Ingenierie Financiere Math

Université du Québec à Montréal Faculté des sciences Département de mathématiques

Une introduction aux mathématiques de l’ingénierie financière Document de référence

Composé par : Mathieu Boudreault, Ph.D., F.S.A. Professeur adjoint Département de mathématiques Université du Québec à Montréal

Version du 6 septembre 2011 (avec une révision des notions de théorie de l’intérêt et de probabilités) © 2011 Mathieu Boudreault

Table des matières Préface

ix

0 Introduction 0.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . 0.3 Exemples de produits dérivés . . . . 0.4 Notions d’arbitrage et de réplication 0.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5.1 Examen MFE/3F . . . . . . . 0.5.2 Exercices supplémentaires . .

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Modèles à temps discret pour l’actif sous-jacent

1 Arbre binomial à une période 1.1 Modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Évaluation par réplication . . . . . . . . . 1.3 Évaluation neutre au risque . . . . . . . . 1.3.1 Une simple réorganisation . . . . . 1.3.2 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Théorème fondamental d’évaluation 1.4 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Évaluation avec la probabilité réelle . . . . 1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Examen MFE/3F . . . . . . . . . . 1.6.2 Exercices supplémentaires . . . . . 2 Arbre binomial à deux périodes 2.1 Modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Évaluation par réplication . . . . . . . . . 2.2.1 Complément d’informations . . . . 2.3 Évaluation neutre au risque . . . . . . . . 2.3.1 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Théorème fondamental d’évaluation 2.4 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

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1 1 2 2 3 6 6 6

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11 11 12 15 15 15 17 22 22 23 23 23

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25 25 26 30 32 34 35 37

iv

TABLE DES MATIÈRES 2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Examen MFE/3F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38 38 38

3 Généralisations et applications de l’arbre binomial 3.1 Arbre binomial à plusieurs périodes . . . . . . . . . . 3.1.1 Évaluation par réplication . . . . . . . . . . . 3.1.2 Évaluation neutre au risque . . . . . . . . . . 3.2 Options américaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Options sur autres actifs . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Applications variées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Examen MFE/3F . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . .

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41 41 42 44 48 50 51 53 53 53

4 Arbres trinomiaux et marchés incomplets 4.1 Modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Évaluation par réplication . . . . . . . . . 4.3 Évaluation neutre au risque . . . . . . . . 4.3.1 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Théorème fondamental d’évaluation 4.4 Arbres trinomiaux à deux actifs risqués . . 4.5 Applications actuarielles . . . . . . . . . . 4.6 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Examen MFE/3F . . . . . . . . . . 4.7.2 Exercices supplémentaires . . . . .

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Modèle de Black-Scholes

5 Mouvement brownien 5.1 Rappels et intuitions . . . . . . . . . . . . 5.2 Construction du mouvement brownien . . 5.3 Mouvement brownien standard (MBS) . . 5.3.1 Simulation . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Autres propriétés du MBS . . . . . 5.4 Mouvement brownien arithmétique (MBA) 5.4.1 Simulation . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Mouvement brownien géométrique (MBG) 5.5.1 Simulation . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Estimation des paramètres . . . . . 5.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Examen MFE/3F . . . . . . . . . . 5.6.2 Exercices supplémentaires . . . . .

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TABLE DES MATIÈRES

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6 Introduction au calcul stochastique 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Différentiation et intégration déterministe . . 6.3 Différentiation et intégration stochastique . . . 6.4 Calcul stochastique d’Ito . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Exemples d’application du lemme d’Ito 6.5 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Examen MFE/3F . . . . . . . . . . . . 6.6.2 Exercices supplémentaires . . . . . . . 7 Solutions au modèle de Black-Scholes 7.1 Modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Évaluation par réplication . . . . . . . . 7.2.1 Équations aux dérivées partielles 7.2.2 Stratégies auto-financées . . . . . 7.2.3 Dérivation . . . . . . . . . . . . . 7.3 Évaluation neutre au risque . . . . . . . 7.4 Formule de Black-Scholes . . . . . . . . . 7.5 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1 Examen MFE/3F . . . . . . . . . 7.6.2 Exercices supplémentaires . . . .

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8 Applications du modèle de Black-Scholes 8.1 Options sur autres actifs . . . . . . . . . . 8.1.1 Évaluation par réplication . . . . . 8.1.2 Évaluation neutre au risque . . . . 8.1.3 Formule de Black-Scholes . . . . . . 8.2 Options exotiques . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Options binaires . . . . . . . . . . . 8.2.2 Options asiatiques . . . . . . . . . 8.2.3 Options à barrière . . . . . . . . . 8.2.4 Options composées . . . . . . . . . 8.2.5 Options à écart . . . . . . . . . . . 8.2.6 Options d’échange . . . . . . . . . 8.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Examen MFE/3F . . . . . . . . . . 8.3.2 Exercices supplémentaires . . . . .

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9 Couverture de produits dérivés 9.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Réplication dans le modèle de Black-Scholes 9.3 Couverture delta-neutre . . . . . . . . . . . 9.4 Couverture delta-gamma neutre . . . . . . .

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95 95 95 98 100 102 107 110 110 110

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113 113 114 114 115 116 120 123 125 127 127 127

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131 131 131 133 133 135 136 137 138 139 142 143 146 146 146

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147 147 148 152 154

vi

TABLE DES MATIÈRES 9.5 Autres lettres grecques . . . . . . 9.6 Résumé . . . . . . . . . . . . . . 9.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . 9.7.1 Examen MFE/3F . . . . . 9.7.2 Exercices supplémentaires

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Modèles et techniques avancés

10 Techniques de réduction de variance 10.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Variable antithétique . . . . . . . . . 10.3 Variable de contrôle . . . . . . . . . . 10.4 Échantillonage stratifié . . . . . . . . 10.5 Autres techniques . . . . . . . . . . . 10.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.1 Examen MFE/3F . . . . . . . 10.6.2 Exercices supplémentaires . .

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11 Introduction aux modèles de taux d’intérêt aléatoire 11.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Types de taux d’intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Structure des taux d’intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Arbre binomial pour le taux d’intérêt . . . . . . . . . . . . . 11.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.2 Accumulation et actualisation en intérêt stochastique 11.4.3 Évaluation de titres à revenus fixes et ses dérivés . . 11.4.4 Exemples d’évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Arbre binomial de Black-Derman-Toy . . . . . . . . . . . . . 11.5.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.2 Calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.3 Exemple de calibration dans l’arbre de BDT . . . . . 11.5.4 Exemple d’évaluation dans l’arbre de BDT . . . . . . 11.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6.1 Examen MFE/3F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6.2 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . .

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177 177 178 180 181 181 182 184 186 190 191 193 194 197 198 198 198

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201 201 203 203 205 207 207 208

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12 Modèles de base de taux d’intérêt à temps continu 12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Évaluation de titres à revenus fixes et ses dérivés . . . 12.2.1 Évaluation par réplication . . . . . . . . . . . 12.2.2 Évaluation neutre au risque . . . . . . . . . . 12.3 Modèles d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.1 Rendleman-Bartter . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.2 Vasicek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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TABLE DES MATIÈRES 12.3.3 Cox-Ingersoll-Ross (CIR) . . 12.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.1 Examen MFE/3F . . . . . . 12.4.2 Exercices supplémentaires . 12.A Dérivations . . . . . . . . . . . . . 12.A.1 Évaluation par réplication . 12.A.2 Évaluation neutre au risque

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Annexes

A Révision de notions élémentaires A.1 Théorie de l’intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.1 Intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.2 Valeur présente et accumulée . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.1 Fondements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.2 Variable aléatoire et ses propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.3 Distribution de plusieurs variables aléatoires . . . . . . . . . . A.3 Processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4 Théorie de la mesure appliquée aux probabilités . . . . . . . . . . . . A.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5.1 Exercices de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5.2 Exercices de processus stochastiques et de théorie de la mesure

212 213 213 213 215 215 217

221 . . . . . . . . . . . .

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223 223 223 226 227 227 231 238 242 244 250 250 251

B Autres 257 B.1 Formules importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 B.2 Table de la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

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TABLE DES MATIÈRES

Préface Ce document de référence est à l’intention des étudiants qui s’initient à l’évaluation de produits dérivés à l’aide des techniques mathématiques de l’ingénierie financière. Les sujets couverts sont les arbres binomiaux et trinomiaux, le mouvement brownien, le calcul stochastique (une introduction), le modèle de Black-Scholes, la couverture dynamique (hedging), les options exotiques, les techniques de réduction de variance et les modèles à taux d’intérêt aléatoire. Pour en apprécier pleinement le contenu, des bases mathématiques en probabilités et en processus stochastiques sont fortement recommandées. Ce document peut également servir à la préparation de l’examen MFE/3F (Society of Actuaries, Casualty Actuarial Society). Il faut toutefois noter que le syllabus de ces examens est couvert à environ 80% dans ce document. Des exemples ou des exercices ont été traduits de certaines sources citées à travers le document. — Hull réfère au livre de John C. Hull (2008) Options, futures and other derivatives, 7e édition, Prentice-Hall. — ASM réfère au guide d’étude ASM de l’examen MFE écrit par Abraham Weishaus. L’édition 2007 a été utilisée sauf avis contraire. — McDonald réfère au livre de Robert L. McDonald (2005) Derivatives Markets, 2e édition, Addison Wesley. L’errata est disponible au site web http : //www.kellogg.northwestern.edu/faculty/mcdonald/htm/typos2e_01.html. — Cvitanic et Zapatero (CZ) réfère au livre de Jaksa Cvitanic & Fernando Zapatero (2005) Introduction to the Economics and Mathematics of Financial Markets, Prentice-Hall.

ix

x

PRÉFACE

Chapitre 0 Introduction 0.1

Contexte

• Un gestionnaire doit comprendre l’évolution de chacun des actifs/produits financiers compris dans son portefeuille ; • Actif sous-jacent (underlying asset) : ⊲ Actif de base transigé sur les marchés financiers (bourse par exemple) dont la valeur future est incertaine ; ⊲ Exemple : action ordinaire d’une compagnie, un baril de pétrole, un méga-watt d’électricité à un endroit donné, une once d’or ; ⊲ Le prix de l’actif sous-jacent est étudié par les experts financiers ; ⊲ Exemple : le prix aujourd’hui d’une action est lié à la valeur présente espérée du gain en capital et des dividendes futurs. Un analyste financier étudiera les prospects de la compagnie et établira un prix auquel celui-ci est prêt à acheter ou vendre l’action. • Les notions de finance corporative sont nécessaires à l’évaluation du prix d’une action ; • L’objectif du cours n’est pas d’évaluer le prix que devrait avoir un actif sous-jacent à t = 0. • Produit dérivé (derivative) ou droit conditionnel (contingent claim) : ⊲ Actif financier dont le paiement à la maturité dépend de la valeur d’un actif sousjacent ou de la réalisation d’un événement quelconque sous-jacent ; ⊲ Exemple : option sur une action (stock option). L’option est le produit dérivé et l’action est l’actif sous-jacent ; ⊲ Exemple : dérivé climatique (weather derivative). Celui-ci peut payer 10$ le 1er mars lorsque la température moyenne en février est inférieure à -5◦ C. ⊲ Autres exemples de produits dérivés : dérivés énergétiques (energy derivatives), dérivés catastrophiques (catastrophe derivatives), dérivés de mortalité (mortality derivative), etc. • Les produits dérivés sont populaires car ils permettent de diversifier le risque et de s’en prémunir. • Ingénierie financière consiste au design et à la couverture de produits financiers adaptés aux divers besoins ; 1

2

CHAPITRE 0. INTRODUCTION • L’objectif du cours est de comprendre comment évaluer et couvrir des produits dérivés de base ; ⊲ Par conséquent, on prend le prix initial de l’actif sous-jacent pour acquis (comme observé) ;

0.2

Notations

• Quelques définitions : ⊲ St : prix de l’actif sous-jacent au temps t ; ⊲ T : échéance (maturity) du produit dérivé ; ⊲ K : prix d’exercice (strike price) ; ⊲ r : taux d’intérêt sans risque (risk-free rate) ; • En particulier, S0 correspond au prix observé aujourd’hui pour acheter/vendre une unité de l’actif sous-jacent, qui sera livré aujourd’hui. ⊲ Appelé prix au comptant (spot price) ; ⊲ Pour t > 0, alors St est une variable aléatoire ; ⊲ De plus, {St , t ≥ 0} est un processus stochastique ; • Taux d’intérêt sans risque : ⊲ Taux d’intérêt en vigueur pour un prêteur/emprunteur qui n’a aucun risque de faillite ; ⊲ On peut donc prêter et emprunter à ce taux ; • Paiement à l’échéance d’un produit dérivé (derivative’s payoff ) : ⊲ Généralement fonction du prix du sous-jacent à l’échéance du contrat ; ⊲ Variable aléatoire car fonction C (ST ) d’une variable aléatoire ; ⊲ On notera aussi souvent CT = C (ST ) pour alléger la notation ; • Juste prix (fair price) : ⊲ Prix d’un produit dérivé qui doit prévaloir sur les marchés financiers afin d’éviter les opportunités d’arbitrage ; ⊲ Par conséquent, C0 correspond au prix qui doit être observé aujourd’hui pour acheter/vendre une unité de ce produit dérivé ; ⊲ Pour t > 0, alors Ct est une variable aléatoire ; ⊲ De plus, {Ct , t ≥ 0} est un processus stochastique ; ⊲ Un des objectifs du cours est donc de trouver le juste prix d’un produit dérivé ;

0.3

Exemples de produits dérivés

• Trois exemples de produits dérivés qui seront plus étudiés : ⊲ Options (surtout) ; ⊲ Contrats à terme ; ⊲ Swap ; • Option : produit dérivé qui donne le droit (et non l’obligation) à son détenteur d’acheter ou de vendre un actif sous-jacent à un certain prix fixé K, avant (américaine) ou à une date donnée T (européenne).

0.4. NOTIONS D’ARBITRAGE ET DE RÉPLICATION

3

⊲ Note : (x)+ = max (x; 0) ⊲ Paiement d’une option d’achat à l’échéance : position longue : (ST − K)+ position courte : − (ST − K)+ ⊲ Paiement d’une option de vente à l’échéance : position longue : (K − ST )+ position courte : − (K − ST )+ • Contrats à terme (de gré à gré ou standardisé) (forward ou futures) : produit dérivé qui oblige le détenteur à vendre ou à acheter un actif sous-jacent à une certaine date T , à un prix déterminé d’avance K. ⊲ Paiement du contrat à terme à l’échéance : position longue : ST − K position courte : − (ST − K) • Swap : contrat qui relie deux parties dans l’échange de flux financiers. Cet accord spécifie les dates où les paiements surviendront et la façon dont ils seront calculés. ⊲ Plus important avec un taux d’intérêt stochastique. Nous y reviendrons donc plus tard.

0.4

Notions d’arbitrage et de réplication

• Une des notions qui reviendra le plus souvent dans l’évaluation de produits dérivés est l’absence d’arbitrage ; • Il y a arbitrage lorsque les trois conditions suivantes sont remplies : ⊲ (1) investissement nul (free lunch) ; ⊲ (2) possibilité de gain ; ⊲ (3) sans aucune possibilité de perte. • Lorsqu’un item peut s’acheter et se vendre de façon simultanée à des prix différents, alors il y a une occasion d’arbitrage. • Exemple : ⊲ Une obligation 2 ans à coupons annuels de 7% se transige présentement à 95$. ⊲ De plus, une obligation zéro-coupon 1 an se transige à 90$ (pour 100$ de principal) et une obligation zéro-coupon deux ans se transige à 81$ (pour 100$ de principal). ⊲ Est-ce qu’il existe une opportunité d’arbitrage ? • Solution : ⊲ L’obligation 2 ans devrait générer les flux financiers de 7$ et de 107$ après 1 an et 2 ans respectivement. ⊲ On peut répliquer cette obligation avec les obligations zéro-coupon. En effet, il suffit de 0.07 unité de l’obligation zéro 1 an, et de 1.07 unité de l’obligation zéro deux ans.

4

CHAPITRE 0. INTRODUCTION ⊲ Le prix de ce portefeuille est de 0.07 × 90 + 1.07 × 81 = 92.97$.

•

• •

•

⊲ Par conséquent, il est possible de répliquer de façon exacte les flux financiers de l’obligation à coupons 2 ans, avec deux obligations zéro-coupons. L’une se vend à 95$ et le portefeuille de zéros coûte 92.97$. ⊲ Pour profiter de cette opportunité d’arbitrage, on prend une position longue dans les deux obligations zéro-coupon et une position courte dans l’obligation à coupons. ⊲ À t = 0, le profit est de 2.03$ i.e. +95 - 92.97. ⊲ En vendant l’obligation à coupons, on s’engage à payer 7$ au temps t = 1 et 107$ au temps t = 2. ⊲ Les obligations zéro-coupon permettront de couvrir ces engagements. ⊲ À t = 1, on reçoit un paiement de 7$ de l’obligation zéro-coupon 1 an et on procède au paiement du coupon dû. ⊲ À t = 2, on reçoit un paiement de 107$ de l’obligation zéro-coupon 2 ans et on procède au paiement du principal et coupon dû. ⊲ Les positions sont fermées à t = 2. Les opportunités d’arbitrage peuvent exister mais doivent disparaître très rapidement. ⊲ L’offre et la demande des biens impliqués dans l’arbitrage vont s’équilibrer de telle sorte qu’une telle opportunité ne deviendra plus profitable. ⊲ Dans l’exemple précédent, l’augmentation de la demande des obligations zéro-coupon poussera leurs prix à la hausse, et les ventes de l’obligation à coupons poussera son prix à la baisse. Ultimement, les prix s’équilibreront pour que les deux produits soient équivalents. L’exemple précédent nous amène à la loi suivante, la loi d’un seul prix. Loi d’un seul prix (law of one price) : ⊲ Afin d’éviter les opportunités d’arbitrage, deux produits financiers (ou portefeuille d’actifs) produisant les mêmes flux financiers dans tous les scénarios possibles, doivent avoir un prix identique. ⊲ Exemple d’application de la loi d’un seul prix : la relation de parité entre les options d’achat et de vente européennes ; Relation de parité entre les options d’achat et de vente européennes : ⊲ Il existe une relation d’équilibre entre le prix des options d’achat, de vente, du sousjacent et du titre sans risque ; ⊲ Cette relation doit tenir afin d’éviter les opportunités d’arbitrage ; ⊲ Elle peut être dérivée selon les mêmes arguments ; ⊲ On considère deux portefeuille d’actifs financiers : ∗ Portefeuille A : option d’achat européenne et un montant d’argent à t = 0 de Ke−rT ; ∗ Portefeuille B : option de vente européenne et une action ; ⊲ Paiement à l’échéance de chacun des portefeuilles : Ptf A B

ST ≤ K K +0 (K − ST ) + ST

ST > K K + (ST − K) 0 + ST

0.4. NOTIONS D’ARBITRAGE ET DE RÉPLICATION ⊲ ⊲ ⊲ ⊲ ⊲

5

Dans le scénario ST ≤ K, les portefeuilles A et B paient K; Dans le scénario ST > K, les portefeuilles A et B paient ST ; Les deux portefeuilles ont les mêmes flux financiers dans les mêmes scénarios ; Ils doivent donc avoir la même valeur à t = 0. En appliquant la loi d’un seul prix, on obtient que C0Call

Ptf A = Ptf B + Ke−rT = C0Put + S0

où C0Call (C0Put ) est la valeur à t = 0 d’une option d’achat (de vente) européenne avec maturité T et prix d’exercice K. ⊲ Lorsque des dividendes sont payés sur l’actif sous-jacent, alors la relation de parité devient C0Call + Ke−rT = C0Put + S0 e−rd T où rd est le taux de dividende continu. Lorsque les dividendes sont discrets, alors on remplace S0 e−rd T par S0 − D

• • •

• • •

où D est la valeur présente (au taux sans risque) des dividendes versés jusqu’à l’échéance du produit dérivé. Dans l’exemple sur les obligations, nous avons répliqué les flux financiers de l’obligation à coupons à l’aide d’obligations zéro-coupons ; Dans la dérivation de la relation de parité, nous avons répliqué le portefeuille A à l’aide du portefeuille B ; La notion de réplication est un concept crucial en ingénierie financière. La réplication permet de : ⊲ Trouver le juste prix d’un produit dérivé ; ⊲ Trouver une façon de couvrir les flux financiers du produit dérivé (gestion des risques) ; Évaluation par réplication : ⊲ Consiste à trouver un portefeuille d’actifs qui réplique de façon exacte les flux financiers dans tous les scénarios possibles ; Exemple : en utilisant l’évaluation par réplication, quelle est la valeur aujourd’hui (à t = 0) d’un contrat à terme qui oblige le détenteur à acheter une action ordinaire de ABC inc. au prix de 40$ dans 3 mois ? Solution : ⊲ Le contrat à terme fixe 3 mois d’avance le prix auquel nous allons payer l’action à 40$. ⊲ Si le prix de l’action s’avère à être inférieur à 40$, être entré dans un contrat à terme n’aura pas été bénéfique. ⊲ Si l’action vaut plus de 40$ dans 3 mois, le contrat à terme sera bénéfique. ⊲ Par conséquent, le profit sur le contrat à terme est de ST − 40 où T = 0.25 (3 mois). Il s’agit donc d’une variable aléatoire.

6

CHAPITRE 0. INTRODUCTION ⊲ Pour répliquer de façon exacte un tel paiement : ∗ Il suffit d’acheter à t = 0 une action : elle vaudra ST après 3 mois. ∗ On emprunte à t = 0 la valeur présente de 40$, i.e. 40e−rT . Après 3 mois, on devra rembourser 40$. ⊲ Le contrat à terme vaut donc à t = 0 S0 − 40e−rT . • Afin de répliquer des produits financiers, nous avons appliqué de façon implicite les hypothèses suivantes : ⊲ Aucuns frais de transactions ; ⊲ Titres financiers sont infiniment divisibles (on peut acheter des fractions de n’importe quel actif financier) ; ⊲ Taux d’intérêt pour prêter et emprunter est le même : le taux sans risque ; • À moins d’avis contraire, ces hypothèses seront toujours utilisées dans les chapitres qui suivent.

0.5

Exercices

0.5.1

Examen MFE/3F

• Mai 2007 : 1, 4 ; • Mai 2009 : aucun ; • Q&A (version du 18 août 2010) : 1, 2, 25, 26, 40 ;

0.5.2

Exercices supplémentaires

Dans un marché financier de type Arrow-Debreu, il existe autant d’actifs sous-jacents que de scénarios possibles. Un actif d’Arrow-Debreu paie un montant de 1$ à t = 1 lorsque le scénario i se réalise et 0 sinon. On note par 1, scénario réalisé est i (i) S1 = 0, sinon. (i)

Le prix à t = 0 d’un tel actif est S0 . 1. Supposons qu’il existe seulement 2 états de la nature (2 scénarios possibles), tels que (1)

(2)

S0 = S0 = 0.45. Un produit dérivé payant 1$ dans tous les états de la nature est introduit. (a) Quelle est la nature d’un tel produit dérivé ? (b) Quel doit être son juste prix pour éviter les opportunités d’arbitrage ? (c) Quel est le taux d’intérêt en vigueur dans ce marché ?

0.5. EXERCICES

7

2. Supposons qu’il existe 3 états de la nature (3 scénarios possibles), tels que (1)

(2)

S0 = S0 = 0.25 (3)

et S0 = 0.47. (a) Un produit dérivé payant 1$ dans tous les états de la nature est introduit : son prix est de 0.95. Est-ce que le prix du produit dérivé entraîne des opportunités d’arbitrage ? Si oui, montrez comment vous pouvez exploiter cette opportunité ? (b) Quel est le juste prix d’un produit dérivé payant 10$ si l’état 1 ou 2 se réalise, et 2$ sinon ?

8

CHAPITRE 0. INTRODUCTION

Première partie Modèles à temps discret pour l’actif sous-jacent

9

Chapitre 1 Arbre binomial à une période 1.1

Modèle

• Dans ce chapitre, on s’intéresse à évaluer un produit dérivé sur un actif sous-jacent dont l’évolution est dictée par un arbre binomial (Bernoulli) ; • Marché financier (une économie) possède deux actifs transigés : ⊲ Actif risqué (action ou autre actif sous-jacent) ; ∗ Valeur future est aléatoire, d’où la notion d’actif risqué ; ∗ Valeur initiale est connue ; ⊲ Actif sans risque (bon du Trésor, compte bancaire, etc.) ; ∗ Aucun risque de défaut ; ∗ Taux d’intérêt en vigueur sur la période est de r; ∗ Peut être capitalisé de façon périodique, ou de façon continue. Sera spécifié dans les exemples/problèmes. • Actif sans risque ⊲ B0 : prix de l’actif sans risque à t = 0 ; ⊲ B1 : prix de l’actif sans risque à t = 1 ; ⊲ On requiert B1 ≥ B0 . ⊲ Selon le contexte : ∗ Bt = B0 ert (taux de rendement continument composé) ; ∗ Bt = B0 (1 + r)t (taux de rendement périodiquement composé) ; ⊲ Souvent : B0 = 1; ⊲ Notation examen MFE : la définition de la notation B dans l’examen MFE est différente. Plus de détails un peu plus loin. • Actif risqué ⊲ S0 : prix du sous-jacent à t = 0 ; ∗ Connu et observé ; ⊲ S1 : prix du sous-jacent à t = 1 ; ∗ Aléatoire, inconnu ; ⊲ On suppose que S1 peut prendre deux valeurs possibles à t = 1 : ∗ S1u avec probabilité p; ∗ S1d avec probabilité 1 − p; 11

12

CHAPITRE 1. ARBRE BINOMIAL À UNE PÉRIODE • La probabilité p est appelée probabilité réelle (observée ou physique) d’observer S1u . ⊲ Elle peut être estimée à l’aide de données sur l’évolution du prix de l’action ; • Les valeurs de S1u et S1d peuvent être spécifiées directement, ou elles peuvent être S1u = S0 u S1d = S0 d où u > d sont des facteurs de croissance et décroissance situés autour de 1. • Finalement, S1d < S0 er < S1u est une condition nécessaire pour la validité de l’arbre binomial à une période. Nous y reviendrons plus en détails plus tard.

1.2

Évaluation par réplication

• Rappel : l’évaluation par réplication consiste à trouver un portefeuille d’actifs qui réplique de façon exacte les flux financiers dans tous les scénarios possibles ; • Exemple : ⊲ Supposons que les analystes déterminent qu’un modèle réaliste pour l’évolution du prix de l’action de ABC inc. est tel que l’action pourrait gagner ±10%. ⊲ Si le prix observé de l’action aujourd’hui est de 100$ et que le taux d’intérêt (sans risque, continument composé) est de 6%, quel est le juste prix (qui empêche les opportunités d’arbitrage) d’une option d’achat sur l’action avec prix d’exercice de 105$ d’une maturité d’un an ? • Solution : ⊲ On a que le prix de l’action est représenté par un arbre binomial à une période tel que le prix est donné par l’arbre suivant. 110 100 90 ⊲ Bref, S0 = 100, S1u = 110 et S1d = 90. ⊲ La valeur de l’option à la maturité est une variable aléatoire prenant soit 5$ ou 0$. On cherche le prix d’une telle option. ?

(110 − 105)+ = 5 (90 − 105)+ = 0

⊲ On utilisera l’évaluation par réplication. Par conséquent, quel portefeuille d’actifs permet de répliquer un paiement de 5$ si le scénario # 1 (S1u ) se réalise ET un paiement de 0$ si le scénario # 2 (S1d ) se réalise ? ⊲ Quels actifs doit-on utiliser pour bâtir un tel portefeuille de réplication ? On utilise les actifs disponibles sur le marché, i.e. des actions (actif risqué) et des bons du Trésor (actif sans risque).

1.2. ÉVALUATION PAR RÉPLICATION

13

⊲ Soit x la quantité d’actions nécessaire dans le portefeuille de réplication pour reproduire les paiements de l’option. ⊲ Soit y la quantité de bons du Trésor nécessaire dans le portefeuille de réplication pour reproduire les paiements de l’option. ⊲ On veut 110 × x + e0.06 × y = 5 90 × x + e0.06 × y = 0. ⊲ En effet, dans le scénario # 1, le prix de l’action est de 110$ et la valeur du titre sans risque est de e0.06 . Le paiement à reproduire est de 5$ dans ce scénario. ⊲ De plus, dans le scénario # 2, le prix de l’action est de 90$ et la valeur du titre sans risque est aussi de e0.06 . Le paiement à reproduire est de 0$ dans ce scénario. ⊲ En résolvant ce système à deux équations et à deux inconnues, on trouve que x = 0.25 y = −21.189702. ⊲ Par conséquent, on trouve que pour répliquer les paiements de l’option d’achat, il suffit d’acheter 0.25 action et d’emprunter 21.19 unités du titre sans risque. ⊲ Quel est le coût d’une telle stratégie à t = 0 ? ⊲ Le coût de cette stratégie est de 100x + y = 100 × 0.25 − 21.189702 = 3.810298. ⊲ Appliquons cette stratégie à t = 0. ⊲ On achète 0.25 action qu’on finance partiellement avec un emprunt de 21.19$. Le coût net de la stratégie est de 3.81$. ⊲ À t = 1, lorsque S1 = 110, alors le portefeuille vaut 110 × x + e0.06 × y = 110 × 0.25 − e0.06 × 21.189702 = 5. ⊲ Lorsque S1 = 90, alors le portefeuille vaut 90 × x + e0.06 × y = 90 × 0.25 − e0.06 × 21.189702 = 0. ⊲ On a répliqué de façon exacte les flux financiers de l’option d’achat dans tous les scénarios. Par conséquent, par la loi d’un seul prix, cette option d’achat doit se transiger à 3.81$ à t = 0 afin d’éviter les opportunités d’arbitrage. • Portefeuille de réplication ou portefeuille réplicatif (replicating portfolio) : ensemble d’actifs qu’un investisseur doit détenir afin de répliquer de façon exacte les flux financiers d’un produit dérivé, et ce, dans tous les scénarios possibles. • Notation :

14

CHAPITRE 1. ARBRE BINOMIAL À UNE PÉRIODE (1)

⊲ δ 1 : le nombre d’action qu’il faut détenir dans la (première) période pour répliquer un produit dérivé (correspond au x précédent) ; (0) ⊲ δ 1 : le nombre d’unités du titre sans risque qu’il faut détenir dans la (première) période pour répliquer un produit dérivé (correspond au y précédent) ; ⊲ Plus loin, il faudra mettre à jour le portefeuille de telle sorte qu’on aura δ t . De plus, (i) il se pourrait qu’il y ait plus d’un actif risqué, donc δ t , i = 1, 2, ... • De façon générale, supposons que les paiements du produit dérivé sont C1u et C1d lorsque l’actif sous-jacent vaut S1u et S1d respectivement. ⊲ De plus, le taux d’intérêt est r et est capitalisé de façon continue. • On a (0)

(1)

(0)

(1)

δ 1 × er + δ1 × S1u = C1u

δ 1 × er + δ 1 × S1d = C1d . (0)

• On soustrait les équations pour éliminer δ 1 × er et on obtient directement δ (1) 1 =

C1u −C1d S1u −S1d

(1.1)

.

⊲ Cette quantité est mieux connue sous l’appellation de delta. ⊲ Notation MFE : équivalent à ∆ ; • De plus, (0) (1) δ 1 = e−r C1u − δ 1 × S1u (1)

• On substitue δ 1 et on obtient (0) δ1

−r

=e

C1u

−

(1) δ 1 S1u

(0)

= e−r

C1d S1u −C1u S1d S1u −S1d

.

(1.2)

⊲ Notation MFE : attention, δ 1 correspond à la notation B du livre de McDonald. • Par la loi d’un seul prix, on sait que le coût du portefeuille à t = 0 doit correspondre au prix du produit dérivé à t = 0. Sinon, il pourrait exister une opportunité d’arbitrage. • Par conséquent, le coût de ce portefeuille aujourd’hui est (0)

(1)

C0 = δ 1 B0 + δ 1 S0 (0)

(1)

= δ 1 + δ 1 S0 et donc, C0 = e−r

C1d S1u −C1u S1d S1u −S1d

+

C1u −C1d S S1u −S1d 0

.

• Exemple (suite) : en utilisant les valeurs de l’exemple, on trouve directement, C1d S1u − C1u S1d C1u − C1d + u S0 S1u − S1d S1 − S1d 0 × 110 − 5 × 90 5−0 = e−0.06 + × 100 110 − 90 110 − 90 = 3.8102980.

C0 = e−r

(1.3)

1.3. ÉVALUATION NEUTRE AU RISQUE

1.3

15

Évaluation neutre au risque

1.3.1

Une simple réorganisation

• Il existe une autre façon d’approcher le problème de l’évaluation d’un droit conditionnel. • Pour y parvenir, nous allons réorganiser l’équation 1.3. L’exercice peut sembler futile pour l’instant mais sera très révélateur à mesure que nous avancerons dans le chapitre. • On a donc, C1d S1u − C1u S1d C1u − C1d + u S0 S1u − S1d S1 − S1d d u u d C1 S1 − C1u S1d −r r C1 − C1 = e +e u S0 S1u − S1d S1 − S1d

C0 = e−r

en isolant e−r . De plus, C0

C1d S1u − C1u S1d + C1u S0 er − C1d S0 er = e S1u − S1d S1u − S0 er S0 er − S1d −r d u + C1 × u = e C1 × u S1 − S1d S1 − S1d −r

en utilisant un dénominateur commun et en isolant certains termes. • Finalement, posons q≡

S0 er −S1d S1u −S1d

.

(1.4)

Si on définit S1u = S0 × u et S1d = S0 × d, alors, q=

er − d u−d

• Le prix du produit dérivé qui empêche les opportunités d’arbitrage est C0 = e−r C1d × (1 − q) + C1u × q

ce qui ressemble étrangement à espérance d’une variable aléatoire. • Nous verrons qu’il ne s’agit pas d’un hasard, mais avant, il faut voir quelques notions supplémentaires.

1.3.2

Arbitrage

• Nous avons supposé précédemment que S1d < S0 B1 < S1u ou de façon équivalente d < er < u.

(1.5)

16

CHAPITRE 1. ARBRE BINOMIAL À UNE PÉRIODE • Observons ce qui se passe si cette condition n’est pas remplie. Pour simplifier l’argument, supposons que B0 = S0 = 1. ⊲ (1) d < u < er : "Le titre sans risque est toujours plus profitable que le titre risqué. Je vends le titre risqué pour 1$ et j’achète le titre sans risque pour 1$. Voilà ! Impossible de perdre !" ⊲ (2) er < d < u : "Le titre risqué est toujours plus profitable que le titre sans risque. Je vends le titre sans risque pour 1$ et j’achète le titre risqué pour 1$. Voilà ! Impossible de perdre !" ⊲ (3) d < er < u : "Attention ! Même si je vends un titre pour acheter l’autre, il y a une possibilité que je perde de l’argent à t = 1." Donc, aucune opportunité d’arbitrage dans ce cas. • Par conséquent, la condition d < er < u empêche les opportunités d’arbitrage entre l’actif sans risque et l’actif risqué (entre les titres disponibles sur le marché). r −d , quel est l’impact de l’absence d’arbitrage (dans le marché) sur • Sachant que q = eu−d la valeur de q ? • On peut facilement déduire que 0 < q < 1. Par conséquent, la condition d’absence d’arbitrage nous assure que q se comporte comme une probabilité. • Rappel : ⊲ Nous avons établi qu’il existe une probabilité (réelle) p que le scénario # 1 (S1u ) se réalise. ⊲ Cette probabilité peut facilement être estimée à l’aide de données sur le prix de l’action. ⊲ Formellement, q est ce qu’on appelle une mesure de probabilité équivalente à p car les événements impossibles sont les mêmes avec p qu’avec q. • Exemple (suite) : dans l’exemple, on obtient S0 er − S1d S1u − S1d 100e0.06 − 90 = 110 − 90 = 0.80918273.

q =

On trouve que le prix de l’option d’achat qui empêche les opportunités d’arbitrage est C0 = e−r C1d × (1 − q) + C1u × q = e−0.06 (0 × (1 − 0.80918273) + 5 × 0.80918273) = 3.8102980 ce qui est évidemment équivalent car nous avons obtenu q en réorganisant l’équation 1.3. • Exemple (suite) : supposons que l’analyste en charge d’évaluer l’option d’achat mentionnée a estimé que p = 0.85. Peut-on calculer le prix de l’option qui devrait prévaloir sur les marchés financiers qui empêche les opportunités d’arbitrage ?


17

⊲ Cela dépend. Quel est le bon taux d’intérêt pour escompter les flux financiers ? Cette question n’est pas évidente à répondre car l’option d’achat est risquée (on ne connait pas sa valeur à l’échéance) ! Par conséquent, on ne peut pas escompter au taux sans risque. ⊲ Toutefois, nous venons d’utiliser le taux sans risque parce qu’une fois combiné avec la probabilité q, on obtient le juste prix. • Nous allons formaliser l’argument dans la prochaine section.

1.3.3

Théorème fondamental d’évaluation

• Le théorème fondamental d’évaluation des actifs financiers (fundamental theorem of asset pricing) formalise le lien entre l’évaluation par réplication et les questions soulevées par les derniers exemples. • Nous allons présenter le théorème dans le contexte de l’arbre binomial à une période. Nous représenterons le théorème de façon plus générale lorsque des modèles plus complexes seront abordés. • D’abord, nous devons définir ce qu’est une martingale à temps discret. • Martingale (martingale) : processus stochastique {Xt , t = 0, 1, 2, ...} tel que E [Xs | Φt ] = Xt , ∀t < s où Φt = {Xt , Xt−1 , Xt−2 , ..., X0 }

est l’information passée. ⊲ Donc, étant donné l’information observée jusqu’à t, la valeur espérée du processus dans le futur (et n’importe quel futur s) est la valeur présente (observée à t). ⊲ Il s’agit d’un processus qui retourne en moyenne à sa valeur "initiale" (ou sa dernière valeur connue). ⊲ Dans le cas discret, E [Xs | Φt ] = Xt , ∀t < s ⇔ E [Xt+1 | Φt ] = Xt , ∀t = 0, 1, 2, ... • Exemple : soit un processus AR(1) tel que Xt = φXt−1 + εt , t = 1, 2, 3, ... avec εt ∼ N (0, 1), X0 connu et ε0 = 0. Est-ce que ce processus est une martingale ? • Solution : nous allons vérifier si la condition E [Xt+1 | Φt ] = Xt est remplie pour tout t ≥ 0. On a E [Xt+1 | Φt ] = = = =

E [φXt + εt+1 | Φt ] φE [ Xt | Φt ] + E [εt+1 | Φt ] φXt + 0 Xt .

18

CHAPITRE 1. ARBRE BINOMIAL À UNE PÉRIODE ⊲ Évidemment, pour tout t, E [Xt+1 | Φt ] = φXt , t = 0, 1, 2, ... ce qui n’est pas une martingale, car en moyenne, sachant le passé, le processus revient à φXt plutôt que Xt . • Exemple : supposons que St = St−1 × Ut , t = 1, 2, ... où Ut = {u, d} à toute période (i.i.d. comme U ). Est-ce que le processus {St , t = 0, 1, 2, ...} est une martingale ? • Solution : on doit vérifier que E [St+1 | Φt ] = St , , ∀t = 0, 1, 2, ... Or, on a E [St+1 | Φt ] = E [St × Ut+1 | Φt ] = St × E [Ut+1 ] = St × E [U] À moins que E [U ] = 1, {St , t = 0, 1, 2, ...} n’est pas une martingale. • Le théorème fondamental stipule qu’en absence d’arbitrage dans un modèle binomial à une période (tel que présenté dans ce chapitre), alors il existera toujours une probabilité q équivalente à p, telle que le prix d’un produit dérivé peut être exprimé comme : ⊲ espérance prise avec une probabilité q; ⊲ flux financiers escomptés au taux sans risque ; • L’inverse du théorème est également vrai, i.e. si q est une probabilité valide, alors il n’y a pas d’arbitrage. • Pour évaluer un produit dérivé, alors C0 = e−r EQ [C1 ] où EQ [.] signifie une espérance prise avec la probabilité q. • Si nous n’avions pas fait l’exercice de réorganiser l’équation 1.3, il serait impossible de déterminer quelle est la valeur de la probabilité q. Toutefois, le théorème fondamental fournit une réponse à ce sujet. • Condition martingale : la probabilité q doit être telle que S0 = e−r EQ [S1 ] , i.e. que la valeur présente de l’actif risqué est une martingale, avec la probabilité q. • Vérifions que c’est bel et bien le cas. On cherche une probabilité q telle que S0 = e−r EQ [S1 ] .

1.3. ÉVALUATION NEUTRE AU RISQUE Donc,

19

e−r EQ [S1 ] = e−r q × S1u + (1 − q) × S1d

et pour que ce soit égal à S0 , on a e−r q × S1u + (1 − q) × S1d = S0 et en isolant q, on obtient bel et bien

q=

S0 er − S1d . S1u − S1d

La condition d’absence d’arbitrage i.e. S1d < S0 B1 < S1u , nous assure que cette probabilité est bien 0 < q < 1. • Illustrons les implications du théorème fondamental. • Illustration : ⊲ Le théorème stipule qu’en absence d’arbitrage, alors q est une probabilité ; ⊲ On sait que pour prévenir les opportunités d’arbitrage, on a besoin que S1d < S0 B1 < S1u . ⊲ Supposons r = 0.1 (composé annuellement), S0 = 100, S1 ∈ {90, 105} ; ∗ Il y a clairement arbitrage ! Le titre sans risque est toujours plus avantageux, peu importe le scénario qui se réalisera ultimement. ∗ Alors, on cherche la probabilité q telle que S0 = i.e. S0 = q

1 EQ [S1 ] 1+r

S1u Sd + (1 − q) 1 . 1+r 1+r

∗ On trouve

S0 (1 + r) − S1d S1u − S1d 100 × 1.1 − 90 = 105 − 90 20 = = 1.33. 15 ∗ Il est impossible d’avoir une probabilité supérieure à 1 ! ∗ q n’est donc pas une probabilité ; ⊲ Supposons r = 0.01, S0 = 100, S1 ∈ {102, 105} ; ∗ Il y a clairement arbitrage ! Le titre risqué est toujours plus avantageux, peu importe le scénario qui se réalisera ultimement. ∗ Alors, on cherche la probabilité q telle que q =

S0 = i.e. S0 = q

1 EQ [S1 ] 1+r

S1u Sd + (1 − q) 1 . 1+r 1+r

20

CHAPITRE 1. ARBRE BINOMIAL À UNE PÉRIODE ∗ On trouve S0 (1 + r) − S1d q = S1u − S1d 100 × 1.01 − 102 = 105 − 102 −1 = = −0.33. 3 ∗ Il est impossible d’avoir une probabilité négative ! ∗ q n’est donc pas une probabilité ; ⊲ Supposons r = 0.02, S0 = 100, S1 ∈ {90, 105} ; ∗ La condition de non-arbitrage est remplie. Le titre risqué peut être plus ou moins rentable que le titre sans risque. ∗ Alors, on cherche la probabilité q telle que S0 =

1 EQ [S1 ] 1+r

∗ On trouve S0 (1 + r) − S1d S1u − S1d 100 × 1.02 − 90 = 105 − 90 = 0.8.

q =

∗ q est une probabilité valide. ⊲ Donc, s’il y a arbitrage, q n’est pas une probabilité. S’il n’y a pas d’arbitrage, alors q est entre 0 et 1 (bornes exclues). ⊲ L’inverse est également simple à montrer. ⊲ Supposons S0 = 100, S1 ∈ {90, 105}. Laissons r flotter. ∗ S’il existe une MME, alors 0 < q < 1. Donc, 0
0<

S0 (1 + r) − S1d < 1. S1u − S1d

100 (1 + r) − 90 <1 15

implique 90 15 + 90 < 1+r < 100 100 −0.1 < r < 0.05. ∗ Un tel résultat est logique car il est facile de voir que si cette inégalité n’est pas respectée, alors il y a arbitrage.


21

• Pourquoi 0 ≤ q ≤ 1 n’est pas valide ? Il y a deux raisons : ⊲ Point de vue financier : lorsque q = 0 ou q = 1, il est facile de vérifier qu’il existerait une opportunité d’arbitrage. ⊲ Point de vue probabilité : lorsque q = 0 ou q = 1, alors q n’est plus une mesure de probabilité équivalente à p ∗ Deux mesures de probabilité sont équivalentes lorsque les événements impossibles sous p sont les mêmes sous q également. • Synonymes : ⊲ q est appelée une mesure martingale équivalente (MME) ; ⊲ q est plus souvent appelée la mesure (de probabilité) neutre au risque ; • Pour quelle raison q est-elle appelée la mesure neutre au risque ? ⊲ Car si les investisseurs étaient réellement neutres au risque (contrairement à avers au risque), alors ils exigeraient un taux de rendement de r sur l’actif risqué. ⊲ La condition martingale est exactement équivalente à prétendre un monde virtuel dans lequel les investisseurs sont neutres au risque. • IMPORTANT : il est crucial de comprendre qu’en ingénierie financière (donc dans ce chapitre et tous les autres que nous verrons), la probabilité neutre au risque n’a absolument rien à voir avec la probabilité réelle qu’un événement survienne. ⊲ Il s’agit d’un artifice mathématique ou d’un raccourci, qui permet d’évaluer un produit dérivé sans créer d’opportunités d’arbitrage. ⊲ Dans la réalité, les investisseurs sont grandement avers au risque. Ils exigent une prime de risque. ⊲ Par contre, pour évaluer un produit dérivé sans créer d’opportunités d’arbitrage, on utilise un monde virtuel, convivial mathématiquement, dans lequel les investisseurs sont neutres au risque. ⊲ L’évaluation par réplication nous a montré que la probabilité p, qu’on estime avec les données par exemple, n’intervient dans aucune étape lorsqu’on calcule le prix d’un produit dérivé. ⊲ L’ingénierie financière et les mathématiques actuarielles ont cette différence fondamentale dans l’évaluation des produits. ⊲ Un produit dérivé peut être répliqué à l’aide d’actifs transigés. Par conséquent, la notion d’absence d’arbitrage est fondamentale pour assurer l’équilibre du marché. ⊲ Un contrat d’assurance sur la vie d’un individu ne peut pas être répliqué avec des actifs transigés. Par conséquent, la notion d’absence d’arbitrage est beaucoup moins importante pour assurer l’équilibre du marché. Les outils développés en mathématiques actuarielles (basées sur les tables de mortalités, données observées d’accident, etc.) sont donc valides. • Exemple : dans l’évaluation d’un produit dérivé sur une action à l’aide d’un arbre binomial, on trouve que q = 0.6. À l’aide des données sur l’évolution du prix de l’action, on estime que p = 0.75. On vous demande, selon vous, quelle est la probabilité que l’action atteigne 110$ dans un an. Que répondez-vous à cette personne ? • Solution : 75%. La probabilité q n’a de sens que lorsqu’on désire calculer le prix sans arbitrage d’un produit dérivé. Dans n’importe quel autre contexte, q ne fait pas de sens.

22

CHAPITRE 1. ARBRE BINOMIAL À UNE PÉRIODE

1.4

Résumé

• Pour évaluer un produit dérivé, sans créer d’opportunités d’arbitrage, dans un arbre binomial à une période, il existe deux façons équivalentes : ⊲ On trouve le portefeuille qui réplique de façon exacte les flux financiers dans tous les scénarios possibles. Le coût initial de ce portefeuille correspond au prix du produit dérivé. ⊲ On calcule la probabilité neutre au risque q d’observer S1u . Par conséquent, le prix du produit dérivé correspond à la valeur présente espérée (au taux sans risque et avec q) des flux financiers du produit dérivé. • Il existe donc un lien intrinsèque entre l’absence d’arbitrage et l’existence de cette probabilité q. • La probabilité q n’a de sens que lorsqu’on désire calculer le prix sans arbitrage d’un produit dérivé. Dans n’importe quel autre contexte, q ne fait pas de sens.

1.5

Évaluation avec la probabilité réelle

• Il est également possible d’utiliser la probabilité réelle p pour trouver le prix d’un produit dérivé. Tel que mentionné précédemment, il est toutefois nécessaire de connaître le bon taux pour escompter les flux financiers. • Exemple (suite) : on reprend l’exemple où p = 0.85 et nous avions trouvé que C0 = 3.8102980. En sachant que p = 0.85, on peut calculer le taux de rendement attendu par les investisseurs sur l’action. En effet, S0 eµ = S1d × (1 − p) + S1u × p ce qui implique 90 × 0.15 + 110 × 0.85 100 = 1.07

eµ =

et µ ≈ 0.07. ⊲ Toutefois, une option d’achat est plus risquée qu’une action. Comme on a vu à l’aide (1) du portefeuille de réplication, il s’agit d’une position δ 1 dans l’action et d’une (0) position δ 1 dans le titre sans risque. ⊲ Par conséquent, le taux de rendement attendu γ sur l’option est une somme pondérée du rendement attendu sur l’action et sur le titre sans risque. On a (1)

(0)

C0 eγ = δ 1 S0 × eµ + δ 1 B0 × er . ⊲ En utilisant les valeurs de l’exemple, on obtient 3.8102980 × eγ = 0.25 × 100 × 1.07 − 21.189702 × e0.06 = 4.25 d’où on déduit γ = 0.10921158.

1.6. EXERCICES

23

⊲ Finalement, le prix de l’option d’achat, en utilisant la probabilité réelle p est C0 = e−γ EP [C1 ] = e−0.10921158 × (0.85 × 5 + 0.15 × 0) = 3.810298. • On voit que pour évaluer un produit dérivé avec la probabilité réelle, il faut d’abord connaître le coût du portefeuille de réplication, ce qui nous aide guère plus. • Dans tous les autres cas, utiliser la probabilité réelle p nécessite de faire une hypothèse sur γ ce qui peut être périlleux. En effet, pour une valeur de p donnée, il n’y a qu’une seule valeur de γ qui assure que le prix ne permette pas d’opportunités d’arbitrage. • Exemple (suite) : supposons que p = 0.85 et qu’après analyse, γ = 0.12. Alors, C0 = e−γ EP [C1 ] = e−0.12 × (0.85 × 5 + 0.15 × 0) = 3.7694119. Ce prix est inférieur au coût du portefeuille de réplication. Par conséquent, il y aurait une opportunité d’arbitrage.

1.6

Exercices

1.6.1

Examen MFE/3F

• Mai 2007 : 2 ; • Mai 2009 : 3, 7 ; • Q&A (version du 18 août 2010) : 49 ;

1.6.2


Les exercices notés CZ proviennent du livre de Cvitanic et Zapatero (2004). 1. (CZ) Dans un arbre binomial de CRR à une période, vous avez u = 1.2 et d = 0.98. De plus, S0 = 10 et r = 0.05 (périodique). Un droit conditionnel payant C1 = |S1 − 10| est émis.

(a) Quel est le portefeuille qui réplique ce paiement et quel est le coût à t = 0 ? (b) À l’aide de l’évaluation neutre au risque, trouvez le juste prix de ce droit, et comparez le avec votre réponse en a). 2. (CZ) On considère un modèle de marché à une période dont S0 = 100 et S1 ∈ {110, 100, 80}. Deux options de vente ont été émises : (1) une avec un prix d’exercice de 105$ se vend à 8$ et (2) une autre avec un prix d’exercice de 95$ dont le prix est de 5$. L’échéance de ces options est T = 1.

24

CHAPITRE 1. ARBRE BINOMIAL À UNE PÉRIODE (a) À l’aide des titres risqués disponibles sur le marché, trouvez le portefeuille qui permet de répliquer les paiements d’un titre sans risque qui paie 1$ dans tous les états de la nature. (b) Quel est le prix à t = 0 d’un tel portefeuille ? Quel est le taux sans risque (composé périodiquement) implicite dans cette situation ? 3. Vous savez que : • S0 = 5, u = 1.12, d = 0.95, r = 0.03 (continument composé) et T = ∆t = 1. • Selon l’analyste # 1, le taux d’intérêt le plus juste pour escompter les flux financiers est i1 = 0.07 (continu) et selon lui, la vraie probabilité d’une hausse de l’action est p1 = 0.74. • L’analyste # 2 est plus pessimiste. Il croit que le taux d’intérêt le plus approprié pendant la période est i2 = 0.08 (continu) et selon lui, la probabilité d’une augmentation du prix de l’action est p2 = 0.67. (a) Quel est le prix d’une option d’achat at-the-money selon chacun des analystes ? (b) Les prix en a) ne sont pas les mêmes. Y-a-t-il des opportunités d’arbitrage si cette option est émise par chacun de ces analystes ? (c) Quel est le prix de cette même option d’achat qui empêche les opportunités d’arbitrage ? Calculez-le à l’aide du portefeuille de réplication et avec la mesure neutre au risque. (d) Trouvez le taux de rendement anticipé sur l’action pour chacun des analystes. Note : le taux de rendement anticipé µ sur la période [0, T ] est la valeur de µ tel que S0 = e−µT EP [ST | F0 ] = e−µT EP [ST ] . (e) Trouvez le taux de rendement anticipé sur cette option d’achat pour chacun des analystes. Note : le taux de rendement anticipé γ sur la période [0, T ] pour un droit conditionnel est la valeur de γ tel que C0 = e−rT EQ [CT ] = e−γT EP [CT ] . Expliquez votre résultat. (f) Répétez e) avec une option de vente at-the-money. Interprétez le résultat. 4. En utilisant l’évaluation neutre au risque, montrer que le prix à terme à t = 0 pour la livraison à T d’un actif sous-jacent ne générant aucun revenu est F0 = S0 erT .

Chapitre 2 Arbre binomial à deux périodes 2.1

Modèle

• On ajoute maintenant une période à l’arbre binomial du dernier chapitre. Nous verrons que les mêmes idées sont appliquées à chaque noeud de l’arbre. ⊲ Nous débutons la présentation avec l’arbre à deux périodes car nous allons introduire des concepts importants. ⊲ Par la suite, nous allons généraliser avec plusieurs périodes. • Marché financier (une économie) possède les deux mêmes actifs transigés : ⊲ Actif risqué (action ou autre actif sous-jacent) ; ∗ Valeur future est aléatoire à chacune des deux périodes : processus stochastique ; ∗ Valeur initiale est connue ; ⊲ Actif sans risque (bon du Trésor, compte bancaire, etc.) ; • Actif sans risque ⊲ Bt : prix de l’actif sans risque au temps t ; ⊲ On requiert Bt ≥ Bt−1 . • Actif risqué ⊲ S0 : prix du sous-jacent à t = 0 ; ⊲ St : prix du sous-jacent à t ; ∗ {St , t = 0, 1, 2} est un processus stochastique ; • IMPORTANT : un arbre binomial à deux périodes est la répétition d’un arbre binomial à une période dans chacun des deux scénarios possibles. • S1 prend deux valeurs possibles : S1u et S1d ; • Sachant qu’à t = 1 on observe S1u , alors le prix de l’actif sous-jacent peut prendre deux valeurs à t = 2, i.e. S2uu et S2ud . • Sachant qu’à t = 1 on observe S1d , alors le prix de l’actif sous-jacent peut prendre deux valeurs à t = 2, i.e. S2du et S2dd . • Un arbre binomial (à deux périodes) est dit recombinant si S2ud = S2du . 25

26

CHAPITRE 2. ARBRE BINOMIAL À DEUX PÉRIODES • Illustration : S1u S0 S1d

S2uu S2ud = S2du S2dd

• La probabilité réelle d’observer chacun des événements est telle que Pr ( S1 = S1u | S0 ) Pr S1 = S1d S0 Pr ( S2 = S2uu | S1 = S1u ) Pr S2 = S2ud S1 = S1u ≡ Pr S2 = S2du S1 = S1d = Pr S2 = S2dd S1 = S1d . ≡ = ≡ =

p1 1 − p1 pu2 1 − pu2

pd2

1 − pd2

⊲ La plupart du temps, on pose p1 = pu2 = pd2 = p • On peut spécifier directement les valeurs de S1u , S1d , S2uu , S2ud et S2dd . On peut également utiliser les facteurs de croissance u et décroissance d (avec u > d) tels que S1u S1d S2uu S2ud

= = = =

S0 × u S0 × d S1u × u = S0 × u2 S1u × d = S0 × ud ...

• Finalement, S1d < S0 er < S1u S2uu < S1u er < S2ud S2du < S1d er < S2dd sont les trois conditions nécessaires pour la validité de l’arbre binomial à deux périodes. Nous y reviendrons plus en détails plus tard.

2.2


• Rappel : l’évaluation par réplication consiste à trouver un portefeuille d’actifs qui réplique de façon exacte les flux financiers dans tous les scénarios possibles ; • Appliqué à un arbre binomial à deux périodes, chaque scénario correspond à un chemin différent pris par l’actif sous-jacent. Il y a 4 chemins possibles dans notre contexte : uu, ud, du, dd; • Exemple :


27

⊲ Supposons que les analystes déterminent qu’un modèle réaliste pour l’évolution du prix de l’action de ABC inc. est tel que S0

S1

S2 125

C2 10

99

3

90

1

120 100 95 ⊲ Un produit dérivé quelconque est émis tel que les paiements (dans chaque scénario) sont donnés dans la dernière colonne du tableau précédent. ⊲ Sachant que le taux d’intérêt (sans risque, composé à chaque période) est de 2%, quel est le juste prix (qui empêche les opportunités d’arbitrage) de ce produit dérivé ? • Solution : ⊲ L’idée est exactement la même qu’avec un arbre à une période. Il suffit de reconnaître qu’un arbre binomial à deux périodes est une répétition d’un arbre binomial à une période. ⊲ Supposons qu’à t = 1, le prix de l’action est de 120$. Quelle serait la valeur de ce produit dérivé à t = 1 ? ⊲ Nous allons répliquer les paiements dans la partie supérieure de l’arbre, en traitant celui-ci comme un arbre à une période i.e. S1

S2 125

C2 10

99

3

120 ⊲ Tout comme dans le chapitre 1, on a x la quantité d’actions nécessaire dans le portefeuille de réplication pour reproduire les paiements de l’option et y la quantité de bons du Trésor nécessaire dans le portefeuille de réplication pour reproduire les paiements de l’option. ⊲ On veut 125 × x + 1.022 × y = 10 99 × x + 1.022 × y = 3. ⊲ En effet, sachant que S1 = 120, le prix de l’action à t = 2 est de 125$ lorsque celui-ci augmente. De plus, à t = 2, la valeur du titre sans risque est de 1.022 . Le paiement à reproduire est de 10$ dans ce scénario. ⊲ Sachant que S1 = 120, le prix de l’action à t = 2 est de 99$ lorsque celui-ci diminue. De plus, à t = 2, la valeur du titre sans risque est de 1.022 . Le paiement à reproduire est de 3$ dans ce scénario. ⊲ En résolvant ce système à deux équations et à deux inconnues, on trouve que x = 0.26923077 y = −22.735338.

28

CHAPITRE 2. ARBRE BINOMIAL À DEUX PÉRIODES ⊲ Formellement, on a donc à résoudre le système d’équations suivant, pour trouver (0,u) (1,u) δ2 et δ 2 (0,u)

δ2

(0,u)

δ2

(1,u)

B2 + δ 2

S2uu = C2uu

(1,u)

B2 + δ 2

S2ud = C2ud .

⊲ On aurait également pu utiliser les équations 1.2 et 1.1. En effet, (1,u)

δ2

De plus, (0,u)

δ2

C2uu − C2ud S2uu − S2ud 10 − 3 7 = = = 0.269230769. 125 − 99 26 ≡

1 C2ud S2uu − C2uu S2ud B2 S2uu − S2ud 1 3 × 125 − 10 × 99 = = −22.735338. 1.022 125 − 99

≡

⊲ Il faut remarquer la notation : ∗ δ 2 signifie qu’il faut détenir ce portefeuille dans la 2e période ∗ Dans l’indice (1, u), le 1 correspond au titre risqué et le u indique qu’on a conditionné sur le fait qu’on observe S1u ; ∗ Le 0 de l’indice (0, u) correspond au titre sans risque ; ⊲ Notez que la partie e−r a été remplacée par B12 car il s’agit du facteur d’actualisation sur 2 périodes. En résolvant le système d’équations à 2 équations et 2 inconnues, le terme B12 apparaît naturellement. ⊲ Quelle est la valeur du produit dérivé à t = 1 sachant que S1 = 120 ? On doit calculer le coût du portefeuille qu’on doit détenir dans la seconde période. Le coût de ce portefeuille est (0,u)

(1,u)

C1u = δ 2 B1 + δ 2 S1u = −22.735338 × 1.02 + 0.269230769 × 120 = 9.1176475. Par conséquent, afin d’éviter les opportunités d’arbitrage, le produit dérivé doit se transiger à 9.12$ à t = 1 lorsque S1 = 120. ⊲ Supposons maintenant qu’à t = 2, le prix de l’action est de 95$. Quelle serait la valeur de ce produit dérivé à t = 1 ? ⊲ Nous allons répliquer les paiements dans la partie inférieure de l’arbre, en traitant celui-ci comme un arbre à une période i.e. S1

S2 99

C2 3

90

1

95


29

⊲ Formellement, on a donc à résoudre le système d’équations suivant, pour trouver (0,d) (1,d) δ 2 et δ 2 (0,d)

δ2

(1,d)

B2 + δ 2

(0,d)

δ2

S2du = C2du

(1,d)

B2 + δ 2

S2dd = C2dd .

⊲ Au lieu de rebâtir les 2 équations pour trouver les deux inconnues, nous allons utliser directement (1,d)

δ2

(0,d)

δ2

C2du − C2dd S2du − S2dd 2 3−1 = = = 0.2222222 99 − 90 9 dd du 1 C2 S2 − C2du S2dd ≡ B2 S2du − S2dd 1 1 × 99 − 3 × 90 = = −18.262207. 1.022 99 − 90 ≡

⊲ On remarque que les indices (1, d) et (0, d) indiquent que nous avons conditionné sur le fait qu’on observe S1 = 95 = S1d à t = 1. ⊲ Quelle est la valeur du produit dérivé à t = 1 sachant que S1 = 95 ? On doit calculer le coût du portefeuille qu’on doit détenir dans la seconde période. Le coût de ce portefeuille est (0,d)

(1,d)

C1d = δ2 B1 + δ 2 S1d = −18.262207 × 1.02 + 0.2222222 × 95 = 2.4836579. ⊲ Maintenant, nous avons toutes les informations nécessaires afin d’évaluer le produit dérivé à t = 0. Nous allons traiter l’évaluation comme dans un contexte à une période, avec S0 S1 C1 120 9.1176475 100 95 2.4836579 ⊲ À l’aide des techniques dérivées dans le chapitre 1, on a (1)

δ1

(0)

δ1

C1u − C1d S1u − S1d 9.1176475 − 2.4836579 = 0.26535958 = 120 − 95 1 C1d S1u − C1u S1d = B1 S1u − S1d 1 2.4836579 × 120 − 9.1176475 × 95 = = −22.279904. 1.02 120 − 95 =

30

CHAPITRE 2. ARBRE BINOMIAL À DEUX PÉRIODES ⊲ Finalement, le coût de ce portefeuille à t = 0 est de (0)

(1)

C0 = δ 1 B0 + δ 1 S0 = −22.279904 × 1 + 0.26535958 × 100 = 4.256054. Afin d’éviter les opportunités d’arbitrage, le prix qui doit prévaloir sur les marchés financiers à t = 0 est de 4.26$. ⊲ Par conséquent, un investissement initial de 4.26$ qui est investi dans le portefeuille de réplication et ajusté à chaque période en fonction des prix observés, répliquera avec certitude l’un des 3 paiements possibles.

2.2.1

Complément d’informations

• Ce que nous venons de voir indique une façon pour l’investisseur de répliquer les paiements d’un produit dérivé. • En effet, en ayant un montant d’argent de C0 et en appliquant la stratégie de réplication appropriée, les paiements du droit conditionnel seront répliqués avec certitude dans tous les scénarios. ⊲ Au fur et à mesure que le prix des actifs évolue sur le marché, l’investisseur ajuste son portefeuille ; • Dans l’exemple précédent, l’investisseur doit détenir 0.26535958 unités d’actions durant la première période. Toutefois, lorsque le prix de l’action augmente à 120$, le nombre d’actions à détenir est de 0.269230769. À l’inverse, lorsque le prix de l’action diminue, alors le nombre d’actions à détenir est de 0.2222222. • La variation de valeur de chacun des titres et l’ajustement conséquent du portefeuille expliquent à eux seuls la façon de répliquer un droit conditionnel. ⊲ Aucun montant d’argent n’a été ajouté ou retiré en cours de route ; ⊲ Il s’agit donc d’une stratégie auto-financée.

⊤ (0) (1) • Stratégie (strategy) : répartition temporelle δ t = δ t , δ t quelconque d’une richesse initiale dans les actifs disponibles ; (.) ⊲ δ t signifie que la stratégie est valide sur l’intervalle de temps [t − 1, t) ; • Valeur d’un portefeuille (portfolio value) : valeur financière d’une stratégie ; ⊲ Notations : ∗ Xtδ : valeur au temps t d’une stratégie δ t ; ∗ X0δ ≡ x : valeur initiale d’un portefeuille ou richesse initiale ; ⊲ Par conséquent, (0)

(1)

Xtδ = δ t Bt + δ t St , t = 1, 2, ... • Stratégie auto-financée (self-financing strategy) ⊲ Une stratégie est dite auto-financée si les gains et les pertes encourues au cours du temps sont réinvestis dans les actifs disponibles ; ⊲ Une fois que le portefeuille est bâti à t = 0, alors aucune entrée ou sortie externe d’argent n’est effectuée du portefeuille.


31

⊲ Mathématiquement, ceci implique (0)

(1)

(0)

(1)

Xtδ = δ t Bt + δ t St = δ t+1 Bt + δ t+1 St pour t = 1, 2, ... ⊲ Par conséquent, la valeur du portefeuille juste avant et juste après un réajustement est exactement la même. • Sans le savoir, à la section précédente, nous avons appliqué les principes d’une stratégie auto-financée. • Exemple (suite) : à t = 0 on a (1)

δ1

= 0.26535958

(0) δ1

= −22.279904.

La stratégie δ 1 s’applique pendant la première période, i.e. sur l’intervalle [0, 1) . Le portefeuille de réplication nécessite d’être mis à jour à chaque période, en fonction des prix observés. Supposons qu’on observe à t = 1 que S1 = 120. Un instant (juste) avant le rebalancement, on a que (0)

(1)

C1u = δ 1 B1 + δ 1 S1u = −22.279904 × 1.02 + 0.26535958 × 120 = 9.1176475. La stratégie de réplication est auto-financée, i.e. on ne peut pas ajouter ou retirer d’argent du portefeuille. Les gains et les pertes sont réinvestis dans les titres disponibles. ⊲ En fonction des prix observés à t = 1, i.e. S1 = 120 B1 = 1.02, la stratégie est ajustée. La valeur du portefeuille juste avant et juste après le rebalancement doit être la même. On vérifie que C1u = = = = =

(0)

(1)

δ 1 B1 + δ 1 S1u (juste avant) 9.1176475 (0,u) (1,u) δ 2 B1 + δ 2 S1u (juste après) −22.735338 × 1.02 + 0.269230769 × 120 9.1176475.

⊲ L’augmentation de valeur du portefeuille i.e. de 4.256054 à 9.1176475 est due à l’augmentation de valeur de B et S. Les gains totaux ont été redistribués dans les deux actifs disponibles. ⊲ De plus, la stratégie demandait une augmentation du nombre d’actions (i.e. 0.26535958 à 0.269230769). Ce coût supplémentaire a été compensé par un emprunt supplémentaire dans le titre sans risque (i.e. −22.279904 à −22.735338).

32

CHAPITRE 2. ARBRE BINOMIAL À DEUX PÉRIODES (1)

(0)

• On remarque que δ 2 et δ 2 doivent être mis à jour (rebalancement) en fonction des prix des actifs observés à t = 1. (1) (0) ⊲ Donc, δ 2 et δ 2 sont des variables aléatoires. ⊲ De manière générale, on dit donc que {δt , t ≥ 1} est un processus stochastique prévisible (predictable ou previsible) car il dépend seulement de l’information disponible à t − 1. • En observant comment on peut trouver le juste prix d’un produit dérivé, on se rend compte que nul n’a besoin de déterminer la probabilité d’observer une trajectoire ou une autre. • Encore une fois, il suffit de répliquer les flux financiers du produit dérivé, dans tous les scénarios, afin de reproduire avec certitude les paiements de celui-ci.

2.3


• Puisque l’arbre binomial à deux périodes n’est qu’une répétition d’un arbre binomial à une période à chacun des noeuds, il est donc également possible de trouver une probabilité neutre au risque q d’observer chacune des valeurs de l’arbre. • En réorganisant chacune des équations (comme au chapitre 1) (0,u)

C1u = δ 2

(0,d)

C1d = δ 2

(1,u)

B1 + δ 2

(1,d)

B1 + δ 2

S1u

S1d ,

on peut trouver que q2u

≡

q2d ≡

B2 S1u B − S2ud 1

S2uu − S2ud 2 − S2dd S1d B B1 S2du − S2dd

.

• On peut interpréter q2u comme étant la probabilité neutre au risque d’observer S2uu sachant que l’action vaut S1u à t = 1. Mathématiquement, q2u = Pr ( S2 = S2uu | S1 = S1u ) . Q

Similairement,

q2d = Pr S2 = S2du S1 = S1d Q

q1 = Pr ( S1 = S1u | S0 ) Q

• Exemple (suite) : nous allons évaluer le produit dérivé de l’exemple précédent à l’aide de l’évaluation neutre au risque. On commence dans l’arbre du noeud supérieur, ou autrement dit, en sachant que S1 = 120. Cet arbre est S1

S2 125

C2 10

99

3

120


33

On a q2u

Par conséquent

=

B2 S1u B − S2ud 1

S2uu − S2ud 120 × 1.02 − 99 = = 0.9. 125 − 99

1 Q E [ C2 | S1 = 120] 1.02 1 (q u × 10 + (1 − q2u ) × 3) = 1.02 2 1 = (0.9 × 10 + (1 − 0.9) × 3) 1.02 = 9.1176471

C1u =

ce qui est évidemment la même réponse qu’obtenue précédemment. ⊲ Dans la partie inférieure de l’arbre, i.e. lorsque S1 = 95 on a S1

S2 99

C2 3

90

1

95 et la probabilité neutre au risque d’une augmentation est 95 × 1.02 − 90 q2d = = 0.76666667. 99 − 90 Par conséquent, 1 Q E [C2 | S1 = 95] C1d = 1.02 1 = (0.76666667 × 3 + (1 − 0.76666667) × 1) 1.02 = 2.4836601 ce qui est aussi équivalent à ce que nous obtenu précédemment. ⊲ Finalement, dans la partie principale de l’arbre, on a S0

S1 120

C1 9.1176475

95

2.4836579

100 ⊲ La probabilité neutre au risque d’observer S1 = 120 sachant que S0 = 100, est q1 = Pr ( S1 = S1u | S0 ) Q

=

1 S0 B − S1d B0

S1u − S1d 100 × 1.02 − 95 = = 0.28. 120 − 95

34

CHAPITRE 2. ARBRE BINOMIAL À DEUX PÉRIODES Par conséquent, 1 Q E [C1 | S0 = 100] 1.02 1 = (q1 × 9.1176475 + (1 − q1 ) × 2.4836579) 1.02 1 = (0.28 × 9.1176475 + (1 − 0.28) × 2.4836579) 1.02 = 4.2560539.

C0 =

On obtient encore une fois la même quantité qu’à la section précédente. • Tout comme au chapitre 1, les probabilités neutres au risque n’ont absolument rien à voir avec les vraies probabilités d’observer une augmentation du prix de l’action.

2.3.1

Arbitrage

• Nous avons supposé précédemment que S1d < S0 er < S1u S2ud < S1u er < S2uu S2dd < S1d er < S2du . • Cette condition est équivalente à S1d < S0 B1 < S1u B2 S2ud < S1u < S2uu B1 B 2 S2dd < S1d < S2du . B1 où

Bt −1 Bt−1

est le taux d’intérêt (composé périodiquement) en vigueur sur la t-ème période. Simit lairement, ln BBt−1 est le taux continument composé sur la même période. • Ces conditions sont nécessaires pour avoir l’absence d’arbitrage dans l’arbre binomial à deux périodes. ⊲ C’est équivalent à dire que chacun des arbres à 1 période ou chacun des noeuds (qui crée l’arbre à 2 périodes) ne génère aucune possibilité d’arbitrage. • On remarque également facilement que S1d < S0 B1 < S1u ⇔ 0 < q1 < 1 B2 S2ud < S1u < S2uu ⇔ 0 < q2u < 1 B1 B2 S2dd < S1d < S2du ⇔ 0 < q2d < 1. B1


35

⊲ Par conséquent, l’absence d’arbitrage dans tous les noeuds permet aux probabilités neutre au risque d’exister et vice versa. • Exemple (suite) : sachant que Bt = 1.02t et que l’évolution du titre risqué est tel que S0

S1

S2 125

120 100

99 95 90

déterminez s’il y a arbitrage entre le titre risqué et le titre sans risque. ⊲ Précédemment, nous avons pu vérifier que q1 , q2u et q2d sont des probabilités, alors il y a absence d’arbitrage. ⊲ Inversement, 95 < 100 × 1.02 < 120 99 < 120 × 1.02 < 125 90 < 95 × 1.02 < 99 ce qui implique l’absence d’arbitrage. De plus, les probabilités neutre au risque q1 , q2u et q2d existent.

2.3.2


• Le théorème fondamental d’évaluation des actifs financiers (fundamental theorem of asset pricing) appliqué à l’arbre binomial à deux périodes a des conséquences similaires dans ce modèle. • Il stipule qu’en absence d’arbitrage, les probabilités neutres au risque q1 , q2u et q2d existent et vice-versa. • Formellement, afin de trouver q1 , q2u et q2d on doit appliquer la condition martingale à chaque arbre à une période. • Condition martingale : chacune des probabilités neutre au risques sont déterminées en cherchant S0 Q S1 q1 tel que = E S0 B0 B1

S1u u Q S2 u q2 tel que = E S1 = S1 B1 B2

S1d d Q S2 d q2 tel que = E S1 = S1 . B1 B2

• Dans chaque noeud, on cherche une probabilité neutre au risque telle que la condition martingale est respectée.

36

CHAPITRE 2. ARBRE BINOMIAL À DEUX PÉRIODES • Exemple (suite) : on applique maintenant la condition martingale à l’arbre binomial à 2 périodes précédent i.e. S0 S1 S2 125 120 100 99 95 90 sachant que le taux d’intérêt est de 2% annuellement composé. ⊲ La première condition implique que S0 S1 = EQ S0 B0 B1 100 1 = q1 × S1u + (1 − q1 ) × S1d 1 1.02 100 1 = (120q1 + 95 (1 − q1 )) 1 1.02 et en résolvant pour q1 dans l’équation précédente, on trouve q1 = Pr ( S1 = S1u | S0 ) Q

=

1 S0 B − S1d B0

S1u − S1d 100 × 1.02 − 95 = = 0.28. 120 − 95

⊲ De plus, la seconde condition implique

S1u Q S2 u = E S1 = S1 B1 B2

120 S2 Q u = E S1 = S1 1.02 1.022 1 u uu u ud = q × S + (1 − q ) × S 2 2 2 1.022 2 et en résolvant pour q2u on déduit q2u =

B2 S1u B − S2ud 1

S2uu − S2ud 120 × 1.02 − 99 = = 0.9. 125 − 99

⊲ Similairement, q2d =

95 × 1.02 − 90 = 0.76666667. 99 − 90

2.4. RÉSUMÉ

37

• La conséquence du théorème fondamental d’évaluation est que C0 Q C1 = E S0 B0 B1

C1u Q C2 u S1 = S1 = E B1 B2

C1d Q C2 d = E S1 = S1 . B1 B2 On pourrait aussi écrire

C0 =EQ

• Exemple (suite) : lorsque Bt = 1.02t , alors

C2 S B2 0

.

Bt−1 1 = Bt 1.02 et donc, 1 Q E [C1 | S0 ] 1.02 1 Q = E [C2 | S1 = S1u ] 1.02 1 Q E C2 | S1 = S1d = 1.02

C0 = C1u C1d

ce qui a été calculé dans la section précédente.

2.4

Résumé

• Un arbre binomial à deux périodes est la répétition d’arbres binomiaux à une période ; ⊲ Il y a un arbre à une période lorsque qu’on observe S1 = S1u et un autre lorsque qu’on observe S1 = S1d ; • Pour évaluer un produit dérivé sans créer d’opportunités d’arbitrage, dans un arbre binomial à deux périodes, il existe deux façons équivalentes : ⊲ On trouve le portefeuille qui réplique de façon exacte les flux financiers du produit dérivé dans chacun des noeuds à chacune des périodes. ∗ La réplication nécessite de mettre à jour la stratégie de réplication au fur et à mesure que les prix sont révélés. ∗ Le coût initial de ce portefeuille correspond au prix du produit dérivé. ⊲ On calcule les probabilités neutres au risque q1 , q2u et q2d telles que la condition martingale est appliquée à chaque noeud et période. Par conséquent, le prix du produit dérivé correspond à la valeur présente espérée (au taux sans risque avec les probabilités q) des flux financiers du produit dérivé. • Il existe donc un lien intrinsèque entre l’absence d’arbitrage et l’existence des probabilités q1 , q2u et q2d .

38

CHAPITRE 2. ARBRE BINOMIAL À DEUX PÉRIODES • Les probabilités q1 , q2u et q2d n’ont de sens que lorsqu’on désire calculer le prix sans arbitrage d’un produit dérivé. Dans n’importe quel autre contexte, ces probabilités ne font aucun sens.

2.5

Exercices

2.5.1

Examen MFE/3F

• Mai 2007 : 11 ; • Mai 2009 : 1 ; • Q&A (version du 18 août 2010) : 4, 46 ;

2.5.2


Les exercices notés CZ proviennent du livre de Cvitanic et Zapatero (2004). Les exercices notés GG proviennent des notes de cours de Geneviève Gauthier (reproduits avec son autorisation). 1. Dans un arbre binomial de CRR à deux périodes, vous avez u = 1.01 et d = u1 . De plus, S0 = 100 et r = 0.005 (continument composé). Trouvez le portefeuille qui réplique les paiements d’une option de vente européenne avec prix d’exercice de 100$ (at-the-money). 2. (Suite d’un exemple présenté dans les notes de cours) Supposons que le taux sans risque r = 0.02 est capitalisé à chaque période et que les trajectoires du titre sous-jacent sont données dans le tableau suivant. Ω ω1 ω2 ω3 ω4

(1)

S0 S1 S2 C2 100 120 125 10 100 120 99 3 100 95 99 3 100 95 90 1 (1)

Les paiements d’un droit conditionnel C2 sont aussi écrits dans le tableau précédent. (a) À l’aide de l’évaluation neutre au risque, montrez que le prix du droit conditionnel à chaque période est le même qu’avec le portefeuille de réplication. (b) Pour les droits conditionnels suivants, trouvez le juste prix à l’aide du portefeuille de réplication et de l’évaluation neutre au risque. Montrez que les deux prix sont identiques. (2)

i. Droit conditionnel C2 absolue de S2 − 100).

dont le paiement à l’échéance est |S2 − 100| (valeur

(3) ii. Droit conditionnel C2 dont le paiement à l’échéance est S 2 − 100 + avec S2 =

1 (S0 + S1 + S2 ) (moyenne arithmétique). 3

2.5. EXERCICES

39

(4) iii. Droit conditionnel C2 dont le paiement à l’échéance est S2 − S2 avec +

S2 = (S0 × S1 × S2 )1/3 (moyenne géométrique).

3. (CZ) Dans un modèle de marché binomial à 2 périodes, une action de 100$ peut monter de 15% ou descendre de 5% dans une période. Si le prix d’une option d’achat avec prix d’exercice de 115$ et échéance de 2 périodes se vend à 5.424$, trouvez le taux d’intérêt r composé à chaque période.

40

CHAPITRE 2. ARBRE BINOMIAL À DEUX PÉRIODES

Chapitre 3 Généralisations et applications de l’arbre binomial 3.1

Arbre binomial à plusieurs périodes

• Supposons qu’on projette la valeur d’un actif sous-jacent sur un intervalle de temps fini [0, T ] ; • L’intervalle de temps [0, T ] est divisé en n sous-intervalles de temps : 0, ∆t, 2∆t, ..., T − ∆t, T ⊲ n + 1 périodes ⊲ ∆t = T /n. ⊲ Notation : t = 0, ∆t, 2∆t, ..., T − ∆t, T ou k = 0, 1, ..., n sont équivalents. ∗ Lien entre les deux notations : t = k∆t; ⊲ À chaque période de temps, il y a k + 1 noeuds. • À moins d’avis contraire, les hypothèses suivantes sont utilisées. • Marché financier : ⊲ Actif risqué : St+∆t = St Ut+∆t avec Ut+∆t = {u, d} et Ut+∆t i.i.d. d’une période à l’autre ; ⊲ Actif non risqué : Bt+∆t = Bt er∆t ⊲ r est le taux d’intérêt valide pour une année ; • On suppose que u et d sont constants partout dans l’arbre ; ⊲ Dans ce cours, u et d seront très souvent donnés ; • Examen MFE : les valeurs de u et d sont souvent ⊲ Cox-Ross-Rubinstein (CRR) (très utilisée en pratique) : √ u = exp σ ∆t √ 1 d = exp −σ ∆t = . u ⊲ Jarrow-Rudd (JR) : √ u = exp r − rd − 0.5σ 2 ∆t + σ ∆t √ d = exp r − rd − 0.5σ 2 ∆t − σ ∆t 41

42 CHAPITRE 3. GÉNÉRALISATIONS ET APPLICATIONS DE L’ARBRE BINOMIAL ⊲ Note : σ est la volatilité de l’actif sous-jacent et rd est le taux de revenu sur l’actif sous-jacent ; ⊲ Dans les deux cas (CRR ou JR), on peut montrer que lorsque ∆t → 0, alors la distribution du prix du sous-jacent à T converge vers une distribution lognormale. ∗ Le prix d’une option d’achat ou de vente européenne converge vers la formule de Black-Scholes. • On suppose que d < er∆t < u; ⊲ Par conséquent, il n’y a pas d’arbitrage partout dans l’arbre binomial ; ⊲ Selon le théorème fondamental d’évaluation des actifs financiers, alors les probabilités neutres au risque existent et sont uniques (voir plus loin) ; • Prochaine notation facilitera l’implémentation informatique de l’arbre binomial à plusieurs périodes ; • Un exemple numérique complet suivra.

3.1.1


• Supposons qu’on cherche à trouver le juste prix d’un produit dérivé à l’aide de l’évaluation par le portefeuille de réplication. • Par exemple, on a trouvé précédemment (1,d)

δ2

(0,d)

δ2

C2du − C2dd S2du − S2dd 1 C2dd S2du − C2du S2dd = B2 S2du − S2dd =

à l’aide d’un arbre binomial à deux périodes. En particularisant pour l’arbre binomial considéré dans cette section, on trouve par exemple (1,d)

δ2

(0,d)

δ2

C2du − C2dd S1d (u − d) dd du −2r C2 u − C2 d = e . u−d =

• On ne peut évidemment pas utiliser de notation similaire pour un arbre à n périodes car elle deviendrait trop lourde. • On peut généraliser pour le cas à n périodes de la façon suivante. ⊲ Le portefeuille réplicatif change à chaque noeud et à chaque période ; • Définitions : (1) (0) ⊲ δ k (j) et δ k (j) : le nombre d’unités dans le titre risqué et non risqué, à la période k et au noeud j. ∗ Indices : k = 1, ..., n et j = 0, 1, 2, ..., k ⊲ cn (j) : paiement du droit conditionnel (de type européen) à la maturité pour le noeud j. ⊲ ck (j) : valeur du droit conditionnel (de type européen) à la période k pour le noeud j. ∗ Indices : k = 0, ..., n et j = 0, 1, 2, ..., k

3.1. ARBRE BINOMIAL À PLUSIEURS PÉRIODES

43

⊲ De plus, Sk (j) = S0 uj d(k−j) est le prix du sous-jacent à la période k pour le noeud j. • Tableau illustratif : k=0

k=1

k=2

S2 (2) S1 (1) S2 (1) S0 (0) S1 (0) S2 (0)

k=3 S3 (3) S3 (2) S3 (1) S3 (0) (1)

j j j j

=3 =1 =2 =0 (0)

⊲ Un tableau similaire peut être fait pour ck (j) , δ k (j) et δ k (j) . • À la dernière période k = n (ou t = T ), il y a n + 1 noeuds. cn (j + 1) − cn (j) , j = 0, 1, 2, ..., n − 1 Sn−1 (j) (u − d) −rn∆t cn (j) u − cn (j + 1) d δ (0) , j = 0, 1, 2, ..., n − 1 n (j) = e u−d δ (1) n (j) =

• Pour les autres périodes, i.e. k = n − 1, n − 2, ..., 2, 1, on procède de façon récursive. ⊲ La stratégie est auto-financée, ce qui implique r(n−1)∆t cn−1 (j) = δ (0) + δ (1) n (j) e n (j) Sn−1 (j) , j = 0, 1, ..., n − 1.

⊲ On répète la procédure pour k = n − 1, n − 2, n − 3, ..., 3, 2, 1. ∗ La stratégie réplicative est ck (j + 1) − ck (j) , j = 0, 1, 2, ..., k − 1 Sk−1 (j) (u − d) −rk∆t ck (j) u − ck (j + 1) d δ (0) , j = 0, 1, 2, ..., k − 1. k (j) = e u−d (1)

δ k (j) =

∗ La valeur du produit dérivé est donnée par (0)

(1)

ck−1 (j) = δ k (j) er(k−1)∆t + δ k (j) Sk−1 (j) , j = 0, 1, ..., k − 1. • Exemple : voici les données de l’exemple qui seront utilisées dans cette sous-section et les suivantes (figures 11.7 et 11.8 du livre de Hull). ⊲ r = 0.05 (continument composé et annuel) ⊲ u = 1.2 et d = 0.8 ⊲ Prix initial de l’action S0 = 50 ⊲ Prix d’exercice : K = 52 ⊲ T = 2 et n = 2, donc ∆t = 1. ⊲ On désire évaluer une option de vente avec maturité T = 2. • Exemple (suite) : à l’aide des données précédentes, utilisez le portefeuille de réplication pour trouver le juste prix du produit dérivé.

44 CHAPITRE 3. GÉNÉRALISATIONS ET APPLICATIONS DE L’ARBRE BINOMIAL • Solution : ⊲ Le tableau suivant résume les paiements de l’option ainsi que la valeur de l’action j 2 1 0

S0 (j) n/a n/a 50

S1 (j) n/a 60 40

S2 (j) 72 48 32

c2 (j) 0 4 20

⊲ Donc, c2 (j + 1) − c2 (j) , j = 0, 1 S1 (j) (u − d) c2 (j) u − c2 (j + 1) d (0) δ 2 (j) = e−2r , j = 0, 1 u−d (1)

δ 2 (j) =

ce qui implique

j 2 1 0

δ (0) 2 (j) n/a 12e−0.1 52e−0.1

δ (1) 2 (j) c2 (j) n/a 0 1 −6 4 −1 20

⊲ Donc, la valeur de l’option après une période est soit de c1 (0) = 52e−0.1 × e0.05 − 1 × 40 = 9.46393 1 c1 (1) = 12e−0.1 × e0.05 − × 60 = 1.41475. 6 ⊲ On cherche le portefeuille qui réplique ces paiements (payoffs) c1 (1) − c1 (0) = −0.4024588 S0 (0) (u − d) c1 (0) u − c2 (1) d (0) δ 1 (0) = e−r = 24.315597. u−d (1)

δ 1 (0) =

⊲ Donc le prix de l’option est

c0 (0) = 24.315597 × 1 − 0.4024588 × 50 = 4.192656731.

3.1.2


• Condition martingale : dans l’arbre binomial, la condition martingale la plus générale est telle que St Q St+1 =E Ft , ∀t = 0, 1, 2, ... Bt Bt+1

⊲ On note que Ft correspond à l’information donnée par toutes les trajectoires possibles générées par S0 , S1 , ..., St ;


45

⊲ En termes de probabilités avancées, Ft est la plus petite tribu générée par S0 , S1 , ..., St . • La conséquence du théorème fondamental d’évaluation est que le prix d’un produit dérivé est tel que Ct Q Ct+1 =E Ft , ∀t = 0, 1, 2, ... Bt Bt+1 Donc,

C0 =EQ

CT BT

F0

car B0 = 1. • La première étape consiste à trouver la mesure neutre au risque valide dans l’arbre binomial. Une fois que cette mesure est trouvée, on évalue le produit dérivé récursivement. • IMPORTANT : La mesure de probabilité neutre au risque n’a de sens que lorsqu’on désire calculer le prix sans arbitrage d’un produit dérivé. Dans n’importe quel autre contexte, cette mesure de probabilité ne fait aucun sens. • Dans l’arbre binomial considéré, on retrouve très facilement la mesure de probabilité neutre au risque. En effet, on a St Q St+1 = E Ft Bt Bt+1 St e−rt = e−r(t+1) EQ [St Ut+1 | Ft ] 1 = EQ Ut+1 e−r Ft .

⊲ Puisque les Ut+1 sont i.i.d. comme U , alors EQ Ut+1 e−r Ft = e−r EQ [Ut ] = 1 ce qui implique

et finalement

q × ue−r + (1 − q) × de−r = 1 q≡

er − d . u−d

⊲ Évidemment, pour un court intervalle de temps on a q≡

er∆t − d . u−d

• Puisqu’il n’y a pas d’arbitrage, alors 0 < q < 1 ce qui appuie l’existence de la mesure neutre au risque. • De plus, étant donné que le taux d’intérêt est le même à toutes les périodes (constant, flat) alors q est le même pour chaque période et pour chaque noeud. • Nous procéderons à une évaluation récursive du prix d’un produit dérivé. En appliquant Ct Q Ct+1 =E Ft Bt Bt+1

46 CHAPITRE 3. GÉNÉRALISATIONS ET APPLICATIONS DE L’ARBRE BINOMIAL au contexte présenté, on a ck−1 (j) e−(k−1)r∆t = q × e−kr∆t ck (j + 1) + (1 − q) × e−kr∆t ck (j)

pour j = 0, 1, ..., k − 1 et k = n, n − 1, n − 2, ..., 3, 2, 1. On peut simplifier et obtenir ck−1 (j) = e−r∆t [q × ck (j + 1) + (1 − q) × ck (j)] , j = 0, 1, ..., k − 1. ⊲ On débute avec k = n en utilisant les paiements du droit conditionnel à la maturité comme valeurs de cn (j). ⊲ Ensuite on procède récursivement, de k = n à k = n − 1, à k = n − 2, ... etc. jusqu’à k = 1. • Exemple (suite) : à l’aide de l’évaluation neutre au risque, évaluez l’option de vente en question. ⊲ On sait que la probabilité neutre au risque d’un mouvement à la hausse est er∆t − d u−d 0.05×1 e − 0.8 = 0.628177741. = 1.2 − 0.8

q =

⊲ Alors

ck−1 (j) = e−r∆t [q × ck (j + 1) + (1 − q) ck (j)]

pour j = 0, 1, ..., k − 1 et k = 1, 2. Donc c1 (0) = = c1 (1) = =

e−r∆t [q × c2 (1) + (1 − q) c2 (0)] 9.463930074 e−r∆t [q × c2 (2) + (1 − q) c2 (1)] 1.414753094.

⊲ On applique la formule de nouveau c0 (0) = e−r∆t [q × c1 (1) + (1 − q) c1 (0)] = 4.192654281. ⊲ Évidemment, on obtient le même résultat. 3.1.2.1

Distribution binomiale

• En définissant l’évolution du prix de l’action comme Sk (j) = S0 uj dk−j , (pour k = 0, 1, 2, ..., n et j = 0, 1, 2, ..., k) on remarque que le prix du sous-jacent à une certaine période k suit (k, q) dans la mesure neutre au risque. une loi binomiale • Par conséquent, Pr Sk = S0 uj dk−j correspond à la probabilité qu’il y ait j mouvements à la hausse et k − j mouvements à la baisse durant k périodes.


47

• Le juste prix d’un droit conditionnel européen CT ≡ g (ST ) est donc C0 = EQ CT BT−1 F0 n = e−rT g S0 uj dn−j × Pr Sn = S0 uj dn−j =

Q

j=0 n

e

2

e−rT g S0 uj dn−j × Pr S2 = S0 uj dn−j

−rT

j=0

n j j n−j g S0 u d × q (1 − q)k−j . j

• Exemple (suite) : est-il possible d’utiliser la distribution binomiale pour évaluer le produit dérivé précédent ? • Solution : Oui, on a C0 = EQ CT BT−1 F0 =

j=0

=

2

Q

e

2 j j n−j g S0 u d × q (1 − q)k−j j

j

g (ST )

2 1 0

0 4 20

−rT

j=0

avec q = 0.628177741. Or

2 j

Prob.

1 2 1

0.3946073 0.4671409 0.1382518

où Prob= 2j q j (1 − q)k−j . L’espérance vaut donc

C0 = e−2×0.05 (0 × 0.3946073 + 4 × 0.4671409 + 20 × 0.1382518) = 4.1926542

ce qui est aussi la même chose. • Dans certains cas (options exotiques par exemple), il peut être plus pratique d’utiliser une approche trajectoire par trajectoire (si évidemment, le nombre de trajectoires n’est pas trop grand) : ⊲ (1) Pour chacune des trajectoires, calculer le paiement du droit à l’échéance. ⊲ (2) Calculer la probabilité neutre au risque d’observer chacun des paiements du droit. Les probabilités doivent sommer à 1 sur les trajectoires. ⊲ (3) Calculer le facteur d’actualisation correspondant à chaque trajectoire. ⊲ Le prix du droit est donc la somme du produit des trois éléments suivants : (1) paiement à T , (2) probabilité neutre au risque et (3) facteur d’actualisation. • Exemple (option asiatique) : dans un arbre binomial à 3 périodes, vous avez que S0 = 100, u = 1.1 et d = 0.9. Une option paie S1 + S2 + S3 C3 = max − 100, 0 . 3

48 CHAPITRE 3. GÉNÉRALISATIONS ET APPLICATIONS DE L’ARBRE BINOMIAL Sachant que r (périodique) est de 4%, quel est le prix de cette option ? • Solution : la moyenne arithmétique doit être calculée sur tous les chemins possibles. Or, on observe le tableau suivant : ω 1 2 3 4 5 6 7 8

S1 S2 S3 Moyenne 110 121 133.1 121.37 110 121 108.9 113.30 110 99 108.9 105.97 110 99 89.1 99.37 90 99 108.9 99.30 90 99 89.1 92.70 90 81 89.1 86.70 90 81 72.9 81.30

• ⊲ Donc, seules les trois premières trajectoires peuvent produire un paiement positif. ⊲ On remarque également que même si les trajectoires uud, udu, duu mènent au même S2 , le paiement du produit dérivé n’est pas nécessairement le même : il dépend de la trajectoire empruntée. ⊲ On a 1.04 − 0.9 q= = 0.7 1.1 − 0.9 et les trajectoires uuu, uud et udu peuvent produire des paiements. Par conséquent, la valeur de l’option est 1 3 2 2 q × 21.37 + q (1 − q) × 13.30 + q (1 − q) × 5.97 1.043 1 0.73 × 21.37 + 0.72 (1 − 0.7) × 13.30 = +0.72 (1 − 0.7) × 5.97 1.043 = 9.0345144.

C0 =

3.2

Options américaines

• Un droit conditionnel de type américain est un droit conditionnel dont l’exercice peut survenir en tout temps avant la maturité du droit. ⊲ Lorsque l’exercice peut survenir qu’à certaines périodes pré-spécifiées d’avance, il s’agit d’une option de type bermudienne. • Le détenteur du droit conditionnel exercera l’option lorsque ce sera optimal de le faire. ⊲ Il le fera lorsque la valeur de continuation est inférieure au paiement du droit si celui-ci était exercé immédiatement. • La valeur de continuation du droit conditionnel américain est la valeur présente espérée des flux financiers futurs : V Ck−1 (j) ≡ e−r∆t [q × ck (j + 1) + (1 − q) ck (j)] , j = 0, 1, ..., k − 1 ⊲ C’est la valeur de l’option à k − 1 si l’exercice était impossible à cette période.

3.2. OPTIONS AMÉRICAINES

49

⊲ Par conséquent, V Ck−1 (j) peut également être calculé à l’aide d’un portefeuille de réplication. • Si le détenteur du droit conditionnel américain décide d’exercer le droit conditionnel à t, alors le paiement sera de g (St ) ; ⊲ g peut être (St − K)+ , (K − St )+ , etc. • Le détenteur exercera seulement si g (St ) > V Ct . Sinon, il conservera l’option d’exercer. • Par conséquent, la valeur de l’option au noeud j est ck−1 (j) = max (V Ck−1 (j) , g (Sk−1 (j))) , j = 0, 1, ..., k − 1

et pour k = 1, 2, ..., n. • Rappels : ⊲ Il n’est jamais optimal d’exercer prématurément une option d’achat américaine sur un actif sous-jacent qui ne paie pas de dividende. ⊲ Il peut être optimal d’exercer prématurément une option de vente américaine sur un actif sous-jacent qui ne paie pas de dividende. ⊲ S’il y a des versements de dividendes, alors il peut être optimal d’exercer : ∗ une option d’achat juste avant le versement du dividende ; ∗ une option de vente juste après le versement du dividende ; • Exemple (suite) : dans l’option de vente en question, on suppose que l’option est américaine. Quelle est la valeur de l’exercice prématuré ? • Solution : on cherche la différence entre la valeur de l’option de vente européenne et américaine. ⊲ On applique la technique récursive en sachant et

V Ck−1 (j) = e−r∆t [q × ck (j + 1) + (1 − q) ck (j)] , j = 0, 1, ..., k − 1 ck−1 (j) = max (V Ck−1 (j) , g (Sk−1 (j))) , j = 0, 1, ..., k − 1.

⊲ On a trouvé précédemment que

V C1 (0) = 9.463930074 V C1 (1) = 1.414753094. ⊲ Or, g (S1 (0)) = g (40) = 12 g (S1 (1)) = g (60) = 0. ⊲ On déduit que l’investisseur devrait exercer l’option à t = 1 si le prix de l’action est 40. Donc, c1 (0) = = = c1 (1) = = =

max (V C1 (0) , g (S1 (0))) max (9.463930074, 12) 12 max (V C1 (1) , g (S1 (1))) max (1.414753094, 0) 1.414753094.

50 CHAPITRE 3. GÉNÉRALISATIONS ET APPLICATIONS DE L’ARBRE BINOMIAL ⊲ Par conséquent, le prix de l’option est V C0 (0) = e−r∆t [q × c1 (1) + (1 − q) c1 (0)] = 5.089632474 et c0 (0) = max (5.089632474, 2) = 5.089632474 car un exercice prématuré de l’option procurerait 2$. ⊲ La valeur de l’exercice prématuré est la différence de valeur entre l’option américaine et européenne et correspond à 5.089632474 − 4.1926542 = 0.89697827.

3.3

Options sur autres actifs

• Nous avons toujours considéré des actifs qui ne fournissaient aucun revenu. • En pratique, plusieurs actifs paient un certain revenu, ou se comportent comme s’ils versaient un revenu. • Options sur actifs qui paient un taux de dividende continu : ⊲ Que se passe-t-il lorsqu’une compagnie paie un dividende continu ? ⊲ Du point de vue de la compagnie, les dividendes diminuent l’avoir disponible et réduisent le potentiel d’expansion de l’entreprise. ⊲ Pour l’investisseur, les dividendes augmentent le rendement sur l’action. ⊲ Notation : ∗ S1 correspond au prix d’une action après le versement des dividendes (ex-dividend) ; ∗ S1∗ correspond à la valeur totale de l’action privilégiée pour l’investisseur (en ajoutant le rendement de dividende) où S1∗ = erd × S1 . ⊲ Le rendement en dividende est important à considérer car lorsqu’on réplique les paiements d’une option avec une action privilégiée, elle augmentera la valeur de la portion investie en action. ⊲ Évaluation par réplication : on cherche à résoudre (0)

(1)

(0)

(1)

δ 1 B1 + δ 1 S1u∗ = C1u δ 1 B1 + δ 1 S1d∗ = C1d où S1u∗ = S1u erd S1d∗ = S1d erd .

3.4. APPLICATIONS VARIÉES

51

On résoud le système d’équation pour trouver (1) δ1 (0)

δ1

u d C1u − C1d −rd C1 − C1 = =e S1u∗ − S1d∗ S1u − S1d d u u d C d S u∗ − C1u S1d∗ −r C1 S1 − C1 S1 = e−r 1 1u∗ = e . S1 − S1d∗ S1u − S1d (1)

Par conséquent, seulement δ 1 est modifié. ⊲ Évaluation neutre au risque : on a (0)

(1)

C0 = δ 1 B0 + δ 1 S0 et en réorganisant l’équation, on obtient S0 B1 − S1d∗ S1u∗ − S1d∗ S0 er − S1d erd = S1u erd − S1d erd S0 er−rd − S1d = S1u − S1d

q =

ou de façon équivalente, q=

exp ((r − rd ) ∆t) − d . u−d

• Options sur devises : ⊲ Une devise peut être vue comme un actif qui paie un dividende de rf où rf est le taux sans risque étranger. ⊲ Alors, exp ((r − rf ) ∆t) − d q= . u−d • Options sur contrats à terme : ⊲ Un contrat à terme peut être traité dans l’arbre binomial comme si rd = r, ce qui implique 1−d q= . u−d ⊲ La maturité du contrat à terme doit coincider avec l’option sur celui-ci.

3.4

Applications variées

• Que se passe-t-il lorsqu’un dividende discret est versé ? Ou lorsque le taux d’intérêt varie d’une trajectoire à l’autre ? • Nous allons étudier ces deux cas particuliers à l’aide d’exemples numériques • Exemple : Arbre binomial sur 2 périodes non-recombinant

52 CHAPITRE 3. GÉNÉRALISATIONS ET APPLICATIONS DE L’ARBRE BINOMIAL ⊲ Supposons les trajectoires suivantes pour le prix du sous-jacent. ω ω1 ω2 ω3 ω4

S0 S1 S2 100 110 120 100 110 100 100 90 95 100 90 80

avec Bt = 1.02t (aucun arbitrage). ⊲ Comment peut-on trouver les probabilités neutres au risque ? • Solution : le fait que l’arbre binomial ne soit pas recombinant n’est aucunement problématique. ⊲ On trouve que 100 × 1.02 − 90 = 0.6 110 − 90 110 × 1.02 − 100 q2u = = 0.61 120 − 100 90 × 1.02 − 80 q2d = = 0.7866. 95 − 80 ⊲ Par conséquent, la probabilité neutre au risque de chacune des trajectoires est q1 =

Q (ω 1 ) Q (ω 2 ) Q (ω 3 ) Q (ω 4 )

= = = =

q1 q2u = 0.6 × 0.61 = 0.366 q1 (1 − q2u ) = 0.6 × 0.39 = 0.234 (1 − q1 ) q2d = 0.4 × 0.7866 = 0.31464 (1 − q1 ) 1 − q2d = 0.4 × 0.2134 = 0.08536.

• Exemple (suite) : supposons que C2 = (90 − S2 )+ . Quelle est la valeur de ce produit dérivé ? • Solution : on a directement 10 × Q (ω 4 ) × 1.02−2 = 10 × 0.156 × 1.02−2 = 1.4994233.

• Exemple (suite) : supposons maintenant que r0 , le taux sans risque valide sur [0, 1] est de 2% (annuel) et que le taux sans risque r1 valide sur l’intervalle [1, 2] est 3%. Calculez les probabilités neutres au risque. • Solution : en appliquant −1 St−1 Bt−1 = EQ St Bt−1 Ft−1 , t = 1, 2 on obtient

100 × 1.02 − 90 = 0.6 110 − 90 110 × 1.03 − 100 = = 0.665 120 − 100 90 × 1.03 − 80 = = 0.8466. 95 − 80

q1 = q2u q2d

De plus, les Q (ω i ) sont obtenues similairement.

3.5. EXERCICES

53

• Exemple (suite) : supposons maintenant que dans le contexte original du problème, on a un dividende discret de 1$ versé à t = 1 (immédiatement après le dévoilement des prix). Par conséquent, les prix montrés dans le tableau sont juste avant le versement du dividende. Calculez les probabilités neutres au risque. • Solution : en appliquant −1 St−1 Bt−1 = EQ St Bt−1 Ft−1 , t = 1, 2 on obtient

100 × 1.02 − 90 = 0.6 110 − 90 (110 − 1) × 1.02 − 100 = = 0.559 120 − 100 (90 − 1) × 1.02 − 80 = 0.71866 = 95 − 80

q1 = q2u q2d

De plus, les Q (ω i ) sont obtenues similairement.

3.5 3.5.1

Exercices Examen MFE/3F

• Mai 2007 : aucun ; • Mai 2009 : 7 ; • Q&A (version du 18 août 2010) : 5, 44 ;

3.5.2


Les exercices notés CZ proviennent du livre de Cvitanic et Zapatero (2004). Les exercices notés GG proviennent des notes de cours de Geneviève Gauthier (reproduits avec son autorisation). 1. On considère un arbre binomial de CRR à 3 périodes. Vous avez r = 0.05 (continu), S0 = 100, u = 1.1 et d = 0.9. De plus, l’action ne verse aucun dividende. (a) En utilisant l’évaluation neutre au risque, trouvez le juste prix d’une option de vente américaine at-the-money. (b) Calculez la valeur de l’exercice prématuré de cette option. 2. Une action valant 50$ à t = 0 peut monter de 12% dans une période ou descendre de 8%. Si le taux d’intérêt continu est de 5%, ∆t = 1 et T = 4, à l’aide de l’évaluation neutre au risque, trouvez le prix d’un droit conditionnel qui paie à l’échéance C4 = (max (S1 , S2 , S3 , S4 ) − 55)+ (a) ... lorsque l’action ne verse aucun dividende ;

54 CHAPITRE 3. GÉNÉRALISATIONS ET APPLICATIONS DE L’ARBRE BINOMIAL (b) ... lorsque l’action verse un dividende continu annuel de 1% ; 3. (CZ) Nous considérons un arbre binomial de CRR à 2 périodes avec r = 0.01 (périodique), S0 = 100, u = 1.02 et d = 0.98. L’action ne verse pas de dividende. On considère un droit conditionnel européen qui paie à l’échéance 2 S2 , S2 > 100 C2 = 0 S2 ≤ 100. Note : S22 est le carré du prix de l’actif sous-jacent au temps t = 2. (a) En utilisant l’évaluation neutre au risque, trouvez le juste prix de ce produit dérivé. (b) En utilisant l’évaluation neutre au risque, trouvez le juste prix de la version américaine de ce produit dérivé, en assumant que le paiement est le même en cas d’exercice prématuré. 4. (CZ) On considère les trajectoires suivantes d’un actif sous-jacent. ωi 1 2 3 4

S0 50 50 50 50

S1 55 55 47 47

S2 57 48 48 41

On a que r = 0.02 (composé à chaque période). Un dividende de 3$ est versé à t = 1 (immédiatement après le dévoilement des prix à t = 1). En utilisant l’évaluation neutre au risque : (a) Trouvez le prix d’une option de vente américaine avec prix d’exercice de 45$ avec maturité de 2 périodes. (b) Trouvez le prix d’une option d’achat américaine avec prix d’exercice de 45$ avec maturité de 2 périodes. 5. (GG) On considère le modèle de marché suivant où le taux d’intérêt est stochastique mais prévisible. Les trajectoires de l’actif sans risque ({Bt , t = 0, 1, 2}) et de l’actif risqué ({St , t = 0, 1, 2}) (qui ne paie aucun revenu) sont données dans le tableau suivant. ωi 1 2 3 4

S0 S1 S2 40 41 42.50 40 41 40.20 40 39 39.90 40 39 39

B0 1000 1000 1000 1000

B1 1020 1020 1020 1020

Un droit conditionnel payant C2 = (max (S1 , S2 ) − 40)+ est émis.

B2 1040 1040 1030 1030

3.5. EXERCICES

55

(a) Décrire à l’aide d’un arbre, l’évolution de {St , t = 0, 1, 2} .

(b) Montrez que ce modèle de marché n’admet pas l’arbitrage. (c) Trouvez la stratégie qui permet de répliquer les flux financiers de ce droit conditionnel, pour toutes les périodes, i.e. trouvez δ 1 et δ 2 . Il s’agit de votre portefeuille réplicatif. (d) Déterminez le coût initial du portefeuille réplicatif. (e) Trouvez la seule et unique mesure martingale équivalente pour ce modèle. (f) Vérifiez que le coût du portefeuille réplicatif est le même qu’à l’aide de l’évaluation neutre au risque. (g) Un droit conditionnel D2 = 100 est émis (obligation zéro-coupon). Quel est le juste prix de ce droit conditionnel ? 6. Une banque d’investissement européenne émet une option de vente sur la devise américaine d’une durée de 6 mois. Vous utilisez un arbre binomial à deux périodes. Vous savez que le taux d’intérêt sans risque en Europe est d’environ 3% alors qu’il est de 1% aux États-Unis. De plus, le taux de change courant est de 1.25$ par euro, la volatilité du taux de change est de 20% (u est défini selon CRR), et le prix d’exercice de l’option est de 1.35$ par euro. (a) Calculez la valeur de 1000 de ces options (en euro) à t = 0 en utilisant l’évaluation neutre au risque ; (b) Sans émettre l’option de vente, de quelle façon la banque d’investissement peutelle répliquer les paiements de cette option à chaque période et à chaque scénario ?

56 CHAPITRE 3. GÉNÉRALISATIONS ET APPLICATIONS DE L’ARBRE BINOMIAL

Chapitre 4 Arbres trinomiaux et marchés incomplets 4.1

Modèle

• Dans ce chapitre, on s’intéresse à évaluer un produit dérivé sur un actif sous-jacent dont l’évolution est dictée par un arbre trinomial ; ⊲ L’actif sous-jacent peut prendre trois valeurs possibles à la fin de la période ; • Marché financier (une économie) possède deux actifs transigés : ⊲ Actif risqué (action ou autre actif sous-jacent) ; ⊲ Actif sans risque (bon du Trésor, compte bancaire, etc.) ; ∗ Comme aux derniers chapitres ; ∗ Valeur au temps t = 0 et t = 1 donné par B0 et B1 ; ∗ Taux d’intérêt continument ou périodiquement composé ; ∗ Déterministe (non-aléatoire) ; • Actif risqué ⊲ S0 : prix du sous-jacent à t = 0 ; ∗ Connu et observé ; ⊲ S1 : prix du sous-jacent à t = 1 ; ∗ Aléatoire, inconnu ; ⊲ On suppose que S1 peut prendre trois valeurs possibles à t = 1 : ∗ S1u avec probabilité pu ; ∗ S1m avec probabilité pm ∗ S1d avec probabilité pd = 1 − pu − pm ; ⊲ On a également : S1d < S1m < S1u . • Similairement, les probabilités pu , pm et pd sont appelées probabilités réelles, observées ou physiques d’observer S1u , S1m et S1d respectivement. • Finalement, B1 S1d < S0 < S1u B0 est une condition nécessaire pour la validité de l’arbre trinomial à une période. Nous y reviendrons plus en détails plus tard. 57

58

CHAPITRE 4. ARBRES TRINOMIAUX ET MARCHÉS INCOMPLETS • Arbre trinomial peut être vu comme étant un arbre binomial + un risque supplémentaire. ⊲ C’est ce risque supplémentaire qui crée les difficultés dans l’évaluation par réplication et l’évaluation neutre au risque.

4.2


• On désire évaluer un droit conditionnel sur S1 dans un arbre trinomial ; • Une première façon d’approcher le problème est de trouver le portefeuille qui répliquera les paiements du produit dérivé en question ; • Rappel : l’évaluation par réplication consiste à trouver un portefeuille d’actifs qui réplique de façon exacte les flux financiers dans tous les scénarios possibles ; • Procédons à l’aide d’un exemple ; • Exemple : supposons que le taux d’intérêt annuel est de 10% (composé périodiquement). De plus, l’actif sous-jacent est tel que S0 = 6 et S1 ∈ {7.7, 5.5, 3.3}. Une option de vente avec prix d’exercice de 7.70$ avec maturité de 1 an est émis. Quel devrait être le prix de cette option de vente afin d’éviter les opportunités d’arbitrage ? • Solution : on doit trouver la quantité du titre sans risque et du titre risqué qu’on doit posséder à t = 0 de telle sorte que ce portefeuille ait les mêmes paiements que l’option de vente, dans tous les scénarios. ⊲ Soit x la quantité d’actions nécessaire dans le portefeuille de réplication pour reproduire les paiements de l’option. ⊲ Soit y la quantité de bons du Trésor nécessaire dans le portefeuille de réplication pour reproduire les paiements de l’option. ⊲ De plus, la valeur du titre risqué et les paiements du produit dérivé sont : S0 6

S1 7.7 5.5 3.3

C1 (7.7 − 7.7)+ = 0 (7.7 − 5.5)+ = 2.2 (7.7 − 3.3)+ = 4.4

⊲ Le système d’équations devient 7.7x + 1.1y = 0 5.5x + 1.1y = 2.2 3.3x + 1.1y = 4.4. ⊲ En résolvant les deux premières équations on obtient x = −1, y = 7. ⊲ De plus, 3.3 × −1 + 1.1 × 7 = 4.4

ce qui signifie que le portefeuille [−1, 7] permettra de répliquer les paiements du produit dérivé à t = 1 dans tous les scénarios possibles.


59

⊲ La valeur de ce droit conditionnel à t = 0 (ou le juste prix) est le coût d’acquisition de ce portefeuille et correspond à (1)

(0)

δ 1 S0 + δ 1 B0 = −1 × 6 + 7 × 1 = 1. • Exemple (suite) : dans l’exemple précédent, supposons que l’option de vente a un prix d’exercice de 6$. Est-il encore possible de construire un portefeuille de réplication ? • Solution : l’évolution du titre risqué et les paiements du droit conditionnel sont : S0 6

S1 7.7 5.5 3.3

C1 (6 − 7.7)+ = 0 (6 − 5.5)+ = 0.5 (6 − 3.3)+ = 2.7

⊲ Pour trouver le portefeuille de réplication, le système d’équations à résoudre est 7.7x + 1.1y = 0 5.5x + 1.1y = 0.5 3.3x + 1.1y = 2.7 ce qui est un système de trois équations à deux inconnues. ⊲ Peut-on résoudre un tel système ? Malheureusement non car il n’y a aucune solution. ⊲ En effet, en résolvant les deux premières équations, on a x = −0.22727273, y = 1.5909091 mais 3.3 × −0.22727273 + 1.1 × 1.5909091 = 1 = 2.7.

⊲ Il n’existe donc pas de portefeuille qui puisse répliquer les paiements de ce droit conditionnel. La réplication parfaite est impossible. ⊲ À quel prix devrait se transiger un tel produit afin d’éviter les opportunités d’arbitrage ? Il existe une infinité de prix qui empêchent les opportunités d’arbitrage. En fait, on aura que C0 ∈ C0inf , C0sup . ⊲ Par contre, en pratique, comment l’acheteur et le vendeur s’entendront-ils sur un prix unique ? ⊲ Il est fort probable que le prix offert et demandé sera celui qui minimisera le risque de chacune des parties. ⊲ Par conséquent, d’autres hypothèses devront être utilisées pour trouver un prix unique. • Comment se fait-il que dans le même marché, certains produits peuvent être répliqués alors que d’autres ne peuvent l’être ? ⊲ Il existe des droits accessibles et des droits non accessibles ; • Droit accessible (attainable claim) : un droit conditionnel pour lequel il existe un seul et unique portefeuille de réplication. • Exemple (suite) : dans le marché financier présenté dans l’exemple précédent, quels produits dérivés pourraient être accessibles ? Autrement dit, que devraient être les paiements du droit conditionnel afin de trouver un portefeuille de réplication unique ?

60

CHAPITRE 4. ARBRES TRINOMIAUX ET MARCHÉS INCOMPLETS • Solution : on a

S0 6

S1 7.7 5.5 3.3

C1 cu cm cd

et le système d’équations devient 7.7x + 1.1y = cu 5.5x + 1.1y = cm 3.3x + 1.1y = cd . ⊲ En général, ce système d’équations n’admet aucune solution la plupart du temps. Toutefois, lorsque la solution de 7.7x + 1.1y = cu 5.5x + 1.1y = cm permet également de résoudre 3.3x + 1.1y = cd alors la solution est unique et le droit conditionnel est accessible. ⊲ Utilisons la soustraction d’équations pour résoudre ce système. En soustrayant les deux premières équations et les deux dernières équations, on a 2.2x = cu − cm 2.2x = cm − cd . Donc la condition d’accessibilité est cu − cm = cm − cd . ⊲ Dans le cas de l’option de vente avec prix d’exercice de 6$, on a cu = 0, cm = 0.5, cd = 2.7 et pour l’option avec prix d’exercice de 7.70$, on a cu = 0, cm = 2.2, cd = 4.4. ⊲ On remarque que la condition d’accessibilité est rencontrée dans le 2e cas seulement. C’est ce que nous avions noté précédemment.


4.3 4.3.1

61

Évaluation neutre au risque Arbitrage

• Nous avons supposé précédemment que

B1 < S1u . B0 • Il est facile de voir qu’il s’agit également de la condition d’absence d’arbitrage dans l’arbre trinomial : ⊲ Le titre risqué doit avoir la possibilité d’avoir un rendement plus petit ou plus grand que le titre sans risque ; • On peut donc aborder la version la plus générale du théorème fondamental d’évaluation des actifs financiers ; S1d < S0

4.3.2


• Dans l’arbre binomial à une ou plusieurs périodes, nous avons remarqué qu’il existe une approche alternative d’évaluation des produits dérivés : l’évaluation neutre au risque. • En absence d’arbitrage, il existe une seule et unique mesure de probabilité neutre au risque. Le prix d’un produit dérivé qui empêche les opportunité d’arbitrage : ⊲ espérance sous la mesure neutre au risque ; ⊲ flux financiers futurs escomptés au taux sans risque ; • Comme nous avons vu en manipulant l’équation du coût du portefeuille de réplication, l’existence de l’approche neutre au risque est intrinsèque à l’existence d’un tel portefeuille ; • Qu’en est-il pour l’arbre trinomial (ou n’importe quel autre processus à temps discret) pour représenter l’évolution de {St , t ≥ 0} ? • Théorème fondamental d’évaluation (pour l’arbre trinomial et n’importe quel autre processus à temps discret) : en absence d’arbitrage, il existe au moins une mesure neutre au risque telle que la condition martingale est respectée, et vice-versa. • Condition martingale : dans l’arbre trinomial (ou n’importe quel processus à temps discret), la condition martingale est telle que St Q St+1 =E Ft , ∀t = 0, 1, 2, ... Bt Bt+1

⊲ On note que Ft correspond à l’information donnée par toutes les trajectoires possibles générées par S0 , S1 , ..., St ; ⊲ En termes de probabilités avancées, Ft est la plus petite tribu générée par S0 , S1 , ..., St . • La conséquence du théorème fondamental d’évaluation est que le prix d’un produit dérivé est tel que Ct Q Ct+1 =E Ft , ∀t = 0, 1, 2, ... Bt Bt+1 Donc,

Q CT C0 =E BT F0

62

CHAPITRE 4. ARBRES TRINOMIAUX ET MARCHÉS INCOMPLETS lorsque B0 = 1. • La première étape consiste à trouver la mesure neutre au risque valide dans le modèle pour le titre risqué. Une fois que cette mesure est trouvée, on évalue le produit dérivé récursivement. • IMPORTANT : La mesure de probabilité neutre au risque n’a de sens que lorsqu’on désire calculer le prix sans arbitrage d’un produit dérivé. Dans n’importe quel autre contexte, cette mesure de probabilité ne fait aucun sens. • Illustration : supposons qu’un actif risqué est transigé avec S0 connu et S1 ∈ S1d , S1m , S1u avec S1d < S1m < S1u . ⊲ Le théorème fondamental stipule qu’en absence d’arbitrage, alors il existe au moins une mesure neutre au risque (mesure martingale équivalente ou MME) ; 1 ⊲ On sait que pour prévenir les opportunités d’arbitrage, on a besoin que S1d < S0 B < B0 u S1 . Supposons B0 = 1. ⊲ Cas # 1 : B1 = 1.05, S0 = 100, S1 ∈ {90, 100, 110}. ∗ Il n’y a pas d’arbitrage ! Nous l’avons démontré précédemment. ∗ Alors, on cherche les probabilités qu et qm telles que S0 B0−1 = EQ S1 B1−1 F0 i.e.

S0 = qu ∗ On a

S1u Sm Sd + qm 1 + (1 − qu − qm ) 1 . B1 B1 B1

90 110 100 + qd + (1 − qu − qm ) 1.05 1.05 1.05 105 = 110qu + 100qm + 90 (1 − qu − qd )

100 = qu

∗ Il y a une équation et deux inconnues. Il y a donc une infinité de solutions. ∗ Puisqu’il existe une infinité de valeurs de qu et qm telles que 0 < qu < 1 et 0 < qm < 1, alors il existe une infinité de MME, ce qui confirme l’absence d’arbitrage. ⊲ Cas # 2 : B1 = 1.1, S0 = 100, S1 ∈ {90, 100, 105}. ∗ Il y a clairement arbitrage : le titre sans risque rapporte toujours plus que le titre risqué ! ∗ Alors, on cherche les probabilités qu et qm telles que S0 B0−1 = EQ S1 B1−1 F0 i.e.

S0 = qu ∗ On a

S1u Sm Sd + qm 1 + (1 − qu − qm ) 1 . B1 B1 B1

105 100 90 + qm + (1 − qu − qm ) 1.1 1.1 1.1 110 = 105qu + 100qm + 90 (1 − qu − qm )

100 = qu

∗ Il y a une équation et deux inconnues. Il y a donc une infinité de solutions.


63

∗ Toutefois, afin de résoudre cette équation, il est nécessaire que qu ou qm ou (1 − qu − qm ) soit supérieure à 1. ∗ En effet, à droite de l’équation, on a une somme pondérée de valeurs toutes inférieures à 110. Les poids (ou un des poids) doivent être nécessairement supérieurs à 1. ∗ Des poids supérieurs à 1 ne correspondent pas à des probabilités valides. ∗ Il n’existe donc aucune MME, ce qui implique qu’il existe de l’arbitrage. ⊲ Le cas avec S0 B1 < S1d est semblable. ⊲ L’inverse du théorème est simple à montrer. ⊲ En effet, laissons B1 flotter dans le cas # 2. On suppose également que 0 < qu < 1, 0 < qm < 1 et 0 < 1 − qu − qm < 1. ∗ On a 105 100 90 100 = qu + qm + (1 − qu − qm ) B1 B1 B1 ou B1 = 1.05qu + qm + 0.9 (1 − qu − qm ) .

∗ Par conséquent, la somme pondérée de 1.05, 1 et 0.9 donnera un résultat tel que 0.9 < B1 < 1.05. ∗ Il n’y a donc pas d’arbitrage. • Dans ce qui suit, nous allons illustrer comment trouver les bornes sur les probabilités neutres au risque et comment calculer le prix d’un produit dérivé dans une telle situation. • Exemple (suite) ⊲ Rappel : le taux d’intérêt annuel est de 10%, S0 = 6 et S1 ∈ {7.7, 5.5, 3.3} . Deux options de vente ont été émises : prix d’exercice de 6$ et de 7.70$. ⊲ Recherche des probabilités neutres au risque : ∗ Dans ce modèle de marché, il n’y a clairement pas d’arbitrage. Par le théorème fondamental, on devrait donc trouver au moins une MME. ∗ Nous avons, S0 = EQ S1 B1−1 F0 7.7 5.5 3.3 = qu + qm + (1 − qu − qm ) = 6. 1.1 1.1 1.1 ∗ On voit que le système a deux inconnues et une équation. Par conséquent, il y aura une infinité de MME. ∗ En effet, 7qu + 5qm + 3 (1 − qu − qm ) = 6 4qu + 2qm = 3 qu + 0.5qm = 0.75. ∗ Pas toutes les valeurs de qu seront des MME. Si on fixe qm , alors 0 < qu = 0.75 − 0.5qm < 1.

64

CHAPITRE 4. ARBRES TRINOMIAUX ET MARCHÉS INCOMPLETS ∗ Puisque 0 < qu < 1, alors 0 < 0.75 − 0.5qm < 1 −0.75 < −0.5qm < 0.25 1.5 > qm > −0.5 ou 0 < qm < 1 ce qui n’est malheureusement pas plus informatif ! ∗ De plus, 0 0 0 −0.25 0.5

< < < < >

1 − qu − qm < 1 1 − (0.75 − 0.5qm ) − qm < 1 0.25 − 0.5qm < 1 −0.5qm < 0.75 qm > −1.5

ou 0 < qm < 0.5. ∗ Par conséquent, lorsqu’on détermine qm comme variable libre, alors elle doit respecter 0 < qm < 0.5. De plus, qu = 0.75 − 0.5qm . ∗ Lorsque qu est la variable libre, alors qm = 32 − 2qu . On applique 3 − 2qu < 1 2 1 −3 < −2qu < − 2 2 3 1 > qu > 4 4 0 <

ou

1 3 < qu < . 4 4

∗ De plus, 0 < 1 − qu − qm < 1 3 0 < 1 − qu − − 2qu < 1 2 1 0 < qu − < 1 2 0.5 < qu < 1.5 ou 0.5 < qu < 1.


65

∗ L’intersection des deux intervalles est 1 3 < qu < (0.5 < qu < 1) = (0.5 < qu < 0.75) 4 4

∗ Par conséquent, lorsqu’on détermine qu comme variable libre, alors elle doit respecter 0.5 < qu < 0.75. De plus, qm = 32 − 2qu . ⊲ Évaluation des produits dérivés : ∗ Débutons avec le cas le plus simple : lorsque le prix d’exercice est de 7.70$. ∗ Nous avions trouvé que le droit conditionnel était accessible ; ∗ À l’aide de l’approche neutre au risque, on trouve C0 = EQ B1−1 C1 F0 0 2.2 4.4 = × qu + qm + (1 − qu − qm ) 1.1 1.1 1.1 = 4 − 2qm − 4qu . ∗ Or, 4qu + 2q2 = 3 afin d’avoir au moins une MME, ce qui implique C0 = 4 − 2q2 − 4qu = 4 − 3 = 1. (1)

(0)

∗ On avait, δ 1 = −1 et δ 1 = 7, ce qui donne aussi C0 = 7 × 1 − 1 × 6 = 1. ∗ Le droit est accessible, donc le prix est indépendant du choix de qu et qm (et vice-versa). ∗ Considérons maintenant le cas où le prix d’exercice est de 6$. Nous avions trouvé que le droit n’était pas accessible et donc, qu’il n’y avait pas de portefeuille de réplication unique. ∗ Par conséquent, le prix du droit conditionnel n’est pas unique. ∗ Alors, C0 = EQ B1−1 C1 F0 0 0.5 2.7 = × qu + qm + (1 − qu − qm ) 1.1 1.1 1.1 5 27 = qm + (1 − qu − qm ) 11 11 27 27 = − qu − 2qm . 11 11 De plus, 27 27 − qu − 2qm 11 11 27 27 = − (0.75 − 0.5qm ) − 2qm 11 11 = 0.61363636 − 0.77272727qm .

C0 =

66

CHAPITRE 4. ARBRES TRINOMIAUX ET MARCHÉS INCOMPLETS ∗ Lorsque qm = 0 (ce qui n’arrivera jamais, c’est seulement pour borner le prix du droit conditionnel) ou qm = 0.5, alors C0 = 0.61363636 − 0.77272727 × 0 = 0.61363636 ou C0 = 0.61363636 − 0.77272727 × 0.5 = 0.22727273.

Par conséquent, le prix du droit conditionnel qui empêche les opportunités d’arbitrage est compris dans l’intervalle 0.22727273 < C0 < 0.61363636. ∗ Lorsque qu est la variable libre, alors 5 27 C0 = qm + (1 − qu − qm ) 11 11 27 3 5 3 = − 2qu + 1 − qu − − 2qu 11 2 11 2 6 17 = qu − 11 11 Puisque 0.5 < qu < 0.75, il est facile de voir que le résultat est le même, i.e. 0.2272727273 < C0 < 0.61363636. • Par conséquent, lorsque le droit est accessible, le prix d’un produit dérivé est indépendant des valeurs de qu , qm et est unique. • Lorsque le droit n’est pas accessible, le prix d’un produit dérivé n’est pas unique et dépend des valeurs de qu , qm . • Marché complet : on dit qu’un marché est complet lorsque tous les droits conditionnels sont accessibles et qu’il n’y a pas d’arbitrage dans le marché ; ⊲ Modèle de marché basé sur l’arbre binomial (une ou plusieurs périodes) est complet ; ∗ Le portefeuille de réplication est unique et correspond à (1)

δ1 =

d u u d C1u − C1d (0) −r C1 S1 − C1 S1 et δ = e . 1 S1u − S1d S1u − S1d

∗ Les probabilités neutres au risque sont uniques et correspondent à q=

1 S0 B − S1d B0

S1u − S1d

.

⊲ Modèle de marché basé sur l’arbre trinomial (une ou plusieurs périodes) est incomplet ; ∗ Le portefeuille de réplication peut ne pas exister ; ∗ Il existe une infinité de probabilités neutres au risque ; • Quel devrait être le prix d’un droit conditionnel dans cette situation ? ⊲ Tout prix tel que 0.2272727273 < C0 < 0.61363636 empêche les opportunités d’arbitrage ; ⊲ Or, il y en a une infinité et d’autres hypothèses devront être utilisées ; ⊲ Ce qu’il faut retenir est que la réplication n’est pas parfaite ; ∗ En choisissant un certain C0 et en appliquant une des stratégies disponibles, le paiement final peut ne peut pas être répliqué ;

4.4. ARBRES TRINOMIAUX À DEUX ACTIFS RISQUÉS

4.4

67

Arbres trinomiaux à deux actifs risqués

• L’arbre trinomial est souvent utilisé en combinaison avec un second actif risqué et nous verrons pourquoi ; ⊲ Permet de compléter le marché ; • Illustrons à l’aide d’un exemple ; • Exemple : supposons que dans un marché, il existe deux actions ordinaires qui sont transigées : ABC inc. et XYZ inc. On suppose également que le taux d’intérêt annuel est de 4% (composé trimestriellement). On représente le prix de chacune des actions dans 3 mois par des arbres trinomiaux tels que : ω ω1 ω2 ω3

S0ABC 123

ABC S0.25 127 124 120

S0XYZ

XYZ S0.25 58 53 53 51

⊲ On émet un droit conditionnel qui paie ABC XYZ S0.25 + S0.25 C0.25 = − 86 2 + après 3 mois. Quel devrait être le juste prix de ce droit conditionnel ? • Solution : les paiements de ce droit dans chacun des états de la nature ω sont : ω ω1 ω2 ω3

C0.25 6.50 2.50 0

⊲ Évaluation par le portefeuille de réplication ∗ Soient x et y le nombre d’actions qu’il faut détenir de la compagnie ABC et XYZ pour répliquer les paiements de cette option. Soit z le nombre d’unités du titre sans risque. ∗ Pour répliquer les paiements de ce droit conditionnel dans tous les états de la nature, il faut résoudre le système d’équations suivant : 127x + 58y + 1.01z = 6.50 124x + 53y + 1.01z = 2.50 120x + 51y + 1.01z = 0 ∗ En soustrayant les deux premières et dernières équations, on obtient 3x + 5y = 4 4x + 2y = 2.5 ce qui donne x = 0.32142857, y = 0.60714286.

68

CHAPITRE 4. ARBRES TRINOMIAUX ET MARCHÉS INCOMPLETS ∗ Finalement, 120 × 0.32142857 + 51 × 0.60714286 + 1.01z = 0 implique z = −68.847242.

∗ Le coût à t = 0 du portefeuille réplicatif est

123x + 53y + z = 123 × 0.32142857 + 53 × 0.60714286 − 68.847242 = 2.8670437. ⊲ Évaluation neutre au risque ∗ On cherche les probabilités q1 , q2 telles que S0 = EQ S1 B1−1 F0 pour chacun des deux actifs. Donc,

127 q1 + 1.01 58 53 = q1 + 1.01

123 =

124 q2 + 1.01 53 q2 + 1.01

120 (1 − q1 − q2 ) 1.01 51 (1 − q1 − q2 ) . 1.01

∗ On résoud pour q1 et q2 et on trouve q1 = 0.11857143, q2 = 0.85. ∗ Le juste prix du droit conditionnel est donc C0 = EQ C1 B1−1 F0 6.50 2.50 0 = q1 + q2 + (1 − q1 − q2 ) 1.01 1.01 1.01 2.50 6.50 = × 0.11857143 + × 0.85 1.01 1.01 = 2.8670439. • Exemple (suite) : existe-t-il des opportunités d’arbitrage entre S ABC , S XYZ et le titre sans risque ? • Solution : pour répondre à cette question il faut regarder toutes les combinaisons possibles de S ABC , S XYZ et vérifier s’il est possible que ce portefeuille rapporte toujours plus ou toujours moins que le titre sans risque. On pourrait donc vérifier s’il existe des valeurs de x et y telles que 127x + 58y > 1.01 × (123x + 53y) 124x + 53y > 1.01 × (123x + 53y) 120x + 51y > 1.01 × (123x + 53y) ces trois conditions sont remplies simultanément et répéter en inversant l’inégalité.

4.5. APPLICATIONS ACTUARIELLES

69

⊲ Toutefois, nous avons trouvé une MME valide dans ce contexte. Par le théorème fondamental, l’existence d’une MME implique l’absence d’arbitrage. • On remarque que l’ajout d’un second titre risqué a permis dans cet exemple de trouver un portefeuille de réplication unique ; ⊲ Lorsque le second titre risqué n’est pas redondant (qui peut être réécrit comme une combinaison linéaire de l’autre actif), alors ce titre permet de "compléter" le marché ; ⊲ S’il y a absence d’arbitrage, alors le marché sera complet dans ce contexte.

4.5

Applications actuarielles

• En assurance, il existe une gamme de produits d’assurance vie et d’annuités dont le paiement / taux d’intérêt crédité dépend du rendement d’un actif risqué : equity-linked insurance ; • Parmi ces produits existe les fonds distincts (segregated funds ou variable annuities) ; • Plusieurs types de protection qui sont vendues : ⊲ prestation de mortalité minimale garantie (PMMG) (guaranteed minimum death benefit ou GMDB) ; ⊲ prestation de survie minimale garantie (PSMG) (guaranteed minimum maturity benefit ou GMMB) ; ⊲ revenu minimal garanti (RMG) (guaranteed minimum income benefit ou GMIB) ; ⊲ etc. • La différence avec les produits dérivés conventionnels est l’ajout du risque de mortalité ; ⊲ Important : la mortalité d’un individu particulier n’est pas transigée sur les marchés financiers ; ⊲ Marché de l’assurance est incomplet (du point de vue de l’ingénierie financière). • Exemple : ⊲ L’assuré investit 100$ dans un produit d’assurance particulier. ⊲ L’investissement initial croît avec un actif sous-jacent (par exemple un indice boursier). Toutefois, un rendement minimum garanti est offert dans le contrat. ⊲ Si les paiements ne dépendaient pas de la survie de l’individu, alors la compagnie d’assurance émettrait une option de vente au client (protective put) ; ⊲ Toutefois, dans la plupart des contrats de fonds distincts, la prestation de survie et de décès est différente. ⊲ Supposons dans notre exemple qu’on a : ∗ Décès : rendement minimum garanti de 3% ; ∗ Survie : rendement minimum garanti de 1% ; ⊲ L’actif sous-jacent est une action dont l’évolution est la suivante : S0 = 100 et S1 ∈ {90, 110}. ∗ Il s’agit d’un arbre binomial standard ; ⊲ Soit B1 la valeur d’un titre sans risque avec taux d’intérêt de 5%. ⊲ Comment peut-on évaluer un tel produit ? ⊲ Soit I1 = 1 si l’individu survit durant la période et I1 = 0 sinon.

70

CHAPITRE 4. ARBRES TRINOMIAUX ET MARCHÉS INCOMPLETS ⊲ On a

ωi 1 2 3 4

S0 S1 I0 100 110 1 100 110 1 100 90 1 100 90 1

I1 1 0 1 0

C1 110 110 101 103

⊲ Malheureusement, seulement S et B sont transigés sur le marché financier. La mortalité de cet individu n’est pas transigée sur les marchés financiers. Par conséquent, comment peut-on répliquer les paiements de 101 et 103 lorsque S1 = 90 ? ⊲ On a le système d’équations suivant : (0)

(1)

(0)

(1)

(0)

(1)

δ 1 B1 + δ1 S1u = 110 δ 1 B1 + δ 1 S1d = 101 δ 1 B1 + δ 1 S1d = 103 pour lequel il n’existe aucune solution. La réplication est donc impossible. ⊲ Soit qi la probabilité neutre au risque d’observer l’état de la nature ω i . ⊲ La condition martingale implique 100 =

110 90 (q1 + q2 ) + (1 − q1 − q2 ) 1.05 1.05

ce qui indique une infinité de valeurs pour q1 et q2 , et donc une infinité de mesures neutres au risque. ⊲ Comment peut-on se sortir de ce pétrin pour trouver la valeur de C0 ? • La mortalité est un risque facilement diversifiable pour un assureur : ⊲ Le risque de mortalité est indépendant d’un individu à l’autre ; ⊲ L’assureur souscrit des milliers de polices d’assurance-vie ; ⊲ La mortalité des individus est indépendante de l’évolution des marchés financiers ; • L’approche suivante est souvent utilisée pour trouver un prix unique : C0 = EP EQ C1 B1−1 F0 , I1 F0 avec

q≡

S0 B1 − S1d . S1u − S1d

• Exemple (suite) : ⊲ La probabilité neutre au risque d’une augmentation dans l’arbre binomial est q= ⊲ Alors,

105 − 90 = 0.75. 110 − 90

110 × 0.75 101 × 0.25 EQ C1 B1−1 F0 , I1 = 1 = + 1.05 1.05 = 102.61905 ce qui correspond à la valeur du produit d’assurance en cas de survie.

4.6. RÉSUMÉ

71

⊲ De plus, 110 × 0.75 103 × 0.25 EQ C1 B1−1 F0 , I1 = 0 = + 1.05 1.05 = 103.09524 ce qui correspond à la valeur du produit d’assurance en cas de décès. ⊲ Par conséquent, C0 = 102.61905 × Pr (I1 = 1) + 103.09524 × Pr (I1 = 0) . P

P

⊲ Nous sommes dans un marché incomplet, alors il peut exister plusieurs prix qui empêchent les opportunités d’arbitrage. Par conséquent, la manière la plus intuitive de calculer PrP (I1 = 1) est d’utiliser une table de mortalité. ⊲ On a PrP (I1 = 1) = 0.98 et donc, C0 = 102.61905 × 0.98 + 103.09524 × 0.02 = 102.62857. ⊲ L’assureur peut facilement répliquer les paiements en cas de survie en utilisant les techniques du chapitre 1. Par contre, pour 2% des assurés, la couverture sera imparfaite car l’assuré décèdera. L’assureur assume donc le risque d’impecfection de la couverture (hedging).

4.6

Résumé

• Est-ce que ce qu’on vient de voir invalide tout ce qu’on a vu en mathématiques actuarielles, en finance, en marketing, etc. ? ⊲ NON ! • La conclusion est que l’ingénierie financière est la science mathématique de l’évaluation de produits dérivés en sachant les prix observés des actifs sous-jacents. ⊲ Il faut trouver le prix qui empêche les opportunités d’arbitrage. C’est le concept clé à comprendre. • En assurance, en finance et en marketing, on s’occupe souvent de trouver le prix des actifs sous-jacents, pas le prix des produits dérivés ; • En assurance, il est impossible de répliquer les paiements d’un contrat d’assurance-vie avec les actifs qui se transigent à New York, Montréal, Chicago, etc. ⊲ La vie d’un individu n’est malheureusement pas un risque couvert sur les marchés financiers. ⊲ Le marché de l’assurance est incomplet en termes d’ingénierie financière. ⊲ De plus, il est impossible pour un assuré de vendre le contrat d’une compagnie et de protéger sa position avec le contrat d’une autre compagnie. ⊲ Par conséquent, plusieurs prix peuvent exister pour le même contrat. ⊲ S’il existait un produit financier qui couvrait la vie d’un invididu et qui était transigé à tous les jours sur les marchés financiers (I1 par exemple), alors les techniques de tarification précédentes s’appliqueraient.

72

CHAPITRE 4. ARBRES TRINOMIAUX ET MARCHÉS INCOMPLETS • Similairement, pour les autres produits, l’unicité de ceux-ci rend la réplication quasiimpossible, et donc l’exploitation d’opportunités d’arbitrage sans risque très difficile. ⊲ Est-il possible de construire nous-mêmes un iPod pour moins cher et d’en exploiter un profit sans risque ? • Théorème fondamental d’évaluation des actifs financiers ⊲ Si le modèle admet des opportunités d’arbitrage, alors il n’existe pas de MME (mesure neutre au risque) et vice versa ; ⊲ Si le modèle n’admet pas d’opportunités d’arbitrage, alors il existe au moins une MME (mesure neutre au risque) et vice versa ; ∗ (Marché complet ↔ MME unique) → Prix unique (coût de réplication, valeur espérée sous Q, valeur espérée ajustée sous P) ∗ (Marché incomplet ↔ MME multiple) → Prix multiple mais si le droit est accessible, alors le prix est unique.

4.7 4.7.1


• Mai 2007 : aucun ; • Mai 2009 : aucun ; • Q&A (version du 18 août 2010) : 3, 27 ;

4.7.2


Les exercices notés CZ proviennent du livre de Cvitanic et Zapatero (2004). Les exercices notés GG proviennent des notes de cours de Geneviève Gauthier (reproduits avec son autorisation). 1. Dans un arbre trinomial à une période, vous avez que S0 = 27 et S1 ∈ {23, 28, 32}. De plus, B0 = 1 et B1 = 1.1. (a) Montrez qu’il n’existe pas d’arbitrage entre le titre risqué et le titre sans risque. (b) Quelles sont les conditions nécessaires afin qu’un droit conditionnel émis dans ce marché soit accessible ? Est-ce que le marché est complet ? (c) Trouvez la ou les mesures neutres au risque dans ce marché financier. (d) En utilisant l’approche par réplication et l’approche neutre au risque, quel est le prix ou les prix qui empêchent les opportunités d’arbitrage pour une option d’achat européenne avec prix d’exercice de 30$. 2. (CZ) Dans un marché financier quelconque, vous avez que ωi 1 2 3

(1)

S1 90 100 120

(2)

S1 0 0 15

(3)

S1 0 5 25

4.7. EXERCICES (1)

73 (2)

(2)

avec S0 = 100, S0 = 5 et S0 = 10. En utilisant un portefeuille de réplication, quelle doit être la valeur d’un titre sans risque qui paie 1$ dans tous les états de la nature ? Par conséquent, quel est le taux d’intérêt (composé annuellement) en vigueur dans ce marché ? 3. (GG) Nous travaillons à partir du modèle de marché illustré dans le tableau suivant. ωi 1 2 3 4 5

S0 2 2 2 2 2

S1 2 2 4 4 4

S2 2 3 3 4 6

C2 0 0 0 1 3

On note que B0 = 1.1−2 , B1 = 1.1−1 et B2 = 1. En général, nous ne connaissons pas la «vraie» mesure de probabilité qui prévaut sur Ω. Par contre, chacun des intervenants sur le marché présume, selon ses connaissances, d’une certaine mesure de probabilité P. L’un d’eux croit que le prix d’une part du titre risqué sera, au temps t = 2, vraisemblablement inférieur à 3 dollars. C’est pourquoi il offre sur le marché l’option d’achat du titre risqué avec un prix d’exercice de K = 3, c’est-à-dire que le droit conditionnel C2 représentant la valeur de l’option d’achat au temps t = 2 est C2 = (S2 − 3)+ .

(a) Décrire à l’aide d’un arbre, l’évolution de {St , t = 0, 1, 2} . (b) Montrez que ce modèle de marché n’admet pas l’arbitrage. (c) Trouvez la stratégie qui permet de répliquer les flux financiers de ce droit conditionnel, pour toutes les périodes, i.e. trouvez δ 1 et δ 2 . Il s’agit de votre portefeuille réplicatif. (d) Déterminez le coût initial du portefeuille réplicatif. (e) Trouvez les mesures neutres au risque (mesures martingales équivalentes) pour ce modèle. (f) Déterminez, pour chacune des mesures neutres au risque, la valeur actualisée espérée du droit conditionnel C2 . Que constatez-vous ? (g) En fonction de votre réponse en g), est-ce que le droit conditionnel est accessible ? Est-ce que le marché est complet ?

4. (GG) Le processus stochastique {Bt , t = 0, 1, 2} représente l’évolution du prix d’une part d’un titre non-risqué. Un second processus stochastique {St , t = 0, 1, 2} représente l’évolution du prix d’une part d’un titre risqué. L’évolution temporelle de ces titres est donnée dans le tableau suivant. ωi 1 2 3 4 5

S0 1 1 1 1 1

S1 1 1 2 2 2

S2 1 2 1 2 3

B0 1 1 1 1 1

B1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1

B2 1.2 1.2 1.3 1.3 1.3

74

CHAPITRE 4. ARBRES TRINOMIAUX ET MARCHÉS INCOMPLETS (Eva)

(Eva)

Madame Éva Hachette détient, au temps t = 0, le portefeuille δ 2 = δ1 = [3, 4]⊤ constitué de trois parts du titre sans risque et de quatre parts du titre risqué. Monsieur (Yvan) (Yvan) Yvan LeProduit, lui, possède au même moment le portefeuille δ 2 = δ1 = ⊤ [−2, 9] qui comprend une dette de deux parts du titre sans risque et neuf parts du titre risqué. Monsieur Yvan LeProduit offre à madame Éva Hachette l’option d’échanger (Eva) leur portefeuille au temps t = 2, c’est-à-dire que si la valeur X2 au temps t = 2 du (Yvan) , Éva échangera portefeuille d’Éva est inférieure à celle du portefeuille d’Yvan, X2 (Yvan) (Eva) les portefeuilles et réalisera un profit de X2 − X2 sinon, elle conservera son portefeuille et son profit sera nul. (Eva) (Yvan) (Eva) (Yvan) Indice : à l’aide de δ 2 et δ 2 , calculer la valeur de X2 et X2 dans chacun des états de la nature. Ensuite, pour chacun des ω , calculer le paiement du droit i (Yvan) (Eva) comme étant X2 − X2 . +

(a) Décrire à l’aide d’un arbre, l’évolution de {St , t = 0, 1, 2} et {Bt , t = 0, 1, 2} .

(b) Déterminez selon quelles mesures de probabilité les processus de prix actualisés sont des martingales. (c) Justifiez pourquoi ces mesures sont aussi appelées mesures neutres au risque. (d) Vérifiez que le modèle de marché n’admet pas l’arbitrage. (e) Déterminez, pour chacune des mesures trouvées en c), la valeur actualiséee espérée de cette option (le prix de l’option). (f) Expliquez pourquoi le prix de l’option calculé selon les mesures martingales n’est pas unique. (g) Est-ce que ce droit conditionnel est accessible ? Est-ce que le marché est complet ?

Deuxième partie Modèle de Black-Scholes

75

Chapitre 5 Mouvement brownien 5.1

Rappels et intuitions

• Arbre binomial pour l’actif sous-jacent : ⊲ Supposons qu’on projette la valeur d’un actif sous-jacent sur un intervalle de temps fini [0, T ] ; ⊲ L’intervalle de temps [0, T ] est divisé en n sous-intervalles de temps : 0, ∆t, 2∆t, ..., T − ∆t, T ∗ n + 1 périodes ∗ ∆t = T /n. ∗ Notation : t = 0, ∆t, 2∆t, ..., T − ∆t, T ou k = 0, 1, ..., n sont équivalents. ⊲ Actif risqué : St+∆t = St Ut+∆t avec Ut+∆t = {u, d} et Ut+∆t i.i.d. d’une période à l’autre ; ⊲ Supposons que u et d sont déterminés selon CRR. • Que se passe-t-il lorsque ∆t → 0 ? ⊲ L’ensemble des valeurs prises par ST ressemblera de plus en plus à une loi lognormale ; ⊲ Similairement pour chacune des valeurs prises par St , t < T. ⊲ Par conséquent, la loi de St converge vers une loi lognormale à mesure que ∆t → 0. • Nous allons formaliser l’argument dans les paragraphes qui suivent. • Dans ce chapitre et les suivants, nous allons nous intéresser aux applications du mouvement brownien en ingénierie financière.

5.2

Construction du mouvement brownien

• Supposons qu’on conduise l’expérience suivante : ⊲ Sur un intervalle de temps [0, T ], on lance une pièce de monnaie non biaisée n fois ; ⊲ L’expérience est conduite à√t = ∆t, 2∆t, 3∆t, ..., T où ∆t = T /n; √ ⊲ À chaque tirage, on gagne ∆t$ si le résultat est pile et on perd ∆t$ si le résultat est face. ⊲ On débute à 0, et il est possible d’avoir une richesse négative. 77

78

CHAPITRE 5. MOUVEMENT BROWNIEN • On définit la notation suivante : Xi ∈ {+1 (pile), −1 (face)} √ √ ∆t, − ∆t Yi ∈ √ = ∆tXi . ⊲ Yi représente le gain/la perte à chacun des tirages. • La pièce de monnaie est bien balancée, i.e. Pr (Xi = 1) = Pr (Xi = −1) = 0.5 ce qui implique

√ √ Pr Yi = ∆t = Pr Yi = − ∆t = 0.5

et ce pour tout i = 1, 2, ..., n. De plus, la nature de l’expérience fait en sorte que les Xi sont i.i.d. et les Yi également. • Au lieu de représenter la richesse d’un joueur, on peut utiliser cette expérience pour représenter le déplacement d’une particule le long d’une droite. (n) • Soit WT la richesse du joueur à la fin des n tirages (ou la position finale de la particule à la fin de l’expérience). On a donc (n) WT

≡

n i=1

√ = T (n)

Notons que W0

Yi n i=1 Xi √ . n

= 0 (la richesse initiale est nulle) et que pour 1 ≤ k ≤ n (n) Wk∆t

=

k

Yi .

i=1

(n)

• Quels sont les moments de WT ? n

√

√ T (n) i=1 Xi E WT = E T √ = √ × n × E [X] = 0 n n n

T (n) Var WT = Var Xi = T × Var [X] = T n i=1 car les Xi sont i.i.d. comme X et Var [X] = 1. (n) • Quelle est la loi de WT lorsque n → ∞ ? ⊲ Le théorème central limite stipule que n i=1 Xi √ −→ N (0, 1) n lorsque n → ∞.

5.2. CONSTRUCTION DU MOUVEMENT BROWNIEN

79

⊲ En définissant WT ≡

(n)

lim WT

n→∞

n i=1 Xi √ n→∞ n

√ = T lim

on obtient donc WT − W0 ∼ N (0, T )

lorsque n → ∞ ou ∆t → 0. • On répète les mêmes arguments sur deux intervalles disjoints [t1 , t2 ] et [t3 , t4 ] par exemple, avec 0 ≤ t1 < t2 < t3 < t4 ≤ T ⊲ On obtient Wt2 − Wt1 ∼ N (0, t2 − t1 ) Wt4 − Wt3 ∼ N (0, t4 − t3 ) . ⊲ Puisque les tirages Xi sont tous i.i.d., alors on déduit que Wt2 − Wt1 est indépendant de Wt4 − Wt3 . ⊲ Par conséquent, les accroissements (i.e. Wt+∆t − Wt ) du mouvement brownien sont i.i.d. et distribués selon une loi normale de moyenne 0 et de variance ∆t. • Attention : ⊲ Wt2 − Wt1 est indépendant de Wt4 − Wt3 ; ⊲ Mais Wt1 , Wt2 , Wt3 et Wt4 sont des v.a. dépendantes ! ⊲ En effet, les Yi qui servent à construire Wt1 sont également inclus dans Wt2 . ⊲ On effectue n tirages de Yi sur l’intervalle [0, T ] avec t1 < t2 < T . ⊲ Pour illustrer, on effectue 1000 tirages i.i.d. de X jusqu’à t1 et 2000 tirages (au total) pour aller jusqu’à t2 . Alors, Wt1 ≈ Y1 + ... + Y1000 Wt2 ≈ Y1 + ... + Y1000 + Y1001 + ... + Y2000 = Wt1 + Y1001 + ... + Y2000 et Wt2 dépend de la réalisation de Wt1 . • Par construction √ (n) WT = lim WT = ∆t lim (X1 + X2 + ... + Xn ) n→∞

n→∞

implique que le mouvement brownien est une marche aléatoire. • On peut également déduire, de la construction du modèle, que √ Wt+∆t − Wt = ∆tZt+∆t où W0 = 0 et Zt+∆t ∼ N (0, 1). De plus, les Zt sont i.i.d. comme Z. ⊲ Utile lorsqu’on veut procéder à la simulation du mouvement brownien.

80

CHAPITRE 5. MOUVEMENT BROWNIEN

5.3

Mouvement brownien standard (MBS)

• Nous procédons à une présentation plus formelle du mouvement brownien (standard) (MBS). • Le processus stochastique {Wt , t ≥ 0} est un mouvement brownien s’il remplit chacune des 4 propriétés suivantes : ⊲ (1) W0 = 0; ⊲ (2) Wt − Ws obéit à une loi normale de moyenne 0 et de variance t − s (pour s < t) ⊲ (3) Les accroissements suivants sont indépendants. Pour 0 ≤ t1 < t2 < ... < tn , alors les v.a. Wt2 − Wt1 , Wt3 − Wt2 , ..., Wtn − Wtn−1 sont indépendantes. ⊲ (4) Toute trajectoire issue de {Wt , t ≥ 0} est continue en t. • Commentaires et interprétations : ⊲ (1) Il s’agit seulement d’une convention. On peut démarrer le mouvement brownien de n’importe quel point sans en changer le comportement. En effet, on peut utiliser la définition suivante Wt∗ ≡ w + Wt lorsque le processus démarre avec W0∗ = w ce qui implique que {Wt∗ , t ≥ 0} est un MBS également. Cette translation n’affecte pas le comportement du processus. ⊲ (2) La variabilité du mouvement brownien ne dépend que de la longueur de temps de l’intervalle considéré t − s. ⊲ (3) Sans perte de généralité, si t2 − t1 = t3 − t2 représentent deux journées consécutives, alors les variations du mouvement brownien d’une journée à l’autre sont indépendantes. ⊲ (3) La 3e condition implique que Cov (Wt , Ws ) = min (t, s) . En effet, lorsque s > t Cov (Wt , Ws ) = Cov (Wt , Ws − Wt + Wt ) = Cov (Wt , Ws − Wt ) + Cov (Wt , Wt ) = 0+t car les accroissements sont indépendants. Lorsque t > s, alors on obtient Cov (Wt , Ws ) = s ce qui implique Cov (Wt , Ws ) = min (t, s) . ⊲ (4) Même si le mouvement brownien est continu en tout point, il n’est pas différentiable, et ce pour tout t. Donc, la fonction est continue mais tellement irrégulière à chaque point qu’elle n’est pas dérivable. • Le mouvement brownien est un processus markovien. ⊲ Soit Fs l’ensemble d’information générée par la trajectoire du mouvement brownien jusqu’à s (s < t). Alors, Wt | Fs ∼ Wt | Ws car le MBS est une marche aléatoire.

5.3. MOUVEMENT BROWNIEN STANDARD (MBS)

81

⊲ Donc, il est inutile de connaitre toute la trajectoire avant s car seule la valeur du processus à s est importante. ⊲ Par conséquent, E [Wt | Fs ] = E [Wt | Ws ] , s < t.

• Le mouvement brownien est une martingale. ⊲ Rappel : une martingale est un processus stochastique {Xt , t ≥ 0} tel que E [ Xt | Fs ] = Xs , ∀s ≤ t. ⊲ En effet, E [Wt | Fs ] = E [Wt | Ws ] (markovien) = E [Wt − Ws | Ws ] + Ws = Ws .

⊲ Interprétation : la meilleure prévision qu’on peut faire pour la valeur future d’un mouvement brownien est sa valeur courante. ⊲ Similairement, étant donné ce qui est observé jusqu’à s (indiqué par Fs ), alors en moyenne, le mouvement brownien retourne à sa dernière valeur connue. • Exemple : est-ce que {Wt2 − t, t ≥ 0} est une martingale ? • Solution : oui en effet. On complète d’abord le carré : (Wt − Ws )2 = Wt2 − 2Wt Ws + Ws2 ce qui indique que et donc

On a

Wt2 = (Wt − Ws )2 + 2Wt Ws − Ws2

E Wt2 − t Fs = E (Wt − Ws )2 + 2Wt Ws − Ws2 − t Fs = E (Wt − Ws )2 Fs +2E [Wt Ws | Fs ] − E Ws2 Fs − t.

E (Wt − Ws )2 Fs = t − s E [Wt Ws | Fs ] = E [(Wt − Ws ) Ws | Fs ] + E Ws2 Fs = 0 + Ws2

car Ws est connu. Finalement, E Wt2 − t Fs = t − s + 2 × Ws2 − Ws2 − t = Ws2 − s.

• Exemple : ⊲ Une particule se déplace continument sur une ligne droite à partir de la position 0. Sa position, en fonction du temps, est donnée par un MBS {Wt , t ≥ 0}.

82

CHAPITRE 5. MOUVEMENT BROWNIEN ⊲ Quelle est la distribution de la position de la particule après une période ? ∗ W1 ∼ N (0, 1) . ⊲ Quelle est la probabilité que la particule se retrouve à au moins 2 unités à droite (+2) en 3 unités de temps ? ∗ On cherche Pr (W3 > 2). On a 2−0 Pr (W3 > 2) = Pr (N (0, 3) > 2) = 1 − Φ √ 3 2 = 0.1241. = 1−Φ √ 3 ⊲ Calculer un intervalle de confiance à 95% de la position de la particule après 10 périodes sachant qu’après 5 périodes, la particule est à la position -1. ∗ W10 − W5 ∼ N (0, 5) en général. ∗ On sait que W5 = −1, on a donc √ −1 ± 1.96 × 5. • À quoi ressemble une trajectoire d’un mouvement brownien ? Nous allons simuler une de ces trajectoires dans Excel.

5.3.1

Simulation

• La simulation est une technique qui permet d’approximer numériquement une quantité difficile à évaluer ; • Elle consiste à créer un échantillon aléatoire synthétique à partir d’une variable aléatoire ; • Un ordinateur muni d’un générateur de nombres uniformes permet de générer de tels échantillons ; ⊲ Dans Excel, saisir ALEA() dans 1000 cellules différentes permet de réaliser un échantillon aléatoire de 1000 réalisations d’une v.a. uniforme U ; • Afin de générer des réalisations de X, on utilise la méthode inverse (inverse transform method ) : ⊲ Principe : FX−1 (U ) ∼ X. ⊲ Preuve :

Pr FX−1 (U) ≤ x = Pr FX FX−1 (U ) ≤ FX (x) = Pr (U ≤ FX (x)) = FX (x) . ⊲ Il faut donc générer un nombre uniforme et ensuite, la réalisation de X est obtenue en évaluant U dans la fonction quantile ; • Exemple : pour simuler une réalisation d’une loi normale standard dans Excel, on utilise =LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(ALEA())

5.3. MOUVEMENT BROWNIEN STANDARD (MBS)

83

• Par conséquent, pour simuler une trajectoire d’un MBS On sait que W∆t − W0 ∼ normale (0, ∆t) W2∆t − W∆t ∼ normale (0, ∆t) ... Wn∆t − W(n−1)∆t ∼ normale (0, ∆t) et ces v.a. sont i.i.d. ⊲ Donc, pour simuler une trajectoire de n périodes d’un MBS, on simule n v.a. normales centrées et réduites : Z∆t , Z2∆t , ..., Zn∆t ; ⊲ Par la suite, √ W∆t = W0 + ∆tZ∆t √ W2∆t = W∆t + ∆tZ2∆t ... √ Wn∆t = W(n−1)∆t + ∆tZn∆t . • Important : on sait que Wt ∼ N (0, t). Alors, pourquoi ne pas simuler directement W1 , W2 , ... en sachant que W1 ∼ N (0, 1) W2 ∼ N (0, 2) ...? ⊲ En fait, les v.a. W1 , W2 , ... sont dépendantes. Par conséquent, il faudrait tenir compte de la covariance qui existe entre ces v.a. Simuler les accroissements Wk∆t − W(k−1)∆t est donc plus simple.

5.3.2

Autres propriétés du MBS

• Variation totale : soit VT ≡ lim

n→∞

n (n) (n) W − W i∆t (i−1)∆t . i=1

⊲ La variation totale est la "distance" ou la longueur du chemin parcouru par le MBS sur [0, T ] . ⊲ Puisque le MBS est composé d’une infinité de petits pas en haut et en bas, on peut montrer que n→∞

VT −→ ∞.

84

CHAPITRE 5. MOUVEMENT BROWNIEN ⊲ En effet, VT

= =

lim

n→∞

lim

n→∞

n (n) (n) Wi∆t − W(i−1)∆t i=1

n i=1

n √ |Yi | = lim ∆tXi n→∞

n √ Xi √ T lim = n n→∞ i=1

i=1

n √ 1 √ = ∞. T lim = n→∞ n i=1

• La distance parcourue est infiniment grande, même sur un intervalle de temps fini. • Variation quadratique : soit n 2 (n) (n) Wi∆t − W(i−1)∆t . VQ ≡ lim n→∞

i=1

⊲ Il s’agit d’une forme de distance. ⊲ On peut montrer que cette limite converge vers n→∞

VQ −→ T.

⊲ En effet, VQ = =

lim

n→∞

lim

n→∞

n i=1

n

Yi2

i=1

= T lim

n→∞

= T lim

n→∞

(n)

n i=1 n i=1

(n)

Wi∆t − W(i−1)∆t

2

n 2 √ = lim ∆tXi n→∞

i=1

Xi2 n

1 = T. n

⊲ Ce résultat implique que les variations d’ordre plus élevées (3, 4, etc.) convergent vers 0. ∗ Important lorsqu’on introduira le calcul stochastique ; • On peut également montrer que le mouvement brownien croisera toutes les valeurs dans R au moins une fois.

5.4

Mouvement brownien arithmétique (MBA)

• Un mouvement brownien arithmétique est un MBS auquel on ajoute un coefficient de dérive (drift en anglais) µ et un coefficient de diffusion (ou volatilité) (diffusion ou volatility en anglais) σ.

5.4. MOUVEMENT BROWNIEN ARITHMÉTIQUE (MBA)

85

⊲ Aussi appelé mouvement brownien généralisé ou processus de Wiener généralisé • Soit WtA un MBA. Alors, WtA ≡ µt + σWt

avec W0 = 0. • On en déduit les propriétés suivantes : ⊲ W0A = 0; ⊲ WtA − WsA obéit à une loi normale de moyenne µ (t − s) et de variance σ 2 (t − s) (pour s < t) ⊲ Les accroissements WtA sont de indépendants. A ⊲ Les trajectoires Wt , t ≥ 0 sont continues en t. • En effet : ⊲ W0A = 0 car W0A = µ × 0 + σW0 = W0 = 0; ⊲ WtA − WsA = (µt + σWt ) − (µs + σWs ) = µ (t − s) + σ (Wt − Ws ) et selon les propriétés du MBS, alors W A − WsA ∼ Normale At E Wt − WsA = µ (t − s) Var WtA − WsA = Var [σ (Wt − Ws )] = σ 2 (t − s) .

⊲ Avec 0 ≤ t1 < t2 < t3 < t4 ≤ T , on a

WtA2 − WtA1 = µ (t2 − t1 ) + σ (Wt2 − Wt1 ) WtA4 − WtA3 = µ (t4 − t3 ) + σ (Wt4 − Wt3 ) et puisqu’on sait que Wt2 − Wt1 et Wt4 − Wt3 sont indépendants, alors WtA2 − WtA1 est indépendant de WtA4 − WtA3 . • On peut démarrer le MBA à la valeur w à t = 0 en utilisant la définition WtA = w + µt + σWt . • Un MBA est un processus markovien i.e. WtA Fs ∼ WtA WsA . • Un MBA n’est pas une martingale sauf si µ = 0. En effet, E WtA Fs = E WtA WsA (markovien) = E WtA − WsA WsA + WsA = µ (t − s) + WsA .

• Exemple : ⊲ Une particule se déplace continument sur une ligne droite à partir A de la position 0. Sa position, en fonction du temps, est donnée par un MBA Wt , t ≥ 0 avec une tendance vers la gauche µ = −1 et une diffusion σ = 4. ⊲ Quelle est la distribution de la position de la particule après une période ? ∗ W1A ∼ N (µ × 1, σ 2 × 1) = N (−1, 16) . ⊲ Quelle est la probabilité que la particule se retrouve à au moins 2 unités à droite (+2) en 3 unités de temps ?

86

CHAPITRE 5. MOUVEMENT BROWNIEN ∗ On cherche Pr W3A > 2 . On a

Pr (W3 > 2) = Pr N µ × 3, 3 × σ 2 > 2 = Pr (N (−3, 48) > 2) 2 − −3 √ = 1−Φ 48 5 = 1−Φ √ = 0.2352. 48

⊲ Calculer un intervalle de confiance à 95% de la position de la particule après 10 périodes sachant qu’après 5 périodes, la particule est à la position -1. ∗ En général, WtA − WsA ∼ N (µ (t − s) , σ 2 (t − s)) ou A W10 − W5A ∼ N (−1 × 5, 16 × 5)

∗ On sait que W5A = −1, on a donc −6 ± 1.96 ×

5.4.1

√ 16 × 5.

Simulation

• On sait que

A W∆t − W0A ∼ normale µ∆t, σ 2 ∆t A A W2∆t − W∆t ∼ normale µ∆t, σ 2 ∆t ... A A Wn∆t − W(n−1)∆t ∼ normale µ∆t, σ 2 ∆t

et ces v.a. sont i.i.d. • Donc, pour simuler une trajectoire de n périodes d’un MBA, on simule n v.a. normales centrées et réduites : Z∆t , Z2∆t , ..., Zn∆t ; • Par la suite, √ A W∆t = W0A + µ∆t + σ ∆tZ∆t √ A A W2∆t = W∆t + µ∆t + σ ∆tZ2∆t ... √ A A Wn∆t = W(n−1)∆t + µ∆t + σ ∆tZn∆t . • Important : on sait que WtA ∼ N (µt, σ 2 t). Alors, pourquoi ne pas simuler directement W1A , W2A , ... en sachant que W1A ∼ N µ, σ 2 W2A ∼ N 2µ, 2σ 2 ...? ⊲ Pour la même raison pourquoi nous ne simulons pas un MBS de cette façon car ces v.a. sont dépendantes.

5.5. MOUVEMENT BROWNIEN GÉOMÉTRIQUE (MBG)

5.5

87

Mouvement brownien géométrique (MBG)

• On obtient un mouvement brownien géométrique (MBG) en prenant l’exponentielle d’un mouvement brownien arithmétique. ⊲ Le MBG est souvent utilisé comme modèle de base pour représenter l’évolution du prix d’un actif sous-jacentcar sa valeur est toujours positive. • Soit {St , t ≥ 0} un MBG et WtA + w, t ≥ 0 un MBA qui démarre à w. Alors, St = exp WtA + w A

= ew eWt .

ou ln (St ) = w + WtA . • En posant S0 = ew , alors

St = S0 exp WtA

ou

ln (St ) = ln (S0 ) + WtA . • Exemple : observons le comportement du MBG sur une période [t, t + 1]. On a St+1 = St exp (µ + σ (Wt+1 − Wt )) car St+1 = S0 exp (µ (t + 1) + σWt+1 ) St = S0 exp (µt + σWt ) et donc le ratio des deux donne le résultat désiré. ⊲ En prenant le logarithme, on obtient ln

St+1 = µ + σ (Wt+1 − Wt ) St = µ + σZ

où Z ∼ N (0, 1). On peut interpréter cette quantité comme si le rendement périodique sur l’action suit une loi normale de moyenne µ et variance σ 2 . • Le MBG est un processus markovien i.e. St | Fs ∼ St | Ss . • Le MBG n’est pas une martingale. En effet, E [St | Fs ] = E [St | Ss ] (markovien) St = Ss E Ss Ss σ2 . = Ss exp (t − s) µ + 2 ⊲ Si µ = − 12 σ 2 , alors le processus {St , t ≥ 0} sera une martingale.

88

CHAPITRE 5. MOUVEMENT BROWNIEN • Important : les moments de St sont reliés à la fonction génératrice de moments (f.g.m.) de la loi normale. • Soit X ∼ N (µX , σ 2X ), alors 2 MX (a) = E eaX = exp aµX + σ 2X a2 .

• Comment applique t-on ce résultat au MBG ? • Premièrement,

E [St | F0 ] = E [S0 exp (µt + σWt )| F0 ] = S0 eµt E [ exp (σWt )| F0 ] . Puisque Wt ∼ N (0, t) alors,

2 σ E [exp (σWt )| F0 ] = MWt (σ) = exp t 2

et donc,

2

E [St | F0 ] = S0 eµt+0.5σ t .

• Quelle est la variance de St ? • On a E St2 F0 = E S02 exp (2µt + 2σWt ) F0 = S02 e2µt E [exp (2σWt )| F0 ] = S02 e2µt MWt (2σ) 4σ 2 2 2µt = S0 e exp t 2 2

= S02 e2µt+2σ t .

La variance peut être calculée comme Var [St | F0 ] = E St2 F0 − E [St | F0 ]2 2 2 2 = S02 e2µt+2σ t − S0 eµt+0.5σ t 2

• De plus,

= S02 e2µt+2σ t − S02 e2µt+σ 2 2 = S0 e2µt eσ t eσ t − 1 .

2t

E [Sta | F0 ] = E [S0a exp (aµt + aσWt )| F0 ] = S0a eaµt E [exp (aσWt )| F0 ] = S0a eaµt MWt (aσ) 2 2 aσ a aµt = S0 e exp t . 2


89

• La covariance entre deux MBG à deux moments différents peut aussi être calculée facilement. En effet, Cov (St , Ss ) = E [St Ss ] − E [St ] × E [Ss ] . Nous avons calculé les espérances E [St ] et E [Ss ] précédemment. Il nous reste qu’à calculer E [St Ss ] = E [S0 exp (µt + σWt ) S0 exp (µs + σWs )] = S02 eµ(t+s) E [exp (σ (Wt + Ws ))] . ⊲ Or la loi de σ (Wt + Ws ) est simplement normale avec moyenne nulle et variance Var [σ (Wt + Ws )] = σ 2 (t + s + 2Cov (Wt , Ws )) = σ 2 (t + s + 2 min (t, s)) . ⊲ Soit µX = 0 et σ 2X = σ 2 (t + s + 2 min (t, s)). Alors, E [exp (σ (Wt + Ws ))] = MX (1) 1 2 = exp σ (t + s + 2 min (t, s)) 2

et finalement, en combinant les termes on obtient E [St Ss ] = S02 eµ(t+s) e0.5(σ

2 (t+s+2 min(t,s))

).

• Finalement, pour s < t, on a St = S0 exp (µt + σWt ) Ss = S0 exp (µs + σWs ) et donc,

St = exp (µ (t − s) + σ (Wt − Ws )) . Ss

Par conséquent, E [St | Fs ] = Ss E [ exp (µ (t − s) + σ (Wt − Ws ))| Fs ] = Ss eµ(t−s) MWt −Ws (σ) 2 = Ss e(µ+0.5σ )(t−s) , s < t. • À l’examen MFE, il faut être très à l’aise avec ces quantités, ou du moins, être très à l’aise dans la manipulation de la f.g.m. de la loi normale pour le calcul des moments d’un MBG. • Exemple : ⊲ L’évolution du prix d’une action obéit à un MBG avec µ = 0.07, σ = 0.3 et S0 = 100. ⊲ Quelle est la distribution du prix de l’action après une période ?

90

CHAPITRE 5. MOUVEMENT BROWNIEN ∗ ln S1 − ln S0 ∼ N (µ × 1, σ 2 × 1) = N (0.07, 0.32 ). En d’autres termes, S1 /S0 ∼ LN (0.07, 0.32 ) ⊲ Quelle est la probabilité que le prix de l’action soit supérieur à 120$ dans 3 périodes ? ∗ On cherche Pr (S3 > 120). On a Pr (S3 > 120) = = = =

Pr (ln S3 > ln 120) Pr (ln S3 − ln S0 > ln 120 − ln S0 ) Pr N 3µ, 3σ 2 > ln 1.2 Pr (N (0.21, 0.27) > ln 1.2) ln 1.2 − 0.21 √ = 1−Φ = 0.52124. 0.27

⊲ Calculer un intervalle de confiance à 95% du prix de l’action après 10 périodes sachant qu’après 5 périodes, le prix de l’action est 92$. ∗ En général, ln St − ln Ss ∼ N (µ (t − s) , σ 2 (t − s)) ou ln S10 − ln S5 ∼ N 5 × 0.07, 5 × 0.32 ∗ On sait que S5 = 92, on a donc √ 2 ln S10 ∈ (ln 92 + 0.35) ± 1.96 × 5 × 0.3 ou

√ 5×0.32

S10 ∈ 92e0.35±1.96×

5.5.1

.

Simulation

• On sait que ⊲ En effet,

A St+∆t = St exp Wt+∆t − WtA . St = S0 exp WtA A St+∆t = S0 exp Wt+∆t

et le ratio des deux donne le résultat désiré. • Donc, pour simuler une trajectoire de n périodes d’un MBG, on simule n v.a. normales centrées et réduites : Z∆t , Z2∆t , ..., Zn∆t ; • Par la suite, √ S∆t = S0 exp µ∆t + σ ∆tZ∆t √ S2∆t = S∆t exp µ∆t + σ ∆tZ2∆t ... √ Sn∆t = S(n−1)∆t exp µ∆t + σ ∆tZn∆t .


5.5.2

91

Estimation des paramètres

• Illustrons par un exemple ⊲ Supposons qu’on observe les prix d’une action de la compagnie ABC inc. à la fin de chaque année, de la façon suivante : Date Prix 1er janvier 2005 51 31 décembre 2005 54 31 décembre 2006 61 31 décembre 2007 53 31 décembre 2008 49 ⊲ On sait que et donc,

St+1 = St exp (µ + σ (Wt+1 − Wt )) ln

St+1 = µ + σZt+1 St

où Zt+1 ∼ N (0, 1) ∼ Z. ⊲ Par conséquent, le rendement annuel continument composé suit une normale µ avec variance σ 2 . ⊲ Les rendements sont Date Prix Rendement 1er janvier 2005 51 54 31 décembre 2005 54 ln 51 = 0.057158414 31 décembre 2006 61 ln 61 = 0.121889818 54 53 31 décembre 2007 53 ln 61 = −0.140581951 31 décembre 2008 49 ln 49 = −0.078471615 53 ⊲ On calcule la moyenne (x) et la variance échantillonale (s) sur ces 4 rendements et µ = x = −0.01 σ = s = 0.1206.

⊲ Que se passe-t-il si les rendements sont calculés sur une période d’un mois (fréquence mensuelle) ? ⊲ Alors, St+1/12 1 1 ln =µ +σ Zt+1/12 St 12 12 et donc, µ = 12x √ σ = 12s

car µ et σ sont sur une base annuelle.

92


5.6 5.6.1


• Mai 2007 : aucun ; • Mai 2009 : aucun ; • Q&A (version du 18 août 2010) : 13, 34, 63, 70 ;

5.6.2


Les exercices notés CZ proviennent du livre de Cvitanic et Zapatero (2004). Les exercices notés GG proviennent des notes de cours de Geneviève Gauthier (reproduits avec son autorisation). Dans ce qui suit, on utilise les acronymes suivants : mouvement brownien standard (MBS), mouvement brownien arithmétique (MBA), mouvement brownien géométrique (MBG) et équation différentielle stochastique (EDS). De plus, à moins d’avis contraire, {Wt , t ≥ 0} est un MBS. 1. La position d’une particule est décrite par un MBS. (a) En moyenne, où se retrouvera la particule à t = 10 ? (b) Trouvez l’intervalle de confiance à 95% de la position de la particule à t = 10 ? (c) À t = 5, vous observez que la particule est à la position -2. Refaites les questions a) et b) en sachant cette nouvelle information. 2. La valeur marchande d’une voiture usagée est modélisée par un MBG défini par exp (µt + σWt ) où µ = −0.14 et σ = 0.07. Vous savez également que la valeur initiale de la voiture est de 20000$. (a) Calculez le prix de vente moyen et médian de la voiture après 4 ans (t = 4). (b) Sachant que sur le marché, la même voiture avec 2 ans (t = 2) d’usure se vend 12000$, refaites la question a) (à t = 4). (c) Quelle est la probabilité que la valeur marchande de la voiture soit supérieure à 20000$ après 4 années (t = 4) ? (d) Combien faut-il d’années pour que la valeur marchande de la voiture corresponde à seulement 5% de la valeur originale (1000$) ? (e) Dans un contrat de location à court terme de 4 ans, le locataire a l’opportunité d’acheter la voiture pour 10000$. Sachant qu’un taux d’intérêt de 5% est raisonnable pour escompter les flux financiers, quelle est la valeur de cette option d’achat attachée au contrat de location ? Quelle est la probabilité qu’une telle option d’achat soit rentable pour le futur acheteur ? 3. Vous observez les valeurs suivantes pour un MBG : S0 = 100, S1 = 98, S2 = 100, S3 = 101, S4 = 105 et S5 = 104. (a) S’il s’écoule une année entre Sk et Sk−1 (k = 1, 2, .., 5), estimez µ et σ 2 (annualisés) à l’aide des observations ;

5.6. EXERCICES

93

(b) S’il s’écoule un mois entre Sk et Sk−1 (k = 1, 2, .., 5), estimez µ et σ 2 (annualisés) à l’aide des observations ; 4. (GG) Soit Z une variable √ aléatoire de loi normale centrée et réduite. Pour tout t ≥ 0, nous posons Xt ≡ tZ. Le processus stochastique {Xt , t ≥ 0} a des trajectoires continues et ∀t ≥ 0, Xt est de loi N (0, t). Est-ce que {Xt , t ≥ 0} est un MBS ? Justifiez votre réponse. t , t ≥ 0 deux MBS indépendants et ρ une constante 5. (GG) Soient {Wt , t ≥ 0} et W t . Est-ce que comprise entre 0 et 1. Pour tout t ≥ 0, posons Xt = ρWt + 1 − ρ2 W {Xt , t ≥ 0} est un MBS ? Justifiez votre réponse. 6. (GG) Soient

Xt Yt

1 2 ≡ exp σWt − σ t 2 2 ≡ Wt − t.

Montrez que {Xt , t ≥ 0} et {Yt , t ≥ 0} sont des martingales.

7. Montrez que le processus stochastique {Bt , t ≥ 0} où 1 Bt ≡ √ Wλt λ est aussi un MBS.

8. Démontrez que le processus stochastique {Mt , t ≥ 0} où Mt = est une martingale.

eσWt E [eσWt ]

94


Chapitre 6 Introduction au calcul stochastique 6.1

Introduction

• Mouvement brownien arithmétique (MBA) : un MBA est tel que WtA = µt + σWt . Or, A Wt+∆t = µ (t + ∆t) + σWt+∆t .

• Par conséquent, l’accroissement du MBA sur l’intervalle [t, t + ∆t] est A Wt+∆t − WtA = µ∆t + σ (Wt+∆t − Wt ) .

• Questions : A ⊲ Quel est le comportement (local) de Wt+∆t − WtA quand ∆t → 0 (infiniment petit) ? ⊲ Dans plusieurs domaines d’application (finance, physique, chimie, etc.), µ et σ ne sont pas constants. Comment peut-on tenir compte de la variabilité de µ et σ pour définir un nouveau type de MBA ? • Pour répondre à ces questions, nous devons introduire des notions fondamentales de calcul stochastique. • Calcul stochastique : domaine d’application des mathématiques qui traite la dérivation et l’intégration d’un processus stochastique. ⊲ Dans ce cours et dans plusieurs applications, le calcul stochastique est basé sur le mouvement brownien ; ⊲ L’opération de dérivation permet de déterminer le comportement local d’un processus stochastique pour un intervalle de temps infiniment petit (dt) ; ⊲ L’opération d’intégration permet de déterminer le comportement global d’un processus stochastique sur un intervalle de temps fini quelconque ([a, b]).

6.2

Différentiation et intégration déterministe

• Dérivée totale : soit f (t, x) une fonction à deux variables et supposons que x est une fonction quelconque de t. 95

96

CHAPITRE 6. INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE ⊲ Par conséquent, f est une fonction de t seulement. • La dérivée totale est simplement une façon de trouver la dérivée de f par rapport à t i.e. ∂f dt ∂f dx df = + dt ∂t dt ∂x dt ou df = ∂f dt + ∂f dx . ∂t ∂x • Première écriture : il s’agit d’une forme d’équation différentielle : la dérivée de f est écrite en fonction d’autres dérivées. ⊲ Permet d’avoir le taux de variation instantané de f autour de t. On obtient le comportement local de f autour de t. • Seconde écriture (encadrée) : la différentielle totale de la transformation f peut être décomposée en deux morceaux : variations par rapport à t et variations par rapport à x. ? • Exemple : soit f (t, x) = t (x + 2), et x (t) = t2 . Quelle est df dt • Solution : deux approches. ⊲ Simple : on a f (t, x) = f (t) = t t2 + 2 = t3 + 2t et

df = 3t2 + 2. dt ⊲ Dérivée totale : les dérivées partielles sont

∂f = (x + 2) = t2 + 2 ∂t ∂f = t ∂x dx = 2t dt et donc df ∂f dt ∂f dx = + dt ∂t dt 2 ∂x dt = t + 2 × 1 + t × 2t = 3t2 + 2. ce qui donne évidemment le même résultat. • Imaginons le problème inverse : on connait les taux de variation (comportement local) ∂f ∂f , et dx mais on s’intéresse au comportement de f (t) sur [a, b]. ∂t ∂x dt • Intégration déterministe : opération mathématique qui permet de connaitre la fonction f telle que df g (x) = dx où la forme fonctionnelle de g (x) est connue.

6.2. DIFFÉRENTIATION ET INTÉGRATION DÉTERMINISTE

97

⊲ Le théorème fondamental du calcul de Leibniz stipule que f (x) =

x

g (x) dx.

0

• Dans un cours de calcul de base, on voit l’intégrale au sens de Riemann, qui consiste en l’aire sous la courbe d’une fonction. , alors • En partitionnant l’intervalle [a, b] en n régions de longueur ∆x = b−a n

b

g (x) dx =

a

=

lim

∆x→0

lim

∆x→0

n i=1 n i=1

f (a + i∆x) ∆x f (a + (i − 1) ∆x) ∆x.

⊲ Il s’agit de la somme de l’aire de plusieurs rectangles de hauteur f (a + i∆x) ou f (a + (i − 1) ∆x) et de largeur ∆x. ⊲ Par conséquent, une fonction est intégrable au sens de Riemann si et seulement si ces deux limites convergent vers la même valeur. ⊲ En calcul, nous avons trouvé toutes sortes de règles de dérivation et d’intégration pour des fonctions communes. • En revenant à notre problème précédent, on applique l’intégrale de chaque côté, et on obtient b b t−1 (b) ∂f ∂f df = dt + dx. a a ∂t t−1 (a) ∂x Donc f (b) − f (a) =

b a

∂f dt + ∂t

t−1 (b) t−1 (a)

∂f dx. ∂x

⊲ Pourquoi t−1 (a) ? f étant une fonction de t et t ∈ [a, b], on doit traduire t ∈ [a, b] sur son domaine sur x. • Exemple (suite) : dans l’exemple précédent, on sait que f (b) − f (a) = b3 + 2b − a3 + 2a .

Peut-on également vérifier que c’est le cas en intégrant les dérivées partielles ? • Solution : on sait que ∂f = (x + 2) = t2 + 2 ∂t ∂f = t ∂x dx = 2t. dt

98

CHAPITRE 6. INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE ⊲ De plus, x = t2 , donc intégrer sur t ∈ [a, b] équivaut à x ∈ [a2 , b2 ]. En intégrant de chaque côté, on obtient

a2 ∂f ∂f df = dt + dx a a ∂t b2 ∂x a2 b 2 √ f (b) − f (a) = t + 2 dt + xdx

b

b

a

=

= = =

b2

1 3 b − a3 + 2 (b − a) + 3 1 3 b − a3 + 2 (b − a) + 3 3 b − a3 + 2 (b − a) 3 b + 2b − a3 + 2a .

2 3/2 b2 x a2 3 2 3 b − a3 3

• Nous utiliserons ces résultats pour bâtir une meilleure intuition du calcul stochastique.

6.3

Différentiation et intégration stochastique

• Supposons qu’on s’intéresse au comportement local du MBA ? Que se passe-t-il lorsque ∆t → 0 ? • MBA sous forme d’équation différentielle stochastique : on a écrit l’accroissement du MBA comme A Wt+∆t − WtA = µ∆t + σ (Wt+∆t − Wt ) .

⊲ Interprétation : sur un intervalle de temps petit [t, t + ∆t], l’accroissement total A du MBA (Wt+∆t − WtA ) est expliqué par : ∗ un accroissement µ∆t à cause du temps ; ∗ un accroissement σ (Wt+∆t − Wt ) à cause de la variation du MBS sous-jacent. ⊲ Lorsque ∆t → 0 on définit ce qu’on appelle une équation différentielle stochastique (EDS). On a donc, dWtA = µdt + σdWt . ⊲ On remarque que cette forme est familière : ressemble à la dérivée totale en calcul déterministe. ⊲ Interprétation : sur un intervalle de temps infiniment petit [t, t + dt], l’accroissement total du MBA (dWtA ) est expliqué par : ∗ un accroissement µdt à cause du temps ; ∗ un accroissement σdWt à cause de la variation infinitésimale du MBS sous-jacent. • Équation différentielle stochastique (EDS) (stochastic differential equation ou SDE ) : une EDS est une équation mathématique qui définit le comportement local (sur l’intervalle [t, t + dt]) d’un processus stochastique ; ⊲ L’EDS est composée de deux éléments : variations par rapport au temps (dt) et variations par rapport au MBS (dWt ) .

6.3. DIFFÉRENTIATION ET INTÉGRATION STOCHASTIQUE

99

• En connaissant le comportement local pour tout t, on peut connaitre le comportement global de ce processus stochastique. • Intégration stochastique : opération qui consiste à intégrer une EDS pour connaître le comportement global d’un processus stochastique (aussi appelée solution d’une EDS). ⊲ La variable d’intérêt en intégration stochastique est le temps. ⊲ Connaître le comportement global d’une EDS sur [a, b] signifie trouver la loi du processus stochastique sur un intervalle de temps [a, b] lorsque ce processus est défini par une EDS. • Solution d’un MBA : on veut connaître le comportement du MBA sur l’intervalle de temps [a, b]. ⊲ On intègre l’EDS du MBA entre a et b, i.e. b b b A dWt = µdt + σdWt . a

a

a

⊲ On a donc une intégrale par rapport au temps, et une seconde intégrale par rapport à l’accroissement d’un MBS, qui est stochastique. ⊲ La première intégrale peut être résolue à l’aide d’une intégrale de Riemann. Qu’en est-il de la seconde ? • Résolution de l’EDS d’un MBA : on a directement, b µdt = µ (b − a) . a

Qu’en est-il de ⊲ En effet,

b a

σdWt . On sort σ de l’intégrale et

b

dWt = lim a

∆t→0

n i=1

b a

dWt = Wb − Wa .

Wa+i∆t − Wa+(i−1)∆t

où ∆t = b−a . n ⊲ Il s’agit d’une somme télescopique et on trouve facilement b dWt = Wb − Wa .

a

On obtient donc, ⊲ Comme prévu,

WbA − WaA = µ (b − a) + σ (Wb − Wa ) . WbA − WaA ∼ N µ (b − a) , σ 2 (b − a) .

• Pourquoi n’a-t-on pas procédé à la conversion de [a, b] pour la seconde intégrale, comme nous l’avions fait en calcul déterministe ? ⊲ En calcul stochastique, le temps est la variable d’intérêt. Un processus stochastique évolue sur l’intervalle [t, t + dt] pour deux raisons : une partie déterministe (le passage du temps) (dt) et une partie stochastique (accroissement du MBS dWt ).

100

CHAPITRE 6. INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE

• Remarque : ⊲ Il est approprié de dire que sur un intervalle de temps petit (mais fini) ([t, t + ∆t]), alors A Wt+∆t − WtA ∼ N µ∆t, σ 2 ∆t .

⊲ Il est moins approprié mathématiquement de dire que sur intervalle de temps infiniment petit ([t, t + dt]), dWtA ∼ N µdt, σ 2 dt . b t • L’intégration de a σdWt a été simple. Qu’en est-il de 0 2Wu dWu ? ⊲ Il s’agit d’un processus pour lequel la diffusion est reliée directement à la réalisation du MBS. ⊲ Est-ce égal à t

0

?

2Wu dWu = Wt2 ,

comme si les règles d’intégration déterministes s’appliquent ? ⊲ En fait, Wt2 n’est jamais négatif. Mais, t n 2Wu dWu = 2 × lim Wa+(i−1)∆t Wa+i∆t − Wa+(i−1)∆t ∆t→0

0

i=1

peut être négatif ! ⊲ Par conséquent, les règles usuelles d’intégration ne fonctionnent plus. • Il est nécessaire de déterminer des règles claires de différentiation et d’intégration stochastique. ⊲ Pour tous les cas où la dérive et la diffusion de notre EDS sont des fonctions quelconques, déterministes ou aléatoires. • Comme le théorème fondamental du calcul de Leibniz définit les règles de dérivation et d’intégration de la plupart des fonctions déterministes, nous allons trouver un théorème fondamental du calcul stochastique pour un ensemble de processus stochastiques. ⊲ Calcul stochastique d’Ito pour les processus d’Ito ;

6.4

Calcul stochastique d’Ito

• Processus d’Ito : un processus d’Ito {Xt , t ≥ 0} est une généralisation d’un MBA où la dérive et la diffusion sont stochastiques et définis tels que dXt = µ (t, Xt ) dt + σ (t, Xt ) dWt . • Exemples : ⊲ Un MBS est un processus d’Ito où µ (t, Xt ) = 0 et σ (t, Xt ) = 1; ∗ En effet, dXt = 0dt + 1dWt et donc

b

dXt = a

b a

dWt = Wb − Wa .

6.4. CALCUL STOCHASTIQUE D’ITO

101

⊲ Un MBA est un processus d’Ito où µ (t, Xt ) = µ et σ (t, Xt ) = σ; ∗ En effet, comme on a vu précédemment, on peut écrire un MBA sous la forme d’une EDS écrite comme dWtA = µdt + σdWt . ⊲ Quelle est la représentation d’un MBG sous la forme d’un processus d’Ito ? Nous y reviendrons un peu plus tard. • Pour comprendre le calcul stochastique d’Ito, il faut tout d’abord regarder le comportement de la dérivée totale dans le calcul déterministe standard. On a obtenu précédemment, ∂f ∂f df = dt + dx. ∂t ∂x • En calcul déterministe dx a un comportement stable et prévisible, i.e. non aléatoire. • Supposons cette fois qu’on cherche le comportement de Yt = f (t, Xt ) une transformation quelconque du processus d’Ito. Quelle est l’EDS de Yt ? De quelle façon écrit-on df = dYt ? ⊲ On cherche le comportement local et global du processus stochastique {Yt , t ≥ 0} . • Lemme d’Ito ou théorème fondamental du calcul (stochastique) d’Ito : ⊲ Soit {Xt , t ≥ 0} un processus d’Ito tel que Xt − X0 =

t

µ (s, Xs ) ds +

0

t

σ (s, Xs ) dWs

0

et Yt = f (t, Xt ) une transformation quelconque du processus d’Ito. ⊲ Alors, df =

∂f dt ∂t

+

∂f dXt ∂Xt

+

1 ∂2f 2 σ 2 ∂Xt2

(t, Xt ) dt .

⊲ On peut trouver une preuve heuristique en utilisant l’expansion de Taylor de f (t, x) jusqu’à l’ordre 2, dans la plupart des livres d’ingénierie financière. ∂2f 2 • On remarque que le lemme d’Ito ajoute un terme 12 ∂X 2 σ (t, Xt ) dt à la dérivée totale t obtenue en calcul déterministe. ∂2f ⊲ C’est parce qu’on ne peut tout simplement pas supposer que ∂X 2 = 0. t ⊲ On intègre par rapport à un MBS et {dWs , s ≥ 0} est un processus stochastique. ⊲ Dans le calcul déterministe, ∆x est une constante de plus en plus petite. ∂2f ∂3f ∂4f • Pourquoi le terme en ∂X 2 est important alors que ∂X 3 , ∂X 4 sont ignorés ? t t t ⊲ On a vu plus tôt que la variation quadratique d’un MBS converge vers une valeur finie déterministe. La variation cubique, et autres convergent vers 0 ; on peut donc ignorer ces termes. ⊲ La clé de la preuve du lemme d’Ito repose sur ce fait. • Écriture alternative du lemme d’Ito : dYt =

∂f ∂f 1 ∂ 2f dt + dXt + (dXt )2 . 2 ∂t ∂Xt 2 ∂Xt

102

CHAPITRE 6. INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE Toutefois, il faut reconnaitre que (dXt )2 = (µ (t, Xt ) dt + σ (t, Xt ) dWt )2 = µ2 (t, Xt ) (dt · dt) + 2µ (t, Xt ) σ (t, Xt ) (dt · dWt ) +σ 2 (t, Xt ) (dWt · dWt ) et que dt · dt = 0 dt · dWt = 0 dWt · dWt = dt

à cause de la variation quadratique d’un MBS. Par conséquent, l’écriture est équivalente car 1 ∂ 2f 1 ∂2f 2 2 (dX ) = σ (t, Xt ) dt. t 2 ∂Xt2 2 ∂Xt2 • Finalement, en substituant dXt dans le lemme d’Ito, on obtient dYt = df (t, Xt ) = µf (t, Xt ) dt + σ f (t, Xt ) dWt avec

∂f (t, x) ∂f (t, x) µf (t, Xt ) = + µ (t, Xt ) × ∂t t,Xt ∂x t,Xt 1 2 ∂ 2 f (t, x) + σ (t, Xt ) × 2 ∂x2 t,Xt ∂f (t, x) σ f (t, Xt ) = σ (t, Xt ) × . ∂x t,Xt

• Étapes d’application du lemme d’Ito :

1. Lorsqu’on a une transformation f (t, Xt ), alors on l’écrit sous la forme f (t, x) .

2. On écrit les 3 dérivées partielles

∂f (t,x) ∂f (t,x) ∂ 2 f (t,x) , ∂x , ∂x2 ∂t

comme fonctions de t et x

3. On évalue ensuite le résultat des dérivées partielles avec Xt .

6.4.1

Exemples d’application du lemme d’Ito

• Dans cette sous-section, on regarde plusieurs applications du lemme d’Ito. • Exemple # 1 : Carré du MBS ⊲ On s’intéresse au comportement de Wt2 . ⊲ On sait qu’un MBS est un processus d’Ito tel que dXt = µ (t, Xt ) dt + σ (t, Xt ) dWt = dWt avec µ (t, Xt ) = 0 et σ (t, Xt ) = 1.

6.4. CALCUL STOCHASTIQUE D’ITO

103

⊲ La fonction f (t, x) = x2 . Les dérivées sont ∂f (t, x) = 0 ∂t ∂f (t, x) = 2x ∂x ∂ 2 f (t, x) = 2. ∂x2 ⊲ On trouve µf (t, Xt ) = 0 + 0 × 2Xt +

= 1 σ f (t, Xt ) = 1 × 2Xt .

1 ×1×2 2

⊲ Par conséquent, dft = dt + 2Xt dWt = dt + 2Wt dWt . ⊲ On déduit que ft − f0 = ou Wt2

t

du + 0

−t=

t

2Wu dWu

0

t

2Wu dWu .

0

⊲ Il est intéressant de constater que si on appliquait les règles d’inégration déterministes sur 2Wu , on aurait Wt2 au lieu de Wt2 − t. Donc, le facteur −t provient directement du lemme d’Ito. t ⊲ Nous avions vu précédemment qu’il n’était pas possible que 0 2Wu dWu = Wt2 car le côté gauche de l’équation peut être négatif alors que le côté droit est toujours positif. Le calcul d’Ito nous a donc permis de résoudre cette énigme. • Exemple # 2 : Mouvement brownien géométrique ⊲ Comment écrit-on le MBG sous la forme d’un processus d’Ito. Il y a deux cas à analyser. ⊲ Cas # 1 : supposons qu’on a un MBG défini tel que Yt = exp (Xt ) où {Xt , t ≥ 0} est un MBA avec dérive µ et diffusion σ, i.e. Xt = µt + σWt ou dXt = µdt + σdWt . ∗ On applique le lemme d’Ito sur f (t, Xt ) = exp (Xt ) .

104

CHAPITRE 6. INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE ∗ Donc, f (t, x) = exp (x) et les dérivées partielles sont ∂f (t, x) = 0 ∂t ∂f (t, x) = exp (x) = f (t, x) ∂x ∂ 2 f (t, x) = exp (x) = f (t, x) . ∂x2 ∗ On obtient

∗ Donc,

1 µf (t, Xt ) = 0 + µ × f (t, Xt ) + σ 2 × f (t, Xt ) 2 σ f (t, Xt ) = σ × f (t, Xt ) .

1 2 df (t, Xt ) = f (t, Xt ) µ + σ dt + σf (t, Xt ) dWt 2 ou df (t, Xt ) 1 2 = µ + σ dt + σdWt f (t, Xt ) 2 ou en utilisant Yt , on a 1 2 dYt = µ + σ Yt dt + σYt Wt . 2

Par conséquent, le MBG est aussi un processus d’Ito. ⊲ Cas # 2 : le modèle de Black-Scholes. Supposons qu’on a un MBG défini par dSt = µSt dt + σSt dWt . Quel est le comportement de Xt = ln St ? ∗ On applique le lemme d’Ito sur f (t, St ) = ln St . ∗ Donc, f (t, s) = ln (s) et les dérivées partielles sont ∂f (t, s) = 0 ∂t ∂f (t, s) 1 = ∂s s 2 ∂ f (t, s) 1 = − 2. 2 ∂s s ∗ On obtient µf (t, St ) = 0 + µSt ×

1 1 −1 + σ 2 St2 × 2 St 2 St

1 = µ − σ2 2 1 σ f (t, Xt ) = σSt × = σ. St

6.4. CALCUL STOCHASTIQUE D’ITO ∗ Donc, ou

105

1 2 df (t, Xt ) = µ − σ dt + σdWt 2 1 2 dXt = µ − σ dt + σdWt . 2

∗ On obtient donc un MBA avec dérive µ − 12 σ 2 . ⊲ Conclusion : il existe deux façons de définir le MBG et les solutions seront légèrement différentes : ∗ Cas # 1 : si le MBG est défini avec St = S0 exp (µt + σWt ) alors 1 2 dSt = µ + σ St dt + σSt dWt . 2 ∗ Cas # 2 : si le MBG est défini tel que

dSt = µSt dt + σSt dWt comme dans le modèle de Black-Scholes, alors, 1 2 µ − σ t + σWt . St = S0 exp 2

∗ Il est crucial de pouvoir différencier les deux écritures du MBG. • Exemple # 3 : (Quiz 15-5 AFM, adapté pour notre notation) : Vous avez dXt = 0.1dt + 0.5dWt Xt

avec Yt = f (t, Xt ) = Xt exp (0.02t). Il est possible d’exprimer dYt = αYt dt + σYt dWt . Il faut trouver α à l’aide du lemme d’Ito. • Solution : on a f (t, x) ∂f (t, x) ∂t ∂f (t, x) ∂x ∂ 2 f (t, x) ∂x2

= xe0.02t

= 0.02 × f (t, x) = e0.02t =

f (t, x) x

= 0.

Donc, µf (t, Xt ) = 0.02f (t, Xt ) + 0.1Xt ×

f (t, Xt ) +0 Xt

= 0.12 × f (t, Xt ) f (t, Xt ) σ f (t, Xt ) = 0.5Xt × = 0.5 × f (t, Xt ) . Xt Par conséquent, α = 0.12.

106


• En général, lorsqu’on a

dSt = µSt dt + σSt dWt

avec St∗ = St exp (γt), alors dSt∗ = (µ + γ) St∗ dt + σSt∗ dWt i.e. les termes de dérives s’additionnent. • De plus, sans utiliser le lemme d’Ito, on a 1 2 St = S0 exp µ − σ t + σWt . 2 En multipliant par exp (γt) , on a 1 2 St exp (γt) = S0 exp (γt) exp µ − σ t + σWt 2 1 2 ∗ ∗ St = S0 exp µ + γ − σ t + σWt 2 ce qui implique aussi dSt∗ = (µ + γ) St∗ dt + σSt∗ dWt . • Exemple # 4 (15G dans ASM, modifié) : le prix du sous-jacent suit le processus dSt = 0.2St dt + 0.02St dWt . Trouvez la dynamique de f (t, St ) = St3 . ⊲ Solution : on applique le lemme d’Ito en sachant que la transformation est f (t, x) = x3 . Donc, f (t, x) ∂f (t, x) ∂t ∂f (t, x) ∂x ∂ 2 f (t, x) ∂x2

= x3 = 0 f (t, x) x f (t, x) = 6x = 6 . x2

= 3x2 = 3

On obtient f (t, St ) 1 2 f (t, St ) + St × 0.022 × 6 St 2 St2 2 0.6f (t, St ) + 3 × 0.02 × f (t, St ) f (t, St ) 0.6 + 3 × 0.022 0.6012 × f (t, St ) f (t, St ) 0.02St × 3 = 0.06 × f (t, St ) . St

µf (t, Xt ) = 0 + 0.2St × 3 = = = σ f (t, Xt ) =

6.5. SIMULATION

107

• Exemple # 5 (à compléter en exercice) : à l’aide du lemme d’Ito, il est possible de montrer que la dynamique de St∗ = Stγ (puissance γ) est 1 ∗ 2 dSt = µγ + γ (γ − 1) σ St∗ dt + γσSt∗ dWt . 2 ⊲ À l’examen MFE, vous pourriez avoir à évaluer une option exotique telle que C (ST ) = ST3 − K + .

Par conséquent, en utilisant la dynamique de {St∗ , t ≥ 0} vous pourriez utiliser la formule de Black-Scholes pour trouver la solution. • Il n’est pas obligatoire d’utiliser le lemme d’Ito pour montrer ce résultat. En effet, on a 1 2 St = S0 exp µ − σ t + σWt 2 et en prenant la puissance γ des deux côtés on a 1 2 γ γ St = S0 exp µ − σ t + σWt γ 2 1 2 γ = S0 exp µ − σ γt + γσWt . 2

On déduit que le terme de diffusion doit être γσ. De plus, 1 2 1 2 (γσ)2 (γσ)2 µ − σ γt = µ − σ γt + − t 2 2 2 2 (γσ)2 1 2 (γσ)2 t− t = µγ − γσ + 2 2 2 1 2 (γσ)2 = µγ + γσ (γ − 1) t − t 2 2 et on déduit que le terme de dérive doit être µγ + 12 γ (γ − 1) σ 2 .

6.5

Simulation

• Un processus d’Ito est défini par dXt = µ (t, Xt ) dt + σ (t, Xt ) dWt . • Idéalement, il faudrait pouvoir simuler directement de la vraie solution de {Xt , t ≥ 0} . • Exemple # 1 : simulation d’un MBG défini par dSt = µSt dt + σSt dWt i.e. le modèle de Black-Scholes.

108


• Solution : on a trouvé précédemment que 1 2 d (ln St ) = µ − σ dt + σdWt 2 et donc

1 2 ln St = ln S0 + µ − σ t + σdWt . 2

⊲ Sur un intervalle de temps petit, alors 1 2 ln St+∆t = ln St + µ − σ ∆t + σ (Wt+∆t − Wt ) 2 ce qui fournit un algorithme de simulation du MBG dans ce cas. ⊲ En effet, on simule n v.a. normales centrées et réduites : Z∆t , Z2∆t , ..., Zn∆t . ⊲ Par la suite, √ 1 2 S∆t = S0 exp µ − σ ∆t + σ ∆tZ∆t 2 √ 1 2 S2∆t = S∆t exp µ − σ ∆t + σ ∆tZ2∆t 2 ... √ 1 2 Sn∆t = S(n−1)∆t exp µ − σ ∆t + σ ∆tZn∆t . 2 ⊲ Il s’agit du même algorithme de simulation qu’au chapitre précédent mais où on a remplacé µ par µ − 12 σ 2 . • Que faut-il faire lorsqu’on ne connait pas la solution exacte d’un processus d’Ito quelconque ? ⊲ Malheureusement, c’est très commun de ne pas pouvoir trouver la solution exacte. ⊲ Il existe certains cas où une solution exacte existe : MBA, MBG, Ornstein-Uhlenbeck (Vasicek) par exemple. • Lorsqu’on ne connait pas la solution exacte, on peut utiliser une des deux méthodes numériques suivantes : ⊲ Méthode d’Euler(—Maruyama) ; ⊲ Méthode de Milstein ; • Méthode d’Euler(—Maruyama) : ⊲ On approxime la solution exacte du processus d’Ito {Xt , t ≥ 0} par √ Xt+∆t = Xt + µ (t, Xt ) ∆t + σ (t, Xt ) ∆tZt+∆t i.i.d.

où X0 = x (connu), où Zt+∆t ∼ Z ∼ N (0, 1) . ⊲ En fait, il s’agit d’une application directe de l’EDS de {Xt , t ≥ 0} car √ Wt+∆t − Wt ∼ ∆tZt+∆t . • Méthode de Milstein :

6.5. SIMULATION

109

⊲ On approxime la solution exacte du processus d’Ito {Xt , t ≥ 0} par √ Xt+∆t = Xt + µ (t, Xt ) ∆t + σ (t, Xt ) ∆tZt+∆t 2 1 + ∆t × σ (t, Xt ) σ ′ (t, Xt ) × Zt+∆t −1 2 i.i.d.

où X0 = x (connu), Zt+∆t ∼ Z ∼ N (0, 1) et

∂ σ (t, Xt ) = . σ (t, x) ∂x t,Xt ′

⊲ Par rapport à la méthode d’Euler, seul un terme supplémentaire à calculer est requis. • L’application de la méthode d’Euler ou de Milstein n’est pas très compliquée. Il suffit, une fois de plus, de simuler un ensemble de v.a. normales centrées et réduites : Z∆t , Z2∆t , ..., Zn∆t , et de calculer, période par période, la valeur du processus. • Exemple : simulation d’un MBG. Soit ∆t = 1, Z1 = 1.25 et Z2 = −0.68. Comparez les trois trajectoires du MBG, à l’aide de la simulation exacte, d’Euler et de Milstein si le MBG est défini tel que dSt = 0.1St dt + 0.3St dWt et S0 = 100. • Solution : ⊲ La solution exacte est

St = St−1 exp 0.1 − 0.5 × 0.32 + σ (Wt − Wt−1 ) = St−1 exp (0.055 + σ (Wt − Wt−1 )) ∼ St−1 exp (0.055 + 0.3 × Zt )

avec Zt ∼ N (0, 1). On a

S0 = 100 S1 = 100 × exp (0.055 + 0.3 × 1.25) = 153.72575 S2 = 153.72575 × exp (0.055 + 0.3 × −0.68) = 132.44536.

⊲ Avec la méthode d’Euler, on a

S0 = 100 S1 = 100 + 100 × 0.1 + 100 × 0.3 × 1.25 = 147.5 S2 = 147.5 + 147.5 × 0.1 + 147.5 × 0.3 × −0.68 = 132.16.

⊲ Finalement, avec la technique de Milstein, on a

S0 = 100 S1 = 147.5 + 0.5 × (0.3 × 100) × 0.3 × 1.252 − 1 = 150.03125 S2 = 150.03125 + 150.03125 × 0.1 + 150.03125 × 0.3 × −0.68 +0.5 × (0.3 × 150.03125) × 0.3 × 0.682 − 1 = 130.79844. • En général, la méthode de Milstein procure l’erreur quadratique moyenne la plus petite.

110


6.6

Exercices

6.6.1

Examen MFE/3F

• Mai 2007 : 12 ; • Mai 2009 : 6, 10 ; • Q&A (version du 18 août 2010) : 24, 32, 35, 43, 68 ;

6.6.2


Les exercices notés CZ proviennent du livre de Cvitanic et Zapatero (2004). Les exercices notés GG proviennent des notes de cours de Geneviève Gauthier (reproduits avec son autorisation). Dans ce qui suit, on utilise les acronymes suivants : mouvement brownien standard (MBS), mouvement brownien arithmétique (MBA), mouvement brownien géométrique (MBG) et équation différentielle stochastique (EDS). De plus, à moins d’avis contraire, {Wt , t ≥ 0} est un MBS. 1. À l’aide du lemme d’Ito, complétez l’exemple # 5. 2. (GG) À l’aide du lemme d’Ito, montrez que le processus stochastique {St , t ≥ 0} où t 1 2 St ≡ S0 exp µs ds − σ t + σWt 2 0 satisfait l’EDS dSt = µt St dt + σSt dWt où µs est une fonction déterministe du temps. 3. (GG) En utilisant le lemme d’Ito, trouvez l’EDS satisfaite par les processus suivants : (a) Xt = Wt3 ; 3 (b) Xt = WtA où WtA , t ≥ 0 est un MBA avec dérive µ = 0.03 et diffusion σ = 0.2 ; (c) Xt = St3 où {St , t ≥ 0} est un MBG défini par

exp (µt + σWt ) avec dérive µ = 0.03 et diffusion σ = 0.2 ; (d) Xt = St3 où {St , t ≥ 0} est un MBG défini par dSt = µSt dt + σSt dWt avec dérive µ = 0.03 et diffusion σ = 0.2 ; (e) Xt = sin (Wt ) ; (f) Xt = sin (St ) où {St , t ≥ 0} est un MBG avec dérive µ = 0.03 et diffusion σ = 0.2 ;

6.6. EXERCICES

111

4. (GG) Soit C une variable aléatoire et δ A (t) une variable indicatrice qui prend la valeur 1 si t ∈ A. On définit le processus stochastique {Xt , t ≥ 0} par Xt = Cδ (a,b] (t) ainsi que la variable aléatoire Y ≡

∞

Xt dWt .

0

En sachant que C et le MBS sont indépendants, répondez aux questions suivantes : (a) Quel est le comportement aléatoire de Y ? (b) Quelle est la moyenne et la variance de Y si E [C] = µC et Var [C] = σ 2C ?

112


Chapitre 7 Solutions au modèle de Black-Scholes 7.1

Modèle

• Marché financier dans le modèle de Black-Scholes : ⊲ Actif sans risque (bon du Trésor, compte bancaire, etc.) ; ∗ Aucun risque de défaut ; ∗ Taux d’intérêt r connu continument composé ; ⊲ Actif risqué (action ou autre actif sous-jacent) ; ∗ Transigé à tous les instants ; ∗ Évolution donnée par le processus stochastique {St , t ≥ 0} avec S0 connu ; • Actif sans risque : ⊲ Valeur au temps t Bt = B0 ert où B0 = 1 la plupart du temps. ⊲ On peut également écrire la dynamique du titre sans risque sous la forme d’une équation différentielle ordinaire (EDO) avec dBt = rBt dt. ⊲ On a dBt = rdt Bt d ln Bt = rdt ln Bt − ln B0 = rt et on retrouve la solution ci-haut en prenant l’exponentielle de chaque côté. • Actif risqué : dans le modèle de Black-Scholes, la valeur de l’actif risqué évolue selon un MBG défini par dSt = µSt dt + σSt dWt . • On suppose que si σ = 0, alors µ = r et si σ > 0, alors µ = r. Nous reviendrons sur cette condition un peu plus tard. 113

114

CHAPITRE 7. SOLUTIONS AU MODÈLE DE BLACK-SCHOLES

• On s’intéresse, une fois de plus, à trouver le juste prix d’un produit dérivé qui paie CT = g (ST ) à l’échéance du contrat, qui ne créera pas d’arbitrage. • Deux approches : ⊲ Évaluation par réplication ; ⊲ Évaluation neutre au risque ;

7.2


• Avant de trouver le portefeuille de réplication, nous devons voir deux concepts, nonreliés, qui seront utiles pour trouver le portefeuille de réplication ainsi que sa valeur en tout point. ⊲ Équations aux dérivées partielles ; ⊲ Stratégie auto-financée en temps continu ;

7.2.1

Équations aux dérivées partielles

• Équation aux dérivées partielles (EDP) (partial differential equations ou PDE ) : type d’équation différentielle qui décrit l’évolution d’un phénomène dans le temps et qui s’écrit comme une fonction de ses dérivées partielles ; • Très connues en physique comme en thermodynamique, mécanique des fluides, etc. • Exemple : équation de chaleur (heat equation) ⊲ Soit u (t, x, y) la température d’un corps homogène à la position (x, y). Alors 2 ∂ ∂ ∂2 u (t, x, y) = α u (t, x, y) + 2 u (t, x, y) ∂t ∂x2 ∂y est l’équation de chaleur où u (0, x, y) est connue (condition initiale) comme étant une fonction des coordonnées (x, y) . ⊲ Le but est alors de trouver la forme fonctionnelle de u (t, x, y) i.e. trouver sa solution. • EDP de Feynman-Kaç (FK) : ⊲ Soient r (t, y) , m (t, y), s (t, y) et V (t, y) des fonctions déterministes connues ; ⊲ Alors, l’EDP de FK s’écrit comme r (t, y) V (t, y) =

∂ ∂ V (t, y) + m (t, y) × V (t, y) ∂t ∂y 2 1 ∂ + s (t, y)2 2 × V (t, y) 2 ∂y

avec condition terminale V (T, y) = g (y) connue. ⊲ Il s’agit d’une classe d’EDP paraboliques ; • La formule ou le théorème de FK permet de relier l’EDP de FK à une espérance et vice-versa. • Théorème de FK : ⊲ Soit {Yt , t ≥ 0} un processus d’Ito quelconque écrit sous la forme dYt = m (t, Yt ) dt + s (t, Yt ) dWt .


115

⊲ De plus, supposons qu’on a l’EDP de FK s’écrivant comme r (t, Yt ) V (t, Yt ) =

⊲ Alors,

∂ ∂ V (t, Yt ) V (t, Yt ) + m (t, Yt ) × ∂t ∂Yt 1 ∂2 + s (t, Yt )2 × V (t, Yt ) . 2 ∂Yt2

V (t, y) = E exp −

T

t

r (u, Yu ) du g (YT ) Yt = y

avec V (T, YT ) = g (YT ). L’inverse tient aussi. • À quoi servent les EDP et le théorème de FK en finance ? ⊲ Nous trouverons que la valeur du portefeuille de réplication dans le modèle de BlackScholes évolue dans le temps selon une EDP parabolique, et donc nous pourrons trouver la formule de Black-Scholes à l’aide du théorème de FK.

7.2.2

Stratégies auto-financées

• Nous avons vu dans le chapitre 2 qu’une stratégie est dite auto-financée si (0)

(1)

(0)

(1)

Xtδ = δ t Bt + δ t St = δt+1 Bt + δ t+1 St pour t = 1, 2, ... i.e. si la valeur du portefeuille juste avant et juste après un réajustement est exactement la même. • Par conséquent : ⊲ Les gains et les pertes encourues au cours du temps sont réinvestis dans les actifs disponibles ; ⊲ Aucune entrée ou sortie externe d’argent n’est effectuée à partir du portefeuille. • Supposons un intervalle de temps petit mais fini ∆t. Alors, par définition, la valeur d’un portefeuille investi dans les bons du Trésor et dans le titre risqué est (0)

(1)

Xtδ = δ t Bt + δ t St . • On effectue un rebalancement du portefeuille à l’aide d’une stratégie autofinancée. Alors, (0) (1) Xtδ = δ t+∆t Bt + δ t+∆t St . • ∆t périodes plus tard, la valeur du portefeuille est (0)

(1)

δ Xt+∆t = δ t+∆t Bt+∆t + δt+∆t St+∆t .

• Le profit sur la période est donc : (0) (1) (0) (1) δ δ Xt+∆t − Xt = δ t+∆t Bt+∆t + δ t+∆t St+∆t − δ t Bt + δ t St . (0) (1) (0) (1) = δ t+∆t Bt+∆t + δ t+∆t St+∆t − δ t+∆t Bt + δ t+∆t St (0)

(1)

= δ t+∆t (Bt+∆t − Bt ) + δ t+∆t (St+∆t − St ) .

116


• Finalement, lorsque ∆t → 0, alors on a (0)

(1)

dXtδ = δ t dBt + δ t dSt ce qui correspond à la condition d’auto-financement en temps continu. • Même interprétation : la variation de la valeur du portefeuille sur un court intervalle de temps correspond à la somme pondérée des variations de valeur de chacun des actifs ;

7.2.3

Dérivation

• Nous avons donc ce qu’il faut pour trouver le portefeuille de réplication dans le modèle de Black-Scholes ; • Dans un arbre binomial, nous appliquions les deux étapes suivantes à chaque noeud : ⊲ Réplication des paiements dans les deux noeuds ; ⊲ Évaluation du portefeuille en s’assurant que la stratégie était auto-financée ; • À temps continu, ces deux étapes doivent se faire de façon simultanée. • On émet un produit dérivé européen : ⊲ Le paiement à l’échéance T est donné par C (T, ST ) = g (ST ) ; ⊲ Ne dépend en aucun cas de la valeur prise par St pour t < T . ⊲ Au temps t, la valeur est C (t, St ) ; • On remarque que C (t, St ) est une transformation d’un processus d’Ito ; ⊲ Il s’agit de l’équivalent dans l’arbre binomial de répliquer les paiements à la période suivante ; • En utilisant le lemme d’Ito, on trouve dC (t, St ) = µC (t, St ) dt + σ C (t, St ) dWt avec ∂C (t, s) ∂C (t, s) µC (t, St ) = + µSt × ∂t t,St ∂s t,St 1 ∂ 2 C (t, s) + σ 2 St2 × 2 ∂s2 t,St ∂C (t, s) σ C (t, St ) = σSt × . ∂s t,St

• De façon plus claire, notons

∂C ∂t

≡

∂C ≡ ∂St ∂C 2 ≡ ∂St2

∂C (t, s) ∂t t,St ∂C (t, s) ∂s t,St ∂ 2 C (t, s) . ∂s2 t,St

7.2. ÉVALUATION PAR RÉPLICATION • Donc, dC (t, St ) =

117

∂C ∂C 1 2 2 ∂ 2C + µSt + σ St ∂t ∂St 2 ∂St2

dt + σSt

∂C dWt . ∂St

• De plus, il ne suffit pas de répliquer les paiements du produit à chaque instant, la stratégie de réplication doit être auto-financée. • On a, (0)

(1)

dXtδ = δ t dBt + δ t dSt (auto-financée) (0)

(1)

= δ t (rBt dt) + δ t (µSt dt + σSt dWt ) (0) (1) (1) = rδ t Bt + µδ t St dt + σδ t St dWt .

Puisque,

Xtδ (0)

δ t Bt

(0)

(1)

= δ t Bt + δ t St ⇔ (1) = Xtδ − δ t St

alors (0) (1) (1) rδ t Bt + µδ t St dt + σδt St dWt (1) = r Xtδ − δ (1) St + µδ (1) S t dt + σδ t St dWt t (1) (1) = rXtδ + (µ − r) δ t St dt + σδ t St dWt .

dXtδ =

• Pour s’assurer que la réplication soit auto-financée, alors on doit s’assurer que dXtδ = dC (t, St ) pour tout t. ⊲ Équivalent à Xtδ = C (t, St ) pour tout t. • Il faut donc que ⊲ Les coefficients devant dWt soient identiques ; ⊲ Les coefficients devant dt soient identiques ; • On a ∂C (1) σδ t St dWt = σSt dWt ∂St et

∂C ∂C 1 2 2 ∂ 2C (1) δ rXt + (µ − r) δ t St dt = + µSt + σ St dt. ∂t ∂St 2 ∂St2

• En simplifiant, on a

∂C (1) σδ t St dWt = σSt dWt ∂St ⇔ ∂C (1) δt = ∂St

118

CHAPITRE 7. SOLUTIONS AU MODÈLE DE BLACK-SCHOLES et

rXtδ

+ (µ −

(1) r) δ t St

dt =

∂C ∂C 1 ∂ 2C + µSt + σ 2 St2 2 ∂t ∂St 2 ∂St

⇔ ∂C ∂C ∂C ∂C 1 ∂2C rC + µ St − r St = + σ 2 St2 2 + µSt ∂St ∂St ∂t ∂St 2 ∂St ∂C 1 2 2 ∂ 2 C ∂C rC = rSt + . + σ St ∂St ∂t 2 ∂St2

• Puisque

(0)

dt

(1)

Xtδ = δ t Bt + δt St

alors,

(1) Xtδ − δ t St ∂C −rt = =e St . C (t, St ) − Bt ∂St • Le portefeuille de réplication est donné par (0) δt

(1)

δt = (0)

δt

∂ C ∂St

(t, St ) (1) = e−rt C (t, St ) − δ t St

ce qui nous assure que Xtδ = C (t, St ) pour tout t ≤ T. • Nous avons trouvé deux choses : (1) (0) ⊲ Comment répliquer un paiement de C (T, ST ) = g (ST ) à chaque instant (δ t et δ t ) ; ⊲ Une EDP parabolique pour la valeur du produit dérivé à chaque période, i.e. ∂ C ∂t

(t, St ) + rSt ×

∂ C ∂St

(t, St ) + 12 σ 2 St2 ×

∂2 C ∂St2

(t, St ) = r × C (t, St )

avec conditions aux bornes données par C (T, ST ) = g (ST ) . • Cette EDP est appelée équation de Black-Scholes. ⊲ L’EDP peut être résolue à l’aide du théorème de FK. • La forme de l’EDP et des conditions aux bornes déterminent comment résoudre celle-ci. ⊲ Équation de Black-Scholes : si le droit conditionnel est européen tel que C (T, ST ) = g (ST ), alors la solution est donnée par le théorème de Feynman-Kac. Les trois paiements suivants sont valides : ∗ g (ST ) = (ST − K)+ est le payoff d’une option d’achat européenne ; ∗ g (ST ) = (K − ST )+ est le payoff d’une option de vente européenne ; ∗ g (ST ) = I{ST >K} est le payoff d’une option d’achat binaire cash-or-nothing ; ⊲ Équation de Black-Scholes avec droit conditionnel américain : l’EDP reste la même mais la condition aux bornes doit être vérifiée à chaque instant pour vérifier l’optimalité ou non de l’exercice. Par conséquent, la façon de résoudre l’EDP est différente, mais son unique solution existera ; ⊲ Équation de Black-Scholes avec un droit conditionnel quelconque : l’EDP reste la même mais la condition aux bornes sera différente et la façon d’être calculée à chaque instant également.


119

∗ g (S1 , S2 , ..., ST ) = S − K + est le payoff d’une option asiatique avec moyenne arithmétique (ou géométrique) et ne peut être utilisé avec FK. ⊲ Si on change le modèle pour l’actif sous-jacent ? L’EDP sera différente. • Solution de l’équation de Black-Scholes : ⊲ L’application de Feynman-Kac est directe. En effet, la notation est donnée par Yt m (t, Yt ) s (t, Yt ) r (t, Yt ) V (t, Yt )

= = = = =

St rSt σSt r C (t, St ) .

⊲ La solution de l’EDP de Black-Scholes est donc C (t, St ) = E e−r(T −t) g (ST ) St

où {St , t ≥ 0} suit la dynamique

dSt = rSt dt + σSt dWt . • Équivalent à une évaluation dans un monde virtuel où les investisseurs sont neutres au risque : ils ne veulent aucune compensation pour le risque, ce qui implique que µ = r. ⊲ La solution est donc indépendante de µ . • Résumé : ⊲ La valeur d’un produit dérivé sur S est

avec

C (t, St ) = E e−r(T −t) g (ST ) St

1 2 2 ln ST − ln St ∼ N r − σ (T − t) , σ (T − t) 2

(voir chapitre 5). ⊲ En investissant X0δ = C (0, S0 ) et en appliquant la stratégie (1)

δt

δ (0) t

∂ C (t, St ) ∂St (1) −rt = e C (t, St ) − δ t St =

à chaque instant, alors on réplique de façon exacte les paiements du produit dérivé. En d’autres mots, peu importe la valeur de ST , alors XTδ = g (ST ) . • Exemple : réplication d’un contrat à terme. ⊲ Soit g (ST ) = ST − K. Quelle est la valeur de ce droit conditionnel et quelle est la stratégie qui le réplique ?

120

CHAPITRE 7. SOLUTIONS AU MODÈLE DE BLACK-SCHOLES ⊲ La fonction de paiement g (ST ) nous permet d’utiliser le théorème de Feynman-Kac. On obtient C (t, St ) = E e−r(T −t) (ST − K) St = e−r(T −t) E [ST | St ] − Ke−r(T −t) .

On a

et donc,

1 2 2 ln ST − ln St ∼ N r − σ (T − t) , σ (T − t) 2

√ 1 2 E [ST | St ] = St E exp r − σ (T − t) + σ T − t × N (0, 1) 2 1 2 1 2 = St exp r − σ (T − t) exp σ (T − t) 2 2 = St exp (r (T − t)) ce qui implique C (t, St ) = e−r(T −t) E [ST | St ] − Ke−r(T −t) = e−r(T −t) St exp (r (T − t)) − Ke−r(T −t) = St − Ke−r(T −t) . ⊲ Il s’agit de la même valeur que nous avions obtenue au chapitre 0. ⊲ Le portefeuille de réplication est (1)

δt

(0) δt

∂C ∂St = 1 =

−rt

= e

∂C C (t, St ) − St ∂St

= e−rt St − Ke−r(T −t) − St

= −Ke−rt e−r(T −t) = −Ke−rT .

⊲ Pour répliquer la valeur d’un contrat à terme à toute période t, il faut donc acheter une action et emprunter la valeur présente de K à t = 0. ⊲ Les stratégies sont indépendantes de t ce qui indique que le portefeuille n’est jamais rebalancé.

7.3


• Nous avons supposé que si σ = 0, alors µ = r et si σ > 0, alors µ = r. Il s’agit en fait de la condition d’absence d’arbitrage.


121

• Il est important que {Bt , t ≥ 0} et {St , t ≥ 0} ne permettent pas d’arbitrage. ⊲ Dans le cadre de l’arbre binomial, nous avons vu qu’il y avait arbitrage lorsque le titre sans risque rapportait toujours plus ou toujours moins que le titre risqué, pour au moins un noeud dans l’arbre binomial. ⊲ Idée similaire en temps continu : il suffit que Pr St+∆t > St er∆t > 0 et Pr St+∆t < St er∆t > 0, ∀t ≥ 0 • • •

•

afin d’éviter l’arbitrage entre {St , t ≥ 0} et {Bt , t ≥ 0} . Lorsque la volatilité de {St , t ≥ 0} est nulle, l’actif risqué doit rapporter le taux sans risque pour éviter les opportunités d’arbitrage ; De plus, le mouvement brownien étant un cas limite d’un arbre binomial lorsque ∆t → 0, alors on s’attend à ce que le théorème fondamental d’évaluation des actifs financiers s’applique également. Théorème fondamental d’évaluation : ⊲ En absence d’arbitrage, il existe au moins une mesure neutre au risque telle que la condition martingale est respectée, et vice-versa. ⊲ S’applique pour n’importe quel processus à temps discret ainsi que le modèle de Black-Scholes à un ou plusieurs actifs risqués) ; Condition martingale : la condition martingale est telle que St Q ST =E Ft , ∀t < T Bt BT

⊲ On note que Ft correspond à l’information donnée par toutes les trajectoires possibles générées par {Su , u ≤ t} ⊲ En termes de probabilités avancées, Ft est la tribu brownienne ; • La conséquence du théorème fondamental d’évaluation est que le prix d’un produit dérivé est tel que Ct Q CT =E Ft , ∀t < T Bt BT Donc,

Q CT C0 =E BT F0

lorsque B0 = 1. • Par conséquent, tout produit risqué doit rapporter en moyenne le taux sans risque dans la mesure neutre au risque ; • Calcul stochastique : une martingale a une dérive nulle et vice-versa ; ⊲ En effet, une martingale retourne en moyenne à sa dernière valeur connue. ⊲ Si elle avait une tendance à la hausse ou à la baisse, la martingale n’aurait pas tendance à retourner à sa dernière valeur connue. • La dynamique de l’actif risqué dans la mesure de probabilité réelle P est dSt = µSt dt + σSt dWtP . • En temps discret, nous avons trouvé les probabilités alternatives q telles que la condition martingale était respectée.

122

CHAPITRE 7. SOLUTIONS AU MODÈLE DE BLACK-SCHOLES ⊲ En temps continu, nous allons modifier la dérive du MBS afin de respecter la condition St Bt−1 = EQ ST BT−1 Ft .

• Soit λ une constante et On a

WtP ≡ WtQ − λt

dSt = µSt dt + σSt dWtP = µSt dt + σSt d WtQ − λt

= µSt dt + σSt dWtQ − σSt λdt = (µ − λσ) St dt + σSt dWtQ .

• Sous la mesure Q, la valeur présente de l’actif risqué doit être une martingale. Posons St∗ ≡

St = St e−rt . Bt

• Donc, à l’aide du lemme d’Ito, on trouve que

dSt∗ = (µ − r − λσ) St∗ dt + σSt∗ dWtQ .

Pour obtenir une martingale, on doit avoir ou

µ − r − λσ = 0 λ=

µ−r σ

.

⊲ λ est également connu comme étant le prix du risque WtP (market price of risk ) ou le ratio de Sharpe (Sharpe ratio). • Étant donné que λ < ∞, selon le théorème de Girsanov, WtQ , t ≥ 0 est un MBS sous Q. • Exemple : quelles sont les valeurs de EP WtP ,EP WtQ ,EQ WtP et EQ WtQ ? • Solution : on a EP WtP = 0 car WtP , t ≥ 0 est un MBS sous P. De plus, EP WtQ = EP WtP + λt = λt Q car Wt , t ≥ 0 est un MBA sous P. Également, EQ WtP = EQ WtQ − λt = −λt P car Wt , t ≥ 0 est un MBA sous Q. Finalement, EQ WtQ = 0 car selon Girsanov, WtQ, t ≥ 0 est un MBS sous Q.

7.4. FORMULE DE BLACK-SCHOLES

123

• La dynamique de l’actif risqué sous Q est dSt = (µ − λσ) St dt + σSt dWtQ et µ − λσ = µ − • On obtient donc

µ−r σ

σ = r.

dSt = rSt dt + σSt dWtQ

ce qui est un MBG avec dérive r. Par conséquent, sous la mesure neutre au risque, 1 2 2 ln St − ln S0 ∼ N r − σ t, σ t . 2

• L’évaluation sans arbitrage de tout droit conditionnel européen se fera donc en calculant C0 = e−rT EQ [CT | F0 ] en considérant le fait que ln ST − ln S0 ∼ NQ

r − 12 σ 2 T, σ 2 T

sous la mesure de probabilité neutre au risque. ⊲ Ceci est équivalent à la solution trouvée à l’aide du théorème de Feynman-Kac. ⊲ L’évaluation neutre au risque est donc équivalente à l’évaluation par réplication.

7.4

Formule de Black-Scholes

• Résumé : peu importe la façon d’y arriver (réplication ou neutre au risque), nous avons démontré que C0 = e−rT E [g (ST )| F0 ] où

1 2 2 ln ST − ln S0 ∼ N r − σ T, σ T . 2 • Formule de Black-Scholes : il s’agit de l’équation correspondant à C0 dans le cas d’une option d’achat européenne, i.e. g (ST ) = max (ST − K; 0). ⊲ La fonction de paiement n’est rien de plus qu’une prime stop-loss où les pertes sont distribuées selon une loi lognormale. • Quelques réorganisations : C0 = e−rT EQ [max (ST − K; 0)] ST − K 0 −rT Q = S0 e E max ; S0 S0 ST K −rT Q = S0 e E max − ;0 . S0 S0 Il s’agit donc d’une prime stop-loss à

K S0

lorsque S0 = 0.

124


• Résultat (voir le livre Loss Models par exemple pour la preuve) : soit X ∼ LN (m, s) où ln X ∼ N (m, s), alors 1 2 − ln d + m + s2 E [max (X − d; 0)] = exp m + s Φ 2 s − ln d + m −dΦ s où Φ (x) est la fonction de répartition d’une loi normale standard. • On a C0 =

=

= =

ST K S0 e E max − ;0 S0 S0   − ln SK +(r− 12 σ 2 )T +σ 2 T 1 2 1 2 0 √ 2  exp r − 2 σ T + 2 σ T Φ   σ T S0 e−rT  K 1 2   − ln + r− σ T ( ) S0 2 K √ − S0 Φ 2 σ T K 1 2 2 − ln S0 + r − 2 σ T + σ T − ln SK0 + r − 12 σ2 T −rT √ √ S0 Φ − Ke Φ σ2T σ2 T ln SK0 + r − 12 σ2 T ln SK0 + r − 12 σ 2 T σ2 T −rT √ √ S0 Φ + √ − Ke Φ . σ T σ T σ T −rT

Q

• En posant d2 ≡

d1

ln

S0 + K

√ ≡ d2 + σ T d1 =

ln

r− 12 σ 2 )T (√

σ T

S0 + K

r+ 12 σ 2 )T (√

σ T

on a C0 = e−rT E Q [max (ST − K; 0)]

C0 = S0 Φ (d1 ) − Ke−rT Φ (d2 )

ce qui correspond à la formule de Black-Scholes pour une option d’achat européenne. • De façon générale, la valeur d’une option d’achat au temps t, en observant St est Ct = St Φ (d1 ) − Ke−r(T −t) Φ (d2 ) avec d1 d2

ln SKt + r + 12 σ 2 (T − t) √ = σ T −t √ = d1 − σ T − t.

7.5. SIMULATION

125

• Exercice : en utilisant la relation de parité des options d’achat et de vente, prouvez que le prix d’une option de vente européenne sur le sous-jacent St est Pt = Ke−r(T −t) Φ (−d2 ) − St Φ (−d1 ) . • Exemple (13.6 - Hull) : le prix actuel d’une action est de 42$ et deux options sont émises (achat et vente). Ces options expirent dans 6 mois et le prix d’exercice est de 40$. Si le taux d’intérêt sans risque (continu) est de 10% et que la volatilité de l’action est de 20%, trouver le prix des options d’achat et de vente sur ce sous-jacent. • Solution : on a S0 = 42, K = 40, r = 0.1, σ = 0.2 et T = 0.5. On obtient ln SK0 + r + 12 σ 2 T √ d1 = σ 42 T ln 40 + 0.1 + 12 0.22 × 0.5 √ = 0.2 0.5 = 0.76926263 √ d2 = d1 − σ T √ = 0.76926263 − 0.2 0.5 = 0.62784127. Par conséquent, C0 = 42Φ (0.76926263) − 40e−0.05 Φ (0.62784127) = 4.76. De façon similaire, on trouve que P0 = 0.81.

7.5

Simulation

• À l’aide de l’évaluation neutre au risque, nous avons trouvé que C0 = e−rT EQ [CT | F0 ] avec

1 2 2 r − σ T, σ T . ln ST − ln S0 ∼ NQ 2

• La seule restriction sur CT est que celui-ci soit européen. Par conséquent, CT peut être une fonction de toute la trajectoire {St , t ≥ 0} . ⊲ Options exotiques par exemple ; • L’approche neutre au risque suggère donc une approche naturelle d’évaluation des droits conditionnels par simulation. • Préparation : ⊲ On divise l’intervalle de temps [0, T ] en n sous-intervalles de longueur ∆t = T /n. ⊲ t = 0, ∆t, 2∆t, ..., n∆t = T équivaut à k = 0, 1, 2, ..., n; ⊲ Soit N le nombre de trajectoires à simuler ;

126


• Algorithme : ⊲ Pour i = 1, 2, ..., N : ∗ Simuler une trajectoire ω i d’un MBG {St , t ≥ 0} tel que 1 2 2 ln St+∆t (ω i ) ∼ ln St (ω i ) + N r − σ ∆t, σ ∆t ; 2 ∗ Calculer le paiement du droit conditionnel : Gi ≡ g (S∆t (ω i ) , S2∆t (ω i ) , ..., Sn∆t (ω i )) ⊲ Un estimateur (naïf) du prix du produit dérivé est N 1 −rT C0 = e × Gi . N i=1

• Remarques : ⊲ Lorsque le paiement du produit dérivé ne dépend que de ST , alors on peut simuler directement ST plutôt que de simuler la trajectoire complète. ⊲ Comme prévu, lorsque N → ∞, on a 0 → C0 = e−rT E [CT | F0 ] . C

• Exemple : vous voulez évaluer une option d’achat avec prix d’exercice de 105$ qui vient à maturité dans 3 ans. Si le taux sans risque est de 5%, la volatilité du prix de l’action est de 25% et que le prix initial de l’action est de 100$, trouvez le prix de cette option avec la simulation et les 5 nombres normaux suivants : 0.49296768, -1.14290591, 0.35194092, 0.31634084 et 0.0271845. • Solution : ⊲ On trouve S3 avec √ 0.252 S3 ∼ 100 exp 0.05 − × 3 + 0.25 3 × Z (ω i ) . 2 ⊲ On obtient

Z(ω i ) 0.49296768 -1.14290591 0.35194092 0.31634084 0.0271845

S3 (ω i ) 130.958627 64.4911115 123.200742 121.316131 107.038804

C3 (ω i ) 25.9586273 0 18.2007423 16.3161305 2.03880352

⊲ Le prix est donc N 1 −rT C0 = e × Gi N i=1

1 (25.95 + 0 + ... + 2.04) 5 = 10.7613119.

= e−0.05×3 ×

7.6. EXERCICES

7.6

127

Exercices

7.6.1

Examen MFE/3F

• Mai 2007 : 3, 15 ; • Mai 2009 : 9, 18, 20 ; • Q&A (version du 18 août 2010) : 6, 7, 10, 11, 12, 37, 48, 55, 73 ;

7.6.2


Les exercices notés CZ proviennent du livre de Cvitanic et Zapatero (2004). Les exercices notés GG proviennent des notes de cours de Geneviève Gauthier (reproduits avec son autorisation). 1. Dans le modèle de Black-Scholes, on suppose que µ = 0.07, r = 0.04, σ = 0.25, S0 = 100. (a) Quelle est la probabilité que l’action dépasse 120$ après 2 ans ? (b) Quelle est la probabilité neutre au risque que l’action dépasse 120$ après 2 ans ? Quelle est la différence entre cette réponse et celle en a). À quoi servent chacune des probabilités calculées ? (c) Calculer un intervalle de confiance à 95% pour le prix de l’action dans 1 an. (d) Une option d’achat avec prix d’exercice de 110$ et une maturité de 2 ans est émise. Quelle est la probabilité que l’option soit in-the-money à l’échéance ? 2. Dans le modèle de Black-Scholes, on voudrait évaluer et répliquer les droits conditionnels suivants : (1)

CT (ST ) = ST − K; K, ST > K (2) CT (ST ) = 0, ST ≤ K. (3)

CT (ST ) = STn .

Pour chacun des droits conditionnels, répondre aux questions suivantes : (a) Dans ce contexte, quelle est l’EDP appropriée ainsi que la condition aux bornes nécessaire afin d’évaluer le droit conditionnel ? (b) En utilisant le théorème de Feynman-Kac, trouvez la valeur à t = 0 du droit conditionnel. (c) Combien d’unités doit-on détenir dans le titre risqué et sans risque à chaque période de temps ? Interprétez. Pourquoi ? (d) À l’aide de l’approche neutre au risque, évaluez le droit conditionnel en question. Vérifiez que vous obtenez le même résultat qu’en a). (0)

(1)

(e) À l’aide du portefeuille de réplication trouvé en c), assurez-vous que δt Bt +δ t St est équivalent à la solution trouvée en b) et en d).

128


3. (CZ) Dans le modèle de Black-Scholes, on suppose que r = 0.05, σ = 0.2, T = 0.25, S0 = 100. Calculez le juste prix du droit conditionnel suivant :  ST ≥ 125  10, 0, 100 < ST < 125 CT (ST ) =  10, ST ≤ 100.

4. Dans le modèle de Black-Scholes, on voudrait évaluer le droit conditionnel suivant : CT = max (ST1 ; ST2 ) − ST avec 0 < T1 < T2 < T où T est la maturité du droit.

(a) À l’aide de l’approche neutre au risque, évaluez le droit conditionnel à t = 0. (b) Expliquez pourquoi il n’est pas possible d’utiliser le théorème de Feynman-Kac pour évaluer le droit conditionnel. 5. Dans le modèle de Black-Scholes, prouvez que le nombre d’unités qu’il faut détenir à chaque instant dans l’actif risqué pour répliquer une option d’achat européenne est ∂C = Φ (d1 ) ∂S et que dans le cas d’une option de vente, ∂P = Φ (d1 ) − 1. ∂S 6. Dans un marché financier à temps continu, on a que le taux d’intérêt est nul et que St = Wt (MBS) pour tout t. Si δ (1) = 2Wt t (0)

δt

= −t − Wt2 ,

(0) (1) est-ce que la stratégie δ t , δ t est auto-financée ?

7. Dans le marché financier suivant, deux titres risqués sont transigés tels que (1)

= µ1 St dt + σ 1 St dWt

(2)

= µ2 St dt + σ 2 St dWt .

dSt dSt

(1)

(1)

(2)

(2)

De plus, on a que le taux sans risque est de r. On définit le ratio de Sharpe du marché i comme étant µ −r λi ≡ i . σi Montrez qu’il existe des opportunités d’arbitrage lorsque λ1 = λ2 i.e. lorsque le ratio de Sharpe dans chacun des marchés n’est pas identique. Pour y parvenir, vous devez réaliser chacune des étapes suivantes :

7.6. EXERCICES

129 (1)

(a) En sachant que la stratégie à employer est δ t (2)

1, δ t = −

1 (2) St σ 2

=

1 (1) St σ1

unités du titre risqué #

du titre risqué # 2 et le reste dans le titre sans risque, calculez

(0)

(b) (c) (d) (e) (f)

δt . La stratégie précédente est autofinancée. Pourquoi ? Trouvez l’EDS de la valeur du portefeuille de réplication. Trouvez l’EDS de la valeur présente (au taux continu r) du portefeuille de réplication. Trouvez la solution de l’EDS en d). Lorsque l’investissement initial est nul, est-ce que la valeur présente du portefeuille de réplication est nulle également ? Que pouvez-vous conclure sur la présence d’arbitrage dans ce marché lorsque λ1 = λ2 ?

8. Au lieu de trouver un portefeuille qui met en lumière les opportunités d’arbitrage dans le marché financier de la question # 6, nous allons utiliser le théorème fondamental d’évaluation des actifs financiers pour y parvenir. Supposons un marché financier où les 2 actifs risqués transigés sont tels que (1)

= µ1 St dt + σ 1 St dWtP

(2)

= µ2 St dt + σ 2 St dWtP

dSt dSt

(1)

(1)

(2)

(2)

dans la mesure de probabilité réelle P. De plus, on note β t = e−rt , un facteur d’actualisation. (1) (2) (a) À l’aide du lemme d’Ito, prouvez que la dynamique de β t St et β t St est (1) (1) (1) d β t St = (µ1 − r) β t St dt + σ 1 β t St dWtP (2) (2) (2) d β t St = (µ2 − r) β t St dt + σ 2 β t St dWtP . (b) En posant WtP ≡ WtQ − λt, montrez que (1)

dβ t St

(2)

dβ t St

(1)

(1)

(2)

(2)

= (µ1 − r − λσ 1 ) β t St dt + σ 1 β t St dWtQ

= (µ2 − r − λσ 2 ) β t St dt + σ 2 β t St dWtQ .

(c) Montrez qu’il faut que λ=

µ1 − r µ −r = 2 σ1 σ2

(1) (2) afin que β t St et β t St soient des martingales sous la mesure de probabilité neutre au risque. (d) À l’aide du théorème fondamental d’évaluation des actifs financiers, que pouvezvous conclure sur la relation µ1 − r µ −r = 2 σ1 σ2 afin de maintenir l’absence d’arbitrage ?

130


Chapitre 8 Applications du modèle de Black-Scholes 8.1

Options sur autres actifs

• On considère des options sur des actifs qui paient un revenu continu ou son équivalent ; ⊲ Actions privilégiées (dividendes) ; ⊲ Taux de change ; ⊲ Contrats à terme ; • Débutons avec les actifs qui paient un taux de dividende continu ; • Même idée qu’en temps discret ; • Dividendes doivent être considérés sous le point de vue de la compagnie émettrice et de l’investisseur ; ⊲ Du point de vue de la compagnie, les dividendes diminuent l’avoir disponible et réduisent le potentiel d’expansion de l’entreprise. ⊲ Pour l’investisseur, les dividendes augmentent le rendement sur l’action. ∗ Gain en capital (variation du prix de l’action) + Dividendes ; • Soit St la valeur d’une action privilégiée du point de vue de la compagnie (ex-post ou après versement des dividendes) ; ⊲ Taux de rendement de µ − rd ; • Soit St∗ la valeur d’une action privilégiée du point de vue de l’investisseur (gain en capital + dividendes) ; ⊲ Taux de rendement de µ (gain en capital : µ − rd , revenu en dividendes : rd ) ;

8.1.1


• On a Puisque

dSt = (µ − rd ) St dt + σSt dWt . St∗ = erd t St

alors par le lemme d’Ito, on a dSt∗ = µSt∗ dt + σSt∗ dWt . 131

132

CHAPITRE 8. APPLICATIONS DU MODÈLE DE BLACK-SCHOLES

• Une option est émise sur {St , t ≥ 0} (non sur {St∗ , t ≥ 0}). • Pour répliquer les paiements, on utilise le lemme d’Ito et on trouve (voir chapitre 7) : ∂C ∂C ∂C 1 2 2 ∂ 2C + (µ − rd ) St dt + σSt dC (t, St ) = + σ St dWt . 2 ∂t ∂St 2 ∂St ∂St • Du côté de l’investisseur, celui-ci possède l’action privilégiée et son rendement réel inclut les gains en capitaux et les dividendes. De plus, on doit s’assurer que la stratégie est auto-financée, et donc (voir chapitre 7) : (0)

(1)

dXtδ = δ t dBt + δ t dSt∗ (auto-financée) (0)

(1)

= δ t (rBt dt) + δ t (µSt∗ dt + σSt∗ dWt ) (0) (1) (1) = rδ t Bt + µδ t St∗ dt + σδ t St∗ dWt

⊲ La valeur du portefeuille est

(0)

(1)

Xtδ = δ t Bt + δt St∗ et donc

(0)

(0)

(1)

δ t Bt = Xtδ − δ t St∗ .

⊲ En substituant δ t Bt , on obtient (comme au chapitre 7) (1) ∗ (1) δ δ dXt = rXt + (µ − r) δ t St dt + σδ t St∗ dWt .

⊲ On vise dC (t, St ) = dXtδ . Comme au chapitre 7, on doit s’assurer d’avoir égalité devant les termes en dt et en dWt . ⊲ En égalisant les termes en dWt on obtient, (1)

δ t St∗ =

∂C St ∂St

ce qui indique (1)

δ t St et×rd =

∂C St ∂St

et donc (1)

∂C δ t = e−t×rd ∂S . t

⊲ De plus, en égalisant les termes en dt, on obtient ∂C ∂C 1 ∂2C + (µ − rd ) St + σ 2 St2 2 ∂t ∂St 2 ∂St

∂C −t×rd ∗ e St ∂St ∂C = rCt + (µ − r) St ∂St = rCt + (µ − r)

Les termes en µ s’annulent une fois de plus, et on obtient l’EDP de Black-Scholes ∂C ∂C 1 ∂2C + (r − rd ) St + σ 2 St2 2 = rCt . ∂t ∂St 2 ∂St

8.1. OPTIONS SUR AUTRES ACTIFS

133

• En utilisant le théorème de FK, on trouve que la valeur d’un produit dérivé sur S est C (t, St ) = E e−r(T −t) g (ST ) St avec

8.1.2

1 2 2 ln ST − ln St ∼ N r − rd − σ (T − t) , σ (T − t) . 2


• La condition martingale stipule que

∗ St∗ Q ST =E Ft , ∀t < T Bt BT

⊲ Il faut inclure le revenu de dividende dans le rendement total. • Donc, dSt∗ = µSt∗ dt + σSt∗ dWtP . On procède au même changement de mesure et on obtient λ=

µ−r σ

et donc, dSt∗ = rSt∗ dt + σSt∗ dWtQ . • Toutefois, l’option est émise sur St pas sur St∗ . Avec le lemme d’Ito, St = e−t×rd St∗ et donc dSt = (r − rd ) St dt + σSt dWtQ .

• Par conséquent, dans la mesure neutre au risque, on a 1 2 2 ln ST − ln St ∼ NQ r − rd − σ (T − t) , σ (T − t) 2 et donc la valeur d’un produit dérivé est Ct = e−r(T −t) EQ [CT | Ft ] .

8.1.3

Formule de Black-Scholes

• Nous avons démontré qu’en utilisant le portefeuille de réplication ou l’approche neutre au risque, on obtient l’équivalent de Ct = e−r(T −t) E [CT | Ft ] où

1 2 2 ln ST − ln St ∼ N r − rd − σ (T − t) , σ (T − t) . 2

134


• Par conséquent, la formule de Black-Scholes lorsqu’un taux de dividende de rd est payé continument est C (t, St ) = e−r(T −t) EQ (ST − K)+ Ft = St e−rd (T −t) Φ (d1 ) − Ke−r(T −t) Φ (d2 )

avec d1 d2

ln SKt + r − rd + 12 σ 2 (T − t) √ = σ T −t √ = d1 − σ T − t.

• Autres actifs : ⊲ Taux de change : taux de dividende équivaut au taux sans risque dans le pays étranger i.e. rd = rf ; ⊲ Contrat à terme de même échéance que l’option : taux de dividende équivaut au taux sans risque i.e. rd = r; • Exemple 8A (ASM) : pour des options européennes à maturité de 3 mois et un prix d’exercice de 52$, on a ⊲ Le prix actuel de l’action est de 50$ ; ⊲ La volatilité de l’action est de 40% ; ⊲ Le taux continu de dividende est de 4% ; ⊲ Le taux sans risque est de 8% continu ; ⊲ Il faut calculer le prix des options d’achat et de vente. • Solution : On a S0 = 50, σ = 0.4, rd = 0.04, r = 0.08, T = 0.25 et K = 52. Par conséquent, ln SK0 + r − rd − 12 σ 2 (T − t) √ d2 = σ T −t 1 2 ln 50 + 0.08 − 0.04 − 0.4 0.25 52 2 √ = 0.4 0.25 = −0.246103566 √ d1 = d2 + σ T − t √ = −0.246103566 + 0.4 0.25 = −0.046103566. On a donc C0 = 50e−0.04×0.25 Φ (−0.0461) − 52e−0.08×0.25 Φ (−0.2461) = 3.31. Similairement pour l’option de vente P0 = 4.78. • Exemple 8B (ASM) : Une action verse des dividendes trimestriels. Le dernier dividende sur cette action a été versé juste avant l’émission de l’option. De plus : ⊲ Le prix actuel de l’action est de 42$ ;

8.2. OPTIONS EXOTIQUES

135

⊲ Les dividendes trimestriels (certains) sont de 0.75$ ; ⊲ La volatilité de l’action est de 30% ; ⊲ Le taux sans risque est de 4% continu ; ⊲ Calculer le prix d’une option de vente de 6 mois avec prix d’exercice de 40$ • Solution : Il y aura 2 dividendes versés durant la durée de vie de l’option : à t = 0.25 et à t = 0.5. Par conséquent, la valeur présente des dividendes est de D = 0.75 e−0.04×0.25 + e−0.04×0.5 = 1.4776864 S0 − D = 42 − 1.4776864 = 40.522314. On utilise la formule de Black-Scholes, sans dividende continu, pour trouver d1 = 0.2615 d2 = 0.0494. Par conséquent, le prix de l’option de vente est P0 = 40e−0.04×0.5 × 0.4801 − 40.52231 × 0.3974 = 2.72. • Exemple 8D (ASM) : Un contrat à terme sur de l’argent (métaux précieux !) avec livraison dans 1 an se transige présentement à 10$. La volatilité du contrat à terme est de 25% et le taux sans risque est de 4%. Calculez le prix d’une option d’achat sur ce contrat à terme si le prix d’exercice est aussi de 10$. • Solution : on a ln SK0 + r − rd − 12 σ 2 (T − t) √ d2 = σ T −t 0 + − 12 0.252 = = −0.125 0.25 d1 = 0.125 ce qui implique C0 = 10e−0.04 × 0.5517 − 10e−0.04 × 0.4483 = 0.993.

8.2

Options exotiques

• On considère plusieurs types d’options exotiques populaires en finance. ⊲ Binaires (binary) ; ⊲ Asiatiques (sur la moyenne) (Asian) ; ⊲ Barrière (barrier) ; ⊲ Composées (compound) ;

136


⊲ Écart (gap) ; ⊲ Échange (exchange) ; • Avec les outils mathématiques développés jusqu’à maintenant, il peut être difficile d’obtenir des formules fermées pour certaines de ces options. ⊲ Toutefois, ces formules existent et nous référons le lecteur au livre de Hull et McDonald le cas échéant.

8.2.1

Options binaires

• Option d’achat binaire : ce sont des options qui paient un certain montant d’argent seulement si une barrière est atteinte à l’échéance (pas d’ici l’échéance). Le paiement est nul si celle-ci n’est pas atteinte. ⊲ Condition à remplir : ST ≥ K; ⊲ Deux paiements possibles : ∗ Cash-or-nothing : le montant payé à T est K si ST ≥ K; ∗ Asset-or-nothing : le montant payé à T est ST si ST ≥ K ; • Option de vente binaire : options qui paient un certain montant d’argent seulement si une barrière n’est pas atteinte à l’échéance (pas d’ici l’échéance). Le paiement est nul si celle-ci est atteinte. ⊲ Exactement l’inverse de l’option d’achat ; ⊲ Condition à remplir : ST ≤ K; ⊲ Deux paiements également possibles : cash-or-nothing ou asset-or-nothing ; • L’évaluation de ces options est directe. On sait que dans la mesure neutre au risque on a 1 2 2 ln ST − ln St ∼ NQ r − rd − σ (T − t) , σ (T − t) 2 et donc la valeur d’un produit dérivé est

Ct = e−r(T −t) EQ [CT | Ft ] . • Option d’achat binaire cash-or-nothing : Ct = e−r(T −t) EQ [K × IST ≥K | Ft ] = Ke−r(T −t) Pr (ST ≥ K) Q

−r(T −t)

= Ke

Φ (d2 ) .

• Option de vente binaire cash-or-nothing : Ct = e−r(T −t) EQ [K × IST ≤K | Ft ] = Ke−r(T −t) Φ (−d2 ) . • Option d’achat binaire asset-or-nothing : Ct = e−r(T −t) EQ [ST × IST ≥K | Ft ] ∞ −r(T −t) = e sg (s) ds K


137

où g (s) est la fonction de densité de ST sous Q. À l’aide des propriétés de la loi lognormale (espérances limitées), on trouve Ct = St e−rd (T −t) Φ (d1 ) . • Option de vente binaire asset-or-nothing : similairement Pt = St e−rd (T −t) Φ (−d1 ) . • Une option européenne standard est composée d’une option binaire de type cash-ornothing ainsi que d’une option binaire de type asset-or-nothing. ⊲ S’applique aux options d’achat et de vente. • En effet, pour une option d’achat, le paiement à l’échéance s’écrit comme (ST − K)+ = (ST − K) IST ≥K = ST × IST ≥K − K × IST ≥K ce qui correspond à une position longue dans une option d’achat asset-or-nothing et une position courte dans une option d’achat cash-or-nothing.

8.2.2

Options asiatiques

• Options dont le paiement est relié à la valeur moyenne du prix de l’action au cours d’un intervalle de temps. • Différentes saveurs : ⊲ Options d’achat ou de vente ; ⊲ Prix d’exercice fixé ou basé sur la moyenne ; ⊲ Types de moyenne S : arithmétique ou géométrique ; ⊲ Fréquence de calcul de la moyenne ; • Average strike : option asiatique dont le "prix d’exercice" est relié à une certaine moyenne. ⊲ Le paiement de l’option d’achat à l’échéance est ST − S + ; ⊲ Le paiement de l’option de vente à l’échéance est S − ST + ; • Average price : option asiatique dont le prix d’exercice est fixé mais le paiement final est relié à une certaine moyenne. ⊲ Le paiement de l’option d’achat à l’échéance est S − K + ; ⊲ Le paiement de l’option de vente à l’échéance est K − S + ; ⊲ Plus stable qu’une option d’achat ou de vente standard ; • Le type de moyenne (arithmétique ou géométrique) détermine la complexité de la formule d’évaluation. ⊲ Moyenne arithmétique : n1 (x1 + x2 + ... + xn ) 1 ⊲ Moyenne géométrique : (x1 × x2 × ... × xn ) n • Propriété : la moyenne géométrique de plusieurs v.a. lognormales est également lognormale ; ⊲ Vérification avec deux périodes ; ⊲ Preuve plus longue avec plusieurs périodes et un peu plus compliquée ;

138


• Vérification : (St1 St2 )

0.5

1 2 = exp 0.5 µ − σ (t1 + t2 ) + σWt1 + σWt2 2 1 2 t1 + t2 σ µ− σ = S0 exp + (Wt1 + Wt2 ) . 2 2 2

0.5 S02

⊲ Or la loi de Wt1 + Wt2 est N (0, V ar [Wt1 + Wt2 ]) où V ar [Wt1 + Wt2 ] = t1 + t2 + 2Cov [Wt1 , Wt2 ] = t1 + t2 + 2 min (t1 , t2 ) . ⊲ Donc on retrouve aussi une loi lognormale. • Par conséquent, on peut facilement trouver une formule fermée dans les cas suivants : ⊲ Options asiatiques d’achat ou de vente ET ⊲ Paiement de type average price ET ⊲ Fréquence de calcul de la moyenne discrète (finie) ; • En effet, on obtient (lognormale − K)+ ou (K − lognormale)+ ce qu’on reconnait avec Black-Scholes. ⊲ Formule fermée disponible à la page 466 de McDonald. • Autre cas où on a une formule fermée : ⊲ Options asiatiques d’achat ou de vente ET ⊲ Paiement de type average price ET ⊲ Fréquence de calcul de la moyenne continue (infinie) ; ⊲ On peut utiliser la formule de Black-Scholes avec ∗ σ ∗ ≡ √σ3 ; 2 ∗ rd∗ ≡ 12 r + rd + σ6 . • Des options asiatiques de type average strike sont plus complexes car ST et S sont des v.a. dépendantes ; ⊲ Annexes 14.A et 19.A de McDonald discutent de l’évaluation exacte de ces options ; • Finalement, lorsqu’on utilise une moyenne arithmétique, il n’existe plus de formules analytiques. ⊲ Approximations existent ; ⊲ Formules présentées dans le livre de Hull section 24.10 ; • Donc, lorsqu’aucune formule fermée n’existe, on peut utiliser la simulation combinée aux techniques de réduction de variance ;

8.2.3

Options à barrière

• Soit τ la v.a. du moment où l’actif sous-jacent démarrant à S0 croise une barrière H pour la première fois. On a τ = min (t > 0 : St = H) pour S0 ≤ H ou S0 ≥ H.


•

•

•

• •

•

139

⊲ Loi du premier passage d’un MBG à une barrière H; Option à barrière : produit dérivé dont l’existence du paiement dépend du passage du prix du sous-jacent à une barrière d’ici à l’échéance. ⊲ Option d’achat ou de vente détermine le montant du paiement : (ST − K)+ ou (K − ST )+ ; ⊲ Passage du sous-jacent à une barrière H détermine l’existence du paiement : Iτ ≤T ou Iτ ≥T ; Knock-in barrier option : option à barrière qui prend vie lorsque H est atteint avant l’échéance. ⊲ Basé sur Iτ ≤T ; ⊲ Down-and-in (DI) : la barrière H est atteinte par le haut (vers le bas) pour que l’option prenne vie (S0 ≥ H) ⊲ Up-and-in (UI) : la barrière H est atteinte par le bas (vers le haut) pour que l’option prenne vie (S0 ≤ H) Knock-out barrier option : option à barrière qui meurt lorsque H est atteint avant l’échéance. ⊲ Basé sur Iτ ≥T ; ⊲ Down-and-out (DO) : la barrière H est atteinte par le haut (vers le bas) pour que l’option meurt (S0 ≥ H) ⊲ Up-and-out (UO) : la barrière H est atteinte par le bas (vers le haut) pour que l’option meurt (S0 ≤ H) Formules fermées existent (Hull section 24.6 ou McDonald section 22.3) ; Relations importantes : ⊲ Option d’achat (de vente) ordinaire = option d’achat (de vente) DI + option d’achat (de vente) DO ⊲ Option d’achat (de vente) ordinaire = option d’achat (de vente) UI + option d’achat (de vente) UO En effet, (ST − K)+ = (ST − K)+ × Iτ ≤T + (ST − K)+ × Iτ ≥T (K − ST )+ = (K − ST )+ × Iτ ≤T + (K − ST )+ × Iτ ≥T d’où (Knock-in) + (Knock-out) = (Option régulière).

8.2.4

Options composées

• Option composée (compound option) : une option composée donne le droit à son détenteur d’acheter/vendre une option d’achat/vente à un prix déterminé d’avance ; ⊲ Option (d’achat/de vente) sur une option (d’achat/de vente) ; ⊲ 4 possibilités ; • Soient : ⊲ K1 le prix d’exercice de l’option composée ; ⊲ K2 le prix d’exercice de l’option sous-jacente ; ⊲ T1 la maturité de l’option composée ;

140


⊲ T2 la maturité de l’option sous-jacente avec T2 > T1 . ⊲ COCt la valeur au temps t d’une option d’achat sur une option d’achat (call on call) ; • Similairement, COPt , P OCt et P OPt représentent la valeur au temps t d’un call on put, put on call et put on put. • Relations de parité : à t = 0, on a COC0 − P OC0 = C0 − K1 e−rT1 COP0 − P OP0 = P0 − K1 e−rT1 . • Pourquoi ? Regardons la première relation de parité. ⊲ Au temps T1 , COCT1 − P OCT1 = (CT1 − K1 )+ − (K1 − CT1 )+ et donc peu importe ce qui se produira, on aura une position longue dans l’option d’achat sous-jacente et une position courte (emprunt) de K1 . ⊲ Par conséquent, au temps t = 0, COC0 − P OC0 = C0 − K1 e−rT1 . ⊲ Même raisonnement pour une option de vente sous-jacente. • Démonstration et évaluation numérique exacte discutées dans McDonald p.467. • Exemple 14A (ASM) : pour une action ne payant pas de dividende, on a que que la valeur initiale de l’action est de 40$, sa volatilité est 25% et le taux sans risque est 5%. De plus, une option composée avec expiration de 3 mois et prix d’exercice de 3.60$ permet d’acheter une option de vente avec prix d’exercice de 40$ qui expire dans 9 mois. Ce produit coûte 0.5117$. Quel est le prix d’une option de vente sur cette option de vente ? • Solution : on a T1 = 0.25, T2 = 0.75, K1 = 3.60, K2 = 40, r = 0.05, CallOnPut= 0.5117, S0 = 40 et σ = 0.25. ⊲ Donc, ln 40 + (0.05 + 0.5 × 0.252 ) × 0.75 40 √ d1 = 0.25 0.75 = 0.28145826 √ d2 = 0.28145826 − 0.25 0.75 = 0.064951909 et donc P0 = 40e−0.05×0.75 Φ (−0.06) − 40Φ (−0.28) = 2.755. ⊲ En utilisant la relation de parité sur les options composées sur les options de vente, on a COP0 − P OP0 = P0 − K1 e−rT1 0.5117 − P OP0 = 2.755 − 3.6e−0.05×0.25


141

et donc, P OP0 = 0.5117 − 2.755 + 3.6e−0.05×0.25 = 1.3119801. • L’option composée permet également d’évaluer une option d’achat américaine sur une action qui paie un dividende unique. • En effet, supposons que T2 est la maturité de l’option d’achat alors qu’au temps T1 , un dividende unique D est versé. ⊲ Alors, à T1 , le détenteur de l’option d’achat doit décider s’il exerce son option d’achat ou s’il la conserve jusqu’à la fin. ⊲ Soit ST1 la valeur de l’action privilégiée juste après le versement du dividende. (Euro) ⊲ Soit CT1 la valeur à T1 d’une option d’achat européenne avec prix d’exercice de K et maturité T2 . ⊲ Par conséquent, à T1 après le versement du dividende, la valeur de l’option d’achat américaine est (Euro) max CT1 ; ST1 + D − K

⊲ Il faut rappeler que le détenteur d’une option d’achat américaine exercera son droit immédiatement avant le paiement du dividende, d’où un paiement en cas d’exercice de ST1 + D − K. ⊲ La relation de parité sur les options européennes régulières (juste après le versement du dividende) stipule que (Euro)

CT1

(Euro)

= PT1

+ ST1 − Ke−r(T2 −T1 ) .

⊲ Donc, l’option américaine paie (Euro) max CT1 ; ST1 + D − K (Euro) −r(T2 −T1 ) = max PT1 + ST1 − Ke ; ST1 + D − K = ST1 + D − K (Euro) + max PT1 − D + K 1 − e−r(T2 −T1 ) , 0 .

• Par conséquent, à t = 0, l’option américaine vaut donc,

S0 − Ke−rT1 + COP0 où le prix d’exercice du call-on-put est D − K 1 − e−r(T2 −T1 ) . • Exemple 14.2 (McDonald) (corrigé avec l’errata) : une action valant 100$ paiera un dividende de 5$ dans 91 jours (T1 = 91/365). Une option d’achat américaine avec prix d’exercice de 90$ expirera dans 152 jours (T2 = 152/365). Si σ = 0.3 et le taux sans risque est de 8% (continu), quelle est la valeur de l’exercice prématuré ? • Solution : l’option d’achat européenne peut être calculée en utilisant S0 = 100 − 5e−91/365×0.08 = 95.098738 et la formule de Black-Scholes donne (Euro)

C0

= 11.678.

142

CHAPITRE 8. APPLICATIONS DU MODÈLE DE BLACK-SCHOLES ⊲ Pour le call-on-put, on doit calculer le prix d’exercice comme D − K 1 − e−r(T2 −T1 ) = 5 − 90 1 − e−0.08×(152−91)/365 = 3.8047205.

À l’aide de la formule fermée en annexe du chapitre 14 de McDonald, on trouve COP0 = 1.7552. Par conséquent, l’option américaine vaut S0 − Ke−rT1 + COP0 = 100 − 90e−0.08×91/365 + 1.7552 = 13.532485.

⊲ L’exercice prématuré vaut (Amér)

C0

8.2.5

(Euro)

− C0

= 13.532485 − 11.678 = 1.854485

Options à écart

• Option à écart (gap option) : une option à écart permet d’acheter/vendre un actif sous-jacent à un prix K1 , seulement si la valeur du sous-jacent franchit une valeur K2 à l’échéance T . ⊲ Prix d’exercice (strike price) : K1 ; ⊲ Prix de déclenchement (trigger price) : K2 ; • Option d’achat à écart (gap call option) : le paiement à l’échéance est (ST − K1 ) IST ≥K2

où K1 ≤ K2 ou K1 ≥ K2 . • Option de vente à écart (gap put option) : le paiement à l’échéance est (K1 − ST ) IST ≤K2

où K1 ≤ K2 ou K1 ≥ K2 . • Attention : dépendant de la relation entre K1 et K2 , le paiement à l’échéance peut être négatif ! • Une option d’achat ou de vente standard est retrouvée lorsque K1 = K2 . • La formule d’évaluation est simple à retrouver. En effet, pour l’option d’achat à écart, on a

et donc

(ST − K1 ) IST ≥K2 = (ST − K1 + K2 − K2 ) IST ≥K2 = (ST − K2 ) IST ≥K2 + (K2 − K1 ) IST ≥K2 Ct = e−r(T −t) EQ [(ST − K1 ) IST ≥K2 | Ft ] = BS (K2 ) + e−r(T −t) (K2 − K1 ) Pr (ST ≥ K2 ) Q

−rd (T −t)

−r(T −t)

= St e Φ (d1 (K2 )) − K2 e Φ (d2 (K2 )) −r(T −t) +e (K2 − K1 ) Φ (d2 (K2 )) −rd (T −t) = St e Φ (d1 (K2 )) − K1 e−r(T −t) Φ (d2 (K2 ))


143

où ln KSt2 + r − rd + 12 σ 2 (T − t) √ d1 (K2 ) = σ T −t √ d2 (K2 ) = d1 (K2 ) − σ T − t. ⊲ Pour l’option de vente à écart, l’évaluation est similaire car (K1 − ST ) IST ≤K2 = (K1 − K2 + K2 − ST ) IST ≤K2 = (K1 − K2 ) IST ≤K2 + (K2 − ST ) IST ≤K2 et donc, Pt = K1 e−r(T −t) Φ (−d2 (K2 )) − St e−rd (T −t) Φ (−d1 (K2 )) .

• Exemple 14C (ASM) : une option d’achat à écart un an est émise. On vous donne que S0 = 65, rd = 0.02, r = 0.05, σ = 0.1, K1 = 70 et K2 = 60. Quelle est la valeur de cette option ? • Solution : on a + 0.05 − 0.02 + 12 0.12 ln 65 60 d1 (K2 ) = = 1.1504271 0.1 d2 (K2 ) = 1.1504271 − 0.1 = 1.0504271 et la valeur de l’option est C0 = 65e−0.02 Φ (1.15) − 70e−0.02 Φ (1.05) = −1.062.

8.2.6

Options d’échange

• Option d’échange (exchange option) : produit dérivé qui donne le droit d’acheter un actif risqué en échange d’un autre actif risqué ; • Marché financier : ⊲ Bon du Trésor Bt = B0 ert ; ⊲ Actif risqué # 1 {St , t ≥ 0} ; ⊲ Actif risqué # 2 {Kt , t ≥ 0} ; • Dynamique des actifs : dSt = µS St dt + σ S St dWt(S) (K)

dKt = µK Kt dt + σ K Kt dWt (S) (K) où Wt , Wt , t ≥ 0 est un MBS à deux dimensions. De plus, (S) (K) Corr Wt , Wt = ρ.

Par conséquent, les rendements réalisés sur les deux actifs sont corrélés.

144

CHAPITRE 8. APPLICATIONS DU MODÈLE DE BLACK-SCHOLES ⊲ La solution de dSt et dKt est 1 2 (S) (S) µS − σ S (T − t) + σ S WT − Wt ST = St exp 2 1 2 (K) (K) µK − σ K (T − t) + σ K WT − Wt . KT = Kt exp 2

• Paiement à l’échéance :

(ST − KT )+ = ST IST ≥KT − KT IST ≥KT ST = KT −1 . KT +

• La valeur à t de l’option d’échange est −r(T −t)

Ct = e

Q

E

KT

ST −1 KT

Ft . +

Avec les techniques mathématiques développées jusqu’à maintenant, il est difficile de trouver une formule analytique. ⊲ En fait, il faudrait conditionner sur la valeur de KT et donc passer par la loi normale bivariée. Lorsque (ln ST , ln KT ) suit une normale bivariée, alors ln ST | ln KT est également une loi normale. ⊲ La technique du changement de numéraire (change of numeraire) simplifie de beaucoup les calculs. ⊲ Solution de Margrabe (1978) ; • Peu importe la façon d’y arriver, la formule correspondant à Ct est (S)

Ct = St e−rd avec d1 d2 et

(T −t)

(K)

Φ (d1 ) − Kt e−rd

(T −t)

Φ (d2 )

(S) (K) −rd (T −t) −rd (T −t) ln St e − ln Kt e + 12 σ 2 (T − t) √ = σ T −t √ = d1 − σ T − t 1 ST σ ≡ Var ln Ft . T −t KT 2

⊲ On a

 1 2 − t) S (T µS − 2 σ  − µK − 1 σ 2K (T − t)    St  2  ST  (S) (S) exp  ln = ln  +σ W − W    S t KT  Kt  T  (K) (K) −σ K WT − Wt (S) (S) = ln St − ln Kt + ... + σ S WT − Wt (K) (K) −σ K WT − Wt 




145

et la variance est

ST (S) (S) 2 Var ln Ft = σ S Var WT − Wt Ft KT

(K) (K) +σ 2K Var WT − Wt Ft (S) (S) (K) (K) −2Cov WT − Wt , WT − Wt = σ 2S + σ 2K (T − t) − 2ρσ K σ S (T − t) .

⊲ Par conséquent,

σ 2 = σ 2S + σ 2K − 2ρσ K σ S .

• On note qu’on peut retrouver la formule d’évaluation d’une option d’achat ou de vente standard. ⊲ Option d’achat : pour acheter ST , on échange K en bons du Trésor ; ⊲ Option de vente : pour acheter K en bons du Trésor, on échange ST ; • Exemple 14E (ASM) : on émet une option d’échange qui permet de recevoir une action de ABC inc. en échange d’une action de XYZ inc. à la fin de l’année. On vous (S) (K) donne également : S0 = 50, K0 = 55, rd = 0.02, rd = 0.03, σ S = 0.3, σ K = 0.1 et ρ = 0.6. • Solution : on calcule tout d’abord σ 2 i.e. σ 2 = 0.32 + 0.12 − 2 × 0.6 × 0.3 × 0.1 = 0.064 √ σ = 0.064 = 0.25298221. ⊲ On trouve que d1 d2

ln (50e−0.02 ) − ln (55e−0.03 ) + 12 0.064 √ = = −0.21072699 0.064 √ √ = d1 − σ T − t = −0.21072699 − 0.064 = −0.4637092.

⊲ Par conséquent, Ct = 50e−0.02 Φ (−0.21) − 55e−0.03 Φ (−0.46) = 3.198. • On peut généraliser l’option d’échange comme étant la possibilité d’acheter aST en échange de bKT . Dans ce cas, le paiement à l’échéance s’écrit (aST − bKT )+ et on a qu’à multiplier les valeurs initiales des actifs par a et b. De plus, σ 2 reste la même car aST ST Var ln Ft = Var ln Ft . bKT KT

146

8.3 8.3.1



• Mai 2007 : 3, 6, 8, 5, 17, 18 ; • Mai 2009 : 2, 8, 11, 13, 16, 17, 19 ; • Q&A (version du 18 août 2010) : 8, 9, 16, 19, 20, 25, 28, 33, 36, 41, 42, 50, 51, 53, 54, 56, 61, 62, 64, 65, 66, 67, 71, 74 ;

8.3.2


Les exercices notés CZ proviennent du livre de Cvitanic et Zapatero (2004). Les exercices notés GG proviennent des notes de cours de Geneviève Gauthier (reproduits avec son autorisation). 1. (CZ) Dans le modèle de Black-Scholes, on suppose que r = 0.07, σ = 0.3, T = 0.5, S0 = 100. Pour un prix d’exercice de 100$, calculez le prix d’une option d’achat et de vente, toutes deux européennes, lorsque : (a) Le taux instantané de dividende est de 3% ; (b) Un dividende unique de 3$ est payé dans 3 mois ; 2. À l’aide des propriétés de la loi lognormale, montrez que le prix d’une option binaire d’achat ou de vente de type asset-or-nothing est Ct = St e−rd (T −t) Φ (d1 ) Pt = St e−rd (T −t) Φ (−d1 ) . (1)

3. Combien d’unités du titre risqué (δ t ) doit-on détenir à chaque instant pour répliquer les paiements des options suivantes : (a) Option binaire d’achat de type cash-or-nothing ; (b) Option binaire de vente de type asset-or-nothing ; (c) Option d’achat à écart ;

Chapitre 9 Couverture de produits dérivés 9.1

Contexte

• La banque d’investissement ou la compagnie d’assurance qui émet un produit dérivé s’expose donc aux variations aléatoires du marché. • Exemples : ⊲ Une banque d’investissement émet une option d’achat. ⊲ Une compagnie d’assurance émet une assurance-vie avec une garantie sur la valeur de la prestation de décès (GMDB) ; • Idéalement, pour une couverture parfaite, ces institutions essaieraient de trouver l’option équivalente sur les marchés et prendre la position inverse ; ⊲ Ce n’est pas toujours possible ! • Exemples : ⊲ Une banque d’investissement émet une option d’achat de durée 2 ans sur le titre de ABC inc. avec prix d’exercice de 47$. Toutefois sur le marché, il existe seulement des options d’achat de durée 6 mois, 1 an et 3 années, avec des prix d’exercice variant entre 48$ et 52$. ⊲ Pour les compagnies d’assurance, les garanties de placement sont offertes sur un horizon de 5 à 20 ans et des options de vente équivalentes n’existent pas sur le marché. En effet seulement des maturités plus petites sont disponibles. De plus, la compagnie d’assurance offre une protection en cas de décès, ce qui n’est pas transigé sur les marchés financiers. • La solution communue à ces problèmes est de mettre en place un programme de réplication ou de couverture (hedging) ; • Réplication ou couverture (hedging) : ⊲ Procédé par lequel un investisseur tente de répliquer parfaitement les flux financiers d’un produit qu’il a émis ; ⊲ Il s’agit de trouver le portefeuille de réplication ; • Dans le cadre de l’arbre binomial ou du modèle de Black-Scholes, nous avons trouvé le portefeuille qui réplique les paiements de plusieurs produits dérivés. • IMPORTANT : Si les hypothèses du modèle s’avèrent à être observées, le portefeuille de réplication est l’unique façon de se protéger contre toutes les fluctuations de l’actif 147

148

CHAPITRE 9. COUVERTURE DE PRODUITS DÉRIVÉS

sous-jacent. • En pratique, il en est autrement : ⊲ Impossible de transiger de façon continue ; ⊲ Frais de transaction ; ⊲ Taux d’intérêt pour prêter et emprunter est différent ; ⊲ Incertitude quant à l’exactitude du modèle ; ⊲ Incertitude quant aux paramètres du modèle ; • Donc, en pratique, une réplication parfaite en utilisant le portefeuille de réplication (tel que défini aux chapitres précédents) est impossible. • Conséquence : la valeur du portefeuille de réplication à l’échéance de l’option sera différente du paiement du produit i.e. XTδ = C (ST ) . ⊲ Erreur de réplication : différence entre ces deux quantités ; ⊲ Imprévisible : risque à assumer. • Dans ce chapitre, on traite d’abord de l’implémentation d’un programme de réplication dans le cadre du modèle de Black-Scholes. ⊲ On cherchera ensuite à réduire l’erreur de réplication sachant les contraintes pratiques qu’on peut observer.

9.2

Réplication dans le modèle de Black-Scholes

• Nous avons trouvé dans le chapitre 7 que pour répliquer un produit dérivé européen dont le paiement ne dépend que de ST , alors le portefeuille de réplication est tel que (1)

δt

(0)

δt

∂ C (t, St ) ∂St = e−rt C (t, St ) − δ(1) S t t =

lorsque l’actif sous-jacent suit un MBG. • Pour répliquer de façon exacte, le portefeuille doit être mis à jour à chaque instant. • Option d’achat européenne : par conséquent, C (t, St ) = St Φ (d1 ) − Ke−r(T −t) Φ (d2 ) avec d1 d2

ln SKt + r + 12 σ 2 (T − t) √ = σ T −t √ = d1 − σ T − t.

⊲ On peut montrer que (1)

δt =

∂ C ∂St

(t, St ) = Φ (d1 )

9.2. RÉPLICATION DANS LE MODÈLE DE BLACK-SCHOLES

149

ce qui indique (0)

δt

et donc

(1) = e−rt C (t, St ) − δ t St = e−rt St Φ (d1 ) − Ke−r(T −t) Φ (d2 ) − St Φ (d1 ) (0)

δ t = −Ke−rT Φ (d2 )

où il faut rappeler que d2 est également fonction de t. (1) (0) ⊲ Par conséquent, si à chaque instant on détient δ t unités du titre risqué et δ t du titre sans risque, alors le portefeuille Xtδ vaudra exactement C (t, St ) . • En pratique, il est impossible de mettre à jour de façon continue (infinie, à chaque instant) notre portefeuille de réplication. • Exemple # 1 : une compagnie émet une option d’achat de maturité 1 an, avec prix d’exercice de 950$ sur un actif sous-jacent qui vaut 1000$ à t = 0. La volatilité de ce titre est de 20% et le taux sans risque est de 4%. Construisez un programme de réplication qui ne peut être appliqué qu’une fois par mois. De plus, calculez l’erreur de réplication en sachant qu’un mois plus tard, le sous-jacent vaut 975$. • Solution : à t = 0, on peut calculer d1 = 0.556466472 d2 = 0.356466472 et donc, le programme de réplication est (1)

= 0.711053996

(0)

= −583.4794068.

δ0 δ0 avec un coût initial de (0)

(1)

X0δ = δ 0 B0 + δ 0 S0 = −583.4794068 × 1 + 0.711053996 × 1000 = 127.57459 = C (0, S0 ) . ⊲ Un mois après, le portefeuille vaut (0)

(1)

δ X1/12 = δ 0 B1/12 + δ 0 S1/12

= −583.4794068 × e = 107.85006.

0.04 12

+ 0.711053996 × 975

⊲ On rebalance notre portefeuille. Quelle devrait être la nouvelle stratégie à t = 1/12 ? On trouve (1)

δ 1/12 = 0.663808842 (0)

δ 1/12 = −539.8880715.

150

CHAPITRE 9. COUVERTURE DE PRODUITS DÉRIVÉS Le coût de ce portefeuille serait 1 (1) = δ (0) C , S1/12 1/12 B1/12 + δ 1/12 S1/12 12 = −539.8880715 × e = 105.52292.

0.04 12

+ 0.663808842 × 975

⊲ Toutefois, nous avons 107.85$ de côté, il y a donc un profit d’environ 2$. ⊲ Il s’agit d’une erreur de réplication : cette erreur peut mener à un profit ou à une perte. • À chaque période, l’investisseur a le choix : ⊲ Il comble le manque à gagner ou encaisse les profits résultant de l’erreur de discrétisation à chaque période ; ∗ Dans l’exemple précédent, après un mois, le programme de réplication récolte 2$. ⊲ Ajuste seulement le nombre d’actions. Le reste est ajusté automatiquement dans le titre sans risque ; ∗ Stratégie auto-financée. ∗ Dans l’exemple précédent, le montant en actions doit être de 0.663808842 × 975 = 647.21362 ce qui est financé par un emprunt supplémentaire en utilisant le 107.85$ disponible dans le portefeuille, pas le 105.52$. ⊲ Ces deux approches sont similaires : si on accumule les profits et pertes de la première approche, alors ça correspondra à l’erreur de réplication de la seconde. • Exemple # 2 : une option d’achat européenne at-the-money avec maturité de 4 mois est émise sur un actif sous-jacent qui ne paie pas de dividende. ⊲ Vous supposez que le modèle de Black-Scholes est approprié avec les paramètres µ = 0.07, r = 0.04, σ = 0.2. ⊲ Le prix du sous-jacent aujourd’hui est S0 = 25 et le prix de l’option d’achat à l’émission correspond au prix selon le modèle de Black-Scholes avec les paramètres précédents. ⊲ Quel est le profit ou perte de réplication à l’échéance de l’option si la stratégie de réplication doit demeurer auto-financée et que sur la période de 4 mois, vous avez observé que le sous-jacent a varié de la façon suivante : t 0 1 12 2 12

St 25 26 28

t 3 12 4 12

St 27 29

• Solution : on calcule tout d’abord le prix d’émission de l’option d’achat. Avec la 4 formule de Black-Scholes et en utilisant une maturité de T = 12 , on obtient C0 = 1.2635. ⊲ De plus, en calculant le prix d’émission de l’option, on a que d1 = 0.17 (arrondi à 2 décimales pour les tables de loi normale) et donc Φ (d1 ) = 0.5675.

9.2. RÉPLICATION DANS LE MODÈLE DE BLACK-SCHOLES

151

1 ⊲ Par conséquent, sur l’intervalle de temps 0, 12 , il faut détenir 0.5675 action, chacune coûtant 25$, i.e. 25 × 0.5675 = 14.1875. ⊲ On a reçu seulement 1.2635$ pour financer 14.1875$ en actions, alors il faudra emprunter à t = 0 la différence, i.e. 14.1875 − 1.2635= 12.9240. 1 ⊲ Le portefeuille à détenir sur l’intervalle de temps 0, 12 est (0)

(1)

12

12

δ 1 = −12.9240 et δ 1 = 0.5675.

⊲ Après un mois, l’action vaut 26$ et le portefeuille vaut (avant rebalancement) : 1

X δ1− = −12.9240 × e0.04 12 + 0.5675 × 26 = 1.7878. 12

⊲ Selon Black-Scholes, on doit détenir Φ (d1 ) = 0.7054 unité d’actions sur l’intervalle 1 2 3 , (calculé avec S 1 et une maturité de T − t = 12 ). 12 12 12 ⊲ Après rebalancement, le portefeuille doit également valoir 1.7878. On a donc, (0)

1

X δ1+ = 1.7878 = δ 2 e0.04 12 + 0.7054 × 26 12

ce qui donne

12

(1) δ (0) 2 = −16.4975 et δ 2 = 0.7054. 12

12

⊲ Après deux mois, l’action vaut 28$ et le portefeuille vaut (avant rebalancement) : 2

X δ2− = −16.4975 × e0.04 12 + 0.7054 × 28 = 3.1433. 12

⊲ Selon Black-Scholes, on doit détenir Φ (d1 ) = 0.9345 unité d’actions sur l’intervalle 2 3 2 , (calculé avec S 2 et une maturité de T − t = 12 ). 12 12 12 ⊲ Après rebalancement, le portefeuille doit également valoir 3.1433. On a donc, 2

(0)

X δ2+ = 3.1433 = δ 3 × e0.04 12 + 0.9345 × 28 12

ce qui donne

12

(0)

(1)

12

12

δ 3 = −22.8697 et δ 3 = 0.9345.

⊲ On procède ainsi à chaque période et on obtient les résultats du tableau suivant : t 0 0.08333333 0.16666667 0.25 0.33333333

T −t

0.33333333 0.25 0.16666667 0.08333333 0

(1)

(0)

St

Bt

δ t+ 1 = Φ (d1 )

δ t+ 1

Xtδ

25 26 28 27 29

1.0000 1.0033 1.0067 1.0101 1.0134

0.5675 0.7054 0.9345 0.9222 inutile

-12.9240 -16.4975 -22.8697 -22.5409 inutile

1.2635 1.7878 3.1434 2.1320 3.9004

12

12

⊲ Le portefeuille vaut 3.9004$ à la fin alors que le paiement de l’option d’achat est de 29 − 25 = 4, ce qui mène à une perte de réplication de 10 cents. • IMPORTANT : l’erreur de réplication due à la discrétisation est difficile à prévoir. Il s’agit donc d’un risque à assumer. • Deux façons de réduire l’erreur due à la discrétisation : ⊲ Rebalancer plus souvent. En pratique, rebalancer implique des coûts de transaction. ⊲ Modifier la stratégie de réplication. C’est ce qu’on appellera une approche d’immunisation (neutraliser delta, delta et gamma, et autres lettres grecques).

152

9.3


Couverture delta-neutre

• Supposons que la seule variable aléatoire qui affecte le prix d’un produit dérivé est le prix du sous-jacent ; ⊲ C’est effectivement le cas dans le modèle de Black-Scholes : les autres paramètres r, σ, etc. sont constants dans le modèle ; • Soit S∆t la v.a. du prix du sous-jacent dans ∆t unité de temps et S0 la valeur initiale du sous-jacent ⊲ On note par C (S0 ) la valeur initiale du produit dérivé (connu) et C (S∆t ) la valeur du produit dérivé à ∆t. ⊲ C (S∆t ) est une v.a. à t = 0. • L’investisseur détient un portefeuille contenant trois éléments : ⊲ titre sans risque B∆t ; ⊲ actif sous-jacent S∆t ; ⊲ produit dérivé C (S∆t ) ; • Soient xB , xS et xC le nombre d’unités détenues dans ces titres et π (S∆t ) la valeur de ce portefeuille à t = ∆t. On a π (S∆t ) = xB B∆t + xS S∆t + xC C (S∆t ) . • Il y a un seul risque dans ce portefeuille : les variations aléatoires de S∆t . • L’investisseur désire enrayer le risque dans ce portefeuille. • Expansion de Taylor de la fonction f (x) autour de x0 : f (x) = f (x0 ) +

∞

f

(k)

k=1

(x − x0 )k (x0 ) k!

où f (k) (x0 ) est la k-ème dérivée de f évaluée à x0 . • On applique l’expansion de Taylor à π (S∆t ) autour de S0 pour obtenir π (S∆t ) = π (S0 ) +

∞ k=1

π

(k)

(S∆t − S0 )k (S0 ) k!

• Dans cette section, on s’intéresse aux variations de premier ordre, i.e. on ignore les termes supérieurs à k = 1. Par conséquent, on a π (S∆t ) ≈ π (S0 ) + π ′ (S0 ) (S∆t − S0 ) . • Est-il possible d’ajuster son portefeuille de telle sorte que ce dernier soit sans risque (au premier ordre de Taylor) ? ⊲ Oui. Il suffit d’avoir π ′ (S0 ) = 0. ⊲ En effet, dans ce cas π (S) ≈ π (S0 ) et la valeur du portefeuille à t = ∆t n’est plus aléatoire.

9.3. COUVERTURE DELTA-NEUTRE • Or,

153

π ′ (S0 ) = xS + xC C ′ (S0 )

et pour avoir π ′ (S0 ) = 0, alors, le portefeuille doit respecter 0 = xS + xC C ′ (S0 ) xS = −xC × ∆C où ∆C ≡ C ′ (S0 ) . • Couverture delta-neutre (delta-hedging) : la couverture delta-neutre consiste à transiger dans les actifs disponibles afin que π ′ (S0 ) = 0. • Exemple : une banque a émis un produit dérivé quelconque. Combien d’unités de l’actif sous-jacent doit-elle détenir pour delta neutraliser son portefeuille ? • Solution : les positions actuelles de la banque sont xB = xS = 0 et xC = −1. On trouve directement xS = ∆C ce qui est cohérent avec ce que nous avons fait précédemment. • Pour une option d’achat dans le modèle de Black-Scholes, on a ∆C =

∂C = e−rd (T −t) Φ (d1 ) . ∂S

• Attention : la couverture delta-neutre ignore les effets de 2e ordre et plus. ⊲ En effet, ′

π (S∆t ) = π (S0 ) + π (S0 ) (S∆t − S0 ) +

∞

π

(k)

k=2

(S∆t − S0 )k (S0 ) . k!

⊲ Par conséquent, si ∆t n’est pas si petit, alors il se peut que S∆t −S0 soit suffisamment grand, de telle sorte que l’approximation de Taylor de premier ordre ne soit pas assez précise. ⊲ Alors, on ne peut plus considérer que ∞ k=2

π

(k)

(S∆t − S0 )k (S0 ) ≈ 0. k!

• Deux solutions : ⊲ Appliquer la couverture delta-neutre à des intervalles ∆t plus petits, i.e. rebalancer plus souvent. ⊲ Ajouter un second terme dans l’expansion de Taylor : couverture delta-gamma neutre. • La couverture delta-neutre est appliquée dynamiquement i.e. que le portefeuille est rebalancé à chaque période pour s’assurer que la couverture soit delta-neutre à tous les rebalancements.

154


9.4

Couverture delta-gamma neutre

• Pour delta-neutraliser un portefeuille, on doit investir ou emprunter dans le titre sousjacent. • Désormais, pour delta-gamma-neutraliser un portefeuille, on devra investir dans un second produit dérivé. • Par conséquent, on a π (S∆t ) = xB B∆t + xS S∆t + xC1 C1 (S∆t ) + xC2 C2 (S∆t ) . • Dans cette section, on s’intéresse aux variations de premier et deuxième ordres, i.e. on ignore les termes supérieurs à k = 2. Par conséquent, on a (S∆t − S0 )2 . π (S∆t ) ≈ π (S0 ) + π (S0 ) (S∆t − S0 ) + π (S0 ) 2 ′

′′

• Or, π ′ (S0 ) = xS + xC1 ∆C1 + xC2 ∆C2 π ′′ (S0 ) = xC1 ΓC1 + xC2 ΓC2 où ∆Ci = Ci′ (S∆t ) ΓCi = Ci′′ (S∆t ) pour i = 1, 2. • On remarque que lorsque π ′ (S0 ) = π ′′ (S0 ) = 0, alors π (S∆t ) ≈ π (S0 ) et le portefeuille est sans risque (au 1er et 2e ordres de Taylor). • Supposons que l’investisseur possède xC1 unités du produit dérivé # 1. Combien d’unités de l’actif sous-jacent et du produit dérivé # 2 doit-il posséder pour delta-gamma neutraliser on portefeuille ? • On a 0 = xS + xC1 ∆C1 + xC2 ∆C2 0 = xC1 ΓC1 + xC2 ΓC2 avec xC1 connu. On veut résoudre pour xS et xC2 . On trouve xC2 = −xC1

ΓC 1 ΓC 2

et xS = − (xC1 ∆C1 + xC2 ∆C2 ) .

9.4. COUVERTURE DELTA-GAMMA NEUTRE

155

• Exemple (12H de l’ASM) : pour une option d’achat européenne un an, vous avez que S0 = 50, σ = 0.25 et r = 50. Vous avez émis cette option avec un prix d’exercice de 50$ et il existe une option d’achat similaire avec prix d’exercice de 60$. De plus, K C0 ∆ Γ 50 6.17 0.6274 0.1056 60 2.51 0.3430 0.1026 Combien d’unités du titre risqué et de l’option à K = 60 devez-vous acheter/vendre pour delta-gamma neutraliser l’émission de l’option à K = 50 ? • Solution : on a xC1 = −1 et on cherche les quantités xS et xC2 . Le système d’équations est 0 = xS − 1 × 0.6274 + xC2 × 0.3430 0 = −1 × 0.1056 + xC2 × 0.1026 et on obtient 0.1056 = 1.0292398 0.1026 = − (−1 × 0.6274 + 1.0292398 × 0.3430) = 0.27437076.

xC2 = xS

• Pour une option d’achat dans le modèle de Black-Scholes, on a ΓC = e−rd (T −t)

φ (d1 ) √ St σ T − t

où φ est la fonction de densité d’une loi normale centrée et réduite. • Un portefeuille delta-gamma neutre est moins exposé aux variations des prix du sousjacent. Par conséquent, l’erreur de réplication sera réduite. • Exemple # 1 (suite) : supposons qu’une option d’achat at-the-money est également disponible. Comment peut-on améliorer le programme de couverture ? • Solution : on a K C0 ∆ Γ 950 127.574589 0.711053996 0.001708596 1000 99.25053717 0.617911422 0.001906939 ⊲ On delta-gamma neutralise un portefeuille où l’option d’achat avec K = 950 est émise. On trouve ΓC1 ΓC2 0.001708596 = 0.001906939 = 0.89598881

xC2 = −xC1

156

CHAPITRE 9. COUVERTURE DE PRODUITS DÉRIVÉS et xS = − (xC1 ∆C1 + xC2 ∆C2 ) = − (−0.711053996 + 0.89598881 × 0.617911422) = 0.15741228. ⊲ L’émission d’option a rapporté initialement 127.574589$. Le coût des actions est de 157.41$ et le coût de la seconde option est de 99.25053717 × 0.89598881 = 88.927371. ⊲ Le coût total est de 88.927371 + 157.41228 = 246.33965 et on emprunte donc 246.33965 − 127.574589 = 118.76506. ⊲ En résumé, xB = −118.76506 xS = 0.15741228 xC2 = 0.89598881. ⊲ Dans un mois, le prix du sous-jacent est de 975$. Donc, S∆t = 975 C2 (975) = 79.57932706. ⊲ Le portefeuille vaut désormais π (S∆t ) = xB er/12 + 975xS + 79.579xC2 = −118.76506 × e0.04/12 + 975 × 0.15741228 +79.57932706 × 0.89598881 = 105.61756. ⊲ Selon Black-Scholes, C1 (975) = 105.5229203 ce qui correspond à une erreur de réplication de 9 sous (un profit ici de 9 sous). ⊲ Avec une couverture delta-neutre, on avait une erreur d’environ 2$ (un profit également).

9.5

Autres lettres grecques

• Nous avons supposé précédemment que la seule variable (aléatoire) qui affecte le prix d’un produit dérivé est le prix actuel du sous-jacent.

9.5. AUTRES LETTRES GRECQUES

157

⊲ C’est effectivement le cas dans le modèle de Black-Scholes puisqu’il s’agit de la seule et unique source de risque. ⊲ Passage du temps t affecte également le prix d’un droit conditionnel, mais t n’est pas aléatoire. • En pratique, le modèle de Black-Scholes n’est pas approprié. Par conséquent, d’autres risques affectent le prix d’un produit dérivé : ⊲ Volatilité du sous-jacent σ ; ⊲ Taux d’intérêt sans risque r; • En utilisant une expansion de Taylor à plusieurs variables (autour de t0 , S0 , r0 et σ 0 ), on a ∂C ∂C ∂C ∂C C (t, S, r, σ) = C (t0 , S0 , r0 , σ 0 ) + ∆S + ∆r + ∆σ + ∆t ∂S ∂r ∂σ ∂t 2 1 ∂ C ∂2C ∂ 2C 2 2 (∆S) + (∆r) + (∆σ)2 + 2 ∂S 2 ∂r2 ∂σ 2 +... où ∆t = t − t0 , ∆S = S − S0 , ∆r = r − r0 et ∆σ = σ − σ 0 . • Pour améliorer la qualité de la réplication, on peut utiliser une approche similaire à la delta-gamma neutralisation, en ajoutant d’autres variables à neutraliser. • La variation du prix d’un produit dérivé par rapport à l’une de ces variables est notée par une lettre grecque. . • Theta : Θ ≡ ∂C ∂t ⊲ Sensibilité du prix du produit dérivé par rapport au temps ; ⊲ Pour une option d’achat dans le modèle de Black-Scholes, on a St σΦ′ (d1 ) ΘC = −e−rd (T −t) √ − rKe−r(T −t) Φ (d2 ) . 2 T −t . • Vega : ν ≡ ∂C ∂σ ⊲ N’est pas une lettre grecque ! ⊲ Sensibilité du prix du produit dérivé par rapport à la volatilité ; ⊲ Pour une option d’achat dans le modèle de Black-Scholes, on a √ ν C = St e−rd (T −t) φ (d1 ) T − t. • Rho : ρ ≡ ∂C . ∂r ⊲ Sensibilité du prix du produit dérivé par rapport aux variations du taux sans risque ; ⊲ Pour une option d’achat dans le modèle de Black-Scholes, on a ρC = K (T − t) e−r(T −t) Φ (d2 ) . • Dans le modèle le Black-Scholes, r et σ sont constants ; ⊲ En pratique, r et σ varient. ⊲ On peut supposer que sur un court intervalle de temps (une journée par exemple), r et σ sont constants (ou bougent très peu) : ∗ Sur une journée, les hypothèses de Black-Scholes peuvent être réalistes ;

158


⊲ Toutefois, si les rebalancements sont effectués à des intervalles de temps plus longs, les variations observées de r et σ peuvent avoir un impact sur la qualité de la couverture. ∗ En utilisant les réalisations de r et σ à chaque jour dans la couverture dynamique de Black-Scholes, l’erreur de réplication peut être réduite. • Lien avec l’EDP de Black-Scholes : on sait que l’EDP de Black-Scholes est ∂C ∂C 1 ∂ 2C + σ 2 St2 × = rC. + rSt × ∂t ∂St 2 ∂St2 En utilisant les lettres grecques, on obtient 1 Θ + ∆rS + Γσ 2 S 2 = rC. 2

9.6

Résumé

• D’un point de vue théorique, le portefeuille de réplication permet de répliquer de façon parfaite les flux financiers d’un produit dérivé. • En pratique, plusieurs difficultés peuvent survenir ; • Source importante d’erreur de réplication : impossibilité de mettre à jour le portefeuille de façon continue ; • Autres difficultés à ne pas négliger : ⊲ Différences entre la dynamique observée des prix du sous-jacent (volatilité stochastique, taux d’intérêt aléatoire, présence de sauts) et le modèle utilisé pour bâtir le programme de réplication (Black-Scholes par exemple qui ne tient pas compte de ces éléments) ; ∗ Peut également provenir de l’incertitude dans l’estimation des paramètres. ⊲ Différence entre le taux pour prêter et emprunter : les emprunts sont plus dispendieux ; ⊲ Frais de transaction : viennent limiter la fréquence de rebalancements ; ⊲ Risque de liquidité : difficile d’acheter ou vendre dans un moment de crise ; • Solutions : ⊲ Rebalancer le portefeuille de façon plus fréquente ; ⊲ Couvrir gamma et autres lettres grecques ; ⊲ Améliorer la modélisation des prix du marché ; • Malgré ces difficultés, la couverture est une façon très importante de réduire le risque sur l’émission de produits dérivés. Cette approche est en général beaucoup moins risquée que d’assumer soi-même le risque (i.e. approche actuarielle) ;

9.7 9.7.1


• Mai 2007 : 10, 19 ;

9.7. EXERCICES

159

• Mai 2009 : 4 ; • Q&A (version du 18 août 2010) : 18, 31, 45, 47, 69 ;

9.7.2


Les exercices notés CZ proviennent du livre de Cvitanic et Zapatero (2004). Les exercices notés GG proviennent des notes de cours de Geneviève Gauthier (reproduits avec son autorisation). Les exercices notés ASM proviennent du guide d’étude ASM 2007 de l’examen MFE. 1. Dans l’exemple # 2 des notes de cours, on a supposé que la stratégie doit demeurer auto-financée. Calculez l’erreur de réplication à chaque mois, tout en mentionnant le montant d’argent qui doit être retiré ou ajouté à chaque rebalancement pour être en accord avec Black-Scholes. Comparez les erreurs de réplication mensuelles dans cette approche avec l’erreur de réplication calculée dans les notes de cours. 2. À l’aide la relation de parité entre les options d’achat et de vente européennes, calculez les lettres grecques suivantes pour une option de vente européenne : (a) Delta ; (b) Gamma ; (c) Theta ; (d) Vega ; (e) Rho ; 3. (ASM) Pour une option émise sur une action qui ne paie pas de dividende, on vous donne : • Le prix initial de l’action est 47$ ; • La volatilité du rendement du prix de l’action est 20% ; • ∆ = 0.8704; • Γ = 0.0380; • θ = 365 × −0.00842; • Le prix de cette option est de 5.9642$ Quel est le taux sans risque dans ce marché ? 4. (ASM) Pour une option émise sur une action qui ne paie pas de dividende, on vous donne : • Le prix de cette option est de 11.4611$ ; • La volatilité du rendement du prix de l’action est 20% ; • ∆ = 0.8472; • Γ = 0.0180; • θ = 365 × −2.17175; • Le taux sans risque continu est de 5%. Quel est le prix initial de l’action ?

160


5. (ASM) Voici l’information qu’on vous donne pour deux options d’achat européennes : C0 ∆ Γ

K = 45 K = 50 14.9835 10.2270 0.9320 0.9300 0.0030 0.0160

De plus, S0 = 60 et aucun dividende n’est versé. Calculez la quantité d’actions et de l’option d’achat avec K = 50 qui sont nécessaires de détenir afin de delta-gamma neutraliser l’émission d’une option d’achat avec K = 45.

Troisième partie Modèles et techniques avancés

161

Chapitre 10 Techniques de réduction de variance 10.1

Contexte

• Dans le chapitre 7, nous avons présenté une façon de calculer le prix de tout produit dérivé en utilisant la simulation. • Rappel de l’algorithme (voir chapitre 7 également) : ⊲ Pour i = 1, 2, ..., N : ∗ Simuler une trajectoire ω i d’un MBG {St , t ≥ 0} tel que 1 2 2 r − σ ∆t, σ ∆t ; ln St+∆t (ω i ) ∼ ln St (ω i ) + N 2 ∗ Calculer le paiement du droit conditionnel : Gi ≡ g (S∆t (ω i ) , S2∆t (ω i ) , ..., Sn∆t (ω i )) ⊲ Un estimateur (naïf) du prix du produit dérivé est

⊲ Lorsque N → ∞, on a

N 1 −rT C0 = e × Gi . N i=1

0 → C0 = e−rT E [g ({St , 0 ≤ t ≤ T })| F0 ] . C

0 est • De plus, la variance de l’estimateur C

0 = 1 e−2rT VarQ [g ({St , 0 ≤ t ≤ T })] V ar C N

où VarQ [g ({St , t ≥ 0})] peut être calculé à l’aide de l’estimateur empirique de la variance. 0 : • Ce qui détermine la variance de l’estimateur C ⊲ Nombre de simulations (nombre de chemins N ) ; ⊲ Variance de la variable aléatoire (variance du paiement du produit dérivé) (VarQ [g ({St , 0 ≤ t ≤ T }) 163

164

CHAPITRE 10. TECHNIQUES DE RÉDUCTION DE VARIANCE

• Comment peut-on augmenter la précision d’un estimateur Monte Carlo (MC) ? ⊲ Augmenter le nombre de simulations ? ; √ ⊲ La convergence vers la vraie valeur est très lente (proportionnelle à N ) ; • Le but des techniques de réduction de variance est de trouver un estimateur alternatif 0 de C0 ayant une plus petite variance. C ⊲ Se fait en tirant avantage des connaissances du phénomène à simuler ; • Illustration : ⊲ Supposons qu’on désire évaluer une option de vente avec S0 = 100 et K = 30. ⊲ L’option est in-the-money lorsque ST < 30, ce qui pourrait arriver rarement puisque S0 = 100; ⊲ Par conséquent, la très grande majorité des simulations du paiement du droit conditionnel sera de 0. ⊲ Seulement une minorité des chemins généreront un paiement différent de 0 et serviront à calculer le prix du droit. ⊲ Existe-t-il un moyen de simuler plus efficacement des réalisations du paiement de l’option ? ⊲ Oui : techniques de réduction de variance. • Notation : ⊲ Redéfinit la notation afin qu’elle soit plus générale (car ces techniques peuvent également être utilisées dans d’autres domaines comme la statisque et l’actuariat). ⊲ Soient X1 , X2 , ..., XN un ensemble de v.a. i.i.d. et distribuées comme X et soit g (X) une fonction quelconque de X. ⊲ Finalement, θ ≡ E [g (X)] est approximé par

N 1 θ≡ g (Xi ) . N i=1

⊲ Cet estimateur est appelé l’estimateur MC naïf (naive estimator) ⊲ La variance de l’estimateur MC naïf est N

1 Var θ = Var g (Xi ) N i=1 1 Var [g (X)] N 1 2 ξ = N =

où ξ 2 = Var [g (X)]. • Application financière : pour procéder à l’évaluation de produits dérivés, alors g (X) = e−rT × g ({St , 0 ≤ t ≤ T }) et {St , 0 ≤ t ≤ T } est généré sous la mesure neutre au risque. • Actuariat/finance : les techniques de réduction de variance peuvent être utilisées :

10.2. VARIABLE ANTITHÉTIQUE

165

⊲ Réduire le temps de calcul lorsqu’il y a un très grand nombre de contrats à évaluer ; ⊲ Réduire le temps de calcul des stratégies de réplication car elles nécessitent souvent 2 niveaux de simulation (stochastic on stochastic) ; • Excellente référence : livre Monte Carlo Methods in Financial Engineering de Paul Glasserman.

10.2

Variable antithétique

• La technique de la variable antithétique (antithetic variable) consiste à estimer θ à l’aide de X et sa réflexion X ′ . ⊲ Xi et Xi′ sont obtenus en simulant Xi = FX−1 (Ui ) et Xi′ = FX−1 (1 − Ui ) ; ⊲ Par exemple, si Xi implique que l’option est très out-of-the-money, alors Xi′ créera une réalisation très in-the-money, contribuant ainsi au calcul du prix de l’option. • Variable antithétique : on définit un nouvel estimateur de θ comme étant N (anti) 1 g (Xi ) + g (Xi′ ) θ ≡ . N i=1 2

• Les paires (X1 , X1′ ) , ..., (XN , XN′ ) sont i.i.d. Toutefois, Xi et Xi′ sont corrélées négativement. • Il est évident que cet estimateur est sans biais :

N

(anti) ′ g (X ) + g (X ) 1 i i E θ = E = θ. N i=1 2

• Variance de l’estimateur : la variance de cet estimateur est N

(anti) ′ 1 g (X ) + g (X ) i i = Var Var θ N i=1 2

1 g (Xi ) + g (Xi′ ) = NVar N2 2 11 = Var [g (Xi ) + g (Xi′ )] . N4 Or, Var [g (Xi ) + g (Xi′ )] = 2ξ 2 + 2Cov (g (Xi ) , g (Xi′ )) ce qui implique

(anti) Var θ =

1 1 2 ξ + Cov (g (Xi ) , g (Xi′ )) N 2 ≤ Var θ .

• Lorsque la Cov (g (Xi ) , g (Xi′ )) est négative, alors cette approche est plus efficace que de simuler directement 2N réalisations de g (X).

166


• Avantages : ⊲ Très simple d’utilisation ; ⊲ Peut parfois être aussi efficace que des méthodes plus complexes ; • Désavantage : ⊲ Lorsqu’on considère le temps de calcul pour générer 2 fois plus de réalisations, il se peut que le gain d’efficacité soit moins important. • En finance, l’utilisation de la variable antithétique implique la simulation d’un chemin et de sa réflexion exacte. ⊲ En d’autres termes, on procède à la simulation des N chemins de la manière conventionnelle et à partir des N réalisations précédentes, on calcule la trajectoire réfléchie. ⊲ Par la suite, on calcule le paiement de l’option pour chacun des 2N chemins et la moyenne échantillonale correspond à un estimateur du juste prix du produit dérivé. • Exemple : vous voulez évaluer une option de vente avec prix d’exercice de 105$ qui vient à maturité dans 3 ans. Si le taux sans risque est de 5%, la volatilité du prix de l’action est de 25% et que le prix initial de l’action est de 100$, calculez un estimateur du prix de cette option en utilisant une variable antithétique et les 5 nombres normaux suivants : 0.49296768, -1.14290591, 0.35194092, 0.31634084 et 0.0271845. Utilisez un nombre normal par trajectoire et comparez votre résultat avec un estimateur naïf. • Solution : ⊲ Dans le cas de nombres normaux, simuler avec U et 1 − U revient à utiliser Z et −Z. Par conséquent, S3 S3′

√ 0.252 × 3 + 0.25 3 × Z (ω i ) ∼ 100 exp 0.05 − 2 √ 0.252 ∼ 100 exp 0.05 − × 3 − 0.25 3 × Z (ω i ) 2

⊲ On obtient Z (ω i ) 0.49296768 -1.14290591 0.35194092 0.31634084 0.0271845

S3 (ω i ) 130.958628 64.4911116 123.200742 121.316131 107.038804

S3′ (ω i ) C3 (ω i ) C3′ (ω i ) 85.4523507 0 19.5476493 173.523487 40.5088884 0 90.8332399 0 14.1667601 92.2443085 0 12.7556915 104.548278 0 0.45172231

⊲ L’estimateur MC naïf du prix de l’option est N 0(naïf) = e−rT × 1 Gi C N i=1

= e−0.05×3 ×

= 6.9732647.

1 × 40.5088884 5

10.3. VARIABLE DE CONTRÔLE

167

⊲ L’estimateur antithétique du prix de l’option est N

Gi + G′ i (anti) = e−rT × 1 C 0 5 i=1 2

1 × (40.5088 + 19.5476 + ... + 0.4517) 10 = 7.525231084.

= e−0.05×3 ×

10.3

Variable de contrôle

• La variable de contrôle (control variate) est une technique de réduction de variance qui modifie l’estimateur MC naïf : ⊲ (1) en tenant compte du fait que l’on connaisse la forme exacte de E [h (X)] (ou très rapide à calculer) où h est une autre fonction ; ⊲ (2) en considérant un certain lien entre h (X) et g (X) ; • L’idée est d’utiliser la connaissance de la formule exacte de E [h (X)] pour ajuster l’erreur qui pourrait exister entre θ et θ; • Exemple classique : option asiatique avec moyenne arithmétique ⊲ On a une formule analytique pour E [h (X)] où h est la fonction paiement d’une option asiatique avec moyenne géométrique ; ⊲ On ne connait pas la formule pour E [g (X)] où g est la fonction paiement d’une option asiatique avec moyenne arithmétique ; ⊲ g (X) et h (X) sont très fortement dépendants : quand la moyenne géométrique monte (descend), la moyenne arithmétique s’accroît (décroît) également ; ⊲ L’erreur qu’on commettra en simulant h (X) peut être calculée car on connait E [h (X)] . ⊲ Par conséquent, l’erreur observée en simulant g (X) devra être proportionnelle à l’erreur sur h (X) ; • Soient ϕ ≡ E [h (X)] et Ψβ (X) ≡ g (X) + β (h (X) − ϕ) . Alors, et

E [Ψβ (X)] = E [g (X) + β (h (X) − ϕ)] = θ Var [Ψβ (X)] = Var [g (X) + β (h (X) − ϕ)] = ξ 2 + β 2 Var [h (X)] + 2βCov (g (X) , h (X)) .

• On voudrait trouver β de telle sorte que Var [Ψβ (X)] soit minimisée. On trouve que β= minimise la dite variance.

−Cov (g (X) , h (X)) Var [h (X)]

168


• Variable de contrôle : on définit donc un nouvel estimateur MC de θ comme étant

où

N (cont) 1 θ ≡ (g (Xi ) + β (h (Xi ) − ϕ)) N i=1

β=

−Cov (g (X) , h (X)) . Var [h (X)]

• Cet estimateur est sans biais :

(cont) E θ =

N 1 (E [g (Xi )] + β (E [h (Xi )] − ϕ)) N i=1

= θ.

• Variance de l’estimateur : la variance de cet estimateur est

(cont) 1 Var θ Var [g (X)] + β 2 Var [h (X)] + 2βCov (g (X) , h (X)) = N

avec β calculé plus tôt. • En pratique, β est inconnu et on doit également l’estimer. calculé à l’aide des estimateurs échantillonaux de Cov (g (X) , h (X)) ⊲ Une solution est d’utiliser β et Var [h (X)] ; ⊲ L’inconvénient est d’insérer de la dépendance dans les réalisations de g (Xi )+β (h (Xi ) − ϕ) , i = 1, 2, ..., N. (cont) ⊲ Modifie le comportement de l’estimateur θ dans de petits échantillons ; est en quelque sorte la pente de la régression de g (X) sur h (X). • On remarque que β ⊲ Il est donc possible d’utiliser plusieurs variables de contrôle ; ⊲ Attention car chaque variable de contrôle ajoute un temps de calcul considérable également ; • Attention à la notation de l’examen MFE : dans le livre de McDonald, on calcule plutôt N (cont) 1 θ ≡ (g (Xi ) + β (ϕ − h (Xi ))) N i=1 où

β=

Cov (g (X) , h (X)) . Var [h (X)]

⊲ C’est exactement la même chose où ϕ et h (Xi ) sont inversés. La conséquence est que β a un signe négatif en moins et que

(cont) 1 Var θ = Var [g (X)] + β 2 Var [h (X)] − 2βCov (g (X) , h (X)) . N

• Exemple : vous voulez calculer le juste prix d’une option d’achat européenne de maturité 1 an avec prix d’exercice de 50$. Vous utilisez la simulation à l’aide d’une variable de contrôle et des cinq nombres normaux suivants : 0.49296768, -1.14290591, 0.35194092,

10.3. VARIABLE DE CONTRÔLE

169

0.31634084 et 0.0271845. Votre collègue a calculé le prix exact d’une option similaire mais avec un prix d’exercice de 47$ et a obtenu une valeur de 6.85$. Si la valeur initiale de l’action est de 49$, la volatilité est 25% et que le taux sans risque est 4% continu, alors calculez un estimé naïf et un estimé avec la variable de contrôle du prix de l’option. • Solution : on a 0.252 S1 (ω i ) ∼ 49 exp 0.04 − + 0.25 × Z (ω i ) . 2 ⊲ À l’aide des nombres normaux, on simule les cinq valeurs de S1 . Le calcul du paiement de chacune des options est également présenté dans le tableau suivant. Z1 (ω i ) 0.49296768 -1.14290591 0.35194092 0.31634084 0.0271845

S1 (ω i ) 55.9138559 37.1455441 53.976865 53.4986012 49.7677121 Moyenne Variance

(47)

C1 (ω i ) 8.91385586 0 6.97686496 6.49860122 2.76771214 5.03140684 12.8625614

(49)

C1 (ω i ) 6.91385586 0 4.97686496 4.49860122 0.76771214 3.43140684 8.63115454

⊲ La ligne moyenne et variance calcule la moyenne et la variance échantillonale des 5 (47) (49) réalisations de C1 (ω i ) et C1 (ω i ) . ⊲ L’estimateur naïf du prix de l’option avec prix d’exercice de 49$ est 0(49,naïf) = e−0.04 × 3.43140684 C = 3.2968595.

⊲ On doit également calculer la covariance échantillonale entre C1(47) (ω i ) et C1(49) (ω i ). On trouve Cov = 8.27748637. ⊲ Rappel : la covariance échantillonale entre deux v.a. est N N N 1 1 1 * Cov (X, Y ) = xi yi − xi × yi . N i=1 N i=1 N i=1 ⊲ Un estimateur de β est

⊲ Par conséquent,

= 8.27748637 = 0.64353328. β 12.8625614

0(49,cont) = e−0.04 × 3.43140684 + 0.64353328 6.85 − e−0.04 × 5.03140684 C = 4.5941437.

170


• L’exemple précédent est académiquement intéressant pour illustrer les concepts mais en pratique n’est pas très utile. • Exemple classique (suite) : option asiatique avec moyenne arithmétique ⊲ On voudrait trouver le juste prix d’une option asiatique avec moyenne arithmétique (g) mais il n’existe pas de formule analytique. ⊲ Le prix d’une option asiatique avec moyenne géométrique (h) existe avec une formule analytique. ⊲ Il existe un fort lien de dépendance entre les fonctions g (X) et h (X) ; ⊲ On simule N trajectoires du prix du sous-jacent sous la mesure neutre au risque ; ⊲ On calcule la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique sur chacune des trajectoires pour calculer le paiement d’une option asiatique avec moyenne arithmétique et géométrique ; à partir des réalisations des paiements des deux options ; ⊲ On calcule β ⊲ Un estimateur du prix de l’option asiatique avec moyenne arithmétique est donné (cont) par θ . • Avantages : ⊲ Simple d’utilisation ; ⊲ Peut être très efficace, surtout lorsque la variable de contrôle est une bonne approximation du phénomène en question ; • Désavantage : ⊲ Dans certaines situations, il peut être difficile de trouver une bonne variable de contrôle avec une formule analytique.

10.4

Échantillonage stratifié

• L’échantillonnage stratifié (stratified sampling) est une technique de simulation qui consiste à s’assurer que la proportion observée dans un certain intervalle soit exactement égale à la proportion théorique. • Supposons qu’on procède au tirage de 100 réalisations d’une v.a. uniforme ; ⊲ Il est presque qu’il y ait exactement une réalisation dans chacun des k impossible intervalles 100 , k+1 , k = 0, ..., 99; 100 ⊲ En effet, il pourrait y avoir 2 réalisations dans l’intervalle [0.51, 0.52] et 0 réalisation dans [0.1, 0.11] ; k k+1 ⊲ Si on pouvait s’assurer d’avoir une réalisation dans chaque intervalle 100 , 100 , k = 0, ..., 99, les réalisations seraient plus typiques d’une loi uniforme. • Simulation d’une loi uniforme avec N strates : ⊲ Soient {Ui , i = 1, 2, ..., N } des réalisations i.i.d. d’une loi uniforme ; ⊲ On partitionne l’intervalle [0, 1] en N sous-intervalles, appelées strates (stratas) dans ce contexte. ⊲ On a les partitions Ak =

k k+1 , , k = 0, 1, ..., N − 1. N N

10.4. ÉCHANTILLONAGE STRATIFIÉ

171

⊲ Soient Vi ≡ Ui | Ui ∈ Ai , i = 0, 1, ..., N − 1 ⊲ Par conséquent, Vi =

i − 1 Ui + , i = 1, 2, ..., N N N

sont des réalisations de Vi ≡ Ui | Ui ∈ Ai . On peut également dire que les Vi sont distribués uniformément sur Ai . • Exemple : vous avez les réalisations suivantes d’une loi uniforme : 0.22, 0.65, 0.89, 0.12. En utilisant l’échantillonage stratifié basé sur 4 strates, simulez 4 réalisations d’une loi uniforme. ⊲ On voit d’ailleurs qu’il y a 2 réalisations dans le premier quartile (0.12 et 0.22) mais aucune réalisation dans le second quartile. • Solution : on a N = 4 et donc Vi =

i − 1 Ui + 4 4

ce qui donne 0.22 = 0.055 4 0.65 + = 0.4125 4 0.89 + = 0.7225 4 0.12 + = 0.78. 4

V1 = 0 + 1 4 2 = 4 3 = 4

V2 = V3 V4

⊲ On a donc une réalisation dans chacun des quartiles. • Dans l’exemple précédent, il serait possible de simuler 1000 nombres uniformes avec 4 strates. ⊲ En effet, on simule 250 réalisations Vi = Ui | Ui ∈ A1 , 250 simulations de Vi = Ui | Ui ∈ A2 , ... • De plus, à partir des réalisations de V , on peut simuler des réalisations de X qui sont plus représentatives de la loi de X. ⊲ Technique inverse appliquée avec V . • Exemple : à l’aide des 4 nombres uniformes suivants (0.22, 0.65, 0.89, 0.12), on vous demande de calculer le prix d’une option d’achat européenne un an, avec prix d’exercice K = 12, S0 = 10, σ = 0.2 et r = 0.04. Deux méthodes de simulation doivent être utilisées : un estimateur naïf et un échantillonage stratifié avec 2 strates. • Solution : on sait que S1 (ω i ) ∼ 10 exp 0.04 − 0.5 × 0.22 + 0.2Z1 (ω i ) .

⊲ Simulation naïve : on doit d’abord simuler les 4 nombres normaux. À l’aide de la

172

CHAPITRE 10. TECHNIQUES DE RÉDUCTION DE VARIANCE technique inverse, on obtient : U (ω i ) Z1 (ω i ) S1 (ω i ) C1 (ω i ) 0.22 -0.77219321 8.74206516 0 0.65 0.38532047 11.01931 0 0.89 1.22652812 13.038294 1.03829396 0.12 -1.17498679 8.06543571 0 ∗ La valeur du produit dérivé est 0(naïf) = e−0.04 × 1 × 1.03829396 C 4 = 0.24939547. ⊲ Échantillonage stratifié : on simule les v.a. V et ensuite on simule les v.a. normales à partir de V . À l’aide de la technique inverse, on obtient : U (ω i ) V (ω i ) Z1 (ω i ) S1 (ω i ) C1 (ω i ) 0.22 0.11 -1.22652812 7.9827221 0 0.65 0.825 0.93458929 12.2988154 0.29881543 0.89 0.445 -0.13830421 9.92368428 0 0.12 0.56 0.15096922 10.514749 0 ∗ Il faut noter que les 4 réalisations de V proviennent du fait qu’on simule 4 nombres uniformes à l’aide de 2 strates, i.e. 0.22 = 0.11 2 1 0.65 = + = 0.825 2 2 0.89 = 0+ = 0.445 2 1 0.12 = + = 0.56. 2 2

V1 = 0 + V2 V3 V4 ∗ La valeur du produit dérivé est

0(strat) = e−0.04 × 1 × 0.29881543 C 4 = 0.071774677. • Avantages : ⊲ Performe mieux quand le nombre de simulations est petit ; ⊲ Facilite la simulation de valeurs extrêmes ; • Désavantages : ⊲ Difficile de caractériser la distribution de l’estimateur de θ. • Lorsqu’on a plusieurs variables corrélées à simuler, l’extension de l’échantillonage stratifié est appelé Latin hypercube sampling.

10.5. AUTRES TECHNIQUES

10.5

173

Autres techniques

• Échantillonnage stratégique (importance sampling) : ⊲ Technique qui consiste à modifier artificiellement le comportement de X afin de simuler dans des zones plus efficaces. ⊲ Les réalisations sont ensuite ajustées afin de contrôler la modification appliquée au comportement de X. ⊲ Exemple : ∗ Dans le cas d’une option de vente out-of-the-money, l’idée serait de réduire le coefficient de dérive de {St , t ≥ 0} pour obtenir plus de réalisations sous K (au lieu de µ = r, on pourrait avoir µ < r). (IS) ∗ Les réalisations du paiement de l’option sont par la suite ajustées afin que θ soit sans biais ; ⊲ Peut être extrêmement efficace lorsque l’ajustement dans le comportement de X est bien trouvé ; ⊲ Difficile dans la plupart des cas de trouver le bon ajustement à la distribution de X ; ∗ Si on trouve un mauvais ajustement à la distribution de X, alors la réduction de variance peut être très minime, voire négative (augmentation de la variance) ; • Appariement des moments (moment matching) ⊲ Technique qui consiste à ajuster θ afin de tenir compte des déviations entre la moyenne (et/ou la variance) échantillonnale des réalisations de X et la vraie espérance (et/ou variance) théorique. ⊲ L’idée est que lorsque la moyenne et la variance de X sont bien représentées, alors g (X) devrait être mieux représentée également. ⊲ Fonctionne très bien lorsque N est petit mais perd évidemment de son efficacité lorsque N est grand (puisque la moyenne échantillonnale est très près de sa valeur théorique dans ce cas) ; ⊲ Exemple : soient X1 , ..., Xn des réalisations d’une loi normale et on veut calculer θ = E [g (X)]. Alors on peut ajuster θ pour tenir compte de l’écart entre µ = E [X] et X. • Séquences à faible discrépance (low discrepancy sequences) ou quasi-Monte Carlo (QMC) ; ⊲ Idée est de générer des nombres uniformes d’une façon déterministe de telle sorte que l’intervalle [0, 1] soit bien couvert. ⊲ Peut être très efficace à plusieurs dimensions ; ⊲ Peut être combiné avec d’autres techniques de réduction de variance ;

10.6

Exercices

10.6.1

Examen MFE/3F

• Mai 2007 : pas au syllabus ; • Mai 2009 : aucun ; • Q&A (version du 18 août 2010) : 52, 57, 58, 59, 75 ;

174


10.6.2


Pour les questions # 1 et 2, utilisez les 10 nombres uniformes suivants : 0.545153575, 0.31625967, 0.332655671, 0.269598036, 0.191482066, 0.623200663, 0.047453662, 0.44664081, 0.655702288, 0.070742871. Vous pouvez utiliser Excel pour accélérer vos calculs. 1. L’évolution d’une action ordinaire est donnée par un MBG défini par dSt = 0.07St dt + 0.19St dWt avec S0 = 100. Une option de vente européenne de maturité 3 ans et prix d’exercice 92$ est émise. Le taux sans risque, continument composé est de 2%. Pour simuler S3 , utilisez un nombre uniforme par trajectoire ω i . À moins d’avis contraire, calculez les quantités demandées à l’aide de la simulation. (a) (b) (c) (d)

Calculez la probabilité que l’option soit in-the-money à l’échéance ; Calculez le juste prix de l’option avec un estimateur naïf ; Calculez le juste prix de l’option avec la technique antithétique ; En utilisant une option binaire asset-or-nothing comme variable de contrôle, calculez le prix de cette option. (e) En utilisant 2 simulations par strate (5 strates), utilisez l’échantillonage stratégique pour calculer le prix de l’option. Note : utilisez les 2 premiers nombres uniformes pour la première strate, les 2 nombres suivants pour la 2e strate, et ainsi de suite.

2. L’évolution d’une action ordinaire est donnée par un MBG défini par dSt = 0.08St dt + 0.22St dWt avec S0 = 100. Une option d’achat européenne à écart de maturité 1 an est émise. Le prix d’exercice est de 102$ et le prix de déclenchement est de 104$. Le taux sans risque, continument composé est de 3%. Pour simuler S1 , utilisez un nombre uniforme par trajectoire ω i . À moins d’avis contraire, calculez les quantités demandées à l’aide de la simulation. (a) (b) (c) (d)

Calculez la probabilité que le paiement de l’option soit nul à l’échéance ; Calculez le juste prix de l’option avec un estimateur naïf ; Calculez le juste prix de l’option avec la technique antithétique ; En utilisant une option d’achat européenne avec maturité 1 an et prix d’exercice de 103$ comme variable de contrôle, calculez le prix de cette option. (e) En utilisant 5 simulations par strate (2 strates), utilisez l’échantillonage stratégique pour calculer le prix de l’option. Note : utilisez les 5 premiers nombres uniformes pour la première strate et les 5 nombres suivants pour la 2e strate.

3. Pour les variables antithétiques : (a) Montrez que lorsque la fonction g est linéaire (i.e. g (X) = a + bX pour a et b (anti) constants) et X ∼ N (0, 1), alors θ a une variance nulle.

10.6. EXERCICES

175

2 (b) Montrez que

(anti) lorsque

la fonction g est telle que g (X) = bX et X ∼ N (0, 1), alors Var θ = Var θ .

4. Dans le cadre de la variable de contrôle, montrez que lorsque β≡ alors Var [Ψβ (X)] ≤ ξ 2 .

−Cov (g (X) , h (X)) Var [h (X)]

176


Chapitre 11 Introduction aux modèles de taux d’intérêt aléatoire 11.1

Contexte

• Compagnies cherchent constamment du financement pour leurs projets ; • Deux principales façons : ⊲ Émission d’actions (stocks) ; ⊲ Émission d’obligations (corporatives) ((corporate) bonds) ; ∗ Sorte de prêt consenti par les investisseurs à la compagnie ; • Une obligation est un produit financier qui promet le paiement de coupons d’intérêt sur un principal ainsi que le remboursement du capital (principal) à une certaine maturité. • La valeur d’une obligation dépend de deux choses : ⊲ Taux d’intérêt sans risque (bon du Trésor par exemple) ; ⊲ Prime de risque pour la faillite de l’entreprise (risque de crédit) ; • Autres produits financiers dépendent du taux d’intérêt : swaps, caps, floors, etc. ⊲ Les obligations et ces produits forment l’ensemble des titres à revenus fixes. • Titres à revenus fixes (fixed-income) : ensemble de produits financiers, autres que les actions, qui oblige une partie à des paiements périodiques, fixes ou variables. • Produits dérivés sur titres à revenus fixes (fixed income derivatives) : ⊲ Swaps de défaillance (credit default swaps ou CDS), options sur taux d’intérêt, options sur obligations, contrats à terme, etc. • Compagnies d’assurance investissent massivement dans les titres à revenus fixes ; ⊲ En effet, la maturité des passifs des compagnies d’assurance s’apparient raisonnablement bien avec les obligations corporatives ; ⊲ Passifs très long terme : taux d’intérêt a un effet important sur la valeur des flux financiers ; • Dans ce chapitre, on introduit les notions essentielles à la modélisation du taux d’intérêt ; ⊲ Principes généraux et modèle binomial discutés dans ce chapitre ; ⊲ Modèles à temps continu discutés dans le prochain chapitre. • IMPORTANT : on ignore le risque de crédit ; 177

178CHAPITRE 11. INTRODUCTION AUX MODÈLES DE TAUX D’INTÉRÊT ALÉATOIRE ⊲ Par conséquent, on s’intéresse à la modélisation du taux d’intérêt sans risque (gouvernemental) ; • Objectifs : ⊲ Évaluation sans arbitrage de titres à revenus fixes ainsi que de produits dérivés sur titres à revenus fixes basés sur le taux d’intérêt du gouvernement. ⊲ Réserves actuarielles sur des produits d’assurance ;

11.2

Types de taux d’intérêt

• Obligation zéro-coupon (zero-coupon bond) : instrument financier qui promet le paiement de 1$ à une certaine échéance T. • Obligations à coupons (coupon bond) : instrument financier qui paie un coupon d’intérêt périodique ainsi qu’un montant nominal à la maturité de celle-ci. ⊲ Une obligation à coupons est un portefeuille d’obligations zéro-coupons. • Soit Pt (T ) le prix au temps t d’une obligation zéro-coupon avec échéance T : ⊲ Durée restante de cet instrument : T − t; ⊲ On a également PT (T ) = 1 ; • Taux au comptant (spot rate) : taux d’intérêt annualisé en vigueur entre aujourd’hui (t) et une échéance quelconque T. ⊲ Taux d’intérêt (annualisé) exigé pour un prêt de durée T − t entre t et T ; ⊲ Aussi appelé taux zéro (zero rates) ; ⊲ Peut être composé de façon continue ou de façon périodique ; • Soit Rt (T ) le taux au comptant continuellement composé en vigueur entre t et T . ⊲ Relation : On a Pt (T ) exp (Rt (T ) × (T − t)) = 1 ou de façon équivalente t (T ) − lnTP−t = Rt (T ) .

• Exemple # 1 : aujourd’hui t = 0, on observe la structure suivante de prix d’obligations zéro-coupon : P0 (1) = 0.98 P0 (2) = 0.955 P0 (5) = 0.88. Quelle est la structure des taux au comptant ? • Solution : on a ln P0 (1) ln 0.98 =− = 0.0202 1 1 ln P0 (2) ln 0.955 R0 (2) = − =− = 0.02302 2 2 ln P0 (5) ln 0.88 R0 (5) = − =− = 0.02556. 5 5

R0 (1) = −

11.2. TYPES DE TAUX D’INTÉRÊT

179

• Exemple # 2 : aujourd’hui t = 0, on observe la structure suivante de prix d’obligations à coupons (avec valeur nominale de 100$) : Échéance Coupon Prix 0.25 0 97.5 0.5 0 94.9 1 0 90 1.5 8 96 2 12 101.6 Quelle est la structure des taux au comptant ? • Solution : On sait que 0.975 = e−0.25×R0 (0.25) 0.949 = e−0.50×R0 (0.5) 0.900 = e−1.0×R0 (1) ce qui implique R0 (0.25) = 0.10127 R0 (0.5) = 0.10469 R0 (1) = 0.10536. ⊲ Pour l’obligation de 1.5 année, on reçoit un coupon semi-annuel de 4$ aux temps 0.5, 1 et 1.5. Donc, 4e−0.10469×0.5 + 4e−0.10536×1.0 + 104e−R0 (1.5)×1.5 = 96. Par conséquent, on trouve R0 (1.5) = 0.10681. ⊲ Pour l’obligation 2 ans, l’idée est la même : 6e−0.10469×0.5 + 6e−0.10536×1.0 + 6e−0.1068×1.5 + 106e−R0 (2)×2 = 101.6. On obtient, R0 (2) = 0.10808. ⊲ Il est presque impossible en pratique d’observer des obligations à coupons avec de telles maturités : ∗ Des approximations sont utilisées et une des plus populaires est l’approche de Nelson-Siegel. • Taux à terme (forward rate) : taux d’intérêt (continuellement composé) déterminé aujourd’hui (t) valide sur l’intervalle de temps [T1 , T2 ] avec t < T1 < T2 . ⊲ Défini par ft (T1 , T2 ) ; • En transigeant dans les obligations zéro-coupons, on peut répliquer le taux à terme. • Stratégie : ⊲ Vendre à découvert une unité de l’obligation zéro-coupon T1 : montant reçu Pt (T1 ) 1) 1) ⊲ Acheter PPtt (T unités de l’obligation T2 : coût PPtt (T × Pt (T2 ) (T2 ) (T2 ) ⊲ Investissement initial est 0.

180CHAPITRE 11. INTRODUCTION AUX MODÈLES DE TAUX D’INTÉRÊT ALÉATOIRE • On vérifie que la stratégie assure un rendement de ft (T1 , T2 ) sur la période en question. 1) > 1. ⊲ Au temps T1 on paie 1$ et au temps T2 on reçoit PPtt (T (T2 ) ⊲ On vient de trouver une façon de fixer à t un rendement entre T1 et T2 . ⊲ Donc, le rendement est 1 × exp (ft (T1 , T2 ) (T2 − T1 )) =

Pt (T1 ) Pt (T2 )

ou de façon équivalente ft (T1 , T2 ) =

ln Pt (T1 )−ln Pt (T2 ) T2 −T1

.

• Exemple # 1 (suite) : trouver le taux à terme déterminé aujourd’hui sur l’intervalle de temps [2, 5] . • Solution : ln P0 (2) − ln P0 (5) 5−2 ln 0.955 − ln 0.88 = = 0.02726. 3

f0 (2, 5) =

11.3

Structure des taux d’intérêt

• Les exemples précédents illustrent un point très important : le taux d’intérêt dépend de la maturité considérée. • En effet, en pratique, il coûte généralement plus cher pour emprunter sur une durée de 10 ans que sur une durée de 1 an. • Similairement, lorsqu’on investit dans des bons du Trésor ou des certificats de dépôt, le taux de rendement annuel est général plus intéressant pour un certificat de 5 ans que de 1 an. • Structure (ou courbe) des taux au comptant observée à t : relation entre Rt (T ) et T pour ∀T > t; • La structure des taux au comptant (spot rate curve ou zero curve) a trois formes possibles : ⊲ Croissante (increasing) (la plus observée) ; ⊲ Décroissante (decreasing) ; ⊲ Bossue (hump-shaped) ; • IMPORTANT : soit t = 0 correspond à aujourd’hui. Alors, la modélisation du taux d’intérêt doit considérer : ⊲ (1) il y a une relation entre R0 (T ) et T pour ∀T > 0; ∗ Similairement avec f0 (T1 , T2 ) pour ∀T2 > T1 > 0; ⊲ (2) pour un moment futur t, alors toute la courbe Rt (T ) est aléatoire ; ∗ Similairement avec ft (T1 , T2 ) pour ∀T2 > T1 > t; • Qu’est-ce qui détermine la forme de la courbe des taux au comptant ? ⊲ Une théorie généralement acceptée qui fonctionne bien pour expliquer les structures de taux possibles est la théorie de la préférence pour la liquidité.

11.4. ARBRE BINOMIAL POUR LE TAUX D’INTÉRÊT

181

• Théorie de la préférence pour la liquidité (liquidity preference theory) ; ⊲ Prêteurs préfèrent geler leurs investissements sur une courte période de temps ; ⊲ Emprunteurs sont avers au risque et préfèrent fixer le taux sur une longue période de temps ; ⊲ Les institutions augmentent les taux à long terme des dépôts à terme et des prêts : ∗ Incite les épargnants à investir à long terme ; ∗ Incite certains emprunteurs à fixer leur taux à court terme pour bénéficier d’un taux plus bas. ⊲ Diminue les taux à court terme et augmente les taux à long terme ; ⊲ Explique très bien une structure croissante des taux. ∗ La courbe des taux sera décroissante seulement si le marché anticipe une baisse prononcée des taux à court terme.

11.4

Arbre binomial pour le taux d’intérêt

11.4.1

Définitions

• Définition et notation : ⊲ On étudie les taux d’intérêt qui prévaudront sur l’intervalle de temps [0, T ] où t = 0 est aujourd’hui et t = T est la fin de l’horizon de l’étude. ⊲ On fractionne l’intervalle de temps [0, T ] en n sous-intervalles de temps de longueur ∆t = Tn . ⊲ On note rk ≡ Rk∆t ((k + 1) ∆t) , k = 0, 1, ..., n − 1.

⊲ r0 est le taux au comptant valide sur l’intervalle [0, ∆t[ : observé et connu aujourd’hui ; ⊲ rk est le taux au comptant valide sur l’intervalle [k∆t, (k + 1) ∆t[ pour k = 1, 2, ...n− 1 : inconnu aujourd’hui et aléatoire ; ⊲ Taux d’intérêt rk peut être composé périodiquement (1 + rk ) ou continument (erk ) : spécifié dans le problème ; • Arbre binomial : ⊲ On suppose que r1 ∈ r1u , r1d (étant donné F0 ou r0 ) ∗ Avec probabilité p d’observer r1u et (1 − p) d’observer r1d dans la mesure de probabilité réelle ; ∗ Avec probabilité q d’observer r1u et (1 − q) d’observer r1d dans la mesure de probabilité neutre au risque ; ⊲ Similairement au chapitre 1 et 2, r2 ∈ r2uu , r2ud , r2du , r2dd (étant donné F0 ou r0 ). ⊲ Arbre est recombinant si r2ud = r2du . ⊲ Un modèle quelconque définira la transition entre les valeurs possibles de r1u , r1d , r2uu , ... • Modèles existants sont souvent des discrétisations de leur version continue : ⊲ Multiplicatif (MBG ou Rendelman-Bartter) ; ⊲ Black-Derman-Toy (BDT) ; ⊲ Heath-Jarrow-Morton (HJM) en général ; ∗ Vasicek, Ho-Lee, Hull & White, etc. ;

182CHAPITRE 11. INTRODUCTION AUX MODÈLES DE TAUX D’INTÉRÊT ALÉATOIRE • Pour représenter la structure à terme des taux d’intérêt, il n’est pas nécessaire de modéliser simultanément le taux d’intérêt à toutes les maturités. ⊲ La façon dont rk évolue dans le temps permettra de reproduire les trois types de structure à terme. ⊲ Black-Derman-Toy par exemple. • Arbre binomial multiplicatif : tout comme dans la modélisation de l’évolution du prix d’une action on a rk = rk−1 × Uk où U ∈ {u, d} et U1 , U2 , ... sont i.i.d. comme U .

11.4.2

Accumulation et actualisation en intérêt stochastique

• Règle : l’actualisation et l’accumulation des flux financiers se fait trajectoire par trajectoire. ⊲ S’applique dans TOUS les contextes où l’intérêt est aléatoire ; • Exemple : supposons qu’on modélise le taux au comptant de maturité 1 an défini par rk ≡ Rk (k + 1) par un processus stochastique {rk , k = 0, 1, 2, ...}. On sait à t = 0, que r0 = 0.04. Par conséquent, r1 , r2 , ... sont des v.a. aléatoires par rapport à t = 0. On simule deux trajectoires équiprobables du taux au comptant 1 an : ω 1 : r1ω1 = 0.05, r2ω1 = 0.06 ω 2 : r1ω2 = 0.03, r2ω2 = 0.02. Un montant de 1$ est attendu dans 3 ans. Quelle est la valeur aujourd’hui de ce flux financier ? • Solution : on a ω 1 : P0ω1 (3) = exp (−0.04 − 0.05 − 0.06) = exp (−0.15) = 0.86071 ω 2 : P0ω2 (3) = exp (−0.04 − 0.03 − 0.02) = exp (−0.09) = 0.91393. ⊲ Avec probabilité 0.5, la valeur présente de 1$ est 0.8607 et avec probabilité 0.5, cette valeur est 0.9139. Par conséquent, la valeur présente espérée de ce flux financier est 1 1 0.86071 + 0.91393 = 0.88732. 2 2 • Actualisation : supposons qu’un montant F est promis à T . En utilisant la définition rk ≡ Rk (k + 1), la valeur présente espérée (VPE) de F est T −1 VPE (F ) = F × E exp − rk = F×

ω

exp −

k=0 T −1 k=0

rkω

Pr (ω) .


183

• Accumulation : un montant de F est investi aujourd’hui. Quelle est la valeur accumulée espérée (VAE) de F ? On a

VAE (K) = F × E exp = F×

T −1

exp

ω

rk

k=0

T −1

rkω

Pr (ω) .

k=0

• Attention : comme on peut voir, VPE (F ) =

1 VAE (F )

⊲ Pour une trajectoire donnée, le facteur d’actualisation est l’inverse du facteur d’accumulation. ⊲ Par contre, en considérant l’ensemble des trajectoires, la VPE n’est pas l’inverse de la VAE. • Conclusion : que ce soit en temps discret ou en temps continu, l’accumulation et l’actualisation s’appliquent trajectoire par trajectoire. • Exemple : une rente temporaire 4 ans est émise à un individu de 85 ans. Les actuaires ont déterminé que le taux au comptant annuel obéit à un arbre binomial multiplicatif avec r0 = 0.04, u = 1.25 et d = 0.75. Les probabilités de décès sont telles que q85 = 0.1 q86 = 0.12 q87 = 0.15. Quelle est la valeur présente actuarielle (VPA) de ce contrat si la probabilité d’observer une augmentation du taux d’intérêt à chaque période est de 60% ? Considérez que la vie de l’individu et les taux d’intérêt sont indépendants et que la rente est versée en début de période. • Solution : on a besoin du taux d’intérêt sur les périodes [0, 1] , [1, 2] et [2, 3]. Le tableau suivant décrit les possibilités.

ω1 ω2 ω3 ω4

r0 0.04 0.04 0.04 0.04

r1 0.05 0.05 0.03 0.03

r2 0.0625 0.0375 0.0375 0.0225

⊲ Une rente certaine 1 an coûte 1$ (1$ au temps t = 0). ⊲ Une rente certaine 2 ans (1$ aux temps t = 0, 1) coûte 1 + e−0.04 = 1.96078944.

184CHAPITRE 11. INTRODUCTION AUX MODÈLES DE TAUX D’INTÉRÊT ALÉATOIRE ⊲ Une rente certaine 3 ans (1$ aux temps t = 0, 1, 2) coûte 1 + e−0.04 + 0.6 e−0.04−0.05 + 0.4 e−0.04−0.03 = 2.8821057.

⊲ Une rente certaine 4 ans (1$ aux temps t = 0, 1, 2, 3) coûte

1 + e−0.04 +0.62 e−0.04−0.05 + e−0.04−0.05−0.0625 +0.6 × 0.4 × e−0.04−0.05 + e−0.04−0.05−0.0375 +0.4 × 0.6 × e−0.04−0.03 + e−0.04−0.03−0.0375 +0.42 × e−0.04−0.03 + e−0.04−0.03−0.0225 = 3.7638595 ⊲ On pourrait également utiliser un arbre pour évaluer cette rente, comme on le ferait avec une obligation à coupons (voir plus loin). ⊲ Par conséquent, la VPA de ce contrat est VPA = 1 × 0| q85 + 1.96078944 × 1| q85 +2.8821057 × 2| q85 + 3.7638595 3 p85 = 1 × 0.1 +1.96078944 × 0.9 × 0.12 +2.8821057 × 0.9 × 0.88 × 0.15 +3.7638595 × 0.9 × 0.88 × 0.85 = 3.1879896. ⊲ De plus, on a également que 3

k−1 VPA = E e− i=0 ri k px k=0

lorsque le taux d’intérêt est aléatoire.

11.4.3

Évaluation de titres à revenus fixes et ses dérivés

• On s’intéresse à l’évaluation sans arbitrage d’un produit financier émis sur le taux d’intérêt ; ⊲ Obligation (à coupons ou non), produit dérivé, etc. • Obligation zéro-coupon : ⊲ On sait que Pt (T ) est le prix à t d’une obligation zéro-coupon venant à échéance à T. ⊲ Similairement, on note Pk (n) le prix à t = k∆t d’une obligation venant à échéance à t = n∆t. ∗ Une réalisation de cette variable aléatoire serait par exemple Pkud (n) ; • Produit dérivé sur titre à revenus fixes :


185

⊲ Soit Ck le prix à t = k∆t d’un tel produit dérivé émis sur le taux d’intérêt. ⊲ Une réalisation de cette variable aléatoire serait par exemple Ckud ; • Dans un arbre binomial, on a toujours besoin de deux actifs de base qui sont transigés pour répliquer tous les produits dérivés ; ⊲ Deux états de la nature possibles : deux équations et deux inconnues ; • Premier actif de base : compte bancaire (ou numéraire de base) ⊲ Valeur accumulée de B0 au temps t i.e. t−1 rk Bt = B0 × exp k=0

•

• • • •

•

où t est un nombre entier positif. ⊲ Montant initial est connu B0 mais le solde final est inconnu car le taux d’intérêt est aléatoire. Que devrait être le second actif de base ? ⊲ Dans les chapitres précédents, le second actif de base était l’actif sous-jacent. ⊲ Ce dernier était transigé et la valeur était représentée par un arbre binomial. ⊲ Toutefois, le taux au comptant 1 période est aléatoire mais n’est PAS transigé. Conséquence : on doit introduire un second actif de base, dont sa valeur dépendra du taux d’intérêt. ⊲ Obligation zéro-coupon T1 années ; Second actif de base : obligation zéro-coupon T1 année dont la valeur est donnée par Pt . ⊲ Les autres produits dérivés seront évalués en transigeant dans Bt et Pt . Pourquoi ne pas modéliser Pt directement plutôt que modéliser le taux d’intérêt ? ⊲ Car Bt et Pt dépendent tous les deux de l’évolution du taux d’intérêt. ⊲ Il est donc logique de modéliser rt et par la suite représenter le prix de Bt et Pt . Résumé : ⊲ Dans un marché à taux d’intérêt constant (comme on a vu précédemment aux chapitres 1 à 8) : ∗ Unique source de risque : dynamique de l’actif risqué {St , t ≥ 0} ; ∗ Les actifs transigés sont B et S. ⊲ Dans un marché financier à taux d’intérêt aléatoire (tel que nous l’avons défini) : ∗ Unique source de risque : dynamique du taux d’intérêt {rt , t = 0, 1, 2, ..} ; ∗ Les actifs transigés sont B et P. ∗ P dérive sa valeur à partir de {rt , t = 0, 1, 2, ..} et le taux d’intérêt n’est pas transigé. Conséquences : ⊲ Réserves et évaluation actuarielle (où l’absence d’arbitrage n’est pas essentiel) : ∗ Rien ne change, i.e. comme à l’habitude, on utilise les meilleures hypothèses de l’analyste. ∗ Par conséquent, des séries temporelles sur l’évolution du taux d’intérêt peuvent être utilisées pour déterminer l’évolution de l’arbre. ⊲ Évaluation sans arbitrage (par réplication) : ∗ Impossible d’éliminer la prime de risque (comme µ dans le chapitre 7) dans le

186CHAPITRE 11. INTRODUCTION AUX MODÈLES DE TAUX D’INTÉRÊT ALÉATOIRE passage de P vers Q ; ∗ Solution : pour évaluer un produit dérivé, les analystes utilisent les prix de produits dérivés pour déduire la mesure neutre au risque appropriée. ∗ Les modèles de taux d’intérêt aléatoire à temps discret sont souvent définis directement sous la mesure neutre au risque ; • Dans ce chapitre, les probabilités réelles et les probabilités neutres au risque seront directement données/modélisées. Le contexte d’utilisation de chacune des probabilités est clair : ⊲ Q pour l’évaluation sans arbitrage de produits financiers ; ⊲ P pour tout le reste.

11.4.4

Exemples d’évaluation

• Principe : le prix Ck à t = k∆t d’un produit dérivé sur le taux d’intérêt est la VPE des flux financiers futurs en escomptant au taux sans risque, dans une mesure de probabilité neutre au risque i.e. Ck Bk = EQ [Bk+1 Ck+1 | Fk ] ou, de manière équivalente, Ck = e−rk EQ [Ck+1 | Fk ] car rk est valide sur [k∆t, (k + 1) ∆t[ est est connu sachant Fk . • Exemple # 1 : On considère un arbre binomial à 2 périodes avec r0 = 0.03. On a que r1 = r0 × U où U = {u, d} avec u = 1.2 et d = 0.8. Quel est le prix d’une obligation zéro-coupon de deux ans si ∆t = 1 ? Les taux sont composés annuellement et q = 0.5. • Solution : On a r0 = 0.03 et r1 ∈ {0.03 × 1.2, 0.03 × 0.8} = {0.036, 0.024}. On cherche P0 (2) . Par conséquent, P2ω (2) = 1 pour ω ∈ {uu, ud, du, dd} 1 P1u (2) = × (0.5 × 1 + 0.5 × 1) = 0.96525 1.036 1 P1u (2) = × (0.5 × 1 + 0.5 × 1) = 0.97656 1.024 1 P0 (2) = × (0.5 × 0.96525 + 0.5 × 0.97656) 1.03 = 0.94263. • Exemple # 1 (suite) : dans l’exemple précédent, quel est le taux au comptant continu qui prévaut sur [0, 2[ ? Quel est le taux à terme continu déterminé à t = 0 valide sur l’intervalle [1, 2[ ? • Solution : le taux au comptant est ln P0 (2) ln 0.94263 =− 2 2 = 0.02954.

R0 (2) = −


187

On cherche également f0 (1, 2). On a, par définition, ln P0 (1) − ln P0 (2) −1 2 1 − ln 0.94263 = ln 1.03 = 0.02952.

f0 (1, 2) =

• Exemple # 1 (suite) : dans le contexte de l’arbre binomial précédent, on veut évaluer un droit conditionnel payant C2 = 1000 (r2 − 0.03)+ à t = 2. • Solution : On a que r0 = 0.03 est valide sur [0, 1[, r1 est révélé à t = 1 et valide sur [1, 2[ et finalement, r2 est révélé à t = 2 et est valide sur [2, 3[. ⊲ r1 ∈ {0.024, 0.036} et r2 ∈ {0.0192, 0.0288, 0.0432} ⊲ Les paiements sont à t = 2 sont 0, 0 et (0.0432 − 0.03) × 1000 = 13.2. ⊲ La valeur de ce droit conditionnel est 13.2 × 0.52 = 3.0926. 1.03 × 1.036 ⊲ Le seul paiement positif est lorsqu’on observe u × u. La probabilité neutre au risque de deux u consécutifs est 0.52 et les taux d’intérêt pour actualiser sur ce chemin sont 3% et 3.6%. • Exemple # 2 : ⊲ On considère un arbre binomial à 2 périodes où r0 = 0.05. ⊲ Les taux au comptant varient avec un facteur u = 1.1 et d = 0.9 de telle sorte que r1 = r0 × U où U = {u, d}. ⊲ On veut évaluer une option d’achat européenne de maturité 1 an sur une obligation zéro-coupon venant à échéance au temps 2 (qui verse 100$ à t = 2). Le prix d’exercice de l’option est de 95$. ⊲ La probabilité neutre au risque d’une augmentation est q = 0.5. ⊲ Le taux court est composé annuellement (∆t = 1). • Solution : ⊲ r1 ∈ {0.05 × 1.1, 0.05 × 0.9} = {0.055, 0.045} ⊲ Le paiement de l’option est (100P1 (2) − 95)+ . ⊲ L’échéance de l’option est d’un an mais il faut modéliser le taux au comptant sur 2 ans. ⊲ On a que P1u (2) = 1.055−1 = 0.94787 P1d (2) = 1.045−1 = 0.95694

188CHAPITRE 11. INTRODUCTION AUX MODÈLES DE TAUX D’INTÉRÊT ALÉATOIRE par conséquent, C1u = (100P1u (2) − 95)+ = 0 C1d = 100P1d (2) − 95 + = 0.694.

⊲ Le prix de l’option est donc de

1 u 1 qC1 + (1 − q) C1d = × 0.5 × 0.694 1 + r0 1.05 = 0.33048. • Exemple (Cvitanic & Zapatero (2004) exemple 8.2) : Le taux au comptant 1 an observé aujourd’hui est de 4%. Dans un an, le taux au comptant 1 an sera soit de 5% ou 3%. De plus, on observe aujourd’hui qu’une obligation zéro-coupon 2 ans vaut 92.278$ (base de 100$). Quel est le prix d’une option d’achat européenne de maturité 1 an sur cette obligation et prix d’exercice de 96$. Les taux sont composés annuellement. • Solution : on observe donc r0 = 0.04 ce qui implique P0 (1) = ⊲ De plus, P0 (2) = 0.92278 = avec

1 = 0.96154. 1.04

1 q × P1u (2) + (1 − q) × P1d (2) 1 + r0

1 = 0.95238 1.05 1 P1d (2) = = 0.97087. 1.03

P1u (2) =

⊲ On trouve donc 0.92278 =

1 (q × 0.95238 + (1 − q) × 0.97087) 1.04

ce qui implique q = 0.60459. ⊲ La valeur de l’option est donc 1 C0 = q × (100P1u (2) − 96)+ + (1 − q) × 100P1d (2) − 96 + 1.04 1 = (1 − 0.60459) × (100 × 0.97087 − 96) 1.04 = 0.41328. • Exemple # 3 : on étudie un swap de maturité 3 ans sur le taux LIBOR. On modélise le taux LIBOR par un arbre binomial où r0 = 0.05 et rk = rk−1 × Uk avec u = 1.1, d = 0.9 et q = 0.5. Le swap échange fixe pour variable, où le taux fixe est de 5.1%. Le taux variable utilisé dans le calcul des paiements au moment k est le taux rk valide sur l’intervalle [k, k + 1[ . Il n’y a pas d’échange à t = 0. Le notionnel est 100$.


189

• Swap : produit financier qui lie deux parties dans l’échange de flux financiers. ⊲ Comprend généralement une partie qui paie (reçoit) un montant fixe (variable) et reçoit (paie) un montant variable (fixe) en échange. ⊲ Plusieurs saveurs de swaps : swap de taux classique, croissant, décroissant, progressif, swap de devises, etc. • Swap de taux classique : le swap est défini tel que l’intérêt fixe sur le notionnel est échangé contre l’intérêt variable sur celui-ci. Comment l’intérêt variable est calculé est spécifié dans les termes du contrat ; ⊲ L’évaluation est simple : il s’agit de la différence entre une obligation à taux fixe et une obligation à taux variable sur le notionnel. • Swap de devise : les flux financiers (fixes ou variables) dans une devise sont échangés contre des flux financiers (fixes ou variables) dans une autre devise. • Les swaps permettent de transformer des actifs/passifs qui paient fixe ou variable en actifs/passifs qui paient variable ou fixe. • Solution de l’exemple # 3 : la valeur d’un swap de taux classique à l’émission, où à n’importe quelle période est la différence entre une obligation à coupons variables et une obligation à coupons fixes. ⊲ Les paiements surviennent à t = 1, 2, 3 et les taux requis sont r1 , r2 et r3 . ⊲ À l’aide de l’arbre binomial, on trouve

r1 ∈ {0.055, 0.045} r2 ∈ {0.0605, 0.0495, 0.0405} r3 ∈ {0.06655, 0.05445, 0.04455, 0.03645} .

⊲ Obligation à coupons variables : les paiements de coupons et de principal à t = 3 sont 106.655, 105.445, 104.455, 103.645. ∗ Les paiements de coupons à t = 2 sont 6.05, 4.95 et 4.05 et finalement les coupons à t = 1 sont 5.5 et 4.5. Les paiements sont présentés dans le tableau suivant.

5.5 6.05 106.655 4.5 4.95 105.445 4.05 104.455 103.645

∗ Le calcul de la valeur de l’obligation se fait récursivement, en prenant soin de toujours ajouter les flux financiers au bon moment.

190CHAPITRE 11. INTRODUCTION AUX MODÈLES DE TAUX D’INTÉRÊT ALÉATOIRE ∗ La valeur de l’obligation à coupons variables V est 1 (106.655 × 0.5 + 105.445 × 0.5) = 106.05 1.0605 1 4.95 + (105.445 × 0.5 + 104.455 × 0.5) = 104.95 1.0495 1 4.05 + (104.455 × 0.5 + 103.645 × 0.5) = 104.05 1.0405 1 5.5 + (106.05 × 0.5 + 104.95 × 0.5) = 105.50 1.055 1 4.5 + (104.95 × 0.5 + 104.04 × 0.5) = 104.50 1.045 1 (105.50 × 0.5 + 104.50 × 0.5) = 100. 1.05

V2uu = 6.05 + V2ud = V2dd = V1u = V1d = V0 =

⊲ Obligation à coupons fixes : la valeur de l’obligation à coupons fixes F est F2uu = 5.10 + F2ud = 5.10 + F2dd = 5.10 + F1u = 5.10 + F1d = 5.10 + F0 =

1 (105.10 × 0.5 + 105.10 × 0.5) = 104.20 1.0605 1 (105.10 × 0.5 + 105.10 × 0.5) = 105.24 1.0495 1 (105.10 × 0.5 + 105.10 × 0.5) = 106.11 1.0405 1 (104.20 × 0.5 + 105.24 × 0.5) = 104.36 1.055 1 (105.24 × 0.5 + 106.11 × 0.5) = 106.22 1.045

1 (104.36 × 0.5 + 106.22 × 0.5) = 100.28. 1.05

⊲ La valeur du swap est donc 100 − 100.28 = −0.28. Pour la partie recevant variable (payant fixe), le swap a une valeur négative. • Attention : ⊲ Lorsque les taux d’intérêt sont aléatoires, la valeur d’une obligation à coupons variables (telle que définie dans l’exemple) à t = 0 ne sera pas nécessairement toujours 100$. ⊲ Dans l’exemple # 3, nous avons obtenu 100$ car q = 0.5, u + d = 2 et l’intérêt est composé périodiquement. ⊲ En exercice, vous aurez un exemple où justement u + d = 2 et donc V0 = 100.

11.5

Arbre binomial de Black-Derman-Toy

• L’arbre binomial de Black-Derman-Toy (BDT) donne une alternative réaliste au modèle binomial multiplicatif pour mieux épouser la dynamique des taux d’intérêt. ⊲ Modifie seulement la construction de l’arbre binomial ; ⊲ L’évaluation de produits financiers n’est pas modifiée ;

11.5. ARBRE BINOMIAL DE BLACK-DERMAN-TOY

191

• La principale caractéristique de l’arbre de BDT est que la volatilité du taux au comptant peut varier selon la maturité de l’instrument. ⊲ Taux court terme plus volatils car soumis aux aléas du marché ; ⊲ Taux long terme reflètent une tendance à long terme de l’économie qui est généralement plutôt stable ; • La procédure de calibration présentée permet de répliquer les prix observés sur le marché (ou la structure de taux au comptant) ;

11.5.1

Préliminaires

• Rappel : ⊲ r0 est connu et est valide sur [0, ∆t[ ; ⊲ rk pour [k∆t, (k + 1) ∆t[ est aléatoire pour k = 1, 2, ...; • Discrétisation du modèle de BDT implique : ⊲ Arbre recombinant ; ⊲ r1 (v.a.) peut prendre deux valeurs : r1u et r1d avec probabilités 0.5 dans la mesure neutre au risque. • Alors, la construction de l’arbre de BDT implique EQ [ln r1 | r0 ] = 0.5 ln r1u + 0.5 ln r1d

2 VarQ [ln r1 | r0 ] = EQ ln r1 − EQ [ln r1 | r0 ] r0 2 = 0.5 ln r1u − EQ [ln r1 | r0 ] + 2 0.5 ln r1d − EQ [ln r1 | r0 ] .

• En substituant EQ [ln r1 | r0 ] dans VarQ [ln r1 | r0 ] on a 2 VarQ [ln r1 | r0 ] = 0.5 ln r1u − 0.5 ln r1u − 0.5 ln r1d + 2 0.5 ln r1d − 0.5 ln r1u − 0.5 ln r1d 2 = 0.5 0.5 ln r1u − 0.5 ln r1d + 2 0.5 0.5 ln r1d − 0.5 ln r1u 2 = 0.5 ln r1u − 0.5 ln r1d 2 r1u = 0.5 ln d . r1 • Cette relation est valide dans l’arbre à une période et intuitivement devrait tenir à n’importe quelle période. • Regardons à la seconde période. On a que r2 | r1u ∈ r2uu , r2ud = r2du et r2 | r1d ∈ r2du = r2ud , r2dd . • Puisque la relation précédente a été déduite parce que les réalisations sont équiprobables sous Q, alors on a également r2uu 2 r2uu 2 Q u Var [ln r2 | r1 ] = 0.5 ln ud = 0.5 ln du r2 r2 2 2 du r2 r2ud Q d Var ln r2 | r1 = 0.5 ln dd = 0.5 ln dd r2 r2

192CHAPITRE 11. INTRODUCTION AUX MODÈLES DE TAUX D’INTÉRÊT ALÉATOIRE car l’arbre de BDT est recombinant. • De plus, VarQ [ln r2 | r1u ] = VarQ ln r2 | r1d

car la volatilité du taux varie selon l’échéance, pas d’un noeud à l’autre (pour une période fixée). • Variance future du log-taux au comptant un an (une période) : soit σ 2k ≡ VarQ [ln rk | Fk−1 ] , alors r1u r1d ruu rdu = 0.5 ln 2ud = 0.5 ln 2dd = ... (recombinant) r2 r2

σ 1 = 0.5 ln σ2

et ainsi de suite pour les autres k = 3, 4, ... ⊲ σ 2k est donc la variance du log-taux au comptant 1 an (ou 1 période) qui prévaudra sur l’intervalle [k, k + 1[. ⊲ Illustration : au temps k dans Black-Scholes, on a σ 2 = VarQ [ln Sk | Fk−1 ] ce qui correspond à la variance du rendement continu 1 an de l’action. Toutefois, si la volatilité du rendement de l’action variait dans le temps, on aurait que VarQ [ln Sk | Fk−1 ] dépendrait de k. • De la relation précédente, on déduit que r1u = r1d exp (2σ 1 ) r2du = r2dd exp (2σ 2 ) r2uu = r2ud exp (2σ 2 ) = r2dd exp (4σ 2 ) .

•

• • •

⊲ C’est donc en utilisant ces relations que l’arbre binomial de BDT est construit ; ⊲ Important pour l’examen MFE ; Par conséquent : ⊲ il faut connaître σ 1 et r1d pour déduire r1u ; ⊲ il faut connaître σ 2 et r2dd pour déduire r2du = r2ud et r2uu ; ⊲ il faut connaître σ 3 et r3ddd pour déduire le reste des r3... Toutefois, on n’observe pas les r1d , r2dd , r3ddd , ni les volatilités σ 1 , σ 2 , σ 3 , ... On doit déduire ces variables à l’aide de données observables (calibration) : ⊲ Prix d’obligations zéro-coupon (ou de façon équivalente, des taux au comptant) ; ⊲ Volatilité observée des taux au comptant ; Une fois les paramètres de l’arbre connu, on peut facilement bâtir l’arbre des taux rk .


11.5.2

193

Calibration

• Données observées : ⊲ Aujourd’hui (t = 0) : structure à terme des taux au comptant R0 (k), ou de façon équivalente les prix des obligations zéro-coupon P0 (k) ; ⊲ Série temporelle passée de structure à terme des taux au comptant, i.e. les R0 (k) (pour tout k) observée à tous les mois (jours ou années) dans le passé. • On doit connaitre σ 2k qui correspond à la variance future du taux au comptant 1 an (1 période) ⊲ Impossible à connaitre ; ⊲ Toutefois, on peut plus facilement estimer la variance aujourd’hui de la structure à terme ; • Variance du log-taux au comptant de maturité k − 1 années (dans un an (une période)) : soit σ 2∗,k ≡ VarQ [ln R1 (k)| F0 ] , k = 2, 3, 4... ⊲ Note : R0 (1) = r0 et est connu. Les seuls taux inconnus sont R1 (k) pour k = 2, 3, ... ⊲ Illustration : au temps k dans Black-Scholes, on a kσ 2 = VarQ [ln Sk | F0 ] . Si la variance du rendement continu n’était pas proportionnelle à kσ 2 , alors il faudrait définir une variance pour tout k. 2 • σ ∗,k peut être estimé de la façon suivante : ⊲ Supposons qu’on a observé dans le passé les structures à terme suivantes fin fin fin ... fin

1999 2000 2001 2009

R0 (1) 0.03 0.035 0.027 ... 0.005

R0 (2) 0.04 0.05 0.032 ... 0.01

R0 (3) 0.05 0.06 0.04 ... 0.02

⊲ On pourrait approximer : ∗ σ 2∗,2 par la variance échantillonale calculée sur 0.03, 0.035, 0.027, ..., 0.005 ; ∗ En effet, au début 1999, 0.03 est une réalisation de R1 (2), au début 2000, 0.035 est une réalisation de R1 (2) également, et ainsi de suite. ∗ σ 2∗,3 par la variance échantillonale calculée sur 0.04, 0.05, 0.032, ..., 0.01 ; ∗ En effet, au début 1999, 0.04 est une réalisation de R1 (3), au début 2000, 0.05 est une réalisation de R1 (3) également, et ainsi de suite. ⊲ Pour utiliser une telle approche, il faut supposer que les volatilités observées (sous P) sont les mêmes que les volatilités requises (sous Q) ; • Remarque : dans le modèle de BDT, il y a donc deux types de volatilités : ⊲ Variance future du log-taux au comptant un an (une période) : σ 2k = VarQ [ln rk | Fk−1 ] (non-observée, qui sera modélisée) ;

194CHAPITRE 11. INTRODUCTION AUX MODÈLES DE TAUX D’INTÉRÊT ALÉATOIRE ⊲ Variance du log-taux au comptant de maturité k−1 années : σ 2∗,k ≡ VarQ [ln R1 (k)| F0 ] , k = 2, 3, 4... (observée) ; • Puisqu’il y a seulement deux valeurs possibles pour le taux au comptant et que ces réalisations sont équiprobables dans la mesure neutre au risque, alors σ 2∗,k

=

Ru (k) 0.5 ln 1d R1 (k)

2

, k = 2, 3...

2 ru (voir la démarche avec VarQ [ln r1 | r0 ] = 0.5 ln r1d par exemple). 1 ⊲ En utilisant le lien entre l’obligation zéro-coupon et le taux au comptant, on a σ 2∗,k

=

ln P1u (k) 0.5 ln ln P1d (k)

2

, k = 2, 3, ...

lorsque l’intérêt est capitalisé continument. ⊲ De plus, on a que σ 2∗,2 = VarQ [ln R1 (2)| F0 ]

= VarQ [ln r1 | r0 ] = σ 21 .

• Marche à suivre pour calibrer l’arbre de BDT : pour chaque k = 2, 3, ... ⊲ Bâtir le système à deux équations et deux inconnues donné par Prix théorique P0 (k) = Prix observé P0 (k) σ 2∗,k théorique = σ 2∗,k observé ⊲ Écrire les équations pour ressortir les deux inconnues : rkdd...d et σ k et résoudre numériquement pour celles-ci. ⊲ Pour k = 1, on a directement P0 (1) et on peut déduire r0 .

11.5.3

Exemple de calibration dans l’arbre de BDT

• Exemple (McDonald p.799 et les ⊲ On observe : Échéance 1 2 3 4

suivantes) : Prix des zéro 1.1−1 = 0.90909 1.11−2 = 0.81162 1.12−3 = 0.71178 1.125−4 = 0.62430

Volatilité 10% 15% 14%

⊲ Les prix observés sont des prix d’obligations zéro-coupon. ⊲ L’intérêt est composé annuellement ; ⊲ Les volatilités observées sont pour des taux au comptant de différentes maturités ; ⊲ On veut répliquer la figure 24.5 de McDonald ; • Solution :


195

⊲ Obligation 1 an : on a directement r0 = 0.1. ⊲ Obligation 2 ans ∗ On a P0 (2) = 0.81162 1 = 0.5 × P1u (2) + 0.5 × P1d (2) 1 + r0 1 1 1 + 0.5 × . = 0.5 × 1.1 1 + r1u 1 + r1d ∗ On sait que

r1u = r1d exp (2σ 1 )

∗ Étant donné que σ ∗,2 = σ 1 = 0.1, alors r1u = r1d exp (2 × 0.1) = r1d e0.2 . ∗ Donc,

1 1 1 0.81162 = 0.5 × + 0.5 × 1.1 1 + r1d 1 + r1d e0.2

qui possède une seule inconnue : r1d . Il s’agit d’une équation quadratique en r1d . ∗ En effet, en réorganisant, on obtient

1 1 0.81162 × 1.1 = + d 0.5 1 + r1 1 + r1d e0.2 0.81162 × 1.1 1 + r1d 1 + r1d e0.2 = 1 + r1d e0.2 + 1 + r1d . 0.5 en multipliant par 1 + r1d 1 + r1d e0.2 des deux côtés. En résolvant cette équation quadratique, on trouve que r1d = 0.10824.

La solution négative est évidemment à rejeter. ∗ Finalement r1u = r1d e0.2 = 0.10824 × e0.2 = 0.132205. ⊲ Obligation 3 ans ∗ On a P0 (3) = 0.71178 1 = 0.5 × P1u (3) + 0.5 × P1d (3) . 1 + r0

196CHAPITRE 11. INTRODUCTION AUX MODÈLES DE TAUX D’INTÉRÊT ALÉATOIRE ∗ De plus, 1 0.5 × P2uu (3) + 0.5 × P2ud (3) u 1 + r1 1 0.5 × P2ud (3) + 0.5 × P2dd (3) . P1d (3) = d 1 + r1

P1u (3) =

∗ On connait déjà r0 , r1u et r1d . On doit trouver P2uu (3) , P2ud (3) , P2dd (3). ∗ Or, 1 1 + r2dd 1 P2ud (3) = 1 + r2ud 1 P2uu (3) = . 1 + r2uu P2dd (3) =

∗ De plus, r2ud = r2dd exp (2σ 2 ) r2uu = r2dd exp (4σ 2 ) . ∗ On utilise maintenant le fait que σ ∗,3

1 = 0.15 = ln 2

P1u (3)−0.5 − 1 P1d (3)−0.5 − 1

car l’intérêt est composé annuellement. ∗ Par conséquent, on a deux équations et deux inconnues. On les résoud numériquement et on obtient σ 2 = 0.1947864095 r2dd = 0.09253876052. ∗ On trouve r2dd = 0.09253876052 r2ud = r2dd exp (2σ 2 ) = 0.13662 r2uu = r2dd exp (4σ 2 ) = 0.20170. ⊲ Le principe est le même pour décrire l’évolution du prix de l’obligation zéro-coupon 4 ans. • Dans un contexte d’examen, vous pourriez calibrer un arbre de 2 ans et évaluer des flux financiers sur 2 ans.


11.5.4

197

Exemple d’évaluation dans l’arbre de BDT

• Exemple : cap ⊲ Cap de 4 ans avec taux d’intérêt maximum de 12%. Notionnel de 100$ ; ⊲ L’arbre utilisé est l’arbre de BDT précédent (page 801 de McDonald). • Solution de l’exemple : ⊲ Un cap est une série de caplets avec maturités de 1 an, 2 ans, 3 ans et 4 ans. ⊲ Le paiement est calculé sur le taux d’intérêt en vigueur durant la période [k, k + 1[ (ce taux est rk ) et payé à la fin de la période (à k + 1). ⊲ Paiement (versé à la fin de la période) : 100 (rk − 0.12)+ , k = 0, 1, 2, 3.

⊲ Paiement (en VP au début de la période) (ce qui est calculé dans McDonald) : 100 (rk − 0.12)+ , k = 0, 1, 2, 3. 1 + rk ⊲ 1er caplet : à k + 1 = 1, il n’y a aucun paiement car r0 = 0.1 < 0.12. La valeur de ce caplet est 0. ⊲ 2e caplet : à k + 1 = 2, il y a un paiement positif seulement au noeud u. La VPE de ce caplet est q 1.22 100 (r1u − 0.12) 1 × = × × 0.5 = 0.48979. u 1 + r1 1 + r0 1.1322 1.1 ⊲ 3e caplet : à k + 1 = 3, il y a deux paiements possibles :

La VPE de ce caplet est

100 (r2uu − 0.12) = 8.17 100 r2ud − 0.12 = 1.66 1 1 8.17 × 0.25 1.10 1.1322 1.2017 1 1 1.66 × 0.25 + 1.10 1.1322 1.1366 1 1 1.66 + × 0.25 1.10 1.1082 1.1366 = 1.9574.

⊲ 4e caplet : à k + 1 = 4, il y a 3 paiements possibles : 100 (r3uuu − 0.12) = 8.03 100 r3uud − 0.12 = 3.68 100 r3udd − 0.12 = 0.28.

La VPE de ce caplet est (en prenant les paiements et en les escomptant avec les bons taux) : 1.4603$. ⊲ Donc, la valeur du cap est 0.48979 + 1.9574 + 1.4603 = 3.9075. En utilisant plus de précision dans les taux d’intérêt, on obtient la même réponse (3.909$).

198CHAPITRE 11. INTRODUCTION AUX MODÈLES DE TAUX D’INTÉRÊT ALÉATOIRE

11.6

Exercices

11.6.1

Examen MFE/3F

• Mai 2007 : 9 ; • Mai 2009 : 5, 14 ; • Q&A (version du 18 août 2010) : 15, 29, 30, 39, 76 ;

11.6.2


Les exercices notés CZ proviennent du livre de Cvitanic et Zapatero (2004). Les exercices notés GG proviennent des notes de cours de Geneviève Gauthier (reproduits avec son autorisation). Les exercices notés ASM proviennent du guide d’étude ASM 2007 de l’examen MFE. 1. On modélise l’évolution du taux au comptant un an rk ≡ Rk (k + 1) par un arbre binomial dont les transitions (dans la mesure neutre au risque) sont données par rk = rk−1 × U où U ∈ {1.1, 0.9} où q = 0.5 et r0 = 0.1. (a) Calculez le prix d’une obligation zéro-coupon de maturité 2 ans et de 3 ans. (b) Avec vos réponses obtenues en a), quels sont les taux au comptant en vigueur à t = 0 pour des maturités de 2 ans et 3 ans. En d’autres termes, quelles sont les valeurs de R0 (2) et R0 (3) ? (c) Quel est le taux à terme f0 (2, 3) en vigueur sur l’intervalle [2, 3[ en fonction de ce qui est connu aujourd’hui à t = 0 ? (d) Est-ce que les taux d’intérêt R0 (2) , R0 (3) et f0 (2, 3) calculés précédemment sont valides dans la réalité ou sont seulement valides dans la mesure neutre au risque ? (e) Un an plus tard, vous observez que r1 = 11%. Quels sont les prix des obligations zéro-coupons 2 ans et 3 ans ? (f) Avec vos réponses obtenues en e), quels sont les taux au comptant en vigueur à t = 1 pour des maturités de 2 ans et 3 ans. En d’autres termes, quelles sont les valeurs de R1 (3) et R1 (4) ? (g) Étant donné que r1 = 11%, quel est le taux à terme f1 (2, 3) en vigueur sur l’intervalle [2, 3[ en fonction de ce qui est connu à t = 1 ? 2. (CZ) Le taux au comptant 1 an observé aujourd’hui est r0 = 6%. Dans un arbre binomial pour l’évolution du taux au comptant 1 an, évaluez une option de vente sur 100P1 (2) avec prix d’exercice de 95$ et maturité de 1 an. Notez que r1 = r0 × U où U ∈ {1.1, 0.9}, q = 0.5 et que tous les taux d’intérêt sont composés annuellement.

3. (CZ) Les prix des bons du Trésor avec échéances de 3 mois et 9 mois sont respectivement de 98.788$ et 96.27$ aujourd’hui (sur une base de 100$). Dans un modèle de taux d’intérêt aléatoire à temps discret, le taux au comptant 6 mois qui sera valide dans 3 mois sera soit de 5.5% ou de 5% (annualisé). Calculez le prix d’une option de vente de 3 mois sur une obligation zéro-coupon 9 mois où le prix d’exercice est de 97.50$. Note : q est inconnu et tous les taux d’intérêt sont composés trimestriellement.

11.6. EXERCICES

199

4. (CZ) Les taux au comptant 1 mois et 2 mois sont respectivement de 4% et 4.1%. Dans un modèle de taux d’intérêt aléatoire à temps discret, le taux au comptant 1 mois dans 1 mois sera soit de 3.5% ou de 4.5%. Calculez le prix d’un droit conditionnel qui paie 1$ si le taux observé dans 1 mois est de 4.5% et 50c/ sinon. Note : q est inconnu et tous les taux d’intérêt sont composés mensuellement. 5. (CZ) Dans un arbre de Black-Derman-Toy avec r0 = 0.05, rd = 0.0645, rdd = 0.065 et σ 1 = 0.08, σ 2 = 0.07, évaluez une option d’achat at-the-money d’échéance 2 ans, sur une obligation zéro-coupon 3 ans. Considérez que tous les taux d’intérêt sont composés annuellement. 6. Dans l’exemple # 3 de la page 188 : (a) Recalculez la valeur du swap quand u = 1.2 et q = 0.6. Par conséquent, u + d = 2 et la valeur de l’obligation variable ne devrait pas être 100$. (b) Recalculez la valeur du swap quand les paiements variables au temps k sont calculés avec rk−1 (valide sur [k − 1, k[ .

200CHAPITRE 11. INTRODUCTION AUX MODÈLES DE TAUX D’INTÉRÊT ALÉATOIRE

Chapitre 12 Modèles de base de taux d’intérêt à temps continu 12.1

Introduction

• Pour modéliser la structure à terme des taux d’intérêt, nous avons modélisé le taux au comptant d’une maturité d’une période. ⊲ Arbres binomiaux, dont l’arbre de Black-Derman-Toy. • Nous allons maintenant modéliser l’évolution du taux d’intérêt à tous les instants. • Deux types de taux d’intérêt qui nous intéressent : ⊲ Taux court ; ⊲ Taux à terme (surtout pour le modèle de Heath-Jarrow-Morton) ; • Taux court (short rate) : taux au comptant observé aujourd’hui (t) valide pour une période de temps infinitésimale. ⊲ Valide sur [t, t + dt[ ; ⊲ Le taux court à t est trouvé lorsque ∆t → 0 i.e. rt =

lim Rt (t + ∆t)

∆t→0

ln Pt (t + ∆t) ln Pt (t + ∆t) − ln Pt (t) = lim − ∆t→0 ∆t→0 ∆t ∆t ∂ = − ln Pt (T ) . ∂T T =t =

lim −

• Taux à terme instantané (instantaneous forward rate) : taux à terme déterminé aujourd’hui (t) valide pour une période de temps infinitésimale à T (pour t < T ). ⊲ Valide sur [T, T + dt[ ; ⊲ Le taux à terme instantané à T est trouvé lorsque ∆t → 0 i.e. ft (T ) =

ln Pt (T + ∆t) − ln Pt (T ) ∆t→0 ∆t

lim ft (T, T + ∆t) = − lim

∆t→0

= −

∂ ln Pt (T ) . ∂T 201

202CHAPITRE 12. MODÈLES DE BASE DE TAUX D’INTÉRÊT À TEMPS CONTINU ⊲ En intégrant cette relation, on obtient Pt (T ) = exp −

T

t

ft (u) du

ce qui ne nécessite pas d’espérance car la structure des taux à terme est connue à t. ⊲ Finalement, puisque ∂ rt = − ln Pt (T ) ∂T T =t alors on déduit que

rt = ft (t) .

• Facteur d’actualisation stochastique : pour actualiser au temps t, F $ versé à T , alors, on a T F × exp − ru du t

qui est aléatoire. • Facteur d’accumulation stochastique : pour accumuler au temps T , F $ versé à t, alors, on a T F × exp ru du t

qui est aléatoire. ⊲ Il s’agit d’un investissement initial de F $ qui est continuellement reconduit sur les intervalles [t, t + dt[ , [t + dt, t + 2dt[ , ... ⊲ Le taux d’intérêt valide sur chacune de ces courtes périodes de temps est {ru , u ≥ t} ; • Par conséquent, d’une trajectoire à l’autre, le facteur d’accumulation/actualisation est l’inverse de l’autre. • Toutefois, la valeur présente espérée (VPE) à t de F $ versé à T est T ru du Ft VPE = F × E exp − t

où Ft est l’ensemble de toute l’information connue jusqu’à t. De plus, la valeur accumulée espérée (VAE) à T de F $ versé à t est T VAE = F × E exp ru du Ft . t

• Par conséquent, la VAE (VPE) n’est pas l’inverse de la VPE (VAE). • Rappels : ⊲ À t = 0, r0 et f0 (T ) , ∀T > 0 sont connus. ⊲ Par contre, pour u > 0, alors ru et fu (T ) , ∀T > u sont aléatoires. • Dans ce chapitre, nous allons modéliser {rt , t ≥ 0} comme un processus stochastique. ⊲ On peut également modéliser {ft (T ) , 0 ≤ t ≤ T } comme un processus mais c’est plus difficile (modèle de Heath-Jarrow-Morton).

12.2. ÉVALUATION DE TITRES À REVENUS FIXES ET SES DÉRIVÉS

12.2

203

Évaluation de titres à revenus fixes et ses dérivés

• Compte bancaire {Bt , t ≥ 0} (étant donné F0 ) : valeur de 1 accumulé au temps t. On a t Bt = exp ru du . 0

⊲ r0 est connu mais ru , u > 0 est aléatoire. ⊲ Il s’agit du facteur d’accumulation stochastique défini précédemment ; ⊲ En termes d’EDO, on a dBt = rt Bt dt

(avec B0 = 1) qui ne contient aucun terme supplémentaire en dWt . Toutefois, rt est aléatoire et donc Bt sera aléatoire. • Quelle devrait être la dynamique du taux court ? ⊲ Taux d’intérêt doit être toujours positif ; ⊲ Il ne doit pas y avoir d’arbitrage possible entre les obligations zéro-coupon transigées sur le marché. • Dynamique du taux d’intérêt : le taux court suit le processus d’Ito drt = µ (t, rt ) dt + σ (t, rt ) dWt avec r0 connu. • Marché financier : ⊲ Rappel : taux d’intérêt n’est pas transigé ! ⊲ Nécessite deux actifs transigés de base. ⊲ Actif de base # 1 : compte bancaire Bt transigé. ⊲ Actif de base # 2 : Pt (T1 ) : une obligation zéro-coupon avec maturité T1 ; ∗ T1 peut être n’importe quelle valeur ; ∗ P0 (T1 ) est une constante connue aujourd’hui à t = 0 et PT1 (T1 ) = 1. • On veut évaluer en absence d’arbitrage le juste prix d’un titre à revenus fixes ou d’un produit dérivé sur celui-ci. ⊲ Exemples : obligation zéro-coupon de maturité T < T1 , option sur le taux d’intérêt, swap, cap, etc.

12.2.1


• On cherche une stratégie auto-financée qui répliquera exactement la valeur d’un titre à revenus fixes (ou un dérivé sur celui-ci) à toutes les périodes et dans tous les états de la nature. (1) (0) • Ce portefeuille est composé de δ t unités de l’obligation Pt (T1 ) et δ t unités du compte bancaire Bt . • Approche exactement identique à celle illustrée au chapitre 7 : nous avions, en intérêt (1) (0) constant, un portefeuille composé de δ t unités du titre risqué St et δt unités du compte bancaire Bt . ⊲ Dans le contexte à intérêt aléatoire, le titre risqué en question est Pt (T1 ) .

204CHAPITRE 12. MODÈLES DE BASE DE TAUX D’INTÉRÊT À TEMPS CONTINU • Attention : le taux d’intérêt n’est pas transigé, mais Pt (T1 ) qui est une transformation de rt , est transigé. ⊲ Chapitre 7 : réplique C (t, St ) avec Bt et St qui sont tous les deux transigés directement ; ⊲ Ce chapitre : réplique C (t, rt ) avec Bt et Pt (une transformation de rt ) ; ∗ Impact important sur la dynamique du portefeuille de réplication ; • Dynamique de l’obligation zéro-coupon de base Pt (T1 ) : ⊲ Correspond à l’actif de base # 2 ; (1) ⊲ Pour alléger la notation, notons Pt ≡ Pt (T1 ) ; ⊲ Puisque Pt (T1 ) est une transformation quelconque du taux court, alors à l’aide du lemme d’Ito on trouve (1) (1) (1) ∂Pt ∂P 1 ∂ 2 Pt (1) dPt = dt + µ (t, rt ) t + σ 2 (t, rt ) ∂t ∂rt 2 ∂rt2 (1)

∂P +σ (t, rt ) t dWt . ∂rt ⊲ De plus, nous allons noter dPt(1) = α (rt , t, T1 ) Pt(1) dt − q (rt , t, T1 ) Pt(1) dWt avec α (rt , t, T1 ) ≡ q (rt , t, T1 ) ≡

1 (1)

Pt

−1

(1)

σ (t, rt ) (1)

Pt

(1)

(1)

∂P 1 ∂ 2 Pt ∂Pt + µ (t, rt ) t + σ 2 (t, rt ) ∂t ∂rt 2 ∂rt2 (1)

∂Pt . ∂rt

• Portefeuille de réplication : pour un titre C de maturité T < T1 émis sur le taux court, alors l’EDP que doit obéir C est rt C =

∂C ∂C 1 2 ∂2C + (µ (t, rt ) + λ (t, rt , T1 ) σ (t, rt )) + σ (t, rt ) 2 ∂t ∂rt 2 ∂rt

avec une certaine condition aux bornes pré-spécifiée (paiement du droit à l’échéance) et où α (rt , t, T1 ) − rt . λ (t, rt , T1 ) ≡ q (rt , t, T1 ) ⊲ Dérivation complète en annexe (équivalent à l’équation 24.18 dans McDonald en tenant compte de l’errata) ; • On remarque qu’on ne peut pas faire disparaître µ (t, rt ) dans la dynamique du portefeuille de réplication ; ⊲ Dans le chapitre 7, nous avions réussi à faire disparaitre µ de l’EDP de Black-Scholes. ⊲ Le taux d’intérêt n’est pas transigé ! ⊲ C’est comme si au chapitre 7, on avait défini un marché avec Bt et C (St ) transigés (où C (St ) est la valeur d’une option d’achat) ;

12.2. ÉVALUATION DE TITRES À REVENUS FIXES ET SES DÉRIVÉS

205

∗ St n’est plus transigé dans ce marché ; ∗ La dynamique de St (et la perception du risque des investisseurs par rapport à St ) doit donc être incluse dans C (St ) ; ∗ La valeur d’un autre produit dérivé C (2) (St ) (une option de vente par exemple) reflétera la valeur de µ également ; • Conséquence : il sera nécessaire de spécifier λ (t, rt , T1 ) . ⊲ Appelé ratio de Sharpe ; • Ratio de Sharpe : λ (t, rt , T1 ) indique le prix au marché du risque de l’obligation zéro-coupon de base. ⊲ De plus, pour éviter l’arbitrage, le ratio de Sharpe doit tenir pour tous les titres émis sur le taux court. ⊲ En exercice au chapitre 7, nous avons déterminé que dans un marché défini par (1)


(2)


dSt dSt

(1)

(1)

(2)

(2)

(où chaque actif est exposé à la même source de risque dWt ), alors µ −r µ1 − r = 2 σ1 σ2 doit tenir afin d’éviter les opportunités d’arbitrage. ⊲ Similairement, tous les titres à revenus fixes et ses dérivés dépendent de la même source de risque : l’évolution du taux court. Par conséquent, le prix de ces titres/dérivés doit respecter le ratio de Sharpe pour éviter l’arbitrage. ⊲ Par exemple, pour deux obligations zéro-coupons Pt (T1 ) et Pt (T ), alors le ratio de Sharpe λ (t, rt , T1 ) = λ (t, rt , T ) α (rt , t, T1 ) − rt α (rt , t, T ) − rt = q (rt , t, T1 ) q (rt , t, T ) doit tenir pour tout T < T1 .

12.2.2


• Dans la mesure neutre au risque, la valeur présente espérée (au taux sans risque) de tous les actifs, doit être une martingale sous la mesure Q. Pour l’obligation zéro-coupon de base, on a donc (1) (1) PT1 Pt Q =E Ft Bt BT1

206CHAPITRE 12. MODÈLES DE BASE DE TAUX D’INTÉRÊT À TEMPS CONTINU ou de façon équivalente (1)

Pt

(1) P T1 = Bt EQ Ft BT1 t T1 Q ru du E exp − ru du × 1 Ft = exp 0 0 T1 = EQ exp − ru du Ft .

t

• On adopte une approche similaire à celle utilisée au chapitre 7, i.e. on cherche une mesure neutre au risque telle que la relation précédente est respectée. ⊲ Détails en annexe. • On sait que dPt(1) = α (rt , t, T1 ) Pt(1) dt − q (rt , t, T1 ) Pt(1) dWtP où WtP , t ≥ 0 est un MBS sous la mesure de probabilité réelle. On peut montrer (en annexe) que la dynamique de l’obligation zéro-coupon dans la mesure neutre au risque est (1) (1) (1) dPt = rt Pt dt − q (rt , t, T1 ) Pt dWtQ où WtQ , t ≥ 0 est un MBS sous la mesure de probabilité neutre au risque. • De plus, drt = µ (t, rt ) dt + σ (t, rt ) dWtP = (µ (t, rt ) + λ (t, rt , T1 ) σ (t, rt )) dt + σ (t, rt ) WtQ (voir en annexe pour les détails) (équivalent à l’équation 24.19 dans McDonald). ⊲ La forme de λ (t, rt , T1 ) dépend de la formulation du modèle pour {rt , t ≥ 0} comme nous verrons plus loin. ∂C ⊲ On remarque que le terme devant ∂r dans l’EDP est µ (t, rt ) + λ (t, rt , T1 ) σ (t, rt ) ce t qui correspond exactement à la dérive de rt sous la mesure neutre au risque. • Attention ! ⊲ Nous n’avons pas pu éliminer µ (t, rt ) dans la dynamique de {rt , t ≥ 0} sous la mesure neutre au risque. ⊲ Raison : le taux court n’est pas transigé. ⊲ "Solution" : certains auteurs écrivent directement la dynamique de {rt , t ≥ 0} dans la mesure neutre au risque comme drt = µQ (t, rt ) dt + σ (t, rt ) dWtQ de telle sorte que drt = µQ (t, rt ) − λ (t, rt , T1 ) σ (t, rt ) dt + σ (t, rt ) dWtP

sous la mesure réelle. ⊲ L’idée est qu’à partir des prix des produits dérivés sur le marché, la dynamique de {rt , t ≥ 0} est estimée directement sous Q. Par la suite, si on veut évaluer d’autres produits dérivés, on utilise cette dynamique.

12.3. MODÈLES D’ÉQUILIBRE

207

⊲ Toutefois, dans le cadre de la gestion des risques, la dynamique de {rt , t ≥ 0} sous P est nécessaire, ce qui implique l’estimation de λ (t, rt , T1 ) . • Le prix de tout titre à revenus fixes (ou produit dérivé sur celui-ci) C (t, rt ) est donc calculé comme étant Ct Q CT =E Ft Bt BT ou T Q Ct = E exp − ru CT Ft . t

• Obligation zéro-coupon de maturité T : on a directement CT = 1 et donc T Q Pt (T ) = E exp − ru Ft . t

• Attention : puisque BT et CT dépendent de la même source de risque i.e. le taux court, alors BT et CT sont dépendantes. En d’autres termes, T Q Ct = E exp − ru Ft × E Q [CT | Ft ] t

Q

= Pt (T ) × E [CT | Ft ] .

12.3

Modèles d’équilibre

• Différentes classes de modèles de taux d’intérêt (dont les modèles peuvent appartenir à plusieurs de ces classes) : ⊲ Équilibre (equilibrium models) (hypothèses sur des variables économiques) ; ⊲ "Sans arbitrage" (s’ajustent exactement à la structure à terme observée) ; ⊲ Structure affine (log-prix de l’équation d’une obligation zéro-coupon est linéaire) ; ⊲ Modèles pour le taux à terme (Heath-Jarrow-Morton principalement) ; • Trois modèles d’équilibre principalement : ⊲ Rendleman-Bartter (Brennan-Schwartz) ; ⊲ Vasicek ; ⊲ Cox-Ingersoll-Ross ; • Chacun des trois modèles définissent la dynamique du taux court comme drt = µ (rt ) dt + σ (rt ) dWtP dans la mesure réelle de probabilité.

12.3.1

Rendleman-Bartter

• Modèle de Rendleman-Bartter : le taux court (sous la mesure réelle de probabilité) suit un MBG i.e. drt = µrt dt + σrt dWt

208CHAPITRE 12. MODÈLES DE BASE DE TAUX D’INTÉRÊT À TEMPS CONTINU avec µ (rt ) = µrt σ (rt ) = σrt . • Avantages : ⊲ Taux d’intérêt n’est jamais négatif ; ⊲ Volatilité du taux court est proportionnelle à la valeur de rt ; • Désavantages : ⊲ Aucune formule fermée pour le prix d’une obligation zéro-coupon ∗ Simple à contrecarrer en résolvant numériquement l’EDP. ⊲ Taux d’intérêt peuvent être absorbés à 0 ou exploser à ∞; ∗ On s’attend à ce que les taux d’intérêt montrent une forme de retour à la moyenne. • Retour à la moyenne (mean-reversion) : ⊲ Déviations importantes par rapport à une moyenne à long terme sont automatiquement corrigées par un retour naturel vers celle-ci. • Les banques centrales ont tendance à contrôler l’inflation en augmentant les taux d’intérêt durant la croissance économique et en réduisant ceux-ci en périodes de récession. ⊲ Cycles ou retour à la moyenne.

12.3.2

Vasicek

• Modèle de Vasicek : le taux court (sous la mesure réelle de probabilité) obéit à un processus d’Ornstein-Uhlenbeck drt = a (b − rt ) dt + σdWt

• • • •

où b est une moyenne à long terme et a est le taux de retour à la moyenne. ⊲ Vasicek a eu l’idée d’utiliser ce processus dans un contexte de modélisation des taux d’intérêt. Lorsque rt ≫ b (très supérieur à) alors b − rt est négatif et la dérive est négative, ce qui poussera le taux court vers le bas. ⊲ L’inverse est aussi vrai. Avantages : ⊲ Retour à la moyenne ; ⊲ Formules simples pour le prix d’une obligation zéro-coupon ; Désavantages : ⊲ Volatilité est constante (non proportionnelle à rt ) ; ⊲ Taux d’intérêt peuvent être négatifs (taux court, taux au comptant, etc.) ; Solution au modèle de Vasicek : en utilisant la transformation rt∗ = eat × rt , on obtient que t −a(t−s) −a(t−s) rt = e rs + b 1 − e + σe−a(t−u) dWu . s

De plus, on peut montrer quert | rs obéit à une loi normale avec moyenne e−a(t−s) rs + b 1 − e−a(t−s)


209

et variance

σ 2r 1 − e−2a(t−s) . 2a ⊲ Estimation : maximum de vraisemblance basé sur la loi normale précédente ; ⊲ Simulation : simulation exacte directe avec la loi précédente ; • Ratio de Sharpe : dans le modèle de Vasicek, le ratio de Sharpe est λ (t, rt , T1 ) = λ i.e. une constante indépendante de T1 et rt . • Prix d’une obligation zéro-coupon de maturité T < T1 : ⊲ Le marché est composé d’un compte bancaire Bt et d’une obligation zéro-coupon de maturité T1 ; ⊲ On désire évaluer une obligation zéro-coupon de maturité T < T1 . ⊲ Deux façons équivalentes : ∗ Trouver la solution à l’EDP (trouver le portefeuille réplicatif) ; ∗ Calculer une espérance sous la mesure de probabilité neutre au risque ; ⊲ Évaluation par réplication : l’EDP peut être résolue à l’aide de deux équations différentielles ordinaires de Ricatti car il s’agit d’un modèle à structure affine. ⊲ Évaluation neutre au risque : on a que sous la mesure Q, l’EDS du taux court est drt = (a (b − rt ) + λσ) dt + σdWtQ . Alors on calcule le prix d’une obligation zéro-coupon avec échéance T comme T Q Pt (T ) = E exp − ru du Ft . t

Cette espérance n’est pas nécessairement facile à calculer car il faut intégrer la solution d’un processus d’Ornstein-Uhlenbeck. Toutefois, ce dernier obéit à une loi normale et l’espérance peut être calculée avec la f.g.m. de cette dernière. ⊲ Peu importe l’approche utilisée, on obtient Pt (T ) = A (t, T ) exp (−B (t, T ) × rt ) où B (t, T ) =

1 − e−a(T −t) a

σ2 A (t, T ) = exp r (B (t, T ) − (T − t)) − B (t, T ) 4a 2 σλ σ r = b+ − 0.5 2 . a a 2

⊲ r est le taux de rendement sur une obligation de maturité infinie. ⊲ Puisque le prix est déterminé comme étant une fonction de l’information disponible jusqu’à t, alors rt est connu et correspond au taux court observé à t.

210CHAPITRE 12. MODÈLES DE BASE DE TAUX D’INTÉRÊT À TEMPS CONTINU ⊲ Notation : ∗ B (t, T ) ici est un terme qui appartient au modèle de Vasicek et ne doit pas être confondu avec le compte de banque Bt . Ce choix de notation est cohérent avec la plupart des livres sur le sujet. ∗ Dans l’examen MFE, on note P (rt , t, T ) le prix à t d’une obligation zéro-coupon de maturité T où le dernier taux court observé est rt . • Exemple # 1 (ASM 2010 26F) : Dans le modèle de Vasicek, vous observez le prix de deux obligations zéro-coupon P (0.03, 1, 3) = 0.9607 P (0.05, 0, 2) = 0.9323. Calculez P (0.06, 2, 4). • Solution de l’exemple # 1 : une quantité importante dans les modèles à structure affine (Vasicek, CIR, etc.) est le temps restant jusqu’à la maturité, i.e. T − t. Dans les 3 obligations, T − t = 2. Par conséquent, A (0, 2) = A (1, 3) = A (2, 4) ≡ A B (0, 2) = B (1, 3) = B (2, 4) ≡ B. Donc, P (0.03, 1, 3) = A exp (−0.03 × B) P (0.05, 0, 2) = A exp (−0.05 × B) P (0.06, 2, 4) = A exp (−0.06 × B) . On trouve A et B à l’aide des deux premières obligations et on évalue la troisième. On obtient 0.9607 = exp (−0.03 × B + 0.05 × B) 0.9323 et donc B = 1.5003767. De plus, on retrouve A facilement car A = 0.9607 × exp (0.03 × 1.5003767) = 1.0049303. Finalement, P (0.06, 2, 4) = A exp (−0.06 × B) = 1.0049303 exp (−0.06 × 1.5003767) = 0.91841638. • Exemple # 2 (ASM 2010 26H) : Vous observez que le taux court obéit à drt = 0.1 (b − rt ) + 0.2dWt et que α (0.045, 0, 3) = 0.148672. Calculez le ratio de Sharpe dans ce marché.


211

• Solution de l’exemple # 2 : on sait que

α (rt , t, T1 ) − rt q (rt , t, T1 ) en général et que dans le modèle de Vasicek, cette quantité devrait être une constante. On a que rt = 0.045 et on cherche q (0.045, 0, 3). Or, λ (rt , t, T1 ) =

q (0.045, 0, 3) =

(1)

−1

σ (0, 0.045) (1)

Pt

On cherche

∂Pt . ∂rt

(1)

− ∂P∂rtt

Pt(1) qui est facilement trouvé avec un modèle à structure affine car Pt (T ) = A (t, T ) exp (−B (t, T ) × rt ) ∂Pt = −B (t, T ) Pt (T ) . ∂rt Par conséquent, (1)

− ∂P∂rtt

= B (t, T ) (1) Pt pour tout modèle à structure affine. Dans le modèle de Vasicek, B (0, 3) =

1 − e−3×0.1 = 2.5918178 0.1

et par conséquent, et le ratio de Sharpe est

q (0.045, 0, 3) = 2.5918178 × 0.2

0.148672 − 0.045 = 0.2. 2.5918178 × 0.2 • Exemple # 3 : un modèle de Vasicek défini par λ=

drt = a (b − rt ) dt + σdWt

a été estimé à l’aide d’options sur le taux d’intérêt. On a obtenu a = 0.5, b = 0.04 et σ = 0.02. Calculez le taux de rendement à très long terme sur une obligation de maturité infinie si le taux court observé aujourd’hui est r0 = 0.032. • Solution de l’exemple # 3 : pour contrecarrer le besoin d’estimer λ, l’analyste a donc estimé le modèle directement dans la mesure neutre au risque, i.e. Par conséquent, λ = 0 et

drt = a (b − rt ) dt + σdWtQ . σλ σ2 − 0.5 2 a a 0.022 = 0.04 − 0.5 = 0.0392. 0.52

r = b+

212CHAPITRE 12. MODÈLES DE BASE DE TAUX D’INTÉRÊT À TEMPS CONTINU

12.3.3

Cox-Ingersoll-Ross (CIR)

• Modèle de Cox-Ingersoll-Ross : le taux court obéit (sous la mesure réelle de probabilité) à √ drt = a (b − rt ) dt + σ rt dWt

où b est une moyenne à long terme et a est le taux de retour à la moyenne. • Avantages : ⊲ Retour à la moyenne ; ⊲ Formules simples pour le prix d’une obligation zéro-coupon ; ⊲ Taux d’intérêt toujours positifs (taux court, taux au comptant, etc.) ; • Désavantages : ⊲ Loi de rt n’a pas une forme simple ; • Solution au modèle de CIR : la loi de rt est reliée à une loi khi-deux non-centrée dont la densité est difficilement calculable. ⊲ Estimation : difficile par maximum de vraisemblance ; ⊲ Simulation : simulation exacte passe par la simulation d’une loi khi-deux non-centrée, mais une approche Milstein fonctionne également très bien. • Ratio de Sharpe : dans le modèle de CIR, le ratio de Sharpe est √ rt λ (t, rt , T1 ) = λ σ où λ est une constante ; • Prix d’une obligation zéro-coupon de maturité T < T1 : ⊲ Deux approches également. ⊲ Solution d’un modèle à structure affine, i.e. que peu importe l’approche utilisée, on obtient Pt (T ) = A (t, T ) exp (−B (t, T ) × rt )

où A (t, T ) et B (t, T ) sont des formules complexes des paramètres du modèle. ⊲ Les formules sont présentées dans le livre de Hull et McDonald. • Exemple # 4 (ASM 2010 26J) : dans le modèle de CIR, on a σ = √0.1 , B (0, 1) = 0.05 0.84696 et α (0.05, 0, 1) = 0.071174. Calculez le ratio de Sharpe lorsque le taux court observé est 4%. • Solution de l’exemple # 4 : le ratio de Sharpe dans le modèle de CIR est √ rt λ (t, rt , T1 ) = λ σ α (rt , t, T1 ) − rt = . q (rt , t, T1 ) Or, α (0.05, 0, 1) − rt 0.071174 − 0.05 = q (0.05, 0, 1) q (0.05, 0, 1) où q (0.05, 0, 1) =

−1

σ (0, 0.05) (1)

Pt

(1)

∂Pt . ∂rt

12.4. EXERCICES

213

Dans un modèle à structure affine, on a (1)

∂Pt ∂rt (1) Pt

−

= B (t, T )

et dans le modèle de CIR, on a √ 0.1 σ (0, 0.05) = √ × 0.05 = 0.1. 0.05 Par conséquent, q (0.05, 0, 1) = 0.84696 × 0.1 = 0.084696 et

√ rt α (rt , t, T1 ) − rt λ = σ q (rt , t, T1 )

implique

√ √ 0.05 0.05 0.071174 − 0.05 λ = 0.1 0.084696

et λ = 0.5. Donc, √ √ 0.04 0.05 λ (0.04) = 0.5 × = 0.22360680. 0.1

12.4

Exercices

12.4.1

Examen MFE/3F

• Mai 2007 : 7, 13 ; • Mai 2009 : 15 ; • Q&A (version du 18 août 2010) : 14, 21, 22, 60 ;

12.4.2


Les exercices notés ASM proviennent du guide d’étude ASM 2010 pour l’examen MFE. 1. Lorsque le modèle de Vasicek est défini directement comme drt = a (b − rt ) dt + σdWtQ, quelle est la formule d’évaluation du prix d’une obligation zéro-coupon Pt (T ) ? 2. Dans le modèle de Vasicek défini directement sous la mesure de probabilité neutre au risque avec paramètres a = 0.25, b = 0.06, σ = 0.06 et r0 = 0.05, calculez : (a) Le prix d’une obligation zéro-coupon avec maturité de 3 ans et le taux au comptant R0 (3).

214CHAPITRE 12. MODÈLES DE BASE DE TAUX D’INTÉRÊT À TEMPS CONTINU (b) Le prix d’une obligation zéro-coupon avec maturité de 5 ans et le taux au comptant R0 (5). (c) Le taux à terme f (0, 3, 5). (d) Est-ce que les taux d’intérêt R0 (3) , R0 (5) et f (0, 3, 5) calculés précédemment sont valides dans la réalité ou sont seulement valides dans la mesure neutre au risque ? 3. Dans le modèle de Vasicek, tracez la courbe de la structure des taux au comptant pour différents paramètres à l’aide d’Excel : (a) Graphique # 1 : r0 = 0.05, a = 0.2, b = 0.1, λ = 0 pour les valeurs de σ = 0.02, 0.1, 0.15. Que constatez-vous ? (b) Graphique # 2 : r0 = 0.05, σ = 0.1, b = 0.1, λ = 0 pour les valeurs de a = 0.2, 0.3, 0.4. Que constatez-vous ? 4. (ASM 2010 26.16) On vous donne que dans le modèle de Vasicek, α (0.06, 0, 1) = 0.150662, α (0.05, 1, 3) = 0.201435 et σ = 0.2. Calculez le ratio de Sharpe. 5. (ASM 2010 26.17) Dans un modèle de CIR, le taux d’intérêt court obéit au processus √ drt = 0.2 (0.06 − rt ) dt + 0.1 rt dWt . On vous donne que B (0, 3) = 1.84088 et α (0.04, 0, 3) = 0.051046. Calculez α (0.09, 0, 3). 6. On suppose que le taux court suit un MBA (dans la mesure réelle de probabilité) i.e. drt = µr dt + σ r dWt (on peut supposer que σ r et µr sont tels que des taux d’intérêt négatifs surviennent à toute fin pratique jamais). De plus, la prime de risque λ est une constante. (a) À l’aide de la dynamique du taux court, montrez que la forme de l’EDP suivie par un droit conditionnel émis sur le taux d’intérêt {rt , t ≥ 0} est rt C =

∂C ∂C 1 2 ∂ 2 C + (µr + λσ r ) + σ ∂t ∂rt 2 r ∂rt2

(utilisez des résultats déjà démontrés en classe). (b) Étant donné qu’une obligation zéro-coupon peut être considérée comme un droit conditionnel avec paiement final certain de C (rT , T ) = 1, utilisez le théorème de Feynman-Kac pour montrer que la solution du portefeuille de réplication est

Pt (T ) = E exp − où

t

T

ru du rt

drt = (µr + λσ r ) dt + σ r dWt .

12.A. DÉRIVATIONS

215

(c) Montrez que la dynamique du taux court dans la solution donnée par FeynmanKac est ru − r0 = (µr + λσ r ) u + σ r Wu . (d) Étant donné que

T

t

T 3 − t3 Wu du ∼ N 0, 3

(moyenne nulle et variance (T 3 − t3 ) /3), à l’aide de la solution de Feynman-Kac, donnez la formule du prix d’une obligation zéro-coupon Pt (T ) sachant que le dernier taux court observé est rt . (e) À l’aide des arguments de l’évaluation neutre au risque, réinterprétez les étapes b), c) et d) de la solution donnée par la valeur du portefeuille de réplication.

12.A

Dérivations

12.A.1


• Nous allons maintenant appliquer les mêmes étapes qu’au chapitre 7 pour déduire la dynamique du portefeuille de réplication. • Puisque le prix du droit conditionnel est une transformation du processus de taux court, en utilisant le lemme d’Ito on a dC (t, rt ) =

∂C ∂C 1 2 ∂ 2C + µ (t, rt ) + σ (t, rt ) 2 ∂t ∂rt 2 ∂rt

dt + σ (t, rt )

∂C dWt . ∂rt

⊲ Par conséquent, C (0, r0 ) sera le coût pour répliquer ce droit conditionnel, i.e. le juste prix à t = 0 de ce droit. • Maintenant, on voudrait trouver la stratégie auto-financée δ t , qui permet de trouver exactement la valeur de ce droit avec un investissement de C (0, r0 ). ⊲ On a, (0)

(1)

(1)

dXtδ = δ t dBt + δ t dPt

Puisque,

(auto-financée) (0) (1) (1) (1) = δ t (rt Bt dt) + δ t α (rt , t, T1 ) Pt dt − q (rt , t, T1 ) Pt dWt (0) (1) (1) (1) (1) dt − δ t q (rt , t, T1 ) Pt dWt . = rt δ t Bt + δ t α (rt , t, T1 ) Pt Xtδ (0)

δ t Bt

(0)

(1)

(1)

= δ t Bt + δ t Pt ⇔ (1) (1) = Xtδ − δ t Pt

216CHAPITRE 12. MODÈLES DE BASE DE TAUX D’INTÉRÊT À TEMPS CONTINU alors dXtδ

(0) (1) (1) = rt δ t Bt + δ t α (rt , t, T1 ) Pt dt (1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

−δ q (rt , t, T1 ) Pt dWt t (1) (1) (1) (1) = rt Xtδ − δt Pt + δ t α (rt , t, T1 ) Pt dt −δ t q (rt , t, T1 ) Pt dWt (1) (1) = rt Xtδ + (α (rt , t, T1 ) − rt ) δ t Pt dt −δ t q (rt , t, T1 ) Pt dWt .

• Il faut que dXtδ = dC (t, rt ) ou Xtδ = C (t, rt ) et ce, ∀t. Par conséquent, il faut (1)

∂C dWt ∂rt

(1)

−δ t q (rt , t, T1 ) Pt dWt = σ (t, rt ) et

(1) (1) rt Xtδ + (α (rt , t, T1 ) − rt ) δ t Pt dt ∂C ∂C 1 2 ∂2C = + µ (t, rt ) + σ (t, rt ) 2 dt. ∂t ∂rt 2 ∂rt

• En simplifiant, on a ∂C (1) (1) −δ t q (rt , t, T1 ) Pt dWt = σ (t, rt ) dWt ∂rt ⇔ ∂C −σ (t, rt ) ∂r (1) t δt = (1) q (rt , t, T1 ) Pt ∂C ∂rt

=

(1)

∂Pt ∂rt

.

De plus

(1)

(1)

rt Xtδ + (α (rt , t, T1 ) − rt ) δ t Pt

(α (rt , t, T1 ) − rt )

−

∂C −σ (t, rt ) ∂r t

(1) q (rt , t, T1 ) Pt

dt = ⇔ (1)

Pt

α (rt , t, T1 ) − rt ∂C σ (t, rt ) q (rt , t, T1 ) ∂rt

=

∂C ∂t

∂C + µ (t, rt ) ∂r t 2 + 12 σ 2 (t, rt ) ∂∂rC2

dt

t

∂C ∂C + µ (t, rt ) ∂t ∂rt

1 ∂2C + σ 2 (t, rt ) 2 − rt C 2 ∂rt ∂C ∂C = + µ (t, rt ) ∂t ∂rt 2 1 ∂ C + σ 2 (t, rt ) 2 − rt C 2 ∂rt

12.A. DÉRIVATIONS

217

• Maintenant, posons λ (t, rt , T1 ) ≡

α (rt , t, T1 ) − rt q (rt , t, T1 )

qui représente le ratio de Sharpe, ou le prix au marché du risque pour l’obligation à échéance T1 . La condition sur la dérive devient −λ (t, rt , T1 ) σ (t, rt )

∂C ∂C ∂C 1 2 ∂2C + µ (t, rt ) = + σ (t, rt ) 2 − rt C ∂rt ∂t ∂rt 2 ∂rt ∂C ∂C + (µ (t, rt ) + λ (t, rt , T1 ) σ (t, rt )) rt C = ∂t ∂rt 2 1 ∂ C + σ 2 (t, rt ) 2 . 2 ∂rt

• Par conséquent, l’EDP que doit obéir tout droit conditionnel C sur le taux court rt est rt C =

∂C ∂C 1 2 ∂2C + σ (t, rt ) 2 + (µ (t, rt ) + λ (t, rt , T1 ) σ (t, rt )) ∂t ∂rt 2 ∂rt

avec une certaine condition aux bornes pré-spécifiée (équivalent à l’équation 24.18 dans McDonald).

12.A.2


• On définit β t ≡ Bt−1 . • Dans la mesure neutre au risque, la valeur présente espérée de l’actif risqué, doit être une martingale sous la mesure Q i.e.

(1) (1) β t Pt (T ) = EQ β T PT (T ) Ft ou de façon équivalente

(1) (1) Pt (T ) = Bt EQ β T PT (T ) Ft t T Q = exp ru du E exp − ru du × 1 Ft 0 0 T = EQ exp − ru du × 1 Ft . t

• Nous avons

dPt(1) = α (rt , t, T1 ) Pt(1) dt − q (rt , t, T1 ) Pt(1) dWtP

et le compte bancaire est tel que

dBt = rt Bt dt où WtP , t ≥ 0 est un MBS sous la mesure de probabilité réelle.

218CHAPITRE 12. MODÈLES DE BASE DE TAUX D’INTÉRÊT À TEMPS CONTINU • Afin de procéder au changement de mesure de probabilité, définissons WtQ

≡

WtP

=

WtQ

−

+

ou WtP

t

λ (u, ru , T1 ) du 0 t

λ (u, ru , T1 ) du

0

où cette fois, {λ (t, rt , T1 ) , t ≥ 0} est un processus stochastique. • Alors, (1)

dPt

(1)

(1)

= α (rt , t, T1 ) Pt dt − q (rt , t, T1 ) Pt dWtP t (1) (1) Q = α (rt , t, T1 ) Pt dt − q (rt , t, T1 ) Pt d Wt + λ (u, ru , T1 ) du 0

=

• De plus, d

(1) (α (rt , t, T1 ) − q (rt , t, T1 ) λ (t, rt , T1 )) Pt dt (1) −q (rt , t, T1 ) Pt dWtQ .

(1) β t Pt

(1)

= (α (rt , t, T1 ) − q (rt , t, T1 ) λ (t, rt , T1 ) − rt ) β t Pt dt (1)

−q (rt , t, T1 ) β t Pt dWtQ

doit avoir une dérive nulle pour obtenir une martingale. Donc, α (rt , t, T1 ) − q (rt , t, T1 ) λ (t, rt , T1 ) − rt = 0 implique λ (t, rt , T1 ) =

α (rt , t, T1 ) − rt q (rt , t, T1 )

afin que la dérive soit nulle. • Supposons que les conditions techniques nécessaires sur{λ (t, rt , T1) , t ≥ 0} s’appliquent pour l’application du théorème de Girsanov. Donc, WtQ , t ≥ 0 est un mouvement brownien sous Q et (1)

dPt

(1)

(1)

= (α (rt , t, T1 ) − q (rt , t, T1 ) λ (t, rt , T1 )) Pt dt − q (rt , t, T1 ) Pt dWtQ α (rt , t, T1 ) − rt = α (rt , t, T1 ) − q (rt , t, T1 ) Pt(1) dt q (rt , t, T1 ) (1)

−q (rt , t, T1 ) Pt dWtQ (1)

(1)

= rt Pt dt − q (rt , t, T1 ) Pt dWtQ représente la dynamique du prix de l’obligation zéro-coupon T1 sous la mesure neutre au risque. • Il faudrait trouver la dynamique du taux court sous la mesure neutre au risque.

12.A. DÉRIVATIONS

219

⊲ On sait que WtP avec λ (u, ru , T1 ) connu. ⊲ Par conséquent,

=

WtQ

+

t

λ (u, ru , T1 ) du

0

drt = µ (t, rt ) dt + σ (t, rt ) dWtP t Q = µ (t, rt ) dt + σ (t, rt ) d Wt + λ (u, ru , T1 ) du 0

= (µ (t, rt ) + λ (t, rt , T1 ) σ (t, rt )) dt + σ (t, rt ) WtQ

(équation 24.19 dans McDonald). ⊲ Puisque WtQ , t ≥ 0 est un MBS sous Q, alors, nous avons trouvé la dynamique de {rt , t ≥ 0} sous la mesure neutre au risque. ⊲ La forme de λ (t, rt , T1 ) dépend de la formulation du modèle pour {rt , t ≥ 0} comme nous verrons plus loin. ∂C ⊲ On remarque que le terme devant ∂r dans l’EDP est µ (t, rt ) + λ (t, rt , T1 ) σ (t, rt ) ce t qui correspond exactement à la dérive de rt sous la mesure neutre au risque.

220CHAPITRE 12. MODÈLES DE BASE DE TAUX D’INTÉRÊT À TEMPS CONTINU

Quatrième partie Annexes

221

Annexe A Révision de notions élémentaires • Ce chapitre consiste en une révision de concepts fondamentaux en mathématiques financières, probabilités et statistiques ; • Ce chapitre ne doit pas être un substitut pour des cours complets couvrant cette partie de la matière ; • Références : ⊲ Sheldon M. Ross (2009) Introduction to probability models, 10th edition, Academic Press ⊲ Steven E. Shreve (2005) Stochastic Calculus for Finance I : The Binomial Asset Pricing Model, Springer Finance Textbook ⊲ Steven E. Shreve (2004) Stochastic Calculus for Finance II : Continuous-Time Models, Springer Finance Textbook

A.1

Théorie de l’intérêt

A.1.1

Intérêt

• Une des bases d’une économie est le crédit, i.e. prêter (investir) ou emprunter un montant de capital à une autre personne/entité ; ⊲ Ne se fait pas sans coût ! • Intérêt (interest) : ⊲ Pour un prêteur (lender) (investisseur), l’intérêt est une forme de compensation (revenu) pour s’être départi d’un montant de capital durant une période de temps déterminée ; ⊲ Pour un emprunteur (borrower), l’intérêt consiste à la compensation (coût) nécessaire pour obtenir un montant de capital durant une période de temps déterminée ; • Taux d’intérêt (interest rate) : montant reçu en intérêt sur une année, exprimé comme un pourcentage du capital prêté ou emprunté ; ⊲ Notation : on écrit le taux d’intérêt comme i ou r • Exemple : un taux d’intérêt annuel de 12% signifie que pour prêter un montant de 100$, on recevra une compensation de 12$ à la fin de l’année (en plus du remboursement du capital) ; • Que se passe-t-il lorsqu’on prête 100$ pendant 2 ans ? 223

224

ANNEXE A. RÉVISION DE NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

⊲ (1) Devrait-on recevoir 24$ à la fin des deux années (en plus du capital initial de 100$) ? ⊲ (2) Devrait-on recevoir 12$ à la fin de chacune des années (en plus du capital initial de 100$) ? ⊲ (3) Devrait-on convenir que l’intérêt non-payé à la fin de la première année doit également être soumis à une compensation (prendre de l’intérêt également) ? • Intérêt simple (simple interest) : l’intérêt annuel est calculé à partir du capital initial, durant toute la durée du prêt/emprunt ; ⊲ Situations # 1 et # 2 ; • Intérêt composé (compound interest) : l’intérêt annuel non payé, est ajouté au solde initial et porte intérêt également ; ⊲ Situation # 3 ; ⊲ Dans ce cas, le montant total à rembourser à la fin des deux années est 100 + 100 × 0.12 + (100 + 100 × 0.12) × 0.12 = 100 × 1.122 = 125.44. ⊲ Ce montant est évidemment plus grand que les 124$ qui devront être remboursés dans les situations # 1 et # 2. • Soit B0 un montant de capital initial (souvent 1$) et Bt le montant total (avec intérêt) devant être payé ou remboursé par l’emprunteur/prêteur à la fin du prêt ; • Alors, en intérêt simple, Bt = B0 +

B0 × i + B0 × i + ... + B0 × i + ,.

perçoit de l’intérêt pendant t années (t fois B0 ×i)

= B0 (1 + ti) . En intérêt composé, Bt = B0 +

B0 i +,-.

intérêt de la 1ère année

+

[B0 + B0 i] i + ,.

intérêt de la 2e année

+(B0 + B0 i + [B0 + B0 i] i) i + ... + ,. intérêt de la 3e année t

= B0 (1 + i) .

• Exemple (suite) : nous avions un taux d’intérêt annuel de 12% et B0 = 100. Lorsque nous avons de l’intérêt simple, alors Bt = B0 (1 + ti) B2 = 100 × (1 + 2 × 0.12) = 124.00.

En intérêt composé, alors, tel que mentionné plus tôt,

Bt = B0 (1 + i)t B2 = 100 (1 + 0.12)2 = 125.44. La différence de 1.44$ est l’intérêt sur 100$, i.e. 12$, qui prend intérêt à 12% sur une année, c’est-à-dire 12 × 0.12 = 1.44.

A.1. THÉORIE DE L’INTÉRÊT

225

• Plutôt que de recevoir l’intérêt à la fin de chaque année, que se passe-t-il si l’investisseur désire recevoir l’intérêt tout au long de l’année plutôt qu’à la fin ? • Fréquence de capitalisation : nombre de fois dans une année que l’intérêt annuel sur un capital est versé ou calculé ; • Exemple (suite) : dans l’exemple précédent, l’investisseur pourrait demander de recevoir une partie de l’intérêt annuel à tous les mois. Par conséquent, il recevrait 1$ par mois, plutôt que 12$ à la fin de l’année. • Soit n le nombre de fois dans une année que l’investisseur perçoit l’intérêt annuel sur un prêt et i(n) le taux d’intérêt annuel pour lequel l’intérêt est calculé à chacune des n périodes d’une année. (n) ⊲ Celui-ci reçoit donc i n à chacune des n périodes d’une année. • Alors, en intérêt simple, la valeur accumulée de l’investissement est Bt = B0 +

i(n) i(n) i(n) B0 × + B0 × + ... + B0 × n n n. + ,-

(n)

perçoit de l’intérêt pendant t×n périodes (tn fois B0 × i n )

• Plutôt que de recevoir l’intérêt à chaque période, l’investisseur pourrait décider d’accumuler l’intérêt sur l’intérêt à chaque période, en tenant compte que celui-ci est calculé n fois par an, pendant t années. On a

i(n) i(n) i(n) Bt = B0 + B0 + B0 + B0 n n n + ,- . + ,. intérêt de la 1ère période

intérêt de la 2e période

i(n) i(n) i(n) i(n) + B0 + B0 + ... + B0 + B0 n n n n + ,. intérêt de la 3e période

tn i(n) = B0 1 + . n

• Plus la fréquence de capitalisation est grande, plus il est coûteux (payant) pour un emprunteur (prêteur) de laisser accumuler l’intérêt impayé. Voir tableau suivant. • Exemple (suite) : on a i(n) = 0.12, B0 = 100 et t = 1. On cherche B1 pour différentes 0.12 n valeurs de n, i.e. le tableau plus bas calcule B1 = 100 1 + n . n B1 1 112.00 2 112.36 4 112.55 6 112.62 12 112.68 52 112.73 365 112.7475 10000 112.7496

226


• On remarque que lorsque n devient de plus en plus grand, alors B1 tend vers 112.75$. En fait, mathématiquement, n i(n) = exp i(∞) lim 1 + n→∞ n où exp (ou e) est la fonction exponentielle ou la constante d’Euler, i.e. e1 = exp (1) = 2.718281828. Par conséquent, 100 × e0.12 = 112.74969.

• On dit alors que l’intérêt est continument composé (continuously compounded).

A.1.2

Valeur présente et accumulée

• Valeur accumulée : il s’agit du montant total (capital et intérêt) qui sera remboursé à la fin du terme d’un prêt ou d’un emprunt. ⊲ Il s’agit de la valeur de Bt pour un B0 donné. On a Bt = B0 et lorsque n → ∞, alors

i(n) 1+ n

tn

Bt = B0 exp i(∞) × t .

• Exemple : un investisseur détient un capital de 1000$ qu’il veut prêter sur 5 ans. Le taux d’intérêt annuel est de 5%, mais il a le choix entre un taux d’intérêt composé annuellement ou composé continument. Quelle est la différence entre les deux valeurs accumulées ? • Solution : dans le cas où l’intérêt est composé annuellement, on a B5 = 1000 × 1.055 = 1276.30. Dans le cas où l’intérêt est composé continument, on a B5 = 1000e5×0.05 = 1284.00. Une différence de 7.70$. • Facteur d’accumulation : il s’agit de la valeur accumulée de 1$ après t années, i.e. la valeur de Bt lorsque B0 = 1. • Jusqu’à maintenant, nous avons seulement étudié le cas où nous voulions connaître la valeur finale (capital et intérêt) d’un prêt ou d’un emprunt. • On peut se poser la question inverse, i.e. quel est le montant en capital requis aujourd’hui pour avoir une valeur accumulée donnée. Par exemple, si je désire avoir 1000$ dans 5 ans (capital et intérêt), combien dois-je investir aujourd’hui ?

A.2. PROBABILITÉS

227

• Dans ce cas, on cherche B0 lorsque Bt est donné. Donc, tn i(n) Bt = B0 1 + n implique

ou

−tn i(n) B0 = Bt × 1 + n B0 = Bt × exp −t × i(∞) .

On dit que B0 est la valeur actualisée à t = 0 de Bt $ perçu au temps t. • Valeur actualisée : montant de capital requis à t = 0 pour recevoir un certain montant donné en capital et intérêt au temps t. • Exemple : une personne voudrait avoir 12000$ dans 3 ans afin d’acheter une voiture. Combien doit-il investir aujourd’hui pour rencontrer son objectif, lorsque le taux d’intérêt annuel est de 4%. • Solution : on a 12000 = B0 × 1.043 et on trouve directement

12000 = 10668. 1.043 Un montant de 10668$ investi aujourd’hui s’accumulera pendant 3 ans pour obtenir 12000$. • Facteur d’actualisation : il s’agit du montant requis aujourd’hui pour obtenir 1$ dans t années. On notera ce facteur par −tn i(n) 1 −1 = Bt = 1 + ou exp −t × i(∞) Bt n B0 =

lorsqu’il est implicite que B0 = 1. • Remarque finale : à moins d’avis contraire, la plupart du temps en mathématiques de l’ingénierie financière, le taux d’intérêt est composé continument ou une fois par an.

A.2

Probabilités

A.2.1

Fondements

• Ensemble fondamental (sample space) : ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aux résultats aléatoires. ⊲ On dit que l’ensemble fondamental est dénombrable si Ω = {ω 1 , ω 2 , ..., ω n } où n est fini ou infini.

228

ANNEXE A. RÉVISION DE NOTIONS ÉLÉMENTAIRES ⊲ Exemple (lancer d’une pièce de monnaie) : Ω = {P,F} . ⊲ Exemple (lancer d’un seul dé) : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} . ⊲ Exemple (modèle binomial à une période pour le prix d’une action) : dans la prochaine période, le prix d’une action peut monter (u) ou descendre (d). Alors, Ω = {u, d} . ⊲ Exemple (lancer de deux pièces de monnaie) : Ω = {PP, PF, FP, FF} . ⊲ Exemple (modèle binomial à deux périodes pour le prix d’une action) : à chaque période, le prix d’une action peut monter (u) ou descendre (d). Alors, Ω = {uu, ud, du, dd} . ⊲ Exemple (lancer de deux dés) :  11, 12, 13, 14, 15, 16,    21, 22, 23, 24, 25, 26. Ω= ...    61, 62, 63, 64, 65, 66

      

.

⊲ On dit que l’ensemble fondamental est non-dénombrable lorsque Ω est un intervalle de longueur finie ou infinie ou une région continue (comme R ou [0, 1]). ⊲ Exemple (cible) : si on définit l’expérience aléatoire comme étant le lancer d’une fléchette sur une cible définie dans le cercle unitaire, alors Ω = (x, y)| x2 + y 2 ≤ 1 .

• Événement (event) : sous ensemble A de Ω. ⊲ Exemple (lancer d’un seul dé) : ∗ Obtenir un nombre pair de points : A = {2, 4, 6} ; ∗ Obtenir un nombre impair de points : A = {1, 3, 5} ; ⊲ Exemple (lancer de deux pièces de monnaie) : ∗ Obtenir au moins 1 pile : A = {PP,PF,FP} ; ∗ Obtenir 2 faces : A = {FF} ; ⊲ Exemple (cible) : l’événement A d’atteindre le centre de la cible (bull’s eye) correspond à la surface du cercle rouge au centre de la cible. Par conséquent, A peut être A = (x, y)| x2 + y 2 ≤ 0.1 .

On peut également définir l’événement B qui est d’atteindre la coordonnée exacte (0.025457212, 0.012374845).

A.2. PROBABILITÉS

229

• (Mesure de) Probabilité (probability (measure)) : fonction Pr qui assigne un poids entre 0 et 1 à tous les événements possibles de Ω qui respecte les trois conditions suivantes : 1. Pour A un sous-ensemble de Ω (donc un événement), alors, 0 ≤ Pr (A) ≤ 1. 2. Pr (Ω) = 1; 3. Pour des sous-ensembles disjoints A1 , A2 , ... (i.e. Ai ∩ Aj = ∅) alors 3 Ai = Pr (Ai ) . Pr i

i

⊲ Exemple (lancer d’une pièce de monnaie) : si la pièce de monnaie n’est pas biaisée, alors Pr ({P}) = Pr ({F}) = 0.5. Si la pièce de monnaie est truquée, alors on peut observer Pr ({P}) = 1 − Pr ({F}) = 0.2 ⊲ Exemple (lancer d’un seul dé) : l’événement "Obtenir un nombre pair de points" est caractérisé par l’ensemble A = {2, 4, 6} avec probabilité Pr (A) = Pr ({2}) + Pr ({4}) + Pr ({6}) 1 1 1 1 = + + = . 6 6 6 2 ⊲ Toutefois, lorsque l’ensemble fondamental est non-dénombrable, les événements définis sur un seul point ont une probabilité nulle. ⊲ En effet, si ces événements avaient une probabilité non-nulle (très très petite), alors la somme infinie de tous ces points serait supérieure à 1, violant ainsi un des axiomes de probabilité. ⊲ Exemple (cible) : par conséquent, Pr (A) > 0 et Pr (B) = 0. • Probabilité conditionnelle (conditional probability) : probabilité de survenance d’un événement, sachant qu’un autre événement s’est produit. On a Pr ( A| B) =

Pr (A ∩ B) . Pr (B)

⊲ La probabilité conditionnelle remplit les conditions pour être une probabilité car (A ∩ B) ⊆ B et par conséquent, Donc,

Pr (A ∩ B) ≤ Pr (B) . 0 ≤ Pr ( A| B) ≤ 1.

Les autres propriétés sont faciles à vérifier.

230


• Exemple (lancer d’un seul dé) : quelle est la probabilité d’obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 sachant qu’on a obtenu un nombre pair ? ⊲ Soit A l’événement "Obtenir un nombre pair", i.e. A = {2, 4, 6} ; ⊲ Soit B l’événement "Obtenir un nombre supérieur ou égal à 4", i.e. B = {4, 5, 6} ; ⊲ A ∩ B = {4, 6} avec probabilité Pr (A ∩ B) = 26 et Pr (B) = 36 . ⊲ Donc, 2 Pr (A ∩ B) 2 Pr ( A| B) = = 63 = . Pr (B) 3 6 • Exemple (lancer de deux dés) : quelle est la probabilité d’obtenir une somme de 6 si nous avons obtenu 4 au premier lancer. ⊲ Notons par B l’événement "Obtenir 4 au premier lancer". On a B = {41, 42, 43, 44, 45, 46} 6 avec probabilité Pr (B) = 36 . ⊲ Notons par A l’événement "Obtenir une somme de 6". On a A = {15, 24, 33, 42, 51} 5 . avec probabilité Pr (B) = 36 1 ⊲ L’intersection est A ∩ B = {42} avec probabilité Pr ({42}) = 36 . ⊲ Par conséquent, la probabilité conditionnelle est Pr ( A| B) =

Pr (A ∩ B) = Pr (B)

1 36 6 36

1 = . 6

• Remarque : par la définition de la probabilité conditionnelle, on a Pr (A ∩ B) = Pr ( A| B) × Pr (B) = Pr ( B| A) × Pr (A) . Une probabilité conjointe peut être réécrite en "conditionnant" sur B (première ligne), ou sur A (seconde ligne). • Indépendance (independence) : deux événements sont dits indépendants lorsque Pr ( A| B) = Pr (A) . Par conséquent, B n’a aucun impact sur la probabilité de réalisation de A. ⊲ En utilisant la probabilité conditionnelle, on obtient Pr (A ∩ B) = Pr (A) Pr (B) . • Exemple (lancer de deux dés) : est-ce que les événements A et B sont indépendants dans l’exemple précédent ? ⊲ On a 6 5 5 × = 36 36 216 = 0.023148148

Pr (A) Pr (B) =

alors que nous avons calculé Pr (A ∩ B) =

1 = 0.02777. 36

A.2. PROBABILITÉS

231

⊲ Par conséquent les deux événements ne sont pas indépendants. ⊲ Intuitivement, le premier lancer va avoir un impact évident sur la probabilité d’avoir un total de 6. Si on obtient un 6 au premier lancer, alors il est impossible d’avoir une somme de 6. Toutefois, lorsqu’on obtient 1, 2, 3, 4 ou 5 au premier lancer, alors on a toujours 1 chance sur 6 d’obtenir une somme de 6.

A.2.2

Variable aléatoire et ses propriétés

• Variable aléatoire ou v.a. (random variable ou r.v.) : fonction X à valeurs réelles ayant comme domaine l’ensemble fondamental Ω. Donc, X : Ω → R.

⊲ Peut aussi être vu comme étant une fonction à valeurs réelles d’un sous-ensemble (ou événement). ⊲ La variable aléatoire assigne une valeur réelle à un événement ; • Variable aléatoire discrète : X est une v.a. discrète lorsqu’elle peut prendre un nombre dénombrable (fini ou infini) de valeurs. • Variable aléatoire continue : X est une v.a. continue lorsqu’elle peut prendre un nombre non-dénombrable de valeurs. C’est généralement le cas lorsque X appartient à un intervalle continu de valeurs, comme R. • Exemple (lancer de deux dés) : soit X la somme du nombre de points qu’on obtient en lançant un dé à deux reprises. Alors, {X = 2} = {11} {X = 3} = {12, 21} {X = 4} = {13, 22, 31} ... {X = 12} = {66} .

Lorsque le dé n’est pas truqué, alors

Pr (X = 2) = Pr ({11}) =

1 36

2 Pr (X = 3) = Pr ({12, 21}) = 36 ... 1 Pr (X = 12) = Pr ({66}) = . 36 • Exemple (modèle binomial à une période pour le prix d’une action) : soit S1 le prix d’une action après 1 période. Alors,

Dans ce cas, on peut associer

S1 : Ω = {u, d} → R. {S1 = 110.25} = {u} {S1 = 90.1} = {d} .

232


• Exemple (jeu de 52 cartes) : soit Ω l’ensemble des résultats possibles en pigeant une carte dans un paquet de 52 cartes. Alors 4 2 coeur, ...valet coeur, Ω= . dame coeur, ..., 2 pique, ...as carreau, ...

On peut définir une variable aléatoire X qui calcule le nombre de points obtenus après le tirage d’une carte au blackjack. On a alors {X = 2} = 2 coeur, 2 trèfle, 2 carreau, 2 pique .

• Exemple (cible) : dans le jeu de fléchettes conventionnel, on obtient 50 points lorsqu’on atteint le double-centre et 25 points lorsqu’on atteint le simple centre. De plus, chaque zone dans la cible a un pointage différent. On définirait donc A = {(x, y)| zone de double-centre} B = {(x, y)| zone de simple-centre} C, D, E.... pour toutes les autres zones. Soit X la v.a. du nombre de points qu’un joueur obtient lors du lancer d’une seule fléchette. Alors {X = 50} = { (x, y)| zone de double-centre} {X = 25} = { (x, y)| zone de simple-centre} . ... Soit Y la v.a. de la distance entre la coordonnée exacte atteinte par la fléchette et le centre (0, 0). ⊲ La v.a. X prend les valeurs 1,2,3,....,20, (les simples) 2, 4, 6, ..., 40 (les doubles), 3, 6, 9, ..., 60 (les triples), 25 et 50 (centre) et est discrète. ⊲ La v.a. Y est continue car elle prend des valeurs dans l’intervalle [0, 1] . • Fonction de répartition (cumulative distribution function ou c.d.f.) : la fonction de répartition est une fonction FX (x) telle que FX (x) = Pr (X ≤ x) ayant les propriétés suivantes : ⊲ FX (x) est non-décroissant en x; ⊲ limx→∞ FX (x) = FX (∞) = 1; ⊲ limx→−∞ FX (x) = FX (−∞) = 0; • La fonction de répartition donne la probabilité que la v.a. X prenne une valeur inférieure ou égale à x. • Exemple (lancer de deux dés) : on définit X comme la somme du nombre de points qu’on obtient en lançant deux dés. Alors FX (3) = Pr (X ≤ 3) = Pr ({X = 2} ∪ {X = 3}) = Pr (X = 2) + Pr (X = 3) 3 1 = = . 36 12

A.2. PROBABILITÉS

233

• Fonction de masse de probabilité (probability mass function ou p.m.f.) : pour une v.a. discrète, il s’agit de la fonction pX (x) telle que pX (x) = Pr (X = x) . La fonction de masse de probabilité donne la probabilité d’observer l’événement {X = x} . On déduit que FX (x) = Pr (X = j) . j≤x

Donc, pX (x) a les propriétés : ⊲ 0≤ pX (x) ≤ 1 pour toutes les valeurs possibles de x prises par X ⊲ x pX (x) = 1. • Lois de probabilité discrètes : une loi de probabilité discrète définit une fonction de masse de probabilité p (x) pour un domaine de x quelconque ; • Lois connues : ⊲ Bernoulli(p) : x = 0, 1 seulement. Il s’agit d’une variable aléatoire binaire définie par le paramètre p = Pr (X = 1) = pX (1). ⊲ Binomiale(n, p) : x = 0, 1, 2, ...n. La loi binomiale donne la probabilité d’obtenir x succès dans n essais. On a n! pX (x) = px (1 − p)n−x x! (n − x)! pour n = 1, 2, 3, ... et p ∈ [0, 1] . ⊲ Poisson(λ) : x = 0, 1, 2, .... On a

pX (x) =

e−λ λx x!

où λ > 0. • Fonction de densité de probabilité (probability density function ou p.d.f.) : pour une v.a. continue, il s’agit de la fonction fX (x) telle que Pr (X ∈ R) = fX (x) dx R

où R est une région quelconque du domaine pris par la v.a. X. Par conséquent, b Pr (a ≤ X ≤ b) = fX (x) dx. a

⊲ La fonction fX (x) est telle que fX (x) > 0 et ∞ fX (x) dx = 1. ⊲ On déduit que

−∞

FX (x) = ou

x

fX (u) du

−∞

fX (x) =

d FX (x) . dx

234


⊲ Finalement, Pr (X = x) = 0 pour tout x (voir la discussion sur les événements dans des ensembles non-dénombrables) ; • Lois de probabilité continues : une loi de probabilité continue définit une fonction de densité fX (x) pour un domaine de x quelconque ; • Lois connues : ⊲ Uniforme : x ∈ [0, 1] et fX (x) = 1. ⊲ Exponentielle(λ) : x ∈ [0, ∞ et fX (x) = λe−λx pour λ > 0. La loi exponentielle est souvent utilisée pour représenter le temps entre deux événements (processus de Poisson) ; ⊲ Normale(µ, σ) : x ∈ R et 2 1 x−µ fX (x) = √ exp − . σ 2πσ 2 La loi normale ou gaussienne est utilisée dans plusieurs contextes, et est à la base du mouvement brownien et du calcul stochastique. • Espérance (expectation) : valeur moyenne prise par la v.a. X. On a x Pr (X = x) (v.a.discrète) E [X] = =

x

xfX (x) dx (v.a.continue).

x

Similairement, pour une v.a. définie par Z = g (X), on a E [Z] = E [g (X)] g (x) Pr (X = x) (v.a.discrète) = =

x

x

g (x) × fX (x) dx (v.a.continue).

• Exemple (loi exponentielle) : l’espérance d’une loi exponentielle est ∞ E [X] = x × λe−λx dx. 0

En utilisant l’intégration par partie (dv = λe−λx et u = x), on obtient ∞ −λx ∞ E [X] = −xe + e−λx dx 0 0 −λx ∞ e 1 = 0− = . λ 0 λ

• Propriété de l’espérance : soient a et b deux constantes. Alors, E [a + bX] = a + bE [X]

A.2. PROBABILITÉS

235

lorsque X est discret ou continu. La preuve est simple. Illustrons à l’aide d’une v.a. discrète. Il suffit de définir Z = a + bX. Alors, E [Z] = E [g (X)] = (a + bx) Pr (X = x) =

x

a Pr (X = x) + b

x

x Pr (X = x)

x

= a × 1 + b × E [X] .

• Exemple (lancer de deux dés) : la v.a. X prend les valeurs 2,3,4,....,12 avec probabilités 1 2 3 1 , , , ..., 36 . Par conséquent, 36 36 36 E [X] = x Pr (X = x) x

1 2 3 +3× +4× + 36 36 36 1 ... + 12 × 36 = 7.

= 2×

• Exemple (lancer de deux dés) : dans un jeu différent, on dit qu’un joueur gagne 100$ si la somme de deux dés est de 9 ou plus, et 0 sinon. Quel est le gain moyen de ce joueur ? • Solution : on définit la v.a. Z comme étant le gain monétaire du joueur lorsque celui-ci lance deux dés, où 0, X < 9 Z = g (X) = 100, X ≥ 9. Donc,

E [Z] = E [g (X)] = 0 × Pr (X < 9) + 100 × Pr (X ≥ 9) 4 3 2 1 = 100 × + + + 36 36 36 36 = 27.777. • Espérance conditionnelle (conditional expectation) : valeur moyenne prise par la v.a. X| Y . On a E [X| Y ] = x Pr ( X = x| Y ) (v.a.discrète) =

x

x

De plus, E [X| Y = y] = =

x × f ( x| Y ) dx (v.a.continue)

x

x

x Pr ( X = x| Y = y) (v.a.discrète)

x × f ( x| Y = y) dx (v.a.continue).

236


• Remarque importante : l’espérance conditionnelle E [X| Y ] est une v.a. avec réalisation E [X| Y = y], alors que E [X] est une constante connue. Puisque E [X| Y ] est une v.a., alors cette v.a. a également une espérance. En effet, E [E [X| Y ]] =

y

= = =

E [X| Y = y] × Pr (Y = y)

y

x

x

y

x Pr ( X = x| Y = y)

× Pr (Y = y)

x Pr (X = x ∩ Y = y)

x Pr (X = x)

x

= E [X] . Similairement pour une v.a. continue. • Exemple (lancer de deux dés) : on lance deux dés et on obtient une somme de Y . Quelle est la valeur moyenne prise par le premier dé ? • Solution : soit X le nombre obtenu au lancer du premier dé, Y − X, le nombre obtenu au second lancer, et Y la somme de deux dés. On cherche E [X| Y ] . En fait, les valeurs prises par Y sont Y = 2, 3, 4, ..., 12. On a E [X| Y = 12] = 6 avec probabilité

1 = Pr (Y = 12) 36

car pour obtenir 12 avec deux lancers, il faut nécessairement avoir obtenu 6 au premier lancer. De plus, E [X| Y = 11] = 5 × Pr ( X = 5| Y = 11) +6 × Pr (X = 6| Y = 11) Pr (X = 5 ∩ Y = 11) Pr (X = 6 ∩ Y = 11) = 5× +6× Pr (Y = 11) Pr (Y = 11) = 5×

1 36 2 36

+6×

1 36 2 36

= 5.5.

Donc, E [X| Y = 11] = 5.5 avec probabilité

2 = Pr (Y = 11) . 36

On a également E [X| Y = 10] = 4 × Pr ( X = 4| Y = 10) + 5 × Pr ( X = 5| Y = 10) +6 × Pr (X = 6| Y = 10) = 4×

1 36 3 36

+5×

1 36 3 36

+6×

1 36 3 36

= 5.

A.2. PROBABILITÉS

237

Par conséquent,

 1, y=2      1.5, y = 3 ... ... E [X| Y = y] =   5.5, y = 11    6, y = 12.

De plus, on sait que

E [X] = 1 ×

1 1 1 + 2 × + ... + 6 × = 3.5 6 6 6

et donc, E [E [X| Y ]] =

E [X| Y = y] Pr (Y = y)

y

= E [X| Y = 2] × Pr (Y = 2) + E [X| Y = 3] × Pr (Y = 3) ... + E [X| Y = 12] × Pr (Y = 12) 1 2 1 = 1× + 1.5 × + ... + 6 × = 3.5 36 36 36 = E [X] . • Différentes espérances de X : dans plusieurs contextes en finance, on s’intéressera au comportement de la v.a. X. Pour décrire le risque sous-jacent à X, on peut utiliser la fonction de masse de probabilité ou l’espérance. D’autres quantités peuvent également être utilisées. ⊲ Variance (variance) : la variance de X, notée par Var[X] est Var [X] ≡ E (X − E [X])2 = E X 2 − E [X]2 .

On remarque que la variance de X est l’espérance de g (X) = (X − E [X])2 . ∗ Var [X] ≥ 0. ∗ La variance est une mesure de la déviation par rapport à la moyenne. Plus la variance est grande, plus X est variable ou risqué. ∗ L’écart-type est simplement Var [X]. ⊲ Exemple (loi normale) : la variance d’une loi normale est σ 2 . ⊲ Coefficient d’asymétrie (skewness) : le coefficient d’asymétrie de X, noté par Skew [X] est E (X − E [X])3 Skew [X] ≡ . Var [X]1.5 On remarque que le coefficient d’asymétrie de X est l’espérance de (X − E [X])3 g (X) = . Var [X]1.5 ∗ Skew [X] ∈ R

238

ANNEXE A. RÉVISION DE NOTIONS ÉLÉMENTAIRES ∗ Le coefficient d’asymétrie mesure le degré d’asymétrie d’une v.a. X, i.e. où les masses de probabilités sont concentrées (à gauche ou à droite). ∗ Les rendements d’actifs financiers ont généralement un coefficient d’asymétrie négatif. ⊲ Exemple (loi normale) : le coefficient d’asymétrie d’une loi normale est 0 (parfaitement symétique) ; ⊲ Coefficient d’aplatissement (kurtosis) : le coefficient d’aplatissement de X, noté par Kurt [X] est E (X − E [X])4 . Kurt [X] ≡ Var [X]2 On remarque que le coefficient d’asymétrie de X est l’espérance de (X − E [X])4 g (X) = . Var [X]2

∗ Kurt [X] ≥ 0. ∗ Le coefficient d’aplatissement mesure la capacité de la distribution à générer des valeurs extrêmes (à gauche ou à droite). ∗ Les rendements d’actifs financiers ont généralement un coefficient d’aplatissement très positif (largement supérieur à 3, qui est généralement la référence). ⊲ Exemple (loi normale) : le coefficient d’aplatissement d’une loi normale est 3 ; ⊲ Moments de la v.a. X : le k-ème moment de X est E X k pour k = 1, 2, 3, ... • Fonction génératrice des moments de X : MX (t) ≡ E [exp (tX)] . ⊲ Propriété importante :

A.2.3

dk = E Xk . M (t) X dtk t=0

Distribution de plusieurs variables aléatoires

• Dans plusieurs contextes en finance on devra travailler simultanément sur plusieurs variables aléatoires : ⊲ Valeur de deux actifs différents ; ⊲ Prix d’un actif au temps 1 et au temps 10. • Nous étudions les propriétés importantes de la distribution de deux ou plusieurs v.a. • Fonction de répartition conjointe (joint c.d.f.) : la fonction de répartition conjointe de deux v.a. est la probabilité conjointe (simultanée) que X ≤ x ∩ Y ≤ y, i.e. F (x, y) ≡ Pr (X ≤ x ∩ Y ≤ y) .

⊲ À partir de maintenant, l’événement A ∩ B est également noté par A, B.

A.2. PROBABILITÉS

239

⊲ De plus, F (x, ∞) = Pr (X ≤ x, Y ≤ ∞) = Pr (X ≤ x) = FX (x) ce qui est la fonction de répartition de X. SImilairement, F (∞, y) = FY (y) . • Fonction de masse de probabilité conjointe (joint p.m.f.) : la fonction de masse de probabilité conjointe de deux v.a. discrètes est la probabilité conjointe d’observer X = x, Y = y i.e. p (x, y) = Pr (X = x, Y = y) . ⊲ On déduit que pX (x) =

Pr (X = x, Y = y)

y

et similairement pour pY (y) . • Exemple (lancer de deux dés) : soit X le nombre de points en lançant un premier dé, et Y le nombre de points obtenus en lançant un second dé. Alors, p (x, y) =

1 , x = 1, 2, ..., 6, y = 1, 2, ..., 6. 36

• Fonction de densité conjointe (joint p.d.f.) : pour deux v.a. continues, il s’agit de la fonction f (x, y) telle que Pr (X ∈ A, Y ∈ B) = f (x, y) dxdy A

B

où A et B sont des régions quelconques du domaine de X et Y respectivement. ⊲ On a Pr (X ∈ A) = Pr (X ∈ A, Y ∈ R) ∞ = f (x, y) dxdy A −∞ = fX (x) dx A

et similairement pour Y . ⊲ De plus, fX (x) = et similairement pour Y.

∞

−∞

f (x, y) dy

240


• Espérance : la valeur moyenne prise par une fonction g (X, Y ) est E [g (X, Y )] = g (x, y) × p (x, y) (v.a. discrètes) x

=

x

y

y

g (x, y) × f (x, y) dxdy (v.a. continues)

• Exemple (lancer de deux dés) : on voudrait connaître la valeur espérée de la somme des points obtenus en lançant deux dés. • Solution : on cherche E [X + Y ] avec g (X, Y ) = X + Y . Par conséquent, on a E [g (X, Y )] = E [X + Y ] =

6 6 x=1 y=1

6

=

6

(x + y) ×

6

1 36

6

1 1 x+ y 36 x=1 y=1 36 x=1 y=1

1 × 6 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) 36 1 + × 6 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) 36 = E [X] + E [Y ] = 3.5 + 3.5 = 7.

=

• Propriété de l’espérance : soient a et b deux constantes. Alors, E [aX + bY ] = aE [X] + bE [Y ] . En effet pour deux v.a. discrètes, on a E [aX + bY ] = (ax + by) × p (x, y) x

= a

y

x

= a

y

x

yp (x, y)

y

x p (x, y) + b y p (x, y) x

= a

xp (x, y) + b

y

xpX (x) + b

x

= aE [X] + bE [Y ] .

y

x

ypY (y)

y

Pour deux v.a. continues la preuve est similaire, en utilisant la fonction de densité conjointe. • Indépendance : nous avons vu précédemment que deux événements A et B sont indépendants si Pr (A ∩ B) = Pr (A) Pr (B) .

A.2. PROBABILITÉS

241

Par conséquent, deux v.a. sont indépendantes si F (x, y) = FX (x) × FY (y) . Similairement, p (x, y) = pX (x) × pY (y) (v.a. discrètes) f (x, y) = fX (x) × fY (y) (v.a. continues) lorsque X et Y sont indépendantes. ⊲ En présence d’indépendance, alors E [g (X) h (Y )] = E [g (X)] E [h (Y )] . En effet, E [g (X) h (Y )] =

x

=

x

=

y

y

g (x) g (y) × p (x, y) g (x) g (y) × pX (x) × pY (y)

g (x) pX (x)

x

g (y) pY (y)

y

= E [g (X)] E [h (Y )] .

• Lorsque deux variables aléatoires sont dépendantes, on peut mesurer la force de leur lien de dépendance avec une mesure appelée "covariance". • Covariance : la covariance entre deux v.a. X et Y , est Cov (X, Y ) ≡ E [(X − E [X]) (Y − E [Y ])] . ⊲ Lorsque celle-ci est positive, alors les deux v.a. ont tendance à être toutes les deux supérieures ou toutes les deux inférieures à la moyenne dans les mêmes états de la nature. Lorsque la covariance est négative, alors une des deux v.a. a tendance à être supérieure à la moyenne lorsque l’autre est inférieure à la moyenne (et vice-versa). ⊲ On déduit que Cov (X, Y ) = E [XY ] − E [X] E [Y ] .

• Propriétés de la covariance : ⊲ Lorsque X et Y sont indépendantes alors,

Cov (X, Y ) = E [(X − E [X]) (Y − E [Y ])] = E [X − E [X]] E [Y − E [Y ]] = 0. Attention : l’inverse est très rarement vrai, i.e. lorsque Cov (X, Y ) = 0, alors X et Y ne sont pas nécessairement indépendantes.

242

ANNEXE A. RÉVISION DE NOTIONS ÉLÉMENTAIRES ⊲ Pour tout X et Y , alors Cov (X, X) = Var [X] Cov (X, Y ) = Cov (Y, X) Cov (cX, Y ) = c × Cov (X, Y ) où c est une constante. ⊲ Soient X, Y et Z trois v.a. quelconques. Alors Cov (X, Y + Z) = E [(X − E [X]) (Y + Z − E [Y + Z])] = E [(X − E [X]) × Y ] + E [(X − E [X]) × Z] −E [(X − E [X]) × E [Y + Z]] = E [XY ] − E [X] E [Y ] + E [XZ] − E [X] E [Z] − 0 = Cov (X, Y ) + Cov (X, Z) . ⊲ Par conséquent, Cov

n

Xi ,

i=1

et on déduit Var

n i=1

Xi = Cov

m

Yj

=

j=1

n

n m

Cov (Xi , Yj )

i=1 j=1

Xi ,

i=1

n j=1

Yj

=

n n

Cov (Xi , Yj ) .

i=1 j=1

La variance d’une somme de n v.a. est la somme de toutes les n2 covariances. ⊲ Cette propriété est très importante en finance, par exemple dans le choix du portefeuille d’actifs qui minimise la variance.

A.3

Processus stochastiques

• En finance et en ingénierie financière, nous voudrons très souvent modéliser l’évolution du prix d’un actif financier. Nous utiliserons alors des processus stochastiques. • Processus stochastique : modèle mathématique qui décrit l’évolution d’un phénomène dans le temps ; ⊲ Il s’agit d’une collection de variables aléatoires {Xt , t = 0, 1, 2, ...} ou {Xt , t ≥ 0} définie sur le temps. ⊲ Xt décrit la position ou l’état du processus au temps t. Il s’agit d’une variable aléatoire. • Un processus stochastique peut être à temps discret (t = 0, 1, 2, ...) ou à temps continu (t ≥ 0). • Exemples de processus stochastiques à temps discret : {Xt , t = 0, 1, 2, ...} ⊲ Chaîne de Markov, série chronologique ARIMA, etc. ⊲ Arbre binomial ou trinomial servira à modéliser l’évolution du prix d’une action à travers le temps (voir chapitres 1 à 4) ;

A.3. PROCESSUS STOCHASTIQUES

243

• Exemples de processus stochastiques à temps continu : {Xt , t ≥ 0} ⊲ Mouvement brownien, processus de Poisson, etc. ⊲ Mouvement brownien géométrique servira à modéliser l’évolution du prix d’une action dans le temps (voir chapitres 5 à 9) ; • Un processus stochastique est défini par le comportement de chacune des v.a. Xt pour tout t. • Processus markovien (Markov (or Markovian) process) : un processus est dit markovien si sa valeur future est seulement déterminée par sa valeur présente. Les valeurs prises dans le passé par le processus ne sont pas importantes. ⊲ Phénomène aléatoire sans mémoire ; ⊲ Mathématiquement, on a Pr ( Xs ≤ x| {Xu , u ≤ t}) = Pr ( Xs ≤ x| Xt ) , t < s. • Exemple (modèle AR(1)) : soit un processus stochastique à temps discret tel que Xt+1 = φXt + εt+1 , t = 0, 1, 2, ... où X0 est connu et ε1 ∼ ε2 ∼ ... ∼ N (0, σ 2 ) sont indépendants et identiquement distribués (i.i.d.). Ce processus est markovien car connaitre la trajectoire complète X0 , X1 , ..., Xt ou seulement Xt sont équivalents pour obtenir la distribution de Xt+1 . • Exemple (modèle AR(2)) : soit un processus stochastique à temps discret tel que Xt+1 = φXt + βXt−1 + εt , t = 0, 1, 2, ... où X0 est connu et ε1 ∼ ε2 ∼ ... ∼ N (0, σ 2 ) sont i.i.d. Ce processus n’est PAS markovien car on a besoin de connaitre Xt et Xt−1 pour définir la distribution de Xt+1 . • Marche aléatoire (random walk ) : processus stochastique dont chacun des accroissements est i.i.d. Il doit s’écrire comme Xt =

t

Zi

i=1

où Z1 ∼ Z2 ∼ ... sont des v.a. i.i.d. ⊲ Une marche aléatoire est un processus markovien car Pr ( Xs ≤ x| Xt , Xt−1 , Xt−2 , ...) = Pr ( Xt + Zt+1 + Zt+2 + ... + Zs ≤ x| Xt , Xt−1 , Xt−2 , ...) = Pr ( Xt + Zt+1 + Zt+2 + ... + Zs ≤ x| Xt ) puisque Zt+1 , Zt+2 , ... sont i.i.d. et indépendants de Xt . On a seulement besoin de la valeur prise par Xt pour déterminer son futur et pas nécessairement le chemin précis pris par celui-ci dans le passé. • En finance, les concepts de marche aléatoire et de processus markovien sont importants pour savoir si on peut déterminer la distribution des prix futurs en fonction du passé (analyse technique). ⊲ Une des hypothèses faibles de l’efficience des marchés repose sur le fait que les (log-) prix des actions sont des marches aléatoires.

244


A.4

Théorie de la mesure appliquée aux probabilités

• Certains des exemples sont tirés des notes du cours 80-646-04 "Méthodes stochastiques dans les sciences de la gestion", par Geneviève Gauthier. Reproduits avec son autorisation. • Dans cette section, on complète la présentation précédente avec des notions plus mathématiques ; • Ces notions sont souvent rencontrées dans des livres et articles de recherche de mathématiques financières ; ⊲ Elles peuvent être intimidantes à première vue mais lorsqu’on sait à quoi elles servent, il est plus aisé de lire des articles de recherche plus techniques ; • Nous avons défini de façon informelle qu’une probabilité assigne un poids entre 0 et 1 à un événement de Ω. Nous allons formaliser la définition de mesure de probabilité, variable aléatoire et de processus stochastique à l’aide des tribus. • Tribu (σ-algèbre) : famille F de sous-ensembles d’événements appartenant à Ω respectant les conditions suivantes : ⊲ Ω∈F ⊲ si A ∈ F alors Ac ∈ F 3 ⊲ si A1 , A2 , A3 , ... ∈ F alors Ai ∈ F i≥1

• Exemple (lancer d’un seul dé) :

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} . La plus petite tribu générée par les événements {1, 2} , {3, 4} , {5, 6} est 4 ∅, {1, 2} , {3, 4} , {5, 6} , F= . {1, 2, 3, 4} , {1, 2, 5, 6} , {3, 4, 5, 6} , Ω • Partition : une famille P d’événements {Ai , i = 1, 2, ...} est une partition de Ω si ⊲ Ai = ∅ pour tout i ⊲ A 3i ∩ Aj = ∅ pour tout i = j ⊲ Ai = Ω. i

• On dit que la tribu F est générée par P si elle est la plus petite tribu contenant les éléments de P. ⊲ On note cette tribu par F = σ (P) ; ⊲ Chacun des éléments de P sont appelés les atomes de F. • Exemple (lancer d’un seul dé) : dans l’exemple précédent, les événements {1, 2} , {3, 4} , {5, 6} forment une partition P de Ω et par conséquent, la tribu trouvée précédemment est générée par P, i.e. F = σ (P) . • Mesure de probabilité : une mesure de probabilité sur (Ω, F ) est une fonction PrP telle que : ⊲ PrP (Ω) = 1 ⊲ pour tout événement A ∈ F , alors 0 ≤ Pr (A) ≤ 1 P

A.4. THÉORIE DE LA MESURE APPLIQUÉE AUX PROBABILITÉS

245

⊲ pour les événements A1 , A2 , .... tels que Ai ∩ Aj = ∅ pour tout i = j, alors 3 Pr Ai = Pr (Ai ) . P

i

i

P

• Nous écrivons PrP pour insister que la probabilité est prise sous une mesure de probabilité P. Certaines références vont écrire P (A) au lieu de PrP (A), ce qui sera équivalent dans ce document. • Nous avons donc défini le triplet de probabilité (Ω, F , P). ⊲ Espace probabilisable : (Ω, F) ; ⊲ Espace probabilisé : (Ω, F, P) ; • Mesure de probabilité équivalente : deux mesures de probabilité P et Q définies sur (Ω, F ) sont équivalentes si Pr (A) = 0 ⇔ Pr (A) = 0 P

Q

pour tout événement A. ⊲ Les événements impossibles sont les mêmes dans les deux mesures de probabilité ; • Le changement de mesure de probabilité n’affecte que la probabilité de réalisation d’un événement quelconque ; ⊲ Il n’affecte pas Ω, ni F . Par conséquent, la fonction de répartition d’une variable aléatoire est affectée par le changement de mesure. • Exemples de changements de mesure de probabilité : ⊲ Différentes personnes qui lancent une fléchette affecteront les probabilités d’atteindre certaines zone de la cible ; ⊲ Dé truqué (le poids à l’intérieur fait en sorte qu’il peut tomber sur une face plus souvent) ; ⊲ Mesure neutre au risque ou mesure martingale équivalente : permet de calculer le juste prix d’un produit dérivé sans créer d’opportunités d’arbitrage ; • Variable aléatoire : une variable aléatoire construite sur (Ω, F) est une fonction X : Ω → R telle que pour tout x ∈ R, alors {ω ∈ Ω : X (ω) ≤ x} ∈ F . Lorsque Ω est fini et dénombrable, alors la condition précédente est équivalente à {ω ∈ Ω : X (ω) = x} ∈ F . ⊲ Une v.a. qui respecte cette condition est dite F−mesurable. ⊲ La plus petite tribu F qui fait en sorte que X est F −mesurable est F = σ (X) . • Exemple (lancer d’un seul dé) : on définit les tribus suivantes F = {∅, {1, 3, 5} , {2, 4, 6} , Ω} 4 ∅, {1, 2} , {3, 4} , {5, 6} , G = {1, 2, 3, 4} , {1, 2, 5, 6} , {3, 4, 5, 6} , Ω H = {∅, {1, 2, 3} , {4, 5, 6} , Ω}

246

ANNEXE A. RÉVISION DE NOTIONS ÉLÉMENTAIRES Soient les v.a. U et V telles que {U {U {V {V

= 1} = 0} = 1} = 0}

= = = =

{2, 4, 6} {1, 3, 4} {1, 2, 3} {4, 5, 6}

(pair) (impair) ( < 4) ( ≥ 4)

i.e. U = 1 si le tirage est pair et 0 sinon, et V = 1 si le résultat est strictement inférieur à 4 et 0 sinon. Avec quelles tribus, les v.a. U et V sont-elles mesurables ? Quelle est la plus petite tribu qui fait en sorte que U et V sont mesurables sur celle-ci ? • Solution : ⊲ Nous allons d’abord chercher la tribu I = σ (U) et vérifier laquelle des tribus F, G, H est incluse dans I. On a I ≡ σ (U) = F donc U est F-mesurable. Puisque I ⊆ G et I ⊆ H, alors U n’est pas G-ou Hmesurable. Nous aurions pu également vérifier si les ensembles {U = 1} et {U = 0} sont inclus dans chacune des 3 tribus. De plus, I ≡ σ (V ) = H. Donc, V est H-mesurable. Puisque I ⊆ F et I ⊆ G, alors V n’est pas F -ou Gmesurable. ⊲ La plus petite tribu J qui fait en sorte que U et V sont J −mesurables est J = σ ({2} , {5} , {1, 3} , {4, 6}) . • Processus stochastique : ⊲ Un processus à temps discret est une famille de v.a. {Xt , t = 0, 1, 2, ...} toutes définies sur (Ω, F) ; ⊲ Un processus à temps continu est une famille de v.a. {Xt , t ≥ 0} toutes définies sur (Ω, F) ; • Filtration : une filtration est une famille F = {Ft , t} de tribus telles que pour tout t1 ≤ t2 , alors Ft1 ⊆ Ft2 ⊆ F. • Un processus stochastique est adapté à F si pour tout t, Xt est Ft −mesurable. • Une filtration F est engendrée par le processus stochastique {Xt , t} si pour tout t, Ft = σ ({Xs , s ≤ t}) i.e. est généré par tous les Xs observés avant t. ⊲ En finance, Ft est interprétée comme l’information observée sur les marchés financiers jusqu’au temps t. ⊲ Le rôle de la filtration est d’organiser l’information telle qu’elle nous est révélée quand on avance dans le temps. • Un processus stochastique est donc défini sur le quadruplet (Ω, F , F, P) .


247

• Exemple (arbre binomial à deux périodes) : nous modélisons le prix d’une action au cours des deux prochaines périodes par le processus stochastique {St , t = 0, 1, 2} prenant les valeurs suivantes : Ω ω1 ω2 ω3 ω4

S0 50 50 50 50

S1 60 60 40 40

S2 65 55 45 30

⊲ La tribu générée par {S0 = 50} est la moins informative, i.e. F0 = {∅, Ω} . ⊲ La plus petite tribu engendrée par S0 et S1 est

F1 = σ (S0 , S1 ) =

  

 

∅, {ω 1 , ω 2 }, {ω 3 , ω 4 }, Ω . + ,- . + ,- .  S1 =60

S1 =40

F1 est l’ensemble de l’information observé à t = 1. ∗ Une fois à t = 1, si on observe que le prix de l’action est de 40$, alors on sait que le prix de l’action à t = 2 sera 45$ (ω 3 ) ou 30$ (ω 4 ). On peut déjà éliminer des possibilités futures, i.e. les prix de 65$ (ω 1 ) et 55$ (ω 2 ). ∗ Si à t = 1 on observe que le prix est de 60$, alors on sait qu’à t = 2, le prix sera soit de 65$ (ω 1 ) ou 55$ (ω 2 ). On peut déjà éliminer les possibilités 45$ (ω 3 ) ou 30$ (ω 4 ). ⊲ Finalement, à t = 2, on connait désormais toute la trajectoire complète des prix, i.e. on connait l’état de la nature. Donc, la plus petite tribu engendrée par S0 , S1 et S2 est F2 = σ ({ω 1 } , {ω 2 } , {ω 3 } , {ω 4 }) . Par exemple, le fait de savoir que les prix observés ont été dans l’ordre 50, 60, 55 nous dit que ω 2 est l’état de la nature qui a été observé. Toutefois, observer 50, 40, 45 nous indique que ω 3 s’est réalisé. ⊲ Donc, le processus stochastique est défini sur (Ω, F , F, P) où Ω = {ω 1 , ω 2 , ω 3 , ω 4 }, une tribu F avec F2 ⊆ F et F = {F0 , F1 , F2 } . • Exemple (trajectoire d’une particule sur 3 périodes) : un processus stochastique {Xt , t = 0, 1, 2, 3} est tel que ω1 ω2 ω3 ω4

X0 1 1 1 1

X1 0.5 0.5 2 2

X2 1 1 1 2

X3 0.5 0.5 1 2

Quelles sont les tribus qui engendrent ce processus ?

248


• Solution : on a donc, F0 = {∅, Ω} car X0 = 1. De plus,   F1 = σ {ω 1 , ω 2 }, {ω 3 , ω 4 } + ,- . + ,- . X1 =0.5 X1 =2 

F2 = F3 = σ  {ω 1 , ω 2 } , + ,- .

{ω 3 } , + ,- .



{ω 4 }  . + ,- .

X1 =0.5,X2 =1 X1 =2,X2 =1 X1 =2,X2 =2

⊲ Ce qui est important de voir dans cet exemple est qu’une fois qu’on observe {X1 = 2, X2 = 1} , {X1 = 2, X2 = 2}, alors on connait déjà l’état de la nature ultimement réalisé. On peut donc connaitre avec certitude ce qui se passera à t = 3. ⊲ De plus, il est impossible de distinguer entre les trajectoires 1 et 2, et ce même à la fin du processus, ce qui fait que F2 = F3 . • Espérance conditionnelle ⊲ Nous avons vu précédemment une définition de l’espérance conditionnelle avec deux variables aléatoires X et Y. ⊲ Supposons que nous étudions un processus stochastique défini sur le quadruplet usuel (Ω, F, F, P) . ⊲ Soit Ft = σ (X0 , X1 , ..., Xt ) ou Ft = σ ({Xu , u ≤ t}) dépendant du contexte. Alors, pour s ≥ t E [Xs | Ft ] = E [Xs | Xt , Xt−1 , ..., X0 ] . ⊲ Toutefois, pour toute autre tribu Gt = Ft , alors

E [Xs | Gt ] = E [Xs | Xt , Xt−1 , ..., X0 ] . ⊲ Finalement, à moins d’avoir un processus markovien, E [Xs | Ft ] = E [Xs | Xt ] . ⊲ Lorsque deux mesures de probabilités sont impliquées, alors on notera par EP [Xs | Ft ] ou EQ [Xs | Ft ] les espérances prises respectivement avec les mesures de probabilités P ou Q. • Exemple (trajectoire d’une particule sur 3 périodes) : supposons que les trajectoires sont équiprobables. On veut calculer E [ X3 | X2 , X1 , X0 ] et E [X3 | X2 ] . Débutons avec 2, si X2 = 2 E [ X3 | X2 ] = 0.25 0.25 0.25 2 0.5 × 0.75 + 0.5 × 0.75 + 1 × 0.75 = 3 si X2 = 1. De plus, E [X3 | X2 , X1 , X0 ] =

  0.5 × 

0.25 0.5

+ 0.5 × 1 2

0.25 0.5

= 0.5 si 1, 0.5, 1 si 1, 2, 1 si 1, 2, 2.

• Loi des espérances itérées (law of iterated expectations) : relation entre deux espérances conditionnelles emboitées.


249

⊲ Stipule que E [Xs | Ft1 ] = E [E [Xs | Ft2 ]| Ft1 ]

avec t1 < t2 < s. ⊲ Facilite le calcul de certaines espérances, en conditionnant étape par étape, sur certaines périodes. • Exemple (modèle AR(1)) : on cherche E [X2 | F0 ] . Or, E [X2 | F0 ] = = = = = =

E [E [X2 | F1 ]| F0 ] E [E [φX1 + ε2 | F1 ]| F0 ] E [E [φX1 + ε2 | X1 ]| F0 ] E [φX1 + E [ε2 | X1 ]| F0 ] E [φX1 + 0| F0 ] φE [X1 | F0 ] .

⊲ De plus, E [X1 | F0 ] = E [φX0 + ε1 | F0 ] = φX0 ce qui implique E [X2 | F0 ] = φ2 X0 .

• Martingale (martingale) : processus stochastique {Xt , t} tel que E [Xs | Ft ] = Xt , ∀t < s . Donc, étant donné l’information observée jusqu’à t, la valeur espérée du processus dans le futur (et n’importe quel futur s) est la valeur présente (observée à t). ⊲ Il s’agit d’un processus qui retourne en moyenne à sa valeur "initiale" (ou sa dernière valeur connue). ⊲ Supermartingale (supermartingale) : E [Xs | Ft ] ≤ Xt ⊲ Sousmartingale (submartingale) : E [Xs | Ft ] ≥ Xt • La martingale joue un rôle essentiel en ingénierie financière. ⊲ En effet, le théorème fondamental d’évaluation des actifs financiers (fundamental theorem of asset pricing) stipule que l’existence d’une mesure martingale équivalente implique l’absence d’arbitrage et vice versa. • Le fait qu’un processus stochastique soit une martingale ou non dépend de la mesure de probabilité utilisée. Donc, il se peut que EQ [Xs | Ft ] = Xt , t < s mais que EP [Xs | Ft ] = Xt , t < s.

250


A.5

Exercices

A.5.1

Exercices de probabilités

Les exercices notés Ross proviennent ou sont largement inspirés du livre de Ross (2009). 1. (Ross) La fonction de densité d’une v.a. X est c (1 − x2 ) , −1 < x < 1 f (x) = 0, sinon. (a) Quelle est la valeur de c ? (b) Quelle est la fonction de répartition de X ? (c) Calculez E[X] et Var[X] . 2. (Ross) Lorsque X suit une loi exponentielle(λ), quelle est la valeur de E[X| X > 1] ? 3. (Ross) Soit X une v.a. uniforme sur l’intervalle [0, 1]. Calculez E X| X < 12 .

4. Sachant qu’une loi binomiale est obtenue à l’aide d’une somme de n v.a. Bernoulli, trouvez l’espérance et la variance d’une loi binomiale(n, p) . 5. À l’aide de la fonction de densité d’une loi normale et de la définition de la variance, montrez que la variance d’une loi normale(µ, σ) est σ 2 . 6. Montrez que la fonction génératrice de moments d’une loi exponentielle(λ) est MX (t) =

λ . λ−t

7. Montrez que la fonction génératrice de moments d’une loi normale(µ, σ) est 1 2 MX (t) = exp µt + σ t . 2 8. (Ross) La fonction de densité conjointe de X et Y est f (x, y) =

e−x/y e−y , x > 0, y > 0. y

(a) Montrez que E[X| Y = y] = y. (b) Calculez la variance de X + Y . 9. On définit une somme aléatoire S=

N

Xi

i=1

où N est une v.a. discrète sur N = 0, 1, 2, ... et Xi sont des v.a. i.i.d. comme X. (a) Quelle est l’espérance de S ? (b) Quelle est la variance de S ?

A.5. EXERCICES

A.5.2

251

Exercices de processus stochastiques et de théorie de la mesure

Les exercices 1 à 5, 12, 13 sont de Geneviève Gauthier. Reproduits avec son autorisation. 1. Aujourd’hui lundi, vous avez un dollar dans votre tirelire. À partir de demain matin et ce, tous les matins jusqu’à vendredi inclusivement, vous tirez à pile ou face pour savoir si vous retirez un dollar (si possible) de la tirelire (pile) ou si vous y en mettez un (face). Modélisez l’évolution du contenu de votre tirelire en répondant aux questions suivantes : (a) Quel est l’ensemble fondamental ? (b) Définissez le processus stochastique que vous utilisez et donnez-en la signification. (c) Décrivez chacune des trajectoires possibles du processus stochastique. (d) Quelles sont les tribus engendrées par le processus pour les journées de lundi, mardi, mercredi et vendredi ? Interprétez chacune des tribus. (e) Quelle est la distribution du contenu de la tirelire vendredi midi ? (f) Quelle est l’espérance conditionnelle du contenu de la tirelire vendredi midi étant donné l’information disponible mercredi midi. 2. Possédant 20 dollars, nous décidons de jouer au jeu de hasard suivant. Nous lançons quatre fois un sou. Au premier lancer, nous gagnons 10 dollars si le résultat est «pile» et perdons 10 dollars si le résultat est «face». Pour les autres lancers, si le résultat obtenu est le même que celui du lancer précédent, nous ne réalisons aucune perte ni aucun gain. Par contre, si le résultat obtenu est différent du lancer précédent, nous gagnons 10 dollars si le résultat est «pile» et perdons 10 dollars si le résultat est «face». (a) Décrivez l’ensemble fondamental de cette expérience aléatoire. (b) Définissez les variables aléatoires et la notation que vous utilisez afin de modéliser cette situation. (c) Décrivez chacune des trajectoires possibles du processus stochastique. (d) Donnez la tribu représentant l’information disponible après le deuxième lancer. Interprétez. (e) Quelle est la distribution du montant que nous possédons à la fin du jeu ? 3. Le processus stochastique {Xt , t = 0, 1, 2, 3, 4} représente l’évolution du prix d’une ac-

252

ANNEXE A. RÉVISION DE NOTIONS ÉLÉMENTAIRES tion. Les trajectoires sont montrées au tableau suivant : ωi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

X0 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11

X1 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 11 11 11 11 11 11

X2 15 15 15 15 15 15 12 12 12 12 12 12 12 11 11 11

X3 16 16 15 15 14 14 13 13 13 13 13 13 12 14 14 12

X4 16 14 16 14 16 14 14 18 12 11 14 12 12 20 12 12

Prob 0,06 0,065 0,06 0,065 0,06 0,065 0,0625 0,08 0,04 0,0675 0,0625 0,0625 0,0625 0,0625 0,0625 0,0625

(a) Quelles sont les tribus engendrées par le processus {Xt , t = 0, 1, 2, 3, 4} ? En d’autres termes, trouvez Ft , t = 0, 1, 2, 3, 4.

(b) Donnez la distribution conditionnelle de X4 étant donné X2 . (c) Calculez l’espérance conditionnelle de X4 étant donné X2 . (d) Donnez la distribution conditionnelle de X4 étant donné F2 . (e) Calculez l’espérance conditionnelle de X4 étant donné F2 .

4. Soit Ω l’ensemble fondamental généré suite au lancer d’un dé Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} . On définit les variables aléatoires et les truqué et truqué) : ω X Y 1 0 0 2 0 5 3 5 5 4 5 5 5 10 5 6 10 10

mesures de probabilités suivantes (dé nonZ W 0 5 0 5 0 5 5 5 10 0 10 10

P

Q

1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6

4 12 1 12 1 12 4 12 1 12 1 12

(a) Trouvez la fonction de masse de probabilité de Y et W sous la mesure P. Que remarquez-vous ? Refaites le même exercice, en utilisant la mesure de probabilité Q. (b) Est-ce que Y (ω i ) = W (ω i ) , ∀i ?

A.5. EXERCICES

253

(c) Que pouvez-vous conclure quant à l’égalité en distribution (égalité faible en a) vs l’égalité des variables aléatoires (égalité forte en b) ? Laquelle des égalités est affectée par la mesure de probabilité ? Pourquoi ? (d) Est-il possible de construire une seule mesure de probabilité sur Ω telle que les distributions... i. ... des v.a. X et Y soient toutes deux uniformes ? Justifiez votre réponse. ii. ... des v.a. X et W soient toutes deux uniformes ? Justifiez votre réponse. iii. ... des v.a. X et W soient identiques ? Justifiez votre réponse. 5. Montrez que le processus suivant est une martingale mais n’est pas un processus markovien. Les trajectoires de {Xt , t = 0, 1, 2, 3} sont données dans le tableau suivant : ωi 1 2 3 4 5 6 7 8

X0 0 0 0 0 0 0 0 0

X1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1

X2 -2 -2 0 0 0 0 2 2

X3 -4 0 0 0 2 -2 2 2

où chacune des trajectoires est équiprobable. 6. Une particule se déplace en faisant un pas en avant ou un pas en arrière. On note par Xt son déplacement au temps t où Xt = {−1, 1} . On définit par {Yt , t = 0, 1, 2} le processus stochastique de la position de la particule. Après 2 périodes, l’ensemble fondamental est donc donné par les 4 éléments ω 1 , ω 2 , ω 3 et ω 4 . On définit la mesure de probabilité P telle que PrP (Xt = 1) = 0.5, ∀t. Dans la mesure de probabilité Q, PrQ (X1 = X2 = 1) = 0.4 et le reste des masses de probabilité est distribué uniformément sur les 3 autres états de la nature. (a) Définissez la variable aléatoire Yt . (b) Est-ce que {Yt , t = 0, 1, 2} est une martingale sous P ? Sous Q ? 7. Un joueur entre dans un jeu où à chaque tour, il gagne 1$ avec probabilité p et perd 1$ avec probabilité (1 − p). Soit Xt la richesse du joueur après t tours et Zt le gain ou la perte au tour t. (a) Définissez la variable aléatoire Xt . (b) Quel type de processus est {Xt , t = 1, 2, ...} ? Est-ce markovien ?

(c) Pour quelle condition est-ce que {Xt , t = 1, 2, ...} est une martingale ?

(d) Pour quelle condition est-ce que {Xt , t = 1, 2, ...} est une sousmartingale ?

254


8. Les trajectoires possibles d’un processus suivant : ω X0 ω 1 100 ω 2 100 ω 3 100 ω 4 100 ω 5 100

stochastique sont décrites dans le tableau X1 120 120 90 90 80

X2 130 110 100 80 84

Les trajectoires sont équiprobables. (a) Quelles sont les tribus F0 , F1 , F2 ?

(b) Démontrez que {Xt , t = 0, 1, 2} n’est pas une martingale avec les probabilités données. (c) Est-il possible d’attribuer une probabilité (non-nulle) quelconque à ω 5 de telle sorte que {Xt , t = 0, 1, 2} soit une martingale. Expliquez.

(d) Par quelle valeur devrait être remplacée X2 (ω 5 ) (84) afin que {Xt , t = 0, 1, 2} soit une martingale ?

9. Les trajectoires possibles d’un autre processus stochastique sont décrites dans le tableau suivant : ω X0 X1 X2 ω 1 100 115 130 ω 2 100 115 110 ω 3 100 90 100 ω 4 100 90 80 ω 5 100 90 75 Les trajectoires sont équiprobables. (a) Quelles sont les tribus F0 , F1 , F2 ?

(b) Démontrez que {Xt , t = 0, 1, 2} n’est pas une martingale avec les probabilités données. (c) Peut-on trouver une mesure de probabilité équivalente qui fait en sorte que {Xt , t = 0, 1, 2} soit une martingale ? Justifiez. 10. Preuves : (a) Montrez qu’une somme de martingales est une martingale. (b) Montrez qu’un produit de martingales indépendantes est une martingale. 11. On a un modèle autorégressif d’ordre 1 (AR(1)) écrit tel que Xt = φXt−1 + εt où εt ∼ N (0, σ 2 ) . (a) Montrez que ce processus est une martingale seulement lorsque φ = 1.

A.5. EXERCICES

255

(b) À l’aide de la loi des espérances itérées, trouver la formule de prévision du modèle AR(1), i.e. E [XT +k | FT ] . 12. Soient ε1 , ε2 , ... des variables aléatoires indépendantes telles que E [εi ] = 0 et V ar [εi ] = σ 2i . De plus, posons Sn ≡

n

εi

i=1

Tn ≡ V ar [Sn ] =

n

σ 2i .

i=1

Montrez que Sn2 − Tn2 est une martingale.

13. Soit X une variable aléatoire et

Mt ≡ E [X| Ft ] , t ≥ 0. En utilisant la loi des espérances itérées, montrez que Mt est une martingale.

256


Annexe B Autres B.1

Formules importantes

• Relation de parité entre une option d’achat et de vente européennes : C0Call + Ke−rT = C0Put + S0 e−rd T .

• Théorème fondamental d’évaluation des actifs financiers : ⊲ L’absence d’arbitrage implique l’existence d’au moins une mesure neutre au risque Q telle que St Q St+1 =E Ft , ∀t = 0, 1, 2, ... Bt Bt+1 L’inverse tient également. ⊲ Conséquence : Ct Q Ct+1 =E Ft , ∀t = 0, 1, 2, ... Bt Bt+1

• Fonction génératrice de moments d’une loi normale : soit X ∼ N (µX , σ 2X ), alors 2 aX 2 a MX (a) = E e = exp aµX + σ X . 2 • Lemme d’Ito ou théorème fondamental du calcul (stochastique) d’Ito : ⊲ Soit {Xt , t ≥ 0} un processus d’Ito tel que t t Xt − X0 = µ (s, Xs ) ds + σ (s, Xs ) dWs 0

0

et Yt = f (t, Xt ) une transformation quelconque du processus d’Ito. ⊲ Alors, ∂f ∂f 1 ∂2f 2 df = dt + dXt + σ (t, Xt ) dt. ∂t ∂Xt 2 ∂Xt2 • Méthode d’Euler(—Maruyama) : on approxime la solution exacte du processus d’Ito {Xt , t ≥ 0} par √ Xt+∆t = Xt + µ (t, Xt ) ∆t + σ (t, Xt ) ∆tZt+∆t 257

258

ANNEXE B. AUTRES i.i.d.

où X0 = x (connu), où Zt+∆t ∼ Z ∼ N (0, 1) . • Méthode de Milstein : on approxime la solution exacte du processus d’Ito {Xt , t ≥ 0} par √ Xt+∆t = Xt + µ (t, Xt ) ∆t + σ (t, Xt ) ∆tZt+∆t 2 1 + ∆t × σ (t, Xt ) σ ′ (t, Xt ) × Zt+∆t −1 2 i.i.d.

où X0 = x (connu), Zt+∆t ∼ Z ∼ N (0, 1) et

∂ σ (t, Xt ) = σ (t, x) . ∂x t,Xt ′

• Équation aux dérivées partielles (EDP) de Black-Scholes : ∂C 1 2 2 ∂ 2C ∂C + rSt + σ St = rC ∂t ∂St 2 ∂St2 avec conditions aux bornes données par le droit conditionnel à répliquer. • Théorème de Feynman-Kac (cas particulier) : ⊲ Soient {Yt , t ≥ 0} un processus d’Ito quelconque écrit sous la forme dYt = m (t, Yt ) dt + s (t, Yt ) dWt et une fonction telle que

Vt (y) = E exp −

T t

r (u, Yu ) du g (YT ) Yt = y .

Alors, la fonction Vt (y) est la solution à l’EDP suivante

2 ∂V ∂V 1 2 ∂ V + m (t, Yt ) = r (t, Yt ) V + s (t, Yt ) 2 ∂t 2 ∂Yt ∂Yt

avec condition aux bornes V (T, YT ) = g (YT ). L’inverse tient aussi. • Formule de Black-Scholes : le juste prix d’une option d’achat européenne dans le modèle de Black-Scholes est Ct = St e−rd (T −t) Φ (d1 ) − Ke−r(T −t) Φ (d2 ) avec √ d1 = d2 + σ T − t ln SKt + r − rd − 12 σ 2 (T − t) √ d2 = . σ T −t

• Relation de parité entre les options composées : à t = 0, on a COC0 − P OC0 = C0 − K1 e−rT1 COP0 − P OP0 = P0 − K1 e−rT1 .

B.1. FORMULES IMPORTANTES

259

• Option d’achat américaine avec dividende unique : à t = 0, l’option américaine vaut donc, S0 − Ke−rT1 + COP0 où le prix d’exercice du call-on-put est D − K 1 − e−r(T2 −T1 ) . • Option d’échange : dans le modèle de Black-Scholes, on obtient (S)

Ct = St e−rd

(T −t)

(K)

Φ (d1 ) − Kt e−rd

(T −t)

Φ (d2 )

avec d1 d2 σ2

(S) (K) −rd (T −t) −rd (T −t) ln St e − ln Kt e + 12 σ 2 (T − t) √ = σ T −t √ = d1 − σ T − t = σ 2S + σ 2K − 2ρσ K σ S .

• Variables grecques (au temps t) pour une option d’achat européenne dans le modèle de Black-Scholes : ∆ = e−rd (T −t) Φ (d1 ) Φ′ (d1 ) √ Γ = e−rd (T −t) St σ T − t St σΦ′ (d1 ) − rKe−r(T −t) Φ (d2 ) Θ = −e−rd (T −t) √ 2 T −t √ −rd (T −t) ν = St e φ (d1 ) T − t ρ = K (T − t) e−r(T −t) Φ (d2 ) . • Variable antithétique : on définit un nouvel estimateur de θ comme étant N (anti) 1 g (Xi ) + g (Xi′ ) θ ≡ . N i=1 2

• Variable de contrôle : on définit un nouvel estimateur de θ comme étant (notation MFE) N (cont) 1 θ ≡ (g (Xi ) + β (ϕ − h (Xi ))) N i=1 où

β=

Cov (g (X) , h (X)) . Var [h (X)]

• Dynamique de l’obligation zéro-coupon T1 années : (1)

dPt

(1)

(1)

= α (rt , t, T1 ) Pt dt − q (rt , t, T1 ) Pt dWt

260

ANNEXE B. AUTRES avec α (rt , t, T1 ) ≡ q (rt , t, T1 ) ≡

1 (1)

Pt

−1

(1)

∂Pt ∂t

σ (t, rt ) (1)

Pt

(1)

+ µ (t, rt )

(1)

∂Pt 1 ∂ 2 Pt + σ 2 (t, rt ) ∂rt 2 ∂rt2

(1)

∂Pt . ∂rt

• Portefeuille de réplication en intérêt stochastique : pour un titre C de maturité T < T1 émis sur le taux court, alors l’EDP que doit obéir C est rt C =

∂C ∂C 1 2 ∂2C + (µ (t, rt ) + λ (t, rt , T1 ) σ (t, rt )) + σ (t, rt ) 2 ∂t ∂rt 2 ∂rt

avec une certaine condition aux bornes pré-spécifiée (paiement du droit à l’échéance) et où α (rt , t, T1 ) − rt . λ (t, rt , T1 ) ≡ q (rt , t, T1 ) • Modèle à structure affine : le prix d’une obligation zéro-coupon est donc Pt (T ) = A (t, T ) exp (−B (t, T ) × rt ) . ⊲ Vasicek et CIR entre autres ; • Modèle de Vasicek : si on définit l’évolution du taux court sous la mesure réelle de probabilité comme drt = a (b − rt ) dt + σdWtP alors où

Pt (T ) = A (t, T ) exp (−B (t, T ) × rt )

B (t, T ) =

1 − e−a(T −t) a

σ2 A (t, T ) = exp r (B (t, T ) − (T − t)) − B (t, T ) 4a 2 σλ σ r = b+ − 0.5 2 . a a 2

B.2. TABLE DE LA LOI NORMALE

B.2

261

Table de la loi normale Fonction de répartition de la loi normale standard N (0, 1)

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9

0 0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918 0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981 0,9987 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000

0,01 0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591 0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186 0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207 0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719 0,9778 0,9826 0,9864 0,9896 0,9920 0,9940 0,9955 0,9966 0,9975 0,9982 0,9987 0,9991 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000

0,02 0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628 0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212 0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222 0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726 0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922 0,9941 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982 0,9987 0,9991 0,9994 0,9995 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,03 0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664 0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238 0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236 0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732 0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925 0,9943 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983 0,9988 0,9991 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,04 0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700 0,7054 0,7389 0,7704 0,7995 0,8264 0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251 0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738 0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927 0,9945 0,9959 0,9969 0,9977 0,9984 0,9988 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,05 0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736 0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289 0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265 0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744 0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929 0,9946 0,9960 0,9970 0,9978 0,9984 0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,06 0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772 0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315 0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279 0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750 0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931 0,9948 0,9961 0,9971 0,9979 0,9985 0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,07 0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808 0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340 0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292 0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756 0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932 0,9949 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985 0,9989 0,9992 0,9995 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,08 0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844 0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365 0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306 0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761 0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934 0,9951 0,9963 0,9973 0,9980 0,9986 0,9990 0,9993 0,9995 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,09 0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879 0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389 0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319 0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767 0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936 0,9952 0,9964 0,9974 0,9981 0,9986 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

Ingenierie Financiere Math

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