Cálculo variacional

´ DEL PROBLEMA DEL C ALCULO ´ FORMULACION VARIACIONAL. UN POCO DE HISTORIA. LA CATENARIA BRAQUISTOCRONA ´ M ÍNIMA PRINCIPIO DE ACCI ON DE EULER A NUESTROS DIAS REFERENCIAS

˜ CALCULO VARIACIONAL, 20x20 ANOS NO ES NADA. Cristina Turner [email protected] ´ Facultad de Matem atica, Astronom´ Astronom´ıa ıa y F´ F´ısica ısica - CIEM (CONICET) ´ ´ Universidad Nacional de C ordoba, Cordoba, Argentina

SEMINARIO DE MATEMATICA APLICADA ´ EPISODIO II, II, El rescate del Calculo variacional por la Princesa LEIA ORGANA


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´ DEL PROBLEMA DEL C ALCULO ´ FORMULACION VARIACIONAL.

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UN POCO DE HISTORIA.

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LA CATENARIA

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BRAQUISTOCRONA

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´ MÍNIMA PRINCIPIO DE ACCI ON

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DE EULER A NUESTROS DIAS

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REFERENCIAS


´ ´ Calculo variacional-F variacio nal-Formulaci ormulaci on. ´ Uno de los problemas t´ t´ıpicos ıpicos en calculo diferencial es el de encontrar ´ f ( x) alcanza un valor extremo el valor de x para el cual la funcion ´ ´ (maximo o m´ m´ınimo). ınimo). En el calculo de variaciones el problema es ´ f ( x) para la cual un funcional J [ f ] alcance un encontrar una funcion valor extremo. El funcional J [ f ] esta´ compuesto por una integral que ´ f ( x) y algunas de sus derivadas. depende depende de x, de la funcion

J [ f ] =

Z

b

F ( x f ( x) f  ( x))d x ,

,

a

´ f ( x) pertenece a algún espacio de funciones y tanto Donde la funcion ´ ella como sus derivadas pueden tener restricciones. Esta f´ formula ´ complicada permitiendo a x ser un vector, y integral puede ser mas por lo tanto incluyendo incluyendo derivadas parciales parciales para f .


Galileo Galilei 1564-1642

CATENARIA


CATENARIA

GALILEO GALILEI

´ ´ ´ Galileo Galilei (Pisa, 1564-1642 ), ), fue un astronomo, filosofo, matematico y ´ cient´ f´ısico ısico que estuvo relacionado estrechamente con la revolucion cient´ıfica. ıfica. ´ por casi todas las ciencias Eminente hombre del Renacimiento, mostro´ interes y artes artes (musica, ´ literatura, pintura). Su trabajo experimental es considerado complementario a los escritos de Francis Bacon en el establecimiento del ´ moderno metodo cient´ıfico ıfico y su s u carrera c arrera cient´ıfica ıfica es complementar complem entaria ia a la de Johannes Kepler. Su trabajo se considera una ruptura de las asentadas ideas ´ ´ aristotelicas y su enfrentamiento con la Iglesia Catolica Romana suele tomarse como el mejor ejemplo de conflicto entre la autoridad y la libertad de pensamiento pensamiento en la sociedad sociedad occidental. occidental.


GALILEO GALILEI 1564-1642 La curva formada por una cadena uniforme que cuelga libremente se llama Catenaria (del lat´ lat´ın ın catena cadena). cadena).


CATENARIA ´ En tanto que Galileo penso´ que la catenaria era una par abola, Huygens,, a quien la curva debe su nombre, mostro´ que es una curva Huygens ´ sencilla que la no algebraica, es decir, no hay una ecuaci´ ecuacion represente. La palabra deriva del lat´ın ın catenarus catenar us (propio de la ´ cadena). En matematicas se denomina catenaria a la curva que adopta una cadena, cuerda o cable ideal perfectamente flexible, con masa distribuida uniformemente por unidad de longitud, suspendida ´ de un campo gravitatorio por sus extremos y sometida a la acci on ´ uniforme. . Los primeros matematicos que abordaron abordaron el problema problema ´ supusieron que la curva era una parabola. Huygens, demostro´ que no ´ de la catenaria. La ecuacion ´ fue lo era, pero no encontro´ la ecuacion obtenida por Gottfri Gottfried ed Leibn Leibniz, iz, Christi Christiaan aan Huygens y Johan Johann n Bernoull Bernoullii en 1691, en respuesta al desaf´ desaf´ıo ıo planteado por Jako kob b Bernoullllii.


Johann Bernoulli 1667-1748, hermano de Jakob, padre de Daniel


BERNOULLI-L’HOPITAL-LEIBNIZ-NEWTON

Braquistocrona

´ La braquistocrona Johann Bernoulli, en la Actas de Leipzig, propuso el siguiente problema: Dados dos puntos A y B situados en un plano vertical, entre todas las curvas situadas en el plano vertical, que unen los puntos A y B, determinar la que es recorrida en el menor tiempo posible por un ´ M, de masa puntual, sometido a la accion ´ de la gravedad. punto movil


Braquistocrona




Cicloide

No se trataba de un enigma nuevo. Ya en 1638, Galileo hab´ hab´ıa ıa ´ a la curva descripta por un arco de presentado como solucion circunferencia. En 1696 se obtuvo la respuesta: fue la curva cicloide, que se obtiene de observar las posiciones de un punto fijo en una circunferencia que rueda sin deslizar en un plano plano horizon izontal.



Cicloide

´ En efecto, cinco matematicos respondieron al problema. Ellos fueron: ˆ el propio Johann Bernoulli, Bernoulli, su hermano Jacob Jacob,, de L’Hopital y Leibniz Leibniz.. ´ La quinta respuesta era anonima y estaba escrita en lat´ın, ın, era Isaac Newton.. De hecho, Bernoulli y Leibniz hab´ Newton hab´ıan ıan concebido todo el ´ para llamar la atencion ´ de Newton, ya que su desaf´ de saf´ıo ıo ta tan n solo ´ requer´ ´ ´ resolucion requer´ıa ıa del calculo diferencial, cuya prioridad de invencion se encontraba en disputa entre Leibniz y Newton.



Cicloide

x = R(θ − sin(θ)) x = R(1 − cos(θ))



´ ca Ana Mecani anica Anal´ l´ıtica! ıti ca!!! ´ ´ Entre 1772 y 1788, Joseph Lagrange re-formul´ re-formulo´ la mecanica clasica ´ ´ de Isaac Newton para simplificar simplificar formulas y facilitar los calculos. Esta ´ ´ ´ a anal´ mecanica se llama mecanica Lagrangiana o mec´ mecanica anic an al´ıtica. ıti ca. En lugar de seguir el movimiento de cada parte individual de un sistema material, material, como D’Alembert y Euler hab´ıan ıan hecho, hec ho, mostr mos tro´ que, si ´ por un numero determinamos su configuraci´ configuracion suficiente de variables ´ cuyo número es igual que los grados de libertad que posee el sistema, sistema , ´ entonces pueden expresarse las energ energ´´ıas ıas cineticas y potenciales del ´ de esas variables y las ecuaciones diferenciales sistema en funcion ´ del movimiento se deducen por la diferenciaci´ diferenciacion.


´ ica Mecan anic a An Anal´ al´ıtic ıtica. a. ´ En la dinamica de un sistema r´ r´ıgido ıgido Lagrange reemplaza la ´ del problema particular por la ecuacion ´ general que se consideraci´ consideracion ´ escribe ahora normalmente con la formula

d ∂T

∂T ∂V − + =0  dt ∂θ ∂θ ∂θ ´ T es e s la ene energ´ rg´ıa ıa Cin etica y V la energ´ıa ıa Potencial. ´ de que la Entre otros resultados se puede mencionar la proposicion ´ ener en erg´ g´ıa ıa cin ci netica de un sistema material bajo las restricciones dadas ´ ´ . es un maximo, y el principio de m´ m´ınima ınima accion on.


Leonhard Euler 1707-1783


Leonhard Euler Leonhard Euler nacio´ el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza, y muri o´ el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo, Rusia. Rusia . Fue un ´ respetado matem´ matematico y f´ f´ısico, ısico, y esta´ considerado como el principal ´ ´ grandes de todos matem´ matematico del siglo XVIII y como uno de los mas los tiempos. Vivio´ en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y ´ realizo´ importantes descubrimientos en areas tan diversas como el ´ ´ introdujo gran parte de la calculo o la teor´ teor´ıa ıa de grafos. Tambien ´ matematica, ´ moderna terminolog terminolog´´ıa ıa y notacion particularmente para el ´ ´ ´ ´ de funcion ´ area del analisis matematico, como por ejemplo la nocion ´ ´ se le conoce por sus trabajos en los campos de matem´ matematica. Tambien ´ ´ ca y astrono la mecanica, optica opti ast ronom´ m´ıa. ıa.


Joseph Louis Lagrange

Joseph Louis Lagrange (bautizado como Giuseppe Lodovico Lagrangia) (25 de enero de 1736 en Tur´ Tur´ın ın - 10 de abril de 1813) fue un ´ ´ ´ vivio´ en Prusia y matem´ matematico, f´ f´ısico ısico y astronomo italiano que despues Francia. Lagrange trabajo´ para Federico II de Prusia, en Berl´ın, ın, ˜ durante veinte anos. Lagrange demostro´ el teorema del valor medio, ´ desarroll´ desarrollo´ la mecanica Lagrangiana y tuvo una importante ´ en astronom´ contribuci´ contribucion astronom´ıa. ıa.


Joseph Louis Lagrange 1736-1813


Carl Gustav Jakob Jacobi ´ de Hamilton-Jacobi: La ecuacion ´ de Hamilton-Jacobi es una Ecuacion ´ diferencial en derivadas parciales usada en mecanica ´ ecuacion ´ ´ clasica y mecanica relativista que permite encontrar las ecuaciones de ´ temporal o de ”movimiento”. La ecuacion ´ de evolucion ´ alternativa a la Hamilton-Jacobi (EHJ) permite una formulacion ´ ´ mecanica lagrangiana y la mecanica hamiltoniana (y por tanto a la ´ ´ directa de mecanica newtoniana, basada en el intento de integracion ´ de las ecuaciones de movimiento). El empleo de la ecuacion Hamilton-Jacobi resulta ventajoso cuando se conoce alguna integral de movimiento.


´ de Hamilton-Jacobi La ecuacion ´ En un sistema mecanico de N grados de libertad, representado por el ´ de hamiltoniano H (q p t ) la forma general de la ecuacion Hamilton-Jacobi es ,

,

∂S (q α t ) ∂S (q α t ) t ) = 0 + H (q ∂t ∂q ,

,

,

,

,

,

donde N yα son constantes constantes del movimient movimiento o, que se determinan determinan ´ de esta ecuacion, ´ mediante mediante las condiciones condiciones iniciales. iniciales. La soluci solucion ´ principal de Hamilton, y se puede S (q t ) se denomina funcion ´ del sistema. A partir de ella se puede interpretar como la accion encontrar completamente la trayectoria del sistema en el espacio de fases (q p). ,

,


´ de Hamilton-Jacobi La ecuacion ´ la formulacion ´ basada en EHJ es la unica ´ de la Ademas ´ formulacion ´ mecanica en la que el movimiento de una part´ par t´ıcula ıcula y el de una onda ´ se describen en los mismos terminos. Es por esto que la EHJ ´ constitute una meta largamente perseguida de la f´ısica ısica te teórica, desde Johann Bernoulli en el siglo XVIII busco´ una analog´ analog´ıa ıa entre la ´ de ondas y part´ ´ fue la que llevo a propagaci´ propagacion part´ıculas. ıculas. Esta razon ¨ ´ para la iut + u xx + |u|2 u = 0 a buscar una ecuacion Schrodinger ´ ´ ´ ”mecanica ondulatoria” o mecanica cuantica generalizando la ´ de Hamilton-Jacobi. Incluso la primera ecuacion ´ para ecuacion ´ ´ ´ de Klein-Gordon mecanica cuantica relativista, relativista, la ecuaci´ ecuacion utt − u xx + sin(u) = 0 se baso´ en la EHJ relativista en lugar de otros enfoques alternativos. ,


Carl Gustav Jakob Jacobi 1804-1851


William Rowan Hamilton 1805-1865


William Rowan Hamilton Sir William Rowan Hamilton (4 August 1805 – 2 September 1865) was a physicist, astronomer, and mathematician, who made important contributions contributions to classical classical mechanics, mechanics, optics, optics, and algebra. His studies of mechanical and optical systems led him to discover new mathematica mathematicall concepts concepts and techniques. techniques. His greatest greatest contribution contribution is perhaps the reformulation of Newtonian mechanics, now called Hamiltonian mechanics. This work has proven central to the modern study of classical field theories such as electromagnetism, and to the development of quantum mechanics. In mathematics, he is perhaps best known for his discovery of quaternions.


Andrien Marie Legendre 1752-1833


Adrien-Marie Legendre Adrien-Marie Legendre (Par´ıs, ıs, 18 de septiembre de 1752 - Auteuil, Francia, 10 de enero de 1833), 1833), hizo importantes contribuciones a la ´ ´ estad´ est ad´ıstica ıst ica,, la teo teor´ r´ıa ıa de numeros, ´ el algebra abstracta y el analisis ´ matem´ matematico. Gran parte de su trabajo fue perfeccionado posteriormente por otros: sus trabajos en las ra´ ra´ıces ıces de los polinomios inspiro´ la teor´ teor´ıa ıa de Galois; los trabajos de Abel en las funciones el´ el´ıpticas ıpticas se construyeron sobre los de Legendre; parte de la obra de Gauss sobre estad´ıstica ıstica y teor´ıa ıa de numeros umero ´ s complementab complementaba a la de Legendre. En 1830 dio una prueba del ultimo teorema de Fermat para ´ ´ el exponente n = 5, casi simult aneamente con Dirichlet en 1828. En ´ teor´ teor´ıa ıa de numeros, conjeturo´ la ley de la reciprocidad cuadr actica, ´ ´ realizo´ trabajos pioneros probada posteriormente por Gauss. Tambien ´ de los en la distribucion los numeros ´ primos, y en la la aplic plicac aciio´ n del


Wave diffraction in the manner of Huygens. Huygens–Fresnel principle The Huygens–Fresnel principle is a method of analysis applied to problems of wa wave ve propagation propagation(both (both in the far field limit and in near field diffraction). It recognizes that each point of an advancing wave front is in fact the center of a fresh disturbance and the source of a new train of waves; and that the advancing wave as a whole may be regarded as the sum of all the secondary waves arising from points in the medium already traversed. For example, if two rooms are connected by an open doorway and a sound is produced in a remote corner of one of them, a person in the other room will hear the sound as if it originated at the doorway. As far as the second room is concerned, the vibrating air in the doorway is the source of the sound. Huygens principle follows formally from the fundamental postulate of qu quant antu um


Christian Huygens 1629-1695


Korteweg de Vries

´ precede a la ecuacion¨ ´ John Scott Rusell, 1834....¨ La observacion Ondas dispersivas !!

ut + uu x + 6u xxx = 0 L = con u = w x .

1

3

1

w x wt − w x + w xx 2 2 2


´ de datos-Genoma-Tumores, Indice de rechazo Clasificaci on ´ a transplantes de coraz on Genoma, Probalidades, Data mining, Ecuaciones Diferenciales, ´ Calculo variacional!!! Dados datos ( los valores de como se expresan los genes en ´ ´ de densidad de probabilidad pacientes) como saber que distribucion tienen? Para poder luego clasificar, agrupar esos datos en conjuntos. Para clasificar tumores, para clasificar ´ındice ındice de rechazo de ´ transplante de corazon. ´ ´ Mart´ Mart´ın ın Cadeiras, Esteban Tabak y Grupo de An alisis Numerico en pleno pensando.


Kullback S. and Leibler, R. A. Kullback S. and Leibler, R. A. On information and suffciency, Annals of Mathematical Statistics 22, 79–86, 1951. In probability theory and information theory, the Kullback–Leibler divergence (also information divergence, information gain, or relative entropy) is a non-commutative measure measure of the differenc difference e betw between een two probability probability distributions distributions P and Q. KL measures the expected number of extra bits required to code samples from P when using a code based on Q, rather than using a code based on P. Typically P represents the ”true” distribution of data, observation observations, s, or a precise precise calculated calculated theoretical theoretical distribution distribution.. The measure measure Q typically typically represents represents a theory, theory, model, model, description, description, or approximation of P. It is a special case of a broader class of divergen divergences ces called f-divergen f-divergences. ces. Although Although it is often intuited as a distance metric, the KL divergence is not a true metri tric sinc ince it is not


´ de L Variacion

Lρ [φt ] =

Z

log( J φt ) + log( µ(φt )ρdt

∂( Lρ ) ∇ µ) = J φt ( − ∇ρt ) = J φt ut µ ∂φt ρt + ∇(ρt ut ) = 0


´ HAY VIDA EN LA GALAXIA DEL CALCULO VARIACIONAL?

´ son dos disciplinas que frecuentemente se Control y Optimizacion ´ junto con otras afines cruzan en las mismas revistas de investigaci´ investigacion ´ ´ ˜ Optimo, como elC elCalculo de Variaciones, el Diseno los Problemas Inversos Invers os o la Teor´ıa ıa de Juego Juegos s.


REFERENCIAS 1)Gelfand, I.M. and Fomin, S.V.: Calculus of Variations, Dover Publ., 2000. 2)Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal. 3)Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1-98. 4)Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987. 5)Forsyth, A.R.: Calculus of Variations, Dover, 1960. 6)Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1992.


REFERENCIAS 7)Weinstock, Robert: Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering, Dover, 1974. 8)Clegg, J.C.: Calculus of Variations, Interscience Publishers Inc., 1968. 9)Courant, R.: Dirichlet’s principle, conformal mapping and minimal surfaces. Interscience, 1950. 10)Courant, R. and D. Hilbert: Methods of Mathematical Physics, Vol I. Interscience Press, 1953. 11)Elsgolc, L.E.: Calculus of Variations, Pergamon Press Ltd., 1962. 12)Jost, J. and X. Li-Jost: Calculus of Variations. Cambridge University Press, 1998.


LEIA ORGANA

She is one of the main protagonists of the original Star Wars trilogy. trilogy. In Return of the Jedi, it is revealed that she is the twin sister of Luke Skywalker, and thus the daughter of Darth Vader. In the Star Wars prequel films, her mother is identified as Padme´ Amidala. Her adoptive father is Bail Organa, the head of Alderaan’s royal family and a supporting character in the prequels; in later Star Wars literature she marries Han Solo.


LEIA ORGANA


EPISODIO III ´ Torres...... Y sigue Episodio III, III, 30 de abril 15 hs a cargo de Germ an

TANGO: VOLVER, 1934, letra: Alfredo Le Pera, m usica: ´ Carlos Gardel FIN

Cálculo variacional

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