•'
19
1.4 Exercícios Resolvidos
1.4 1.4.1
Exercícios Resolvidos Noções Topológicas
,/x2 -4x+3 1. Considere a expressão deslgnatória definida., no conjunto dos números reais por log(x + 2) e seja A o seu don1ínio. Considere o seguinte subconjunto ele IR: 1
B = {x E IR: lx - li< 3}. (a.) Apresentando todos os cálculos, escreva. A e B como união de intervalos. (b) Determine o conjunto dos pontos interiores e o derivado de B e a fronteira de A n B. 2. Considere os conjuntos A e B definidos por
log(x2 ) _ 4 <'.O}
A= {x E IR: lx2
e B = {x E IR: lx
2 -
li< l}.
1
(a) Exprima A e B como união de intervalos. (b) Determine o interior de A U B 1 os núnorantcs de A
n B e os pontos de acumulação de B. 1
3. Considere a expressão designatória definida, no conjunto dos nú1neros reais, por log(x2 _ 9) e seja
A o seu domínio. Considere o seguinte subconjunto de IR: B = {x E IR:
Jx +li< l}.
(a) Apresentai:ido todos os cálculosi escreva A e B como união de intervalos. (b) Determine a ~ronteira de A U B. Averigúe se A U B é um conjunto aberto. Justifique. 4. Considere os conjuntos A e B definidos por
A= {x E IR: larctg(x)I <::
"}
4
e B = {x E IR: (x- l)(x + 3) :=;O}.
(a) Exprima A e B como união de intervalos. (b) Determine o intcrior 1 a fronteira, os majorantcs 1 os minorantes e os pontos de acumulação de
AnB. 5. Considere a expressão designatória definida, no corijunt;o dos números reais, por
log(~+ 9-x 2
2 )
e seja A o seu domínio. Considere o seguinte subconjunto de JR.:
B = { x E IR : 0 < lx + l I :=; 4}. (a) Apresentando todos os cálculos, escreva A n B como união de intervalos. (b) Determine o conjunto dos pontos interiores e o derivado de B e a fronteira de A n B. 6. Considere a expressão designatória definicla 1 no conjunto dos números reais 1 por seja A o seu domínio. Considere o seguinte subconjunto de JR.: B = {x E IR: lhxl :=; vG}. (a) Apresentando todos os cálculosi escreva A n B como união de intervalos.
arcsen(2x - 3) e log(x2 - 1)
20
1. Noções Topológicas, Indução Matemática e Sucessões
(b) Determine, justificando, o conjunto dos pontos fronteiros de A n B. Averigúe se o conjunto A n B é fechado.
RESOLUÇAO 1.
(a) O conjunto A é o conjunto dos valores de x para os quais a expressão faz sentido, isto é)
A= {x E ill: x 2
-
4x + 3 2 0 /\ x + 2 > 0 /\ log(x + 2)
#
0}.
Usando a fórmula resolvente para a equação de grau 2 temos
x2
-
4x + 3 2 O
Os números 1 e 3 dividem a recta em três intervalos: ] - oo, l[, ]1, 3[ e ]3, +oo[. Em cada um desses intervalos o produto (x - l)(x - 3) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.16, portanto>
(x - l)(x - 3)
::>o{'> X:::;
1 V X::> 3.
+ + + + + + + + + 0----------------0 + + + + + + + + +
3 Figura 1.16
Como log(x + 2) A
#O
=
{xEill:(x:o:;lVx:;>3) f\x>-2 /\ x,i-1}
=
(] - oo, l] u [3, +oo[) n] - 2, +oo[ n (] - oo, -1[ u] - 1, +oo[)
] - 2, -1[ U] - 1, 1[ U [3, +co[.
3 -2
-1 Figura 1.17
Sabemos que [x -1[ < 3 <* -3 < x-1 < 3
-2
~
4
Figura 1.18
O derivado de B 1 B', é o conjunto dos pontos de acumulação de B. Neste casoi B'
=
[-2,4].
•'
•'
21
1.4 Exercícios Resolvidos
-2
-1
3
·2
4 Figura 1.19
Determinemos o conjunto A n B (ver Figura 1.19.
A n B = (] - 2, -1[ u] -1, l[ u [3, +oo[) n] - 2,4[=] - 2, -1[ u] - 1, l[ u [3, 4[.
A fronteira é o conjunto fr(A n B) = {-2, -1 1 1, 31 4} porque são estes os únicos pontos tais que todas as vizinha.nças intersectam o conjunto A n B e o seu complementar. 2.- (a) O conjunto A pode escrever-se como
{x E Ili.: log(:r. 2 ) ::>: O /\ x 2 > O /\ lx2
A
= A expressão x 2
-
-
41
> O}
{xElll.:x 2 -l::>:O /\xy!oO /\xy!o2 /\xy!o-2}
1 é um caso notável da multiplicação: x
2
-
1 ::>:O<* (x - l)(x + 1) ::>:O
Os números -1 e 1 dividem a recta em três intervalos: ] - oc, -1[,] - 1, 1[ e ]1, +oo[. Em cada um desses intervalos o produto (x - l)(x + 1) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.20, portanto,
(x-l)(x+l) ::>: O#x :<:; -lVx::>:
1.
+ + + + + + + + + 0----------- -----0 + + + + + + + + + -1 Figura 1.20
Finalmente,
{xElll.:x:<;-lVx;:>:l /\xy!oO Axy!o2 Axy!o-2}
A
(] - oo,-1] U [1,+oo[) \ {-2,0, 2} =
j-oo,-2[Uj-2,-1] U[l,2[U]2,+oo[
e
B
{x E Ili.: -1 < x 2 -1<1}
=
{x E Ili.: x #O /\ (x - J2)(x
{x E Ili.: x 2 >O /\ :r. 2
+ v'2) < O}
] - J2, J2 [\{O}=] - J2, O [ U] O, J2[
-
2
22
1. Noções Topológicas, Indução l\llatemática e Sucessões
+ ++ + + + + + +
0----------------0 + + + + + + + + +
Figura 1.21
(b) Determinemos os conjuntos A n B e A U B (ver Figura 1.22).
AnB
(]-oo,-2[u]-2,-1] u[l,2[U]2,+oo[) n (]-VZ,ü[U] O,VZ[) J - vz, -1[ u J1,vz[.
AuB
( J - oo, -21 u J - 2, -1] u [1, 2[ u ]2, +oo[) u ( J - vz, o [ u J o, vz[) ] - oc, -2[ U] - 2, O[ U ]O, 2[ U ]2, +oo[.
-2
-1
2
-'12 o .J2 Figura 1.22
O conjunto dos minorantes de A n B é o conjunto ] - oo, -v'2], o interior de A U B é A U B e o derivado de B é [-VZ, VZ]. 3.
(a) O conjunto A é o conjunto dos valores de x para os quais a expressão faz sentido, isto é,
A expressão x 2
-
9 é um caso notável da multiplicação:
x2
-
9 >O# (x + 3)(x- 3) >O.
Os números -3 e 3 clividem a recta em três intervalos: ] - oo, -3[, ] - 3, 3[ e ]3, +oo[. Em cada um desses intervalos o produto (x + 3)(x - 3) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.23, portanto,
(x + 3)(x - 3) > o#
+ + + + + ++ ++
X
< -3 V X> 3.
0----------------0 + + + + + + + + + -3
3 Figura 1.23
23
1.4 Exercícios Resolvidos
Como Iog(x2
-
9) j O<* x 2
-
{x E IR: (x
A
#
9 j 1 <* x 2
10 <* x
< -3 V x > 3)
# v'ill
/\X
x j
j y'ill /\
( ] - oc, -3[ U ]3, +oo[ ) \ { -v'ill,
] - oo, -v'ill[ U ] -
l\
X
-v'ill, j
temos
-v'ill}
v'ill}
v'ill, -3[ U ]3, v'ill[ U Jv'ill, +oo[.
Sabemos q110 lx +li < 1<*-1
A U B = (] - oo, -v'ill[ U] -
--Jfõ
v'ill, -3[ U ]3, VÍÕ[ U Jv'ill, +oo[)
-3
U] - 2, O [.
-Jfõ
3
o
-2
Figura 1.24
Os pontos fronteiros de A U B formam o conjunto {-v'ill, -3, -2, O, 3, v'ill}. Como nenhum dos pontos fronteiros pertence a A U B podemos concluir que int(A U B) =A U B, ou seja) o conjunto é aberto. 4.
(a) O conjunto A pode escrever-se como A
=
{x E IR: arctg(x) {xEIR:x~l
=
~
'f
V arctg(x) .:S -;f}
Vx.:S-1}
J - oo, -1] U (1, +oo[
-------------- .zr.. --------------· 2 B:
4
-4
-2
2
-li
4
1 1
-B:
____________ :~J_: ___________ _ Figura 1.25 O gráfico da função arctg(x). Os números -3 e 1 dividem a recLa em três inLervalos: ] - oc, -3[, J - 3, l [ e J1, +oo[. Em cada um desses intervalos o produto (x - l)(x + 3) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.26, portanto 1 (x - l)(x + 3) .:S O<* -3 .:S x .:S 1.
•'
24
1. Noções Topológicas, Indução Matemática e Sucessões
+ + + + + + ++
+0----------------0 + + + + + + + + + .3
1 Figura 1.26
Temos B = [-3, l]. (b) O conjunto A n B = [-3, -1] U {1}. O conjunto dos majorantes de A n B é] - oo, -3], o conjunl,o dos minorantes é [l) +00[ 1 a fronl,eira é { -3, -1,_l } 1 o interior é ]-3 1 -1[ e o derivado é [-3, -1]. 5.
(a) O conjunto A é o conjunto dos valores de x para os quais a. expressão faz sentido, isto é,
A = {o: E lRi.: x 2
-
3x + 2 > O /\ 9 - x 2
> O}
A expressão 9 - x 2 é um caso notável da multiplicação 9 - x2
> O{} x 2
-
9
< O{} (x + 3)(x -
3)
< O.
Os números -3 e 3 dividem a recta em três intervalos: ] - oo, -3[, ] - 3, 3( e ]3, +oo[. Em cada um desses intervalos o produto (x + 3)(x - 3) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.27, portanto, (x + 3)(x - 3)
+ + + + + + + + + 0----------------0 + + + + + + ++ + -3
3 Figura 1.27
1\lé1n disso, usando a íórrrtula resolvente, x
2
-
terr1os
3x + 2 >O{} (x - l)(x - 2) >O.
Os números 1 e 2 dividem a recta em três intervalos: ] - oo, 1[, ]1, 2[ e ]2, +oo[. Em cada um desses intervalos o produto (x - l)(x - 2) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.28, portanto, (x - l)(x - 2) 2. Podemos concluir que
A=] - 3, 3[ n (] - oo, 1( u ]2, +oo[) =] - 3, 1[ u ]2, 3(.
+ + + + +++++o - - - - - _. - - - - - - - - - - o+++++++++ 2 Figura 1.28
Sabemos que O < lx +li :S 4""' -4 :S x + 1 :S 4 /\ x + 1 portanto, B = [-5, -1[ U] - 1, 3]. Assim,
AnB = ( ]-3,1[ u ]2,3()
i
O ""' -5 :S x :S 3 /\ x
i
n ( [-5,-l[U J-1,3]) =]-3,-l[U ]-1,l[U ]2,3[.
-1,
•'
25
1.4 Exercícios Resolvidos
(b) O conjunto dos pontos interiores de B é] - 5, -1[ U ]- 1, 3(, o derivado de B é [-5, 3] e a fronteira de A n B é o conjunto {-3 -1,1 2 3}. 1
6.
1
1
(a) O conjunto A é o conjunto dos valores de x para os quais a expressão faz sentido 1 isto é:
A = { x E lRt : -1 <:; 2x - 3 5 1 /\ x 2 A expressão x 2
-
-
1 > O ·/\ log(x2
-
1) ,
1 é u1n caso notável da multiplicação:
x 2 -1 > Ü#(x+l)(x-1) >O. Os números -1e1 dividem a recta e1n três intervalos: ] - oo, -1[,] - 1, l[ e Jl, +oo[. Em cada um desses intervalos o produto (x + l)(x - 1) torna o sinal que se pode ver na Figura 1.29 1 portanto, (x + l)(x -1) >o<* X< -1VX>1.
+ + + + ++ ++
+0--------- -------0 + + + + + + + + + .J Figura 1.29
A = =
{:r.E1Rt:l<:;x<:;2 /\ (x>lVx<-1) /\ x 2 ,<2} {x E lRt: 1 <:;X<:; 2 /\ (x > 1 V X< -1) /\ X#
-V'i
/\X# V'i}
(]-oo,-l[U]l,+oo[) n [1,2] n (]-oo,-,/2[u]-,/2,,/2[u],/2,+oo[) ]1, ,/2[ u ]../2, 2[. Como IV'ixl 5 v'6 <* lxl <:; Determinemos A n B.
v'3 <* -v'3 <:; x
<:;
A n B = ( ]1, V'i[ u ]V'i, 2[) n
v'3, portanto, B = [-v'3, v'3J. [-v'3, v'3J = ]1, ../2[ u ]V'i, v'3[.
(b) A fronteira de AnB é o conjunto {1, ../2, v'3}. Como os elementos da fronteira não pertencem a A n B 1 este conjunto não é fechado.
.
•'
26
1. Noções Topológicas, Indução Matemática e Sucessões
1.4.2
Indução Matemática
1. Prove, pelo método de indução matemática: que
(a) 2 + 4 + 6 + · · · + 2n = n 2 + n, 'ln E N; 1 1 1 1 1 (b) -+-+-+···+-=1-- VnEN·1 2
4
8
2n
2n'
1 1 1 1 (e)--+--+--+···+~-~ lx2 2x3 3x4 n(n+l)
n
--,VnEN. n+l
2. Prove, pelo méLodo de indução matemál;ica: que n 1 n (a) L4k2-1 =2n+l'VnEN;
k=l
(b)
t;"(k k-l)
(e)
TI
3
k -
k-l
3
(2k -1) =
=
n3-n, 'ln E 1.\1;
~2:2i, 'ln E 1.\1.
k=l
3. Prove, pelo rnétodo de indução rnatemática1 que
(a) 5 é factor de 24"- 2 + 1, 'ln EN; (b) 4 2"
-
1 é divisível por 5, 'ln EN;
(e) 3" > 2" + lOn, Vn 2 4; (d) 12 +22 +-··+(n-1) 2 <
n:i
°3' VnEN;
{'--. (n+1) 2 (e)L.,k< ,VnEN. 2 k=l 4. Seja i tal que i 2
= -1.
_ ~")" = eis (a) ( 1 + 1
Nlostre 1 por indução, que
C
") , 'ln E 1.\1. 2
(b) (-sen(a) +i cos(a))" =
(e)
4n
l
k=l
'
L-:;;- =O,
cis(n(~ +a)), 'ln E 1.\1.
'ln E 1.\1.
RESOLUÇÃO 1.
(a) Va1nos rr1ostrar 1 usando o Princípio de Indução Nlaternática, que 2 + 4 + 6 + · · · + 2n = n 2 + n: 'ln EN. Seja p(n) a proposição anterior. Vê-se facilmente que p(l) é verdadeira: 2x1 = 12 + 1. A hipótese de indução 6 2 +4+6 + · · · + 2n = n 2 +n
e a tese de indução é
2+4+6+·· · +2n+2(n+ 2) = (n+ 1) 2 +n+1.
•'
27
1.4 Exercícios Resolvidos
Então 2 +4+ 6 + · · · + 2n+ 2(n+ 2) = n 2 +n+ 2n+ 2 = n 2 + 2n+ 1+n+1=(n+1)2 +n+1, portanto 1 a proposição p(n
+ 1)
é válida. Pelo Princípio de inclução podemos concluir que
2 + 4 + 6 + · · · + 2n = n 2 + n, \ln E J\!. t doo P "'"d ,. 111 1 1-1 (b) "varnosmosrar,usan r1nc1p10 e nl d uçao- M atemat1caiquc-+-+-+···+-= -, 248 zn 2n 1 1 Vn EN. Seja p(n) a proposição anterior. Vê-se facilrr1ente que p(l) é verdadeira: '2 = 1 - .
2
A hipótese de indução é
1 1 1 1 1 -+-+-+···+-=1-248 2n 2n e a tese de indução é
1 1 1 1 1 1 -+-+-+···+-+-- =1---. 2
4
8
2n
2n+l
2n+l
Então
portanto 1 a proposição p(n
+ 1) é válida.
Pelo Princípio de indução podemos concluir que
1 1 1 1 1 - + - + - + ···+ - = 1 - 2
4
8
2n
2n'
\ln E J\!.
{e) Vamos mostrar, usando o Princípio de Indução l\!Iatemática, que
1 1 1 1 n --+--+--+···+ =-1X 2 2X 3 3X 4 n(n + 1) n+ 1 Vn EN. Seja p(n) a proposição anterior. Vê-se facilmente que p(l) é verdadeira: A hipótese de indução é
1 1
X
2
1 1 1 1 n --+--+--+···+ =-1x 2 2X3 3X4 n(n + 1) n +1 e a tese de induçã.o é
1 1 1 1 1 n+l --+--+--+···+ + =--. lx2 2x3 3x4 n(n+l) (n+l)(n+2) n+2 Então 1 1 1 1 1 --+--+--+,.·+ +----1x2 2x3 3x4 n(n+l) (n+l)(n+2) n 1 n(n+2)+1 (n+1) 2 _n_+_l + (n + l){n + 2) = (n + l){n + 2) = (n + l){n + 2) n+l n+2' portanto a. proposição p( n + 1) é válida. Pelo Princípio de indução podernos concluir que =
1
1 1 1 1 n --+--+--+···+ = - - , \JnEN. 1x 2 2x3 3x4 n(n + 1) n+1
1 2
"'
28
1. Noções Topológicas, Indução l\llatemática e Sucessões
2.
(a) Van1os mostrar, usando o Princípio de Indução Matemática, que 1
n
L
k=l
n
4k2 - 1 = 2n + l' \ln E !\!.
Seja p(n) a proposiçã.o anterior. Verifiquemos que p(l) é verdadeira:
A hipótese de indução é
1 " L...4k2-l - 2n+l n
n
k=l
e a tese de indução é
Então
n+l
l
L4k2-1
1 1 n 1 L4k2-l + 4(n+l)2-l = 2n+l + (2(n+l)-1)(2(n+l)+l) n
=
k=l
k=l
n 1 -2n_+_l + (2n + 1)(2n + 3)
(n + 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3) portanto 1 a proposição p(n
+ 1)
n(2n + 3) + 1
n+l 2n+3
é válida. Pelo Princípio de indução poden1os concluir que n
L 4k k=l
1 2 -
n 1 = 2n + 1' \ln E !\!.
(b) Va1nos mostrar, usando o Princípio de Indução Matemática 1 que
L (k3k n
k-1) 3k-l
= n3-n, \ln E!\!.
k=l
Seja p(n) a proposição anterior. Verifiquemos que p{l) é verdadeira:
A hipótese de indução é
e a tese de indução é
0 (!... - k L, 3k
l)
3k-I
h:=l
2n2 + 3n + 1
= (2n + 1)(2n + 3) = -(2-11-.+-1)-(2_n_+-3)
=
(n + 1)3-(n+l).
•'
29
1.4 Exercícios Resolvidos
Então
n+l ( k
2::: k=1
3k
~(k 6_ 3k -
k-1) -
3k-l
_n n3
port.anto, a proposição p( n
+ 1)
k-1) 3k-l
+
n)
(n+l
3n+1 - 3n
(n+ n) 1
+
3n+1 - 3n
é válida. Pelo Princípio de indução podemos concluir que
(e) Vamos mostrar, usando o Princípio de Indução 1VIate1nática1 que n
II (2k - 1)
(2n)! Vn EN. 2 n.
= -;;-j"•
k=l
Scjap(n) a proposição anl;erior. Verifiquemos que p(l) é verdadeira: 2
l
X
1
II(2k-1) =2X 1-1= 1= - 1- -1• 2
k=l
X
1.
A hipótese de indução é
rr
n (2k - 1) = (2n)!
k=l
2nnl
.
e a tese de indução é
TI
n+l
(2(n+l))! (2k - 1) = -zn'-+"'1-(r-,-+'""'1~)!.
Então
n+l II(2k-1J
(g(2k-1)) (2(n+l)-1) =
k=l
~n~i' ·(2n+l)
(2n+ 1)! = (2n+2)(2n+ 1)! = ____,(~2n_+'---'2)_!_ znnJ znnJ (2n + 2) zn+ 1n! (n + 1) =
(2(n + 1))! zn+l(n + 1)!
portanto, a proposição p(n + 1) é válida. Pelo Princípio de indução podemos concluir que
rr n
k=l
(2k -1) = (Zn)! Vn EN. 2nn!'
30
1. Noções Topológicas, Indução lVIatemática e Sucessões
3.
(a) A proposição :i5 é factor ele 24 n- 2 + 11 't:/n E N11 : é equivalente a 11 24 n- 2 + 1 é múltiplo de 5, VnEN. O número 24 n- 2 +1 é rnúltiplo de 5 se existir um número inteiro positivo k tal que 24 n- 2 +1 = 5k. Substituindo n por 1 na expressão 24 n- 2 + 1 obtemos 22 + 1 = 5 x 1, portanto a propriedade é válida para n ::'::: 1. A hipótese de indução é 3k E N : 24n- 2 + 1 = 5k. A tese de indução é
3k' EN:
24 (n+l)- 2 +1 = 5k'.
Temos 24(n+l)-2
+1 24(24n- 2 + 1) - 24 + 1=24 5k - 15 = 5(24 k - 3).
Seja k' = 24 k - 3. Como k' E N podemos dizer que 24 (n+l)- 2 + 1 = 5k'
Pelo Princípio de indução podemos concluir que 24 n+ 2 + 1 é múltiplo de 5, 'Vn E N. (b) Provemos por indução que 4 2n - 1 é múltiplo de 5, Vn E N. O número 4 2n -1 é múltiplo de 5 se existir um número inteiro positivo k tal que 4 2 n -1 = 5k. Substituindo n por 1 na expressão 4 2 n - 1 obtemos 4 2 + 1 = 5 x 3 1 portanto a propriedade é válida para n = 1. A hipótese de indução é 3k E N: 42n - 1 = 5k. A tese de indução é
3k' EN:
42n+2
-
1 = 5k'.
Temos
42n+2 - 1
+ 42 -
=
42n42 -1 = 42n42 - 42
=
4 2 5k + 24 - 1=5(42 k+3).
1 = 42(42n - 1) + 24 - 1
Seja k' = 4 2 k + 3. Como k' E N podemos dizer que 24(n+l)-2-
+1 =
5k'
Pelo Princípio de indução podemos concluir que 42 n - 1 é múltiplo de 5 1 'efn E N. (e) Vamos rnostrar, usando o Princípio de Indução Matemática, que
Seja p(11,) a proposição anterior. Comece1nos por verificar que p( 4) é verdadeira. Substituindo n por 4 obtemos 34 = 81 2: 56 = 24 + 40 que é uma proposição verdadeira. A hipótese de inclução é
•'
31
1.4 Exercícios Resolvidos
e a tese de indução é
3n+l 2 2n+l + lO(n+ 1). Então
3n+l
3
2
X
3n 2 3 (2n + lOn) = 3 X 2n + 3 X lOn
2n+l + lOn + 20n 2 2n+l + lOn + 10 = 2n+l + lO(n + 1)
Pelo Princípio de indução podemos concluir que
3n 2 2n + lOn, Vn 2 4. (d) Vamos mostrar, usando o Princípio de Induçã.o Nfatemática) que
1
2
+ 22 + · · · + (n -
2
n
3
1) < -, Vn EN. 3
Seja p(n) a proposição anterior. Comecemos por verificar que p(l) é verdadeira. Substituindo 1 n por 1 obtemos 02 = O ~ '3 que é uma proposição verdadeira. A hipótese de indução é
.,
2 2 2 n· 1 +2 +···+(n-1) < 3
e a tese de indução é
Então
(n + l)" n3 n 3 + 3n2 n" + 3n2 +3n+1 12 +22 +···+(n-1) 2 +n2 <-+n2 = < = 3 3 3 3 Pelo Principio de induçã.o podemos concluir que 2
2
2
1 + 2 + · · · + (n -1) <
n
3
3 , Vn EN.
(e) Vamos mostrar, usando o Princípio de Indução Nlatemática1 que
~k ~' ~ < (n+l)2 , wvnE 1"1. 2
k=l
Seja p(n) a proposição anterior. Comecemos por verificar que p(l) é verdadeira. Substituindo
n por 1 obtemos
~ k = 1 < 2 = ~(1+1) 2 ~- que é uma proposição verdadeira. A hipótese de
6
k=l
2
indução é
e a tese de indução é
~k ~
k=l
<
(n+2)2 2
•'
•'
32
1. Noções Topológicas, Indução l\IIatemática e Sucessões
Então n+I
n
(
"°'k="°'k+(n+l)< n+l 2
L.,L.,
k=l
)2
k=l
2 2 4 4 ( 2)2 +(n+l)=n +4n+3
2
2
2
Pelo Princípio de indução podemos concluir que n
(
+ l)2
"°'k< n 2 L.t
, \fnEN.
k=l
4.
(a) Vamos mostrar, usando o Princípio de Indução i\!Iate1nática, que l+i)n = eis (1_ i
(n1f) , \fn E N. 2
Seja p(n) a proposição anterior. Verifiquemos que p(l) é verdadeira: l+i _ V2cis(;f) -_ ClS . (7f 1-i V2cis(-;f) 4
-- -
(- 7f)). (7f) . - CIS 4 2
-
A hipótese de indução é
l+i)n (1-i
. =CIS
(n7') -
2
e a tese de indução é
Então
1 +i)n (1 , (n7f) -+i)-ClS (1-i 1-i 2 =
, (7f) ·CIS 2
. (n7f 7f) =eis . ((n+l)7r) eis-+2 2 2
portanto, a proposição p(n + 1) é válida. Pelo Princípio de indução podemos concluir que
l+i)n+l = CIS . ((n+l)") (l _i 2
1
\fn E "" J.'l.
(b) Vamos mostrar, usando o Princípio de Indução Ma1;emática, que
(-sen(<>) + i cos(<>))" = cis(n(
1l'
2 + <>)),
\fn EN.
Seja p(n) a proposição anterior. Verifiquemos que p(l) é verdadeira: 1l'
1l'
-sen(<>) + i cos(a) = i (eos(e>) + isen(<>)) = i eis( a)= eis( 2) ·eis( a)= eis( 2 + <>). A hipótese de induçã.o é
(-scn(n) +i cos(o:))" = cis(n(
7f
2 +a))
•'
33
1.4 Exercícios Resolvidos
e a tese de indução é
(-sen(a) + i cos(aJr+ 1 = cis((n + 1)(% +a)). Então
(-sen(a) + i eos(aJr+•
(-sen(a) +i eos(a)r(-sen(a) +·i cos(a)) cis(n(% +<>))(eis(% +a))
portanto, a proposição p(n
+ 1)
é válida. Pelo Princípio de indução podemos concluir que
(-scn(a) +i cos(aJr = eis(n(% +a)), 'ifn EN. (e) Vamos 1nostrar, usando o Princípio de Indução Iviatentática, que l
4n
L
·k =
O, 'ifn EN.
k=l i
Seja p(n) a proposição anLerior. Verifiquemos que p(l) é verdadeira: 4
111111 + - 2 + - 3 + -4 = i i i i
"' - = -i ~ ik k=l
-
1 1- - + 1= i
o.
A hipótese de indução é 4n
l
"'--o Liikk=l
e a tese de indução é 4n+4 l
L:;;-=º·
k=l
'
Então 4
n+4
L
k=I
1 ik =
4
n
1
1
1
1
1
1
1
1
1
L ik + i4n+l + i4n+2 + i4n+3 + i4n+4 = i + i2 + f~ + i4 =
Q
k=l
portanto 1 a proposição p( n
+ 1)
é válida. Pelo I'rincípio de indução podemos concluir que 4n
l
k=l
'
L-:;; =O,
'ifn E N.
34
1. Noções Topológicas, Indução Niatemática e Sucessões
1.4.3
Sucessões
l. Calcule, justificando, os limites das seguintes sucessões
\Yn2 + n + n + yn· ,.r:::
(a)
;}12n•+1+fo 4 +1- n v'n" + 2n (b) ..:.__:.__ _ _.:__:.~ -2n2 + \Yn 2 + 3 ' (c) Vn+l(l+2fo). n+{Yn \Yl - 27n3 (d) 1+4n '
'
(e) n((-1r + fo). 2+v'n"+1 '
i
2n el/n
(g) (-l)n+v'n2 +5·
2. Calcule os limites das seguintes sucessões
(a) (n2 -1) n. n2 '
(b) (4n-sr" 4n -1-3
(c) (3n+l)n 3n+2 ; ;
n+l. ( 2+n )n 5+5n ;
2 (c) ("+ ) n+4
(d)
1
(f)
(
2n+i)'n-2. 3--' n
(g) cn+ 5) nH. 2n+ 1 ' (h) (
'+3)n 2:2 +1
ear-ctg(n).
3. Calcule, justificando, os limites das seguintes sucessões:
3n sen(2 3 n + 1) 2"n+ 1 ' 1 (b) - cos(n + 1) log(n); n n 2 +3 (c) cos( Vn" + 2); nv'n3 + 2 (a)
(d)
.!:. Y'ni· n., n
(e)
ffn2e-n-(~)n 4
'
n +1
nsen(n) (f) 2n-J5n3+1' (g) Vn 2 +2n-n; 3n ~ 5 (h) 5n+3·
4. Calcule, justificando, os limites das seguintes sucessões:
~ sen 2 (n) . (a) ~n2+3k2' k=l
(bl
n
5n
2: v'Ti4+k; k=l n
(c)
{Y2n
"°"' --'-~~ + k ·
k=l
5. (a) Calcule, justificando, o limite da sucessão an = (v'2n+ 1- v'2,i).cos2(n). (b) Determinei justificando 1 o conjunto dos sublimites da sucessão bn
=
sen
(n27r) · arctg(n)
35
1.4 Exercícios R.esolvidos
6. Considere a sucessão Un
= \/1+2(-l)"n
(a) Escreva a subsucessão dos termos de índice par e calcule o seu limite. (b) Escreva a subsucessão dos termos de índice Ílnpar e calcule o seu limite. {c) Calcule limun e limun. (d) Tendo em conta as alíneas anteriores, que pode concluir quanto à convergência da sucessão? 7. Considere a sucessão, definida por recorrência
=V2
U1 {
Un+l
(a) Prove, por indução) que O < Un
..,/2ii;. Vn E N.
=
1
< 2 Vn E N. 1
(b) Prove que a sucessão é crescente. {c) Prove que a sucessão é convergente. (d) Calcule o limite da sucessão. 8. Considere a sucessão
{ ª'an+l= V2 = { v'2)ª", (a) Mostre, por indução, que
v'2 :<; an < 2,
\ln EN.
\ln EN.
(b) Mostre 1 por indução, que a sucessão é crescente. (c) Mostre que existe a :S. 2 tal que an
--i-
a.
9. Seja a E 1R um número positivo. Considere a sucessão de números reais definida, por recorrência 1 Xl {
(a) Mostre 1 por indução, que
=a Xn
Xn+l = 2+xn' \ln EN.
> O, Vn E N.
Xn
{b) Mostre que a sucessão é decrescente. (e) Mostre que a sucessão é convergente e calcule o seu li1nite. 10. Seja a E 1R um número positivo. Considere a sucessão de números reais, definida por recorrência,
xo =O, x1 =a {
Xn+l = Xn
+ x;_l,
Vn E N.
(a) Mostre que a sucessão é crescente. (b) Mostre que
Xn
> O, \ln E N.
(c) Mostre que se existe b E IR tal que limxn = b, então b =O. (d) Tendo em conta as alíneas anteriores, calcule, se existir 1 limxn. 11. Considere a sucessão de números reais definida, por recorrência 1 X1=2 {
A sucessão verifica a relação
Xn
Xn
Xn+l
= -
2
1
+-, Xn
\ln EN.
> ./2 Vn EN (admita este facto sem o mostrar). 1
•'
36
1. Noções Topológicas, Indução l\IIatemática e Sucessões
(a) 1'Iostre que a sucessão é monótona. (b) iVIostre que a sucessão é convergente. (e) Calcule o limite da sucessão. 12. Considere a sucessão de números reais definida, por recorrência, X1 {
(a) Mostre, por indução, que
Xn -
= 3
x2 Xn+l =
J3 2
+3
;Xn
VnEN.
,
O, Vn E N.
(b) Niostre que a sucessão é decrescente. (e) l\!Iostre que a sucessão é convergente. (d) Calcule o limite da sucessão.
RESOLUÇAO 1.
ffn'+n+n
(a) Seja º·n =
Vamos dividir o nurncrador e o denorninador da fracção que define ij2n4 + 1 + a sucessão pela maior potência de n:
.,;n·
{Yn 2 +n+n an = ijzn4 + 1 + .,foi
{Yn 2 +n+n n = ij2n4 + 1 + .,foi n
\jn2n~n + 1
fi!Jl+~ n'
R ' R Jr; +1
.
+
-
n
Logo: . 1 liman = {12" Como lim
\/Ti, = 1 podemos concluir que f/n 2 +n+n ) 1 lim ( ij2n+l+n .,foi + efii, = v2 '"' + 1. 4
2n4 ~ + 1 - n . "vamos d.iv1.d.ir o numeradar e o denom1na . dor d a f racçao - que (b) Scja an = .,jn3 + 3 -2n2 +vn--ro define a sucessão pela maior potência de n:
v'n" + 2n + 1 - n 4
-2n2
+
~n 2
+3
.,/n3 + 2n4 + 1- n -2n2
n'
+ {Yn2+3
n'
J+ n3
-2+~n'n:3
Logo:
.
liman =
2n• + 1 __1
n4 n -'--~--'"'-~~=-'~=
v'2
-2·
V-+2+-'--1 n
1 n4
1 n
-2+~
37
1.4 Exercícios Resolvidos
(e ) Scja an =
VnTI (l +r;;:2fol • v·amos e1·iv1·ct·ir o numer ac1 ar e o
3 n+ {}n define a sucessão an por n elevado à maior potência:
an=
v'n + 1 (1 + 2fo) n+{Yi'i
VnTI (1 + 2fo) n
=
n+i}'Ti, n
d enom1nac · 1or d o quoc1en · t e que
VnTI (1 + 2fo)
fofo
----'-----'-=~-
1+
{!!;
=
Logo: liman = 2.
. . . . . . an = {Yl - 27n" . Vamos chv1d1r o numerador e o denominador do quociente que define ' 1 +4n a sucessão an por n elevado à maior potência:
(d) Se1 a
an =
{Yl - 27nª = 1+4n
{Y1 - 27n" n 1+4n n
11- 27n 3 n3 = 1 -+4 n
7 ~ 1 3
-+4 n
Logo:
rima'n=- 3 4 (e) Seja an =
n((-~). 3 2+ n +1
Vamos dividir o numerador e o denominador da fracção que define
a sucessão pela maior potência de n:
H2+
R
1+n3
Logo: liman=l.
(f) Seja G.n =
{Yn2+2 n Vamos dividir o numerador e o denominador da fracção que define a nZ + (-l)nn
sucessão pela maior potência de n:
n;.Yn2+2
{Yn2+2
vn2+2
1
2
'r<>en -- +2 +2 nvn n2 n n3 n n3 an=nZ+(-l)nn =-n-z-+~(-~1-)-nn-= 1+-(-_l)_n = 1+-(-_l)_n = 1+-(-_l)_n· n2 n n n (01·
Logo: liman =O.
e1fn ' Rf:5 (-l)n+ n2+5 211
2n
Rf:5 · e 1/n = bn · el/n. Vamos dividir o numerador n2 +5 e o denominador da fracção que define a sucessão bn pela maior potência de n:
(g) Seja an =
b _ n-
(-lJn+
2n = ____2~== (-l)n+,/n2 +5 {-l)n+Rf:5 n
38
1. Noções Topológicas, Indução Matemática e Sucessões
Logo: limbn = 2.
Como lim e 1/n = 1 podemos concluir que 2n e 1 fn
lim
(-l)n+v'n2 +5
= 2.
2. Nota: O objectivo no cálculo destes limites é fazer aparecer um limite da forma:
(1+;:X)" =ex.
lim (a) Temos
VnEN, logo é evidente que:
lirnan
= (C 1)º = 1.
(b) Temos
'VnE N 1
portanto 1 lim an =
( -5)º ee:l
= 1.
(e) Temos 2 1 +-n
)n+I VnEN,
--4
( 1 +n
portanto 1 .
e2
lirnan=4=e
e
-2
.
(d) Vamos pôr nem evidência na expressão que define a sucessão:
Portanto)
l)n
Iiman = lim (5
2
:..._=O.e= O. e
•
"'
1.4 Exercícios Resolvidos
39
(e) Temos
f,;))
3n(l +
-(3n+l)n a..--3n+2
n
VnEN,
3~)
( 3n(l +
portanto,
= ( ee2 ) 1/:l =
lima.,i
,
e~i/.l.
(f) Temos
2n+l)4n-2 a,,= ( 3 - - n
VnEN,
logo é evidente que:
(g) Temos
an =
(~:: ~)
n+4 =
*))
(2n( 1 + 2n(1+-) 2n
1( l + 2~) 2nl 1/2. (1 + 2~)
n+4
1+2n
4'
VnEN,
l+2n
portanto)
. '
hman =
(e5)1/2 -;
= e
2
.
(h) Vamos pôr n 2 em evidência na expressão que define a sucessão:
an
= ( n2 + 3 )n 2n2+1
eacctg(n)
)" 3 n2(t + :;:;?) 2n2(1 + _1_)
= (
eª"tg(n)
=
(~)n 2
2n2
3 n ( 1 + :;:;?) (1 + _l_)n
earctg(n)
2n2
logo: Iiman
3.
(a) Seja
Un
=
3n sen(23 n + 1)
3 2n+l
=
, portanto) a sucessão sen(2·~n
l)n (e3)0
= lim ( 2
~ e'ir/ 2 = 0.e'il"f 2 =O.
3n
· sen(2"n + 1). Sabemos que: 3 2n+l OS lsen(n)I S 1, 'ifn EN,
+ J)
é uma sucessão limitada. Provemos que a sucessão
é u1n infinitésimo.
3n Jim - . - -
3n
(-3)"'
= lim - - - = lim 8 = O. 23n + 1 ' sn + 1 1+ (l)n 8
2
3n an +
1
•'
40
l. Noções Topológicas, Indução l\IIatemática e Sucessões
Poden1os concluir que a sucessão dada é um infinitésimo por ser o produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada. (b) Vamos utilizar o facto de a função coscno ser limitada. Temos: lcos(n + 1)1 '.". 1, 'ln E l\l logo:
O'.". l<>nl
=
1
;;: cos (n +
log(n) 1) log (n) 1 '.". n-
= log(
{:>'71), 'ln
E l\l.
1
Como sabemos que: lim log( {:>'71) = O, n~=
podemos concluir pelo Teorema das Sucessões Enquadradas que:
. (e) Seja an
2
=
n +3 v'TiJf+2 n n:i + 2
cos( Jn=<
+ 2).
Para todo n, temos:
logo, para todo o n:
O'.". lanl '.".
n 2 +3
v'TiJ'+2" n n 3 +2
Dividindo o nurncrador e o denominador da fracção que define a sucessão majorante pela maior potência de n temos:
--.n 2 +3
lirn
=o.
n2 nv'TiJ'+2 n~
O Teorema das Sucessões Enquadradas permite-nos concluir que: liman =O .
. (d) SCJa
Un
1 ,.,.,, n
= - VW=
•/n!. V;;;
n! , Seja bn = - . E evidente que bn
nn
> O, \ln E N.
(n + 1)! lim bn+l = lim (n + ~Jn+l = bn n. nn Podemos concluir que lim O.n = (e) Seja an
= !!/n 2 e-n - ( n 4n:
1
r1
(n+l)!nn
r
m(n+1Jn+ 1 n! = im
(
n
)n
1
n+l
e
~ e
) n' Seja bn
= n 2 e-n. É evidente que bn >
O, 'ln E l\l.
(n + 1) 2 lim
b~:
1
= lim
= lim (n+ 1)2 en = _lc lim (n+ 1)2 en+l n2 e ri
1 e
1.4 Exercícios Resolvidos
41
Podemos concluir que lim
1 e
V'n2 e-n =
- .
1 e
~
J..Cmos que ]'1man = -1 - -1 =O. e e
nscn(n) (f) Sejaª" = . . 2"v5n3 + 1
= (l)" - · 2
n
v5n" + 1
· scn(n).
Sabemos que
OS lscn(n)I S l, 'ln E 1\1, portanto, a sucessão sen(n) é u1na. sucessão lirr1ita.da. Proventos que a sucessão um infinitési1no. 1
n
lim
n v5n3 + 1
= lim
;;,I
v5n3
+1
7n
= lim
1
= lim
G)
n
..fii
·Rl tJ
n'"
Como lim
n é v5n3 + 1
= O.
+ n··~
=o, temos
(1)" · v5nn +1 =O.
lim 2
3
Podc1nos concluir que a sucessão dada é um infinitésimo por ser o produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada.
(g) 2
=
~+1
3" - 5 lim 3n - 5 = lim
5"+3
5n
5"+3 5n
4.
2
2
2
Iim(\/n 2 + 2n-n) =lim (vn +2n-n)(vn +2n+n) =lim n +2n-n vn 2 +2n+n vn 2 +2n+n 2n . 2 2 2n lim =lim n = lim ~===~- = lim vn 2 +2n+n vn 2 +2n+n n
.
J1+~+1
= 1
(3)" (l)n-1 = lim
5 - 5
= O.
1+ (3)" 5
~~ 3 Vamos calcular um enquadramento deste termo de forma a fazer desaparecer a variável k. De maneira evidente temos para todos n e k cm N: n 2 + 3k2 > n 2 . Para todo n e k tal que k S n - 1, temos da mesma forma: n 2 + 3k2 ::; n 2 + 3(n - 1) 2 •
(a) O termo geral an da sucessão esta definido como a soma de k = 1 a k = n - 1 de n 2 + k 2 .
42
1. Noções Topológicas, Indução Matemática e Sucessões
Logo para todo n e 1 _:::; k 22
n
+ 3k
22
Sn
+ 3(n -
1)
*
1 1 2n > n 2 + 3k2 2 n 2 + 3 (n- l)2
21
sen2 (n) 2 2 2 + 3k n + 3(n - 1) 2
sen2 (n)
scn2(n)
>
n2
:S n - 1, temos:
n2
Como a expressão de an está definida como uma soma de n - 1 termos obtemos (n-1 ) ·
(n) < nL-l sen < (n- l) n 2 + 3(n - 1) 2 n 2 + 3k2 k=l sen2 (n)
2
sen2 (n)
·--ce-~
n2
l;/n
'
E J\!
n-1 n-l '""'scn2( n ) n-1 2 2 n 2 + 3 (n- l) 2 · sen (n) S L., n 2 + 3k 2 < ~ · sen (n), l;/n E J\! k=l
n-1 (
2
2 3 n-1 n+
) 2 • sen (n) S
L
n-1 k=l
scnn. 2( ) k 2 n+ 3 2
n (- 1
. bn = n- 1 SCJa . )2 2 3 2 6 n+n-1 4n-n+ 3 da fracção que define a sucessão temos:
n·lVl"d"indo
1 lim
n-l
=lim
4n2 -6n+3
(1
< -n -
1) 2 · sen (n), l;/n E J\!. 211,
. d or por n 2 o numerad or e o d enormna
1
;--;;?
4n2 -6n+3 n2
1
= lim
1
;;: ~ ;;?" = O. 3 4--+-2 n
n
1 1 , Seja Cn = - - 2. E evidente que lim Cn = O. n n Como a sucessão sen2 (n) é uma sucessão limitada 1 OS ]scn2 (n)I :S 11 Vn E N 1 e o produto de um infinitésin10 por uma sucessão lin1itada é um infinitésin10 1 podemos afirmar que as sucessões ·n-1
n2
e
+ 3(n- 1)2 . scn
( n~ -
~) n2
2
(n)
· sen2 (n)
são infinitésimos. Finalrnente, corno os dois lin1ites são iguais 1 o Teorema das Sucessões Enquadradas permite-nos concluir que: Iiman =O.
(b)
vn·
" Vamos n 4 +k calcular um enquadramento deste termo de forma a fazer desaparecer a variável k. De maneira evidente temos para todos n e k em N: Jn 4 + k > n 2 . Para todo n e k tal que k,:::; n 1 temos da mesma forma: v'n4 + k v'n4 + n. Logo para todo n e 1 ::::;. k :::; n 1 temos:
o termo geral ªn ela sucessão está definido COIIlO a soma de k =
1 a k = n de
s
n2<#+k 2 -
.
5n 5n 5n -> >~== 2 4 n v'n + k - v'n4 + n
. n
1
>
1
v'n• + k - v'n4
+n
1.4 Exercícios R.esolvidos
43
Como a expressão de an é uma soina de n termos obtemos
n·
5n
n5n
5n2
5-n,2
+n
n
= 5·
v'n4 +n
n
5n2
5n
fn4+n :<:; '\"' ,;;;;r+k <4 4
#
Seja bn =
5n
< '\"' 4 < n · - 2 Vn E N, v'n4+ n - k=l L.., v'n + k n ' L.J
lk
n
k=l
+k
=
n2
5,
Vn EN.
. Dividindo o numerador e o denominador do radicando
desta sucessão por n 4 temos:
limbn
= lim5 · ~
= 5.
l 1 1 + -,-,
n·
Finalmente, como os dois limites são iguais 1 o Teorema das Sucessões Enquadradas permite-nos concluir que: liman=5.
(e) O termo geral da sucessão está definido co1no a so1na de k
= 1 a
k = n de
ffn N+k·
Vamos
calcular um enquadramento deste termo de forma a fazer desaparecer a variável k. De maneira evidente temos para todos n e k cm N: ~ + k > ~- Para todo n, e k tal que k ::::; n, temos da mesma forma: N + k :S N + n. . Logo para todo n e 1 ::::; k ::::; n 1 temos:
1
< N + k -< N
N
ffn
,r;c
vn4
>
ffn
,r;c
vn4 +k
+ n =? -{Y;0 - >
1 > ~=1__ N+k - N+n
ffn
2:
N+n
Como lln está definido como uma soma de n termos obtemos
ffn
n·
#
ffn
n
<'\"'
ffn
N+n-L..,N+k k=l
?'20
{Y;04 :<:; n +n
L n
k=l
{Y2n
N4 n
+k
<
if,0'
?'20
,r;c = 4
vn
VnEN
'
-Ç/2, \ln E N.
Dividindo por n~ o numerador e o deno1ninador da fracção que define a sucessão do lado esquerdo da desigualdade temos:
;;w
,r.c-;;
lim
3
n4
+ -n,
=lim
= lim
-Çl2 1+
'12
= lim _v~ ~- = 1 'r;c 1 + -ffeí,-n vn4
n
-Ç/2.
Finalmente como os dois limites são iguais 1 o Teorema das Sucessões Enquadradas permite-nos concluir que: lim Un = .ij2_
44
1. Noções Topológicas, Indução Matemática e Sucessões
5.
(a) Vainos utilizar o facto de a função coseno ser limitada. Temos
Jcos(n)J :O: 1, \ln EN, o que implica que
icos2 (n)I :O: 1, Vn EN. Além disso, . 2n+ l-2n lim( v'2n + 1 - ffn) = lim (v'27'+1- ffn) (v'2r'+1 + ffn) = l im-==~-~= v'2n + 1 + ffn ../2n+ 1 + ffn . 1 hm =Ü J2n+ 1 + ffn Podemos concluir que a sucessão an é um infinitésimo por ser o produto de uma sucessão limitada por um infinitésimo.
{b) an
= sen (n;) =
-1,
n=4k- l,k EN
O,
n= 2k,k EN
1,
n=4k-3,k EN
1
A sucessão G.rt tem os sublimites -1 1 0 1 1: visto que tem subsucessõcs convergentes para esses números reais. ;\.sucessão
Cn = arctg(n) tem limite i· A sucessão bn = sen (n;) ·arctg(n)
tem os sublimites -~ 21 O1 ~2
6.
(a) Seja Un
=
A subsucessão dos terrnos de índice par de U2k
\/'l + 2(-l)"n. é a sucessão
Un
= 2\/1+2(-l) 2 k '2k =
2
\/1+2 21cl k EN.
Consideremos a sucessão an = V'l + 2n. Como 1+2n >O, \ln EN, podemos calcular o limite de an recorrendo ao cálculo de
lim
l+-11 + zn+l 2 +1 2 +1 = lim ~-",-n~~ = lim nl =2. 1 l+zn l+zn 2n+l 2 + zn+l
A sucessão a,n tem limite 2 1 portanto, todas as suas subsuccssões têm esse limite. Em particular, a subsucessão dos termos de índice par tem limite 2. Mas essa subsucessão é igual à sucessão u2k· Podernos afirmar que u2k tem limite 2.
(b) A subsucessão dos termos de índice ímpar de U2k+l
e lim
~L2k+1
Un
é a sucessão
= 2k+{/1+2(-1)21.:+1 (2k+l) = 2k+{/1+2-(2k+l) = = 1.
(c) Pelos resultados obtidos nas alíneas anteriores 1 limun = 1 e limUn = 2.
2k+1
1 1 + z2k+1, k E N,
45
1.4 Exercícios Resolvidos
(d) Dado que lim Un = 1 f. lim Un = 2 a sucessão
7.
Un
não é convergente.
(a) Varr1Ós rnostrar, usando o Princípio de Indução IVIate1nática 1 que
O < Un
< 2, 'ln E N.
Para n = 1, a tür1nula é trivial: Ü
= v'o < V2 = U1 < J4 = 2.
Se adn1itirrnos (hipótese de indução) que a propriedade é válida para. n EN, então:
[O< Un < 2] =?[o= v'2.õ < vl2U;;: = un+l < v'2.2 = 2], utilizando o facto da função f(x) = ../2X ser crescente. Logo a propriedade é válida para n+ 1. O Princípio de Indução Niate1nática permite-nos concluir que ela é válida para todo o n EN. (b) Vamos mostrar que Un+l - Un
> ol Vn
E
N.
De facto, para qualquer número natural n, ~
Un+i-Un=v~·un-Un=
vl2U;;: - Un ~
y 2Un
+ Un
~ 2un - u~ u,,.(2 - Un) .(y2un+un)= ~ = ~ >0 y2Un
+ Un
y4Un
+ Un
porque na alínea (a) vimos que Un >O e 2 - un >O. Logo a sucessão é crescente. (c) Na alínea (a) vilnos que a sucessão é limitada e na alínea (b) demonstramos que ela é crescente, como toda sucessão monótona limitada é convergente podemos concluir que a sucessão de termo geral ·un é convergente. (d) Seja l E IR, o limite da sucessão. Como toda subsucessão de uma sucessão convergenl;e é convergente para o mesmo li1nite 1 é fácil ver que: lim
n-= Como a função
Un+l
=
l.
f é contínua temos: lirn Un+i
n->oo
= n->oo lim J(un) = J(l) = J2z.
Logo l satisfaz a equação l = v"il, da qual podemos deduzir que ! 2 - 2l = l.(l - 2) soja, l E {O, 2}. Podemos excluir a solução l =O porque pela alínea (b) temos:
'ln E N, Un 2: U1 = logo l 2: 8.
V2, o podemos concluir que o limito de u
= O,
ou
V2 > O,
é l = 2.
(a) Como ..fi > 1, a função f definida por f(x) = (..fir é contínua em lfl. e é crescenl:e (lembramos que f(x) =ex. log(V2J). Para n = 1, a fórmula é ~rivial: .,/2.::::; a1 = V2 < 2. Se ad1nitirmos que a propriedade é válida para n 1 utilizando o facto de f ser nina função crescente te1nos:
[V2 :"'. an < 2] =? [(h)V' = J(..fi) :"'. J(un) = an+l < J(2) = 2]. Utilizando novamente a monotonia de
J temos:
e podemos concluir que a propriedade é válida para a ordem n Matemática está verificado logo:
..fi :"'. an < 2, 'ln E l.\l.
+ l.
O Princípio de Indução
46
1. Noções Topológicas, Indução Niatcmática e Sucessões
(b) Va1nos mos tear, usando o Princípio de Indução i\1Iate1nática, que
Para n = 1, a fórn1ula é unia consequência dos cálculos da alínea (a):
Se ad1nit.irmos que a propriedade é válida para n E N 1 então a validade da propriedade para n + 1 é uma consequência dirccta da monotonia de f:
Podemos concluir que a sucessão é crescente. (e) Na alínea (a) virr1os que a sucessão é lirnitada e na alínea (b) demons trarno::; que ela é crescente; co1no toda a sucessão monótona limi1;ada é convergente podemos concluir que a sucessão de termo geral an é convergente. Seja l E lR o seu limite e consideremos A = { an : n E N} o contradomínio da sucessão. Pela alínea (a) temos:
A
e [h, 2].
Como l é um ponto de acumulação de A e como seja 1 o resultado pedido: l ~ 2.
[v'2, 2] é
fechado temos que l E
[v'2, 2], ou
Nota: É possível calcular o valor de l. Vejamos algurnas indicações para o fazer. Primeiro, mostra-se que l satisfaz a equação ~ = log ( J2) e adivinha-se um valor possível de l. Depois estuda-se a monotonia e o contradomínio ela função g(x) = to;:i: definida no intervalo [.J2, 2] e conclui-se que a precedente equação tem uma 1ínica solução para l E [.J21 2]. 9.
(a) Para n = 1: x1 =a> O por hipótese, logo x1 I-Iipótese de indução: ,.fese de indução:
Xn
Xn+l
-
>O
>Ü
>
Xn
= - - - . Ora, por hipót;ese de indução, Xn > O, pelo que 2+xn O. Temos então que Xn+l é o quociente de duas quantidades positivas, pelo
Demonstraçao: Tem-se que tambén1 2 + Xn que Xn+1 >O.
> O.
Xn+l
Então: pelo Princípio de Indução, provámos que Xn (b) Queremos mostrar que
Xn+l Xn
Xn+l -
Xn
Xn
= --- -
já que, pela alínea (a),
2+xn Xn
> O, \fn E N.
Xn
=
Xn-2Xn-X~
2+xn
>O para qualquer
n
-Xn - X~ 2+xn
---~=
Xn+x~
EN.
(c) Uma vez que para qualquer n EN se tem Xn >O (alínea (a) e (xn) é uma sucessão monótona decrescente (alínea b) tem-se que O< Xn::;: x1, isto é, O< Xn :S a, para qualquer n EN. Por outras palavras, a sucessão de termo geral Xn é uma sucessão limitada. N[as toda a sucessão inonótona. e limitada é convergente: pelo que a sucessão é convergente. Considere-se então que lim Xn = l. Note-se que necessariamente l 2: o pois Xn > o para todo nEN.
47
1.4 Exercícios Resolvidos
Se a sucessão é convergente para l 1 tem-se t.ainbém
= l. Por outro lado 1
Xn
é 2+xn convergente pois é o quociente de duas sucessões convergentes onde o denominador nunca se anula e tem limite diferente de zero. Então .
lim Xn+ 1
•
Xn
2
l 2+1
~l--=0~
~
•
= hm - - - <=> lim Xn+ 1 = 2 + xn 21 + 1 - l 2+1
j'
limxn+l
limxn
1m 2 +xn 2
l +l 2+l
l 2+l
<=> l = - -
=0~--=0~l
2
+l=O
(
-t l l,.--2
l(l + 1) =O~ l =O V l = -1.
Mas a sucessão é de termos maiores ou iguais a zero, pelo que, o seu limite também é maior ou igual a zero. Portanto, lim Xn = O. 10.
(a) Queremos mostrar que Xn+1-Xn 2 Opara qualquer n E No. Ora, sen =Ovem X1 -xo =a> O. Se n 2 1 então Xn+l - Xn = Xn + X~-1 - Xn = X~-1 2 Ü. (b) Vamos mostrar por indução que Xn > O, 'rfn E No. Se n = O vem xo = a > O e está verificada a proposição. I-Iipótese de indução: Tese de indução:
Xn
Xn+l
>O
>O
Demonstração: Tem-se que Xn+l = Xn + x~-1 · Ora, por hipótese de indução, Xn sabemos que 1 2 O, portanto, Xn+l >O.
x;_
Então, pelo Princípio de Indução, provámos que Xn
> o) e
> O, 'Vn E No.
(c) Suponhamos que existe b E R tal que b = limx.n. Então1 todas as suas subsuccssões têm limite bc b = limXn+i = lim(xn + x~_ 1 ) = b + b2 donde se conclui que b = O. (d) Na alínea anterior provámos que se a sucessão fosse convergente, o seu limite seria zero. Mas sendo uma sucessão crescente de números positivos, podemos afirmar que o seu limite não é um número real. Como não é uma sucessão major ada pode1nos concluir que lim Xn = +co.
11.
(a) Con1ecemos por analisar a diferença x 2 - x 1 para sabermos se a sucessão é n1onótona crescente Xl 1 1 1 ou decrescente. Como X2 - x1 = - + - - x1 = 1 + - - 2 = - - < O, pretendemos mostrar 2 X1 2 2 que a sucessão é decrescente 1 isto é, Xn+l - Xn < 01 'Vn E N. Xn+l-Xn
=
Xn 1 Xn 1 -x; + 2 +Xn -Xn = --+- = -~-2 2xn 2xn
Por hipótese, Xn > J2, 'rfn E N, portanto, -x; + 2 < O, 'rfn EN. Então provando-se assirn que a sucessão é n1onótona decrescente.
Xn+l - Xn
< O, 'Vn E N,
(b) Se uma sucessão é decrescente, o seu primeiro termo é o máximo do conjunto dos termos da sucessão, portanto, x1 = 2 2: Xn: 'rfn EN. Temos que Xn é limitada: ./2 < Xn ~ 2, Vn E N. Podemos concluir que Xn é convergente por ser monótona e linlitada.
48
1. Noções Topológicas, Indução Niatemática e Sucessões
(e) Seja a= Iimxn· Sendo convergente todas as suas subsucessões têm limite a e . . Xn 1 a 1 a2 + 1 a=hmxn+l =hm(-+-) = -+- = - - . 2xn 2a 2a
ª2+1 Resolvendo a equação a = - - obtemos a 2a que a= .,/2. 12.
= -.,/2 e
a
= .,/2.
Como
Xn
> v'2 concluímos
(a) Vamos mostrar por indução que Xn - v'3 2: O, Vn EN. Se n = 1 vem X1 = 3 > v'3 e está verificada a proposição. Hipótese de indução: Tese de indução:
Xn -
Xn+l -
v'3 2: O
De1nonstração: Tem-se que portanto,
Xn
v'3 2: O
Xn+l -
J3 =
> O, o que implica que Xn+1
x2 3 _n_ _ -
+
2xn
-
J3 =
(xn - v'3) 2 ~--~- Sabemos que 2xn
Xn
~
v'3i
J3 2, O.
Entãol pelo Princípio de Indução: prová1nos que
Xn -
v'3 > ol 'r/n E N.
(b) Pretendcn1os mostrar que a sucessão é decrescente, isto é, Xn+I - Xn ::=; 0 1 \:ln E N. Comecemos x 2 +3 por analisar a diferença x2 - x1: x 2 - x 1 = _n_ _ - x 1 = -1 1 então 2xn
Por hipótese! Xn ~ J3, Vn EN, portanto, -x; +3 ::; 01 Vn EN. Então Xn+l provando-se assim que a sucessão é inonótona decrescente.
- Xn :::;
o) \ln E N,
(c) Se urna sucessão é decrescente, o seu primeiro termo é o máximo do conjunto elos termos da sucessão, portanto 1 x1 = 3 ;:::: Xn 1 'if'n E N. Temos que Xn é limitada: v'3 :::; Xn :::; 3, \ln E N. Podemos concluir que Xn é convergente por ser monótona e limitada. (d) Seja a= limxn· Sendo convergente todas as suas subsuccssões têm limite a e
.
. x;
a
2 +3 +3 a= lrmxn+l = hm--- = - - - . 2xn 2a
a2 +3 Resolvendo a equação a = - - - obtemos a = 2a que a= V3.
--Jã e a = J3.
Como Xn ;::::
v'3 concluímos
