Grafos y Matrices

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADEMICO SUBPROGRAMA DE DISEÑO ACADÉMICO AREA INGENIERÍA

PLAN DE CURSO I. Identificación Identificación Nombre: GRAFOS Y MATRICES Código:

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U.C:

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Carrera: Ingeniería de Sistemas Código: 236 Semestre: V Prelaciones: ninguna Requisito: Computación II (324) Autor: Lic. Mauricio Odremán (Especialista (Especialista de contenido) Teléfono (0212) – 5552352 Correo electrónico: [email protected] [email protected] Asesor: Ing. Judit Carvallo (Coordinadora de la Carrera) Evaluadora: Lic. Carmen Velásquez Diseño Académico: Dra. Eglee Arellano Prof. Wendy Guzmán Nivel Central Caracas, Octubre 2006

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Plan de Curso (332) Grafos y Matrices

II.

FUNDAMENTACIÓN

El curso Grafos y Matrices presenta los conceptos de grafos y dígrafos, algunas relaciones importantes que se pueden establecer como cadena, camino, ciclo y circuito así como también ciertas propiedades basadas en estas definiciones. Luego contiene un análisis y aplicación de los diferentes métodos para la resolución de grandes sistemas de ecuaciones lineales, para finalizar con un estudio algorítmico de problemas de recorrido y búsqueda de caminos en grafos. La teoría de Grafos juega un papel importante en la fundamentación matemática de las ciencias de la computación. Los grafos constituyen una herramienta básica para modelar fenómenos discretos y son fundamentales para la compresión de las estructuras de datos y el análisis de algoritmos. Los conceptos y procedimientos que se proponen, forman parte integrante del plan de estudio de ingeniería de sistemas y serán aplicados de forma directa o indirecta en otras asignaturas y en la futura labor profesional. El propósito de esta asignatura, es desarrollar las aptitudes y destrezas necesarias, la capacidad de análisis y lógica lógica para plantear, plantear, formular, proponer soluciones a problemas matemáticos, surgidos de situaciones de la vida real, usando el computador como herramienta fundamental, lo cual fortalecerá al egresado en su formación y desempeño profesional. En correspondencia con lo planteado, este curso estará ubicado dentro del ciclo de Estudios Profesionales de la carrera Ingeniería de Sistemas y es de carácter obligatorio. Es importante señalar que la presentación y la discusión de los conceptos mencionados se harán de tal forma que se respete el formalismo matemático, pero sin llegar a lo estrictamente riguroso. No se introducen demostraciones de resultados matemáticos pues se pretende dar al curso un enfoque totalmente orientado hacia las herramientas computacionales, el análisis de algoritmos y su complejidad, presentando algunos problemas No polinomiales NP–completos, por lo que se considera un curso de carácter teórico – práctico. Para la administración de este curso, se utilizará un paquete instruccional constituido por: - Texto UNA “GRAFOS Y MATRICES”, MATRICES”, código 332, contentivo de cuatro (4) módulos. - Un software de soporte de contenido: que consiste en un software educativo, con el cual el estudiante podrá resolver ejercicios prácticos, pero que, dado el diseño del paquete, le informará todo lo necesario para el completo dominio del tema que se está tratando. Se podrá acceder a esta plataforma a través de www.ciberesquina.una.edu.ve/forumuna www.ciberesquina.una.edu.ve/forumuna.. - Un paquete de software de programación para la realización del trabajo práctico. Plan de curso Grafos y Matrices

Elaborado por Prof Mauricio Odremán

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- Referencias a páginas WEB y cursos WEB que tendrán el efecto de enriquecer los conocimientos adquiridos.

Plan de curso Grafos y Matrices


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ORIENTACIONES GENERALES •

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El texto recomendado para este curso es GRAFOS Y MATRICES, de la UNA, el cual consta de 4 módulos. Este material lo entregaran en el Almacén del Centro Local, previa presentación del comprobante de inscripción de la asignatura. Lea detenidamente las recomendaciones que aparecen en cada una de las unidades del texto Grafos y Matrices. Ejercite los ejemplos planteados en cada una de las unidades del texto a fin de reafirmar los conocimientos estudiados. Realice los ejercicios propuestos en cada capítulo del Módulo IV del texto Grafos y Matrices, compare, de ser posible, los resultados obtenidos con los de otros compañeros de su mismo nivel de estudio.

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Consulte otros libros sugeridos en la bibliografía bibliografía complementaria.

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Consulte la plataforma www.ciberesquina.una.edu.ve/forumuna

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Para la implementación de la solución del trabajo práctico correspondiente a los objetivos 6, 8, 9 y 10, podrá utilizar lenguajes de programación de propósito general como PASCAL ® , FORTRAN ® , C ® o aplicaciones de paquetes matemáticos como MAPLE ® , MATHEMATICA ® , MATLAB ® . Ante cualquier duda que presente con respecto al contenido y a los ejercicios elaborados, consulte con su asesor en su Centro Local o con el profesor que administra la asignatura en el nivel central. Si desea hacer algún comentario o sugerencia acerca del curso, comuníquese con el profesor que lo administra a través del teléfono y/o dirección de correo electrónico suministrada por la carrera.



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OBJETIVO •

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ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN diferentes Lea la introducción del módulo y sus objetivos que le Descripción de las propiedades de los grafos y dígrafos: proporcionan una panorámica global de la unidad. Grado de un vértice, adyacencia y Repase las definiciones básicas de Matrices y Teoría de vecindad. Descripción de la existencia de conjunto para una mejor compresión de la unidad. cadenas, ciclos, caminos y circuitos en Estudie y resuma los contenidos del Módulo I, Unidad 1 grafos y dígrafos dados. y 2 del Texto UNA: Descripción del número de - Conceptos básicos de grafos y dígrafos. componentes conexas de un grafo o un - Propiedades de grafos y dígrafos. dígrafo. - Definición de vértices, aristas, arcos, grado de Descripción de matrices de adyacencia vértices. Matriz de adyacencia, matriz de Incidencia. e incidencia para grafos y dígrafos. Describa las propiedades básicas de los grafos y Intercambie, si es posible, sus dígrafos y su representación matricial en una situación descripciones y resultados de los dada. ejercicios, con otros compañeros del mismo nivel de estudio, a fin de comparar puntos de vista y enriquecer Realice los ejercicios indicados en el módulo IV, capítulo sus conocimientos. 1, sección 1.1 del Texto UNA. Procedimiento: Se valorará la correcta descripción de cada propiedad de los grafos y dígrafos y sus relaciones entre si, así como la representación de la matriz de Adyacencia e incidencia de un grafo y dígrafos. Instrumento: La realización de este ejercicio formará parte de una prueba presencial de desarrollo. Momento: Primera Prueba parcial e Integral.



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ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES Repase las definiciones básicas de: grafos y dígrafos, caminos, cadenas, ciclos y circuitos. Estudie y ejercite los contenidos del Módulo I, Unidad 3 del Texto UNA: - Definición número cromático, grafo bipartito, acoplamiento de un grafo, conjunto independiente. - Calcule el número cromático de un grafo. - Calcule conjuntos independientes o estables de vértices en un grafo o dígrafo. Aplique las propiedades propiedades de grafos y dígrafos en la resolución resolución de problemas, realizando los ejercicios propuestos en el Texto UNA, módulo IV, capítulo 1, sección 1.2

ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN Obtención de grafos o dígrafos Bipartito, o que posee acoplamientos y / o acoplamientos perfectos. Obtención de conjuntos independientes o estables de vértices en un grafo o un dígrafo. Obtención del número cromático de un grafo. Obtención de los conjuntos S y T de un grafo tal que S∪T=V si es bipartito. Intercambie, si es posible, los resultados de los ejercicios con otros compañeros del mismo nivel de estudio, a fin de compararlos y afianzar sus conocimientos. Procedimiento: Se valorará la correcta aplicación de las propiedades de grafos y dígrafos en la resolución de problemas. Instrumento: La realización de este ejercicio formara parte de una prueba presencial de desarrollo. Momento: Primera Prueba parcial e Integral.



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ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN Repase las definiciones de cadenas y ciclos en grafos, grafos, caminos y Aplicación del algoritmo de búsqueda de circuitos en dígrafos. caminos más cortos, aplicándolo en la resolución de problemas. Estudie del Texto UNA, Módulo I, unidad 4, los siguientes contenidos y elabore ejemplos sencillos donde pueda aplicar los Aplicación del algoritmo de búsqueda algoritmos mostrados: primero en profundidad (DFS), - Definición de árbol generador, hojas, bosque. aplicándolo en la resolución de problemas. - Algoritmo de búsqueda primero en anchura (BFS) - Algoritmo de búsqueda primero en anchura (BFS) Aplicación del algoritmo de búsqueda - Algoritmo de Dijkstra y rutas cortas. primero en anchura (BFS), aplicándolo Aplique los diferentes esquemas de recorrido y búsqueda en en la resolución de problemas. grafos y dígrafos para la solución de problemas, realizando los ejercicios propuestos en el Texto UNA, módulo IV, capítulo 1, Intercambie, si es posible, la experiencia sección 1.3. obtenida en la aplicación de los algoritmos con otros compañeros del mismo nivel de estudio, a fin de analizarlos conjuntamente y afianzar sus conocimientos. Procedimiento: Se valorará la correcta aplicación los diferentes esquemas de recorrido y búsqueda en grafos y dígrafos para la solución de problemas. Instrumento: La realización de este ejercicio formará parte de una prueba presencial de desarrollo. Momento: Primera Prueba parcial e Integral.



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ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES Repase notación matricial y el Álgebra de matrices. Repase la representación gráfica de rectas en el plano bidimensional.

ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN Aplicación de la factorización factorización de una matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales usando la eliminación gaussiana sin pivoteo

Lea la introducción del módulo y sus objetivos que te proporcionan Aplicación de la factorización factorización de una una panorámica global de la unidad. matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales usando la Estudie y ejercite los métodos mostrados en el Texto UNA, Módulo eliminación gaussiana con pivoteo. II, unidad 5: Intercambie, si es posible, los resultados - Eliminación gaussiana con y sin pivoteo. de los ejercicios con otros compañeros - Del valor absoluto. del mismo nivel de estudio, a fin de Aplique el Método de la Eliminación Gaussiana a una matriz compararlos y afianzar sus asociada a un sistema de ecuaciones lineales para la obtención de conocimientos. su solución, realizando, entre otros, los ejercicios propuestos en el Texto UNA, módulo IV, capítulo 2, sección 2.1. Procedimiento: Se valorará la correcta aplicación del Método Eliminación Gaussiana a una matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales para la obtención de su solución. Instrumento: La realización de este ejercicio formará parte de una prueba presencial de desarrollo. Momento: Segunda Prueba parcial e Integral.



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ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES •

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Repase notación matricial, el Algebra de matrices y eliminación Gaussiana. Estudie y ejercite los métodos de factorización mostrados en texto UNA, Módulo II, unidad 6: - LU. - Doolitle. - De Crout Aplique los métodos de factorización LU, Doolitle y Crout de una matriz simétrica y definida positiva, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, realizando los ejercicios sugeridos en el Texto UNA, módulo IV, capítulo 2, sección 2.2.

ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN Obtención de la factorización LU de una matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales Aplicar los métodos de Doolitle y Crout de factorización factorización de matrices para la resolución de problemas. Intercambie, si es posible, los resultados de los ejercicios con otros compañeros del mismo nivel de estudio, a fin de compararlos y afianzar sus conocimientos. Procedimiento: Se valorará la correcta aplicación de los métodos de factorización LU, Doolitle y Crout de una matriz simétrica y definida positiva, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Instrumento: La realización de este ejercicio formará parte de una prueba presencial de desarrollo. Momento: Segunda Prueba parcial e Integral.



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ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN Repase Eliminación Gaussiana, descomposición LU, autovalores y Aplicación de la factorización de una autovectores. matriz simétrica y positiva definida usando el Método de Cholesky o el Estudie y ejercite el contenido indicado en el Texto UNA, Módulo Método de Thomas. II, unidad 7 y 8: - Método de Thomas Aplicación de los diferentes métodos numéricos directos de factorización de - Factorización de Cholesky. matrices, desde el punto de vista de la - Factor de Cholesky complejidad algorítmica. - Método de Jacobi - Método de Gauss – Seidel Aplicación de la factorización de una Aplique los diferentes métodos numéricos directos y/o iterativos de matriz simétrica y positivo definida factorización de matrices simétricas y positivas definidas, en la usando el Método de Jacobi o el Método resolución de sistemas de ecuaciones lineales, realizando los de Gauss – Seidel ejercicios propuestos en el Texto UNA, módulo IV, capítulo 2, sección 2.3. Aplicación de los diferentes métodos métodos numéricos iterativos de factorización de matrices, desde el punto de vista de la complejidad algorítmica. Intercambie, si es posible, los resultados de los ejercicios con otros compañeros del mismo nivel de estudio, a fin de compararlos y afianzar sus conocimientos. Procedimiento: Se valorará la correcta aplicación de los diferentes métodos numéricos directos y/o iterativos de factorización de matrices simétricas y positivas definidas. Instrumento: Trabajo Práctico



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ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES Repase Teoría de Grafos.

ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN Análisis de los diferentes esquemas de almacenamiento para una matriz Lea la introducción del módulo y sus objetivos que le proporcionan simétrica, positivo definida y dispersa. una panorámica global de la unidad. Intercambie, si es posible, los análisis Estudie y resuma los contenidos mostrados en el Texto UNA, realizados con otros compañeros del Módulo II, unidad 9: mismo nivel de estudio, a fin de compararlos y afianzar sus - Definición Matriz dispersa, grafo asociado a matriz dispersa. conocimientos. - Tipos de almacenamiento: arreglos y listas. - Implemente los diferentes tipos de almacenamiento en algún lenguaje de computación. Procedimiento: Se valorará el correcto análisis de los Analice los esquemas de almacenamiento para conseguir el esquemas de almacenamiento por mejor método para resolver problemas de sistemas de ecuaciones arreglos. lineales, aplicándolos a los ejercicios propuestos en el Texto UNA, módulo IV, capítulo 3, sección 3.1. Instrumento: La realización de este ejercicio formara parte de una prueba presencial de desarrollo. Momento: Segunda Prueba parcial e Integral.



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ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES Repase Eliminación Gaussiana y Teoría de Grafos. Factorización Cholesky.

ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN Descomposición de una matriz simétrica, positivo definida y dispersa usando el Método de la Banda o el de la Estudie y resuma los contenidos mostrados en el Texto UNA, Envolvente. Módulo III, unidad 10: Descomposición de la matriz usando el - Definición banda, ancho de banda y envolvente de una matriz. Algoritmo de Cuthill – McKee para la resolución de problemas. Halle la banda, ancho de banda y envolvente de una matriz asociada a un grafo, realizando los ejemplos indicados en la Compare, si es posible, los resúmenes y unidad 10. esquemas realizados con otros compañeros del mismo nivel de estudio, Investigue el algoritmo de Cuthill – McKee y su complejidad y a fin de discutirlos, completarlos y realice un resumen sobre el tema. afianzar sus conocimientos en relación a los temas tratados. Aplique el algoritmo de Cuthill – McKee a un grafo dado, realizando, entre otros, el ejercicio mostrado en el Texto UNA, Procedimiento: módulo IV, capítulo 3, sección 3.2. Se valorará el correcto análisis de los Métodos de la Banda y de la Analice los métodos de factorización de matrices dispersas para Envolvente, y del algoritmo de Cuthill – ordenarla de tal manera que reduzca la cantidad de memoria para McKee. su almacenamiento, elaborando un esquema comparativo entre ellos, destacando sus ventajas y desventajas. Instrumento: Trabajo Práctico



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ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES Repase Eliminación Gaussiana y Teoría de grafos.

ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN Análisis del modelo de grafos de eliminación para la resolución de Estudie y resuma los contenidos mostrados en el Texto UNA, problemas Módulo III, unidad 11: Análisis del proceso de eliminación usando los grafos de - Definición de estructura no nula de una matriz, matriz llenado, gaussiana relleno de una matriz. eliminación en un problema dado. Investigue Modelo de Grafos de eliminación y realice un resumen sobre el tema y realice un resumen sobre el tema. Aplique el Modelo de Grafos de eliminación a un grafo dado, realizando, entre otros, el ejercicio mostrado en el Texto UNA, módulo IV, capítulo 3, sección 3.3. Analice el Modelo de Grafos de eliminación usando la noción de Alcanzabilidad entre vértices, para la optimización del ordenamiento dado por la Eliminación Gaussiana, elaborando un esquema destacando su funcionalidad.

Intercambie y compare, si es posible, los resultados de los ejercicios y los resúmenes y esquemas realizados, con otros compañeros del mismo nivel de estudio, a fin de de discutirlos, completarlos y afianzar sus conocimientos en relación a los temas tratados. Procedimiento: Se valorará el correcto análisis de los Modelos de grafos de eliminación. Instrumento: Trabajo Práctico



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ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES Repase Eliminación Gaussiana y Teoría de grafos.

ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN Análisis del Algoritmo de mínimo grado para obtener un ordenamiento de una matriz simétrica, positivo definida y dispersa.

Estudie y resuma los contenidos mostrados en el Texto UNA, Módulo III, unidad 12: - Definición de distancia entre vértices, excentricidad de un vértice, diámetro de un grafo, vértice periférico. Compare, si es posible, los resúmenes y esquemas realizados con otros Calcule la distancia entre vértices, excentricidad de un vértice, compañeros del mismo nivel de estudio, diámetro del grafo, verifique si hay vértice periférico de un grafo a fin de discutirlos, completarlos y dado, realizando los ejemplos indicados en la unidad 12. afianzar sus conocimientos en relación a los temas tratados. Investigue los esquemas para la selección del vértice inicial y el Algoritmo de mínimo grado, realice un resumen sobre el tema. Procedimiento: Aplique el Algoritmo de mínimo grado a un grafo dado, realizando, Se valorará el correcto análisis del entre otros, el ejercicio mostrado en el Texto UNA, módulo IV, Algoritmo de mínimo grado. capítulo 3, sección 3.4. Instrumento: Trabajo Práctico Analice los esquemas para la selección del vértice inicial utilizando los métodos numéricos estudiados, y el diseño del algoritmo de mínimo grado, elaborando un esquema comparativo entre ellos, destacando sus ventajas y desventajas.



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V. BIBLI BIBLI OGRAFÍA OGRAFÍA Obligatoria •

Marquez, L. (2004). Grafos y Matrices . Caracas. Universidad Nacional Abierta.

Complementaria •

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Nakos G., Joyner D. (1998) Álgebra Lineal con Aplicaciones . México. International Thomson Editores. Scheinerman E. (2001) Matemáticas Discretas . México. International Thomson Editores. UNA (2000) Computación III (303). 1ra ed. Caracas. Universidad Nacional Abierta.

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