Guia de Ejercicios de Factorizacion.

Se puede decir que la factorización algebraica es el proceso inverso de La multiplicación del mismo tipo. Existen diversos tipos de factorización, cuyas reglas y algoritmos dependen de la forma de la expresión. Algunas son combinaciones de dos o más tipos de ellas. La factorización se aplica a la resolución de variados problemas. Con la habilidad habilidad para resolver ecuaciones polinomiales por factorización se pueden resolver problemas que se habrían esquivado hasta ahora.Naturalmente como en toda materia que involucre solucionar solucionar alguna dificultad o desafío, se deben rechazar soluciones soluciones que no sean sensatas a la luz de las condiciones del Problema.

CASO 2: FACTOR COMUN POLINOMIO El factor com!n en este 2

caso es un polinomio E"emplo #a $%x&y'&(b  y $%x&y')%x)y * 2

#a$%x&y'&(b  y $%x&y')+$%x&y' *$%x&y'$#a&(b 2 y)+' E"ercicios de aplicación +' %x$(m&#n'&y$(m&#n' &z$%m&#n' (' % $(m&#n'& $(m&#n' &a)b ' -xy$m)+' m&+ &$(m)+'$x&#y' - '% $(m&%'$%x)#y' &+%$(m&%'$%x&(y' 1' (x$ y$ (z$ $a&b'$x)+'

%' #xy$%m&#n' #' mn$a)b' &#x$a)b' /' $(m)+'$%x&#y' 0' ($x)#' &/x)%#' +2' $a&b'

)

CASO 3: FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS  Es una combinación combinación de los dos casos casos anteriores, anteriores, tambi3n se puede aplicar a las factorizaciones notables como se verá más adelante E"empl o 2

a  x − ax

2

−

2

2a  y + 2axy  2 axy

+  x

3

−

2

2 x  y

=

(a

2

 x − ax

2

+  x

2 x  y ) 2

E"ercicios aplicación +' b

a

2

+

a − ab −

de %' %xy)/y&xz)(z

3

) (2a −

2

 y − 2axy  2axy

+

('  x 1

5

−  x

4

+  x −

' a $x&+')b$x&+'&c$x&+' /'

#'  x

a

2

2

−

−

a

d

2

2

+ 2 xy +  y

+

n

2

−

c

2

2

 2ab − + 2ab

 2an − − 2an

b

2cd 

2

-' +ax)/ay)%2bx)0by

0' 0

1' %)(a)%

b)%2

+2' #b

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 4orresponde al desarrollo de 2 2 2 un cuadrado de binomio A ±2 AB +  B = ( A ±  B ) 4

E"emplo #a b

2

−

2

12a bx + 9 x

2

=

(2a 2b − 3 x)

2

a5 & %ab &b5 * $a&b' 5 Regla Básica. 1O!"e#a!. 2$e!i%ica! &'e el (!i)e! * +e!ce! +,!)i#- sea# c'a"!a"-s (e!%ec+-s. 3$e!i%ica! &'e el "-le "el (!-"'c+- "e es+as !a/ces c-i#ci"a# c-# el seg'#"- +,!)i#- "el +!i#-)i- -!"e#a"-. E0e!cic ici-s. +' a5)%ab&b5 ('x5)%x&+

%'a5&%ab&b5 #'

&+&%y5

'a5)+2 a&%

/'1)/x&x5

-'+/x5&% 1'(/&+%m5& ++' &+0 &0+

0'+
a5)+#6 +2' +%' )%a7b7&

+('#x5)+%xy&1y5 +'+&+#x5y
y5

+#'1b5)(2a5b&% +/'+& )%

+-'

&

+1'a5&%a $a&b'&$a&b' 5

+0'

%2' #  # $+)a'&$+)a' 5

%+'$m)n' 5 &/ $m)n' & 1

%%'$a & x' 5 ) %$a&x'$x&y'&$x&y'

%('$m & n' 5 ) %$a  m'$m&n'&$a)m' 5

Res('es+as. +) $a)b' )b' /'$()x' 5 +%'$a7) 75 +-'

%'$a %'$a&b &b'' 5 ('$ ('$x)+' x)+' 5 #'$x5 '$x5 -' 0'$+&-a' 5 1' $#&x5'5 $/&m5'5 55 +0' +1'

%2'$a&$a&b' 5*$%6&b' 5

'$a '$a) )'' +2'$+) ' ++'$ &1' a7 5 '5

%+'$%)a' 5 %%'$(&$m)n' 5' %%'$a)%x)y' 5

%#'m&n)$a)m'

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS 4orresponde al 2 2 desarrollo de una suma por su diferencia A − B = ( A + B)( A −  B) E"emplo +1/  x  y − 225 z = (14 x  y + 15 z  )(14 x  y − 15 z  ) 8ara tener en cuenta Obtener la raíz cuadrada de cada uno de los trminos de la diferencia, • de no ser e!acta, se de"ar# e!presada ba"o el signo radical. •  $notar el producto de la suma por la diferencia de estas raíces entre parntesis. 4

2

6

2

3

2

3

E"emplos '

%&!  ( )* '

'+

&! - /0 &! ( /0.

'

)!  ( '1/ + '! - 1/0 '! ( 1/

E"ercicios '

'

'

2.0 !  ( / + '

).0 a ( b + ' .0 a  ( '1 + )+ 230 '1 ( %&! ' 4 2%.0 a b  ( c+ ' ' 2&0 '1! /  ( 2'2+ '

'.0 a  ( 2+ ' 1.0 2 ( )m + ' 40 2 ( / + ' '+ 2200 25 )*a b 22 ' & 2)0 233 (! / + ' ) * & 20 233n m  ( 2& / +

2*.0 2 5 *n +

'30 2 (

'20

''.0 'n

'%0 )!  ( 2 +

').0

'.0 2&

'4.0 )*

+

'

%.0 a  ( )+ ' &.0 2& ( n + '( *.0 )a * + ' )+ 2'0 )!  ( 42/ 23 2' 210 a  ( )*b + 24.0

'*.0 a5'b

'*0 1

COMBINACIN DE LA DIFERENCIA DE CUADRADOS  EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Es un simple caso de agrupación E"emplo m 2

2

+2mn +

2

)(m )(m + n − b )

E"ercicios

n

2

−

4

b * $m

2

+2mn +

2

4

n ) − b *$m&n'

2

−

4

b *$m&n&b

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIN  SUSTRACCIN  9ay que sumar y restar la misma cantidad para completar el trinomio cuadrado perfecto, transformándose luego en el caso anterior 2 4 4 E"emplo #1m −151m n + , en este caso como la ra:z cuadrada 8 81 n del primer 4 2 49m 49m = 7m y la del tercer termino $previamente t3rmino ordenado por la es  81n 81n

potencia' es  7m 2 × 7m 4 n

2

 9n × 9n

4

=

126m 126 m

8

=

9n

4

y cuyo doble corresponde a

producto 

2

, que es lo que corresponder:a al segundo t3rmino del trinomio cuadrado perfecto y no como se expresa en el problema , 2 4 ++m n por lo 2 tanto ;abrá que sumar y restar la diferencia y +%/m , esto es 4 2 4 entre ++m n n  ++m 2 n 4 )+%/m 2 n 4 *%m 2 n 4 .Si se dispone el e"ercicio de la forma 

E"ercicos de aplicación +' 4 x

4

+

2

3 x  y

%'  x 2

+  y

4

8

−

4

6 x  y

4

+  y

8

(' #' 0

0

' /' +)#

+&+#

FACTORIACION DE UNA SUMA DE DOS CUADRADOS  Esta es una variación del caso anterior, solo que aqu: lo que ;ay que sumar y restar es el segundo t3rmino entero para completar el trinomio trinomio cuadrado perfecto E"empl x 4 − 64  y , el segundo t3rmino del trinomio será entonces % ×  x 2 4 o 8 × 8  y *+/x , resultando de acuerdo al esquema anterior 2 4  y

Ej e rc icios: 2

4

1) X + 64y 4 4 4) 4m + 81n 4 7) 1 + 4n

2)

8

8

4x + y 8 5) 4 + 625 x 8) 8 8 64x + y

4

4

3) a + 324 b 6) 2 64 + a 9) 4 4 81a + 64b

FACTORIACION DE UN TRINOMIO PARTICULAR DE SEGUNDO GRADO: 4ondiciones que cumple En este caso el trinomio se descompone en el producto de dos dos bino binomi mios os.. Ambo Ambos s cont contien ienen en como como primer primer termin termino o la ra:z ra:z cuadrada cuadrada del primer primer t3rmino t3rmino del trinomio trinomio $<' y el segundo segundo t3rmino t3rmino corres correspon ponde de a un par de n!meros n!meros o factor factores es cuyo cuyo produc producto to da el tercer t3rmino del trinomio $4' y al mismo tiempo la suma debe dar el coeficiente del segundo t3rmino del trinomio $=' E>E?8L@

a

4

−2a

2

2

b − 15b  15b *$a

3b)

?LBC8LC4AD'

2

)(a −5b)(a

2

+

$F8CEGSE CGHEDS@

EG IE

EL

8D@4ES@

Jorma en que se p r es en ta  4ondiciones que c um ple  +.) El coeficiente del primer t3rmino es +. %.) El primer t3rmino es una letra cualquiera elevada a %n. (.) El segundo t3rmino tiene la misma letra que el primero con exponente n y su coeficiente coeficiente es una cantidad cantidad cualquiera, positiva o negativa. #.) El tercer t3rmino es independiente de la letra que aparece en el +K y %K t3rmino y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. 8asos para desarrol a  lar +.) @rdenar. %.) 8oner par3ntesis $ '$ '. (.) Da:z del primero. #.) 8ar de GK que satisfacen las % opciones. Jormas en que se pr esenta % x & +x & # * $ x & / ' $ x & 1 ' En este caso el signo positivo del tercer t3rmino nos indica que en los dos factores binomios los dos segundos t3rminos van a tener el mismo signo en este caso / y 1. 8ara saber si estos signos son iguales positivos o iguales negativos ;ay que ver el %K termino del trinomio si es positivo los dos serán positivos y si es negativo los dos serán negativos. % a  a  %2 * $ x &  En este caso el signo negativo del tercer y '$x t3rmino nos indica que en los dos factores #' binomios los dos segundos t3rminos van a tener distinto signo $el orden con respecto si va primero el signo positivo o el negativo no tiene importancia'. 4on respecto a par de GK que satisfacen las % opciones se refiere a que ;ay que encontrar % GK los cuales multiplicados me den el GK del tercer t3rmino del trinomio y que sumados sumados o restados $esto depende del signo del tercer tercer t3rmino del trinomio' trinomio' me den como resultado el GK del segundo t3rmino del trinomio. E"ercicio s

%

+.' x & -x & +2 % (.' x & (x  +2 % .' a & #a & ( % -.' y  1y & %2 % 1.' x  1x & 0 % ++' x  (x & % % +(' a & -a  +0 & %2 % +' %0 &a  ++a % +-' a  %a  ( % +1' c & %#c &+(

%

%.'x  x & / % #.' x & x  % % /.' m & m  +# % % 0.' x  /  x * x  x  / % +2 ' c & c  %# % % +% ' 0n &n * n  0n & +% % % +#.' %2 & a  %+a * a  %+a %

+/.' n  /n  #2 % +0.' m  %m  +/0 % %2.' a & a  (02

%

%

%+.) x & +%x  (/# % %(.) m  (2m  /- % %.) c  #c  (%2

%%.) a & #%a & #(% % %#.) x  %x  %0

Despuestas +.) $x & ' $x&%' #.) $x & %' $x  +' -.) $y  ' $y  #' +2.) $c & 0' $c  (' +(.) $a & 1' $a  %' +/.) $n & +2' $n  #' +1.) $c & +' $c & 1' %%.) $a & %#' $a & +0' %%' %.) $c & %2' $c 

%.) $x  (' $x  %' (.) $x & ' $x ) %' .) $a & (' $a & +' /.) $m & -' $m  %' 0.) $x & (' $x  %' 1.) $x  0' $x  +' ++.) $x  %' $x  +' +%.) $n  /' $n  %' +#.) $a  %2' $a  +' +.) $a  -' $a  #' +-.) $a & -' $a  ' +0.) $m&+#' $m  +%' %2.) $a &%2' $a  +1' %+.) $x & %/' $x )+#' %(.) $m & #' $m  +' %#.) $x & %#' $x 

FACTORIACION DEL TRINOMIO GENERAL DE SEGUNDO GRADO   BCEGE LA J@D?A A<

2n

+ BX

.Se factoriza aplicando el caso anterior, por amplicación y simplificación simultanea por el mismo factor A. E"emplo 2 (a +7a − 6

n

+

C 

Si disponemos el proceso del siguiente modo

E"emplos 1

& (/x & ( +. @rdenar el trinomio %. Se amplica por el coeficiente de

1 $1

& (/x & ( ' & (/x $1

' & (+

(.) Se aplica el caso anterior de factorización. 1 $1 $1

& (/x & ( ' & (/x $1 ' & (+ &%+' $1 &+' , que simplicado por 1 resulta

8aso$(

&-' $(

&'

E"ercicios +' (

 x  %

%'/

(' 

&+(x  /

#' # & +a & 1

' ##m & %2 -'%

 +

& ++ & 

&-&%

/'

&#

0'(/

 +%

& (2x )

1' +/

 +%a  +2

+2'+/a  #  +

++'%

 %

+%'(

&/

& -a ) /

Desultados +' $x)%'$(x&+'

%'$(x&%' $%x&+'

('$x)%'$x&('

#'$a&('$#a&('

'$%m&'$+2m)('

/'$x&+2'$x)/'

-'$%x&+2' $%x&+'

0'$/x  #' $/x & 1'

1'$#a & %' $#a  '

+2')M$a)%' $(a&%'N

++'$

+%'$(a & 1' $(a  %'

 %' $

 ('

FACTOR FACTORI IAC ACION ION DE UNA E4PR E4PRES ESION ION CU CUO DESAR DESARRO ROLL LLO O CORRESPONDE CORRESPONDE A EL CUBO DE UN BINOMIO .4orresponde al proceso inverso del desarrollo del cubo del binomio. Esto es  B + 3 AB ± B = ( A ±  B ) 6 2 6 9 E5EMPL 8 x + 54 x  y − 27  y

 A

3

± 3 A

2

2

4

O:

 y

3

3

−

36 x

3

expresión se tiene 8 x 6

−

4

3

36 x  y

+

, es un cubo de binomio .@rdenando la 2

54 x  y

6

−

E"ercicios de aplicación 3 2 +' 8a − 12a  12a + 6a  6a − 1

27  y

9

=

3

(2 x 2 − 3 y 3 )

%'

('

#'

'

/'

JA4B@DCOA4C@G IE GA S?A @ DESBA IE 4=@S 2 3 3 2 8EDJE4B@S A ± B = ( A ±  B )( A  AB +  B ) 6 2 2 2 E"emplo+ 8 x − 27 = (2 x − 3)(4 x + 6 x + 9) E"emplo% %-x7& 0a7 * $(x&%a' $1x5)/ax&#a5' 

+' +&a7

%'+) a7

(' x7) y7

#'0x7) + &%- *

' a ) +%

6

-' 0x7) %-y7 +2' +%&%-a 9

0' /#a7) -%1b 9

+('0x ) +%y7z

++' +&1%1x 6

+/' $m)%' 7&$m)(' 7

/' 0a

12

6

1'a7b7) x *

6

+%'x

+#' $a&+' 7&$+)(' 7

12

&y

12

*

+' $x)+' 7) $x&%' 7 *

+-' $%x)y' 7&$(x&y' 7

Despuestas +'$+&a' $+) a & a5' xy&y5'

%' $+) a' $+&a&a5'

#' $%x) +' $#x5&%x&+' 4 /a7b5&1b '

' $a5) ' $a &a5&%' /' $%a7&(b5' $#a )

4

(' $x) y' $x5& 6

-' $%x) (y' $#x5&/xy&1y5' 6

6

6

0'$#a) 1b ' $+/a5&(/ab &0+b '

9

6

1' $ab) x7' $a5b5&abx7&x '

+2' $(a7)0' $1a 6 &%#a7&/#' 1x5&+' 4

4

8

4

4

++' $1x5&+' $0+x 4 ) 8

6

+%' $x &y ' $x ) x y & y ' +#' M$a&+'&$+) ('N $a5&('

+' M$x) +') $x&%'N $(x5&(x&('

+/' M$m)%'&$m) ('N $m5)m&-' +-' M$%x) y'&$(x&y'N $-x5&++xy&(y5'

OTROS CASO DE FACTORIACION C  An −  B n  ES ICHCSC=LE 8@D A)= SCEGI@ n 8AD @ C?8AD C?8AD CC  An +  B n  ES ICHCSC=LE 8@D A&= SCEGI@ n C?8AD CCC An −  B n  ES ICHCSC=LE 8@D A&= SCEGI@ n 8AD CH CH  An +  B n  GG4A ES ICHCSC=LE 8@)=

20  x m

5

%' 1 − m

+

4

5

(' 1 x 9 216 x 216  x

2

#' +)

+

'+/)

/' (%

Miscelá#ea Miscelá#ea s-!e l-s 16 cas-s "e "esc-)(-sici7# "esc-)(-sici7# e# %ac+-!es Desc-)(-#e! Desc-)(-#e! e# %ac+-!es

+. a 5&a

#2. +&$a)(b'

02. xP)#x7)#02

%. m5&%mx&x5

#+. x &x5&%

0+. ax)bx&b)a)

(. a5&a)ab)b

#%. a )% )%0a &(/

0%. /am)(m)

#. x5)(/

#(. (#(&0a7

0(.+&+#x)0x5

. 1x5)/xy&y 5

##. +%a5bx)+a5by

0#. a 6K5a ¹

P /. x5)(x)#

4

+('$%x7) yz5' $#x &+2x7yz5&%y5z '

#. x5&%xy)+y5

0. %x$a)+')a&+

-. /x5)x)%

#/. /am)#am) %n&(m

0/. $m&n'$m)n'&(n$m) n'

0. +&x7

P

1. %-a7)+

#0. +/)$%6&b' 5

+2. x &m

#1. %2)x)x5

++. a7)(a5b&ab5

  5) 5) 7 7 5) 00. %am)(b)c)cm

5 5

)(bm&%a

2. n5&n)#%

+%. %x %xy)/y&xz)(z

+. a5 a5)d5&n5)c5)%an)

01. x5 x5) %Q %Q(x&+Q1

+(. +)#b&#b5

%. +&%+/xR

12. #a5 )b

+#. #x &(x5y5&y

(. x7)/#

1+. 0+x5)$a&x' 5

+. x )/x y &y

#. x7)/#x

1%. a5&1)/as)+/x5

+/. a5)a)(2 +-. +m5&++m)+#

.+0ax y7 y7)(/xy ) 5 /. #1a5b5 )+#ab&+

+0. a&+

-. $x&+' 5)0+

ⁿ

ⁿ

1(. 1a5)x5)#&#x 1#. 1x5)y5&(x)y 1. x5)x)-%

+1. 0m7)%-y

0. a5)$b&c' 5

1/. (/a )+%2a5b5
b

%2. +/a5&%#ab&1b5

1. $m&n' 5)

1-. a5)m5)1n 5)/mn

%+. +&a

/2. -x5&(+x)%2

%%. 0a)+%a5&/a)+ %(. +)m5 %#. x )%+

&#ab&#b5

/+. 1a7&/()#a5 /%. ax&a)x)+

10. + )#Q1a

%. +%a&+

/(. 0+x &%y5) 5 /#.+)%-b5 &b

+22.#1x5)--x&(2

%/. a5&%ab&b5)m5

/. m &m5n5&n

+2+.x5)%abx)(a5b5

%-.0a5b& +/a7b) 5 5 %0. x )x ) x &x)+

/-. +x )+x7&%2x5

%1. /x5&+1x)%2

/0. a5)x5)a)x

//. c) #d

11.0+a &/#b 7 ¹

+2%.+%x7) 5 ) +2(.$a)%'5)$a&(' 5 +2#. #a5m&+%a5n) bm)+bn

(2. %x )0+y5

/1. x )0x5)%# )%#2

(+. +)m7

-2. /m &-m5)%2

7) P +2/. a &(a5b)#2b5

(%. x5)

-+. 1n5&#a5)+%an

+2-.m7&0a7x7

((. %+m n)-m n5&-m7n7 1x5&%#xy)+/y5

-%. %x5&%

)-m5n +21.+&++x&%#x5

-(. -a$x&y)+')(b$x&y)+'

(#. a$x&+')b$x&+'&c$x&+' %-x7y7)1x y7 (. #&#$x)y'&$x)y'5 (/. +)a5b

+20.+)

-#. x5&(x)+0

-.$a&m'5)$b&n' 5

++2. 1x5y7)

+++. $a5&b5)c5'5)1x5y5 ++%. 0$a&+')+

(-. b5&+%ab&(/a5

-/. 7 5 5 --. 0a5)%%a)%+

(0. xP)--

-0.+ -0.+&+ &+0a 0ab& b&0+ 0+a5 a5b b

++#. +#. $a&5 $a&5+' +' 5&$ 5&$ a5&+ a5&+') ')% %#

(1. +x )+-x5)#

-1. #aP)+

++.+&+222P

++(.+22x yP)+%1m

++/. #1a5)x) 5 5 ++-. x )y5&#) ) 5 ++0. a7)/#

+%.a b &#a5b5)1/ +%/. 0a5x&-y&%+by)-ay) 7 5 +%-.x &++x5)(12

++1. a &x

+%0.-&((m)+2m5

+%2. aP)(a7b)#b5

+%1.#$a&b'5)1$c&d' 5

+%+. +/&#x)x 5

+(2.-%1)+%x7y

+%%. a &a5&+

+(+.$x&y'5&x&y

+%(. x5Q#)yPQ0+

+(%.#)$a5&b5'&%ab

+%#.+/x5&0xyQ&y5Q

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) E"ercicio %

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