FUNCIÓN DE COSTO TOTAL, PROMEDIO Y MARGINAL Problemas Resueltos.1. Supóngase que un líquido se produce por cierto proceso químico y que la Función de Costo Total C(x) está dada por:
C( x ) = 6 + 4 x Donde C(x) dólares es el Costo Total de la producción de x galones del líquido. 1 Encontrar el Costo Marginal cuando se producen 16 galones. 1 El número de galones producidos cuando el Costo Marginal es 40 centavos por galón. Solución: 1. Obtención del gráfico de la Función de Costo Total. 2. Obtención de la ecuación y el gráfico del Costo Marginal, tomando en cuenta que el Costo Marginal es la derivada del Costo Total.
Donde C(x) dólares es el Costo Total de la producción de x galones del líquido. 1 Encontrar el Costo Marginal cuando se producen 16 galones. 1 El número de galones producidos cuando el Costo Marginal es 40 centavos por galón.
1
2. El número de dólares del Costo Total de la producción de x unidades de una mercancía es:
C( x ) = x 2 + 4x + 8
Encontrar la ecuación que defina:
a. El Costo Promedio. b. El Costo Marginal. c. El Costo Marginal Promedio. d. Trace las curvas del Costo Total, Costo Promedio y Costo Marginal. e. Encontrar el valor mínimo del Costo Unitario Promedio. f. Verificar que los Costos Promedio y Marginal son iguales cuando el Costo Promedio tiene su valor mínimo. Solución: Costo Promedio:
C( x ) x 2 + 4x + 8 CP = = = x + 4 + 8 x −1 x x
Costo Marginal: Costo Marginal Promedio:
CM = C ′( x ) = 2 x + 4 CMP = CP ′ = 1 − 8 x −2
El mínimo absoluto del Costo Promedio se puede encontrar con el ítem “Find Critical points” de la opción de menú “Calculus”, este valor es:
2
Es decir: existe un mínimo cuando y = 9.6569, cuando x = 2.8284. Para verificar si los costos Promedio y Marginal son iguales al Costo Promedio Mínimo, procedemos a encontrar el punto de intersección entre las curvas del Costo Marginal y el Costo Promedio, utilizando el ítem “Find Intersection” se tiene que:
Que coinciden con las coordenadas del mínimo de la Función de Costo Promedio. ■ 3. EL gasto fijo extra de un fabricante de juguetes para niños es de $ 400 por semana, y otros gastos ascienden a $ 3 por cada juguete producido. Encontrar: a. b. c. d.
La Función de Costo Total. La Función de Costo Promedio. La Función de Costo Marginal. Trazar las funciones de Costo Total Promedio y Marginal en un mismo sistema coordenado.
Solución: Costo Total:
CT = 400 + 3 x
Costo Promedio:
3
CP = Costo Marginal:
CT 400 + 3 x = = 400 x −1 + 3 x x CM = CT ′ = 3
El gráfico de las curvas de Costo Total, Costo Promedio y Costo Marginal es el siguiente:
■ 4.
Si la ecuación de Demanda de cierta mercancía es:
3 x + 4 p = 12 Encontrar: a. b. c. d.
La Función de Precio. La Función de Ingreso Total. La Función de Ingreso Marginal. Trazar las curvas de Demanda, del Ingreso Total y del Ingreso Marginal en el mismo eje de coordenadas. e. Verificar que la curva de Ingreso Marginal intercepta al eje horizontal en el punto cuya abscisa es el valor de x, para el cual el ingreso total es máximo, y, que la curva de la Demanda interseca al eje de las x en el punto, cuya abscisa es el doble de aquella. Solución:
4
Sea p el precio de cada uno de los artículos, entonces, despejando de la ecuación de Demanda se tiene que la Función de precio es:
p=
12 − 3 x = 3 − 0.75 x 4
Sea IT el Ingreso Total, entonces:
IT = p × x
IT = ( 3 − 0.75 x ) x IT = 3 x − 0.75 x 2 Sea IM el Ingreso Marginal, entonces:
IM = IT ′ IM = 3 − 1.50 x
La intersección de la curva que representa el Ingreso Marginal con el eje horizontal es el punto (2,0); el valor de la abscisa, en el punto máximo de la curva del Ingreso Marginal es: x = 2, con lo que se verifica lo solicitado.
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La intersección de la curva de la Demanda con el eje de las abscisas es el punto (4,0), con lo que se demuestra que la abscisa, es el doble del valor de la abscisa del punto máximo de la curva del Ingreso Total. ■ 5.
La ecuación de Demanda para cierta mercancía es:
x + y = 14 Donde x es el número de unidades producidas diariamente y y es el número en cientos de dólares del precio de cada unidad. El número de cientos de dólares en el Costo Total en la producción de x unidades está dado por:
y x está en el intervalo [1, 14].
C ( x ) = x 2 − 2x + 2
a. Encontrar la función de utilidad y trazar la gráfica de la función. b. En un sistema de coordenadas distinto al usado en (a), trazar las curvas del Ingreso Total y del Costo Total y mostrar la interpretación geométrica de la función de Utilidad. c. Encontrar la Utilidad diaria máxima d. Encontrar las funciones del Ingreso Marginal y del Costo Marginal. e. Trazar las gráficas de las funciones del Ingreso Marginal y del Costo Marginal en el mismo sistema de coordenadas y demostrar que se intersecan en un punto para el cual el valor de x hace que la ganancia sea máxima. Solución: a. Despejando y de la ecuación de demanda se tiene el precio de x artículos en cientos de dólares, es decir:
x + y = 14 y = 14 − x
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Tomando en cuenta que el Ingreso Total está dado por el producto del precio unitario por el número de artículos, se plantea la siguiente ecuación:
IT = precio × número de artículos IT = y × x IT = (14 − x ) x IT = 14 x − x 2
El valor de la Utilidad está dado por la diferencia entre el Ingreso y el Costo, entonces:
U = IT − C ( x )
(
U = 14 x − x 2 − x 2 − 2 x + 2
)
U = 14 x − x 2 − x 2 + 2 x − 2 La función de Utilidad es:
U = 16 x − 2 x 2 − 2 ■ El gráfico de la curva de Utilidad es:
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a.
Gráfico de las curvas de Ingreso Total y Costo Total:
La interpretación geométrica de la curva de Utilidad: “Es la curva que se obtiene al restar las ordenadas de la curva de ingresos menos las ordenadas de la curva de costos”. b.
La Utilidad diaria máxima
Con el programa Graphmatica, en el gráfico de la Utilidad diaria, mediante la herramienta de puntos críticos (Find critical points), se encuentra la Utilidad máxima; es decir:
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Como los valores de la Utilidad están dados en cientos de dólares, se concluye que la utilidad máxima diaria es $ 3000. c. Funciones de Ingreso Marginal y Costo Marginal: La función de Ingreso Marginal, es la derivada de la función de Ingreso Total, es decir:
IM = IT ′ IM = 14 − 2 x La función de Costo Marginal, es la derivada de la función de Costo Total, es decir:
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CM = C ′( x ) CM = 2 x − 2 d. Graficando ambas funciones en el mismo sistema de coordenadas cartesianas ,y utilizando la opción “Find Intersection”, se tiene que, efectivamente, el punto de intersección de las rectas que representan al Ingreso y Costo Marginal es el punto (4,6), con lo que comprueba que la abscisa es igual al punto donde se obtiene la utilidad máxima diaria.
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