IMantilla-Formulacion Variacional de Problemas de Contorno en Espacios de Sobolev

FORMULACION VARIACIONAL DE PROBLEMAS DE CONTORNO EN ESPACIOS DE SOBOLEV IRLA D. MANTILLA N. Laboratoriode Simulación e Investigación Numérica - Facultad de Ciencias -Universidad Nacional de Ingeniería Octubre, 2007

2

RESUMEN

RESUMEN El propósito de este trabajo es mostrar una técnica de aproximación de los diferentes problemas de contorno en los espacios de Sobolev El análisis consta de tres capítulos: Capítulo1.- se darán algunos resultados necesarios sobre los espacios funcionales de Sobolev, Formulas de Green, operadores traza que introducimos en la Formulación variacional del problema.

En el capitulo 2, se enfoca la formulación variacional en espacios de Sobolev V, de los problem problemas as de contorn contorno o elíptico elípticoss Dirichl Dirichlet et y Newman Newman y com comen entam tamos os acerca de la existencia de solución de manera aproximada, se enuncia algunos resultados que permiten demostrar la existencia y unicidad de solución del problema variacional. En el capítulo 3, en este capítulo también se trata de mostrar la descomposición vectorial del espacio [L [L2 (Ω)]n, importan importante te resultad resultado o para constituir constituir la formulación variacional del Problema de Stokes en los espacios de sobolev V, así tambien se dan algun resultados con los que permite demostrar la existencia y unicidad de solución. Finalmente se dan las referencias bibliogra ficas.

2

RESUMEN

RESUMEN El propósito de este trabajo es mostrar una técnica de aproximación de los diferentes problemas de contorno en los espacios de Sobolev El análisis consta de tres capítulos: Capítulo1.- se darán algunos resultados necesarios sobre los espacios funcionales de Sobolev, Formulas de Green, operadores traza que introducimos en la Formulación variacional del problema.

En el capitulo 2, se enfoca la formulación variacional en espacios de Sobolev V, de los problem problemas as de contorn contorno o elíptico elípticoss Dirichl Dirichlet et y Newman Newman y com comen entam tamos os acerca de la existencia de solución de manera aproximada, se enuncia algunos resultados que permiten demostrar la existencia y unicidad de solución del problema variacional. En el capítulo 3, en este capítulo también se trata de mostrar la descomposición vectorial del espacio [L [L2 (Ω)]n, importan importante te resultad resultado o para constituir constituir la formulación variacional del Problema de Stokes en los espacios de sobolev V, así tambien se dan algun resultados con los que permite demostrar la existencia y unicidad de solución. Finalmente se dan las referencias bibliogra ficas.

3

INDICE INDICE GENERAL GENERAL

INDICE GENERAL 1. PRELIMINARES 1.1 Espacios de Hilbert 5 P 1.2 Espacios L (Ω) 8 1.3 Espacios de Sobolev 12 1.4 Valor de una función en el borde de Ω

15

2.-FORMULACIÓN VARIACIONAL DE PROBLEMAS ELIPTICOS 2.1 Problema de Dirichlet 2.2 Problema de Newmann 17 2.3 2.3 Existe stenci ncia y Unicida cidad d para para prob roblem lemas elíp elípttico icos linea ineale less 2.3.A Problema continuo 21 2.3.B Problema discreto 28 2.3.C Interpretación geométrica de la solución apro aproxi xima mada da y estim estimac ación ión del del error error 29

3.- Problema de Stokes 3.1-Campos vectoriales en [L2 (Ω)]n 31 3.2-Formulación Variacional del Problema de Stokes 3.3- Existencia y unicidad del problema de Stokes

BIBLIOGRAFIA

21

CAPITULO CAPITULO 1.-

4

CAPITULO 1.INTRODUCCION Los espacios de Sobolev son espa cios vectoriales cuyos eleementos son funciones definidas sobre dominios en el espacio Euclideano n-dimensional R n y cuyas derivadas parciales satisfacen ciertas condiciones de integrabilidad Empezaremos comentando algunos conceptos básicos sobre los espacios de Hilbert.

1.1 ESPACIOS DE HILBERT Definición 1.1.1 Sea H H un espacio vectorial normado real o complejo, se de fine el producto escalar (., .) : H × H → K = R o C como una función de valor real, tal que a cada par de vectores u, v ∈ H, se H, se le asocia un escalar denotado por (u, v) y que satisface las siguientes propiedades: i) (u, v ) = (v, u) u, v ∈ H , (v, u) es el número complejo conjugado de ( de (v, v, u) ii) (u + v, w) = (u, w) + (v, (v, w) u,v,w ∈ H iii) (αu, v ) = α (u, v) α ∈ K u, v ∈ H iv) ( iv) (u, u, u) > 0 > 0 ∀u 6 =0

Definición 1.1.2 Sea (H, k.k) un espacio vectorial normado, si toda sucesión {un } de cauchy es convergente respecto a su norma k.k , entonces se dice que es completo o de Banach. Si un espacio vectorial normado H es H es completo con la norma que cumple la condición ku k uk = (u, u), entonces se le de fine a H como como un espacio de Hilbert.

Ejemplos

p

El espacio R espacio R n con el producto escalar ( escalar (x, x, y) =

P n

xi y i es un espacio de Hilbert

i=1

es decir (., .) define una norma en este espacio definida por:

P P p

(x, x) =

n

i=1

xi xi =

n

i=1

2 (xi )2 = kx kxkR n .

Recordaremos algunas normas en Rn . La longitud euclideana de un vector en R n está denotada por: kvk2 = v12 + v22 + .... + .... + vn2 es llamada una norma para el espacio R espacio R n e indica la distancia del origen hacia v ∈ Rn .

5

INTRODUCCION

La norma que generaliza el valor absoluto en R 1 es: kvk1 =

P n

|vi |

i=1

También es otra norma, llamada la norma in finita en R en R n y se escribe asi: kvk∞ =max {|v {|vi |} cada |} cada v v i es una componente del vector v. v. 1≤i≤n

Definición 1.1.3 Un subconjunto M de un espacio vectorial H real o complejo, es convexo si (0, 1). 1). λx+(1 − λ)y ∈M ∀x, y ∈M, λ ∈ (0, Si H es un espacio vectorial normado real o complejo y M es un convexo cerrado no vacío de H, a cada x∈ H se H se le asocia su distancia a M representada por d por d(x,M) (x,M)=inf =inf kx − z k . z ∈M

Proposición 1.1.4 (Teorema de la proyección sobre un convexo cerrado) Sea H Sea H un un espacio de Hilbert y S 6 = ∅ un subconjunto convexo y cerrado de H. de H. Para cada u ∈ H existe existe un único elemento uo ∈S tal que ku − uo k =inf ku − v k v∈S

y se dice la proyección de u sobre S, uo = P ( P (u) = P S S (u).

Demostración Sea δ = d = d((x,S x,S); δ =inf =inf ku − vk v∈S

1.1 i) Si u ∈S, tomamos uo = u 1.1 ii) Supondremos entonces que u ∈ / S. Por definición de infimo existe una sucesión (vn ) en S tal que lim ku − vn k = δ . n→∞

Probaremos que ( que (vvn) es una sucesión de Cauchy en H. Sean x Sean x = = v vn − u, y = u = u − vm . Usando la ley del paralelogramo se obtiene: k(vn − u) + (u (u − vm)k2 + k( k(vn − u) − (u − vm)k2 = 2 kvn − uk2 + 2 ku − vmk2 kvn − vm k2 = 2(k 2(kvn − uk2 + ku ku − vm k2 ) − kvn + vm − 2xk2 vn + vm = 2(k 2(kvn − uk2 + ku ku − vmk2 ) − 4 −u 2 vn + vm ∈S, por ser convexo; luego: 2 vn + vm δ ≤ −u , 2 (*) k (*) kvvn − vmk2 ≤ 2(k 2(kvn − uk2 + ku ku − vm k2 ) − 4δ 2

°°

lim

n→∞ m→∞

°°

kvn − vmk2 ≤ 2(δ 2 + δ 2 ) − 4δ 2 = 0.

°°

°°

2

6

INTRODUCCION

Luego, (vn ) es una sucesión de Cauchy, y como H es completo, existe u o ∈ H tal que vn −→ uo . siendo S cerrado, se tiene uo ∈S y δ = lim ku − vn k = ku − uo k . n→∞ Unicidad de uo Supongamos que u o, u1 son puntos de S tales que ku − uo k = ku − u1 k = δ de modo similar a la relación (*) se obtiene: kuo − u1 k2 ≤ 2 kuo − uk2 + ku − u1 k2 − 4δ 2 = 0 luego u 1 = uo .

¡

¢

Definición 1.1.5 Sea V un espacio de Hilbert. Una proyección P : V → V es una aplicación lineal tal que P oP = P 2 = P y satisface las siguientes propiedades: 1.1 a) P u = u, ∀u ∈ P (V ). 1.1.b) I−P también es una proyección 1.1.c) Ker P =(I − P )(V ), Ker(I−P ) = P (V ) 1.1.d) P (V ) ∩ Ker P = {0} 1.1.e) P(V )+Ker P = V. La proyección P se llama ortogonal si (P V ) ⊥ (I − P ) (V ).

Proposición 1.1.6.-Sea V un espacio de Hilbert real o complejo, y sea M un subespacio vectorial cerrado de V . La aplicación P M : V → V es un operador lineal y continuo, de norma kP M k ≤ 1 en L(V, V ) ( kP k = 1 si M = 6 ∅). Si Ker(P M ) = N, entonces N es un subespacio vectorial cerrado suplementario de M en V tal que N = M ⊥, V = M ⊕ N

Teorema 1.1.7 Sea H un espacio de Hilbert y M un subespacio vectorial cerrado de H. Si u = uo + u1 ∈ M + M ⊥ , es la descomposición ortogonal de u, definimos P M : H → H mediante P M (u) = uo como el único elemento de M talque (uo − u) ⊥ M. Entonces se dice: 1.1.I) P M es una proyección ortogonal. 1.1.II) [d(u, M )]2 = ku − P M (u)k2 1.1.III) (P M (u), u) = (u, P M (u)) = kP M (u)k2 Demostración (ver [10] )

Observación: Si u ∈ M, entonces u = u + 0 ∈ M + M ⊥ ; luego P M (u) = u, ∀ u ∈ M Además d(u, M ) = kuk ⇔ P M (u) = 0, ⇔ u ∈ M ⊥ .

Nota 1.1: Sea H un espacio de Hilbert y P : H

→ H una proyección

ortogonal. Si M = P (H ) entonces M es un subespacio cerrado de H. En efecto: M = P (H ) = Ker(I−P ) y (I−P ) es ortogonal.

7

INTRODUCCION

Teorema 1.1.8 Sea H un espacio de Hilbert y M un subespacio cerrado de H. Entonces existe una única proyección ortogonal P : H → H tal que P (H ) = M

Demostración Sea P M : H → H la proyección ortogonal definida en el Teorema 1.1.7; se tiene P M (H ) = M. Sea P : H → H cualquier proyección ortogonal tal que P (H ) = M. P (H ) ⊥ (I−P )(H ) ⇒ M ⊥ (Ker P ) ⇒ Ker P ⊂ M ⊥ . 1.1.c

Como H = M + Ker P, si z ∈ M ⊥ , entonces z = m + n con m ∈ M y n ∈ Ker P ; 0 = (z, m) = kmk2 + (n, m), ⇒ m = 0, ⊥

| {z } 0

⇒ z = n ∈ Ker P. luego M ⊂ Ker P, ⇒ M ⊥ = Ker P. Sea u ∈ H, u = uo + u1 ∈ M + M ⊥.

P M (u) = uo ; P u = P uo + P u1 . P uo = uo , pues uo ∈ M = P (H ) P u1 = 0, pues u1 ∈ M ⊥ = Ker P. Luego P M = P.

A continuación introduciremos algunos espacios Funcionales que usaremos de manera natural en la formulación variacional de algunos problemas elípticos con valores de contorno.

1.2 ESPACIOS LP (Ω) En todo el contenido del trabajo denotaremos por Ω a un subconjunto abierto, acotado y simplemente conexo de Rn y por ∂ Ω= Γ la frontera de Ω, considerada suficientemente regular. Sea p un número real tal que 1 ≤ p < ∞ y Ω ⊂ Rn un conjunto medible y f : Ω −→ R una función medible tal que |f (x)| p dx < ∞ ∀x ∈ Ω.

R Ω

Definición 1.2.1 Denotemos por M p (Ω) el conjunto de funciones medibles, entonces para f ∈ M p (Ω) definimos la relación < tal que: f < g ⇔ f (x) = g(x), ∀g ∈ M p (Ω) c.t.p Ω, es decir salvo, quizás en un subconjunto de Ω de medida nula.

8

INTRODUCCION

Sobre este conjunto definimos la seminorma N p (f ) = [ |f (x)| p dx]1/p para f ∈ M p (Ω).

R Ω

Observación: N p (f ) = 0 no implica que f = 0 ∀f ∈ M p (Ω). Definición 1.2.2 La relación < es de equivalencia, haciendo una partición sobre el conjunto M p (Ω) definimos el conjunto de clases de equivalencia de funciones medibles en Ω denotado por L p (Ω) = (M p (Ω))/< para las cuales se tiene que : |f (x)| p dx < ∞.

R Ω

Entonces en el espacio L p (Ω) definimos la norma k.kLP kgkLP = [ |f (x)| p dx]1/p , donde f es un elemento de la clase g.

R Ω

Se verifica que L p (Ω), kgk p es completo (ver [10]). puesto que si {f n } es una sucesión de cauchy en L p (Ω), entonces f n −→ f en L p (Ω) con la norma kgkLP . Al conjunto L p (Ω) se le conoce como el espacio de funciones medibles y p−integrables sobre Ω. Es de gran interés en el presente trabajo considerar el espacio L p (Ω) para el caso de p = 2, L2 (Ω) = {f : Ω → R/

Z

|f |2 dx < ∞}

Ω

L2 (Ω) es llamado el espacio de funciones medibles de cuadrado integrable sobre Ω. Sobre este espacio se define el producto escalar (., .)L2 (Ω) : L2 (Ω)×L2 (Ω) −→ R tal que: (f, g)L2 (Ω) =

Z

f (x)g(x)dx

Ω

que induce a la norma kf k0,Ω definida por:

9

INTRODUCCION

Z

|f (x)|2 dx]1/2 ∀f ∈ L2 (Ω)

kf k0,Ω = kf kL2 (Ω) = [

Ω

. 1/2

El espacio L2 (Ω) con la norma kf kL2 (Ω) = (f, f )L2 (Ω) , es completo. Entonces L2 (Ω) para la norma kf kL2 (Ω) es un espacio de Hilbert.

Proposición 1.2.3:Para el producto escalar (., .)L (Ω) asociado a la norma 2

k.kL2 (Ω) se tiene la siguiente Desigualdad de Cauchy’s |(ϕ, ψ)| ≤ kϕkL2 (Ω) kψkL2 (Ω) . Esto mismo se cumple para cualquier producto escalar asociado a su norma correspondiente.

1.2.4.-Identificación de LP (Ω) por elementos de D0 (Ω) Definición.- Si G es un conjunto no vacio y G es su clausura en Rn .Se define la inclusión compacta G ⊆ Ω, si G ⊂ Ω y G es compacto (cerrado y acotado) Definición.- Si u es una función definida sobre G, se define el soporte de u, como el conjunto sop(u) = {x ∈ G : u(x) 6 = 0} Se dice que u tiene soporte compacto en Ω, si sop(u) ⊆ Ω. Si denotamos por la frontera de G al conjunto c Front(G) = G ∩ G , donde G c = Rn \G = {x ∈ Rn : x ∈ / G} Si denotamos por ∂ Ω = Γ como la frontera de Ω

FUNCIONES TEST Denotemos por: C0 (Ω) es el espacio de funciones continuas de finidas sobre Ω,donde Ω = Ω ∪ Γ, Ck (Ω) el espacio de funciones continuas, definidas sobre Ω tales que, las derivadas hasta del orden k (0
10

INTRODUCCION

muti-índice si cumple: 0 ≤ |α| ≤ m, donde m es un entero y |α| = α 1 + ........+ αN , donde N ∈ IN.

Derivada Distribucional Sea u ∈ C 1 (Ω) y ϕ ∈ D(Ω), integrando por partes respecto a la variable x j

R µ ¶ R µ ¶

R µ ¶ R µ ¶

∂ ∂ u(x) ϕ(x)dx = − u(x) ϕ(x) dx x x ∂ ∂ j j Ω Ω | | Similarmente si u ∈ C (Ω), |α| y la integracion por partes conduce a ∂ α ∂ α |α| u(x) ϕ(x)dx = (−1) u(x) ϕ(x) dx x x ∂ ∂ j j Ω Ω ∂ α Sea T ∈ D0(Ω), denotaremos por Dα = y definiremos a la derivada ∂ x j en el sentido Distribucional, si existe ψ ∈ D(Ω), tal que: α

α

D

Dα T ,

T (ψ) = (−1)|α| T Dα (ψ)

©ª

Sea ϕ, ϕ j ∈C∞ 0 (Ω), una sucesión de funciones ϕ j → ϕ se dice que converge en D(Ω) si satisface las siguientes condiciones: i) Existe K ⊆ ii) lim Dα ϕ j (x) = j →∞

tal que sop(ϕ j − ϕ) ⊂ K , ∀ j α D ϕ(x) uniformemente sobre K , para cada multi-índice α Ω,

Sea C el campo de los números complejos, si Dα ϕ j → Dα ϕ en C, donde Dα ∈ L(D(Ω), R) Entonces a los elementos de D(Ω) que satisfacen (i) y (ii) se les de fine como funciones Test o funciones de prueba.

Dualidad entre D 0 (Ω) y D(Ω) El espacio D0 (Ω) constituye un espacio vectorial topológico débil que representa el espacio dual de D(Ω) Usaremos la notación < ., . > para indicar la dualidad Sea Λ ∈ D0 (Ω) es decir que: : D(Ω) −→ R es una aplicación lineal y continua, entonces podemos representar Λ(ψ) = < Λ, ψ >; ∀ψ ∈ D(Ω) Λ

Sea ϕ ∈ L2 (Ω), que se puede identificar por la distribución mente como ϕ, entonces: < Λϕ, ψ >= (ϕ, ψ)L2 (Ω) = ϕ(x)ψ(x)dx ∀ψ ∈ D(Ω).

R Ω

Λϕ

ó simple-

Por tanto se puede establecer una aplicación continua e inyectiva del espacio L (Ω) al espacio D 0 (Ω) es decir L 2 (Ω) ⊂−→ D0 (Ω) 2

11

INTRODUCCION

∂ α Λ, se le puede identi ficar por dualidad como ∂ x j < Dα Λϕ, ψ >= (Dα ϕ, ψ)L2 (Ω) = (Dα ϕ(x)) ψ(x)dx = (−1)|α| ϕ(x) (Dα ψ(x)) dx

Entoces a la derivada

α

D Λ o

R R µ ¶

Ω

α

α

∂ ∂ < Λϕ, ψ >= ( ϕ, ψ)L2 (Ω) = ∂ x j ∂ x j Ω

Ω

α

∂ ϕ(x) ∂ x j

Definición 1.2.5.-Una función ϕ : R

R R µ ¶

|α|

ψ(x)dx = (−1)

ϕ(x)

Ω

∂ α ψ(x) dx ∂ x j

−→ R se llama simple si existe un

número finito A1 , A2 , ....Am de conjuntos medibles en R y dos a dos disjuntos tales que: i) ϕ es una constante diferente de cero en cada Ai , o sea existe ai ∈ R tal que, ϕ(x) = ai, si x ∈ Ai ,para i = 1, 2, ....m. m

ii) ϕ(x) = 0 si x ∈ / ∪ Ai i=1

Ejemplo: La función característica del conjunto A i .

Teorema 1.2.6.- Sea Ω ⊂ Rn abierto y acotado entonces D(Ω)= L p (Ω) (1 ≤ p < ∞)

Demostración La demostración se realiza en varias etapas: (ver [10]) 1.4.A). Aproximación puntual de una función medible mediante funciones simples 1.4.B). Aproximación de una función medible y de soporte compacto mediante funciones continuas 1.4.C). El conjunto de funciones simples integrables es denso en L p (Ω) 1.4.D). El conjunto de funciones de clase C k (Ω) y de soporte compacto es denso en L p (Ω). 1.4.E). El espacio D(Ω) es denso en L p (Ω); 1 ≤ p < ∞. Denotemos por el conjunto D(Ω) el espacio de funciones infinitamente diferenciables sobre Ω con soporte compacto incluido en Ω, D(Ω) = {ϕ | Ω ∈ D(Rn )} y donde Ω es la clausura de Ω. Sea n R+ = {x = (x0 , xn) ∈ Rn, xn > 0; x0 = (x1, x2 ,...,xn−1 )} n = R+ , entonces la frontera de ∂ Ω = {x = (x0 , xn ) ∈ Rn , xn = 0}

Si

Ω

Ω está

dada por:

12

INTRODUCCION

1.3 ESPACIOS DE SOBOLEV Es el espacio funcional de finido por 1 ≤ p ≤ ∞ W m,p(Ω) = {u ∈ L p (Ω) :

α

D

u ∈ L p (Ω) para 0 ≤ |α| ≤ m}

Es un espacio de Hilbert separable con el producto interno (u, v)m =

P

0≤|α|≤m α

α

(D u, D v) kuk m, p =

P

0≤|α|≤m

(kDα uk p p )1/p ; p < ∞

kukm,∞ = max kDα uk∞ 0≤|α|≤m

W 0m,p(Ω) W 0m,p(Ω)

= D(Ω) en el espacio W m,p (Ω) → W m,p (Ω) → L p (Ω)

Con lo establecido anteriormente sobre la identi ficación de L2(Ω), podemos introducir los espacios de Sobolev H m (Ω) = W m,2 (Ω), donde m entero Definición 1.3.1.-Sea Ω ⊂ Rn , definimos el espacio de Sobolev H 0(Ω) = L2 (Ω) y el espacio de Sobolev de orden 1 sobre Ω denotado por 1

2

H (Ω) = {ϕ ∈ L (Ω);

∂ϕ

n

∈ L2 (Ω) i = 1,...,n; ∇ϕ ∈ (L2 (Ω)) },

∂ xi donde las derivadas para ϕ son en el sentido de las distribuciones.

H 1 (Ω) está dotado del producto escalar: (ϕ, ψ)1,Ω = (ϕ, ψ)L2 (Ω) + ( ∇ϕ, ∇ψ)L2 (Ω) es decir, (ϕ, ψ)1,Ω =

Z

[ϕ.ψ + ∇ϕ.∇ψ]dx ∀ϕ, ψ ∈ H 1 (Ω)

Ω

que induce a la norma : kϕk1,Ω =

(ϕ, ϕ)1/2 1,Ω =

Z

(ϕ2 + |∇ϕ|2 )dx]1/2 ∀ϕ ∈ H 1 (Ω)

[

Ω

Proposición 1.3.2 El espacio H 1 (Ω) es completo con la norma k.k1,Ω .

Demostración Probaremos que toda sucesión de Cauchy en H 1 (Ω) es convergente con la norma k.k1,Ω En efecto:

13

INTRODUCCION

Sea { ϕn} una sucesión de Cauchy en H 1 (Ω) ∀ε > 0 ∃no ∈ N tal que p, q ≥ no ⇒ ϕ p − ϕq entonces: {ϕn} es de Cauchy en L 2 (Ω)

( ) ∂ϕ n ∂ xi

° °

2 1,Ω

≤ε

es de Cauchy en L 2 (Ω) i = 1, 2,...,n

pero L 2 (Ω) es completo, entonces ϕn −→ ϕ converge en L 2 (Ω) ∂ϕ n

−→ ϕi converge en L 2 (Ω) para i = 1,..,n

∂ xi

sabemos que se aplica: L2 (Ω) −→ D0(Ω) tal que ϕ −→ Λϕ

es lineal y continua, luego pertenece a D 0 (Ω) entonces ϕn −→ ϕ converge en D 0 (Ω), ∂ϕ n

−→ vi converge en D 0 (Ω) para i = 1,..,n.

∂ xi

Sabemos también, ∂ ∂ xi

: D 0 (Ω) → D0 (Ω) es tal que Λ

−→

∂ Λ ∂ xi

es lineal y continua por lo que entonces:

∂ϕ ∂ xi

∂ϕ n ∂ xi

−→

∂ϕ ∂ xi

en D 0 (Ω)

= ϕi ∈ L2(Ω), puesto que D0 (Ω) es un espacio de Hausdorff

(Ver [18]). Finalmente se tiene la convergencia de ϕn : ϕ ∈ H 1 (Ω), entonces ϕn −→ ϕ en H 1 (Ω) ya que: ϕn −→ ϕ en L 2 (Ω),

  

∂ϕ n ∂ xi

−→

∂ϕ ∂ xi

  ⇐⇒ ϕ )  

en L 2(Ω

n

−→ ϕ en H 1 (Ω)

14

INTRODUCCION

Proposición 1.3.3 Entonces el espacio H 1 (Ω) para la norma kϕk1,Ω es un

espacio de Hilbert.

Demostración 1/2

Puesto que H 1 (Ω) para la norma kϕk1,Ω = (ϕ, ϕ)1,Ω es completo, de la proposición anterior se tiene lo que se desea demostrar.

Definición 1.3.4.Definimos por H 01 (Ω) como la clausura de D(Ω) en H 1 (Ω) H 1 (Ω)

H 01 (Ω)

es decir = D(Ω) donde: 1 1 H 0 (Ω) = {ψ ∈ H (Ω) : v = 0 sobre Γ} , Γ es la frontera de

Ω

El espacio de funciones H 01 (Ω) es un sub espacio cerrado en H 1 (Ω) (ver [5]) H 01 (Ω) está dotado del producto escalar y de la norma de H 1(Ω). Nota: si ψ ∈ H 01 (Ω), entonces existe {ϕn} ⊂ D(Ω), tal que ϕn −→ ψ ie. converge en H 1 (Ω) (ver [7]),como H 1 (Ω) es completo, entonces H 01 (Ω) es completo.

Teorema 1.3.5 (Desigualdad de Poincaré).-(ver [10]) Si

Ω es

un abierto acotado en Rn , entonces ∃ una cte. C = C (Ω) positiva tal

que

 )

kϕk0,Ω ≤ C (Ω

P °°° n

∂ϕ

i=1

∂ xi

°°  °

Ω es

por |ϕ|1,Ω

; ∀ϕ ∈ H 01 (Ω).

0,Ω

Definición 1.3.6 Si

1/2

2

un abierto acotado en R n, definimos la seminorma |.|1,Ω representada

 = 

° P °° n

∂ϕ

i=1

∂ xi

°°  ° 2

1/2

∀ϕ ∈ H 1 (Ω).

0,Ω

Proposiciónes 1.3.7

La seminorma |.|1,Ω es una norma sobre el espacio H 01 (Ω), y es equivalente a la norma inducida por k.k1,Ω .

Demostración

Es una consecuencia del teorema de Poincaré. Sea ϕ ∈ H 01(Ω) tal que | ϕ|1,Ω = 0 ⇒ kϕk1,Ω = 0 ⇒ v = 0. Notar que:

15

INTRODUCCION

1 ∈ H 1 (Ω), entonces 1∈ / H 01 (Ω) ⇒ H 01 (Ω) 6⊂H 1 (Ω).

Definición 1.3.8 Sea Wm,p (Ω) = {v ∈ L p (Ω); ∂ α v ∈ L p (Ω) ∀ |α| ≤ m} En general un espacio de Sobolev de orden m se define cuando p = 2, en Wm,2 (Ω) se denota usualmente como H m (Ω). Para m ≥ 1 entero positivo, Ω abierto y acotado en R n, se define: H m (Ω) = {ϕ ∈ L2 (Ω); ∂ α ϕ ∈ L2 (Ω), |α| ≤ m, α ∈ (N)m} el espacio H m(Ω) está dotado del producto escalar (., .)m,Ω definido por (ϕ, ψ)m,Ω = ∂ α ϕ(x).∂ α ψ(x)dx; ϕ , ψ ∈ H m (Ω)

P R

|α|≤m Ω

que induce a la norma kϕkm,Ω = (ϕ, ϕ)1/2 m,Ω ⊂ R2 y m = 2 ∂ϕ ∂ϕ ∂ 2 ϕ ∂ 2 ϕ ∂ 2 ϕ 2 2 H (Ω) = {ϕ ∈ L (Ω), , , , , ∈ L2 (Ω)} ∂ x ∂ y ∂ x2 ∂ y2 ∂ x∂ y y α = (1, 0), (0, 1), (2, 0), (0, 2), (1, 1) respectivamente.

Por ejemplo para

³

Ω

2

´

Se verifica que H (Ω), k.k2,Ω es un espacio de Hilbert (ver [8]). Definimos también el espacio H m (Ω) m H 0 (Ω) = D(Ω) , es decir la clausura de D(Ω) respecto a H m(Ω) y su espacio dual por: H − m (Ω), dotado de la norma, < ϕ, v > kϕk m,Ω = sup . kvkm,Ω m v ∈ H 0 (Ω) v 6 =0

1.4 VALOR DE UNA FUNCION EN EL BORDE DE

Ω

Asumimos que Γ es la frontera de Ω en R2 , la cual es continua de clase C1 , es decir puede ser representado parametricamente por funciones continuas y diferenciables. Designaremos por: dΓ como la medida de super ficie sobre Γ,

16

INTRODUCCION

L2 (Γ) = {f : Γ → R, f es medible y de cuadrado integrable sobre medida d Γ} con el producto escalar (f, g)L2 (Γ) = ( f.g)dx , x ∈ Γ, y está dotado de la norma

R Γ

Γ para

la

R

kf k0,Ω = kf kL2 (Γ) = [ Γ |f |2 dx]1/2

Definición 1.4.1

Dado que Ω es un abierto acotado de frontera Γ continua y diferenciable, definimos la aplicación traza como la aplicación lineal y continua γ o : D(Ω) −→ L2 (Γ) tal que por la continuidad de la aplicación, puede ser extendida a una aplicación de H 1 (Ω) −→ L2(Γ) tal que γ o ϕ = ϕ | Γ es llamado el valor de ϕ sobre la frontera Γ, además dado que γ o (

∂ϕ ∂ϕ | = ∈ H 1 (Ω) podemos también definir la traza ∂ xi ∂ xi Γ

∂ϕ ) ∈ L2 (Γ). ∂ xi

Teorema 1.4.2. 1) El espacio D(Ω) es denso en H 1 (Ω) 2) Existe una constancte C tal quekγ o ϕkL2 (Γ) ≤ C kϕk1,Ω

Demostracion

La demostración (ver [18])

Definición 1.4.3 Sean: Ker(γ o ) = H 01 (Ω) Imagen(γ o ) = H 1/2 (Γ) ⊂ L2 (Γ) un subespacio propio y denso dotado de la norma k.k1/2,Γ definida por kµk1/2,Γ = inf kϕk1,Ω 1 ϕ ∈ H (Ω) γ o ϕ = µ Se define como la completitud del espacio L 2 (Γ) al espacio H −1/2 (Γ), dual de H 1/2 (Γ) dotado de la norma, < g, ϕ > kgk− 1 ,Γ = sup kϕk 1 ,Γ 2 ϕ∈H 1/2 (Γ) 2

Nota 1.4 El espacio H 1/2 (Γ) es un espacio de Hilbert para la norma k.k1/2,Γ

(ver [18]).

Definición 1.4.4 El espacio H 0 1/2 (Γ) es un subespacio de H −1/2 (Γ) definido por −1/2 H 0 (Γ) = {g ∈ H −1/2 (Γ); < g, 1 >= 0}, −

DESCOMPOSICION ORTOGONAL DE

[ L2 (Ω)]N

17

donde < ., . > índica el producto escalar de dualidad entre H −1/2 (Γ) y H 1/2 (Γ) extendido de L2 (Γ), ie. si g ∈ L2 (Γ), podemos identificar < g, µ >= g.µdx

R Γ

1/2

, x ∈ Γ, µ ∈ H (Γ).

1.4.5 FORMULAS DE GREEN Por la densidad de D(Ω) en H 1 (Ω) y de las propiedades de extensión de ϕ | Γ por γ o (ϕ) se tiene la siguiente fórmula de Green 1

Si ϕ, ψ ∈ H (Ω) se verifica

PR N

i=1 Ω

γ o (ϕ)γ o (ψ)ni ds

(1.4-i) Si ϕ ∈ H 2(Ω), entonces por

PR N

∂ψ )dx = − ϕ( ∂ xi

i=1 Ω

∂ϕ ( )ψdx+ ∂ xi

PR N

i=1 Γ

∂ϕ ∈ H 1 (Ω) reeplazando ϕ ∂ xi

∂ϕ y sumando para i = 1, ...N. ∂ xi

R R

R R

∂ϕ )ψdx, ∀ψ ∈ H 1 (Ω) ∂ n (1.4-ii)Si tomamos ψ de H 2 (Ω) y ϕ ∈ H 1 (Ω) se deduce la sigu-

∇ϕ.∇ψdx = −

Ω

iente fórmula Ω

R R

4ϕ.ψdx + Ω

∇ϕ.∇ψdx = −

Ω

ϕ.4ψdx +

( Γ

Γ

∂ψ )dx ∂ n

ϕ(

y de la diferencia de ambas ecuaciones se tiene (1.4-iii) ∀ϕ, ψ ∈ H 2 (Ω).

R

ϕ.4ψdx − Ω

R

4ϕ.ψdx = Ω

R Γ

[ϕ(

∂ψ ∂ϕ ) − ψ( )]dx ∂ n ∂ n

DESCOMPOSICION ORTOGONAL DE [L2(Ω)]n Sobre un conjunto Ω abierto y acotado de R nde frontera contínua Γ se define los problemas de contorno elípticos lineales de tipo Dirichlet (D) y de tipo Neumann (N), demostraremos la existencia y unicidad de la solución y los usaremos para demostrar la existencia y unicidad de la descomposición del espacio [ L2 (Ω)]n . Se busca una función u :

½

(D)

−4u = f en

u = g sobre

Ω Γ

Ω

−→ R que verifique: −4u = f en Ω ∂ u (N) = g sobre Γ ∂ν

 

si g = 0 se dice homogénea, y si g = 6 0 es no homogénea respecto a la condición de contorno.


[ L2 (Ω)]N

18

2.1 FORMULACION VARIACIONAL DE LOS PROBLEMAS DIRICHLET NEUMANN 2.1.1 PROBLEMA ELIPTICO DE DIRICHLET Se sabe que una solución clásica de (D) es una función u ∈ C 2 (Ω) y que verifica (D). Una solución débil para (D) es una función u ∈ H 01 (Ω) que verifica

Z

∇u.∇vdx =

Ω

Z Z

gvdx ∀v ∈ H 01 (Ω)

f.vdx+

Ω

Γ

es llamada la foma variacional del problema (D). En efecto: Para el caso que f ∈ L2 (Ω) y g = 0 Supongamos que u es suficientemente regular, por ejemplo u ∈ H 2 (Ω), multiplicando la ecuación de (D) por una función test v de H 01 (Ω) y gracias a la fórmula de Green (1.4.i.) de la ecuación: − 4u.vdx = f.vdx

R R

R Z R | {z } R R ( R R Ω

Ω

∇u.∇vdx−

Ω

Γ

∂ u .vdx= f.vdx ;como v ∈ H 01 (Ω) y satisface el problema ∂ν Ω 0

(D), se llega a tener lo siguiente: ∇u.∇vdx = f.vdσ ∀v ∈ H 01 (Ω). Ω

Ω

por tanto se tiene la formulación debil del problema (D). Hallar u ∈ H 01 (Ω) tal que (VD) ∇u.∇vdx = f.vdσ ∀v ∈ H 01 (Ω) Ω

Ω

por densidad veamos que esta igualdad es válida ∀ v ∈ H 01 (Ω) Reciprocamente: si u ∈ H 01 (Ω) es solución de (VD)⇒ u es solución para (D) En efecto: tomemos enparticular:

R R

∇u.∇vdx =

Ω

f.vdx ∀v ∈ D(Ω)

Ω

∇u.∇vdx =

Ω

R PR n

i=1 Ω

P

n ∂ u ∂ v ∂ u ∂ v . dx = < , >D0 (Ω),D(Ω) x x ∂ xi ∂ xi ∂ ∂ i i i=1

=< f, v >D0 (Ω),D(Ω)


[ L2 (Ω)]N

19

entonces:

P

∂ 2 u , v >D0 (Ω),D(Ω) =< f, v >D0 (Ω),D(Ω) ∂ x2i

n

<

i=1

se puede deducir que (D) se satisface en el sentido de las distribuciones, es decir, < −4u,v >=< f, v > ∀v ∈ D(Ω) ⇒ −4u = f en D 0 (Ω) pero f ∈ L2 (Ω) ⇒ −4u ∈ L2 (Ω), luego la ecuación tiene sentido c.t.p de L 2 (Ω). Además el hecho de que u ∈ H 01 (Ω), entonces se tiene la condición de contorno u = 0 sobre Γ y se satisface en el sentido de las trazas γ o u = u | Γ = 0 en L 2(Γ).

2.1.2 PROBLEMA ELIPTICO DE NEUMANN Para el problema (N) analizaremos los casos homogéneo y no homogéneo respecto a la condición de contorno: I) Dada f ∈ L2 (Ω) y g = 0 −4u = f en Ω (N)1 ∂ u = 0 sobre Γ

 

∂ν

Si u es suficientemente regular, por ejemplo u ∈ H 2 (Ω), multiplicando por una función test v ∈ H 1 (Ω) e integrando sobre Ω el problema se escribe: − (4u).vdx = f.vdx ∀ v ∈ H 1 (Ω)

R

R

Ω

Ω

aplicando la fórmula de Green (1.4.i) y teniendo en cuenta la condición de ∂ u contorno = 0 en la ecuación: ∂ν

R R

∇u.∇vdx+

Ω

R R Γ

∂ u .vdσ = − ∂ν

R

4udx ∀v ∈ H 1 (Ω)

Ω

resulta entonces, ∇u.∇vdx = f.vdx ∀v ∈ H 1 (Ω). Ω

Ω

por tanto se tiene la siguiente formulación variacional para el porblema (N). (VN)1

( R

∀v ∈ H 1 (Ω) hallar u ∇u.∇vdx = f.vdx

Ω

R Ω

Si u es solución clásica de (N) entonces u también es solución de (VN). En efecto:


[ L2 (Ω)]N

20

tomemos u ∈ H 1(Ω) que verifique (VN), y en particular tomemos ∀v ∈ D(Ω) :

R

R R R R R

(•) ∇u.∇vdx = f.vdx Ω

Ω

de la fórmula de Green

R R R

∇u.∇vdx = −

Ω

−

4u.vdx+

Ω

4u.vdx+

Ω

(

Γ

(−4u).vdx+

Ω

Γ

R R R (

Γ

∂ u ).vdx ∂ν

∂ u ).vdx = f.vdx ∂ν (•) Ω ∂ u ( ).vdx = f.vdx ∀v ∈ D(Ω). ∂ν Ω

∂ u ).vdx =< f, v > ∀v ∈ D(Ω) ∂ν Γ para que se verifique − 4u = f en el sentido de distribuciones −4u = f ∈ D 0 (Ω) pero f ∈ L2 (Ω) ⇒ −4u ∈ L2(Ω).

< −4u, v > +

(

R

R

se tiene que: ∇u.∇vdx = f.vdx , puesto que

R R Γ

Ω

Ω

∂ u .vdx = 0 ∀ v ∈ H 1 (Ω) ∂ν

tomando v = 1 se tiene la condición de compatibilidad f dx = 0. Ω

Podemos observar que en la formulación variacional de este problema desaparece la condición de contorno. II) Para f ∈ L2 (Ω) y g 6 = 0,con g ∈ L2 (Γ) −4u = f en Ω (N)2 ∂ u = g ∂ n Si u es solución de (N) u + c también es solución de (N) ∀c ∈ R multiplicando por una función test v ∈ H 1 (Ω) resulta: − 4u.vdx = f.vdx+ g.vdx ∀v ∈ H 1 (Ω)

 

R R R R R R R R R R Ω

Ω

Γ

de la fórmula de Green: ∂ u .vds = f.vdx+ g.vds ∀v ∈ H 1(Ω) ∇u∇vdx− ∂ n Ω Γ Ω Γ de la condición de contorno se tiene ∇u∇vdx = f.vdx+ g.vds ∀v ∈ H 1 (Ω) Ω

Ω

1

Γ

tomando v = 1 ∈ H (Ω)


[ L2 (Ω)]N

21

R R f dx+

Ω

gds = 0, esta es la condición de compatibilidad

Γ

Es decir existe solución en ambos casos pero no existe unicidad Entonces para garantizar la existencia y unicidad introduciremos los siguientes resultados.

2.2.A) Existencia y Unicidad del Problema Variacional 2.2.a) Sea V un espacio de Hilbert, 2.2.b) Con producto escalar (., .)V y la V −norma correspondiente k.kV , 2.2.c) Sea a(., .) una forma bilineal continua sobre V × V, es tal que ∃M > 0 ; a(u, v) ≤ M kuk . kvk ∀u, v ∈ V. 2.2.d) Sea l(.) : V −→ R una forma lineal continua sobre V, l ∈ V 0 espacio dual de V , i.e. ∀ u, v ∈ V y ∃C > 0 tal que : l(v) ≤ C kvk ∀v ∈ V donde l(v) klkV 0 = sup ( ), V 0 es de Banach. kvk v ∈ V v 6 =0 Entonces el problema variacional elíptico lineal estaría dado por: (P)

½

Hallar u ∈ V tal que: a(u, v) = l(v)

Para la existencia única de solución del problema (P) necesitamos introducir una condición adicional sobre a(., .), entonces a continuación utilizaremos la siguiente definición como una condición suficiente.

Definición2.2.1A . Se dice que la forma bilineal a(., .) es V -elíptica, si existe α ≥ 0 tal que a(v, v) ≥ α kvk2 ∀v ∈ V.

Teorema 2.2.2A( Lema de Lax-Milgram) Con las hipótesis a), b), c) y sí la forma bilineal satisface la de finición 2.2.1A, i.e. a(., .)es V − el´ı ptica. Entonces el problema (P) admite solución única u ∈ V ; además la aplicación lineal l → u es continua de V 0 en V . Si a(., .) es simétrica, entonces u se caracteriza por la propiedad: u ∈ V y 21 a(u, u) − l(u) =min { 12 a(v, v) − l(v)} v∈V


[ L2 (Ω)]N

22

Demostración (ver [18]) Sea (., .) el producto escalar en V Sea V 0 el dual de V l ∈ V 0 ⇒ del teorema de representación de Riez ∃! L tal que l(v) = (τ l, v)V ∀v ∈ V entonces existe una correspondencia biunivoca τ : l → τ l de V 0 sobre V esta correspondencia es una isometría. Por notación usaremos τ l = L (L, v) l(v) kLkV = sup = sup = klkV 0 kvk kvk v ∈ V v ∈ V v 6 =0 v 6 =0 Por tanto klkV 0 = kLkV . [∗] Fijando u dentro de V la forma lineal que aplica v → a(u, v) es continua sobre V. entonces es un elemento de V 0 . Aplicando nuevamente el teorema de representación de Riesz, se tiene la existencia y unicidad de un elemento Au ∈ V tal que: (Au,v) = a(u, v) ∀v ∈ V.

Entonces hemos definido el operador A : V → V tal que para u se tiene que Au es lineal y continua, dado que: (Au,v) a(u, v) kAukV = sup = sup ≤ M kuk . kvk kvk (2.2.c) v ∈ V v ∈ V v 6 =0 v 6 =0 Entonces el problema variacional (P) es equivalente al siguiente problema:

½

Encontrar u ∈ V tal que Au = L

Entonces el teorema se reduce a demostrar que A es biyectivo en efecto: De la elipticidad de a(., .) se tiene, 2 α kvk ≤ a(v, v) = (Av,v)V ≤ kAvk . kvk dividiendo por kvk , [+] α kvk ≤ kAvk ∀v ∈ V pero A es lineal y contínua, entonces es inyectiva.


[ L2 (Ω)]N

23

Con esto prueba que A es inyectivo. Para probar que A suprayectivo es decir que AV = V veremos sucesivamente que: i) AV es cerrado en V ii) (AV )⊥ = {0}

½

i) Sea w ∈AV ⊂ V, es decir ∃(Avm) ⊂ AV tal que (wm ) −→ w en V , entonces ∃vm ⊂ V tal que w m = Avm, en virtud de [+] kAvm − Av p k = kA(vm − v p )k ≥ α kvm − v p k ⇒ vm es una sucesión de Cauchy en un espacio de Hilbert V ⇒ vm → v en V . Por la continuidad de A ⇒ Avm = wm −→ Av = w ∈ AV esto prueba que AV es cerrado dentro de V . ii) Sea v0 ∈ (AV )⊥ 2 α kv0 k ≤ a(v0 , v0 ) = (Av0 , v0 ) = 0 ⇒ v0 = 0. Sea H = AV H es cerrado en V y V = H ⊕ H ⊥ entonces V = A(V ) luego A es suryectiva Con esto se prueba la biyectividad de A. Se puede demostrar también que A −1 : V −→ V es continua dado que: kAvk ≥ α. kvk ∀v ∈ V ⇒ kA−1 vk ≤ α1 kvk , luego A −1 es continua. De todo lo dicho en [*] sobre l se puede deducir que la solución u del problema (P) verifica: kuk = kA−1 Lk ≤ α1 . kLk = α1 . klk . Con esto queda demostrado el teorema. Además si a(., .) es simétrica, a(u, v) = a(v, u) ∀u ∈ V, ∀v ∈ V introducimos el funcional F (v) = 21 a(v, v) − l(v) y consideramos que el problema dado es equivalente al problema de minimización Encontrar u ∈ V tal que: (PM) F (u) =inf F (v)

(

v ∈V


[ L2 (Ω)]N

24

Nota 2.2.2A: Por tanto si a(., .) es simétrica y V −elíptica, entonces el problema (PM) admite una solución única u ∈ V , que es también solución del problema (P). En efecto: Sea u ∈ V solución del problema (P) y w cualquier elemento de V ; por la simetría de a(., .) F (u + w) = 21 {a(u, u) + 2a(u, w) + a(w, w)} − {l(u) + l(w)} = = F (u) + {a(u, w) − l(w)} + 21 a(w, w) desde que u satisface el problema (P) F (u + w) = F (u) + 21 a(w, w), y de la V -elípticidad de a(., .) se tiene que: F (u + w) ≥ F (u) + α2 kwk2 F : V → R es diferenciable según Gateaux en u ∈ V si existe F 0 (u) talque (F 0 (u), v) = a(u, v) − l(v) = 0 ⇔ a(u, v) = l(v) 6 u ∀v ∈ V ; v = F (u) < F (v). De la V-elipticidad y continuidad de a(., .) M kuk ≥ l(u) = a(u, u) ≥ α kuk2 se obtiene una estimación para u kukV ≤ M . α

2.2.2.APLICACION DE LAX MILGRAM AL PROBLEMA (VN) Veremos para el caso del problema de Neumann no homogéneo. Sea la forma bilineal definad sobre H 1 (Ω) × H 1 (Ω) → R a(., .) no es H 1 (Ω)-elíptica, puesto que: kϕk21,Ω = [ (ϕ2 + |∇ϕ|2 )dx]1/2, luego no existe α > 0 tal que:

R R Ω

a(ϕ, ϕ) = |ϕ|2 dx ° α kϕk21,Ω . Ω

Por lo que no se asegura la unicidad en H 1 (Ω). Para poder aplicar el teorema de existencia y unicidad de Lax Milgram a este problema primero daremos los siguientes resultados que nos permitan demostrar la unicidad.

Definición 2.2.3A Sea P 0 es el conjunto de polinomios de grado cero. Dado un espacio de funciones V , la clase de equivalencia de u ∈ V en el espacio cociente V /P 0 se denotará . por u, es decir, . u= {u + c donde c ∈ P 0} ∈ V /P 0 .


[ L2 (Ω)]N

25

Haciendo V = H 1(Ω) .

Definimos el espacio cociente H 1 (Ω)/P 0 como el conjunto de elementos u, . donde u es la clase de equivalencia perteneciente a H 1(Ω)/P 0 y está dotado de la norma: . u H 1 (Ω)/P = inf ku + ck1,Ω . . 0

°°

u∈u, c ∈R

Entonces tiene sentido la siguiente formulación variacional en el espacio cociente H 1 (Ω)/P 0 . hallar u∈ H 1 (Ω)/P 0 . . . . . (VN)2 ∇ u ∇ v dx = f. v dx+ g. v ds ∀ v∈ H 1 (Ω)/P 0

( R Ω

.

1

R R Ω

Γ

u= {u + c donde u ∈ H (Ω), c ∈ P 0 } ∈ H 1 (Ω)/P 0 . Probaremos primero que el espacio cociente H 1(Ω)/P 0 es de Hilbert.

Proposición 2.2.4A

°° .

1

El espacio H (Ω)/P 0 dotado de la norma del cociente u de Hilbert.

Demostración

H 1 (Ω)/P 0

Como H 1 (Ω) es un espacio de Hilbert . ⇒ u H 1 (Ω)/P =inf . ku − PrP o (u)k1,Ω ;

°°

0

u∈u

1 med(Ω) u − PrP o (u) = PrP o (u) (2.2.4) PrP o (u) =

⊥

°° .

R

udx

Ω

° °

u H 1 (Ω)/P = PrP o (u) 0 haciendo P 0 = M, definimos una isometría de H 1 (Ω)/M −→ M ⊥ tal que . u−→ PrM (u) luego H 1 (Ω)/M está dotado del producto escalar ⊥

⊥

.

.

(u, v)H 1 (Ω)/M = (PrM (u), PrM (v))H 1 (Ω) ⊥

.

.

°° .

(u, u)H 1 (Ω)/M = u

2 H 1 (Ω)/P 0

⊥

.

por tanto H 1 (Ω)/M es un espacio de Hilbert. por comodidad a partir de ahora prescindiremos del punto (·)

Proposición 2.2.5A

es un espacio


[ L2 (Ω)]N

26

Sea l(.) una forma lineal continua sobre H 1 (Ω) tal que l(s) = 0 ⇒ s = 0 ∀s ∈ R. Entonces la norma [|u|21,Ω + (l(u))2 ]1/2 es equivalente sobre H 1 (Ω) a la norma usual kuk1,Ω . (ver [18])

Proposición 2.2.6A

¯ ¯ °° ¯ ¯ ¯¯ .

La seminorma u 1,Ω es una norma en el espacio cociente H 1 (Ω)/P 0, entonces . las normas u H 1 (Ω)/P 0 y |u|1,Ω son equivalentes.

Demostración: .

.

Sea |u|1,Ω = u 1,Ω ∀u ∈u . . Si u 1,Ω = 0 ⇒u= 0 en H 1 (Ω)/P 0 Probaremos (H 1 (Ω)/P 0, |u|1,Ω ) es un espacio completo .

Sea ( un ) una sucesión de Cauchy en H 1 (Ω)/P 0 para la norma |.|1,Ω . . . . dado que u p − uq 1,Ω = |u p − uq |1,Ω ∀u p ∈u p , ∀uq ∈uq . construimos a partir de ( un ) una sucesión (u∗n ) tal que:

¯ ¯

l(u∗n ) = 0 ∀n, donde l(.) es la forma lineal de la Proposición 2.3.4 veamos: .

Sea u n ∈un, tomando u ∗n = un − l(u∗n ) = l(un ) −

l(un) l(1)

l(un ) .l(1) = 0 l(1)

u∗n es de Cauchy con |.|1,Ω , por la proposición anterior

¯ ¯

2

° ¯ ¯¯

° ¯

2

u p∗ − u∗q 1,Ω + l2 (u p∗ − u∗q ) = u p∗ − u∗q 1,Ω por lo que (u∗n ) es de Cauchy en H 1(Ω), y este espacio es completo con |.|1,Ω , entonces ∃u∗ ∈ H 1 (Ω) tal que u ∗n −→ u∗ en . . .∗ Para concluir se observa que un − u 1,Ω = |u∗n − u∗ |1,Ω −→ 0 .

n→∞

de la continuidad v 1,Ω ≤ kvkH 1 (Ω)/P 0 y por el teorema de la aplicación abierta . (ver en [10]) se tiene la equivalencia de las normas u H 1 (Ω)/P 0 y |u|1,Ω .

°°

Pretendemos aplicar el teorema de Lax Milgram al problema variacional (VN) Entonces formulamos el siguiente problema abstracto para el método de elementos finitos: . Encontrar u∈ H 1 (Ω)/P 0 talque ∗ . . . . (VN) a(u, v) = l(v) ∀ v∈ H 1 (Ω)/P 0

½


[ L2 (Ω)]N

27

.

?‘Este problema tiene solución única u∈ H 1 (Ω)/P 0?. Tomando . . a(u, v) = ∇u.∇vdx .

R R R Ω

g.vdx ∀v ∈ H 1 (Ω)/P 0 .

l(v) = f.vdx+ Ω

Γ

H 1 (Ω)/P 0 es un espacio de Hilbert (de Prop.2.2.6) Demostraremos ahora: i) La continuidad de a(., .) : a(u, v) = ∇u.∇vdx ≤ |u|1,Ω |v|1,Ω ≤ kuk1,Ω kvk1,Ω ∀u, v ∈ H 1 (Ω)

R Ω

Sustituyendo u por u + s y v por v + r, s,r ∈ R ∇(u + s).∇(v + r)dx ≤ |u + s|1,Ω . |v + r|1,Ω ≤ ku + sk1,Ω . kv + rk1,Ω

R Ω

a(u, v) ≤ [inf . ku + sk1,Ω . inf kv + rk1,Ω ] s∈R

r∈R

= kukH 1 (Ω)/P 0 kvkH 1 (Ω)/P 0 ∀u, v ∈ H 1 (Ω)/P 0 ii) La elipticidad de a(., .): Por lo dicho anteriormente a(u, u) = ∇u.∇udx = |u|21,Ω

R R R ³ ´ R R Z Z | {z } ³ ´ ³ ´ Ω

2

≥

(Prop.2.2.6.)

α kukH 1 (Ω)/P 0

iii) La continuidad de l |l(v)| = f.vdx+ g.vds ≤ kf k0,Ω . kvk0,Ω + kgk0,Γ . kvk0,Γ Ω

Γ

≤ kf k0,Ω + C kgk0,Γ . kvk1,Ω ∀v ∈ H 1 (Ω)

y sustituyendo v por v + s; s ∈ R se tiene que: l(v + s) = f.vdx+ Ω

g.vdx) + s (

Γ

f.dx+

Ω

g.dx)= l(v)

Γ

=0

asumimos que existe C > 0 tal que: |l(v + s)| ≤ kf k0,Ω + C kgk0,Γ . kv + sk1,Ω tomando el infimo |l(v + s)| ≤ kf k0,Ω + C kgk0,Γ . inf kv + sk1,Ω ∗

s∈R

⇒ l(v) ≤ C kvkH 1 (Ω)/P 0 .

Del teorema 2.2.2 A (Lema de Lax Milgram) de i), ii) y iii) se tiene la existencia única de la solución del problema (VN) ∗ .

Observación 2.2.2A Supongamos que en el .problema (VN)∗ f ∈Wm,p(Ω),

g ∈Wm+1−1/p,p(Γ), donde 1 < p < ∞. Entonces u∈Wm+2,p(Ω)ÁP 0 y existe una constante C> 0, tal que . u W m+2,p (Ω)ÁP ≤ C {kf km,p,Ω + kgkm+1−1/p,p,Γ}. 0

°°


[ L2 (Ω)]N

28

(ver en [18])

2.2.C INTERPRETACION GEOMETRICA Y ESTIMACION DE ERROR DE LA SOLUCION APROXIMADA La solución ϕh es la proyección con respecto al producto escalar de V, de la solución exacta ϕ sobre V h , es decir ϕ h ∈ V h y es el elemento mas cercano a ϕ con respecto a la norma k.kH 1 (Ω) o que: kϕ − ϕh kH 1 (Ω) ≤ kϕ − ψkH 1 (Ω) ∀ψ ∈ V h .

2.2.C1 ESTIMACION DEL ERROR En primer lugar probaremos un resultado importante que estima la estabilidad de la solución ϕh ∈ V h. Elegimos un ψ = ϕh en el problema (Ph ), de la propiedad de V −elipticidad de la forma bilineal a(., .) y de la continuidad de la forma lineal l(.), existen α, C > 0 tales que: 2 α kϕh kV ≤ a(ϕh , ϕh ) = l(ϕh ) ≤ C kϕh kV donde k ϕh kV = 6 0, entonces dividiendo por este término, se obtiene: C kϕh kV ≤ . α

Teorema 2.2.C2 Sean los problemas continuo (A) y discreto (B) respectivamente: a(ϕ, ψ) = l(ψ) a(ϕh , ψ) = l(ψ) (A) (B) ∀ψ ∈ V ∀ψ ∈ V h Si ϕ ∈ V es la solución de (A) y ϕ h ∈ V h es la solución de (B), donde V h ⊂ V. Entonces C kϕ − ϕh kV ≤ kϕ − ψkV ∀ψ ∈ V h .

½

½

α

Demostración

Como V h ⊂ V , tomemos en particular a(ϕ, w) = l(w) ∀w ∈ V h , de la sustracción a(ϕ − ϕh, w) = 0 ∀w ∈ V h Para ψ ∈ V h arbitrario, definimos w = ϕh − ψ ⇒ w ∈ V h , ⇒ ψ = ϕ h − w De la elipticidad y continuidad de a(., .) existen α , β > 0 tales que: 2 α kϕ − ϕh kV ≤ a(ϕ − ϕh , ϕ − ϕh ) = a(ϕ − ϕh , ϕ − ϕh ) + a(ϕ − ϕh , w) = a(ϕ − ϕh , ϕ − ϕh + w) = a(ϕ − ϕh , ϕ − ψ) ≤ β kϕ − ϕh kV kϕ − ψkV ,


[ L2 (Ω)]N

29

dividiendo por kϕ − ϕh kV = 6 0 en ambos lados de la desigualdad, se tiene que, kϕ − ϕh kV ≤

β α

kϕ − ψkV , ∀ψ ∈ V h .

2

La estimación que muestra el teorema 2.2.C.2, es una estimación cualitativa abstracta, pero podemos obtener una estimación cuantitativa eligiendo una función apropiada ψ ∈ V h y luego estimamos k ϕ − ψkV . Generalmente se elige ψ = πhϕ; πh ϕ ∈ V h puede ser la función interpolante a trozos ϕ∗h (N i ) = π h ϕ, donde N i es un nodo de la malla para i = 1,....,M + 1. Se puede estimar el error ϕ − πhϕ sobre cada triángulo K , lo que consiste en la construcción del espacio de aproximación Discreto, previamente utilizando un método Variacional discreto (Galerkin, u otro), en el caso de Galerkin denominado como el Método de Elementos Finitos.

Teorema 2.2.C3 Sea K ∈ Υh un triángulo con vértices ai , i = 1, 2, 3. Dado ψ ∈ C 0 (K ) la interpolante πψ ∈ P 1 (K ) definido por πψ = ψ(ai ), i = 1, 2, 3. Entonces existe una constante C tal que: kψ − πψ kL2 (K ) ≤ C.h2K |ψ|H 2 (K ) , h2K kψ − πψ kH 1 (K ) ≤ C. . |ψ|H 2 (K ) ρK

donde: ρK = es el diámetro del círculo inscrito en el triángulo K, hK = es la longitud del mayor lado de K h =max hK . K ∈Υh

Demostración (ver [5]) Este mísmo teorema podemos aplicar para estimar el error de interpolación global de: kϕ − πh ϕkL2 (Ω) y |ϕ − πh ϕ|H 1 (Ω) es decir que: kϕ − πh ϕkL2 (Ω) ≤ C.h2K |ϕ|H 2 (K ) h2 |ϕ − πh ϕ|H 1 (Ω) ≤ K . |ϕ|H 2 (K ) . ρK


[ L2 (Ω)]N

30

2.3. CAMPOS VECTORIALES EN [L2(Ω)]n En esta sección describiremos algunos subespacios de [L2 (Ω)]n para luego definir la descomposición ortogonal de sus elementos, para ello introducimos los siguientes resultados: Sea v = (v1, v2, ......vn ) ∈ [D0 (Ω)]n , definimos el operador divergencia div : [D0 (Ω)]n → L2 (Ω) tal que: para v ∈ [D0 (Ω)]n , se tiene

Xµ ¶ µ ¶ Xµ ¶ n

div.v =

i=1

∂ vi ∂ v1 ∂ v2 ∂ vn = + + ..... + ∂ xi ∂ x1 ∂ x2 ∂ xn

⊂ Rn acotado, de frontera Γ continua, ∂ϕ Si ϕ ∈ L2 (Ω), ∇ϕ = ∈ [L2 (Ω)]n , para i = 1, 2, ....n ∂ xi

Notar que: Para

Ω

n

div(∇ϕ) =

i=1

∂ 2 ϕ ∂ 2 ϕ ∂ 2 ϕ = + ..... + 2 = 4ϕ ∂ x2i ∂ x21 ∂ xn

Como L2 (Ω) ⊂→ D0 (Ω) (inyección continua), entonces el espacio [L2 (Ω)]n es un subespacio de [D0 (Ω)]n (ver [17]). Entonces es posible introducir la siguiente definición:

Definición 2.3.1 Definimos el Espacio Divergencia como el conjunto de vectores, expresado por H (div; Ω) = {v ∈ [L2 (Ω)]n; div.v ∈ L2 (Ω); i = 1,...,n} está dotado de la norma: kvkH (div.;Ω) = {kvk20,Ω + kdiv.vk20,Ω }1/2 . Este espacio satisface importantes propiedades, como la de ser un espacio de Banach, convexo y cerrado en [L2 (Ω)]n y dado que H (div.; Ω) = [L2(Ω)]n es un espacio de Banach para la norma kvkH (div.;Ω) , existe una sucesión (vm ) ⊂ H (div; Ω) que es de cauchy y esta sucesión converge a v ∈ [L2 (Ω)]n con la norma kvkH (div.;Ω) (ver en [9]), por tanto es un espacio de Hilbert. También se define el espacio H 0 (div; Ω) = [D(Ω)]n

TEOREMA 2.3.2 D0 (Ω)]n es denso en H (div.; Ω). (ver en [9])

H (div;Ω)

.


[ L2 (Ω)]N

31

Se puede ver también que [H 1 (Ω)]n ⊂ H (div; Ω) ⊂ [L2 (Ω)]n Consideremos los siguientes resultados:

Proposición 2.3.3 La aplicación γ : [D(Ω)]n −→ L2(Γ); definida por n

(γ v) = v.n n

a.e. deΓ

puede ser extendida por la continuidad a una aplicación lineal y continua denotada también por γ : H (div; Ω) −→ H −1/2(Γ). n

Demostración Sea ϕ ∈ D(Ω) y v ∈ [D(Ω)]n por la fórmula de Green se tiene: [2.3.i]

Z

(v, ∇ϕ) + (div.v, ϕ) =

(ϕv.n)ds

Γ

. Como D(Ω) es denso en H 1 (Ω) entonces esta igualdad es válida también para ϕ ∈ H 1 (Ω) y v ∈ [D(Ω)]n . γ es lineal y continua con la norma de H (div; Ω) y como [D(Ω)]n es denso en H (div.; Ω) por el (Teorema 2.3.2), considerando la norma de H (div; Ω) y la norma de H 1 (Ω) se tiene la desigualdad n

(*)

¯¯R Γ

¯¯

(ϕv.n)ds ≤ kvkH (div;Ω) kϕk1,Ω ∀ϕ ∈ H 1 (Ω), ∀v ∈ [D(Ω)]n .

Sea µ ∈ H 1/2 (Γ). Entonces existe un elemento ϕ ∈ H 1 (Ω) tal que ϕ = µ sobre Γ. Por la desigualdad anterior (*) implica:

¯¯R Γ

¯¯

(µv.n)ds ≤ kvkH (div;Ω) kµk1/2,Γ ∀µ ∈ H 1/2 (Γ), ∀v ∈ [D(Ω)]n .

Por tanto se extiende de manera única γ n a una aplicación lineal y continua denotada también como γ , talque se tienekγ k−1/2,Γ = kv.nk−1/2,Γ ≤ kvkH (div;Ω) ∀v ∈ H (div.; Ω) donde γ ∈ L(H (div.; Ω), H −1/2 (Γ)) tal que (**) kγ kL (H (div.;Ω),H 1/2 (Γ) ) ≤ 1. 2 n

n

n

−

n

Por extensión γ v = v.n es llamada la componente normal de v sobre Γ Del teorema 2.3.2 y de la Prop. 2.3.3 se deduce las siguientes fórmulas: [2.3ii] (div.v, ϕ) = (v, ∇ϕ)+ < v.n, ϕ >Γ n

∀v ∈ H (div; Ω), ∀ϕ ∈ H 1 (Ω).


[ L2 (Ω)]N

32

En consecuencia de esto se puede extender la derivada normal para el operador laplaciano y se tiene la siguiente fórmula: Para ϕ ∈ H 1 (Ω) y 4 ϕ ∈ L2 (Ω). Entonces ∂ϕ ∈ H −1/2 (Γ) ∂ n

y [2.3.iii] (∇ϕ, ∇ψ) = −(4ϕ, ψ)+ <

∂ϕ , ψ > Γ ∀ψ ∈ H 1 (Ω) ∂ n

En adelante, usaremos v.n en vez de γ (v). n

Proposición 2.3.4.Rang(γ ) = H −1/2 (Γ) kγ kL (H (div.;Ω),H 1/2 (Γ) ) = 1 n

−

n

Demostración Sea µ ∗ ∈ H −1/2 (Γ) debemos demostrar que: para v ∈ H (div; Ω), v.n = µ sobre Γ entonces kv.nk−1/2,Γ ≥ kvkH (div;Ω) para ello consideremos el siguiente problema Hallar ϕ ∈ H 1 (Ω) tal que −4ϕ + ϕ = 0 en Ω (N) ∂ϕ = µ sobre Γ ∂ Como vimos anteriormente este es un problema de Neumann y tiene solución única ϕ ∈ H 1 (Ω). Sea v = ∇ϕ. Entonces v ∈ H (div; Ω) y v.n = µ Además kϕk21,Ω =< µ, ϕ >Γ ≤ kµk−1/2,Γ kϕk1,Ω . Como div.v = ϕ, se tiene que: kvkH (div;Ω) ≤ kµk−1/2,Γ = kv.nk−1/2,Γ . 2

 

n

Proposición 2.3.5 Ker(γ ) = {u ∈ H (div; Ω); u.n |Γ = 0} = H 0 (div; Ω) n

Demostración Para demostrar Ker(γ ) ⊂ H 0(div; Ω) , [D(Ω)]n es denso en Ker(γ ), luego aplicamos la propiedad de densidad usada en el teorema 2.3.1. Se demuestra que H 0 (div; Ω) ⊂Ker(γ ) como una consecuencia inmediata de la fórmula (2.3.ii) de ambas iclusiones se tiene la igualdad. 2 n

n

n

Definición 2.3.6


Considerando que H 0(div; Ω) = [D(Ω)]n

[ L2 (Ω)]N

H (div;Ω)

33

, definimos el conjunto:

H = {u ∈ H 0(div; Ω); div(u) = 0} H es un subespacio cerrado de [L2 (Ω)]n . Si Ω es un subconjunto conexo en Rn se define el ortogonal de H por el conjunto: H ⊥ = {∇ϕ; ϕ ∈ H 1 (Ω)}

Observación 2.3.7 En vista de la Proposición 2.2.4A resulta que, H ⊥ es un subespacio cerrado de [L2 (Ω)]n. Si u ∈ H resulta de la fórmula 2.3.ii y de la Prop. 2.3.4 que: (u, ∇ϕ) = 0

∀ϕ ∈ H 1 (Ω)

2.3.8 ESPACIO ROTACIONAL H(rot;Ω) Sea Ω una región acotada en R N , para N = 2, 3. Definimos el operador rotacional para las distribuciones ϕ ∈ 0 D (Ω) y v ∈ [D0 (Ω)]2 por:

µ

∂ϕ ∂ϕ rot.ϕ = ,− ∂ x2 ∂ x1 ∂ v2 ∂ v1 rot.v = − ∂ x1 ∂ x2

¶

,

Notar que el rotacional de un campo vectorial bidimensional es un escalar. Cuando N = 3. Definimos el rotacional de la distribución v ∈ [D0 (Ω)]3 por ∂ v3 ∂ v2 ∂ v1 ∂ v3 ∂ v2 ∂ v1 rot.v = , , − − − ∂ x2 ∂ x3 ∂ x3 ∂ x1 ∂ x1 ∂ x2

µ

¶

y satisface las siguientes identidades: rot(rot.ϕ) = − 4 ϕ N = 2 rot(rot.v) = − 4 v + ∇(div.v) N = 2, 3. El espacio rotacional se define por: H (rot; Ω) = {v ∈ [L2(Ω)]n ; rot.v ∈ [L2 (Ω)]n } esta dotado con la norma: kvkH (rot;Ω) = {kvk20,Ω + krot.vk20,Ω }1/2 con la que constituye un espacio de Banach (ver [9]). definimos también el conjunto: H (rot;Ω) H 0 (rot; Ω) = (D(Ω))n


[ L2 (Ω)]N

34

2.4 EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL POTENCIAL ESCALAR Teorema 2.4.1 Sea Ω ⊂ Rn , una región simplemente conexa. Una función u ∈ [L2(Ω)]n , que satisface la siguiente ecuación: rot.u = 0 en

Ω

.

entonces existe una única función ϕ∈ H1 (Ω)/P 0 , tal que: .

u = ∇ ϕ

Demostración (ver la demostración en [9]). Segun este teorema se puede dar otra caracterización para el subespacio: ⊥ 2 n H = {v ∈ [L (Ω)] , rot.v = 0} =Ker(rot) y una consecuencia es ∀u ∈ H si rot.u = 0 ⇒ u = 0. Por lo dicho anteriormente es posible la descomposición del espacio [L2(Ω)]n como la suma directa de los subespacios H y H ⊥, es decir: [L2 (Ω)]n = H ⊕ H ⊥ y la definición de sus elementos lo demuestra el siguiente teorema.

2.4.2 Teorema de la Descomposición en [L2(Ω)]2 Toda función v ∈ [L2 (Ω)]2 = H ⊕ H ⊥ tiene la siguiente descomposición ortogonal: se puede representar a v así (2.4.a)

v = ∇ϕ + rot.ψ

donde ϕ ∈ H 1 (Ω)/P 0 , es la solución única del problema variacional: (∇ϕ, ∇µ) = (v, ∇µ) (2.4.b) ∀µ ∈ H 1 (Ω) Sea Ψ = {ω ∈ H 1 (Ω); ω | Γ= 0}, ψ ∈ Ψes la única solución del problema (rot.ψ,rot.ω ) = (v − ∇ϕ,rot.ω ) (2.4.c)

½ ½

Demostración

∀ω ∈ Ψ


[ L2 (Ω)]N

35

Para v ∈ [L2 (Ω)]2 , el problema (2.4.b) tiene una solución única ϕ ∈ H 1 (Ω)/P 0 . Esta solución satisface 4 ϕ = div(v) en H −1 (Ω) como (v − ∇ϕ) ∈ H (div; Ω) de la fórmula de Green (2.3.ii) aplicada a (2.3b) se obtiene: 0 = (v − ∇ϕ, ∇µ) =< (v − ∇ϕ).n, µ >Γ ∀µ ∈ H 1 (Ω) ⇒ (v − ∇ϕ).n = 0 en H −1/2 (Γ), es decir que (v − ∇ϕ) ∈ H ∴ existe una función ψ ∈ Ψ que verifica las fórmulas (2.3.a) y (2.3.c). 2

Observaciones 2.4.3 1•) Cuando u ∈ H (div; Ω), el problema (2.3.b) tiene la siguiente interpretación 4ϕ = div(u) en Ω

 

∂ϕ ∂ϕ = ∂ n ∂ x

η 1 +

∂ϕ ∂ y

η 2 = u. n sobre Γ

2

Si u pertenece unicamente a [L2 (Ω)]2 , y es irrotacional entonces se cumple la propiedad 4ϕ = div(u) u = ∇ϕ. 2•)Sea Ω ⊂ R2 abierto, acotado y simplemente conexo, sean los conjuntos U = H 0 (div; Ω) ∩ H (rot; Ω) W= H (div; Ω) ∩ H 0 (rot; Ω) si v ∈ U, entonces v puede ser expresado como: v = ∇ϕ + rot.ψ donde ϕ es solución única del problema 4ϕ = div.v en Ω

 

∂ϕ = 0 sobre ∂ n

Γ

y ψ es la solución del problema − 4 ψ = rot.v en Ω ψ = 0 sobre Γ

½

2.5 Valor de un campo vectorial en el borde de Ω Sea el vector w = (−v2 , v1 ) ∈ H (div; Ω) tal que v = (v1 , v2 ) ∈ H (rot; Ω) y τ = (−η 2 , η 1 ) es un vector tangente unitario a Γ, talque: w.n = −v.τ donde n = (η 1, η 2 ) representa el vector normal exterior a Γ. 2.5.1 Definición


[ L2 (Ω)]N

36

Se define la traza de un campo vectorial, como la aplicación γ τ : v → v.τ lineal y continua, se dice el valor de v en la frontera de Ω, donde v ∈ H (rot; Ω). P1) [D(Ω)]2 es denso en H (rot; Ω) P2) La aplicación γ τ restringido a Γ y definida sobre [D(Ω)]2 puede ser extendida por la continuidad de la aplicación lineal llamada también γ τ , desde el espacio H (rot; Ω) hacia el espacio H −1/2 (Γ). P3) El espacio H 0 (rot; Ω) = ker γ τ P4)-Se puede escribir la fórmula de Green en H (rot; Ω) como: (v,rot.ϕ) − (rot.v, ϕ) = − < v.τ , γ o ϕ >Γ ∀v ∈ H (rot; Ω), ∀ϕ ∈ H 1 (Ω).

Proposición 2.5.2 Dada la función g ∈ [H 1/2 (Γ)]n , talque g.ndσ = 0

R Γ

Entonces existe una función u en [H 1 (Ω)]n talque: div.u = 0 en Ω u = g sobre Γ

Demostración (Ver en [9])

Proposición 2.5.3 Una condición necesaria y suficiente para que una función v ∈ [H 1 (Ω)]2 , es que verifique las siguientes condiciones: div(v) = 0 en Ω, v.ndσ = 0

R Γ

⇒ ∃! ψ ∈ H 2 (Ω) tal que:

v = rot.ψ cuyas componentes de v son v.n =

∂ψ

,

∂ n ∂ψ v.τ = − , τ = (−η 2, η 1 ). ∂ n

Observación 2.5.4

∂ψ ∂ x2

y −

∂ψ ∂ x1

respectivamente

CAPITULO 3.-

37

Se puede ver que de todo lo dicho anteriormente se deduce lo siguiente: 1) [H 1 (Ω)]2 ⊂ H (div; Ω) ⊂ [L2 (Ω)]2 2) Las funciones rot.(ψ) y ∇ϕ son ortogonales en [L2 (Ω)]2 . 3) v = ∇ϕ ⇐⇒ rot.(v) = 0 4) v = rot.(ψ) ⇐⇒ div(v) = 0 5) Si u ∈ H (div; Ω) ⇒

∂ϕ = u.n ∀ϕ ∈ H 1 (Ω) ∂ n

(ver [9]).

CAPITULO 3.ADAPTACION DE UN MALLADO En el presente capitulo se plantea un método de adaptación de un mallado a un cierto estimador de error, concervando el número de grados de libertad y las conectividades de la malla inicial. El principio de éste método consiste en considerar los nodos del mallado inicial, como las partìculas de un fluido irrotacional y compresible, pero cuya compresibilidad local es proporcional a la desviación del error sobre su media; con lo que se consigue que globalmente el fluido sea incompresible.

3.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Sea Ω un dominio abierto y acotado de R n sobre el que se plantea la resolución aproximada de un cierto problema de contorno lineal ó no lineal. Supongamos que se dispone de un mallado M x de Ω, mediante elementos finitos, volúmenes finitos o diferencias finitas y que resolvemos un problema de contorno sobre este mallado M x . Asi también dispondremos como dato, de la estimación local del error cometido en la aproximación del problema dado sobre M x . Esta estimación local del error se representará por la función w(x) tal que: w : Ω−→ R+ x −→ w(x) w es una función bién definida sobre Ω y sobre los nodos de la malla M x bién en los elementos o celdas del mallado y talque w ∈ L2 (Ω). El problema a resolver es entonces el siguiente:

38

ADAPTACION DE UN MALLADO

Hallar un nuevo mallado M y de Ω ó un mallado adaptado el estimador de error w(x), tal que, debe cumplir las siguientes condiciones: (C1 ) M y conserve la mísma topología que M x , es decir, tiene el mísmo número de nodos de M x y concerve las conectividades entre nodos y elementos. (C2 ) M y es un mallado admisible de Ω, es decir, no hay penetración de unos elementos en otros y éstos no degeneran. (C3 ) Sobre el mallado M y se obtiene un mejor reparto de la función w que sobre el mallado M x.

3.2 TECNICA DE RESOLUCION Supondremos a Ω abierto y acotado en R 2 , un mallado sobre Ω denotado por M x , cuyas coordenadas de cada nodo son {x j = (x1 , x2 )}, j = 1, ...N., una función w(x) que representa la estimación de error cometido al aproximar un problema de contorno mediante elementos finitos y resuelto sobre M x . Ahora mi objetivo es obtener un nuevo mallado que se adapte a w(x) al que se denotará por M y . Las coordenadas de los nodos en M y son {y j = (y1 , y2 )}; j = 1,...,N. Consideraremos a cada uno de los N-nodos del mallado M x , {x j } como si fueran las partículas de un fluido irrotacional y localmente compresible de modo que la localización de los N-nodos del nuevo mallado M y , los {y j } se obtengan de la forma siguiente: y j = x j + γ u j

j = 1, .....N

(3.2.1)

donde u j designa la “velocidad”de desplazamiento de la partícula j. El parámetro homogéneo γ > 0 es el que dimensionalmente representa a un incremento de tiempo que tardará el nodo x j para llegar al nuevo lugar nodo y j con velocidad u j . Resultará útil, a partir de ahora, considerar la versión continua de (3.2.1), es decir: y = x + γ u donde la función:

∀x ∈Ω⊂ R2 , γ > 0

(3.2.2)

39


y :

Ω−→Ω

x −→ y(x) que debe verificar la siguiente condición:

J [y] =

γ 2

µ

¯¯ ¯¯ ¯

∂ y1 ∂ x1

∂ y1 ∂ x2

∂ y2 ∂ x1

∂ y2 ∂ x2

µ

¯¯ ¯¯ ¯

¶

∂ u1 (x1 , x2 ) ∂ u2 (x1 , x2 ) = 1 + γ + + ∂ x1 ∂ x2 ∂ u1 (x1 , x2 ) ∂ u2 (x1 , x2 ) ∂ u1 (x1 , x2 ) ∂ u2 (x1 , x2 ) − ∂ x1 ∂ x2 ∂ x2 ∂ x1

¶

> 0

Es decir, que el jacobiano J [y] designada como la transformación del mallado M x en M y debe ser positivo y lo denotaremos por D(γ , u(x)). Entonces

e

D(γ , u(x)) = 1 + γ div(u(x)) + γ 2 det ∇u(x) > 0 ∀x ∈Ω

(3.2.3)

es el que asegurará el cumplimiento de la condición (C 2 ). El problema ahora consiste unicamente en hallar el campo de velocidades admisibles u(x) ∈ H (div; Ω) asociado a las “partículas del fluído”, en función de la distribución del estimador local de error w(x) sobre la malla M x de Ω. Considerando el mallado M x sobre supondrá entonces que: rot.u = (

Ω

⊂ R2 como un

∂ u2 ∂ u1 )=0 − ∂ x1 ∂ x2

fluido

irrotacional, se

(3.2.4)

Esta hipótesis, se formula tanto con el ánimo de no distorsionar excesivamente la malla original, eliminando posibles rotaciones de la mísma, como con la intensión de poder usar el teorema (2.3.B1) que muestra que el vector velocidad con rotacional nulo, es el gradiente de una función escalar ϕ. Por tanto existe el potencial del flujo y definido por:

u = ∇ϕ

(3.2.5)

40


Con el propósito de verificar la condición (C3 ) del enunciado del problema, se postula que el fluído es localmente compresible, con una compresibilidad local proporcional a la desviación sobre el error medio, es decir:

−div(u(x)) = f (x) en

Ω

(3.2.6 a)

u.n = 0 sobre Γ Por el teorema 2.4.1 y la observación (2.4.3) se tiene que existe ϕ ∈ H 1 (Ω)/P 0 talque: div(u(x)) = 4ϕ u.n =

∂ϕ ∂ n

de la ecuación (3.2.6a) se tiene que ϕ es la solución única que debe satisfacer: el problema de Neumann homogéneo: −4ϕ = f en Ω

∂ϕ ∂ n

(3.2.6 b)

= 0 sobre Γ

donde: ∧

f (x) = w(x)− w 1 w= med(Ω) ∧

Z

w(x)dx

(3.2.7)

(3.2.8)

Ω

y n es la normal unitaria exterior a Ω en su frontera Γ. La condición sobre su frontera asegurará que los nodos de la malla M x que se encuentra sobre la frontera Γ, permanecerán también en la frontera en la nueva malla M y . Γ

Como podemos observar para el problema (3.2.6) si queremos encontrar la solución en un espacio funcional dotado de cierta regularidad (C 1 , C 2 , etc.), no se conoce ningún resultado general del Análisis Funcional que proporcione la existencia de solución del problema clásico, pero se dispone de un teorema general conocido como el teorema de Lax-Milgram, que asegura la existencia y unicidad de solución en un marco variacional. Para ello surge la necesidad de una formulación apropiada que permita demostrar la existencia y unicidad la solución. Para hacer uso de los resultados vistos en el capitulo 2 suponemos la siguiente formulación.

41


3.2.1 FORMULACION VARIACIONAL Suponiendo que el estimador de error w ∈ L2 (Ω), entonces hay que buscar la velocidad u en el espacio H (div, Ω) donde el conjunto: H (div, Ω) = {v ∈ [L2 (Ω)]2, div ∈ L2 (Ω) } Gracias al Teorema de descomposición de [L2 (Ω)]2 (teorema 2.4.2) se deduce de (3.2.4), (3.2.6), (3.2.7) y (3.2.8) la existencia de un único potencial escalar ϕ ∈ H 1 (Ω) que verifique el problema variacional lineal siguiente: a(ϕ, ψ) = l(ψ) ∀ψ ∈ H 1 (Ω)

(3.2.9)

donde:

R R

a(ϕ, ψ) = ∇ϕ∇ψdx Ω

(3.2.10)

l(ψ) = f ψdx Ω

Dado que de (3.2.7) y (3.2.8) ∧ ∧ f (x)dx = [w(x)− w]dx = w(x)dx− w dx = w(x)dx−

R

R Z

Ω

R

Ω

R R

Ω

Ω

se tiene la condición de compatibilidad

Ω

f (x)dx = 0

R

w(x)dx = 0

Ω

(3.2.11)

Ω

con este resultado sobre Ω, me índica que, globalmente el fluido es incomprensible. Por tanto el problema (3.2.6.b) con la formulación variacional (3.2.9) y (3.2.10) admite solución única sobre el espacio: V (Ω) = {ψ ∈ H 1 (Ω) tal que: 2

R

χ(x)ψ(x)dx = 0}

Ω

donde χ ∈ L (Ω) es de media no nula en

Ω,

=0 χ 6

(3.2.12)

(ver [17]) En estas condiciones, resulta natural plantear para la resolución del problema original, el siguiente problema contínuo (PC): ***************************************************************** (PC):

42


Dado θ ∈ (0, 1) y w ∈ L2 (Ω), hallar y(θ) ∈ H (div, Ω) solución de: y = x + γ (θ)u ∀x ∈Ω

(3.2.13)

donde: (i) u ∈ H (div; Ω) viene dada por: u = P H (div,Ω) (∇ϕ)

(3.2.14)

siendo ϕ ∈ V (Ω) la solución única del problema variacional lineal: a(ϕ, ψ) = l(ψ) ∀ψ ∈ V (Ω)

(3.2.15)

(ii) γ (θ) ∈ R+ viene dada por: γ (θ) = inf G(θ)

(3.2.16)

x∈Ω

siendo: G(θ) = {δ ∈ R+ talque D(δ , u) = θ ∀ x ∈ Ω }

(3.2.17)

********************************************************************

OBSERVACIONES (1) El operador P H (div,Ω) utilizando en (3.2.14) es el operador de proyección de [L2(Ω)]2 , sobre H (div, Ω). Este operador está bién de finido al ser H (div, Ω) un espacio de Banach cerrado y convexo en [L2 (Ω)]2 . (ver [9]). Mediante este operador obtendré la solución de u en cada nodo, mientras que con la div.u se obtendrá el valor de u en cada elemento. (2) Puede demostrarse que para θ ∈ (0, 1), el conjunto G(θ) definido en (3.2.17) es no vacío. En efecto:(absurdo) Supongamos que G(θ) = ∅ ∃δ ∈ R+ , D(δ , u) ≤ 0 D(δ , u) = 1 + δ div(u(x)) + δ 2 det ∇u(x) = θ ; θ ∈ (0, 1). Entonces es una contradicción =∅ ∴ G(θ ) 6

e

(3) Como consecuencia de lo dicho en las observaciones (1) y (2) se deduce facilmente que el problema continuo (PC) admite una única solución para todo θ ∈ (0, 1).

43


(4) El parámetro θ ∈ (0, 1) que interviene en la definición del problema continuo (PC), tiene un significado geométrico claro, de (3.2.3) y (3.2.17), el parámetro θ no es más que el valor mínimo del Jacobiano D(δ , u(x)) de la transformación del mallado original M x en el nuevo mallado M y . Sobre el plano discreto, si se utilizan por ejemplo elementos finitos P 1 de Lagrange (triángulos de 3 nodos en R 2 ó tetraedros de 4 nodos en R 3 ) en la definición del mallado original M x

3.2.5 FORMULACION ABSTRACTA DEL METODO DE ELEMENTOS FINITOS La resolución aproximada del problema (PC) mediante métodos conformes de elementos finitos no presenta nínguna di ficultad. En particular, el conjunto Gh (θ) (equivalente discreto del conjunto G(θ) definido en (3.2.17), se construye, en dimensión finita, mediante la resolución de una ecuación de segundo grado sobre cada elemento de la malla M x . Por su parte, la construcción del operador de proyección discreto asociado a (3.2.14) es trivial, ya que salvo para elementos finitos P 1 de Lagrange, según la proposición es el operador unidad. Para este tipo de elementos, para obtener el operador de proyección basta con resolver el siguiente problema variacional lineal: Hallar u ∈ H (div, Ω) solución de: (u, v)[L2 (Ω)]2 = (P u , v)[L2 (Ω)]2 y es equivalente a resolver la ecuación:

Z Z

∇ϕ.v dx ∀v ∈ [L2 (Ω)]2

uv dx =

Ω

(3.2.18)

Ω

lo que se consigue, a nivel discreto, mediante una etapa de promediado en los nodos de la malla de la función ∇ϕ ∈ [L2 (Ω)]2 , definida por:

R R

∇(ϕ)χi dx

ui =

Ω

χi dx

Ω

=

P

(∇ϕ)T. med(T )

T ∈Υ(i)

P

med(T )

(3.2.19)

T ∈Υ(i)

donde Υ(i) es el conjunto de elementos T ∈ M x que rodean al nodo i y χi es una función de la base de P 1 de Lagrange del espacio H h1 (Ω) (Aproximación en dimensión finita de H 1(Ω)) asociado al nodo i (i = 1,....,N ). A esta etapa le sigue una etapa de interpolación dada por:

44


N

X

uh (x) =

ui χi (x)

(3.2.20)

i=1

En la práctica, en vez de resolver el problema lineal (3.2.15), puede optarse por resolverse una versión penalizada que consiste en elegir un parámetro 0 < ε ≤ 1 y se tiene el siguiente problema: Hallar ϕ ε ∈ H 1(Ω) solución de:

Z

∇ϕε .∇ψdx + ε

Ω

Z

ϕε .ψ dx =

Ω

Z

f. ψdx ∀ψ ∈ H 1 (Ω) (3.2.21)

Ω

Esto con la finalidad de demostrar la unicidad de la solución, la existencia queda garantizada con la condición de compatibilidad f dx = 0

R Ω

La ventaja de trabajar con (3.2.21) en vez de (3.2.15) es la de no tener que modificar las funciones de base standar del espacio aproximador H 1 (Ω)h . La solución única de (3.2.21) es de media nula en Ω, es decir

Z

Z

1 (ϕε ) dx = ( med(Ω)

Ω

fdx) = 0 ∀ε > 0

(3.2.22)

Ω

El problema (3.2.21) es origen del problema de Neumann (3.2.10) por tanto existe solución. Por la condición 3.2.22, aplicando el teorema de Lax milgram se garantiza la existencia de la solución única que veri fica: ϕε ∈ H 1 (Ω) : es un espacio de Hilbert para la norma k.k1,Ω a(., .) es bilineal y continua sobre H 1 (Ω) × H 1 (Ω) l(.) es lineal y continua sobre el dual de H 1 (Ω) a(., .) es H 1 (Ω)-elíptica ( Proposición 2.2.6A): a(ψ, ψ) = ∇ψ.∇ψdx + ε ψ.ψdx

R Ω

= | ψ|21,Ω + ε. kψk20,Ω 1

R Ω

Sobre H (Ω), Ω es un abierto acotado, entonces por el teorema de Poincaré existe una constante C > 0 tal que: 2 ψ2 dx ≤ C |∇ψ| dx

R R Ω

2

|∇ψ| dx+

Ω

R R Ω

Ω

2

2

2

ψ2 dx ≥ C −1 min(1, ε){|ψ|1,Ω +kψk0,Ω } ≥ 1/2C −1 min(1, ε) kψk1,Ω

a(ψ, ψ) ≥ α kψk21,Ω . .

45


3.3 IMPLEMENTACIÓN NUMERICA Las etapas para la construcción de la solución numérica mediante el método de elementos finitos son: i) Formulación del problema en forma variacional es decir a(ϕε , ψ) = ∇ϕε .∇ψdx + ε ϕε .ψdx = l(ψ) = Ω f. ψdx ∀ψ ∈ H 1 (Ω)

R Ω

R Ω

R

ii) Construcción de la malla de elementos finitos y funciones de base del subespacio aproximador iii) Construcción de la aproximación del problema en tal subespacio. iv) Resolución del sistema algebraico generado. v) Análisis de las caractrísticas de la solución y estimación del error.

3.3.1 DISCRETIZACIÓN DEL PROBLEMA Sea Υh una triangulación en el interior de Ω Υh = {K 1, ......, K m } de triángulos K i , donde Ω = ∪ K = K 1 ∪ K 2 ∪ ...... ∪ K m K ∈Υh

tal que K i ∩ K j = ∅ o un vértice o una arista. Introducimos el parámetro h = max(hK ); hK =la longitud del lado del triángulo K. Sea W=H 1 (Ω) y Wh = {ϕ ∈ C 0 (Ω), ϕ | K es lineal y continuas a trozos} Es una familia de subespacios de dimensión finita de W que dependen del paramétro h > 0 y tiende a cero. A cada subespacio Wh ⊂ H 1(Ω) se le puede asociar al problema aproximado al problema Encontrar ϕ h ∈ Wh (Ph) a(ϕh , ψ) = (f, ψ) ∀ψ ∈ Wh Por el teorema de Lax-Milgram existe una única ϕh solución de (Ph ). Si ϕ es suficientemente regular, la función ϕh satisface la condición de Neu-

½

∂ϕ h ∂ϕ aproximadamente, es decir → 0 sobre Γ ∂ n ∂ n ∂ϕ h En un problema de Neumann homogéneo = 0 sobre la frontera, en la ∂ n

mann

práctica ya no se toma en cuenta pues desaparece en la formulación del problema variacional.

3.3.2 OBSERVACIONES PARA LA PROGRAMACION El programa principal está constituido por 6 subprogramas:

Subprograma 1 Consideremos un dominio Ω de forma rectangular (a1,a2)x(b1,b2) con un mallado inicial Υh , con triángulos K , cuyos nodos de la malla son los 3 vértices de cada K , para k=1,nt, se tiene Ni vértices, para i = 1, nv; donde nv es el número de vértices global, nt es el número de triángulos y nov(i, k) es la variable que construye la matríz de conectividad sobre Υh .


46

Subprograma 2 Buscaremos una solución ϕh en cada subespacio de dimensión finita Wh , de cada elemento y la nueva base { χ1, χ2 , .χ3 }. Supongamos que, ϕh (x, y) = c 1 + c2 x + c3 y, es decir: ϕ1h = c1 + c2 x1 + c3 y1 , ϕ2h = c1 + c2 x2 + c3 y2 , ϕ3h = c1 + c2 x3 + c3 y3 De este sistema determinaremos: los c j , j = 1, 2, 3 y las funciones de aproximación χi = χ(xi , yi ), que son llamadas funciones de forma, o de interpolación lineal de Lagrange y son polinomios de grado 1. c1 = 2A1K (ϕ1h (x2 y3 − x3 y2 ) + ϕ2h (x3 y1 − y3 x1 ) + ϕ3h (x1 y2 − x2 y1 ) c2 = 2A1K (ϕ1h (y2 − y3 ) + ϕ2h (y3 − y1 ) + ϕ3h (y1 − y2 ) c3 = 2A1K (ϕ1h (x3 − x2 ) + ϕ2h (x1 − x3 ) + ϕ3h(x2 − x1 ) χ1 (x, y) = χ2 (x, y) = χ3 (x, y) =

1 [(x2 y3 − x3 y2 ) + (y2 − y3 )x + (x3 − x2 )y] 2AK 1 = [(x3 y1 − y3x1 ) + (y3 − y1 )x + (x1 − x3)y] 2AK 1 = [(x1 y2 − x2 y1 ) + (y1 − y2 )x + (x2 − x1)y] 2AK

donde A K =aréa de cada triángulo K Estas funciones satisface: 1 si i = j , donde N j = (x j , y j ) son las coordenadas de cada χi (N j ) = 0 si i 6 = j nodo.

½

P ½ 3

i=1

χi (N j ) = 1

Entonces (Ph ) se puede escribir como el problema: Encontrar ϕ h ∈ Wh a(ϕh , χi ) = (f, χi )∀i = 1,..,M y debemos encontrar la solución ξ ∈ RM , tales que ϕε =

P P R R M

j=1

ξ j χ j , y ξ j es el valor de ϕ ε en cada nodo, es llamado grado de libertad

y satisface el sistema Aξ = b A = (aij ), b = (b1, ...,bM ) aij = aK bK ij , bi = i

P

K ∈Υh

K ∈Υh

aK ij = {∇χi .∇χ j + ε(χi χ j )}dx K

R b

bK i = (f. χi )dx = (w(x) − w)χi .dx K

K

Integrando numericamente Para K =1,nt

47


R

aK ij = {∇χi .∇χ j + ε(χi χ j )}dx = K

Por la regla de Simpson a´rea(K ) ε χi χ j dx = 12 K

R

P ½ 3

i=1

P

K ∈Υh

{área(k).∇χi .∇χ j } + ε

R K

χi χ j dx

{χi (N k )χ j (N k ) + 1}

1 si i = j 0 si i 6 = j Obteniéndose asi la matrìz de rigidez A, la cual es simétrica y de finida positiva (ver J.N. Redy) Para obtener el vector del segundo miembro del sistema, determinamos bK i , considerando la interpolación sobre el baricentro de cada triángulo. En este caso las funciones de forma serán constantes a trozos. 1 a ´ rea(K ) bK ). 1 χi dx = f K ( i = (f. χi )dx = f K 3 K K 1 f K = w(k) − w w(k) = a ´rea(K ).w(K ) considerando χ i (N j ) =

R

Pb

R

   

K ∈Υh

P

1 ( a ´rea(K ).w(K )) med(Ω) K ∈Υh Para resolver el sistema de ecuaciones previamente se almacena la matriz A en forma de un vector, se factoriza la matriz almacenada y mediante el método de Cholesky se resuelve, obteniéndose así la solución aproximada ϕ h . w =

b

Subprograma 3 Se realiza el cálculo de ∇ϕh (x, y), considerando las mismas funciones de interpolación lineal de la base de Wh. Así mismo se realiza el cálculo de uh ver (fórmula 3.2.19). Dentro de la mísma subrutina se calcula ∇ uh , |∇uh | y div(uh ).

Subprograma 4 Realizamos el cálculo de γ (θ), la misma que se obtiene de la discretización de la ecuación cuadrática (ver fórmula 3.2.17).

Subprograma 5 De la discretización de la fórmula 3.13, se calcula las coordenadas de los nodos del nuevo mallado.

Subprograma 6 Se obtiene el índice de efectividad de la nueva malla.

CAPITULO 4

48

CAPITULO 4 EXPERIENCIAS NUMERICAS Y CONCLUSIONES

4.1 EXPERIENCIAS NUMERICAS Tomaremos por comodidad las regiones del mallado Ω1 y Ω2 Sea Ω1 = {(x, y) ∈ R2 , 0 ≤ x, y ≤ 1}, en el que se utiliza un mallado Υk de elementos triangulares. Consideremos las siguientes funciones w(x), como estimadores de error dados a priori: 1) w 1 (x, y) = 1 − sen(2πx)sen(2πy) o 2) w 2 (x, y) = 1 + sen(4π(y − x) Con el parámetro de penalización ε = 1.10−6 θ = 1/4 y θ = 1/2 3) Sea Ω2 = {(x, y) ∈ R2 , −2 ≤ x, y ≤ 2} Sea g(x,y)= tanh(3(x2 + y2 − 1)) + tanh(3(−x − y)) Con el parámetro de penalización ε = 1.10−3 . En las figuras mostradas en el anexo 1, se visualiza la interpolación de w1 , w2 , w3 y de g sobre los mallados iniciales M 1 de 8 × 8 divisiones y M2 de 16×16 divisiones en los ejes X eY respectivamente. Para el ejemplo 3 se tomará como estimador de error la función w3 (x, y) = |∇g(x, y)| .

4.2 EVALUACION CUANTITATIVA DEL METODO Para dar una evaluación de la metodología empleada en la adaptabilidd de mallados a un cierto estimador de error, hemos considerado lo siguiente: Sea la función de valor real “ distribución del error en la malla inicial ” como el vector d(M0 ) y distribución del error en la malla adaptada como el vector d(M k ). Sea d: M −→ R, la distribución del error en cada triángulo de la malla y definido por:

EXPERIENCIAS NUMERICAS Y CONCLUSIONES

Z µP R ¶

b

w(x)dx − d

d(ki ) =

Ki

b

donde d =

k1k

49

nT

. w(x)dx . i=1Ki nt Por tanto el vector d(M) ∈ Rnt tiene componentes d(k1 ) d(k2 ) d(M)= , donde nt: es el número de triángulos de la malla. .. .

  

  

d(knt ) El índice de efectividad, de la malla adaptada se mide mediante el indicador de error, definido por: kd(M )k I k.k = 1 − kd(M 0 )k respecto a cada una de las normas en Rn : nT

X

k.k1 =

|d(ki )|

i=1

ÃX !

1/2

nT

k.k2 =

|d(ki )|2

i=1

k.k∞ =Max |d(ki )| i=1, nt

Este indicador de error tiene la siguiente evaluación: 1.- Si I k.k < 0, índica que en la malla adaptada la distribución del errror no es mejor que en la inicial. 2.- Si I k.k = 0, índica que en la malla adaptada sigue tan igual la distribución del error como en la malla inicial. 3.- Si I k.k ∈ (0, 1), índica que en la malla adaptada se ha mejorado la distribución del error 4. Si I k.k = 1, índica que la calidad de la malla adaptada es óptima, es decir que la distribución del error es uniforme en todos los elementos de la malla.

EXPERIENCIAS NUMERICAS Y CONCLUSIONES

50

4.3 CONCLUSIONES 1.- El índice de efectividad que se muestra en el anexo 2, nos índica la importancia del parámetro θ ∈ (0, 1) en la adaptabilidad del mallado a la función de error, puesto que el valor que tome in fluye en la calidad del mallado. 2.- Puede decirse que con el método propuesto el coste computacional viene asociado a la resolución aproximada sobre la malla inicial M x del problema variacional (3.2.21). 3.- La adaptación de la malla al estimador de error favorece que, al aplicar en cualquier problema de contorno resuelto aproximadamente por elementos finitos, los elementos de la malla inicial no necesariamente tienen que ser triangulares, dado que como datos del problema solo es necesario las conectividades de la malla inicial, el estimador de error, y los parámetros ε y θ. 4.- Esta metodología se puede aplicar con mayor ventaja frente a otra alternativa en la adaptabilidad de mallados en problemas de mecánica de fluidos, puesto que, se estaría resolviendo a la vez, el problema y también la regeneración del mallado. 5.-Sobre el plano discreto, si se utilizan por ejemplo elementos finitos (triángulos de 3 nodos en R2 ó tetraedros de 4 nodos en R3 ) en la definición del mallado original M x , el valor de θ ∈ (0, 1) óptimo sería el área mínima de los triángulos de la nueva malla. Por tanto se concluye que este parámetro es el que regula el mayor o menor grado de adaptación del mallado resultante al estimador de error. 6.-Los estimadores de error apriori, usados en el problema, nos dan una idea de como crece o decrece el error al variar la malla que se emplee, sin necesidad de un cálculo sobre la mísma. En todos los ejemplos analizados, se puede apreciar que los mallados resultantes agrupan sus nodos en la vecindad de la función de error, mientras que los elementos situados sobre sus mínimos resultan agrandados.

IMantilla-Formulacion Variacional de Problemas de Contorno en Espacios de Sobolev

Recommend Documents