1
UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
GUÍA Nº 3 INVESTIGACIÓN OPERATIVA
TEORÍA DE COLAS PROBLEMAS
1.
El Willow Brook National Bank opera una ventanilla para automovilistas que permite a los clientes realizar sus transacciones bancarias sin bajar de su automóvil. En las mañanas de los días entre semana, las llegadas a estas ventanillas ocurren al azar, con una tasa promedio de llegadas de 24 clientes por hora, o 0,4 clientes por minuto. a. ¿Cuál es el número promedio o esperado de clientes que llegan a un lapso de 5 minutos? b. Cómo la llegada de los clientes es aleatoria, puede utilizarse la distribución de probabilidad de Poisson para describir el proceso de llegada. Utilizando la media que se encontró en la parte (a), calcule las probabilidades de que lleguen exactamente 0, 1, 2 y 3 clientes durante un período de 5 min. c. Se espera tener problemas de demoras si llegan más de 3 clientes durante cualquier período de 5 min. ¿Cuál es la probabilidad de que se presenten problemas de demora?
2.
En el sistema de líneas líneas de espera del Willow Brook National Bank (véase el Problema 1), suponga que los tiempos de servicio para la caja para automovilistas siguen una distribución exponencial con una tasa promedio de servicio de 36 clientes por hora, o 0.6 clientes por minuto. Utilice la distribución de probabilidad exponencial para responder a las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea 1 min. o menos? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de 2 min. o menos? c. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de más de 2 min.?
3.
Utilizando la operación del cajero bancario de un solo canal que se mencionó en los Problemas 1 y 2, determine las siguientes características de operación para ese sistema: a. La probabilidad de que no haya clientes en el sistema. b. El número de clientes promedio que esperan. c. El número promedio de clientes en el sistema d. El tiempo promedio que un cliente pasa esperando e. El tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema. f. La probabilidad de que los clientes que llegan tengan que esperar para ser atendidos.
4.
Utilizando la operación del cajero bancario de un solo canal que se mencionó en los problemas 1, 2 y 3, encontrar encon trar las probabilidades de que haya 0, 1, 2 y 3 clientes en el
2
5.
sistema ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 3 clientes en el sistema de cajas para automovilistas? La sección de referencias de una biblioteca universitaria recibe solicitudes de asesoría. Supóngase que puede utilizarse una distribución de Poisson con una tasa promedio de 10 solicitudes por hora para describir el patrón de llegadas, y que los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial con una tasa promedio de servicio de 12 solicitudes por hora. a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya solicitudes de asesoría en el sistema? b. ¿Cuál es el número promedio de solicitudes que estarán superando para ser atendidas? c. ¿Cuál es el tiempo promedio de espera, en minutos, antes de que se comience a prestar el servicio? d. ¿Cuál es el tiempo promedio en la sección de referencia, en minutos (el tiempo de espera más el tiempo de servicio)? e. ¿Cuál es la probabilidad de que una solicitud recién llegada tenga que esperar para obtener el servicio?
6.
Unos camiones que utilizan una estación de carga de un solo canal llegan de acuerdo a la distribución de probabilidad de Poisson. El tiempo que se requiere para la carga y descarga sigue una distribución de probabilidad de exponencial. La tasa promedio de llegadas es de 12 camiones por día y la tasa promedio de servicio es de 18 camiones por día. a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya camiones en el sistema? b. ¿Cuál es el número promedio de camiones que esperan para obtener servicio? c. ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un camión para que comience el servicio de carga y descarga? d. ¿Cuál es la probabilidad de que un camión recién llegado tenga que esperar?
7.
Un vivero que surte pedidos por correo se especializa en abetos europeos. Los pedidos nuevos, que son procesados por un solo empleado, tiene una tasa promedio de llegadas de 6 al día y6 una tasa promedio de servicio de 8 por día. Suponga que las llegadas siguen una distribución de Poisson y que los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial. a. ¿Cuál es el número promedio de pedidos en el sistema? b. ¿Cuál es el tiempo promedio que un pedido pasa esperando antes de que el empleado esté disponible para inicial el servicio? c. ¿Cuál es el tiempo promedio que un pedido pasa en el sistema?
8.
Para la línea de espera de un solo canal de Burger Dome de la Secc. 12.2, suponga que se aumenta la tasa de llegadas a 1 cliente por minuto, y que se aumenta la tasa promedio de servicio a 1.25 clientes por minuto. Calcule las siguientes características de operación para el nuevo sistema: P 0 , Lq , L, W q , W y P w. ¿Este sistema ofrece un servicio mejor o peor en comparación con el sistema original? Comente cualesquiera diferencias, y loas razones de ello.
9.
La peluquería Marty’s Barber Shop cuenta con un barbero. Los clientes llegan a razón de 2.2 clientes por hora y los cortes de pelo se realizan a una tasa promedio de
3
5 por hora. Utilice el modelo con tiempos de servicios exponenciales y llegadas según Poisson para responder a las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya unidades en el sistema? b. ¿Cuál es la probabilidad de que haya un cliente al que se le esté cortando el pelo y que no haya ninguno esperado? c. ¿Cuál es la probabilidad de que haya un cliente al que se le está cortando el pelo y esté otro aguardando? d. ¿Cuál es la probabilidad de que haya un cliente al que se le está cortando el pelo y 2 esperando? e. ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 2 clientes en espera? f. ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente espera para obtener el servicio? 10.
La Trosper Tire Company ha decidido contratar a un nuevo mecánico para que maneje todos los cambios de llantas para los clientes que ordenan un conjunto nuevo de llantas. Dos mecánicos han solicitado el empleo. Uno tiene una experiencia limitada y se le puede contratar por $7 la hora. Se espera que este operario pueda atender un promedio de 3 clientes por hora. El otro tiene varios años de experiencia. Este mecánico puede dar servicio a un promedio de 4 clientes por hora, pero se le deben pagar $10 la hora. Supóngase que los clientes llegan al taller de la Trosper a razón de 2 por hora. a. Calcule las características de la línea de espera para cada mecánico, suponiendo llegadas según Poisson y tiempos de servicio exponenciales. b. Si la compañía asigna un costo de la espera de los clientes de $15 por hora, ¿qué mecánico ofrece el menor costo de operación?
11.
La empresa Agan Interior Design ofrece asesoría sobre decoración de hogares y oficinas a sus clientes. En condiciones normales de operación llega un promedio de 2.5 clientes por hora. Está disponible un consultor de diseño para responder a las preguntas de los clientes y hacer recomendaciones sobre productos. Los consultores pasan un promedio de 10 min. con cada cliente. a. Calcule las características de operación de la línea de espera de clientes, suponiendo llegadas según Poisson y tiempos de servicio exponenciales. b. Las metas sobre servicio exigen que un cliente que llega no debe esperar para ser atendido más de un promedio de 5 min. ¿Se está alcanzando esta meta? ¿Qué acción recomienda usted? c. Si el consultor puede reducir el tiempo promedio que pasa con cada cliente 8 min. ¿Cuál es la tasa promedio de servicio? ¿Se alcanzará de esta manera la meta?
12.
El establecimiento Pete’s Market es una pequeña tienda de abarrotes con una sola caja. Suponga que los compradores llegan a la misma de acuerdo con la distribución de Poisson y con una tasa promedio de llegada de 15 clientes por hora. Los costos de servicio de la caja siguen una distribución exponencial, con una tasa promedio de 20 clientes por hora. a. Calcule las características de operación para eta línea de espera.
4
b.
Si la meta de servicio del administrador es limitar el tiempo de espera, antes de que comience el proceso de verificación en la caja, a cuando mucho 5 min. ¿Qué recomendaciones haría respecto al sistema actual?
13.
Después de revisar el análisis de la línea de espera del Problema 12, el administrador de Pete’s Market consideró que era necesario mejorar el servicio considerando una de las siguientes alternativas: a. Contratar a una segunda persona para que coloque los artículos en bolsas mientras el operario de la caja registradora anota los datos de costos y recibe el dinero de los clientes. Con esta operación mejorada de un solo canal se podría aumentar la tasa promedio de servicio a 30 clientes por hora. b. Contratar una segunda persona para que atienda una segunda caja. La operación con dos canales tendría un promedio de servicio de 20 clientes por hora para cada canal. ¿Cuál alternativa recomendaría usted? Justifique la recomendación.
14.
En la actualidad la empresa Keuka Park Saving and Loan tiene una caja para atención a automovilistas. Las llegadas siguen una distribución de Poisson, con una tasa promedio de llegadas de 10 automóviles por hora. Los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial, con una tasa promedio de servicio de 12 automóviles por hora. a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya clientes en el sistema? b. Si fuera a llegar a este lugar con su automóvil, ¿cuántos automóviles esperaría ver esperando y cuántos siendo atendidos? c. ¿Cuál es el tiempo promedio que se pasa en la cola esperando obtener el servicio? d. Cómo cliente potencial del sistema, ¿estaría satisfecho con las características anteriores de la línea de espera?
15.
Con objeto de mejorar el servicio a los clientes, la Kcuka Park Saving and Loan (véase el Problema 14), desea investigar el efecto que tendría una segunda caja para atención a automovilistas. Suponiendo una tasa promedio de llegadas de 10 automóviles por hora, y además una tasa promedio de servicio de 12 automóviles por hora para cada una, ¿qué efecto tendría la adición de una nueva caja en el sistema? ¿Parece aceptable este sistema?
16.
La Fore and Aft Marina es una agencia de embarcaciones recién planeada que se ubicará en el río Ohio, cerca de Madison, Indiana. Supóngase que ha decidido construir una instalación de muelles en la que se podría detener un bote a la vez para recibir servicio y obtener gasolina. Supóngase que las llegadas siguen una distribución de Poisson, con un promedio de 5 botes por hora y que los tiempos de servicio tienen también una distribución exponencial, con una media de 10 botes por hora. Considérense las siguientes cuestiones: a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya botes en el sistema? b. ¿Cuál es el número promedio de botes que esperan para obtener el servicio? c. ¿Cuál es el tiempo promedio que pasa una embarcación esperando ser atendida? d. ¿Cuál es el tiempo promedio que un bote pasa en el muelle?
5
e.
¿Si fuera el administrador de Fore Aft Marina, ¿estaría usted satisfecho con el nivel de servicio que su sistema estaría ofreciendo?
17.
Los administradores de agencia de embarcaciones del Problema 16 desean investigar la posibilidad de ampliar la instalación del muelle de manera que sea posible investigar la posibilidad de ampliar la instalación del muelle de manera que sea posible atender dos botes simultáneamente. Suponga que la tasa promedio de llegadas es de 5 botes por hora y que la tasa promedio de servicio para cada uno de los canales es de 10 lanchas por hora. a. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre vacío el muelle? b. ¿Cuál es el número promedio de botes que estarán esperando ser atendidos? c. ¿Cuál es el tiempo promedio que pasará un bote esperando para obtener el servicio? d. ¿Cuál es el tiempo que pasará un bote en el muelle? e. Si fuera el administrador de Fore and Aft Marina, ¿estaría satisfecho con el nivel de servicio que ofrece su sistema?
18.
La firma City Beverage Drive Thru está considerando un sistema de servicio con dos canales. Los automóviles llegan de acuerdo con una distribución de Poisson, con tasa promedio de llegadas de 6 automóviles por hora. Los tiempos de servicio tienen una distribución exponencial, con una tasa promedio de servicio de 10 automóviles por hora, para cada canal. a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya autos en el sistema? b. ¿Cuál es el número promedio de autos que esperan ser atendidos? c. ¿Cuál es el tiempo promedio que se aguarda para obtener el servicio? d. ¿Cuál es el tiempo promedio en el sistema? e. ¿Cuál es la probabilidad de que un auto que llega tenga que esperar para obtener servicio?
19.
Considérese una línea de espera de dos canales con llegadas según Poisson y tiempos de servicio exponenciales. La tasa promedio de llegadas es de 14 unidades por hora y la tasa promedio de servicio es de 10 unidades por hora para cada canal. a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya unidades en el sistema? b. ¿Cuál es el número promedio de unidades en el sistema? c. ¿Cuál es el tiempo promedio que una unidad aguarda para obtener servicio? d. ¿Cuál es el tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema? e. ¿Cuál es la probabilidad de tener que esperar para obtener servicio?
20.
Con referencia al Problema 19, suponga que se amplía el sistema a una operación con tres canales. a. Calcule las características de operación para este sistema de líneas de espera. b. Si la meta de servicio es ofrecer suficiente capacidad de manera que cuando mucho 25% de los clientes tengan que esperar para obtener el servicio. ¿Sería preferible el sistema con dos o tres canales?
21.
Con referencia a la situación de la Agan Interior Design del Problema 11, la empresa pretende evaluar 2 alternativas…
6
(1) Utilizar un consultor con un tiempo promedio de servicio de 8 min. por cliente. (2) Ampliar la disponibilidad a dos consultores, cada uno de los cuales son un tiempo promedio de servicio de 10 min. por cliente. Si a los consultores se les paga $16 (dólares) la hora y se considera que el tiempo de espera de los clientes vale $25 la hora, para el tiempo que esperan antes de recibir el servicio, ¿debería la Agan ampliar el sistema para convertirlo en uno con dos consultores? Explicar. 22.
Un expendio concesionario de comida rápida está considerando la operación del servicio de alimentos en una ventanilla para automovilistas. Suponga que la llegada de los clientes sigue una distribución de Poisson, con tasa promedio de llegadas de 24 autos por hora, y que los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial. Los clientes que llegan hacen sus pedidos en una estación de intercomunicación electrónica en la parte trasera del estacionamiento y después manejan hasta la ventanilla de atención a clientes para pagar y obtener su pedido. Están considerándose las siguientes tres opciones de servicio: (1) Operación con un solo canal, en la que un empleado surte el pedido y recibe el dinero del cliente. El tiempo promedio para esta alternativa es de 2 min. (2) Una operación con un solo canal, en donde un empleado surte el pedido, mientras un segundo recibe el dinero del cliente. El tiempo promedio de servicio para esta alternativa es 1.25 min. (3) Una operación con dos canales, con 2 ventanillas de atención a clientes y dos empleados. El que está en una ventanilla surte el pedido y recibe el dinero de los clientes que llegan a su ventanilla. El tiempo promedio para esta alternativa es de 2 min. por cada canal.
Calcule las siguientes características de operación para cada opción, y recomiende un diseño alterno para este expendio de comida rápida: a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya clientes en el sistema? b. ¿Cuál es el número promedio de autos que esperan para obtener servicio? c. ¿Cuál es el tiempo promedio que un auto aguarda para obtener servicio? d. ¿Cuál es el tiempo promedio en el sistema? e. ¿Cuál es el número promedio de automóviles en el sistema? f. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que aguardar para obtener servicio un auto que llega? 23.
Está disponible la siguiente información sobre costos para el expendio de comida rápida del Problema 22. Se considera que el tiempo de espera de los clientes vale $25.00 (dólares) la hora y este valor refleja el hecho de que el tiempo de espera es costoso para el negocio. El costo de cada empleado es de $6.50 la hora. Para tomar en consideración el equipo y el espacio, se considera atribuible a cada canal un costo adicional de $20.00 la hora.
7
¿Cuál es el diseño de menor costo para este negocio de comida rápida? 24.
Los pacientes llegan al consultorio de un dentista a una tasa promedio de 2.8 pacientes por hora. El médico puede atender a los pacientes a una tasa promedio de 3 pacientes por hora. Un estudio sobre los tiempos de espera de los pacientes muestra que, en promedio, uno espera 30 min. antes de ver al facultativo. a. ¿Cuáles son la tasa promedio de llegadas y la tasa promedio de servicio, en términos de pacientes por minuto? b. ¿Cuál es el número promedio de pacientes en la tasa de espera? c. Si un paciente al as 10:10 am. ¿en qué tiempo se espera que el paciente salga del consultorio?
25.
Un estudio de la operación de canales múltiples de un expendio de alimentos en el parque de béisbol de los Red Birds muestra que el tiempo promedio entre la llegada de un cliente al mostrador del local y su salida con un pedido ya surtido es de 10 min. Durante el juego, los clientes llegan a una tasa promedio de 4 por minuto. La operación del expendio de alimentos requiere de un promedio de 2 min. por cada pedido de un cliente. a. ¿Cuál es la tasa promedio de servicio por canal, en términos de clientes por minuto? b. ¿Cuál es el tiempo promedio de espera en la línea antes de formular el pedido? En promedio, ¿cuántos clientes están en el sistema de servicio de alimentos?
26.
La empresa Tri-Country Autos opera una instalación de servicio automotriz. Mientras se realiza el trabajo de reparación, los mecánicos llegan al mostrador del departamento de refacciones de la empresa a una tasa promedio de 4 por hora. El coordinador de respuestas o refacciones invierte un promedio de 6 min. con cada mecánico analizando las partes que él mismo necesita y extrayendo las del inventario. a. En la actualidad existe un solo coordinador de refacciones. En promedio, cada mecánico espera 4 min. antes de que aquél esté disponible para responder a sus preguntas y/o sacar repuestos del inventario. Determine Lq , W y L para esta operación con un solo canal. b. Un período de ensayo con un segundo coordinador de refacciones mostró que, en promedio, cada mecánico esperaba solamente 1 min. antes de tener a su disposición un coordinador de refacciones. Evalúe Lq , W y L para esta operación con dos canales. c. Si el costo de cada mecánico es de $20 (dólares) la hora, y el costo de cada coordinador de refacciones es de $12 la hora, ¿cuál de los sistemas es más económico, el de un canal o el de dos canales?
27.
La empresa Gubser Welding, Inc. opera un servicio de soldadura para trabajos de reparación automotriz y para la construcción. Supóngase que es posible describir la llegada de trabajos a la oficina de la compañía mediante una distribución de Poisson con una tasa promedio de llegadas de 2 trabajos por cada jornada en día hábil de ocho horas. El tiempo que se requiere para terminar los trabajos sigue una distribución de probabilidad normal con tiempo promedio de 3.2 horas y desviación estándar de 2
8
horas. Responda a las siguientes preguntas suponiendo que la Gubser utiliza sólo a un operario soldador para llevar a cabo todos los trabajos. a. b. c. d.
¿Cuál es la tasa promedio de llegadas, en trabajo por hora? ¿Cuál es la tasa promedio de servicio, en trabajos por hora? ¿Cuál es el número promedio de trabajos que esperan ser atendidos? ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un trabajo antes de que el soldador pueda comenzar a operar en él? e. ¿Cuál es el número promedio de horas que transcurren entre el momento en que se recibe un trabajo y el momento en el que se termina? f. ¿Qué porcentaje del tiempo está ocupado el soldador de la Gubser?
28.
En una planta de ensamble se reciben trabajos al azar; supóngase que la tasa promedio de llegadas es de 5 trabajos por hora. Los tiempos de servicio no siguen la distribución de probabilidad exponencial. En seguida se muestran dos proposiciones para el diseño de la operación de ensamble en la planta.
Diseño A B a. b. c. d. e. 29.
Tiempos de servicio (en minutos por trabajo) Media Desviación Estándar 6.0 3.0 6.25 0.6
¿Cuál es la tasa promedio de servicio, en trabajos por hora, para cada uno de los diseños? Utilizando las tasas promedio de servicio de la parte (a), ¿qué diseño parece ofrecer la tasa de servicio más veloz, o mejor? ¿Cuáles son las desviaciones estándares de los tiempos de servicio, expresadas en horas. Utilice el modelo M /G/1 de la Secc. 12,7 para calcular las características de operación de cada diseño. ¿Cuál ofrece las mejores características de operación? ¿Por qu é?
El modelo de líneas de espera de un solo canal de Burger Dome que se analizó en la Secc. 12.2 tiene una tasa promedio de llegadas de 0.75 clientes por minuto y una tasa promedio de servicio del cliente por minuto. El modelo se basó en la suposición de llegadas según Poisson y tiempos de servicio exponenciales. La tasa promedio de servicio de un cliente por minuto implica que la desviación estándar de los tiempos de servicio vale 1 min. La empresa Burger Dome está considerando un nuevo sistema computadorizado para los cobros y pedidos, que permitirá mantener la tasa promedio de servicio actual de un cliente por minuto. Sin embargo, se reduciría la desviación estándar de los tiempos de servicio para el nuevo sistema a 0.50 min. Utilice el modelo de líneas de espera M /G/1 para determinar si vale la pena el sistema que se propone. ¿De qué maneras, si existen, mejoraría el sistema propuesto las características de operación de la línea de espera?
