2012 “Año de la Integración Nacional Y El Reconocimiento de Nuestra Diversidad”
Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo Facultad de Ingeniería Civil, Sistemas Y Arquitectura Escuela Profesional de Ingeniería Civil
VIBRACIÓN Curso
: Dinámica
Docente
: Ing. Rodríguez Llontop Yrma
Grupo
: 05
Integrantes
: 5.1 5.2 Ramírez Armas Juan Carlos 5.3 5.4 5.5
Ciclo Académico
: 2011 - II
Lambayeque; Mayo del 2012
Vibraciones
INTRODUCCION El análisis de vibraciones es un tema muy amplio al cual se han dedicado estudios completos, esta introducción expone de forma resumida algunos aspectos teóricos de las vibraciones de los sistemas elásticos que ayudarán a comprender los métodos de cálculo de la acción de los sismos sobre las estructuras basados en sus efectos dinámicos. El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos. Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad, son capaces de vibrar. Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio. La mayoría de las máquinas y estructuras experimentan vibraciones hasta cierto grado por lo que su diseño requiere la consideración de este efecto dinámico debido a que ocasiona un aumento en los esfuerzos y tensiones. En el presente trabajo de investigación se hace detallar dos objetivos a mencionar uno es el llamado objetivo principal donde se demostrara la ecuación del movimiento de masa de una vibración libre amortiguada; ocurriendo en estas tres casos: sobre amortiguado; críticamente amortiguado, y sub amortiguado; la cual dentro de estos vale recalcar que nos ocuparemos en demostrar la solución sobre el movimiento vibratorio sub amortiguado siendo este nuestra segundo objetivo, que a sido llamado objetivo especifico. Así mismo el presente informe tendrá un ejercicio de aplicación que nos facilitar mejor la comprensión sobre el objetivo específico de esta investigación y donde a su vez esperamos que sea de información útil para el lector.
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VIBRACIONES Se denomina vibración a la propagación de ondas elásticas produciendo deformaciones y tensiones sobre un medio continuo. Afecta a materiales sólidos, líquidos y gaseosos. La vibración es la causa de generación de todo tipo de ondas. Toda fuerza que se aplique sobre un objeto genera perturbación.
DIFERENCIA ENTRE OSCILACIÓN Y VIBRACIÓN Se debe tener en claro la diferencia entre estos dos conceptos. En las oscilaciones hay conversión de energías cinética en potencial gravitatoria y viceversa, mientras que en las vibraciones hay intercambio entre energía cinética y energía potencial elástica. Debida a la pequeñez relativa de las deformaciones locales respecto a los desplazamientos del cuerpo, las vibraciones generan movimientos de menor magnitud que las oscilaciones en torno a un punto de equilibrio. Además las vibraciones al ser de movimientos periódicos (o cuasiperiódicos) de mayor frecuencia que las oscilaciones suelen generar ondas sonoras lo cual constituye un proceso disipativo que consume energía. Además las vibraciones pueden ocasionar fatiga de materiales.
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CONCEPTOS BASICOS Elongación: Es el desplazamiento desde la posición de equilibrio de un sistema .
Amplitud: Es el desplazamiento máximo desde la posición de equilibrio.
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Periodo: Es el intervalo de tiempo necesario para realizar un ciclocompleto. Frecuencia:Es el número de ciclos por unidad de tiempo.
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TIPOS DE FUERZAS QUE INTERVIENEN EN UN MOVIMIENTO VIBRATORIO ESQUEMA DE FUERZAS
Fuerza Inercial (Fi): Dada por la masa “m” del sistema Fuerza Restauradora (Fs): Es la fuerza que ejerce el resorte sobre la masa en su posición original.
Donde k es el coeficiente de deformación del resorte
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Fuerza Amortiguadora (Fd):Es la fuerza que ofrece resistencia al movimiento.
Fuerza Periódica (Ft): Es la fuerza que ocasiona el movimiento del sistema.
Por la 2 ley de Newton, hacemos sumatoria de fuerzas:
∑ ̈ TIPOS DE VIBRACIONES
Atendiendo a las fuerzas que las ocasionan las vibraciones se pueden dividir en Vibraciones Libres y Vibraciones Forzadas. Vibraciones libres: Si en un sistema intervienen las fuerzas inerciales, restauradoras y/o amortiguadoras, entonces se dice que este sistema posee una vibración libre. Cuando un sistema vibra debido a una excitación instantánea. Ésta a su vez se puede dividir en No amortiguada y amortiguada, dependiendo de la presencia o no de la fuerza amortiguadora. Vibraciones forzadas: Si en un sistema intervienen las fuerzas inerciales, restauradoras, y/o amortiguadoras y periódicas, entonces se dice que este sistema posee un vibración forzada. Cuando un sistema vibra debida a una excitación constante. Ésta a su vez se puede dividir en No amortiguada y amortiguada, dependiendo de la presencia o no de la fuerza amortiguadora.
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1.- VIBRACIONES LIBRES VIBRACION LIBRE: No Amortiguada
Sólo actúan las fuerzas inerciales y la Fuerza elástica.
D.C.L.
Haciendo Sumatoria de Fuerzas:
Luego su E.D.H. será:
Su Solución de esta ecuación es: X(t) = C1cos t + C2sen t Donde C1 y C2, son constantes arbitrarias que se determinan de las condiciones iniciales para x=x(0), t=0, v= v(0).
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También posee una solución alternativa la cual es: Dónde:
VIBRACION LIBRE: Amortiguada
Sólo actúan las fuerzas inerciales, elástica y la fuerza amortiguadora.
D.C.L.
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La solución de esta ecuación dependerá si el sistema es:
Sobre Amortiguado: n>ρ
√ √
Críticamente Amortiguado n= ρ
Sub Amortiguado n<ρ
√ √
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2.- VIBRACION FORZADA VIBRACION FORZADA: No Amortiguada
Sólo actúan las fuerzas inerciales, la Fuerza elástica y la fuerza periódica.
D.C.L
Aplicando sumatoria de fuerzas, obtenemos:
̈ ̈
La solución de esta E.D.H. es:
Donde:
= ángulo de fase
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VIBRACION FORZADA: Amortiguada
Sólo actúan las fuerzas inerciales, la Fuerza elástica, la fuerza amortiguadora y la fuerza periódica. D.C.L
∑̈ ̇ ̈ ̈ ̇ √
La solución de esta E.D.H. es:
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Ahora reemplazamos el valor de x , obtenemos:
√
Donde:
= ángulos de fase
FENÓMENO DE RESONANCIA
Es el fenómeno que sufre un cuerpo capaz de vibrar, cuando su frecuencia interna coincide con la frecuencia de la fuerza externa.
Este concepto de resonancia hace alusión a “volver a sonar” es decir amplificar el movimiento.
Cuando frecuencias son iguales se da una amplitud la cual podría destruir al cuerpo.
HUNDIMIENTO DEL PUENTE DE TACOMA NARROWS El puente original de Tacoma Narrows se extendía 1.810 m para salvar un pequeño canal cerca de Tacoma, en el estado de Washington (Estados Unidos). El puente fue abierto al tráfico el 1 de julio de 1940. Cuatro meses después se vino abajo durante un temporal de viento con rachas que alcanzaron los 68 km/h. La catástrofe fue atribuida a la resonancia, un fenómeno físico en el que una fuerza relativamente pequeña aplicada repetidamente aumenta la amplitud de un sistema oscilante. Esta fuerza repetitiva hizo que el puente se elevara y balanceara, hasta que finalmente se rompió y se precipitó.
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EJERCICIO DE APLICACIÓN 1) Una masa está obligada a moverse en línea recta sobre una superficie horizontal sin fricción por medio de un resorte y un amortiguador conectado en serie, como se muestra en la figura .Encontrar la ecuación de movimiento de la masa.
Solución: Aplicando:
F= mx
-k(x-x1) =mx ……………………………………….I -cx1 =mx ……………………………………….II
De (I): kx1 =mx + kx x1=( m/k )x + x ……………………………1 (en1x c) cx1 =( cm/k )x + cx …………………………2
Derivando la expresión ( 2 ) : cx1 = (cm/k) x + cx…………………………..3
Reemplazando (3) en (II), se tiene: -(cm/k)x-cx = mx De donde normalizando se tiene: X +( k/c )x + ( k/m )x =0
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2.-Un bloque de 50 Kg de peso esta sometido por medio de unos resortess según las disposiones que muestran la figura. La constante K1 es igual a 300 Kg/m y la constante K2 es igual 500 Kg/m. si se mueve el bloque. Determinar a)La ecuacion de movimiento del sisitema. b)El periodo y la frecuencia del movimiento resultante.
a) En la figura observamos que los resortes de 300 Kg/m están en paralelo r lo cual la constante equivale de dichos resortes será: ke= k1 + k1=(300+300) Kg/m = 600 Kg/m De la figura observamos que si le damos un desplazamiento x al bloque, las fuerzas recuperadoras de los resortes son las que se demuestran en dicha figura y aplicando la ecuación tenemos
̈
O sea
Dónde:
̈
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Luego:
̈
Es la ecuación de movimiento del sistema
b) de la ecuación anterior tenemos:
Por lo tanto el periodo es:
La frecuencia será:
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3)Determinar la ecuación diferencial de movimiento para el sistema vibratorio amortiguado que se muestra. ¿Qué tipo de movimiento ocurre? Considere K = 100 N/m,
C = 200 N.seg/m
m = 25 kg.
/////////////////////////////////////////
K
K
K
M ////////////////////////////
-
C
C
/////////////////////////////////////////
Solución c 200
N .S m
:
chef. De amortiguamiento viscoso.
m 250kg
K = 100 N/m. Diagrama del sistema. /////////////////////////////////////////
y
Kx
Kx
x
Kx
m .
.
Cx
Cx
Aplicando ecuación del movimiento de manera que el peso del cuerpo se equilibra con la deflexión estática del resorte ..
.
3kx 2c x m x ..
.
m x 2c x
3 fx 25
x0
. ..
x
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2c x
m
3 fx 25
x 0......................(1)
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Reemplazando los datos en (1) . ..
x
2 x 200 25
.
x
3 x100 25
x0
Deduciremos que: 16 2n n 8 j 2
3k
f 3k m m
100 25
f 3
f
3.46 rod / s
n 2 f 2 0 82 3.462 0
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4)En el sistema que se muestra la masa (m) esta inicialmente en reposo con el resorte sin estirar en t=0 se aplica una fuerza 60sen (10t) si la masa w = 20kg y K=15N/m y B=12Nseg/m determine la ecuación del movimiento en función del tiempo
Solución:
= X´´
√
;
X´´
=
;
=10
Amplitud
Remplazando lós valores del. Enunciado obtenemos La siguienteexpresión.
X=Xsen (Wt- ) x=0.3508sen(10t+0.34)
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5)En el siguiente sistema considerado q posee una vibración libre críticamente amortiguada, determinar : a) El valor de la frecuencia natural del sistema y el valor de la constante “c” de amortiguamiento del oscilador mostrado b) La ecuacion de posicion en funcion del tiempo X(t). considerar para t =o, X =0.35 y v =1m/seg
Realizaremos el D.C.L para el sistema
̈ ̇ ( ) ̈ ̇ Pero
Para nuestro caso en particular de amortiguamiento crítico, tenemos n=p y remplazando los valores de la Ec. Diferencial homogénea:
̈ ̇ Luego a)
Como el sistema posee amortiguamientos crítico, su solución general es: X(t)=
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Para t=0 y X=0.35m
0.35=
Para t=0 y v=1m/seg
̇ Finalmente la ecuación de posición es:
X(t)=
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