Formulario de Estructuras

Formulario de estructuras

Ing. Civil Alfredo Alonso Rodríguez

Deformaciones Cortantes:

Deformaciones Normales: 𝜕𝑢 𝜕𝑣

1 𝜕𝑣

𝜕𝑢

1

1 𝜕𝑣

𝜕𝑤

1

1 𝜕𝑤

𝜕𝑢

𝜖𝑦𝑧 = 2 𝛾𝑦𝑧 = 2 (𝜕𝑧 + 𝜕𝑦 )

𝜕𝑤 𝜕𝑧

𝜖𝑧𝑥 = 2 𝛾𝑧𝑥 = 2 ( 𝜕𝑥 + 𝜕𝑧 )

𝜕𝑢 𝜕𝑥 1 𝜕𝑣 𝜕𝑢 ( + ) 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 1 𝜕𝑤 𝜕𝑢 [2 ( 𝜕𝑥 + 𝜕𝑧 )

Relaciones Esfuerzo-deformación 𝜆

𝜎𝑥 = 𝜇 [(1 − 𝜇)𝜖𝑥 + 𝜇(𝜖𝑦 + 𝜖𝑧 )] 𝜆

𝜎𝑦 = 𝜇 [(1 − 𝜇)𝜖𝑦 + 𝜇(𝜖𝑥 + 𝜖𝑧 )] 𝜆 [(1 − 𝜇

𝜇)𝜖𝑧 + 𝜇(𝜖𝑦 + 𝜖𝑥 )]

𝜏𝑥𝑦 = 𝐺𝛾𝑥𝑦

1 𝜕𝑣 𝜕𝑢 ( + 𝜕𝑦) 2 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑦 1 𝜕𝑣 𝜕𝑤 ( + ) 2 𝜕𝑧 𝜕𝑦

𝜕²𝜖𝑥 𝜕𝑦²

𝜏𝑥𝑦 = 𝐺𝛾𝑥𝑦

𝜕²𝜖𝑧 𝜕𝑥² 𝜕²𝜖

+

𝜕²𝜖𝑦 𝜕𝑥² 𝜕²𝜖𝑧 𝜕𝑦²

𝜕2𝜖𝑦

𝜕

2 𝜕𝑥𝜕𝑧 = 𝜕𝑦 [

𝜇𝐸

𝐸 2(1+𝜇)

𝜕

2

= =

𝜕²𝑥

+ 𝜕𝑧² =

2 𝜕𝑦𝜕𝑧𝑥 = 𝜕𝑥 [−

𝜆 = (1+𝜇)(1−2𝜇) 𝐺=

+

𝜕²𝜖𝑦 𝜕𝑧²

𝜏𝑥𝑧 = 𝐺𝛾𝑥𝑧

𝜕𝑤

𝜕𝑢

Ecuaciones de Compatibilidad

𝜎𝑧 = 𝜆𝑒 + 2𝐺𝜖𝑧

Equivalencias

𝜕𝑤

1 𝜕𝑤 𝜕𝑢 ( + 𝜕𝑧 ) 2 𝜕𝑥 1 𝜕𝑣 𝜕𝑤 ( + ) 2 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑤 ] 𝜕𝑧

𝜎𝑦 = 𝜆𝑒 + 2𝐺𝜖𝑦

𝜏𝑦𝑧 = 𝐺𝛾𝑦𝑧

𝜕𝑣

𝛾𝑧𝑥 = ( 𝜕𝑥 + 𝜕𝑧 )

𝜎𝑥 = 𝜆𝑒 + 2𝐺𝜖𝑥

𝜏𝑥𝑧 = 𝐺𝛾𝑥𝑧

𝜕𝑢

𝛾𝑦𝑧 = (𝜕𝑧 + 𝜕𝑦 )

Ecuaciones de Lamé

𝜏𝑦𝑧 = 𝐺𝛾𝑦𝑧

𝜕𝑣

𝛾𝑥𝑦 = (𝜕𝑥 + 𝜕𝑦)

𝜖𝑦 = 𝜕𝑦

[𝜖] =

𝜎𝑧 =

1

Distorsiones Angulares:

𝜖𝑥𝑦 = 2 𝛾𝑥𝑦 = 2 (𝜕𝑥 + 𝜕𝑦)

𝜖𝑥 = 𝜕𝑥

𝜖𝑧 =

Guaymas, Sonora

𝜕𝛾𝑦𝑧 𝜕𝑥

𝜕𝛾𝑦𝑧 𝜕𝑥

𝜕²𝛾𝑥𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕²𝛾𝑦𝑧 𝜕𝑦𝜕𝑧 𝜕²𝛾𝑥𝑧 𝜕𝑧𝜕𝑥

+

−

𝜕𝛾𝑥𝑧 𝜕𝑦

𝜕𝛾𝑥𝑧 𝜕𝑦

+

+

𝜕𝛾𝑥𝑦 𝜕𝑧

𝜕𝛾𝑥𝑦 𝜕𝑧

]

]

𝜕²𝜖𝑧 𝜕 𝜕𝛾𝑦𝑧 𝜕𝛾𝑥𝑧 𝜕𝛾𝑥𝑦 = [ + − ] 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

𝑒 = 𝜖𝑥 + 𝜖𝑦 + 𝜖𝑧

Teorema del binomio (1 + ∆)𝑛 = 1 + 𝑛∆ +

𝑛(𝑛−1) ∆² 2!

Longitud de arco 𝑑𝑦 2

𝑠 = ∫ √1 + (𝑑𝑥 ) 𝑑𝑥 Curvatura 1 𝜌

𝑑²𝑦 𝑑𝑥²

= [1+(

3/2 𝑑𝑦 2 ) ] 𝑑𝑥

Teoremas de la suma o diferencia de ángulos

Series de Taylor sen ∆𝜃 = ∆𝜃 −

∆𝜃3 3!

cos ∆𝜃 = ∆𝜃 −

∆𝜃2 2!

+

∆𝜃5 5!

−⋯

+

∆𝜃4 4!

−⋯

sen(𝑎 ± 𝑏) = sen(𝑎) cos(𝑏) ∓ cos(𝑎) sen(𝑏) cos(𝑎 ± 𝑏) = sen(𝑎) cos(𝑏) ∓ cos(𝑎) sen(𝑏)

Formulario de estructuras

Ing. Civil Alfredo Alonso Rodríguez

Guaymas, Sonora

Fórmula general de la escuadría para ejes centroidales

𝑁 𝜎𝑥 = [ ] + 𝐴

𝐼𝑦𝑧 𝑀𝑧 − 𝑀𝑦 𝐼 𝑦

𝐼𝑦𝑧 𝑀𝑦 − 𝑀𝑧 𝐼 𝐼𝑦 𝑀𝑧 − 𝐼𝑦𝑧 𝑀𝑦 𝐼𝑧 𝑀𝑦 − 𝐼𝑦𝑧 𝑀𝑧 𝑁 𝑧 𝑦+ 𝑧 =[ ]+[ ]𝑦 + [ ]𝑧 𝐴 𝐼𝑧 𝐼𝑦 − 𝐼𝑦𝑧 ² 𝐼𝑧 𝐼𝑦 − 𝐼𝑦𝑧 ² 𝐼𝑦𝑧 ² 𝐼𝑦𝑧 ² 𝐼𝑧 (1 − 𝐼𝑦 (1 − 𝐼𝑧 𝐼𝑦 )] 𝐼𝑧 𝐼𝑦 )] [ [ Fórmula general de Collignon-Jourawski para el cortante horizontal 𝜏𝑠𝑥 = [

𝐼𝑦 𝑄𝑧 − 𝐼𝑦𝑧 𝑄𝑦 𝑉𝑦 𝐼𝑧 𝑄𝑦 − 𝐼𝑦𝑧 𝑄𝑧 𝑉𝑧 ] +[ ] 𝐼𝑧 𝐼𝑦 − 𝐼𝑦𝑧 ² 𝑡 𝐼𝑧 𝐼𝑦 − 𝐼𝑦𝑧 ² 𝑡 Carga crítica de Euler 𝑃𝑐𝑟 =

𝜋 2 𝐸𝐴 𝑘𝐿 2 (𝑟)

Ecuaciones pendiente-deflexión 𝑀𝐴𝐵 =

4𝐸𝐼 2𝐸𝐼 6𝐸𝐼 𝜃𝐴 + 𝜃𝐵 − ∆ ± ̅̅̅̅̅̅ 𝑀𝐴𝐵 𝐿 𝐿 𝐿²

𝑀𝐵𝐴 =

4𝐸𝐼 2𝐸𝐼 6𝐸𝐼 𝜃𝐵 + 𝜃𝐴 − ∆ ± ̅̅̅̅̅̅ 𝑀𝐵𝐴 𝐿 𝐿 𝐿²

Ecuación general de los tres momentos 𝐿𝐼 𝐿𝐼 𝐿𝐷 𝐿𝐷 𝐴𝐼 𝑥̅𝐼 𝐴𝐷 ̅𝑥̅̅𝐷̅ ℎ𝐼 ℎ𝐷 𝑀𝐼 ( ) + 2𝑀𝐶 ( + ) + 𝑀𝐷 ( )+6 +6 = 6[ + ] 𝐸𝐼𝐼 𝐸𝐼𝐼 𝐸𝐼𝐷 𝐸𝐼𝐷 𝐸𝐼𝐼 𝐿𝐼 𝐸𝐼𝐷 𝐿𝐷 𝐿𝐼 𝐿𝐷