Graficación sencilla de curvas
Podemos Podemos constr construir uir una gráfic gráficaa con una precis precisión ión razona razonable ble de la funció función n polinom polinomial ial reuniendo la siguiente información: 1. Los puntos críticos críticos de
f ; es decir, los puntos de la gráfica donde la recta tangente es
horizontal, de modo que
f ´ ( ( x x )=0
. !"aluar !"aluar el signo signo de
f ´ ( ( x ) en cada uno de los inter"alos que esos n#meros críticos
o donde
f ´ ( ( x x ) no está definida.
determinan sobre la recta real; es decir, el comportamiento creciente$decreciente de f . %. determinar determinar la conca"i conca"idad dad & los puntos puntos de infle' infle'ión ión de la función función puntos donde la
dond dondee
f ´ ´ ( x )> 0 la gráfica dobla hacia arriba, es decir, es cónca"a hacia
f ´ ´ ( ( x x )< 0
arriba arriba,, si
f ; es decir, los
la gráfica gráfica dobla dobla hacia hacia aba(o, aba(o, es decir, decir, es cónca"a hacia aba(o, &
f ´ ´ ( x )=0 la gráfica tiene un punto de infle'ión )Punto)s* donde la gráfica
cambia de conca"idad.
Ejemplo:
f ( ( x )=−3 x
5
+onstruir el grafico de la función
+ 5 x
3
Solución:
e debe obser"ar que el dominio de esta función son todos los reales, lo que nos permite afirmar que esta función está definida para todo "alor de x que esco(amos. 1. determinemos los "alores críticos de esta función, para ello debemos deri"arla
f ( x )=−3 x + 5 x 5
3
f ´ ( x )=−15 x + 15 x 4
2
-hora debemos resol"er la ecuación 2
(− x + 1)= 0
2
2
15 x
−15 x 4 + 15 x 2=0
2
15 x ( 1 − x
)=0
onde tenemos 2
15 x
= 0 v 1− x 2=0
2
x =0 v 1= x
2
x =0 v ± 1= x e aquí podemos decir que los "alores críticos de son /, 1, 01 di"idiendo la gráfica en
(−∞, −1 ) ∪ (−1,0 ) ∪ ( 0,1 ) ∪ (1, ∞) ; tomamos
cuatro inter"alos de traba(o que son
entonces n#meros entre los inter"alos mencionados para determinar si la gráfica crece o decrece en este inter"alo, esto pasa cuando la deri"ada es positi"a o negati"a. nter"alo 2alor x f ´ ( x )
−∞< x <−1
−1 < x < 0
x =−2
x =
f ´ (−2 )=−15 (−2)
4
−1
x =
2
( )
f ´
0 < x < 1
−1 2
=
45 16
x =2
1 2
()
f ´
1 < x < ∞
1 2
=
f ´ (2 )=−180
45 16
f ´ (−2 )=−15 (16 )+ f ´ (−2 )=−240 + 60 f ´ (−2 )=−180 +onclusión
Por ser negati"a, decrece
la deri"ada Por ser la deri"ada Por ser la deri"ada la función positi"a, la función positi"a, la función crece crece
Por ser la deri"ada negati"a, la función decrece
-hora encontremos los "alores de infle'ión & determinamos la conca"idad.
Para determinar los puntos de infle'ión se debe determinar la segunda deri"ada de la función
f ´ ( x )=−15 x + 15 x 4
2
f ´ ´ ( x )=−60 x + 30 x 3
3esol"emos la ecuación 3
−60 x + 30 x =0 30 x (−2 x
2
+ 1 )=0
e donde se obtiene 30 x
2
=0 v −2 x + 1=0
x =0 v 1=2 x 1
2
2
x =0 v = x 2
x =0 v ±
√
x =0 v ±
√ 2 = x
1 2
= x
2
el resultado de la ecuación determinamos que la función tiene "alores de infle'ión en
−√ 2 2
, /,
√ 2 2
-hora determinemos la conca"idad e"aluando la segunda deri"ada en los inter"alos que se forman seg#n los "alores críticos e infle'ión (untos
(
(−∞ , −1 ) ∪ −1,− √ 2 2
) (− ) ( ) ( ) ∪
√ 2 , 0
2
∪
0,
√ 2 2
∪
√ 2 , 1 2
∪
(1, ∞ ) ;
−∞< x <−1
nter"alo
x =−2
2alor x
f ´ ´ ( x )
−√ 2 x < <
−1 < x < − x =
f ´ ´ (−2 )=− f ´ (−2 )=−6
2
−4
x =
5
( )
f ´ ´
−1 2
( )
−4
f ´ ´
5
−1 2
0 < x <
x =
√ 2 2
1
() 1 2
=
1 < x < ∞
2
x =
2
f ´ ´
√ 2 < x < 1
x =2
4 5
()
f ´ ´
4
5
=
f ´ (2 )=−
f ´ (−2 )= 480 f ´ (− 2 )= 420 Por ser la segunda deri"ada positi"a, la función es cónca"a hacia arriba
+onclusión
Por ser la segunda deri"ada positi"a, l a f un ci ón es cónca"a hacia arriba
Por ser la segunda deri"ada negati"a, la funci ón es cónca"a hacia abajo
Por ser la segunda deri"ada positi"a, la funci ón es cónca"a hacia arriba
Por ser la segunda deri"ada negati"a, la f unción es cónca"a hacia abajo
Por ser la segunda deri"ada ne ga ti "a , la función es cónca"a hacia abajo
4rganicemos una tabla con los "alores obtenidos durante el análisis para ubicarlos en el plano cartesiano, reemplazando estos en la función que deseamos graficar
f ( x )=−3 x + 5 x 5
3
.
2alor de x 01
−√ 2
f ( x ) 0 01,
Punto crítico Punto de infle'ión
/ 1,
Punto crítico$ Punto de nfle'ión
Punto crítico
2
/
√ 2
Punto de infle'ión
2
1
La gráfica del polinomio
f ( x )=−3 x + 5 x 5
3
es:
Ejemplo: 5race la gráfica de
f ( x )=8 x
5
4
3
−5 x −20 x .
Solución: para encontrar los "alores críticos debemos deri"ar la función dada
f ´ ( x )= 40 x −20 x −60 x 4
3
2
Luego se resuel"e la ecuación 40 x
4
−20 x 3− 60 x 2= 0
2
20 x ( 2 x
2
20 x
2
20 x
2
20 x
(
2
− x −3 )=0
2
4 x
−1 (2 x )−6 2
(
( 2 x −3 ) ( 2 x +2 )
(
( 2 x −3 ) 2 ( x +1 )
2
2
)=
0
)=
0
)=
0
2
( 2 x −3 ) ( x + 1 )= 0
2
=0 v ( 2 x −3 )=0 v ( x + 1 )=0
20 x
20 x
3
x =0 v x = v x =−1 2
!stos tres
x en cuatro inter"alos abiertos, que
"alores críticos separan el e(e
organizaremos en una tabla, donde analizaremos si la función es creciente o decreciente. 2
nter"alo
20 x
2 x −3
x+ 1
f ´ ( x )
f
(− ∞ , − 1 )
Positi"o
6egati"o
6egati"o
Positi"o
+reciente
(−1,0 )
Positi"o
6egati"o
Positi"o
6egati"o
ecreciente
( ) ( )
Positi"o
6egati"o
Positi"o
6egati"o
ecreciente
Positi"o
Positi"o
Positi"o
Positi"o
+reciente
0, 3 2
3 2
,∞
7tilicemos la segunda deri"ada para determinar la conca"idad & los "alores de infle'ión
f ´ ( x )= 40 x −20 x −60 x 4
3
f ´ ´ ( x )=160 x
3
2
2
−60 x −120 x
f ´ ´ ( x )=20 x ( 8 x −3 x −6 ) 2
Para determinar los "alores de infle'ión resol"emos la ecuación
(
20 x 8 x
20 x
2
−3 x − 6 )=0 2
=0 v ( 8 x −3 x −6 )= 0
20 x =0 v ( 8 x
2
−3 x −6 )= 0 usando la ecuación cuadrática encontramos que los "alores
de infle'ión son:
x =0 v x =1,07 v x =−0,7 -hora formamos inter"alos que utilizan los "alores críticos & los "alores de infle'ión para e"aluar la segunda deri"ada & así establecer el tipo de conca"idad. nter"alo
20 x
8 x
2
−3 x −6
f ´ ´ ( x )
f
(−∞, −1)
6egati"o
Positi"o
6egati"o
-ba(o
(−1,−0.7 )
6egati"o
Positi"o
6egati"o
-ba(o
(−0.7,0 )
6egati"o
6egati"o
Positi"o
-rriba
(0,1.07 )
Positi"o
6egati"o
6egati"o
-ba(o
(
Positi"o
Positi"o
Positi"o
-rriba
Positi"o
Positi"o
Positi"o
-rriba
1.07,
3 2
)
( ) 3 2
,∞
4rganicemos una tabla con los "alores obtenidos durante el análisis para ubicarlos en el plano cartesiano, reemplazando estos en la función que deseamos graficar 2alor de x 01 0/,8 / 1,/8 3
f ( x ) 8 9,% / 01, 0%,1
Punto +rítico Punto de nfle'ión Punto +rítico$ Punto de nfle'ión
Punto de nfle'ión Punto +rítico
2
7tilizando la información de las tablas anteriores, la gráfica de la función polinomica es:
Practica en clase
5race la gráfica de 1.
2
3 x
−6 x + 5
.
5
3 x
−5 x 3
%. x
4
− 8 x 2 + 7
9. x
4
+ 4 x
<.
3 x
4
3
3
2
− 4 x −12 x + 8
