Descripción: Ejercicios de regla de la cadena, funciones varias variables.
Notas del curso de Calculo IV de la clase del Dr Javier Paez FCiencias UNAMDescripción completa
Notas de clase del tema: desde una reseña histórica hasta su estudio en campos escalares y vectoriales. Tratamiento formal y moderno de un asunto que es piedra angular del análisis Matemátic…Descripción completa
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Solución Taller Varias Variables ESPOL
4.12 Valores extremos de funciones de varias variables.
de dos variables definida en una region y tales que
Considerese la funcion continua acotada cerrada R, Los valores
Para todo en R se conosen como el mínimo y máximo de en la región R como se muestra en la figura
El teorema del valor extremo se refiere a una region en el plano que es cerrada y acotada A una region en el plano que se le llama acotada si es una subregión de un disco cerrado en el plano. Teorema del valor extremo Sea f una función continua de dos variables x y y definida en una región acotada cerrada R en el plano xy.
toma un valor minimo. 2. Existe por lo menos un punto en R, en el que toma un valor máximo. 1.Existe por lo menos un punto en R, en el que
A un mínimo mínimo también se se le llama un mínimo absoluto y a un maximo maximo tambien se le llama un máximo absoluto. Como el calculo de una bariable. Se hace una distincion entre extremos absolutos y extremos relativos. Definicion de extremos relativos
Sea una funcion definida en una región
que contiene .
tiene un minimo relativo en si para todo en un disco abierto que contiene 2. .La funcion tiene un máximo relativo en si para todo en un disco abierto que contiene Decir que tiene un máximo relativo en significa que el punto es por lo menos tan alto como todos los puntos cercanos en la grafica de z = de manera similar. tiene un mínimo relativo en si es 1.La funcion
por lo menos tan bajo como todos los puntos cercanos an la grafica.
Para localizar los extremos relativos de se pueden investigar los puntos en los que el gradiente de es 0 o los puntos en los cuales una de las derivadas parciales no exista. Tales puntos se llama puntos criticos de
Definicion de los puntos criticos
es
Sea definida en una región abierta R que contiene un punto critico de si se satisface una de las condiciones siguientes
Definición Una función tiene un máximo (mínimo) en un punto si el valor de la función en este punto es mayor (menor) que su valor en cualquier otro punto de algún entono de P . .
Condiciones necesarias de extremo. Si una función diferenciable alcanza un extremo en el punto entonces sus derivadas parciales de primer orden en este punto son iguales a cero, o sea:
; Los puntos en los que las derivadas parciales son iguales a cero se llaman puntos críticos o estacionarios. No todo punto crítico es un punto extremo. Condiciones suficientes para la existencia de extremos. (a) Caso de dos variables Sea .
función sea
un punto crítico de una
con las derivadas parciales de segundo orden continuas en el determinante de su matriz hessiana, entonces:
P ,
y
Es decir, si el hessiano es positivo hay extremo (el tipo nos lo da , si es negativa máximo y si es positiva mínimo). Si el hessiano es negativo no hay extremo. Y si el hessiano es cero hay duda (que habrá que resolver por otro método) (b) Caso de tres o más variables Calculamos los siguientes determinantes: .
; i. ii.
;
;...;
Si todos los determinantes tienen signo positivo, entonces la función tiene un mínimo en Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor negativo ), entonces la función tiene un máximo en
Encontrar e identificar los puntos críticos del campo escalar calculando el gradiente de F
en Que es igual a Posee infinitos críticos todos los puntos de los ejes x, y ] [ La matriz hessiana es igual a | | Cuyo determinante es | El crítico no se puede clasificar Pero utilizando el rango se puede ver que posee allí un mínimo
BIBLIOGRAFIA:
-Calculo ll: LARSSON ROM y BRUCE H. EDWARDS 9 edición
