GUIA DE TRANSFORMADAS DE FUNCIONES TEMA 1. Para cada una de las siguientes funciones determine, mediante la definición, su transformada de Laplace; compruebe sus resultados, escribiendo a la función dada en términos de la función “compuerta” (conocida también como función de corte) y calculando su transformada de Laplace.
2 ; 0 t 1 2 ; t 1
1)
f (t )
3)
f (t )
2)
t ; 0t 2 2 ; t2
2 t 1 ; 0 t 1 ; t 1 0
f (t )
4)
0 ; 0 t 5) f (t ) t ; t 2 0 ; t 2
4 ; 0 t 2 0 ; t 2
f (t )
2 t ; 0 t 2 6) 6) f (t ) 5 ; 2 t 4 0 ; t 4
Para cada gráfica: a) Escriba a la función en términos de funciones compuerta b) Utilice la expresión obtenida en (a) para dete rminar la transformada de Laplace de la función
5 4
2
4
2
-3
3 2
2
1 1
3
1
2
1
2
TEMA II. Use la tabla de transformadas de Laplace y la propiedad de linealidad, para determinar la transformada de cada una de las siguientes funciones. 1) f (t ) 3 e
4 t
6) f (t ) 3 t 4 6t 3 2 t 1
2) f (t ) 2 t 2
7) f (t ) 5 sen 2 t 3cos 2 t
3) f (t ) 4 cos 5 t
8) f (t ) 4 t 2 16 t 9
4) f (t ) sen t
5) f (t ) (2 t 1)3
10) f (t ) cos2 t 11) f (t ) sen (4 t 5)
TEMA III Determine la transformada de Laplace de las siguientes funciones ( use propiedades) 1)
f (t ) t 2 e 3 t
2)
f (t ) 3 t 2 u (t 5)
8)
f (t ) t cos (wt )
3)
f (t ) (t 2)2 u (t 1)
9)
f (t ) sen 2 w (t t0 ) u (t 2 t 0 )
4)
f (t ) sen 2 w (t 3)
5)
f (t ) 3 e
6)
f (t ) t 2 u (t 2)
TEMA IV.
7)
4t
t cos (2 t 1)
f (t ) t e t u (t )
5 t
10)
f (t ) e
11)
f (t ) t e
12)
f (t ) t 2 e3 t
, constantes w, cosntantes
cos h 3 t
3 t
sen 2 t
TRANSFORMADAS INVERSAS
Determine la transformada inversa de Laplace de cada una de las siguientes funciones. 1.
2. 3. 4. 5. 6. 7.
= = = = = = =
− − − +2
(
2
1)
18.
2
3 +2 2 +4
4
5 2 +4
3 +1
5 3(
2)
19.
20.
2
21.
22.
+1
2 +4
+13 +2
3 +3 2 +4
1
2(
+1)
+2
23. 24.
2
= = = = = = =
− − − +3
3
2
3 2 2
2+
3
+1
2 +2
2 +1
3 +6 2 +11
+6
2 2 +4 +9
+2 ( 2 +3 +3) +1
9
2 +6
+5
1
( +1)2
+2
+1 ( 2 +4)
8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.
= = = = = = = = = =
− −− − − −− − − 1
+1 (
2 +2
1
+5)
26.
4 +5 2 +4
1
27.
( +2)4
28.
( +2)4 2
+3
3 +6 2 +11
+6
2
25.
9
29. 30.
2
2 +4
3
( +1) +
2
32.
2
3 +2
2 +1
4
31.
33. 34.
= = = = = = = = = =
− − − − − − − − − − − +1
2 +4
(
+13) +2
4 +4 3 +4 2
4
4
5
2 2 +1
+2 2 ( 2 +1) 3
2 +9
/2
( +3)
2 +4
+9
/3
3
2 ( 2 +2)2 4
1
3 3 +2 2 3 2 +5 2
4
2
2( 2.
2)
Utilice el Teorema de la convolución para determinar las siguientes transformadas inversas 1. 2. 3. 4. 5.
ℒ− − ℒ− ℒ− ℒ− ℒ− − 1
1
2(
3)
2
1
( 2 +9)( 2 +16) 1
1
( 2 +9)( 2 +4) 1
1
2 ( 2 +4)
1
(
+1)[
1 2 +9]
3
TEMA V. ECUACIONES DIFERENCIALES.
Use el método de la transformada de Laplace para resolver las siguientes ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales y en el cálculo de las transformada inversa, utilice los teoremas de Heaviside, el teorema de la transformada de una integral (en términos de la inversa), fracciones parciales o el teorema de la convolución, lo que considere más conveniente.
(1) y ' ' 8 y ' 7 y t 2
y (0) 1,
;
y ' (0) 1
(2) y '' 3 y ' 2 y sen 2t
; y (0) 0,
(3) y ' ' 4 y ' 5 y e t cos t
;
(4) y '' ' 3 y ' ' 4 y 2 t e 2 t
y '(0) 1
y (0) 0, y (0) 1,
;
(5) y '' ' 2 y ' ' y ' 2 y u (t 2) (6) y '' ' 3 y '' 3 y ' y cos ht
y ' (0) 3 y '(0) 0,
y (0) 0,
;
; y (0) 0,
;
(8) y '' 4 y ' 3 y e t
y (0) 1,
y '(0) 1
y (0) 2,
y '(0) 1
y (0) 0,
y '(0) 0,
(9) y '' 4 y cos 2 t
;
(10) y I V 2 y '' y 0 ;
(11) y '' 3 y ' 2 y u (t 1) ; (12) y '' 4 y ' 4 y (t 2) e
( t 2)
y '(0) 0,
y '(0) 0,
(7) y I V 2 y ''' 2 y '' 2 y ' y e t ;
y ' '(0) 2
y (0) 0,
y '' (0) 1
y '' (0) 0
y '(0) 0,
y ''(0) 1,
y ''(0) 0,
y '''(0) 0
y '''(0) 0
y (0) 0, y '(0) 1 u (t 2) ;
y(0) 1,
y '(0) 1
(13) y '' 4 y ' 4 y f (t )
donde
1 ; 0 t 1 f (t ) 0 ; t 1
(14) y '' y f (t )
donde
1 ; 0 t f (t ) 0 ; t
(15) y '' 7 y ' 6 y et (t 2) (t 4)
y(0) 1,
y y
y (0) y '(0) 0 y (0) y '(0) 0
y '(0) 0
16) Resuelva la ecuación diferencial siguiente aplicando la Transformada de la Laplace y en el cálculo de la transformada inversa utilice el teorema de la convolución a) y’’ + 4y = f(t), y(0) = 0, y’(0) = 1
b) y’’ + 9y = cos(3t),
∗
=
1 0 0
<1 1
y(0) = 0
′ ′ − +2
=
y(0) = 0, y’(0) = 0
c) y’ + 3y = t et d)
≤≥
2
0
y(0) = 0, y’(0) = 0
17) La ecuación diferencial para la carga instantánea q(t) en el capacitor de un circuito RLC en serie, está dada por 4
2
2
+
+
1
= ( )
Determine q(t) cuando L = 1 h, R = 20 Ω, C = 0.005 f, E(t) = 150 volts, t > 0. Las condiciones iniciales son q(0) = 0 e i(0) = 0 ( i(t) es la corriente en cualquier instante,
→
a) ¿Cuál es la corriente i(t)? b) Grafique q(t) e indique el valor del lim
∞
( )
18) Encuentra la corriente i(t), VR y VC para el circuito que sigue si: v(t) = 5V, R = 5 k , C = 1mF, q(t = 0) = 0
R
C v(t)
0
19) Encuentra i(t) para el circuito que sigue si: v(t) = sen(t), R = 1 k , C = 1 nF, L = 1 mH, i(t = 0) = 0 R
v(t) C
L
0
5
=
)
TEMA
VI.
Usando la transformada de Laplace resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales. dx dy dx x 2 y 3x 1 dt dt dt (1) ; x(0) 1, y (0) 2. (2) ; x(0) 0, y(0) 0 dy dx dy t x y e 5 x y dt dt dt
(3)
(4)
(5)
(6)
dy dx x y0 dt dt ; dx dy 2 y 0 dt dt d 2 x dx dy dt 2 dt dt 0 ; 2 d y dy dx 4 0 dt 2 dt dt dx d3 y dt 4 x dt 3 6 sent 3 dx 2 x 2 d y 0 dt dt 3 d2x dy 3 3 y 0 dt 2 dt 2 d x 3 y t e t dt 2
x(0) 0,
x(0) 1,
y (0) 1
x '(0) 0, y (0) 1,
y '(0) 5
; x(0) 0,
y (0) 0,
y ' (0) 0,
; x(0) 0,
x '(0) 2,
y (0) 0
y ' '(0) 0
TEMA VII Para cada una de las siguientes funciones definidas en su intervalo fundamental, determine lo siguiente: a) Su grafica en su intervalo fundamental b) La grafica de su extensión periódica (indicando su periodo) c) Indique si satisface las condiciones para decidir si es par, impar o no par y no impar, si es así indique a que tipo pertenece. d) Los coeficientes trigonométricos de Fourier, 0 , , e) La serie de Fourier
− − −
= + ;
= = =
;
;
<
<
1<
; 0<
<
<1
<
<
− − − − − − ≤≤ 2
= +
=
=
=
6
2
;
;
1<
1<
;
1<
;
1
<1
<1
<1 1
− − − − ≤≤ − ≤≤ −− ≤≤ −− − − ≤ − − ≤≤ − − − −≤≤≤ − − − =
3
=
2
1
= =
=
=
=
= =
=
;
1<
;
+
0<
1
<1
; 0
2
1 ; 5< 1+ ; 0
2
<1
2
<0
5
; 0< 6 ; 4
<4 8
cos ; 0< < 0 ; < <2 ;
2
0 ;
1< <0 ; 0< <1
< 0 ; 0< <
+ ; < <0 0 ; 0< <
0 ; sin
1< ; 0
<0 1
0 ; 2< < 1 1+ ; 1 0 = 1 ; 0< <1 0 ; 1 <2
− −− − − − − − − − −− −− − − − −≤ − ≤ − − − − −≤ − − = cos
= sin
; 0<
2
=
; 0<
2
=
=
=
=
;
=
=
<
1<
<1
<
<
2
1
<
;
2 ; 2 ;
4< < 2 ; 2< <0
2
;
3
+
cos sin
<
3< <0 0< <3
;
5
<
;
1 ;
=
<
+2 ; 0 <
=
=
<2
0< <2 ; 2< <3
; ;
<
0
<0 <
; < <0 ; 0< <
cos
; 0
0 ;
2
<
<2
<
Obtener la serie de Fourier compleja de las siguientes funciones y trazar su espectro.
=
;
=
;
=
+ ; < <0 0 ; 0< <
=
1<
<
<1 <
cos ; 0< < 0 ; < <2
=
=
=
=
Deducir las siguientes series de Fourier
7
;
2
1<
<1
;
1<
<1
+
; ;
<
2 ; 2 ;
0
<0 <
3< <0 0< <3
2
∞ − ∞ − – ∞ − ∞ − − − sin
=
=1
sin
+1
( 1)
;
2
=
=1
cos
=
2
3
2
;
2
6
+1
cos
2
<2
<
+2
2
=
;
3
0 <
<2
2
;
12
=1
<
2
12
=1
( 1)
0<
<
<
Demostrar las siguientes relaciones (opcional) Si
− <
Si 0 <
< , entonces
< , entonces
− − − ⋯ − − ⋯ ∞ − − +
2
=
Si
− <
< , entonces
= 12
1
12
sin
sin2
13
23
cos2 12
6
2
2
+
=
cos4 22
+
( 1)
+
sin3 33
cos6 32
+
sin
3
=1
TRANSFORMADA DE FOURIER
I.
Para las siguientes funciones, determine su Transformada de Fourier, indicando su espectro de amplitud
F ( ) y su espectro de fase ( ) .
1. f (t ) e
t
sen t ; 0 t 5. f (t ) 0 ; otro caso
8
2. f (t ) Sgn t e
3. f (t ) e
t
... *
cos t ; t 6. f (t ) 2 2 0 ; otro caso
1
t 2
2
2
7.
1 t 2 ; t 1 4. f (t ) 0 : otro caso
II.
f (t ) e 2t cos 3 t u (t )
f (t ) e 2t 4 cos (3 t 6) u (t 2)
8.
Use las propiedades de la Transformada de Fourier para determinar la transformada de las siguientes
funciones.
1. f (t )
=t
5.
Si
ei
6.
Si
7.
0
t
3.
f (t ) u (t ) sen 0 t
2 ( 0 ) , determine (t 0 )
t
2
A ; Si f (t ) 0 ;
Determine
( t ) = t
2. f
2
, determine
t t
1 2 t
y
sen (
2
y su transformada es F ( ) A
2
3 t sen ( ) 2 3 A , 3 t ( ) 2
y
sen t t
t
Use el hecho de que
(t ) .
*1 Sgn t, indica la función signo de
f (t ) u (t ) cos 0 t
5 2 t
y
Hint: use la propiedad de simetría de la transformada de Fourier.
2
4.
2
e x dx y que t 2 2 a t (t a) 2 a
9
2 ( ) 2
)
III.
1.
5.
Use la propiedad de simetría de la Transformada de Fourier para determinar
i t
i (t ) t
2.
1 a i t
6.
1 2 1 t
3.
4.
a i t 2 2 a t
6 (t )
En los siguientes problemas use las propiedades de la Transformada de Fourier. 2
e i 2 (t 1) 1
Si
t
Si
f (t ) A e 2 i , demuestre que t f (2 t )
Si
t 4 2 3 i 4 f (t ) 2 3 , demuestre que f ( ) e 3 9
Si
Sg n t
Si
1 2 ; t 2 f (t ) 1 0 ; t 2
Si
f (t ) e
2
2 i
, demuestre que
, determine
t
y
2
A e i
f (3t )
y
f (t )
sen ( ) 2 , determine f (t ) 2 ( ) 2 2 1 2
, determine
f (2 t )
t f ( ) 2
IV. Para cada una de las siguientes gráficas determine su Transformada de Fourier
A
A cos t
A
A -T
- /2
/2
-b
-a
a
b
10
T -A
A A
A sen 0 t
A
T/2 T -A
T
A
-T
A
A A/2
-T
T
a
2
b
T
2
3
A
1
A
1/2 1
2
4
T
T/2
A A
-T
A T
-A -1
-2
4
-1 1 -A/2
A 1 t0
T
2
t
2t0 3t0
1
11
2 3
2
A ....
....
-2T -T
T
... ...
2T
...... -T
/ d /
T
V. Para las siguientes gráficas, determine su Transformada de Fourier. Use la propiedad de desplazamiento en el tiempo.
A
-10
-8
-6
6
8
10
A
-10 -8
-6
6
8
10
VI. En las siguientes gráficas se presenta el espectro de amplitud y el espectro de fase en el dominio de la frecuencia, determine la función
F (w)
f
( t ) que le corresponde en el dominio del tiempo. Opcional
F (w)
(w)
(w)
A -w t0
A w0
w0
-w0
w0 -π/2
A
F (w)
(w)
F (w)
/2
(w)
A
-w0 -w0
w0 -/2
-w0 -/2
12
VII. Para las siguientes gráficas, determine su transformada de Fourier. (Use la propiedad de modulación).
1 cos 100
t
A cos 20t
-n/20
n /20
2
3
-1
VIII. Determine la convolución (f(t)*g(t) o g(t)*f(t)) de las siguientes funciones a. f(t) = G4(t),
b. f(t) =
1<
=
,
-2t
c. f(t) = e
g(t) = sgn(t)
0
-t
u(t)
d.
<2
g(t) = e
f(t)
g(t) 3
B
A
3
1
e.
f(t)
g(t)
A
A
1
2
-1.5
-1
13
IX. Determinar h(t)*f(t), h(t)*g(t), si h(t) = 10δ(t – 10) - 8δ(t – 20) + 4δ(t – 30) y las gráficas de f y g son
f(t)
g(t) 3
A
0.5
1 2
1
X. Encuentra gráfica y analíticamente el resultado de cada una de las convoluciones que siguen: a) G1(t) * [δ(t-1) + δ(t-3)]
b) 3G b(t) * [2δ(t-2)] 2
c) f(t) * [-2δ(t+1) + δ(t-1) + δ(t-3)] si f(t) = t en el intervalo [-2 ,2] XI. Use el teorema de la convolución en el tiempo para obtener la transformada inversa de las siguientes funciones
−
a)
=
c)
=
3
2
g)F(w) =
+2
(2 )
d)
2
( )
=
e)
b)
f)
+ 3
1
5+
h)
2
−
i)F w = 4
2
4
(2 )
− − =
=
=
4
4+
1+ 2
2
3 + 2
1
2
6+5
2 (2
=
j) F(w) =
1
2
)
2
60
(3+
(5 ) )( )
XII. En cada uno de los siguientes incisos: i) Determine la transformada de Fourier de f(t) ii) Trace el espectro de la función f(t) ii) Use el teorema de la convolución en la frecuencia para determinar la transformada de Fourier de g(t) iv) Trace el espectro de g(t) a) f (t ) e
3 t
g (t ) f (t ) cos( 2 t )
/2
14
c) f (t ) d) f (t )
sen(t )
g (t ) f (t ) sen(3t )
t
sen( 4t )
g (t ) f (t ) sen(5t )
t
TRANSFORMADA Z
1. Utilice la definición de la transformada Z para det erminar la transformada de las siguientes sucesiones e
indique su región de convergencia. Suponga que las sucesiones son causales n
a) {(-3) } b) {1/5n} c)
− 1 4
d) {xn} = { 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13} -3wt
2. Una señal causal f(t) = e , donde w es una constante real, es muestreada en los instantes nT. Escriba el término general de la sucesión de muestreo y calcule su transformada z
− − − − − −
3. Exprese a cada una de las siguientes funciones en términos de funciones exponencial y demuestre que a)
b)
(
=
(
(
2
2
+1
2
=
2
)
( )
2
+1
donde w y T son constantes
donde α es una constante
4. Calcule las transformadas que se indican así como su región de convergencia. Suponga que las sucesiones son causales a) b) c)
6
1
1
3
3
2
1
5
4
n
si {xn} = {1/2 }
2
d) Determine
1 2
(
2
)
Sugerencia: exprese a la función seno en términos de exponenciales complejas. 5. En muchas aplicaciones prácticas, los valores de una sucesión (o secuencia) x[n] se obtienen al muestrear una señal de tiempo continuo x(t) en puntos equidistantes a lo largo del eje del tiempo. Si el intervalo de muestreo es T, la sucesión x[n] se define como x[n] = x( nT), para n = 0, 1, 2, 3, …. (para el caso de señales causales)
Escriba el término general de la sucesión x[n] y calcule su transformada si -3t a) x(t) = e
15
b) x(t) = cos(t) c) x(t) = sen(2t)
− − − − − −
6. Determine la transforma a)
3
b)
+1
2
b)
d)
e)
3 +1 (
2)
2 2 6
(
2)2 (
2 2 +4 5 5
4)
− − −
inversa de las siguientes expresiones
e)
h)
k)
− − − 1
4
1
2 2 +
1
4 2
+2 2 ( 2 2 +2)
1+
3
+
3
3 +1
c)
f)
i)
l)
3 2 5
2 +9
3
2 +6
+10
2 +16
16
2
