Universidad de Santiago de Chile Facultad Tecnológica Departamento de Matemática y Ciencia de la computación
1º Semestre 2010 Guía de Ejercicios Asignatura: Matemática I Carreras Tecnológicas
Guía Nº 1 - Ejercicios Resueltos Resueltos de Progresiones Progresiones
Ejercicio 1:
Determine los valores de x e y si: (3 x y ) , (2 x y ) , (4 x 3) , y (3 x 3 y ) son términos consecutivos de una progresión aritmética. Desarrollo: Sean a1, a2 , a3 y a 4 dichos términos en P. A., donde a1 (3 x y ) , a 2 (2 x y ) , a 3 (4 x 3) , y a 4 (3 x 3 y ) , entonces se verifica que: a 2 a1 a 3 a 2 y a 3 a 2 a 4 a 3 ,
pues existe una diferencia constante, por tanto se tiene el siguiente sistema de ecuaciones x 2 y 2 x 3 y lineales: , cuya solución es x 2 e y 3 . 2 x 3 y x 3 y 3 Ejercicio 2.
¿Qué valores de k hacen que 2k , (5k 2) y (20k 4) sean los términos consecutivos de una progresión geométrica? Desarrollo: Sean a1 , a 2 y a 3 dichos términos en P. G., donde a1 2k , a 2 (5k 2) , y a 3 (20 k 4) , entonces se verifica que: siguiente
ecuación
a3 a2
5k 2 2k
a2
a1
, pues existe una razón constante por tanto se tiene la
20k 4 5k 2
,
que
es
equivalente
15k 2 28k 4 0 , cuyas soluciones son k 1 2 y k 2
Ejercicio 3.
2 15
a
la
ecuación
cuadrática
.
Una persona arrienda una pieza en una pensión durante el año 2010. Acuerda con la dueña, reajustar la renta mes a mes en una cantidad fija. El arrendatario calcula que deberá pagar por la renta anual $1.054.800 y que en el mes de Diciembre del 2010 deberá cancelar $134.400. a) ¿Cuá ¿Cuáll fue fue la ren renta ta del mes mes de Ener nero de de 201 2010? 0? b) ¿Cuá ¿Cuáll es es el el mon monto to del del re reaju ajuste ste me mensu nsual acor cordad dado? Desarrollo: De los datos del problema se tiene que S 12 1 054 800 y a12 134 400 , por tanto utilizando S n
n( a1 an ) 2
, es posible determinar el valor de la primera cuota del año
2010, entonces sustituyendo y operando se tiene que a1 41 400 pesos es la renta del mes de enero. El monto del reajuste mensual se puede obtener utilizando la ecuación a n a1 ( n 1) d , considerando en este caso que n 12 , con lo cual d 8 454,54 Ejercicio 4:
Una rifa reparte un monto total de $660.000 en 10 premios en orden decreciente tal que la diferencia entre dos premios consecutivos disminuye en una cantidad constante que equivale en valor absoluto al monto del último premio. Usando las fórmulas adecuadas de progresiones determine el monto del primer y último premio. Desarrollo: De los datos del problema se tiene que n 10 , S 10 660 000 y d a10 a10 . Se sabe que a10 a1 9 · d , pero como d a10 con lo cual a10 a1 9 a · 10 , o sea a1 10 a 10· a10 . Además S 10
10 2
· (a1 a10 ) , con lo cual 660 000 5 · (10·a10 a10 ) , o sea 132 000 11· a10 , de
donde a10 12 000 , a1 120 000 y d 12 000 .
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Ejercicio 5:
Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación
En una progresión geométrica de tres términos a1,
a2 ,
a3 , su suma es 38. Si la razón es
3 2
y sabemos además que 9 · a1 4 · a3 .Hallar los términos de la progresión. Desarrollo: De los datos dados se tiene las siguientes igualdades
a1 a2 a3 38 ,
r
a3 a2
a2 a1
3 2
y
9 · a1 4 · a3 , Obteniéndose el siguiente sistema de ecuaciones lineales en las variables a1 ,
a2 ,
a3 : a1 a2 a3 38 3 · a1 2 · a2 9 · a1
0 4 · a3 0
cuyas soluciones son a1 8 , a2 12 y a3 18 , los cuales serían los términos pedidos. Ejercicio 6.
Entre los números 3 y
u inserte el número
v , de tal manera que los tres números
3, v, u formen una progresión aritmética. Si se disminuye el segundo en 6, entonces
obtenemos tres términos 3, v 6, u de una progresión geométrica. Encuentre los valores de u y v . Desarrollo: Sean 3, v, u los tres números en Progresión aritmética tal que v 32u , y si además los tres números 3 , v 6 y u forman una Progresión geométrica, es decir (v 6) 2 3 · u . Estas dos ecuaciones dan el sistema no lineal: u 3 2v 3 · u (v 6)
2
Sustituyendo la variable u de la primera ecuación, en la segunda ecuación se tendrá la ecuación cuadrática v 2 18v 45 0 , cuyas soluciones son entonces u 3 , y si v 2 15 entonces u 27 . Ejercicio 7:
v1 3 , y
v 2 15 . Si
v1 3 ,
En una rifa se debían repartir premios en dinero por un total de $30.960. Los premios fueron entregados de monto decreciente, de manera que dos premios entregados en forma consecutiva tenían una diferencia constante de $32. Se sabe que la suma entre el primer y último premio otorgado es de $ 1.548. Determine: a. el número de premios que tenía la rifa b. el monto del primer y último premio Solución: Los datos del problema son los siguientes S n 30.960 , d 32 y a1 a n 1.548 , o bien a n 1.548 a1 , por tanto, utilizaremos la fórmula de la suma para el primero y el último término, dada por la ecuación S n la ecuación 30.960
n · (a1 a n )
n · ( a1 1.548 a1 ) 2
2
, sustituyendo los datos dados se obtiene
, que nos permite conocer el valor de n 40 , que
es el número de premios que repartía esta rifa. Además se sabe que a n a1 (n 1)·d , y sustituyendo los datos obtenidos y dados se tiene que a n a1 (40 1)·(32) 1248 , con lo cual se genera el siguiente sistema de ecuaciones
a n a1 1.548 a n a1 1.248
,
cuyas
soluciones son a1 1.398 y a n 150 , que corresponden al valor del primer y último premio.
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Guía de ejercicios resueltos de progresiones – 1º semestre 2010 – Pág.: 2
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Ejercicio 8.
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En una la progresión aritmética se sabe que a 3 a 7 y a 4 1 a 6 . Encuentre el primer término, la diferencia de la progresión y calcule la suma de los términos comprendidos entre el a4 y a20 .. Desarrollo: En toda progresión aritmética se sabe que a n a1 (n 1) · d , por tanto de las igualdades dadas a 3 a 7 y
a4 1 a6 se deducen las ecuaciones siguientes:
De a 3 a 7 se tiene a1 2d (a1 6d ) , de donde 2a1 8d 0 , con lo cual a1 4d 0 . (1) De a 4 1 a 6 se concluye que a1 3d 1 a1 5d de donde 2d 1 , con lo cual d
1 2
y
sustituyendo en (1) a1 4·( 12 ) 0 , se tiene que a1 2 . Como a1 2 y d
, y usando a n a1 (n 1) · d , se obtiene que a n
1 2
20
20
i 4
S 420
·
2
20
· 2 2
i 4
5 n , por tanto i 4
5 n i 4
1 2 1 2 1 2
1 2
20 3
·
5 (n 3) i 4 3 17
·
2 n i 1 17
·
17
2 2 · n 1
i 1
i 1
· (17)(2)
17
Ejercicio 9:
1
, ahora podemos
20
1
5 n
ai
calcular la suma pedida que es
5 n 2
1 2
153 2
(17)(18)
·
2 119 2
En una progresión geométrica se sabe que a1
27 8
y que a6
4 9
. Determine la razón
r
de la
progresión y
(a
k
).
k 1
Desarrollo: De los datos del problema a1 5
r
a6 a1
5
r
2 3
Tarea:
( a k )
a1 1 r
4 9
, y como se sabe que a 6 a1 · r 5 , se deduce
4 9 27 8
27 8
1
2 3
27 8 1 3
81 27 3 · 8 1 8
Encuentre la suma de la seria geométrica infinita: 2
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5
4 8 32 2 · , de donde la razón de la 9 27 243 3
, la cual es menor que 1, y la suma de la serie infinita será:
k 1
8
y a6
, y sustituyendo se obtiene que r
P. G. es
27
2 3
2 9
2 27
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Ejercicio 10:
Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación
Un estudio realizado por una prestigiosa empresa de sondeo, determinó que el valor real (con iva) de un vehículo nuevo se va depreciando en un 6,31% cada cuatro meses. Si el precio inicial de un vehículo nuevo (con iva) es de $5.530.000. Determine: a.
El valor final del vehículo al cabo de dos años. Solución: En este caso estamos frente a una P.G. donde a1 5.530.000 y r 0,9369 , y la ecuación que permite calcular cualquier término en una P.G. es a n a1 ·r n1 , por tanto el valor final del vehículo al final de segundo año esta dado por la expresión a 7 (5.530.000)·(0,9369) 71 3.740.112 aproximadamente.
b.
Ejercicio 11.
¿Después de cuántos cuatrimestres aproximadamente, el vehículo costará $2.000.000. Solución: Usando la formula a n a1 ·r n 1 , con a n 2.000.000 , a1 5.530.000 y r 0,9369 se obtiene que n 16 .
La suma de tres términos en progresión geométrica es 70. Si se multiplican los números ubicados en los extremos por 4 y el número ubicado en el centro por 5, se obtiene una progresión aritmética, entonces determine todas las progresiones involucradas en el problema. Desarrollo: Desarrollo: Sean x, y, z los tres números en Progresión Geométrica tal que x y z 70 (1) Si 4· x , 5· y y 4· z entonces los tres números forman una Progresión Aritméica, es decir (2) 5 y 4 x 4 z 5 y De la ecuación (2) se deduce que 5 y 2 x 2 z . Amplificando la ecuación (1) por 2 se tendrá 2 y 2 x 2 z 140 , luego sustituyendo 5 y 2 x 2 z se obtiene que 7 y 140 , con lo cual y 20 . Si consideramos que x
y r
y z y·r , pues x, y, z en P. G., siendo r la razón de la
progresión e y 20 , sustituyendo en la ecuación (1) se tendrá equivalente a la ecuación cuadrática
2r 2 5r 2 0
20 r
20 20·r 70
, que es
, cuyas soluciones son r 1
1 2
, y
r 2 2 .
Si r 1
1 2
, entonces x g 40 , y g 20 y z g 10 forman la P. G. y los números xa 160 ,
y a 100 y z a 40 forma la P. A. cuya diferencia es d 60 .
Si r 2 2 entonces x g 10 , y g 20 y z g 40 forman la P. G. y los términos xa 40 , y a 100 y z a 160 forma la P. A. cuya diferencia es d 60 .
Tarea:
La suma de tres números en progresión geométrica es 26 y su producto es 216. Determine tales números.
Tarea:
La suma de tres números en Progresión Aritmética es 30, si al primero de ellos se le suma 1, al segundo se le suma 5 y al tercero se la suma 29, se obtiene una Progresión Geométrica. ¿Cuáles son ambas progresiones?
Prof.: H. Carreño G.
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Ejercicio 12.
Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación
Si sabe que en una progresión aritmética, el producto del segundo término con el quinto término es 364, y además la diferencia de estos mismos términos es 15, entonces determine, si es posible a. El primer término y la diferencia d de la P.A. Desarrollo: Análisis de la información: De los datos dados se tienen las siguientes dos ecuaciones a 2 · a 5 364 y a 2 a 5 15 Si consideramos que a 2 a d y a 5 a 4·d , siendo a el primer término y d la diferencia constante de la progresión aritmética, sustituyendo en las ecuaciones iniciales se obtiene el sistema de ecuaciones no lineales: (a d ) · (a 4d ) 364 (a d ) (a 4d ) 15
De la segunda ecuación del sistema se tiene que d 5 , y sustituyendo este valor en la primera ecuación (a 5) · ( a 20) 364 , se obtiene la ecuación de segundo grado a 2 25a 264 0 , cuyas soluciones son a 33 , o bien a 8 .
b.
El valor de la suma de los primeros diez términos de la P.A. Desarrollo: Si a1 33 y d 5 , entonces la expresión del término general es a n 38 5n , de donde a10 12 , por tanto S 10 5·(33 12) 105 . Si a1 8 y d 5 , entonces la expresión del término general es a n 3 5n , de donde a10 53 , por tanto S 10 5·(8 53) 305 .
Ejercicio 13.
La suma de los tres primeros términos de una progresión geométrica es 35. Si se disminuye el primer término en 2, el segundo en 3 y el tercero en 9, obtenemos los tres términos de una progresión aritmética. Encuentre estas progresiones y para cada una de ellas calcule S 10 . (Indique todas las soluciones). Desarrollo: Sean x, y, z los tres números en Progresión geométrica tal que y
2
x · z , y además
x y z 35 . Si x 2 , y 3 y z 9 entonces los tres números forman una P. A., es decir y x 1 z y 6 . Estas tres ecuaciones dan el sistema no lineal: x y x 35 x 2 y z 5 x · z y 2
restando la ec. (1) de la ec. (2) se obtiene 3 y 30 , con lo cual y
10 , sustituyendo en la
ecuación (3) se tendrá x· z 100 , con lo cual z 100 , remplazando en la ec. (1) se obtiene la x ecuación cuadrática x 10 100 x Si x1 5 , entonces x 5 , y Si x 2 Tarea.
35 , cuyas soluciones son x1 5 , y x2 20 .
10 y z 20 , siendo r 2 la razón de la progresión
20 entonces x 20 , y 10 y z 5 , siendo r
1 2
la razón de la progresión
La suma de tres números en Progresión Aritmética es 27 y la suma de sus cuadrados es 293. ¿Cuáles son los números?
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Ejercicio 14.
Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación
La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es 168. El primer término es 30 y la diferencia es -2. ¿De cuantos términos se compone la progresión? Indique todas las soluciones. Desarrollo: Se sabe que
S n 168 , pero
S n
n( 2a1 (n 1) d )
, donde a1 30
2
n( 2·30 (n 1)(2) )
sustituyendo se obtiene una ecuación en la variable n tal que donde
n·(60 2 n 2) 336 ,
obteniéndose
la
siguiente
y d 2 , entonces
2
ecuación
de
168 , de
segundo
grado
2n 2 62n 336 0 , que es equivalente a la ecuación n 2 31n 168 0 , cuyas soluciones son n1 7 y n 2 24 .
La primera progresión se compone de 7 términos diferencia es d 2 .
30,
28,
26,
24,
22,
20, 18
, y la
La segunda progresión consta de 24 términos 30, 28, 26, 24, 22, 20, 18, 16, 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 y la diferencia también es d 2 . Ejercicio 15.
En la seria geométrica infinita: a.
1 2
3 8
9 32
27
128
Determine la razón y el décimo término. Desarrollo: De los datos del problema a1
1 2
, a2
una serie geométrica se tiene que r
ai 1 ai
3 8
, a3
9
y a 4
32
, por tanto r
3 4
27 128
, y como forman
, ahora el décimo término
9
se calcula por a10 a1 · r 9 , entonces a10
b.
9 1 3 3 · , con lo cual a10 2 4 219
Calcule la suma de la serie geométrica. Desarrollo: Como r
3 4
, la cual es menor que 1, en valor absoluto y a1
de la serie infinita será
( a k )
k 1
a1 1 r
1 2
1 (
3 ) 4
1 2 7 4
1 2
, entonces la suma
2 1 4 . · 2 7 7
Problemas propuestos: Problema 1.
Se sabe que el cuarto término de una progresión aritmética es 21 y que el décimo es 45. a. Obtenga el primer término y la diferencia d de la P.A. b. Determine el valor de la suma de los primeros diez términos de la P.A.
Problema 5:
En una progresión geométrica se sabe que a 3 a.
2 3
y que a 6
2 81
. Determine:
La razón r y el primer término de la progresión.
b.
El valor de la serie
a
k
.
k 1
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