Factorizaci´ on on PA=LU Prof. I. Huerta Facultad Facul tad de Matem´ Mate m´aticas atic as UC
[email protected] Septiembre 2008
Factorizaci´on PA=LU
Aplicaciones
Factorizaciones (Dividir para Conquistar)
• La estr estrat ateg egia ia cons consis iste te en exp expresa resarr una una opera operaci ci´ on o´n comp compli lica cada da como como la composici´ on on de varias sencillas. • Esto permite revertir una operaci´on on complicada revirtiendo una sucesi´ on on de operaciones sencillas • En matr matric ices es,, la estr estrat ateg egia ia cons consis iste te en exp expresa resarr una una matr matriz iz A como el producto de matrices sencillas. • Por ejemplo, para la composici´on on A = BC tenemos
1
Factorizaci´on PA=LU
Aplicaciones
A x = b⇔B
C x = b⇔
y
By = b Cx = y
b, donde A = BC , se hace lo siguiente Entonces, para resolver Ax =
• Resuelva By = b • Resuelva C x = y En general, si tenemos la factorizaci´ on on A = A1 A2 · · · Ak b, se resuelven sucesivos sistemas de ecuaciones entonces para resolver Ax =
• x0 = b 2
Factorizaci´on PA=LU
Aplicaciones
• Para i = 1, 2, . . . , k , resuelva Aixi = xi • x = xk
1
−
b es equivalente a calcular Si A es invertible, entonces resolver Ax = x = A 1 b SIN TENER LA INVERSA de A. −
3
Factorizaci´on A=LU
Tabulaci´on de Datos
Al final del semestre habremos visto las factorizaciones
• A es el producto de matrices elementales para A invertible. • P A = LU T ( Factorizaci´on PALU para matrices generales) • A = LDL (Cholesky sin ra´ız cuadrada para sim´etricas) • A = RT R (Cholesky con ra´ız cuadrada para A sim´etrica positiva definida) • A = QR (Factorizaci´ on QR para matrices generales) • A = V DV T 1 (Diagonalizaci´on) • A = V DV (diagonalizaci´on ortogonal para A sim´etrica) • A = V ΣU (descomposici´on de valores singulares para A matriz general de m × n) −
4
Factorizaci´on A=LU
Tabulaci´on de Datos
Factorizaci´ on A=LU Sea A de m
× n. La factorizaci´on A = LU
• se obtiene al llevar la matriz A a la forma escalonada U usando exclusivamente la operaci´ on elemental fila: sumar un m´ ultiplo de una fila a otra.
• la matriz escalonada U de m × n obtenida no tiene los pivotes iguales a 1 en general.
• La factorizaci´on
A = LU expresa a cada fila de A como combinaci´ on lineal de las filas de U . 5
Factorizaci´on A=LU
Tabulaci´on de Datos
• la matriz L de m × m es triangular inferior con 1’s en la diagonal L=
1
0 1
0 0 1
l2,1 l3,1 l3,2 .. lm,1 lm,2 lm,3
··· ··· ··· ... ···
0 0 0 1
= LU no siempre puede realizarse pues en ciertos casos hay intercambios de filas forzados , en cuyo caso se obtiene la factorizaci´ on P A = LU .
•A
• La ecuaci´on A = LU expresa a la fila i de A como combinaci´on lineal de las filas de U con coeficientes en la fila i de L.
6
Factorizaci´on A=LU
Tabulaci´on de Datos
Hay dos maneras de ver la factorizaci´ on P A = LU . i) Matricial: interpretando a la eliminaci´ on de gauss como multiplicaciones por matrices elementales ii) Vectorial: interpretando las filas de A como combinaciones lineales de las filas de U .
7
Factorizaci´on A=LU
Tabulaci´on de Datos
Ejemplo 1.
A
=
E 3,1 (−l3,1 )
−→
0 0
··· ··· ···
E 2,1 (−l2,1 )
··· ··· ···
−→
E 3,2 (−l3,2 )
−→
Matricialmente
0
··· ··· ···
0
0
0
··· ··· ···
= U
E 3,2(−l3,2) E 3,1(−l3,1) E 2,1(−l2,1) A = U
1 0 0 0 1 0 0 −l3,2 1
1 0 0 0 1 0 −l3,1 0 1
1 0 0 −l2,1 1 0 0 0 1
A = U
8
Factorizaci´on A=LU
Tabulaci´on de Datos
Entonces A = (E 2,1(−l2,1))−1 (E 3,1(−l3,1))−1(E 3,2(−l3,2))−1 U
A=
1 0 0 −l2,1 1 0 0 0 1
Por lo tanto
−1
1 0 0 0 1 0 −l3,1 0 1
−1
1 0 0 0 1 0 0 −l3,2 1
−1
U
A = E 2,1(l2,1) E 3,1(l3,1) E 3,2(l3,2) U = LU
A=
1 l2,1 0
L
0 0 1 0 0 1
1 0 l3,1
0 0 1 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 l3,2 1
U = LU
9
Factorizaci´on A=LU
Tabulaci´on de Datos
Pero L
=
=
=
1 l 0 1 l 0 1 l
2,1
2,1
2,1
l3,1
Es decir,
1 0 0 1 0 1 0 0 l 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 l l 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1
3,1
3,1
l3,2
0 1 l3,2
0 0 1
3,2
1
1
0 1
0 0 U A = l2,1 l3,1 l3,2 1 La matriz L tiene los multiplicadores usados en la eliminaci´ o n de guass. La matriz U es la escalonada sin 1’s en la diagonal. 10
Factorizaci´on A=LU
Ejemplo 2.
Tabulaci´on de Datos
Llevamos la matriz
A=
−
1 1 2
1 1 2
−
1 1 2
−
1 1 2 0 2 1
−
a una forma escalonada U usando s´ olamente la operaci´ on elemental de sumar un m´ ultiplo de una fila a otra. A=
−
1 1 2
1 1 2
−
1 1 2
−
1 1 2 0 2 1
−
l2,1 =−1,l3,1 =2,
−→
l3,2 =−2,
−→
1 1 0 0 0 0
U =
1 2 4
−
− − − −
1 1 1 0 0 2 0 0 0
1 1 0
1 1 1
1 1 1 1 2 1
11
Factorizaci´on A=LU
Tabulaci´on de Datos
La relaci´ on entre las filas Ai de A y las filas U j de U es la siguiente U 1 = A1 = A1 U 2 = A2 −l2,1U 1 = A2 +U 1 U 3 = A3 −l3,1U 1 −l3,2U 2 = A3 −2U 1 +2U 2
Despejando cada una de las filas Ai en t´ erminos de la filas U j obtenemos = U 1 A1 = U 1 = −U 1 +U 2 A2 = l2,1U 1 +U 2 A3 = l3,1U 1 +l3,2U 2 +U 3 = 2U 1 −2U 2 +U 3
Estas relaciones de combinaciones lineales se escriben convenientemente en forma matricial A1 U 1 U 1 1 0 0 A2 = l2,1U 1 + U 2 U 2 = l2,1 1 0 A3 l3,1U 1 + l3,2U 2 + U 3 l3,1 l3,2 1 U 3
12
Factorizaci´on A=LU
Es decir
Tabulaci´on de Datos
A1 A2 A3
1 0 0 −1 1 0 2 −2 1
=
A
L
o equivalentemente
1 1 1 1 1 −1 −1 1 −2 0 2 2 −2 2 1 A
=
U 1 U 2 U 3 U
1 0 0 −1 1 0 2 −2 1
1 1 1 1 1 0 0 2 −1 1 0 0 0 −2 1
L
U
13
Factorizaci´on A=LU
Tabulaci´on de Datos
Generalizaci´ on Note que
• Para obtener la fila U j se le resta a la fila Aj m´ultiplos de las filas U i con i
• El multiplicador li,j dice por cuanto hay que multiplicar la fila j de modo que al restarla a la fila i se hace un cero bajo el pivote j .
En general se tiene entonces que U 1 U 2 U 3 U m
= A1 = A2 − l2,1U 1 = A3 − l3,1U 1 − l3,2U 2 .. = Am − lm,1U 1 − lm,2U 2 − · · · − lm,m−1U m−1 14
Factorizaci´on A=LU
Tabulaci´on de Datos
Expresando las filas Ai de A como combinaci´ on lineal de las filas U j de U se tiene A1 A2 A3 Am
= U 1 = l2,1U 1 + U 2 = l3,1U 1 + l3,2U 2 + U 3 .. = lm,1U 1 + lm,2U 2 + · · · + lm,m−1U n−1 + U m
Estas relaciones de combinaciones lineales se escriben convenientemente mediante la factorizaci´ on
A1 A2 A3 .. Am A
=
1 l2,1 l3,1
0 1 l3,2
0 0 1
lm,1 lm,2 lm,3
L
··· 0 ··· 0 0 ··· ... · · · lm,m−1
0 0 0 1
U 1 U 2 U 3 .. U m U
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Factorizaci´on A=LU
Tabulaci´on de Datos
Tabulaci´ on de datos Para efectos de mantener en forma organizada los resultados intermedios y multiplicadores en el proceso de eliminaci´ on gaussiana hacemos lo siguiente
• Trabajamos con una s´ola matriz de trabajo de m × n. • Esta matriz inicialmente tiene el valor de A. • Se procede con la eliminaci´on tal como siempre pero se guarda el valor
del multiplicador li,k en el elemento que se anula al restar li,k veces la fila k a la fila i
• Es decir, se guarda impl´ıcitamente el valor cero de U y expl´ıcitamente el multiplicador li,k que hace el cero.
• Las posiciones en la matriz de trabajo que corresponden a multiplicadores se marcan (en estas notas los multiplicadores van en negrita)
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Factorizaci´on A=LU
Tabulaci´on de Datos
• La tabla final que se obtiene al terminar el proceso tiene los multiplicadores li,k que definen a L y a la escalonada U .
• Los ceros que se realizan en el proceso de eliminaci´on est´an impl´ıcitos en la
tabla y est´an ubicados en los lugares donde se guardan los multiplicadores.
• Los unos de la diagonal de L se suponen impl´ıcitos
17
Factorizaci´on A=LU
Tabulaci´on de Datos
Ejemplo 3. Donde se hace un multiplicador correspondiente.
cero
anotamos en
negrita
el
El valor del multiplicador li,j es
li,j
−
2 2 4 4
1 1 2 2
2 5 7 2
3 4 9 2
− − − −
Elemento que se anula = Pivote
− 4 3 9 10
l2,1 =−2/2=−1 l3,1 =4/2=2 l4,1 =4/2=2
−→
2
-1 2 2
1 0 0 0
2 3 3 6
3 1 3 4
− − − −
4 1 1 2
18
Factorizaci´on A=LU
Tabulaci´on de Datos
l3,2 =3/(−3)=−1 l4,2 =(−6)/(−3)=2
−→
l4,3 =(−2)/2=−1
−→
2
-1 2 2 2
-1 2 2
1 0 0 0 1 0 0 0
2 3
3 1 2 2
2 3
3 4 1 1 2 2 -1 2
− − -1 2 −
4 1 2 0
− − -1 2
L. Si reemplazamos los multiplicadores por ceros obtenemos U . Los multiplicadores en negrita definen la parte triangular inferior de
A = LU,
L=
1 0 0 1 0 −1 2 −1 1 2 2 −1
0 0 0 1
U =
2 0 0 0
1 2 3 0 −3 −1 0 0 2 0 0 0
4 1 2 2
19
Factorizaci´on A=LU
Tabulaci´on de Datos
on A = LU para Ejemplo 4. Calculamos una factorizaci´
A=
−2 1 1 −3 −2 −4 2 −1 −3 −1 2 −1 1 1 1 6 −3 5 1 2
20
Factorizaci´on A=LU
Tabulaci´on de Datos
2
1
1
4
2
−
− −
2
−
6
−
1
2 1 1
l2,1 =(−4)/(−2)=2,
3
−
l3,1 =2/(−2)=−1
3
−
l4,1 =6/(−2)=−3
− −
1
1
1
3
5
1
−→
2
l3,2 =2/(−3)=−2/3 l4,2 =−8/3 −→
l4,3 =4/1=4 −→
2 3 1
-2
1
1
−
3
−
2 -1 -3
0 0 0
−
3 2 8
3 −2 −8
−
4
−
-2
1
1
2 -1 -3
0
-3
3
0 0
-2/3 -8/3
0 0
-2
1
1
2 -1 -3
0
-3
3
0
-2/3 -8/3
0
0
3
−
3
−
0
2 3 1 4 2 3 1
−
−
4
21
Factorizaci´on A=LU
A = LU,
Tabulaci´on de Datos
L=
1 0 2 1 −1 −2/3 −3 −8/3
0 0 1 4
0 0 0 1
U =
−2 0 0 0
1 1 −3 −2 0 −3 3 3 0 0 0 1 0 0 0 0
22
Factorizaci´on PA=LU
Tabulaci´on de Datos
−
Ejemplo 5. Calculamos A = LU para A =
−
2 4 6
−4 −6 10
2 7 12
−
l2,1 =2 l3,1 =−3
−→
l3,2 =−1
−→
Por lo tanto A = LU con 1 0 0 2 1 0 L= −3 −1 1
U =
2 4 6 2
2 -3 2
−4 −6 10 −4 2 −2 −4
2 2 -3 -1
− − − 2 7 12
2 3 6 2 3 3
2 −4 2 0 2 3 0 0 −3
23
Factorizaci´on PA=LU
Tabulaci´on de Datos
Factorizaci´ on PA=LU La factorizaci´ on P A = LU es la que se obtiene al llevar la matriz A a su forma escalonada U realizando exclusivamente las operaciones elementales fila: i) Restar un m´ ultiplo de un fila a otra ii) intercambiar dos filas
• La operaci´on elemental fila de reemplazar la fila i por un m´utiplo de si misma no se puede realizar.
• La matriz P A es la matriz A con las filas intercambias • La matriz P es una matriz de permutaci´on y es la matriz identidad con sus filas intercambiadas
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Factorizaci´on PA=LU
Tabulaci´on de Datos
• Por ejemplo PA =
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
1 0 0 0
A1 A2 A3 A4
=
A4 A3 A1 A2
• Al intercambiar filas a medida que se realiza la eliminaci´on de Gauss se
calcula la factorizaci´ on LU a la matriz A con su filas intercambiadas. Es decir P A = LU .
on P A = LU de Ejemplo 6. En este ejemplo calculamos la factorizaci´
A=
2 −2 1 3 −3 1 −2 2 −1 1 1 1
1 1 1 1
25
Factorizaci´on PA=LU
Tabulaci´on de Datos
y mostramos lo que pasa cuando se intercambian filas.
• Como siempre guardamos (en negrita) el multiplicador li,k
en el
elemento que se anula al realizar la operaci´on elemental fila
• Cuando se intercambias filas anotamos el intercambio y se intercambian las filas, incluyendo los multiplicadores ya calculados .
−
2 3 2 1
−2 −3 2 1
1 1 1 1
−
1 1 1 1
−→
2
3/2 -1 1/2
−2 0 0 2
1 1/2 0 1/2
−
1 1/2 2 1/2
−
26
Factorizaci´on PA=LU
Tabulaci´on de Datos
−→ −→ P 4,2
P 4,3
2
1/2 -1 3/2 2
1/2 3/2 -1
−2 2
0 0
−2 2
0 0
1 1/2 0 1/2
1 1/2 2 1/2
−
−
−
−
1 1/2 1/2
0
1 1/2 1/2 2
27
Factorizaci´on PA=LU
Tabulaci´on on de Datos
Note que
• La matriz que factorizamos es realmente PA =
A1 A4 A2 A3
=
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
A1 A2 A3 A4
• Entonces,
1 0 P = 0 0
0
0
0
0
1
0
0
1
1 1 1/2 , L = 0 3/2 0
0
−1
0 1 0 0
0 0 1 0
2 0 0 0 , U = 0 0 1
0
−2
1
2
1/2
0
−1/2
0
0
1/ 2 1/2 1
−
2
28
Factorizaci´on PA=LU
Tabulaci´on on de Datos
matr matriz iz P se obti obtien ene e de la matr matriz iz iden identi tida dad d inte interc rcam ambi bian ando do primero las filas 2 y 4 y luego las filas 3 y 4,
• La
P = P 4,3P 4,2I 4 = P 4,3P 4,2
.
29
Factorizaci´on PA=LU
Tabulaci´on on de Datos
Generalizaci´ on on Suponga que
• en la eliminaci´on on se intercambian las filas 1 con ii, 2 con i2, etc.... • Se define k = ik en caso que la fila k no se intercambie con ninguna fila. Entonces, Si A es la matriz que se obtiene de A intercambiando las filas de modo que ´ estas estas queden queden en el orden rden final final que se obtiene obtiene en la eliminaci´ on de Gauss, entonces al realizar el proceso de on eliminaci´ on on de gauss en A no se requiere intercambiar filas 30
Factorizaci´on PA=LU
Tabulaci´on de Datos
P 2,i2 P 1,i1 entonces A = P A es la matriz que Si P = P m,im 1 se obtiene de A intercambiando las filas 1 con i1, fila 2 con i2 etc... en ese mismo orden. −
···
Por lo tanto para la matriz A = P A se puede realizar la eliminaci´ on de Gauss sin intercambio de filas
es decir A = P A = LU .
31
Factorizaci´on PA=LU
Tabulaci´on on de Datos
Teorema 1. 1.
Sea A matriz de m
× n. Entonces Entonces existen: existen:
• P matriz m × m de permutaci´on. on. • L matriz de m × m triangular inferior con 1’s en la diagonal • U matriz de m × n escalonada (sin 1’s en los pivotes) tal que P A = LU
Adem´as as se tiene tien e que P = P m 1,im 1 P 2,i2 P 1,i1 es el produ oducto de las matrices de permutaci´ on o n elem elemen enta tale less que que se real realiz izan an en la elim elimin inac aci´ i´ on de gaus gauss. s. Pues Puesto to que que P = P I m, P es la matriz identidad con las filas intercambiadas con los mismos intercambio de filas que se realizan en el proceso de eliminaci´ on on de gauss de A. −
−
···
32
Factorizaci´on PA=LU
Tabulaci´on on de Datos
Tabulaci´ on de datos en P A = LU on
• La tabulaci´on on de c´ alculos alculos es una extensi´ extension o ´n del m´ etodo eto do para A = LU que considera el intercambio de filas.
• Se procede con la eliminaci´on on tal como siempre. • Se anotan los multiplicadores li,k
en el lugar donde se hace el cero al
restar li,k veces la fila k a la fila i.
• En caso que se intercambie la fila la fila k
con la ik en alg´ alg´ un un punt punto o de la elim elimin inac aci´ i´ on, on, se in inte terc rcam ambi bian an la lass filas filas co comp mplet letas as,, incl incluy uyen endo do los los multiplicadores. 33
Factorizaci´on PA=LU
Tabulaci´on on de Datos
on on P A = LU de Ejemplo 7. 7. Calculamos la factorizaci´
A=
2 −1 4 −2 3 1 1 −3
3 1 1 0 1 1 0 −1
Tenemos
2 4 3 1
−1 −2
3 1 1 1 3 0
−
−→ − 1 0 1 1
2
2 3/2 1/2
−1
0 5 /2 5/2
−
3 5 7 /2 3 /2
− − −
1 2 1/2 3/2
− − −
34
Factorizaci´on PA=LU
Tabulaci´on de Datos
−→ −→ −→ P 3,2
2
3/2 2 1/2 2
−1
5/2 0 5/2
− −1
3/2 5/2 2 0 1/2 -1 2
−1
3/2 5/2 2 0 1/2 -1
3 7/2 5 3/2
− − −
3 7/2 5 5
1 1/2 2 3/2
− − −
1 1/2 2 2
− − −
− − −
− −
− −
3 7/2 5
1
1 1/2 2 0
35
Factorizaci´on PA=LU
Aplicaciones
Por lo tanto P A = LU con
P = P 3,2 =
1 0 0 0
0 0 1 0
U =
0 1 0 0
0 0 0 1
L=
1 0 3/2 1 2 0 1/2 −1
2 −1 3 1 0 5/2 −7/2 −1/2 −5 −2 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1
36
Factorizaci´on PA=LU
Aplicaciones
N´ umero de Operaciones x, y , b Rn, donde L es triangular inferior Sean A,B,C,L,U,P n n, con 1’s en su diagonal, U es triangular superior y P matriz de permutaci´ on.
∈M
x y y = Ax C = AB
·
Calc. P A = LU
n i=1 xi yi
yi = Ai x, i = 1, 2, . . . , n ci = Abi, i = 1, 2, . . . , n
·
yi
b Res. Ly =
Res. Ux = y
∈
×
← bi −
i−1 j=1 li,j yj
i = 1, 2, . . . , n
xi
← (yi
−
i = n, n
n j=i+1 ui,j xj )/ui,i
− 1, . . . , 2, 1 n 1 2 k=1 (2(n − k) + (n − k)) = 2/3 n3 − 1/2 n2 − 1/6 n
Nops = 2n N ops = 2n2 N ops = 2n3 Nops = (n
− 1)n
Nops = n2
−
Nops = O( 23 n3)
37
Factorizaci´on PA=LU
Aplicaciones
Aplicaciones PA=LU I Soluci´ on de Ax = b Note que Ax = b =
⇒ =⇒
(P A)x = P b = L
Ux y
⇒ (LU )x = P b = Pb Ly = P b =⇒ Ux = y
i) Se calcula la factorizaci´ on P A = LU ii) Se resuelve Ly = P b iii) Se resuelve U x = y
38
Factorizaci´on PA=LU
Aplicaciones
II Calcular A
1
−
b
Para calcular A
1
−
b se resuelve Ax = b por el m´ etodo anterior.
NUNCA se calcula A
1
−
, a menos que se quiera ver los elementos de ella
Note que el n´ umero de operaciones que toma resolver Ly = P b , U x = y es 2n2, que es el mismo n´ umero de operaciones que toma calcular el producto A 1 b. el c´ alculo de A 1 es mucho mas caro que calcular la factorizaci´ on P A = LU (adem´ as de realizar las operaciones sobre A, hay que realizar las operaciones sobre la matriz identidad) −
−
39
Factorizaci´on PA=LU
Aplicaciones
III Resolver AX = B xi = bi, i = 1, 2, . . . , n Para resolver AX = B hay que resolver A
i) Calcula la factorizaci´ on P A = LU ii) Para k = 1, 2,...,n se resuelven Ly = P bk U xk = y iii) X = [x1x2 xn]
∗ ∗
···
Un caso especial importante es el c´ alculo de X = A 1, que es la soluci´ on de AX = I . El algoritmo se puede optimizar evitando las operaciones por cero al resolver los sistemas Ly = P ek , k = 1, 2, . . . , n. −
40
Factorizaci´on PA=LU
Aplicaciones
IV Resolver AT x = b Note que P A = LU implica que AT P T = U T LT . Pero, T P T P = (P 1,i 1
= (P 1,i1 = (P 1,i1 ..
··· P nT 1,i ··· P n 1,i ··· P n 2,i −
n−1
) (P n
−
−
n−1
) (P n
−
−
n−2
) (P n
−
1,in−1 1,in−1 2,in−2
··· P 1,i ) ··· P 1,i ) ··· P 1,i ) 1 1 1
= P 1,i1 P 1,i1 = I
(Aqu´ı ocupamos que P i,j P i,j = I ) Por lo tanto P
1
−
= P T . 41
Factorizaci´on PA=LU
Aplicaciones
Entonces AT = U T LT P implica que AT x = b =
⇒ =⇒ =⇒ =⇒
U T LT P x = b U T y = b,
LT P x = y
U T y = b,
LT z = yP x = z
U T y = b,
LT z = y,
x = P T z
El m´ etodo para resolver AT x = b es entonces i) Calcular la factorizaci´ on P A = LU . ii) Resolver U T y = b (sistema triangular inferior) iii) Resolver LT z = y (sistema triangular superior) iv) Calcular x = P T z 42
Factorizaci´on PA=LU
Aplicaciones
Ejemplo 8. Para la matriz
A=
2 1 1 −2 −2 0 4 3 −2
determine a) La soluci´ on de Ax = b donde b = [1, 1, 1]T
− b) La soluci´ on de AT x = b donde b = [1, −1, 1]T c) S´ olo la tercera columna de A d) S´ olo la segunda fila de A
1
−
1
−
e) S´ olo el elemento (1,1) de A
1
−
. 43
Factorizaci´on PA=LU
Aplicaciones
Soluci´ on:
2 1 1 −2 −2 0 4 3 −2
−→
2
-1 2
1 1 −1 1 1 −4
−→
2
1 −1
-1 2 -1
1 1 −3
Entonces A = LU
P = I,
L=
1 0 0 −1 1 0 2 −1 1
U =
2 1 1 0 −1 1 0 0 −3
44
Factorizaci´on PA=LU
Aplicaciones
a) La soluci´ o n de Ly = P b es y = [1, 0, 1]T .La soluci´ o n de U x = y es x = [1/6, 1/3, 1/3]T .Entonces la soluci´ on de Ax = b es x = [1/6, 1/3, 1/3]T
−
b) La soluci´ o n de U T y = b es y = [1/2, 3/2, 1/3]T .La soluci´ o n de LT z = y es z = [5/3, 11/6, 1/3]T .Entonces la soluci´ o n de AT b = b es x = P T z = [5/3, 11/6, 1/3]T . c) La tercera columna de A
1
−
es la soluci´ on de Ax = e3 = [0, 0, 1]T .
Como la soluci´ o n de Ly = P e3 es y = [0, 0, 1]T y la soluci´ o n de U x = y es x = [1/3, 1/3, 1/3]T tenemos que la tercera columna de A 1 es x = x = [1/3, 1/3, 1/3]T
− −
− −
−
45
Factorizaci´on PA=LU
Aplicaciones
d) Como (AT ) 1 = (A 1)T tenemos que la segunda fila de A 1 es .... la transpuesta de la segunda columna de (AT ) 1,que es igual a .... la transpuesta de la soluci´ on de AT x = e2 = [0, 1, 0]T −
−
−
−
La soluci´ on de U T y = e2 es y = [0, 1, 1/3]T .
− − La soluci´ on de LT z = y es z = [−2/3, −4/3, −1/3]T . Entonces la segunda fila de A 1 es [−2/3, −4/3, −1/3]. −
46
Matrices Especiales
Matrices
e) Primero observamos que A1,1 = eT 1 Ae1 por lo tanto el elemento (1,1) de B = A 1 es ... 1 b1,1 = eT 1 A e1 . Pero A = P T LU y entonces A 1 = U 1L 1P .En este caso P = I , por lo que A 1 = U 1L 1. Entonces debemos evaluar la expresi´ on 1 1 b1,1 = eT 1 U L e1Pero −
−
−
−
−
−
−
−
−
−
1 b1,1 = eT U L 1 −
1
−
e1
= ((U 1)T e1)T (L −
= xT y,
·
1
−
e1 )
donde U T x = e1, Ly = e1
La soluci´ on de U T x = e1 es x = [1/2, 1/2, 1/3]T .La soluci´ on de Ly = e1 es y = [1, 1, 1]T .El elemento (1,1) de A 1 es entonces el producto punto entre x e y , que es igual a b1,1 = 2/3.
−
−
47
Matrices Diagonales
Matrices
Matrices Diagonales Las siguientes matrices son diagonales:
1 0 A = diag(1, 2, 3, 4) = 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
1, 2, 0) =
B = diag(−
−1
0 0
0 2 0
0 0 0
Definici´ on 1. La matriz A de n n se dice diagonal si Ai,j = 0 para i = j , es decir, los elementos fuera de la diagonal son iguales a cero.
×
La matriz D = diag(d1, d2, . . . , dn) denota a la matriz diagonal con Di,i = di. Las matriz identidad y la matriz nula de n
× n son matrices diagonales.
Las siguientes propiedades son muy sencillas de verificar y su demostraci´ on queda propuesto como ejercicio. 48
Matrices Diagonales
Matrices
Propiedades Proposici´ on 1. Sean D = diag(d1, d2, . . . , dn), F = diag(f 1, f 2, . . . , fn ) y α escalar entonces: 1.- D + F , αF son diagonales. 2.- DA es la matriz que se obtiene multiplicando la fila i de A por di, i = 1, . . . , n. ( 1) 3.- AD es la matriz que se obtiene multiplicando la columna i de A por di, i = 1, . . . , n.( 2 ) 4.- DF = F D = diag(d1f 1, d2f 2, . . . , dmf n) 5.- D tiene inversa sii di = 0 para todo i y D
1
−
= diag(1/d1, 1/d2, . . . , 1/dn) 49
Matrices Diagonales
Matrices
DA es la matriz que se obtiene multiplicando la fila i de A por di
d1 0 0 d2 .. .. 0 0 .. .. 0 0
··· ··· ... ···. . ···
0 0 .. di .. 0
··· ···. . ··· ... ···
0 0 .. 0 .. dn
1 A 2 A .. i A .. n A
=
1 d1A 2 d2A .. i di A .. n dn A
(1)
50
Matrices Diagonales
Matrices
AD es la matriz que se obtiene multiplicando la columna i de A por di
d 0 ... 0.. .
1
a a 1
2
···
ai
···
an
0
0 d2 ... 0 ... 0
··· ···
... ···
... ···
0 0 ... di ... 0
··· ···
... ···
... ···
0 0 ... 0 ... dn
= d a
1 1
d2 a2
···
di ai
···
dn an
(2)
51
Matrices Triangulares superiores
Matrices
Matrices Triangulares superiores Las siguientes matrices son triangulares superiores
A=
4 −2 −4 0 −1 −4 0 0 −2
B=
2 −1 2 −1 0 −2 −4 4 0 0 −2 −1 0 0 0 −3
Definici´ on 2. La matriz A de n n se dice triangular superior si Ai,j = 0 para i > j .
×
Toda matriz diagonal es tambi´ en triangular superior
52
Matrices Triangulares superiores
Matrices
Propiedades Proposici´ on 2. Sean U , V son matrices triangulares superiores de n n y α escalar, entonces:
×
1.- U + V , αU son triangulares superiores 2.- U V es triangular superior. Si U y V tienen unos en la diagonal entonces U V tambi´ en tiene unos en la diagonal. 3.- U tiene inversa si y s´ olo si U i,i = 0, i = 1, . . . , n.
4.- U 1 es triangular superior (cuando existe). Si U tiene unos en la diagonal entonces U 1 tambi´ en tiene unos en la diagonal. −
−
53
Matrices Triangulares superiores
Matrices
Demostraci´ on: 1.- La demostraci´ on es trivial. 2.- Si U , V son triangulares superiores entonces (U V )i,j es el producto punto de la fila i de U con la columna j de V :
(U V )i,j = (0, . . . , 0, ui,i, ui,i+1, . . . , ui,n)
v1,j v2,j .. v j,j 0 .. 0
= 0 si i > j
y por lo tanto U V es triangular superior. 54
Matrices Triangulares superiores
Matrices
Si U , V tienen unos en la diagonal entonces
(U V )i,j = (0, . . . , 0, 1, ui,i+1, . . . , ui,n)
v1,j v2,j .. 1 0 .. 0
= 1 si i = j
y por lo tanto U V tiene unos en la diagonal. 3.- Usamos la siguiente propiedad: A tiene inversa sii la escalonada de A tiene n pivotes distintos de cero. Si ui,i = 0 i = 1, . . . , n entonces U ya est´ a en forma escalonada y tiene sus n pivotes distintos de cero, que son los elementos de la diagonal de U , y por lo tanto U tiene inversa.
55
Matrices Triangulares superiores
Matrices
Si ui,i = 0 para alg´ un i, entonces la escalonada de U tendr´ıa por lo menos una fila nula y por lo tanto no habr´ıan n pivotes distintos de cero y por lo tanto U no tendr´ıa inversa.
4.- Si U es triangular superior y la diagonal de U tiene todos sus elementos no nulos entonces la matriz ampliada [U I ] se puede llevar a la forma [I X ] multiplicando la fila i por 1/ui,i, i = 1, . . . , n y luego sumando m´ ultiplos de filas i a filas j con i > j
|
por lo tanto la matriz X = U
1
−
|
resulta triangular superior.
Si U tiene unos en la diagonal entonces s´ olo es necesario restar m´ ultiplos de filas i a filas j con i > j y por lo tanto X tiene tambi´ en unos en la diagonal. 56
Matrices Triangulares superiores
Matrices
Por ejemplo,
1 0 0
4 1 0
−2 − −4
1 0 0 0 1 0 1 0 0 1
−→ −→
1 0 0
4 0 1 0 2 1 0 0 1 4 0 1 0 0 1
−
1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0
4 1 0
−
− 18 4 1
por lo tanto
1 4 −2 0 −1 −4 0 0 1
−1
=
1 4 18 0 −1 −4 0 0 1
.
57
Matrices Triangulares superiores
Matrices
Tambi´ en,
−→
1 0 0 0 1 0 0 0
1 1 0 0
2 −4 1 0
−
1 1 0 0
2 −4 1 0
0 0 0 1
−
−
1 4 −1 1
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1
1 4 1
−→
−
−→
1
−→
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
1 1 0 0
2 −4 1 0
1 1 0 0
0 0 1 0
−
−
0 1 0 0
0 0 1 0
1 4 −1 1
1 0 0 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
−
−
0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0
1 1 0 0
2 4 1 0
0 0 1 0
0 0 0 1
2 1 4 0 1 1 0 1 1 0 . 1 −
−
1
58
Matrices Triangulares inferiores
Matrices
Por lo tanto
1 0 0 0
−1
1 0 0
2 −4 1 0
−1
4 1
−
1
1
−
1 0 = 0 0
1 1 0 0
2 4 1 0
−1
0 . 1 1
Contrariamente a lo que muchos alumnos creen, la inversa de una triangular con unos en la diagonal NO se obtiene cambi´ andole el signo a los elementos fuera de la diagonal.
59
Matrices Triangulares superiores
Matrices
Triangulares inferiores Las siguientes matrices son triangulares inferiores:
A=
2 0 −2 0
0 0 2 0 1 −4 3 4
0 0 0 1
B=
5 0 0 −2 −2 0 −4 −2 3
Definici´ on 3. La matriz A de n n se dice triangular inferior si Ai,j = 0 para i < j , es decir, cuando AT es triangular superior.
×
Toda matriz diagonal es triangular inferior y triangular superior. A es triangular superior (inferior)
⇔
AT es triangular inferior (superior)
60
Matrices Triangulares superiores
Matrices
Propiedades Proposici´ on 3. Sean L, M son matrices triangulares inferior de n entonces:
× n,
1.- L + M , αL son triangulares inferiores 2.- LM es triangular inferior. Si L y M tienen unos en la diagonal entonces LM tambi´ en tiene unos en la diagonal. 3.- L tiene inversa si y s´ olo si li,i = 0, i = 1, . . . , n.
4.- L 1 es triangular inferior (cuando existe). Si L tiene unos en la diagonal entonces L 1 tambi´ en tiene unos en la diagonal. −
−
61
Propiedades A = LU
Matrices
Demostraci´ on: Las propiedades para matrices triangulares inferiores se pueden deducir de las propiedades de matrices triangulares superiores ocupando las propiedades de transpuestas, inversas y productos de matrices. Por ejemplo, L = (LT )T y entonces L
1
−
= ((LT )T )
1
−
= ((LT )
1 T
−
) .
Por lo tanto, L triangular inferior implica U = LT triangular superior y por lo tanto (LT ) 1 es triangular superior −
y entonces L
1
−
= ((LT )
1 T
−
) es triangular inferior.
Las demostraciones restantes quedan propuestas como ejercicio.
62
Propiedades A = LU
Matrices
Submatrices Principales Las submatrices principales principales de 1
1 2 3 1 A= 0 1 1 0 A = = 1 −
−
son
A1
−
2
3 −1 2 0 −1
3
× 1, 2 × 2, 3 × 3 de
−2
0 3
−
de 4 × 4
1
2 1
A3
=
−1
3 0
2 1 1
3 −1 2
Definici´ on 4. La submatriz principal Ak de una matriz A de n la matriz k k, k = 1, 2, . . . , n con
×
(Ak)i,j = Ai,j
× n es
1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ k
Ak se obtiene de A eliminando las filas y columnas k + 1, k + 2, . . . , n. 63
Propiedades A = LU
Matrices
Note que en la factorizaci´ on 2 1 0 1 −2 −2 2 −2 = A= 4 3 −1 2 4 3 −4 2
A2 =
1 0 0 −1 1 0 2 −1 1 2 −1 −2
A1 = [2] = [1][2] = L1U 1,
2 1 −2 −2
=
1 0 −1 1
0 0 0 1
2 1 0 −1
2 1 0 −1 0 0 0 0
0 1 2 −1 1 −1 0 −3
= L2U 2
2 1 0 1 0 0 2 1 0 0 −1 2 = L3U 3 A3 = −2 −2 2 = −1 1 0 4 3 −1 2 −1 1 0 0 1 En el producto L U , debido a los ceros sobre la diagonal de L, al eliminar las filas y columnas k + 1, k + 2, . . . , n de L y de U se obtiene Ak , es decir Ak = Lk U k . 64
=
Propiedades A = LU
Matrices
Otra manera de ver:
Al hacer ceros bajo el pivote k 1 se factoriza en el ”camino” a la submatriz principal Ak y se tiene Ak = Lk U k .
−
65
Propiedades A = LU
Matrices
Proposici´ on 4. Si A = LU entonces Ak = Lk U k , donde Ak , Lk , U k son las submatrices principales de A, L y U respectivamente Demostraci´ on: Es consecuencia de las observaciones anteriores Teorema 2. (Pivoteos Forzados) Sea A matriz invertible de n
× n.
1.- Si cada submatriz principal Ak , k = 1, 2, . . . , n es invertible entonces A se puede factorizar A = LU (sin intercambio de filas) 2.- Si cada submatriz principal Ai , i = 1, 2, . . . , k 1 tiene inversa y se pivotea sin intercambio de filas hasta el pivote k 1 y la submatriz principal Ak no tiene inversa, entonces en el pivoteo k-´ esimo es necesario realizar un intercambio forzado de filas.
−
−
66
Propiedades A = LU
Matrices
Demostraci´ on: 1.- Si A1 tiene inversa entonces a1,1 = 0 y entonces se puede hacer ceros bajo el elemento 1, 1 sin intercambio de filas.
Como A2 es invertible la matriz resultante del primer pivoteo debe tener un elemento no nulo en la posici´ on 2,2. Entonces se puede pivotear en 2,2 sin intercambio de filas y hacer ceros bajo 2,2 en la segunda columna. Como A3 es invertible la matriz resultante del segundo pivoteo debe tener un elemento no nulo en la posici´ on 3,3. Entonces se puede pivotear en 3,3 sin intercambio de filas y hacer ceros bajo 3,3 en la tercera columna. etc... Por inducci´ on se demuestra que se puede proceder con la eliminaci´ on de gauss sin intercambio de filas quedando el pivote k-´ esimo en el elemento k, k. 67
Propiedades A = LU
Matrices
2.- Si cada submatriz principal Ai , i = 1, 2, . . . , k 1 tiene inversa entonces se puede realizar la eliminaci´ o n de gauss en A sin intercambio de filas hasta el pivote k 1.
−
−
Si la submatriz principal Ak no tiene inversa entonces su escalonada tiene una fila nula, y por lo tanto la matriz C que resulta despu´es del pivoteo k 1 tiene el elemento k, k igual a cero
−
Como A es invertible, la columna k-´ esima de C debe tener alg´ un elemento no cero bajo el elemento k, k (Pues si no, el pivote k quedar´ıa en la columna k + 1 o superior, por lo que la escalonada de A tendr´ıa una fila nula, lo que contradice que A tiene inversa). Entonces para pivotear en el elemento k,k es necesario un intercambio forzado de filas.
68
Propiedades A = LU
Matrices
on Ejemplo 9. Construya una matriz A de 4 4 tal en la factorizaci´ P A = LU se requiera un intercambio de filas forzado para el tercer pivote.
×
Soluci´ on: Construimos una matriz A de 4 4 invertible que tenga submatrices principales A1, A2 invertibles, pero A3 no invertible:
×
A
→ =
1 1 2 1 1 1 1 2
1 2 3 1
−
1 1 2 1
2 2 4 0
2 2 5 0 2 0 2 0
− −
→ → − − − − → − − − 1 1 2 1
2 0 2 1
1 1 1 2
1 1 1 2
2 0 0 2
1 1 2 1
2 0 1 2
2 0 2 0
2 0 2 1
1 1 2 1
1 1 1 2
2 0 0 2
− −
− 2 0 1 2
69
Propiedades A = LU
Matrices
Entonces P A = LU , donde P = P 3,4
L=
1 0 1 1 1 −2 2 1
0 0 1 0
0 0 0 1
U =
1 0 0 0
1 2 2 1 0 0 0 −2 −2 0 0 1
70
Propiedades A = LU
Matrices
on A = LU es Teorema 3. Si A es invertible entonces la factorizaci´ u ´ nica (cuando existe con P = I ). Es decir, si es A invertible, A = L1U 1 = L2U 2 donde Li son triangulares inferiores con 1’s en la diagonal y U i triangulares superiores, entonces L1 = L2, U 1 = U 2.
Demostraci´ on: Si A es invertible entonces U 1, U 2 tienen inversas (son triangulares con elementos en la diagonal no nulos). Entonces, de A = L1U 1 = L2U 2 obtenemos L2 1L1 = U 2U 1 1. −
−
Como L1, L2 son triangulares inferiores con 1’s en la diagonal, L2 1L1 es triangular inferior con 1’s en la diagonal −
Como U 1, U 2 son triangulares superiores y U 1 es invertible se tiene que U 2U 1 1 es triangular superior. −
Entonces C = L2 1L1 = U 2U 1 1 es a la vez triangular inferior con 1’s en la diagonal y triangular superior. −
−
71
Propiedades A = LU
Matrices
Por lo tanto C = I , es decir L2 1L1 = U 2U 1 U 1 = U 2. −
1
−
= I , de donde L1 = L2,
72
A = LU
Matrices
Factorizaci´ on A = LDLT para A sim´ etrica Estudiamos la factorizaci´ on A = LU para matrices sim´etricas:
73
A = LU
Matrices
Para esta matriz tenemos entonces
L=
1
0
0
−2
1
0
3
−1
1
−1
3
2
0 0
2 0 D= 0
0
1
0
0
0
−1
0
0
3
0
0
0 0 0
2
2 0 U = 0 0
3 6
−4
6
−2
−1
1
−
0
3
0
0
2
Note que U = DLT , D = diag(U )
U =
2 −4 6 −2 0 −1 1 −3 0 0 3 6 0 0 0 2
=
2 0 0 −1 0 0 0 0
0 0 3 0
0 0 0 2
1 −2 3 −1 0 1 −1 3 0 0 1 2 0 0 0 1
= DLT
74
A = LU
Matrices
etrica de n n y al pivotear en a1,1 se Proposici´ on 5. Si A es sim´ a1,1 A C = transforma en donde B es de n 1 n 1 entonces 0 B B es sim´ etrica.
×
∗
− × −
Demostraci´ on: ci,j = ai,j −
ai,1 a1,1
a1,j
2 ≤ i, j ≤ n
a j,1 c j,i = a j,i − a1,i 2 ≤ i, j ≤ n a1,1 Como ai,j = aj,i , a1,j = aj,1, a1,i = ai,1 se tiene que ci,j = cj,i para 2 i, j n, y por lo tanto B T = B . Esta ´ ultima proposici´ on implica que la columna k de L transpuesta multiplicada por uk,k es igual a las fila k de U .
≤
≤
Matricialmente esto se escribe:
75
A = LU
Matrices
on de Cholesky A = LDLT (sin ra´ız Proposici´ on 6. Factorizaci´ cuadrada) Si A es sim´ etrica y cada submatriz principal de A es invertible entonces A = LU con U = DLT , donde D = diag(U ). Es decir, A = LDLT .
Demostraci´ on: Si A = LU entonces AT = U T LT = (DD = (D
1
−
1
−
U )T LT
U )T DLT
pues DT = D
= L1U 1,
donde L1 = (D 1U )T , es triangular inferior con 1’s en la diagonal y U 1 = DLT es triangular superior. −
76
Formas Cuadr´aticas
Matrices
Como A es sim´ etrica, AT = A y por lo tanto A = LU = L1U 1. Puesto que la factorizaci´ on A = LU es u ´nica para matrices invertibles se tiene U = U 1 = DLT .2
77
Formas Cuadr´aticas
Matrices
Formas Cuadr´ aticas Definici´ on 5. Si A es de n × n y x = (x1, x2, . . . , x n)T ∈
n R
decimos que
F ( x) = xT A x es una forma cuadr´ atica en las variables x1, x2, . . . , xn.
Note que F (x) es escalar, es decir F : Rn
•
→ R.
T x
A
x
1×n
n×n
n×1
= F ( x) 1×1
• F ( 0) = 0T A 0 = 0T 0 = 0
78
Formas Cuadr´aticas
Matrices
Un problema fundamental asociado a una forma cuadr´ atica F (x) = xT A x es su clasificaci´ on de acuerdo a si su signo es constante o no:
• A Definida Positiva xT A x>0
= 0 x para
0. Es decir, F tiene un m´ınimo estricto en x =
• A Semi Definida Positiva T A x x≥0
x∈ para
n R
0. Es decir, F tiene un m´ınimo (no estricto) en x =
79
Formas Cuadr´aticas
Matrices
• A Definida Negativa xT A x<0
x = 0 para
0. Es decir, F tiene un m´ aximo estricto en x =
• A Semi Definida Negativa T A x x≤0
x∈ para
n R
0. Es decir, F tiene un m´ aximo (no estricto) en x =
• A Indefinida x, y ∈ Existen
n R
T A x > 0, tales que x
y T A y < 0
0 y F no tiene ni m´ Es decir, F cambia de signo en torno a x = aximo ni 0. m´ınimo en x = 80
Formas Cuadr´aticas
Matrices
Las competencias m´ınimas que deben tener para esta secci´ on son:
• Dada una funci´on F (x) determinar si ´esta es una forma cuadr´atica. • Si F (x) es una forma cuadr´atica expresarla en la forma F (x) = xT Ax donde A es sim´ etrica
• Calcular
la factorizaci´ on de Cholesky con y sin ra´ız cuadrada de una matriz sim´ etrica definida positiva
• Expresar a una forma cuadr´atica como la suma ponderada de cuadrados • Clasificar a una forma cuadr´atica. • Saber demostrar propiedades b´asicas de matrices definidas positivas. 81
Formas Cuadr´aticas
Matrices
Formas Cuadr´ aticas: A de 2 Sea A de 2
×2
×2
xT A x = =
T
x1 x2
x1 x2
a1,1 a1,2 a2,1 a2,2
x1 x2
a1,1 x1 + a1,2 x2 a2,1 x1 + a2,2 x2
= x1(a1,1 x1 + a1,2 x2) + x2(a2,1 x1 + a2,2 x2) = a1,1 x21 + a1,2 x1x2 + a2,1 x2x1 + a2,2 x22 = a1,1 x21 + (a1,2 + a2,1) x1x2 + a2,2 x22
Observe que x1x2 aparece dos veces: a1,2x1x2 + a2,1x2x1 = (a1,2 + a2,1)x1x2
82
Formas Cuadr´aticas
Matrices
Para cualquier matriz B = (bi,j ) de 2 b1,1 = a1,1,
se tiene que
B=
tenemos
2
b1,2 + b2,1 = a1,2 + a2,1
T B x x=x T A x.
En particular para A + AT
b2,2 = a2,2,
× 2 tal que
=
a1,1 a1,2 a2,1 a2,2
+ 2
a1,1 a2,1 a1,2 a2,2
=
a1,1
a1,2 +a2,1 2
a2,1 +a1,2 2
a2,2
xT B x = b1,1 x21 + (b1,2 + b2,1) x1x2 + b2,2 x22 = a1,1 x21 + (a1,2 + a2,1) x1x2 + a2,2 x22 = xT A x
83
Formas Cuadr´aticas
Matrices
Ejemplo 10. x21 + 3x1x2
− 2x22
=
=
=
=
Note que en todos los casos
x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2
T
T
T
T
Ai +AT i 2
1
− − − − 3
0
2
1
0
3
2
1
1
2
2
1
3/2
3/2 2
x1 x2
= xT A1 x
x1 x2
= xT A2 x
x1 x2
= xT A2 x
x1 x2
= xT B x
= B y B es sim´ etrica. 84
Formas Cuadr´aticas
Matrices
Formas Cuadr´ aticas: A de 3 T
T
x A x
=
x a x a 1
1,1
2
2,1
x3
a3,1
a1,2 a2,2 a3,2
aa
1,1
= =
x
x2
1
x3
2,1
a3,1
×3 x x
a1,3 a2,3 a3,3
1 2
x3
x1 + a1,2 x2 + a1,3 x3 x1 + a2,2 x2 + a2,3 x3 x1 + a3,2 x2 + a3,3 x3
2
a1,1 x1 + a1,2 x1 x2 + a1,3 x1 x3 + a2,1 x2 x1 + a2,2 x22 + a2,3 x2 x3 + 2
a3,1 x3 x1 + a3,2 x3 x2 + a3,3 x3
=
a1,1 x21 + ( a1,2 + a2,1 ) x1 x2 + ( a1,3 + a3,1)x1 x3 + 2
2
a2,2 x2 + ( a3,2 + a2,3 ) x2 x3 + a3,3 x3
Observe que xixj aparece dos veces: ai,j xixj + aj,ixj xi = (ai,j + aj,i)xixj
85
Formas Cuadr´aticas
Matrices
Para cualquier matriz B = (bi,j ) de 3 bi,i = ai,i,
× 3 tal que
= j) bi,j + b j,i = ai,j + a j,i (para i
se tiene que
T B x x=x T A x. T En particular para B = A+A tenemos 2
B
b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3
=
A + AT = 2
=
a1,1
a2,1 +a1,2 2 a3,1 +a1,3 2
a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3
+
a1,1 a2,1 a3,1 a1,2 a2,2 a3,2 a1,3 a2,3 a3,3
2
a1,2 +a2,1 2
a2,2
a3,2 +a2,3 2
a1,3 +a3,1 2 a2,3 +a3,2 2
a3,3
86
Formas Cuadr´aticas
y por lo tanto
Matrices
T
x
A+A
2
T
x= xT A x
87
Formas Cuadr´aticas
Matrices
Ejemplo 11. x21 + 3x1x2
− 2x1x3
+ x22 + x2x3 + 2x23 = =
=
=
x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3
Note que en todos los casos
T
− − − − − T
T
Ai +AT i 2
1 3 0 1 0 0 1 1 1
2 1 1
2 1 2
3 2 2
1 3/2 1 3/2 1 1/2 1 1/2 2
x1 x2 x3
= xT A1 x
x1 x2 x3
= xT A2 x
x1 x2 x3
= xT B x
etrica. = B y B es sim´
88
Formas Cuadr´aticas
Matrices
Formas Cuadr´ aticas: A de n
xT A x =
T
x1 x2 .. xn
n
=
i=1
=
··· ··· ... ···
a1,n a2,n .. an,n
n
xi (
n
a1,1 a1,2 a2,1 a2,2 .. an,1 an,2
×n
x1 x2 .. xn
ai,j xj )
j=1
n
ai,j xixj
i=1 j=1 n
=
n
ai,ix2i +
i=1
(ai,j + aj,i)xixj
i=1 j>i
89
Formas Cuadr´aticas
Matrices
x es de 1 Note adem´ as que xT A
× 1 y por lo tanto
xT A x = (xT Ax)T = xT AT (xT )T = xT AT x
entonces
xT A x = = = =
xT A x + xT AT x 2 xT (Ax + AT x) 2 xT (A + AT )x 2 T T A + A x x 2
90
Formas Cuadr´aticas
Matrices
La siguiente f´ ormula es una generalizaci´ on de la identidad (x + y )2 − x 2 − y 2 xy = 2
para x, y ∈
R
Ella expresa el producto en t´ erminos de cuadrados. ´rmula Polar ) Si B es sim´ etrica entonces Lema 1. ( Fo x+y )T B ( x+y ) − xT B x−y T B y ( x B y= 2 T
para x, y
∈ Rn.
Como caso particular, para B = I , como xT x = x 2, se obtiene
|| ||
|| x + y|| 2 − || x||2 − || y||2 x·y = 2
x, y ∈ para
n R ,
91
Formas Cuadr´aticas
Matrices
Demostraci´ on: (x + y )T B(x + y ) = (x + y )T (Bx + By ) = (xT + y T )(Bx + By ) = xT (Bx + By ) + y T (Bx + By ) = xT Bx + xT By + y T Bx + y T By
Pero xT By es de 1
× 1 y BT = B, por lo tanto
xT B y = ( xT B y )T = y T B T x=y T B x.
Entonces, x+y )T B ( x+y ) = x T B x + 2 xT B y+y T B y ( 92
Formas Cuadr´aticas
Matrices
de donde T T T x y B x y − x B x − y B y ( + ) ( + ) T x B y= 2
93
Formas Cuadr´aticas
Matrices
Proposici´ on 7. Sea A de n T
1.- x A x=
n i=1
× n entonces
n j=1 ai,j xi xj
T
x = xT A+A x 2.- xT A 2
3.- Existe una u ´ nica matriz sim´ etrica B tal que F ( x) = x T A x=x T B x
y B =
x∈ para todo
n R
A+AT 2
Demostraci´ on: S´ olo resta demostrar la unicidad de B en 3). Supongamos que existen matrices sim´ etricas B, C tales que ()
T B x x=x T C x 94
Formas Cuadr´aticas
Matrices
para todo x Rn Debemos demostrar que B = C . Por la f´ ormula polar tenemos que para x, y Rn
∈
∈
(x + y )T B(x + y ) xT Bx y T By x By = 2 (x + y )T C (x + y ) xT Cx y T Cy = 2 = xT Cy (por f´ ormula polar) T
Entonces xT By = xT Cy para todo x, y can´ onicos x = eˆi, y = eˆj tenemos
−
−
−
−
por ()
∈ Rn. En particular, para los vectores
bi,j = eˆT ˆ j = e ˆT ˆ j = ci,j . i Be i C e
Por lo tanto B = C . De ahora en adelante identificamos a una forma cuadr´ atica F (x) con la u ´nica matriz sim´ etrica B tal que F (x) = xT Bx, x Rn.
∈
95
Formas Cuadr´aticas
Matrices
atica siguiente como F (x) = xT Bx, Ejemplo 12. Escriba la forma cuadr´ donde B es sim´ etrica. F (x1, x2, x3, x4) = 2x21 + 3x1x2 + x1x4 + x22 − 2x3x4 + 4 x24
Soluci´ on:
F ( x) =
x1 x2 x3 x4
B=
2 3/2 0 1/2 3/2 1 0 0 0 0 0 −1 1/2 0 −1 4
2 3/2 0 1/2 3/2 1 0 0 0 0 0 −1 1/2 0 −1 4
x1 x2 x3 x4
96
Formas Cuadr´aticas
Matrices
Recordemos que las formas cuadr´ aticas se clasifican de acuerdo al comportamiento de su signo. A se dice: 0. 1.- definida positiva si xT Ax > 0 para x =
2.- semi definida positiva si xT Ax
≥ 0 para x ∈ Rn. 0. 3.- definida negativa si xT Ax < 0 para x = x ≤ 0 para x ∈ Rn. 4.- semi definida negativa si xT A 5.- indefinida si existen x, y ∈ Rn tales que xT Ax < 0, y T Ay > 0.
97
Formas Cuadr´aticas
Matrices
Clasificaci´ on de Formas Cuadr´ aticas Proposici´ on 8.
• A es negativa definida sii −A es positiva definida • A es semi negativa definida sii −A es semi positiva definida Demostraci´ on: La proposici´ on es el resultado inmediato de la identidad T (−A) x x = − xT A x
98
Formas Cuadr´aticas
Matrices
Note que si D = diag(d1, d2, . . . , dn) es una matriz diagonal entonces
xT Dx =
x1 x2 .. xn
n
=
T
d1 0 0 d2 .. 0 0
··· ··· ... ···
0 0 .. dn
x1 x2 .. xn
di x2i
i=1
Por ejemplo, si di > 0, i = 1, 2, . . . , n entonces n
T D x x=
di x2i > 0
x = 0 si
i=1
y la matriz D ser´ıa positiva definida.
Adem´ as, si xT Dx > 0 para todo 99
Formas Cuadr´aticas
x
Matrices
∈ Rn, se tendr´ıa necesariamente con x = eˆi = (0, . . . , 1, . . . , 0)(un 1 en el elemento i-´ esimo)
que
n
xT D x=e 0< ˆT ˆi = i De
di x2i = di
i=1
Entonces D es positiva definida sii di > 0, i = 1, 2, . . . , n El mismo argumento demuestra la siguiente proposici´ on
100
Formas Cuadr´aticas
Matrices
Proposici´ on 9. Sea D = diag(d1, d2, . . . , dn) matriz diagonal. Entonces
1.- D es definida positiva sii di > 0, i = 1, 2, . . . , n
2.- D es semi definida positiva sii di
≥ 0, i = 1, 2, . . . , n
3.- D es definida negativa sii di < 0, i = 1, 2, . . . , n
4.- D es semi definida negativa sii di
≤ 0, i = 1, 2, . . . , n
5.- D es indefinida sii existen i, j tales que di < 0 y dj > 0 101
Formas Cuadr´aticas
Matrices
Ejemplo 13. D =
T
x1 x2 x3
2 0 0 0 3 0 0 0 1
2 0 0 0 3 0 0 0 1 x1 x2 x3
es (sim´ etrica) positiva definida pues
= 2x21+3x22+x23 > 0 si = 0 x = (x1, x2, x3)T
Similarmente,
− −
2 0 0
0 4 0
−
2 0 0 0 4 0 0 0 0
− 0 0 3
es definida negativa,
es indefinida
102
Formas Cuadr´aticas
Matrices
etrica definida positiva, entonces Proposici´ on 10. Sea A sim´ 1.- A tiene inversa 2.- Cada submatriz principal Ak de k positiva
×k
de A es sim´ etrica definida
3.- Cada submatriz de A que se obtiene eliminando las mismas filas y columnas de A es sim´ etrica definida positiva. 4.- Cada submatriz principal Ak de A tiene inversa
Demostraci´ on: 0 tal que A x = 0, por lo que 1.- Si A no tuviera inversa, existir´ıa x = xT A x = 0 con x == 0, y entonces A no ser´ıa definida positiva. Por lo tanto A definida positiva implica A tiene inversa.
103
Formas Cuadr´aticas
Matrices
0, debemos 2.- Es obvio que A sim´ etrica implica Ak sim´ etrica. Sea xk Rk = T n R (completamos x > 0. Sea x = [xT demostrar que xT k Ak k , 0, . . . , 0] xk con ceros para obtener un vector x en Rn. Entonces x = 0 , pero xk+1 = xk+2 = = xn = 0. Por lo tanto
∈ ∈
···
n
xT A x= 0 <
n
i=1 j=1
k
ai,j xix j =
k
ai,j xix j = xT xk k Ak
i=1 j=1
Por lo tanto Ak es sim´ etrica definida positiva 3.- Al poner un vector x con algunas componentes iguales a cero se obtiene que la submatriz C que se obtiene de A eliminando las mismas columnas y filas donde las componentes de vx son cero cumple T x xk = xA x > 0 si vx k = 0 k C
Entonces C es positiva definida. La simetr´ıa de C es inmediata de la 104
Formas Cuadr´aticas
Matrices
simetr´ıa de A. 4.- Como la submatriz Ak es sim´ etrica positiva definida , por la parte 1) de esta proposici´ on Ak tiene inversa
105
Formas Cuadr´aticas
Teorema 4. Sea A de n
Matrices
× n. Son equivalentes
1.- A es sim´ etrica definida positiva 2.- (factorizaci´ on de Cholesky sin ra´ız cuadrada) Existen
• L triangular inferior con 1’s en la diagonal, • D = diag(d1, d2, . . . , dn) matriz diagonal con di > 0, i = 1, 2, . . . , n tal que
A = LDLT
3.- (factorizaci´ on de Cholesky con ra´ız cuadrada) Existe R triangular superior invertible tal que A = R T R
106
Formas Cuadr´aticas
Matrices
Demostraci´ on: 1) implica 2) Si A es sim´ etrica positiva definida, entonces cada submatriz principal Ak de A es invertible y por lo tanto se puede realizar eliminaci´ on de gauss sin intercambio forzado de filas y A = LU Como A es sim´ etrica, se tiene U = DLT , y entonces A = LDLT . Falta demostrar que la 0, realizando la substituci´ diagonal de D es positiva. En general, para x = on y = LT x obtenemos
0 < xT A x = xT (LDLT )x = (LT x)T D (LT x) n
= y T Dy =
diyi2
i=1
Eligiendo y = eˆi, es decir para x = (LT )
1
−
eˆi = 0 tenemos
xT A x=e 0 < ˆT ˆi = di i De
Entonces la diagonal de D es positiva, y por lo tanto 1) implica 2) 107
Formas Cuadr´aticas
Matrices
T
√ Definimos D =
2) implica 3) Supongamos que A = LDL con di > 0. diag( d1, d2, . . . , dn), Entonces D D = D, y podemos escribir A = LDLT
√ √
√ √
√
= =
√ √ T L D DL √ √ T T (L D)((L( D) ) √ √ T
= (L D)((L( D)) = RT R
√ √ T L es triangular inferior y D es diagonal y ellas donde R = (L( D) . Como √ tienen inversas, R = (L( D)T es triangular superior y tiene inversa.
108
Formas Cuadr´aticas
Matrices
3) implica 1) Si A = RT R, donde R es triangular superior invertible, entonces AT = (RT R)T = RT (RT )T = RT R = A, por lo que A es sim´ etrica. Adem´ as, 0 si x =
xT A x = xT RT R x = (Rx)T (Rx)
|| ||2 > 0 si y = Rx = 0.
= y T y = y
0 implican y = Rx = 0. Entonces 3) implica 1) Pero R invertible, x =
109
Formas Cuadr´aticas
Matrices
La equivalencia entre 1) y 2) nos dice que Para A es sim´ etrica: A es positiva definida sii al realizar eliminaci´ o n de gauss en A sin intercambios de filas se obtienen pivotes positivos Como A es negativa definida sii
−A es positiva definida obtenemos tambi´en
Para A es sim´ etrica: A es negativa definida sii al realizar eliminaci´ o n de gauss en A sin intercambios de filas se obtienen pivotes negativos
110
Formas Cuadr´aticas
Matrices
Ejemplo 14. Sea F (x1, x2, x3, x4) = 2 x12
− 8 x1 x2 + 8 x1 x3 − 4 x1 x4 + 10 x22 −20 x2 x3 + 16 x2 x4 + 11 x32 − 12 x3 x4 + 17 x42
• Clasifique a la forma cuadr´atica F (x). • Si es factible, determine las factorizaciones de cholesky con y sin ra´ız cuadrada de la matriz sim´ etrica que la representa. • Escriba la forma cuadr´atica como la suma ponderada de cuadrados
e indique el cambio de variables que diagonaliza esta forma cuadr´ atica. Soluci´ on: La forma cuadr´ atica puede escribirse como F (x) = xT Bx, B sim´etrica: −4 2 4 −2 −4 10 −10 8 B= 4 −10 11 −6 8 −2 −6 17
111
Formas Cuadr´aticas
Matrices
Procedemos con la eliminaci´ on de gauss sin intercambio de filas.
− −
2 4 4 2
−4 10 10 8
−
4 10 11 6
−
−
− − → → 2 8 6 17
2
-2 2 -1 2
−4 4 2 −2 −2 3 4 −2 −4 4 2 −2
-2 2 -1 -1 2
1
2
− − → − 2 4 2 15 2 4 2 3
2
−4
-2 2 2 -1 -1 2
4 2 1 2
−
− 2 4 2 7
Como B es sim´ etrica y al realizar eliminaci´ on de gauss sin intercambio de filas y escalamientos de filas se obtienen pivotes positivos, B es positiva 112
Formas Cuadr´aticas
Matrices
definida. La factorizaci´ on de Cholesky sin ra´ız cuadrada es A = LDLT donde
D=
2 0 0 0
0 2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 3
L=
,
1 0 −2 1 2 −1 −1 2
0 0 1 2
0 0 0 1
La factorizaci´ on de Cholesky con ra´ız cuadrada de B es A = RT R donde R =
=
√ T DL √ 2
0 0 0
0
0
0
0 1
0
0
√ 2
√ 0
0 0
3
1 0 0 0
−2 1 0 0
2 1 1 0
−
− 1 2 2 1
113
Formas Cuadr´aticas
Matrices
√
2
=
0 0 0
√ √ √ −√ 2 2 2 2 − 2 √ √ − 2 2 2 2 0 1 2 √ 0 0 3
El cambio de variables que diagonaliza la forma cuadr´ atica, es y = LT x
y1 y2 y3 y4
=
1 −2 2 −1 0 1 −1 2 0 0 1 2 0 0 0 1
x1 x2 x3 x4
=
x1 − 2 x2 + 2 x3 − x4 x2 − x3 + 2 x4 x3 + 2 x4 x4
114
Formas Cuadr´aticas
Matrices
Con la substituci´ on y = LT x obtenemos xT Bx = xT LDLT x = (LT x)T D(LT x) = y T Dy = 2 y12 + 2 y22 + y32 + 3 y42 = 2 (x1
− 2 x2 + 2 x3 − x4)2 + 2 (x2 − x3 + 2 x4)2 + (x3 + 2 x4)2 + 3 x24
115
Formas Cuadr´aticas
Matrices
Ejemplo 15. Sea F (x1, x2, x3) = x21 − 2x1x2 + 3 x1x3 + 3x22 − x2x3 + 2 x23
• Si es factible, determine las factorizaciones de cholesky con y sin • •
ra´ız cuadrada de la matriz sim´ etrica que representa a la forma cuadr´ atica. Escriba la forma cuadr´ atica como la suma ponderada de cuadrados e indique el cambio de variables que diagonaliza esta forma cuadr´ atica. Clasifique a la forma cuadr´ atica F (x).
Soluci´ on: F ( x) = x T B x
donde
B=
−1 1 3/2 −1 3 −1/2 3/2 −1/2 2
116
Formas Cuadr´aticas
Matrices
Procedemos a realizar eliminaci´ on de gauss sin intercambio de filas.
B=
−
1 1 3/2
−1
−
3 1/2
3/2 1/2 2
−
→ →
1
-1 3/2 1
-1 3/2
−1 2 1
3/2 1 1/4
−
−1 2
1/2
3/2 1 3/4
−
Entonces la factorizaci´ on de Cholesky de B es B = LDLT , donde
D=
1 0 0 0 2 0 0 0 −3/4
L=
1 0 0 −1 1 0 3/2 1/2 1
117
Formas Cuadr´aticas
Matrices
Por lo tanto xT Bx = xT LDLT x = (LT x)T D(LT x) = y T Dy = y12 + 2y22
− 34 y32
donde y = LT x. Es decir,
y1 y2 y3
=
1 −1 3/2 0 1 1/2 0 0 1
x1 x2 x3
y1 = x1 − x2 + 3/2 x3 ⇐⇒ y2 = x2 + 1 /2 x3 y3 = x3
118
Formas Cuadr´aticas
Matrices
Entonces 3 2 x Bx = +2 y 4 3 3 1 = (x1 x2 + x3)2 + 2 (x2 + x3)2 2 2 y12
T
y22
−
−
− 34 x23
Como la diagonal de D = diag(1, 2, 3/4) tiene elementos de distinto signo, la forma cuadr´atica es indefinida.
−
Por ejemplo, con y3 = 1, y2 = 0, y1 = 0, o equivalentemente, x3 = 1, x2 = 1/2, x1 = 2 tenemos F ( 2, 1/2, 1) = 3/4 < 0. En cambio, con con y3 = 0, y2 = 1, y1 = 0, o equivalentemente, x3 = 0, x2 = 1, x1 = 1 tenemos F ( 1, 1, 0) = 2 > 0. La matriz B no tiene factorizaci´ o n real de cholesky con ra´ız cuadrada pues los elementos de la diagonal de D no son positivos.
−
−
−
− −
−
−
119
Formas Cuadr´aticas
Matrices
Note Note que que la t´ ecni ecnica ca que hemo hemoss util utiliz izad ado o para para clas clasifi ifica carr una una form forma a cuadr´ atica atica ha sido realizar un cambio de variables o substituci´ on on y reducir el problema a la clasificaci´ on on de una forma cuadr´ atica atica diagonal. Este proceso recibe el nombre de diagonalizaci´ on de una forma cuadr´atica. on atica. El siguiente teorema aclara la t´ ecnica ecnica de reducci´ on on de la clasificaci´ on on de una forma cuadr´ atica atica a la de otra, posibleme po siblemente nte m´ as as sencilla sencill a de determinar. determi nar.
120
Formas Cuadr´aticas
Teorema 5. 5. Sean B, V matrices de n entonces
Matrices
× n.
Si V es matriz matriz inve invertibl rtible, e,
• B es sim´ sim´ etric etrica a sii sii V T BV es sim´ im´ etri et rica ca • B es sim´etrica etrica definida positiva sii V T B V
es sim´ etrica etri ca definid defi nida a
positiva
es sim´ etrica etrica definida negativa negativa sii V T B V es sim´ etrica etr ica definid defi nida a negativa
•B
• B es sim´etrica etrica semi definida definid a negativa sii V T B V es sim´ sim´ etric etrica a semi se mi definida negativa
• B es sim´etrica etr ica indefin ind efinida ida sii V T B V es sim´ etrica etr ica indefin ind efinida ida Es decir, si V es invertible, 121
Formas Cuadr´aticas
Matrices
B y V T BV definen a fo formas rmas cuadr cuadr´ ´ aticas del mism aticas mismo o tipo, cuando una de ell ellas as es sim´etrica etri ca..
Para clasific Para clasificar ar a una matriz sim´ etrica B se busca una matriz V invertible etrica tal que clasificar a V T BV sea m´ as simple de realiz as realizar. ar. Demostraci´ on: Simetr´ıa: on: Si B es sim´ si m´ etri et rica ca,, C = V T BV , entonces C T = (V T B V )T = V T B T V = V T BV = C
y por lo tanto C es sim´ si m´ etri et rica ca.. Si V es invert invertibl ible, e, entonc entonces es B = (V 1)T C V 1 = W T C W , y por el lo ya demostrado, intercambiando los roles de B ,C , tenemos que C sim´etrica implica B sim´ sim´ etric etr ica. a. Enton Ent onces ces B es sim´ sim´ etri etrica ca sii sii C = V T BV es sim´ si m´ etri et rica ca.. −
−
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Misma Clasificaci´ on: Es el resultado inmediato de aplicar la substituci´ on y = V x: T C x x=x T (V T BV ) x = (V x)T B (V x) = y T B y 0 sii y = V x = 0. Note que V invertible implica que x =
.
2
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etrica definida positiva sii A Ejemplo 16. Demuestre que A es sim´ sim´ etrica positiva definida
Soluci´ on: Sea A sim´ etrica definida positiva. Como (A 1)T = (AT ) 0 tenemos tenemos que A 1 es sim´ etrica. Adem´ as para x = −
1
−
1
es
−
=A
1
−
−
xT A−1 x= xT A−1AA−1 x = (A−1 x)T A(A−1 x) = y T A y
donde y = A
1
−
0x = V x, con V = A
1
−
es invertible.
Entonces A y A 1 tienen la misma clasificaci´ on. Note que A 1 = V T AV y por el teorema anterior, A definida positiva implica A 1 definida positiva. −
−
−
Hemos demostrado que A sim´ etrica definida positiva implica A sim´etrica definida positiva.
1
−
Poe este u ´ltimo resultado, tomando a A como A 1, obtenemos que A 1 sim´ etrica definida positiva implica (A 1) 1 = A es sim´etrica definida positiva. −
−
−
−
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Ejemplo 17. Demuestre que
• AT A es sim´etrica semi definida positiva • AT A es sim´etrica definida positiva sii Ker(A) = { 0} (sii las columnas de A son li.)
Soluci´ on: Sea B = AT A. Entonces, B T = (AT A)T ) = AT (AT )T ) = AT A = B , por lo que AT A es sim´ etrica. Adem´ as ()
xT AT A x = (A x)T (A x) = ||Ax||2 ≥ 0
Por lo tanto AT A es sim´ etrica semi positiva definida. 125
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0 entonces A x = 0 para x = 0. Entonces por Ahora si Ker(A) = () tenemos que xT AT A x > 0 cuando x = 0. Hemos demostrado que Ker(A) = 0 implica que AT A es sim´ etrica definida positiva.
{}
{}
|| ||2 y
Ahora, si AT A es definida positiva, entonces 0 < xT AT A x = Ax 0 cuando x = 0. Es decir, Ker(A) = 0 . por lo tanto Ax =
{}
Hemos demostrado que AT A es definida positiva implica que Ker(A) = 0 .
{}
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etrica definida positiva Ejemplo 18. Demuestre que toda matriz sim´ tiene diagonal principal positiva, pero existen matrices sim´ etricas con diagonal positiva que no son definidas positivas.
Soluci´ on: 0. Si A es definida positiva entonces xT Ax > 0 para x =
ei > 0 . Tomando x = eˆi obtenemos que ai,i = eˆT i Aˆ
Entonces la diagonal principal de A es positiva. Construimos una matriz de 2 2 sim´ etrica con A = LU , con la diagonal de U no es positiva, pero la diagonal de A es positiva. Esto es f´ acil:
×
A=
1 2 2 1
→
1 2 0 −3
Entonces los pivotes no son todos positivos y A es indefinida, pero la diagonal de A es positiva. 127
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Note que NO toda matriz sim´etrica A se puede factorizar como A = LDLT . Ejemplo: 0 1 A= 1 0 Esto sucede cuando A tiene submatrices principales no invertibles.
En este ejemplo A1 = (a1,1) no es invertible, por lo que es necesario un intercambio forzado de filas. La matriz A de este ejemplo es indefinida. Las matrices semi positivas o negativas definidas tienen submatrices principales no invertibles. El m´ etodo visto, tal como est´ a no se puede usar para clasificar matrices sim´ etricas que tengan submatrices principales no invertibles La factorizaci´ on de cholesky como est´ a permite clasificar a matrices definidas positivas o negativas. 128
