Fungsi Transenden 1.
Fungsi Logaritma asli
2.
Fungsi - fungsi balikan dan turunan
3.
Fungsi - fungsi eksponen asli
4.
Fungsi eksponen dan logaritma umum
5.
Pertumbuhan dan peluruhan eksponen
6. Persamaan diferensial linear orde satu 7.
Fungsi - fungsi balikan trigonometri dan turunanya
8.
Fungsi – fungsi hiperbola dan balikannya
1.
Fungsi Logaritma asli
Logaritma asli adalah logaritma yang berbasis e , dimana e adalah 2.718281828459... (dan seterusnya). Logaritma natural terdefinisikan untuk semua bilangan real positif x dan dapat juga didefinisikan untuk bilangan kompleks yang bukan 0. Aturan pangkat, tidak dapat memberikan fungsi yang antiturunannya ada lah 1/x. Tetapi, dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus kita dapat mendefinisikan
fungsi melalui
integral yang
turunannya adalah 1/x .Fungsi ini kita sebut logaritma natural dari x , ditulis ln x . Dapat dibuktikan, tapi tidak diberikan pada kuliah ini, bahwa fungsi ini sama dengan fungsi logaritma berbasis e yang telah kita kenal di SMA. Fungsi logaritma natural didefinisikan sebagai : x
ln x
1
t dt , x 0 1
ln x e log x
Notasi
Ahli matematika biasanya menggunakan "ln(x )" atau "log(x )" untuk menotasikan loge(x ), atau logaritma natural dari x , dan menggunakan "log10(x )" untuk menotasikan logaritma berbasis 10 dari x .
Insinyur, ahli biologi, dan orang dalam bidang-bidang lain, hanya menggunakan "ln( x )" atau kadang-kadang (untuk supaya lebih jelas) "loge(x )" untuk menotasikan logaritma natural dari x , dan "log(x )" digunakan untuk logaritma berbasis 10, log10(x ) atau, dalam konteks teknik komputer, log2(x ).
Kebanyakan bahasa komputer, termasuk C, C++, Fortran, dan BASIC, "log" atau "LOG" berarti logaritma natural.
Pada kalkulator, tombol
berarti logaritma natural, sedangkan tombol
adalah untuk logaritma berbasis
10.
Pada contoh sebelumnya telah kita lihat bahwa turunan dari ln5x sama dengan turunan dari lnx yaitu 1/x . Fakta ini berguna untuk membuktikan teorema berikut. Sifat-sifat logaritma natural :
1. b log 1 0 2. b log b 1 b b b 3. log ac log a log c
b
4. log
a c
b log a b log c
b r b 5. log a r log a
b
6. log a
c
log a
c
log b
Jika a dan b 0 dan r bilangan rasional, maka
ln 1 0
ln ab ln a ln b
ln
ln a r r ln a
a b
ln a ln b
Contoh soal ( hal. 328) 1.
Carilah
5
2 x 7dx
Penyelesain: missal u= 2x + 7 , du= 2 dx
5
2 x 7
dx
2 x 5 1 2 dx du 2 2 x 7 2 u 5
=
3
2.
2
ln | u | c
x
Hitunglah
5
10 x
1
2
5 2
ln | 2 x 7 c
dx
Penyelesain : missal u=10 x
x
10 x
2
2
dx
du =-2x dx
5 2
=
2.
Fungsi fungsi
–
–
5 2 x dx 2 2 10 x
1 2
ln | u | c
1 2
1
du
u
ln | 10 x 2 |+ c
fungsi Balikan dan Turunannya
fungsi f mengambil suatu nilai x dari derah asalnya D dan memadankanya dengan nilai tunggal
y dari daerah hasilnya R. untuk memutuskan apakah suatu fungsi f memiliki balikan
yakni dengan x1 ≠x2
mengakibatkan f(x 1 ) ≠(x 2 ). Ini sesuai dengan persyaratan geometri bahwa setiap garis memotong grafik y=f(x) paling banyak satu titik.akan tetapi pada suatu keadaan tertentu , criteria ini mungkin agak sulit diterapkan ,sebab kita harus mengetahui pengetahuan lengkap tentang grafikkriteria ini yang lebih praktis yang mencangkup beberapa contoh yang banyak digunaka bahwa fungsi tersebut harus monoton murni .dengan istilah fungsi tersebut pada daerah asalnya berupa fungsi naik dan fungsi turun .
Jika f monoton murni pada daerah asalnya maka f memilki balikan Contoh sola ( hal 333 & 334) 3.
4.
Perhatikan bahwa f(x)=x5 +2x+ 1 memiliki balikan Penyelesain : f ’( x)= 5x4+ 2>0 untuk semua x . jadi f naik pada seluruh garis real sehingga f memilki balikan. f -1(f(x))=x dan f(f -1(y))=y Perhatikan bahwa f(x )= 2x + 6 memilki balikan .untuk mencari f -1 (y), kita selesaikan y=2x+6 untuk x, yang memberiakan x=(y-6)/2= f -1(y).maka f -1 (f (x))=f -1(2x+6)=
2 x 6 2
x dan f (f -1(y))=
y 6
2
2
y 6
2
6 y
Teorema fungsi balikan , andaikan f diferensiasikan dan monoton murni pada selang I ,jika f ’(X)≠ 0 disuatu x tertentu dalam I, maka f -1 terdiferensiasikan dititk yang berpadanan y=f(X)dalam daerah hasil f dan (f -1)’(y)=
1 f ' ( x)
3. Fungsi eksponen asli Fungsi eksponensial natural, y =exp(x ), adalah inverse dari logaritma natural.x =exp( y )
y= ln x. Bilangan
basis fungsi ini, ditulis e= exp(1) sehingga ln e =1. Ekspansi desimal bilangan iniadalah e ≈2,71828182845…
e
Dengan demikian,
1 dt 1 t 1
Dari definisi langsung diperoleh bahwa 1. exp(ln x )=x , bila x >0. 2. ln(exp(x )) =x . Perlu dicatat, bahwa e adalah bilangan transenden (dibuktikan oleh Euler), yaitu tidak ada polinom p (x ) sehingga p (e )=0. Kita dapat mengkonfirmasikan (saat ini untuk bilangan rasional r ), bahwa y =exp(x ) adalah sebuah fungsi eksponesial. e r =exp(ln e r) = exp(r ln e )= exp(r ) Sejauh ini kita telah mendefinisikan bilangan pangkat dengan pangkat rasional. Untuk x irrasional, kita kembali pada definisi fungsi eksponesial, yaitu e exp x x
Jadi, untuk selanjutnya. 1. e
ln x
x , untuk x >0.
2. ln e x x , untuk tiap x .
Andaikan
a
dan
b
sebuah
bilangan
real,
maka
eaeb=ea+b
dan
ea/eb=
ea-b.
Turunan dari exp(x) ,Misalkan y =ex . Karena ln x dan exp(x) saling inverse, maka x = ln y . Apabila kedua sisi didiferensialkan, dengan menggunakan Aturan Rantai, diperoleh bahwa 1=(1/ y )Dxy atau Dxy = y . rumus turunan
∫ dx= e + c atau ∫ du= e +c
Dx ex= ex maka akan menghasilkan intergral
x
u
Contoh Soal (hal 340 & 341 ) 5.
tentukan Dxex2 ln x Penyelesain:
√ maka diperoleh D √ = √ D √ = √ 12 x Misal u= x
x
√ = √
-1/2
6. tentukanlah
∫ dx
penyelesain
:
missal u= -4x ,dengan du= -4 dx
∫ dx = - 14 ∫ (- 4 dx)= 14 e + c u
=-
1
+ c 4
4. Fungsi – fungsi eksponen dan logarima umum Kita telah berhasil mendefinisikan e dengan
Jika a
e
x
untuk tiap bilangan real x, termasuk e . Namun bagaimana
? Kita akan memanfaatkan hubungan x =exp(ln x ).
0 dan adalah sebarang bilangan real, maka
a x e x ln a demikian, kita peroleh bahwa ln a x ln e x ln a x ln a r r ln a r ln a yang sebelumnya catatan: definisi di atas memungkin kita untuk memperluas aturan ln a ln e
hanya berlakuuntuk r rasional.
a x Teorema A meringkaskan sifat –sifat eksponen yang lazim ,yang semuanya dapat dibuktikan dengan cermat dan lengkap , teorema B menunjukan bagaimana kita mendefiniskan dan menginteegrasikan
ax
.
Sifat-sifat Fungsi Eksponen Diberikan a 0, b 0, dan x, y sebarang bilangan real. 1. a x a y a x y
2. a x
y
a xy
x
a x a 3. x b b
4.
a
x
a
y
a x y
x x 5. ab a b x
Teorema B
D x a x a x ln a
a x dx
1 ln a x
C , a 1
log a x Pada bagian ini kita akan membangun fungsi logaritma berbasis bilangan positif a ≠1, loga x. Fungsi ini x
didefinisikan sebagai inverse dari fungsi eksponensial a .
Misalkan a
0, a 1 maka y log a x x a y
Catatan: ln log a x Hubungannya dengan logaritma biasa dapat diperoleh secara berikut. Misalkan y log a x sehingga x a y
ln x ln a y y ln a sehingga log a x
ln a ln x
Contoh soal (hal 346) 7. Jika ( y= x2+ 1 )sin x carilah Penyelesain :
= +1)
π-1
.
ln . Coz x sin x
(2x)+
5. Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen Pertambahan populasi
yaitu kelahiran dikurangi kematian dalam jangka waktu yang pendek
sebanding dengan banyaknya penduduk pada awal jangka waktu itu dan sebanding dengan panjangnya jangka waktu itu sendiri. Jadi ∆ y = ky
∆t
atau
=ky
Dalam bentuk limit, ini memberikan persamaan diferensial
= ky
, k > 0 populasi bertambah . k<0 populasi
berkurang Untuk populasi dunia, sejarah menunjukkan bahwa k sekitar 0,0132.
= ky dengan syarat awal y=y apabila t=0 . dengan memisahkan dan mengintegrasikan maka diperoleh , = k dt 0
dy
y kdt
Syarat y=y pada saat t=0 akan menghasilkan c =ln y sehingga 0
0
Ln
= kt
=e
kt
y=y e
kt
0
Tentunya tidak semuanya tumbuh. Beberapa ada yang mengalami penurunan. Khususnya, zat-zat radioaktif mengalami peluruhan. Persamaan diferensialnya tetap. Hanya saja sekarang untuk k<0,
= ky
e Contoh soal (hal 350) 8.
Banyaknya bakteri yang tumbuh dalam suatu kultur dengan cepat ditafsirkan sebesar 10.000 pada tengah hari dan sebesar 40.000 padasetelah dua jam . berapakah banyak b akteri pada pukul 17.00? Penyelesain: Dianggap sebagai persamaan diferensial dy dt = ky dapat diterapkan sehinggga y= y e dengan y = kt .
0
10.000 dan y 40.000 pada saat t=2,sehingga =
40.000=10.000 e / 4 =e ,dengan mengambil logaritma menghasilkan k(2)
2k
√ = ln 2
Ln 4= 2k, atau k = ln 4=ln Jd y = 10.000e
(ln 2)t
= 10.000e
≈320.000
0.693(5)
6. Persamaan diferensial orde satu Untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde satu , pertama kita dikalikan kedua sisi dengan
factor integral . e p ( x )dx didapatkan e p ( x ) dx
+ ∫ p(x)
0
∫ Q(x) sisi kiri adalah turunan hasil kali y. ∫, maka persamaanya menjadi ∫= ∫
y=
y.
Q (x) integrasi kedua sisi menghasilkan
y.
∫= ( ( ) ∫) dx Q x
y= e-
∫ ( ( ) ∫) dx Q x
contoh soal 9.
Carilah penyelesain umum dari Penyelesain :
-= (xe
-3y = xe
3x
3x
)= x
Jadi penyelesain umum dari adalah :
=
2 3x 3x xdx x e + c e
7. Fungsi - fungsi balikan trigonometri dan turunanya Fungsi balikan sinus dan kosinus Untuk memperoleh balikan dari sinus dan kosinus, kita membatasi daerah asal mereka masing -masing pada selang [] dan [ - 0 sehingga
X = tan-1 y X= sec -1 y
y= sec x dan 0≤ x≤≠
y = tan x dan
√ 2. cos(sin x)= √ 3.sec (tan x )= √ 4.tan (sec x )= √ {√ 1.sin (cos-1 x) = -1
-1
-1
1. 2. 3.
Dx sin x = cos x Dx cos x=- sin x Dx tan x = sec2x
4. Dx cot x= - sec2 x 5. Dx sec x = sec x tan x 6. Dx csc x= – csc x cot x
-1
-1 1
1.
dx sin
2.
dx cos-1
3.
dx tan
-1
4.
dx sec
-1
x=
contoh soal ( hal 364)
10. hitunglah
∫ √
dx=
penyelesain :
∫ √
dx=[ sin-1 x]01/2 = sin
-1
- sin
-1
0
-0= Fungsi sinushiperbola , fungsi cosines hiperbola , dan empat fungsi terkait lainya
Tanh x= Sech x= Sin h x=
coth x= csch x =
Cosh x=
Soal dan Penyelesaian Fungsi Transenden 1.
Fungsi Logaritma asli ( soal hal. 378 no. 17) Soal :
∫
Jawab : misal u =
du = 2x + 1 dx
∫ ∫ ∫ ∫ =
=
=2
= 2 ln (u) + c
2.
Fungsi - fungsi balikan dan turunan (soal hal.385 no. 17) Soal : rumuskanlah
kemudian cocokkanlah bahwa dan bahwa
√ Jawab :
√ y = √ = 2x + 5 = x =
( ) = (√ )
( ) =
=
= =
=y 3.
Fungsi - fungsi eksponen asli (soal hal.392 no. 36)
√ = = = =x
Soal :
Jawab : Misal : u = 3/x du =- 3/x2 dx -1/3 du = 1/ x2 dx
∫ = -1/3 ∫ = -(1/3 e3/2)
–
(-1/3 e3/1)
= 1/3 (e3 - e3/2 )
4.
Fungsi eksponen dan logaritma umum (soal hal. 398 no. 24) Soal :
Jawab : Misal : u = 5x-1 du = 5 dx
∫ = ∫ = 1/5 ∫ + c = =
5.
Pertumbuhan dan peluruhan eksponen (soal hal. 405 no. 405) Soal : banyaknya penduduk Amerika Serikat dalam tahun 1790 adalah 4 juta dan menjadi 180 juta dalam tahun 1960. Apabila laju pertambahan penduduk di andaikan sebanding dengan banyaknya penduduk pada suatu saat, berapakah banyaknya penduduk Amerika Serikat dalam tahun 2020 ?
Jawab : Kita andaikan disini berlaku persamaan diferensial dy/dt = ky. Sehingga y = y0ekt. Ada dua persyaratan : (y0 = 4 juta dan y = 180 juta pada saat t = 170). Sehingga : 180.000.000 = 4.000.000e k(170) Atau 45 = e170k dengan mengambil logaritma akan menghasilkan ln 45 = 170k atau k=
ln 45 = ln = ln 1,022 0,02176
jadi y = 4.000.000e0,02176t dan, untuk t = 230 kita peroleh y = 4.000.000 e0,02176(230)
596.509.018,9
jadi banyaknya penduduk Amerika Serikat dalam tahun 2020 adalah sebanyak 6. Persamaan diferensial linear orde satu (soal hal. 413 no. 39) Soal :
√ Jawab :
Sec √ Cos x =
x=
Jadi,
= √ 7.
Fungsi - fungsi balikan trigonometri dan turunanya (soal hal. 419 no. 11) Soal : tentukan dy/dx pada soal :
√ Jawab : Menggunakan aturan rantai : Dx 8.
√ = √ = 7 √ = -7 √ Dx
Dx
√ √
Fungsi – fungsi hiperbola dan balikannya (soal hal. 427 no. 13) Soal : tentukan D y x :
Jawab :
(uv) = u v
u = cosh 2x
v = sinh 4x
= =
= 4 cosh 2x cosh 4x + 2 sinh 4x sinh 2x
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
= = = = = = = = = 1 = = = 0 = = = = 2lnx √ = = = = 1 √ =
9. 10. 11.
= = = = = = = = =
Fungsi Transenden
Nama : Risma Meilinda Nim
: 09081002026
FAKULTAS ILMU KOMPUTER JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS SRIWIJAYA 2012
