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Ecuaciones Diferenciales Transformadas de Laplace
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Descripción: Transformadas de Laplace - Murray Spieguel, Serie Schaum
Ecuaciones diferenciales y la transformada de Laplace
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WSUKM¡
# ü iR IÍ¡
ECUACIONES DIFERENCIALES
SOLUCION DEL PROBLEMA
PROBLEMA ALGEBRAICO
SOLUCION ALGEBRAICA
EDUARDO ESPIN O ZA RAM OS ;
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IMPRESO EN EL PERU
2da. Edición
15-10-97
DERECHOS RESERVADOS
Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, electrónico ó mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopias, registros magnéticos ó de alimentación de datos, sin expreso conocimientos del AUTOR Y EDITOR.
RUC
: N9 19369978
Escritura Pública
: N9 4484
Registro Comercial
: N9 10716
Ley de Derecho del Autor
N9 13714
DEDICATORIA
Este libro lo dedico a mis hijos RONALD y JORGE, que Dios ilumine sus caminos para que puedan ser guías de sus prójimos.
PROLOGO En la presente obra intitulada “ Transformada de Laplace ” en su 2da. Edición, he dado un trato especial al estudio de esta materia por ser de uso cotidiano en las carreras profesionales de Ciencias Matemáticas e Ingeniería. Expongo una teoría concreta con problemas que motivan la solución de otros ejercicios que se proponen. La selección de los temas en cada capítulo es a base de la experiencia adquirida en la docencia universitaria y con las sugerencias brindadas por los colegas del área de matemáticas de las diversas universidades de la capital. El libro empieza con el estudio de las funciones seccionalmente continuas y de orden exponencial, la Transformada de Laplace y sus propiedades, las funciones especiales, la transformada inversa y concluye con las aplicaciones en la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas de ecuaciones diferenciales. La lectura del presente trabajo, requiere de un adecuado conocimiento del Cálculo Diferencial e Integral y de las Series de Potencias. Deseo expresar mi más profundo agradecimiento a mis colegas por sus sugerencias y apoyo en la realización de esta obra. Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a esta pequeña obra.
Eduardo Esplnoza Ramos.
INDICE C A PITU LO I Pag. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.
Conceptos Básicos. Definición de Transformadas. Condición suficiente para la existencia de L{F(t)}. Funciones Seccionalmente Continuas. Funciones de orden exponencial. Teorema de existencia de L{F(t)}. Transformada de Laplace de algunas funciones elementales. Tabla de Transformada de Laplace. Propiedades de la Transformada de Laplace. Transformada de Laplace de la multiplicación por potencia de t " . Transformada de Laplace de la división por t. Transformada de Laplace de la derivada. Transformada de Laplace de integración. Aplicación de la Transformada en la Evaluación de Integrales. Ejercicios Desarrollados. Ejercicios Propuestos.
1 2 3 3 7 10 12 14 15 19 21 24 27 29 32 56
C A PITU LO II 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
Función Periódica. Función Escalón Unidad. Función Impulso Unitario. Función Gamma. Propiedades de la Función Gamma. Función Beta. Propiedades de la Función Beta. Función Bessel. Propiedades de la Función Bessel. Ejercicios Desarrollados. Ejercicios Propuestos.
72 75 81 82 83 87 87 89 93 96 144
C A PIT U L O III Pag 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.
Transformada Inversa de la Laplace. Propiedades de la Transformada Inversa de Laplace. Transformada Inversa de Laplace de derivada. Transformada Inversa de las Integrales. Transformada Inversa de Laplace de la división por S. Transformada inversa de Laplace por el método de las fracciones parciales. Formula del desarrollo de Heaviside. Definición de la Convolución de las Funciones. Teorema de la Convolución. Teorema de Convolución para las Transformadas Inversas. La Función Error. Función Complementaria de Error. Las Integrales del Seno y Coseno. La Integral exponencial. Ejercicios Desarrollados. Ejercicios Propuestos.
Aplicación de la Transformada de Laplace en la Solución de la Ecuación Diferencial. Solución de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales por el método de la Transformada de Laplace. Una Ecuación Integral. Una Ecuación Integral - Diferencial. Resortes Acoplados. Redes Eléctricas. Ejercicios Desarrollados. Ejercicios y Problemas Propuestos. Apéndice.
234 238 241 242 245 249 252 285 304
CAPITULO I
1.
C O N C E PT O S BÁSICO S.
1.1
Introducción.-
En el cálculo elemental se estudió la derivación e integración los cuales gozan de la operación de
linealidad, es decir:
~ r [ af dx
(*) + /%?(*)] = a 4dx- f ( x ) + P 4dx~ g(x )
J [ccf'(x) + /3g(x)]dx = a J f ( x ) d x + / fj g(x)dx
donde a y p son constantes reales arbitrarías. La integral definida de una suma también goza de la operación de linealidad, es __________________________ _______________ decir: J | a f {x) + Pg(x)]dx = a j f ( x ) d x + p j g(x)dx
La operación de linealidad de la derivación e integración transforman esencialmente una función en otra expresión por ejemplo:
— x i =3x2 dx
,
f x*dx = ^— +c J 4
,
f x*dx = 4 . Jo
nosotros estamos interesados en una integral impropia que transforma una función F(t) en otra función de parámetro s, al cual se le llamará Transformada de Laplace, es decir, que la transformada de Laplace es una operación que transforma una función F(t) en otra función de parámetro s. I
1.2
Definición.-
Sea F: [O,00 > —»R, una función definida para t > O, entonces a la función f definida por:
f+CO f/) / (.v) = I e “ F(t)dt = lim e s,F(t)dt JO ¿J— >+goJo Se llama transformada de Laplace de F, siempre que el límite exista. Simbólicamente a la transformada de Laplace de F se denota por: L { F ( t ) \ , es decir: f+GO L{F’(0 } = | e s'F(t)dt = f ( s )
Ejemplo.-
Calcular L{F(t)}, donde F(t) = t Solución
J
>+co /. • j fh 1(¡ sí ,, sl L e~s'F(t)dt = í e s't dt = lim [ e~s' t d t = lim (-------------- —) /
0
Jo
= lim [ ( ¿>_»+co
be - s b
„ -sb
b~>+ o p J o
s
O
i i - ) - (O — - ) ] = o - o + — = — $ S
Z{r} = — , .v Observación.-
h~*+fx>
para s > 0.
El uso del símbolo de
lim F ( t ) f h b~*+a>
vamos a reemplazar por la
#+«> notación F ( x ) / 0 , es decir: p+oo L{t} =
te " d i = ( -
t€ s
e
//+o +0o0 I1 s 2 >/o 1 0 = ~s J ' y>0
Entendiéndose que en el límite superior, cuando t -* +00, e s! —> 0, para s > 0.
1.3
Condiciones Suficientes para la Existencia de L {F{t)\ .La integral impropia que define la Traasformada de Laplace no necesariamente 1 t2 converge, por ejemplo; ni L{—} m L{e } existen. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L{F(t)} son que F(t) sea continua por tramos o seccionalmente continua para t > 0 y además que sea de orden exponencial para t > T.
1.4
Funciones Continuas por Tramos o Seccionalmente Continuas. Definición.-
La función F: [a,b] -» R, es continua por tramos o seccionalmente continua en [a,b] s i :
i.
Existen puntos en [a,b] tal que: a - ¡o - h ^ t2 <...< t„ = b , donde F es continua en cada subintervalo t,.< í < t M para i = 0, 1,2,..., n, salvo en dichos puntos.
ii.
En cada punto
/. e [a,ó]
existen los límites
F ( t ¡ ) = lim F(t¡ + h), *-»o+
b' Ui )= lim F ( t ¡ - h ) . h~*0~
3
Observación.-
Consideremos una función F: [a,b] —> R seccionalmente continua.
A la diferencia F(t¡ ) - F(t¡ ) = A se llama magnitud del función en el punto t f . Ejemplo.-
La función F(t) = [|í|] es continua por tramos en [0,4].
S i t e [0,1> => F(t) = 0 t e [1,2> => F(t) = 1 t e [2,3> => F(t) = 2 t e [3,4> => F(t) = 3 para t = 4 => F(t) = 4
0
si 0 < í < 1
La función F(t) = r2 si 0 si
l < i <2 t >2 Solución
4
salto de la
F(tU 4
1
—
¿
O
1
F (l ) = lim F ( l - h ) = lim 0 = 0 i-» i>
¿> 2
t
;
F’(l+) = lim F{\ + h) = li m(l + h)2 = l
a-»o
a
F (2 ~ ) = lim F ( 2 - h ) = lim ( 2 - h ) 2 = 4 A -»0“
;
A-» 0 '
->o+
a —>o +
F{ 2+)= lim F{2 + h) = lim 0 = 0 A -»0+
A—>o+
además F(t) es continua V t e <0,oo> salvo en t = 1,2. Luego F(t) es una función continua por tramos en <0,oo>. Observación.-
Ejemplo.-
Toda función continua en [a,b] es continua por tramos en [a,b].
Determinar si la función F(t) = ln(/2 + 1) es continua por tramos en [0,CO>. Solución
La
función
F(t ) = ln(/2 +1)
es continua V t e R, en particular es continua,
V t ¿ 0 entonces F(t) = ln(/2 + 1 ), es continua por tramos en [0,+oo>.
Solución 5
F ( 2+) = lim F(2+A ) = lim A ± l = +*, h-,0* A->0* h 4-h F(2~ ) = lim F ( 2 - h ) = lim A-»(T A-*0“ -A
continua por tramos.
Observaclón.-
1.
Si F es una función continua por tramos en [a,b], entonces dicha función es l-b integrable en [a,b] es decir: 3 f F(t)dt Ja
En efecto: como F es continua por tramos en [a,b], con discontinuidad en í„ y posiblemente en a,b.
Entonces a la integral
f* F ( t ) d t , se define como: Ja
fb ftfí-h ft,-h fh-h I F ( t) dt = lim[\ F ( í )d t + I F(t)dt+...+ \ F{ t)dt \ Ja h—>0~a+h Jt„+h J/.+A
como este limite siempre existe, entonces 3
6
f* F(t)dt Ja
2.
1.5
Si F y G son dos funciones continuas por tramos en [a,b], entonces el producto también es continua por tramos en [a,b], (Probar: queda como ejercicio).
Funciones de Orden Exponencial.Definirión.-
La función
F:
[0,+oo> -» R, es de orden exponencial si existen
constantes c > 0 y a tal que |F (í)| á c e a ' , V t > 0.
Ejemplo.-
Toda función constante es de orden exponencial. En efecto:
Sea F una función constante => 3 c > 0 tal que (Ffí)) < c , V t > 0 entonces \ F ( t ) \ ú c e ot . Es decir que F es de orden exponencial haciendo a = 0. Ejemplo.-
Determinar si la función F(t) = eat c o s b t , es de orden exponencial. Solución
Como |cosf>/| < 1,
V t > 0
entonces
e“'|cosdí| 0
de donde
jeM cosór| < eat => |F (í)| < eM . Luego F(t) = em eos bt es de orden exponencial tomando c = 1 y a = a. 7
Propiedades.1.
Si F: [0,+oo> —> R es una función seccionalmente continua en [0,+oo>, entonces: I) La función F es de orden exponencial siempre que existe a e R
tal que
lim —t j t = 0 .
ii)
F(t) La función F no es de orden exponencial si: lim — — = oo . / *f £•
Ejemplo.-
Determinar si la función F(t ) = t n es de orden exponencial para « e Z , V t > 0. Solución
FU) t" lim —— = l i m / >oo (>
p ic a n d o la regla de L’Hospital
t" n(n-\)(n-2)...2.\ 1 n! 1 «! = lim —- = ------------------------ lim — - = ——lim —— = ——(0) = 0, V a > 0 i e a" I a " < ^ e ca a " por lo tanto F ( t ) = / " es de orden exponencial V/ > 0
Ejemplo.-
.2 Determinar si la función F(t) = e es de orden exponencial. Solución
FU) e' lim —— = lim f— >00 C /— FO T1€
= lim e
/— >Q C *
2 ,
= +oo
Luego la función F(t) no es de orden exponencial. 2.
Si F, G: [0, oo >—> R , son dos funciones de orden exponencial, entonces el producto de F y G son de orden exponencial.
8
En efecto: Como F y G son de orden exponencial => e x is te n a ,,a 2,y c¡,c2 > 0 , tal que: |F(r)| < c¡eai' y |G(f)| < c2e ai' ,V t > 0 |F (/).G (/)| = |F(i)||G (r)| < cxe a' ' .c2e a2' = q .c2e (ctl+CÍ2)' V t > 0, entonces |F(í).G (í)¡ < e m, entonces F (t). G(t) es de orden exponencial. 3.
Si F , G:[0,ao >—> R son dos (unciones de orden exponencial, entonces la suma de F y G es de orden exponencial. (Queda como ejercicio para el lector).
Ejemplo.-
Demostrar que la función / (í) = t" senkt es continua por tramos y de orden exponencial en [0,+oo >. Solución
Sea f ( t ) = / , ( / ) . f 2(t) = t ” senkt, donde / , ( ; ) = / ”, / 2 (/) = sento, la fiinción es continua V i e R, en particular / ’, (/) = / ” es continua en [0,+oo> por lo tanto f x(t) = t" es continua por tramos (por la propiedad que toda función continua en [a,ó]es continua por tramos en [a, ó ]). La función f 2 (t) = sen k t , es continua V / g 7?, en particular es continua en [0,+ o o >, por lo tanto f 2(l)
=
sen kt es continua por tramos.
Entonces como f ¡(t) = t" y / , ( / ) = scn/:í son continuas por tramos entonces f ( t ) = t " sen kt es continua por tramos ahora demostraremos que / , (t) = i "es de orden exponencial; para esto demostraremos que: f x(t) tn n\ l im—— = 0 , es decir: lim = li m— /— >«> e t-*a>e /-►®a e orden exponencial.
= 0 , entonces / j (t) = t
es de
9
Ahora demostraremos que f 2(t) = sen kt es de orden exponencial, para esto existen c y a , tal que | / 2 (<)| - ceCU > pem (sen kt\ ¿ 1 de donde |f 2 f/ )| < 1 = le01 tomando c = 1 , a = 0 se tiene que f 2(t) = sen Ai es de orden exponencial por lo tanto como f l (t) = t ” y f 2(t) = sen Ai son de orden exponencial, entonces: f ( t ) = t ” .sen Ai es de orden exponencial.
1.6
T e o r e m a .-
Si la función F: [0,+oo > -» /? , es seccionalmente continua y de orden exponencial a entonces 3 /(.«) = L{F(t)}, V s > a . Demostración
Por hipótesis se tiene que F(t) es de orden exponencial \ F (t ) \ 0 .
Además
f+áo L{F(t)\ =
Jo
por
propiedad
a = > 3 A /> 0 , tal que
|J F(t)dt | < ( V ( ' ) k '
pa e s'F(t)dt = lim
«->« Jo
e '’F ( t ) d t .
Luego |e_,,F (/)| = e W|F (/)|< M e sr.em , V t > 0 puestoque |F(/)|:£ M e M , V t^ O Es decir: |e''F (i)J < Me~is~aV ,V t >0, a esta desigualdad integramos de 0 hasta a.
r í e ~s,F(t)\dt< M e ~ U a)1dt = - —— e - {s- a)' / * Jo1 1 Jo s-a ¡o
j ‘ \e' s,F(t)\dt < ~ J ~ ( e (s~a)a ~ 1) Ahora tomamos límite cuando a -> +oo t ai i M jl/ lim \e slF(t)\dt < - ------ lim (e‘ (! a)fl - 1) = ------íi— >+oc)Jo S —OL t*-*+oo S CC 10
y
J0 \e s “ <•+00 ^
-+!»
por lo tanto
e a F{t)dt es convergente, entonces existe I e st F(t)dt esto Jo Jo quiere decir que: 3 L{F(t)} = f(s) Observación.1)
Si F: [0,oo> —> R es una función continua por tramos y de orden exponencial, se llama función de clase A.
2)
Si F: [0,+oo>
3)
Si 3 L{F(t)} =f>que F sea una función de clase A.
1.7
Teorema.-
R es una función de clase A entonces 3 L{F(t)}.
Sea F(t) una función continua por partes para t > 0 y de orden exponencial para t > T; entonces lim L{F(t)} = 0 S—>a> Demostración
Como F(t) es continua por partes en 0' < t < I(T, t , es necesariamente acotada en este intervalo. \ F ( t ) \ < M l = M xe 0t, además
\ F { t ' \ < M 1e x
para t > T. Si M denota el máximo de { M x, M 1} y c, el máximo {0,A,} entonces i»oo foo e~(s~c)t /°° M |z,{/^(í)}| ^ Jo e s,\F(tÍ\dt < A/Jn e a . ec‘dt Ú - M j = — paras > c
\L{F(t)}\ < ^ para s > c, Cuando s -> oo tenemos que: s-c |¿{F(f)}| -» O y por lo tanto
lim L{F(t)} = O
1.8
Transformada de Laplace de algunas Funciones Elementales. Encontrar la Transformada de Laplace de las siguientes funciones.
1)
F(t) = e b Solución Aplicando la definición de Transformada de Laplace f ( s ) = L{F(t)} = L{ek' } = Jo ° V " . eh dt = e„ (U.í =-
=
Ir-f /oo , . — / = ----- — (0 - 1) = —-— para s > k s-k / o s-k s-k k)[
por lo tanto f ( s ) = L{eh } = —-— para s > k s-k Observación.-
Cuando k = 0 se tiene: f ( s ) = ¿{ 1} = — para s > 0. s
2)
F(t) = í" Solución -+oo f { s ) = L (F( t)} = /,{/” } = J^ e~1,t " d t , integrando por partes se tiene:
du = nt" ldt
u =t \dv = e~s,dt
f+oo /(í)= | e~a t ndt = Jo
e~" s t ne st / +0° n f +K> --------- / + -Í e~s' t s
/ o
í Jo
,
dt
para s > 0, n > 0, t ne~s( -> 0 , cuando t -> +oo, luego se tiene: 12
f ( s ) = - [ +!re rS,t a~1d t = - L { t n~1} ...(o) S "O
s
siguiendo el mismo proceso se llega a que:
¿{/"~(" } = L{t} = —Z,{r0} = -!r-, puesto que ¿{1} = —, que reemplazando en .r2 n w—1 (a) se tiene: / (.v) = —. s s
1 1 s s
«! Sn+I
f ( s ) = L{in} = - ^ r ,si s > 0 3)
F(t) = sen at Solución f+aq f ( s ) = ¿{sena/} = I e st sen ai d t , integrando por partes. Jo , .v. sen a / + a eos a/ / +® „ f{s) = e ' ( )/ , para s > Q, e? s +a / o entonces:
4)
a f ( s ) = ¿{sen at} = —------s+ a
-> 0 , cuando t —> +«o,
,si s > 0
F(t) = cosat Solución En forma similar que la función anterior. / (.y) = ¿{cosa/} = Jo
e~sl eos at dt = — — - , si s > 0 s+ a
a Es decir: f ( s ) = ¿{cosa/} = — - , si s > 0 s+ a 13
Tabla de Transformada de Laplace de algunas Funciones Elementales.
F(t) k tn e at sen at
L{F(t)} = fts) s n\ — r> s>0 í "+1 1 ------ , s > a s-a a ^ ^ • 5>0
eos at s 2 +a 2 ’ S > 0 senh at 7s —a V
' s > la l
cosh at ebr sen at
s 2 - a 2 ’ S > la l a
ebt eos at
(s - b ) 2 + a 2 s-b
eb‘ senh a/
( s - b ) 2 +a 2 a
ebl cosh at
(s-b)2 - a 2 s-b (s-b)2 - a 2
Ejemplos.1)
Calcular L{F(t)} donde F(t) es dado:
F(t) = í 4 Solución 4 4! 24 L{F(t)} = L{t4} = — = — s s
14
2)
/<’(/) = sen 20/ Solución L{F(t)) = ¿{sen 20í} = 2-" s +400
3)
F(t) = eos2 4r Solución L{F(t)\ = ¿{eos2 4t] = 2
4)
= i ( i +_ _ Í_ ) 2 ,v ,r +64
F (/) = sen « eos ia Solución sen 2itt 1/ 2k ■. ;r L{F(í)} = ¿{senní.cosTif} = L{— -— } = - ( — f) =— 2 2 s + 4 ji s 2 +4 ji
5)
F (r) = sen2 ;rf Solución , l - c o s 2;rí l 1, 1 v , L{F(t)} = ¿{sen m) = L{ ■} = - ¿ { l - c o s 2 / r r } = - ( ------ ;— — r ) 1 2 2 s s +4n
1.9 a.
Propiedades de la Transformada de Laplace.Propiedad de Linealidad.Sean F,G: [0,oo> —» R, funciones continuas por tramos y de orden exponencial entonces: L{aF(t) + pG(t)} = aL{F(t)} + PL{G(t)} Demostración Mediante la definición de Transformada se tiene: 15
Calcular L{F(t)}, donde F(t) = f2 + c o s2 f+ e3' Solución
2
v
1
L {F(t )} = L{í2 + eos 2/ + e 3' } = L{í2} + £{cos 2f} + £{e3' } = — + — — + -----s s + 4 .v-3
b.
Primera Propiedad de Traslación.Si F: [0,+oo> -> R, es una función continua por tramos y de orden exponencial y si L{F(t)} = f(s) entonces para a * 0 se tiene.
L{ea,F{t)} = f ( s - a ) . s > a
Demostración
Mediante la definición de Transformada se tiene:
J
»+00 e~stF(t)dt = f ( s ) entonces
o
L{emF(t)} =
f+OO f+uo e " . e MF(t)dt = e~(s~a)'F(t)dt = f ( s - a ) *o »o
L{ea,F(t)} = f ( s - a ) 16
Ejemplo.-
Si F (í) = / V ' . Hallar L{F(t)}. Solución
£ {/3} = - j - = " T = / ( s ) , entonces: s .v .-. L { t V ' } =
Ejemplo.-
L{íV'} = / ( í - 4 ) = —
( í - 4 )4
6 ( s - 4 )4
Si F(t ) = e 'c o s 2 1. Hallar L{F(t)} Solución .V
Sea £{cos 2 í} = —5----- -- f ( s ) , entonces: s+4 L{e ' eos2/} = f ( s + 1) = - — (s + ir+ 4
j+ i
L{e ' cos2f) = -y s + 2s+ 5
c.
Segunda Propiedad de Trasladón.-
Si F: [0,+a» —►R, es una función continua por tramos y de orden exponencial y;