UNIVERSIDAD Y BUEN VIVIR
!"#$%$ <( -3/*%/-;#%3 +*;%"#=%/#0%3 $-2 )-"3%> 5#-"/+ )%*% 2% *-3+2!.#7" $- )*+?2-5%3
3@ABCD 3@ABC D '<(
PROBLEMAS PROBLE MAS CON UNA VARIABL VARIABLE E
$TNMJBCD(
3 horas
+EF@GBHI(
Identifcar las distintas relaciones existentes entre variables para, )-+&,)".' 1") $9#%)#$C&) ).$,1).)5 ++$C)% ) +) 9'+1,&7" .$+ -%': F+$6)
•
.IDIJBKB@DGIA L3ME@NO
• • •
PMEBQBRMR@A LAME@N SMJ@NO %JGBGTR@A LAME@N A@NO
Relacionar Comprensión Analizar Identicar
Determinar nexos entre variables variables y estrategias de solución. Centrar la atención en variables y sus valores
Ser objetivo en cuanto a la solución de un problema
111
#DGNIRTJJBCD En los problemas con una variable unimos un conjunto de partes conocidas para formar diferentes cantidades y generar ciertos equilibrios entre las partes. Son problemas donde se relacionan partes para formar una totalidad.
'U -8)-*#-".#%( -F@NJBJBI( Enfoque a Proyecto Integrador de Saberes Uno de los objetivos curriculares del SNNA es el Proyecto Integrador de Saberes, realiza una estima ! ción porcentual de participación de cada asignatura en el desarrollo del mismo
%3#;"%/!*%3
t
Matematicas
25%
Física
38%
Química
19%
Universidad y Buen Vivir
9%
Introducción a la Comunicación Cientifica
9%
TOTAL
100%
4U *-V2-8#7" ¿Cómo fue el proceso mediante el cual distribuiste en porcentajes el aporte de cada asignatura? Se hizo un promedio con los l os porcentajes proporcionados por cada integrante. integrante.
¿El producto nal, sería el mismo sin el aporte de una de las asignaturas? ¿Por qué? No, porque en el proyecto aplicamos en gran parte lo que hemos aprendido de todas las materias.
9U .+".-)/!%2#=%.#7" )*+?2-5% $- )%*/- % /+$+ Problemas sobre relaciones parte-todo son problemas donde se vinculan partes para formar una tota ! lidad deseada. Aquí se debe unir un conjunto de partes conocidas para formar diferentes cantidades cantidades y para generar entre todas, ciertos equilibrios equilibrios entre las partes.
*-.!-*$-" La estrategia para resolver un problema debe ser: 'U Lectura detenida del enunciado 4U Identicar las variables variables involucradas en el el mismo 9U Identicar las posibles estrategias de solución :U Aplicar las estrategias propuestas
Para efectos de esta sesión, se debe evitar al máximo el uso de herramientas algebraicas como ecua ! ciones para llegar a soluciones.
-F@NJBJBI( Resolución de Problemas (RP) Se dispone de un depósito de agua, del que se ha destinado su 40 % para nes de confort doméstico (ducha, lavabos, lavadora, lava platos), 20 litros para consumo (comida y bebida), 20 % para regadío del jardín, se emplearon 100 litros para lavar el vehículo. Y además se emplearon 30 litros para bañar a la mascota de la casa. Si al nal del día se dispone aún del 20 % de la capacidad del reservorio. ¿Cuál es la capacidad total del mismo en litros? ¿De cuántos litros se dispone antes de la próxima recarga? Identifcamos las variables involucradas:
0MNBMEQ@ Depósito de agua Destinado a confort doméstico Destinado a consumo Destinado a regadío del jardín Destinado a lavar el vehículo
.MNMJG@N[AGBJM Lleno 40 % 20 l. 20 % 100 l
Destinado a bañar a la mascota Remanente al nal del día
30 l 20 %
3TKMKIA QIA fINJ@DGMF@A 0MNBMEQ@ Destinado a confort doméstico Destinado a regadío del jardín Remanente al nal del día Total de porcentajes
.MNMJG@N[AGBJM 40 % 20 % 20 % 75 %
3TKMKIA QIA QBGNIA JIDIJBRIA c TGBQB\MRIA( 0MNBMEQ@ Destinado a consumo Destinado a lavar el vehículo Destinado a bañar a la mascota Total de litros empleados
.MNMJG@N[AGBJM 20 l. 100 l 30 l 200 l
Aplicamos entonces la posible estrategia de solución: Los porcentajes expresados en el problema muestran que se ha considerado el 75 % de la capacidad total del reservorio que originalmente estaba lleno. Por lo tanto el 25 % restante lo va a constituir el gasto conocido y expresado en litros; en este caso 200 l. 113
%SINM( El 100 % de un todo está constituido por cuatro partes de 25 % cada una: 25 %
25 %
25 %
25 %
Pero conocemos ya la equivalencia del 25 % del reservorio que son 200 l. Entonces aplicando la misma gráca, tenemos: 200 l
200 l
200 l
200 l
De tal manera que sumando las 4 partes de 200 l cada una, obtenemos la capacidad total del reservorio, es decir 800 l. Para responder a la segunda pregunta: El problema indica que existe un remanente del 20 %. Si dividimos un todo de 100 % en partes equivalentes al 20 %. Se tiene entonces la siguiente distribución: 20 %
20 %
20 %
20 %
La totalidad se ha dividido en cinco partes y cada una de ellas equivale al 20 % Por el proceso anterior, llegamos a la conclusión de que el total equivale a 800 l. Entonces dividiendo este total en 5 partes iguales: 800 l. /5 = 120 l. Comprobando: 120
120
120
120
Cuya suma nos da como resultado un total de 800 l. Que constituye el total disponible en el reservorio
-F@NJBJBI( Resolución de Problemas (RP) +GNI )NIEQ@KM( Ana tiene el triple de la edad de Mercy. Sumadas las dos edades dan 80 años en total. Después de 10 años ¿Qué edad tendrá Ana?
_$@ ^TZ GNMGM @Q fNIEQ@KMb Edades de Ana y Mercy
$MGIA R@ @DTDJBMRI Edad de Ana = 3 veces la edad de Mercy Suma de edades = 80 Edad de Ana luego de 10 años = desconocido 114
Estrategias de solución: X
Edad de Mercy =
Edad de Ana= 3 veces la edad de Mercy =
X
X
X
Suma de las edades = 80 X
20 =
X
X
X
= 80
X
Edad de Mercy = 20 años Edad de Ana = 60 años Respuesta del problema: D/53?P5 ./ QR 2S65 72 /.2. ./ "02 5/4E TR 2S65
-F@NJBJBI( Resolución de Problemas (RP) !DM HMNBQQM R@ JIEN@ R@ 4ss JK R@ QMN]I A@ RBHBR@ @D RIA fMNG@A R@ KIRI ^T@ TDM KBR@ 4s JK KlA ^T@ QM IGNMU _.TlDGI KBR@ JMRM fMNG@b _$@ ^TZ GNMGM @Q fNIEQ@KMb División en dos partes de un todo $MGIA R@ @DTDJBMRI Largo de la varilla = 200 cm Número de partes divididas = 2 Diferencia entre las longitudes de las partes = 20 cm Longitud de cada parte = desconocido -AGNMG@]BMA R@ AIQTJBCD Separamos la diferencia de la totalidad de la barra
180
"#
La totalidad de la barra se ha dividido en dos partes iguales
90 90 A uno de ellos se agrega la diferencia de 8 cm que debe existir:
90
90
"#
Respuesta del problema Las partes de la varilla son: 90 cm y 110 cm. 115
-F@NJBJBI( Resolución de Problemas (RP) %JGBHBRMR@A(
(LA RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS ESTÁN EN DOCUMENTOS ADJUNTOS.)
Resuelve los siguientes ejercicios:
'U La medida de una jirafa se divide de la siguiente forma la cabeza mide 10 cm el tronco y las patas 1m 80 cm , y el cuello dos veces el tronco y las patas y 5 veces el cuello ¿Cuánto mide el cuello? 4U El precio de un producto sin descuento es $ 841 y con el descuento me han cobrado $ 725 ¿ Qué porcentaje de descuento me han aplicado? 9U De los 240 pasajeros que ocupan un avión el 30 % son asiáticos, el 20 % africanos , el 25 % ameri ! canos y el resto europeos ¿cuantos europeos viajan en el avión? :U El árbol de navidad pesa en si totalidad 40kg el peso de las ramas del árbol es la mitad del peso de bombillos, que es doble de peso de las guirnaldas y las luces pesan 4 veces los bombillos. ¿Cuánto pesa cada uno?
)NIEQ@KMA R@ N@QMJBID@A gMKBQBMN@A Son problemas de relación referida a nexos de parentesco entre los diferentes componentes de la familia de diferentes niveles, nos será útil para desarrollar habilidades del pensamiento, con altos ni veles de abstracción. Por lo que debemos empezar realizando una representación grá�ca del problema, con un árbol genealógico de forma jerárquica, en donde vamos a demostrar las generaciones necesarias para la resolución del problema. Una vez realizada la representación podemos hacer relaciones mediante �echas y obtener la respuesta al problema. 116
-F@NJBJBI( Resolución de Problemas (RP) -F@KfQIA R@ fNIEQ@KMA R@ N@QMJBID@A gMKBQBMN@A( La hermana del hijo de la hermana del hijo del hermano de mi padre es mí….
_$@ ^TZ GNMGM @Q fNIEQ@KMb Relación familiar.
0MNBMEQ@ Relación familiar
.MNMJG@N[AGBJM Hijo, hermana, hermano, padre.
/BfI Cualitativa
-AGNMG@]BMA R@ AIQTJBCD 5# )%$*,+
P-*5%"+ P#d+
P-*5%"% P#d+
P-*5%"%
*@AfT@AGM R@Q fNIEQ@KM Es la hija de mi prima. -F@NJBJBI( Resolución de Problemas (RP) -F@NJBJBI N@AT@QGI( Tomás es el único hijo del abuelo de Edwin y Camila es la hija de Tomás. ¿Qué es Edwin de Camila? _6TZ A@ fQMDG@M @D @Q fNIEQ@KMb Conocer que es Edwin de Camila. )N@]TDGM( ¿Qué es Edwin de Camila?
%ET@QI R@ -RvBD
*@fN@A@DGMJBCD( *@AfT@AGM( Edwin es hermano de Camila. )MRN@ u d@N@K[MA
%TNINM
P@NKMDIA
-RvBD 117
/`."#.%3 $- -3/!$#+ Para reexionar:
Piensa en un periodo de resolución de problemas como un ejercicio corto para tu disciplina mental, como ir al gimnasio. Si los problemas de conducta de estos ejercicios se resuelven de manera regu ! lar, poco a poco te harás más fuerte, y de pronto ya no parecerán tan complicados
-F@NJBJBI( Seminario (S) (LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ESTAN EN DOCUMENTOS ADJUNTOS) En clases formen grupos y divídanse los siguientes ejercicios. Cada miembro del equipo deberá asumir un rol o personaje del problema que les corresponda y representen entre ustedes las siguientes relacio ! nes familiares. Compartan con el resto de la clase los resultados que obtengan.
'U ¿Qué es de mí, el abuelo materno llamado Fausto del hijo de mi única hermana llamada Michelle? 4U Andrea ve en la vereda a un hombre y dice: “el único hermano de ese hombre, es el padre de la suegra de mi esposo “ ¿Que parentesco tiene el hermano de ese hombre con Andrea? 9U ¿Qué relación tiene conmigo Lola, si su madre fue la única hija de mi madre? :U Una mujer dice señalando a un señor: No tengo hermanos, pero la hija de ese señor es la nieta de mi abuelo. ¿Qué relación hay entre la mujer y él señor?
118
UNIVERSIDAD Y BUEN VIVIR
!"#$%$ <( -3/*%/-;#%3 +*;%"#=%/#0%3 $-2 )-"3%> 5#-"/+ )%*% 2% *-3+2!.#7" $- )*+?2-5%3
3@ABCD 'o(
RELACIONES DE ORDEN, EN PRO! BLEMAS CON UNA VARIABLE CON RELACIONES Y COMPARACIONES
$TNMJBCD(
2 horas
+EF@GBHI(
Q$9'+2$% -%'F+$6)9 6$.&)"#$ $9#)F+$,$% ,'6-)%),&'"$9 ' %$+),&': "$9 $" 1") 9'+) 2)%&)F+$5 -)%) +) )-+&,),&7" $" .&;$%$"#$9 #&-'99 .$ 9)&'"$9<
.IDIJBKB@DGIA L3ME@NO PMEBQBRMR@A LAME@N SMJ@NO %JGBGTR@A LAME@N A@NO
• •
Problemas con una variable Aplicación de observación, comparación, jerarquías.
Aplicar relaciones y comparaciones para cuanticar diferencias
Aplica los procesos en soluciones prácticas y cotidianas
119
#DGNIRTJJBCD Este tipo de problemas se reeren a la comparación que realizamos frente a la misma variable de dos magnitudes que se presentan algún tipo de relación de diferencia una frente a la otra, es decir, no será necesario conocer un valor numérico exacto para expresar relaciones del tipo “mayor que” o “menor que”
'U -8)-*#-".#%( -F@NJBJBI( Estudio de Caso (EC) Una familia tiene tres hijos, el primero y el segundo tienen buen rendimiento en sus estudios, por lo que sus padres les asignan una mesada semanal de US$ 20 con la condición de que siempre obtengan 10/10. Al tercer hijo no le va muy bien en la escuela, y su rendimiento no siempre es excelente, por lo que sus padres deciden asignarle también una mesada de US$ 20 siempre y cuando sus calicación no bajen de 08/10. En parejas discute el caso y respondan: ¿Cuáles son las variables involucradas en el problema? CALIFICACIONES DE LOS HIJOS. ¿Creen que se trata de una decisión justa? SI, PORQUE SE PREMIA EL ESFUERZO DE LOS HIJOS DE MANERA EQUITATIVA Y JUSTA.
¿Bajo qué parámetros los padres justican su decisión?
LA OBTENCIÓN DE BUENAS CALIFICACIONES POR DOS DE SUS HIJOS.
4U *-V2-8#7" En el caso anterior, respondíamos a un problema con un algoritmo matemático básico, para hallar la respuesta al problema, ahora la relación existente entre las variables se circunscribe a una relación de comparación, efectuada a la luz de una ÚNICA VARIABLE para ambas premisas, en otras palabras tengo dos objetos sujetos a una comparación que arrojará una relación lógica.
9U .+".-)/!%2#=%.#7" .+".-)/+ .2%0Al abordar los problemas con una variable es importante considerar que, “En matemática y en lógica matemática, especialmente en teoría del orden y álgebra abstracta, una relación de orden es una relación binaria que pretende formalizar la idea intuitiva de ordenación de los elementos de un conjunto”. http://es.wikipedia.org/wiki/Relacion_de_orden
Una relación de orden se expresa a través de comparaciones entre varios sujetos invlucrados en el problema que tiene por objeto establecer una secuencia lógica que permita una adecuada distribución basada en los argumentos expuestos en el enunciado. 120
#5)+*/%"/La solución de un problema en una variable o dimensión, se puede apoyar en la construcción gráca del mismo.
-F@NJBJBI( Resolución de Problemas (RP) Tenemos cuatro perros un husky, un akita, un labrador, y un malamut. Este último come más que husky; el labrador come más que el husky y menos que el akita, pero este come más que el malamut. ¿Cuál de los cuatro perros resultará más económico mantener?
_$@ ^TZ GNMGM @Q fNIEQ@KMb Cantidad que comen los perros.
$MGIA R@Q @DTDJBMRI *M\MA R@ f@NNIA( Husky, Akita, Labrador, Malamut. )@NNI KlA @JIDCKBJI R@ KMDG@D@N( Desconocido. )-**+
.!%"/+ .+5-
Husky
Akita Labrador Malamut
*@AfT@AGM R@Q fNIEQ@KM( El perro más económico de mantener es el Husky.
-F@NJBJBI( Resolución de Problemas (RP) -F@NJBJBI N@AT@QGI María es más alta que Pedro pero más baja que Juan. Observando las ocupaciones de estas personas, tenemos que el electricista es el más bajo, el cajero es el más alto, y el contable es el del medio. ¿Cuál es la ocupación de María?
_$@ ^TZ GNMGM @Q fNIEQ@KMb Estaturas y profesiones.
0MNBMEQ@ Nombres
.MNMJG@N[AGBJM Jeny, Iris, Marcelo.
/BfI Cualitativa
Ocupaciones
Profesor, Doctor, Arquitecto
Cualitativa
Estatura
Altos, medios, bajos
Cualitativa 121
-AGNMG@]BMA R@ AIQTJBCD( )-**+
*-2%.#7" $- -3/%/!*%
+.!)%.#+"-3
Jeny
Profesora
Iris
Doctora
Marcelo
Arquitecto
*@AfT@AGM R@Q fNIEQ@KM( La profesión de Jeny es Contable
-F@NJBJBI N@AT@QGI Pedro estudia más que Luis, Ernesto estudia menos que Pedro, y Ernesto estudia más que Luis. ¿Quién es el que menos estudia?
_$@ ^TZ GNMGM @Q fNIEQ@KMb Personas y estudio.
0MNBMEQ@ Nombres
.MNMJG@N[AGBJM Andrés, Alex, Jorge
Cualitativa
Estudio
Más, menos.
Cualitativa
)-*3+"%
/BfI
*-2%.#7" $-2 )!"/%d-
Andrés Alex Jorge
*@AfT@AGM R@Q fNIEQ@KM La persona que menos estudia es Luis
-3/*%/-;#% $- )+3/*;%.#7" )%*% 2% 3+2!.#7" $- )*+?2-5%3 La estrategia de postergación consiste en tomar a destiempo algunos datos del problema que no nece ! sariamente se expresan en secuencia, hasta el momento en que la información se complete y entonces poder utilizarlos para realizar las operaciones correspondientes y hallar la respuesta requerida.
-F@NJBJBI( Resolución de Problemas (RP) -F@NJBJBI N@AT@QGI Cinco familiares viven en un edicio de cinco pisos, cada una en uno diferente. Los Román viven un piso más arriba que los Gutierrez, pero más abajo que los Jara. Los Jiménez viven más arriba que los Pérez, pero más abajo que los Román. Si los Pérez viven en el primer piso, ¿En qué piso viven los Jara? 122
0MNBMEQ@( Posición de vivienda.
)N@]TDGM( ¿En qué piso viven los Jara?
*@fN@A@DGMJBCD( JARA ROMÁN XIMENEZ GUTIERREZ PÉREZ
*@AfT@AGM( La familia Jara vive en el quinto piso
-F@NJBJBI( Resolución de Problemas (RP) :U %)2#.%.#7" Resuelve los siguientes ejercicios: (LOS EJERCICIOS ESTÁN EN DOCUMENTOS ADJUNTOS.)
'U Pedro come más que Juana, la misma que come menos que Lauro. Jorge come más que Pedro. ¿Quién come menos? 4U Brat, Dolores, Angelina y Jhony hicieron una película. Angelina cobró menos que Dolores, pero más que Brat. Jhony cobró más que Angelina pero menos que Dolores. ¿Quién ganó más y quién ganó menos? 9U Si Pedro tiene más edad que Javier, María menos que Rosa, Pedro menos que María. ¿Quién es el de mayor edad y quién es el de menor edad? :U En una prueba: Ernesto obtuvo más puntaje que Alberto. Diego obtuvo menos puntaje que Ariel. Carmen obtuvo más puntaje que Ernesto. Ariel obtuvo menos puntaje que Alberto. ¿Quiénes obtu ! vieron el puntaje mayor y menor respectivamente?
'sU Camila tiene más dinero que Luisa pero menos que Carlos. Julio tiene más dinero que Camila y menos que Carlos. ¿Quién tiene más dinero y quien tiene menos? ''U En un edicio de seis pisos, viven seis familias: Jaramillo, López, Pérez, Castro, Román y Cáceres, cada una en un piso diferente. Se sabe que: •
Los Román viven a un piso de los Pérez y los López
•
Para ir de la casa de los Román a la de los Cáceres hay que bajar tres pisos.
•
La familia Jaramillo vive en el segundo piso.
•
¿Qué familia vive en el segundo piso?
124
UNIVERSIDAD Y BUEN VIVIR
!"#$%$ <( -3/*%/-;#%3 +*;%"#=%/#0%3 $-2 )-"3%> 5#-"/+ )%*% 2% *-3+2!.#7" $- )*+?2-5%3
3@ABCD 'p(
PROBLEMAS DE RELACIONES CON DOS VARIABLES
$TNMJBCD(
4 horas
+EF@GBHI(
Q$9'+2$% -%'F+$6)9 D1$ &"2'+1,%$" .'9 ' 6B9 2)%&)F+$95 6$.&)"#$ $+ 19' .$ $9#%)#$C&)9 -)%) +) )-+&,),&7" $" 9),&'"$9 ),).H6&,)9<
.IDIJBKB@DGIA L3ME@NO
Establecer relaciones: • • •
PMEBQBRMR@A LAME@N SMJ@NO %JGBGTR@A LAME@N A@NO
Numéricas Lógicas Entre conceptos
Construcción de tablas numéricas y lógicas
Aplica los procesos en soluciones prácticas y cotidianas
125
#DGNIRTJJBCD En esta unidad de análisis se plantearán problemas con relaciones simultáneas entre variables para obte ! ner soluciones a través de la construcción de tablas. En este tipo de problemas existe una variable sobre la cual se centra el mismo. Es siempre una variable cuantitativa que sirve para plantear las relaciones de orden que vinculan dos personas, objetos o situaciones incluidas en el problema
'U -8)-*#-".#%( -F@NJBJBI( Indagación en Contextos de Aplicación (ICA) Piensa en la siguiente situación, tu familia decide migrar a otro país, dentro de este cambio, que de por si consiste en un problema, ¿Cuántos aspectos se deberán enfrentar? Enuméralos: 1.- La familia se va a encontrar separada. 2.- No habrá el control sobre quien se queda solo. 3.- En momentos importante no habra la atencion suficiente. 4.- Habrán complicaciones en cuanto la manutención de la persona que se queda.
4U *-V2-8#7" Agrupa los aspectos enumerados en variables.
126
Realiza un comentario reexivo acerca de, la cantidad de variables que intervienen en los problemas de la vida cotidiana. Es muy dificil analisar todos los problemas que se generan dia a dia, ya que para salir precisamente de esos problemas se debe poner mucha atención para tomar las mejores decisiones.
9U .+".-)/!%2#=%.#7" )*+?2-5%3 $- /%?2%3 "!5`*#.%3 La estrategia de solución a través de tablas, consiste en formular una matriz de valores numéricos, lógicos o conceptuales conforme se va procesando la información del problema
2%3 /%?2%3 "!5`*#.%3 Las tablas numéricas son representaciones grácas que nos permiten visualizar una variable cuantitativa que depende de dos variables cualitativas. Una consecuencia de que la representación sea de una variable cuantitativa es que se pueden hacer suma ! torias de columnas y las. Esta facilidad enriquece considerablemente el problema porque abre la posibilidad de generar, adicional ! mente, representaciones de una dimensión entre cualquiera de las dos variables cualitativas y la variable cuantitativa. Además se pueden deducir valores faltantes usando operaciones aritméticas. De las tres variables que se dan dos son cualitativas y permiten construir la tabla y la tercera puede ser cuantitativa o lógica, según el tipo de respuesta que se pide encontrar y los dato dados en el problema. Esta tercera variable siempre está incluida en la pregunta del problema y se usa para llenar las celdas de las tablas. Vamos a estudiar tres tipos de problemas: • • •
En el primer caso trabajaremos en la construcción de tablas numéricas El segundo se apoya en la construcción de tablas lógicas El tercer tipo se reere a la construcción de tablas semánticas o conceptuales.
-F@NJBJBI( Estudio de Caso (EC) )NIEQ@KM N@AT@QGI( En una fábrica laboran 150 personas entre obreros y empleados. Las mujeres constituyen los 2/3 del total de los varones. Los 3/5 del total del personal no son obreros varones. Además, el número de obreros es al número de obreras como 4 es a 3. ¿Cuántas mujeres y varones trabajan como empleados? 127
-5)2-%$+3 P+5?*-3 5!d-*-3 /+/%2
%#
15 45
+?*-*+3 60 45 105
/+/%2 90 60 150
Los 3/5 del total: (3/5 de 150) = 90 no son obreros varones. Por lo tanto la diferencia del total (150 ) -90; debería ser el número exacto de obreros varones. 150-90 = 60 obreros varones.
+GNM gINKM R@ JMQJTQMNQI( 3/5 del total no son obreros varones, por lo tanto los 2/5 restantes deberían ser obreros varones: 2/5 de 150 = 60 obreros varones.
-5)2-%$+3 P+5?*-3 5!d-*-3 /+/%2
+?*-*+3 60
/+/%2
150
Ahora la relación del número de obreros es al número de obreras como 4 es a 3, si tenemos 60 obreros la proporción será: 60 es a 4 como Mujeres Obreras (MO) es a 3 15 como MO es a 3 Por lo tanto el número de Mujeres Obreras es 45 Y por lo tanto el número total de Obreros y Obreras es de: 60 + 45 = 105
-5)2-%$+3 P+5?*-3 5!d-*-3 /+/%2
+?*-*+3 60 45 105
/+/%2
150
Si el total de obreros es 105, ahora es fácil calcular el número Total de empleados: 150-105 = 45
-5)2-%$+3 P+5?*-3 5!d-*-3 /+/%2
45
+?*-*+3 60 45 105
/+/%2
150
Ahora, consideremos los que las mujeres son 2/3 del grupo de hombres (2/3 H):
128
Por lo tanto 2/3 H + H debe sumar 150
-5)2-%$+3 P+5?*-3 5!d-*-3 /+/%2
45
+?*-*+3 60 45 105
/+/%2
+?*-*+3 60 45 105
/+/%2 90 2/3 H 150
&
2/3 H 150
O lo que es lo mismo: 2/3 H+3/3H = 150 5/3 H = 150 El número de hombres debe ser sólo 90.
-5)2-%$+3 P+5?*-3 5!d-*-3 /+/%2
45
Por lo que restando 90 del total, nos quedan 60 mujeres
-5)2-%$+3 P+5?*-3 5!d-*-3 /+/%2
45
+?*-*+3 60 45 105
/+/%2 90 60 150
Ahora sólo nos resta colocar los valores en las casillas de empleados y empleadas para que nos sumen sus respectivos totales: Empleados Hombres = 90 – 60 = 30 Empleadas Mujeres = 60 – 45 = 15 Lo que resulta en:
-5)2-%$+3 P+5?*-3 5!d-*-3 /+/%2
%#
15 45
+?*-*+3 60 45 105
/+/%2 90 60 150
129
2%3 /%?2%3 "!5`*#.%3 .+" .-*+ En ciertos problemas la ausencia de elementos de ciertas categorías debe expresarse con ceros para reali ! zar la suma respectiva entre las o columnas, o a su vez el valor total de determinada categoría determi ! nará la ausencia de elementos en uno de sus componentes. Ejercicio: Resolución de Problemas (RP) Esteban, Jorge y Israel tienen una colección de monedas y medallas entre los tres son 40 objetos, 25 son monedas y 15 son medallas. Esteban tiene 12 medallas y Jorge tiene el mismo número en monedas. Jorge tiene un total de seis objetos más que Esteban. ¿Cuántas medallas tiene Jorge y cuántas monedas tiene Israel si Esteban tiene 11 objetos más que Israel?
"+5?*-3 5-$%22%3 5+"-$%3 /+/%2
-3/-?%" 12 %
15
d+*;9 12 21
#3*%-2 4 #
4
/+/%2 25 15 40
Respuesta: Jorge tiene 12 medallas e Israel no tiene monedas.
-F@NJBJBI( Resolución de Problemas (RP) Rocky, Rambo y Rusell comieron pasteles desde el lunes hasta el jueves. El lunes Rocky comió tres pas ! teles y el martes dos, el miércoles y el jueves, como le quedaba poco dinero, no comió tanto. En total, du ! rante los cuatro días comió seis pasteles de las 24 que se comieron entre los tres. Rambo, el más comelón, comió ocho pasteles el martes, por lo que el miércoles se sintió mal del estómago y no comió. A pesar de esto, el jueves comió la cuarta parte del número de pasteles que había comido el martes para completar un total de 12 pasteles en los cuatro días. Rusell comió tantos pasteles el martes como Rocky en los cuatro días, pero en los otros tres días no le fue mejor que a Rambo el miércoles. Entre los tres amigos el jueves comieron tres pasteles. ¿Cuántos pasteles comieron el lunes entre todos?
_$@ ^TZ GNMGM @Q fNIEQ@KMb De la cantidad de pasteles comidos del lunes al jueves.
_.TlQ @A QM fN@]TDGMb ¿Cuantos pasteles comieron el lunes entre todos?
_.TlQ @A QM HMNBMEQ@ R@f@DRB@DG@b El número de pasteles
_.TlQ@A AID QMA HMNBMEQ@A BDR@f@DRB@DG@Ab Los nombres y los días
130
*@fN@A@DGMJBCD( 2TD@A
5MNG@A
5BZNJIQ@A
%
"
#
dT@H@A 1
"
$
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"
#
6 16
#
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#
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*IJmc *MKEI *TA@QQ /IGMQ
5
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*@AfT@AGM( El lunes comieron 5 pasteles entre todos
-F@NJBJBI( Resolución de Problemas (RP) Los zoológicos de Baños, Guayllabamba, Loja, Guano y Tena tienen en total 85 reptiles, entre los que se encuentran boas, lagartos, tortugas , iguanas y camaleones. Se sabe que el zoológico de Baños tiene tres camaleones y el doble de boas, pero, en cambio, no tiene lagartos; en total tiene 14 reptiles. El zoológico de Guayllabamba no tiene boas, pero tiene siete tortugas y dos iguanas más que el de Tena; en total tiene 18 reptiles. El número de tortugas en los cinco zoológicos es de 20 y el de lagartos es de 17, de los cuales el zoológico de Guano tiene ocho. El zoológico de Tena tiene cuatro tortugas, tres boas y tres veces más iguanas que boas. De los 20 reptiles que hay en el zoológico de Loja nueve son lagartos y una es boa. Ademas, este zoológico tiene diez de los 17 camaleones que hay en total. El zoológico de Guano no tiene iguanas, al igual que el de Baños, y no tiene camaleones. Determine; ¿Cuantos y que tipo de animales hay en cada zoológico?
_$@ ^TZ GNMGM @Q fNIEQ@KMb Del número de reptiles que existen en cada zoológico _.TlQ @A QM fN@]TDGMb ¿Cuántos y que tipo de animales hay en cada zoológico? _.TlQ @A QM HMNBMEQ@ R@f@DRB@DG@b El número de animales _.TlQ@A AID QMA HMNBMEQ@A BDR@f@DRB@DG@Ab Los tipos de animales y los zoológicos *@fN@A@DGMJBCD(
?IMA 2M]MNGIA /INGT]MA #]TMDMA .MKMQ@ID@A /IGMQ
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*@AfT@AGM( En Baños hay 14 animales: 6 boas, 5 tortugas y 3 camaleones En Guayllabamba hay 18 animales: 7 tortugas y 11 iguanas En Loja hay 20 animales: 1 boa, 9 lagartos y 10 camaleones En Guano hay 13 animales: 1 boa, 8 lagartos y 4 tortugas En Tena hay 20 animales: 3 boas, 4 tortugas , 9 iguanas y 4 camaleones )*+?2-5%3 $- /%?2%3 27;#.%3 Con esta técnica se resuelven problema con dos variables cualitativas para denir una variable lógica en base a la veracidad o falsedad de la relaciones entre la variables, la solución se consigue construyendo una matriz llamada “tabla lógica”.
-F@NJBJBI( Resolución de Problemas (RP) Janeth, Mirella, Evelyn y Rusella tienen distintos muñecos de peluche: un oso, un conejo, un pez y un pulpo, no precisamente en ese orden. El peluche de Janeth no tiene orejas, el peluche de Evelyn tiene las orejas más largas que el de Rusella pero tiene menos patas que el de Mirella. ¿Qué peluche tiene cada una?
_$- 6!` /*%/% -2 )*+?2-5%b Sobre muñecos de peluche _.!12 -3 2% )*-;!"/%b ¿Qué peluche tiene cada una? _.!12-3 3+" 2%3 0%*#%?2-3 #"$-)-"$#-"/-3b Los nombres y los peluches _.!12 -3 2% *-2%.#7" 27;#.% )%*% .+"3/*!#* !"% /%?2%b La pertenencia de los peluches *-)*-3-"/%.#7"( dMD@GS 5BN@QQM -H@QcD *TA@QQM
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*@AfT@AGM( Janeth tiene un pez, Mirella un pulpo, Evelyn un conejo y Rusella un oso. 132
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-F@NJBJBI( Resolución de Problemas (RP) Rusell, Carlos, Marcelo y Byron salen a la piscina en días distintos de lunes a jueves. Carlos va al día siguiente que Rusell, Marcelo va el último día, a diferencia de Byron que va el día lunes. ¿Qué día va cada uno a la piscina?
_$- 6!` /*%/% -2 )*+?2-5%b Sobre salidas a la piscina
_.!12 -3 2% )*-;!"/%b ¿Qué día va cada uno a la piscina?
_.!12-3 3+" 2%3 0%*#%?2-3 #"$-)-"$#-"/-3b Los nombres y los días
_.!12 -3 2% *-2%.#7" 27;#.% )%*% .+"3/*!#* !"% /%?2%b El orden de salida a la piscina:
*-)*-3-"/%.#7" 2TD@A 5MNG@A 5BZNJIQ@A dT@H@A
*TA@QQ F V F F
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5MNJ@QI F F F V
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*@AfT@AGM( Rusell va el día martes, Carlos el día miércoles, Marcelo el jueves y Byron el domingo. /%?2%3 .+".-)/!%2-3( Esta estrategia se aplica para resolver problemas con tres variables cualitativas, dos de las cuales pueden tomarse como independientes y una dependiente, la solución se consigue construyendo una matriz del tipo “tabla conceptual”
-F@NJBJBI( Resolución de Problemas (RP) -F@NJBJBI N@AT@QGI : Leo, Alexy Nico compraron camisetas de diferentes marcas cada una (Adidas, Reebok y Umbro). A Nico y Alex les gusta las camisetas azul en la marca Reebok, a Leo no le gusta el color blanco en la marca Umbro pero si en la marca Adidas. Nico tiene el mismo gusto que Leo reriéndose al color de camisetas en la marca Umbro que es el verde, el mismo que Alex elige en la marca Adidas. A Leo no le gusta repetir el color en sus camisetas, al igual que a Nico. ¿Qué color eligen en cada marca de camisetas? 133
_$- 6!` /*%/% -2 )*+?2-5%b Sobre elección de colores en distintas marcas de camisetas
_.!12 -3 2% )*-;!"/%b ¿Qué color eligen en cada marca de camiseta?
_.!1"/%3 , .!12-3 0%*#%?2-3 /-"-5+3 -" -2 )*+?2-5%b Tres. Nombres, marcas, colores.
_.!12 -3 2% 0%*#%?2- $-)-"$#-"/-b _)+* 6!`b El color porque depende de la persona y del tipo de camiseta de la que estemos hablando
*-)*-3-"/%.#7"
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2@I Blanco Azul Verde
Alex
Verde Azul Blanco
"BJI Blanco Azul Verde
*-)*-3-"/%.#7" 3fBR@NKMD /BGMDBJ PTQm
0BAGMHBABCD 8:00 AM 9:00 PM 3:00 PM
"W/0 9:00 PM 3:00 PM 8:00 AM
;+2$ 3:00 PM 8:00 AM 9:00 PM
:U %)2#.%.#7" -F@NJBJBI( Seminario (S) (LOS EJERCICIOS ESTÁN RESUELTOS EN DOCUMENTOS ADJUNTOS.) En grupos de trabajo resuelve los siguientes problemas y compartan con la clase su estrategia de solución.
'U En la ciudad de Tena, 3 amigas, Mabel, Rosaura y Ximena tienen un hijo cada una. Sus hijos se lla ! man: Pedro, Tito y Raúl. Tito no va al colegio todavía; Ximena le tiene que comprar útiles escolares a su hijo, y Mabel es la mamá de Raúl. ¿Quién es la mamá de Pedro? 4U Abel, Bernardo y Ciro, tienen una mascota cada uno: Gato, Perro y Gallo. Bernardo le dice al que tiene el gato, que el otro tiene un perro, y Ciro le dice al que tiene un perro, que en el distrito me ! tropolitano de Quito hay una campaña antirrábica. Entonces, es cierto que : MO Ciro tiene un gallo EO Abel tiene un gato JO Ciro tiene un gato RO Bernardo tiene un perro @O Ciro tiene un pato 9U En la ciudad de Cuenca vive un ingeniero de minas, un ingeniero civil y un ingeniero mecánico. Los tres tienen diferentes temperamentos: uno es alegre, el otro es irascible, y el otro es serio. Se sabe que: I) Al ingeniero civil rara vez se le ve reír, II) el ingeniero mecánico se enfada por todo. Entonces es cierto que: MO El ingeniero de minas es irascible EO El ingeniero civil es de temperamento serio JO El ingeniero mecánico es alegre RO El ingeniero de minas es serio @O El ingeniero de minas es alegre. -F@NJBJBI( Visualización (V) Descarga el siguiente artículo, y resuelve los dos últimos ejercicios, si te resulta muy complicado, com ! para con el método de solución que el mismo propone https://www.google.com.ec/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=11&ved=0CEgQF jAKahUKEwjDjuyZ-sfHAhWMkh4KHfRhBrc&url=http%3A%2F%2Fwww.sinewton.org%2Fnumeros%2Fnumeros%2F48%2FArticulo05.pdf&ei=0VLeVYPiNYylevTDmbgL&usg=AFQjCNG4VSt_dRp2HNXeIwGe7nwCxrsRfQ 135
