AUDITORIA INFORMÁTICA un enfoque practico cuestionario CAPITULO 8Descripción completa
STRUKTURDeskripsi lengkap
Familia ca grup social
Simetris dan Teori Grup
pengertian grup siklik, teorema abelian, teorema berdasarkan buku teori bilangan, periode atau ordeFull description
Full description
Struktur Aljabar
Grup Oleh: Widiawati Definisi dan Contoh Grup
Definisi:
(Operasi ). ). Misalkan G adalah sebuah himpunan. A himpunan. A operasi biner pada G Operasi B in er merupakan sebuah fungsi yang menunjukkan setiap pasangan terurut dari elemen G suatu elemen G.
Definisi:
(Grup ). Misalkan G sebuah himpunan tidak kosong bersama dengan operasi biner ). (biasanya disebut perkalian) yang menunjukkan setiap pasangan terurut (a (a, b) dari G suatu elemen dalam G ditandai oleh ab. ab. Kita mengatakan G adalah sebuah grup di bawah operasi ini jika mengikuti 3 sifat yang harus dipenuhi. 1. Assosiatif. Operasi tersebut assosiatif; yakni, (ab ( ab))b = a(bc) bc) untuk semua a, b, c, dalam G. 2. Identitas. Ada suatu elemen e (disebut identitas) dalam G, sehingga ae = ae = ea = ea = a untuk semua a dalam G. 3. Invers. Untuk setiap elemen a dalam G, ada elemen b dalam G (disebut invers dari a) sehingga ab = ab = ba = ba = e.
Sebuah grup adalah himpunan bersama dengan operasi assosiatif sehingga ada identitas, setiap elemen mempunyai invers dan ada pasangan dari elemen-elemen dapat digabungkan tanpa keluar himpunan. Kondisi ini disebut tertutup. Penting untuk menguji tertutup ketika pengujian group. Catatan bahwa jika a adalah suatu invers dari b, maka b adalah invers dari a. Jika sebuah group mempunyai sifat bahwa ab = ba ba untuk setiap pasangan elemen a dan b, kita sebut Grup Abelian. Abelian. Suatu group bukan Abelian jika ada beberapa pasang elemen a dan b yang mana ab
ba. ba.
Struktur Aljabar Sifat-sifat Sederhana dalam Grup
Dalam sebarang group berlaku sifat-sifat berikut: 1. Hukum kanselasi kiri : Jika ax = ay maka ay maka x x = y 2. Hukum kanselasi kanan : Jika xa Jika xa = ya maka ya maka x x = y 3. Anggota identitas itu tunggal yaitu jika e dn
e’ elemen elemen
G yang memenuhi hukum
identitas maka e = e’ 4. Invers dari sebarang anggota G akan tunggal yaitu jika a dan b merupakan invers dari x dari x maka maka a = b – 1
– 1 – 1
5. (ab) ab) = b a Bukti :
1. Diberikan ax = ay. – 1
Karena G grup dan a G maka terdapat a
– 1
sehingga aa
– 1
= a a = e dengan e
identitas. Akibatnya: – 1
– 1
a (ax) ax) = a (ay) ay) dan dengan menggunakan hukum assosiatif didapat: – 1
– 1
(a a) x = x = (a (a a)y dan dengan hukum invers didapat: ex = ey Akhirnya dengan hukum identitas x = y 2. Analog dengan 1. 3. Karena e suatu anggota identitas maka ee’ = e’ . Pada sisi lain ee’ = e, sehingga ee’ = e’ = e. 4. Karena a dan b merupakan invers x invers x maka maka berlaku xa berlaku xa = e dan xb dan xb = e. e. Karena anggota identitas itu tunggal maka xa maka xa = e = xb. xb. Dengan menggunakan hukum kanselasi kiri maka a = b. b. 5. Karena – 1 – 1
– 1
– 1
– 1
– 1
ab.b a = a( a(bb )a = aea = aa = e – 1 – 1
– 1
– 1
– 1
– 1
– 1
– 1 – 1
dan b a .ab = b (a a)b = b eb = b b = e maka (ab (ab)) = b a