Formas bilineales y cuadráticas
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Tabla de contenido
1.
Forma bilineal ........................................................................................................... 3
1.1. Definición .................................................................................................................. 3 1.2. Propiedades .............................................................................................................. 3 1.3. Forma bilineal simétrica ........................................................................................... 4 1.4. Forma bilineal anti simétrica ................................................................................... 4 1.5. Matriz de una forma bilineal .................................................................................... 4 1.6. Cambio de base ....................................................................................................... 5 2.
Forma cuadrática ..................................................................................................... 7
2.1. Definición .................................................................................................................. 7 2.2. Expresión matricial de una forma cuadrática. ....................................................... 7 2.3. Conjugación. ............................................................................................................. 8 2.3.1. Vectores conjugados. ........................................................................................... 8 2.3.2. Subespacios conjugados. .................................................................................... 9 2.4. Núcleo de una forma cuadrática. ............................................................................ 9 2.5. Rango y signatura de una forma cuadrática. ...................................................... 10 2.6. Clasificación de las formas cuadráticas ............................................................... 11
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1. Forma bilineal En álgebra, una forma bilineal sobre un espacio vectorial es una aplicación que asocia un escalar a cada par de vectores, tal que es lineal en cada uno de sus argumentos por separado. 1.1.
Definición
Sea V un K-espacio vectorial sobre el cuerpo K. Una aplicación se dice que es una forma bilineal si
,
y verifica:
,
Observaciones: El término “bilineal” indica que f es lineal respecto de las dos variables. El uso del término “forma” en vez de “aplicación” indica que la imagen es un escalar del cuerpo K y no un elemento de un espacio vectorial.
1.2.
Propiedades
De la definición se tienen las siguientes propiedades:
para todo
y
Notación: f(x,y) = ρ ∈ IR
Ejemplo 1.1. Dado R2, la aplicación f : R2 ×R2 →R definida por f:
R2 ×R2 ((x1,x2),(y1,y2))
→R → x1.y2
es una forma bilineal, ya que para todo (x1,x2),(y1,y2),(z1,z2)
R2 y α,β
K se tiene que
f(α(x1,x2) + β(y1,y2),(z1,z2)) = f((αx1 + βy1,αx2 + βy2),(z1,z2)) = (αx1 + βy1)z2,
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αf((x1,x2),(z1,z2)) + βf((y1,y2),(z1,z2)) = α(x1.z2) + β(y1.z2)
1.3.
Forma bilineal simétrica
Se dice que la forma bilineal f de V × V en IR es simétrica, si: ∀x,
y
∈ V
1.4.
se cumple f(x, y) = f(y, x).
Forma bilineal anti simétrica
Una forma bilineal antisimétrica es aquella en la que el intercambio de argumentos provoca un cambio de signo:
en particular se tiene que
1.5.
Matriz de una forma bilineal
Sea B = {v1, v2,…, vn} una base de V. Tomemos „x‟ e „y‟ vectores de coordenadas (xi) e (yi) respectivamente. Esto es,
Así
siendo
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. A es la matriz de f respecto de la base B.
Ejemplo: Calcular las matrices asociadas a la forma bilineal f : R2×R2 →R definida por f((x1,x2),(y1,y2)) = x1y2 +x2y 1 en la base canónica y en la base B ={(1,−1)(−1,0)} f (
)((1,0),(1,0)) = 0
f((1,0),(0,1)) = 1
=
MBcf =
f((0,1),(1,0)) = 1 f((0,1),(0,1)) = 0 f((1,−1),(1,−1)) =−2 f((1,−1),(−1,0)) = 1
=
MBf =
f((−1,0),(1,−1)) = 1 f((−1,0),(−1,0)) = 0
1.6.
Cambio de base
Si √
B‟ = {v‟1, v‟2,…, v‟n} es otra base y P es la matriz del cambio de base de B‟ a B, , se tiene que para x e y de coordenadas (xi) e (yi) en la base B y coordenadas (x‟1) e (y‟1) en la base B‟
Ejemplo 3.1. Sea f : R2 ×R2 →R definida por f((x1,x2),(y1,y2)) = x1y2 + x2y1 , B la base can´onica y B’ ={(1,−1)(−1,0)}. Entonces:
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Rango de una forma bilineal Definicion 4.1. Sea f : V ×V → K una forma bilineal, dimV = n, se define el rango de una forma bilineal como el rango de la matriz MBf siendo B una base cualquiera de V.
Ejemplo: ¿Cuál es el rango de f en los siguientes casos?
1. f : R2 ×R2 → R definida por f(x,y) = 3x1y1 + x2y1 + x1y2 + 2x2y2 . La matriz de f asociada a la base canónica es
y por tanto el rg(f) = 2.
2. f : R3×R3 →R definida por f((x1,x2,x3),(y1,y2,y3)) = x1y1−x3y3+x1y 2. La matriz de f asociada a la base canónica es
y por tanto el rg(f) = 2
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2. Forma cuadrática
Una forma cuadrática o forma bilineal simétrica es una aplicación matemática que asigna a cada elemento de un espacio vectorial x, un número real, de una manera que generaliza la operación ax² un espacio vectorial de dimensión superior a 1. 2.1.
Definición
Una aplicación
es una forma cuadrática, si ocurre que
1.
,
2. La aplicación
,
. definida como
es una forma bilineal simétrica fq se denomina la forma polar asociada a la forma cuadrática q.
Se pueden definir formas cuadráticas asociadas a formas bilineales no simétricas aunque nosotros sólo estudiaremos el caso de las formas cuadráticas asociadas a formas bilineales simétricas. Ejemplos Calcular la forma cuadrática asociada a las siguientes formas bilineales 1. Sea f : R2×R2 →R definida por f(x,y) = f((x1,x2),(y1,y2)) = x1y2 +x2y1 entonces Qf(x) = f ((x1, x2), (x1, x2)) = 2x1x2 2. f : R2 ×R2 →R definida por f(x,y) = 3x1y1 + x2y1 + x1y2 + 2x2y2 entonces Qf(x) = f ((x1, x2), (x1, x2)) = 3(x1)² + 2x1x2 + 2(x2)²
2.2.
Expresión matricial de una forma cuadrática.
Consideremos Q: V → K una forma cuadrática asociada a la forma bilineal simétrica f: V ×V →K. Sea B ={v1,...,vn} base de V, como f es simétrica tenemos q ue f(vi,vj) =f (vj,vi). Por tanto
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Ejemplo Hallar la matriz asociada a Q : R4 → R con Q(x1,x2,x3,x4) = (x1)² −2x1x2 + 2x1x3 + 2x1x4 + (x2)² −2x2x3 + 2x2x4 – (x3)² + 2x3x4 – (x4)² en la base canónica.
2.3.
Conjugación.
2.3.1.
Vectores conjugados.
Definición: Sea ω : U → IK una forma cuadrática y f su forma polar. Dos vectores x, y ∈ U se dicen conjugados respecto de ω o f si: f(x, y) = 0. Está claro que el vector nulo 0 es conjugado a todos los vectores del espacio vectorial: f(x,0) = 0 para cualquier x
∈ U.
Definición: Dada ω: U → IK una forma cuadrática, se dice que un vector x ∈ U es autoconjugado si está conjugado consigo mismo: ω(x) = 0
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2.3.2.
Subespacios conjugados.
Definición: Sea ω: U → IK una forma cuadrática. Sea A un subconjunto de U, se llama conjugado de A y se denota por conj(A) al conjunto de todos los vectores conjugados
respecto ω a todos los elementos de A: conj(A) = {x
U|f(x, a) = 0 para todo a
A}.
Propiedades 1. El conjunto conj(A) es un subespacio vectorial. Prueba: Esta´ claro que 0 ∈ conj(A), porque el vector nulo está conjugado con cualquier vector. Además sean x, y ∈ conj(A) y α,β ∈ IK. Entonces para cualquier a ∈ A se tiene: f( αx + βy,a) = αf(x,a) + βf(y,a) = ¯ 0 x, y 2. A
B
conj(A)
conj(B)
f(x,a) = f(y,a) = 0. Y por tanto αx + βy
conj(A).
conj(A).
Prueba: x ∈ conj(B)
⇒ f(x,b)
f(x,a) = 0,
a
= 0,
A
∀b ∈ B ⇒
B
x
conj(A)
2.4. Núcleo de una forma cuadrática.
Definición: Dada una forma cuadrática ω: U → IK definimos su núcleo como el conjunto de todos los vectores conjugados a todos los del espacio vectorial:
ker (ω) = {x ∈ U|f(x, y) = 0, ∀y ∈ U} = conj(U) donde f es la forma polar asociada a ω.
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Propiedades 1. El núcleo es un subespacio vectorial. 2. Dada una base B de U: ker(ω) = {x
U|(x)FB = (0)}.
Prueba: Basta tener en cuenta que: f(x, y) = 0,
y
U
(x)FB{y} = 0,
y
U
(x)FB = (0).
3. Todos los vectores del núcleo son autoconjugados. El reciproco no es cierto. 4.
dim (ker(ω)) = dim(U)−rango(ω). Prueba: Se deduce si tenemos en cuenta que la dimensión de la solución de un sistema es la dimensión del espacio vectorial menos el número d e ecuaciones independientes. Aplicando esto a: ker(ω) = {x ∈ U|(x)FB = (0)} se obtiene la relación indicada.
2.5.
Rango y signatura de una forma cuadrática.
Teorema: Dos matrices congruentes tienen el mismo rango. Demostración: Sea A una matriz simétrica de rango n y A‟ = PtAP con P inversible. Consideremos la aplicación lineal f:IRn −→IRn dada por f(x) = Ax, luego A es la matriz de f en la base canónica, Bc. Como P es inversible, sus columnas forman una base B‟ de IRn y P es la matriz de cambio de base d e B‟ a Bc; y como (Pt)−1 es inversible, sus columnas forman una base B00 de IRn y (Pt)−1 es la matriz de cambio de base de B‟‟ a Bc, por lo que Pt es la matriz de paso de Bc a B00.
Entonces, la matriz A‟ = PtAP es la matriz de la aplicación f asociada a la s bases B‟ y B‟‟ , pues
A‟[x]B‟ = PtAP[x]B‟ = Pt A[x]Bc = Pt[f(x)]Bc = [f(x)]B‟‟ por lo que A0 y A son matrices asociadas a la misma aplicación lineal, luego rg(A) = rg(A‟).
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2.6.
Clasificación de las formas cuadráticas
Definición: Se dice que una forma cuadrática Q es: a) Nula si Q(x) = 0 para todo x.
b) Definida positiva si Q(x) > 0, para todo x no nulo. c) Semidefinida positiva si Q(x)≥0, para todo x y Q no es nula ni definida positiva. d) Definida negativa si Q(x) < 0, para todo x no nulo. e) Semidefinida negativa si Q(x)≤0, para todo x y Q no es nula ni definida negativa. f) Indefinida si Q(x) alcanza tanto valores positivos como negativos, es decir, si ∃x1 6= 0 tal que Q(x1) > 0 y
∃x2
6= 0 tal que Q(x2) < 0.
Para las formas cuadr´aticas sobre IR2, podemos dar una representaci´on de ellas
usando superficies en IR3 asignando a z el valor de la forma cuadr´atica en (x,y), es decir, haciendo z = d1x2+d2y2.
Teorema de clasificación: Sea Q una forma cuadrática en un espacio vectorial de dimensió n n. Se verifica: a) Q es nula
⇐⇒ Sig(Q)
= (0,0)
b) Q es definida positiva ⇐⇒ Sig(Q) = (n,0). c) Q es semidefinida positiva ⇐⇒ Sig(Q) = (p,0) con 0 < p < n. d) Q es definida negativa ⇐⇒ Sig(Q) = (0,n). e) Q es semidefinida negativa ⇐⇒ Sig(Q) = (0,q) con 0 < q < n. f) Q es indefinida ⇐⇒ Sig(Q) = (p,q) con 0 < p,q.
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