Homomorfismos y Matrices Unidad 6 Homomorfismos y Matrices Matriz asociada a una transformación lineal
V y V
Sean
dos
-espacios
e1, e2 , ..., e n de V y
vectoriales
dimV n y dimV m . Sean
siendo
las
bases
ordenadas
e1, e2 , ..., e n de V .
Sea T : V V , una transformación lineal. Sabemos que cuando se dan los transformados de una base del dominio la transformación lineal está bien definida (Teorema 27). Como T ei V podemos escribir:
T e1 a11e1 a21e2 ... am1em T e2 a12e1 a22e2 ... am2em
1
T en a1ne1 a2n e2 ... amn em
m
T ei
Ecuaciones que podemos escribir:
a jiej
2
con i 1, ..., n
j 1
n
Por otro lado, sea x V , luego x x1e1 x 2e2 ... xn en x i ei 3 i 1
m
Tx
Como T x V , podemos escribir:
y1e1 y2e2 ... ymem y jej
4
j 1
Pero también: Tx
T x 1e1 x 2e2 ... x nen x 1T e1 x 2T e2 ... x nT en x 1 a11e1 a21e2 ... a m 1em x 2 a 12e1 a 22e 2 ... a m 2e m ... x n a 1ne 1 a 2ne 2 ... a mne m
Esto es: Tx
a11x 1 a 12x 2 ... a 1n x n e1 a 21x 1 a 22x 2 ... a 2nx n e 2 ... a m 1x 1 a m 2x 2 ... a mnx n e m
5
De (4) y (5) tenemos: a11 x1 a12 x2 ... a1 x y1 n n a21 x1 a22 x2 ... a2n xn y2 am1x1 am 2 x2 ... amn xn ym
T e1
a11 a12 a 21 a22 escritas matricialmente am1 am 2
T e2 T en x y
a1n x1
y 1 a2n x2 y2 amn xn y m
O bien T x T x , otra forma A x T x . A la matriz A T se le llama “matriz asociada a la transformación lineal T , en las bases Estas ecuaciones representan a la transformación lineal T : V V en las bases
y ”.
y .
Resumiendo: “Elegidas dos bases, de V y de V , una transformación lineal T : V V queda
biunívocamente determinada por una matriz A de orden m n , cuyos vectores columnas son las coordenadas en la base
de los transformados transformados de los vectores de la base
de V .”
Rango de una transformación lineal.
Sea la transformación lineal T : V V , sabemos que el rango de T es la dimensión del subespacio de V generado por los transformados de los vectores de una base de V , y como las coordenadas de los transformados de los vectores
Unidad 6 de la base de V son las columnas de la matriz asociada a T , entonces el rango de la transformación T es el rango de la matriz asociada a T . Luego, si A es matriz asociada a T , entonces: Rang T dim Im T Rang A Isomorfismo entre L(V,V’) y mn . Teorema 66: Sean V y V dos
-espacios
vectoriales con dimV n y dimV m . Para cada par de bases
y
de V y V respectivamente, la función que asigna a cualquier transformación lineal T : V V su matriz asociada en las bases
y
es un isomorfismo entre los espacios L V ,V y
mn .
Observación 17: Del teorema anterior resulta que: dim L V ,V dim mn m n .
De ahora en adelante hablaremos indistintamente de transformaciones lineales o de matrices. También usaremos la palabra operador para referirnos a una transformación o una matriz. Endomorfismos y matrices cuadradas.
Sean los espacios vectoriales L V T : V V : T es endomorfismo con dimV n y Elegida una base ordenada de V (hacer
n .
), a cada endomorfismo de V se le puede asociar, de manera única
una matriz cuadrada de orden n . Recíprocamente, cada matriz cuadrada de orden n , se puede interpretar como un endomorfismo de V , de manera única. Esta correspondencia, entre endomorfismos de V y matrices cuadradas de orden n es un isomorfismo. L V n
Esto es:
dim L V dim n n 2
y será
Composición de homomorfismos y producto de matrices. Teorema 67: Sean T1 : V V y T2 : V V . Sean las bases ordenadas
V y
z1, z 2 ,..., z p
v1, v2 ,..., v n
de V ,
w1, w2 ,..., w m
de
de V .
Si A a ik es la matriz asociada a T 2 y B bij la matriz asociada a T 1 en las bases indicadas, entonces la matriz asociada a T2
T 1
en las bases
v1, v2 ,..., v n
y
z1, z 2 ,..., z p
es el producto de las matrices A B .
Isomorfismo entre los anillos L(V) y n .
Sea V un de V y
-espacio
n
vectorial n-dimensional y
una base ordenada de V . Sea L V el anillo de los endomorfismos
el anillo de las matrices cuadradas sobre
La correspondencia F : L V operaciones de anillo:
n
.
que asigna a cada endomorfismo su matriz asociada en la base
,
respeta las
F T1 T2 F T1 F T2 y F T2 T1 F T2 F T1 y es un isomorfismo de anillos.
Matriz asociada a un automorfismo.
Sean
e1, e2 ,..., e n
una
base
ordenada
de
V
y
T : V V
un
automorfismo,
luego
T T e1 ,T e2 ,...,T en será base de V (Teorema 37).
Por
otra
parte,
sabemos
que
si
A
es
la
matriz
asociada
a
V
en
la
base
,
entonces
Rang A Rang T dim Im T . Como Im T V , por ser T automorfismo, entonces dim Im T n y será Rang A n , lo que implica que la matriz A , que es de orden n , es regular. Lema 12: La matriz asociada a un automorfismo es regular y, recíprocamente toda matriz regular se puede considerar
como caracterización de un automorfismo en una determinada base del espacio.
Unidad 6 Designaremos con GL V al grupo de los automorfismos de V con dimV n . Recordemos que el conjunto de las matrices cuadradas regulares de orden n es un grupo multiplicativo, que designaremos
n
R .
El grupo lineal de los automorfismos de V , resulta isomorfo al grupo de las matrices cuadradas regulares de orden n , esto es: GL V
n
R
Matriz asociada a una transformación ortogonal.
Sean E un espacio euclídeo,
e1, e2 ,..., e n una base ortonormal de E y T : E E una transformación
ortonormal, luego T T e1 ,T e2 ,...,T en será base ortonormal de E (Teorema 55). Como T ei E podemos escribir: T e1 a11e1 a21e2 ... an1en T e2 a12e1 a22e2 ... an2en
T en a1n e1 a2n e2 ... ann en
Ecuaciones que escritas matricialmente:
T e1
T e2 T en e1 e2
La matriz
T e1
a11 a12 a 21 a22 en a n 1 an 2
a 1n
a nn a 2n
T e2 T en es ortogonal, pues sus vectores columnas forman un sistema ortonormal, lo
mismo ocurre con la matriz e1 e2
e n por lo tanto la matriz A es también ortogonal, dado que el conjunto de las
matrices ortogonales forma un grupo multiplicativo. Luego: Lema 13: La matriz asociada a una transformación ortogonal, elegida una base ortonormal del espacio, es una matriz
ortogonal. Lema 14: La correspondencia que asigna a una transformación ortogonal, su matriz asociada, elegida una base
ortonormal, establece un isomorfismo entre el grupo ortogonal de E y el grupo de las matrices ortogonales de orden n .
Recordemos que habíamos designado con GR E al grupo de las transformaciones ortogonales de E con dim E n y el grupo multiplicativo de las matrices ortogonales de orden n con es:
. Estos
n
dos grupos son isomorfos, esto
GR E n
Matrices asociadas a dos homomorfismos traspuestos. Teorema 68: Las matrices asociadas a dos transformaciones lineales traspuestas T y L , cuando en el espacio euclídeo
se toma unas base ortonormal, son dos matrices traspuestas. Matriz asociada a un endomorfismo simétrico.
Teorema 69: En una base ortonormal de E , la matriz asociada a un endomorfismo simétrico es una matriz simétrica. Matriz asociada a un endomorfismo antisimétrico. Teorema 70: En una base ortonormal de E , la matriz asociada a un endomorfismo antisimétrico es una matriz
antisimétrica.
Unidad 6 Matriz de paso y cambio de coordenadas.
Sean V un
-espacios
vectoriales n -dimensional,
e1, e2 ,..., e n y
e1, e2 ,..., e n dos bases de V .
Sea T : V V un automorfismo tal que T ei e i para todo i 1,2,..., n . Luego podemos escribir: T e1 e1 p11e1 p21e2 ... pn1en T e2 e2 p12e1 p22e2 ... pn2en
T en en p1n e1 p2ne2 ... pnnen
n
O sea e j pij e i para j 1,2,..., n . i 1
e1
e2 en e1 e2
p11 p 21 en pn1
p12
p22
pn1
p1n
pnn p2n
A la matriz P pij que es regular se le llama matriz de paso de la base
a la base
(Se le suele indicar P ).
De igual manera: Sea L : V V un automorfismo tal que L ei e i para todo i 1,2,..., n Luego podemos escribir: L e1 e1 q11e1 q21e2 ... qn1en L e2 e2 q12e1 q22e2 ... qn2 en
L en en q1n e1 q2n e2 ... qnn en
Ecuaciones que podemos expresar matricialmente:
e1
e2 en e1 e2
q11 q12 q 21 q22 en qn 1 qn 2
q 1n
q nn q 2n
A la matriz Q q ij que es regular, se le llama matriz de paso de la base
a la base
(Se le suele indicar Q )
Lema 15: Las matrices P y Q son inversas. Teorema 71: Sean V un
-espacio
vectorial de dimensión n ,
V . Si P es la matriz de paso de la base
entonces para todo x V se tiene:
(i)
x P x
(ii)
x Q x
a la base
e1, e2 ,..., e n y
e1, e2 ,..., e n dos bases de
y Q es la matriz de paso de la base
a la base
,
