FUNGSI DISTRIBUSI KOMULATIF

1

BAB I PENDAHULUAN

A. Pendahul Pendahuluan uan Perlu disadari kehadiran statistika pada masa sekarang dan masa akan datang datang sudah sudah tidak tidak bisa bisa ditawar ditawar-taw -tawar ar lagi. lagi. Statist Statistika ika adalah adalah salah salah satu yang sangat penting untuk menunjang menunjang penelitian. Kualitas dan kuantitas penelitian penelitian sangat menunjang keberhasilan pembangunan pembangunan pada umumnya umumnya dan khususnya khususnya dalam mengambil kebijaksanaan atau kesimpulan-kesimpulan, disamping faktorfaktor penunjang lainnya. Sedang Sedangkan kan statist statistik ik diperg diperguna unakan kan untuk untuk menyat menyataka akan n kumpul kumpulan an data, data, bilangan maupun non-bilangan yang disusun dalam suatu sajian dat a seperti tabel, diagram, grafik dan lain-lain. Statistik yang menjelaskan sesuatu hal secara umum diberi nama statistik mengenai hal yang bersangkutan. ontoh statistik penduduk suatu kabupaten! kota pada tahun tertentu, statistik pendidikan daerah pada tahun tertentu, statistik kelulusan dan lain-lain yang disajikan dalam diagram batang, garis, tabel-tabel presentasi atau yang lain, dengan tujuan agar sajian data menarik bagi pembaca dalam melihat kumpulan data.

reated by Asmariyah Athaillah A "#1$ ! 1$#%#&%#"%

"

Statistika dalam penelitian mempunyai peranan sangat penting yaitu untuk perumusan

masalah,

menentukan

hipotesis,

menentukan

besar

sampel,

menentukan benar atau tidaknya kesimpulan hasil penelitian dan lain sebagainya berdasarkan atas kumpulan data. Penarikan kesimpulan hasil penelitian juga sangat sangat tergan tergantun tung g pada pada perhit perhitung unganan-per perhit hitung ungan an dan jenis jenis uji statisti statistika ka yang yang dipergunakan. 'ila 'ila perhit perhitung unganan-per perhit hitung ungan an tidak tidak memenu memenuhi hi persya persyarata ratan n untuk untuk uji ano( ano(a, a, maka maka akan akan lebih lebih tepat tepat dipe diperg rgun unaka akan n uji uji Krus Kruska kall )allis allis.. *emi *emiki kian an sebaliknya untuk data semikuantitatif yang mempunyai skala ordinal. Statistika Statistika lebih spesifik dipergunakan dipergunakan dalam riset penelitian penelitian yang merupakan merupakan suat suatu u

peng penget etah ahua uan n

ters tersen endi diri ri..

Stat Statis isti tika ka adal adalah ah ilmu ilmu peng penget etah ahua uan n

yang yang

berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan pengolahan atau penganalisisan data dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan analisis data yang dilakukan. *ua cara untuk mempelajari statistika yaitu pertama membahas statistika secara secara mendas mendasar ar,, mendala mendalam m dan teoriti teoritis, s, maka maka yang yang dipelaj dipelajari ari digolo digolongk ngkan an kedal kedalam am stati statisti stika ka matem matemati atiss atau atau statis statisti tika ka teor teorit itis. is. Poko Pokok k baha bahasa san n lebi lebih h menekankan pada penurunan rumus, sifat-sifat, dalil-dalil, atau teorema-teorema, menent menentuka ukan n model model secara secara matemat matematis. is. Kedua Kedua tidak tidak memper memperhat hatika ikan n dari dari mana mana rumus-rumus atau aturan-aturan dan lebih mementingkan pada bagaimana teknik atau atau meto metode de stati statisti stika ka dipe diperg rgun unak akan an,, deng dengan an kata kata lain lain lebi lebih h mene meneka kank nkan an penerapan +applicied +applicied . .


"

Statistika dalam penelitian mempunyai peranan sangat penting yaitu untuk perumusan

masalah,

menentukan

hipotesis,

menentukan

besar

sampel,

menentukan benar atau tidaknya kesimpulan hasil penelitian dan lain sebagainya berdasarkan atas kumpulan data. Penarikan kesimpulan hasil penelitian juga sangat sangat tergan tergantun tung g pada pada perhit perhitung unganan-per perhit hitung ungan an dan jenis jenis uji statisti statistika ka yang yang dipergunakan. 'ila 'ila perhit perhitung unganan-per perhit hitung ungan an tidak tidak memenu memenuhi hi persya persyarata ratan n untuk untuk uji ano( ano(a, a, maka maka akan akan lebih lebih tepat tepat dipe diperg rgun unaka akan n uji uji Krus Kruska kall )allis allis.. *emi *emiki kian an sebaliknya untuk data semikuantitatif yang mempunyai skala ordinal. Statistika Statistika lebih spesifik dipergunakan dipergunakan dalam riset penelitian penelitian yang merupakan merupakan suat suatu u

peng penget etah ahua uan n

ters tersen endi diri ri..

Stat Statis isti tika ka adal adalah ah ilmu ilmu peng penget etah ahua uan n

yang yang

berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan pengolahan atau penganalisisan data dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan analisis data yang dilakukan. *ua cara untuk mempelajari statistika yaitu pertama membahas statistika secara secara mendas mendasar ar,, mendala mendalam m dan teoriti teoritis, s, maka maka yang yang dipelaj dipelajari ari digolo digolongk ngkan an kedal kedalam am stati statisti stika ka matem matemati atiss atau atau statis statisti tika ka teor teorit itis. is. Poko Pokok k baha bahasa san n lebi lebih h menekankan pada penurunan rumus, sifat-sifat, dalil-dalil, atau teorema-teorema, menent menentuka ukan n model model secara secara matemat matematis. is. Kedua Kedua tidak tidak memper memperhat hatika ikan n dari dari mana mana rumus-rumus atau aturan-aturan dan lebih mementingkan pada bagaimana teknik atau atau meto metode de stati statisti stika ka dipe diperg rgun unak akan an,, deng dengan an kata kata lain lain lebi lebih h mene meneka kank nkan an penerapan +applicied +applicied . .




'. ujua ujuan n ujuan dari pembuatan makalah ini adalah untuk memenuhi tugas mata kuliah Statistika /atematika

. 0umusan 0umusan /asalah /asalah 1. ". . &.

Apa Apa peng pengert ertia ian n Stat Statis isti tika ka  Apa Apa saja saja kom kompo pone nen n fung fungsi si  Apa pengert pengertian ian *istri *istribus busii 2orma 2ormall  3elaskan 3elaskan entang 4rekuensi 4rekuensi Probabilitas Probabilitas Kumulatif Kumulatif 5

*. 0uang 6ingkup 6ingkup Pembahasan Pembahasan dalam makalah makalah ini penulis batasi dalam pengertian pengertian statistika statistika dan penjelasan mengenai fungsi distribusi komulatif.

'A' 77


&

7S7 A. Pengertian Statistika Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data data.. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. 7stilah 8statistika8 + bahasa bahasa 7nggris 7nggris99 statistics statistics berbeda berbeda dengan dengan 8statistik8 8statistik8 +statistic. Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. *ari kumpulan data, statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau mendeskripsikan data: ini dinamakan statistika deskriptif . Sebag ebagia ian n

besar esar kons konsep ep dasar asar stat statis isti tika ka men mengasu gasums msik ikan an teori

probabilitas.. probabilitas 'eberapa 'eberapa istilah statistika antara lain9 populasi lain9 populasi,, sampel sampel,, unit sampel, sampel, dan probabilitas dan probabilitas.. Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, ilmu, baik ilmuilm ilmu alam alam +mis +misal alny nyaa astronomi astronomi da dan biologi maupun maupun ilmu-i ilmu-ilmu lmu sosial sosial +termasuk sosiologi sosiologi dan psikologi dan psikologi, , maupun maupun di bidang bidang bisnis bisnis,, ekonomi ekonomi,, dan industri. industri . Stat Statis istik tikaa juga juga digu diguna naka kan n dala dalam m pemerintahan untuk untuk berbagai berbagai macam tujuan: sensus penduduk merupakan merupakan salah satu prosedur yang paling


%

dikenal. Aplikasi statistika lainnya yang sekarang popular adalah prosedur jajak pendapat atau polling +misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum, serta jajak cepat +perhitungan cepat hasil pemilu atau ;uick count. *i bidang komputasi, statistika dapat pula diterapkan dalam pengenalan pola maupun kecerdasan buatan. Penggunaan istilah statistika berakar dari istilah istilah dalam bahasa latin modern statisticum collegium +&? menggunakan Statistik dalam bahasa 3erman untuk pertama kalinya sebagai nama bagi kegiatan analisis data kenegaraan, dengan mengartikannya sebagai

$

1? dan awal abad ke-"# oleh 0onald 4isher +peletak dasar statistika inferensi, Karl Pearson +metode regresi linear  , dan )illiam Sealey =osset +meneliti problem sampel berukuran kecil. Penggunaan statistika pada masa sekarang dapat dikatakan telah menyentuh semua bidang ilmu pengetahuan, mulai dari astronomi hingga linguistika. 'idang-bidang ekonomi, biologi dan cabang-cabang terapannya, serta psikologi banyak dipengaruhi oleh statistika dalam metodologinya. Akibatnya lahirlah ilmu-ilmu gabungan seperti ekonometrika, biometrika +atau biostatistika, dan psikometrika. /eskipun ada kubu yang menganggap statistika sebagai cabang dari matematika, tetapi orang lebih banyak menganggap statistika sebagai bidang yang banyak terkait dengan matematika melihat dari sejarah dan aplikasinya. *i 7ndonesia, kajian statistika sebagian besar masuk dalam fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam, baik di dalam departemen tersendiri maupun tergabung dengan matematika. *alam mengaplikasikan statistika terhadap permasalahan sains, industri, atau sosial, pertama-tama dimulai dari mempelajari populasi. /akna populasi dalam statistika dapat berarti populasi benda hidup, benda mati, ataupun benda abstrak. Populasi juga dapat berupa pengukuran sebuah proses dalam waktu yang berbeda-beda, yakni dikenal dengan istilah deret waktu. /elakukan

pendataan

+pengumpulan

data

seluruh

populasi

dinamakan sensus. Sebuah sensus tentu memerlukan waktu dan biaya yang reated by Asmariyah Athaillah A "#1$ ! 1$#%#&%#"%

>

tinggi. @ntuk itu, dalam statistika seringkali dilakukan pengambilan sampel +sampling, yakni sebagian kecil dari populasi, yang dapat mewakili seluruh populasi.

Analisis

data

dari

sampel

nantinya

digunakan

untuk

menggeneralisasikan seluruh populasi. 3ika

sampel

yang

diambil

cukup

representatif,

inferensial

+pengambilan keputusan dan simpulan yang dibuat dari sampel dapat digunakan untuk menggambarkan populasi secara keseluruhan. /etode statistika tentang bagaimana cara mengambil sampel yang tepat dinamakan teknik sampling. Analisis statistik banyak menggunakan probabilitas sebagai konsep dasarnya.

Sedangkan

matematika

statistika merupakan

cabang

dari

matematika terapan yang menggunakan teori probabilitas dan analisis matematis untuk mendapatkan dasar-dasar teori statistika. Ada dua macam statistika, yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensial. Statistika deskriptif berkenaan dengan deskripsi data, misalnya dari menghitung rata-rata dan (arians dari data mentah: mendeksripsikan menggunakan tabel-tabel atau grafik sehingga data mentah lebih mudah dibacaB dan lebih bermakna. Sedangkan statistika inferensial lebih dari itu, misalnya melakukan pengujian hipotesis, melakukan prediksi obser(asi masa depan, atau membuat model regresi. Statistika deskriptif berkenaan

dengan bagaimana

data dapat

digambarkan dideskripsikan atau disimpulkan, baik secara


numerik

C

+misalnya menghitung rata-rata dan de(iasi standar atau secara grafis +dalam bentuk tabel atau grafik, untuk mendapatkan gambaran sekilas mengenai data tersebut, sehingga lebih mudah dibaca dan bermakna. Statist Sta tistika ika inf inferen erensial sial berk berken enaa aan n

deng dengan an perm permod odel elan an data data dan dan

melaku melakukan kan pengam pengambil bilan an keputu keputusan san berdas berdasark arkan an analisi analisiss data, data, misaln misalnya ya melakukan pengujian hipotesis hipotesis,, mela melaku kuka kan n estim estimasi asi peng pengam amat atan an masa masa mend mendata atang ng +estimasi estimasi at atau prediksi prediksi, , memb membua uatt perm permod odel elan an hubu hubung ngan an +korelasi korelasi,, regresi regresi,, A2DEA A2DEA,, deret waktu, waktu, dan sebagainya. Popu Popula lasi si meru merupa paka kan n tota totalit litas as semu semuaa nila nilaii yang yang mung mungki kin, n, hasil hasil perhitungan ataupun pengukuran, kuantitaif ataupun kualitatif menegnai karakteristik tertentu dari semua anggota kumpulan lengkap dan jelas yang dipelajari dipelajari sifat-sifatnya sifat-sifatnya.. Populasi Populasi adalah wilayah generalisasi generalisasi yang terdiri dari9 objek atau subjek yang mempunyai mempunyai kuantitas dan karakteristik karakteristik tertentu yang yang dite diterap rapka kan n oleh oleh pene peneli liti ti untu untuk k dipe dipela lajar jarii dan dan kemu kemudi dian an dita ditari rik k kesimpulannya. Satu orang dapat digunakan sebagai populasi karena satu oran orang g itu itu memp mempun unyai yai berb berbag agai ai maca macam m kara karakt kteri eristi stik, k, cont contoh ohny nyaa gaya gaya mengajar, gaya bicara, disiplin, cara menyampaikan pendapat, cara bergaul dan lain-lain. Sedangkan sebagian yang diambil dengan karakteristik yang identik dengan populasi disebut sampel. 'ila populasi besar dan peneliti tidak mungkin mempelajari semua yang ada pada populasi, karena keterbatasan dana, dana, tenaga tenaga dan waktu, waktu, maka maka penelit penelitii dapat dapat menggu menggunak nakan an sampel sampel itu, itu, kesimp kesimpula ulan n yang yang akan akan diambi diambill dari dari popula populasi si itu. itu. Sampel Sampel terambi terambill harus harus


?

representatif, dalam arti segala karakteristik populasi hendaknya dicerminkan pula dalam sampe yang terambil. Pengertian Inferensi Statistik

7nferensi Statistik Statistik F Pengambilan keputusan tentang suatu parameter berdasarkan contoh yang diambil dari populasi, yang meliputi dua hal penting yaitu pendugaan parameter dan pengujian hipotesis 1. Pendugaan Titik

a. Ketakbiasan9 'ias

F kesalahan kesalahan pada waktu melakukan melakukan penarikan penarikan sampel

atau kesalahan lain seperti manusia, cuaca, alat kaliberasi, dll

b. Gfisiensi F penduga dengan ragam yang paling paling kecil 2

^ Gfisiensi relatif θ1 terhadap

^ = θ 2

σ θ^ 2 θ^

1

σ

2

c. Penduga Penduga ak ak 'ias 6inier 6inier erbaik erbaik +best +best linear unbiased estimation, estimation, '6@G '6@G F yaitu penduga linier tak bias dengan dengan ragam terkecil.

6inier F penduga d.

Konsist Konsisten en F

θ^ merupakan fungsi linier

nilai nilai duga dugaan an sama sama deng dengan an param paramete eterr yang yang diduga diduga

dengan bertambahnya ukuran contoh sampai tak terhingga


1#

e. Pendugaan /aksimum 6ikelihood F f ( x 1 , x 2 , .. . , x n , μ ) =f ( x 1 , μ )⋅f ( x 2 , μ ) ⋯ f ( x n , μ )

2. Pend Pendug ugaa aan n Sel Selan ang g

Pendugaan titik

θ^

F dipastikan dipastikan tidak mungkin mungkin sama dengan dengan

θ Pendugaan selang

^ = 1 − α P θ^ 1 < θ < θ 2

(

)

*engan normal baku H P ( − z α / /2 < Z < z α / 2 )= 1 − α 3. Pendu Pendugaa gaan n Nilai Nilai Rata Ratara rata ta

¯ − z α / 2 X

a. 0agam populasi diketahui diketahui 9

¯ − z α / 2 X

b. 0agam populasi tidak diketahui 9

σ

√ n s

√ n

¯ + z α / 2 < μ < X

σ

√ n

¯ + z α / 2 s < μ < X

√ n

c. 0agam populasi tidak diketahui dan ukuran sampel kurang dari # 9

¯ −t α /2 X

σ

√ n

¯ + t α / 2 < μ < X

σ

√ n

!. Pendu Pendugaa gaan n Beda Beda Nilai Nilai Ratar Ratarata ata "#"ul "#"ulasi asi

a. 0agam populasi diketahui9


11

¯ 1 − X ¯ 2 ) − z α / 2 ( X

√

2

σ 1 n1

2

+

σ 2 n2

¯ 1− X ¯ 2 ) + z α / 2 < μ 1− μ 2 < ( X

√

2

σ 1 n1

2

+

σ 2 n2

b. 0agam populasi tidak diketahui 9

¯ 1 − X ¯ 2 ) −t α / 2 Sp ( X

√

Sp =

√

1

+

1

n1 n 2

¯ 1− X ¯ 2 ) + t α / 2 Sp < μ 1− μ 2 < ( X

√

1

+

n1 n2

( n1−1 ) s21+( n2−1) s22 n1+ n2 −2

$. Pend Pendug ugaa aan n Pr#" Pr#"#r #rsi si

^ − zα / 2 p

√

√

^ ( 1− p^ ) ^ ( 1− p^ ) p p < p < p^ + z α / 2 n n

%. Pend Pendug ugaa aan n Raga Raga& &

( n−1 ) s 2 χ 2α / 2

2

< σ <

( n−1 ) s 2 χ 21 −α /2

B. Pengerti Pengertian an 'ungsi 'ungsi.. 4ung 4ungsi si adala adalah h suat suatu u bent bentuk uk hubu hubung ngan an mate matemat matis is yang yang meny menyat atak akan an hubungan ketergantungan ketergantungan +fungsional antara satu unsur dengan unsur unsur lain.


1

1"

(. )#&"#nen 'ungsi. Komponen dari suatu fungsi terdiri atas (ariabel, koefisien, dan konstanta.

*aria+el.

Eariabel adalah unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan! mewakili faktor tertentu dan terdiri atas (ariabel bebas dan (ariabel tak bebas. Eariabel bebas adalah (ariabel yang nilainya tidak tergantung (ariabel lain. Sedangkan (ariabel tak bebas adalah (ariabel yang nilainya tergantung (aria bel lain.

)#efisien.

Koefisien adalah bilangan yang terletak didepan suatu (ariabel dlm sebuah fungsi.

)#nstanta.

Konstanta adalah bilangan yang membentuk sebuah fungsi tetapi tidak terkait dengan (ariabel +berdiri sendiri.


1

D. DE'INISI,PEN-ERTIAN DISTRIBUSI

*istribusi adalah suatu proses penyampaian barang atau jasa dari produsen ke konsumen dan para pemakai, sewaktu dan dimana barang atau jasa tersebut diperlukan. Proses distribusi tersebut pada dasarnya menciptakan faedah +utility waktu,

tempat,

dan

pengalihan

hak

milik.

*alam menciptakan ketiga faedah tersebut, terdapat dua aspek penting yang terlibat 1.

didalamnya,yaitu9

6embaga

yang

berfungsi

sebagai

saluran

distribusi

+hannel

of

distribution!marketingchannel. ". Akti(itas yang menyalurkan arus fisik barang +Physical distribution.

A. Saluran Distri+usi

enurut /inardi 0124 yang dimaksud dengan saluran distribusi

adalah

sebagai

berikut

9

“ Saluran distribusi merupakan suatu kelompok perantara yang berhubungan erat satu sama lain dan yang menyalurkan produk-produk kepada pembeli. “

Sedangkan

P5ili"

)#tler

0161!74

mengemukakan

bahwa

9

“ Saluran distribusi adalah serangkaian organisasi yang saling tergantung dan terlibat dalam proses untuk menjadikan suatu barang atau jasa siap untuk digunakan atau dikonsumsi “.


1&

Saluran distribusi pada dasarnya merupakan perantara yang menjembatani antara produsen dan konsumen. Perantara tersebut dapat digolongkan kedalam dua golongan, yaitu : Pedagang perantara dan Agen perantara. Perbedaannya terletak pada aspek pemilikan serta proses negoisasi dalam pemindahan produk yang disalurkan tersebut.



Pedagang Perantara Pada dasarnya, pedagang perantara +merchant middleman ini bertanggung jawab terhadap pemilikan semua barang yang dipasarkannya atau dengan kata lain pedagang mempunyai hak atas kepemilikan barang. Ada dua kelompok yang termasuk dalam pedagang perantara, yaitu : pedagang besar dan pengecer. 2amun tidak menutup kemungkinan bahwa produsen juga dapat bertindak sekaligus sebagai pedagang, karena selain membuat barang juga memperdagangkannya.



Agen Perantara Agen perantara +Agent middle man ini tidak mempunyai hak milik atas semua barang yang mereka tangani. /ereka dapat digolongkan kedalam dua golongan, yaitu 9

1. Agen Penunjang reated by Asmariyah Athaillah A "#1$ ! 1$#%#&%#"%

1%



Agen pembelian dan penjulan



Agen Pengangkutan



Agen Penyimpanan

". Agen Pelengkap



Agen yang membantu dalam bidang finansial



Agen yang membantu dalam bidang keputusan



Agen yang dapat memberikan informasi



Agen khusus

/enurut Philip Kotler +1??91>& agar suatu kegiatan penyaluran barang dapat berjalan dengan baik +efektif dan efisien maka para pemakai saluran pemasaran harus mampu melakukan sejumlah tugas penting, yaitu 9 

Penelitian , yaitu melakukan pengumpulan informasi penting untuk perencanaan



dan melancarkan pertukaran. Promosi , yaitu pengembangan dan penyebaran informasi yang persuasi(e

 

mengenai penawaran. Kontak, yaitu melakukan pencarian dan menjalin hubungan dengan pembeli. Penyelarasan, yaitu mempertemukan penawaran yang sesuai dengan permintaan pembeli termasuk kegiatan seperti pengolahan, penilaian dan pengemasan.


1$

 2egoisasi, yaitu melakukan usaha untuk mencapai persetujuan akhir mengenai

harga dan lain-lain sehubungan dengan penawaran sehingga pemindahan pemilikan atau penguasaan bisa dilaksanakan.  *istribusi fisik, yaitu penyediaan sarana transportasi dan penyimpanan barang.  Pembiayaan, yaitu penyediaan permintaan dan pembiayaan dana untuk menutup biaya dari saluran pemasaran tersebut.  Pengambilan resiko, yaitu melakukan perkiraan mengenai resiko sehubungan dengan pelaksanaan pekerjaan saluran tersebut. Kelima tugas pertama membantu pelaksanaan transaksi dan tiga yang terakhir membantu penyelesaian transaksi. Semua tugas diatas mempunyai tiga persamaan, yaitu menggunakan sumber daya yang langka, dilaksanakan dengan menggunakan keahlian

yang

khusus,

dan

bisa

dialih-alihkan

diantara

penyalur.

Apabila

perusahaan!produsen menjalankan seluruh tugas diatas, maka biaya akan membengkak dan

akibatnya

harga

akan

menjadi

lebih

tinggi.

Ada beberapa alternatif saluran +tipe saluran yang dapat dipakai. 'iasanya alternatif saluran tersebut didasarkan pada golongan barang konsumsi dan barang industri. 

'arang konsumsi adalah barang-barang yang dibeli untuk dikonsumsikan. Pembeliannya didasarkan atas kebiasaan membeli dari konsumen. 3adi, pembelinya adalah pembeli!konsumen akhir, bukan pemakai industri karena barang Ibarang tersebut tidak diproses lagi, melainkan dipakai sendiri +'asu



Swasta 1?C&9?$. 'arang industri adalah barang-barang yang dibeli untuk diproses lagi atau untuk kepentingan dalam industri. 3adi, pembeli barang industri ini adalah perusahaan, lembaga, atau organisasi, termasuk non laba +'asu Swasta, 1?C&9?>


1>

'erdasarkan pengertian diatas, maka seperti halnya pupuk itu digolongkan kedalam golongan barang industri, sebab pupuk dibeli petani bukan untuk dikonsumsi tetapi untuk digunakan dalam produksi pertaniannya. Ada beberapa faktor yang harus dipertimbangkan didalam memilih saluran distribusi, faktor tersebut antara lain 9 1. ". . &.

3enis barang yang dipasarkan Produsennya Penyalur yang bersedia ikut mengambil bagian Pasar Sasaran

B. Distri+usi 'isik *istribusi fisik merupakan aspek penting kedua dalam rangka menjadikan suatu produk tersedia bagi konsumen dalam jumlah, waktu, dan tempat yang tepat. *alam hubungan itu, *ewan /anajemen *istribusi 4isik 2asional Amerika Serikat

mendefinisikan

distribusi

fisik

sebagai

berikut

9

 Suatu rangkaian akti(itas yang luas mengenai pemindahan barang jadi secara efisien dari akhir batas produksi kepara konsumen, serta didalam beberapa hal mencakup pemindahan bahan mentah dari suatu pembekal keawal batas produksi .

/anajemen distribusi fisik hanyalah satu diantara istilah deskriptif yang digunakan untuk menggambarkan suatu pengendalian atas pemindahan barang seperti didefinisikan dimuka. Jal ini sering pula diistilahkan sebagai manajemen


1C

logistik atau logistik pemasaran. 2amun demikian, apapun istilah yang digunakan konsep

dasarnya

adalah

sama.

Secara terperinci, kegiatan yang ada dalam kegiatan distribusi fisik dapat dibagi kedalam lima macam +'asu Swasta, 1?C&9 ""#-""?, diringkas yaitu 9

1. Penentuan l#kasi "ersediaan dan siste& "en8i&"anann8a a. Penentuan lokasi penyediaannya

Kebijaksanaan terhadap lokasi persediaan didasarkan pada strategi yang diinginkan, apakah secara memusat +konsentrasi ataukah menyebar +dispersi dipasarnya. 3ika perusahaan mengkonsentrasikan persediaannya, maka akan memudahkan dalam mengadakan pengawasan. Selain itu, juga akan meningkatkan efisiensi penyimpanan dan penanganan barangnya. 2amun dari segi lain dapat terjadi bahwa beban pengangkutan akan meningkat dan pengantaran barang kebeberapa segmen pasar akan terlambat. *an jika perusahan menyebarkan persediaannya kebeberapa lokasi, maka keadaannya akan berlainan, dan merupakan kebalikan dari konsentrasi. b. Sistem penyimpanan persediaan Penyimpanan erat kaitannya dengan pergudangan, biasanya perusahaan yang tidak mempunyai fasilitas penyimpan sendiri umumnya menyewa kepada lembaga atau perusahaan lain atau disebut gudang umum. 'esarnya sewa yang harus dibayar ditentukan menurut besarnya ruangan yang digunakan. 2. Siste& "enanganan +arang


1?

Sistem penanganan barang yang dapat digunakan antara lain 9 +1 paletisasi dan +" pengemasan. 1. Paletisasi

*alam paletisasi, penanganan barang-barang baik itu berupa bahan baku maupun barang jadi dipakai suatu alat yang disebut palet. *engan alat ini barang-barang dapat dipindahkan secara cepat. Penggunaannya akan lebih ekonomis apabila material yang ditangani jumlahnya besar. 2. Pengemasan

'arang-barang yang ditangani ditempatkan dalam suatu kemasan atau peti kemas baik dari logam, kayu, ataupun bahan yang lain. 'iasanya kemasan ini dibuat dalam ukuran-ukuran tertentu sehingga sangat mudah dalam pengangkutannya. 3. Siste& "enga9asan "ersediaan

4aktor penting yang lain dalam sistem distribusi fisik adalah mengadakan pengawasan secara efektif terhadap komposisi dan besarnya persediaan. Adapun tujuan dari pengawasan

persediaan

adalah meminimumkan jumlah persediaan

yang

diperlukan, dan meminimumkan fluktuasi dalam persediaan sambil melayani pesanan dari pembeli. 'esarnya persediaan sangat ditentukan oleh keseimbangan kebutuhan pasar dengan faktor biaya. Sedangkan permintaan pasar dapat diukur dengan menggunakan analisis ramalan penjualan. !. Pr#sedur &e&"r#ses "esanan


"#

Kegiatan-kegiatan yang harus dilakukan untuk memproses pesanan antara lain 9 menyelenggarakan kegiatan kantor secara teratur, membuat barang dengan baik, serta menyampaikannya kepada pembeli. 3ika perusahaan tidak sanggup atau tidak mampu melaksanakan pesanan, maka ia harus memberitahu kepada pembeli. $. Pe&ili5an &et#de "engangkutan *alam hal ini, rute dan rit pengangkutan merupakan faktor yang penting, dan

mempunyai hubungan yang erat dengan pasar atau daerah penjualan, serta lokasi persediaannya. Selain itu fasilitas pengangkutan yang ada juga merupakan faktor penentu.

E. PEN-ERTIAN DISTRIBUSI N:RAL Salah satu distribusi frekuensi yang paling penting dalam statistika matematika adalah *istribusi 2ormal. *istribusi normal berupa kur(a berbentuk lonceng setangkup yang melebar tak berhingga pada kedua arah positif dan negatifnya. Penggunaannya sama dengan penggunaan kur(a distribusi lainnya. 4rekuensi relatif suatu (ariabel yang mengambil nilai antara dua titik pada sumbu datar. idak semua distribusi berbentuk lonceng setangkup merupakan distribusi normal. Pada tahun 1> DeMoivre menemukan persamaan matematika kur(a normal yang menjadi dasar banyak teori statistika induktif. *istribusi normal sering pula disebut Distribusi Gauss untuk menghormati =auss +1>>>-1C%%, yang juga menemukan persamaannya waktu meneliti galat dalam pengukuran yang berulang-ulang mengenai bahan yang sama. Sifat dari (ariabel kontinu berbeda dengan (ariabel diskrit. Eariabel kontinu mencakup semua bilangan, baik utuh maupun pecahan. Dleh karenanya, tidak bisa dipisahkan antara nilai satu dengan nilai yang lain. 7tulah sebabnya fungsi (ariabel


"1

random kontinu sering disebut fungsi kepadatan, karena tidak ada ruang kosong diantara dua nilai tertentu. *engan kata lain sesungguhnya keberadaan satu buah angka dalam (ariabel kontinu jika ditinjau dari seluruh nilai adalah sangat kecil, bahkan mendekati nol.

*istribusi normal, disebut pula distribusi =auss, adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. *istribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. *istribusi ini juga dijuluki kurva lonceng +bell curve karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng.

*istribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada ilmu alam maupun ilmu sosial. 'eragam skor pengujian psikologi dan fenomena fisika seperti jumlah foton dapat dihitung melalui pendekatan dengan mengikuti distribusi normal. *istribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidang statistika, misalnya distribusi sampling rata-rata akan mendekati normal, meski distribusi populasi yang diambil tidak berdistribusi normal. *istribusi normal juga banyak digunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika, dan kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data.

*istribusi normal pertama kali diperkenalkan oleh Abraham de /oi(re dalam artikelnya pada tahun 1> sebagai pendekatan distribusi binomial untuk n besar. Karya tersebut dikembangkan lebih lanjut oleh Pierre Simon de 6aplace, dan dikenal sebagai teorema /oi(re-6aplace. 6aplace menggunakan distribusi normal untuk analisis galat suatu eksperimen. /etode kuadrat terkecil


""

diperkenalkan oleh 6egendre pada tahun 1C#%. Sementara itu =auss mengklaim telah menggunakan metode tersebut sejak tahun 1>?& dengan mengasumsikan galatnya memiliki distribusi normal.

7stilah kurva lonceng diperkenalkan oleh 3ouffret pada tahun 1C>" untuk distribusi normal bi(ariat. Sementara itu istilah distribusi normal secara terpisah diperkenalkan oleh harles S. Peirce, 4rancis =alton, dan )ilhelm 6eis sekitar tahun 1C>%. erminologi ini secara tidak sengaja memiliki nama sama.

Te#re&a Dasar Peluang

Konsep dasar-dasar peluang 9 

Gksperimen



Jasil



0uang Sampel



Kejadian Gksperimen adalah proses yang menghasilkan hasil pengukuran,

perhitungan atau pengamatan. ontoh 9  /elempar sebuah mata uang satu kali.  /elempar sebuah mata uang sebanyak  /elempar sebuah dadu satu kali  /elempar sabuah dadu


n kali.

n kali

"

Jasil suatu eksperimen adalah hasil yang mungkin terjadi, jika eksperimen tersebut dilakukan. ontoh 9  3ika eksperimen adalah melempar sebuah mata uang satu kali, suatu hasil

/ + /uka, sedang hasil yang lain adalah ' +dapat belakang.  3ika eksperimen adalah melempar dadu satu kali, semua hasil yang

mungkin adalah dapat 1 atau " atau  atau & atau % atau $. 0uang sampel suatu eksperimen adalah himpunana semua hasil eksperimen tersebut. /enurut banyaknya hasil dalam ruang sampel, dibedakan menjadi dua macam, yaitu 9 ruang sampel diskrit, dan ruang sampel kontinu. 0uang sampel suatu eksperimen ditulis

S , yang banyaknya

bergantung dari hasil eksperimen. ontoh ruang sampel 9 

@ntuk eksperimen melelmpar sebuah mata uang 1 kali, 0uang Sampelnya adalah



S= M , B }

@ntuk eksperimen melempar sebuah mata uang " kali, 0uang Sampelnya adalah

S = { MB , BM , BB, MM }

ontoh ruang sampel diskrit 9  @ntuk eksperimen melempar sebuah mata uang berhenti kalau dapat

, ruang sampelnya 9

S = { M , BM , BBM , BBBM , … }


M

"&

 @ntuk eksperimen mengambil sampel random berukuran

n dari suatu

populasi, ruang sampelnya 9

x (¿ ¿ 1 , x 2 , x 3 , … , n) x i adalahanggota populasi,i =1,2,3,4, … , n

¿

S =¿ Kejadian adalah suatu himpunan hasil atau suatu himpunan bagian dari ruang sampel. 3ika hasil dari suatu eksperimen hasilnya satu, maka dinamakan eksperimen *eterministik, sedang jika tidak, maka termasuk eksperimen Probability +Stokastik. /enurut banyaknya hasil dalam suatu kejadian dapat dibedakan menjadi dua macam kejadian, yaitu 9 Kejadian sederhana jika hasilnya hanya satu, dan kejadian majemuk jika hasinlnya lebih dari satu. Suatu kejadian dikatakan terjadi jika eksperimen yang dilakukan menghasilkan hasil dalam kejadian tersebut. ontoh 9 

3ika eksperimen adalah melempar sebuah mata uang " kali dengan 9 A L Kejadian mendapat M pada pelemparan pertama B L Kejadian mendapat hasil kedua lemparan sama C L Kejadian mendapat B pada pelemparan kedua, maka A = { MB , MM } , B= { BB,MM }, dan C = { MB , BB }



3ika eksperimen adalah melempar sebuah dadu 1 kali dengan9 A L Kejadian mendapat mata genap


"%

B L Kejadian mendapat mata ganjil

C L Kejadian mendapat mata yang habis dibagi  D L Kejadian mendapat mata yang

6

/aka, A = { 2,4,6 }

B ={ 1,3,5 } C ={ 3,6 } D = {1,2,3,4,5,6 } A. a;a&a;a& Penaksiran

*alam statistika ada dua penaksiran, yaitu penaksiran titik dan penaksiran inter(al. Penaksiran titik dari sebuah parameter populasi adalah sebuah nilai yang diperoleh dari sampel dan digunakan sebagai penaksir dari parameter yang nilainya tidak diketahui. /isalkan X adalah peubah acak dengan fungsi kepadatan peluang

3ika

f ( x ) dengan parameter populasi

X 1, X 2 , … X n

statiatik

θ .

adalah sampel acak berukuran

θ^ = h ( X 1, X 2 , … X n )

penaksir +estimator dari

n dari

yang berkaitan dengan

X , maka

θ dinamakan

θ . Setelah sampel diambil, nilai-nilai yang

dihitung dari sampel tersebut digunakan sebagai taksiran titik bagi

θ .

/isalkan peubah acak X berdistribusi normal dngan rerata μ yang tak diketahui dan (ariansi

2 σ yang diketahui. 3ika kita akan menaksir rerata


"$

populasi μ , maka penaksir titik yang digunakan adalah rerata sampel

x

^ = x . Kemudian kita mengambil sampel acak dan reratanya , ditulis μ

x

dihitung. 2ilai

x ini merupakan taksiran titik bagi μ .

'erikut ini diberikan beberapa taksiran titik yang dihitung dari data sampel untuk populasi yang bersesuaian. i. 0erata populasi μ

^ = x +rerata sampel /aka taksiran titiknya adalah μ ii. Eariansi populasi

2

σ

/aka taksiran titiknya adalah iii. Simpangan baku populasi

2

2

+(ariansi sampel

σ

/aka taksiran titiknya adalah i(. Proporsi populasi

^ =s σ

σ =s +simpangan baku sampel

!

/aka taksiran titiknya adalah !^ = p +proporsi sampel *alam hal ini 9

a.

! =

X , X =¿ 'anyak unsur dalam populasi yang diperhatikan, "

" =¿ @kuran populasi.

b.

# p= , # =¿ 'anyak unsur dalam sampel yang diperhatikan " n=¿ @kuran sampel

(. Selisih dua rerata populasi μ1− μ2


">

/aka taksiran titiknya adalah

^ 2= x 1− x 2 1−¿ μ μ^ ¿

, yaitu selisih dua rerata

sampel yang dihitung dari dua sampel acak yang saling bebas. (i. Selisih dua proporsi populasi

! 1− ! 2

/aka taksiran titiknya adalah

! 1− ! 2= p1− p2 , yaitu selisih dua

proporsi sampel yang dihitung dari dua sampel acak yang saling bebas. Sebenarnya ada beberapa penaksir titik untuk sebuah parameter populasi. /isalnya, jika kita ingin menaksir rerata suatu populasi, maka penaksir titiknya bisa berupa9 rata-rata sampel, median sampel, atau mungkin rerata dari data yang terkecil atau yang terbesar. Akan tetapi dari beberapa penaksir titik itu ada satu penaksir terbaik yang digunakan sebagai penaksir sebuah parameter populasi. @ntuk menentukan penaksir titik yang terbaik, kita harus mempelajari sifat-sifat dan kriteria untuk membandingka penaksir. B. SifatSifat Penaksir

'erikut ini adalah beberapa sifat penaksir sebuah parameter populasi. 1. Tak Bias

θ^ dikatakan penaksir tak bias bagi parameter ^ ) =θ $ ( θ Sebaliknya

θ , jika9

^ dikatakan penaksir bias bagi parameter θ

$ ( θ^ ) % θ


θ , jika9

"C

Akan tetapi penaksir bias inin dapat diubah menjadi penaksir tak bias, apabila ruas kanan dikalikan atau ditambahkan dengan konstanta tertentu. ontoh9 /isalkan X adalah peubah acak dengan reratanya μ dan (ariansi 2 σ . 3ika X 1 , X 2 , … , X n merupakan sebuah sampel acak berukuran

n dari X , maka apakah rerata sampel X dan (ariansi sampel

s

2

merupakan penaksir tak bias masing-masing untuk

μ dan

2

σ

 Penyelesaian9 a. Agar

X

merupakan penaksir tak bias bagi

μ

buktikan bahwa $ ( X )= μ

$ ( X )= $

[∑ ] n

1

n

i= 1

X i

n

1

¿ $ ∑ X i n i=1 X $ (¿¿ i )

¿

1

n

∑¿

n i =1

Karena $ ( X )= μ untuk semua

1 $ ( X )= n

i=1,2, … , n : maka 9

n

μ= μ ∑ = i 1

ernyata X merupakan penaksir tak bias bagi μ .


kita harus

"?

b. Agar

s

2

merupakan penaksir tak bias bagi

2 σ , kita harus

membuktikan bahwa $ ( s 2 )= σ 2

$ ( s )= $ 2

¿ ¿

¿ ¿

[ [∑ [∑ ( [∑

n

1

∑ ( X − X ) n −1 = i 1

n

1

n− 1

$

i −1

( X i− X )2

n

1

n−1

$

]

i =1

n− 1

$

1

n− 1

[

i =1

]

X i −2 X X i + X ) 2

2

n

1

2

i

2

2

X i −n X

]

n

$ ( X )−n$ ( X ) ∑ = 2

2

i

i 1

]

]

Kita akan menentukan $ ( X 2 ) *ari a. , diperoleh $ ( X )= μ

&a' X =&a'

¿

¿

1

n

2

1

n

2

[∑ ] n

1

n i=1

X i

[∑ ] n

&a'

i= 1

X i

n

&a' ( X ) ∑ = i

i 1

Karena

&a' ( X i )= σ , untuk semua

&a' ( X )=

2

1

n

2

n

∑ = i 1

2

σ σ = n 2

3adi9 $ ( X 2 ) =&a' ( X ) + [ $ X ]


2

i=1,2, … , n : maka9

#

2

σ 2 $ ( X ) = + μ n 2

/aka9

[∑

(

n

2

( σ − μ ) −n σ + μ2 $ ( s )= n −1 i= 1 n 1

2

¿

$ ( s )= 2

ernyata

1

2

2

)]

[ n σ + n μ −σ −n μ ] n −1 1

2

2

2

2

( σ ( n −1 ) )= σ n −1 s

2

2

2

merupakan penaksiran tak bias untuk

2

σ

.

2. *ariansi ini&u&

@ntuk membahas penaksir sebuah parameter yang mempunyai (ariansi minimum, kita harus

membandingkan

dua

penaksir dalam

hal

(ariansinya. *alam hal ini, kedua penaksir tersebut semuanya harus merupakan penaksir yang tak bias. 'atas 'awah ramer-0ao /isalkan 1, ", . . . ,  n adalah sampel random dari f+:M. /isalkan pula ) L h+ 1, ", . . . ,  n suatu penaksir tak bias untuk M. 3ika f+:M memenuhi 9

∂ 2 ∫ f ( x (θ ) dx = ∫ ∂ 2 f ( x ( θ ) dx ∂ θ 2 ∂ θ 2


1

/aka

Yang dipakai sebagai batas

1

{[

∂ log f ( x (θ ) n$ ∂ θ

(ar+) N

=

]} 2

[

bawah C – R

1

∂2 log f ( x ( θ ) −n$ ∂ θ 2

]

0 Pe&+uktian 4

&a' ( ) ) =

'uktikan

1

1

n

n

⋅&a' ( X ) = 2⋅n⋅ p⋅( 1 − p ) = 2

p⋅( 1− p ) * n

Bukti  1 − x

x

f ( x ( p ) = p ⋅(1 − p )

*iketahui

f ( x ) = f ( x( p )

:

/isal 1, ",  , OO..,  n adalah sample random dari distribusi 'ernoulli tersebut di atas, di mana salah 1 penaksir tak bias untuk p adalah

x ) = n : di mana

n

x =

∑ x

+ =1

+

yaitu banyak sukses dalam sample

&a' ( ) ) = berukuran

n.

&a' ( x ) = $ ( x n

$ ( x ) =

2

3ika,

) − ( $ ( x ) )2

.

n

∑ x⋅f ( x ) = ∑ x⋅ p ⋅( 1− p ) − x

x

x


1 x

1

⋅&a' ( X )

n2

,

maka

"

n

∑ x⋅ p⋅ p − ⋅( 1− p ) − x 1

L

1 x

x

n

∑ x⋅ p −

1 x

p⋅ L

x

/isal m L n I 1 dan y L  I 1

∑ x⋅ p ⋅( 1− p )− 

$ ( x ) = p⋅



= p −1 = p

=0

&a' ( x ) = $ ( x

2

) − ( $ ( x ) )2

2

L p− p

= p ( 1 − p ) n

n

x =

Karena

∑ x

+ =1

+

&a' ( x ) = , maka

∑ &a' ( x )

+ = 1

+

*efinisi 9 /isalkan  adalah kelas semua penaksir tak bias suatu parameter tertentu. *ikatakan )Q adalah penaksir terbaik +atau mempunyai (ariansi minimum apabila )Q ¿  dan (ar+)Q R (ar+), untuk semua ) ¿ . *efinisi 9 Suatu penaksir tak bias ) L h+ 1,  ", . . . ,  n diaktakan efisien jika dan hanya jika 9




1

(ar+) L

{[

∂ log f ( x (θ ) n$ ∂ θ

]} 2

Gfisiensi suatu penaksir tak bias ) didefinisikan sebagai 9

1

{[

G f+) L

∂ log f ( x (θ ) n$ ∂ θ var ( ) )

]} 2

Contoh :

x Statistik ) L n adalah penaksir efisien untruk parameter binomial p. *emikian juga dapat ditunjukkan bahwa mean sampel adalah penaksir efisien dan terbaik untuk parameter M distribusi eksponensial. 3. )#nsisten

Penaksir ) L h+ 1, ", . . . ,  n dikatakan konsisten +untuk M apabila kon(ergen secara skotastik ke M, yakni apabila untuk semua  T # dan U T #, terdapat n+,U sedemikian hingga 9

P (| ) n−θ |< - ) > 1− . , untuk n > n ( - ,. ) .

0 Pe&+uktian4


&

1 n

'uktikan

T

) n =

*iketahui

4 - 2 . 5

x n untuk parameter 'inomial p, jika $ ( ) n ) = p

Bukti 

Pandang

) n =

penaksir

x n

untuk

parameter

'inomial p,

$ ( ) n ) = p . Suatu penaksir dikatakan konsisten + untuk kon(ergen secara stokastik ke

¿ p (|/n − θ| ∃ .

V

-

∃ .

T #

θ  apabila

T #, n+ - , . 

∀ -

. , untuk n T n+ - , . , berarti

T1-

T # berlaku

∀ -

θ ,

p |/ n− θ|

V

-

sehingga

jika

p |/ n− θ|

T#

V 1-

&a' ( /n ) -

2

Pilih . 

&a' ( / n ) =

1 4n

→

1 4 n sehingga 9

p ( 1 − p ) 1 ≤ 4 n maka p |/ n− θ | V n

p |/ n− θ |


-

dengan

1 V

-

2 T 1- 4 - . sehingga

. 

1 n

T

4 - 2 . .

%

0 Pe&+uktian 4

P [ ( 1,1,0,0 )|0 = 0,5 ] = 'uktikan

−1

() 4 2

5

Bukti 

*iketahui & 'ernoulli trials, dua sukses dan dua gagal. & 'ernoulli trials, peluang dua sukses dan dua gagal atau P [ ( 1,1,0,0 ) ] .

3ika

w L

1ana2 su2s3s 2 = = 0,5 4 n

'ila dipandang dalam distribusi bersyarat +1,1,#,# dan jika diketahui bahwa

w L #,% menurut definisi 9

P [( 1,1,0,0 )|0 = 0,5] =

[( 1,1,0,0 ) dan 0=0,5)] P ( 0= 0,5)

P ( 1,1,0,0 ) L P ( t3pat 2 su2s3s dala4 4 t'ials ) 2

2

P ⋅( 1− P ) L


()

4 2 ⋅ P ⋅( 1 − P )2 2

=

() 4 2

−1

$

Karena probabilitas-probabilitas bersyarat ini tak bergantung pada P maka probabilitas & 'ernoulli trials adalah koefisien dari fungsi 'ernoulli

dalam probabilitas bersyarat, dalam hal ini

−1

() 4 2

.

@ntuk membuktikan bahwa sebuah penkasir adalah konsisten bagi parameternya bisa menggunakan ketidaksamaan hebyshe(Ws dengan perumusan 9

P (| X − μ x|< 2σ ) 5 1−

3ika

lim n 67

1 2

2

1 2

2

= 0 , maka dikatakan penaksir adalah konsisten bagi para

meternya. !. Statistik (uku"

Statistik

X 1 , X 2 ,..., X n ¿ 8 =8 ¿

dikatakan

cukup

untuk

parameter

θ ∈⊝ , jika fungsi kepadatan peluang bersyarat9 P X 1= x 1 , X 2 = x2 , … , X n = x n|8 ( X 1 , X 2 , … , X n )=t

[

]

idak bergantung pada θ @ntuk memahami tentang statistik cukup, berikut ini diberikan contohnya9 /isalkan X 1 , X 2 , … , X n merupakan yang

saling

bebas

dengan

n buah peubah acak 'ernouli

P ( X i=1 ) = p

P ( X i =0 )=1− p , i =1,2, … , n . unjukkan bahwa


dan

>

n

8 =

X ∑ =

i

i 1

/erupakan statisti cukup untuk p . Penyelesaian9 *alam hal ini, kita harus membuktikan bahwa fungsi kepadatan peluang bersyarat9

[

n

]

X =t ∑ =

P X 1= x 1 , X 2 = x2 , … , X n = x n|

i

i 1

idak bergantung pada p /enurut definisi dari peluang bersyarat, maka9

[

n

]

X =t ∑ =

P X 1= x 1 , X 2 = x2 , … , X n = x n|

i

i 1

X n

P ¿

¿

X =t ∑ = i

i 1

¿ ¿ ¿ ¿¿

¿

P ( X 1= x 1 , X 2= x 2 , … , X n = x n )

(∑ ) n

P

i=1

X i=t

Kita akan menguraikan satu persatu i.

4ungsi kepadatan peluang dari X i adalah x i

p ( xi ) = p (1 − p )

1− x

(x i= 0,1

¿ 0 ( lainnya Karena X i , 1,2,3, … , n saling bebas, maka 9


C

X P (¿ ¿ 1= x 1 , X 2= x 2 , … , X n= x n)

¿

X

¿ P (¿ 1= x 1 ¿ )9 P ( X 2= x 2 ) 9 … 9 P ( X n = x n) ¿ ¿ P ¿ ¿ ( p x ( 1− p )1− x ) ( p x ( 1 − p )1− x ) …( p x ( 1− p )1− x ) 1

1

2

n

2

n

X n

n

X n−∑ X ∑ = x , X x , … , X x ¿ = = = 1 P (¿ (1 − p ) = 1 2 2 n n)= p i

i

i

i

1

1

¿

(∑ ) n

ii.

P

i =1

X i=t

*alam hal ini, kita harus menentukan distribusi dari n

X =t ∑ = i

i 1

4ungsi pembangkit momen dari X i adalah9 t M X (t )= (1 − p ) + p 3 i

n

4ungsi pembangkit momen dari

X ∑ −

i

i 1

M ( t )=¿ i =1 ¿ n M X ( t ) X ∑ = n

i

i

i 1

¿ ( M X ( t ))

n

i

¿ ( ( 1− p )+ p 3 t )


n

adalah9

?

ernyata bentuk di atas merupakan fungsi pembangkit momen n dan

distribusi binomial dengan parameter 3adi,

fungsi

kepadatan

dari

p .

peluang

dari

n

X =t ∑ = i

i 1

adalah9

(

)

n

P

− X = t = n p ( 1 − p ) ∑ ( t ) = i

i 1

t

n 1

n

n

X n −∑ X ∑ n = ¿ p 9 ( 1− p ) = t

()

i

i

i 1

i

1

Sehingga9

[

n

i

i 1

n

∑ X

i

p

¿

]

X =t ∑ =

P X 1= x 1 , X 2 = x2 , … , X n = x n| i =1

n

n−

( 1− p )

n

∑ X i

i =1

=

n

1

()

n − ∑ X X n n p∑ = 9 ( 1− p ) = t t Karena peluang bersyarat di atas tidak mengandung

()

i

i 1

i

i 1

bahwa

n

8 =

X ∑ =

i

i 1

/erupakan statistik cukup untuk


p .

p , maka terbukti

&#

(. Sifat Penaksir )#nsisten dan Sufisien 0Statistik (uku"4

Ada dua sifat penaksir yang lain yang juga penting, yang pertama, konsistensi yang merupakan sifat asimtotit suatu penaksir, kedua sufisensi +kecukupan, yakni sifat yang berkaitan dengan banyak informasiB yang terkandung dalam suatu penaksir tertentu. @ntuk memahaminya, pertamatama kita harus membayangkan penaksir ) sebagai ) n, yakni anggota ke n barisan tak berhingga penaksir )1, )", . . . , ) n, . . . Sifat penaksir Konsistensi 9 *efinisi 1 9 Penaksir ) L h+ 1, ", . . . ,  n dikatakan konsisten +untuk M apabila kon(ergen secara skotastik ke M, yakni apabila untuk semua  T # dan U T #, terdapat n+,U sedemikian hingga 9

P (| ) n−θ |< - ) > 1− . , untuk n > n ( - , . ) .

0 Pe&+uktian 4

1 'uktikan

*iketahui

n

T

) n =

4 - 2 . 5

x n untuk parameter 'inomial p, jika $ ( ) n ) = p

Bukti 


&1

) n =

Pandang penaksir

x n

untuk parameter 'inomial p, jika

$ ( ) n ) = p . Suatu penaksir dikatakan konsisten + untuk kon(ergen secara stokastik ke

¿ p (|/n − θ|

∃ .

-

V

p |/ n− θ |

Pilih . 

1 4 n sehingga 9

→

∀ -

T #

. , untuk n T n+

T # berlaku

&a' ( / n ) =

1 4n

 T 1 -

θ ,

V

-

sehingga

- ,.

∃ .

-

p |/ n− θ |

-

n

'uktikan

T

−1

()

5

Bukti 

*iketahui & 'ernoulli trials, dua sukses dan dua gagal.


T #

2

dengan

0 Pe&+uktian 4

P [ ( 1,1,0,0 )|0 = 0,5 ] =

-

V 1-

1

2 T 1- 4 - . sehingga

4 2

∀ -



&a' ( /n )

1 V

- ,.

T #, n+

, berarti

p (1 − p ) 1 ≤ 4 n maka p |/ n− θ | V n

p |/ n− θ |

θ  apabila

4 - 2 . .

. 

&"

& 'ernoulli trials, peluang dua sukses dan dua gagal atau P [ ( 1,1,0,0 ) ]

. 3ika

w L

1ana2 su2s3s 2 = = 0,5 4 n

'ila dipandang dalam distribusi bersyarat +1,1,#,# dan jika diketahui bahwa

w L #,% menurut definisi 9

P [( 1,1,0,0 )|0 = 0,5] =

[( 1,1,0,0 ) dan 0=0,5)] P ( 0= 0,5)

P ( 1,1,0,0 ) L P ( t3pat 2 su2s3s dala4 4 t'ials ) 2

2

P ⋅( 1− P ) L

()

()

= 4 2 2

4 2 ⋅ P ⋅(1 − P ) 2

−1

Karena probabilitas-probabilitas bersyarat ini tak bergantung pada P maka probabilitas & 'ernoulli trials adalah koefisien dari fungsi 'ernoulli

dalam probabilitas bersyarat, dalam hal ini

−1

() 4 2

.

@ntuk membuktikan bahwa sebuah penkasir adalah konsisten bagi parameternya bisa menggunakan ketidaksamaan hebyshe(Ws dengan perumusan 9


&

P (| X − μ x|< 2σ ) 5 1−

3ika

lim n 67

1 2

2

1 2

2

= 0 , maka dikatakan penaksir adalah konsisten bagi

parameternya.

*efinisi " 9 /isalkan 1,  ", . . . ,  n sampel random dari f+:M. Statistik ) L h+ 1, ", . . . ,  n dikatakan sufisen +cukup untuk M dan semua hasil yang mungkin, fungsi probabilits bersyarat  1, ", . . . ,  n jika diketahui w tidak tergantung pada M, baik dalam fungsi itu sendiri atau dalam wilayah fungsi itu. @ntuk (ariabel diskrit, ) sufisen apabila 9

P ( X 1 = x 1 , X 2= x 2 , .. . , X n= x n | w =h ( x 1 ,x 2 , .. . ,x n ) ) tidak menurut M. eorema 1 9 /isalkan 1, ", . . . ,  n sampel random dari f+:M. /aka ) L h+ 1, ", . . . ,  n adalah statistik sufisen +cukup untuk M jika dan hanya jika fungsi probabilitas bersama 1, ", . . . ,  n terurai menjadi hasil kali fungsi probabilitas ) dan suatu fungsi lain yang tidak tergantung pada M. Xakni, ) sufisen jika dan hanya jika 9

f ( x1 (θ ) . . . f ( x n (θ )= g ( 0 (θ ) . S ( x 1 , . . . , x n ) reated by Asmariyah Athaillah A "#1$ ! 1$#%#&%#"%

&&

0 Pe&+uktian 4

(∑ )

−1

n

'uktikan +1, ", O., n L

x

5

n−∑ xi ∑ xi ⋅( 1− p )

*iketahui f(x1;p ! f(xn "p L p

/isal +1,  ", O., n dalah 'ernoulli trials dengan probabilitas sukses P. 4ungsi probabilitas bersama + 1, ", O.,  n adalah f(x1;p ! f(xn "p L

n

n−∑ xi ∑ xi ⋅( 1− p ) dan

p

parameter

g ( x ( p ) =

n

dan

()

x =

∑ x i= 1

p,

n x ⋅ p ⋅(1 − p )n− x = x

i

dengan

(∑ ) n

x

berdistribusi binomial dengan fungsi

probabilitas

9

⋅ p ∑ x⋅( 1 − p )n−∑ x .

*ari

criteria

4isher 2eyman ) L h + 1, O,  n adalah statistic sufisen untuk  jika dan hanya jika fungsi probabilitas bersama  1, O, n terurai menjadi hasil kali fungsi probabilitas ) dan suatu fungsi lain yang tidak bergantung pada 

atau ) sufisen jika dan hanya jika f(x1;   ! f(xn "   L

g ( / ( θ )⋅s

+1,

O.,n. Sehingga dari jawaban sebelumnya f(x1; p ! f(x n " p L g + : p  s +1, O.,n yang menunjukkan bahwa ) L Y adalah sufisen untuk p.


&%

p 

Bukti

# i

 n   # n  #  p +1  p n   #  s + x1 , x" ,...., xn   +1  p        x  i

s + x1 , x" ,..., xn  



p 

# i

n # +1  p   i

 n   #   p +1  p n   #   x 

1  n 

    x   

s ( x 1 , x2 , ... , x n ) =

(∑ )

−1

n

x

+terbukti

'. *aria+el A;ak Ketika sebuah percobaan dilakukan, biasanya hasil kejadian yang diperoleh berupa 8nama kejadian8 seperti 9 buka dan tutup: terang, redup dan gelap: merah, kuning dan hijau: hidup dan mati dan lain sebagainya. 7nformasi kejadian yang berbentuk seperti demikian itu belum dapat kita gunakan dalam perhitungan matematis.

Dleh karenanya agar kita bisa olah lebih lanjut, kita harus mengubahnya menjadi suatu bentuk kuantitatif berupa nilai numerik yang menjelaskan hasil percobaan!kejadian

tersebut.

2ilai

kuantitatif

yang

menjelaskan

hasil

percobaan!kejadian ini dikenal dengan istilah variabel acak +random (ariables.


&$

/isalkan ada sebuah percobaan yang memiliki outcome +semua kejadian yang mungkin muncul dalam percobaan berupa benar dan salah. /aka ketika benar diwakilkan dengan angka 1 dan salah diwakilkan dengan angka $" maka # dan 1 adalah numerik yang mewakili kejadian random benar dan salah yang pada akhirnya disebut sebagai variabel acak% 3adi boleh dikatakan bahwa variabel acak adalah sebuah fungsi yang memetakan kejadian yang ada di alam menjadi bilangan numerik. Semua kejadian yang mungkin muncul dalam suatu percobaan kita sebut sebagai anggota 0uang Sample yang dinotasikan dengan S.

ontoh 9

6emparlah sebuah uang logam yang memiliki sisi atas +kejadian muncul sisi atas kita sebut A, dan sisi bawah +kejadian muncul sisi atas kita sebut ' sebanyak 1# kali. /aka 9



0uang sample perobaan ini adalah S L ZAA''A'A'A', ... [ meliputi semua konfigurasi dari A dan '.



/isalkan Eariabel Acak Y adalah banyaknya nya Sisi Atas yang muncul, atau dalam contoh ini

4ungsi distribusi kumulatif atau biasanya disingkat fungsi distribusi saja, 4 dari (ariabel acak Y untuk sembarang bilangan riil  ditentukan dengan 9


&>

Sebuah Eariabel Acak disebut diskrit jika (ariabel acak ini terdiri dari sejumlah angka yang terhitung dan terbatas dari nilai-nilai yang mungkin terjadi. @ntuk sebuah (ariabel acak diskrit Y kita tentukan 4ungsi /asa Probabilitas +Probability /ass 4unction p+ dengan 9

3ika Y adalah (ariabel acak diskrit yang memiliki nilai yang mungkin muncul , maka karena Y harus berasal dari salah satu nilai-nilai tersebut, kita akan memperoleh 9

ontoh 9 /isalkan Y bernilai dari salah satu 1," atau . 3ika

maka,

karena

,

akan

menghasilkan

-. )#&+inasi linier *aria+el rand#& N#r&al

1. *istribusi uniform Eariabel random Y berdistribusi ubiform, diasumsikan memiliki probabilitas yang sama untuk terjadinya dimana saja dalam suatu sub inter(al sepanjang d yang ada dlm inter(al a sampai b. reated by Asmariyah Athaillah A "#1$ ! 1$#%#&%#"%

&C

{

1

( a ≤ x ≤1 f ( x )= 1 −a 0 ( x =laina

$ ( X )= μ

". *istribusi Gksponensial Sering digunakan untuk memodelkan waktu tunggu sampai sebuah peristiwa terjadi, dan juga untuk memodelkan waktu antar terjadi peristiwa. Eariabel random Y berdistribusi Gksponensial dengan parameter \, memiliki fungsi 9

{

1 − x / :

f ( x )= :

3

(x > 0

0 ( x =laina 2

: > 0 ( $ ( X )= μ= : (&a' ( X )=σ = :

2

. *istribusi 2ormal Eariabel random Y berdistribusi normal, dengan parameter ] dan ^ memiliki fungsi distribusi probabilitas +pdf9 &. *efinisi Gkspektasi /atematis *iberikan # sebuah (ariabel random dengan distribusi probabilitas f + x. /ean atau nilai +expected value dari # adalah9

μ=

∑ xf ( x ) x

jika # diskrit dan

σ jika # kontinu 1 'erapa ekspektasi jumlah angka

yang muncul dari pelemparan dua buah

dadu " 3ika # merupakan (ariabel random yang menunjukkan jumlah hari perawatan seseorang dengan penyakit demam berdaran di sebuah rumah sakit, di mana # memiliki fungsi kepadatan sebagai berikut9 reated by Asmariyah Athaillah A "#1$ ! 1$#%#&%#"%

&?

μ tentukan rata-rata waktu perawatan pasien-pasien demam berdarah di rumah sakit tersebut5 *iberikan (ariabel random g + #  yang nilainya tergantung pada # . 3ika # merupakan (ariabel random dengan distribusi probabilitas f + x, maka nilai harapan dari (ariabel random g + #  adalah9

g ( X ) = E [ g ( X )] =

∑ g ( x ) f ( x )

jika # adalah diskrit, dan

g ( X ) = E [ g ( X )] =

∫−∞ g( x ) f ( x )dx

jika # kontinu. urah hujan di suatu bulan tertentu ber(ariasi antara I1 sampai " desiliter dari curah hujan standar. etapkan # sebagai (ariabel random yang menunjukkan (ariasi curah hujan dari standar +dalam desiliter. Eariabel random # ini memiliki pdf 9

{

f ( x )=

x 2 3 0

−1 < x <2 untuk lainnya

3ika g + #  L  # _  merupakan fungsi yang menunjukkan hasil panen +dalam ton!hektar yang dapat diperoleh pada saat curah hujan ber(ariasi sebesar # desiliter dari standar, tentukan ekspektasi hasil panen dalam jangka panjang. *iberikan (ariabel random # dan & dengan 'oint probabilit distribution f + x". 0ataan atau nilai harapan dari (ariabel random g + #"&  adalah9

g ( X,Y) = E [ g ( X,Y )] =

∑ ∑ g( x ,  ) f ( x ,  ) x

x

jika # dan & adalah diskrit, dan

g( X,Y) = E[ g ( X,Y )] =

∫−∞ −∞∫ g( x ,  ) f ( x ,  )dxd

jika # dan & kontinu. entukan ekspektasi dari fungsi g + #"&  L &)# , diberikan


%#

{

x ( 1 +3  2 ) f ( x,y ) = 4 0

0 < x <2,0<  <1 untuk lainnya

%. 4ungsi gelombang dan probabilitas menemukan partikel Pada efek fotolistrik, intensitas cahaya +kuadrat dari amplitude gelombang elektromagnetik yang semakin meningkat akan semakin meningkatkan jumlah foton secara linier. *inyatakan kemudian bahwa jumlah foton adalah sebanding dengan kuadrat dari amplitude. Pada tahun 1?"$, 'orn memperluas ide ini dengan mengusulkan bahwa kuadrat dari nilai absolut dari fungsi gelombang ` adalah sebanding dengan probabilitas untuk mendapatkan partikel tersebut. 2ilai absolut harus digunakan untuk persamaan gelombang karena gelombang dapat berupa sebuah fungsi kompleks dan bukan hanya sebuah fungsi yang riil. Kuadrat dari nilai absolut sebuah fungsi gelombang kompleks ` diperoleh dengan persamaan berikut.

*engan `Q sebagai konjugat kompleks dari ` dan ini diberikan melalui penggantian yang sederhana dari setiap unit imajiner i yang terdapat pada ekspresi matematik ` dengan i.

Probabilitas untuk menemukan sebuah partikel yang bergerak sepanjang sumbu  pada suatu daerah tertentu antara  dan  _ d dinyatakan sebagai `+ x"t "d dengan menggunakan fungsi gelombang `+ x"t . Karena


%1

probabilitas untuk menemukan partikel pada daerah antara  L - hingga  L _ adalah sama dengan 1, maka integral berikut harus sama dengan 1.

7ni disebut sebagai kondisi renormalisasi dari sebuah fungsi gelombang. 3ika kondisi ini dipenuhi, maka fungsi gelombang tersebut dikatakan ternormalisasi. Ketika sebuah fungsi gelombang merupakan solusi dari persamaan +1.%, setiap perkalian dari fungsi gelombang tersebut dengan konstanta yang sembarang juga akan menghasilkan fungsi gelombang yang menjadi solusi dari persamaan +1.%. Solusi-solusi dari persamaan gelombang karenanya dikatakan bersifat sembarang terhadap konstanta. Kondisi renormalisasi menghilangkan sifat kesembarangan dari fungsi gelombang kecuali terhadap tandanya. *alam kasus fungsi gelombang kompleks, makna ganda terhadap faktor fasa dengan ei* tidak akan berubah. Akan tetapi, faktor fasa tidak akan merubah kuadrat dari nilai absolut dan arti fisis dari persamaan gelombang tidak rele(an dengan faktor fasa. *engan demikian. Kita boleh memilih nilai secara sembarang nilai M dari faktor fasa, sebagai contoh M dapat dipilih sama dengan #. Karena turunan pertama dari fungsi gelombang ini berhubungan dengan energi G dan momentum p menurut persamaan +1."C+1."?, fungsi gelombang yang menyatakan sebuah keadaan dengan energi yang finit dan momentum yang harus bersifat kontinyu terhadap waktu dan posisi. 7ni adalah sifat yang penting dari fungsi gelombang yang dapat diterima dan


%"

tidak dapat diabaikan ketika kita memerlukan untuk mendapatkan sebuah fungsi gelombang dengan memecahkan persamaan gelombang.

DISTRIBUSI 'UN-SI *ARIABEL RAND:

/isalkan Y adalah (ariabel random pada ruang sampel  dengan ruang dari Y adalah . /aka fungsi berharga riil X L u+Y yang merupakan fungsi dari Y dapat dicari distribusinya dengan beberapa cara yaitu 9 1. eknik ransformasi Eariabel 0andom ". eknik 4ungsi *istribusi Kumulatif . eknik 4ungsi Pembangkit /omen

Teknik Transf#r&asi *aria+el Rand#& Diskrit )asus satu
/isalkan 9 1. Y adalah (ariabel random diskrit dengan fungsi probabilitas f+ dan ruang dari Y adalah . ". X L u+Y merupakan transformasi 1-1 dari  pada X dengan in(ers Y L w+X. Peristiwa X L y di X ekui(alen dengan peristiwa Y L w+X di . Sehingga fungsi probabilitas dari X adalah 9

g+y L P+XLy L P+YL w+X L f+w+X


untuk y di X

%

)asus dua
/isalkan 9 1. Y dan X adalah (ariabel random diskrit dengan fungsi probabilitas bersama f+,y dan ruang bersama dari Y dan X adalah YX. ". E L u 1+Y,X dan ) L u"+Y,X membentuk transformasi 1-1 dari YX pada E) dengan in(ers Y L  1+E,) dan X L "+E,) .

Sehingga fungsi probabilitas bersama dari E dan ) adalah 9

g+(,w L P+EL(,)Lw L P+Y L 1+E,), "+E,) L f+ 1+(,w, "+(,w untuk ( dan w di E)

*istribusi marginal dan distribusi bersyarat dapat diperoleh melalui fungsi probabilitas bersama yang ada. )asus n
/isalkan 9 1. # 1 " # + " # , ""!" # n adalah (ariabel random diskrit dengan fungsi probabilitas bersama

f ( x 1 , x 2 , .. . x n ) dan ruang bersamanya adalah Ω x1 , x 2 , .. . xn

". XiL ui+ # 1 " # + " # , ""!" # n dengan 7 L1,",On membentuk transformasi 1-1 dari

Ω x , x 1

2

, .. . xn

pada

Ω# ,# , .. . # 1

2

n

dengan in(ers YiL wi+& 1 " & + " & , ""

!" & n . Sehingga fungsi probabilitas bersama dari & 1 " & + " & , ""!" & n adalah 9

g (  1 ,  2 , .. .  n )= f [ 0 1 (  1 . ..  n ) . . . 0n ( 1 . . .  n )]

*istribusi marginal dan distribusi bersyarat dapat diperoleh melalui fungsi probabilitas bersama yang ada.


%&

Secara @mum langkah-langkah menentukan fungsi probabilitas dari fungsi (ariabel random adalah 9 1. 'uatlah (ariabel random X iL ui+ # 1 " # + " # , ""!" # n  dengan i L1,",On sehingga bersama Xi membentuk transformasi 1-1. ". ari fungsi probabilitas bersama dari & 1 " & + " & , ""!" & n . fungsi probabilitas marginal X1 adalah

∑ ∑ . .. ∑ f (  , 

g (  1 )=

1



2



3

2

, .. .  n )

 n

Teknik Transf#r&asi *aria+el Rand#& )#ntinu )asus satu
/isalkan 9 1. Y adalah (ariabel random kontinu dengan fungsi densitas f+ dan ruang dari Y adalah . ". X L u+Y merupakan transformasi 1-1 dari  pada X dengan in(ers Y L w+X.

/aka fungsi densitas dari X adalah 9

g (  )= f ( 0 ( # )) |; |

; = dengan

dx = 0 < ( # ) d

/engapa muncul

: untuk y di X

dinamakan 3acobian transformasi.

|; |

a. /isalkan X L +u+Y adalah fungsi naik


%%

/aka 9 a V X V b  w+a V Y V w+b P +a V X V b L P +w+a V Y V w +b 0 ( 1)

= ∫ f ( x ) dx 0 ( a)

Eariabel integrasi diubah dari Y menjadi X dengan hubungan Y L w+X *iperoleh 9

dx = 0 < ( # ) d

→ dx = 0 < ( # ) d = ; d 1

∫ f ( 0 (  )) ; d P +a V X V b L

a

b. /isalkan X L +u+Y adalah fungsi turun /aka 9 a V X V b  w+b V Y V w+a P +a V X V b L P +w+b V Y V w +a 0 ( a)

= ∫ f ( x ) dx 0 ( 1)

Eariabel integrasi diubah dari Y menjadi X dengan hubungan Y L w+X *iperoleh 9

dx = 0 < ( # ) d

→ dx = 0 < ( # ) d = ; d a

1

1

a

∫ f ( 0 (  )) ; d =−∫ f ( 0 (  )) ; d P +a V X V b L

*alam hal ini arah garis singgung pada X L u+Y adalah negatif, sehingga

; =−|; | Karena hal tersebut berlaku untuk setiap a V b maka fungsi densitas untuk X adalah

g (  )=f ( 0 (  ))|; |


%$

)asus dua
/isalkan 9 1. Y1 dan Y" adalah (ariabel random kontinu dengan fungsi densitas bersama f+1," dan ruang bersama dari Y 1 dan Y" adalah Y1Y". membentuk transformasi 1-1 dari Y1Y"

". X 1 L u1+Y1,Y" dan X" L u"+Y1,Y"

pada X1X" dengan in(ers Y1 L w1+X1,X" dan Y" L w"+X1,X" dimana

 

∂ X i ∂ # +

kontinu untuk setiap i L1," dan j L 1,"

3acobian transformasi 3 tidak identik dengan nol, artinya

∂ X 1 ∂ # 1 ; =| ∂ X 2 ∂ # 1

∂ X 1 ∂ # 2 |≠ 0 ∂ X 2 ∂ # 2

3ika A  Y1Y" dipetakan oleh u 1 dan u " menjadi '  X1X", maka 9 P +X1,X" di '  L P +Y 1,Y" di A 

∬ f ( x , x ) dx dx 1

L

∬ f [ 0 (  ,  1

L

=

2

>

A

1

2

), 0 2(  1 ,  2 )]|; | d= d>

B

Akibatnya fungsi densitas bersama dari X1 dan X" adalah 9

g (  1 ,  2 )=f [ 01 (  1 ,  2 ) , 02 (  1 ,  2 )]|; | ; (  1 ,  2 ) di

X1X"


)asus n
/isalkan 9


%>

1. # 1 " # + " # , ""!" # n

adalah (ariabel random kontinu dengan fungsi densitas

f ( x 1 , x 2 , .. . x n ) dan ruang bersamanya adalah Ω x1 , x 2 , .. . xn

bersama

". XiL ui+ # 1 " # + " # , ""!" # n dengan i L1,",On membentuk transformasi 1-1

Ω x

dari

1

, x 2 , .. . xn

pada

Ω# ,# , .. . # 1

2

n

dengan in(ers Y iL wi+& 1 " & + " & , ""!"

& n . dimana

 

∂ X i ∂ # +

kontinu untuk setiap i L1,"On dan j L 1,"On

3acobian transformasi 3 tidak identik dengan nol, artinya

∂ X 1 ∂ X 1 ⋯ ∂ # 1 ∂ # n ; =| ⋮ ⋯ ⋮ |≠0 ∂ X n ∂ X n ⋯ ∂ # 1 ∂ # n Sehingga fungsi probabilitas bersama dari & 1 " & + " & , ""!" & n adalah 9

g (  1 ,  2 , .. .  n )= f [ 0 1 (  1 . ..  n ). . . 0n ( 1 . . .  n )]|; |

: 1 "+ "!n

di

Ω# ,# , .. . # 1

2

n


Teknik 'ungsi Distri+usi )u&ulatif

Karena X L u+Y, maka X merupakan fungsi komposisi yang didefinisikan pada . Artinya untuk setiap  di , berlaku 9

X+ L u+Y+ L u+Y+


%C

*engan demikian X juga merupakan (ariabel random pada  dengan ruang dari X adalah XLZy ! y L X+ , [ L Zy ! y L u+Y+ , [ Sehingga fungsi distribusi kumulatif dari X adalah 4+yLP+ X  y  L P+u+Y  y  4ungsi densitas ! probabilitas dapat di cari melalui 4+y.

'ungsi Pe&+angkit #&en

Definisi

4ungsi pembangkit momen dari (ariabel random Y dinotasikan dengan / Y+t dan didefinisikan sebagai 9

tX

M X ( t )= $ [ 3 ]=

{

∑3

tx

f ( x )

; X dikrit

x

∞

3 ∫ −∞

tx

f ( x )

; X kontinu

Te#re&a

1. M X + a ( t )= 3 at M X ( t ) 2. M at ( t )= M X ( at ) eorema 3ika # 1 " # + " # , ""!" # n adalah (ariabel random yang bebas stokastik dengan fpm masing-masing maka

M X , M X 1

2

M X

, ⋯,

n

dan

# = X 1 + X 2 + .. . + X n

M # ( t )= M X (t ) . M X ( t ). . . . M Xn ( t ) 1

2

Teknik 'ungsi Pe&+angkit #&en /isalkan 9


%?

1. # 1 " # + " # , ""!" # n adalah (ariabel random dengan fungsi densitas bersama

f ( x 1 , x 2 , .. . x n ) dan ruang bersamanya adalah Ω x1 , x 2 , .. . xn ". XL u+ # 1 " # + " # , ""!" # n @ntuk menentukan fungsi densitas!probabilitas dari X, cukup dicari f.p.m dari X, yaitu 9

M # ( t )= $ [ 3t# ]= $ [ 3

∞

∞

t . u ( X 1 , X 2 , . .. X n )

⋯∫ 3 ∫ −∞ −∞ = ∑ ⋯∑ 3 x 1

t . u ( X 1 , X 2 , .. . X n )

]

f ( x 1 , x 2 , . .. , x n ) dx= dx > . .. dxn ; !" kontinu

t . u ( X 1 , X 2 , .. . X n )

f ( x 1 , x 2 , . . . , x n )

; !" dikrit

x n

H. TE:RI PR:BABILITAS *istribusi probabilitas memiliki berbagai sifat atau karakteristik yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi suatu distribusi. Karakteristik yang biasa digunakan antara lain rata-rata hitung yang biasa disebut harapan matematisB +atau nilai harapan dan (ariansi. Jarapan matetatis ini menentukan tendensi sentral dari distribusi probabilitas. Sering kali kita menjumpai data pengamatan yang memuat perubah acak tidak tunggal. /isalnya, Y dan X perubah acak, maka nilai harapan dinyatakan G+Y, G+X, dan G+YX , Eariansi dari Y dan X dinyatakan ko(ariansi dari perubah acak Y dan X dinyatakan


2 σ X# .

2 2 σ X , σ # , dan

$#

ujuan mempelajari teori probabilitas adalah untuk menetapkan model-model matematik untuk percobaan-percobaan random. Kegunaan dari model-model matematik tersebut adalah untuk membuat inferensi-inferensi tentang percobaan random. *alam suatu percobaan dapat dijabarkan hal-hal sebagai berikut9

1.

Ruang sa&"el 0 4

0uang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin diperoleh pada suatu percobaan. 0uang sampel yang sering digunakan dalam kriptografi adalah  L Z#,1[.

2. )e=adian 0 E 4

Kejadian adalah satu subset dari ruang sampel -  . 'rekuensi relatif ke=adian E Percobaan diulang n kali dengan kondisi yang sama pada percobaan acak dan

E  kejadian - muncul f kali, maka frekuensi relatif kejadian

!.

f n

Pr#+a+ilitas ke=adian E 0P0 E 44

Probabilitas kejadian - dinotasikan dengan jumlah outcome - . Saat

#( E)



k

P ( E )


dan



# ( )



k # ( E )  N # (  )

N

( ) . /isalkan

. -

maka

( ) adalah

g -

$1

1." atau dapat dinyatakan dengan

P ( E )



Banyaknya elemen dari E Banyaknya elemen dari 

ontoh9 'arisan s L 1#11#1#1#1 dimana n L 1# maka9 -

L Z#,1[ Kejadian - yaitu bit yang muncul angka 1 +bit L 1

E  -

-

4rekuensi relatif dari

P ( E )



6 10

1 2

Aksioma Probabilita Sebuah himpunan fungsi . mempunyai sifat-sifat 9

E,0 �P ( E ) �1

aksioma 1.1

untuk setiap kejadian

aksioma 1."

P (  )

aksioma 1.

P ( E �F ) 3ika EF  0 maka

$.

1

*aria+el a;ak




P (E)

+P

( F )

$"

Eariabel random adalah suatu fungsi yang nilai berupa bilangan real yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel S. Eariabel acak dinyatakan dengan huruf kapital X ,Y , Z ,K , sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil x, y , z ,K *engan konsep (ariabel acak, setiap kejadian dalam S dapat dihubungkan dengan suatu himpunan bilangan real. Eariabel acak terbagi menjadi dua jenis yaitu (ariabel acak diskrit dan (ariabel acak kontinu. a.

Eariabel acak diskrit Eariabel acak # dikatakan diskrit, jika himpunan semua nilai yang mungkin

dari # , yaitu

x1, x 2 ,K , x n

atau

x1, x 2 ,K

+countable. 4ungsi yang berbentuk

f ( x)

merupakan himpunan terhitung 

P( X



x ) ;x



x1, x 2 ,K

disebut

fungsi kepadatan probabilitas diskrit +discrete probabilit densit function untuk # atau disingkat pdf. Suatu fungsi f adalah pdf dari (ariabel acak diskrit jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat berikut 9

1

f ( x i ) �0

untuk setiap

xi

f ( x i )  1 "

semua x i

4ungsi kepadatan probabilitas selain dapat dinyatakan dengan persamaan, dapat juga dinyatakan secara tabel dan grafik.


$

4ungsi distribusi kumulatif +*4 dari # adalah sembarang bilangan real x. 3adi

F ( x )

F ( x)



P ( X �x )

menyatakan peluang kejadian

@ntuk (ariabel random diskrit, grafik dari

F ( x )

untuk

X �( �, x ]

.

berupa fungsi tangga.

Sifat-sifat *49 1

"



LimF( x )  0

x ��

LimF( x )  1 x ��

Lim+ F ( x + h)  F ( x ) h�0

F ( a) & 3ika a < b maka 3ika a < b maka

<

F ( b)

( �, b ]  ( �, b ] �( a, b ] ,

kedua inter(al saling asing

sehingga diperoleh9

P ( a < X �b )



P ( X �b )

P

( X �a )  F ( b )  F ( a )

%. Eks"ektasi 0nilai 5ara"an4

*efinisi 1.& +)alpole,"##> 91#C /isalkan # adalah (ariabel acak dengan distribusi probabilitas ekspektasi atau nilai harapan dari Y adalah

m  E ( X ) 

�xf ( x ) x


jika # diskrit

f ( x )

. Mean atau

$&

�

m  E ( X ) 

xf ( x ) �  �

dx jika # kontinu

Gkspektasi atau nilai rata-rata atau nilai mean +'ernard ). 6indgren9 1?? dari (ariabel acak # dengan pdf f dan nilai

x i

untuk i  1,2,K adalah �

E ( X )  �xi f ( xi ) i 1

1.& eorema 1.1

3ika # adalah (ariabel acak diskrit, nilai mean dari fungsi

E (Y )



Y



E� g( X)� � � �g ( xi ) P ( X

g ( X ) 

adalah

xi )

i

1.% eorema 1." /isalkan # dan & adalah (ariabel acak diskrit maka

a, E ( a )

a. untuk sembarang konstanta b.

E ( X + Y )



E( X)

+E



a

dan

E ( aX )



aE ( X )

( Y )

c. terdapat kontanta a, b, c

E ( aX

+

bY

+c

)



aE ( X )

+

bE ( Y )

+

c

Sifat-sifat ekspektasi9 a. 3ika # merupakan (ariabel acak dengan pdf f x+ x dan u+ #  adalah fungsi dari # , maka ekspektasi dari u+ #  adalah9


%$� u ( x ) f x ( x ) , jika X diskrit � � x �  E� u X ( ) � � �� u ( x ) f x ( x ) dx, jika X kontinu ��

b. Sifat linear ekspektasi

E� ag ( X ) �

+

bh ( X ) � g ( X )� h ( X ) � aE � � �+ bE � �

6. *ariansi

Mean dari (ariabel acak # adalah suatu nilai yang penting dalam statistik karena nilai tersebut menggambarkan dimana distribusi probabilitas berpusat. /eskipun demikian mean tidak cukup untuk memberikan gambaran tentang bentuk suatu distribusi.@ntuk mengetahui bentuk suatu distribusi, perlu diketahui (ariabilitas distribusi tersebut +)alpole, "##>:11%. Salah satu ukuran (ariabilitas dalam statistik adalah (ariansi. Eariansi dari (ariabel acak # atau (ariansi dari Var ( X )

distribusi probabilitas # dinyatakan dengan s x 2

atau dinotasikan dengan

" atau s .

*efinisi 1.& + )alpole,"##>911$

/isalkan # adalah (ariabel acak dengan distribusi probabilitas

f ( x )

dan mean m

. Eariansi dari # adalah s2



E� (X �



2 m ) � �( x

�

s E� ( X  m ) � 2

2

�

2

) f ( x)

 m

x

� 2

( x  m ) f ( x ) � � �

Akar kuadrat positif ddari (ariansi


, jika # diskrit

dx , jika # kontinu

( ) dinamakan standar de(iasi dari # . s

$$

eorema 1. Eariansi (ariabel acak # adalah s2



E ( X 2 )

2

 m

1.$ 'ukti 9 @ntuk kasus diskrit dapat dituliskan

s2 

�( x  m ) f ( x )  �( x 2

x



2

x

x 2f ( x )  2m x

 2m x + m 2 ) f ( x )

xf ( x ) + m 2 x

m  karena

x

f ( x )  1

xf ( x ) dan

x

f ( x )

untuk setiap distribusi probabilitas diskrit

x

maka

s2 

x 2 f ( x )  2m 2 + m 2 x

sehingga diperoleh s2



� x f ( x )  m 2

2

E

( X )  m 2

2

x

. Distri+usi a.

*istribusi bernoulli Suatu (ariabel acak # mempunyai distribusi bernoulli dengan parameter

p ( 0 < p

) jika # hanya bernilai # atau 1 dan

<1


$>

P( X

)

1 

p

 1 P

(X



0)

4ungsi probabilitas dari # dapat ditulis dalam bentuk

� p x q1 x , x  0,1, q f ( x p)  � 0 ,lainnya �

 1 p

3ika (ariabel acak # mempunyai distribusi bernoulli, maka

E( X)



p

dan

Var ( X )



pq

+. *istribusi binomial

3umlah

x

sukses pada n kali percobaan bernoulli dinamakan (ariabel

acak binomial. *istribusi probabilitas dari (ariabel acak diskrit ini dinamakan distribusi binomial, yang dinyatakan dengan

b ( x; n, p )

. *efinisi 1.% +)alpole,

"##>91&& Suatu percobaan bernoulli

yang dapat

menghasilkan sukses dengan

probabilitas p dan gagal dengan probabilitas q  1  p maka distribusi probabilitas (ariabel acak binomial

# dengan jumlah sukses dalam

percobaan independen adalah

n� � b ( x; n, p )  � �p x qn  x , x  0,1,2,K , n x � �

1.> eorema 1.&

Mean dan (ariansi distribusi binomial m 


b ( x; n, p )

adalah

np dan s 2  npq

n

$C

1.C

eorema 1.% 3ika # adalah (ariabel acak binomial dengan mean

m 

np dan (ariansi

s  npq maka bentuk limit dari distribusi 2

Z 

x  np npq

dimana

n

1.?

adalah berdistribusi 2ormal Standar atau

N ( 0,1)

.

eorema 1.$ +eorema 6imit Pusat 3ika

x

adalah mean dari sampel acak berukuran

n

yang diambil dari suatu

" populasi dengan mean m dan (ariansi s maka bentuk limit dari distibusi

Z 

x  m s n dimana n

1.1#

adalah berdistribusi 2ormal Standar atau *efinisi 1.$ +Soejoeti,1?C%9%


N ( 0,1)

.

$?

Kuadrat suatu (ariabel acak normal standar adalah (ariabel random chi/ s0uare dengan derajat bebas sama dengan 1.

;. *istribusi multinomial

*efinisi 1.> +Soejoeti,"##%9%.& distribusi multinomial adalah distribusi peluang bersama frekuensi-frekuensi sel

n1,K , nk

p ,K , pk dalam n trial multinomial dengan parameter 1 yang

masing-masing merupakan peluang sel. 4ungsi peluang distribusi multinomial adalah

f ( n1,K , nk ) 

n! n1 !L nk !

k

p K p n1 1

nk k

n � 

i

untuk k

p � 

i

Parameter-parameter itu memenuhi

n

i 1

1

i 1

2ilai ekspektasi dan (ariansi dari distribusi multinomial adalah dan

Var ( ni )



npi ( 1  pi )

dimana i

E ( ni )



npi

 1,2,K , k .

eorema 1.> misalkan

y1, y 2,K , y k

p1, p2 ,K , pk

berdistribusi

multinomial

dengan

probabilitas

maka untuk n besar, (ariabel acak tidak negatif k

2

c



� i 1

1.11


( y i  npi ) npi

2

dimana

i

 1,2,K , k

>#

mendekati distribusi chi/s0uare dengan derajat bebas



k  1 dengan harga

" c mean adalah m  k  1 .

Persamaan 1.11 pertama kali diperkenalkan dan dipelajari oleh Karl Pearson pada tahun 1?## sehingga dikenal dengan nama B .earsons chi s0uare statisticB. "

Jarga mean c

hanya tergantung pada banyak sel atau kelas k +banyak

kemungkinan yang dapat terjadi pada eksperimen multinomial dan tidak tergantung pada harga

pi , i  1,2,K , k

.

'ukti 9

mean ( c

E ( yi

k

2

)  E ( c )  � 2

var ( y i )

k

�



npi

i 1 k



)

2

npi

i 1



 npi

k

npi ( 1  pi )

i 1

npi

�

k

k

i 1

i 1

1  p  � 1  �p �    i

i 1

i



k  1

"

0umus transformasi c sering ditulis dengan persamaan k

2

c



( y i  npi )

�

2



npi

i 1

k

( Oi

� i 1

 Ei

2

)

E i

1.1" dimana

Oi  y i

adalah frekuensi sel i yang diobser(asi dalam sampel

berukuran n, sedangkan

Ei



npi



mean ( yi )

i yang diharapkan +nilai ekspektasi.


adalah mean atau frekuensi sel

>1

Kasus khusus model multinomial +Soejoeti, 1?C%9C adalah uji hipotesis apakah

suatu

eksperimen

kemungkinan yang sama yaitu

dengan

k

hasil

yang mungkin

H0 : p1  p2  K  pk 

memiliki

1 k .

" c *alam kasus khusus model multinomial. persamaan dapat dinyatakan

dengan

� n y i  c  �� n i 1 � k 2

k

k

2

1.1

d. *istribusi chi s0uare

*efinisi 1.C Eariabel acak kontinu # mempunyai distribusi chi s0uare dengan derajat bebas v jika fungsi densitasnya adalah v 1  x � 1 x e , x > 0 � v 2 G ( v 2 ) f ( x;v )  � � 0 , lainnya � 2

2

1.1& dimana v adalah bilangan bulat positif eorema 1.C mean dan (ariansi distribusi chi-s;uare adalah


2

>"

m 

v

s 2  2v

dan

1.1% "

. U=i c goodness of fit

eorema 1.? "

@ji c goodness of fit antara frekuensi yang diobser(asi dengan frekuensi yang diharapkan, berdasarkan pada ukuran k

c 2



( Oi  E i )

� i 1

2

E i

1.1$ " c dimana adalah nilai (ariabel acak yang distribusi samplingnya hampir

mendekati distribusi chi/s0uare dengan derajat bebas v frekuensi yang diobser(asi dan

E i



k  1, Oi adalah

adalah frekuensi yang diharapkan untuk setiap

sel ke-i. "

Prosedur uji c goodness of fit berdasarkan atas distribusi pendekatan maka prosedur ini sebaiknya tidak digunakan jika frekuensi harapan sangat kecil atau ei < %

. 3ika dalam proses perhitungan terdapat frekuensi harapan yang lebih kecil

dari lima maka frekuensi tersebut dapat digabungkan dengan frekuensi yang lain supaya prosedur diatas terpenuhi.+Hanawi Soejati, 1?C%9"&.


>

I. 'ungsi Pr#+a+ilitas )u&ulatif 0'ungsi Se+aran4 Untuk Satu Peu+a5 A;ak

'ungsi Pr#+a+ilitas )u&ulatif 0'ungsi Se+aran4 Diskrit /isalkan Y1, Y", Y, O, Yn merupakan peubah acak diskrit dengan fungsi probabilitas p+ T #, maka fungsi sebaran bagi peubah acak tersebut dapat ditulis sebagai berikut

? ( x ) = # ( X ≤ x ) =

∑

$ ( x )

X ≤ x

'ungsi Pr#+a+ilitas )u&ulatif 0'ungsi Se+aran4 )#ntinu 'ila Y1, Y", Y, O, Y n merupakan peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan probabilitas f+ T #, maka fungsi sebaran bagi peubah acak tersebut dapat ditulis sebagai berikut

x

? ( x ) = # ( X ≤ x ) =


f ( x ) dx ∫ −∞

>&

Sifat>sifat dari fungsi se+aran '0?4 'aik untuk peubah acak diskrit ataupun untuk peubah acak kontinu, terdapat beberapa sifat dari fungsi sebaran sebagai berikut :

1.

4 +-  L P +Y  -   L #

".

4 +_ L P +Y  _  L 1

.

/onoton tidak turun 9 4+1  4+" untuk 1 T"

&.

Kontinu dari sebelah kanan 9

@ i4 ? ( x + h )= ? ( x )

0 < h →0 %. P+a V Y  b

L P+Y  b - P+Y  a L 4+b - 4+a $. P+a  Y  b L P+Y  b - P+Y V a L 4+b - 4+a _ P+Y L a >. P+a  Y V b L P+Y Vb - P+Y V a


>%

L 4+b- 4+a - P+Y L a _ P+YLb

C. P+a V Y V b L P+Y V b-P+Y  aL4+b-4+a _ P+Y L b

ontoh 1 9 Peubah Y1, Y", Y, Y& merupakan sampel acak berukuran & yang me-nyebar binomial dengan probabi-litasnya sama dengan #.%# dan fungsi probabilitas p+ sebagai berikut 9



 1  1 () "     ! (# $ )!  2   2  #!

# 

probabilitas untuk seluruh nilai  dan sebaran probabilitas kumulatif, disertai gambar grafiknya adalah sebagai berikut p+ 9

(0) 

#!  1   0! (# $ 0)!  2 


0

 1    2 

#

"

1 16

>$

P ( 1 ) = P ( 4 )=

4

16 1

; # ( 2 ) =

6 16

( # ( 3 ) =

4 16

(

dan

16

4ungsi sebarannya adalah

4+ L P + Y   , untuk  L #, 1, ", , & dapat diperoleh nilai-nilai 4+ se-bagai berikut 9

1 5 ? ( 0 ) = ; % ( 1 ) = % ( 0 ) & # ( 1 ) = 16 16 ? ( 2 ) = % ( 1 ) & # ( 2 ) = ? ( 4 ) =

16 16

11 16

( % ( 3 ) =

15 16

= 1

=rafik dari P+YL L p+ dan 4+ dapat dilihat sebagai berikut (X) 16&16 '&16 #&16 0

1

2

%

#


X

( dan

>>

(X) 16&16 '&16 #&16 0

1

2

%

#

X

ontoh " 9

Peubah Y kontinu dengan fungsi kepekatan probabilitas f+ sebagai berikut 9

 2e $2 ,  * 0  ( ) "  0 ,   0 ! a.

=ambarkan grafik f+

b.

=ambarkan 4+ L P+ Y   

c.

ari P + " V  V &  L P +"  Y  &  berlaku untuk peubah kontinyu.

*i mana e L ",>1C"C1C " ",>1C


>C

Penyelesaian 9 4ungsi kepekatan probabilitas dari peubah Y yang kontinu adalah f+, sedemikian rupa sehingga

,

 ( a + X  , ) " # () d a dengan

()  0 dan

$

# () d " 1 $$

kur(a f+ dan P + a  Y  b , f+ L fungsi kepekatan Probabilitas, bukan fungsi probabilitas

 (! )

a

,

!

,

- "  (a  X  ,) "  (a + X + ,) " # () d a

" luas daera. yan/ diarsir


>?

Apabila 4+ diketahui maka f+ dapat ditentukan dengan

() "

d () d

turunan dari un/si roailitas kumulati

'A' 777 PG2@@P

A. Kesimpulan reated by Asmariyah Athaillah A "#1$ ! 1$#%#&%#"%

C#

1.

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan,

menganalisis,

menginterpretasi,

dan

mempresentasikan data. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. ". Komponen dari suatu fungsi terdiri atas (ariabel, koefisien, dan konstanta. . *istribusi normal berupa kur(a berbentuk lonceng setangkup yang melebar tak berhingga pada kedua arah positif dan negatifnya. &. 'ila Y1, Y", Y, O, Y n merupakan peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan probabilitas f+ T #,

maka

fungsi sebaran bagi

peubah acak tersebut dapat ditulis sebagai berikut 9

x

? ( x ) = # ( X ≤ x ) =

f ( x ) dx ∫ −∞

'. SA0A2 Saran yang dapat penulis berikan adalah agar mahasiswa pendidikan matematika lebih memahami tentang statistika terutama mengenai fungsi sebaran kumulatif.


C1


FUNGSI DISTRIBUSI KOMULATIF

Recommend Documents