Funciones Vectoriales de Varias Variables

Cap´ıtulo 1

Funciones vectoriales de varias variables En esta parte estudiaremos las funciones vectoriales de varias variables, como una generalización on de los resultados resu ltados obtenidos ob tenidos en e n los cap´ cap´ıtulos anteriores. Desarrollaremos temas de cálculo alculo en campos vectoriales importante en la ciencia e ingenieria. Las pruebas de los resultados que se presenta se pueden encontrar en [2], [6] y [8]. Los graficos que se presentan fueron elaborados utilizando el software Derive 6.1 y winplot.

1.1. 1.1.

Funcion unciones es vector vectorial iales es de varia variass varia variable bless

Definici´ on on 1.1.1. Sea F : D ⊂

D ⊂

R

n

R

n

→

R

m

una funci´ on definida sobre un conjunto

. Se dice que F F es una funci´ on vectorial de varias variables. Si F F hace

corresponder a un vector X = (x1 , x2,...,xn ) ∈ D un unico ´ vector Y ∈

R

m

)). Y = F ( F (X ) = (F 1 (X ), F 2 (X ),...,F m (X )). A las funciones F i : D ⊂ D ⊂

R

n

→ R se les llama funciones coordenadas.

Si n = m = m,, la funci´ on F se F se llama CAMPO CAMPO VECTORIAL (en Rn ).

1

tal que

2

1.1. FUNCIONES VECTORIALES DE VARIAS VARIABLES

Figura 1.1: Estos vectores representan campos de velocidades de la distribució n del viento superficial-Regi´ on Per´ u

NOTA 1.1.1. La idea de visualizar el campo vectorial F es colocar un vector

F (X ) ∈

R

n

de manera que su punto inicial sea X ∈ D.

a definido por Ejemplo 1.1.1. Un campo vectorial en R2 est´ F (x, y) = (−y, x) Describa F trazando alguno de los vectores F (x, y). Soluci´ on (x, y )

F(x,y)

(1,0)

(0,1)

(0,1)

(-1,0)

(-1,0)

(0,-1)

(0,-1)

(1,0) Figura 1.2:

Ejemplo 1.1.2. Grafique el campo de vectores F (x,y,z ) = (−x, −y, −z ) Soluci´ on

´ VECTORIAL DE VARIAS VARIABLES 1.2. LIMITES DE UNA FUNCI ON

(x , y , z)

F(x,y,z)

(1,0,0)

(-1,0,0)

(1,1,1)

(-1,-1,-1)

(-1,-1,-1)

(1,1,1)

3

Figura 1.3:

1.2.

Limites de una funci´ on vectorial de varias variables n

on definida en un conjunto D ⊂ Definici´ on 1.2.1. Sea F una funci´ en Rm y sea A ∈

n

R

R

a valores

un punto de acumulaci´ on de D. Diremos que el limite de F

cuando X tiende a A es L = (l1 , l2 , ...lm ) ∈

R

m

(denotado por l´ımX

A

→

F (X ) = L )

si para cada  > 0 es posible hallar un δ > 0 tal que f (X ) − A <  siempre que X ∈ D y 0 < X − A < δ . Simb´ olicamente: l´ım f (X ) = L ⇔ ∀ > 0 ∃ δ > 0 / X ∈ D ∧ 0 < X − A < δ ⇒ F (X ) − L < 

X →A

Teorema 1.2.1. Sea F : D ⊂

n

R

→

m

R

donde F = (F 1 , F 2 , ...F m ).Si A ∈

punto de acumulaci´ on de D y L = (l1 , l2 , ...lm ) ∈

R

m

diremos que l´ımX

n

R

un

F (X ) = L

A

→

si y solo si l´ım F 1 (X ) = l 1 , l´ım F 2 (X ) = l 2 , . . . , l´ım F m (X ) = l m

X →A

X →A

Ejemplo 1.2.1. Calcule l´ım

X →A

(x2 + y 2, 2x + y, 2y)

(x,y )→(1,2)

Soluci´ on

l´ım

(x2 + y 2, 2x + y, 2y) = (

(x,y )→(1,2)

l´ım

(x,y )→(1,2)

x2 + y 2, l´ım

(x,y )→(1,2)

2x + y, l´ım

(x,y)→(1,2)

2y)

= (5, 4, 4) NOTA 1.2.1.

El l´ımite de las funciones vectoriales de varias variables cumple con las propiedades del limite de funciones vectoriales de una variable y de limites de funciones de varias variables.

´ VECTORIAL DE VARIAS VARIABLES 1.3. CONTINUIDAD DE UNA FUNCI ON

1.3.

4

Continuidad de una funci´ on vectorial de varias variables n

Definici´ on 1.3.1. Sea F : D ⊂

R

→ Rm una funci´ on vectorial de varias variables

definida en un conjunto D. 1. F es continua en un punto A ∈ D si y solo si ∀ > 0 ∃ δ > 0 / X ∈ D ∧ X − A < δ ⇒ F (X ) − L <  2. F es continua en un punto A ∈ D que es punto de acumulaci´ on de D si y solo si l´ımX

F (X ) = F (A)

A

→

on F : D ⊂ Teorema 1.3.1. La funci´

n

R

→

m

es continua en A ∈ D si y solo si

R

cada una de sus funciones componentes es continua en A. on Ejemplo 1.3.1. Pruebe que la funci´

  F (X, Y ) =  (1, 1),

senx−seny x−y

,

ex −e−y x+y

,

(x, y)  = (0, 0) (x, y) = (0, 0)

es continua en A = (0, 0) Soluci´ on

x

l´ım

(x,y )→(0,0)

y

 senx − seny e − e   x−y

,

−

=

x + y

senx − seny ex − e y l´ım , l´ım (x,y) (0,0) (x,y ) (0,0) x + y x−y −

→

→

Calculamos: 2 senx − seny x−y x + y = l´ım sen( ) cos( )=1 (0,0) (x,y ) (0,0) x − y x−y 2 2

l´ım

(x,y )→

y

→

ex − e y l´ım = l´ım e (x,y ) (0,0) x + y (x,y ) (0,0) −

y

−

→

→

ex+y − 1 =1 x + y

Reemplazando estos u´ltimos resultados en (1) se tiene: l´ım

(x,y)→(0,0)

F (x, y) = (1, 1) = F (0, 0)

Por lo tanto F es continua en (0, 0).



´ VECTORIAL DE VARIAS VARIABLES 5 1.4. DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCI ON

1.4.

Derivadas parciales de una funci´ on vectorial de varias variables n


R


definida en un conjunto abierto D por: F (x1 , x2 ,...,xn ) = (F 1 (x1, x2,...,xn ), F 2 (x1, x2,...,xn ),...,F m (x1 , x2 ,...,xn )) para todo X = (x1, x2,...,xn ) ∈ D. La derivavda parcial de F con respecto a xi se define por: ∂ F F (x1 , x2 ,...,xi + h, ...xn ) − F (x1, x2 ,...,xn ) (X ) = l´ım , ∀i = 1, 2, 3,...,n h 0 ∂ xi h →

siempre que este limite exista. 1.4.1.

Matriz Jacobiana n


R


definida en un conjunto abierto D y A ∈ D. Se llama matriz Jacobiana de F en A, denotado por JF (A) a la matriz m × n:

   JF (A) =  

∂ F 1 ∂ x1

.. .

∂ F m ∂ x1

∂ F 1 ∂ x2

...

∂ F 1 ∂ xn

...

...

...

∂ F m ∂ x2

...

∂ F m ∂ xn

  

Si m = n a la determinante de esta matriz se le llama Jacobiano de F .

1.5.

Funci´ on diferenciable n


R


definida en un conjunto abierto D y A ∈ D.Se dice que F es diferenciable en A si existe J F (A) y adem´ as de esto, para todo vector V = (α1 , α2 , ...αn ) tal que V +A ∈ D se cumple que l´ım

(f (A + V ))m

1

×

→ −

V → 0

− (f (A))m 1 − (JF (A))m n (V )n || V || ×

donde (f (A + V ))m 1 , (f (A))m ×

1

×

×

1

×

− → = 0

y (V )n 1 son matrices columna. ×

´ 1.6. DIVERGENCIA DE UNA FUNCI ON VECTORIAL

on F : D ⊂ NOTA 1.5.1. Una funci´

n

R

→

R

m

6

definida en un conjunto abierto

D, es diferenciable en A ∈ D si y solo si lo son cada una de sus funciones componentes F 1 , F 2 ,..F m . Se puede entonces estudiar la diferenciabilidad de F en A bien directamente o bien a trav´ es de sus componentes. Teorema 1.5.1. Sea F : D ⊂

n

R

→

R

m

una funci´ on vectorial de varias variables

definida en un conjunto abierto D y continua en A ∈ D. Si la matriz Jacobiana de F es continua en A entonces F es diferenciable en A. 2

Ejemplo 1.5.1. Sea F (x,y,z ) = (xyz, z ex y ). ¿Es F diferenciable en cualquier

punto (x,y,z ) ∈ Soluci´ on

3 R .

 yz JF (x,y,z ) =  2y e

2 xy 2

Esta matriz es continua en todo R

3

3 R

xz 2xyzexy

2

 xy  e xy 2

(pues sus entradas son funciones continuas en

) entonces por el teorema anterior F es diferenciable en (x,y,z ).

1.6.

Divergencia de una funci´ on vectorial

Supongamos que tenemos la funci´ on con valores vectoriales F (x,y,z ) = P (x,y,z ) i+Q(x,y,z ) j+R(x,y,z ) k = (P (x,y,z ), Q(x,y,z ), R(x,y,z )) con funciones componentes diferenciables P , Q y R. Entonces la divergencia de F denotado por div F es la funci´ on escalar definida como sigue: div F = ∇ . F = (

∂ ∂ ∂ ∂ P ∂ Q ∂ R , , ) . (P,Q,R) = + + ∂ x ∂ y ∂ z ∂x ∂y ∂ z

NOTA 1.6.1.

El operador ∇ se llama operador nabla. a dado por: Ejemplo 1.6.1. Si el campo vectorial F est´ F (x,y,z ) = (x ey , z seny , x y Lnz ) calcule divF (−3, 0, 2).

7

1.7. EL ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

Soluci´ on

div F =

∂ ∂ ∂ xy (x ey ) + (z seny) + (xyLnz ) = e y + z cosy + ∂x ∂y ∂ z z div F (−3, 0, 2) = 1 + 2 cos(0) + 0 = 3

Teorema 1.6.1. Si F y G son dos funciones vectoriales entonces se cumplen:

∇ . (a F + b G) = a ∇ . F + b ∇ . G ∇ . (f F ) = f ∇ . F + ∇ f . F donde f es una funci´ on escalar , a y b son constantes. Definici´ on 1.6.1. Una función escalar φ se dice arm´ onica si es continua, tiene

segundas derivadas continuas y satisfacen la ecuaci´ on de Laplace ∂ 2 φ ∂ 2 φ ∂ 2 φ + + = ∇ 2 φ = 0 2 2 2 ∂x ∂y ∂ z

1.7.

El rotacional de un campo vectorial

El rotacional del campo vectorial F (x,y,z ) = P (x,y,z ) i+Q(x,y,z ) j+R(x,y,z ) k denotado por rot F se difine como:

 i   rotF = ∇ × F =   P

∂ ∂x

j ∂ ∂y

Q

Observaci´ on 1.7.1.

 k   = ∂R − ∂Q , ∂P − ∂ R , ∂Q − ∂ P  ∂y ∂ z ∂ z ∂ x ∂ x ∂ y  R

∂ ∂z

∇ × F no necesariamente es perpendicular a F .

Propiedades

Sean F y G dos funciones vectoriales y φ una función escalar, entonces: 1. ∇ × (F + G) = ∇ × F + ∇ × G 2. ∇ × (∇ φ) = 0 siempre que φ sea de clase C 2 en

3 R .

3. ∇ . (∇ × F ) = 0 siempre que F sea de clase C 2 en 4. (F × ∇) . G = F . (∇ × G)

3 R .

8

1.8. EJERCICIOS PROPUESTOS

5. ∇ × (∇ × F ) = ∇ (∇ . F ) − ∇2 F NOTA 1.7.1.

Un campo vectorial de divergencia nula se dice Solenoidal Si rot F = 0,el campo F de denomina irrotacional. A × (B × C ) = (A . C ) B − (A . B) C r, donde r = (x,y,z ) y Ejemplo 1.7.1. Sea el campo vectorial F = r a  r = ||r|| =  0. Encuentre el valor de la constante a, para que F sea un campo solenoidal. soluci´ on

Sabemos que un campo vectorial F (x,y,z ) = (P (x,y,z ), Q(x,y,z ), R(x,y,z )) es solenoidal si su divergencia es nula, es decir, ∇.F (x,y,z ) =

∂P ∂ Q ∂R + + =0 ∂x ∂y ∂z Q

P

2

2

2

2

2

2

R

Dado que F (x,y,z ) = ((x + y + z ) x, (x + y + z ) y, (x + y + z 2) z ), derivana

2

a

2

2

2

do se tiene: ∂P = (x2 + y 2 + z 2 ) ∂x ∂Q = (x2 + y 2 + z 2 ) ∂y ∂R = (x2 + y 2 + z 2 ) ∂z

a

2

a

2

a

2

1

[(a + 1) x2 + y 2 + z 2 ]

1

[x2 + (a + 1) y 2 + z 2 ]

1

[x2 + y 2 + (a + 1) z 2 ]

−

−

−

Sumando estos resultados se obtiene: ∂P ∂Q ∂ R + + = (x2 + y 2 + z 2 ) ∂x ∂y ∂z

a

2

1

−

(a + 3) [x2 + y 2 + z 2 ]

Por lo tanto, el campo vectorial F es solenoidal si a = −3.

1.8.

Ejercicios Propuestos

1. Trace el campo vectorial F dibujando un diagrama: a) F (x, y) = (−x, 2y) b). F (x,y,z ) = (0, z, 0) c).F (x,y,z ) = j − i d). F (x, y) = (senx, seny) e). f (x,y,z ) = (x,y,z )

a

2

9


2. Encuentre el campo vectorial gradiente de f : a) f (x, y) = Ln(x + 2y) b). f (x,y,z ) = xcos(y/z ) 3. a ) Trace el campo vectorial F (x, y) = i + xj y luego trace algunas lineas de flujo.¿Qué forma parecen tener estas lineas de flujo? b) Si las ecuaciones paramétricas de las lineas de flujo son x = x(t), y = y(t), ¿cuales ecuaciones diferenciales satisfacen estas funciones? Deduzca que dy/dx = x. c ) Halle la ecuaci´ on de la trayectoria seguida por una part´ıcula, que parte del origen de coordenadas y se mueve en el campo de velocidades dada por F . 4. Razonar la certeza o falsedad de las afirmaciones siguientes: a ) No existe

l´ım

(x,y )→(0,0)

2

3

x2

+ y 2

 x + y

, x2 ,sen(y2 )



b) Si f (x, y) = (x2 + y, x − y 2 ) entonces el jacobiano de f en el punto (1, 0) es -1.

 c ) La función F (x, y) = ( | x y |, xcosy) no es diferenciable en el origen. d ) Sea f : → con f (0, 0) = (1, 1) y g : → con g(x, y)  = x + y.  1 1  Sea h = g ◦ f . Si la matriz jacobiana de la funci´ on f en (0, 0) es  2 3 2 R

entonces

∂h ∂x

2 R

(0, 0) = 4 y

2 R

∂h ∂y

R

2

(0, 0) = 5.

e ) Sean f y g funciones de R2 → R2 con f (1, 1) = (2, 2). La matriz jacobiana

  0 1  de la funci´ on f en el punto (1, 1) es  y la matriz jacobiana de la 1 3   1 1  función g en el punto (2, 2) es  . Entonces la matriz jacobiana de 1 2   1 2  la función compuesta g ◦ f en el punto (1, 1) es  . 4 7 5. Se considera el campo vectorial F = (x2 yz,xy2 z,xyz 2 ). Calcule su divergencia y su rotacional. 6. Sea f un campo escalar y F un campo vectorial. Pruebe que div(f F ) = ∇f.F + f divF

10


7. Sea a un vector constante R el vector posici´ on. Se considera el vector v = a ×R. Demuestre que div v = 0 8. Sea f un campo escalar y F un campo vectorial. Pruebe que rot(f F ) = ∇f × F + f rotF . 9. Sea f un campo escalar de clase C 2 en

3 R .

Pruebe que rot(∇f ) = 0.

Referenciales [1] Apostol Tom, M. C´ alculus Vol I . Ed. Reverte. Barcelona 2001. [2] Apostol Tom, M. C´ alculus Vol II . Ed. Reverte. Barcelona 2001. [3] Benazic R. Caminos en Espacios Euclideanos . Ed. Sociedad Matem´ atica Peruana. Lima 2002. [4] Edwards, Jr., D. C´ alculo con Geometr´ıa Anal´ıtica , ed.,Prentice Hall, Mexico, 1998. [5] De Guzmán, M. Aventuras Matematicas . Ed. pirámide. Madrid 2004. [6] Galindo Soto, F. Gu´ıa pr´ actica de c´ alculo infinitesimal en varias variables . Ed. Thomson. Madrid 2005. [7] Garcia Lopez, A. C´ alculo II , ed.,CLAGSA, Madrid, 1997. [8] Lima, E. Curso de An´ alise, Volume 2 . Ed. Projeto Euclides. IMPA. Rio de Janeiro 1981. [9] Lima, E. An´ alisis Real . Ed. IMCA. Lima 1997. [10] Llorens fuster, J. Introducci´ on a derive 6 . Ed. Deisoft, c.b. Valencia Espa˜ na 2003. [11] Pita Ruiz, C. C´ alculo Vectorial , ed.,Prentice Hall, Mexico, 1998. [12] Stewart, J. C´ alculo Mutivariable . Cuarta Edici´ on Ed. Thomson Learning 2006. [13] Velasco Sotomayor, G. Problemario de c´ alculo multivariable . Ed. Thomson, Learning, Mexico, D.F. 2003.

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Funciones Vectoriales de Varias Variables

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