homomorfismos

Álgebra II (LSI y PI)-F.C.E. y T.-UNSE

5.- HOMOMORFISMOS 5.1 HOMOMORFISMO DE GRUPOS

Definición 1 Sean (G,*) , ( H , ) dos grupos. La función f : G → H es un homomorfismo del grupo G en el grupo H si y sólo si:

∀a,b ∈G; f(a* b) = f(a) f(b) G

H

a

f(a) b

f(b)

a*b

f(a*b)= f(a) f(b)

f Ejemplo: Un homomorfismo del grupo (R+, .) en el grupo (R, +) es la función logaritmo definida por: log : R+ → R x log x ya que cualesquiera sean a, b ∈ R+ se verifica que

log(ab) = loga + logb Proposición 1 Sean (G,*) , ( H , ) dos grupos. Si f : G → H es un homomorfismo, entonces la imagen del elemento neutro de G es igual al elemento neutro de H. Esto es,

f(eG) = eH Demostración Como por hipótesis (G,*) es un grupo se tiene que, 1


∀a ∈ G; a * eG = eG * a = a Tomando la igualdad

a * eG = a

y aplicando f en ambos miembros se conserva la igualdad (por ser f una función)

(

)

f a * e = f (a ) G

y además f es un homomorfismo, entonces

f (a) f (eG ) = f (a ) . Al operar en el segundo miembro con eH , elemento neutro de ( H , ) , no se altera la igualdad

( )

f (a) f e = f (a ) eH . G

Por ser ( H , ) un grupo, todo elemento de H es cancelable por lo que resulta:

( )

f e = eH G

De manera análoga se procede partiendo de la igualdad eG * a = a , y se llega a que

( )

f e = eH G

Q.E.D

Proposición 2 Sean (G,*) , ( H , ) dos grupos. Si f : G → H es un homomorfismo, entonces la imagen del inverso de todo elemento de G es igual al inverso de su imagen. Esto es,

∀ a ∈ G ; f(a’) = [ f(a)]’ Demostración: Por hipótesis (G,*) es un grupo, por lo tanto

∀ a ∈ G; ∃ a'∈ G : a * a' = a' * a = eG Tomando la igualdad a * a' = eG y aplicando f en ambos miembros es:

( )

f (a * a') = f e

G

Por definición de homomorfismo y por la Proposición 1 de homomorfismos, se tiene

f (a ) f (a') = eH (α) En forma análoga se procede con la igualdad a' * a = eG , y se llega a que f (a') f (a ) = eH (β)

2


En (α) y (β) se observa que f(a) operado a izquierda y a derecha con f(a’) se obtiene el elemento neutro eH . Por lo tanto se deduce que f(a’) es inverso de f(a) y como el inverso de cada elemento es único se verifica:

∀ a ∈ G ; f(a’) = [ f(a)]’ En diagrama de Venn G

H

a

f(a)

eG

f(eG)= eH

a'

f(a’)= [f(a)]’

f Q.E.D

Núcleo de un homomorfismo de grupos Definición 2 Sean (G,*) , ( H , ) dos grupos y f : G → H un homomorfismo. El Núcleo del homomorfismo f es el conjunto formado por los elementos de G que tienen por imagen al elemento neutro de H. En símbolos,

Nf = {x ∈ G / f(x) = eH},

( α)

donde eH es el elemento neutro de H. Es claro que, un elemento de G pertenece al núcleo de f si y sólo si su imagen es igual al elemento neutro de G, esto es x ∈ Nf ⇔ f(x) = eH

(β)

G . .

.

Nf .

H .

. x . .

.

.

.

.

f(x) = eH . .

f 3


Proposición 3 Sean (G,*) , ( H , ) dos grupos y f : G → H un homomorfismo. El Núcleo del homomorfismo f es un subgrupo del grupo G. Demostración: i)

Nf ⊂ G Esto es evidente por (α), definición de núcleo de un homomorfismo.

ii)

Nf ≠ ∅ En efecto,

( ) =e

f e

G

(1)

H

( 2)

eG ∈ N f

(3)

Nf ≠∅

(1) Por Proposición 1 (2) Por definición (β) de núcleo (3) Por definición de ∅

iii)

a, b ∈ N f

a * b' ∈ N f

En efecto,

a, b ∈ N f

(3)

(6)

(1)

f (a) = e H

f (a ) = eH ∧

∧

f (b' ) = eH

f (b) = eH (4)

(2)

f (a ) = eH

f (a)° f (b' ) = eH

∧

eH

[ f (b)]' = e' H (5)

(3)

f (a * b') = eH

(6)

a * b'∈ N f

Referencias: (1) Por definición (β) de núcleo (2) Si dos elementos son iguales, sus inversos también lo son (3) Por Proposición 2 y porque el inverso del elemento neutro es él mismo (4) Componiendo miembro a miembro las igualdades precedentes (5) Porque f es un homomorfismo y e elemento neutro de G H

(6) Porque G es un grupo y por definición (β) de núcleo

Por i), ii), iii) se tiene que el Núcleo de f es un subgrupo del grupo G. Simbólicamente se escribe N G

f

Q.E.D. 4


Imagen de un homomorfismo de grupos Definición 3 Sean (G,*) , ( H , ) dos grupos y f : G → H un homomorfismo. La Imagen del homomorfismo f preimagen en G.

es el conjunto formado por los elementos de H que tienen

En símbolos,

If = {y ∈ H / ∃ x ∈ G: f(x) = y} (δ) Es claro que, y ∈ If ⇔ ∃ x ∈ G : f(x) = y

(λ)

En Diagramas de Venn G

H

. . . .

.

. .

x

If

.

f(x)= y

.

.

.

.

.

. .

.

.

. ……..

f Proposición 4 Sean (G,*) , ( H , ) dos grupos y f : G → H un homomorfismo. La Imagen del homomorfismo f es un subgrupo del grupo H. Demostración: i) If ⊂ H Esto es claro, por definición de Imagen de un homomorfismo (δ) ii) If ≠ ∅ En efecto,

( )

∃ eG ∈ G tal que f e = eH G

(1)

eH ∈ If

( 2)

If ≠ ∅

Referencias: (1) Por definición (λ) (2) Por definición de conjunto vacío

5


iii) y1 , y2 ∈ I En efecto:

y1 ∈ I

y1 y2 ' ∈ I . f

f

∧ y2 ∈ I

f

f

(1)

∃ x1 ∈ G ∧ x2 ∈ G : f ( x1 ) = y1 ∧ f ( x2 ) = y2

∃ x1 ∈ G ∧ x2 ∈ G : f ( x1 ) = y1 ∧ f ( x ) ' = y'2 2 ( 2) (3) ( 4) (5)

∃ x1 ∈ G ∧ x2′ ∈ G : f ( x1 ) = y1 ∧ f ( x'2 ) = y'2 ∃ x1 ∈ G ∧ x2′ ∈ G : f ( x1 )° f ( x'2 ) = y1 ° y'2 ∃ x1 * x′2 ∈ G : f ( x1 * x'2 ) = y1 ° y'2

( 6)

( 2)

(3)

( 4)

(5)

y1 ° y2′ ∈ I

f

Referencias: (1) Por definición (λ) (2) Si dos elementos son iguales, sus inversos también lo son (3) Porque G es un grupo y por Proposición 2 (4) Componiendo miembro a miembro las igualdades precedentes (5) Porque G es un grupo y f es un homomorfismo (6) Por definición (λ)

Luego, por i), ii), iii) se tiene que la Imagen de f es un subgrupo del grupo H. Simbólicamente se escribe I H.

f

Q.E.D.

Ejercicio Pruebe que la función f : R3→ R2 / f(x, y, z) = (x+y, z) es un homomorfismo del grupo (R3, +) en el grupo (R2, +) y determine el núcleo y la imagen de f . Desarrollo: a) f es un homomorfismo. En efecto, sean ( x1 , y1 , z1 ), ( x2 , y2 , z 2 ) ∈ R 3 , entonces

[

]

f ( x , y , z ) + ( x , y , z ) = f ( x1 + x2 , y1 + y 2 , z1 + z 2 ) =

(

1

1

1

2

2

2

= ( x + x ) + ( y + y ), z + z (2)

1

2

1

2

1

(1)

2

(2)

) = (( x + y ) + ( x (3)

1

1

2

+ y ), z + z 2

1

2

)=

(4)

= ( x1 + y1 , z1 ) + ( x2 + y2 , z 2 ) = f ( x1 , y1 , z1 ) + f ( x2 , y2 , z 2 )

( 4)

(5)

6


Referencias: (1) Por definición de suma en R3 (2) Por la definición de la función f (3) Por la conmutatividad y asociatividad de la suma en R (4) Por definición de suma en R2 (5) Por la definición de la función f

Por lo tanto f es un homomorfismo de (R3, +) en (R2, +). b) El núcleo de f está dado por

N

= ( x, y, z ) ∈ R 3 / f ( x, y, z) = (0,0)

f

A partir de

f ( x, y, z ) = (0,0) ,

y teniendo en cuenta la definición de la función f , se tiene

( x + y, z) = (0,0) Como dos pares de números reales son iguales si y solo si son iguales sus respectivas componentes, se tiene un sistemas de ecuaciones homogéneo

y = −x z=0

x+ y =0 z=0 De donde el conjunto solución es

{ ( x, y, z) ∈ R3 / y = − x ∧ z = 0 } Por consiguiente el núcleo está dado por:

N

f

= ( x, y, z ) ∈ R 3 / y = − x ∧ z = 0

O simplemente:

N

f

= {( x,− x,0) / x ∈ R}.

c) La Imagen de f , es

I ( f ) = (a, b) ∈ R 2 / ∃( x, y, z ) ∈ R 3 : f ( x, y, z) = (a, b) Teniendo en cuenta que

f ( x, y, z ) = (a, b)

y por la definición de f, se tiene que

( x + y, z ) = (a, b) 7


por lo tanto, se obtiene el sistema de ecuaciones lineales

x+ y = a z =b Analizando este sistema de ecuaciones lineales, es claro que cualesquiera sean a, b ∈ R es posible determinar x, y, z ∈ R de tal manera que satisfagan ambas ecuaciones. Luego I ( f ) = R 2 Proposición 5 Sean (G,*) , ( H , ) dos grupos y f : G → H un homomorfismo. El núcleo de f tiene a eG como único elemento si y sólo si f es una función inyectiva. En símbolos, N( f ) = e ⇔ f : G → H es inyectiva

{ } G

Demostración:

) Si el núcleo de f tiene a eG como único elemento, entonces f es una función inyectiva. Simbólicamente,

{ }

N( f ) = e

G

f : G → H es inyectiva

Probar que f es inyectiva equivale a mostrar que es verdadero el condicional f (a) = f (b) a = b , con a, b∈ G Sean entonces, a, b ∈ G tales que

f (a) = f (b) Operando en ambos miembros con el inverso de f (b), se obtiene

f (a)

(4)

[ f (b)] ' = eH a * b' = eG

(5)

(1)

f (a) f (b' ) = eH

a * b'*b = eG * b

(2)

f (a * b ' ) = e H

a * b'∈ N ( f ) (3)

(4)

a=b (6)

Luego f es inyectiva Referencias: (1) Por Proposición 2 (2) Porque f es un homomorfismo (Definición 1) (3) Por Definición (β) de Núcleo

{}

(4) Por hipótesis N ( f ) = e

G

(5) Operando con b en ambos miembros a derecha se mantiene la igualdad (6) Porque G es un grupo se aplican los axiomas (asociatividad, inverso, neutro)

8


⇐) Si f es una función inyectiva entonces el núcleo de f tiene a eG como único elemento. Simbólicamente,

f : G → H es inyectiva Por Proposición 1 se tiene que

{ }

N( f ) = e

G

f (eG ) = eH

(ρ)

Supóngase que a ∈ N , entonces

f

f (a) = eH De (ρ) y (π) se sigue que

(π)

f (a) = f (eG )

y como por hipótesis f es inyectiva, entonces Con lo que se prueba que:

a = eG .

{ }

N( f ) = e

G

Q.E.D.

Proposición 6 Sean (G,*) , ( H , ) dos grupos y f : G → H un homomorfismo. La Imagen de f es igual a H si y sólo si f es una función sobreyectiva. En símbolos If = H ⇔ f es sobreyectiva. Demostración: Es obvio que esta proposición se verifica por definición de función sobreyectiva Q.E.D.

Definición 3 Sean (G,*) , ( H , ) dos grupos y f : G → H un homomorfismo. Se dice que f es un isomorfismo si f es una función biyectiva. Nota Si (G,*) , ( H , ) son grupos y f : G → H es un isomorfismo, se dice que “G es isomorfo a H” y se simboliza G ≅ H

9


5.2. HOMOMORFISMO DE ANILLOS

Definición 1 Sean dos anillos (A, +, .) y (B, +, .) . La función f : A → B es un homomorfismo del anillo A en el anillo B si y sólo si:

i) ∀a, b ∈ A, f (a + b) = f (a) + f (b) ii) ∀a, b ∈ A, f (a.b) = f (a). f (b) Proposición 1 Sean (A, +, .) y (B, +, .) anillos y f : A → B un homomorfismo, entonces la imagen del cero del anillo A (0A) es igual al cero del anillo B(0B). Esto es,

f (0A) = 0B Demostración: Por ser (A, +) un grupo se verifica ∃ 0A ∈ A: ∀ a ∈ A; a + 0A = 0A + a = a Entonces, si se parte de la igualdad a + 0A = a y se aplica en ambos miembros f, se tiene

( )

f (a) + f 0 = f (a ) A

(

)

f a + 0 = f (a ) (1)

A

(2)

( )

f (a) + f 0 = f (a ) + 0 B A

(1) f es un homomorfismo (2) 0B es el elemento cero del anillo B (3) Por ley cancelativa en el grupo (B,+)

(3)

( )

f 0 = 0B A

( )= 0

De manera análoga se procede con la igualdad 0A + a = a, y se llega a f 0

A

B

.

Q.E.D.

Proposición 2 Sean (A, +, .) y (B, +, .) anillos y f : A → B un homomorfismo, Entonces la imagen del opuesto de todo elemento de A es igual al opuesto de su imagen. Esto es

∀ a ∈ A ; f (-a) = - f(a) Demostración: Por ser (A, +) un grupo se verifica

∀a ∈ A, ∃ − a ∈ A : a + (−a) = (−a) + a = 0 A 10


Tomando el primer y tercer miembro de la igualdad precedente y aplicando f en ambos miembros se obtiene,

( )

f (a + (−a)) = f 0

A

(1)

f (a ) + f (− a ) = 0 B

f (− a ) = − f (a ) (2)

Referencias: (1) Por Definición1 y Proposición 1 de homomorfismos. (2) Sumando en ambos miembros el opuesto de f (a).

Q.E.D

Nota Las propiedades precedentes se deducen del hecho que A y B son grupos aditivos.

Núcleo e Imagen de un Homomorfismo de Anillos Es fácil trasladar los conceptos de Núcleo e Imagen de un homomorfismo de grupos al concepto de Núcleo e Imagen de un homomorfismo de anillos, por el hecho que todo anillo tiene estructura de grupo con la LCI suma. Definición2 Sean (A, +, .) y (B, +, .) anillos y f : A → B un homomorfismo. El Núcleo del homomorfismo f es el conjunto formado por los elementos de A que tienen por imagen al cero de B. En símbolos,

Nf = {x ∈ A / f(x) = 0B},

(α)

donde 0B es el elemento neutro aditivo de B. Es claro que, un elemento de A pertenece al núcleo de f si y sólo si su imagen es igual al cero de B, esto es x ∈ Nf ⇔ f(x) = 0B A . .

.

B

.

Nf

(β)

.

. x . .

.

.

.

.

f(x) = 0B . .

f 11


Definición 3 Sean (A, +, .) y (B, +, .) anillos y f : A → B un homomorfismo. La Imagen del homomorfismo f es el conjunto formado por los elementos de B que tienen preimagen en A. En símbolos,

If = {y ∈ B / ∃ x ∈ A: f(x) = y} (δ) Es claro que, y ∈ If ⇔ ∃ x ∈ A : f(x) = y

(λ)

En Diagramas de Venn A

B

. . . .

.

. .

x

If

.

f(x)= y

.

.

.

.

.

. .

.

.

. ……..

f

Notas 1.- Las propiedades del Núcleo y de la Imagen de los homomorfismos de anillos son idénticas a las propiedades de Núcleo e Imagen de los homomorfismos de grupos, con la salvedad que en los anillos el elemento neutro aditivo es el cero del anillo. 2.- Si tanto un anillo A como un anillo B tienen unidad,1A y 1B respectivamente, y si f : A → B es un homomorfismo, no se sigue que f (1A) = 1B . Sin embargo se probará que si B es un dominio de integridad o si B es arbitrario y f es sobreyectiva, entonces f (1A) = 1B es necesariamente cierto Proposición 3 Si (A, +, .) es un anillo con unidad, (B, +, .) es un dominio de integridad y f : A → B es un homomorfismo, entonces f (1A) = 1B. 12


Demostración: Sea x ∈ A ∧ x ∉ N , y por ser A un anillo con unidad 1A se tiene

x ⋅1 A = x

(4)

f

f ( x.1 A ) = f ( x)

(1)

(2)

f ( x) ⋅ f (1 A ) = f ( x)

(3)

f ( x ) ⋅ f (1A ) = f ( x ) ⋅1B ≠0 ≠0

(4)

H

f (1A ) = 1B

Referencias: (1) Se aplica en ambos miembros f (2) Porque f es un homomorfismo (3) Como x ∉ N ( f ) entonces f ( x) ≠ 0 y B es dominio de integridad por lo tanto tiene unidad 1B (4) B es dominio de integridad, entonces vale la ley cancelativa de la multiplicación para elementos no nulo Q.E.D.

Proposición 4 Sean (A, +, .) y (B, +, .) dos anillos con unidad 1A y 1B respectivamente, y f : A → B un homomorfismo. Si f es sobreyectiva, entonces f (1A) = 1B .

Demostración: Por hipótesis f es sobreyectiva, es decir,

∀ y ∈ B; ∃ x ∈ A : f ( x) = y (α) Por hipótesis A tiene unidad, entonces

∀ y ∈ B; ∃ x ∈ A : f ( x ⋅1A ) = f ( x) ∧ f (1A ⋅ x) = f ( x)

Por hipótesis f es homomorfismo, luego

∀ y ∈ B; ∃ x ∈ A : f ( x) ⋅ f (1A ) = f ( x) ∧ f (1A ) ⋅ f ( x) = f ( x)

Y como f ( x) = y por (α), se tiene

∀ y ∈ B; ∃ f (1A ) ∈ B : y ⋅ f (1A ) = y ∧ f (1A ) ⋅ y = y De donde se sigue que f (1A) es la unidad de B, esto es f (1A) = 1B.

Q.E.D.

Definición 4 Sean (A, +, .) y (B, +, .) dos anillos y f : A → B un homomorfismo. Se dice que f es un isomorfismo si f es biyectiva.

Nota Si (A, +, .) y (B, +, .) son dos anillos y f : A → B es un isomorfismo, se dice que “A

es isomorfo a B” y se simboliza A ≅ B. 13


5.3. HOMOMORFISMO DE CUERPOS

Definición 1 Sean dos cuerpos (F, +, .) y (K, +, .) . La función f : F → K es un homomorfismo del cuerpo F en el cuerpo K si y sólo si:

i) ∀a, b ∈ F , f (a + b) = f (a) + f (b) ii) ∀a, b ∈ F , f (a.b) = f (a). f (b) Proposición Sean (F, +, .) y (K, +, .) dos cuerpos y f : F → K un homomorfismo, entonces

f (1F) = 1K Demostración: Teniendo en cuenta que todo un cuerpo es un anillo conmutativo con unidad y sin divisores de cero y recordando Proposición 3 de homomorfismo de anillos, se verifica que f (1F ) = 1K . Q.E.D.

Definición 2 Sean (F, +, .) y (K, +, .) dos cuerpos y f : F → K un homomorfismo. Se dice que f es un isomorfismo si f es biyectiva.

Nota Si (F, +, .) y (K, +, .) dos cuerpos y f : F → K un isomorfismo, se dice que “F es

isomorfo a K” y se simboliza F ≅ K Ejemplo Sea el cuerpo de los números complejos (C, +, .), es simple verificar que el conjunto de todos los números complejos con segunda componente igual a cero es un cuerpo, es decir un subcuerpo de C, esto es

CR = {(a, b) ∈ C / b = 0}

C

También es simple mostrar que la función f : CR → R / f (a, 0)= a, es un isomorfismo entre el cuerpo de los números complejos con segunda componente igual a cero y el cuerpo de los números reales. De modo que CR y R son isomorfos (CR ≅ R). Esto significa que sus elementos son indistinguibles y que resulta lo mismo operar en CR que operar en R. 14

homomorfismos

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