fizika – 3. razred
HARMONIJSKI VALOVI
3. razred – HARM – HARMONIJS ONIJSKI KI VALOVI VALOVI 1. Osnovni pojm ovi – harmonijski valovi Jedan od na čina prenošenja energije kroz prostor je valovito gibanje. Valovi koji se šire kroz čki i valovi . Elastično sredstvo je sredstvo čije su čestice vezane k elastična sredstva su mehani č elastičnim silama. Val je pojava prenošenja titranja kroz elastično sredstvo putem uskla đenog ( kolektivnog ) gibanja čestica tog sredstva, pri čemu se kroz sredstvo prenosi energija. val na vodi
VRSTE VALOVA I. prema na činu titranja čestica : 1. longitudinalni - čestice titraju duž pravca po kojem se val širi - širi se kroz sva tri agregatna stanja (primjer: zvučni val) - ima zgušnjenja i razrijeđenja 2. transverzalni val - čestice titraju okomito na pravac širenja vala - širi se samo u čvrstom agregatnom stanju II. prema načinu prijenosa energije titranja čestica : • progresivni (putujući) val - giba se u odre đenom smjeru i pritom se energija prenosi sa čestice na česticu • stojni val - je takav val kod kojega neke čestice titraju, a neke stalno miruju; suprotno progresivnom valu, pri stojnom valu energija energija se ne širi prostorom III. prema obliku i sredstvu na kojem nastaje : • linearni – val na žici • površinski – val na vodi, kombinacija kombinacija longitudinalnih i transverzalnih valova • prostorni – zvučni val ( http://gbs.gle http://gbs.glenbrook.k1 nbrook.k12.il.us/Acade 2.il.us/Academics/gbss mics/gbssci/phys/Class ci/phys/Class/sound/tfl.gif /sound/tfl.gif ))
Sl.1. Ravni val
Sl.2. Kuglasti val
Definicije osnovnih veličina : valna fronta – prednji dio vala
valne plohe – plohe koje pokazuju širenje vala u prostoru valna zraka – okomita na valnu plohu; paralelna sa brzinom širenja vala
t N T T - period vala ; vrijeme za koje se val proširi za jednu valnu duljinu T f = = odgovara periodu titranja čestica N t N – broj titraja; broj valova λ λ - valna duljina ; najmanja udaljenost izme đu dvije čestice koje titraju jednakom fazom f f - frekvencija ; broj valova u jedinici vremena ; odgovara frekvenciji titranja čestica v - brzina širenja vala , tj. FAZNA brzina; to je brzina kojom se širi prednji dio vala, tzv. valna fronta ( Napomena : ova brzina NE odgovara brzini titranja čestica , v = v0 cos ω t )
1
Nina Obradović Obradović , prof.
fizika – 3. razred
•
HARMONIJSKI VALOVI
Fazna brzina vala (njom se širi odre đena faza vala) povezana je s valnom duljinom i frekvencijom :
v = λ f
⎡m⎤ ⎢⎣ s ⎥⎦
ili
v=
λ T
Brzina vala ovisi o osobinama sredstva kroz koje prolazi. Brzina se ne mijenja sa frekvencijom. Produkt frekvencije i duljine uvijek će bit isti u istom mediju, jer ovisi samo o titranju izvora vala. Energije vala je proporcionalna sa kvadratom amplitude vala. vala. To je posljedica činjenice što je i energija titranja čestica proporcionalna sa kvadratom amplitude (prema zakonu o čuvanja energije).
Postanak mehaničkog transverzalnog vala : Izvor počinje titrati u t = 0 . Energija titranja se prenosi na susjedne čestice – titrače.
Nakon t =
T
Nakon t =
T
val se proširio za 4 četvrtinu valne duljine ; pritom je titrač napravio četvrt titraja.
brijeg
dol
val se proširio za 2 pola valne duljine ; pritom je titrač napravio pola titraja. ..... itd .... Energija vala se prenosi kroz elastično sredstvo.
Nakon t = T val se proširio za cijelu valnu duljinu ; pritom je titrač napravio pola titraja.
Valna duljina može se definirati i kao udaljenost izme đu dva susjedna brijega ( dola ).
2
Nina Obradović Obradović , prof.
fizika – 3. razred
HARMONIJSKI VALOVI
Grafički prikaz transverzalnog vala na 1D – el. sredstvu : Jednodimenzionalno elastično sredstvo ( 1D – el. sredstvo ) je ono kojemu je jedna dimenzija puno ve ća od druge dvije.
y – elongacija čestice y 0 – amplituda x – udaljenost pojedine čestice od izvora vala
+ y 0
Za titranje čestica vala vrijedi prikaz : y
+ y 0 λ
λ
2
0
T/2
− y0
T
t
− y0
2. Jednadž Jednadžba ba harmoni jsko jskog g vala Titranje čestice u izvoru : y = y 0 sin ( t )
Grafički prikaz titranja :
− kutna brzina ( kružna frekvencija ) y 0 − amplituda titranja y = 0 , početna elongacija izvora vala ω =
2π ⎡ rad ⎤ = s −1 ⎥ ⎢ T ⎣ s ⎦
Titranje čestice koja je od izvora udaljena za x :
y = y 0 sin [ (t − τ )]
udaljenosti x τ − vrijeme za koje se val proširi od izvora ( x = 0 ) do točke koja se nalazi na udaljenosti x v=
x τ
⇒ τ =
x v
– udaljenost čestice (točke) od izvora vala x –
⎡ 2π ⎛ x ⎞⎤ ⎛ 2π 2π x ⎞ t − ⎜ t − ⎟ ⎥ = y 0 sin ⎜ ⎟ T v T Tv ⎠ ⎠⎦ ⎝ ⎣ ⎝
v = λ f =
y = y 0 sin ⎢
3
λ T
⇒ Tv = λ
Nina Obradović Obradović , prof.
fizika – 3. razred
HARMONIJSKI VALOVI
2π ⎞ ⎛ 2π t − x ⎟ λ ⎠ ⎝ T
y = y 0 sin ⎜
Dobivamo :
Grafički prikaz vala ( y/x graf ) : Općenito možemo pisati : val se širi udesno
⎛ t x ⎞ m ⎟ T λ ⎝ ⎠
y = y 0 sin 2π ⎜
val se širi ulijevo ili :
⎛ 2π ⋅ t 2π ⋅ x ⎞ m ⎟ λ ⎠ ⎝ T
y = y0 sin ⎜
Drugi oblik jednadžbe :
y = y0 sin (ω t m kx )
k =
2π
[m − ], valni broj – broj valova po metru 1
λ Općeniti zapis jednadžbe vala ( izvor je počeo titrati već prije ) :
⎛ 2π ⋅ t 2π ⋅ x ⎞ m + ΔΦ ⎟ λ ⎝ T ⎠
y ( x, t ) = y 0 sin ⎜
Grafički prikaz vala sa pomakom u fazi ( izvor je po počeo titrati već prije ) : y
ΔΦ
x
Razlika hoda :
y 1
1. između 2 čestice u valu
Δ x = x2 − x1 , udaljenost dvije čestice vala
x1
2
Δ x x2
x
Mjerna jedinica : [Δ x ] = m ili
[Δ x] = λ
Ako se Δ x izrazi preko kuta, onda se naziva razlika faza ( fazni pomak ) i ozna čava se : Δ 2π Δϕ = ω Δt = k Δ x = Δ x Δ x : λ = Δ : 2π λ
4
Nina Obradović Obradović , prof.
fizika – 3. razred
HARMONIJSKI VALOVI
Dakle, razlika u fazi ( fazna razlika ) između titranja čestice udaljene od izvora vala za Δ x i titranja čestice u izvoru vala ( x = 0 ) jednaka je razlici faza između bilo koje dvije čestice koje su međusobno udaljene Δ x :
Δϕ =
2π λ
⋅ Δ x [rad , 0 ] y
2. između 2 vala – vala – kada su valovi JEDNAKI Valovi moraju biti KOHERENTNI :
val 1
f = konst .
Δϕ = konst .
⎛ t x ⎞ − ⎟ ⎝ T λ ⎠
x
z
Napomena : oznaka „ Δ x “ se preimenuje preimenuje u oznaku „ z “
y1 ( x, t ) = y 0 sin 2π ⎜
val 2
z
⎛ t x ⎞ − + z ⎟ ⎝ T λ ⎠
y 2 ( x, t ) = y 0 sin 2π ⎜
z − razlika hoda
z = x2 − x1 [m, λ ]
Δϕ =
2π λ
⋅ z ⎡⎣ rad ra d , 0 ⎤⎦ , razlika faza
3. Odbijanje i lo m valova I. Odbijanje – refleksija: refleksija: odbijanje vala od prepreke prepreka – neko drugo elastično sredstvo, druga čijih elastičnih svojstava od sredstva u kojem se val dotada širio Promatrat ćemo širenje pulsa na zategnutom užetu. Zaključci koje izvedemo za puls vrijede općenito i za val. PULS – pulsni val → „poluval“ ; ili 1 brijeg brijeg ili 1 dol ( nastaje djelovanjem jednog impulsa sile )
a) REFLEKSIJA na ČVRSTOM KRAJU Ako je uže pri čvršćeno na jednom kraju, puls će se reflektirati. Pritome nastaje promjena faze za π brijeg se reflektira kao dol, a dol kao brijeg. Amplituda je ostala ista.
5
Nina Obradović Obradović , prof.
fizika – 3. razred
HARMONIJSKI VALOVI
Znači, upadni i reflektirani puls imaju razliku faza : Δϕ = π tj. razliku hoda : z =
Kada razmatranje proširimo na valove, zaklju čak glasi :
λ
2
Kod refleksije vala na čvrstom kraju dolazi do promjene faze izme đu upadnog i reflektiranog vala i to tako da su valovi u protufazi . Uo čite da se amplituda valova nije promijenila. Za sinusne valove npr. možemo pisati : y1 = y 0 sin ( t − kx ) , upadni val y 2 = y 0 sin ( t + kx + π ) , reflektirani val
Valovi su u protufazi. Sasvim op ćenito to znači da je razlika hoda komponentnih valova jednaka neparnom višekratniku polovice valne duljine, a razlika faza neparnom višekratniku od π. z = (2k + 1)
λ
k = 0, ±1, ±2, ±3, ...
2π
⋅ z ⇒ Δϕ = (2k + 1)π λ Napomena : u gornjim jednadžbama k je je samo broj (nije valni broj iz jednadžbe vala) 2
Δϕ =
a. REFLEKSIJA na SLOBODNOM KRAJU Ako kraj debelog užeta spojimo s tankom uzicom i proizvedemo proizvedemo puls, na spoju se taj puls reflektira s istom fazom - brijeg se odbija kao brijeg, a dol kao dol. Amplituda Amplituda je ostala ista. Znači, između upadnog i reflektiranog pulsa nema promjene u fazi : Δϕ = 0 Kaže da su upadni i reflektirani pulsevi u fazi.
tj. z = 0
Kada razmatranje proširimo na valove, zaklju čak glasi : Kod refleksije vala na slobodnom kraju ne dolazi do promjene faze izme đu upadnog i reflektiranog vala. Za takve valove se kaže da su u fazi. Za sinusne valove npr. Možemo pisati : y1 = y 0 sin ( t − kx ) , upadni val y 2 = y 0 sin (ω t + kx ) , reflektirani (odbijeni) val
Valovi su u fazi. Sasvim op ćenito to znači da je razlika hoda komponentnih valova jednaka nuli ili cjelobrojnom višekratniku valne duljine, a razlika faza tako đer je jednaka nuli ili cjelobrojnom višekratniku od 2 π. 2π Δϕ = ⋅ z ⇒ Δϕ = k ⋅ 2π z = k ⋅ λ k = 0,±1,±2,±3... λ Zaključak : Pri refleksiji na guš ćem sredstvu reflektirani val je pomaknut u fazi za π prema upadnom valu, a pri refleksiji na rje đem sredstvu nema pomaka u fazi. Također, pri refleksiji od čvrste zapreke reflektirani val ima jednaku amplitudu kao upadni, samo pomaknut u fazi, dok pri refleksiji refleksiji na slobodnom kraju upadni i reflektirani reflektirani val imaju jednake amplitude i faze.
6
Nina Obradović Obradović , prof.
fizika – 3. razred
HARMONIJSKI VALOVI
II. Lom – refrakcija – refrakcija valova
Uzrok promjene pravca širenja vala je promjena brzine širenja valova. Frekvencija vala ovisi o titranju izvora vala pa je prilikom prijelaza vala iz jednog sredstva u drugo konstantna : f 1 = f 2 λ 1 > λ 2 zbog : v = λ ⋅ f v1 > v 2 v1 - brzina vala u prvom sredstvu; v2 - brzina vala u drugom sredstvu
ZAKON LOMA - Snellov zakon, koji kaže : 1. Upadna zraka, lomljena zraka i normala (okomica) leže u istoj ravnini 2. Omjer sinusa upadnog kuta i sinusa kuta loma jednak je omjeru odgovaraju ćih brzina :
sin α sin β
=
v1
α – upadni kut kut
v2
β – kut loma
Kada val prelazi iz sredstva u kojem ima manju brzinu u sredstvo u kojem ima ve ću brzinu lomi se prema okomici na grani čnu površinu. Kut upada je ve ći od kuta loma. (slika gore) Kada val prelazi iz sredstva u kojem ima ve ću brzinu u sredstvo sredstvo u kojem kojem ima manju brzinu brzinu (npr. zrak) lomi se od okomice na grani čnu površinu. Tada je kut β veći od kuta α . (npr. voda) Za zvučni val to je slu čaj kada npr. zvuk prelazi iz vode u zrak. izvor vala
4. Interferenci ja valova Interferencija je zbrajanje (superpozicija) elongacija valova. Elongacije se zbrajaju po iznosu i smjeru. y val 1
val 2
x
z
Relativno jednostavna jednadžba koja opisuje rezultantni val može se dobiti SAMO u slu čaju dva jednaka vala, vala, koji npr. npr. imaju razliku razliku hoda z . Dva vala su jednaka ako su koherentni, te ako imaju jednaku amplitudu.
7
Nina Obradović Obradović , prof.
fizika – 3. razred
HARMONIJSKI VALOVI
2π ⎞ ⎛ 2π t− x⎟ λ ⎠ ⎝ T
val 1 … y1 = y0 sin ⎜
2π ⎡ 2π ⎤ t− ( x + z ) ⎥ λ ⎣ T ⎦
val 2 … y2 = y0 sin ⎢
z – z – razlika hoda
y = y1 + y2 = ? , INTERFERENTNI (rezultantni ili superponirani) val Jednadžbu za superponirani val dobit ćemo koristeći transformacijske formule : sin α + sin β = 2 sin
α +β
⋅ cos
α −β
2 2 Račun možete provesti sami, za vježbu.
2π ⎞ ⎛ 2π t− x⎟ λ ⎠ ⎝ T
α = ⎜
i
β = α −
2π λ
Dobije se jednadžba koju nazivamo : jednadžba : jednadžba interferentnog vala y = 2 y0 cos
2π ⎛ z ⎞ ⎤ ⎡ 2π x + ⎟⎥ ⋅ sin ⎢ t − ⎜ λ λ ⎝ 2 ⎠⎦ ⎣ T
π z
2 y0 cos
π z λ
= y 0 rez - amplituda interferentnog vala
Posebni slučajevi interferencije su tzv. konstruktivna i destruktivna interferencija.
z
z
konstruktivna interferencija
destruktivna interferencija
8
Nina Obradović Obradović , prof.
fizika – 3. razred
HARMONIJSKI VALOVI
KONSTRUKTIVNA INTERFERENCIJA Nastaje kada se kroz sredstvo šire dva vala koja su me đusobno u fazi. Treba obratiti pažnju da se valovi šire u istom smjeru. ( pogledajte jednadžbe za val1 i val2 na prethodnoj stranici ). Razmotrit ćemo širenje dva jednaka vala. Valovi su jednaki : 1. koherentni su 2. imaju jednaku amplitudu i λ val 1
Valovi su u fazi. To znači da je razlika hoda komponentnih valova jednaka nuli ili cjelobrojnom višekratniku valne duljine : val 2
z = k λ Δϕ =
2π λ
⋅ z
k = 0, ±1, ±2, ±3, ... ⇒
Δϕ = k ⋅ 2π
rezultantni val
Sasvim općenito, konstruktivna interferencija izgleda kao na slici desno.
val 1
val 2
Vidimo da je amplituda rezultantnog vala veća nego kod komponentnih valova. val 1 i val 2
9
Nina Obradović Obradović , prof.
fizika – 3. razred
HARMONIJSKI VALOVI
DESTRUKTIVNA INTERFERENCIJA Nastaje kada se kroz sredstvo šire dva vala koja su me đusobno u protufazi. Treba obratiti pažnju da se valovi šire u istom smjeru. ( pogledajte jednadžbe za val1 i val2 na prethodnoj stranici ). Razmotrit ćemo širenje dva jednaka vala.
Valovi su jednaki : 1. koherentni su 2. imaju jednaku amplitudu i λ val 1 Valovi su u protufazi. To znači da je razlika hoda komponentnih valova jednaka neparnom višekratniku polovice valne duljine :
z = (2k + 1)
λ 2
k = 0, ±1, ±2, ±3, ... val 2
Δϕ =
2π λ
⋅ z
⇒
Δϕ = ( 2k + 1)π
rezultantni val
Sasvim općenito, destruktivna interferencija izgleda kao na slici dolje :
Vidimo da je amplituda rezultantnog vala oslabljena u usporedbi sa amplitudom prvog vala.
val 1
val 2
val 1 i val 2
10
Nina Obradović Obradović , prof.
fizika – 3. razred
HARMONIJSKI VALOVI
5. Sto tojn jnii val v al Stojni val nastaje interferencijom dva jednaka vala, koji putuju jedan nasuprot drugome, a međusobno su u protufazi. Stojni val se može može dobiti npr. refleksijom progresivnog progresivnog vala. Stojni val posjeduje energiju, koju NE prenosi sa jednog mjesta sredstva na drugo. Razmotrimo stojni val koji nastaje na sredstvu učvršćenom na oba kraja. Jednadžbe valova glase : u
( x, t ) = y0 sin(ω t + kx)
r
( x, t ) = y0 sin(ω t − kx + π ) = − y0 sin(ω t − kx) reflektirani val, (širi se u desno), pomaknut u fazi za π
upadni progresivni val, (širi se u lijevo)
y = yu + y r = y0 {sin (ω t + kx ) − sin ( t − kx )} = 2 y0 sin kx ⋅ cos ω t jednadžba stojnog vala Rezultantni val više nije progresivni val, nema argumenta ω t+kx t+kx . Dobivamo to čke koje stalno miruju miruju : sin kxn = 0 ⇒ xn =
nπ k
λ
= n ; n = 0,1, 2K miruju Æ č vorovi vorovi
jednadžbe vrijede za dolje opisan sluč sluč aj aj 1.
2
sin kxn = ±1 ⇒ xn = ( 2n + 1)
λ 4
; n = 0,1, 2 K najjače titraju Æ trbusi
Transverzalni stojni valovi na napetoj žici 1. Stojni val u žici učvršćenoj na oba kraja Kada je zatitran jedan kraj napete žice duljine L duljine L → val se reflektira → nastaje stojni val rubni uvjeti: uvjeti: oba kraja žice učvršćena → u točkama x = 0 i x = L nastaju č vorovi vorovi stojnog vala L – duljina žice y1 ( x, t ) = y0 sin(ω t − kx)
osnovni mod stojnog vala
y2 ( x, t ) = y0 sin(ω t + kx + ϕ ) y ( x, t ) = y0 sin(ω t − kx) + y0 sin(ω t + kx + ϕ )
prvi viši harmonik stojnog stojnog vala
⎛ ⎝
y = y1 + y2 = 2 y0 sin kx sin ⎜ ω t −
drugi viši harmonik
π ⎞
⎟
2⎠
sin kL = 0 kL = nπ treći viši harmonik
λ n = L = n ⋅
Budući da je : v = λ f = Za n = 1 ⇒ f 1 =
v 2 L
2 L n
f
⇒ f n = n ⋅
v 2 L
2 L n λ
n = 1,2,3K n = 1,2,3,....
2
, frekvencija n-tog harmonika
f 1 − osnovna frekvencija stojnog vala ⇒
11
f n = n ⋅ f 1
Nina Obradović Obradović , prof.
fizika – 3. razred
HARMONIJSKI VALOVI
2. Stojni val na žici sa slobodnim krajem ili tzv. otvorena svirala L λ v L = f = ⇒ λ = 2 L λ 2
f =
osnovni mod
L = 2
prvi viši harmonik ….... itd.
L = 3
2
f =
= λ
općenito : f 1 =
λ 2
n-ti viši harmonik
λ
v
f n = n ⋅
2 L
= n ⋅ f 0
v 2 L
v
v 2 L
v
=
λ L
, osnovna frekvencija oznaka f 1 ≡ f 0
, frekvencija n-tog harmonika
3. Titranje sredstva (štapa) kojemu je jedan kraj slobodan a drugi u čvršćen ili zatvorena svirala
L
L =
λ
4
osnovni mod
L = 3
λ
L = 5
λ
f =
⇒ λ = 4 L
⇒ λ =
4
4 L
v 4λ
f = 3
3
v 4λ
prvi viši harmonik
drugi viši harmonik ….....
itd.
f 1 =
n-ti viši harmonik
f n = (2n − 1)
v 4 L v
4
⇒ λ =
4 L
f = 5
5
v 4λ
, osnovna frekvencija
n = 1,2,3,....
, frekvencija n-tog harmonika
4 L
f n = (2n − 1) f 1
Zakon očuvanja energije kod stojnog vala Za svaku česticu koja titra u valu vrijedi : Euk = konst. ⋅ f 2 A2
Euk = konst. =
1 2
2
kA
Uz primjenu formula E uk =
1 2
mv02 =
1 2
( kod stojnog vala amplituda iznosi : A = 2 y0 ) 2 ω =
mω 2 A 2 =
1 2
k m
2 2 2 k = ω m = 4π f
m ⋅ 4π 2 f 2 A 2
ω = 2π f
dobivamo :
⇒ Euk = 2mπ 2 f 2 A2
Ta nam činjenica objašnjava zašto se amplitude viših harmonika smanjuju. Naime, budu ći da frekvencije viših harmonika rastu, da bi gornji odnos ostao zadovoljen, moraju se smanjivati amplitude.
12
Nina Obradović Obradović , prof.