Fiabilitatea sistemelor

Ingineria sistemelor industriale

7. CONCEPTE DE BAZĂ ALE FIABILITĂŢII SISTEMELOR INDUSTRIALE Progresul tehnologic considerabil, început în a doua jumătate a secolului al XXlea este strâns legat de realizarea unor utilaje şi dispozitive din ce în ce mai complexe. În general, acestea sunt alcătuite din mai multe dispozitive simple, având fiecare o durată de serviciu relativ satisfăcătoare. Deşi s-au realizat îmbunătăţiri considerabile în sens sensul ul spor sporir irii ii dura durate teii de serv servic iciu iu a comp compon onen ente telo lorr de bază bază,, de exem exempl pluu cele cele microelectronice, acestea nu au determinat însă şi o creştere echivalentă a duratei de serv servic iciu iu a echi echipa pame ment ntel elor or şi sist sistem emel elor or în care care erau erau folo folosi site te.. În unel unelee cazu cazuri ri,, complexitatea echipamentelor şi sistemelor a sporit într-un ritm mult mai intens decât durate duratele le de servic serviciu iu ale compon componen entel telor, or, încât încât s-a ajuns ajuns la situa situaţia ţia că numero numeroase ase echipamente au o durată de viaţă mult mai mică decât a oricăreia dintre componentele ei de bază. În alte cazuri, s-a ajuns şi la reducerea substanţială a duratelor potenţiale de serviciu a componentelor de bază din cauză că acestea au fost incorect folosite sau suprasolicitate. În alte cazuri nu s-a înţeles că trebuie acordat timp şi suficientă atenţie problemelor legate de asigurarea duratelor de viaţă potenţial posibile ale componentelor componentelor de bază. Definiţia, în general acceptată, a fiabilităţii este următoarea: „fiabilitatea „fiabilitatea este proba probabil bilit itate atea a ca un dispo dispozit zitiv iv să-şi să-şi îndep îndepli linea neasc scă, ă, fără fără defect defectări ări,, funcţ funcţii iile le sale sale specifice pe o anumită perioadă de timp, într-un ansamblu de condiţii de funcţionare dinainte precizate”.

7.1. Instrumentul matematic al fiabilităţii Deoarece fiabilitatea este definită prin probabilitate, teoria fiabilităţii utilizează par param amet etri ri prob probab abili ilist stic icii cum cum sunt sunt:: vari variab abil ilel elee alea aleato toar are, e, func funcţi ţiil ilee dens densit ităţ ăţii ii de probabilitate şi funcţiile de distribuţie.

• Funcţia de distribuţie U(t) a defectărilor se defineşte ca fiind probabilitatea ca la o încercare la întâmplare, variabila aleatoare să nu fie mai mare decât t , sau [17]: t

U (t ) =

∫ u (t )dt ,

(7.1)

−∞

în care u(t) este funcţia densităţii de probabilitate a defectărilor aleatoare.

Pagina 152


Această funcţie se numeşte „funcţie de nefiabilitate”, pentru că se referă la apariţia defectului. Dacă variabila aleatoare este discretă, semnul de integrală este înlocuit de sumă.

• Funcţia de fiabilitate, sau probabilitatea ca un dispozitiv să nu se defecteze înaintea unui moment t , este dată de relaţia: ∞

∫

R (t ) = 1 − U (t ) = u (t )dt

(7.2)

t

Probabilitatea defectării într-un anumit interval de timp, t 1 până la t 2, poate fi exprimată prin funcţia de fiabilitate: ∞

∞

∫ u(t )dt − ∫ u (t )dt = R (t ) − R (t ) 1

t1

2

(7.3)

t 2

Frecvenţa cu care apar defectele în intervalul t 1-t 2, sau altfel spus rata defectării Φ (t), se defineşte ca raport între probabilitatea ca defectul să se producă în acel interval,

cu condiţia să nu se fi produs înainte de t 1 şi mărimea intervalului. Rezultă că:

Φ (t ) =

R(t1 ) − R (t2 )

(t2 − t1 ) ⋅ R (t1 )

(7.4)

care se poate scrie şi sub forma:

Φ (t ) =

R(t ) − R (t + h ) h ⋅ R(t )

(7.5)

în care: t=t1 şi t2=h+t1.

• Rata instantanee a defectelor z(t) este definită ca limită a densităţii defectării când intervalul tinde către zero, respectiv: z (t ) =

 R(t ) − R (t + h )  1  dR (t )  u (t ) =−   dt  = R (t ) (7.6) ( ) h ⋅ R(t ) R t 

lim  h →0

care se poate scrie şi sub forma: z (t ) = −

d ln R(t ) dt

(7.7)

Prelucrând ecuaţia (7.7) se poate obţine ecuaţia generală pentru funcţia de fiabilitate:

  R (t ) = exp  − ∫ z (t )dt   0  t

(7.8)

Pagina 153


Experienţa arată că un număr relativ mic de funcţii satisface cele mai multe cerinţe ale analizei fiabilităţii. În continuare sunt prezentate formulele de calcul ale funcţiilor specifice şi curbele corespunzătoare, pentru funcţii de densitate alese. În cazul curbelor de densitate Gauss sau normale (figura 7.1):

Funcţia de densitate:

u (t ) =

1

−

σ ⋅ 2π

e

1

∞

Funcţia de fiabilitate: R (t ) = ∫

σ ⋅ 2π t

(t

u( t )

)

2

Rata defectării: z (t ) =

θ σ σ π 1

e

2

( t −θ ) 2

(7.9)

2σ 2

−

e

(t −θ ) 2 2σ 2

dt

(7.10)

u (t )

(7.11)

R(t )

2

2

1

R( t ) 0 .5

u( t )

θ −σ

t

z( t )

θ +σ

θ −σ

a)

t

θ +σ

θ −σ

b)

c)

t

θ + σ

Figura 7.1. Funcţii specifice pentru distribuţie Gauss a) Funcţia de densitate u(t); b) Funcţia de fiabilitate R(t); c) Rata defectării z(t)

Pentru curbele de densitate exponenţială (figura 7.2): Funcţia de densitate:

u (t ) =

1 θ

Funcţia de fiabilitate: R (t ) = e Rata defectării: z (t ) =

t −

e t

−

1 θ

θ

θ

(7.12) (7.13) (7.14)

unde: durata medie de viaţă, θ =1/λ .

Pagina 154


1

1/ θ

u( t )

z( t )

R ( t ) 0. 5

1/ 3

θ

θ

t

θ

θ

3

3

θ

t

θ

t

θ

a) b) c) Figura 7.2. Funcţii specifice pentru distribuţie exponenţială a) Funcţia de densitate u(t); b) Funcţia de fiabilitate R(t); c) Rata defectării z(t )

Pentru curbele de densitate Gamma (figura 7.3): Funcţia de densitate:

u (t ) =

t

1 α ! β α 1 +

t e

Funcţia de fiabilitate: R (t ) = ∫

+

0 .5

0

2

6

8

10

z(t)

α= z1( t ) α = 0 z2( t ) z3( t ) 1α = 2α = z4( t ) 3 α = z5( t )

R 2( t ) R 3( t ) R 4( t ) 0 .5 R 5( t )

1

α= 0

0.5

4 0

0

2

t a)

(7.16)

β =1 şi α =0,1,2,3,4.

1

4

dt

(7.17)

R 1( t )

0 α= α= 1 α= 2 α= 3 4

t e

R(t )

R(t)

α=

β

u (t )

În relaţiile (7.15÷ 7.17) :

1

−

α

α ! β α 1 t

u(t)

(7.15)

β

t

1

∞

Rata defectării: z (t ) =

−

α

4

6 t

8

2

10

t

b)

α= α= α= 1 α= 2 3 4 46 8 10 t t c)

Figura 7.3. Funcţii specifice pentru distribuţie Gamma a) Funcţia de densitate u(t); b) Funcţia de fiabilitate R(t); c) Rata defectării z(t) Pentru curbele de densitate Weibull (figura 7.4): Pagina 155


Funcţia de densitate:

u (t ) = α ⋅ β ⋅ t β

Funcţia de fiabilitate: R (t ) = e Rata defectării:

⋅e

−

α ⋅t β

(7.18)

α ⋅t β

(7.19)

−

z (t ) = α ⋅ β ⋅ t β 1

(7.20)

−

În relaţiile (7.18÷ 7.20):

α =1 şi β =1,2,3,4.

R(t)

u(t) 1 .6

u 2( t )

R 1( t )

u 4( t )

0 .8

R 2( t ) 0 .6

β3 = 2

0 .8

z(t) β =6

β= 4β = 3

1

β= 4β =

β= u 1( t ) 1 u 3( t )

1

−

β= 3 β= 2 β= 1

4 z1( t ) z2( t )

βR 3=( t ) 0 .4 R 4( t ) 1β= 0 .2

4

z3( t ) z4( t )

2

2 0

0 .4 0 .8 1 .2 1 .6 t

a)

2

2 .4

0 0 .4 0 .8 1 .2 1 .6 2 t

2 .4

0

b)

1

2

3

4

5

t

c)

Figura 7.4. Funcţii specifice pentru distribuţie Weibull a) Funcţia de densitate u(t); b) Funcţia de fiabilitate R(t); c) Rata defectării z(t) Forma funcţiilor de densitate diferă corespunzător ratei defectării. Astfel, exponenţiala corespunde unei rate constante a defectării, independente de timp. Aceasta înseamnă că probabilitatea defectării nu depinde de vechimea echipamentului. În cazul curbelor de densitate Gauss sau normale, rata defectării creşte cu timpul, ceea ce înseamnă că probabilitatea defectării sporeşte cu vechimea dispozitivului. Rata defectării în cazul unei distribuţii Weibull depinde de valoarea β astfel: pentru β =1, rata defectării şi funcţia de fiabilitate sunt identice cu o distribuţie exponenţială, pentru

β =2, β =3, β =4, funcţia de fiabilitate tinde spre forma unei distribuţii normale. Distribuţiile Weibull şi exponenţiale au cea mai largă aplicabilitate în analizele fiabilităţii. Curbele de supravieţuire ale celor mai multe sisteme şi echipamente complexe sunt de formă exponenţială, iar pentru numeroase componente curbele de supravieţuire au forme de distribuţie Weibull. În literatura de specialitate [21] sunt prezentate curbele corespunzătoare pentru funcţiile de densitate şi fiabilitate şi pentru distribuţiile rectangulară, binomială şi Poisson precum şi rata defectării pentru distribuţia rectangulară. Pagina 156


• Calculul fiabilităţii Se consideră un sistem alcătuit din n piese în serie, în care defectarea oricărei piese conduce la defectarea întregului echipament, iar defectarea oricărei piese este independentă de defectarea celorlalte piese. Se notează funcţiile de fiabilitate pentru fiecare piesă prin Ri(t), i=1,2,…n şi funcţia de fiabilitate a echipamentului R(t). Probabilitatea ca echipamentul să supravieţuiască, fără defecte, momentului t este dată de: R (t ) = R1 (t ) ⋅ R2 (t ) ⋅ K ⋅ Rn (t )

(7.21)

Dacă fiecare componentă are o densitate de probabilitate a defectărilor exponenţială, atunci: n

−

R (t ) = e

în care:

−

λ1t

λ = λ1 + λ2 + K + λn şi λ i =

⋅e

−

1 θ i

λ 2t

⋅K ⋅ e

−

λ n t

=e

∑ λ

i t

i =1

=e

−

λ t

(7.22)

.

Deci, densitatea defectării sistemului ( λ ) este suma densităţilor defectării tuturor componentelor (λ i), iar viaţa medie (durata medie) a sistemului este: θ = 1/λ. Exemplu: Fie un sistem compus din 600 piese componente, fiecare având o densitate de probabilitate a defectărilor exponenţială. Fiecare piesă componentă are o fiabilitate de 99%, pe un interval oarecare t. Fiabilitatea sistemului pentru acelaşi t este: R(t )

= 0,99600 = 0,0024 = 0, 24%

Deci din 1000 de astfel de sisteme, 997 nu vor izbuti să supravieţuiască momentului t.

• Durata medie de viaţă şi media timpului de bună funcţionare Durata medie de viaţă a echipamentelor,

este similară cu durată sperată a

vieţii unei persoane dintr-o populaţie umană. Noţiunea “durata medie de viaţă” este utilizată pentru cazurile când componentele nu sunt înlocuite după defectarea lor, şi reprezintă media aritmetică a duratelor de funcţionare până la defectare, ale tuturor mostrelor testate.

Pagina 157


Media timpului de bună funcţionare, MTBF, se foloseşte pentru situaţiile în care componentele sunt înlocuite după defectare şi reprezintă raportul dintre intervalul total de funcţionare şi numărul total al defectelor. Se observă că în cazul înlocuirii totale a echipamentelor defecte, MTBF reprezintă exact acelaşi parametru ca şi durata medie a vieţii. Este important de subliniat faptul că parametrul MTBF are o reală semnificaţie numai în cazul înlocuirii componentelor defecte. În plus, utilizarea lui este corectă numai în cazurile când se pot aplica exponenţiale. În concluzie, în cazul neînlocuirii componentelor defecte, de obicei se dă fie R(t) fie θ , iar pentru cazul înlocuirii componentelor defecte după o distribuţie exponenţială, se dă, fie intervalul mediu dintre defecte, fie: t

R (t ) = e

−

θ

t

=e

−

MTBF

(7.23)

7.2. Elemente de predicţie şi analiza fiabilităţii Predicţia fiabilităţii este procesul prin care se face o estimare numerică a capacităţii pe care o are un echipament de a realiza funcţia care i se cere, fără să se defecteze. Ecuaţia de bază în predicţiile privind fiabilitatea a fost prezentată în relaţia (7.21) şi este: R (t ) = R1 (t ) ⋅ R2 (t ) ⋅ K ⋅ Rn (t ) ,

unde:- R(t) este probabilitatea supravieţuirii unui sistem în intervalul t ; - R 1(t), R 2(t),…,R n(t) reprezintă probabilitatea fiecărui element component din sistem de a supravieţui pe durata t . Această relaţie se bazează pe ipoteza că defectarea oricărui element conduce la defectarea întregului sistem şi că aceasta este independentă de defectarea oricărui element. Metoda este aplicabilă pentru foarte multe echipamente şi sisteme complexe şi este de fapt singura utilizată practic pentru predicţiile privind fiabilitatea echipamentelor electronice. Dacă echipamentele complexe analizate sunt alcătuite din mai multe componente, fiecare având o durată de serviciu medie diferită de a celorlalte şi abateri faţă de aceasta, distribuite aleatoriu, atunci deficienţele de funcţionare ale sistemului se vor produce într-un ritm practic constant, după fiecare înlocuire a pieselor defecte. În consecinţă, chiar dacă defectele diferitelor piese apar la intervale inegale şi aleatoare, au Pagina 158


o rată a defectelor constantă şi o comportare exponenţială. În figura 7.5 este prezentată situaţia lămpilor cu incandescenţă dintr-o fabrică. Această dependenţă a fost verificată pentru densităţile defectărilor a numeroase echipamente, începând de la sisteme electronice până la motoare.

l

ur ă m u N

r

ol et c ef e d

100

Numărul total al lămpilor care se defectează pe zi

50

Nλ =constan

10

t M 2M

4M

6M

Figura 7.5. Stabilizarea ratei defectelor Modul defectării componentelor

În studiile privind predicţia defectelor este necesar să se anticipeze frecvenţa cu care se pot manifesta diferite moduri de apariţie a defectelor. Defectele catastrofice (din neşansă) sunt definite ca fiind cele care se produc când componentele devin brusc şi complet inactive sau prezintă spontan o modificare de mari proporţii a caracteristicilor. Ele apar ca o avarie spontană, fără nici un simptom anterior de deteriorare. Dacă se trasează o curbă a ratei defectării în funcţie de durata de viaţă T , pentru un eşantion relativ mare, extras dintr-o mulţime omogenă de componente, se obţine reprezentarea grafică din figura 7.6. În momentul T=0 sunt în funcţiune un număr foarte mare de noi componente, de un anumit tip. La început rata defectării acestei mulţimi, va fi ridicată deoarece conţine un număr oarecare de elemente de calitate inferioară, ale căror caracteristici se situează sub nivelele standardizate. Ca urmare, rata defectării scade relativ rapid în timpul perioadei de stabilizare sau amorsare şi se stabilizează la o valoare aproximativ constantă în momentul T B, când componentele slabe au ieşit toate din funcţiune. După amorsare, mulţimea componentelor ajunge la rata cea mai coborâtă a defectelor. Intervalul căruia i se asociază această rată a defectării este numit perioadă utilă de viaţă. Când componentele au ajuns la vârsta T W încep să se resimtă efectele vechimii. Panta curbei începe să crească într-un punct care se află mult în afara duratei sperate de serviciu a echipamentului, în care componenta este utilizată. Pagina 159


ii r

ăt c ef e d at a R

Defecte de uzură şi întâmplătoare, după expirarea duratei normale de serviciu

Defecte în intervalul de stabilizare Defecte întâmplătoare pe durata de serviciu λ =1/MTB F 0

TB

TW

M

7.3. Proiectarea fiabilităţii Figura 7.6. Rata defectelor în funcţie de durata efectivă de serviciu La începutul unui proiect nu sunt cunoscute numărul şi tipurile de componente de bază care alcătuiesc ansamblul echipamentului. De obicei, proiectantului i se precizează condiţiile de fiabilitate cerute echipamentului de proiectat în forme ca, de exemplu : „300 de ore media timpului de bună funcţionare” sau „probabilitatea de 93% ca în decurs de 30 de ore să nu apară defecte”. Prima etapă în procesul de proiectare constă în repartizarea restricţiilor de fiabilitate a întregului echipament, între principalele sale elemente. Odată încheiată această fază, este posibil ca pentru fiecare element principal să se determine rata medie a defectării, pe componentă. Rezultatele obţinute sunt apoi comparate cu informaţiile existente privind ratele medii ale defectării, pentru a verifica dacă condiţiile pretinse sunt realizabile cu elementele avute în vedere. Dacă nu, pentru a ajunge la fiabilitatea dorită, proiectantul trebuie să utilizeze una din următoarele metode : 1. Găsirea unor componente „mai bune” în ceea ce priveşte fiabilitatea; 2. Simplificarea proiectului, pentru a utiliza mai puţine componente, dacă aceasta este posibil din punct de vedere funcţional; 3. Aplicarea unor metode de creştere a fiabilităţii componentelor pentru a diminua rata defectării lor medii; 4. Folosirea unor redundanţe, dacă soluţiile de la punctele 1, 2 şi 3 nu conduc la obţinerea unor densităţi acceptabile ale defectărilor.

Pagina 160


Redundanţa ca metodă de proiectare În tehnica fiabilităţii, redundanţa poate fi definită drept existenţa mai multor mijloace, şi nu a unuia singur, pentru a realiza o anumită caracteristică. În general, sistemul ajunge în situaţia de a fi defect dacă toate acele mijloace se defectează. Exemplu: Se presupune un sistem simplu alcătuit din două elemente în paralel, aşa cum se arată în figura 7.7.

SS1 u(t)

v(t) SS2 Figura 7.7. Reţea redundantă paralel

Dacă q1 este probabilitatea de defectare pentru SS 1 şi q2 este probabilitatea de defectare pentru SS 2 , probabilitatea de defectare a întregului sistem este : Q = q1 ⋅ q2

(7.24)

Fiabilitatea sau probabilitatea de a nu avea defecte este: R = 1 − Q = 1 − q1 ⋅ q2

(7.25)

De exemplu, să presupunem că SS 1 are fiabilitatea R 1 egală cu 0,8 şi SS 2 are fiabilitatea R 2 egală cu 0,7. Nefiabilităţile vor fi: q1

= 1 − R1 = 0, 2 , respectiv:

q2

= 1 − R2 = 0,3

iar probabilitatea defectării sistemului va fi: Q = ( 0, 2 ) ⋅ ( 0,3 )

= 0, 06

Rezultă fiabilitatea sistemului: R = 1 − Q = 0,94 ,

ceea ce înseamnă o fiabilitate mai mare decât a oricăreia dintre componente. Acest tip de soluţie implică ipotezele că, diferitele componente, în paralel, nu interacţionează şi că pot fi activate, când este necesar, prin dispozitive de sesizare a apariţiei defectului, pe un traseu, şi de conectare a altui traseu. A doua ipoteză este

Pagina 161


extrem de greu de realizat în practică şi din acest motiv avantajele potenţiale ale redundanţei nu pot fi complet valorificate. Majoritatea soluţiilor bazate pe redundanţă, aplicate practic, se concretizează prin diverse montaje de elemente în serie şi paralel.

7.4. Încercarea fiabilităţii Scopul final al încercării fiabilităţii este acela de a oferi o estimare a probabilităţii ca dispozitivul probat să funcţioneze corespunzător, într-o anumită perioadă de timp şi într-o anumită ambianţă. Deci, probele de fiabilitate ne permit să estimăm statistic fiabilitatea dispozitivului respectiv. Pentru a găsi probabilitatea unui eveniment trebuie culese şi interpretate statistic date importante despre apariţia evenimentului. În cazul măsurării fiabilităţii sunt culese măsurători şi prelucrate date statistice privind performanţele de funcţionare ale dispozitivului, în domeniul de timp dorit. Aceasta se realizează observând un număr de dispozitive în funcţiune, măsurând intervalele de timp în care nu s-au defectat şi numărând defectele, pe măsură ce apar, în perioada de observare. După ce se obţin date suficiente asupra momentelor defectărilor, se poate estima destul de exact intervalul mediu între defecte sau durata medie de funcţionare fără defecte. Problema testării fiabilităţii este mai complicată când se cunoaşte prea puţin sau nimic despre formele distribuţiilor defectelor în timp, specifice componentelor sau echipamentului în ansamblu. În acest caz, se foloseşte un eşantion pe baza căruia se estimează forma distribuţiei şi parametrii acesteia. În concluzie, încercarea fiabilităţii se axează pe următoarele elemente: 1. Determinarea formei distribuţiei unui parametru statistic (de exemplu, media timpului de bună funcţionare) şi estimarea valorii acelui parametru, pe baza eşantioanelor testate. 2. Determinarea încrederii cu care se poate admite că, din analiza mulţimii respective rezultă că, valoarea efectivă a parametrului este situată între anumite intervale concrete. 3. Aflarea răspunsului la întrebarea: „dacă fiecare dispozitiv sau componentă are o oarecare durată medie de viaţă se poate stabili măsura în care se poate avea siguranţa că aceasta se va confirma în exploatare?”.

Pagina 162


4. Fundamentarea mărimii eşantionului şi a consumului de timp pentru încercările necesare în vederea realizării punctelor 1, 2 şi 3.

7.4.1. Defectele întâmplătoare Pentru analiza sau predicţia defectelor întâmplătoare interesează un singur parametru: durata medie a vieţii (θ ), media timpului de bună funcţionare (m), sau rata defectelor (λ ). Când este cunoscut un astfel de parametru, fiabilitatea la un moment dat se poate calcula cu relaţia (7.23). Deoarece, de obicei, nu se poate recurge decât la un număr limitat de exemplare, pe care să se facă măsurătorile, sau se dispune de un interval de timp limitat pentru acestea, se poate considera că asemenea probe sunt o estimare suficient de bună a valorii adevărate. Aceste estimări se notează prin ˆ ˆ θˆ şi λ . simbolurile: m, Când problema se referă la componente, se consideră un eşantion relativ mare care se încearcă într-un interval scurt, în care practic, nu pot apărea defecte din cauza uzurii. Aceasta se explică prin faptul că atât componentele cât şi echipamentul au o rată mai mare a defectelor la începutul funcţionării (figura 7.6) şi deci trebuie depăşită această porţiune a curbei funcţionării echipamentelor, înainte de a se trece la încercările asupra fiabilităţii. Pentru cele mai multe echipamente, de diferite complexităţi, este suficient un timp de circa 200 de ore pentru a se situa pe porţiunea de pe curba de funcţionare caracterizată prin rată constantă a defectelor. Mărimea necesară a eşantionului (N) depinde de durata admisibilă a probelor (t) şi de încrederea impusă la măsurarea ratei defectelor. De exemplu, o estimare a ratei ˆ ) cu o încredere de aproximativ 60% este dată de formula: defectelor ( λ λ ˆ60 =

r

×105 % /1000 ore

N ⋅ t

(7.26)

în care: ˆ este densitatea estimată a defectelor [% / 1000 ore]; λ r reprezintă numărul defectelor observate; N este mărimea eşantionului; t este durata perioadei de încercare.

În cazul determinării fiabilităţii unui echipament, parametrul care interesează este Pagina 163


media timpului de bună funcţionare, m. Deoarece, pe măsură ce componentele se defectează, sunt înlocuite, se aplică relaţia: ˆ= m

N ⋅ t r

(7.27)

În relaţiile (7.26) şi (7.27) nu s-a specificat nimic despre exactitatea estimării. La aceasta se vor face referiri când se introduce noţiunea de limite de încredere. Estimările statistice pot conduce la rezultate mai apropiate de valoarea adevărată, pe măsură ce creşte mărimea eşantionului. Numai situaţia, practic imposibilă, în care se consideră un număr infinit de exemplare în eşantion, pentru a le proba, ar însemna încredere 100% sau certitudinea totală că valoarea măsurată a lui m coincide cu valoarea adevărată. Din această cauză, în orice situaţie practică trebuie stabilite intervalele sau domeniile valorilor între care se ştie, cu o probabilitate determinată de eşantionul de mărime finită, că se află valoarea adevărată a lui m. Intervalele de încredere, asociate punctelor de estimare, se definesc prin noţiunile de limită inferioară de încredere L şi limită superioară de încredere U . Dacă de exemplu, se calculează limitele de încredere pentru o probabilitate de 95%, aceasta înseamnă că, în 95% din cazuri putem fi siguri că valoarea adevărată a lui m se află între aceste limite, sau că în 5% din cazuri ea se va afla în afara acestor limite. În consecinţă, problema se reduce fie la determinarea intervalului în interiorul căruia se află m cu o probabilitate dată şi pentru o mărime dată a eşantionului, fie la a determina mărimea necesară a eşantionului pentru a asigura, cu o probabilitate dată, că m se află în acel interval.

În cazul distribuţiei exponenţiale, la probele privind fiabilitatea se măsoară un singur parametru şi anume m. Se pune problema stabilirii limitelor de încredere cu care se poate afirma că, o estimare m corespunde mărimii adevărate m a intervalului mediu între defecte, când m a fost obţinut prin probe în care s-au observat r defecte. Să presupunem că se poate accepta ca m să fie în afara intervalului în 5% din cazuri, sau se poate accepta o probabilitate de 5% ca m să se situeze în afara intervalului. În acest caz ,

α =0.05. 7.4.2. Defecte în funcţie de timp – distribuţia Weibull Când defectele sunt datorate, mai ales, uzurii în timp şi nu întâmplării, studiile de încercare a fiabilităţii nu se mai pot baza pe distribuţia exponenţială. În asemenea cazuri Pagina 164


trebuie culese suficiente date privind defectele, pentru a contura distribuţia timp – defect, care se aplică în cazul respectiv. Pentru verificarea fiabilităţii s-au folosit şi modele bazate pe distribuţiile Gamma şi normală, însă mai larg folosit este modelul bazat pe distribuţia Weibull. Pentru numeroase componente mecanice şi electrice, cum sunt pompele, releele, sau comutatoarele, s-a verificat că au o distribuţie a defectelor în timp de tip Weibull. Deci funcţia de fiabilitate ori probabilitatea de a supravieţui fără defect momentului t este (conform relaţiei 7.19): β t

R(t ) = e

−

θ

,

iar rata instantanee a defectelor este (conform relaţiei 7.20): z (t ) =

1 θ

⋅ β ⋅ t β 1 −

în care, β este parametrul de formă şi θ este parametrul de scară şi inversul lui α. Pentru a calcula fiabilitatea şi rata instantanee a defectelor este nevoie să se culeagă date privind defectele, pentru a se estima θ şi β.

Pagina 165

Fiabilitatea sistemelor

Recommend Documents