cos( x − 2π) ) x →− π
x →− π
x →− π
= Sin (2(-π) - π) + Cos ((-π) - 2π) = Sin (-3π) + Cos (-π) = 0 + (-1) = -1
III.3.
Limit Kiri , Limit Kanan
Untuk menghitung nilai Lim f ( x ) bisa dilakukan secara sepihak terhadap x = a. Artinya x →a
nilai limit dihitung berdasarkan x < a atau x> a secara berdiri-sendiri. Hal ini dilakukan terutama jika fungsi f(x) bentuknya terbagi oleh x = a. Misal fungsi f(x) yang didefinisikan sebagai berikut
x +1 , jika x < −1 x −x−2 f (x ) = − 2 , jika x = −1 2 2 x + 3x + 1 , jika x > −1 Tg (x + 1) 2
90
Untuk menghitung nilai Lim f ( x ) , prosesnya harus dilakukan berdasarkan x < −1 dan x → −1
x > −1, yang berdiri-sendiri. x +1 x < −1→−1 x → −1 x − x − 2 Lim f ( x ) = 2 x 2 + 3x + 1 x → −1 Lim f ( x ) = Lim x > −1→−1 x →−1 Tg ( x + 1) Lim f ( x ) = Lim
2
Secara matematis pernyataan Lim f ( x ) disajikan oleh Lim− f ( x ) , yang dinamakan limit x < −1→ −1
kiri dari f(x). Sedangkan
x → −1
Lim f ( x ) disajikan oleh Lim+ f ( x ) , yang dinamakan limit
x > −1→ −1
x → −1
kanan dari f(x). Definisi Limit kiri dari fungsi y = f(x), jika x menuju a, sama dengan b, ditulis Lim− f ( x ) = b X →a
artinya, untuk setiap bilangan yang cukup kecil ε > 0 selalu ada bilangan yang cukup kecil yang lain δ > 0, sedemikian rupa sehingga f(x) – b < ε jikax – a < δ, untuk x ≤ a. Sebaliknya Limit kanan dari fungsi y = f(x) jika x menuju a, sama dengan b, ditulis Lim f ( x ) = b
X →a +
artinya, untuk setiap bilangan yang cukup kecil ε > 0 selalu ada bilangan yang cukup kecil yang lain δ > 0, sedemikian rupa sehingga f(x) – b < ε jikax – a < δ, untuk x ≥ a. Dari deskripsi ini, perhitungan untuk limit kiri dan limit kanan sama dengan perhitungan untuk limit seperti yang telah dikemukakan. Dalam hal nilai limit kiri sama dengan limit kanan Lim− f ( x ) = Lim+ f ( x ) , x →a
x →a
maka dinamakan nilai limit fungsi ada, Lim− f ( x ) = Lim+ f ( x ) = Lim f ( x ) . x →a
x→a
x →a
91
Contoh 11 Jika diketahui fungsi y = f(x) yang didefinisikan seperti di bawah ini x +1 , jika x < −1 x −x−2 f (x ) = − 2 , jika x = −1 2 2 x + 3x + 1 , jika x > −1 Tg (x + 1) 2
maka hitunglah Lim f ( x ) ! x → −1
Jawab : Limit kiri : Lim f ( x ) = Lim
x → −1−1
x → −1
1 x +1 x +1 = Lim = Lim = 1+1 = 2 x → − 1 x → − 1 (x + 1)(x − 2) x +1 x −x+2 2
Limit kanan
2 x 2 + 3x + 1 (2x + 1)(x + 1) = Lim(2x + 1) Lim x + 1 = Lim x → −1 Tg (x + 1) ) x → −1 x → −1 x → −1 Tg ( x + 1) x → −1 Tg (x + 1) (x + 1) = (−1) Lim (x + 1)Cos(x + 1) = (2(−1) + 1) Lim x → −1 ( x +1)→0 Sin (x + 1) Sin ( x + 1) Cos(x + 1) (x + 1) Lim Cos(x + 1) = (−1)Cos0 = −1 = − Lim x → −1 Sin ( x + 1) x → −1 Lim+ f ( x ) = Lim
karena nilai limit kiri tidak sama dengan limit kanan, Lim f ( x )
Lim f ( x ) ,
x → −1−
x → −1+
maka Lim f ( x ) tidak dapat dihitung (tidak ada nilai limitnya). x → −1
III.4
Kekontinuan Fungsi
Sebuah fungsi y = f(x) disebut kontinu di titik x = a, jika dipenuhi tiga kondisi sebagai berikut : 1. nilai y = f(x) di x = a, f(a) ada (terdefinisikan) 2. nilai limit fungsi di x = a, ada, artinya Lim− f ( x ) = Lim+ f ( x ) = Lim f ( x ) x →a
3. Lim f ( x ) = f(a) x→a
92
x →a
x→a
Jika salah satu dari kondisi-kondisi tersebut tidak ada, maka dikatakan fungsi tidak kontinu (diskontinu). Secara ilmu ukur gambar fungsi tidak kontinu adalah seperti pada Gambar III.1. Y
Y y = f(x)
f(a)
a
•
f(a)
• X
y = f(x) X
a
(a)
(b) Y
y = f(x)
X (c) Gambar III.1 Fungsi-fungsi tidak kontinu (diskontinu) di x = a (a) : Lim f ( x ) tidak ada x→a
(b) : Lim f ( x ) ada tetapi Lim f ( x ) ≠ f(a) x→a
x→a
(c) : f(a) tidak ada (tidak didefinisikan)
Pada Gambar III.1 (a) fungsi dikatakan diskontinu loncat, Gambar III.1 (b) diskontinu
dapat dihapus, yaitu jika f(a) didefinisikan sama dengan Lim f ( x ) , dan Gambar III,1 (c) x→a
diskontinu murni.
93
Contoh 11. Selidiki apakah fungsi x2 −1 , jika x < −1 Cos(πx + π ) f (x) = − 2 , jika x = −1 , 2 2x + 6 x + 1 , jika x > −1 Sin (x + 1) kontinu di x = −1 ?
Jawab : Limit kiri
(x − 1)(x + 1) = Lim(x − 1) Lim x 2 −1 Lim− f ( x ) = Lim = Lim x → − 1 x → −1 x → −1 x → − 1 x → −1 Cos(πx + π) − Cosπx = ((−1) − 1) Lim
( x +1)→0
= − 2 Lim
( x +1)→ 0
(x + 1) − Sin − π x −
( x +1)→0
− Sin
1 π − πx 2
(x + 1)
= − 2 Lim
1 2
(x + 1)
Sinπ x + 1 − 1
1 2
(x + 1)
1 1 Sinπ(x + 1)Cos1 π − Cosπ(x + 1)Sin1 π 2 2
= − 2 Lim
(x + 1)
( x +1)→0 Sinπ
(x + 1).(−1) − Cosπ(x + 1).(0)
(x + 1) ( x +1)→ 0 Sinπ(x + 1)
= 2 Lim
= (2)(1) = 2
Limit kanan
2x 2 + 6x + 1 (2 x + 4)(x + 1) = Lim(2x + 4) Lim (x + 1) = Lim x → −1 Sin (x + 1) x → −1 x → −1 x → −1 Sin (x + 1) Sin (x + 1)
Lim+ f ( x ) = Lim
x → −1
(x + 1) = (2)(1) = 2 ( x +1)→ 0 Sin (x + 1)
= (2(−1) + 4 ) Lim
Karena Lim− f ( x ) = Lim+ f ( x ) = Lim f ( x ) = 2 tetapi tidak sama dengan f(−1) = −2 , maka x → −1
x → −1
x → −1
fungsi tidak kontinu di x = −1.
94
III.5.
Menghitung Limit Dengan Mathcad
Jika secara ”manual” perhitungan limit fungsi sulit dilakukan, maka dapat digunakan program Mathcad untuk menyelesaikannya. Misal menghitung Lim
x → −1
(x
)
− 1 Tg (x + 1) . x Log x +1
2
Jika disubtitusikan x = −1 ke fungsi yang dicari nilai limitnya, akan diperoleh bentuk tak tentu
0 . Merubah fungsi tersebut, untuk mendapatkan nilai limit yang bukan bentuk tak 0
tentu, proses aljabarnya tidak sederhana. Jika dihitung dengan menggunakan program Mathcad, prosesnya sebagai berikut. 1. “Jalankan” program Mathcad 2000, sehingga diperoleh tampilan
95
2. “Tutup” tampilan Resource Centre, sehingga diperoleh tampilan
3.
”Klik” operator limit pada fungsi Calculator (lihat tanda panah), sehingga diperoleh tampilan seperti di bawah ini. Selanjutnya tulis formulasi limit yang dicari.
Ketik,
(x
Ketik, −1
2
)
− 1 . tan (x + 1) x log x +1
Ketik, x
96
4. ”Klik” tanda → pada fungsi Evaluation . . . (lihat tanda panah)
Pada spreadsheet tersurat, Lim
(x
x → −1
)
− 1 Tg (x + 1) =0 x Log x +1
2
SOAL-SOAL UNTUK LATIHAN 1. Dengan menggunakan definisi limit, tunjukan bahwa (a) Lim
x −1 1 = x2 −1 2
(e) Lim
x +1 x −1 1 = 2 (f) Lim 2 = 0 (g) Lim x Sin = 1 (h) Lim x = a x →∞ x − 1 x →a x →∞ x x + x −1
x →1
x →1
(b) Lim x →1
Tg x =1 x
(c) Lim(x − 1) ln x = 0 x →1
(d) Lim x →1
x −1 =1 Sin ( x − 1)
2
2. Hitunglah
x −1 (b) Lim 2 x →1 x − 1
x 3 + x 2 − 8x + 3 (a) Lim x → −2 x 2 + 4x + 4 (e) Lim
x + 2x − 1 2
x →∞ 3
(i) Lim x→0
(f) Lim
x3 − x 2 + x −1
Tg x Sin 2x
x →1
{(
(c) Lim x →1
Sin ( x − 1) x 2 −1 1 −1 x
ln(x − 1) x 2 −1
(g) Lim
)
(k) Lim (1 − Sin x )
(j) Lim 1 − Cos 2 x Ctg 2 x x →0
1 3
97
}
x →∞
1 x→ π 2
xe x 2 −1
(d) Lim x →∞
(h) Lim x → −1
Sec 2 x Sec 2 − 1
x −1 x 2 −1
x2 − x − 2 x +1
3. Telaah kekontinuan dari fungsi-fingsi di bawah ini
x , jika x < 1 x 4 + 2x 2 − 3 x 2 + x −1 , jika x ≤ 0 2 (a) f ( x ) = (b) (c) f ( x ) = x , jika 0 ≤ x ≤ 1 f ( x ) = x +1 3 x +1 x +1 , jika x > 0 2 − x , jika x > 1 (d) f (x) =
x , jika x rasional - x , jika x irasional
(e) f(x) = x2 – 2x + 5
(f) f ( x ) = Sin
x2 −1 x +1
− 1 , jika x ≤ 0 4. Jika didefiniskan fungsi f ( x ) = ax + b, jika 0 < x < 1 , maka hitunglah nilai a dan b agar
1 , jika x ≥ 1 fungsi kontinu di mana-mana ! 5. Gambarkan grafik fungsi y = f(x), yang memiliki ciri : domainnya [0 , 6] ; f(0) = f(2) = f(4) = f(6) = 2 ; kontinu kecuali di x = 2 ; Lim− f ( x ) = 1 ; Lim+ f ( x ) = 3 . x →2
x →5
6. Tunjukan bahwa fungsi y = f(x) kontinu di x = c, jika dan hanya jika Lim f ( x + c) = f (c) x →0
7. Tunjukan bahwa jika fungsi y = f(x) kontinu di x = c dengan f(c) > 0, maka ada selang nilai (c−δ , c+δ) sedemikian rupa sehingga f(x) > 0 untuk setiap x dalam selang nilai tersebut. 8. Tunjukan bahwa nilai limit fungsi bersifat tunggal, artinya jika Lim f ( x ) = A dan x →a
Lim f ( x ) = B , maka A = B x →a
9. Tunjukan bahwa jika fungsi y = f(x) kontinu pada domain [0 , 1], dengan 0 ≤ f(x) ≤ 1 untuk setiap 0 ≤ x ≤ 1, maka fungsi memiliki titik tetap, yaitu ada nilai x = c, 0 ≤ c ≤ 1, sedemikian rupa sehingga f(c) = c. 10. Jika y = f(x) fungsi kontinu pada domain [a , b], dan A nilai dengan ciri f(a) ≤ A ≤ f(b), maka ada c dalam domain tersebut, sedemikian rupa sehingga f(c) = A.
(
11. Jika Lim g ( x ) = B dan y = f(x) fugsi kontinu di x = B, maka Lim fog ( x ) = f Lim(g ( x ) x →a
x →a
x →a
)
= B. Pernyataan ini identik dengan pernyataan, jika y = g(x) kontinu di x = a dan y = f(x) kontinu di x = g(a), maka y = fog(x) kontinu di x = a. Buktikanlah.
98
x 3 , jika x < -1 12. Perhatikan fungsi f ( x ) = x , jika - 1 < x < 1 1 - x , jika x ≥ 1
a) Apakah ada nilai x yang menyebabkan fungsi diskontinu ? b) Berapakah nilai f(a) agar fungsi kontinu di mana-mana ! 13. Perhatikan gambar fungsi y = f(x) di bawah ini Tentukan nilai limit, nilai fungsi,
Y
atau pernyataan, sehubungan dengan 4
hal-hal berikut
3
(a) Lim f ( x )
2
x → −1
1 X -4 -3
-2
-1
1
2
3
(b) f(2)
c) titik-titik di mana fungsi diskontinu loncat, dan diskontinu
4
dapat dihapus d) sifat fungsi pada domain [−4 , 2]
14. Jika fungsi-fungsi y = f(x), y = g(x), dan y = h(x), memiliki ciri f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk setiap x < c, x = c, x > c.
Jika Lim f ( x ) = Lim h ( x ) = A, maka Lim g ( x ) = A. x →c
Buktikanlah !
99
x →c
x →c
BAB IV TURUNAN ( DIFFERENSIASI ) Turunan atau diferensiasi dari sebuah fungsi merupakan hal khusus dari limit fungsi. Misalkan diketahui fungsi y = f(x). Jika
Lim h→0
f (x + h ) − f (x ) h
ada dan nilainya berhingga, maka
Lim h→0
f (x + h ) − f (x ) = f ′( x ) . h
Dalam hal ini f ′( x ) dinamakan turunan (diferensiasi) fungsi y = f(x). Tanda aksen ( ′ ) pada f ′( x ) dinamakan operator turunan atau diferensiasi. Banyaknya tanda aksen menyatakan orde atau tingkat dari turunan. Misalnya, f ′( x ) turunan orde pertama, f ′′(x) turunan orde kedua, dan seterusnya. Pernyataan f ′( x ) dapat juga disajikan oleh
df ( x ) dy df ( x ) dy atau , f ′( x ) = = . dx dx dx dx
Dalam hal ini dy dan dx, masing-masing dinamakan diferensial dari y dan x. d dinamakan
operator diferensial. Suatu fungsi yang memiliki turunan dinamakan diferensiabel, dan jika memiliki turunannya hanya pada beberapa titik pada domainnya, dinamakan
diferensiabel pada beberapa titik. Sedangkan jika pada seluruh domain fungsi dinamakan diferensiabel di mana-mana. Contoh 1 Jika f(x) = Sin x maka tentukan f ′( x ) !
Jawab : f(x) = Sin x f(x−h) = Sin (x+h) f(x+h) – f(x) = Sin (x+h) – Sin x = 2Sin ½{(x+h) – x}Cos ½{(x+h) + x} = 2Sin ½hCos (x +½h)
100
Lim h →0
f (x + h) − f (x) 2Sin 12 hCos( x + 12 h ) Sin 12 h = Lim = Lim Lim Cos( x + 1 2 h ) 1 h 0 h 0 h →0 → → h h 2h = (1)Cos x = Cos x,
yang merupakan fungsi dengan rangenya, Cos x ≤ 1. Hal ini berarti Lim h →0
f (x + h ) − f (x ) h
ada dan nilainya berhingga. Sehingga jika f(x) = Sin x, maka f ′( x ) = Cos x.
IV.1.
Arti turunan
Turunan dari sebuah fungsi adalah fungsi lagi. Sedangkan turunan pada sebuah titik, x = a, f ′(a ) , adalah koefisen arah garis singgung lengkungan y = f(x) di titik x = a.
Y
y = f(x) h f(a+h) f(a)
Ψ
ϕ a
a+h
f(a+h)-f(a)
X
Gambar IV.1 Arti ilmu ukur turunan pada sebuah titik f ′(a ) = Tg ϕ
Perhatikan Gambar IV.1. Berdasarkan goniometri,
f ( a + h ) − f (a ) = Tg Ψ. Sehingga h
jika h → 0 maka f(a+h) → f(a), dan Ψ → ϕ. Dan berdasarkan konsepsi turunan, f ′(a) = Lim h→0
f (a + h ) − f (a ) h
jika nilainya ada dan berhingga. Hal ini menyimpulkan bahwa f ′(a) =
Lim h→0
f (a + h ) − f (a ) = Lim Tgψ = Tg ϕ, h h→0
merupakan koefisien arah garis singung lengkungan y = f(x) di titik (a , f(a)). 101
Contoh 2. Tentukan persamaan garis singgung pada lengkungan y = Sin x di titik x = ¼π !
Jawab : Pada Contoh 1, telah ditunjukan bahwa, jika f(x) = Sin x maka f ′( x ) = Cos x. Untuk x = ¼π, f ′( 1 4 π) = Cos ¼π =
1
2
2 , dan Sin ¼π =
1
2
2.
Sehingga persamaan garis singgung yang dicari adalah, persamaan garis yang melalui titik (¼π ,
1
2 ) dengan koefisien arah
2
y−
IV.2.
1
2
2 =
1
2
1
2
2 , yaitu
2 (x − ¼π)
y=
1
2
2 x – (¼π -
1
2
2)
Dalil dasar untuk turunan
Menghitung turunan dengan menggunakan deskripsi turunan seperti yang telah dikemukan, jelas tidak efisien, walaupun selalu dapat dilakukan. perhitungan, dapat digunakan dalil-dalil untuk turunan seperti di bawah ini.
Dalil : 1. Jika f(x) = k , k : konstanta , maka f ′( x ) = 0
Bukti f(x) = k f(x+h) = k f(x+h) – f(x) = 0 Lim h →0
f (x + h) − f (x) 0 = Lim = 0 = f ′( x ) h → 0 h h
2. Jika f(x) = g(x) h(x) , maka f ′( x ) = g ′( x ) h(x) + h ′( x ) g(x)
Bukti f(x) = g(x) h(x) f(x+w) = g(x+w)h(x+w)
102
Untuk efisiensi
f(x+w) – f(x) = g(x+w)h(x+w) – g(x)h(x) = {g(x+w) – g(x)}h(x) +{h(x+w) – h(x)}g(x) − g(x+w)h(x) − h(x+w)g(x) + h(x)g(x) + g(x+w)h(x+w) = {g(x+w) – g(x)}h(x) +{h(x+w) – h(x)}g(x) + g(x+w){h(x+w) – h(x)}
− g(x){h(x+w) – h(x)} Lim w →0
f (x + w ) − f (x) {g ( x + w ) − g ( x )}h ( x ) {h ( x + w ) − h ( x )}g ( x ) = Lim + Lim w →0 w →0 w w w + Lim w →0
Lim w →0
g ( x + w ){h ( x + w ) − h ( x )} g ( x ){h ( x + w ) − h ( x )} − Lim w →0 w w
f (x + w ) − f (x) {g ( x + w ) − g ( x )} {h ( x + w ) − h ( x )} = Lim Lim h ( x ) + Lim Lim g ( x ) w →0 w →0 w →0 w →0 w w w {h ( x + w ) − h ( x )} w →0 w
+ Lim g ( x + w ) Lim w →0
{h ( x + w ) − h ( x )} w →0 w
− Lim g ( x ) Lim w →0
Sehingga jika nilai-nilai limitnya ada dan berhingga, maka f′(x) = g′(x)h(x) + h′(x)g′(x) + g(x)h′(x) – g(x)h′(x) = g′(x)h(x) + h′(x)g′(x) 3. Jika f(x) = kg(x) , k : konstanta , maka f ′( x ) = k g ′( x )
Bukti Gunakan analogi pembuktian Dalil 2, dengan membuat h(x) = k
4. Jika f(x) =
g ′( x )h ( x ) − h ′( x )g ( x ) g(x ) , h(x) ≠ 0 untuk setiap nilai x , maka f ′( x ) = h(x) {h ( x )}2
Bukti Gunakan analogi pembuktian Dalil 2, dengan menyajikan f(x) = g(x)
103
1 h(x)
5. Jika f(x) = g(x) + h(x) , maka f ′( x ) = g ′( x ) + h ′( x )
Bukti f(x) = g(x) + h(x) f(x+w) = g(x+w) + h(x+w) f(x+w) – f(x) = {g(x+w) + h(x+w)} – {g(x) + h(x)} = {g(x+w) – g(x)} + {h(x+w) – h(x)} Lim w →0
f (x + w ) − f (x) g(x + w ) − g( x ) h (x + w ) − h(x) = Lim + Lim w →0 w →0 w w w
Jika nilai-nilai limitnya ada dan berhingga, maka f′(x) = g′(x) + h′(x) 6. Jika f(x) = goh(x) , fungsi komposisi , maka f ′( x ) = g ′{h ( x )}h ′( x )
Bukti f(x) = goh(x) = g{h(x)} f(x+w) = goh(x+w) = g{h(x+w)} = f(x+w) – f(x) = g{h(x+w)} – g{h(x)} = [g{h(x) + w} – g{h(x)}]
Lim w →0
f (x + w ) − f (x) = Lim w →0 w
= Lim w →0
[g{h ( x ) + w} − g{h ( x )}] w
h(x + w ) − h(x) w
h( x +) − h (x ) w
g{h ( x ) + w} − g{h ( x )} h(x + w ) − h(x) Lim w →0 w x
Sehingga jika nilai-nilai limitnya ada dan berhingga, maka f′(x) = g′{h(x)}h′(x). 7. Jika f(x) = xn maka f ′( x ) = (n-1) xn-1
Bukti f(x) = xn f(x+h) = (x+h)n =
n i=0
f(x+h) – f(x) =
n i=0
n i
n i
x n −i h i
x n −i h i -xn =
n i =1
n i
x n −i h i
104
n
Lim h →0
f (x + h) − f (x) = Lim h →0 h
i =1
n
x n −i h i
i
= Lim (n − 1) x n −1 +
h
h →0
n
x n −i h i −1
i=2
= (n−1)xn-1 = f′(x) 8. Jika f(x) =Sin x maka f ′( x ) =Cos x, dan jika f(x) = Cos x maka f ′( x ) = −Sin x
Bukti Untuk f(x) = Sin x, perhatikan pembuktian Contoh 1, sedangkan untuk f(x) = Cos x, gunakan analoginya. f(x) = Cos x f(x+h) = Cos(x+h) 1 1 f(x+h) – f(x) = Cos(x+h)–Cos x = −2Sin (x+h+x)Sin (x+h−x) 2 2 1 1 = −2Sin(x+ h)Sin h 2 2 Lim h →0
f (x + h) − f (x) = Lim h →0 h
1 1 1 h )Sin h Sin h 2 2 = − Lim Sin ( x + 1 h ) Lim 2 h →0 h 2 h →0 h
− 2Sin ( x +
= −Sin (x +
1 (0))(1) = −Sin x, yang merupakan fungsi dengan 2
range Sin x ≤ 1. Hal ini berarti Lim h →0
f (x + h) − f (x) ada dan berhingga, sehingga f′(x) = −Sin x. h
9. Jika f(x) = ex , e bilangan irasional maka f ′( x ) = ex , sedangkan jika f(x) = ax , a > 0, a ≠ e maka f ′( x ) = ax ln(a).
Bukti f(x) = ex f(x+h) = ex+h f(x+h) – f(x) = ex+h – ex = exeh – ex = ex(eh – 1)
105
Lim h →0
f (x + h) − f (x) e x (e h − 1) eh −1 = Lim = e x Lim = ex.1 = ex = f′(x). h → 0 h → 0 h h h
Untuk f(x) = ax Karena a > 0, maka ax = ex ln(a) = eg(x) , dengan g(x) = x.ln(a). Dengan menggunakan Dalil 6 dan 7, maka f′(x) = (eg(x)}′ = eg(x)g′(x) = ax{x1-1ln(x)} = axln(a)
10. Jika f(x) = ln x maka f ′( x ) =
1 1 = x-1, sedangkan jika f(x) = log x maka f ′( x ) = . x x ln 10
Bukti f(x) = ln x ⇔ x = ef(x) Gunakan Dalil 6 dan 7 (x)′ = (ef(x))′ f(x) = log x =
x1-1 = ef(x)f′(x) ln(x ) ln(10)
f′(x) =
1 = x f′(x)
f′(x) =
1 = x-1 x
1 1 1 1 (ln x)′ = = ln(10) ln(10) x x ln 10
Beberapa contoh perhitungan turunan fungsi.
Contoh 3. Jika f(x) = 2x2Sin x + 3x2 –2x – 3xCos x , maka tentukan f ′( x ) !
Jawab : f ′( x ) = (2x2)′Sin x + 2x2(Sin x)′ + (3x2) – (2x) –{(3x)′Cos x + 3x(Cos x)′} = 2.2x2-1Sin x + 2x2.Cos x + 3.2x2-1 – 2x1-1 – (3x1-1Cos x + 3x.-Sin x) = 4xSin x + 2x2Cos x + 6x – 2 –3Cos x + 3xSin x
106
Contoh 4. Jika f(x) = Tg x maka tentukan f ′( x ) !
Jawab : Sin x f ′( x ) = Cos x
′ =
(Sin x )′ Cos x − (Cos x )′ Sin x = (Sin x )′ Cos x − (Cos x )′ Sin x (Cos x )2 (Cos x )2
Cos x. Cos x - (-Sin x)Sin x Cos 2 x + Sin 2 x 1 = = = = Sec2 x 2 2 2 Cos x Cos x Cos x
Contoh 5. Jika f(x) = log(2x2 – 3x + 1) maka tentukan f ′( x ) !
Jawab : Karena f(x) = log(2x2 – 3x + 1) merupakan fungsi komposisi f(x) = g(h(x)) dengan h(x) = 2x2 – 3x + 1 dan g(x) = log(x) maka f ′( x ) = g ′(h ( x ))h ′( x ) = =
′ 1 2 x 2 − 3x + 1 2 x − 3x + 1 ln 10
(
)
2
(
)
1 4x − 3 2.2 x 2−1 − 3x 1−1 + 0 = 2 2 x − 3x + 1 ln 10 2 x − 3x + 1 ln 10
(
2
(
)
)
(
)
Contoh 6. Jika f(x) = (4x3 – 2x2 + 3x)6Ctg(3x2 – 2x) maka tentukan f ′( x ) !
Jawab : fungsi ini merupakan perkalian dari dua fungsi komposisi, f(x) = g(h(x)).i(j(x)), g(h(x)) : h(x) = 4x3 − 2x2 + 3x , g(x) = x6 i(j(x)) : j(x) = 3x2 – 2x , i(x) = Ctg(x) sehingga
((
f ′( x ) = 4 x 3 − 2 x 2 + 3x
) ) Ctg(3x 6
′
2
) (
− 2 x + 4 x 3 − 2 x 2 + 3x 107
) (Ctg(3x 6
2
− 2x
))′
(
= 6 4 x 3 − 2 x 2 + 3x
) (4x 6 −1
3
′ − 2 x 2 + 3x Ctg 3x 2 − 2 x
)
(
)
(
+ 4x 3 − 2x 2 + 3
(
= 6 4 x 3 − 2 x 2 + 3x + (4 x 3 − 2 x 2 + 3)
(
) (4.3x 5
3−1
(Cos(3x
2
) (
− 2.2 x 2−1 + 3x 1−1 Ctg 3x 2 − 2 x ′
))
(
) ( ( (Sin (3x − 2x ))
2 2
)′ )
− 2x − 2x
) ′
))
(
− 2 x Sin 3x − 2 x − Sin 3x − 2 x Cos 3x − 2 x 2
)(
) (
5
= 6 4 x 3 − 2 x 2 + 3x 12 x 2 − 4 x + 3 Ctg 3x 2 − 2 x
(
2
2
2
+ (4 x 3 − 2 x 2 + 3)
) Cos(3x Sin (3x
2
)
(
)
(
)
(
′ − Cos 3x 2 − 2 x 3x 2 − 2x Cos 3x 2 − 2 x
(
(
)(
)(
) (
5
= 6 4 x 3 − 2 x 2 + 3x 12 x 2 − 4 x + 3 Ctg 3x 2 − 2 x + (4 x 3 − 2 x 2 + 3)
)
(
(
)
( (
)
(
)(
) (
5
= 6 4 x 3 − 2 x 2 + 3x 12 x 2 − 4 x + 3 Ctg 3x 2 − 2 x + (4 x 3 − 2 x 2 + 3)
)
(
(
)
))
)
1 (6x − 2)(− Sin 2 (3x 2 − 2x ) − Cos 2 (3x 2 − 2x )) Sin (3x 2 − 2 x ) 2
(
)( 5
) (
)
(
)(
) (
)
= 6 4 x 3 − 2 x 2 + 3x 12 x 2 − 4 x + 3 Ctg 3x 2 − 2 x + (4 x 3 − 2 x 2 + 3) 5
)
1 − 3.2 x 2 −1 − 2 x 1−1 Sin 2 3x 2 − 2 x Sin 3x 2 − 2x 2
)
)
− 3.2 x 2 −1 − 2 x 1−1 Cos 2 3x 2 − 2x
(
)
1 − Sin 3x 2 − 2 x (3x 2 − 2 x ) ′Sin 3x 2 − 2 x Sin 3x 2 − 2 x 2
′
= 6 4 x 3 − 2 x 2 + 3x 12 x 2 − 4 x + 3 Ctg 3x 2 − 2 x
(
− (6x − 2 ) Sin 2 (3x 2 − 2 x )
)
(
− 4x 3 − 2 x 2 + 3 (6x − 2 )Co sec 2 3x 2 − 2x
IV.3.
)
Turunan Fungsi Implisit
Untuk menghitung turunan dari fungsi implisit dapat dilakukan dengan menggunakan operator diferensial, d, yang prosesnya mengikuti dalil-dalil turunan.
108
Contoh 7. Tentukan y′ dari 2xy2 – 3x – 4y + x2y = −5
Jawab : Jika digunakan operator diferensial d pada kedua ruas, maka diperoleh d(2xy2 – 3x – 4y + x2y) = d(−5) d(2xy2) – d(3x) – d(4y) + d(x2y) = 0 2{d(x).y2 + x.d(y2)} – 3d(x) – 4d(y) + {d(x2).y + x2.d(y)} = 0 2y2dx +2x.2y2-1dy – 3dx – 4dy + 2x2-1dx.y + x2dy = 0 2y2dx +4xydy – 3dx – 4dy + 2xydx + x2dy = 0, selanjutnya kumpulkan suku-suku yang memiliki operator dx dengan dy, secara terpisah, sehingga diperoleh (2y2dx – 3dx + 2xydx) + (4xydy – 4dy + x2dy) = 0 (2y2 – 3 + 2xy)dx + (4xy – 4 + x2)dy = 0 (4xy – 4 + x2)dy = − (2y2 – 3 + 2xy)dx
( (
)
− 2 y 2 − 3 + 2 xy 2 y 2 + 2 xy − 3 dy = − = y′ = dx 4 xy − 4 + x 2 4 xy + x 2 − 4
IV.4.
)
Turunan dan Kekontinuan Fungsi
Pada Bab III sudah dikemukakan, fungsi y = f(x) kontinu di titik x = a jika dipenuhi tiga kondisi yaitu, 1. f(a) terdefinisikan (ada nilainya), 2. Lim f ( x ) ada, x→a
3. Lim f ( x ) = f(a). x→a
Berdasarkan deskripsi turunan fungsi pada sebuah titik, x = a, f ′(a ) = Lim h→0 jika nilainya ada dan berhingga.
f (a + h ) − f (a ) h
Karena f′(a) adalah koefisien arah garis singgung
lengkungan di titik x = a, maka syarat perlu sebuah fungsi diferensiabel di titik x = a adalah, fungsi harus kontinu di titik tersebut. Tetapi sebaliknya tidak selalu berlaku. Artinya, jika
109
sebuah fungsi kontinu di titik x = a, maka fungsi tersebut belum tentu diferensiabel di titik itu. Sebagai contoh, fungsi nilai mutlak, y = x. Fungsi ini kontinu di titik x = 0, tetapi tidak diferensiabel di titik tersebut, sebab : 1. Nilai pada x = 0, 0 = 0 2. Limit kirinya, Lim x = Lim − x = 0 x→0 x → 0−
3. Limit kanannya Lim x = Lim x = 0 x→0 x → 0+ Ketiga kondisi tersebut, menyatakan
Lim f ( x ) = Lim f ( x ) = Lim f ( x ) = 0, x→0 x → 0− x → 0+
yang berarti fungsi y = x kontinu di x = 0. 4. Nilai turunan di x = 0, f ′(0) = Lim h→0
1 , jika h > 0
= Hal
0+h − 0 h f ( 0 + h ) − f ( 0) = Lim = Lim h h h→0 h→0 h
- 1 , jika h < 0 ini
Lim h → 0−
menunjukan
bahwa,
Lim h → 0+
f ( 0 + h ) − f ( 0) h
=
1,
sedangkan
f ( 0 + h ) − f ( 0) = −1. Yang berarti, h Lim h → 0+
atau Lim h→0
f ( 0 + h ) − f ( 0) h
Lim h → 0−
f ( 0 + h ) − f ( 0) h
f ( 0 + h ) − f ( 0) tidak ada. h
Dari keempat kondisi tersebut menyatakan bahwa fungsi y = x tidak diferensiabel di x = 0.
110
Y y = x
X
O = (0,0) Gambar IV.2 Grafik fungsi y = x
Pada Gambar IV.2 terlihat bahwa fungsi y = x kontinu di x = 0, tetapi tidak dapat dibuat garis singgung di titik tersebut, karena grafik fungsi membangun sebuah sudut. Kesimpulan dari sajian ini adalah : Untuk menelaah apakah fungsi y = f(x) kontnu di x = a, maka telaah apakah fungsi diferensiabel di titik tersebut ? Artinya, apakah f′(a) nilainya terdefinisikan ?
IV.5.
Turunan Orde Tinggi
Pada awal dari bab ini telah dikemukan bahwa, jika berhingga, maka Lim h→0
Lim h→0
f (x + h ) − f (x ) ada dan h
f (x + h ) − f (x ) = f ′(x). Dalam hal ini f ′(x) dinamakan turunan h
orde pertama. Orde turunan ini dapat dikembangkan sehingga diperoleh turunan orde tinggi. Konsepsinya Lim h→0
dapat
menggunakan
analogi
dari
turunan
pertama.
Jika
f ′( x + h ) − f ′( x ) f ′( x + h ) − f ′( x ) ada dan berhingga, maka Lim = f ′′(x) = (f ′(x))′. h h h→0
Analog, jika Lim h→0
f ′′( x + h ) − f ′′( x ) ada dan berhigga, maka h Lim h→0
f ′′( x + h ) − f ′′( x ) = f ′′′(x) = (f ′′(x))′ h
Dan seterusnya f (n)(x) = (f (n-1)(x))′. 111
Contoh 8. Jika f(x) = 2x2 – 3x + 1 , maka tentukan f ′′(x) dan f ′′′(x) !
Jawab : f ′(x) = 2.2x2-1 – 3x1-1 + 0 = 4x – 3 f ′′(x) = (f ′(x))′ = 4x1-1 – 0 = 4 f ′′′(x) = (f ′′(x))′ = 0
IV.6.
Nilai Ekstrim
Perhatikan fungsi y = f(x) pada domain interval tertutup, [a , b], dengan grafiknya seperti di bawah ini.
Y y = f(x) x3 a
x1
x2
x4
b
X
Gambar IV.3 Titik-titik ekstrim fungsi
Gambar IV.3 menyajikan bahwa fungsi y = f(x) dalam selang tutup [a , b], memiliki nilai
minimum lokal di x = x1, maksimum lokal di x = x2, minimum mutlak di x = x3, dan maksimum mutlak di x = x4. Nilai-nilai maksimum dan minimum, baik lokal maupun mutlak, dinamakan nilai ekstrim.
112
Definisi 1. Ekstrim mutlak Fungsi y = f(x) yang didefinisikan dalam selang tutup [a , b] mencapai nilai maksimum
mutlak di x = x0, a ≤ x0 ≤ b, jika untuk setiap a ≤ x ≤ b dan x ≠ x0, maka f(x0) ≥ f(x). Sedangkan mencapai minimum mutlak jika f(x0) ≤ f(x).
2. Ekstrim lokal Fungsi y = f(x) yang didefinisikan dalam selang tutup [a , b] mencapai nilai maksimum
lokal di x = x0 , a ≤ x0 ≤ b, jika untuk setiap c ≤ x ≤ d dengan a ≤ c ≤ d ≤ b dan x ≠ x0, maka f(x0) ≥ f(x). Sedangkan mencapai minimum mutlak jika f(x0) ≤ f(x). Pada Gambar IV.3 terlihat bahwa, garis-garis singgung pada titik-titik ekstrim selalu sejajar dengan sumbu-X. Hal ini berarti koefisien arah garis singgung pada titik ekstrim selalu sama dengan 0. Jika hal ini dikaitkan dengan turunan fungsi pada sebuah titik, maka fungsi y = f(x) memiliki nilai ekstrim di x = x0, jika f ′(x0) = 0. Untuk menentukan jenis ekstrimnya, dapat ditelaah dari tanda turunan kedua di titik tersebut, f ′′(x0). 1. Jika f ′′(x0) > 0, maka titik ekstrim adalah titik minimum (lokal atau mutlak), dan jika
f ′′(x0) < 0, adalah titik maksimum (lokal atau mutlak). 2. Jika f ′′(x0) = 0, maka harus dilakukan telaahan tanda dari f ′(x) di sekitar x = x0. 2.1. Jika f ′(x) > 0 untuk x < x0 , dan f ′(x) < 0 untuk x > x0 , maka titik x = x0 merupakan titik maksimum. 2.2. Jika f ′(x) < 0 untuk x < x0 , dan f ′(x) > 0 untuk x > x0 , maka titik x = x0 merupakan titik minimum. 2.3. Jika tanda f ′(x) tidak berubah untuk x < x0 maupun x > x0 , maka titik adalah titik belok.
113
x = x0
Y
Y
y = f(x)
y = f(x)
X
x0
x0
X
Gambar IV.4 Titik x = x0 titik belok fungsi y = f(x)
Titik ekstrim dan titik belok biasa dinamakan titik stasioner.
Contoh 9. Tentukan titik-titik stasioner dari fungsi y = x4 + 4x3 – 8x2 !
Jawab : y ′ = 4x4-1 + 4.3x3-1 – 8.2x2-1 = 4x3 + 12x2 – 16x = 0 4x(x2 + 3x – 4) = 0 4x(x + 4)(x – 1) = 0 4x = 0
x=0
x+4=0
x=−4
x–1=0
x=1
Ada tiga buak titik stasioner pada x = 0, x = − 4 dan x = 1. Untuk menelaah jenisnya, tentukan turunan kedua, dan telaahan tanda untuk nilai-nilai x tersebut. y ′′ = 4.3x3-1 + 12.2x2-1 – 16x1-1 = 12x2 + 21x – 16 Untuk 1) x = 0
y ′′= 12x2 + 21x – 16
y ′′(0) = 12(0)2 + 21(0) – 16 = −16 < 0. Fungsi
memiliki nilai maksimum di x = 0. Nilai maksimumnya, x = 0
y = x4 + 4x3 – 8x2 y(0) = (0)4 + 4(0)3 – 8(0)2 = 0.
Koordinat titik maksimumnya, (0 , 0).
114
y ′′= 12x2 + 21x – 16
2) x = − 4
y ′′(4) = 12(− 4)2 + 21(−4) – 16 = 98 > 0. Fungsi
memiliki nilai minimum di x = 0. Nilai minimumnya, x = − 4
y = x4 + 4x3 – 8x2 y(− 4) = (− 4)4 + 4(− 4)3 – 8(− 4)2 = −128.
Koordinat titik minimumnya, (-4 , -128). y ′′= 12x2 + 21x – 16
3) 3x = 1
y ′′(1) = 12(1)2 + 21(1) – 16 = 17 > 0. Fungsi
memiliki nilai minimum di x = 1. Nilai minimumnya, x = 1
y = x4 + 4x3 – 8x2 y(1) = (1)4 + 4(1)3 – 8(1)2 = −3.
Koordinat titik minimumnya, (1 , -3). 13.96
Contoh 10 Tunjukan bahwa titik O = (0 , 0) merupakan titik belok fungsi y = x
6.98
3
Jawab :
f( x)
y′ = 3x2 = 0 y′′ = 6x
⇔
x=0
10
5
y′′(0) = 0 :
0
5
10
6.98
Kesimpulan tentang jenis titik stasioner harus dilakukan 13.96
dengan memperhatikan tanda dari y′ di sekitar x = 0.
x
Perhatikan y′ = 3x2. Untuk x < 0 dan x > 0, y′ > 0. Hal ini menunjukan bahwa titik (0 , 0) adalah titik belok. 11.81
IV.7.
Beberapa Penggunaan Turunan
5.91
1. Garis singgung lengkungan
f(x)
Contoh 11.
g(x)
Tentukan
persamaan
garis
singgung
lengkungan
x +1 y= , x ≠ 1 , di titik (2 , 3) ! x −1
10
5
0 5.91
11.81
115
x
5
10
Jawab : y′= =
( x + 1)′( x − 1) − ( x − 1)′( x + 1)
(( x − 1))2
=
( x 1−1 + 0)( x − 1) − ( x 1−1 − 0)( x + 1) ( x − 1) − ( x + 1) = ( x − 1) 2 ( x − 1) 2
−1 −1 . Subtitusikan x = 2 ke y ′ = 2 ( x − 1) ( x − 1) 2
y ′(2) =
−1 = −1. (2 − 1) 2
Jadi persaman garis singgung lengkungan yang dicari adalah, persamaan garis yang melalui titik (2 , 3) dengan koefisien arah –1. y = −x +2 +3
Persamaannya : y – (3) = (−1){x – (2)}
y = −x +5
Contoh 12. Selidiki apakah garis 2x–3y+6 = 0 menyinggung
8.05
hiperbola 9x2–4y2–54x+16y–34 = 0 ? Jika menyinggung, tentukan titik singgungnya !
2x–3y+6 = 0
⇔
gx ()
2 y= x−2 3
Koefisien arah garis : a =
4.03
f(x)
Jawab :
hx ()
2 (1) 3
10
5
0
5
10
4.03 8.05
Diferensiasi hiperbola d(9x2–4y2–54x+16y–34) = 0
x
18xdx–8ydy–54dx+16dy = 0 (18x–54)dx – (8y–16)dy = 0 (18x–54)dx = (8y–16)dy
y′ =
dy 18x − 54 = dx 8 y − 16
(2)
Persamakan a (1) dengan y′ (2) 2 18x − 54 = 8 y − 16 3
54x – 162 = 16y – 32
54x – 16y – 130 = 0 ⇔ 27x – 8y – 65 = 0
Karena 27x – 8y – 65 = 0 tidak sama dengan 2x–3y+6 = 0, maka garis : 2x–3y+6 = 0 tidak menyinggung hiperbola : 9x2–4y2–54x+16y–34 = 0. Untuk lebih jelas perhatikan gambar posisi garis terhadap parabola yang telah disajikan di atas. 116
Contoh 13. Tentukan persamaan asimtut hiperbola 2
16.11
2
9x –4y –54x+16y–34 = 0
Jawab :
8.05
Misalkan persamaannya y = ax + b
f( x)
Sudah ditunjukan, diferensiasi hiperbola
g( x)
9x2–4y2–54x+16y–34 = 0 adalah,
h( x)
y′ =
10
5
0
5
10
i( x)
18x − 54 . 8 y − 16
8.05
Karena asimtut identik dengan garis singgung sekawan, maka a dapat dipersamakan dengan y′, sehingga 18x − 54 =a 8 y − 16 y=
16.11 x
18x – 54 = 8ay – 16a
18 16a − 54 x+ . 8a 8a
Jika dipersamakan dengan y = ax + b, maka diperoleh persamaan
9 Yang jawabanya, a2 = 4
18 16a − 54 = a dan = b. 8a 8a
5 3 − , jika a = 3 2 2 . Sehingga persamaan a=± dan b = 3 13 2 , jika a = − 2 2
3 5 x− 2 asimtutnya y = 2 3 13 − + 2 2 2. Nilai stasioner Contoh 14. Sebuah kertas dengan luas 2 m2 ingin dibuat poster. Poster tersebut harus terletak 21 cm di bawah sisi atas, 21 cm di atas sisi bawah, 14 cm dari sisi kri, dan 14 cm dari sisi kanan kertas. Tentukan ukuran kertas dan poster dengan luas bidangnya yang maksimum ?
117
Jawab : Jika dimisalkan panjang kertas : x meter dan lebarnya : y meter, dan luas kertas 2 m2, maka diperoleh hubungan : xy = 2 atau y =
2 . x
21 cm
Untuk bidang poster, panjang (x–0,28) m, lebar (y–0,42) m = (
2 −0,42) m, x
L = (x – 0,28)(
14 cm
21 cm
sehingga luas bidang poster : 2 – 0,42). x
21 cm
Mencari luas yang maksimum : L = (x – 0,28)(
2 – 0,42) x
L′ = (x – 0,28)′( = (x1-1 – 0)( =(
2 2 – 0,42) + (x – 0,28)( – 0,42)′ x x 2 – 0,42) + (x – 0,28)(2.−1x-1-1 – 0) x
2 2 2 2 0,56 0,56 – 0,42) + (x – 0,28)(− 2 ) = − 0,42 − + 2 = 2 − 0,42 x x x x x x
Syarat agar nilai L maksimum, L′ = 0 dan L′′ < 0, − 0,42(x2 −
56 56 ) = 0 ⇔ (x2 − )=0 42 42
0,56 − 0,42 = 0 x2
⇔ x2 =
56 42
x=
0,56 – 0,42x2 = 0
56 2 = 3 (karena 42 3
domain harus merupakan bilangan real positif). L ′′ = 0,56.−2x-2-1 – 0 = −
1,12 2 > 0, untuk setiap x. Jadi x = 3 memaksimumkan L. 2 3 x
Sehingga ukuran kertas : panjang =
panjang = (
2 2 3 m , lebar = m= 2 3 3 3
2 3 - 0,28) m dan lebar = ( 3 - 0,42) m. 3 118
3 m, dan ukuran poster :
Contoh 15. Sebuah kotak tanpa tutup dibuat dari sebuah karton tebal berukuran 24 x 9 cm2. Tentukan ukuran kotak agar volumenya paling besar ?
Jawab : x
Jika tinggi kotak x cm, maka volumenya v(x) = (24 – 2x)(9 – 2x)(x) cm3
9 – 2x
= 4x3 – 66x2 + 216x
x
v′(x) = 12x2 – 132x + 216 v′(x) = 0 x=
24 – 2x
x
x
12(x – 9)(x – 2) = 0 9 12
v′′(x) = 24x – 132 Subtitusikan : x = 9 ke v′′(x) x = 12 ke v′′(x)
v′′(9) = (24)(9) – 132 = 84 > 0.
x meminimumkan v(x)
v′′(12) = (24)(12) – 132 = 156 > 0
x meminimumkan v(x)
Berdasarkan hasil perhitungan disimpulkan bahwa, tidak ada kotak yang dapat dibuat dengan volume maksimum. Tetapi jika menelaah dari denah pembuatan kotak, x harus memenuhi ciri, 0 < x < (9) : (2) = 4,5. Karena x = 9 > 4,5, maka sebagai nilai kritis untuk v(x) adalah x = 0, x = 2, dan x = 4,5. Jika disubtitusikan x = 0 ke v(x)
v(0) = 4(0)3 – 66(0)2 + 216(0) = 0
x = 2 ke v(x)
v(2) = 4(2)3 – 66(2)2 + 216(2) = 200
x = 4,5 ke v(x)
v(4,5) = 4(4,5)3 – 66(4,5)2 + 216(4,5) = 0
maka volume maksimum kotak adalah 200 cm3, dengan ukuran (24 – 2.2)(9 – 2.2)(2) = 20 x 5 x 2 cm3
119
Contoh 16 Tentukan ukuran selinder dalam kerucut yang memiliki volume terbesar !
Jawab : Misalkan tinggi kerucut a dan jari-jari bidang alasnya b, dengan a dan b konstan. Jika tinggi selinder t dan jari-jari bidang a
alasanya r, maka volumenya v = πr2t dengan menggunakan kesamaan segitiga
r
a−t r = a b
t b
⇔
t =
a–t=
ar b
ab − ar a (b − r ) = , subtitusikan ke b b
v = πr2t sehingga diperoleh v(r) = πr2 v′(r) = π v′(r) = 0
π
a (b − r ) b
a (2br – 3r2) b
a (2br – 3r2) = 0 ⇔ (2br – 3r2) = 0 b
Karena r = 0 tidak mungkin dipilih, maka subtitusikan r = sehingga ukuran selinder : tinggi, t =
ar b
t=a−
(r)(2b −3r) = 0
0 r = 2b 3
2b ar ke t = a − 3 b
t=
1 a, 3
1 2 a, jari-jari bidang alas, r = b. Dengan a dan b, 3 3
masing-masing tinggi dan jari-jari bidang alas kerucut, yang merupakan konstanta
3. Gerak benda. Contoh 17. Sebuah benda bergerak pada garis lurus dengan persamaan gerak s = t3 – 6t2 + 9t + 4 , dengan s : panjang jalan yang ditempuh (satuan dalam m), dan t : waktu tempuh (satuan dalam detik). Tentukan kecepatan dan percepatan benda setelah bergerak 5 detik !
120
Jawab : Dalam ilmu fisika, kecepatan adalah rasio jarak tempuh dengan waktu tempuh, dan percepatan rasio kecepatan dengan waktu tempuh. Secara matematis, kecepatan : v =
ds = 3t3-1 – 6.2t2-1 + 9t1-1 + 0 = 3t2 – 12t + 9 dt
percepatan : a =
dv = 3.2t2-1 – 12t1-1 + 0 = 6t – 12 dt
Sehingga setelah bergerak 5 detik, kecepatan gerak benda : t = 5
v = 3t2 – 12t + 9 v(5) = 3(5)2 – 12(5) + 9 = 24 m/det
percepatannya : t = 5
a = 6t – 12
a(5) = 6(5) – 12 = 18 m/det2
Contoh 18. Sebuah pesawat, terbang berdasarkan persamaan x km
gerak lurus beraturan dengan percepatan tetap 100 km/jam2.
1 km ϕ
Pada
saat
seseorang
melihatnya,
ketinggian pesawat 1 km dari orang tersebut dengan kecepatan 240 km/jam, dan telah terbang selama 30 menit. Jika setelah 6 menit sudut pandang orang pada pesawat sebesar ϕ, dengan Tg ϕ = 20, maka tentukan persamaan gerak pesawat ?
Jawab : Dalam ilmu fisika persamaan gerak benda dengan percepatan tetap adalah s(t) = at2 + bt + c. Kecepatan pada saat t, v(t) = s′(t) = 2at + b, dan percepatannya a(t) = v′(t) = s′′(t) = 2a. Percepatan pesawat tetap 100 km/jam2, jadi 2a = 100
a = 50
Setelah terbang 30 menit (0,5 jam), kecepatan pesawat sama dengan 240 km/jam, v(0,5) = 100(0,5) + b = 240
b = 190
121
Setelah 6 menit (0,1 jam) sudut pandang menjadi ϕ, dengan Tg ϕ = 20 =
x 1
x = 20 , yang merupakan jarak tempuh pesawat setelah terbang 6 menit (0,1 jam) Subtitusikan x = 20, a = 50, b = 190 dan t = 0,1, ke persamaan gerak s(t) = at2 + bt + c 20 = 50(0,1)2 + 190(0,1) + c
c = 0,5
Jadi persamaan gerak pesawat, s(t) = 50t2 + 190t + 0,5
Y
4. Sketsa grafik Contoh 19. Gambarkan sketsa grafik fungsi y = 2x4 – 2x3 – x2 !
Jawab :
(½-½√ √3,0)
X (½+½√ √3,0 )
(0,0)
3 (-¼,- 128 )
Titik ekstrim grafik : y = 2x4 – 2x3 – x2 y ′ = 2.4x
4-1
– 2.3x
(1,− −1) 3-1
– 2x
2-1
3
2
= 8x – 6x – 2x = 0
2x(4x2 – 3x – 1) = 0 Sketsa “manual”
2x(4x + 1)(x – 1) = 0 2x = 0
x=0
4x + 1 = 0 x–1=0
x=−¼
0.37
0.42
x=1
y ′′= 8.3x3-1 – 6.2x2-1 – 2x1-1 = 24x2 – 12x – 2 x=0
y ′′ : y ′′(0) = 24(0)2 – 12(0) – 2 = -2 < 0 , di titik x = 0 fungsi mencapai nilai maksimum.
f(x)
0.5
Nnilai maksimumnya x=0 x = -¼
y : y(0) = 2(0)4 – 2(0)3 – (0)2 = 0
y ′′ : y ′′(0) = 24(-¼)2 – 12(-¼) – 2 = 2½ > 0
1
di titik x = -¼ fungsi mencapai nilai minimum.
Sketsax Mathcad
nilai minimumnya x = -¼
y : y(-¼) = 2(-¼)4 – 2(-¼)3 – (-¼)2 = −
122
3 128
1.21
x=1
y ′′ : y ′′(1) = 24(1)2 – 12(1) – 2 = 10 > 0 , di titik x = 1 fungsi mencapai nilai minimum. y : y(1) = 2(1)4 – 2(1)3 – (1)2 = −1
Nilai minimumnya x = 1 Titik potong dengan sumbu koordinat 1. dengan sumbu-Y : x=0
y : y(0) = 0
koordinat titik potong : (0 , 0)
2. dengan sumbu-X : y=0
2x4 – 2x3 – x2 = 0 x2 = 0
x=0
2x2 – 2x – 1 = 0 x 1, 2 =
x2(2x2 – 2x – 1) = 0 D = (-2)2 – 4(2)(-1) = 12 > 0 , ada dua jawab real
− (−2) ± 12 2 ± 2 3 1 ± 3 = = 2( 2) 4 2
x1 = ½ + ½ 3 dan x2 = ½ - ½ 3
koordinat titik-titik potongnya : (0 , 0) , (½ + ½ 3 , 0) , (½ - ½ 3 , 0)
5. Dalil L’Hospital Dalil Jika a bilangan riil, f(x), g(x) ≠ 0 fungsi memiliki turunan pada setiap order di x = a, maka untuk semua nilai x dalam selang 0 <x - a< δ, δ bilangan yang cukup kecil, berlaku hubungan Lim x →a
f (x ) f ′( x ) f ′′( x ) f (k ) (x ) = Lim = Lim = . . . = Lim ( k ) x →a g x →a g ′( x ) x →a g ′′( x ) g( x ) (x)
Dalil ini digunakan untuk menghitung limit dari rasio dua fungsi yang menghasilkan nilainilai tak tentu, tetapi bentuk fungsinya sulit untuk diubah menjadi bentuk fungsi yang menghasilkan nilai limit dengan nilai yang bukan nilai tak tentu.
123
Contoh 20. x + Sin x x − Sin x
Hitunglah Lim x →0
Jawab : Jika dihitung langsung, maka Lim x →0
x + Sin x 0 + Sin 0 0 = = (nilai tak tentu). x − Sin x 0 − Sin 0 0
Tetapi untuk mengubah bentuk fungsi agar
0 dapat dieliminasi cukup sulit, sehingga harus 0
digunakan dalil L’Hospital. x + Sin x x 1−1 + Cos x 1 + Cos0 1 + 1 2 ( x + Sin x )′ Lim = Lim = Lim 1−1 = = = x → 0 x − Sin x x →0 x x →0 ( x − Sin x ) ′ 1 − Cos0 1 − 1 0 − Cos x (bukan nilai tak tentu).
Contoh 21
(
Hitunglah Lim e (2 x x →0
2
−x
)
) − 1 ln (x 3 )
Jawab : Jika disubtitusikan x = 0 pada limit fungsi, maka akan diperoleh bentuk tak tentu 0.∞.
( f′(x) = (e ( = { (e (
f(x) = e (2 x
) ) − 1)′ ln(x ) + (e ( ) − 1) {ln(x )}′ ) )(4x – 1)} ln(x ) + (e ( ) − 1) 1 (3x ) (x )
−x
) − 1 ln(x3)
2x 2 −x
3
2
2x 2 −x
(
= e (2 x
2x 2 −x
3
2x 2 −x
3
2
3
2
−x
)
( x
) (4x – 1) ln(x3) + 3 e (2 x
2
−x
) (
) − 1 = e (2 x
2
−x
)
) {(4x−1)ln(x3) + 3 } − 3 x
x
Jika dihitung f′(0) = (1){(−1)(∞) + (∞)} − ∞ = −∞ + ∞ −∞ , bentuk tentu yang tidak didefinisikan.
124
(
f′′(x) = e (2 x
2
−x
)
(
) ′{(4x–1)ln(x3)+ 3 } + e (2 x
(
x
)
2
−x
)
) {(4x−1)ln(x3) + 3 }′ − ( 3 )′ x
x
(
)
2 2 3 3 ′] = { e (2 x − x ) (4x–1)}{(4x–1)ln(x3)+ }+ e (2 x − x ) [(4x–1)′ln(x3)+(4x–1){ln(x3)}′+ x x
−
(
= e (2 x
2
−x
)
(
2
−x
(
) {(4x−1)2ln(x3)+ 3 (4x−1)} + e (2 x
+ − = e (2 x
3 x2
−
x
2
−x
)
) {(4)ln(x3) + (4x−1) 1 (3x2) 3
(x )
3 3 }+ 2 x x2
)
) {(4x−1)2ln(x3) + 3 (4x−1) + 4ln(x3) + 3 (4x−1) − x
x
3 3 }+ 2 x x2
Jika dihitung f′′(0) = (1){(−1)2(∞) + (∞)(−1) + 4(∞) + (∞)(−1) – (∞)} + (∞) = ∞ − ∞ + ∞ − ∞ − ∞ + ∞ , bentuk tentu yang tidak didefinisikan. Jika proses diferensiasi dilanjutkan dengan mensubtitusikan x = 0, maka akan diperoleh hasil yang sama.
(
Hal menunjukan bahwa Lim e (2 x x →0
2
−x
)
) − 1 ln (x 3 ) = ∞.
6. Pengunaan dalam ilmu ekonomi Contoh 22 Diketahui fungsi biaya total untuk memproduksi sejenis barang adalah, C(x) = 10.000 + 50x + 100 3 x Hitunglah biaya rata-rata perunit dan marginal jika diproduksi 1000 unit barang ?
Jawab : Berdasarkan definisi C( x ) 10.000 + 50 x + 1003 x Biaya rata-rata perunit, r(x) = = x x 2
d 100 − 3 Biaya marginal, m(x) = C( x ) = C′(x) = 50 + x dx 3
125
Subtitusikan x = 1000 ke r(x)
r(1000) =
10.000 + 50(1000) + 1003 1000 = 61 , biaya rata-rata perunit 1000 2
− 100 1 m(1000) = 50 + (1000) 3 = 50 , biaya marginal 3 3
m(x)
Contoh 23 Manajer penjualan memperkirakan dalam setiap minggu akan terjual 1000 unit barang jika dijual dengan harga Rp 3.000,- perunit. Tetapi dalam setiap minggu akan terjadi pula resiko, 100 unit barang harganya akan turun Rp 500,- perunit.
Tentukan pendapatan
maksimum dalam setiap minggunya !
Jawab : Perdefinisi Fungsi harga = harga jual − penyusutan harga, H(x) = 3000 −
x − 1000 (0,5) = 3005 – 0,005x 100
Fungsi pendapatan = total barang terjual x fungsi harga, P(x) = xH(x) = 3005x – 0,005x2 P′(x) = 3005 – 0,01x = 0
x = 300500
P′′(x) = −0,01 < 0 , jadi x = 300500 memaksimukan P(x) Subtitusikan x = 300500 ke P(x) P(300500) = 3005(300500) – 0,005(300500)2 = 4515011250 Pendapatan maksimum, Rp 4.515.011.250,-
Contoh 24 Jika diketahui persamaan fungsi biaya dan fungsi harga masing-masing, C(x) = 3000 + 1100x dan H(x) = 5000 – 2x maka bagaimana persamaan untuk pendapatan marginal, biaya marginal, dan keuntungan marginal ? Selanjutnya tentukan total produksi yang memaksimumkan pendapatan total !
126
Jawab : Fungsi pendapatan, P(x) = xH(x) = x(5000 – 2x) = 5000x – 2x2 Fungsi pendapatan total, p(x) = P(x) – C(x) = 5000x – 2x2 – (300 + 1100x) = −2x2 + 3900x – 300 Fungsi pendapatan marginal, M(x) = H′(x) = 5000 – 4x Biaya marginal, m(x) = C′(x) = 1100 Fungsi keuntungan marginal, K(x) = p′(x) = −4x + 3900 = 0
x = 975
K′(x) = p′′(x) = -4 < 0 , jadi x = 975 memaksimumkan p(x) Sehingga total produksi yang memaksimumkan pendapatan adalah 975 unit.
IV.8.
Dalil nilai tengah
Sebenarrnya, dalil ini yang membidani lahirnya ilmu kalkulus, khususnya perhitungan diferensial, tetapi perannya tidak banyak muncul, terutama dalam penyelesaian persoalan kalkulus yang bersifat lanjutan. Perannya lebih banyak muncul sebagai pengantar untuk memunculkan dalil baru, terutama dalam proses pembuktian. Misalnya dalil-dalil tentang kemonotonan dan kekonkavan fungsi, yang melahirkan telaahan tentang titik-titik stasioner fungsi.
Dalil Jika y = f(x) fungsi kontinu pada selang tertutup [a,b], dan diferensiabel
Y y = h(x)
y = f(x)
pada selang terbuka (a , b), maka ada paling sedikit satu nilai c, a < c < b,
f(b) f(a)
y = g(x) a
x
b
X
sedemikian rupa sehingga f ( b ) − f (a ) = f′(c) b−a atau f(b) – f(a) = f′(c)(b – a)
127
Bukti Perhatikan gambar di atas. Grafik fungsi y = g(x) melalui titik {a,f(a)} dengan {b,f(b)}, sehingga akan memiliki persamaan g ( x ) − f (a ) x −a = f ( b) − f ( a ) b−a g(x) – f(a) =
f ( b ) − f (a ) (x – a) b−a
g(x) = f(a) +
f ( b ) − f (a ) (x – a) b−a
Sedangkan grafik fungsi y = h(x) sejajar sumbu-Y dengan domain {g(x),f(x)}, sehingga h(x) = f(x) – g(x) = f(x) – {f(a) +
f ( b ) − f (a ) f ( b ) − f (a ) (x – a)} = f(x) – f(a) – (x – a) b−a b−a
Jika dihitung, 1) h(a) = h(b) = 0, 2) h′(x) = f′(x) – 0 –
f ( b ) − f (a ) f ( b ) − f (a ) (1 – 0) = f′(x) − , untuk a < x < b. b−a b−a
maka hal ini menunjukan bahwa ada c, a < c < b, sedemikian rupa sehinga h′(c) = 0, atau f′(c) −
f ( b ) − f (a ) f ( b ) − f (a ) = 0, atau = f′(c). b−a b−a
1000
500
Contoh 25 Perhatikan grafik y = x3 pada selang −10 ≤ x ≤ 10 Jika menelaah bentuk lengkungannya, pada selang
f( x)
10
tersebut dapat dibuat paling sedikit dua buah garis singgung. Hal ini berarti ada c1 dan c2,
5
0
5
500
−10 < c1 < 10 ; −10 < c2 < 10, 1000
sedemikian rupa sehingga
x
y(10) − y(−10) = y′(c1) = y′(c2) (10) − (−10) Karena y(10) = 1000 dan y(−10) = −1000, maka y′(c1) = y′(c2) = 128
(1000) − (−1000) = 100 (10) − (−10)
10
y′(x) = 3x2
y′(c) = 3c2 = 100
c=±
10 3 3
c1 =
10 10 3 , c2 = − 3 3 3
Contoh 26 Selidiki apakah fungsi y = x
10
Jawab : 2
5
y = x3
y(−8) = 4 , y(27) = 9 1
2.5 8
diferensiabel pada
domain [−8 , 27] ?
7.5 f(x)
2 3
y′ =
0.75 9.5 18.25 27 x
1
y(27) − y(−8) 9−4 1 2 − = c 3 = = (27) − (−8) 35 7 3
2 −3 x 3
14 c= 3
3
≈ 102
c ∉ [−8 , 27
Maka tidak ada c, −8 < c < 27, sedemikian rupa sehingga perkataan lain y = x
2 3
y(27) − y(−8) = y′(c). Dengan (27) − (−8)
tidak diferensiabel pada domain [−8 , 27]. Untuk lebih jelas dapat
ditelaah pada gambar di atas. Pada selang [−8 , 27] tidak dapat digambarkan garis singgung lengkungan, sebab grafik fungsi membentuk
4
perpotongan dua garis.
Contoh 26 Tentukan persamaan dan titik singgung lengkungan y = x3 – x2 – x + 1 pada domain [−1 , 2]
f(x)
2
Jawab : Pada gambar terlihat ada paling sedikit dua titik singgung pada domain [−1 , 2].
1
y(−1) = 0 dan y(2) = 3
0
1 x
y(2) − y(−1) 3−0 = =1 (2) − (−1) 3 129
2
y′ = 3x2 − 2x – 1
y′(c) = 3c2 − 2c – 1 = 1
Jika dihitung akan diperoleh, c1 =
3c2 − 2c – 2 = 0
1+ 7 1− 7 ≈ 1,22 dan c2 = ≈ − 0,55, yang keduanya 3 3
ada pada domain [−1 , 2]. Jika c1, c2 disubtitusikan ke y, maka akan diperoleh nilai y(c1) ≈ −0,22 dan y(c2) ≈ 1,081. Jadi titik-titik singgungnya, (1,22 , − 0,22) dengan (− 0,55 , 1,081). Sedangkan persamaan garis singgungnya, 1) y – (−0,22) = (1){x – (1,22)}
y = x – 1,44
2) y – (1,081) = (1){x – (−0,55)}
IV.8.1
y = x + 1,631
Fungsi naik, fungsi turun, dan fungsi monoton Perhatikan gambar di samping ini. Dalam hal ini, fungsi y = f(x) dikatakan aY
c
d
e
f g
b
X
1) naik pada domain, x < a, d < x < e, f
y=f(x)
2) turun pada domain, a < x < b, c < x < d
3) monoton naik pada domain, e < x < f, dan x > g 4) monoton turun pada domain, b < x < c. Deskripsi dari ciri fungsi tersebut dapat ditelaah di bawah ini.
Definisi Perhatikan fungsi y = f(x) yang didefinisikan pada selang S (bentuknya bisa selang tertutup, terbuka, atau tertutup-terbuka). Fungsi disebut 1. naik, jika untuk setiap x1 < x2 ; x1, x2 ∈ S, berlaku hubungan f(x1) < f(x2). 2. turun, jika untuk setiap x1 < x2 ; x1, x2 ∈ S, berlaku hubungan f(x1) > f(x2). 3. monoton kuat, jika fungsi naik saja atau turun saja pada S. 130
3. tidak naik, jika untuk setiap x1 < x2 ; x1, x2 ∈ S, berlaku hubungan f(x1) ≤ f(x2). 4. tidak turun, jika untuk setiap x1 < x2 ; x1, x2 ∈ S, berlaku hubungan f(x1) ≥ f(x2). Untuk menelaah apakah sebuah fungsi merupakan fungsi naik, fungsi turun, fungsi monoton, maka perlu dipahami dalil di bawah ini.
Dalil Perhatikan fungsi y = f(x) yangi kontinu pada domain S, dan diferensiabel pada setiap titik dalam (interior point) pada S. Jika 1. f′(x) > 0 untuk setiap x titik dalam pada S, maka fungsi naik pada S. 2. f′(x) < 0 untuk setiap x titik dalam pada S, maka fungsi turun pada S.
Bukti : Jika x1, x2 titik dalam pada S dan y = f(x) diferensiabel pada setiap titik dalam, maka berdasakan dalil nilai tengah, ada c, x1 < c < c2, sedemikian rupa sehingga
f (x 2 ) − f (x1 ) = f′(c). x 2 − x1 Karena x2 – x1 > 0, sehingga jika 1) f′(c) > 0, maka f(x2) – f(x1) > 0 atau f(x2) > f(x1), yang berarti fungsi naik pada S. 2) f′(c) < 0, maka f(x2) – f(x1) < 0, atau f(x2) < f(x1), yang berarti fungsi turun pada S.
Contoh 27
8.05
1 Telaah ciri dari fungsi y = x3 – x2 – 3x + 4 3
4.03
Jawab :
f(x)
1 y = x3 – x2 – 3x + 4 3
10
5
0 4.03
2
y′ = x – 2x – 3 = (x – 3)(x + 1)
8.05
x = 3 dan x = −1
titik nol : (x – 3)(x + 1) = 0
x
daerah tanda
+
+
− 3
−1
131
5
10
Pada daerah tanda tersurat, bahwa untuk 1) x < −1 dan x > 3, y′ > 0, atau fungsi naik 2) −1 < x < 3, y′ < 0, atau fungsi turun
0.5
Contoh 28
0.25
Tentukan domain di mana fungsi y =
x naik atau turun ! 1+ x2
fx ()
Jawab :
10 5 0 5 10 0.25
x y= 1+ x2
0.5
(1 + x 2 ) − 2 x 2 1− x2 y′ = = (1 + x 2 ) 2 (1 + x 2 ) 2 2
x = 1 dan x = −1
titik nol : 1 – x = (1 – x)(1 + X) = 0 daerah tanda
x
−
−
+
1
−1
Jadi fungsi 1) naik pada domain −1 < x < 1 2) turun pada domain x < −1 dengan x > 1
IV.8.2. Kekonkavan fungsi Salah satu segi yang
Y
Y
dapat
dimunculkan
dari
fungsi naik dan fungsi turun adalah kekonkavan fungsi. X
Konkav ke atas
X Konkav ke bawah
Jika y = f(x) fungsi kontinu pada domain S = (a , b), dan ada c, a < c < b, sehingga fungsi turun untuk x < c, dan
132
naik untuk x > c, maka dikatakan fungsi konkav ke atas di x = c. Sebaliknya, jika fungsi naik untuk x < c, dan turun untuk x > c, maka fungsi dikatakan konkav ke bawah di x = c. Konspsi tersebut dapat dideskripsikan seperti di bawah ini
Definisi Perhatikan fungsi y = f(x) yang diferensiabel pada domain S = (a , b). Jika y′ naik pada S, maka fungsi dinamakan konkav ke atas pada S. Sebaliknya jika y′ turun, maka dinamakan
konkav ke bawah pada S. Untuk menelaah apakah sebuah fungsi konkav ke atas atau ke bawah, pahami dalil di bawah ini.
Dalil Perhatikan fungsi y = f(x) yang diferensiabel orde dua pada domain S. Jika 1) f′′(x) > 0 untuk setiap x ∈ S, maka fungsi konkav ke atas pada S. 2) f′′(x) < 0 untuk setiap x ∈ S, maka fungsi konkav ke bawah pada S.
Bukti : Jika x1, x2, dan x3 titik dalam pada S, dengan ciri x1 < x2 < x3, dan karena y = f(x) diferensiabel orde dua, maka jika dilakukan diferensiasi terhadap formulasi dalil nilai tengah
f (x 3 ) − f (x 1 ) = f′(x2) x 3 − x1
f (x 3 ) − f (x1 ) x 3 − x1
′ = (f′(x2))′
1 (f′(x3)–f′(x1)) = f′′(x2) x 3 − x1
Karena x3 – x1 > 0, sehingga jika 1) f′′(x2) > 0, maka f′(x3) – f′(x1) > 0, atau f′(x3) > f′(x1), yang berarti f′(x) naik, atau f(x) konkav ke atas pada S. 2) f′′(x2) < 0, maka f′(x3) – f(x1) < 0, atau f′(x3) < f′(x1), yang berarti f′(x) turun., atau f(x( konkav ke bawah pada S. Salah satu segi yang dapat dimunculkan dari kekonkavan fungsi adalah didefinisikannya
titik infleksi (inflection point) atau titik belok.
133
Definisi Jika fungsi y = f(x) kontinu di x = c, maka titik (c , f(c)) dinamakan titik inleksi dari grafik fungsi, jika kekonkavan fungsi untuk x < c berbeda dengan x > c. Arti pada dalil ini, jika untuk x < c fungsi konkav ke bawah, maka untuk x > c konkav keatas, atau sebalinya jika untuk x < c konkav ke bawah, maka untuk x > c konkav ke atas. x , yang grafiknya di 1+ x2
Misal, titik infleksi fungsi y =
0.5
samping kanan ini, adalah (0 , 0)
0.25
Contoh 29
fx ()
Telaah kekonvakan fungsi y =
x ! 1+ x2
10 5
0.25
Jawab : y= y′ =
0 5 10
0.5
x , 1+ x2
x
(1 + x 2 ) − 2 x 2 1− x2 = (1 + x 2 ) 2 (1 + x 2 ) 2
2 x (1 + x 2 ) 2 − (1 − x 2 )2(1 + x 2 )(2 x ) 2 x (1 + x 2 )(−1 + 3x 2 ) = y′′ = (1 + x 2 ) 4 (1 + x 2 ) 4
2 x (1 + x 2 )(−1 + 3x 2 ) titik nol : =0 (1 + x 2 ) 4 x=0,x=
⇔
2x(1 + x2)(−1 + 3x2) = 0
⇔
1 1 3 ,x=− 3 3 3
daerah tanda : − −
1 3 3
+
−
+ 0
134
1 3 3
x(−1 + 3x2) = 0
Berdasarkan daerah tanda, untuk 1) x < − 2) −
1 1 3 dengan 0 < x < 3 , y′′ < 0, fungsi konkav ke bawah. 3 3
1 1 3 < x < 0 dengan x > 3 , y′′ > 0, fungsi konkav ke atas. 3 3
Contoh 30
6 1 3
Tentukan titik inleksi dari fungsi y = x + 2 !
4
Jawab : 1 3
y= x +2 1 y′ = x 3
−
f(x)
2 3
2
5
2 − y′′ = − x 3 9 y ′′ > 0 jika x < 0 y ′′ < 0 jika x > 0
10
5
0
5
10
2
fungsi konkav ke atas fungsi konkav ke bawah
x
Jadi x = 0 menyebabkan fungsi memiliki titik infleksi. 1
Subtitusikan x = 0 ke y
y(0) = (0) 3 + 2 = 2
titik infleksinya : (0 , 2)
Kegunaan kekonkavan fungsi adalah untuk menentukan titik ekstrim fungsi. Jika fungsi konkav ke atas di titik x = c, maka titik tersebut merupakan titik minimum. Sebaliknya jika konkav ke bawah, maka merupakan titik maksimum
IV.9.
Menggunakan Mathcad untuk menghitung turunan
Untuk menghitung turunan fungsi yang bentuknya sangat kompleks, sehingga jika dihitung secara “manual” memerlukan waktu dan tempat yang cukup banyak, dapat digunakan paket program Mathcad. Misalnya menentukan turunan dari fungsi y=
(2 x 2 − 3x + 2)e Sin ( 2 x −1) . log(3x − 1) 3 135
Jika diselesaikan secara “manual” akan memerlukan waktu dan tempat yang cukup besar, maka untuk kemudahannya dapat digunakan program Mathcad. Proses penyelesaiannya adalah 1. Jalankan program Mathcad hingga diperoleh tampilan seperti di bawah ini
pointer penulisan fungsi
2. Tuliskan persamaan fungsi yang akan dicari turunannya, dengan terlebih dulu meng”klik” pointer penulisan fungsi, dan formulasi penulisannya f(x) : =
f(x)
(2 x 2 − 3x + 2)e Sin ( 2 x −1) log(3x − 1) 3
(2 x 2 − 3x + 2)e Sin ( 2 x −1) log( 3x − 1) 3
pointer penulisan turunan orde satu
136
pointer penulisan turunan orde n
3. “Klik” pointer turunan (diferensiasi), dan tuliskan formulasi orde turunan yang diinginkan, selanjutnya “klik” pointer evaluate symbolically.
diferensial orde 1
pointer evaluate symbolically
diferensial orde 2
sehingga hasil yang diperoleh
137
Pada spreadsheet tertulis, turunan orde satu d e Sin ( 2 x +1) e Sin ( 2 x +1) 3 2 f ( x ) → (2X−3) ln(10) + 2(x −3x+2)Cos(2x+1) ln(10)3 – 3 3 dx ln(3x − 1) ln(3x − 1) 9(x2−3x+2)
e Sin ( 2 x +1) ln(10) 3 ln(3x − 1) 4 3x − 1
turunan orde dua e Sin ( 2 x +1) e Sin ( 2 x +1) d2 3 f ( x ) → 2 ln(10) + 4(2x−3)Cos(2x+1) ln(10)3 dx 2 ln(3x − 1) 3 ln(3x − 1) 3 – 18(2x−3)
e Sin ( 2 x +1) ln(10) 3 e Sin ( 2 x +1) 3 − 4(x −3x+2)Sin(2x+1) ln(10)3 ln(3x − 1) 4 3x − 1 ln(3x − 1) 3
e Sin ( 2 x +1) + 4(x −3x+2)Cos(2x+1) ln(10)3 3 ln(3x − 1) 2
2
e Sin ( 2 x +1) ln(10) 3 − 36(x −3x+2)Cos(2x+1) ln(3x − 1) 4 3x − 1 2
e Sin ( 2 x +1) ln(10) 3 e Sin ( 2 x +1) ln(10) 3 2 + 27(x −3x+2) ln(3x − 1) 5 (3x − 1) 2 ln(3x − 1) 4 (3x − 1) 2
+ 108(x2−3x+2)
SOAL-SOAL UNTUK LATIHAN 1. Gunakan definisi untuk menentukan turunan fungsi-fungsi di bawah ini. (a) y = (2x2 – x – 3) (e) y = Tg x
(b) y =
(f) y = Sec x
x2 +1 x +1
(g) y =
1 − Sin x Cos x
(c) y = x Sin x
(d) y =
x Sin x
(h) y = (x – 1)Ctg x
2. Tentukan y′, y′′, dan y′′′ dari fungsi-fungsi di bawah ini (a) y = Sin 3(x – 1)
(b) y =
Sin ( x − 1) ( x + 1)
(c) y = (2x3 – 3x2 – x)Ctg(2x + 3)
2
(d) y = e
(3x-2)
2
log(x – 2x)
e 2 x −3 x (e) y = 2 x 3 + 3x 2
138
(f) y =
(2 x − 3) log( x 2 − x ) x 2 + 3x
3. Tentukan turunan dari fungsi-fungsi implisit di bawah ini (a) 2xy – 3x2 + 2y2 = 5
(b) x2y +xy2 – x + y – xy = 0
(d) Sin2(x + y) – Cos2(x + y) = 0
(c) x Sin y + y Cos x = 1
(e) (x2 + y)3 – (x – y2)3 = 0
(f) x2Tgy – yCtg x = 0
4. Selidiki apakah fungsi-fungsi di bawah ini memiliki turunan pada domain yang ditentukan ? 1 π − x2 1 1 1 2 4 (a) y=(x–1)Sin x , pada domain [− , ] (b) y= ) , pada domain (0, 1 4π 4π 4π Cos( x − π) 4 (c) x2+y2–2x–6y–15=0, pada domain (−3,1) (d) xy−x2y+xy2−5=0, pada domain (−1,3) (e) y =
x 4x 2 − 9
, pada domain [2 , 5]
(f) y =
e ( 2 x −1) , pada domain (1 , 7) 2x − 1
5. Tentukan persamaan garis singgung pada lengkungan di bawah ini pada titik yang telah ditentukan ! 1− x 1 , di titik (0 , ) 2 x − 3x + 2
(b) y = (x – 1)log x2, di titik (10 , 18)
(a)
y=
(c)
x2 – 2xy + y2 = 9, di titik (1 , −2)
(e)
y = (2x2 – 3x + 1)e(2x – 1), di titik (
2
(d) x2 – 3x + y − 4 = 0 di titik (2 , 6) 1 , 0) 2
(f) 2x + xy – y 2 – 2 = 0, di titik (1 , 0)
6. Tentukan domain di mana fungsi naik, turun, atau monoton ! (a)
y = (2x + 3)log(x – 3), x
(d)
y=
e ( 2 x −1) ,x 2 x 2 − 3x + 1
(b) y = x3 − 2x2 + 3x – 5
3
1, x
1 2
(e) y = (x2 + 1)Tg(x – 1)
(c) y = (x3 + x2)e(x – 1) (f) y =
e ( 2 x −1) 2x − 1
7. Perhatikan fungsi y = f(x). Jika f′(x) ada dan kontinu pada domain S, dengan f′(x)
0
untuk pada setiap titik dalam S, maka fungsi seluruhnya naik atau turun pada S. Tunjukanlah ! 8. Dengan menggunakan dalil kemonotonan fungsi, jika 0 < x < y maka tunjukan bahwa (a)
x2 < y2
(b)
1 1 > x y
(c)
x <
y
9. Tunjukan bahwa fungsi kuadrat tidak memiliki titik infleksi, sedangkan fungsi pangkat tiga hanya memiliki satu titik infleksi. 10. Tentukan dua bilangan positif yang jumlahnya 10 dan hasil kalinya paling besar ! 139
11. Sepotong kawat dengan panjang 16 m, dipotong dua. Satu potong dibuat bangun bujur sangkar, sedangkan yang satu potong lagi dibuat bangun lingkaran. Berapa ukuran masing-masing potongan agar jumlah luas kedua bangun minimum ? Bagaimana jika maksimum ? 12. Buktikan pernyataan berikut ini.
Misalkan dimiliki dua buah fungsi y = f(x) dan
y = g(x). Jika f(x) ≤ g(x) untuk setiap nilai x, kecuali untuk x = c pada selang dimana Lim f ( x ) dengan Lim g ( x ) ada dan berhingga, maka Lim f ( x ) ≤ Lim g ( x ) . x →c
x →c
x →c
x →c
13. Sebuah kerucut dibuat dari bidang berbentuk lingkaran yang memiliki diameter 10 m, dengan menggunting sektor bidang lingkaran, sebesar ϕ.
Berapakah besar ϕ, agar
diperoleh kerucut dengan volume paling besar ? 14. Tunjukan fungsi y = f(x), dengan y′ =
x2 − x +1 , merupakan fungsi naik dimana-mana ! x2 +1
15. Pada pukul 7 pagi sebuah kapal laut berada 60 km arah timur sebuah kapal laut yang lain. Jika kapal yang pertama bergerak dengan kecepatan 20 km/jam, ke arah barat, dan kapal yang kedua 30 km/jam ke arah utara, maka pada pukul berapa kedua kapal tersebut akan berjarak paling dekat ? Berapa jarak terdekat tersebut ? 16. Sebuah beban dikaitkan pada sebuah pegas yang bergerak sepanjang sumbu-X, dengan kedudukan pada saat t memenuhi persamaan x = Sin 2t +
3 Cos 2t. Berapakan jarak
terjauh beban dari titik asalnya. 17. Seorang manajer pemasaran memperkirakan 100 unit barang akan terjual pada setiap bulannya, jika harga setiap unitnya $ 250,-. Kuantitas penjualan akan meningkat 20 unit perbulan, jika harga barang diturunkan $ 10,- perunitnya. Tuliskan persamaan fungsi harga dan fungsi pendapatan daam setiap bulannya. Hitunglah nilai ekstrim untuk kedua fungsi tersebut !
140
18. Diketahui sebuah pabrik memiliki m orang pegawai, untuk memproduksi x unit barang dalam setiap minggunya. Jika h = h(x) fungsi harga, dan p = p(x) = x.h(x) fungsi pendapatan perminggu, yang juga akan merupakan fungsi atas m, maka
dp dinamakan dm
produk pendapatan marginal. Formulasi ini dapat digunakan sebagai acuan untuk memperkirakan pendapatan jika ada penambahan seorang pegawai. Tunjukan bahwa dp dx dh = (h + x ). dm dm dx 19. Garis dengan persamaan y = ax + b dinamakan asimtut miring untuk lengkungan y = f(x), jika Lim{f ( x ) − (ax + b)} = 0 atau Lim{f ( x ) − (ax + b)} = 0. x →∞
x → −∞
Tentukan asimtut miring untuk f(x) =
2 x 4 + 3x 3 − 2 x − 4 . x3 −1
20. Buat sketsa grafik fungsi (a) y =
Sin x
(b) y = Sin x (c) y =
x2 (d) y = xx (e) y = (x – 1)e2x+1 x2 +1
21. Dalil Rolle Jika y = f(x) fungsi kontinu pada domain S = [a , b] dan diferensiabel pada domain (a , b), maka untuk f(a) = f(b), ada paling sedikit sebuah nilai c, a < c < b, sedemikian rupa sehingga f′(c) = 0. Tunjukan bahwa dalil ini merupakan hal khusus dari dalil nilai tengah ! Tunjukan dimana hal khususnya tersebut ? 22. Jika fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c didefinisikan pada domain S = [u . v], maka tunjukan c =
v−u f ( v) − f ( u ) memiliki ciri f′(c) = ! 2 v−u
141
23. Perhatikan konsepsi tentang diferensial, yang menyatakan jika Lim h →0
f (x + h ) − f (x ) ada h
dan berhingga, maka f(x+h)
∆y
f(x)
y=f(x)
Lim h →0
∆x
f (x + h ) − f (x ) df ( x ) = . h dx
Jika y = f(x), maka f(x+h) – f(x) = ∆y, dan h = ∆x, ∆ dinamakan operator diferensi.
x
x+h
Hal ini menunjukan bahwa diferensial adalah limit diferensi, jika nilainya ada dan
berhingga.
d2y ≤ M pada selang Tunjukan bahwa jika M konstantan yang memiliki hubungan dx 2 tutup [c , c+∆x], maka ∆y − dy ≤
1 M(∆x)2. 2
24. Gunakan soal 23 untuk menghitung batas atas kekeliruan diferensial fungsi-fungsi di bawah ini, jika x naik dari 2,00 menjadi 2,01 ! (a) y = 3x2 – 2x + 11
(b) y =
x −1 ,x x
0
(c) y = xe(x−1) (d) y =
x ,0
25. Diketahui fungsi y = f(x) dan y = g(x), dengan f(2) = 3, f′(2) = 4, f′′(2) = −1, g(2) = 2, g′(2) = 5, g′′(2) = −2. Hitunglah di x = 2 (a)
(
d 2 f (x) + g 3 (x) dx
)
(b)
d2 (f ( x )g(x ) ) dx 2
142
(c)
d (fog(x ) ) dx
(d)
d 2 f (x ) dx 2 g 2 ( x )
BAB V PERHITUNGAN INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Perhatikan Gambar V.1. Selang [a , b] dipartisi atas n bagian yang sama, dan dibangun dua macam persegi–persegi panjang. Persegi−persegi panjang yang pertama seluruhnya berada di bawah grafik y = f(x). Sedangkan yang kedua meliput grafik y = .(x). Jika disajikan :
Y
mi : luas persegi panjang yang seluruhnya
y = f(x)
berada di bawah grafik, Mi : luas persegi panjang yang memuat grafik, maka X0=a
x1
x2
...
xn-1 b=xn
mi = f(xi)
X
Mi = f(xi+1)
Gambar V.1. Konsepsi integral
Selanjutnya, tulis m(n) =
n −1 i =1
b−a , i = 1, 2, . . . , n−1, n b−a , i = 1, 2, . . . n
, n−1,
Dalam hal ini, f(x0)=f(a) dan f(xn) = f(b).
m i , M(n) =
n −1 i =1
M i . Jika nilai Lim m(n) dan Lim M n ada dan n→∞
n →∞
b
berhingga, maka Lim m n = Lim M n = f ( x )dx . n →∞
n →∞
a
b
f ( x )dx dinamakan integral tentu dari fungsi y = f(x) dengan batas bawah
Formulasi a
x = a dan batas atas x = b. formulasinya menjadi
Jika nilai-nilai batas integral tidak disajikan, sehingga
f ( x )dx , maka bentuk integral ini dinamakan integral tak tentu dari
fungsi y = f(x). Perbedaan antara integral tentu dengan tak tentu adalah, Integral tentu
143
hasilnya sebuah bilangan (konstanta), sedangkan integral tak tentu, sebuah fungsi. Fungsi f(x) pada bentuk integral (baik tentu maupun tak tentu) dinamakan integrand.
V.1.
Fungsi Primitif
Menghitung integral sebuah fungsi, baik integral tentu maupun tak tentu, dengan menggunakan konsepsi limit, tidak semudah pada perhitungan difrensial.
Sebab untuk
keperluan perhitungan integral perlu didefinisikan sebuah fungsi yang dinamakan fungsi
primitif atau biasa dinamakan antidiferensial. Hal ini karena pada formulasi integral terlibat operator diferensial, dx.
Definisi Fungsi y = F(x) dinamakan fungsi primitif (antidiferensial) dari y = f(x), jika berlaku hubungan dF( x ) = f(x) d(x ) untuk setiap x pada domain y = f(x). Sebagai contoh, fungsi primitif dari y = Cos x adalah y = Sin x, sebab
dSin ( x ) = Cos x d(x )
Selanjutnya untuk dapat melakukan proses perhitungan integral perlu dipahami dalil berikut ini.
Dalil Jika y = f(x) fungsi kontinu pada domain S = [a , b], dan y = F(x) fungsi primitif dari y = f(x), maka b
a
b
f ( x )dx = F( x ) a = F(b) – F(a)
Bukti Perhatikan Gambar V.1. Berdasarkan gambar, maka dapat disajikan barisan nilai a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn-1 < xn = b, 144
sehingga dengan cara menambahkan suku baru dan mengurangkan kembali, diperoleh formulasi F(b) – F(a) = F(xn) – F(xn-1) + F(xn-1) − . . . − F(x1) + F(x1) − F(x0) =
n i =1
{F( x i ) − F( x i −1 )}
Karena y = F(x) fungsi primitif dari y = f(x), yang berarti F′(x) = f(x), maka y = F(x) merupakan fungsi diferensiabel dengan turunannya kontinu di S, sehingga berdasarkan dalil nilai tengah, ada x i , xi-1 < x i < xi, sedemikian rupa sehingga F(xi) – F(xi-1) = f( x i )(xi – xi-1), atau F(b) – F(a) =
n
f ( x i )( x i − x i −1 ) ,
i =1
sehingga jika kedua ruas dihitung nilai limitnya untuk n → ∞, maka Lim{F(b) − F(a )} = Lim n →∞
n →∞
n i =1
f ( x i )( x i − x i −1 ) .
Karena F(b) – F(a) sebuah konstanta, maka Lim{F(b) − F(a )} = F(b) – F(a), ada dan n →∞
n
merupakan nilai berhingga. Sehingga Lim n →∞
Berdasarkan konsepsi integral, maka Lim n →∞
i =1 n
i =1
f ( x i )( x i − x i −1 ) juga ada dan berhingga. b
f ( x i )( x i − x i −1 ) = f ( x )dx = F(b) – F(a). a
Contoh 1 2
xdx = 1
Tunjukan bahwa 1
1 2
Jawab : Fungsi primitif f(x) = x adalah F(x) =
1 2 d 1 2 x , sebab x 2 dx 2
1 2 1 (1) = 1 2 2 2 , sehingga Karena F(x) = x , maka 1 2 2 F(2) = (2) = 2 2 F(1) =
145
2
1
=
1 .2.x2-1 = x. 2
xdx = 2 −
1 1 =1 . 2 2
Contoh 2 Hitunglan
1 π 4
Cos( x )dx !
0
Jawab : Sudah ditunjukan bahwa fungsi primitif dari f(x) = Cos x, adalah F(x) = Sin x, sehingga F(
1 1 1 π) = Sin( π) = 2 4 4 2
f(0) = Sin(0) = 0 1 π 4
1 1 1 Cos( x )dx = Sin( π) − Sin(0) = 2 −0= 2 4 2 2 0 Dari paparan dalil, dapat disajikan pernyataan sebagai berikut. Jika batas integral a b
f ( x )dx dihilangkan, sehingga diperoleh bentuk
dengan b pada integral tentu
f ( x )dx ,
a
maka f ( x )dx = F(x) +k, dengan k konstanta, yang nilainya dapat dihitung, jika ada tambahan ketentuan. b
f ( x )dx adalah sebuah konstanta, sedangkan
Sebelumnya sudah dikemukan,
f ( x )dx
a b
f ( x )dx = F(b) – F(a), yang merupakan
sebuah fungsi. Hal ini tersurat pada sajian bahwa a
sebuah konstanta, dan f ( x )dx = F(x) + k, sebuah bentuk fungsi.
146
Contoh 3 Hitunglah
2
(x + 1)2
dx , jika untuk x = 0 nilainya sama dengan 1 !
Jawab : 2
,x
−1 adalah F(x) =
Subtitusikan x = 0 pada hasil integrasi
0 −1 +k=1 0 +1
Fungsi primitif dari f(x) = 2
(x + 1)
2
Sehingga
dx =
(x + 1)
2
x −1 , sehingga x +1
x −1 +k x +1
2
(x + 1)
2
dx =
k=2
x −1 3x + 1 +2= x +1 x +1
Fungsi yang memiliki nilai integral pada domain S, dinamakan integrabel, pada domain
S. Jika menelaah paparan yang telah disampaikan, syarat perlu dan cukup agar sebuah fungsi integrabel pada domain S adalah kontinu di mana-mana pada S. Sedangkan agar diferensiabel, kekontinuan fungsi hanya merupakan syarat perlu tetapi tidak cukup. Hal ini menyatakan bahwa, sebuah fungsi integrabel tidak perlu diferensiabel, sedangkan jika
fungsi diferensiabel, maka integrabel.
Sebagai contoh fungsi y = x.
Fungsi ini
integrabel pada domain bilangan riel, tetapi tidak diferensiabel di titik (0 , 0). Hal ini dapat ditelaah pada fakta,
Lim h → 0− Lim h→0
x dx =
1 2 x +K , x>0 2 . Yang berarti integralnya ada, tetapi 1 − x2 + K , x < 0 2
f ( 0 + h ) − f ( 0) f ( 0 + h ) − f ( 0) = −1, sedangkan Lim = 1. h h h → 0+
f ( 0 + h ) − f ( 0) tidak ada. h 147
Yang berarti
V.2.
Dalil dasar tentang integral
Untuk lebih memudahkan perhitungan integral perlu dipahami dalil dasar tentang integral. 1.
kdx = kx + c , k, c : konstanta
Bukti d (kx + c) = kx1-1 + 0 = k dx
2.
x n dx =
1 n+1 x +k;n n +1
−1 , k : konstanta
Bukti 1 d 1 (n+1)x(n+1)-1 + 0 = xn x n +1 + K = n +1 dx n + 1 3.
1 dx = ln x + k ; k : konstanta x
Bukti 1 1 d (lnx + k) = + 0 = dx x x 4.
e x dx = ex + k ; k : konstanta
Bukti
(
)
d x x x e +k = e + 0 = e dx
5.
Sin ( x )dx = −Cos(x) + k, dan Cos( x )dx = Sin(x) + k ; k ; konstanta
Bukti Sudah disampaikan sebagai contoh pada definisi fungsi primitif
148
(f (x ) + g(x ) )dx
6.
= f ( x )dx + g ( x )dx
Bukti n −1
(f (x ) + g(x ))(x i
1=1
Lim n →∞
i
n −1
(f (x ) + g(x ))(x i
1=1
= Lim n →∞
i +1 − x i ) =
n −1
i
(f (x ))(x i
1=1
i +1
n −1
(f (x ))(x i
1=1
i +1 − x i ) +
n −1
(g(x )(x i
1=1
i +1
− xi )
− xi )
i +1 − x i ) + Lim n →∞
n −1
(g(x ))(x i
1=1
i +1
− xi )
Berdasarkan konsepsi integral, jika masing-masing limit nilainya ada dan berhingga, maka
7.
(f (x ) + g(x ) )dx
= f ( x )dx + g ( x )dx
kf ( x )dx = k f ( x )dx
Bukti Gunakan analogi pembuktian dalil 6, dengan menyatakan kf(x) sebagai perjumlahan atas k buah fungsi f(x)
V.3.
Cara menghitung sebuah integral
Menghitung integral sebuah fungsi dengan menggunakan konsepsi seperti yang telah dipaparkan cukup sulit, dan proses perhitungannya relatif tidak sesederhana perhitungan diferensial. Ada beberapa metode untuk menghitung integral sebuah fungsi.
1. Integral sebagai sebuah antidiferensial Berdasarkan dalil pada fungsi primitif, tersurat bahwa
d dx
( f (x)dx )
= f(x).
Dari
pernyataan ini dapat disimpulkan, sebuah integral dapat diselesaikan jika diketahui fungsi primitifnya, sehingga untuk menyelesaikan sebuah integral dengan cara ini, diperlukan 149
sebuah direktori fungsi primitif yang lengkap. Metode ini dapat digunakan jika bentuk integrandnya cukup sederhana.
2. Metode subtitusi Ada beberapa cara subtitusi yang dapat digunakan, diantaranya
a) Subtitusi aljabar Contoh 4 Hitunglah (2 x − 3)e (x
2
− 3 x +1
)dx
Jawab : Subtitusikan y = x2 – 3x + 1 (2 x − 3)e (x
2
− 3 x +1
dy = (2x – 3)dx
)dx = (2x − 3)e y
dx =
dy 2x − 3
dy = e y dy = ey + k = e(x² - 3x + 1) + k 2x − 3
Contoh 5 Hitunglah ( x + 1)Tg ( x 2 + 2 x − 1)dx
Jawab : Subtitusikan y = (x2 + 2x – 1)
dy = (2x + 2)dx
dx =
dy 1 dy = 2x + 2 2 x +1
Dengan menggunakan dalil 7, ( x + 1)Tg ( x 2 + 2 x − 1)dx = ( x + 1)Tg ( y) Subtitusikan z = Cos(y)
1 dy 1 1 Sin ( y) (Tg ( y)dy = }dy = 2 x +1 2 2 Cos( y)
dz = −Sin(y)dy
1 Sin ( y) 1 − dz }dy = = −ln(z) + k = −ln{Cos(y)} + k = −ln{Cos(x2 + 2x – 1) + k 2 Cos( y) 2 z
150
Contoh 6 Hitunglah Sec( x )dx !
Jawab : Sec(x) =
Cos( x ) Cos( x ) 1 = = 2 Cos( x ) Cos ( x ) 1 − Sin 2 ( x )
Subtitusikan y = Sin(x) Sehingga Sec( x )dx =
dy = Cos(x)dx dy Cos( x ) dx = 2 1− y2 1 − Sin ( x )
1 1 1 2 2 , dengan menggunakan dalil 6, 7, dan 3, = = + (1 − y)(1 + y) (1 − y) (1 + y)
Karena
1 1− y2
maka
1 dy 1 dy dy + . = 2 2 1− y 2 1+ y 1− y
Menghitung
dy 1− y
Subtitusikan z = 1 – y dy = 1− y
− dz = −ln(z) + K1 = −ln(1−y) + k1 = −ln{1−Sin(x)} + k1 z
Menghitung
dy 1+ y
Subtitusikan z = 1 + y dy = 1+ y
dz = −dy,
dz = dy
dz = ln(z) + k2 = ln(1+y) + k2 = ln{1+Sin(x)} + k2 z
151
Sehingga Sec( x )dx =
=−
1 1 [−ln{1−Sin(x)} + k1] + [ln{1+Sin(x)} + k2] 2 2
1 1 + Sin ( x ) 1 1 ln{1−Sin(x)} + ln{1+Sin(x)} + k = ln + k, 2 1 − Sin ( x ) 2 2
dengan k =
1 1 k1 + k2 . 2 2
b) Subtitusi goniometri Metode ini dilakukan jika integrand memiliki bentuk a2 – x2, a2 + x2, atau x2 – a2; a
a2 − x2 ,
0.
Bentuk subtitusinya, 1) untuk bentuk
a 2 − x 2 atau a2 – x2 x , atau a
x = aSin(y)
dx = aCos(y)dy , y = arc Sin
x = aCos(y)
dx = −aSin(y)dy , y = arc Cos
Contoh 7 Hitunglah
x +1 4 − x2
dx
Jawab : Subtitusikan x = 2Sin(y)
dx = 2Cos(y)dy y = arc Sin
sehingga
152
x 2
x a
a2 + x2 ,
x2 − a2 ,
x +1 4 − x2
=
2Sin ( y) + 1
dx =
4 − 4Sin 2 ( y)
(2Sin ( y) + 1)dy = x 2
= −2Cos arcSin
2) untuk bentuk
2Cos( y)dy =
2Sin ( y) + 1 2Cos( y)dy 2Cos( y)
2 Sin ( y)dy + dy = −2Cos(y) + y + k x 2
+ arc Sin
+k
a 2 + x 2 atau a2 + x2 dx = aSec2(y)dy
x = aTg(y)
y = arc Tg
x a
Contoh 8 Hitunglah
1 x 9 + x2
dx
Jawab : dx = 3Sec2(y)dy
Subtitusikan x = 3Tg(y)
y = arc Tg 1 x 9 + x2 =
dx =
1 3Tg ( y) 9 + 9Tg 2 ( y)
x 3
3Sec 2 ( y)dy =
1 3Sec 2 ( y)dy 3Tg ( y)3Sec( y)
1 Sec( y) 1 1 1 Sin ( y) 1 Sin ( y) dy = dy = dy = dy 2 3 Tg ( y) 3 Sin ( y) 3 Sin ( y) 3 1 − Cos 2 ( y)
Subtitusikan z = Cos(y)
dz = −Sin(y)dy
Sehingga
153
1 1 Sin ( y) 1 2 dz + 2 dz = − 1 ln(1−z)+ 1 ln(1+z)+k dy = dz = 2 2 1− z 1+ z 2 2 1 − Cos ( y) 1− z =
1 1+ z ln 2 1− z
1 x 9+x
2
+k=
dx =
1 + Cos( y) 1 +k ln 1 − Cos( y) 2
1 1 { 3 2
ln
1 + Cos( y) 1 ln + k} = 1 − Cos( y) 6
1 + Cos arcTg
x 1 − Cos arcTg 3
x 2 − a 2 atau x2 – a2
3) untuk bentuk x = aSec(y)
dx = aSec(y)Tg(y)dy y = arc Sec
x a
Contoh 9 Hitunglah
x2 − 4 dx x3
Jawab : Subtitusikan x = 2Sec(y)
dx = 2Sec(y)Tg(y)dy y = arc Sec
x2 − 4 dx = x3
4Sec 2 ( y) − 4 8Sec 3 ( y)
(
x 2
2Sec( y)Tg ( y)dy =
)
1 Sin 3 ( y) 1 Sin ( y) 1 − Cos 2 ( y) = dy = dy 2 Cos( y) 2 Cos( y) Subtitusikan z = Cos(y)
dz = −Sin(y)dy
Sehingga
154
x 3
2Tg 2 ( y) Tg ( y)dy 4Sec 2 ( y)
+k
(
)
Sin ( y) 1 − Cos 2 ( y) dy = − Cos( y) = −ln(Cos(y)) +
(1 − z ) dz = − 2
1 1 2 dz + zdz = −ln(z) + z +k z 2
z
1 Cos2(y) + k 2
x2 − 4 1 1 {−ln(Cos(y)) + Cos2(y) + k} dx = 3 2 2 x =−
1 1 ln(Cos(y)) + Cos2(y) + k 2 4
=−
x 1 ln Cos arcSec 2 2
+
x 1 Cos2 arcSec 2 4
+k
c) Subtitusi jika integrand memiliki bentuk kuadratik ax2 + bx + c. Dalam hal seperti ini, proses yang harus dilakukan 1) Merubah bentuk kuadratik ax2+bx+c menjadi perjumlahan dua suku kuadrat (Ax)2+B2 , sebagai berikut b c b 2 c b2 b 2 ) + − 2 } = a{(x+ )+ ax +bx+c = a(x + x+ ) = a{(x+ a a 2a a 4a 2a 2
2
2) Subtitusikan y = x +
b 2a
dy = dx x=y−
b 2a
Contoh 10 Hitunglah
x+2 dx ! 2x − x + 1 2
Jawab : Berdasarkan paparan yang telah dikemukakan,
155
4ac − b 2 2a
2
}
4(2)(1) − (−1) 2 2( 2)
(−1) 2 2x – x + 1 = 2{(x + ) + 2( 2) 2
Subtitusikan : y = x −
1 4
y−
x+2 dx = 2x − x + 1
3 2
y2 +
1 = ln 2
2
2
+
Menghitung integral
2
}
y 3 y2 + 2
2
1 4
1 2
y 3 y + 2
2
dy +
2
7 8
1 3 y + 2
2
dy
2
dy
1 dz 2 9 z+ 4
=
1 2
1 z+
9 4
dz =
1 1 9 9 ln z + +k1 = ln y 2 + +k1 2 2 4 4
9 1 1 37 + k1 = ln x 2 − x + 4 2 16 2 1 3 y + 2
2
dy
2
Subtitusikan y =
1 2 3 ) + 4 2
dz = 2ydy
dy =
1 x− 4
dy =
2
3 2 y + 2
Subtitusikan z = y2 y
1 +2 4
2
Menghitung integral
= 2{(x −
dy = dx x=y−
2
2
3 Tg(z) 2
dy =
3 Sec2(z)dz 2
z = arc Tg Sehingga 156
2y 3
+ k1
1 y2 +
=
3 2
2
1
3 Sec 2 (z)dz = 9 2 9 2 Tg (z) + 4 4
dy =
2 2 2y z + k2 = arc Tg 3 3 3
+ k2 =
2 x−
2 arc Tg 3
3
x+2 1 1 1 37 dx = ln x 2 − x + 2 2 2 16 2x − x + 1
+
2
=
1 1 37 ln x 2 − x + 4 2 16
+
1 4
1 9 Sec 2 (z) 4
+ k2 =
3 2 Sec 2 (z)dz = dz 2 3
2 4x − 1 arc Tg + k2 3 6
7 2 4x − 1 +k arc Tg 8 3 6
7 4x − 1 arc Tg +k 12 6
d) Subtitusi rasionalisasi Metode ini dilakukan jika integrand memiliki bentuk akar, Prosesnya, subtitusikan y =
n
n
ax + b , n > 2.
ax + b , sehingga
yn = ax + b
x=
yn − b a
dx =
n (n−1) y dy a
Contoh 11 Hitunglah
x 3 x + 4dx !
Jawab : Berdasarkan paparan, y = x 3 x + 4dx =
(y
3
3
x = y3 − 4
x+4
)
dx = 3y2dy
(
)
− 4 ( y)(3y 2 dy) = 3 y 6 dy = 3 y 6 − 4 y 3 dy = 3 y 6 dy − 12 y 3 dy
(x+ 4) ) − 3 (3 (x + 4) ) + k
=
3 7 12 4 3 y − y +k= 4 7 7
=
3 (x + 4)2 3 x + 4 − 3(x + 4) 7
(
3
7
3
4
x+4+k 157
3. Integral Parsial Konsepsinya f ( x )dg ( x ) = f(x)g(x) − g ( x )df ( x ) . Dalam hal ini bentuk integral g ( x )df ( x ) harus lebih sederhana dari f ( x )dg ( x ) .
Contoh 12 Hitunglah
x ln(x )dx !
Jawab : f(x) = ln(x) dg(x) =
df(x) =
x dx
1 dx x
g(x) =
x dx =
1
1 1 +1 2
x2
+1
3
=
2 2 x 3
(konstanta k tidak dituliskan sebab dapat dikumulatifkan pada perhitungan terakhir) 3
3
2 x ln(x )dx = {ln(x)}( x 2 ) − 3 3
=
3
3
3
2 2 2 −1 2 2 1 x dx x dx = x 2 ln(x) − 3 3 3 x 3
2 2 2 2 2 2 2 x ln(x) − x + k = x 2 (ln(x) − ) + k 3 3 3 3 3
Contoh 13 Hitunglah Sin (ln(x ) )dx !
Jawab : Subtitusikan : ln(x) = y
x = ey , dy =
1 dx x
Sehingga Sin (ln(x ) )dx = Sin ( y)e y dy = e y Sin ( y)dy f(y) = Sin(y)
df(y) = Cos(y)dy
dg(y) = eydy
g(y) = e y dy = ey
158
dx = xdy = eydy
e y Sin ( y)dy = {Sin(y)}{ey} − {e y }Cos( y)dy = eySin(y) − e y Cos( y)dy Menghitung integral e y Cos( y)dy f(y) = Cos(y)
df(x) = −Sin(y)dy
dg(y) = eydy
g(y) = e y dy = ey
e y Cos( y)dy = {Cos(y)}{ey} − {e y }{−Sin ( y}}dy = eyCos(y) + e y Sin ( y}dy Sehingga e y Sin ( y)dy = eySin(y)−{ eyCos(y)+ e y Sin ( y}dy } = eySin(y)−eyCos(y)− e y Sin ( y}dy 2 e y Sin ( y)dy = eySin(y) − eyCos(y) Sin (ln(x ) )dx = e y Sin ( y)dy =
1 y { e Sin(y) − eyCos(y)} + k 2
4. Integral partisi Metode ini digunakan jika integrandnya merupakan fungsi pecahan aljabar (fungsi rasional). Proses yang harus dilakukan, 1) Jika derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebut, maka lakukan proses pembagian, sehingga diperoleh suku sisa. 2) Pada suku sisa, jika penyebut dapat difaktorkan, maka partisi suku sisa, selanjutnya lakukan proses kesamaan pada pembilang. 3) Lakukan perhitungan integral berdasarkan hasil partisi.
Contoh 14. Hitunglah
x 3 − 2x 2 + x − 1 dx ! x 2 − 3x + 2
Jawab : Karena derajat pembilang lebih besar dari penyebut, maka proses perhitungannya 1) Melakukan pembagian sehingga diperoleh suku sisa x 3 − 2x 2 + x + 1 2x − 1 = (x + 1) + 2 2 x − 3x + 2 x − 3x + 2 159
2) Mempartisi suku sisa 2x − 1 2x − 1 A B A ( x − 2) + B( x − 1) = = + = x −1 x − 2 ( x − 1)( x − 2) x − 3x + 2 ( x − 1)( x − 2) 2
=
(A + B) x − (2A + B) ( x − 1)( x − 2)
Pada kesamaan ini, A + B = 2 dan 2A + B = 1. Jika diselesaikan, akan diperoleh A = −1, B = 3, sehingga
2x − 1 −1 3 = + x −1 x − 2 x − 3x + 2 2
3) Proses integral partisi x 3 − 2x 2 + x − 1 dx = ( x + 1)dx + x 2 − 3x + 2 = xdx + dx +
−1 dx + x −1
−1 dx + x −1
3 dx x−2
3 1 dx = x2 + x – ln(x−1) + 3ln(x−2) + k x−2 2
Contoh 15 Hitunglah
x 3 − 2x 2 + x − 1 dx ! 2 x 2 − 3x + 2
Jawab : Karena derajat pembilang lebih besar dari penyebut, dengan penyebutnya tidak dapat difaktorkan, sebab diskriminannya, D < 0, maka proses perhitungannya 1) Melakukan pembagian untuk mendapatkan suku sisa 3 3 x− x − 2x + x − 1 1 1 4 2 = 1x−1 − 3 = + x− 2 2 2 4 2 4 4 2 x − 3x + 2 2 x − 3x + 2 3
2
−
160
x+2 2 x − 3x + 2 2
2) Mempartisi bentuk integral x 3 − 2x 2 + x − 1 dx = 2 x 2 − 3x + 2
1 1 x − dx − 2 4
=
1 1 3 xdx − dx − 2 4 4
x+2 dx 2 x − 3x + 2
=
1 1 3 x 3 2 xdx − dx − dx − dx 2 2 2 4 4 2 x − 3x + 2 4 2 x − 3x + 2
=
1 2 1 3 x 3 x − x− dx − 2 4 4 4 2 x − 3x + 2 2
x+2 dx 2 x − 3x + 2
3 4
2
2
1 dx 2 x − 3x + 2 2
1 dx 2 x − 3x + 2
Menghitung integral
2
(1) Sajikan bentuk kuadrat (2x2–3x+2) menjadi perjumlahan dua suku kuadrat 3 3 9 3 7 2x2–3x+2 = 2(x2− x+1) = 2{(x− )2− +1} = 2{(x− )2+ } 2 4 16 4 16 3 = 2{(x− )2+ 4
7 4
(2) Subtitusikan, x−
2
}
3 =y 4
dy = dx x=y+
1 dx = 2 x − 3x + 2
(3)
1
2
=
2 y2 +
7 4
2
3 4
dy =
4x − 3 1 arc Tg + k1 2 7
161
1 2
1 y2 +
7 4
2
dy =
4y 1 +k1 arc Tg 2 7
x dx 2 x − 3x + 2
Menghitung integral
2
(1) Sajikan bentuk kuadrat (2x2–3x+2) menjadi perjumlahan dua suku kuadrat 3 3 9 3 7 2x2–3x+2 = 2(x2− x+1) = 2{(x− )2− +1} = 2{(x− )2+ } 2 4 16 4 16 3 = 2{(x− )2+ 4
7 4
(2) Subtitusikan, x−
2
}
3 =y 4
dy = dx x=y+
x dx = 2 x − 3x + 2
(3)
y+
2
=
1 2
y y2 +
2
7 4
3 8
1
y y2 +
Subtitusikan y +
y y2 +
7 4
2
7 4
y2 +
Menghitung integral
2
dy
2
7 4
2 y2 +
dy +
3 4
7 4
2
= y2 +
1 1 dy = 2 dz = 2 z 2 7 4
2
3 4
dy
dy
7 =z 16
dz = 2ydy
{ln(z )} + k2 =
1 7 ln y 2 + + k2 2 16
162
1
Menghitung integral
7 4
y2 +
Subtitusikan y = 1 y2 +
7 4
2
7 Sec 2 (z) 16
dy
7 Tg(z) 4
dy =
1
=
2
dy = 1
7 7 Tg 2 (z) + 16 16
7 Sec2(z)z 4
7 Sec 2 (z)dz 4
4y 7 Sec 2 (z)dz = dz = z = arc Tg 4 7
Sehingga x 1 4y 7 3 dx = ln y 2 + + arc Tg 2 16 4 2 x − 3x + 2 7 2
3 4
1 ln 2
=
1 4x − 3 9 2 3 ln x 2 − x − + arc Tg + k3 2 16 16 4 7
+
7 3 + arc Tg 16 4
4 x−
=
x−
3 4
2
7
+ k3
+ k3
Sehingga x 3 − 2x 2 + x − 1 1 1 1 4x − 3 3 9 2 3 { ln x 2 − x − + arc Tg dx = x2 − x − } 2 4 4 2 4 16 16 4 2 x − 3x + 2 7 − =
4x − 3 3 {arc Tg }+k 2 7 1 2 1 3 15 4x − 3 9 2 x − x − ln x 2 − x − − arc Tg +k 4 4 8 4 16 16 7
163
Contoh 16 Hitunglah
5x + 3 dx ! x − 2 x 2 − 3x 3
Jawab : Derajat pembilang lebih kecil dari penyebut, dan penyebut dapat difaktorkan atas tiga faktor, sehingga proses perhitungannya 1) Mempartisi integrand 5x + 3 5x + 3 A B C 5x + 3 = = = + + 2 2 x ( x − 3)( x + 1) x x −3 x +1 x − 2 x − 3x x ( x − 2 x − 3) 3
=
A( x − 3)( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x − 3) Ax 2 − 2Ax − 3A + Bx 2 + Bx + Cx 2 − 3Cx = x ( x − 3)( x + 1) x ( x − 3)( x + 1)
=
(A + B + C) x 2 + (−2A + B − 3C) x + (−3A) x ( x − 3)( x + 1)
Dari kesamaan diperoleh, A + B + C = 0, −2A + B – 3C = 5, −3A = 3. Jika dihitung, maka : A = −1 , B = −
1 3 ,C= 2 2
2) Integral partisinya 5x + 3 dx = x − 2 x 2 − 3x 3
= −ln(x) −
−1 dx + x
1 2 dx + x −3 −
1 3 ln(x–3) + ln(x+1) + k 2 2
164
3 2 dx x +1
Contoh 17 Hitunglah
5 x 2 + 3x − 1 dx ! x 3 + 3x 2 − 4
Jawab : Karena derajat pembilang lebih kecil dari penyebut, maka proses perhitunganya 1) Mempartisi bentuk integrand 5 x 2 + 3x − 1 5 x 2 + 3x − 1 A B C = = + + 3 2 2 x −1 x + 2 x + 3x − 4 ( x − 1)( x + 2) ( x + 2) 2 =
A( x + 2) 2 + B( x − 1)( x + 2) + C( x − 1) A( x 2 + 4 x + 4) + B( x 2 + x − 2) + C( x − 1) = ( x − 1)( x + 2) 2 ( x − 1)( x + 2) 2
=
(A + B) x 2 + (4A + B + C) x + (4A − 2B − C) ( x − 1)( x + 2) 2
Dari kesamaan disimpulkan, A + B = 5 , 4A + B + C = 3 , 4A – 2B – C = −1. Jika dihitung, diperoleh A =
29 46 39 ,B= ,C= 93 93 31
2) Integral partisinya 5 x 2 + 3x − 1 dx = x 3 + 3x 2 − 4
29 93 dx + x −1
46 93 dx + x+2
39 31 dx ( x + 2) 2
=
29 1 46 1 39 1 dx + dx + dx 93 x − 1 93 x + 2 31 ( x + 2) 2
=
29 46 39 ln(x – 1) + ln(x + 2) + .(−2 + 1)(x + 2)−2+1 + k 93 93 31
=
29 46 39 1 ln(x – 1) + ln(x + 2) − +k 93 93 31 x + 2
=
29( x + 2) ln(x − 1) + 46( x + 2) ln(x + 2) − 117 +k 93( x + 2)
165
5. Integral fungsi goniometri Mengintegralkan fungsi-fungsi goniometri pada umumnya tidak sesederhana seperti pada fungsi-fungsi aljabar, karena adanya pengulangan bentuk fungsi. Sehingga untuk menghitung beberapa bentuk integral fungsi goniometri, perlu telaahan secara khusus. Bentuk-bentuk tesebut diantaranya : 1)
Sin n ( x )dx atau Cos n ( x )dx
Metode penyelesaiannya dengan memperhatikan apakah n bilangan genap atau ganjil. a) Jika n bilangan ganjil, maka (1) Ubah bentuk Sinn(x) menjadi Sinn-1(x)Sin(x), dan Cosn(x) menjadi Cosn-1(x)Cos(x) (2) Gunakan hubungan Sin2(x) + Cos2(x) = 1 Sehingga diperoleh bangun Sink(x)Cos(x) atau Cosk(x)Sin(x)
Contoh 18 Hitunglah Sin 7 ( x )dx
Jawab Sin 7 ( x )dx = Sin 6 ( x )Sin ( x )dx = =
(Sin
2
)
3
( x ) Sin ( x )dx =
(1 − Cos
2
)
3
( x ) Sin ( x )dx
(1 − 3Cos (x) + 3(Cos (x)) − (Cos (x)) )Sin(x)dx 2
2
Subtitudikan Cos(x) = y Sin 7 ( x )dx =
(1 − 3y
= Cos(x) – Cos3(x) +
2
2
2
3
dy = dCos(x) = Sin(x)dx + 3y 4 − y 6 )dy = y – y3 +
3 5 1 7 y – y +k 5 7
3 1 Cos5(x) – Cos7(x) + k 5 7
b) Jika n genap maka (1) Ubah bentuk Sinn(x) menjadi (Sin2(x))n/2, dan Cosn(x) menjadi (Cos2(x))n/2 (2) Gunakan hubungan Sin2(x) =
1 1 (1 – Cos(2x)), Cos2(x) = (1 + Cos(2x)) 2 2
Sehingga diperoleh bangun Sink(x)Cos(x) atau Cosk(x)Sin(x) 166
Contoh 19 Hitunglah
1 π 4
Cos 6 ( x )dx !
0
Jawab 1 1 Cos6(x) = (Cos2(x))3 = ( (1 + Cos(2x)))3 = (1 + 3Cos(2x) + 3Cos2(2x) + Cos3(2x)) 2 8 =
1 3 3 1 1 + Cos(2x) + ( (1 + Cos(2x))) + Cos2(2x)Cos(2x) 8 8 8 2 8
=
1 3 3 1 1 + Cos(2x) + ( (1 + Cos(2x))) + ( 1 − Sin2(2x))Cos(2x) 8 8 8 2 8
Subtitusikan 2x = y
dy = 2dx
x=0
dx =
y=0 ,
x=
1 dy 2
1 π 4
y=
1 π 2
Sehingga 1 π 4
1 π 2
0
0
Cos 6 ( x )dx =
+
1 π 2 0
=
1 1 dy + 8 2
1 1 Cos( y) dy − 8 2
1 y 16
1 π 2 0
+
3 Sin ( y) 16
1 π 2 0
3 1 Cos( y) dy + 8 2
1 π 2 0
3 1 dy + 16 2
1 π 2
3 1 Cos( y) dy 16 2
0
1 π 2
1 Sin 2 ( y)Cos( y) dy 2 0
1 π 2 0
+
3 y 32
1 π 2 0
+
3 Sin ( y) 32
1 π 2 0
+
1 Sin ( y) 16
1 π 2 0
−
1 2
1 π 2
Sin 2 ( y)d (Sin ( y) )
0
=
1 1 3 1 3 1 3 1 ( π − 0) + (Sin( π) – Sin(0)) + ( π − 0) + (Sin( π) – Sin(0)) 16 2 16 2 32 2 32 2
+
1 1 1 1 1 (Sin( π) – Sin(0)) − (Sin3( π) − Sin3(0)) 16 2 2 3 2
=
1 3 3 3 1 1 113 + + + + − = 32 16 64 32 16 6 192 167
2)
Sin m ( x )Cos n ( x )dx
Menyelesaikan bentuk integral seperti ini, identik dengan bentuk 1), yaitu a) Sajikan Sinm(x) = Sinm-1(x)Sin(x), jika n ganjil, dan Sinm(x) = (Sin2(x))m/2, jika m genap analog Cos(x)n = Cos(x)n-1Cos(x), jika n ganjil, dan Cosn(x) = (Cos2(x))n/2, jika n genap b) Gunakan hubungan Sin2(x) + Cos2(x) = 1, jika m, atau n, atau keduanya ganjil, atau Sin2(x) =
1 1 (1 – Cos(2x)), Cos2(x) = (1 + Cos(2x)), jika m dan n genap. 2 2
Sehingga diperoleh bangun Sink(x)Cos(x) atau Cosk(x)Sin(x)
Contoh 20 Hitunglah Sin 3 ( x )Cos 4 ( x )dx !
Jawab : Sin3(x)Cos4(x) = Sin2(x)Sin(x)Cos4(x) = (1 – Cos2(x))Sin(x)Cos4(x) = (Cos4(x) – Cos6(x))Sin(x) sehingga Sin 3 ( x )Cos 4 ( x )dx = (Cos 4 ( x ) − Cos 6 ( x ))Sin ( x )dx = Cos 4 ( x )Sin ( x )dx − Cos 6 ( x )Sin ( x )dx subtitusikan Cos(x) = y Sin 3 ( x )Cos 4 ( x )dx =
dy = dCos(x) = Sin(x)dx y 4 dy −
y 6 dy =
1 5 1 7 1 1 y − y + K = Cos5(x) − Cos7(x) + k 5 7 5 7
Contoh 21 Hitunglah Sin 4 ( x )Cos 6 ( x )dx !
Jawab : Sin4(x)Cos6(x) = {Sin2(x)}2Cos6 = {1−Cos2(x)}2Cos6(x) = {1−2Cos2(x)+Cos4(x)}Cos6(x) = Cos6(x)−2Cos8(x)+Cos10(x) = {Cos2(x)}3 − 2{Cos2(x)}4 + {Cos2(x)}5 =[
1 1 1 {1 + Cos(2x)}]3 − 2[ {1 + Cos(2x)}]4 + [ {1 + Cos(2x)}]5 2 2 2 168
=
1 1 {1+3Cos(2x)+3Cos2(2x)+Cos3(2x) − {1+4Cos(2x)+6Cos2(2x)+4Cos3(2x)+Cos4(2x)} 8 8 +
=
1 {1+5Cos(2x)+10Cos2(2x)+10Cos3(2x)+5Cos4(2x)+Cos5(2x)} 32
1 3 1 1 1 1 Cos(2x) − Cos2(2x) − Cos3(2x) + Cos4(2x) + Cos5(2x) − 32 32 16 16 32 32
sehingga Sin 4 ( x )Cos 6 ( x )dx = +
1 Cos 5 (2 x )dx 32
subtitusikan 2x = y Sin 4 ( x )Cos 6 ( x )dx = + =
dx =
1 dy 2
1 1 1 1 x− Sin(y) − Cos 2 ( y)Cos( y)dy + {Cos 2 ( y)}2 dy 32 64 32 64
1 {Cos 2 ( y)}2 Cos( y)dy 64
1 {1 − Sin 2 ( y)}2 Cos( y)dy 64
1 1 1 1 1 x− Sin(2x) − {Sin(y)− Sin3(y)} + {1 + 2Cos(2 y) + Cos 2 (2 y)dy 32 64 32 3 256 +
=
dy = 2dx
1 1 1 1 1 x− Sin(2x) − {1 − Sin 2 ( y)}Cos( y)dy + [ {1 + Cos(2 y)}] 2 dy 32 64 32 64 2 +
=
1 1 1 1 dx − Cos(2 x )dx − Cos 3 (2 x )dx + Cos 4 (2 x )dx 32 32 16 32
1 {1 − 2Sin 2 ( y) + Sin 4 ( y)}Cos( y)dy + k 64
1 1 1 1 1 1 x− Sin(2x) − Sin(2x) − Sin3(2x) + {y+Sin(2y)+ {1 + Cos(4 y)}dy } 32 64 32 96 256 2 +
1 2 1 {Sin(y)− Sin3(y)+ Sin5(y)} + k 64 3 5
169
1 1 1 1 1 1 1 x− Sin(2x) − Sin(2x) − Sin3(2x) + {2x+Sin(4x)+ y+ Sin(4y)} 32 64 32 96 256 2 8
=
+
1 1 1 Sin(2x) − Sin3(2x) + Sin5(2x) + k 64 96 320
1 1 1 1 1 1 1 x− Sin(2x) − Sin(2x) − Sin3(2x) + x+ Sin(4x) + x 32 64 32 96 128 256 256
=
+
1 1 1 1 Sin(8x) + Sin(2x) − Sin3(2x) + Sin5(2x) + k 2048 64 96 320
11 1 1 1 1 1 x− Sin(2x) + Sin(4x) + Sin(8x) − Sin3(2x) + Sin5(2x) + k 256 32 256 2048 48 320
=
3)
Tg n ( x )dx atau Ctg n ( x )dx
Cara menyelesaikan integral seperti ini adalah dengan menuliskan (1) Tgn(x) = Tg2(x)Tgn-2(x) , Ctgn(x) = Ctg2(x)Ctgn-2(x), (2) Menggunakan hubungan Tg2(x) = Sec2(x) – 1, Ctg2(x) = Cosec2(x) – 1. Sehingga diperoleh bangun Tgk(x)Sec2(x).
Contoh 22 Hitunglah Tg 6 ( x )dx !
Jawab : Tg6(x) = Tg2(x)Tg4(x) = {Sec2(x) – 1}Tg4(x) = Sec2(x)Tg4(x) – Tg4(x) = Sec2(x)Tg4(x) – Tg2(x)Tg2(x) = Sec2(x)Tg4(x) – {Sec2(x) – 1}Tg2(x) = Sec2(x)Tg4(x) – Sec2(x)Tg2(x) + Tg2(x) = Sec2(x)Tg4(x) – Sec2(x)Tg2(x) + Sec2(x) – 1 subtitusikan y = Tg(x) Tg 6 ( x )dx =
y 4 dy −
dy = Sec2(x)dx , sehingga y 2 dy + dy − dx =
170
1 5 1 Tg (x) − Tg3(x) + Tg(x) – x + k. 5 3
Soal 23 Hitunglah Ctg 7 ( x )dx
Jawab : Ctg7(x) = Ctg2(x)Ctg5(x) = {Cosec2(x) – 1}Ctg3(x) = Cosec2(x)Ctg3(x) – Ctg3(x) = Cosec2(x)Ctg3(x) – Cosec2Ctg(x) + Ctg(x) dy = −Cosec2(x)dx, sehingga
subtitusikan y = Ctg(x)
Ctg 7 ( x )dx = − y 3 dy − − ydy + Ctg ( x )dx = −
1 1 Ctg4(x) + Ctg2(x) + ln{Sin(x)} + k 4 2
Catatan : Ctg ( x )dx =
4)
Cos( x ) dx = Sin ( x )
1 dSin ( x ) x = ln{Sin(x)} + k Sin ( x )
Tg m ( x )Sec n ( x )dx atau Ctg m ( x )Co sec n ( x )dx
Untuk menyelesaikan bentuk integral seperti ini perlu diperhatikan ciri dari m atau. a) Jika n genap dan m sembarang, maka tulis Secn(x) = Sec2(x)Secn-2(x) = {1 + Tg2(x)}Secn-2(x), Cosecn(x) = Cosec2(x)Cosecn-2(x) = {1 + Ctg2(x)}Cosecn-2(x) sehingga diperoleh bangun Tgk(x)Sec2(x)
Contoh 24 Hitunglah Tg 5 ( x )Sec 6 ( x )dx !
Jawab : Tg5(x)Sec6(x) = Tg5(x){1 + Tg2(x)}Sec4(x) = Tg5(x)Sec4(x) + Tg7(x)Sec4(x) = Tg5(x){1 + Tg2(x)}Sec2(x) + Tg7(x){1 + Tg2(x)}Sec2(x) = Tg5(x)Sec2(x) + Tg7(x)Sec2(x) + Tg7(x)Sec2(x) + Tg9(x)Sec2(x) = Tg5(x)Sec2(x) +2Tg7(x)Sec2(x) + Tg9(x)Sec2(x) Subtitusikan y = Tg(x) Tg 5 ( x )Sec 6 ( x )dx =
dy = Sec2(x)dx , sehingga y 5 dy + 2 y 7 dy +
y 9 dy = 171
1 6 1 1 Tg (x) + Tg8(x) + Tg10(x) + k 6 4 10
b) Jika m ganjil dan n sembarang, maka tulis Tgm(x) = Tg2(x)Tgm-2(x) = {Sec2(x) – 1}Tgm-2(x) Ctgm(x) = Ctg2(x)Ctgm-2(x) = {Cosec2(x) – 1}Ctgm-2(x) sehingga diperoleh bangun Coseck(x){Ctg(x)Cosec(x)}
Contoh 25 Hitunglah Ctg 7 ( x )Co sec 3 ( x )dx !
Jawab : Ctg7(x)Cosec3(x) = {Cosec2 – 1}Ctg5(x)Cosec5(x) = {Cosec2(x) – 1}Ctg4(x)Cosec4(x){Ctg(x)Cosec(x)} = {Cosec6(x) – Cosec4(x)}{Cosec2(x) – 1}2{Ctg(x)Cosec(x)} = {Cosec6(x) – Cosec4(x)}{Cosec4(x) – 2Cosec2(x) + 1}{Ctg(x)Cosec(x)} = {Cosec10(x) – 3Cosec8(x) + 3Cosec6(x) – Cosec4(x)}{Ctg(x)Cosec(x)} = Cosec10(x){Ctg(x)Cosec(x)} – 3Cosec8(x){Ctg(x)Cosec(x)} + 3Cosec6(x){Ctg(x)Cosec(x)} – Cosec4(x){Ctg(x)Cosec(x)} subtitusikan y = Cosec(x)
dy = Ctg(x)Cosec(x)dx
sehingga Ctg 7 ( x )Co sec 3 ( x )dx = =
5)
y10 dy − 3 y 8 dy + 3 y 6 dy −
y 4 dy
1 1 3 1 Cosec11(x) − Cosec9(x) + Cosec7(x) − Cosec5(x) + k 11 3 7 5
Sin (mx )Sin (nx )dx atau Sin (mx )Cos(nx )dx atau Cos(mx )Cos(nx )dx .
Untuk menyelesaikan integral seperti ini gunakan hubungan Sin(mx)Cos(nx) =
1 [Sin{(m+n)x} + Sin{(m−n)x}] 2
1 Sin(mx)Sin(nx) = − [Cos{(m+n)x} – Cos{(m−n)x}] 2 Cos(mx)Cos(nx) =
1 [Cos{(m+n)x} + Cos{(m−n)x}] 2 172
Sehingga diperoleh bentuk Sin(kx) atau Cos(kx)
Contoh 26 Hitunglah Sin (5x )Sin (6 x )dx !
Jawab : 1 1 1 Sin(5x)Sin(6x) = − Cos(11x) – Cos(−x)} = − Cos(11x) + Cos(x) 2 2 2 sehingga Sin (5x )Sin (6 x )dx = −
1 1 1 1 Sin(11x) + Sin(x) + k Cos(11x )dx + Cos( x )dx = − 2 2 22 2
6. Integral fungsi rasional dengan variabelnya berpangkat rasional Untuk menyelesaikan integral seperti ini subtitusikan x = yn, dengan n merupakan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut pangkat.
Contoh 27 Hitunglah
1− x 3
x2 − 4 x
dx !
Jawab :
1− x 3
x2 − 4 x
1
=
1− x 2 2 3
x −x
1 4
Subtitusikan x = y12
dx = 12y11dy , y =
12
x
Sehingga
1− x 3
x2 − 4 x
= 12
dx =
1 − y6 y11 − y17 y 8 − y14 11 12 y dy = 12 dy = 12 dy y8 − y3 y8 − y3 y5 − 1
− y9 − y 4 + y3 + y +
y4 + y3 dy y5 −1
= −12 y 9 dy − 12 y 4 dy + 12 y 3 dy + 12 ydy + 12
173
y4 y3 dy + 12 dy y5 −1 y5 −1
=−
6 10 12 5 12 y3 y − y + 3y4 + 6y2 + ln(y5−1) + 12 5 dy 5 5 5 y −1
6 =− 5 =−
6 5
10
12 12 5 12 12 5 y3 12 4 12 2 − x +3 x +6 x + ln( x -1) + 12 5 dy 5 5 y −1
12
x
6
x5 −
12 12 5 12 12 5 y3 x + 33 x + 66 x + ln( x -1) + 12 5 dy 5 5 y −1
Menghitung integral
y3 dy : y5 −1
1 1 3 2 1 − y3 + y2 + y + y3 y3 5 5 5 = = 5 + 54 5 4 3 2 3 2 y −1 y − 1 ( y − 1)( y + y + y + y + 1) y + y + y + y +1 =
1 4 y 3 + 3y 2 + 2 y + 1 1 1 y3 + − 5 y −1 5 y 4 + y3 + y 2 + y + 1 y4 + y3 + y2 + y + 1
Sehingga y3 dy = y5 −1
1 1 dy + 5 y −1 =
1 4 y 3 + 3y 2 + 2 y + 1 dy − 5 y4 + y3 + y2 + y + 1
1 1 ln(y−1) + ln(y4+y3+y2+y+1) − 5 5
y3 dy y 4 + y3 + y 2 + y + 1
y3 dy y 4 + y3 + y 2 + y + 1
y3 1 12 1 12 4 12 3 12 2 12 = ln( x −1)+ ln( x + x + x + x +1) − 4 dy 5 5 y + y3 + y 2 + y + 1 = Karena integral
1 12 1 y3 ln( x −1)+ ln( 3 x + 4 x + 6 x + 12 x +1) − 4 dy 5 5 y + y3 + y 2 + y + 1 y3 dy jika dihitung secara “manual”, tidak sederhana, y 4 + y3 + y 2 + y + 1
maka diselesaikan dengan menggunakan program Mathcad.
174
Hasilnya : y3 dy = y 4 + y3 + y 2 + y + 1 1 5 1 ln{2y2+(1− 5 )y+2}− ln{2y2+(1− 5 )y+2}− Arctg 4 20 5 10 + 2 5
−
+
=
−
+
+
=
−
+
+
1 10 + 2 5
Arctg
1 5 10 − 2 5
Arctg
4 y + (1 − 5 10 + 2 5 5
+
5
4 y + (1 − 5 10 + 2 5
1 5 ln{2y2+(1+ 5 )y+2}+ ln{2y2+(1+ 5 )y+2} 4 20
4 y + (1 + 5 10 − 2 5
−
1 10 − 2 5
Arctg
4 y + (1 + 5 10 − 2 5
1 5 ln{2 12 x 2 +(1− 5 ) 12 x +2} − ln{2 12 x 2 +(1− 5 ) 12 x +2} 4 20 1 5 10 + 2 5
Arctg
5
412 x + (1 − 5 10 + 2 5
1
−
10 + 2 5
412 x + (1 − 5
Arctg
10 + 2 5
1 5 ln{2 12 x 2 +(1+ 5 ) 12 x +2} + ln{2 12 x 2 +(1+ 5 ) 12 x +2} 4 20 1 5 10 − 2 5
Arctg
5
412 x + (1 + 5 10 − 2 5
−
1 10 − 2 5
Arctg
412 x + (1 + 5 10 − 2 5
1 5 ln{2 6 x +(1− 5 ) 12 x +2} − ln{2 6 x +(1− 5 ) 12 x +2} 4 20 1 5 10 + 2 5
Arctg
5
412 x + (1 − 5 10 + 2 5
1
−
10 + 2 5
Arctg
412 x + (1 − 5 10 + 2 5
1 5 ln{2 6 x +(1+ 5 ) 12 x +2} + ln{2 6 x +(1+ 5 ) 12 x +2} 4 20 1 5 10 − 2 5
Arctg
5
412 x + (1 + 5 10 − 2 5
−
1 10 − 2 5
175
Arctg
412 x + (1 + 5 10 − 2 5
Sehingga
1− x 3
x2 − 4 x
dx = −
6 5
6
x5 −
12 12 5 12 12 5 x + 33 x + 66 x + ln( x -1) 5 5
1 1 + 12[ ln( 12 x −1) + ln( 3 x + 4 x + 6 x + 12 x +1) 5 5
−{ −
−
+
+
−
1 5 ln{2 6 x +(1− 5 ) 12 x +2} − ln{2 6 x +(1− 5 ) 12 x +2} 4 20 1
5 10 + 2 5 1 10 + 2 5
Arctg
Arctg
5
412 x + (1 − 5 10 + 2 5
412 x + (1 − 5 10 + 2 5
+
1 ln{2 6 x +(1+ 5 ) 12 x +2} 4
5 ln{2 6 x +(1+ 5 ) 12 x +2} 20 1 5 10 − 2 5 1 10 − 2 5
Arctg
Arctg
5
412 x + (1 + 5 10 − 2 5
412 x + (1 + 5 10 − 2 5
}]
Metode mengintegralkan fungsi seperti yang sudah disajikan merupakan metode yang menghasilkan nilai eksak, dan pada umumnya dapat dilakukan secara “manual”
Ada
metode lain yang dapat dilakukan secara “manual”, tetapi hasilnya biasanya nilai pendekatan, yaitu dengan mengubah fungsi yang diintegralkan dalam bentuk deret.
176
V.4.
Beberapa penggunaan integral
1. Luas bidang datar Jika
Y
menelaah
konsepsi
dari
integral, maka pada integral tentu dari sebuah fungsi adalah luas y = f(x)
bidang yang dibatasi oleh grafik fungsi, sumbu-X, dan garis-garis batas integral.
X
Sehingga luas bidang yang dibatasi oleh grfik fungsi y = f(x), sumbu-
X=a
X, garis X = a, dengan X = b,
X=b
Gambar V.1 Bidang di bawah grafik
seperti di samping kiri ini, sama b
dengan L = f ( x )dx . a
Sedangkan luas bidang yang dibatasi oleh Y
dua grafik fungsi y = f(x) dengan y = g(x) seperti pada gambar di samping kanan ini, sama dengan x1
L=
{f ( x ) − g( x )}dx .
(x0,y0)
y = f(x)
x0
X
Karena nilai ini bisa negatif, sedang L>0, maka formulasi disajikan oleh x1
L=
y = g(x)
{f (x ) − g (x )}dx .
(x1,y1)
Gambar V.2 Bidang diantara dua grafik
x0
177
Contoh 28 Hitunglah luas bidang yang dibatasi oleh grafik fungsi y = x5 – x3 + x – 3, sumbu-X, garis X = −3 dengan X = 5 !
Jawab : Grafik fungsi jika digambarkan dengan
4.83
Mathcad adalah seperti di samping kiri ini. Karena bidang terbagi oleh sumbu-X, maka
10 f(x)
5
0
5
10
luas bidang harus dihitung berdasarkan
4.83
bidang yang ada di atas sumbu-X dengan di
9.66
Jika dihitung dengan menggunakan Mathcad,
bawah sumbu-X. absis titik potong grafik dengan sumbu-X yang
14.5
merupakan
bilangan
real,
adalah
x = 1,317
Luas bidang di bawah sumbu-X, 1, 317
(x
L1 =
5
)
− x 3 + x − 3 dx = (
−3
={
1,317 1 6 1 4 1 2 x − x + x −3x) −3 6 4 2
1 1 1 1 1 1 (1,317)6− (1,317)4+ (1,317)2−3(1,317)} − { (-3)6− (-3)4+ (-3)2−3(-3)} 6 4 2 6 4 2
= −2,966 − (114,75) = −117,716 Karena luas bidang harus merupakan bilangan posistif, jadi yang digunakan : L1 = 117,716 Luas bidang di atas sumbu-X 5
L2 =
(x
1, 317
={
5
)
− x 3 + x − 3 dx = (
1 6
5 1 1 x6− x4+ x2−3x) 1,317 4 2
1 6 1 4 1 2 1 1 1 (5) − (5) + (5) −3(5)} – { (1,317)6− (1,317)4+ (1,317)2−3(1,317) 6 4 2 6 4 2
= 2445,417 – (-2,966) = 2448,383 Sehingga luas bidang yang dicari, L = L1 + L2 = 117,716 + 2448,383 = 2566,099 (satuan luas) 178
Contoh 29 Hitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = 2x2 – 3x + 1, dengan y = ex !
Jawab : Jika digambarkan dengan mengunakan program Mathcad, maka sajian grafik kedua fungsi adalah
8.05
seperti di samping kanan. Absis
titik
potong
kedua
grafik,
dihitung
4.03 gx ()
berdasarkan persamaan 2x2 – 3x + 1 = ex 2
h(x)
10
x
2x – 3x + 1 – e = 0
5
0
5
10
4.03
Jika dihtung dengan Mathcad, diperoleh nilai x=
8.05
3 1 3 1 − 1 + 8e e dan x = + 1 + 8e e 4 4 4 4
x
Dari gambar, seluruh bidang berada di atas sumbu-X, sehingga luas bidang yang dicari, L=
3 1 + 1+ 8 e e 4 4 x
(e − (2x
))
− 3x + 1 dx
2
3 1 − 1+8 e e 4 4
3 1 + 1 + 8e e 2 3 3 2 e 4 4 = (e − x + x − x) 3 1 3 2 − 1 + 8e e 4 4 3 1 + 1+ 8 e e 4
= e4
−
2 3 1 + 1 + 8e e 3 4 4
3 1 − 1+ 8 e e 4
− e4
−
3
+
2 3 1 − 1 + 8e e 3 4 4
3 3 1 + 1 + 8e e 2 4 4 3
+
2
3 3 1 − 1 + 8e e 2 4 4
= 256,232 (satuan luas)
179
3 1 + 1 + 8e e 4 4
− 2
−
3 1 − 1 + 8e e 4 4
2. Persamaan gerak benda Dalam ilmu fisika, jika a(t) percepatan benda pada saat t, maka persamaan kecepatan pada saat t, v(t) = a ( t )dt , dan persamaan lintasan gerak benda, s(t) =
v( t )dt .
Contoh 30. Sebuah benda bergerak dengan percepatan awal konstan 20 m/detik2.
Hitunglah jarak
tempuh setelah 0,5 jam dari titik awal, jika pada saat akan bergerak berjarak 1 km dari titik awal, dan kecepatan setelah 0,5 jam tersebut sama dengan 120 m/detik ?
Jawab : Persamaan gerak benda, v(t) = 20dt = 20t + K, t = 0,5(jam) = 30(menit) = 1800(detik)
v(t) :
v(1800) = 120(m/detik) = 20(1800) + K (m/detik) Persamaan gerak lintasan, s(t) = v( t )dt = t = 0 (detik)
20 t +
K=
s(1800) = 10(1800)2 +
v(t) = 20t +
1 (0) + k (m) 300
s(t) :
1 (1800) + 1000 (m) = 32.401.006 (m) = 32.401 (km) 300
Jarak tempuh setelah bergerak 0,5 jam, adalah 32.401 km.
180
1 300
1 1 t + k, dt = 10t2 + 300 300
s(t) : s(0) = 1(km) = 1000(m) = 10(0)2 +
t = 0,5(jam) = 1800(detik)
1 300
k = 1000
3. Benda putar
y = f(x)
Y y=d y=c
2
Q P
1
X
x=a
x=b Gambar V.3 Benda putar y = f(x) (1) sumbu putar, X; (2) sumbu putar, Y
Perhatikan Gambar V.3. Bangun-1 adalah benda putar yang diperoleh, jika bidang yang dibatasi oleh grafik y = f(x), garis x = a, x = b, dan sumbu-X, diputar, dengan sumbu putar sumbu-X.
Sedangkan bangun-2, adalah benda putar yang diperoleh, jika bidang yang
dibatasi oleh grafik y = f(x), garis x = a, dan y = d, diputar, dengan sumbu putar sumbu-Y. Pada benda putar ini ada dua hal yang dapat dipelajari, yaitu luas selimut (L) dan volume benda (V). Yang dimaksud dengan selimut benda putar, adalah bidang putar yang diperoleh sebagai hasil pemutaran bagian grafik PQ.
Tidak termasuk bidang-bidang lingkaran
penutupnya. Jika LX dan VX, masing-masing luas selimut dan volume benda putar bangun-1 (benda putar dengan sumbu putar sumbu-X), maka b
LX = 2π f ( x ) 1 + (f ′( x ) ) dx 2
a
dan b
VX = 2π xf ( x )dx a
181
Untuk menghitung luas selimut dan volume benda putar bangun-2 (benda putar dengan sumbu putar sumbu-Y), dapat digunakan analoginya, dengan proses sebagai berikut 1. Ubah bentuk fungsi y = f(x) menjadi x = g(y). 2. Jika LY dan VY, masing-masing luas selimut dan volume benda putar bangun-2, maka d
LY = 2π g ( y) 1 + (g ′( y) ) dy 2
c
dan d
VY = 2π yg ( y)dy c
Contoh 31 Hitung luas selimut dan volume benda putar, yang dibangun dengan memutar bagian grafik fungsi y = x3, antara titik (0,0) dengan (2,4) !
Jawab : 9.66
Jika diputar dengan sumbu putar sumbu-X.
6.44
f(x) = x3 2
3.22
f(x) 10
6
2 2 3.22
f′(x) = 3.x2
LX = 2π x 6
10
6.44 x
3
( ) dx
1 + 3x
2 2
2
= 2π x 3 1 + 9 x 4 dx
0
0
Jika disubtitusikan u = 1 + 9x4 x=0
u=1
x=2
u = 145
du = 36x3dx
sehingga luasnya : 145 2
LX = 2π x 0
=
3
1
145
+1 1 π 1 1 + 9 x dx = 2π u du = u2 36 18 1 1 +1 2 4
290π 145 (satuan luas) 27 182
1
1 2π = 145 2 27 1
dan volumenya : 2
2
2
1 4+1 VX = 2π x ( x )dx = 2π x dx = 2π x 4 +1 0 0 3
4
= 0
2π 5 64π 2 = (satuan volume) 5 5
Jika diputar dengan sumbu putar sumbu-Y. 1
y = x3
g′(y) =
x = y 3 = g(y)
2
1 −3 y 3
sehingga luas dan volumenya : 4
LY = 2π y
1 3
0
= 2π
4
0
2
2
1 − 1+ y 3 3
1 3y
1 3
dy = 2π y 0
1 3
4
4
1
4
9y 3 + 1 1 − 1 + y 3 dy = 2π y 3 dy 4 9 0 9y 3
4 3
9 y + 1 dy
Jika disubtitusikan u = y
2 3
1
2 − du = y 3 = 3
2 3y
1 3
dy
u=0
y=0
u= 4
y=4 LY = 2π
4
4
0
1 3y
1 3
2 3
= 3 16 3
4 3
9 y + 1 dy = π
16
9u 2 + 1 du
0
Jika disubtitusikan u =
1 tg(w) 3
du =
1 sec2(w)dw , w = arctg(3u) 3
u=0
w = arcTg(0) = 0 (radial)
u = 3 16
w = arcTg(3 3 16 ) = 1,439 (radial)
Sehingga
183
3
LY = π
16
1, 439
9u 2 + 1 du = π
0
0
π 3
1, 439
π = 3
1, 439
=
=
tg 2 ( w ) + 1
0
sin 2 ( w ) + cos 2 ( w ) π dw = 4 3 cos ( w )
π tg ( w )d{tg ( w )} + 3 0 2
π {3u}3 9
3
0
16
+
π 1 sec 2 ( w )dw = 3 3
1, 439
sec 4 ( w )dw 0
1, 439
tg 2 ( w ) sec 2 ( w )dw + 0
1, 439
π 1 3 d{tg ( w )} = tg ( w ) 3 3 0
3 π {3u} 0 16 = 48π + π3 16 = 2π(48 + 3
3
π 3
1, 439
1, 439
+ 0
sec 2 ( w )dw 0
π {tg( w )}10, 439 3
2 ) (satuan luas)
4 4
1 3
4
4 3
VY = 2π y( y )dy = 2π y dy = 2π 0
V.5.
0
1 4 +1 3
4
y3
+1
=
6π 3 7 96π 3 4 = 4 (satuan volume) 7 7
0
Menggunakan Mathcad untuk menghitung integral
Pada umumnya perhitungan integral tidak “lebih mudah” dari perhitungan diferensial. Dalam perhitungan diferensial, bagaimanapun kompleksnya persamaan fungsi yang akan didiferensialkan, masih dapat dilakukan secara “manual”. Hanya mungkin, memerlukan waktu yang cukup lama.
Biasanya makin kompleks bentuk fungsi yang akan
didiferensialkan, makin kompleks pula persamaan fungsi turunannya.
Perhatikan saja
contoh pada IV.9. Dalam perhitungan integral, jika semua metode integrasi seperti yang telah dipaparkan, tidak dapat digunakan, maka cara yang “mudah” adalah dengan menggunakan paket program Mathcad. Misalnya, menghitung
( 2 x 2 − 3x + 2) dx , yang proses perhitungan jika log(3x − 1) 3
menggunakan Mathcad, adalah
184
1. Jalankan program Mathcad
dan tutup RESOURCE CENTRE
185
2. Tulis persamaan fungsi integradnya.
3. Klik “pointer” integral tak tentu.
186
4. Pada “kotak hitam kecil” di depan huruf “d”, tulis “f(x)”, dan di belakangnya huruf “x”
5. Klik “pointer” → pada kotak Evaluate . . .
187
6. Klik di luar “kotak formulasi integrasi”
7. Hasil yang diperoleh ( 2 x 2 − 3x + 2) 3 ln (10 ) 1 ln (10 ) 49 ln(10 ) 1 ln (10 ) dx = − x+ − x2 + 3 2 2 2 ln (3x − 1) 3 ln (3x − 1) 18 ln (3x − 1) 2 ln(3x − 1) log(3x − 1) 3
−
3
3
3
3 ln(10 ) 1 ln(10 ) 49 ln(10 ) 1 ln (10 ) 11 3 x+ − x2 + − ln(10 ) Ei(1,− ln (3x − 1)) 2 2 2 ln (3x − 1) 3 ln (3x − 1) 18 ln (3x − 1) 2 ln (3x − 1) 54 3
3
3
3
11 ln (10 ) 14 ln (10 ) 10 ln (10 ) ln (10 ) 3 x2 + x2 + ln (10 ) Ei(1,−2 ln (3x − 1)) − x3 − 3 x3 2 2 6 ln (3x − 1) 3 ln (3x − 1) 27 ln (3x − 1) ln (3x − 1) 1 3 − ln (10 ) Ei(1,−3 ln (3x − 1)) + K 3 +
3
3
3
Catatan : Ei(a , b) = e a +ib , i = − 1
188
3
V.6.
Integral tak wajar
Yang dimaksud dengan integral tak wajar, adalah integral tentu dengan salah satu atau kedua batas integralnya adalah bilangan tak hingga, ∞. Sehingga bentuk-bentuk integral tak wajar adalah
b
∞
f ( x )dx ,
−∞
∞
f ( x )dx ,
f ( x )dx . Deskripsinya sama dengan nilai limit, jika
−∞
a
salah satu atau kedua batas integral limitnya ∞. b
b
∞
a →−∞ a
a
f ( x )dx = Lim f ( x )dx ,
−∞
b
∞
b →∞ a
−∞
f ( x )dx = Lim f ( x )dx ,
b
f ( x )dx = Lim Lim f ( x )dx a →−∞ b →∞ a
Contoh 32 Hitunglah
1 π 2
1 Sin − x
−∞
Cos x
1 x dx
Jawab : 1 π 2
−∞
Sin
1 − x
= Lim xSin a →∞
1 1 1 1 1 1 π π π Cos Cos 2 2 2 x dx = Lim Sin 1 − x dx = Lim Sin 1 dx − Lim x dx a → −∞ a → −∞ a → −∞ x x x x x a a a
Cos
1 x
1 π 2 a
−
1 π 2 a
−
1 1 1 π Cos 2 x dx − Lim x dx a →−∞ a x x
Cos
1
π
2 1 1 1 = Lim πSin − aSin + Lim a →−∞ 2 a →−∞ a 1 a π 2
1 1 1 π Cos 2 x dx − Lim x dx a →−∞ a x x
Cos
1 2 1 1 2 = πSin − Lim aSin = πSin − Lim 2 π a →−∞ a 2 π a →−∞ =
1 1 Sin 1 2 a = πSin − Lim a 1 1 1 2 π →0 a a a
Sin
1 2 πSin − 1 2 π 189
Integral tak wajar sering digunakan dalam teori Statistika, misalnya pada deskripsi fungsi distribusi peluang.
Definisi Fungsi y = f(x) disebut fungsi distribusi peluang, jika 1. 0 ≤ f(x) ≤ 1, untuk setiap nilai x, −∞ < x < ∞ 2.
∞
f ( x )dx = 1
−∞
Contoh 32 − 1 Telaah apakah fungsi f(x) = e a 2π
(x−b )2 2a2
, dengan a , b konstanta, dan a > 1; merupakan
fungsi distribusi peluang ?
Jawab :
1.
1 e a 2π
Karena
−
1 = a 2π2 ( x −b )
( x − b )2 2a 2
e
2a 2
1 < 1 , dan e a 2π
− 1 Lim e x →−∞ a 2 π
( x − b )2 2a
2
− 1 e 2. −∞ a 2π
( x − b )2 2a
2
2a2
( x − b )2 2a
− 1 = e a 2π
2
(∞ − b )2 2a 2
=
1 e −∞ = 0 a 2π
< 1 , untuk setiap nilai x
1 dx = a 2π
− 1 e Sehingga −∞ a 2π
2a 2
e
(x−b )2
Jika disubtitusikan, y = ∞
2a2
− 1 = Lim e x →∞ a 2 π
− 1 Sehingga 0 < e a 2π ∞
1 > 1, maka a 2π2 < 1. ( x −b )
(x−b )2
∞
e
−∞
x−b a 2
( x − b )2 2a 2
dx =
−
( x −b )2 2a
2
1 dx = a 2π 1
dy = 1 a 2π
a 2 ∞
2
dx
∞ −
e
190
a 2
−∞
2
dx
dx = a 2 dy.
e − y a 2dy =
−∞
x −b
1 π
∞
2
e − y dy
−∞
Jika dimisalkan,
∞
e
− y2
−∞
∞
2
dy = c, maka c =
e
−y2
−∞
2
dy
=
∞ ∞
e−( y
2
+z2 )
−∞ −∞
dydz . Sehingga jika
dihitung dalam koordinat polar, dengan mensubtitusikan y = r Cos θ dan z = r Sin θ, maka 2
c =
∞ ∞
−∞ −∞
2π
=
e
−( y 2 + z 2 )
−
0
dydz =
2π ∞
e
−r2
rdrdθ =
2π
∞
0
0
0 0
(
)
2 1 −∞2 e − e − 0 dθ = 2
− 1 e Sehingga, −∞ a 2π ∞
− 1 Jadi f(x) = e a 2π
2π 0
rdr dθ =
( )
1 1 2π dθ = θ 0 = π 2 2
( x − b )2 2a 2
e
−r2
1 π
dx =
∞
2
e − y dy =
−∞
c= 1 π
2π 0
∞
1 2 − e− r 2 2
−∞
π=1
merupakan fungsi distribusi peluang.
Contoh 33 Perhatikan fungsi yang didefinisikan seperti di bawah ini f(x) = cxe 0
1 − x 2
, jika 0 < x < ∞ ; c : konstanta , jika - ∞ < x < 0
Tentukan c agar f(x) merupakan fungsi distribusi peluang !
Jawab 1.
0 ≤ f(x) ≤ 1 karena 0 < x e
1 − x 2
1
< 1, maka 0 ≤ c ≤
xe
2.
∞
f ( x )dx =
−∞ a 0
cxe
1 − x 2
0
∞
0dx + cxe
−∞
0
a
dx = c xe 0
1 − x 2
1 − x 2
∞
dx = cxe
1 − x 2
0
dx = c x (−2e
1 − x 2
1 − x 2
dx = 1
a
a
) − − 2e 0
0
191
1 − x 2
dx
dθ 0
e − y dy = π
( x−b )2 2a2
∞
= c − 2(ae
1 − a 2
− 0e
1 − 0 2
a
)+2 e
1 − x 2
dx = c − 2ae
1 − a 2
+ 2( − 2e
1 a − x 2
0
= c − 2ae ∞
cxe
1 − x 2
1 − a 2
dx = Lim c − 2ae a →∞
0
− 4( e 1 − a 2
1 − a 2
−e
− 4e
1 − 0 2
1 − a 2
0
) = c − 2ae
1 − a 2
− 4e
+ 4) = − 2c Lim ae
1 − a 2
a →∞
= −2c(0) − 4c(0) + c(4) = 1
1 − a 2
+4
− 4c Lim e a →∞
1 − a 2
+ c Lim 4 a →∞
1 4
c=
SOAL-SOAL UNTUK LATIHAN 1. Hitunglah f ( x )dx , jika f(x) = a.
2x − 3 2x − 6x + 5 3x 2 − 2 x + 1
d.
g. j.
3x − 1 e (3x −1) 2 ln 3x − 2 x + 1
b.
2
x3 − x2 + x − 5
(
Cos(2 x − 3)
)
2x − 3
e.
3x 2 − 25
c.
(2x3 − 3x2)Sin(x4)
f.
3x 2 − 2 x + 5 6x 3 + x 2 − 2 x
x − 33 x + 2 x x −2
h.
(3x2 − 4x +1)Tg(x3 − 2x2 + x − 5)
i.
Cos x Cos3 (x − 3)
k.
(2x3 − 3x2 − x +5) Cos2 (2x + 3)
l.
4
x −a x2 − a2 e2xlog3x
2. Hitunglah nilai integral tentu di bawah ini a.
c.
1 π 4
(2 x − 3)Sin ( x − 3x + 1)dx 2
2
b.
1 − π 2
2 x 4 − 3x + 1 dx 2 − 5 2 x − 3x + 1 7
d.
1 π 2 1 − π 2
1 π 6
1 − π 3
x 2 − x +1 2x − 1 192
Cos( x 2 − 2 x + 1)dx
dx
e.
9 2
log(2 x 2 − 3x − 2)dx
f.
i.
1 π 6
e
Sin ( 2 x −3)
1 − π 3
Cos(2 x − 3)dx
g.
5 1 − Cos( π − 2 x ) 6 dx 1 1 − π Sin (2 x − π) 3 3 1 π 6
1 6
ln(3x 2 − 2 x − 1) dx 3x − 1 −2 1 π 6
j.
1 − π 3
3x 3 − 1 3x − 4 x + 1 2
dx
h.
k.
2x − 3 dx −3 2 x − 5x + 3 6
2
1 π 6
e ( 2 x −1) ln(x + 1)dx
1 − π 3
3. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y = f(x) dengan y = g(x), jika a.
d.
4.
1 1 x +1 2 3 2 g ( x ) = 2 x − 3x + 1
f (x ) =
f (x ) = x 3 + 2 g(x ) = 2x 2
f ( x ) = log( x + 1) b.
e.
1 26 g(x ) = x 2 − x 3 9 f ( x ) = e ( 2 x −1) g ( x ) = ln(x + 2
c.
f.
f (x ) = − x 2 + 2x − 1 g ( x ) = 2 x 2 − 3x + 1 f (x ) = 4 − x 2 g(x ) = 2x − 1
Kecepatan aliran darah sepanjang pembuluhnya, memiliki persamaan v = K(R2 − r2) dengan K : konstanta, yang menyatakan kecepatan maksimum aliran darah R : konstanta, yang menyatakan jari-jari pembuluh darah r, konstanta, yang menyatakan jarak sel darah khusus ke pusat pembuluh darah. Laju kecepatan (rate) aliran darah, dapat dihitung dengan mengukur volume darah yang melewati titik ukur, dalam periode waktu tertentu.
Volume tersebut dapat
diformulasikan dalam persamaan R
V = 2πvr dr 0
π : bilangan irasional a.
Hitunglah V, jika R = 0,30 cm dan v = (0,30 − 3,33r2) cm/detik !
b.
Tentukan formulasi umum dari V !
193
5.
Laju produksi dari sebuah produk baru, mengikuti model
dx 400 = 200 1 + dt (1 + 40) 2
x : banyak item produk, dalam 100 unit t : waktu produksi, dalam satuan minggu a.
Hitunglah total produk dalam lima minggu pertama ! Berapakah totalnya dalam selang waktu 10 minggu ?
b.
Jika laju penurunan produksi, diformulasikan oleh persamaan D’(t) = 3000(20 − t) 0 ≤ t ≤ 20, selang waktu produkasi, dalam satuan tahun Maka hitunglah total penurunan produksi untuk 10 tahun pertama ! Berapakah totalnya untuk 10 tahun berikutnya ?
c.
Jika laju penjualan produk tersebut, memiliki model dengan persamaan S’(t) = −3t2 + 300t 0 ≤ t ≤ 30 : selang waktu penjualan setelah promosi selesai dilakukan, dalam satuan hari Maka hitunglah total penjualan untuk satu minggu pertama, setelah selesai promosi, dan satu minggu berikutnya. Jika total penjualan pada saat promosi selesai, adalah 500 unit.
6.
2
Total penjualan harian sebuah produk, memiliki model S = 100 xe − x + 100 , x : hari-hari penjualan, setelah promosi produk dimulai.
Hitunglah rata-rata penjualan harian,
selama 20 hari pertama promosi ! Jika tidak ada promosi baru, maka hitunglah rata-rata penjualan harian untuk 10 hari berikutnya ! 7.
Hitunglah integral tak wajar di bawah ini a.
x
∞ −∞
(x
2
)
+1
2
dx
b.
∞ −∞
x3 ex
4
dx
194
c.
−2 −∞
x x 2 −1
dx
d.
8.
−∞
(x
4
+3
)
2
dx
e.
x2
0
−∞
e
x
3
dx
∞
f.
5
x 4 e − x dx
−∞
Hitunglah c agar a.
c
∞ 0
9.
x3
∞
e
0,5 t
dt = 1
b.
∞ 10
(x
cx 3 2
)
+1
2
dx = 2
c.
∞
1
1
x x
dx = 5
Hitunglah luas daerah di bawah lengkungan y = f(x), dan di sebelah kanan sumbu x = 1, jika a.
f (x ) =
x e
x3
b.
f(x) = log x
f(x) = ex
c.
d.
f (x) =
x +1 x −1
10. Misalkan laju kemampuan reaktor nuklir untuk membuat produk beradioaktif, proporsional dengan lama beroperasinya reaktor tersebut. Jika laju tersebut memiliki model f(t) = 500 t, t : waktu dalam satuan tahun. Dan laju penurunan kemampuan, membangun model eksponensial dengan rata-rata 3% pertahun, maka perkiraan b
akumulasi produk selama b tahun, akan memiliki model 500 te −0,03( b − t ) dt . 0
a.
Hitunglah formulasi untuk perkiraan akumulasi tersebut !
b.
Berapakah akumulasi produk selama reaktor berfungsi ?
11. Untuk fungsi-fungsi di bawah ini, manakah yang merupakan distribusi peluang ? 1
a.
x f (x) = ,x≥0 x +1
c.
x2 f ( x ) = 18 , - 3 < x < 3 0 , untuk yang lainnya
b.
1 − x f ( x ) = e 2 , −∞ < x < ∞ 2 d.
195
f (x ) =
x+2 , -2
12. Hitunglah luas selimut dan volume benda putar, yang diperoleh dari hasil memutar bidang yang dibatasi oleh a.
X = 2 , Y = X3 , X = 5 , jika diputar dengan sumbu putar, sumbu-X
b.
Y = 2X2 − 3X + 1 , Y = −3X2 + 2X + 1 , jika diputar dengan sumbu putar, sumbu-Y
13. Selesaikan formulasi integrasi di bawah ini x Sec 2 2x dx
a.
b.
3 π 4
Sin 3 x Cos x dx
c.
0
Sec 3 x dx 3 + Tg x
d.
g.
π π Sec x Tg x dx 4 4 0
1
e.
Cosec 2x Cotg 2x dx
3 π 4 1 π 3
f.
x 2 Tg x 3 dx 1 π 3
x Sec x Tg x dx
0
h.
1 π 2 0
(Cos 2x - Sin 2x) dx )
i.
Cos x ln (Sin x) dx
14. Hasil penjualan produk AC secara obralan, dari sebuah toko elektronik, memiliki model P( t ) = 200 Cos
π t + 100 6
t : bilangan bulan a.
Bangun tabel hasil penjualan untuk 0 ≤ t ≤ 12 !
b.
Berdasarkan nilai-nilai dari tabel tersebut, gambarkan grafik hasil penjualan !
c.
Tentukan periode waktu yang menyebabkan toko akan kehilangan hasil penjualan !
15. Laju produksi sebuah komoditi menurut waktu produksi, memiliki model
dx 400 = 200 1 + dt (t + 40)2 x : banyak item barang, t : waktu produksi (dalam mingguan) a.
Jika pda saat t = 0 , x = 0, maka sajikan persamaan yang menyatakan total produksi sepanjang wktu t !
b.
Hitunglah total produksi selama lima minggu ! 196
16. Bumi hanya memiliki sekitar 10 juta are, lahan yang baik untuk dijadikan daerah pertanian. Dan populasi penduduk bumi terbatas. Jika populasi penduduk terbatas pada 40 juta jiwa, dan laju pertumbuhannya proporsional dengan “kapan dunia berakhir”, yang merupakan batas atas waktu kehidupan dan penghidupan.
Sehingga laju
pertumbuhan penduduk dapat diformulasikan dengan persamaan dP = K (40 − P) dt K : konstanta positif. Formulasi tersebut identik dengan t =
1 1 dP K 40 − P
a. Sajikan formulasi persamaan t atas P ! b. Gunakan sifat hubungan fungsi logaritma dengan eksponensial, untuk membangun persamaan P atas t !
17. Sebuah partikel bergerak lurus dengan persamaan percepatannya, a ( t ) = te t
2
t : waktu, dalam detik Hitunglah kecepatan dan jarak tempuh, setelah partikel bergerak a. 0,5 menit
b.
50 detik
c.
0,5 jam
d.
1 menit 25 detik
18. Dalam ilmu statistika, salah satu konsepsi yang sering digunakan adalah ekspektasi matematis, E[f(x)]. Jika x variabel acak yang memiliki fungsi distribusi peluang p(x), ∞
dan f(x) fungsi atas x. Maka E[f ( x )] = f ( x ) p( x ) dx , jika nilainya ada dan berhingga. −∞
Jika x memiliki fungsi distribusi peluang p( x ) =
x+2 , -2< x <4 , maka 18 0 , untuk yang lainnya
hitungalah E[f(x)], jika f(x) = a. x
b.
(x + 2)3
c.
197
6x − 2(x + 2)2
d.
x − E[x]
BAB VI DERET Deret (series) dengan barisan (sequence) merupakan dua kata yang saling berkaitan. Barisan adalah fungsi dengan domain himpunan bilangan bulat positif (bilangan cacah). Nilainilai a1, a2, . . . , an, . . . , disebut barisan, jika merupakan
sebuah urutan.
Artinya, a1 nilai
kesatu, a2 nilai kedua, dan seterusnya. Barisan a1, a2, . . an, . . . dengan b1, b2, . . . , bn, . . . , disebut sama jika ai = bi untuk setiap i. Dalam hal lain tidak sama. Misal barisan 2, −1, 3, 6, −8, dengan 2, 3, −1, 6, −8 , tidak sama. Untuk menyatakan sebuah barisan a1, a2, . . . , an, . . . , ∞ . Dalam hal ini, ai dinamakan suku barisan, sedangkan jumlah suku digunakan notasi {a i } i =1 barisant, a1 + a2 + . . . + an + . . . =
∞ i =1
a i , dinamakan deret.
∞ Barisan {a i } disebut konvergen ke L < ∞ (berhingga), jika Lim a i = L . Dalam hal lain i→∞ i =1 disebut divergen. Misal barisan
∞ 3i 2 . Untuk menelaah apakah merupakan barisan 2 7i + 1 i = 1
konvergen atau divergen ? Maka hitunglah Lim i→∞
3i 2 Lim 2 = Lim i → ∞ 7i + 1 i →∞
Jadi barisan
3 7+
1 i2
=
3 7+
1 ∞2
=
3i 2 ! 7i 2 + 1
3 3 (berhingga) = 7+0 7
∞ 3i 2 , konvergen. 2 7i + 1 i = 1
Contoh lain. Telaah apakah barisan 0,
3 2 5 4 7 6 , , , , , , . . . , konvergen atau divergen ? 2 3 4 5 6 7
Jika suku barisan tersebut disajikan dengan formulasi eksplisit, maka formulasinya 1 a i = 1 + (−1) i . i Sehingga Lim a i = Lim 1 + (−1) i i→∞
i →∞
1 1 = 1 + Lim (−1) i = 1. Jadi barisan konvergen. i → ∞ i i
VI.1. Deret Konvergen Perhatikan deret
∞ i =1
ai .
Formulasi s n =
n i =1
a i , dinamakan deret parsial.
Sebuah deret
disebut konvergen ke L, jika barisan deret parsialnya, konvergen ke L, Lim s i = L . Dalam hal i →∞
lain disebut divergen.
