Exercícios e Provas Resolvidos de Microeconomia 2

Soluções e Provas Antigas - Micro 2 Gil Riella 7 de março de 2016

ii

Sumário I

Soluções das Listas de Exercícios

1

1 Introdução

3

2 Preferências

5

3 Teoria da Escolha

7

4 Preferências sobre Cestas de Consumo

9

5 Problema do Consumidor

11

6 Demanda

13

7 Efeito Substituição e Efeito Renda

15

8 Tecnologias de Produção

17

9 Problema da Firma

19

10 Minimização de Custo

21

11 Equilíbrio de Mercado e Medidas de Bem Estar

23

12 Equilíbrio Geral - E…ciência no Sentido de Pareto

25

13 Equilíbrio Geral - Equilíbrio Competitivo

31

14 Equilíbrio Geral - Economias com Produção

37

15 Bem-estar Social

45

16 Monopólio

49

17 Discriminação de Preços

55

18 Escolha sob Incerteza

63

19 Teoria dos Jogos - Jogos na Forma Normal

71

iii

iv

SUMÁRIO

20 Teoria dos Jogos - Estratégias Mistas

77

21 Teoria dos Jogos - Jogos Sequenciais

85

22 Oligopólio

93

23 Economia da Informação

101

24 Externalidades e Bens Públicos

111

25 Implementação de Pro jeto Público

119

II

Provas Antigas

123

26 Primeiro Semestre de 2009

26.1 26.2 26.3 26.4

Pr Primeira Prova . . Se Segunda Prova . . Te Terceira Prova . . . Pro Prova Substitutiva

. . . .

. . . .

. . . .

125

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

27 Segundo Semestre de 2009

27.1 27.2 27.3 27.4

Pr Primeira Prova . . Se Segunda Prova . . Te Terceira Prova . . . Pro Prova Substitutiva

. . . .

. . . .

. . . .

28 Primeiro Semestre de 2010

125 132 136 141 149

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

149 155 159 165 171

28.1 Pr Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 28.2 Se Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 28.3 Pro Prova Substitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 29 Segundo Semestre de 2010

189

29.1 Pr Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 29.2 Se Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 29.3 Pro Prova Substitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 30 Primeiro Semestre de 2011

207


225

31.1 Pr Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 31.2 Se Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 31.3 Pro Prova Substitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

SUMÁRIO 32 Primeiro Semestre de 2012

v 243


259


273


289


303


321


327


333

39.1 Pr Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 39.2 Se Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 39.3 Pro Prova Substitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

vi

SUMÁRIO

Parte I Soluções das Listas de Exercícios

1

Capítulo 1 Introdução A primeira parte deste arquivo inclui as soluções de todas as listas de exercícios. Creio que não é necessário falar que é sempre melhor tentar resolver o exercício antes de olhar a solução.

3

4

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

Capítulo 2 Preferências A ser escrito.

5

6

CAPÍTULO 2. PREFERÊNCIAS

Capítulo 3 Teoria da Escolha A ser escrito.

7

8

CAPÍTULO 3. TEORIA DA ESCOLHA

Capítulo 4 Preferências sobre Cestas de Consumo A ser escrito.

9

10

CAPÍTULO 4. PREFERÊNCIAS SOBRE CESTAS DE CONSUMO

Capítulo 5 Problema do Consumidor A ser escrito.

11

12

CAPÍTULO 5. PROBLEMA DO CONSUMIDOR

Capítulo 6 Demanda A ser escrito.

13

14

CAPÍTULO 6. DEMANDA

Capítulo 7 Efeito Substituição e Efeito Renda A ser escrito.

15

16

CAPÍTULO 7. EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDA

Capítulo 8 Tecnologias de Produção A ser escrito.

17

18

CAPÍTULO 8. TECNOLOGIAS DE PRODUÇÃO

Capítulo 9 Problema da Firma A ser escrito.

19

20

CAPÍTULO CAPÍTULO 9. PROBLEM PROBLEMA A DA FIRMA FIRMA

Capítulo 10 Minimização de Custo A ser escrito.

21

22

CAPÍTULO CAPÍTULO 10. MINIMIZAÇ MINIMIZAÇÃO ÃO DE CUSTO CUSTO

Capítulo 11 Equilíbrio de Mercado e Medidas de Bem Estar A ser escrito.

23

24

CAPÍTULO CAPÍTULO 11. EQUILÍBRIO EQUILÍBRIO DE MERCADO MERCADO E MEDIDAS MEDIDAS DE BEM ESTAR ESTAR

Capítulo 12 Equilíbrio Geral - E…ciência no Sentido de Pareto Exercício 12.1 (Argumento intuitivo das taxas marginais de substituição na fronteira da caixa de Edgeworth). Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as dotações agregadas dos dois bens são dadas por A A1 = A = A 2 = 1. Utilizando a técnica aprendida nas notas 2 2 de aula mostre que se [(1; [(1 ; xA ) ; (0; (0; xB )] é e…ciente no sentido de Pareto, então TMgS (A (A) 1 1 TMgS (B (B ) e que se [(x [(xA ; 1) ; (xB ; 0)] é e…ciente no sentido de Pareto, então TMgS (A (A) TMgS (B (B ).

 

2 2 Solução. Suponha que [(1; [(1; xA ) ; (0; (0; xB )] é e…ciente, mas TMgS (A (A) =  <  = TM gS (B (B ). 2 2 Fixe  tal que  <  <  ee considere a alocação [(1  "; xA + ") " ) ; (0 + "; xB  ")] " )], para " bem pequeno. pequeno. Observ Observee que os dois consumido consumidores res estariam estariam mais felizes, felizes, contrad contradizen izendo do a e…ciência da alocação original. original. Nós concluímos concluímos que TMgS (A (A)  TMgS (B (B ). Agora suponha 1 1 que [(x Novament amente, e, …xe [(xA ; 1) ; (xB ; 0)] é e…ciente, mas TMgS (A (A) =  >  = TM gS (B (B ). Nov 1 1 tal que  >  >  e e considere a alocação [(x b em  tal [(xA + "; 1  ") " ) ; (xB  "; 0 + ")] " )], para " bem pequeno. Observe que os dois consumidores estariam mais felizes, o que é uma contradição. Nós concluímos que TM gS (A k (A)  TMgS (B (B ) :

Exercício 12.2. Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as dotações iniciais agregadas são dadas por A1 = A2 = 1 e as funções de utilidade dos consumidores são dadas por U i (xi1 ; xi2 ) = (xi1 ) (xi2)1 , para algum 0 <  < 1, para i = A; B . Ou sej seja, a, as

utilidades utilidades dos dois consumidor consumidores es são medidas medidas pela mesma função Cobb-Dougla Cobb-Douglas. s. Utilize o que aprendemos nas notas de aula e no exercício 12.1 acima para encontrar uma expressão algébrica que caracterize a curva de contrato desta economia. Ou seja, ache uma expressão do 1 tipo xA2 = f = f (x (xA ) que caracterize todas as alocações e…cientes para esta economia. Represente gra…camente, na caixa de Edgeworth, esta curva de contrato.

Solução. Vamos primeiro tentar identi…car as alocações e…cientes no interior da caixa de Edgeworth. Como vimos nas notas de aula, tais alocações serão caracterizadas por TMgS (A (A) = 25

26 CAPÍTULO 12. EQUILÍBRIO GERAL - EFICIÊNCIA NO SENTIDO DE PARETO TMgS (B). Primeiramente, observe que U 1A (x1A ; x2A ) TMgS (A) = U 2A (x1A ; x2A )

(1 =

x2A x1A



=

)



x1A x2A



x2A :  x1A

 1

1 

   



Como a função de utilidade do consumidor B é exatamente igual, nós sabemos que TMgS (B) =

x2B :  x1B

 1



Igualando as duas expressões acima nós temos:  1



x2A  x2B . =  x1A 1  x1B



Agora lembre-se que qualquer alocação factível tem que satisfazer x1B = 1  x1A e x2B = 1  x2A . Usando tal fato na expressão acima nós …camos com a seguinte expressão:  1



x2A  x1A x2A x1A

  x2A

1 2 A xA

x

x2A

=

 1

1 1

 () 1x = 1x () = x x x ()



1 A

=

2 A 1 A

x x

2 A 1 A



1 2 A A

x1A :

Ou seja, as alocações e…cientes no interior da caixa de Edgeworth estão todas localizadas na diagonal.12.1 Será que existem alocações e…cientes na fronteira da caixa de Edgeworth? Infelizmente este exemplo é um pouco problemático, já que a derivada da função Cobb-douglas acima não está bem de…nida na fronteira da caixa de Edgeworth. Vamos ignorar um pouco tal fato e usar a convenção de que toda vez que tivermos uma divisão por zero, então a expressão será igual a in…nito. Vamos primeiro veri…car se algum ponto da forma [(0; x2A ) ; (1; x2B )] é 12.1 Neste

ponto, eu aconselho que vocês sempre voltem na condição de igualdade entre as taxas marginais de substituição e veri…quem se tais alocações realmente satisfazem aquela condição. É uma boa forma de vocês conferirem que não erraram nenhuma conta.

27 e…ciente.12.2 Calculando as taxas marginais de substituição nós temos: TMgS (A) = 1 = >



x2A  0

1  x 1 1

2 B

= TMgS (B) ;

contrariando a condição de e…ciência em tal caso. Similarmente, em alocações da forma [(x1A ; 0) ; (x1B ; 1)], nós temos: TMgS (A) =

1 = 0





0  x1A

1 1  x1B = TMgS (B) : <





Novamente contrariando a condição de e…ciência em tal caso. Os outros dois casos podem ser tratados de forma análoga e também não são compatíveis com as condições de e…ciência. Nós aprendemos, então, que as únicas alocações e…cientes em tal caso são as que nós encontramos no interior da caixa de Edgeworth mais as alocações [(0; 0) ; (1; 1)] e [(1; 1) ; (0; 0)], que são sempre e…cientes. Gra…camente podemos representá-las como:

Improving directions for agent 2 Improving directions for agent 1

Figura 12.1: Alocações e…cientes para funções Cobb-douglas

k Exercício 12.3. Repita a análise acima, mas agora suponha que as funções de utilidade dos dois consumidores sejam dadas por U i (x1i ; x2i ) = x1i + (x2i ) para algum 0 <  < 1. Continue trabalhando com A 1 = A 2 = 1: 12.2 Algum

ponto diferente de [(0; 0) ; (1; 1)], que nós sabemos que é sempre e…ciente.

28 CAPÍTULO 12. EQUILÍBRIO GERAL - EFICIÊNCIA NO SENTIDO DE PARETO Solução. Novamente, vamos primeiro identi…car as alocações e…cientes no interior da caixa de Edgeworth. Usando a condição que derivamos nas notas de aula nós temos: TMgS (A) 1 2 1 x  A



= TMgS (B)

()

1 2 1 x :  B



=

Usando o fato de que para alocações factíveis x2B = 1  x2A a condição acima pode ser escrita como 1 2 1 x  A



x2A x2A

=

() =

() =

1 1 

x2A

1 

 

1



2 A

x

1 : 2

Portanto, as alocações e…cientes no interior da caixa de Edgeworth serão caracterizadas pelos pontos em que x2A = 1=2. Será que neste caso nós temos alocações e…cientes na fronteira da caixa de Edgeworth? Vamos veri…car. Tentemos primeiro alocações da forma [(0; x2A ) ; (1; x2B )]. Neste caso a condição que caracteriza e…ciência é TMgS (A) 1 2 1 x  A

 

1 2 1 x  A x2A x2A

 TMgS (B) ()  1 x  ()  1 1  x  ()  1x ()  12 : 2 1  B

  

2 1  A

2 A

Então, nós acabamos de descobrir que as alocações da forma [(0; x2A ) ; (1; x2B )] são e…cientes desde que x2A  12 . Testemos agora o caso [(x1A ; 0) ; (x1B ; 1)]. Neste caso temos que testar a seguinte condição: TMgS (A) 1 (0)1 

 () 

TMgS (B) 1 (1)1 ; 

o que obviamente não é verdade. Nós concluímos que não temos alocações e…cientes neste

29 caso. Agora o caso [(1; x2A ) ; (0; x2B )]. A condição para a e…ciência pode ser escrita como TMgS (A) 1 2 1 x  A



x2A x2A

 TMgS (B) ()  1 1  x  ()  1x ()  12 .

2 1  A

  2 A

Ou seja, alocações da forma [(1; x2A ) ; (0; x2B )] serão e…cientes desde que x2A  1=2. Finalmente, podemos agora testar o caso [(x1A ; 1) ; (x1B ; 0)]. A condição para e…ciência agora é TMgS (A) 1 (1)1 

 () 

TMgS (B) 1 (0)1 ; 

o que obviamente nunca é verdade. Nós concluímos que não existem alocações e…cientes em tal caso. Juntando todos os passos na análise acima nós obtemos a seguinte caracterização para as alocações e…cientes em tal caso. [(x1A ; x2A ) ; (x1B ; x2B )] é e…ciente quando: 1. x1A = 0 e x 2A  1=2, ou 2. x2A = 1=2, ou 3. x1A = 1 e x 2A  1=2: Gra…camente tais pontos são caracterizados pela seguinte …gura:

Improving directions for consumer 1


Figura 12.2: Alocações e…cientes para funções quasi-lineares.

k

30 CAPÍTULO 12. EQUILÍBRIO GERAL - EFICIÊNCIA NO SENTIDO DE PARETO

Capítulo 13 Equilíbrio Geral - Equilíbrio Competitivo Exercício 13.1. Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as funções de utilidade dos consumidores são dadas por U A (x1A ; x2A ) = (x1A ) (x2A )1 , para algum 0 <  < 1, e U B (x1B ; x2B ) = min(x1B ; x2B ). Suponha que as dotações iniciais dos consumidores são 2 1 (wA1 ; wA ) = (0; 1) e (wB ; wB2 ) = (1; 0). (a) Dado um vetor de preços genérico ( p1 ; p2 ), escreva o problema do consumidor B . (b) Resolva o problema do consumidor B e encontre a sua função demanda (Use apenas

lógica, matemática não será de nenhuma utilidade aqui). (c) Encontre o único equilíbrio competitivo desta economia.

Solução. (a) O problema do consumidor B é completamente padrão e pode ser escrito como: max min x1B ; x2B (x1B ;x2B )

 

sujeito a

p1 x1B + p2 x2B x1B ; x2B

 

p1 0:

(b) Dada a função de utilidade do consumidor B , é evidente que não adianta nada ele ter

uma quantidade maior de um bem do que do outro. Ou seja, para maximizar a sua utilidade o consumidor B irá certamente consumir a mesma quantidade dos dois bens. Como o consumidor obviamente vai gastar toda a sua renda, nós podemos usar a sua restrição orçamentária em igualdade para calcular o quanto ele irá consumir dos dois bens. Ou seja, nós temos que resolver a seguinte equação: p1 x1B + p2 x1B = p 1 :

A solução da equação acima é x 1B = p p+ p . Como B consome a mesma quantidade dos dois bens, nós sabemos que também é verdade que x 2B = p p+ p . 1

1

2

1

1

31

2

CAPÍTULO 13. EQUILÍBRIO GERAL - EQUILÍBRIO COMPETITIVO

32

(c) Para encontrarmos o equilíbrio competitivo desta economia primeiramente temos que resolver o problema do consumidor A . O problema do consumidor A é 

x2A

1 

p1 x1A + p2 x2A x1A ; x2A

 

p2 0:

max

(x1A ;x2A )

sujeito a

x1A

  



O consumidor A tem uma função de utilidade Cobb-douglas tradicional e nós já sabemos que tal tipo de consumidor gasta uma fração  de sua renda com o bem 1 e uma fração (1  ) com o bem 2. Ou seja, x1A =  p p e x2A = (1  ) pp = (1  ). Lembre-se que apenas preços relativos podem ser determinados em um equilíbrio competitivo. Façamos, então, p1 = 1. Agora o nosso trabalho é descobrir p2 . Equilibrando o mercado para o bem 2 nós obtemos a seguinte equação: (1

2

2

1

2

1  ) + 1 + p

= 1:

2

Resolvendo a equação acima nós obtemos p2 = 1 : Substituindo o vetor de preços que encontramos nas funções demandas dos consumidores nós encontramos a seguinte alocação: (x1A ; x2A ) = (1  ; 1  ) e (x1B ; x2B ) = (; ). Resumindo, o único equilíbrio competitivo desta economia é dado pela alocação [(1  ; 1  ) ; (; )], juntamente com o vetor de preços 1; 1 : k

 

Exercício 13.2. Considere uma economia com dois bens e dois consumidores com funções de

utilidade estritamente crescentes em relação aos dois bens. Suponha, também, que a dotação inicial [(wA1 ; wA2 ) ; (wB1 ; wB2 )] seja uma alocação e…ciente no sentido de Pareto. Mostre que se ( p1 ; p2 ), [(x1A ; x2A ) ; (x1B ; x2B )] é um equilíbrio competitivo para esta economia, então ( p1 ; p2 ) e 2 [(wA1 ; wA ) ; (wB1 ; wB2 )] também é. Solução. Considere o problema do consumidor A : max U A x1A ; x2A (x1A ;x2A )

 

sujeito a p1 x1A + p2 x2A x1A ; x2A

 

2 p1 wA1 + p2 wA 0:

Observe que (wA1 ; wA2 ) obviamente satisfaz as restrições do problema acima. Portanto, se o consumidor A quisesse, ele poderia escolher comprar exatamente a sua dotação inicial. Por outro lado, nós estamos assumindo que (x1A ; x2A ) é uma solução para o problema acima. Mas isto implica que U A (x1A ; x2A )  U A (wA1 ; wA2 ). O mesmo raciocínio mostra que U B (x1B ; x2B )  U B (wB1 ; wB2 ). Será que alguma das duas desigualdades acima pode ser estrita? Suponha que

33 pelo menos uma das duas desigualdades seja estrita. Mas observe que isto contradiz o fato de que [(wA1 ; wA2 ) ; (wB1 ; wB2 )] é e…ciente no sentido de Pareto. Nós concluímos que as duas desigualdades têm que ser satisfeitas com igualdade. Ou seja, U A (x1A ; x2A ) = U A (wA1 ; wA2 ) e U B (x1B ; x2B ) = U B (wB1 ; wB2 ). Mas então, (wA1 ; wA2 ) e (wB1 ; wB2 ) além de satisfazerem as restrições dos problemas dos consumidores A e B , respectivamente, ainda dão uma utilidade máxima para os consumidores. Ou seja, (wA1 ; wA2 ) e (wB1 ; wB2 ) também são soluções para os problemas dos dois consumidores. Como obviamente [(wA1 ; wA2 ) ; (wB1 ; wB2 )] equilibra os mercados para os dois bens na nossa economia, nós concluímos que tal alocação também é parte de um equilíbrio competitivo com o vetor de preços ( p1 ; p2 ) : k Exercício 13.3 (Múltiplos Equilíbrios). Suponha que os dois consumidores em nossa economia

tenham funções de utilidade dadas por U A x1A ; x2A = x 1A

 

 18

x2A



8

e U B x1B ; x2B = 

1 1 8 xB + x2B : 8

  

As dotações iniciais são dadas por (wA1 ; wA2 ) = ( 2; r) e (wB1 ; wB2 ) = (r; 2), em que r := 28=9  21=9 .13.1 (a) Fixe um vetor de preços da forma ( p1 ; p2 ) = (1; p) e escreva as funções demanda para os dois consumidores em termos de p (por enquanto você ainda não precisa substituir o valor de r nas expressões que você encontrar). (b) Usando as funções de demanda encontradas no item (a), escreva a condição de equilíbrio

de mercado para o bem 1. (c) Agora sim, substituindo o valor de r na condição de equilíbrio de mercado encontrada acima, veri…que que p = 1; 2 ou 1=2 são soluções para aquela equação. Ou seja, nesta

economia nós temos 3 equilíbrios competitivos distintos. Solução. (a) O problema do consumidor A pode ser escrito como max x1A (x1A ;x2A )

 18

x1A + px2A x1A ; x2A

 

sujeito a

x2A

8



2 + pr 0:

Vamos seguir o nosso procedimento usual de ignorar a restrição de não negatividade do consumo e olhar para a restrição orçamentária em igualdade. Ou seja, vamos trabalhar com o seguinte problema: 1 2 8 1 max xA x ( 1A ;x2A )

13.1 Tal

8

 xA

valor de r foi escolhido para que os preços de equilíbrio …quem com valores redondos.


34 sujeito a

x1A + px2A = 2 + pr:

Usando a restrição orçamentária para eliminar x 1A do problema nós …camos com max 2 + pr 2 xA

 px  18 2 A

x2A



8

:

A condição de primeira ordem do problema acima é

 p +

x2A

9



= 0;

o que nos dá x 2A = p 1=9 . Da restrição orçamentária nós obtemos x1A = 2 + pr  p8=9 . O problema do consumidor B pode ser escrito como max

(xB ;xB ) 1

2

 18

8

x1B



sujeito a

+ x2B

x1B + px2B = r + 2 p;

em que eu já ignorei a restrição de não negatividade do consumo e já escrevi a restrição orçamentária com igualdade para economizar tempo. Novamente, usando a restrição orçamentária para eliminar x 2B do problema acima nós obtemos max 1 xB

 18



8

x1B

9

x1B

+ p1 r + 2

1 1 B

 p x




1

 p

= 0;

o que nos dá x 1B = p1=9 . Da restrição orçamentária nós obtemos x2B = p1r + 2  p8=9 . (b) A condição de equilíbrio de mercado para o bem 1 será dada por 2 + pr

8=9

 p

+ p1=9 = 2 + r:

(c) Se nós substituirmos a expressão para r na condição encontrada no item (b) nós …camos

com a seguinte condição: 2 + p 28=9

 

2

1=9

que pode ser simpli…cada para p 28=9

2

1=9

 

p8=9 + p1=9 = 2 + 2 8=9

p8=9 + p1=9 = 2 8=9

2

1=9

2 1=9

;

:

É fácil agora veri…car que 1,2 e 1/2 de fato são soluções para a equação acima.

k

35 Exercício 13.4. Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as funções de 1 2 utilidade dos consumidores sejam dadas por U A (x1A ; x2A ) = (x1A ) 3 (x2A ) 3 e U B (x1B ; x2B ) = 2 1 1 2 (x1B ) 3 (x2B ) 3 . Suponha que as dotações iniciais dos consumidores sejam (wA ; wA ) = (1; 0) e 1 2 (wB ; wB ) = (0; 1). (a) Encontre o único equilíbrio competitivo desta economia. Isto é, encontre o vetor de

preços e a alocação que constituem um equilíbrio competitivo para esta economia (b) É possível mostrar que a alocação (x1A ; x2A ) =

e (x1B ; x2B ) = 12 ; 15 é e…ciente no sentido de Pareto. Como a economia acima satisfaz as condições do Segundo Teorema do Bem-estar nós sabemos que com uma correta redistribuição das dotações iniciais nós podemos fazer com que tal alocação seja parte de um equilíbrio competitivo. Ou seja, existem t1 ; t2 > 0 tais que quando (wA1 ; wA2 ) = (1  t1 ; t2 ) e (wB1 ; wB2 ) = (t1; 1  t2 ), a alocação resultante do equilíbrio competitivo da economia é exatamente (x1A ; x2A ) = 1 4 ; e (x1B ; x2B ) = 12 ; 15 . Encontre o vetor de preços e as transferências t1 e t2 2 5 relacionadas a tal equilíbrio (Atenção! Existem várias combinações de transferências que geram a alocação citada. Vocês podem escolher qualquer uma dentre as combinações que funcionam.)

 

1 4 2; 5

 

 

 

Solução. (a) Como somente preços relativos são determinados em equilíbrio, nós podemos escolher

o preço de um dos bens como numerário. Façamos isto com o bem 1, então. O nosso trabalho agora é encontrar o preço p do bem 2 que equilibra os mercados. Como os dois consumidores são Cobb-douglas e a função demanda deste tipo de consumidor é nossa velha conhecida, nós podemos escrever as demandas diretamente. O consumidor A gastará 1=3 da sua renda com o bem 1 e 2=3 com o bem 2. Ou seja, sua demanda será dada por x1A =

e x2A =

1 1 wA + pwA2 1 = 3 1 3

2 2 wA1 + pwA 2 = : 3 p 3 p

Já o consumidor B gasta 2=3 de sua renda com o bem 1 e 1=3 com o bem 2. Ou seja, sua demanda é dada por x1B

1 2 wB + pwB2 2 p = = 3 1 3

x2B

2 1 wB1 + pwB 1 = = : 3 p 3

e

A condição de equilíbrio de mercado para o bem 1, por exemplo, é x1A + x1B = 1;

o que é equivalente a

1 2 p + = 1: 3 3


36

É fácil ver que a única solução para a equação acima é p = 1. Substituindo tal valor nas expressões para as demandas acima, nós obtemos a seguinte alocação no equilíbrio (x1A ; x2A ) = 13 ; 23 e (x1B ; x2B ) = 23 ; 13 :

 

 

(b) Agora as demandas dos consumidores são dadas por x1A =

11 3

 t + pt ;

x2A =

21 3

 t + pt ;

1

2

1

1

2

p

x1B =

2 t1 + (1 t2 ) p 3 1

x2B =

1 t1 + (1 t2 ) p : 3 p

e





Dividindo a expressão para x 1A pela expressão para x 2A nós obtemos p x1A 5 = 2 = : 2 xA 8

Ou seja, o preço em um equilíbrio associado à alocação citada tem que ser p = 5=4. De posse de tal preço agora nós podemos tentar encontrar valores de t1 e t2 que nos dêem a alocação desejada. Como a questão já disse, vários valores de t1 e t 2 podem ser usados para tanto. Isto ocorre porque todas as equações geradas pelas funções demanda acima são linearmente dependentes quando p = 5=4. Tentemos achar valores de t1 e t2 que façam x 1A assumir o valor desejado, então. Ou seja, tentemos encontrar valores de t 1 e t2 que resolvam a seguinte equação: 1 11 = 2 3

 t + 1

5 4 t2

1

:

A equação acima pode ser escrita de forma simpli…cada como 5t2

 4t = 2: 1

Possíveis soluções para a equação acima são (t1 ; t2 ) = 0; 25 , (t1 ; t2) = 12 ; 45 , (t1 ; t2 ) = 1 3 ; , etc.. É fácil checar que qualquer das combinações de transferências acima de 4 5 fato gera a alocação desejada. k

 

 

 

Capítulo 14 Equilíbrio Geral - Economias com Produção Exercício 14.1. Considere uma economia com um consumidor e uma …rma. Nesta economia existem dois insumos para produção. Trabalho, representado pela letra L e terra, representado pela letra T . O consumidor recebe uma dotação inicial de 15 unidades de L e 10 unidades de T . Trabalho e terra são utilizados para produzir dois tipos de bens, maçãs, representado pela letra A e Bandanas, representado pela letra B . Suponha que a tecnologia de produção

de maçãs seja dada pela seguinte função de produção: A = min L; T :

f

g

Ou seja, para produzir uma unidade de maçã é necessário utilizar pelo menos uma unidade de trabalho e uma unidade de terra. Por outro lado, para se produzir uma unidade de Bandana só é necessário se utilizar uma unidade de trabalho. Ou seja, Bandana tem a seguinte função de produção: B = L:

Para …nalizar a descrição de nossa economia, suponha que as preferências do nosso consumidor sejam dadas pela seguinte função de utilidade: 3

1

U (A; B) = A 4 B 4 :14.1

Calcule o equilíbrio competitivo desta economia. Solução. Como sabemos que apenas preços relativos são determinados em um equilíbrio competitivo, é conveniente escolhermos logo um dos preços como numerário. Façamos, então, pL = 1. O nosso objetivo agora é encontrar pT ; pA e pB . Vamos primeiro analizar o problema da produção de maçãs. Neste caso o problema da …rma pode ser escrito como: max pA min L; T (L;T )

f

g  L  p

14.2

T T:

A primeira coisa que podemos perceber no problema acima é que claramente a …rma nunca vai querer usar uma quantidade desigual dos dois insumos, certo? Isto nos permite escrever 14.1 É

isto mesmo, a utilidade do consumidor só depende de quanto ele consome de maçãs e bandanas. seja, o problema da …rma é escolher quanto ela vai usar dos insumos L e T na produção de maçãs com o objetivo de maximizar o seu lucro. 14.2 Ou

37

38

CAPÍTULO 14. EQUILÍBRIO GERAL - ECONOMIAS COM PRODUÇÃO

o problema acima somente em termos de L. Ou seja, o problema da …rma pode ser escrito como max pA L L

 (1 + p

T ) L

Sejam L A e T A as quantidades dos insumos L e T que resolvem o problema de produção de maçãs. Usando apenas lógica, podemos concluir que a solução do problema acima tem as seguintes características: T A = LA = , se p A > 1 + pT ; T A = LA = 0, se p A < 1 + pT ; T A = LA 0, se p A = 1 + pT :

1



De fato, se pA > 1 + pT , então a …rma obtém um lucro estritamente positivo com qualquer unidade vendida do bem A . Portanto, ela vai querer produzir uma quantidade ilimitada do bem. Claramente esta é uma situação em que um equilíbrio competitivo não poderá existir. Por outro lado, se pA < 1 + p T , então a …rma obteria um lucro negativo com qualquer unidade vendida do bem A. Então, é claro que neste caso a …rma não iria querer produzir nada. Finalmente, se p A = 1 + pT , independentemente da quantidade produzida pela …rma, o seu lucro será zero. Neste caso, todos os valores de LA e T A satisfazendo LA = T A são soluções para o problema da …rma. Analisemos agora o problema de produção de bandanas. Neste caso o problema da …rma pode ser escrito como max pB L (L;T )

 L  p

T T

A primeira coisa que podemos notar no problema acima, é que obviamente a …rma escolherá usar zero unidades do bem T , já que este não é usado na fabricação de bandanas. O problema acima reduz-se para max pB L L

L

Chamando de LB ; T B os valores de L e T que solucionam o problema de produção de bandanas e fazendo uma análise similar ao problema de produção de maçãs nós chegamos à seguinte caracterização: T B = 0 LB = , se p B > 1; LB = 0, se p B < 1; LB 0, se p B = 1:

1



O raciocínio para se chegar às condições acima é exatamente o mesmo do problema anterior. Para podermos encontrar o equilíbrio competitivo desta economia, falta agora resolvermos o problema do consumidor. Este pode ser escrito como: 3

1

max A 4 B 4

(L;T;A;B)

sujeito a pA A + pB B + L + pT T A;B;L;T

 

15 + 10 pT 0:

39 Mas observe que a utilidade do consumidor não depende de quanto ele possui dos bens L e T . Portanto, é óbvio que a solução do problema acima terá L c = T c = 0.14.3 Isto nos permite escrever o problema acima de forma simpli…cada como: 3

1

max A 4 B 4

(A;B)

sujeito a pA A + pB B A; B

 

15 + 10 pT 0:

Agora o problema se torna o de um consumidor Cobb-douglas e nós já sabemos que sua solução terá o consumidor gastando 3=4 de sua renda com o bem A e 1=4 com o bem B . Ou seja, a solução do problema acima será Ac =

3 15 + 10 pT 1 15 + 10 pT e B c = : 4 pA 4 pB

Agora nós já temos tudo que precisamos para podermos encontrar um vetor de preços que equilibre a nossa economia. Comecemos equilibrando o mercado para o bem T , então. A condição de equilíbrio de mercado para o bem T é dada por: T c + T A + T B = 10:14.4

Acima nós vimos que T c = T B = 0. Portanto, a condição acima reduz-se para T A = 10. Dada a caracterização da solução de produção de maçãs acima, é fácil ver que o equilíbrio competitivo tem que estar ocorrendo em um ponto em que pA = 1 + pT :

Isto implica que em equilíbrio nós também temos LA = 10. Tentemos agora equilibrar o mercado para o bem L . A condição de equilíbrio de mercado para tal bem é dada por Lc + LA + LB = 15:

Usando o que aprendemos acima tal condição pode ser simpli…cada para 10 + LB = 15:14.5

Ou seja, em equilíbrio nós temos LB = 5. Novamente, da caracterização da solução do problema de produção de bandanas nós aprendemos que um vetor de preços que equilibre a nossa economia tem que satisfazer pB = 1: 14.3 Notação: Chamaremos de (L ; T ; A ; B ) a cesta de consumo que resolve o problema do consumidor. c c c c 14.4 Ou seja, o que o consumidor consome de T mais o que é usado de T na produção de maçãs e bandanas

tem que ser igual à dotação inicial do bem T . 14.5 Usamos aqui os fatos de que do problema do consumidor nós sabemos que L = 0 e na análise acima c aprendemos que L A = 10:


40

Finalmente, vamos agora equilibrar o mercado para o bem A. Como acima nós já aprendemos que a …rma produzirá 10 unidades do bem A, a condição de equilíbrio para o mercado de tal bem pode ser escrita simplesmente como Ac = 10:

O que em termos da solução do problema do consumidor torna-se 3 15 + 10 pT = 10: 4 pA

Lembre-se que acima nós aprendemos que pA = 1 + p T . Portanto, podemos escrever a condição acima como 3 15 + 10 pT = 10; 4 1 + pT

o que nos dá pT = 1=2 e, consequentemente, pA = 3=2.14.6 Portanto, o nosso equilíbrio competitivo consistirá da alocação (Lc; T c; Ac; Bc ) = (0; 0; 10; 5), (LA ; T A ; AA ) = (10; 10; 10) k e (LB ; T B ; BB ) = (5; 0; 5), e do vetor de preços ( pL ; pT ; pA ; pB ) = (1; 1=2; 3=2; 1): Exercício 14.2. Considere uma economia como a estudada nas notas de aula. Isto é, uma economia com um insumo x, dois bens produzidos, y e z , dois consumidores, A e B , e duas …rmas, f e g. As funções de produção das duas …rmas são dadas por f y (xf y ) = ax f y , f z (xf z ) = cxf z , gy xgy = bx gy e g z (xgz ) = dxgz , em que a > b e d > c.

 

(a) Mostre que em qualquer plano de produção e…ciente para esta economia somente a empresa f produz o bem y e somente a empresa g produz o bem z: (b) Escolha o preço do bem x como numerário. Isto é, faça px = 1. Mostre que em

qualquer equilíbrio competitivo da economia acima, em que quantidades positivas dos bens y e z sejam produzidas, o vetor de preços (1; py ; pz ) é sempre o mesmo. Isto ocorre independentemente de quais sejam as funções de utilidade dos consumidores, independentemente de quais sejam as dotações iniciais do bem x e independentemente de como as ações das …rmas estejam distribuídas entre os consumidores (Dica: se tal resultado é independente das funções de utilidade dos consumidores, então provavelmente ele só depende do problema das …rmas. A letra (a) facilita a solução, mas, embora dê mais trabalho, também dá para resolver a questão sem utilizá-la.).

Solução. (a) Suponha que (xf y ; xf z ) e xgy ; xgz seja um plano de produção e…ciente. De…na xy := xf y + xgy e x z := x f z + xgz . Por de…nição, nós sabemos que (xf y ; xgy ) é solução para o

seguinte problema:





max axf + bxg xf ;xg

14.6 Neste

ponto é sempre uma boa idéia voltar ao problema do consumidor e veri…car que o vetor de preços encontrado realmente faz o consumidor escolher consumir 10 unidades de A e 5 unidades de B .

41 sujeito a xf + xg = x y

Mas é óbvio que a única solução para o problema acima é xf = xy e xg = 0.14.7 Ou seja, xf y = xy e xgy = 0. Um raciocínio inteiramente análogo mostra que xf z = 0 e xgz = x z : (b) Seguindo a dica, olhemos para o problema das …rmas, então. Estudemos primeiro o problema da …rma f : max py axf y + pz cxf z

xf y ;xf z

 (x

f y +

xf z )

Obviamente, se py > 1=a ou pz > 1=c, a …rma poderia obter um lucro in…nito produzindo uma quantidade in…nita de um dos bens. Logo, como por hipótese o problema acima tem solução, nós temos que ter py  1=a e pz  1=c. Se py < 1=a, a …rma tem prejuízo quando produz uma quantidade positiva do bem y . Pela letra (a), nós sabemos que a …rma f produz uma quantidade positva do bem y , logo nós temos que ter py = 1=a. Exatamente o mesmo raciocínio, agora aplicado ao problema da …rma g , mostra que p z = 1=d: k Exercício 14.3. Considere a economia no exemplo 1 das notas de aula sobre economias com produção. É possível mostrar que a alocação (x1A ; x2A ) = (1=4; 1=4), (x1B ; x2B ) = (3=4; 7=4) e (y1 ; y2 ) = (1; 2) é e…ciente no sentido de Pareto. Aquele exemplo satisfaz as condições

do segundo teorema do bem-estar, portanto, sabemos que com a correta redistribuição das dotações iniciais e da propriedade da …rma existirá um equilíbrio competitivo que gera a alocação acima. Encontre um destes equilíbrios (Dica: do problema do consumidor A você já consegue descobrir qual vai ser o vetor de preços no equilíbrio. A partir daí, encontrar uma distribuição de dotação inicial e de propriedade da …rma que leve a um equilíbrio com a alocação acima é fácil). Solução. Vamos primeiro estudar um pouco as características da alocação que temos em mãos. Primeiramente, observe que os dois consumidores juntos consomem uma unidade do bem 1 e a …rma utiliza outra unidade do bem 1 em seu processo de produção. Portanto, como era o caso no exemplo das notas de aula, a dotação inicial agregada do bem 1 tem que ser igual a 2. Isto é 1 1 wA + wB = 2:

Similarmente, os dois consumidores juntos consomem 2 unidades do bem 2 e a …rma produz as mesmas 2 unidades do bem 2. Portanto, novamente como nas notas de aula, a dotação inicial agregada do bem 2 tem que ser igual a zero. Ou seja, 2 2 wA = w B = 0:

Na nossa economia teremos ainda um vetor (A ; B ) que representa a parcela dos lucros da …rma que cada consumidor tem direito. Para completar esta análise preliminar lembre-se que em um equilíbrio competitivo só preços relativos estão determinados, portanto, nós 14.7 É

claro que implicitamente o problema acima também tem a restrição x f ; xg  0:

42


podemos escolher um dos preços como numerário. Façamos, então p 1 = 1. O nosso vetor de preços agora assume o formato ( p1 ; p2 ) = (1; p). O nosso trabalho agora é encontrar w A1 ; wB1 , 1 (A ; B ) e p, de modo que dados wA ; wB1 , (A ; B ), o vetor de preços (1; p) e a alocação (x1A ; x2A ) = ( 1=4; 1=4), (x1B ; x2B ) = ( 3=4; 7=4), (y 1 ; y2 ) = ( 1; 2) constituam um equilíbrio competitivo. Seguindo a dica do problema, vamos primeiramente olhar para o problema do consumidor A . Tal problema pode ser escrito como max

(x1A ;x2A )

sujeito a

x1A

1 2

x2A

  

x1A + px2A x1A ; x2A

 

1 2

wA1 + A  0:

O consumidor acima é o nosso velho amigo Cobb-douglas e nós já sabemos que a solução de tal problema é dada por x1A =

1 1 wA + A  1 wA1 + A  2 e x A = : 2 1 2 p

Se dividirmos x 1A por x 2A nós obtemos x1A = p: x2A

Lembre-se que estamos procurando um vetor de preços que leve à cesta de consumo (x1A ; x2A ) = (1=4; 1=4) no equilíbrio. Da condição acima nós vemos que tal vetor de preços terá que satisfazer p = 1. Ou seja, conforme a dica do problema nos tinha informado, do problema do consumidor A nós já conseguimos descobrir qual vetor de preços estará associado com o equilíbrio competitivo que estamos tentando construir. Dado que o segundo teorema do bem-estar nos garante que vai existir um equilíbrio competitivo com tal alocação, nós já sabemos que se tentarmos resolver o problema da …rma com o vetor de preços em questão nós teremos que obter exatamente (y1 ; y 2 ) = (1; 2). Só por desencargo de consciência vamos checar se isto realmente acontece. Lembre-se que o problema da …rma é 1

1 2



max p2 y 1 y

y1 :

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá p y1

o que pode ser simpli…cado para





1 2

= 1;

y 1 = p 2 :

Como nós já aprendemos que p = 1, nós veri…camos que de fato sob tal vetor de preços a …rma realmente escolhe y 1 = 1, o que gera um nível de produção y2 = 2. Nós também

43 podemos observar que em tal situação o lucro da …rma será  = 1. Finalmente, vamos olhar para o problema do consumidor B : max x1B + x2B (x1B ;x2B )

sujeito a x1B + px2B x1B ; x2B

 

wB1 + B  0:

Como nós sabemos que um equilíbrio competitivo com o vetor de preços e a alocação em questão vai existir, nós também já sabemos que com a correta distribuição de renda a cesta (x1B ; x2B ) = (3=4; 7=4) será uma solução para o problema acima. Neste caso é fácil veri…car que tal fato é verdade, já que, conforme aprendemos nas notas de aula, com p = 1, qualquer combinação de x 1B e x 2B que esgote a renda do consumidor B será solução para tal problema. Lembre-se que queremos que o consumidor B consuma a cesta (x1B ; x2B ) = (3=4; 7=4). Sob o vetor de preços em questão isto implica em um gasto igual a 5=2. De forma similar, nós queremos que o consumidor A consuma a cesta (x1A ; x2A ) = (1=4; 1=4), o que dá um gasto igual a 1=2. Portanto, tudo que temos que fazer agora é escolher uma dotação inicial e um vetor (A ; B ) tais que a renda de A seja 1=2 e a renda de B seja 5=2. Existem in…nitas combinações que geram tais rendas. A tabela abaixo mostra algumas possibilidades: wA1 1=2 0 1=4

1 wB 3=2 2 7=4

(A ; B ) (0; 1) : (1=2; 1=2) (1=4; 3=4)

k

44


Capítulo 15 Bem-estar Social15.1 Exercício 15.1. Considere uma situação em que os agentes têm preferências sobre um par de alternativas x e y . Mostre que o funcional de bem-estar social dado pela regra de votação

por maioria simples é Paretiano e satisfaz as propriedades Anonimidade, Neutralidade entre Alternativas e Resposta Positiva. Solução. Lembre-se que, dada a notação introduzida nas notas de aula, o funcional de bem-estar social dado pela regra da votação por maioria simples pode ser representado pela seguinte fórmula: f S (f 1 ;:::;f N ) =

1 se 0 se 1 se

N i=1 N i=1 N i=1

8< PP : P

f i > 0; f i = 0; f i < 0:

Primeiramente, note que se (f 1 ;:::;f N ) = (1;:::; 1), então N i=1 f i = N > 0 . Similarmente, se N (f 1 ;:::;f N ) = (1;:::; 1), então i=1 f i = N < 0 . Então, f S (1;:::; 1) = 1 e f S (1;:::; 1) = 1, o que implica que a regra da maioria é paretiana.+ Agora, como …zemos nas notas de aula, para um determinado per…l (f 1 ;:::;f N ) de…na n (f 1 ;:::;f N ) como o número de 1’s em (f 1 ;:::;f N ). Similarmente, de…na n (f 1 ;:::;f N ) como o número de -1’s em (f 1 ;:::;f N ). +  Observe que N i=1 f i = n (f 1 ;:::;f N )  n (f 1 ;:::;f N ). Desta forma, nós podemos reescrever a fórmula da regra da maioria como

P

P

P

f S (f 1 ;:::;f N ) =

8< :

1 se n + (f 1 ;:::;f N ) > n (f 1 ;:::;f N ) ; 0 se n + (f 1 ;:::;f N ) = n (f 1 ;:::;f N ) ; 1 se n + (f 1 ;:::;f N ) < n (f 1 ;:::;f N ) :

Mas agora é evidente que o valor f S (f 1 ;:::;f N ) só depende do número de 1’s e -1’s no per…l (f 1 ;:::;f N ) e, consequentemente, a regra da maioria satisfaz Anonimidade. Agora observe 15.1 Quando eu imprimo o texto na minha impressora, algumas expressões que têm

um símbolo de preferência como sobrescrito aparecem apenas como um til. Isto é, a expressão % aparece apenas como %~, quando impressa. Ou seja, o arquivo é visualisado corretamente na tela do computador, mas a impressão apresenta tal problema. A única forma que eu encontrei para resolver isto foi imprimir o arquivo como imagem. No meu caso isto é feito selecionando imprimir, depois clicando no botão avançado e depois selecionando a opção imprimir como imagem. Isto é só uma dica caso alguém tenha o mesmo problema. %

45

CAPÍTULO 15. BEM-ESTAR SOCIAL

46

que para um dado per…l (f 1 ;:::;f N ), n+ (f 1 ;:::;f N ) = n (f 1 ; :::; f N ) e n (f 1 ;:::;f N ) = n+ (f 1 ;:::; f N ). Note que se f S (f 1 ;:::;f N ) = 1, o que é equivalente a dizer que n+ (f 1 ;:::;f N ) > n (f 1 ;:::;f N ), nós claramente teremos n+ (f 1 ;:::; f N ) < n (f 1;:::; f N ), o que é equivalente a dizer que f S (f 1 ;:::; f N ) = 1. Similarmente, se f S (f 1 ;:::;f N ) = 0, o que é equivalente a dizer que n+ (f 1;:::;f N ) = n  (f 1;:::;f N ), nós teremos n+ (f 1 ;:::; f N ) = n (f 1 ;:::; f N ), o que é equivalente a dizer que f S (f 1 ;:::; f N ) = 0. Finalmente, se f S (f 1 ;:::;f N ) = 1, o que é equivalente a dizer que n+ (f 1 ;:::;f N ) < n (f 1 ;:::;f N ), nós teremos n+ (f 1 ;:::; f N ) > n (f 1 ;:::; f N ), o equivale a dizer que f S (f 1 ;:::; f N ) = 1. Portanto, em todas as situações possíveis nós temos f S (f 1 ;:::; f N ) = f S (f 1 ;:::;f N ), o que implica que a regra da maioria satisfaz Neutralidade entre Alternativas. Para …nalizar, suponha que o per…l (f 1 ;:::;f N ) seja tal que f S (f 1 ;:::;f N )  0. Nós sabemos que isto é equivalente a dizer que n+ (f 1 ;:::;f N )  n  (f 1 ;:::;f N ). Seja agora ( ^ f 1 ;:::; f ^N ) um per…l tal que f î  f i pra todo i, ^1 ;:::; f ^N )  n+ (f 1 ;:::;f N ) com desigualdade estrita para algum i . Mas isto implica que n + (f e n (f 1 ;:::;f N )  n ( ^ f 1 ;:::; f ^N ), com pelo menos uma destas duas desigualdades estrita. ^1 ;:::; f ^N ) > n (f ^1 ;:::; f ^N ), o que é equivalente a dizer Mas então, claramente nós temos n + (f ^1 ;:::; f ^N ) = 1 . Ou seja, a regra da maioria satisfaz Resposta Positiva. Isto completa que f S (f k a solução do exercício. Exercício 15.2. Complete mais dois passos da demonstração do Teorema de Impossibilidade

de Arrow para dois agentes e três alternativas. Mais especi…camente, usando o que foi aprendido nos passos 1 e 2 nas notas de aula mostre que para qualquer per…l (%1 ; %2 ) em que z 2 y , nós temos que ter z (S % ;% ) y e, posteriormente, mostre que para qualquer per…l (% ;% ) (%1 ; %2 ) em que x 2 y , nós temos que ter x S y: 1

2

1

2

Solução. Considere o seguinte per…l: %1= (x;y;z) e %2 = (z;x;y). Pela propriedade de unanimidade, nós sabemos que para tal per…l nós temos que ter x (S % ;% ) y . Pelo passo 1 na demonstração nas notas de aula, nós também sabemos que para tal per…l nós temos que ter z (S % ;% ) x. Mas então, usando a transitividade de %(S % ;% ), nós obtemos z (S % ;% ) y. Por IAI, nós aprendemos que para qualquer per…l em que y 1 z e z 2 y nós teremos (% ;% ) z S y . Mas para per…s em que z 1 y e z 2 y , Paretianismo imediatamente implica (% ;% ) que z S y . Com isto nós concluímos que para qualquer per…l em que z 2 y nós necessariamente teremos z (S % ;% ) y, como queríamos. Considere agora o per…l %1 = (y;x;z) e %2 = (x;z;y). Por unanimidade, nós sabemos que (% ;% ) x S z . Pelo que nós aprendemos na primeira parte do exercício, nós também temos que (% ;% ) (% ;% ) ter z S nós obtemos x (S % ;% ) y. y . Mas então, usando a transitividade de %S Agora, por IAI, nós concluímos que para qualquer per…l em que y 1 x e x 2 y nós temos que ter x (S % ;% ) y. Novamente, como por Paretianismo nós temos x (S % ;% ) y para todos os per…s em que x 1 y e x 2 y, nós concluímos que x (S % ;% ) y para qualquer per…l em que x 2 y . Isto completa a solução do exercício. k 1

1

1

2

1

2

2

1

2

1

2

2

1

2

1

1

2

2

1

2

1

1

2

2

1

1

2

2

Exercício 15.3. Suponha que estejamos em uma economia como a da seção 4 das notas

de aula. Ou seja, os agentes têm preferências sobre suas cestas de consumo individual. K 1 Seja x11 ;:::;xK 1 ;:::; xN ;:::;xN uma alocação e…ciente no sentido de Pareto. Mostre que existe um agente i  que não inveja ninguém. Ou seja, mostre que existe um agente i  tal que  U i x1i ;:::;xK i pra todo i: U i x1i ;:::;xK i 







    



 

47 1 K Solução. Suponha que x11 ;:::;xK 1 ;:::; xN ;:::;xN seja e…ciente, mas todos os agentes invejem alguém. Ou seja, suponha que para todo i exista j tal que U i x j1;:::;x jK > U i x1i ;:::;xK i . Comecemos pelo agente 1. Por hipótese, existe um agente i (1) tal que i 1 K U i x1i(1) ;:::;xK i(1) > U xi ;:::;xi . Agora observe que por hipótese o agente i (1) também

      

 







inveja alguém. Ou seja, se chamarmos este alguém de i (1) nós teremos U

i(1)

2





x1i2 (1) ;:::;xK i2 (1)



3 2 U i(1) x1i(1) ;:::;xK i(1) . Mas, por hipótese também existirá um agente i (1) que o agente i (1)

invejará, e assim por diante. Se continuarmos procedendo desta forma, nós acabaremos com uma sequência dada por 1; i (1) ; i2 (1) ; i3 (1) ;:::; tal que para todo j  0 o agente i j (1) inveje o agente i j+1 (1).15.2 Agora observe que na nossa economia nós temos um número …nito, N , de agentes. Obviamente, existirá j > 0 tal que i j+1 (1) = il (1) para algum l < j . Ou seja, existirá um indivíduo i j (1) que invejará alguém que já apareceu anteriormente na sequência. Seja j  o menor valor de j para que isto acontece, e seja il (1) o indivíduo que i j (1) inveja. Pela discussão acima nós sabemos que l < j  . Agora olhemos para a seguinte sequência …nita de agentes: il (1) ; il+1 (1) ;:::;i j (1). Observe que na sequência acima todo agente inveja o agente posterior a ele e o último agente, i j (1), inveja o primeiro agente, il (1). Ou seja, na sequência acima temos um círculo de inveja. Mas  então, olhemos para a alocação x^11 ;:::; ^xK ^1N ;:::; ^ xK 1 ;:::; x N em que para l  j  j  1, 1 K (^x1ij (1) ;:::; ^ xK x1ij (1) ;:::; ^ xkij (1) ) = (x1il (1) ;:::;xK ij (1) ) = (xij (1) ;:::;xij (1) ) e (^ il (1) ). Para os demais agentes i de…na x^1i ; :::; ^xK = x1i ;:::;xK i i . Primeiramente, observe que tudo que …zemos foi 1 K redistribuir as cestas de consumo que tínhamos na alocação x11;:::;xK 1 ;:::; xN ;:::;xN , 1 K portanto se x11 ;:::;xK x^11;:::; ^ xK ^1N ;:::; ^ xK 1 ;:::; xN ;:::;xN era factível, então 1 ;:::; x N também é factível. Além disto, por construção, para l  j  j  , nós temos U j (^x j1 ;:::; ^x jK ) > U j (x j1 ;:::;x jK ). Para os demais indivíduos nós temos x^1i ;:::; ^ xK = x1i ;:::;xK i i , portanto, i 1 K i 1 K 1 K 1 melhora U xî ;:::; ^ xi = U xi ;:::;xi . Mas então a alocação x^1 ;:::; ^ x1 ;:::; x^N ;:::; ^ xK N estritamente a situação de alguns indivíduos na economia sem piorar a situação de nenhum 1 K outro. Isto contradiz a e…ciência no sentido de Pareto de x11;:::;xK 1 ;:::; xN ;:::;xN . Nós temos, então, que concluir que a nossa hipótese inicial não é verdadeira. Ou seja, tem que existir algum indivíduo i  na nossa economia que não inveje ninguém, como queríamos demonstrar. k 





+1



       



 +1

 



 



 

           

Exercício 15.4. Suponha que estejamos em uma situação com 3 alternativas x;y;z e três agentes A;B;C . As preferências dos agentes são dadas pela tabela abaixo:

f

f

g

A B x y y z z x

g

C z : x y

Ou seja, o agente A prefere x a y e prefere y a z , e assim por diante. Suponha que nossa tarefa seja escolher uma das alternativas acima com o intuito de fazer o melhor para a sociedade. Considere o seguinte método: primeiro escolha um par de alternativas e realize uma votação entre os agentes. Feito isto, pegue a alternativa vencedora da votação anterior e realize uma nova votação contra a alternativa que …cou de fora da primeira votação. 15.2 Nós

estamos adotando aqui a convenção de que o agente i 0 (1) é simplesmente o agente 1.

>

CAPÍTULO 15. BEM-ESTAR SOCIAL

48

(a) Mostre que tal procedimento é totalmente manipulável. Isto é, mostre que de acordo com

a ordem de votação que escolhermos nós podemos in‡uenciar na escolha …nal. (b) Suponha agora que nós usemos estas votações dois a dois para de…nir a nossa preferência

social entre as alternativas. Ou seja, uma alternativa será socialmente preferível a outra se mais agentes a considerarem melhor do que a outra. Chame a preferência social de…nida desta forma de %S . Não é difícil ver que tal método para de…nir uma preferência social satisfaz Paretianismo e IAI, mas obviamente não é ditatorial. Parece, então, que algo mais fundamental não está correto aqui. Discuta. Solução. (a) Suponha que primeiro façamos uma votação entre x e y . Neste caso x terá 2 votos contra apenas 1 voto de y . Ou seja, x vencerá a votação. Agora se …zermos uma votação entre x e z , z seria a alternativa que obteria 2 votos e venceria a eleição. Neste caso, então, a escolha social seria z . Suponha agora que primeiro comecemos com uma votação entre y e z . Neste caso y recebe 2 votos e vence a votação. Mas agora quando …zermos uma votação entre x e y , x é quem receberá 2 votos. Neste caso a escolha social seria x. Finalmente, se iniciarmos com uma votação entre x e z , vemos que z vence tal votação por 2 a 1. Mas quando …nalmente realizarmos uma votação entre z e y, y é quem vencerá a votação por 2 a 1. Ou seja, neste caso a escolha social seria y. Nós

mostramos, então, que se pudermos controlar a ordem da votação entre as alternativas nós podemos fazer com que a escolha social seja qualquer uma que quisermos. (b) Utilizando a regra proposta no exercício nós somos obrigados a concluir que x S y , z S x e y S z . Como foi apontado pelo enunciado do exercício, tal procedimento







de fato satisfaz Paretianismo e IAI, e não é ditatorial. No entanto, isto não é uma contradição ao Teorema da Impossibilidade de Arrow. Note que a preferência social obtida com tal procedimento não é transitiva e esta é uma das hipóteses do teorema de Arrow. Note, também, que é exatamente a intransitividade da preferência social de…nida desta forma que gera o fenômeno descrito no item (a). O processo de escolha por votação realmente escolhe a alternativa preferida entre um par de alternativas, mas como a preferência social resultante não é transitiva, dependendo da ordem em que nós comparamos as alternativas nós obtemos uma escolha diferente. k

Capítulo 16 Monopólio Exercício 16.1 (Imposto sobre os lucros). Considere o exemplo 1 das notas de aula sobre monopólio. Lembre-se que naquele exemplo nós tínhamos dois bens, x e y e um consumidor com função de utilidade U (x; y) = x + 2 y. Também tínhamos uma tecnologia de produção dada por y = x, ou seja, o bem x é usado como insumo para produzir o bem y . Finalmente, o consumidor tinha uma dotação inicial wx do bem x .

p

p

(a) Calcule o nível de produção em equilíbrio quando a …rma age como monopolista (Dica:

Quase todo o trabalho já está feito nas notas de aula. Tudo que você tem a fazer é pegar a expressão encontrada lá e usar uma condição de equilíbrio de mercado). (b) Suponha agora que o governo resolva impor um imposto proporcional sobre o lucro do monopolista. Isto é, se o monopolista tiver um lucro  ele terá que pagar um valor t de imposto, em que 0 < t < 1. O valor arrecadado com o imposto sobre os lucros

do monopolista será repassado diretamente ao consumidor na forma de um subsídio de montante …xo.16.1 Calcule o nível de produção de equilíbrio agora. (c) Se você fez as contas corretamente, você percebeu que o nível de produção no item (b) é

exatamente o mesmo do item (a). De acordo com tal modelo, parece não haver nenhuma justi…cativa para a imposição de um imposto sobre os lucros das …rmas. É claro que o modelo acima tem uma séria limitação que faz com que o modelo por de…nição já ignore um possível efeito de tal imposto. Que limitação e que efeito são estes? 16.2 Solução. (a) Nas notas de aula nós chegamos à seguinte expressão caracterizando o nível de produção

de monopólio:

p  x:

1 1 = 2 wx 2 y

p

16.1 Ou

seja, o consumidor verá tal subsídio como algo totalmente exógeno e totalmente independente das suas ações. 16.2 O modelo obviamente tem várias limitações, mas tem uma que é claramente mais relevante para a discussão aqui.

49

CAPÍTULO 16. MONOPÓLIO

50

Mas dada a nossa tecnologia de produção, nós sabemos que y = na expressão acima nós …camos com

p w  x. Usando isto x

1 1 = 2y; 2 y

p

o que nos dá um nível de produção y =

1 1 : 2 32

p

(b) Agora o problema do consumidor vira

p

max x + 2 y (x;y)

sujeito a x + py = w x +  + s;

em que s é o subsídio que este recebe do governo. Repetindo os passos nas notas de aula nós vemos que as condições de primeira ordem do problema do consumidor ainda nos dão a mesma condição que antes. Ou seja, nós chegamos a

p 1y = p: Dada a caracterização da função demanda inversa do consumidor obtida na expressão acima, o problema da …rma monopolista pode agora ser escrito como  = max (1 f x

 t)



1

p p

xf

p

xf

!

f

x

Mas a condição de primeira ordem do problema acima é exatamente a mesma que nós tínhamos no caso sem imposto.16.3 Nas notas de aula nós já vimos que tal condição implicava que

p  x:

1 1 = 2 wx 2 y

p

p

Ou seja, se novamente usarmos a observação de que y = wx  x em equilíbrio, nós obteremos o mesmo nível de produção que obtivemos antes. (c) A grande limitação de tal modelo é que ele só tem um consumidor. Suponha que

o modelo tivesse dois consumidores. Neste caso, o nível de produção de equilíbrio geralmente vai depender das dotações iniciais dos agentes e de como as ações da …rma estão divididas entre os consumidores. Porém, se o governo impuser um imposto sobre o lucro da …rma e redistribuí-lo entre os consumidores de acordo com o percentual

p

16.3 Isto

f f não deve p f ser f nenhuma surpresa. É claro que o valor de x que maximiza p xf  x também maximiza  p x  x para qualquer  > 0:





51 de ações da …rma que cada consumidor possui, nós obteremos o mesmo resultado que obtivemos agora. Ou seja, a alocação de equilíbrio será exatamente a mesma. Mas, é claro, isto só ocorre se o governo usar como parâmetro de distribuição exatamente o percentual de ações que cada consumidor possui. Se o governo utilizar qualquer outra forma para calcular a redistribuição do imposto, a alocação de equilíbrio será diferente. Em resumo, um modelo com apenas um consumidor, por de…nição, ignora os possíveis efeitos de redistribuição de renda que um imposto sobre o lucro da …rma monopolista pode ter. k Exercício 16.2. Suponha que a …rma F produza um determinado bem y e que a sua função

custo seja dada por C (y) = y 2 :

Ou seja, para produzir y unidades do bem a …rma gasta y2 . Seja a função demanda inversa do bem y dada por p (y) = 3

 y:

(a) Calcule o preço e a quantidade produzida do bem y quando o mercado é competitivo

(…rma age como tomadora de preços) e quando a …rma age como monopolista. (b) Suponha agora que o governo, na tentativa de eliminar a ine…ciência do monopólio, implemente o seguinte esquema de incentivo. O governo pagará um bônus de s reais por cada real vendido pela …rma. Isto é, se a …rma obtiver uma receita de x reais com a venda do bem y, então o governo lhe pagará um bônus de sx reais. Calcule o valor de s que faz com que a …rma produza a quantidade e…ciente (o valor encontrado no

caso competitivo). Solução. (a) Quando a …rma age como tomadora de preços o seu problema pode ser escrito como max py y

y

2

A condição de primeira ordem para o problema acima nos dá p = 2y:

Dada a curva de demanda inversa da economia, a oferta e a demanda só estarão equilibradas se 2y = 3

o que implica que

 y;

yc = 1

e pc = 2:

Quando a …rma age como monopolista o seu problema pode ser escrito como max (3 y

 y) y  y

2


52

A condição de primeira ordem para o problema acima é 3

 4y = 0;

o que nos dá ym =

e, consequentemente,

3 4

9 pm = : 4

(b) O problema da …rma agora pode ser escrito como max (3 y

 y) y (1 + s)  y

2

A condição de primeira ordem para o problema acima é

y (1 + s) + (3  y) (1 + s)  2y = 0: Fazendo y = 1 na expressão acima, nós obtemos s = 1.

k

Exercício 16.3. Uma empresa monopolista produz um bem q de acordo com uma função custo dada por c (q ) = q + q 2 . Suponha que a curva de demanda inversa do mercado seja dada por p (q ) = 13 q .



(a) Calcule a quantidade q produzida pelo monopolista. Qual o seu lucro? (b) Suponha agora que, embora a empresa monopolista funcione em um mercado protegido

contra a importação, esta tenha a opção de vender o seu bem no mercado exterior. Mais especi…camente, o monopolista tem a opção de vender o bem no mercado doméstico, em que este enfrenta uma curva de demanda inversa dada por pd (q d ) = 1 3  q d, mas tem também a opção de vender o bem no mercado internacional por um preço pi = 11. O preço do bem no mercado internacional não depende da quantidade q i vendida pelo monopolista neste mercado. A função custo da …rma continua sendo dada por c (q ) = q + q 2 . A diferença é que agora q = q d + q i . Quanto a …rma venderá no mercado doméstico e no mercado internacional? Qual o seu lucro agora? (Dica: A intuição pode ser traiçoeira aqui. É melhor con…ar na matemática e resolver o problema do monopolista completo.) Solução. (a) Neste caso o problema do monopolista é max (13 q

2

 q ) q  q  q

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá q = 3 Tal quantidade implica que o preço cobrado pelo monopolista será 10 e o seu custo será 12. Portanto o seu lucro será  = 10  3  12 = 18:

53 (b) O problema da …rma agora é max (13 qd ;qi

2

 q ) q + 11q  (q + q )  (q + q ) d

d

i

d

i

d

i

As condições de primeira ordem do problema acima são 12

 4q  2q = 0

10

 2q  2q = 0:

d

i

e d

i

Resolvendo o sistema acima nós obtemos q d = 1 e q i = 4. O preço no mercado doméstico será 12. O custo da …rma será 5 +52 = 30. Portanto, o lucro do monopolista será  = 12 1 + 11 4 = 26:



k

  30

Exercício 16.4 (Monopsônio). Suponha que uma empresa produza um bem y que é vendido no mercado internacional por um preço p y = 24. O único insumo para a produção do bem y é um bem super especializado, x. O bem y é produzido de acordo com a função de produção y := ln x. O preço pago por unidade do insumo x segue a curva de oferta inversa w(x) = 2+x. (a) Suponha primeiro que o mercado para o bem x seja competitivo. Isto é, suponha que a …rma aja como tomadora de preços em relação ao preço w. Calcule quanto a …rma utilizará do insumo x neste caso. (Atenção! Embora a …rma aja como tomadora de preços em relação a w , posteriormente w tem que ser tal que a oferta e a demanda pelo bem x …quem equilibradas). (Dica: No …nal você chegará em uma equação do segundo

grau que tem uma raiz positiva e uma negativa. Logicamente, a solução do problema é a raiz positiva.) (b) Suponha agora que a …rma seja o único consumidor do insumo x e que esta entenda que a sua decisão em relação a quantidade utilizada de x afeta diretamente o preço pago w(x). Isto é, a …rma não é mais tomadora de preços em relação ao bem x. Calcule quanto a …rma utilizará do insumo x neste caso. (Dica: Novamente você chegará em

uma equação do segundo grau que tem uma raiz positiva e uma negativa em que a solução do problema é a raiz positiva.) (c) Se você fez as contas corretamente, você veri…cou que a quantidade de insumo x utilizada

na letra (a) foi maior do que na letra (b). Suponha que no caso tratado na letra (b) o governo queira implementar um esquema de incentivos que faça com que a …rma utilize a mesma quantidade de insumos da letra (a). O esquema funcionará da seguinte forma: o governo subsidiará uma fração s dos custos da …rma com o insumo x. Isto é, se os gastos da …rma com o insumo x forem l, esta receberá uma ajuda de s  l do governo. Qual o valor de s que faz com que a …rma utilize a mesma quantidade de insumo x encontrada na letra (a)?


54 Solução.

(a) Quando a …rma age como tomadora de preços o seu problema é: max 24ln x x

 wx

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá 24 = w: x

Para que o mercado do bem x esteja equilibrado, o w que aparece na solução do problema da …rma tem que coincidir com o que aparece na curve de oferta inversa. Ou seja, a seguinte equação tem que ser satisfeita: 24 = 2 + x; x

o que nos dá a seguinte equação do segundo grau: x2 + 2x

 24 = 0:

A solução positiva da equação acima é x = 4: (b) O problema da …rma agora é max 24ln x x

 (2 + x)x

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá 24 = 2 + 2x; x

o que implica que a solução do problema satisfaz a seguinte equação do segundo grau: x2 + x

 12 = 0:

A solução positiva da equação acima é x = 3:

(c) Com o subsídio descrito na questão o problema da …rma vira: max 24ln x x

 (1  s)(2 + x)x

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá 24 = (1 x

 s)(2 + 2x);


 1 12  s = 0:

Substituindo x = 4 na equação acima nós …camos com a seguinte equação em relação a s : 12

1

 s = 20;

Resolvendo a equação acima nós obtemos s = 2=5.

k

Capítulo 17 Discriminação de Preços Exercício 17.1 (Descrição grá…ca da solução do modelo de Mussa e Rosen) . Considere o

modelo de discriminação de preços de segundo grau estudado nas notas de aula (o modelo de Mussa e Rosen). Caracterize gra…camente a solução de tal modelo. Atenção, no livro texto tem uma análise grá…ca para se chegar a solução de um modelo parecido com o de Mussa e Rosen. Não é aquela análise grá…ca que eu quero. O que eu quero é algo mais simples. Dada a solução que nós obtivemos nas notas, simplesmente mostre no mesmo grá…co os pacotes de consumo dos dois consumidores, as curvas de indiferença dos dois consumidores que passam por estes pacotes e os pacotes e…cientes, ou seja, os pacotes que teriam sido vendidos se o monopolista pudesse diferenciar os dois consumidores, bem como as curvas de indiferença que passam por tais pacotes. Solução. Lembre-se que a solução do problema de Mussa e Rosen tem as seguintes características: 1. A quantidade oferecida ao agente do tipo H é a e…ciente. 2. A restrição de participação para o agente do tipo L é satisfeita com igualdade. 3. A restrição de compatibilidade de incentivos para o agente do tipo H é satisfeita com igualdade. As três condições acima implicam que a solução do modelo de Mussa e Rosen pode ser representada gra…camente como na …gura 17.1. Na …gura 17.1 os pacotes que solucionam o modelo de Mussa e Rosen estão identi…cados com o sobrescrito MR. A primeira coisa que podemos perceber é que o pacote oferecido ao agente L encontra-se exatamente na interseção entre as curvas de indiferença dos dois agentes. Isto nada mais é do que a representação grá…ca do fato de que a restrição de compatibilidade de incentivos para o agente do tipo H é satisfeita com igualdade. Ou seja, R MR o agente do tipo H é indiferente entre o seu pacote, pM , e o pacote direcionado ao H ; q H R MR agente L, pM . A outra coisa que podemos perceber é que a curva de indiferença L ; q L do agente L que passa sobre o seu pacote intercepta a origem. Isto nada mais é do que a representação grá…ca do fato de que na solução do modelo de Mussa e Rosen a restrição de participação do agente do tipo L é satisfeita com igualdade. Finalmente, nós vemos na …gura que a quantidade consumida pelo agente do tipo H na solução de Mussa e Rosen é igual a







55



CAPÍTULO 17. DISCRIMINAÇÃO DE PREÇOS

56

Figura 17.1: Solução do modelo de Mussa e Rosen quantidade consumida por H quando o monopolista consegue diferenciar os consumidores, E representada na …gura por q H . Por outro lado, a quantidade consumida por L é menor do que o nível e…ciente, que é a quantidade produzida pela …rma quando ela pode diferenciar os dois consumidores. A razão disto, conforme podemos perceber na …gura, é o fato de que se o E monopolista tentasse fazer o agente L comprar a cesta pE L ; q L , então o agente H preferiria R MR tal pacote ao pacote pM . Isto acaba fazendo com que o monopolista produza uma H ; q H quantidade menor do que a e…ciente para o agente L . k



 



Exercício 17.2. Suponha que a economia tenha dois tipos de consumidores e que a …rma

monopolista consiga diferenciá-los. A curva de demanda agregada dos consumidores do tipo A é dada por q A ( pA ) = 20

e a dos consumidores do tipo B é dada por q B ( pB ) = 16

 p

A

 p2 : B

O custo de produção da …rma monopolista é dado por c (q A + q B ) = 4 (q A + q B ) : (a) Encontre os preços cobrados pelo monopolista quando a prática de discriminação de

preços é permitida. Calcule o excedente agregado dos consumidores neste caso. Isto é, a soma dos excedentes dos dois tipos de consumidores (Dica: Para fazer a questão você primeiro vai ter que derivar as curvas de demanda inversa para os dois tipos de consumidores). (b) Suponha agora que a prática de discriminação de preços seja proibida por lei. Encontre o

preço cobrado pela …rma neste caso. Também neste caso, calcule o excedente agregado

57 dos consumidores (Dica: Para fazer esta questão você terá que derivar a curva de demanda agregada para este caso. Esta curva terá 3 regiões. Para preços abaixo de um certo valor, os dois tipos de consumidores consomem. Para preços entre o valor previamente mencionado e um valor mais alto apenas um tipo de consumidor consome. Para preços acima do valor mais alto citado anteriormente, nenhum consumidor consome. De posse da curva de demanda agregada, você pode agora derivar a curva de demanda inversa. Esta também será dividida em regiões. A solução do problema da …rma se dará na região em que esta resolve atender aos dois tipos de consumidores. Portanto, na hora de resolver o problema da …rma você pode assumir que a curva de demanda inversa da economia corresponde à parte da curva da demanda inversa em que a …rma atende aos dois consumidores. Porém, para calcular o excedente dos consumidores você precisará olhar para a curva de demanda inversa completa, considerando todas as suas regiões). Solução. (a) Conforme a dica, vamos primeiro encontrar as curvas de demanda inversa para os dois tipos de consumidores. Para tanto, tudo que temos que fazer é isolar p nas suas funções

demanda, o que nos dá as seguintes curvas de demanda inversa: pA (q A ) = 20

 q

A

e pB (q B ) = 32

 2q : B

O custo marginal de produção do monopolista é constante e igual a 4. Como o monopolista pode praticar discriminação de preços, suas escolhas ótimas igualarão a sua receita marginal com cada tipo de consumidor ao seu custo marginal. Ou seja, resolverão as seguintes equações: 20

 2q = 4

32

 4q

A

e B

= 4:

Resolvendo as equações acima nós obtemos

q A = 8

e q B = 7:

As quantidades acima implicam que os preços cobrados pelo monopolista serão pA = 12 e pB = 18. O excedente dos consumidores do tipo A será dado pela área escura da …gura abaixo.


58

Figura 17.2: Excedente dos consumidores do tipo A. Ou seja, o excedente dos consumidores do tipo A é 32. Já o excedente dos consumidores do tipo B é dado pela área escura da …gura abaixo.

Figura 17.3: Excedente dos consumidores do tipo B. Ou seja, o excedente dos consumidores do tipo B é 49. O excedente agregado, então, é 32 + 49 = 81: (b) A curva de demanda agregada agora é dada por q ( p) =

8< :

36 32 p , se p 20; 16 p2 , se 20 32:









Tal curva de demanda agregada está associada com a seguinte curva de demanda inversa: 32  2q , se q  6; p (q ) = 24  23 q , se q > 6:



59 Seguindo a dica, nós sabemos que a solução do problema do monopolista se dará na região em que este atende aos dois tipos de consumidores. Ou seja, na região em que a curva de demanda inversa da economia é p (q ) = 24

 23 q:

Igualando a receita marginal ao custo marginal nós …camos com a seguinte equação: 24

 43 q = 4:

Ou seja, a quantidade produzida pela …rma será q = 15. Isto dá um preço p = 14. Finalmente, o excedente dos consumidores será dado pela área escura da …gura abaixo:

Figura 17.4: Excedente dos consumidores sem discriminação de preços. Ou seja, o excedente dos consumidores é A + B + C = 36 + 36 + 27 = 99:

k

Exercício 17.3 (Descontos para Estudantes). Suponha que um monopolista venda em um

mercado que tenha dois tipos de consumidores: estudantes e consumidores regulares. A curva de demanda dos estudantes é dada por q e = (2

 3 p ) e

e a dos consumidores regulares é dada por q r = (1

 p ) : r

Por simplicidade, suponha que o custo de produção do monopolista é constante e igual a zero. (a) Suponha que o mercado seja composto só por estudantes. Que preço o monopolista

cobrará? E se o mercado for composto só por consumidores regulares, que preço o monopolista cobrará?


60

(b) Suponha agora que uma fração  dos consumidores seja de estudantes e uma fração (1 ) seja de consumidores regulares. Isto é, o lucro do monopolista assume o seguinte formato:  = (lucro obtido com estudantes ) + (1 ) (lucro obtido com consumidores regulares ). Suponha, também, que o governo imponha uma lei que obrigue





que o preço cobrado dos estudantes seja sempre igual à metade do preço cobrado dos consumidores regulares. Assumindo que o monopolista vá sempre tentar atender aos dois mercados, calcule o preço cobrado dos consumidores regulares (o preço cobrado dos estudantes será a metade) como função de . Observe que a fórmula para o preço encontrada é uma função crescente em relação a , ou seja, quanto maior é a parcela da população composta por estudantes, maior é o preço. Explique intuitivamente por que isto ocorre, utilizando o que você aprendeu na letra (a). Solução. (a) Se o mercado for composto só por estudantes, o problema do monopolista pode ser

escrito como max (2 pe

 3 p ) p :17.1 e

e

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá pe = 1=3. Quando o mercado é composto só por consumidores regulares o problema do monopolista pode ser escrito como max (1 pr ) pr



pr

Da condição de primeira ordem do problema acima nós obtemos que p r = 1=2. (b) Agora o problema do monopolista pode ser escrito como p p 3 + (1 2 2

 

max  2 p

 ) (1  p) p

Da condição de primeira ordem do problema acima nós temos

 

 1

3 p + (1 2

 ) [1  2 p] = 0 ()

p =

2

4

 :

Como o exercício já havia nos informado, p é uma função crescente de  . Além disto, nós podemos observar que quando  = 0 e, portanto, só existem consumidores regulares no mercado, p = 1=2, que é o preço que encontramos na letra (a). Além disto, quando  = 1 e, portanto, só existem estudantes, p = 2=3, o que nos dá um preço para 17.1 Eu estou escrevendo o problema do monopolista como um em que

ele escolhe o preço. Alternativamente, eu poderia ter derivado a curva de demanda inversa e escrito o problema como um em que ele escolhe a quantidade. As duas abordagens se equivalem, mas como na letra (b) será mais conveniente escrever o problema como um em que o monopolista escolhe o preço, eu optei por usar a abordagem em que o monopolista escolhe o preço desde o início.

61 estudantes igual a 1=3, que é exatamente o valor que encontramos na letra (a). A razão pela qual o preço é uma função crescente de  é simples. Quando  é pequeno, o monopolista se importa mais com as vendas para consumidores regulares e, portanto, quanto menor , mais p se aproxima de 1=2. A medida que  aumenta, as vendas para estudantes passam a ser mais importantes e p=2 se aproxima de 1=3 o que é equivalente k a dizer que p se aproxima de 2=3:

62


Capítulo 18 Escolha sob Incerteza Exercício 18.1 (Maximizar a Probabilidade de Obter a Consequência Favorita) . Considere

o exemplo de preferência sobre loterias nas notas de aula. Isto é, suponha que o conjunto de alternativas X tenha uma alternativa x que é a favorita do agente. Suponha, também, que dadas duas loterias p e q , p % q () p (x )  q (x ) :

Ou seja, o agente sempre busca maximizar a probabilidade de obter a sua consequência favorita. Mostre que tal relação de preferências satisfaz Independência e a propriedade Arquimediana (Dica: Não tente mostrar isto diretamente, use o teorema da utilidade esperada). Solução. Lembre-se que, de acordo com o teorema da utilidade esperada, uma preferência satisfaz Independência e a propriedade Arquimediana se e somente se ela tem uma representação por utilidade esperada. Então, para provarmos que a preferência acima satisfaz as duas propriedades, tudo o que precisamos fazer é encontrar uma representação por utilidade esperada que a represente. Mas isto é fácil. Considere a função de Bernoulli u tal que u (x ) = 1 e u (x) = 0 para todo x 2 X , com x 6 = x  . Calculemos agora a utilidade esperada de uma loteria genérica dada tal função de Bernoulli. Lembre-se que a utilidade esperada de uma loteria p genérica é dada por U ( p) =

X

p (x) u (x) :

x X

2

Mas como para todo x 6 = x  u (x) = 0 , a expressão acima reduz-se para U ( p) = p (x ) 1:



Mas, então, para qualquer par de loterias p e q , dizer que p (x )  q (x ) é exatamente o mesmo que dizer que p (x) u (x)  q (x) u (x) . x2X x2X Ou seja, % tem uma representação por utilidade esperada em que a função de Bernoulli u é de…nida como acima. Pelo teorema da utilidade esperada, % satisfaz Independência e a propriedade Arquimediana. k

X

X

63

CAPÍTULO 18. ESCOLHA SOB INCERTEZA

64

Exercício 18.2. Suponha agora que estejamos falando de loterias monetárias. Lembre-se que para uma dada loteria p, nós usamos a notação E [ p] para representar o seu valor esperado. Nós usaremos a notação V ar ( p) para representar a variância de uma determinada

loteria. Por exemplo, para loterias que retornam apenas dois prêmios, isto é, loterias do tipo p :=  (x)  (1  ) (y), o valor esperado e a variância têm a seguinte forma E [ p] =  x + (1



 )  y

e V ar ( p) =  (x

 E [ p])

2

+ (1

 ) (y  E [ p])

2

:

(a) Calcule os valores esperados e as variâncias das loterias p := 1 3 4 (8) 4 (4) :



1 (2) 3



2 (1) 3

e q :=

(b) (Dependendo dos seus conhecimentos de probabilidade e estatística este exercício pode

ser um pouco mais difícil, mas eu acho que vocês têm condições de resolvê-lo) Suponha agora que o agente tenha uma função de utilidade sobre o conjunto de loterias monetárias dada por V ( p) = E [ p]

2

 (E [ p])  V ar ( p) :

Considerando loterias que retornam apenas dois prêmios, isto é, loterias da forma  (x)  (1  ) (y), mostre que a função de utilidade acima pode ser escrita no formato de utilidade esperada. Ou seja, mostre que existe uma função u sobre os números reais tal que para qualquer loteria p :=  (x)  (1  ) (y), V ( p) = u (x) + (1

 ) u (y) :

Solução. (a) Comecemos com a loteria p . Para tal loteria nós temos E [ p] =

1 3

 2 + 23  1 = 43

e 2

     

1 V ar ( p) = 2 3

1 2 = 3 3 2 = : 9

4 3

2

2 + 3

2 + 1 3 1 3

Já para a loteria q nós temos E [q ] =

1 4

 8 + 34  4 = 5

2

4 3

2

65 e 1 3 (8 5)2 + (4 4 4 1 3 = (3)2 + ( 1)2 4 4 = 3:

V ar (q ) =



2

 5)



(b) Considere uma loteria genérica p :=  (x)

pode ser escrita como

 (1  ) (y). Observe que a variância de p

V ar ( p) =  (x E [ p])2 + (1 ) (y E [ p])2 =  x2 2xE [ p] + (E [ p])2 + (1 ) y2

 



= x2 + (1



2





2

 2yE [ p] + (E [ p])

 ) y  2E [ p] (x + (1  ) y) + (E [ p])

2

;



em que nós simplesmente reagrupamos os termos na segunda expressão acima. Mas observe que x + (1  ) y é exatamente o valor esperado de p , portanto, a expressão acima pode ser escrita como V ar ( p) = x2 + (1 = x2 + (1

2

2

2

 ) y  2 (E [ p]) + (E [ p])  ) y  (E [ p]) : 2

2

Mas agora nós podemos escrever V ( p) como V ( p) = = = = =

E [ p] (E [ p])2 V ar ( p) E [ p] (E [ p])2 x2 + (1 ) y2 E [ p] x2 (1 ) y 2 x + (1 ) y x2 (1 ) y 2  x x2 + (1 ) y y2 :

  

           

 



2

 (E [ p])



 

Mas então, tudo que temos a fazer é de…nir u como a função tal que para todo z 2 R, k u (z) = z  z 2 . Exercício 18.3 (Seguro Total). Lembre-se do exemplo nas notas de aula. Isto é, suponha que tenhamos um agente com riqueza inicial igual a W . Com probabilidade  um evento que implica em uma perda de D reais para o agente vai ocorrer. O agente tem a oportunidade de fazer um seguro para receber X reais caso o evento que desencadeie a perda dos D reais ocorra. Suponha que o preço pago por cada real segurado seja simplesmente s . (a) Suponha que o agente tenha contratado um seguro para X reais. Como não sabemos ainda se o evento que ocasiona a perda dos D reais vai ocorrer, a riqueza futura do

agente é para nós uma variável aleatória, ou, na nossa terminologia, uma loteria. Escreva a loteria que representa a riqueza futura de um agente que contratou um seguro de X reais.


66

(b) Observe que para cada possível valor de X , a expressão que você encontrou acima

representa uma loteria diferente. Deste modo, o problema de escolher o nível ótimo de seguro pode ser interpretado como o problema de escolher a melhor loteria dentre as diversas possíveis acima. Suponha agora que o seguro tenha um preço justo, isto é, suponha que s = . Mostre que neste caso o valor esperado das loterias acima é sempre o mesmo, independentemente do valor X . (c) Ou seja, quando o seguro tem um preço justo, o problema do agente passa a ser o

de escolher entre várias loterias que têm o mesmo valor esperado. Use este fato para argumentar que neste caso um agente avesso ao risco sempre vai escolher um seguro total, ou seja, X = D (Dica: Você não tem que fazer conta. A conclusão vem diretamente da de…nição de aversão ao risco). Solução. (a) Caso o evento não ocorra, a riqueza futura do agente será simplesmente W

 sX .

Ou seja, sua riqueza inicial menos quanto ele gastou em seguro. Caso o evento ocorra, sua riqueza futura será W  sX  D + X . Ou seja, será igual à sua riqueza inicial menos o que ele gastou em seguro, menos os D reais que ele perde, mais os X reais que ele ganha da seguradora. Como o evento ocorre com probabilidade  , a riqueza futura do agente pode ser representada pela loteria pX :=  (W

 D + (1  s) X )  (1  ) (W  sX ) :

(b) Dado qualquer valor X , o valor esperado da loteria p X é E [ pX ] =  (W

 D + (1  s) X ) + (1  ) (W  sX ) :

Como por hipótese agora s =  , a expressão acima pode ser escrita como E [ pX ] =  (W D + (1 ) X ) + (1 ) (W X ) = W D +  (1 ) X  (1 ) X = W D:

 



 

  



Ou seja, o valor esperado de todas as loterias pX é o mesmo, independentemente do valor X: (c) Primeiro, observe que se o agente contratar um seguro total, ou seja, quando X = D , a riqueza futura do agente será igual a W D, independentemente da ocorrência ou não do evento que gera a perda dos D reais. Ou seja, contratar um seguro total é equivalente a escolher a loteria degenerada que paga o prêmio W D com probabilidade 1. Mas





a de…nição de aversão ao risco nos diz que um agente avesso ao risco sempre vai preferir receber o valor esperado de uma loteria com certeza do que …car com a própria loteria. Como todas as loterias na parte (b) têm o mesmo valor esperado, isto implica que o agente considerará a loteria p X com X = D melhor do que todas as outras. k

67 Exercício 18.4 (Demanda por Ativos de Risco). Suponha que existam dois estados possíveis da natureza, !1 ; !2 . A idéia é que no futuro um dos dois estados vai ocorrer. Suponha que a probabilidade de que ! 1 vá ocorrer seja p (!1 ) = 1=3 e a probabilidade de que ! 2 vá ocorrer seja p (!2 ) = 2=3. Suponha que a economia tenha dois ativos de risco. O primeiro ativo, A1 , paga 1 real no estado ! 1 e paga 2 reais no estado ! 2 , já o ativo A2 paga 3 reais no estado ! 1 e paga 0 reais no estado ! 2 .

f

g

(a) Suponha que os preços por unidade dos ativos A1 e A2 sejam, respectivamente, pA1 = 4=3 e pA2 = 1. Seja agora um agente com função de Bernoulli u (x) = ln x. Suponha que

tal agente tenha 2 reais para gastar entre os dois ativos descritos acima. Quanto ele compraria de cada ativo e, dado o seu portifólio, quanto seria o retorno …nanceiro do agente em cada um dos estados?

(b) Se você fez as contas corretamente, você percebeu que o portifólio escolhido pelo agente na letra (a) dá um retorno maior no estado ! 2 do que no estado ! 1 . Este resultado é intuitivo, já que o preço do ativo A 2 corresponde exatamente ao valor esperado de uma unidade de tal ativo enquanto, por outro lado, o preço do ativo A1 está mais barato

do que o valor esperado de uma unidade de tal ativo. Desta forma, é intuitivo que o agente esteja comprando relativamente mais do ativo A1 e, portanto, o seu retorno monetário seja maior no estado que é mais favorável a tal ativo. Suponha agora que o ativo A 1 também tenha um preço justo. Isto é, suponha que p A = 5=3. Calcule quanto o agente compraria de cada ativo neste caso e compute o retorno …nanceiro do agente em cada um dos estados. 1

(c) Se você fez as contas corretamente, você percebeu que no item anterior o retorno …nanceiro

do agente é o mesmo nos dois estados. Tal resultado não depende dos exatos valores utilizados na questão. Em geral, se tivermos um agente avesso ao risco, todos os ativos tiverem um preço justo e a nossa estrutura de ativos for rica o su…ciente, o agente vai escolher um portifólio que elimine a incerteza sobre os seus ganhos futuros. No exemplo aqui estudado, a riqueza da estrutura de ativos corresponde ao fato de que os dois ativos acima são negativamente correlacionados. Isto é, o ativo A1 paga mais no estado ! 2 e o ativo A2 paga mais no estado !1 . Mostre que se isto não for verdade, então não existe portifólio que elimine a incerteza sobre os ganhos monetários futuros do agente. Atenção, tal resultado é independente do fato do portifólio ser o ótimo ou não e também não depende dos preços dos ativos. O resultado é bem mais trivial, simplesmente, em tal caso, qualquer portifólio pagará mais em um estado que no outro. Solução. (a) A decisão do agente pode ser representada pelo seguinte problema de maximização: 1 2 max ln(1 A1 + 3 A2 ) + ln (2 A1 + 0 A2 ) A1 ;A2 3 3



sujeito a



4 3



 A + 1  A = 2: 1

2




68

Ou seja, o problema do agente é maximizar a utilidade esperada do seu portifólio dado que ele só tem 2 reais para gastar em ativos. Usando a restrição para eliminar A2 do problema acima nós …camos com o seguinte problema simpli…cado: 1 max ln (6 A1 3

 3A ) + 23 ln (2A ) 1

1


 6 13A

+

1

4 1 = 0: 3 2A1

Resolvendo a equação acima para A 1 nós obtemos 4 : 3

A1 =

Usando a restrição do problema original nós obtemos 2 : 9

A2 =

Dado tal portifolio o retorno …nanceiro do agente no estado ! 1 será 2 . Já no estado ! 2 o retorno do agente será 8=3. (b) Agora o problema do agente pode ser escrito como 1 2 max ln(1 A1 + 3 A2 ) + ln (2 A1 + 0 A2 ) A1 ;A2 3 3



sujeito a



5 3





 A + 1  A = 2: 1

2

Novamente, usando a restrição para eliminar A2 do problema acima nós …camos com o seguinte problema simpli…cado: 1 max ln (6 A1 3

 4A ) + 23 ln (2A ) 1

1


 43 6 14A

+

1

4 1 = 0: 3 2A1

Resolvendo a equação acima para A 1 nós obtemos A1 = 1:

Usando a restrição do problema original nós obtemos A2 =

1 : 3

Dado tal portifolio o retorno …nanceiro do agente no estado ! 1 será 2 que é o mesmo retorno que o agente terá no estado ! 2 .

69 (c) Suponha que os nossos dois ativo sejam tais que A1 paga xA1 no estado ! 1 e yA1 no estado ! 2 , com x A1 > yA1 . Suponha, também, que A 2 não seja negativamente correlacionado com A1 . Isto é, suponha que A2 pague xA2 no estado ! 1 , yA2 no estado ! 2, mas que xA2 > yA2 . Sejam agora  e  as quantidades dos ativos A1 e A2 que o agente está comprando, respectivamente. Mas então, o seu retorno no estado ! 1 será x A1 + x A2 que é obviamente maior do que yA1 +  yA2 . Ou seja, é impossível para o

agente eliminar a incerteza sobre os seus ganhos futuros, não importa quanto ele esteja disposto a pagar por isto. Apesar desta parte do exercício ser bastante trivial, ela ilustra um ponto importante. Geralmente, em situações práticas não é possível eliminar completamente a incerteza sobre os ganhos futuros. Por exemplo, todos os ativos nas bolsas de valores são pelo menos um pouco positivamente correlacionados. k

70


Capítulo 19 Teoria dos Jogos - Jogos na Forma Normal Exercício 19.1 (Jogo da Produção de Armas Nucleares). Dois países vizinhos estão considerando

a possibilidade de construir armas nucleares. Se ambos construírem armas nucleares, então a situação será ruim para os dois, já que isto implica em um alto custo …nanceiro, além do risco que um vizinho detentor de armas nucleares representa. Caso apenas um dos países construa armas nucleares, então o país construtor desfrutará de uma grande vantagem estratégica e esta acaba sendo a melhor situação possível para ele. Por outro lado, o país que não construir …cará numa situação muito ruim, já que …cará praticamente submisso ao vizinho. Esta é a pior situação possível para ele. Finalmente, se ninguém construir armas nucleares, a situação é boa para os dois, já que ambos economizam bastante dinheiro e ninguém …ca ameaçado. Mesmo assim, ambos os países prefeririam a vantagem estratégica de serem os únicos detentores da tecnologia nuclear. (a) Descreva a situação acima como um jogo matricial. Os exatos valores dos ganhos

dos jogadores não importam. Você pode colocar o que você quiser, desde que eles representem a situação acima de forma consistente. Em especial, as informações em negrito têm que estar re‡etidas no jogo que você escrever. (b) Resolva o jogo que você escreveu utilizando o conceito de solução mais simples possível.

Isto é, se o jogo for resolvível por dominância, então resolva-o por dominância. Caso o jogo não seja resolvível por dominância, então tente resolvê-lo por eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas. Caso ainda assim não seja possível resolver o jogo, então tente resolvê-lo encontrando os seus equilíbrios de Nash (em estratégias puras). Solução. (a) A situação descrita no enunciado pode ser representada pelo seguinte jogo:

País 2 País C 1 N 71

C N : 0; 0 5; 5 5; 5 2; 2





CAPÍTULO 19. TEORIA DOS JOGOS - JOGOS NA FORMA NORMAL

72

Observe que todas as informações em negrito estão re‡etidas em tal jogo. A melhor situação para um determinado país é quando este constrói armas nucleares e o seu vizinho não. A situação em que ambos constroem é pior do que quando ambos não constroem. Finalmente, a pior situação para um país é quando este não constrói armas nucleares e o seu vizinho constrói. (b) É fácil ver que no jogo acima C é uma estratégia estritamente dominante para ambos os

jogadores. Portanto, o jogo acima pode ser resolvível por dominância e a sua solução corresponde ao caso em que ambos os países constroem armas nucleares. k Exercício 19.2 (Jogo do Dinheiro Grátis). Dois agentes econômicos extremamente racionais

participam do seguinte jogo em que eles podem ganhar mais de um milhão de reais. Primeiramente, ambos os jogadores, em salas separadas, têm que escrever 1, 100, 10:000 ou 1:000:000 em folhas de papel que posteriormente são colocadas dentro de envelopes. Quando os envelopes são abertos, o jogador que escreveu o menor número recebe uma quantia, em reais, igual à soma dos dois números. O outro jogador não recebe nada. Caso ambos tenham escrito o mesmo número, então cada um recebe, em reais, exatamente o valor que cada um escreveu. Ou seja, se ambos escreverem 10:000, por exemplo, então cada jogador recebe 10:000 reais. (a) Descreva a situação acima como um jogo matricial. (b) Resolva o jogo que você escreveu na parte (a) por eliminação iterativa de estratégias

estritamente dominadas. Será que tais agentes realmente merecem a terminologia racionais? Solução. (a) A situação acima pode ser descrita pelo seguinte jogo matricial: 1 100 10:000 1:000:000 1 1; 1 101 ; 0 10:001 ; 0 1:000:001 ; 0 100 0 ; 101 100 ; 100 10:100 ; 0 1:000:100 ; 0 10:000 0 ; 10:001 0 ; 10:100 10:000 ; 10:000 1:010:000 ; 0 1:000:000 0 ; 1:000:001 0 ; 1:000:100 0 ; 1:010:000 1:000:000 ; 1:000:000

Lembre-se que por convenção o jogador 1 é quem escolhe as linhas e o jogador 2 é quem escolhe as colunas. (b) Primeiramente, observe que jogar 1:000:000 é estritamente dominada por jogar 1 , para

o jogador 1. Eliminando tal estratégia …camos com o seguinte jogo: 1 100 10:000 1:000:000 1 1 ; 1 101 ; 0 10:001 ; 0 1:000:001 ; 0 100 0 ; 101 100 ; 100 10:100 ; 0 1:000:100 ; 0 10:000 0 ; 10:001 0 ; 10:100 10:000 ; 10:000 1:010:000 ; 0

73 Mas observe que jogar 1:000:000 é também estritamente dominada por jogar 1 , para o jogador 2, no jogo acima. Eliminando-se tal estratégia o jogo reduz-se para 1 100 10:000 1 1; 1 101 ; 0 10:001 ; 0 100 0 ; 101 100 ; 100 10:100 ; 0 10:000 0 ; 10:001 0 ; 10:100 10:000 ; 10:000

Agora quem é estritamente dominada por jogar 1 , para o jogador 1, é 10:000. Tirando tal estratégia do jogo nós …camos com a matriz 1 100 10:000 1 1 ; 1 101 ; 0 10:001 ; 0 100 0 ; 101 100 ; 100 10:100 ; 0

Novamente, 10:000 é também estritamente dominada por 1 para o jogador 2, o que nos dá o seguinte jogo, ainda mais simpli…cado: 1 100 1 1 ; 1 101 ; 0 100 0 ; 101 100 ; 100

Uma análise exatamente análoga a que …zemos até agora nos permitirá eliminar as estrategias 100, para ambos os jogadores. Isto implica que o jogo acima é resolvível por eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas e a sua solução consiste dos dois jogadores jogarem 1. Observe que tal solução faz com que ambos os jogadores obtenham um ganho …nal de 1 real cada. Dado que se ambos jogassem 1:000:000 ambos teriam recebido 1:000:000 de reais, a extrema racionalidade dos dois agentes neste caso k não parece ser necessariamente um sinal de inteligência.

Exercício 19.3 (Sorveteiros em Praia Circular). Considere novamente o problema dos

sorveteiros que têm que se posicionar em uma faixa de areia. A diferença agora é que esta faixa de areia se encontra ao redor de uma lagoa circular. Suponha que o perímetro da lagoa seja 1 e que as pessoas estejam distribuídas de maneira uniforme por toda a faixa de areia. Os sorveteiros são idênticos e, portanto, as pessoas sempre compram do sorveteiro mais próximo. Caso mais de um sorveteiro estejam posicionados em uma mesma posição, as pessoas que estão mais próximas daquela posição se dividem igualmente entre todos os sorveteiros lá posicionados. (a) Suponha que apenas dois sorveteiros estejam escolhendo aonde se posicionarem na faixa

de areia ao redor da lagoa. Caracterize todos os equilíbrios de Nash deste jogo. (Dica: Você não precisa sair fazendo conta. A caracterização dos equilíbrios pode ser bem intuitiva, você pode usar …guras, etc., mas seja preciso na sua explicação. Finalmente, existe um número enorme de equilíbrios). (b) Suponha que agora tenhamos três sorveteiros escolhendo uma posição na faixa de areia.

Caracterize todos os equilíbrios de Nash do jogo agora (Dica: Novamente existirão diversos equilíbrios, mas você terá que dividí-los em duas classes. Equilíbrios em que nenhum dos sorveteiros se posiciona na mesma posição que algum outro sorveteiro e equilíbrios em que pelo menos 2 sorveteiros se posicionam em uma mesma posição).


74 Solução.

(a) Chamemos os dois sorveteiros de A e B, por exemplo. Suponha que o sorveteiro A esteja

posicionado em um lugar qualquer da faixa de areia (ver …gura abaixo).

Observe que se B se posicionar em um local diferente de A, independentemente da sua exata localização, metade das pessoas estarão mais próximas de B do que de A. Ou seja, onde quer que B se posicione este venderá sorvetes para exatamente metade das pessoas na praia. Caso B se posicione no mesmo local que A ele também vende sorvetes para exatamente metade das pessoas. Isto é, B é sempre indiferente entre todas as suas estratégias. Por simetria, exatamente a mesma coisa acontece com A. Mas então, qualquer per…l de estratégias é equilíbrio de Nash desse jogo. (b) Chamemos agora os sorveteiros de A, B e C. Suponha que A e B estejam posicionados

em locais distintos (ver …gura abaixo).

Sejam DAB e dAB os comprimentos do maior e do menor arco entre A e B, respectivamente. Se C se posicionar no menor arco entre A e B o seu ganho será dAB =2  1=4, com igualdade se e somente se dAB = DAB = 1=2. Se C se posicionar no maior arco entre A e B o seu ganho será DAB =2  1=4, com igualdade se e somente se dAB = DAB = 1=2. Já se C se posicionar na mesma posição que A ou B o seu ganho será igual a 1=4. Vemos, então, que qualquer posição no interior do maior arco que liga A e B é uma melhor resposta para C. Por simetria, a mesma coisa acontece com A e B. Nós concluímos, então, que qualquer per…l de posições em que todos os sorveteiros estejam posicionados no maior arco que liga os outros dois sorveteiros é equilíbrio de Nash do jogo acima. Por exemplo, o per…l na …gura abaixo é um equilíbrio do jogo:

Na verdade, como se posicionar no arco menor entre os outros dois sorveteiros só é melhor resposta para C quando dAB = DAB , ou seja, quando os dois arcos têm o mesmo

75 tamanho, nós vemos que todos os equilíbrios de Nash em que todos os sorveteiros escolhem posições diferentes são da forma acima. Resta testarmos equilíbrios em que 2 ou mais sorveteiros se posicionem em um mesmo lugar. Suponha que A e B estejam na mesma posição (ver …gura abaixo).

Observe que se C se posicionar em uma posição diferente de A e de B, o seu ganho será 1=2. Já se C se posicionar na mesma posição que A e B o seu ganho será 1=3. Portanto, qualquer posição diferente da de A e B é melhor resposta para C. Vejamos se existe alguma posição de C que faça com que se posicionarem em um mesmo local sejam de fato melhores respostas para A e B. Pela nossa análise acima, nós vemos que se posicionar no mesmo local que A só será uma melhor resposta para B se os dois arcos entre A e C tiverem o mesmo tamanho. Por simetria, isto também faz com que se posicionar no mesmo local que B seja uma melhor resposta para A. Nós aprendemos que os per…s de posição em que dois sorveteiros estejam em um mesmo lugar e o outro esteja na posição oposta, do outro lado da lagoa são os únicos equilíbrios de Nash do jogo em que mais de um sorveteiro …cam na mesma posição. A …gura abaixo apresenta um exemplo de tal equilíbrio.

k

76


Capítulo 20 Teoria dos Jogos - Estratégias Mistas Exercício 20.1 (Encontro em Nova Iorque). Os professores X e Y marcaram um encontro

para tomar um café na loja do Starbucks próxima a Universidade de Nova Iorque. O problema é que eles esqueceram de combinar se eles estavam falando da loja no Washington Square Park ou da loja na Broadway. Suponha ainda que eles não têm como se comunicar.20.1 Tal situação pode ser representada pela seguinte matriz de ganhos: Professor Y W B : Professor W 1; 1 0; 0 X B 0; 0 1; 1

Isto é, se ambos forem para o mesmo lugar, ambos recebem um ganho de 1. Se eles forem para lugares diferentes, ambos recebem um ganho de zero. Permitindo o uso de estratégias mistas, encontre todos os equilíbrios de Nash do jogo acima. Solução. Nós estamos interessados em resolver o jogo acima permitindo o uso de estratégias mistas. Ou seja, os conjuntos de estratégias dos dois jogadores serão AX = AY = [0; 1]. Tentemos primeiro encontrar um equilíbrio de Nash em que Professor X jogue W com probabilidade 1. Isto é, vejamos se existe um per…l de estratégias (;   ) com  = 1 que seja um equilíbrio de Nash para o jogo acima. Dado que  = 1, o ganho que Professor Y obtem com uma estratégia genérica  é dado por U Y (1;  ) =  1 + (1



  )  0 = :

Fica claro, então, que a melhor resposta para Professor Y neste caso é jogar   = 1. Veri…quemos, então, se   = 1 é uma melhor resposta para Professor X quando Professor Y joga   = 1. Com Professor Y jogando   = 1, o ganho de uma estratégia genérica  , para Professor X; pode ser escrito como U X (; 1) =  1 + (1



 )  0 = .

Fica claro que jogar   = 1 é de fato a melhor resposta para Professor X quando Professor Y joga   = 1. Nós concluímos que o per…l ( ;   ) = (1; 1) é o único equilíbrio de Nash do jogo acima em que Professor X joga W com probabilidade 1. 20.1 Este

jogo foi criado muito antes da existência do telefone celular.

77

78

CAPÍTULO 20. TEORIA DOS JOGOS - ESTRATÉGIAS MISTAS

Tentemos agora encontrar um equilíbrio de Nash em que Professor X jogue B com probabilidade 1. Ou seja, um equilíbrio ( ;  ) em que  = 0. Contra 0, o ganho de uma estratégia genérica  de Professor Y é dado por U Y (0;  ) =  0 + (1



  )  1 = 1  :

É claro que a melhor resposta para Professor Y neste caso é jogar   = 0. Resta veri…carmos se jogar  = 0 é uma melhor resposta para Professor X quando Professor Y joga   = 0. Neste caso, o ganho de uma estratégia genérica  de Professor X é dado por U X (; 0) =  0 + (1



 )  1 = 1  .

Fica evidente que jogar  = 0 é de fato a melhor resposta para Professor X . Nós concluímos que ( ;   ) = (0; 0) é o único equilíbrio de Nash do jogo acima em que Professor X joga B com probabilidade 1. Finalmente, tentemos encontrar um equilíbrio de Nash do jogo acima em que Professor X jogue uma estratégia mista não degenerada. Ou seja, um equilíbrio ( ;   ) em que 0 <  < 1 . Pela proposição que nós aprendemos nas notas de aula, nós sabemos que isto só pode acontecer se o ganho que Professor X obtem quando joga  = 1 é o mesmo que ele obtem quando joga  = 0. Em termos dos ganhos do jogo tal condição pode ser escrita como U X (1;   ) = U X (0;   )   1 + (1



  )  0

() =

  0 + (1



  )  1:

Resolvendo a equação acima nós encontramos   = 1=2. Ou seja, para que jogar uma estratégia mista não degenerada seja uma melhor resposta para Professor X é necessário que Professor Y esteja jogando cada uma de suas estratégias puras com probabilidade 1=2. Mas isto implica que um equilíbrio de Nash em que Professor X use uma estratégia mista não degenerada só pode ocorrer se Professor Y também estiver usando uma estratégia mista não degenerada. Usando novamente a proposição nas notas de aula nós aprendemos que U Y ( ; 1) = U Y ( ; 0)   1 + (1   )  0

() =

 0 + (1



 )  1:

Resolvendo a equação acima nós obtemos  = 1=2. Nós concluímos que ( ;   ) = (1=2; 1=2) é o único equilíbrio de Nash do jogo acima em que Professor X joga uma estratégia mista não degenerada. Como este era o último caso que faltava ser analisado nós concluímos que os equilíbrios de Nash do jogo acima são (1; 1) ; (0; 0) ; (1=2; 1=2) : k Exercício 20.2. Considere o seguinte jogo:

Jogador 2 E D : Jogador C 1; 1 0; 1 1 B 0; 1 2; 0

Permitindo o uso de estratégias mistas, encontre todos os equilíbrios de Nash do jogo acima.

79 Solução. Tentemos primeiro encontrar um equilíbrio em que 1 jogue C com probabilidade 1. Ou seja, um equilíbrio ( ;   ) em que   = 1. Quando o jogador 1 joga   = 1, o ganho de uma estratégica genérica  para o jogador 2 é dado por U 2 (1;  ) =  1 + (1



  )  1 = 1:

Isto é, qualquer estratégia é uma melhor resposta para o jogador 2 quando 1 joga  = 1. Tentemos, então, encontrar as estratégias   que fazem  = 1 ser uma melhor resposta para o jogador 1. Não é difícil ver que   = 1 será uma melhor resposta para o jogador 1 contra uma estratégia   se e somente se U 1 (1;   )  U 1 (0;   ) : A condição acima é equivalente a    1 + (1    )  0     0 + (1    )  2:

Isolando   na desigualdade acima nós obtemos    2=3. Ou seja, para qualquer    2=3, jogar  = 1 será uma melhor resposta para o jogador 1. Nós concluímos que todos os per…s (1;   ) com    2=3 são equilíbrios de Nash do jogo acima em que 1 joga C com probabilidade 1. Tentemos agora encontrar equilíbrios do jogo acima em que 1 jogue B com probabilidade 1. Neste caso, o ganho de uma estratégia genérica  para o jogador 2 é dado por U 2 (0;  ) =  1 + (1



  )  0:

Fica claro que a melhor resposta para 2 neste caso é jogar   = 1. Temos que conferir agora se  = 0 é uma melhor resposta para 1 quando o jogador 2 joga   = 1. Contra   = 1 o ganho de uma estratégia  genérica para o jogador 1 é dado por U 1 (; 1) =  1 + (1



 )  0:

Mas é evidente que a melhor resposta para o jogador 1 neste caso é escolher  = 1. Nós concluímos que não existe equilíbrio de Nash do jogo acima em que 1 jogue B com probabilidade 1. Finalmente, tentemos encontrar equilíbrios de Nash do jogo acima em que 1 jogue uma estratégia mista não degenerada. Ou seja, tentemos encontrar equilíbrios ( ;   ) em que 0 <  < 1 . Pela proposição nas notas de aula nós sabemos que isto só pode acontecer se U 1 (1;   ) = U 1 (0;   )    1 + (1    )  0

() =

  0 + (1



  )  2:

Resolvendo a equação acima nós encontramos   = 2=3. Ou seja, para que tenhamos um equilíbrio de Nash em que 1 joga uma estratégia mista, nós temos que ter o jogador 2 usando a estratégia mista   = 2=3. Novamente, pela proposição nas notas de aula, isto só pode ocorrer se o jogador 2 estiver indiferente entre as suas duas estratégias puras. Isto é, U 2 ( ; 1) = U 2 ( ; 0)  1 + (1



 )  1

() =

 1 + (1



 )  0:


80

Resolvendo a equação acima nós obtemos  = 1. Mas  = 1 é uma estratégia mista degenerada. Nós concluímos que o jogo acima não tem nenhum equilíbrio de Nash em que o jogador 1 jogue uma estratégia mista não degenerada. k Exercício 20.3 (Existência do Equilíbrio). Considere um jogo 2x2 genérico. Isto é, considere

um jogo representado pela seguinte matriz de ganhos: Jogador 2 Jogador C 1

B

E D : 2 1 U (C; E ) ; U (C; E ) U (C; D) ; U 2 (C; D) U 1 (B; E ) ; U 2 (B; E ) U 1 (B; D) ; U 2 (B; D) 1

(a) Suponha que o per…l (C; E ) seja um equilíbrio de Nash do jogo acima (sem o uso de

estratégias mistas). Considere agora a extensão do jogo acima para o jogo correspondente em que os jogadores podem usar estratégias mistas. Seja  a probabilidade com que o jogador 1 joga C e  a probabilidade com que o jogador 2 joga E . Argumente que o per…l ( ;   ) = (1; 1) é um equilíbrio de Nash do novo jogo, em que estratégias mistas são permitidas. (b) Suponha agora que saibamos que no jogo acima (sem o uso de estratégias mistas) jogar C seja uma melhor resposta para o jogador 1 quando 2 está jogando E . Suponha,

também, que o jogo acima não tenha nenhum equilíbrio de Nash em estratégias puras. Isto vai implicar diversas relações entre os ganhos dos agentes nas diversas situações possíveis. Por exemplo, como já sabemos que C é uma melhor resposta contra E para o jogador 1, e já que por hipótese o jogo não tem equilíbrio de Nash em estratégias puras, não pode ser verdade que E seja uma melhor resposta contra C para o jogador 2. Em termos dos ganhos da matriz acima isto equivale a dizer que U 2 (C; D) > U 2 (C; E ). Usando o mesmo tipo de raciocínio compare agora U 1 (C; D) com U 1 (B; D), depois U 2 (B; E ) com U 2 (B; D) e, …nalmente, U 1 (C; E ) com U 1 (B; E ). (c) (Esta questão é mais difícil, mas prestando atenção na dica ela é resolvível.) Usando o que você aprendeu na letra (b), mostre que existe um valor  (0; 1) tal que

2 U (C; E ) + (1   ) U (B; E ) =   U (C; D) + (1   ) U (B; D) : Similarmente, mostre que existe um valor   2 (0; 1) tal que   U (C; E ) + (1    ) U (C; D) =   U (B; E ) + (1    ) U (B; D) : 2

2

2

2

1

1

1

1

Dica: Suponha que a;b;c;d;e;f sejam números tais que a

 c = e > 0

e b

Observe que

 d = f > 0:

f e f e a+ d = c+ b: e + f e + f e + f e + f

81 (d) Argumente que ( ;   ) é um equilíbrio de Nash do jogo acima quando nós permitimos o

uso de estratégias mistas. Se você olhar com atenção você notará que a questão inteira é uma demonstração passo a passo de que jogos 2x2 sempre têm equilíbrios de Nash em estratégias mistas. Solução. (a) Como por hipótese (C; E ) é um equilíbrio de Nash do jogo em estratégias puras, nós

sabemos que U 1 (C; E )

 U (B; E )

U 2 (C; E )

 U (C; D) :

e

1

2

Considere agora o jogo em que estratégias mistas são permitidas. Observe que o ganho de uma estratégia genérica  , contra   = 1, para o jogador 1, é dado por U 1 (; 1) = U 1 (1; 1) + (1 ) U 1 (0; 1) = U 1 (C; E ) + (1 ) U 1 (B; E ) :

 

Como já sabemos que U 1 (C; E )  U 1 (B; E ), é claro que  = 1 maximiza o ganho acima.20.2 Nós concluímos que  = 1 é uma melhor resposta para 1 quando 2 está jogando   = 1. Olhemos agora para o ganho de uma estratégia genérica  , para o jogador 2, quando 1 está jogando   = 1. Tal ganho é dado por U 2 (1;  ) = U 2 (1; 1) + (1  ) U 2 (1; 0) = U 2 (C; E ) + (1  ) U 2 (C; D) :

 

Novamente, como sabemos que U 2 (C; E )  U 2 (C; D), é claro que   = 1 maximiza o ganho acima. Nós concluímos que   = 1 é uma melhor resposta para 2 quando 1 está jogando   = 1. Isto conclui a demonstração de que (1; 1) é um equilíbrio de Nash do jogo acima quando estratégias mistas são permitidas. (b) A primeira informação que a questão nos dá é que C é uma melhor resposta para 1 quando 2 joga E . Em termos dos ganhos envolvidos no jogo isto é equivalente a dizer que U 1 (C; E ) U 1 (B; E ). Como já mencionado na questão, o fato de que o jogo não tem nenhum equilíbrio de Nash em estratégias puras implica que E não pode ser uma melhor resposta para 2 quando 1 joga C . Em termos dos ganhos do jogo isto é equivalente a dizer que U 2 (C; D) > U 2 (C; E ). Nós acabamos de aprender, então, que D é uma melhor resposta para 2 quando 1 joga C . Como o jogo não tem equilíbrios de Nash, C não pode ser uma melhor resposta para 1 contra D. Ou seja, nós temos que ter U 1 (B; D) > U 1 (C; D). Isto implica que B é uma melhor resposta para 1 contra D. Novamente, o fato de que o jogo não tem equilíbrios de Nash implica que contra B a melhor resposta para 2 tem que ser jogar E . Ou seja, U 2 (B; E ) > U 2 (B; D). Como E é uma melhor resposta para 2 contra B , B não pode ser uma melhor resposta para 1 contra E . Isto implica que U 1 (C; E ) > U 1 (B; E ) :



20.2 A…nal

de contas a expressão acima nada mais é do que uma média ponderada entre U 1 (C; E ) e U 1 (B; E ). Como toda média tem que ser menor ou igual ao maior de seus termos, nós chegamos à conclusão no texto.


82

(c) Da letra (b) nós sabemos que U 2 (C; D) > U 2 (C; E ) e U 2 (B; E ) > U 2 (B; D). De…na a := U 2 (C; D), c := U 2 (C; E ), b := U 2 (B; E ), d := U 2 (B; D), e := U 2 (C; D) U 2 (C; E ) e f := U 2 (B; E ) U 2 (B; D). Observe que, por construção,





a

 c = e > 0

e b

 d = f > 0:

Mas seguindo a dica nós sabemos que


Agora de…na  :=

e observe que 1

f e + f

  = e +e f :

Substituindo as variáveis na equação acima por suas respectivas de…nições nós obtemos U 2 (C; D) + (1

2

2

2

 ) U (B; D) = U (C; E ) + (1  ) U (B; E ) :

Da letra (b) nós também sabemos que U 1 (C; E ) > U 1 (B; E ) e U 1 (B; D) > U 1 (C; D). De…na agora a := U 1 (C; E ), c := U 1 (B; E ), b := U 1 (B; D), d := U 1 (C; D), e := U 1 (C; E )  U 1 (B; E ) e f := U 1 (B; D)  U 1 (C; D). Novamente, por construção, nós temos a

e b

 c = e > 0

 d = f > 0:

Aplicando a dica novamente nós obtemos


De novo de…nindo   :=

f ; e + f

nós podemos escrever a equação acima como   U 1 (C; E ) + (1

1

1

1

  ) U (C; D) =  U (B; E ) + (1   ) U (B; D) :

(d) Olhemos primeiro para a condição envolvendo os ganhos do jogador 2. Isto é, a condição U 2 (C; D) + (1

2

2

2

 ) U (B; D) = U (C; E ) + (1  ) U (B; E ) :

83 Observe que ela pode ser escrita em termos dos ganhos que o jogador 2 obteria se ambos os jogadores estivessem jogando estratégias mistas degeneradas no jogo com estratégias mistas como  U 2 (1; 0) + (1

2

2

2

 ) U (0; 0) = U (1; 1) + (1  ) U (0; 1) :

E pode ainda ser escrita em termos dos ganhos que o jogador 2 obteria com estratégias mistas degeneradas contra a estratégia   . Isto é, U 2 ( ; 0) = U 2 ( ; 1) .

Mas isto implica que   faz o jogador 2 indiferente entre todas as suas estratégias, no jogo com estratégias mistas. De forma similar, a condição   U 1 (C; E ) + (1

1

1

1

  ) U (C; D) =  U (B; E ) + (1   ) U (B; D)

pode ser escrita como   U 1 (1; 1) + (1

1

1

1

  ) U (1; 0) =  U (0; 1) + (1   ) U (0; 0) :

E a condição acima pode ser reescrita como U 1 (1;  ) = U 1 (0;   ) :

Mais uma vez, isto implica que   faz o jogador 1 indiferente entre todas as suas estratégias. Mas então, é óbvio que  é uma melhor resposta contra   e que   é uma melhor resposta contra   . Ou seja, ( ;   ) é um equilíbrio de Nash do jogo com estratégias mistas. Nós acabamos de mostrar que um jogo 2x2 que não tem equilíbrio de Nash em estratégias puras sempre tem um equilíbrio de Nash em estratégias mistas. Como na letra (a) nós vimos que todo equilíbrio de Nash em estratégias puras gera um equilíbrio de Nash correspondente no jogo com estratégias mistas, isto prova que jogos 2x2 sempre têm equilíbrios de Nash quando permitimos o uso de estratégias mistas. É claro que nós já sabíamos que tal fato era verdade pelo teorema de Nash, mas esta é uma demonstração direta de tal fato. k

84


Capítulo 21 Teoria dos Jogos - Jogos Sequenciais Exercício 21.1 (Batalha dos Sexos Sequencial). Considere a versão sequencial do jogo

Batalha dos Sexos representada pela árvore de decisão abaixo.

Figura 21.1: Versão sequencial do jogo Batalha dos Sexos No jogo acima, Mulher primeiramente escolhe ir à danceteria ou ao bar. Após ver a escolha de Mulher, Homem decide se vai à danceteria ou ao bar. Nos nós terminais o ganho do jogador Mulher vem representado na primeira posição. Por exemplo, quando Mulher joga D e Homem toma a ação D no seu nó de decisão superior, Mulher recebe um ganho de 3 e Homem recebe um ganho de 1. (a) Represente o jogo acima na forma matricial e encontre todos os seus equilíbrios de Nash

(em estratégias puras). (b) Resolva o jogo por indução retroativa e identi…que qual dos equilíbrios encontrados na

letra (a) é perfeito em subjogos. Solução. (a) Fazendo Mulher o jogador 1 e Homem o jogador 2, o jogo acima tem a seguinte

representação matricial: D B

DD 3; 1 0; 0

DB 3; 1 1; 3

85

BD 0; 0 0; 0

BB 0; 0 1; 3

86

CAPÍTULO 21. TEORIA DOS JOGOS - JOGOS SEQUENCIAIS

Primeiro vejamos se existe algum equilíbrio em que Mulher jogue D . Quando Mulher joga D as melhores respostas para Homem são DD e DB . De fato, tanto quando Homem joga DD como quando Homem joga DB , jogar D é uma melhor resposta para Mulher. Nós concluímos que (D;DD) e (D;DB) são equilíbrios de Nash do jogo acima. Vejamos se existem equilíbrios de Nash em que Mulher joga B . Quando Mulher joga B as melhores respostas para Homem são DB e BB . Quando Homem joga BB , jogar B é de fato uma melhor resposta para Mulher, porém quando Homem joga DB a melhor resposta para Mulher é jogar D. Nós concluímos que o único equilíbrio de Nash do jogo acima em que Mulher joga B é (B;BB). Portanto, os equilíbrios de Nash do jogo acima são (D;DD), (D;DB) e (B;BB) : (b) No seu nó de decisão superior, a melhor ação para Homem é escolher D , já no seu nó de decisão inferior, a sua melhor ação é B . Isto nos dá o seguinte jogo simpli…cado após

um estágio de indução retroativa:

Figura 21.2: Jogo após um estágio de indução retroativa Mas agora é claro que a melhor ação para Mulher é D. A solução do jogo por indução retroativa é, portanto, (D;DB). Conforme já sabíamos, a solução por indução retroativa nos retorna um dos equilíbrios de Nash do jogo. k Exercício 21.2 (Barreira a Entrada). Suponha que a …rma F 2 seja monopolista em um mercado que enfrenta a ameaça da entrada de uma nova empresa F 1 . Se F 1 resolver …car de fora do mercado (estratégia F ), então F 1 recebe um ganho de 1 e F 2 recebe um ganho de 9. Caso F 1 resolva entrar no mercado (estratégia E ), então F 2 tem duas opções. Ela pode lutar com F 1 para expulsá-la do mercado (estratégia L ). Neste caso, ambas as empresas têm um alto custo e …cam com um ganho de 0. Por outro lado, F 2 pode decidir não lutar contra F 1 (estratégia N ). Neste caso ambas recebem um ganho de 2. Tal situação pode ser

caracterizada pela seguinte árvore de decisão:

87

Figura 21.3: Jogo de entrada no mercado (a) Resolva o jogo acima por indução retroativa. (b) Suponha agora que F 2 , já sabendo da possível entrada de F 1 no mercado, considere a

opção de investir imediatamente em um aumento de capacidade. Neste caso, ela incorre um custo de 3 imediatamente. Tal custo se re‡etirá nos ganhos de F 2 em todas as situações, menos no caso de uma luta pelo mercado. A idéia é que o aumento prévio de capacidade dá uma vantagem a F 2 na luta pelo mercado que compensa o seu custo. Esta nova situação pode ser representada pela seguinte árvore de decisão:

Figura 21.4: Possibilidade de investimento prévio em capacidade Resolva este novo jogo por indução retroativa. Solução. (a) Em seu único nó de decisão, é evidente que a melhor ação para F 2 é escolher N . Isto

nos dá o seguinte jogo simpli…cado após um estágio de indução retroativa:

88


Figura 21.5: Jogo de entrada no mercado após um estágio de indução retroativa Mas agora é claro que a melhor ação para F 1 é entrar no mercado. Ou seja, escolher E . A solução do jogo por indução retroativa é, portanto, (E; N ). (b) No seu nó de decisão superior a melhor ação para F 2 é L, já no inferior a melhor ação é N . Isto nos dá o seguinte jogo simpli…cado após um estágio de indução retroativa:

Figura 21.6: Jogo com possibilidade de investimento prévio após primeiro estágio de indução retroativa Agora é claro que em seu nó de decisão superior a melhor ação para F 1 é F e no nó inferior sua melhor ação é E . Isto nos dá o seguinte jogo simpli…cado após mais um estágio de indução retroativa:

89

Figura 21.7: Jogo com possibilidade de investimento prévio após segundo estágio de indução retroativa Mas neste jogo simpli…cado é evidente que a melhor ação para F 2 é fazer um investimento prévio e aumentar a sua capacidade de produção. Ou seja, escolher A. Portanto, a solução do jogo por indução retroativa é (FE;ALN ). Observe que a solução do jogo envolve a empresa F 2 investindo em uma capacidade de produção que ela nunca utiliza. A razão para isto é a vantagem estratégica que isto lhe dá e que acaba mantendo F 1 fora do mercado. k Exercício 21.3 (Jogo da Centopéia). Considere o seguinte jogo em que os jogadores alternadamente

têm que tomar a decisão de parar ou continuar.

Figura 21.8: Jogo da centopéia Resolva o jogo por indução retroativa. Solução. Em seu último nó de decisão a melhor ação para 2 é parar, ou seja, escolher P . Isto dá o seguinte jogo simpli…cado:

Figura 21.9: Jogo da centopéia após primeiro estágio de indução retroativa Agora o último a jogar é o jogador 1, mas a sua melhor ação é novamente parar. O jogo simpli…ca-se para


90

Figura 21.10: Jogo da centopéia após segundo estágio de indução retroativa Seguindo este procedimento, é fácil ver que a melhor estratégia do jogador que joga por último sempre será parar. Portanto, a solução do jogo por indução retroativa é o per…l de estratégias em que todos os jogadores decidem parar em todos os seus nós de decisão. Observe que isto dá um ganho para o jogador 1 de 1 e um ganho de 0 para o joador 2. O jogo da centopéia já foi testado extensivamente em laboratório. Na prática, o comportamento dos agentes só se parece com o descrito na solução do jogo quando o número de estágios de escolha do jogo é pequeno. A medida que a duração do jogo aumenta, as pessoas começam a deixar o jogo continuar por um certo número de períodos para só então escolher parar. k Exercício 21.4 (Divisão de Torta). Suponha que uma torta vá ser dividida entre dois

indivíduos. A divisão ocorrerá da seguinte forma. Primeiro o indivídio 1 parte a torta em dois pedaços. Posteriormente o indivíduo 2 escolhe o seu pedaço e o pedaço restante …ca para o indivíduo 1. Usando o conceito de indução retroativa de forma intuitiva, descreva todas as soluções por indução retroativa do jogo nas três situações abaixo. Quando eu escrevo de forma intuitiva isto signi…ca que você não precisa escrever a árvore de decisão do jogo nem usar matemática. Você deve explicar a sua solução apenas com palavras. (a) Suponha primeiro que a torta seja de um único sabor e ambos os indivíduos gostem do

sabor em questão. Descreva todas as soluções por indução retroativa do jogo neste caso. (b) Suponha agora que a torta seja metade de chocolate e metade de baunilha. Suponha

ainda que o indivíduo 1 só goste de chocolate e o indivíduo 2 só goste de baunilha. Suponha ainda que ao se deparar com dois pedaços com a mesma quantidade de baunilha o indivíduo 2 pre…ra aquele que tem menos quantidade de chocolate. Descreva todas as soluções por indução retroativa do jogo neste caso. (c) Suponha agora que a torta seja metade de chocolate e metade de baunilha. Suponha

ainda que o indivíduo 1 goste igualmente dos dois sabores, mas que o indivíduo 2 só goste de baunilha. Suponha ainda que ao se deparar com dois pedaços com a mesma quantidade de baunilha o indivíduo 2 pre…ra aquele que tem menos quantidade de chocolate. Descreva todas as soluções por indução retroativa do jogo neste caso. Solução. (a) Comecemos analisando a situação do …nal. Isto é, após o indivíduo 1 já haver partido

a torta. Se os dois pedaços não tiverem o mesmo tamanho o indivíduo 2 certamente escolherá o maior pedaço, o que deixará o indivíduo 1 com menos do que a metade da torta. Agora analisemos a situação do ponto de vista do indivíduo 1. Do ponto de vista do indivíduo 1, sempre que ele não partir a torta exatamente ao meio este

91 …cará com um pedaço menor do que a metade da torta. Logo, a melhor ação para o indivíduo 1 é partir a torta exatamente no meio. (b) Novamente, comecemos analisando o jogo do …nal. Como o indivíduo 2 só gosta de

baunilha, este sempre escolherá o pedaço que tem mais baunilha. Em particular, se o indivíduo 1 partir a torta separando a metade de chocolate da metade de baunilha o indivíduo 2 escolherá a metade de baunilha. Isto mostra que do ponto de vista do indivíduo 1 ele tem como obter a sua utilidade máxima no jogo, mas esta não é a única solução do jogo. Note que qualquer particionamento da torta em que a metade de chocolate …que toda em um mesmo pedaço e o pedaço sem chocolate inclua pelo menos metade da quantidade de baunilha faz com que o indivíduo 2 escolha o pedaço sem chocolate e também dá utilidade máxima ao indivíduo 1. Com qualquer outro particionamento o indivíduo 1 …cará com um pedaço que não incluirá toda a metade de chocolate e, portanto, não estará tomando uma ação ótima. Nós concluimos que as soluções por indução retroativa agora são os particionamentos em que um dos pedaços inclui toda a parte de chocolate e no máximo metade da parte de baunilha. Nestas soluções o indivíduo 2 escolherá o pedaço sem chocolate. (c) Comecemos analisando o jogo pelo …nal. Como o indivíduo 2 só gosta de baunilha, este

sempre escolherá o pedaço que tem mais baunilha. Como existe sempre um pedaço com uma quantidade de baunilha igual a pelo menos 1/4 da torta, isto garante que o indivíduo 1 nunca terminará o jogo com um pedaço maior do que 3/4 da torta. De fato, existe apenas um particionamento que faz com que o indivíduo 1 termine com um pedaço igual a 3/4 da torta. Tal particionamento consiste de um pedaço que inclui toda a parte de chocolate e metade da parte de baunilha e outro que inclui apenas metade da parte de baunilha. Observe que ao se deparar com tais pedaços o indivíduo 2 escolhe o que tem apenas baunilha. k

92


Capítulo 22 Oligopólio Exercício 22.1 (Fixação Simultânea de Preços com Custos Marginais Distintos) . Suponha

que duas empresas vendam exatamente o mesmo produto e a competição se dê através da …xação simultânea dos seus preços. A parte da demanda neste mercado é modelada por uma curva de demanda linear, ou seja, y ( p) = a

 bp:

Quando as empresas cobram preços diferentes, somente a empresa com o menor preço atende o mercado. As vendas e, consequentemente, o lucro da outra empresa são iguais a zero. No caso em que as duas empresas cobram o mesmo preço, a nossa hipótese será que somente a …rma 1 vende.22.1 Finalmente, nós assumimos que as empresas têm as seguintes funções de custo: C (y1 ) = c 1 y1

e C (y2 ) = c 2 y2 ;

em que c 2 > c1 e a=b > c2 .22.2 (a) Suponha primeiramente que a empresa 2 não exista. Ou seja, suponha que a empresa 1

seja monopolista neste mercado. Que preço ela cobrará? (b) O caso em que as duas empresas escolhem os seus preços simultaneamente pode ser

modelado como um jogo. Por simplicidade, suponha que os conjuntos de estratégias dos jogadores sejam A1 := [c1 ;a=b) e A2 := [c2 ;a=b). A interpretação aqui é que pi 2 Ai é o preço escolhido pela …rma i. Os ganhos de ambos os jogadores serão dados pelos seus lucros obtidos, de acordo com os preços escolhidos por ambas as …rmas. Seja p o preço que você encontrou na letra (a) e suponha que c2  p. Uma das empresas tem uma estratégia estritamente dominante neste caso. Qual delas e que estratégia é esta? 22.1 Esta hipótese tem que ser feita por razões técnicas.

Sem tal hipótese, razões que não são economicamente interessantes acabam fazendo com que o jogo não tenha equilíbrio de Nash. 22.2 A segunda condição garante que com um preço p = c a demanda pelo bem é estritamente positiva. 2

93

CAPÍTULO 22. OLIGOPÓLIO

94

(c) Dado o que nós aprendemos na letra (b), é possível perceber que o jogo acima tem um

número in…nito de equilíbrios de Nash que têm a mesma característica. A característica de tais equilíbrios é que apenas uma empresa venderá neste mercado. A outra empresa escolherá qualquer preço que seja superior ao cobrado pela sua concorrente. Descreva esses equilíbrios. (d) Suponha agora que c 2 < p. Agora, embora o jogo tenha um único equilíbrio de Nash, este

continua tendo a mesma característica. Ou seja, nós continuamos tendo apenas uma empresa vendendo em equilíbrio. Encontre o equilíbrio de Nash do jogo neste caso.

Solução. (a) Como sempre, o objetivo da empresa 1 é maximizar o seu lucro. Se ela é monopolista no

mercado, então ela escolherá um preço que resolva o seguinte problema de maximização: max py ( p) p

 c y ( p) 1

A condição de primeira ordem do problema acima pode ser escrita como y ( p) + py0 ( p)

 c y0 ( p) = 0: 1

Dada a forma funcional para a curva de demanda agregada que nós assumimos acima, esta condição pode ser escrita como a

 bp  bp + c b = 0: 1

Resolvendo a equação acima nós encontramos p =

a=b c 1 + : 2 2

Observe que, como a=b > c 2 > c1 , então o preço p escolhido pela …rma 1 em uma situação de monopólio é maior do que o seu custo marginal. Tal resultado, é claro, é consistente com o que aprendemos quando estudamos monopólio. (b) É fácil ver que quem tem uma estratégia estritamente dominante é a empresa 1. Tal estratégia é exatamente escolher p1 = p. Observe que, como p c2 e c2 é o mínimo preço que a empresa 2 pode cobrar, ao escolher p 1 = p a empresa 1 garante que só ela estará atuando no mercado. Como nós vimos na letra (a) que p é o nível de preços



que maximiza o lucro da …rma 1 em uma situação de monopólio, nós concluímos que escolher p1 = p também maximizará o lucro de 1 agora, independentemente do que a …rma 2 estiver fazendo.22.3 22.3 Observe

que contra qualquer estratégia da empresa 2, se a empresa 1 jogar um valor p 1 6 = p duas coisas podem acontecer. Primeiramente, pode ser que p 1 > p2 , o que daria um lucro nulo para a …rma 1. Segundo, pode ser que p 1  p2 . Neste caso só a …rma 1 vende, mas o preço p1 escolhido não é o ótimo em uma situação de monopólio. Isto implica que o lucro dela será menor do que se ela tivesse escolhido um preço igual a p:

95 (c) Como a empresa 1 tem uma estratégia estritamente dominante, ou seja, uma estratégia

que é sua única melhor resposta contra qualquer estratégia da empresa 2, é claro que qualquer equilíbrio de Nash do jogo necessariamente terá a empresa 1 escolhendo p1 = p. Como p1 = p  c2 , independentemente de sua escolha, a empresa 2 não venderá nada. Ou seja, todas as suas estratégias lhe darão um lucro nulo e, consequentemente, qualquer estratégia é uma melhor resposta para a empresa 2. Nós concluímos que todos os per…s do tipo ( p1 ; p2) em que p 1 = p e p 2 2 A2 são equilíbrios de Nash do jogo. (d) Primeiramente, é fácil ver que o jogo não pode ter nenhum equilíbrio de Nash em que p1 > p2 . Em tal situação somente a empresa 2 estará vendendo. Porém, dado A2 , nós sabemos que p 2 > c1 , o que implica que se a empresa 1 escolhesse um preço entre c1 e p2 , ela teria um lucro positivo. Nós aprendemos, então, que qualquer equilíbrio de Nash do jogo tem que satisfazer p1 p2 . Agora observe que, se p1 > c2 , então

 a empresa 2 poderia obter um lucro estritamente positivo se ela escolhesse um preço entre c e p . Ou seja, nenhum preço p  p pode ser uma melhor resposta para a 2

1

2

1

empresa 2 neste caso. Nós concluímos que o jogo não tem nenhum equilíbrio de Nash em que p1 > c2 . Vejamos se existe algum equilíbrio de Nash em que p1 < c2 . Neste caso, apenas a empresa 1 estará vendendo no mercado. Não é difícil ver que escolher um preço entre p 1 e c 2 seria mais lucrativo para a …rma 1. 22.4 Testemos agora se per…s em que p1 = c2 e p2 > p1 são equilíbrios de Nash. Com p1 = c2 , independentemente do preço escolhido pela …rma 2, ela não venderá nada. Ou seja, qualquer estratégia é uma melhor resposta para a …rma 2 neste caso. No entanto, se p2 > c2 , então a …rma 1 poderia aumentar o seu lucro se ela escolhesse um preço menor ou igual a p e entre c2 e p2 . A última opção que nos resta é testar o que aconteceria com o per…l ( p1 ; p2 ) = (c2 ; c2 ). Pela nossa discussão anterior nós já sabemos que a …rma 2 está de fato jogando uma melhor resposta. Como a …rma 1 está jogando o máximo preço que ela pode escolher antes de perder completamente o mercado e tal preço está na região em que seu lucro é uma função crescente de p1, nós notamos que ela também está jogando uma melhor resposta. Nós concluímos que ( p1 ; p2 ) = (c2; c2 ) é o único k equilíbrio de Nash do jogo neste caso. Exercício 22.2 (Cournot com Custos Fixos). Suponha que duas empresas vendam exatamente

os mesmos produtos e que a competição entre ambas se dê pela …xação simultânea das quantidades a serem produzidas. Novamente, suponha que a demanda seja representada por uma curva de demanda inversa linear, ou seja, p (y1 + y2 ) = a

 b (y + y ) : 1

2

Suponha, também, que o custo de produção de ambas as …rmas seja dado por C (yi ) = d + cyi : 22.4 Observe

que a função lucro da empresa 1, quando ela age como monopolista, é uma parábola que atinge o seu máximo em p1 = p. Portanto, para valores de p1 entre 0 e p, o lucro da empresa 1, quando ela monopoliza o mercado, é uma função crescente de p1 . Este é o argumento formal que mostra que escolher um valor p 1 < c2 não pode ser uma melhor resposta para a …rma 1.


96

(a) Suponha que as empresas paguem o custo …xo d , mesmo se decidirem não produzir. Isto é, suponha que mesmo que a empresa i escolha y i = 0, ainda assim seu custo seja dado por C (0) = d + c 0 = d. Encontre o único equilíbrio de Nash do jogo neste caso.



(b) Suponha que a = 5, b = 1, d = 2 e c = 2. Calcule o lucro que ambas as empresas

obteriam no equilíbrio acima. (c) Se você fez as contas corretamente, você notou que o lucro obtido por ambas as empresas

no equilíbrio acima foi negativo. Suponha agora que ambas as empresas tenham uma estratégia adicional de não entrar no mercado. Neste caso, elas não produzem nada, mas também não têm nenhum custo. Suponha que a empresa 2 esteja usando esta estratégia. Qual a melhor resposta para a …rma 1? (d) Mostre que, dados os valores dos parâmetros na letra (b), quando a …rma 1 produz a

quantidade que você encontrou na letra (c), a melhor resposta para a …rma 2 é realmente …car fora do mercado. Isto é, mostre que qualquer quantidade que a …rma 2 resolva produzir lhe dará um lucro negativo. Solução. (a) Suponha que a empresa 2 esteja produzindo uma quantidade genérica y 2 . Neste caso, a

melhor resposta da empresa 1 resolve o seguinte problema de maximização: max p (y1 + y2 ) y1

 d  cy

y1

1

A condição de primeira ordem do problema acima é p0 (y1 + y2 ) y1 + p (y1 + y2 ) = c: Em termos da forma funcional da curva de demanda inversa que nós assumimos acima a expressão acima pode ser reescrita como

by + a  b (y + y ) = c: 1

1

2

Isolando y 1 na equação acima nós encontramos y1 =

a

 c  y : 2

2b

2

Um raciocínio análogo nos mostra que se a …rma 1 estiver produzindo uma quantidade genérica y 1 , então a melhor resposta para a …rma 2 será y2 =

a

 c  y : 1

2b

2

As duas equações acima formam um sistema linear com duas equações e duas incógnitas. Resolvendo o sistema acima nós obtemos y1 = y 2 =

a

 c:

3b

Nós concluímos que o único equilíbrio de Nash do jogo acima é (y1 ; y2 ) =



 .

a c a c ; 3b 3b





97 (b) Dados os valores na questão nós teríamos y1 = y 2 =

5

 2 = 1: 3

Isto nos daria p = 5

 1  (1 + 1) = 3:

O lucro das duas …rmas, portanto, seria dado por  = 3 1

  2  2  1 = 1:

(c) Se a empresa 2 não está produzindo nada, então a …rma 1 é monopolista no mercado.

Ou seja, ela resolve o problema max p (y1 ) y1 y1

 d  cy

1

A condição de primeira ordem do problema acima é p0 (y1 ) y1 + p (y1 ) = c;

que pode ser reescrita como

by + a  by = c: 1

1

Resolvendo a equação acima nós obtemos y1 =

a

 c:

2b

Substituindo pelos valores dos parâmetros que nós assumimos na letra (b) nós obtemos y1 =

5 2 3 = : 2 1 2

 

Para con…rmarmos que y1 = 32 é de fato a melhor resposta para a …rma 1 neste caso, nós ainda temos que comprovar que ela é melhor do que a estratégia de …car fora do mercado. Isto é, temos que comprovar que tal escolha dá um lucro não negativo para a empresa 1. Com tal valor de y 1 nós temos p = 5

 1  32 = 72 :

O lucro da …rma 1 será dado por 1 =

7 3 2 2

  2  2  32 = 14 :

Como o lucro da …rma 1 é de fato positivo, nós concluímos que escolher y1 = melhor resposta para a …rma 1.

3 2

éa


98

(d) Suponha que a …rma 1 esteja produzindo y1 = 32 . Caso a …rma 2 resolva entrar no

mercado, o máximo lucro que ela poderá obter vem da solução do seguinte problema: max p (y1 + y2 ) y2 y2

 d  cy

2

Da parte (a) nós sabemos que a escolha ótima para a …rma 2 neste caso é y2 = = =

a

 c  y 2b 2 5  2 3=2  1

2

2

3 : 4

Tal escolha da …rma 2 implica que o preço do bem será p = 5

   3 3 + 2 4

=

11 : 4

O que daria um lucro pra …rma 2 igual a  =

11 3 4 4

  2  2  34 =  23 : 16

Como o máximo lucro que a …rma 2 pode obter é negativo, nós concluímos que a sua k melhor resposta é realmente …car fora do mercado. Exercício 22.3 (Liderança de quantidade com custo quadrático). Suponha que duas empresas produzam o mesmo produto e suas funções de custo sejam dadas por c(yi ) = yi2 . Suponha também que a demanda pelo bem y seja representada pela seguinte curva de demanda inversa: p(y1 + y2 ) = 56

 (y + y ): 1

2

Finalmente, suponha que a …rma 1 tome a sua decisão de produção antes da …rma 2. Somente após tomar conhecimento da decisão de produção da …rma 1 é que a …rma 2 decide o quanto ela vai produzir. Modele a situação acima como um jogo sequencial e encontre as quantidades que as duas …rmas vão produzir em equilíbrio usando o método de indução retroativa. Solução. O jogo é simplesmente o jogo de Stackelberg descrito nas notas de aula. A árvore de decisão do jogo pode ser representada por

99

em que 2 1

1 (y1 ; y2 ) = p(y1 + y2 )y1

y

2 (y1 ; y2 ) = p(y1 + y2 )y2

y :

e

2 2

A primeira coisa a fazer é identi…car as melhores respostas da …rma 2 quando a …rma 1 produz uma quantidade genérica y1 . Neste caso, o problema da …rma 2 pode ser escrito como: max(56 y2

2 2

 (y + y ))y  y 1

2

2

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá y2 (y1 ) =

56

y : 1

4

Após o primeiro estágio de indução retroativa o jogo é simpli…cado para

Tudo que temos que fazer agora é encontrar a quantidade ótima que a …rma 1 vai escolher. Isto é, temos que resolver o seguinte jogo: max 1 (y1 ; y2 (y1 )) = (42 y1

 3y4 )y  y 1

1

2 1

Da condição de primeira ordem do problema acima nós obtemos que y 1 = 12. Substituindo tal valor na expressão que nós encontramos para y 2 nós obtemos y 2 = 11: k

100


Capítulo 23 Economia da Informação Exercício 23.1. Considere a seguinte variação do modelo de seleção adversa que estudamos

nas notas de aula. Como nas notas de aula, existe uma certa quantidade de potenciais vendedores de carros cuja qualidade se distribui de maneira uniforme entre 0 e 1. O proprietário de um carro de qualidade q aceita vendê-lo por qualquer preço maior ou igual a q . Existe um número grande de potenciais compradores de carro. A nossa hipótese agora será que se a qualidade média (ou esperada) dos carros a venda for q , então o preço que faz o potencial comprador indiferente entre comprar ou não um carro é  q , em que 1 <  < 2 . (a) Baseado na de…nição nas notas de aula, de…na um equilíbrio competitivo para este

modelo. (b) Mostre que, independentemente do valor de  , o único equilíbrio competitivo do modelo

acima é a situação em que nenhum carro é vendido. Solução. (a) Como existe um número grande de compradores, para existir um equilíbrio os compradores

têm que ser indiferentes entre comprar e não comprar um carro. Portanto, um equilíbrio competitivo é um preço p que faz com que os compradores sejam indiferentes entre comprar e não comprar um carro. Formalmente: De…nição 23.1. Um equilíbrio competitivo é um preço p tal que a qualidade média, q , dos carros que são vendidos a um preço p satisfaça  q = p . (b) Dada a nossa hipótese de que a qualidade se distribui de maneira uniforme entre 0 e 1, se o preço de um carro é p , então a qualidade média dos carros que estão sendo vendidos é q = p=2. Portanto, para que tenhamos um equilíbrio competitivo é necessário que p  = p. 2

Como  6 = 2, o único valor de p que satisfaz a condição acima é p = 0. Sob um preço k p = 0 nenhum carro é vendido, como queríamos mostrar. 101

CAPÍTULO 23. ECONOMIA DA INFORMAÇÃO

102

Exercício 23.2 (Sinalização com custo para agente produtivo) . Considere o modelo de

sinalização que estudamos nas notas de aula. A única diferença é que agora assumiremos que o agente do tipo H também tem que pagar um custo cH para obter educação. (a) Escreva a representação matricial do jogo com esta pequena modi…cação. (b) Suponha que  H

. Mostre que neste caso a solução do jogo não se altera. Isto é, mostre que as proposições 1 e 2 nas notas de aula continuam válidas.

c

H

>  H + (1

 ) 

(c) Suponha agora que  H cH < H +(1

L

. Mostre que, independentemente de outras hipóteses, o jogo pode ser resolvido por eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas.



 ) 

L

Solução. (a) A única coisa que temos que fazer é subtrair cH do ganho de H quando este joga E .

Fora isto, a matriz do jogo é a mesma do jogo original. Ou seja, L E H N

H + (1



E ) L cH ; H + (1  H ; L cL





 )   c L

L

H + (1



N  H cH ; L ) L ; H + (1



(b) Suponha primeiro que  H +(1 ) L cL >  L . Se H jogar E , então a melhor hipótese para L é jogar E . Mas quando L joga E a melhor resposta para H é jogar N . Nós concluímos que não existe equilíbrio de Nash com H jogando E . Quando H joga N a melhor resposta para L é jogar N . Porém, dada a hipótese na questão, quando L joga N a melhor resposta para H é jogar E . Nós concluímos que também não existe equilíbrio de Nash com H jogando N . Como isto encerra todas as possibilidades, nós concluímos que o jogo não tem equilíbrio de Nash. Suponha agora que  H + (1 ) L cL L . Se L joga E , então a melhor resposta para H é jogar N . Mas quando H joga N a melhor resposta para L é jogar N . Nós concluímos que não existe equilíbrio com L jogando E . No entanto, quando L joga N , a melhor resposta de H é jogar E . Observe, também, que quando H joga E , jogar N é de fato uma melhor resposta para L. Portanto (E; N ) é um equilíbrio de Nash do jogo neste caso. Como nós já testamos todas as possibilidades, nós sabemos ainda que (E; N ) é o único equilíbrio.







 

(c) Dada a hipótese na questão, é fácil ver que jogar N é uma estratégia estritamente dominante para H . Alternativamente nós poderíamos dizer que E é uma estratégia estritamente dominada para H e, portanto, pode ser eliminada do jogo. O jogo

simpli…ca-se para L H N

E H ; L

c

L

H + (1



N ) L ; H + (1

 ) 

L

É claro que agora jogar E é estritamente dominada por N para o jogador L. Portanto, a solução do jogo por eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas é (N; N ) :

k

:

 ) 

L

103 Exercício 23.3 (Inexistência de Equilíbrio no Modelo de Filtragem) . Considere o modelo

de …ltragem que nós estudamos nas notas de aula. Lembre-se que nós mostramos que caso o modelo tenha equilíbrio, então o contrato direcionado ao trabalhador do tipo L será (wL ; tL ) = (L ; 0) e o direcionado ao trabalhador do tipo H será (wH ; tH ) = H ; H cLL .





(a) Represente tal equilíbrio gra…camente (está praticamente feito nas notas de aula). (b) Suponha que H + (1

fez na letra (a).

 ) 

L

> wH

 c

. Represente este fato no grá…co que você

H tH

(c) Mostre que se a condição em (b) for verdade, existe um tipo de contrato que uma

empresa entrante pode oferecer que atrai os dois tipos de trabalhadores e lhe dá um lucro estritamente positivo. Conclua que neste caso o modelo não tem equilíbrio. Solução. (a)

Figura 23.1: Equilíbrio

(b) Observe que ! H cH tH é exatamente o ponto em que a curva de indiferença do agente H que passa por (wH ; tH ) intercepta o eixo y . Portanto, a representação grá…ca do



fato mencionado no enunciado da questão resume-se simplesmente a


104

Figura 23.2: Candidato a equilíbrio quando  é grande. (c) Na …gura abaixo nós vemos que o contrato w; ~ t~ atrairia os dois tipos de trabalhadores. Como w~ <  H + (1 ) L , tal contrato daria um lucro estritamente positivo para

 



a …rma entrante. Como a nossa análise anterior mostrou que o único candidato a equilíbrio neste caso era o par de contratos (wL ; tL ) e (wH ; tH ), nós concluímos que neste caso o modelo não tem equilíbrio.

Figura 23.3: Contrato lucrativo para a …rma entrante.

k Exercício 23.4. Considere o modelo de perigo moral nas notas de aula. Lá nós a…rmamos

que, no caso em que o esforço não é observável e a …rma quer induzir o gerente a se esforçar, as duas restrições do problema da …rma serão satisfeitas com igualdade. Mostre isto (principalmente mostrar que a segunda restrição tem que ser satisfeita com igualdade não é tão simples. Se você preferir, você pode escrever apenas a intuição do fato, sem se preocupar muito com os detalhes). Solução. Lembre-se que o problema da …rma era e = max pe (H wH ;wL

 w

H ) + (1

 p ) (  w e

L

L)

105 sujeito a pe u (wH ) + (1 pe u (wH ) + (1

 p ) u (w e

L

 p ) u (w )  c  0 )  c  p u (w ) + (1  p ) u (w ) : e

L

e

e

n

H

n

L

 ; w ) que não satisfaça a primeira Suponha que o problema acima tenha uma solução (wH L restrição com igualdade. Ou seja, pe u (w ) + (1  pe ) u (w )  ce > 0: H

L

 e w~L = w   " para um valor Mas considere um novo contrato ( w~ H ; w~L ) em que w~H = w H L 23.1 Quando " é pequeno o su…ciente, ainda é verdade que " > 0 pequeno. pe u (w ~H ) + (1

 p ) u (w~ )  c > 0: e

L

e

Por outro lado, pe u (w~H ) + (1

 p ) u (w~ )  c e

L

e

 ) + (1 p ) u (w ) c (1 p ) (u (w ) u (w~ )) = pe u (wH e e e L L L  ) + (1 pn) u (w ) (1 pe) (u (w ) u (w~L )) pn u (wH L L   > pn u (wH ) + (1 pn ) u (wL ) (1 pn ) (u (wL ) u (w ~L )) = pn u (w~H ) + (1 pn ) u (w ~L ) :

   



      

 



Portanto, ( w~ H ; w~L ) também satisfaz a segunda restrição. Como ( w~ H ; w~L ) obviamente dá um  ; w ), nós chegamos a uma contradição. Concluímos, lucro maior para a …rma do que (wH L então, que qualquer solução do problema acima necessariamente tem que satisfazer a primeira restrição com igualdade.  ; w ) seja uma solução do problema que satisfaça a segunda Suponha agora que (wH L restrição com desigualdade, isto é suponha que pe u (w ) + (1  pe ) u (w )  ce > pn u (w ) + (1  pn ) u (w ) : H

L

H

L

Considere o seguinte par de salários: w~H = w  + (1  ) ( pe w + (1  pe ) w  ) H

H

L

e w~L = wL + (1

 ) ( p w + (1  p ) w ) ; e

e

H

L

em que  é bem próximo de 1.23.2 Com  su…cientemente próximo de 1, ainda é verdade que pe u (w~H ) + (1 23.1 A

 p ) u (w~ )  c > p u (w~ e

L

e

n

H )

+ (1

 p ) u (w~ n

L) :

intuição aqui é a seguinte. Como a primeira restrição está sendo satisfeita com desigualdade estrita, quando nós reduzimos um pouco o salário wL , esta continua sendo satisfeita. Mas agora observe que a probabilidade do gerente receber wL é maior se ele não se esforçar do que se ele se esforçar. Portanto, dimuir wL penalisa mais o lado direito da restrição de compatibilidade de incentivos do que o lado esquerdo. Assim, se aquela restrição já era satisfeita antes, com uma diminuição de w L ela é satisfeita ainda mais facilmente. 23.2 A intuição agora é uma pouco mais sutil. O contrato ( w ~ H ; w ~L ) dá ao gerente, quando ele se esforça, o     mesmo salário esperado, p e wH , do que o contrato (wH + (1  pe ) wL ; wL ). A diferença é que ( w ~ H ; w ~L ) é um       contrato menos arriscado do que (wH ; wL ). Como (w~H ; w~L ) é bem próximo de (wH ; wL ) e (wH ; wL ) satisfaz a segunda restrição com desigualdade estrita, ( w~ H ; w~L ) também satisfaz a segunda restrição com desigualdade


106

Agora observe que, como u é estritamente côncava,  + (1 ) ( pe w + (1 pe) w )) u (w~H ) = u (wH H L   > u (wH ) + (1 ) u ( pe wH + (1 pe ) wL )  ) + (1 ) [ pe u (w ) + (1 pe ) u (w )] > u (wH H L

  



 

e  + (1 pe ) w )) u (w~L ) = u (wL + (1 ) ( pe wH L   > u (wL ) + (1 ) u ( pe wH + (1 pe ) wL )  ) + (1 pe) u (w )] : > u (wL ) + (1 ) [ pe u (wH L

  



 

Mas observe que  ) + (1 pe u (wH

 ) [ p u (w ) + (1  p ) u (w )]g +  (1  p ) fu (w ) + (1  ) [ p u (w ) + (1  p ) u (w )]g f

e

e

e

L

e

H

L

e

H

 ) + (1 = p e u (wH

L

 p ) u (w ) : e

L

Mas então, pe u (w~H ) + (1

 p ) u (w~ )  c e

L

e

 ) + (1 > pe u (wH 0:



 p ) u (w )  c e

L

e

Ou seja, o contrato (w~H ; w~L ) satisfaz as duas restrições do problema com desigualdade estrita. Portanto, se de…nirmos um novo contrato (w^H ; w^L ) = ( w~ H  "; w~L  "), para " pequeno o su…ciente, ainda será verdade que (w^H ; w^L ) satisfará as duas restrições do problema. Mas observe que pe ^ wH + (1

 p ) w^ e

L

= pe ~ wH + (1  + (1 = pe wH

 p ) w~  "  p ) w  ": e

L

e

L

Mas isto implica que o lucro da …rma com (w^H ; w^L ) é maior do que o lucro da …rma com  ; w ), o que é uma contradição. Nós concluímos que qualquer solução do problema acima (wH L também tem que satisfazer a segunda restrição com igualdade. k Exercício 23.5 (Perigo Moral com gerente neutro ao risco). Considere novamente o modelo de perigo moral que estudamos nas notas de aula, mas agora suponha que a função u do gerente é dada simplesmente por u (w) = w . Ou seja, o gerente também é neutro ao risco. estrita. Como o gerente é estritamente avesso ao risco, ele considera (w~H ; w~L ) estritamente melhor do que     (wH ; wL ). Já que (wH ; wL ) satisfaz a primeira restrição, nós aprendemos que (w ~H ; w ~L ) satisfaz a primeira restrição com desigualdade estrita. Como (w~ H ; w~L ) satisfaz as duas restrições do problema com desigualdade estrita, nós podemos reduzir um pouco w~H e w~L que continuaremos satisfazendo ambas as restrições. Mas   tal contrato geraria um salário esperado menor do que pe wH , o que implica que o lucro da + (1  pe ) wL   …rma seria maior em tal caso. Isto contradiz o fato de que (wH ; wL ) é uma solução para o problema da …rma. Nós concluímos que qualquer solução para o problema da …rma tem que satisfazer a segunda restrição com igualdade.

107 (a) Considere primeiro o caso em que o esforço é observável. Argumente que, tanto no caso

em que a empresa quer induzir o gerente a se esforçar, quanto no caso em que ela não quer, o problema da …rma tem in…nitas soluções, todas elas dando o mesmo lucro esperado para a …rma, é claro. (b) Suponha que no caso em que o esforço é observável, a melhor opção para a …rma seja

contratar o gerente e exigir que ele se esforce. Considere agora o caso em que a …rma não pode observar o esforço, mas ela quer induzir o gerente a se esforçar. Uma das soluções do problema da …rma no caso em que o esforço é observável ainda é uma solução para o problema agora. A solução admite a seguinte interpretação: A …rma vende o projeto para o gerente e deixa ele tomar a decisão de se esforçar ou não. Escreva os detalhes desta solução (Dica1: Vender o projeto para o gerente simplesmente signi…ca que o lucro da …rma será constante, independentemente de o projeto ter lucro alto ou baixo. Dica2: Você não tem que fazer conta. Por favor, nada de Lagrangeano nem coisas do gênero. Apenas use a única solução do caso com esforço observável que dá um lucro constante para a …rma.). Solução. (a) O problema da …rma quando ela quer que o gerente se esforce é e = max pe (H

 w

wH ;wL

H )

+ (1

 p ) (  w e

L)

L

sujeito a pe (wH

 c ) + (1  p ) (w  c )  0: e

e

L

e

Novamente, é óbvio que qualquer solução para o problema acima tem que satisfazer a restrição com igualdade. Ou seja, qualquer possível solução para o problema acima tem que satisfazer pe (wH

ou, equivalentemente,

 c ) + (1  p ) (w  c ) = 0; e

e

pe wH + (1

L

e

 p ) w e

L = c e :

(23.1)

Mas observe que o lucro da …rma com qualquer contrato que satisfaça a condição acima é e = pe (H wH ) + (1 pe ) (L = pe H + (1 pe ) L ce :



 



w

L)

Ou seja, ele independe dos exatos valores de wH e wL . Nós concluímos que qualquer contrato que satisfaça (23.1) é solução para o problema da …rma neste caso. Uma análise absolutamente similar mostra que qualquer contrato que satisfaça pn wH + (1

 p ) w n

L =

0

resolve o problema da …rma quando ela não quer que o gerente se esforce.


108

(b) Seguindo a dica, vamos primeiro identi…car a única solução do caso em que o esforço

é observável que dá um lucro constante para a …rma. Isto é, queremos identi…car os valores de w H e w L que satisfazem H

 w

H

=  L

w : L

Como adicionalmente nós já sabemos que w L e w H têm que satisfazer pe wH + (1

 p ) w e

L = c e ;

nós …camos com um sistema linear simples para resolver. Resolvendo o sistema acima nós obtemos w = c e  pe (H  L ) L

e

 = c + (1 wH e

 p ) (   e

H

L) :

 como Observe que nós podemos reescrever w L e w H wL =  L



e

e  =  wH H

  ; e

em que  e = p e H + (1  pe)  L  ce é o lucro que a …rma obtém quando ela induz o esforço no caso observável. Observe que tal representação dos salários está de acordo com a interpretação do comportamento da …rma descrita no enunciado da questão. Por construção, nós já sabemos que o contrato acima satisfaz a restrição de participação do problema da …rma quando ela quer induzir o esforço.23.3 Precisamos mostrar agora que tal contrato satisfaz a restrição de compatibilidade de incentivos. Lembre-se que, por hipótese, o lucro da …rma é maior, no caso de esforço observável, quando a …rma exige que o gerente se esforce. Matematicamente isto signi…ca que pe  H + (1

 p )   c  p  e

L

e

n H +

(1

 p )  n

L:

Agora observe que  + (1 pe wH

 p ) w  c e

L

e

= pe H + (1 pe ) L e pn H + (1 pn ) L e  + (1 pn) w : = pn wH L



  

 c 

e

Portanto a restrição de compatibilidade de incentivos também é satisfeita. Como o contrato acima resolvia o problema da …rma mesmo quando o esforço era observável, ou seja, com uma restrição a menos, ele também tem que ser solução para o problema agora. k 23.3 A…nal

de contas, esta restrição também estava presente quando o esforço era observável.

109 Exercício 23.6. Um investidor está pensando em comprar um campo de petróleo. A probabilidade de que existam 20 barris de petróleo no campo é igual a 1=3, a probabilidade de que existam 40 é também 1=3. Por …m, novamente com probabilidade igual a 1=3 pode ser que existam 120 barris de petróleo no campo. O dono atual do campo de petróleo poderia obter um lucro

de 1 real por barril. Ou seja, se o campo tivesse 40 barris o seu lucro seria de 40 reais. O investidor é um produtor mais e…ciente e conseguiria obter um lucro de 1,50 reais por barril caso este comprasse o campo. Ou seja, se o campo tivesse 40 barris ele obteria um lucro de 60 reais. O dono do campo fez uma pesquisa intensa e sabe exatamente quantos barris existem lá, mas o investidor não sabe. O investidor é neutro ao risco, ou seja, sua única preocupação é maximizar o seu lucro esperado. Seja p o preço pelo qual o campo de petróleo está sendo vendido. Além disto, suponha que se o dono do campo de petróleo fosse indiferente entre vender ou não vender o campo pelo preço p, então ele venderia. Qual o máximo valor de p pelo qual um investidor inteiramente racional aceitaria comprar o campo? Solução. O segredo aqui é perceber que o problema é uma questão de seleção adversa. Primeiro observe que caso o dono do campo de petróleo soubesse que o número de barris ali fosse 120, ele só aceitaria vender o campo por um preço maior ou igual a 120 reais. Mas suponha que o campo esteja sendo vendido por um preço maior ou igual a 120 reais. Neste caso o investidor sabe que existe uma probabilidade igual a um terço de que o campo contenha 20, 40 ou 120 barris. Mas então o seu lucro esperado será 1 1 180 + 3 3 = 90 p < 0:

 =

 60 + 13  30  p

 

Ou seja, quando p  120 o investidor espera ter um lucro negativo com o campo de petróleo e, portanto, não o compraria. Com um preço p < 120 , o investidor sabe que se o dono está aceitando vender o campo de petróleo, então este não tem 120 barris. Se p  40, então o dono do campo aceitaria vendê-lo caso ele tivesse 20 ou 40 barris. Como as probabilidades iniciais de haver 20 ou 40 barris eram iguais, ao aprender que não existe mais a possibilidade da existência de 120 barris o investidor conclui que agora as probabilidades de haver 20 ou 40 barris são ambas iguais a 1/2. Sob tais probabilidades o lucro esperado pelo investidor com a compra do campo é 1 1 60 + 2 2 = 45 p:

 =

 

 30  p

Portanto, para p  45 o lucro do investidor seria positivo e de fato 45 é o maior valor para o qual isto ocorreria. k

110


Capítulo 24 Externalidades e Bens Públicos Exercício 24.1. Suponha que dois agentes estão decidindo o quão rápido dirigir. O agente i escolhe a velocidade x i e recebe utilidade u (xi) por isto. Por hipótese, u 0 (xi ) > 0 e u 00 (xi ) < 0. Contudo, quanto mais rápido os agentes dirigirem, maior é a probabilidade de eles terem

um acidente. Suponha que os agentes podem escolher apenas velocidades entre 0 e 1/2. Neste caso, a probabilidade de um acidente será dada por p (x1 ; x2 ) = x1 + x2 . Para completar a descrição das utilidades dos agentes, suponha que em caso de acidente o agente i tenha um prejuízo ci > 0. Finalmente, a nossa hipótese é que os agentes maximizam a sua utilidade esperada e que as suas funções de utilidade (Bernoulli) são quasi-lineares em relação ao dinheiro. Isto é, a utilidade do agente i é dada por U i (x1 ; x2 ) = p (x1 ; x2 ) (u (xi ) ci ) + (1 = u (xi ) p (x1 ; x2 ) ci :





 p (x ; x )) u (x ) 1

2

i

(a) Encontre as condições que caracterizam as velocidades que maximizam a soma das

utilidades dos dois agentes (velocidades e…cientes). (b) A situação acima está no formato de um jogo em que as estratégias dos jogadores é escolher xi . Encontre as condições que caracterizam um equilíbrio de Nash para tal

jogo e mostre que os jogadores dirigirão mais rápido do que as velocidades e…cientes.

(c) Suponha agora que em caso de acidente o agente i receba uma multa t i : De quanto deve

ser a multa cobrada de cada agente para que eles escolham os níveis de velocidade e…cientes?

Solução. (a) Para responder a questão temos que resolver o seguinte problema: max u (x1 ) + u (x2 ) x1 ;x2

 (x + x ) (c + c ) 1

2

1

2

Das condições de primeira ordem do problema acima nós aprendemos que as velocidades e…cientes serão caracterizadas pelas condições u0 (xe ) = (c1 + c2 ) 1

111

CAPÍTULO 24. EXTERNALIDADES E BENS PÚBLICOS

112 e

u0 (xe2 ) = (c1 + c2 ) : (b) Quando o jogador 2 joga uma velocidade x 2 , a melhor resposta para o jogador 1 resolve

o seguinte problema:

max u (x1 ) x1

 (x + x ) c : 1

2

1

A condição de primeira ordem do problema acima é u0 (x1 ) = c 1 :

Similarmente, quando o jogador 1 joga uma velocidade x1 , a melhor resposta para o jogador 2 resolve o seguinte problema: max u (x2 ) x2

 (x + x ) c : 1

2

2

A condição de primeira ordem do problema acima é u0 (x2 ) = c 2 :

Na verdade, ambos os jogadores têm estratégias estritamente dominantes neste jogo. Porém, para nós o que realmente importa é que o único equilíbrio de Nash do jogo será caracterizado pelas condições u0 (x) = c 1 1

e u0 (x2 ) = c 2 :

Mas observe que u0 (xi ) = c i < c1 + c2 = u 0 (xei ) :

Como u é uma função estritamente côncava, ou seja, u0 é uma função estritamente decrescente, nós concluímos que x i > x ei: (c) O problema do agente i no caso em que ele tem que pagar uma multa ti em caso de

acidente torna-se

max u (xi ) xi

 (x + x ) (c + t ) 1

2

i

i

A condição de primeira ordem do problema acima é u0 (xi ) = c i + ti .

Fica claro, então, que as multas que fazem com que os agentes escolham as velocidades ótimas são t1 = c 2 e t 2 = c 1 : k

113 Exercício 24.2. Suponha que uma …rma produza um determinado produto x que é vendido por um preço p. Ao produzir x a …rma gera uma externalidade negativa h. O custo de produção da …rma é representado por uma função c (x; h), em que cx (x; h) =

dc (x; h) > 0 dx

ch (x; h) =

dc (x; h) < 0 . dh

e

A externalidade afeta um único consumidor cuja utilidade é dada por w   (h), em que w é a riqueza do consumidor, que nós consideraremos aqui como …xa. (a) Como a função de utilidade do consumidor é linear em relação a sua renda, o conceito

apropriado para determinar os níveis socialmente ótimos de produção neste caso é maximizar a soma da utilidade do consumidor mais o lucro da …rma. Escreva tal problema de maximização e determine as condições de primeira ordem que caracterizam sua solução. (b) Escreva o problema da …rma quando ela tem como objetivo maximizar o seu lucro e

encontre as condições de primeira ordem que caracterizam a solução de tal problema. (c) Suponha agora que o governo queira colocar um imposto sobre o nível de produção do bem x. Mostre que com tal tipo de imposto não é possível fazer com que a …rma produza as quantidades e…cientes de x e h. Mostre que com um imposto diretamente sobre a produção de h isto é possível. (d) Mostre, no entanto, que se h for sempre produzido como uma proporção …xa de x , isto é, h (x) = x , para algum  > 0 , então um imposto sobre a produção de x pode restituir

a e…ciência. Solução. (a) O problema de maximização que caracteriza os níveis de produção e…cientes é max px x;h

 c (x; h) + w   (h)

As condições de primeira ordem do problema acima são p = c x (x; h)

e ch (x; h) =

0 (h) :

(b) O problema da …rma é max px x;h

 c (x; h)


e 0 = c h (x; h) :


114

(c) Com um imposto sobre a produção de x , o problema da …rma torna-se max ( p x;h

 t) x  c (x; h)

As condições de primeira ordem do problema acima são p

 t = c (x; h) x

e 0 = c h (x; h) :

Como tal imposto não afeta a condição de primeira ordem em relação a produção da externalidade, em geral não é possível corrigir os problemas de ine…ciência com tal tipo de imposto. Quando colocamos um imposto diretamente sobre a produção da externalidade o problema da …rma torna-se max px x;h

 c (x; h)  th


e

t = c (x; h) h

Portanto, se t =  0 (he ), em que h e é o nível de produção de externalidade e…ciente, a …rma produzirá as quantidades e…cientes. (d) Primeiramente, no caso em que h é sempre uma proporção de x o problema que

caracteriza e…ciência é max px x

 c (x;x) + w   (x)


p = c 1 (x;x) + c2 (x;x) + 0 (x) :

Já o problema de maximização de lucro da …rma torna-se max px x

 c (x;x)

A condição de primeira ordem do problema acima é p = c 1 (x;x) + c2 (x;x) :

Finalmente, o problema da …rma com um imposto sobre o nível de produção de x é max ( p x

 t) x  c (x;x)

A condição de primeira ordem do problema acima é p

 t = c (x;x) + c (x;x) : 1

2

Portanto, se t =  0 (xe ), em que xe é o nível de produção e…ciente, a …rma escolherá produzir a quantidade e…ciente. k

115 Exercício 24.3 (competição x cooperação). Um dono de restaurante pode escolher entre dois

esquemas de incentivos para gerenciar os seus dois garçons. Ele pode dividir as mesas entre os garçons de modo que cada um deles atenda somente às mesas que lhe são designadas, ou ele pode permitir que ambos cooperem e atendam a todas as mesas. No primeiro caso, quando o primeiro garçom coloca um esforço x e o segundo um esforço y , o lucro do estabelecimento é igual a 10x+10y. Além disto, o primeiro garçom recebe uma grati…cação igual a 101  10x = x e o segundo recebe uma grati…cação igual a 101  10y = y . Ou seja, ambos os garçons recebem uma grati…cação igual a 10% do que eles venderam. No segundo caso, quando os garçons cooperam, existe uma externalidade positiva entre eles e o lucro do estabelecimento acaba sendo igual a 10x + 10y + 10xy, em que  é um parâmetro. Neste caso, cada garçom recebe uma grati…cação igual a 5% do lucro do estabelecimento. Ou seja, a grati…cação de cada garçom é dada por 201 (10x + 10y + 10xy) = x+y+xy . Finalmente, em ambos os casos, 2 quando o primeiro garçon faz um esforço x, este paga um custo igual a x2 . Similarmente, quando o segundo garçon faz um esforço y este paga um custo igual a y 2. A utilidade de cada garçon é dada pela diferença entre o que ele recebe de grati…cação e o custo que ele paga pelo esforço. Ou seja, no primeiro caso a utilidade do primeiro garçom é x  x2 e no segundo é x+y+xy  x2. A utilidade do segundo garçom tem um formato análogo. 2 (a) Suponha que o dono do restaurante implemente o primeiro esquema de incentivos.

Quanto cada garçom se esforçará e qual será o lucro do restaurante neste caso? (b) Suponha agora que o dono do restaurante implemente o segundo esquema de incentivos. Quanto cada garçom se esforçará agora? Calcule o lucro do restaurante para  = 0; 1 e 2, e diga que esquema de incentivos é melhor (do ponto de vista do dono do

restaurante) em cada caso (Dica: A situação agora é estratégica e vocês já sabem que tipo de ferramenta tem que ser usada para modelar situações estratégicas). Solução. (a) O problema de maximização de utilidade do primeiro garçom é max x x

2

x

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá x = 1=2. O problema do segundo garçom é análogo e nós também obtemos y = 1=2. O lucro do restaurante, antes do desconto das grati…cações dos garçons, é 10x + 10y = 10.24.1 (b) Quando o dono do restaurante implementa o segundo esquema de incentivos a situação

se torna estratégica e tem que ser modelada como um jogo. Tentemos encontrar os equilíbrios de Nash do jogo em que os garçons escolhem quanto esforço fazer. Se o garçom 2 estiver fazendo um esforço genérico y o esforço ótimo do garçom 1 resolve max x

24.1 O

x + y + xy 2

2

x

lucro após o pagamento das grati…cações dos garçons será igual a 9.


116

A condição de primeira ordem do problema acima pode ser escrita como x =

1 + y : 4

O problema do segundo garçom é análogo e, portanto, a escolha ótima do segundo garçom quando o primeiro faz um esforço x satisfaz y =

1 + x : 4

Um equilíbrio de Nash para o jogo acima é um par (x ; y ) que satisfaz as duas equações acima simultaneamente. Resolvendo o sistema acima nós obtemos x = y = 41  . Com 2 tais níveis de esforço o lucro do restaurante é  = 10 42  +  41  .24.2 Quando e, …nalmente,  = 0 a expressão acima nos dá  = 5. Quando  = 1 nós temos  = 70 9 quando  = 2 nós temos  = 15. Nos dois primeiros casos o primeiro esquema de incentivos é melhor e quando  = 2 o segundo esquema de incentivos é melhor. k



 

Exercício 24.4 (Provimento de bem público). Suponha que dois países vizinhos estejam decidindo o quanto investir em um determinado bem público G. As funções de utilidade dos países são dadas por U (xi ; G) := xi + 2 G, em que x i é o quanto o país i gasta em consumo privado e G := g1 +g2 é a soma das contribuições dos dois países para o bem público. Suponha que o país 1 tenha uma renda igual a w 1 e o país 2 tenha uma renda igual a w2. Nós temos que ter wi = xi + gi , para i = 1; 2.

p

(a) Calcule a quantidade e…ciente de investimento agregado no bem público. Isto é, a

quantidade que maximiza a soma das utilidades dos dois países. Atenção! Existem várias combinações de g1 e g2 que estão relacionadas a alocações e…cientes, mas a soma g 1 + g2 é a mesma em todas elas. (b) Suponha agora que os dois países estejam agindo de forma não coordenada. Quanto será produzido do bem público? Agora, várias combinações de g1 e g2 serão equilíbrios de Nash do jogo, mas em todos esses equilíbrios a soma g1 + g2 é a mesma.

Solução. (a) Note que nós sempre temos que ter x i = w i

 g , portanto, o problema de maximização da soma das utilidades dos países pode ser escrito como p p max w  g + 2 g + g + w  g + 2 g + g g1 ;g2

1

1

1

i

2

2

2

1

2

As condições de primeira ordem do problema acima são: g1 :

p g 2 + g

2

g2 :

p g 2 + g

2

1

1

24.2 Este

=1

()

g1 + g2 = 4

=1

()

g1 + g2 = 4:

é o lucro antes do pagamento da grati…cação dos garçons. O lucro após o pagamento das

grati…cações será 9



  2

2 4

+

1

4

.

117 As condições acima nos mostram que qualquer combinação de g1 e g2 tal que g1 +g2 = 4 maximiza a soma das utilidades dos países. (b) Suponha que o país 2 esteja fornecendo uma quantidade g2 do bem público. A melhor

resposta do país 1 neste caso resolve o seguinte problema: max w1 g1

 g + 2p g + g 1

1

2

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá g1 = 1  g2 : Similarmente, quando o país 1 está produzindo uma quantidade genérica g1 do bem público, a melhor resposta do país 2 é produzir uma quantidade g2 = 1  g1 . Isto mostra que os equilíbrios de Nash do jogo são as combinações de g 1 e g 2 tais que g 1 + g2 = 1: k

118


Capítulo 25 Implementação de Projeto Público Exercício 25.1. Considere o seguinte problema. Uma associação de moradores está estudando se constrói ou não uma ponte. O custo de construção da ponte é c > 0. Cada um dos N moradores associa à ponte um valor vi > 0. Embora a associação de moradores não tenha como descobrir os v i ’s dos diversos moradores, ela sabe que só é socialmente desejável construir a ponte se N c. Além disto, a associação não conta com recursos externos, i=1 vi

P



portanto, caso a opção seja por construir a ponte, os recursos têm que vir dos próprios moradores. O problema da associação é desenvolver um mecanismo que a permita descobrir se N i=1 vi  c e além disto pague os custos da ponte caso a opção seja por construí-la.

P

(a) Considere o seguinte mecanismo. Cada jogador anuncia um valor si . Caso N c i=1 si a ponte é construída e cada indivíduo i contribui com exatamente si . Discuta por que

P



tal mecanismo não é muito bom. Como os moradores se comportariam diante de tal mecanismo?

(b) Considere um outro mecanismo, então. Cada jogador anuncia um valor si . Caso N c . c a ponte é construída e cada indivíduo i contribui com exatamente N i=1 si

P



Discuta por que tal mecanismo não é muito bom. Como os moradores se comportariam diante de tal mecanismo?

(c) Finalmente, considere o mecanismo de Clarke. Cada jogador anuncia um valor s i . Caso N c . Além disto, os c a ponte é construída e cada indivíduo i contribui com N i=1 si

P



indivíduos pivotais pagam uma multa caso a ponte seja construída ou não. De…namos primeiro o que é um indivíduo pivotal. Dado um anúncio s i do jogador i, nós de…nimos o benefício líquido anunciado pelo jogador i como s~i = s i  N c . Observe que dizer que N N si  0. Isto motiva a seguinte de…nição: i=1 si  c é o mesmo que dizer que i=1 ~

P

P

N De…nição 25.1. O indivíduo i é dito pivotal se j 6=i ~ s j 0 e j=1 ~ s j < 0 ou j 6=i ~ s j < N 0 e j=1 ~ s j 0. Intuitivamente, i é pivotal se o seu anúncio muda a opinião social a

P



respeito da ponte.

P



P

P 

P

Caso o indivíduo i seja pivotal, ele paga uma multa ti = j 6=i ~s j . Observe que mesmo quando a ponte não é construída um indivíduo pivotal tem que pagar multa. Mostre 119

CAPÍTULO 25. IMPLEMENTAÇÃO DE PROJETO PÚBLICO

120

que ao se deparar com tal mecanismo, anunciar um valor si = vi é uma estratégia fracamente dominante para o jogador i. Isto é, independentemente do anúncio dos outros indivíduos, se i anunciar si = v i o seu ganho é garantidamente maior ou igual ao ganho que ele teria se anunciasse qualquer outro valor si : (d) Mostre que o mecanismo é superavitário. Isto é, mostre que a soma do valor dos pagamentos de todos os agentes é maior ou igual a c, no caso em que a ponte é

construída, e é maior ou igual a zero, no caso em que a ponte não é construída. Note que as duas desigualdades anteriores podem ser estritas, dependendo do caso. (e) Argumente que a alocação …nal obtida por tal mecanismo não é e…ciente no sentido de

Pareto, mas a medida que o número de indivíduos aumenta este problema torna-se menor, podendo até mesmo desaparecer. Solução. (a) O problema com tal mecanismo é que o quanto o morador i paga pela construção da

ponte é uma função direta do seu anúncio. Por causa disto, é de se esperar que os moradores anunciem valores menores do que o valor que eles realmente atribuem à ponte. Eles fazem isto na esperança de que as constribuições dos outros moradores já sejam su…cientes para a construção da ponte. É o velho problema do carona. Os moradores tentam pegar carona na contribuição dos outros. Tudo isto fará com que em certas situações em que é socialmente vantajoso construir a ponte esta não seja construída. (b) Na verdade, agora o problema é exatamente o contrário do que ocorria na situação

anterior. Note que agora o anúncio de cada morador só afeta a probabilidade da ponte ser construída ou não, mas não muda o quanto este teria que pagar no caso da construção da ponte. Considere um indivíduo i tal que v i < N c . Para este indivíduo a construção da ponte é um mal negócio, portanto, ele vai fazer tudo ao seu alcance para impedir a construção da mesma. Como a única coisa que ele pode fazer é anunciar si , ele anunciará o menor si possível. Digamos si = 0. Por outro lado, considere um indivíduo c . Para este indivíduo a construção da ponte é um bom negócio, j tal que v j > N portanto, ele vai fazer tudo ao seu alcance para que esta seja construída. No caso, ele anunciará o maior valor s j possível. Não é difícil imaginar que tais considerações, em muitos casos, levarão a ine…ciências. Ou a ponte será construída quando não é socialmente ótimo fazê-lo ou a ponte não será construída quando na verdade seria melhor socialmente construí-la. (c) Observe, primeiramente, que em qualquer situação o anúncio si do indivíduo i não afeta diretamente o valor do seu pagamento.25.1 O único efeito do anúncio si é fazer o indivíduo i pivotal ou não. Mais precisamente, dado j 6=i ~s j , só existem dois possíveis ganhos para o jogador i, um ganho no caso de ele ser pivotal e outro no caso de ele não ser pivotal. Estas observações facilitam a nossa comparação do ganho que i obteria

P

25.1 Note

que t i =

P  ~ s j6 =i j

. Ou seja, o valor s i não entra no cálculo de t i :

121 anunciando s i = v i com os outros possíveis, anúncios, já que só precisamos olhar para uma comparação. Precisamos analisar 4 casos. Comecemos com o caso j6=i ~s j  0 e j 6=i ~s j +vi  N c < 0. Neste caso, quando i anuncia si = vi , i é pivotal, a ponte não é construída e seu ganho é dado por

P

t = i

X 

P

s~ j :

j =i

6 Pela discussão anterior, nós sabemos que só precisamos comparar o ganho acima com o ganho que i obtém quando este não é pivotal. Neste caso a ponte é construída e o ganho de i é c vi  . N

Mas por hipótese,

c < 0 N

X  () X   s~ j + vi

j =i

6

s~ j > v i

j =i

c : N

6 Portanto, escolher s i = v i é realmente uma melhor escolha para i neste caso.

Suponha agora que j 6=i ~s j  0 e j 6=i ~s j + vi  N c  0. Neste caso, quando i anuncia si = v i , i é não é pivotal, a ponte é construída e seu ganho é dado por

P

P

vi

 N c :

Por outro lado, se i anunciasse um valor que o …zesse ser pivotal a ponte não seria construída e o seu ganho seria

t = i

Mas por hipótese,

X

X 

s~ j + vi

j =i

6

s~ j :

j =i

6

 N c  0

() c  v  N i

X

s~ j :

j =i

6 Portanto, escolher s i = v i é realmente uma melhor escolha para i neste caso.

Agora consire o caso em que j 6=i ~s j < 0 e j 6=i ~s j + vi  N c < 0. Neste caso, quando i anuncia s i = v i , i não é pivotal, a ponte não é construída e o seu ganho é igual a 0. Por outro lado, se i anunciar um valor que o faça pivotal o seu ganho é

P

P

X j =i

6

s~ j + vi

 N c .

CAPÍTULO 25. IMPLEMENTAÇÃO DE PROJETO PÚBLICO

122

Como, por hipótese, este ganho é menor do que 0, nós concluímos que anunciar si = v i é realmente uma melhor escolha para i neste caso. Finalmente, considere o caso em que j 6=i ~s j < 0 e j6=i ~s j + vi  N c  0. Neste caso, anunciar si = vi faz i pivotal e implica na construção da ponte. O seu ganho é dado por

P

X j =i

s~ j + vi

P

 N c :

6 Por hipótese, este ganho é maior ou igual a 0 que seria o ganho de i caso este …zesse um anúncio que não o tornasse pivotal. Nós novamente concluímos que anunciar si = vi é uma melhor escolha para i neste caso. Como este era o último caso que faltava ser testado, nós concluímos que anunciar s i = v i é de fato fracamente dominante para i . c (d) Se a ponte é construída todos os agentes pagam N e, além disto, os agentes pivotais pagam mais a multa ti . Como a soma das parcelas N c já cobre o custo da ponte, o

pagamento adicional feito pelos possíveis indivíduos pivotais torna a arrecadação com o mecanismo potencialmente superior aos custos. Se a ponte não for construída não existe custo algum e os moradores não têm que pagar as parcelas N c . Mas mesmo neste caso os possíveis indivíduos pivotais ainda têm que pagar multa, o que novamente torna a arrecadação com o mecanismo potencialmente superior aos custos, que neste caso são iguais a zero.

(e) No mecanismo, o incentivo para as pessoas anunciarem o seu verdadeiro valor vem das

multas que estas têm que pagar caso sejam pivotais. Como vimos acima, isto faz com que potencialmente o valor dos pagamentos supere o custo total da ponte. Por esta razão, embora o mecanismo gere a escolha socialmente e…ciente relativamente a construir ou não a ponte, a alocação …nal não é necessariamente e…ciente, já que um pouco de dinheiro pode estar sendo descartado. Com um número grande de indivíduos a probabilidade de que alguém seja pivotal diminui bastante. Na verdade, na maioria das vezes, com um número grande de indivíduos é provável que ninguém seja pivotal. Como somente indivíduos pivotais pagam multa, com um número grande de indivíduos é provável que o mecanismo gere uma alocação e…ciente.25.2 k

25.2 Isto

não signi…ca que o mecanismo é perfeito. Na verdade, a análise feita aqui ignora um problema grave com relação à implementação de mecanismos na prática. No nosso exemplo nós estamos assumindo que todas as pessoas são obrigadas a participar do mecanismo, mas na vida real garantir isto pode ser complicado. Nem todos os moradores precisam ser membros da associação e, mesmo se todos forem, pode ser difícil forçar uma pessoa que não tem interesse na construção da ponte a participar do mecanismo. Para levar em conta tal complicação prática nós precisaríamos incorporar uma restrição de participação ao nosso mecanismo, mas agora nós já estamos nos distanciando muito dos nossos modestos objetivos aqui. Vocês estudarão tais considerações mais a fundo se algum dia …zerem um curso de desenho de mecanismos.

Parte II Provas Antigas

123

Capítulo 26 Primeiro Semestre de 2009 26.1

Primeira Prova

Questão 26.1.1. Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as funções de 1 2 utilidade dos consumidores são dadas por U A (x1A ; x2A ) = (x1A ) 3 (x2A ) 3 e U B (x1B ; x2B ) = 1 max(x1B ; x2B ). Suponha que as dotações iniciais dos consumidores são (wA ; wA2 ) = (1; 1) e (wB1 ; wB2 ) = (1; 0). (a) Dado um vetor de preços genérico ( p1 ; p2 ), escreva e resolva o problema do consumidor A para encontrar a sua função demanda. O consumidor A é o nosso velho amigo

Cobb-Douglas, portanto, se você já tiver a sua função demanda na memória, você pode escrevê-la diretamente. Eu não faço questão que você faça as contas. Mas não esqueça de escrever o problema do consumidor. (0.5 pontos). (b) Dado um vetor de preços genérico ( p1 ; p2 ), escreva e resolva o problema do consumidor B para encontrar a sua função demanda.(Use apenas lógica, matemática não será de

nenhuma utilidade aqui) (1 ponto). (c) Encontre o único equilíbrio competitivo desta economia. Isto é, encontre o vetor de

preços e a alocação que constituem um equilíbrio competitivo para esta economia (1.5 pontos). Solução. (a) O problema do consumidor A pode ser escrito como: max

(x1A ;x2A )

x1A

1 3

x2A

  

2 3

sujeito a p1 x1A + p2 x2A x1A ; x2A

125

 

p1 + p2 0:26.1

CAPÍTULO 26. PRIMEIRO SEMESTRE DE 2009

126

Nós sabemos que um consumidor Cobb-Douglas como o acima vai gastar 1=3 da sua renda com o bem 1 e 2=3 com o bem 2. Ou seja, x1A =

1 p1 + p2 2 p + p2 e x 2A = 1 : 3 p1 3 p2

(b) O problema do consumidor B pode ser escrito como: max max x1B ; x2B (x1B ;x2B )

 

sujeito a

p1 x1B + p2 x2B x1B ; x2B

 

p1 0:

A primeira coisa que podemos observar no problema acima é que obviamente o consumidor irá gastar toda a sua renda em apenas um dos bens. Mais precisamente, ele gastará toda a sua renda no bem mais barato. Se os dois bens tiverem o mesmo preço, então ele é indiferente entre gastar toda a sua renda com o bem 1 ou com o bem 2, mas observe que mesmo neste caso ele só consumirá um dos bens. Isto nos dá a seguinte função demanda para o consumidor B : x1B = 1 e x 2B = 0; se p 2 > p1 ; p1 x1B = 0 e x 2B = ; se p 1 > p2 ; p2 1 2 xB = 1 e x B = 0, ou, x 1B = 0 e x 2B = 1, se p 1 = p2 : (c) Primeiramente, sabemos que apenas preços relativos são determinados no equilíbrio.

Portanto, é conveniente escolhermos o preço de um dos bens como numerário. Aqui eu farei p1 = 1. Agora temos 3 casos a considerar. Primeiro temos que tentar achar um equilíbrio em que p 2 > 1 . Neste caso a condição de equilíbrio de mercado para o bem 1 torna-se: 1 1 + p2 + 1 = 2: 3 1

Isolando p 2 na equação acima nós obtemos p2 = 2:

De fato, então, temos um equilíbrio competitivo neste caso. Precisamos, ainda, explicitar que alocação faz parte de tal equilíbrio. Da função demanda do consumidor A, nós vemos que para o presente vetor de preços nós temos: x1A = 1 e x 2A = 1. 26.1 Se você escreveu o problema do consumidor já de forma simpli…cada, sem a restrição de não negatividade

do consumo e com a restrição orçamentária em igualdade, não se preocupe, você não perderá pontos por isto.

26.1. PRIMEIRA PROVA

127

Da função demanda do consumidor B nós vemos que x1B = 1 e x 2B = 0.

Observe que a alocação acima é de fato factível. A questão já nos disse que tal economia só tem um equilíbrio competitivo, portanto nós poderíamos parar por aqui. De qualquer forma, vamos testar os outros casos para garantir. Vamos checar agora se existe um equilíbrio em que p2 < 1 . Neste caso nós temos x1B = 0 e a condição de equilíbrio de mercado para o bem 1 pode ser escrita como: 1 1 + p2 + 0 = 2: 3 1

Isolando p 2 na equação acima nós obtemos p2 = 5:

Ou seja, ao tentarmos equilibrar o mercado para o bem 1 nós obtemos um valor de p2 que é maior do que 1. Nós concluímos que não existe equilíbrio competitivo neste caso. Finalmente, vamos testar se existe equilíbrio com p2 = 1. Agora nós temos duas opções. Nós podemos usar x1B = 1 e x2B = 0 como solução para o problema do consumidor 2, ou podemos usar x1B = 0 e x2B = 1. Se usarmos a primeira opção, quando tentarmos equilibrar o mercado para o bem 1 estaremos na primeira situação discutida acima, o que nos daria p2 = 2. Se usarmos a segunda opção, então estaremos na segunda situação acima, o que nos daria p2 = 5. Ou seja, também não existe k equilíbrio competitivo neste caso. Questão 26.1.2. Suponha que a …rma F produza um determinado bem y e que a sua função



 y:

(a) Suponha primeiro que o mercado para o bem y seja competitivo. Calcule o preço e a quantidade produzida do bem y neste caso (1 ponto). (b) Suponha agora que a …rma F aja como monopolista. Calcule o preço cobrado e a

quantidade produzida neste caso (1 ponto). (c) (Um pouco mais difícil, pode ser uma boa idéia deixar este item para o …nal.) Suponha

agora que o governo, na tentativa de eliminar a ine…ciência do monopólio, implemente o seguinte esquema de imposto e subsídio. Primeiramente, o governo subsidiará uma fração t dos custos da …rma. Ou seja, se a …rma tiver um custo de produção total igual a x, ela receberá tx do governo. Juntamente com isto, o governo cobrará um imposto sobre os lucros da …rma. Tal imposto será uma fração do lucro total da …rma. Isto é, se a …rma tiver um lucro , ela terá de pagar s de imposto. Atenção, o lucro da


128

…rma será dado pela receita que ela obtém com a venda do bem y, menos o custo de produção da …rma, mais o valor do subsídio recebido pela …rma. Calcule os valores de t e s que satisfazem as seguintes condições: (i) Com tais valores de t e s, a …rma produz a quantidade e…ciente, ou seja, a mesma quantidade produzida na letra (a). (ii) O esquema é balanceado, isto é, a quantidade total paga à …rma em forma de subsídio deve ser igual à quantidade recebida da …rma na forma de imposto (2 pontos). Solução. (a) Em um mercado competitivo a …rma comporta-se como tomadora de preços. Neste caso

o problema da …rma pode ser escrito como max py y

y

2

A condição de primeira ordem do problema acima é simplesmente p

 2y = 0;

o que nos dá a condição y = p=2. Substituindo tal condição na expressão para a curva de demanda inversa nós obtemos p p = 2

 2:

Resolvendo a equação acima para p nós obtemos p = 4=3. Consequentemente, o nível de produção neste caso será y = 2=3: (b) O problema de uma …rma monopolista pode ser escrito como max (2

 y) y  y

2


 4y = 0:

O que nos dá um nível de produção y = 1=2. Substituindo tal valor na curva de demanda inversa nós obtemos p = 3=2: (c) O problema da …rma neste caso pode ser escrito como max (1 y



 s) (2  y) y  (1  t) y

2



Uma forma de resolver o problema acima seria primeiramente observar que o valor de y que resolve tal problema também resolve o problema



max (2 y

 y) y  (1  t) y

2



Aqui nós não vamos fazer tal observação e vamos simplesmente calcular a condição de primeira ordem do problema original. Tal condição vai ser dada por (1

 s) [2  2y  2 (1  t) y] = 0:


129

É fácil agora ver que o termo (1  s) de fato é irrelevante para a solução do problema. Ou seja, o nível de produção escolhido pela …rma vai satisfazer a condição 2

 2y  2 (1  t) y = 0:

Lembre-se que queremos descobrir o valor do subsídio t que faz com que a …rma produza a mesma quantidade que ocorreria em uma situação competitiva. O melhor a fazer, então, é susbtituir o valor y = 2=3 na expressão acima e resolvê-la para encontrar o valor de t . Fazendo isto nós obtemos a equação 2

 2 23  2 (1  t) 23 = 0;

que resolvida para t nos dá t = 1=2. Ou seja, para fazer com que a …rma produza a quantidade e…ciente o governo tem que subsidiar 50% do custo de produção da …rma. Como a …rma produz y = 2=3 neste caso, o governo gasta 2



1 2

2 3

=

2 9

em subsídios à …rma. O imposto s é cobrado sobre o lucro da …rma. Com tal nível de produção, o preço cobrado pela …rma é p = 4=3, o que dá um lucro, antes do imposto, igual a 2

    

42  = 33 2 = : 3

1

1 2

2 3

Portanto, o valor de s que zera os gastos do governo com a …rma resolve a equação 2 2 s = ; 3 9

o que nos dá s = 1=3:

k

Questão 26.1.3. Suponha que estejamos em uma situação com 3 alternativas sociais, x;y;z e 3 agentes A;B;C que têm preferências estritas sobre as alternativas x, y e z . O

f

f

g

g

nosso objetivo é escolher uma das alternativas acima com o intuito de fazer o melhor para a sociedade. Lembre-se do método que nós discutimos na lista de exercícios. Primeiro, escolha um par de alternativas e realize uma votação entre os agentes. Feito isto, pegue a alternativa vencedora na votação anterior e realize uma nova votação contra a alternativa que …cou de fora da primeira votação. A alternativa vencedora desta última votação será a escolha social. Lembre-se, também, que dado o per…l de preferências que tínhamos na lista de exercícios, tal procedimento era totalmente manipulável. Ou seja, se nós alterássemos a ordem das votações nós podíamos alterar a escolha …nal. Considere agora o seguinte per…l de preferências: A y x z

B x y z

C z x y


130

Ou seja, o agente A considera y  x  z , o agente B considera x  y  z e o agente C considera z  x  y. (a) O procedimento descrito acima é também manipulável para o presente per…l de preferências?

Fundamente bem a sua resposta, ou seja, teste todas as ordens de votação possíveis (são apenas três) e mostre se a escolha social muda ou não de acordo com a ordem (0.5 pontos). (b) O per…l de preferências acima satisfaz uma propriedade especial. Existe uma ordenação

das alternativas sociais para qual as preferências de todos os agentes têm pico único. Dada uma ordenação de alternativas, digamos [y;x;z], nós dizemos que uma preferência % têm pico único em relação a tal ordenação se não é verdade que y  x e z  x. Ou seja, uma preferência tem pico único em relação a uma dada ordenação se a alternativa do meio, de acordo com a ordenação, não é a pior de todas. Observe que, no per…l acima, as preferências de todos os agentes têm pico único em relação à ordenação [y;x;z]. Dê um exemplo de outro per…l de preferências em que as preferências de todos os agentes têm pico único em relação a alguma ordenação das alternativas. Escreva o exemplo e mostre que ele tem pico único. Um exemplo correto sem explicação não valerá nada. (1 ponto). (c) Suponha que tenhamos um per…l de preferências em que as preferências dos 3 agentes tenham pico único em relação à ordenação [x;y;z]. Suponha, também, que saibamos que numa votação entre x e y , o vencedor é x. Mostre que, se aplicarmos o procedimento

de votações dois a dois descrito no enunciado da questão, independentemente da ordem de votação, a escolha social será sempre x (Dica: Use o enunciado do problema para descobrir as preferências de 2 agentes na economia. A partir daí o resto é fácil) (1.5 pontos). Solução. (a) Comecemos com uma votação entre x e y . Neste caso x vence por 2 a 1. Fazendo agora uma votação entre x e z , vemos que novamente x vence por 2 a 1 e, portanto, x seria a escolha social neste caso. Comecemos agora com uma votação entre x e z . Neste caso x vence por 2 a 1. Se …zermos agora uma votação entre x e y , novamente x vence por 2 a 1 e, portanto, x é a escolha social. Finalmente, comecemos com uma votação entre y e z . Neste caso y vence por 2 a 1. Mas se …zermos agora uma votação entre y e x, x é quem vence por 2 a 1 e, novamente, x é a escolha social. Veri…camos, então, que em todos os casos possíveis a escolha social foi x . Com tal per…l de preferências o

procedimento de votações 2 a 2 não é manipulável. (b) Esta questão é praticamente um presente. No enunciado da questão nós já temos um

per…l de preferências de pico único. Nós não podemos usar o mesmo per…l, mas nada impede que nós simplesmente troquemos os nomes das alternativas. Uma opção é trocar x por y no exemplo acima. Isto é, onde estiver escrito x, escreva y e onde estiver


131

escrito y , escreva x . Isto nos dá o seguinte per…l de preferências: A x y z

B y x z

C z : y x

Que tem pico único em relação à ordenação [x;y;z]. Uma outra possibilidade, também trivial, seria simplesmente construir um per…l em que todos os agentes têm a mesma preferência. Por exemplo, considere o per…l A x y z

B x y z

C x : y z

Todas as preferências neste per…l têm pico único em relação a qualquer ordenação em que o elemento do meio seja x ou y . Por exemplo, [y;x;z] ou [z ; y ; x]. (c) A questão agora fala de um per…l de preferências, mas não nos diz exatamente que per…l

é este. Nós só sabemos que todas as preferências no per…l têm pico único em relação à ordenação [x;y;z] e que em uma votação entre x e y o vencedor é x. A dica nos diz que estas informações são su…cientes para descobrirmos as preferências de 2 agentes neste per…l. Vamos tentar descobrí-las, então. Sabemos que x vence y em uma votação. Isto signi…ca que para pelo menos dois agentes, digamos A e B , nós temos x  A y e x B y. Olhemos para a preferência do agente A agora. Como ela tem pico único em relação à ordenação [x;y;z], o agente A não pode considerar y a pior alternativa de todas. Tentemos encaixar z na preferência do agente A , então. Tentemos primeiro colocar z acima de x . Isto nos daria a seguinte preferência para o agente A : A z : x y

Mas neste caso y seria a pior alternativa, o que nós já vimos que não pode ser verdade. Tentemos, então, colocar z entre x e y . Ou seja, considere a seguinte preferência para o agente A : A x : z y

Mas novamente y seria a pior alternativa neste caso. Vemos que o único lugar em que podemos colocar z é abaixo de y . Ou seja, nós vemos que a única preferência possível para o agente A é A x : y z


132

O mesmo raciocínio nos permite concluir que a preferência do agente B também é dada por B x : y z

Nós não temos nenhuma informação sobre a preferência do agente C , mas nós já aprendemos que para dois dos agentes x é a melhor alternativa de todas. Não é difícil ver que isto implica que, independentemente da ordem de votação, x será sempre a escolha social. A…nal de contas, para qualquer ordem, eventualmente você terá que fazer uma votação de x contra y ou contra z . Se esta votação estiver ocorrendo na primeira rodada, então a alternativa x vai para a rodada …nal aonde ela vai vencer novamente. Se esta votação já estiver ocorrendo na rodada …nal, então x a vencerá e será a escolha social. k

26.2

Segunda Prova

Questão 26.2.1. Considere o seguinte jogo sequencial:

Figura 26.1: Nos nós terminais, o primeiro valor se refere ao ganho do jogador 1 e o segundo ao ganho do jogador 2. Resolva o jogo acima por indução retroativa (2 pontos). Solução. No jogo acima o jogador 2 é o último a jogar. Em seu nó de decisão superior o jogador 2 recebe um ganho de 2 se ele tomar a ação E e recebe um ganho de zero se ele tomar a ação D. Logo, a melhor escolha para 2 no nó superior é E . Já no nó inferior, o jogador 2 recebe um ganho de 9 se tomar a ação E e um ganho de 6 se tomar a ação D. Portanto, novamente sua melhor ação é E . Isto nos dá o seguinte jogo reduzido após um estágio de indução retroativa:

26.2. SEGUNDA PROVA

133

No jogo reduzido acima o jogador 1 tem a opção de jogar C e receber um ganho de 2, ou jogar B e receber um ganho de 1. É claro que a sua melhor opção é jogar C . Portanto, a solução por indução retroativa do jogo acima é (C;EE ). Ou seja, a estratégia do jogador 1 é jogar C e a estratégia do jogador 2 é jogar E nos seus dois nós de decisão. k Questão 26.2.2. Suponha que duas empresas, F 1 e F 2 , vendam exatamente o mesmo produto

e que a competição entre ambas se dê pela …xação simultânea das suas quantidades a serem produzidas. Suponha que a parte da demanda nesta economia seja representada pela seguinte curva de demanda inversa: p (y1 + y2 ) = 5

 (y + y ) : 1

2

Suponha, também, que o custo de produção da …rma 1 seja dado por C (y1 ) = y 1

e o da …rma 2 seja dado por C (y2 ) = 4y2 :

A situação acima pode ser representada por um jogo. Os conjuntos de estratégias de ambos os jogadores são dados por A 1 = A 2 = [0; 1), em que uma estratégia y i 2 Ai é simplesmente a quantidade que a …rma F i decide produzir. Os ganhos dos jogadores serão dados pelos seus lucros, dadas as escolhas de produção de ambos. (a) Suponha que a empresa F 2 esteja produzindo uma quantidade y 2 = 0. Calcule a melhor resposta da …rma F 1 para tal estratégia da …rma F 2. Compute também o preço que o nível de produção escolhido pela …rma F 1 implica neste caso (2 pontos). (b) Suponha que a …rma F 1 esteja produzindo a quantidade que você encontrou na letra (a). Argumente que neste caso a única melhor resposta para a …rma F 2 é realmente produzir

zero. Ou seja, argumente que qualquer outro nível de produção daria um lucro negativo para a …rma F 2 (2 pontos).

Solução. (a) Como sempre, o objetivo da …rma F 1 é maximizar o seu lucro. Dado que a …rma F 2 não está produzindo nada, a melhor resposta da …rma F 1 resolve o seguinte problema de

maximização:

max p (y1 + 0) y1 y1

y

1


134

A condição de primeira ordem do problema acima é p0 (y1 + 0) y1 + p (y1 + 0) = 1:

Usando a forma funcional que nós assumimos para a função de demanda inversa, a equação acima pode ser escrita como

y + 5  y = 1: 1

1

Resolvendo a equação acima nós obtemos y1 = 2. Portanto, se a …rma F 2 não estiver produzindo nada, a melhor coisa que a …rma F 1 tem a fazer é produzir 2 unidades do produto. Dada a curva de demanda inversa acima, isto implica em um preço dado por p = 5

 2 = 3:

(b) Observe que quando a …rma F 1 produz y 1 = 2, dada a curva de demanda inversa acima, o máximo preço será 3 e tal preço só ocorre se F 2 não produzir nada. Se F 2 resolver

produzir alguma coisa o preço será ainda menor. Mas mesmo um preço igual a 3 já é menor do que o custo marginal de F 2 , que é igual a 4. Isto implica que se F 2 resolver produzir uma quantidade estritamente positiva do bem o seu lucro será necessariamente negativo. Alternativamente, se você preferir fazer contas, você poderia resolver a questão assim. O lucro de F 2 é dado por 2 (y1 ; y2 ) = = = = =

 2 (2; y2 ) p (2 + y2 ) y2 4y2 (5 2 y2 ) y2 4y2 y2 (5 2 y2 4) y2 ( 1 y2 ) :



        Obviamente, para qualquer número positivo y , y (1  y ) é um número negativo. Portanto, qualquer quantidade que F resolva produzir lhe dará um lucro negativo. k 2

2

2

2

Questão 26.2.3. Considere o seguinte jogo em forma matricial:




 



Encontre todos os equilíbrios de Nash em estratégias mistas para o jogo acima. Atenção, o raciocínio para chegar ao resultado é mais importante do que o resultado em si. Apenas escrever os equilíbrios sem uma explicação convincente não vale nada (2 pontos). Solução. Na verdade, o jogo acima é exatamente o jogo de par ou ímpar que estudamos nas notas de aula. Tudo que eu …z foi multiplicar o ganho do jogador 1 em todas as situações por

26.2. SEGUNDA PROVA

135

2. Como vamos ver abaixo, isto não altera em nada a solução do jogo.26.2 Sejam  2 [0; 1] as estratégias do jogador 1 e  2 [0; 1] as do jogador 2, conforme o nosso roteiro usual de solução, tentemos primeiro encontrar um equilíbrio de Nash (;   ) em que  = 1. Se  = 1, o ganho de uma estratégia  genérica do jogador 2 é dado por U 2 (1;  ) =  ( 1) + (1



  )  1.

É claro que a única melhor resposta para o jogador 2 neste caso é  = 0 . Portanto, se existe um equilíbrio de Nash em que  = 1, este tem que ser ( ;   ) = (1; 0). Mas observe que, se 2 está jogando   = 0, então o ganho de uma estratégia  genérica do jogador 1 é dado por U 1 (; 0) =  ( 2) + (1



 )  2:

Mas é óbvio que a única melhor resposta para 1 neste caso é jogar  = 0. Portanto, o per…l (1; 0) não é um equilíbrio de Nash e nós concluímos que o jogo não tem nenhum equilíbrio de Nash em que 1 jogue  = 1. Tentemos agora encontrar um equilíbrio de Nash ( ;   ) em que   = 0. Neste caso, o ganho de uma estratégia  genérica para 2 é dado por U 2 (0;  ) =  1 + (1



  )  (1) :

É evidente que a única melhor resposta para 2 neste caso é jogar  = 1 . Portanto, se existir um equilíbrio de Nash em que  = 0, este equilíbrio tem que ser ( ;   ) = (0; 1). No entanto, quando 2 joga   = 1 o ganho de uma estratégia genérica  para o jogador 1 é dado por U 1 (; 1) =  2 + (1



 )  (2) :

Mas é evidente que a única melhor resposta para 1 neste caso é jogar  = 1. Portanto o per…l (0; 1) não é um equilíbrio de Nash do jogo e nós concluímos que o jogo não tem nenhum equilíbrio de Nash em que  = 0. Só nos resta agora tentar encontrar um equilíbrio de Nash ( ;   ) em que 0 <  < 1 . Pela proposição que aprendemos nas notas de aula, nós sabemos que tal estratégia  só pode ser uma melhor resposta contra   (independentemente de quem seja   ) se U 1 (1;   ) = U 1 (0;   ) : Em termos dos ganhos no nosso jogo a condição acima pode ser escrita como   2 + (1



  )  (2) =    (2) + (1   )  2:

Resolvendo a equação acima nós obtemos   = 1=2. Portanto, em um equilíbrio de Nash com 0 <  < 1, o jogador 2 tem que estar jogando   = 1=2. Mas observe que 0 <   < 1. Como   também tem que ser uma melhor resposta contra   , novamente, pela proposição nas notas de aula, nós temos que ter. U 2 ( ; 1) = U 2 (; 0) : 26.2 Este

é um resultado geral. Em qualquer jogo, se você multiplicar os ganhos de um jogador por uma constante positiva, a solução do jogo não se altera. Isto está relacionado com o fato de que se você multiplicar uma representação por utilidade esperada de uma preferência por uma constante positiva você obtém outra representação por utilidade esperada da mesma preferência.


136

Em termos dos ganhos no nosso jogo a condição acima pode ser escrita como  ( 1) + (1



 )  1 =   1 + (1  )  (1) :

Resolvendo a equação acima nós obtemos  = 1=2. Portanto,  = 1=2 faz com que qualquer estratégia do jogador 2 seja uma melhor resposta para ele e   = 1=2 faz com que qualquer estratégia do jogador 1 seja uma melhor resposta para ele. Logo  = 1=2 é uma melhor resposta contra   = 1=2 e   = 1=2 é uma melhor resposta contra  = 1=2. Nós concluímos que (1=2; 1=2) é um equilíbrio de Nash para o jogo acima. Como nós já testamos todas as possibilidades, este na verdade é o único equilíbrio do jogo. k Questão 26.2.4 (Minimizar a probabilidade de obter a consequência mais odiada.). Seja X um conjunto …nito de alternativas e, como …zemos nas notas de aula, de…na  (X ) como o conjunto de loterias sobre X . Considere o seguinte exemplo de preferências sobre loterias: Existe uma consequência x X que o agente detesta. Ao comparar duas loterias, o agente sempre prefere aquela em que a probabilidade de obter x  é menor. Formalmente, para duas loterias p e q quaisquer, p % q p (x ) q (x ) :

2

()



Mostre que tal relação de preferências satisfaz Independência e a propriedade Arquimediana. A dica, é claro, é a mesma da lista de exercícios. Não tente demonstrar isto diretamente, use o teorema da utilidade esperada (2 pontos). Solução. Dado o Teorema da Utilidade Esperada, tudo o que temos que fazer é encontrar uma representação por utilidade esperada para a preferência acima. Isto é, nós precisamos encontrar uma função de Bernoulli u sobre X tal que para quaisquer duas loterias p e q , p % q

()

X

p (x) u (x)

x X

2



X

q (x) u (x) :

x X

2

Mas observe que se nós de…nirmos u como u (x ) = 1 e u (x) = 0 se x 6 = x , então, para qualquer loteria p; p (x) u (x) =  p (x) : x2X Mas então,

X

X

p (x) u (x)

x X

2

X 

q (x) u (x)

x X

2

()  p (x)  q (x) ()

p (x )

 q (x) :

Ou seja, tal função de Bernoulli nos dá uma representação por utilidade esperada da preferência acima. Pelo Teorema da Utilidade Esperada, isto nos garante que a preferência acima satisfaz k Independência e a propriedade Arquimediana.

26.3

Terceira Prova

Questão 26.3.1. Considere o modelo de perigo moral que estudamos nas notas de aula. Ou

seja, suponha que uma …rma queira contratar um gerente para a realização de um projeto.

26.3. TERCEIRA PROVA

137

O retorno do projeto pode ser alto, H = 3 ou baixo, L = 1. O gerente tem a opção de se esforçar ou não. Quando o gerente se esforça a probabilidade do retorno do projeto ser alto é pe = 2=3, quando ele não se esforça a probabilidade do retorno ser alto é apenas pn = 1=3. Quando o gerente se esforça ele incorre em um custo c e = 1=3. A …rma oferecerá um contrato de trabalho, (wH ; wL ) ; que estipula o salário do gerente no caso de um retorno alto e de um retorno baixo. O objetivo da …rma é maximizar o seu lucro esperado. Isto é, maximizar p i (H  wH )+(1  pi ) (L  wL ) em que i = e ou n , dependendo de o gerente se esforçar ou não. Para completar, suponha que o gerente é neutro ao risco. Ou seja, quando ele se esforça a sua utilidade é dada por U e (wH ; wL ) = pe wH + (1  pe ) wL  ce e no caso em que ele não se esforça é dada por U n (wH ; wL ) = p nwH + (1  pn ) wL . (a) Suponha primeiro que o esforço seja observável. Escreva e resolva os problemas da …rma

quando ela exige que o gerente se esforce e quando ela não exige. Calcule o lucro obtido pela …rma nos dois casos (Dica: Ambos os problemas têm in…nitas soluções, portanto o trabalho aqui é identi…car a condição que caracteriza todas as soluções do problema da …rma) (1,5 pontos). (b) Suponha agora que o esforço não seja observável. Qual o contrato ótimo para a …rma

neste caso? Tal contrato fará com que o gerente se esforce ou não? (Explique bem o raciocínio da sua solução) (1,5 pontos). Solução. (a) Quando a …rma quer que o gerente se esforce o seu problema pode ser escrito como e = max pe (H wH ;wL

 w

H )

+ (1

 p ) (  w e

L)

L

sujeito a pe wH + (1

 p ) w  c  0: e

L

e

Obviamente, qualquer solução do problema acima tem que satisfazer a restrição com igualdade.26.3 Mas então o problema acima simpli…ca-se para e = max pe (H wH ;wL

 w

H )

+ (1

 p ) (  w e

L)

L


 p ) w e

L = c e :

Mas observe que o lucro da …rma com qualquer par de contratos que satisfaz a restrição acima é e = pe (H wH ) + (1 pe ) (L = pe H + (1 pe ) L ce :





 

w

L)

Ou seja, o lucro da …rma não depende dos exatos valores de wH e wL , desde que estes satisfaçam a restrição do problema com igualdade. Portanto, qualquer contrato 26.3 Ver

notas de aula e lista de exercícios.


138

(wH ; wL ) que satisfaça a restrição com igualdade é solução para o problema da …rma

neste caso. O lucro da …rma com tal tipo de contrato é dado por e = pe H + (1 pe ) L 2 1 1 = 3+ 1 3 3 3 = 2:

  



c

e

Se a …rma não quiser que o gerente se esforce o seu problema é n = max pn (H

 w

wH ;wL

H ) + (1

 p ) (  w ) n

L

L

sujeito a pn wH + (1

 p ) w  0: n

L

Um raciocínio exatamente análogo ao caso anterior mostra que qualquer contrato que satisfaça pn wH + (1

 p ) w n

L =

0

é solução para o problema da …rma agora. O lucro da …rma com tal tipo de contrato é dado por n = pn ( H wH ) + (1 pn ) (L = pn H + (1 pn )  L 1 2 = 3+ 1 3 3 5 = : 3







 

w

L)

(b) Da letra (a) nós vemos que o máximo lucro que a …rma pode esperar obter agora é 2, já

que o lucro no caso de esforço não observável não pode ser superior ao lucro no caso de esforço observável. Da lista de exercícios, nós sabemos que com um gerente neutro ao risco a …rma pode de fato obter o seu lucro máximo mesmo no caso de esforço não observável. Para tanto o contrato oferecido pela …rma tem que ter o formato de venda do projeto para o gerente, deixando que este decida depois se vale a pena se esforçar ou não. Se a …rma vai conseguir atingir o lucro máximo com tal tipo de contrato, então o preço pelo qual o projeto tem que ser vendido é P = e = 2.26.4 Ou seja, o contrato oferecido pela …rma será wH =  H  e e wL =  L  e. É óbvio que com tal contrato o lucro da …rma será exatamente  e . Resta checar que o gerente aceita tal contrato e também precisamos mostrar que sob tal contrato o gerente escolherá se esforçar. Se o gerente aceitar tal contrato e se esforçar o seu lucro é pe (H

  ) + (1  p ) (   )  c

26.4 Observe

e

e

L

e

e

2 (3 3 = 0:

=

 2) + 13 (1  2)  13

que na letra (a) nós calculamos que o lucro da …rma era maior no caso em que ela exige que o gerente se esforce.


139

Portanto, aceitar tal contrato é pelo menos tão bom para o gerente do que não aceitar contrato algum. Finalmente, chequemos que sob tal contrato é melhor para o gerente se esforçar do que não se esforçar. Observe que se o gerente não se esforçar o seu retorno será pn (H

  ) + (1  p ) (   ) e

n

L

e

1 (3 3 1 = : 3

=

 2) + 23 (1  2)



Ou seja, não se esforçar sob tal contrato é até mesmo pior do que não aceitar contrato algum. Portanto, sob tal contrato a escolha do gerente será se esforçar. k

Questão 26.3.2. Um apiário e uma fazenda produtora de maçãs estão localizados lado a lado. Seja a a quantidade de maçãs produzidas e h a quantidade de mel. Os custos de

produção do apiário e da fazenda são, respectivamente, ch (h) =

e

h2 100

a2 ca (a; h) = 100

 h:

O preço do quilo de mel é 2 reais e cada quilo de maçã é vendido por 3 reais. (a) Calcule as quantidades de mel e maçã produzidas em equilíbrio (1,5 pontos). (b) Suponha que o fazendeiro compre o apiário. Calcule as quantidades ótimas de mel e

maçã que ele iria produzir (1,5 pontos). (c) Suponha que as duas …rmas estejam produzindo independentemente. O governo paga um subsídio s por quilo de mel produzido. Calcule o valor de s que induziria o apiário

a produzir a quantidade socialmente ótima de mel (1,5 pontos). Solução. (a) O problema do apiário é max 2 h h

 

h2 100

A condição de primeira ordem do problema acima é h = 2: 50

Portanto o apiário produzirá uma quantidade de mel h = 100. Já o problema do produtor de maçãs é max 3 a a

 

a2 + h 100

A condição de primeira ordem do problema acima é a = 3: 50

Portanto uma quantidade a = 150 maçãs será produzida.


140

(b) Se o fazendeiro comprar o apiário, então o seu objetivo é maximizar o lucro agregado

das duas empresas. Ou seja, max 2 h h;a

 

h2 + 3 100

a2 + h 100

a

As condições de primeira ordem do problema acima são h =3 50

e

a = 3: 50

Portanto, as quantidades produzidas neste caso serão a = h = 150: (c) Com um subsídio s sobre a produção de mel o problema do apiário torna-se max 2 h h

 

h2 + s h 100



A condição de primeira ordem do problema acima é h = 2 + s: 50

É evidente que se s = 1, então a quantidade produzida de mel será igual a 150 que foi o valor socialmente ótimo que calculamos na letra (b). k Questão 26.3.3. Um investidor está pensando em comprar um campo de petróleo. A probabilidade de que existam 20 barris de petróleo no campo é igual a 1=3, a probabilidade de que existam 40 é também 1=3. Por …m, novamente com probabilidade igual a 1=3 pode ser que existam 120 barris de petróleo no campo. O dono atual do campo de petróleo poderia

obter um lucro de 1 real por barril. Ou seja, se o campo tivesse 40 barris o seu lucro seria de 40 reais. O investidor é um produtor mais e…ciente e conseguiria obter um lucro de 1,50 reais por barril caso este comprasse o campo. Ou seja, se o campo tivesse 40 barris ele obteria um lucro de 60 reais. O dono do campo fez uma pesquisa intensa e sabe exatamente quantos barris existem lá, mas o investidor não sabe. O investidor é neutro ao risco, ou seja, sua única preocupação é maximizar o seu lucro esperado. Seja p o preço pelo qual o campo de petróleo está sendo vendido. Além disto, suponha que se o dono do campo de petróleo fosse indiferente entre vender ou não vender o campo pelo preço p, então ele venderia. Qual o máximo valor de p pelo qual um investidor inteiramente racional aceitaria comprar o campo (Eu faço questão que você explique bem o seu raciocínio aqui. Portanto, seja bastante claro no desenvolvimento das suas idéias. Não escreva somente a resposta) (2,5 pontos). Solução. O segredo aqui é perceber que o problema é uma questão de seleção adversa. Primeiro observe que caso o dono do campo de petróleo soubesse que o número de barris ali fosse 120, ele só aceitaria vender o campo por um preço maior ou igual a 120 reais. Mas suponha que o campo esteja sendo vendido por um preço maior ou igual a 120 reais.

26.4. PROVA SUBSTITUTIVA

141

Neste caso o investidor sabe que existe uma probabilidade igual a um terço de que o campo contenha 20, 40 ou 120 barris. Mas então o seu lucro esperado será 1 1 180 + 3 3 = 90 p < 0:

 =

 60 + 13  30  p

 

Ou seja, quando p  120 o investidor espera ter um lucro negativo com o campo de petróleo e, portanto, não o compraria. Com um preço p < 120 , o investidor sabe que se o dono está aceitando vender o campo de petróleo, então este não tem 120 barris. Se p  40, então o dono do campo aceitaria vendê-lo caso ele tivesse 20 ou 40 barris. Como as probabilidades iniciais de haver 20 ou 40 barris eram iguais, ao aprender que não existe mais a possibilidade da existência de 120 barris o investidor conclui que agora as probabilidades de haver 20 ou 40 barris são ambas iguais a 1/2. Sob tais probabilidades o lucro esperado pelo investidor com a compra do campo é 1 1 60 + 2 2 = 45 p:

 =

 

 30  p

Portanto, para p  45 o lucro do investidor seria positivo e de fato 45 é o maior valor para o qual isto ocorreria. k

26.4

Prova Substitutiva


seja, suponha que uma …rma queira contratar um gerente para a realização de um projeto. O retorno do projeto pode ser alto, H = 2 ou baixo, L = 1. O gerente tem a opção de se esforçar ou não. Quando o gerente se esforça a probabilidade do retorno do projeto ser alto é pe = 2=3, quando ele não se esforça a probabilidade do retorno ser alto é apenas pn = 1=3. Quando o gerente se esforça ele incorre em um custo c e = 2=3. A …rma oferecerá um contrato de trabalho, (wH ; wL ) ; que estipula o salário do gerente no caso de um retorno alto e de um retorno baixo. O objetivo da …rma é maximizar o seu lucro esperado. Isto é, maximizar p i (H  wH )+(1  pi ) (L  wL ) em que i = e ou n , dependendo de o gerente se esforçar ou não. Para completar, suponha que o gerente é neutro ao risco. Ou seja, quando ele se esforça a sua utilidade é dada por U e (wH ; wL ) = pe wH + (1  pe ) wL  ce e no caso em que ele não se esforça é dada por U n (wH ; wL ) = p nwH + (1  pn ) wL . (a) Suponha primeiro que o esforço seja observável. Escreva a condição que caracteriza

a solução do problema da …rma nos casos em que ela exige que o gerente se esforce e quando ela não exige (lembre-se que ambos os problemas têm in…nitas soluções). Calcule o lucro obtido pela …rma nos dois casos. (1,3 pontos). (b) Suponha agora que o esforço não seja observável. Qual o contrato ótimo para a …rma

neste caso? Mostre que o gerente aceitará tal contrato e mostre se este contrato fará com que o gerente se esfore ou não (Explique bem o raciocínio da sua solução) (1,2 pontos).


142 Solução.

(a) Quando a …rma exige que o gerente se esforce o seu problema pode ser escrito como e = max pe (H wH ;wL

 w

H )

+ (1

 p ) (  w e

L)

L


 p ) w  c  0: e

L

e

Obviamente as possíveis soluções do problema acima têm que satisfazer a restrição com igualdade, já que se não fosse este o caso a …rma poderia diminuir um pouco um dos dois salários e aumentar o seu lucro. O problema simpli…ca-se para e = max pe (H wH ;wL

 w

H )

+ (1

 p ) (  w e

L)

L


 p ) w e

L = c e :

Mas agora observe que, dada a restrição, o lucro da …rma pode ser reescrito como e = pe (H wH ) + (1 pe ) (L = pe H + (1 pe ) L ce :



w

L)

 



Ou seja, o lucro da …rma independe dos exatos valores de wH e wL , desde que eles satisfaçam a restrição do problema com igualdade. Portanto, as soluções do problema quando a …rma exige esforço são caracterizadas pela condição pe wH + (1

 p ) w e

L = c e :

O lucro da …rma neste caso será e = pe H + (1 pe ) L 2 1 2 = 2+ 1 3 3 3 = 1:

  



c

e

O problema da …rma quando ela não exige esforço pode ser escrito como n = max pn (H wH ;wL

 w

H ) + (1

 p ) (  w ) n

L

L


 p ) w  0: n

L

O mesmo argumento que …zemos acima nos garante que qualquer solução do problema satisfaz a restrição do problema com igualdade. O problema simpli…ca-se, então, para n = max pn (H wH ;wL

 w

H ) + (1

 p ) (  w ) n

L

L


143


 p ) w n

L =

0:

É fácil ver que com qualquer contrato que satisfaça a restrição acima o lucro da …rma é n = pn ( H wH ) + (1 pn ) (L = pn H + (1 pn )  L 1 2 = 2+ 1 3 3 4 = : 3







 

w

L)

Portanto, a condição que caracteriza as soluções do problema da …rma neste caso é pn wH + (1

 p ) w n

L =

0:

(b) Nós sabemos que quando o gerente é neutro ao risco a …rma pode obter o mesmo lucro

que ela obteria no caso de esforço observável oferecendo um contrato que pode ser interpretado como a venda do projeto para o gerente. No caso, como o maior lucro no caso de esforço observável ocorre quando a …rma não exige esforço, o contrato oferecido pela …rma terá a forma wH =  H = =

  4 2 3

n

2 3

e wL =  L = =

 4 1 3 1 3:

n

Nós precisamos primeiro mostrar que o gerente aceitará tal contrato. Para tanto, nós só precisamos mostrar que o gerente consegue obter uma utilidade esperada maior ou igual a zero com tal contrato. Vejamos, então, qual seria a utilidade esperada do gerente se ele aceitasse tal contrato e resolvesse não se esforçar. Neste caso a sua utilidade esperada seria U n (wH ; wL ) = pn wH + (1 1 2 2 = + 3 3 3 = 0:



 p ) w   13 n

L

 


144

Só nos resta agora veri…car se tal contrato levaria o gerente a se esforçar ou não. Mas observe que a utilidade do gerente com tal contrato, quando ele se esforça, é dada por U e (wH ; wL ) = pe wH + (1 2 2 1 = + 3 3 3 1 = : 3

 p ) w  c   13  23



e

L

e

 



Portanto, tal contrato levará o gerente a não se esforçar.

k

Questão 26.4.2. Suponha que a …rma F produza um determinado bem y e que a sua função



 y:

(a) Calcule o preço e a quantidade produzida do bem y quando o mercado é competitivo

(…rma age como tomadora de preços) e quando a …rma age como monopolista (1,3 pontos). (b) Suponha agora que o governo, na tentativa de eliminar a ine…ciência do monopólio, implemente o seguinte esquema de incentivo. O governo pagará um bônus de s reais por cada real vendido pela …rma. Isto é, se a …rma obtiver uma receita de x reais com a venda do bem y, então o governo lhe pagará um bônus de sx reais. Calcule o valor de s que faz com que a …rma produza a quantidade e…ciente (o valor encontrado no

caso competitivo) (1,2 pontos). Solução. (a) Quando a …rma age como tomadora de preços o seu problema pode ser escrito como max py y

y

2

A condição de primeira ordem para o problema acima nos dá p = 2y:

Dada a curva de demanda inversa da economia, a oferta e a demanda só estarão equilibradas se 2y = 3

o que implica que

 y;

yc = 1

e pc = 2:


145

Quando a …rma age como monopolista o seu problema pode ser escrito como max (3 y

 y) y  y

2


 4y = 0;

o que nos dá ym =

e, consequentemente,

3 4

9 pm = : 4

(b) O problema da …rma agora pode ser escrito como max (3 y

 y) y (1 + s)  y

2


y (1 + s) + (3  y) (1 + s)  2y = 0: Fazendo y = 1 na expressão acima, nós obtemos s = 1.

k

Questão 26.4.3. Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as funções de 1 2 utilidade dos consumidores são dadas por U A (x1A ; x2A ) = (x1A ) 3 (x2A ) 3 e U B (x1B ; x2B ) = x 1B + 1 ln x2B . Suponha que as dotações iniciais dos consumidores são (wA ; wA2 ) = (1; 1) e (wB1 ; wB2 ) = (0; 3). (a) Dado um vetor de preços genérico, escreva e resolva os problemas dos dois consumidores

para encontrar suas funções demanda (em ambos os casos você já pode escrever a restrição orçamentária diretamente com igualdade e pode ignorar as restrições de não negatividade do consumo) (1,3 pontos). (b) Encontre o único equilíbrio competitivo desta economia. Isto é, encontre o vetor de

preços e a alocação que constituem um equilíbrio competitivo para esta economia (1,2 pontos). Solução. (a) Seja um vetor de preços ( p1 ; p2 ) qualquer. O problema do consumidor A pode ser escrito

como

max

x1A ;x2A

sujeito a

x1A

1 3

x2A

  

2 3

p1 x1A + p2 x2A = p1 + p2


146

Como o consumidor A é o tradicional consumidor Cobb-doulglas nós já sabemos que a sua função demanda será dada por x1A =

1 p1 + p2 3 p1

x2A =

2 p1 + p2 : 3 p2

e

Já o problema do consumidor B pode ser escrito como 1 2 max x + ln x B B 1 2

xB ;xB

sujeito a p1 x1B + p2 x2B = 3 p2

O Lagrangeano do problema acima é $

= x 1B + ln x2B



1 2 1 B + p2 xB

  p x

 3 p

As condições de primeira ordem do problema são

2



:

x1B : 1 = p1 1 x2B : 2 = p2 xB  : p1 x1B + p2 x2B = 3 p2

Substituindo a primeira condição na segunda nós obtemos x2B =

p1 : p2

Usando tal resultado na restrição do problema nós obtemos x1B =

3 p2 p1 : p1



(b) Como somente preços relativos podem ser determinados em um equilíbrio competitivo, façamos p1 = 1. Equilibrando o mercado para o bem 2 nós …camos com a seguinte

equação:

2 1 + p2 1 + = 4: 3 p2 p2

Resolvendo a equação acima nós obtemos p2 =

1 : 2

Substituindo tal valor nas funções demanda que obtivemos na letra (a) nós encontramos x1A =

1 ; 2


147 x2A = 2; x1B =

e

1 2

x2B = 2:

Portanto, o único equilíbrio competitivo desta economia é dado pelo vetor de preços k ( p1 ; p2 ) = (1; 1=2) e pela alocação f(x1A ; x2A ); (x1B ; x2B )g = f(1=2; 2); (1=2; 2)g: Questão 26.4.4. Suponha que duas empresas, F 1 e F 2 , vendam exatamente o mesmo produto

e que a competição entre ambas se dê pela …xação simultânea das suas quantidades a serem produzidas. Suponha que a parte da demanda nesta economia seja representada pela seguinte curva de demanda inversa: p (y1 + y2 ) = 7

 (y + y ) : 1

2

Suponha, também, que o custo de produção da …rma 1 seja dado por C (y1 ) = 2y1

e o da …rma 2 seja dado por C (y2 ) = 3y2 :

A situação acima pode ser representada por um jogo. Os conjuntos de estratégias de ambos os jogadores são dados por A 1 = A 2 = [0; 1), em que uma estratégia y i 2 Ai é simplesmente a quantidade que a …rma F i decide produzir. Os ganhos dos jogadores serão dados pelos seus lucros, dadas as escolhas de produção de ambos. (a) Suponha que a empresa F 2 esteja produzindo uma quantidade y2 . Calcule a melhor resposta da …rma F 1 para tal estratégia da …rma F 2 . Repita o exercício para a …rma F 2 . Isto é, suponha que a …rma F 1 esteja produzindo uma quantidade genérica y1 . Calcule a melhor resposta da …rma F 2 para tal estratégia da …rma F 1 .(1,3 pontos). (b) Encontre o único equilíbrio de Nash para o jogo acima (1,2 pontos).

Solução. (a) Quando F 2 produz uma quantidade qualquer y2 a melhor resposta para F 1 resolve o

seguinte problema:

max [7 y1

 (y + y )] y  2y 1

2

1

A condição de primeira ordem do problema acima é 7

 y  2y  2 = 0: 2

1

Isolando y 1 na equação acima nós obtemos y1 =

5

y : 2

2

1


148

Similarmente, quando F 1 produz uma quantidade y1 a melhor resposta para F 2 resolve o seguinte problema: max [7 y2

 (y + y )] y  3y 1

2

2

2


 y  2y  3 = 0: 1

2

Isolando y 2 na equação acima nós obtemos y2 =

4

y : 1

2

(b) O único equilíbrio de Nash do jogo acima resolve o seguinte sistema linear: y1 = y2 =

5

y 2 4y : 2 1

2

A solução do sistema acima é y1 = 2

e y2 = 1:

k

Capítulo 27 Segundo Semestre de 2009 27.1

Primeira Prova

Questão 27.1.1. Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as funções de 1 2 utilidade dos consumidores sejam dadas por U A (x1A ; x2A ) = (x1A ) 3 (x2A ) 3 e U B (x1B ; x2B ) = 2 1 1 2 (x1B ) 3 (x2B ) 3 . Suponha que as dotações iniciais dos consumidores sejam (wA ; wA ) = (1; 0) e 1 2 (wB ; wB ) = (0; 1). (a) Encontre o único equilíbrio competitivo desta economia. Isto é, encontre o vetor de

preços e a alocação que constituem um equilíbrio competitivo para esta economia (2 pontos). (b) É possível mostrar que a alocação (x1A ; x2A ) =

e (x1B ; x2B ) = 12 ; 15 é e…ciente no sentido de Pareto. Como a economia acima satisfaz as condições do Segundo Teorema do Bem-estar nós sabemos que com uma correta redistribuição das dotações iniciais nós podemos fazer com que tal alocação seja parte de um equilíbrio competitivo. Ou seja, existem t1 ; t2 > 0 tais que quando (wA1 ; wA2 ) = (1  t1 ; t2 ) e (wB1 ; wB2 ) = (t1; 1  t2 ), a alocação resultante do equilíbrio competitivo da economia é exatamente (x1A ; x2A ) = 1 4 e (x1B ; x2B ) = 12 ; 15 . Encontre o vetor de preços e as transferências t1 e t2 2; 5 relacionadas a tal equilíbrio (Atenção! Existem várias combinações de transferências que geram a alocação citada. Vocês podem escolher qualquer uma dentre as combinações que funcionam.) (2 pontos).

 

1 4 ; 2 5

 

 

 

Solução. (a) Como somente preços relativos são determinados em equilíbrio, nós podemos escolher

o preço de um dos bens como numerário. Façamos isto com o bem 1, então. O nosso trabalho agora é encontrar o preço p do bem 2 que equilibra os mercados. Como os dois consumidores são Cobb-douglas e a função demanda deste tipo de consumidor é nossa velha conhecida, nós podemos escrever as demandas diretamente. O consumidor A gastará 1=3 da sua renda com o bem 1 e 2=3 com o bem 2. Ou seja, sua demanda será dada por x1A =

1 1 wA + pwA2 1 = 3 1 3

149

CAPÍTULO 27. SEGUNDO SEMESTRE DE 2009

150 e

2 2 wA1 + pwA 2 = : 3 p 3 p

x2A =

Já o consumidor B gasta 2=3 de sua renda com o bem 1 e 1=3 com o bem 2. Ou seja, sua demanda é dada por x1B

1 2 wB + pwB2 2 p = = 3 1 3

x2B

2 1 wB1 + pwB 1 = = : 3 p 3

e

A condição de equilíbrio de mercado para o bem 1, por exemplo, é x1A + x1B = 1;

o que é equivalente a

1 2 p + = 1: 3 3

É fácil ver que a única solução para a equação acima é p = 1. Substituindo tal valor nas expressões para as demandas acima, nós obtemos a seguinte alocação no equilíbrio (x1A ; x2A ) = 13 ; 23 e (x1B ; x2B ) = 23 ; 13 :

 

 

(b) Agora as demandas dos consumidores são dadas por x1A =

11 3

 t + pt ; 1

2

1

2 1 t1 + pt2 ; 3 p 2 t1 + (1 t2 ) p x1B = 3 1 x2A =





e

x2B =

1 t1 + (1 t2 ) p : 3 p



Dividindo a expressão para x 1A pela expressão para x 2A nós obtemos p x1A 5 = 2 = : 2 xA 8

Ou seja, o preço em um equilíbrio associado à alocação citada tem que ser p = 5=4. De posse de tal preço agora nós podemos tentar encontrar valores de t1 e t2 que nos dêem a alocação desejada. Como a questão já disse, vários valores de t1 e t 2 podem ser usados para tanto. Isto ocorre porque todas as equações geradas pelas funções demanda acima são linearmente dependentes quando p = 5=4. Tentemos achar valores de t1 e t2 que façam x 1A assumir o valor desejado, então. Ou seja, tentemos encontrar valores de t 1 e t2 que resolvam a seguinte equação: 1 11 = 2 3

 t + 1

1

5 t 4 2

:

27.1. PRIMEIRA PRIMEIRA PROV PROVA

151

A equação acima pode ser escrita de forma simpli…cada como 5t2

 4t = 2: 1

Possíveis soluções para a equação acima são (t ( t1 ; t2 ) = 0; 25 , (t ( t1 ; t2) = 12 ; 45 , (t ( t1 ; t2 ) = 1 3 , etc.. etc.. É fácil fácil checar checar que qualquer qualquer das combina combinações ções de transfe transferên rências cias acima de 4; 5 fato gera a alocação desejada. k

 

 

 

Questão 27.1.2. Suponha que a economia tenha dois tipos de consumidores e que a …rma


 p

A

e a dos consumidores do tipo B é dada por q B ( p ( pB ) = 16

 p2 : B


pre preços é permitida permitida.. Calcule o exce excedente agre agregado dos consumidor onsumidores es neste caso. Isto é, a soma dos excedentes dos dois tipos de consumidores (Dica: Para fazer a questão você primeiro vai ter que derivar as curvas de demanda inversa para os dois tipos de consumidores) (2 pontos). (b) Suponha agora que a prática de discriminação de preços seja proibida por lei. Encontre o

preço cobrado pela …rma neste caso. Também neste caso, calcule o excedente agregado dos consum consumido idorres (Dic (Dica: Para Para fazer fazer esta questão questão voc você terá terá que derivar derivar a curva curva de demanda demanda agregada agregada para para este caso. Esta curva terá 3 regiõ regiões. es. Para Para preços preços abaixo abaixo de um certo valor, os dois tipos tipos de consumidor onsumidores es consomem. consomem. Para Para pre preços entre o valor previamente mencionado e um valor mais alto apenas um tipo de consumidor consome. Para preços acima do valor mais alto citado anteriormente, nenhum consumidor consome. De posse da curva de demanda agregada, você pode agora derivar a curva de demanda invers inversa. a. Esta Esta tamb também será será dividid divididaa em regiõ regiões. es. A solução solução do proble problema ma da …rma …rma se dará na região em que esta resolve atender aos dois tipos de consumidores. Portanto, na hora de resolver o problema da …rma você pode assumir que a curva de demanda inversa da economia corresponde à parte da curva da demanda inversa em que a …rma atende aos dois consumidores. Porém, para calcular o excedente dos consumidores você precisará olhar para a curva de demanda inversa completa, considerando todas as suas regiões) (2 pontos). Solução.

CAPÍTULO CAPÍTULO 27. SEGUNDO SEGUNDO SEMESTRE SEMESTRE DE 2009

152

(a) Conforme a dica, vamos primeiro encontrar as curvas de demanda inversa para os dois tipos de consumidores. consumidores. Para Para tanto, tudo que temos que fazer é isolar p nas suas funções

demanda, o que nos dá as seguintes curvas de demanda inversa: pA (q (q A ) = 20

 q

A

e pB (q (q B ) = 32

 2q : B

O cust custoo marg margin inal al de produ produçã çãoo do mono monopo poli list staa é cons consta tannte e igua iguall a 4. Como Como o monopolista pode praticar discriminação de preços, suas escolhas ótimas igualarão a sua receita receita marginal marginal com cada tipo de consumidor consumidor ao seu custo custo margina marginal.l. Ou seja, resolverão as seguintes equações: 20

 2q = 4

32

 4q

A

e B

= 4: 4:


q A = 8

e q B = 7:

As quantidades acima implicam que os preços cobrados pelo monopolista serão pA = 12 e pB = 18. O exceden excedente te dos consumido consumidores res do tipo A será dado pela área escura da …gura abaixo.



153

Figura 27.2: Excedente dos consumidores do tipo B. Ou seja, o excedente dos consumidores do tipo B é 49. O excedente agregado, então, é 32 + 49 = 81: 81 : (b) A curva de demanda agregada agora é dada por q ( q ( p) p) =

8< :

36 32 p , se p 20; 16 p2 , se 20 < 20 32: 32 :









Tal curva de demanda agregada está associada com a seguinte curva de demanda inversa:  6; 32  2q , se q  p (q ) = 2 24  3 q , se q > 6: 6 : Seguindo a dica, nós sabemos que a solução do problema do monopolista se dará na região em que este atende aos dois tipos de consumidores. Ou seja, na região em que a curva de demanda inversa da economia é



p (q ) = 24

 23 q:


 43 q = = 4:

Ou seja, a quantidade produzida pela …rma será q = q = 15. Isto dá um preço p = p = 14. Finalmente, o excedente dos consumidores será dado pela área escura da …gura abaixo:


154

Figura 27.3: Excedente dos consumidores sem discriminação de preços. Ou seja, o excedente dos consumidores é A + B + C = = 36 + 36 + 27 = 99: 99 :

k

Questão 27.1.3. Considere uma economia na caixa de Edgeworth, isto é, uma economia de

trocas com dois consumidores e dois bens. (a) Suponha que a dotação agregada de ambos os bens seja igual a 1 e as funções de 1 2 1 2 1 2 utilidade dos dois agentes sejam dadas por U e U U A (xA ; xA ) = min xA ; xA U B (xB ; xB )= 1 2 alocações e…cientes no sentido de Pareto para para esta economia. economia. min xB ; xB . Caracterize as alocações

f

f

g

g

Quais destas alocações são justas (isto é, além de e…cientes nenhum dos dois consumidores inve inveja ja a cesta esta de consu onsumo mo do outr outro) o) (Dic (Dica: a: Na minh minhaa opin opinião ião o jeito jeito mais mais fácil fácil de resolve esolverr a questão questão é usar apenas apenas lógic lógica. Se voc você presta prestarr atençã atençãoo na de…niç de…nição ão de e…ciência e…ciência no sentido sentido de Pareto o resultado resultado …ca claro. claro. Algumas Algumas pessoas pessoas podem odem achar mais fácil resolver a questão desenhando a situação na caixa de Edgeworth) (2 pontos)?

(b) Suponha que a dotação agregada de ambos os bens seja igual a 1 e as funções de utilidade dos dois agentes sejam dadas por U A (xA1 ; xA2 ) = m a x 2xA1 ; xA2 e U B (xB1 ; xB2 ) = 1 2 . Car Caract acteri erize ze as aloc alocações ações e…cien e…cientes tes no sentido sentido de Pareto Pareto para para esta max xB ; 2xB

f

g

f

g

economia. onomia. Quais destas aloca alocaçõ ções es são justas (isto é, além de e…cientes nenhum nenhum dos dois consumidores inveja a cesta de consumo do outro) (Dica: Novamente o jeito mais fácil de resolver resolver a questão questão é usar apenas apenas lógic lógica. a. Se voc você prestar prestar atenção atenção na de…nição de…nição de e…ciência no sentido de Pareto o resultado …cará claro. Neste caso tentar desenhar a situação na caixa de Edgeworth provavelmente atrapalhará mais do que ajudará.) (2 pontos)?

Solução.

27.2. SEGUNDA SEGUNDA PROV PROVA

155

(a) Dadas as funções de utilidade dos dois consumidores é óbvio que se algum deles estiver

recebendo mais de um bem do que do outro, este excesso de um dos bens não estará contrib contribuin uindo do em nada nada para para a sua utilidade. utilidade. Formalme ormalment nte, e, conside considere re uma alocação 1 2 1 2 1 2 1 1 2 factível factível qualquer [(x [( xA ; xA ) ; (xB ; xB )] em que x A  xA =  =  > 0. Como x A + xB = x A +   2 2 1 1 2 1 então, a alocação [ xA  2 ; xA + 2 ; xB + 2 ; xB2  2 ] xB = 1 , isto implica que xB xB =  . Mas então, aumenta a utilidade dos dois consumidores em =2 = 2. Portanto Portanto,, nenhuma alocação em 1 2 que x A > xA é e…ciente no sentido de Pareto. É fácil ver que o mesmo raciocínio pode 2 2 ser usado para mostrar que nenhuma alocação em que xA1 6 ou xB1 6 é e…ciente. = x A = x B 1 2 1 2 As únicas alocações restantes agora são as alocações em que xA = x . É fácil = x A e xB = x B ver que tais alocações são de fato e…cientes. Observe Observe que para aumentar a utilidade de qualquer um dos consumidores, é necessário que este receba quantidades positivas de ambos ambos os bens. Mas então então o outro outro consum consumidor idor vai vai …car com uma quantida quantidade de menor de ambos os bens e, portanto, portanto, sua utilidade irá diminuir. Finalmente, Finalmente, a única alocação 1 2 1 justa nesta economia economia é a alocação em que xA = x A = xB = xB2 = 1=2. Em qualqu qualquer er outra alocação e…ciente um dos consumidores estará recebendo uma quantidade maior de ambos os bens do que o outro. outro. Mas então, então, o consum consumidor idor que estiver estiver recebend recebendoo menos irá preferir a cesta de consumo do outro.





(b) Observe que dadas as funções de utilidade acima e as dotações iniciais agregadas mencionadas

na questão a máxima utilidade que ambos os consumidores podem obter com uma 1 2 alocação factível é 2. Mas note que a alocação (xA1 ; xA2 ) = (1; (1; 0) e (xB ; xB ) = (0; (0; 1) é factível e faz com que ambos atinjam suas utilidades máximas. Ou seja, é impossível melhorar a utilidade de qualquer um dos consumidores e, portanto, tal alocação é trivialm trivialmen ente te e…ciente. e…ciente. Observ Observe, e, também, também, que esta é a única única alocação factível factível que maximiz maximizaa a utilidad utilidadee dos dois consumidor consumidores es ao mesmo mesmo tempo. Portan Portanto, to, qualque qualquerr outra outra alocação alocação factíve factívell será será dominad dominada, a, no sentido sentido de Paret Pareto, o, por tal alocação alocação.. Nós concluímos, então que a alocação acima é a única alocação e…ciente desta economia. Finalmente, a utilidade de ambos os consumidores se reduziria de 2 para 1 se eles recebessem a cesta do outro no lugar da sua. Logo nenhum dos consumidores inveja a cesta de consumo do outro e esta alocação é justa. k

27.2 27 .2

Segu Segund nda a Pro Prova

Questão 27.2.1. Considere o seguinte jogo sequencial. Dois indivíduos têm a possibilidade

de dividir 10 reais reais entre eles. O jogo funciona funciona da seguinte seguinte forma: primeiramente primeiramente o indivíduo 1 propõe uma entre duas possíveis divisões. Ele pode propor uma divisão justa, isto é, 5 reais para ara cada um, ou uma divisão divisão injusta injusta,, 8 reais para para ele e 2 reais para para o indiví indivíduo duo 2. Após Após observar observar a prop proposta osta do indivíduo 1, o indivíduo 2 decide se a aceita ou não. Caso este aceite, aceite, ambos ambos rec recebem ebem os valores valores prop propostos ostos na divisão. divisão. Caso este não aceite, aceite, ambos ambos rec recebem ebem zero zero reais. (a) Descreva a situação acima como um jogo sequencial, isto é, desenhe a árvore de decisões

que representa a situação acima (1,5 pontos). (b) Encontre Encontre todos os equilíbrios de Nash Nas h (em estraté est ratégias gias puras, não necessariamente necessariamente perfeitos




156

em subjogos) do jogo que você escreveu acima. Um desses equilíbrios é baseado em uma ameaça vazia. Explique (1,5 pontos). Solução. (a)

Observe ve que que o (b) O jogo acima tem 3 equilíbrios de Nash: (J;AR) J;AR), (I;AA) I;AA) e (I;RA) I;RA). Obser primeir primeiroo equilíbr equilíbrio io é baseado baseado numa numa ameça vazia. vazia. Só é uma melhor melhor resposta resposta para para o jogador 1 jogar J porque porque o jogador 2 está jogando R no seu nó de decisão inferior. Mas não faz sentido sentido que o jogador jogador 1 acredit acreditee em tal plano do jogador jogador 2. Caso Caso 1 jogasse jogasse escolha implicaria implicaria em prejuízo prejuízo para o jogador jogador 2. Porta Portant nto, o, sendo sendo o jogador jogador 1 I , tal escolha racional, ele teria que deduzir que 2 não levaria a frente a ameaça de jogar R caso ele jogasse I : k Questão 27.2.2. Dois vizinhos são as únicas pessoas que moram de frente para uma determinada

rua. Uma velhinha sofreu uma queda na rua e precisa ser socorrida. Caso uma ambulância apareça para levar a velhinha cada um dos vizinhos ganha 2 pontos em utilidade, mas ambos perdem um ponto em utilidade se tiverem que se levantar para chamar a ambulância. Ou seja, se uma ambulância vier buscar a velhinha e o indivíduo i não a tiver chamado sua utilidade é 2. Caso uma ambulância venha buscar a velhinha, mas o indivíduo i tiver levantado para chamá-la, então sua utilidade é 1. Finalmente, se nenhum dos dois indivíduos ligar para a ambulância a utilidade de ambos é zero. (a) Represente a situação acima como um jogo matricial 2x2 (1,5 pontos). (b) Encontre todos os equilíbrios de Nash (em estratégias mistas) do jogo que você escreveu

na letra (a) (2 pontos). Solução. (a)

Jogador 2 C N : Jogador C 1; 1 1; 2 1 N 2; 1 0; 0

27.2. SEGUNDA PROVA

157

(b) Seja  a probabilidade com que 1 joga C e  a probabilidade com que 2 joga C . Tentemos primeiro encontrar um equilíbrio em que 1 jogue  = 1. Neste caso, a única melhor resposta para 2 é jogar  = 0. Quando 2 joga  = 0, jogar  = 1 é de fato uma melhor resposta para 1. Logo o per…l (;  ) = (1; 0) é um equilíbrio de Nash do jogo. Tentemos agora encontrar um equilíbrio em que 1 jogue  = 0. Neste caso, a única melhor resposta para 2 é jogar  = 1. Quando 2 joga  = 1, jogar  = 0 é de fato uma melhor resposta para 1. Logo, o per…l (;  ) = (0; 1) é outro equilíbrio de Nash do jogo. Finalmente, tentemos encontrar um equilíbrio em que 0 <  < 1. Sabemos

que para que isto ocorra a estratégia de 2 tem que fazer 1 indiferente entre suas duas estratégias puras. Ou seja,  tem que satisfazer  1 + (1



  )  1 =   2 + (1   )  0:

O valor de  que resolve a equação acima é  = 1=2. Nós aprendemos, então, que em qualquer equilíbrio de Nash em que 1 esteja jogando uma estratégia mista não degenarada, 2 também estará jogando uma estratégia mista não degenerada. Mas então a estratégia de 1 também tem que fazer 2 indiferente entre as suas duas estratégias puras. Ou seja,  tem que satisfazer  1 + (1



 )  1 =   2 + (1  )  0:

O valor de  que resolve a equação acima é  = 1=2. Nós concluímos que o único equilíbrio de Nash do jogo em que 1 joga uma estratégia mista não degenerada é o per…l (;  ) = (1=2; 1=2) : k Questão 27.2.3. Considere novamente o problema dos sorveteiros que têm que se posicionar em uma faixa de areia. A diferença agora é que esta faixa de areia se encontra ao redor de uma lagoa circular. Suponha que o perímetro da lagoa seja 1 e que as pessoas estejam distribuídas de maneira uniforme por toda a faixa de areia. Os sorveteiros são idênticos e, portanto, as pessoas sempre compram do sorveteiro mais próximo. Caso mais de um sorveteiro estejam posicionados em uma mesma posição, as pessoas que estão mais próximas daquela posição se dividem igualmente entre todos os sorveteiros lá posicionados. (a) Suponha que apenas dois sorveteiros estejam escolhendo aonde se posicionarem na faixa de areia ao redor da lagoa. Caracterize todos os equilíbrios de Nash deste jogo. (Dica: Você não precisa sair fazendo conta. A caracterização dos equilíbrios pode ser bem intuitiva, você pode usar …guras, etc., mas seja preciso na sua explicação. Finalmente, existe um número enorme de equilíbrios) (1,5 pontos). (b) Suponha que agora tenhamos três sorveteiros escolhendo uma posição na faixa de areia.

Caracterize todos os equilíbrios de Nash do jogo agora (Dica: Novamente existirão diversos equilíbrios, mas você terá que dividí-los em duas classes. Equilíbrios em que nenhum dos sorveteiros se posiciona na mesma posição que algum outro sorveteiro e equilíbrios em que pelo menos 2 sorveteiros se posicionam em uma mesma posição) (2 pontos). Solução. (a) Chamemos os dois sorveteiros de A e B, por exemplo. Suponha que o sorveteiro A esteja posicionado em um lugar qualquer da faixa de areia (ver …gura abaixo).

158


Observe que se B se posicionar em um local diferente de A, independentemente da sua exata localização, metade das pessoas estarão mais próximas de B do que de A. Ou seja, onde quer que B se posicione este venderá sorvetes para exatamente metade das pessoas na praia. Caso B se posicione no mesmo local que A ele também vende sorvetes para exatamente metade das pessoas. Isto é, B é sempre indiferente entre todas as suas estratégias. Por simetria, exatamente a mesma coisa acontece com A. Mas então, qualquer per…l de estratégias é equilíbrio de Nash desse jogo. (b) Chamemos agora os sorveteiros de A, B e C. Suponha que A e B estejam posicionados

em locais distintos (ver …gura abaixo).

Sejam DAB e dAB os comprimentos do maior e do menor arco entre A e B, respectivamente. Se C se posicionar no menor arco entre A e B o seu ganho será dAB =2  1=4, com igualdade se e somente se dAB = DAB = 1=2. Se C se posicionar no maior arco entre A e B o seu ganho será DAB =2  1=4, com igualdade se e somente se dAB = DAB = 1=2. Já se C se posicionar na mesma posição que A ou B o seu ganho será igual a 1=4. Vemos, então, que qualquer posição no interior do maior arco que liga A e B é uma melhor resposta para C. Por simetria, a mesma coisa acontece com A e B. Nós concluímos, então, que qualquer per…l de posições em que todos os sorveteiros estejam posicionados no maior arco que liga os outros dois sorveteiros é equilíbrio de Nash do jogo acima. Por exemplo, o per…l na …gura abaixo é um equilíbrio do jogo:

Na verdade, como se posicionar no arco menor entre os outros dois sorveteiros só é melhor resposta para C quando dAB = DAB , ou seja, quando os dois arcos têm o mesmo tamanho, nós vemos que todos os equilíbrios de Nash em que todos os sorveteiros escolhem posições diferentes são da forma acima. Resta testarmos equilíbrios em que 2 ou mais sorveteiros se posicionem em um mesmo lugar. Suponha que A e B estejam na mesma posição (ver …gura abaixo).


159

Observe que se C se posicionar em uma posição diferente de A e de B, o seu ganho será 1=2. Já se C se posicionar na mesma posição que A e B o seu ganho será 1=3. Portanto, qualquer posição diferente da de A e B é melhor resposta para C. Vejamos se existe alguma posição de C que faça com que se posicionarem em um mesmo local sejam de fato melhores respostas para A e B. Pela nossa análise acima, nós vemos que se posicionar no mesmo local que A só será uma melhor resposta para B se os dois arcos entre A e C tiverem o mesmo tamanho. Por simetria, isto também faz com que se posicionar no mesmo local que B seja uma melhor resposta para A. Nós aprendemos que os per…s de posição em que dois sorveteiros estejam em um mesmo lugar e o outro esteja na posição oposta, do outro lado da lagoa são os únicos equilíbrios de Nash do jogo em que mais de um sorveteiro …cam na mesma posição. A …gura abaixo apresenta um exemplo de tal equilíbrio.

k 27.3

Terceira Prova

Questão 27.3.1 (Fixação simultânea de preços com bens distintos) . Suponha que duas

lojas em um mesmo shopping vendam dois produtos distintos. A competição entre elas se dá pela …xação simultânea de seus preços. Embora as lojas vendam produtos distintos, o preço cobrado por uma loja afeta as vendas da outra. Mais especi…camente, a curva de demanda para o bem 1 é dada por Q1 = 1  p1 + 12 p2 . Já a curva de demanda para o bem 2 é dada por Q2 = 1  p2 + 12 p1 . Por simplicidade, suponha que os custos …xos e marginais de ambas as lojas sejam nulos. (a) (1,5 pontos) Calcule os preços que ambas as lojas cobrarão em equilíbrio. Calcule o lucro

das duas lojas neste caso. (b) (1 ponto) Suponha agora que as duas lojas tenham o mesmo dono. Que preços elas

cobrariam? Novamente, calcule o lucro das duas lojas. (c) (1,5 pontos) Voltemos ao caso em que as lojas têm donos diferentes. Suponha que o

administrador do shopping ao perceber que as lojas estão praticando uma política de preços predatória, e percebendo que ambas poderiam obter um lucro agregado maior se


160

agissem de forma coordenada, implemente a seguinte política: no …nal do mês a loja 1 tem que repassar 1/3 dos seus lucros para a loja 2. De forma similar, no …nal do mês a loja 2 tem que repassar uma fração t dos seus lucros para a …rma 1. Encontre o valor de t que faz com que as lojas escolham os mesmos preços da letra (b) mesmo tendo donos diferentes. Solução. (a) Dado um preço p2 , o preço p1 que maximiza o lucro da loja 1 resolve o seguinte problema

de maximização:



max 1 p1



1 p1 + p2 p1 2


 2 p + 12 p = 0; 1

2

o que implica que a melhor resposta da loja 1 quando a loja 2 está jogando um preço p2 genérico é p1 = 12 + 14 p2 : O problema da loja 2 é absolutamente simétrico ao problema da loja 1, portanto, a melhor resposta da loja 2 contra um preço p1 genérico é p2 = 12 + 14 p1 . Em equilíbrio, o preço p1 tem que ser uma melhor resposta ao preço p2 e o preço p2 tem que ser uma melhor resposta ao preço p1 . Ou seja, p1 e p2 têm que resolver o seguinte sistema: 1 1 p1 = + p2 2 4

e

1 1 p2 = + p1 : 2 4

Resolvendo o sistema acima nós obtemos p1 = p2 = 23 . Com tais preços o lucro de cada uma das lojas é igual a 49 . (b) Se as duas lojas têm o mesmo dono, então este só vai se preocupar com o lucro agregado.

Ou seja, o problema de maximização do dono das lojas é



max 1

p1 ;p2

 

1 p1 + p2 p1 + 1 2



1 p2 + p1 p2 2


 2 p + p = 0

1

 2 p + p = 0:

1

2

e 2

1

Resolvendo o sistema acima nós obtemos p 1 = p 2 = 1. O lucro de cada uma das lojas neste caso é 12 :


161

(c) Suponha que a loja 2 esteja cobrando um preço p2 . Como agora a loja 1 repassa 1=3 dos seus lucros para a loja 2 e recebe uma fração t dos lucros da loja 2, o seu problema

agora é



2 max 1 p1 3

 



1 1 p1 + p2 p1 + t 1 p2 + p1 p2 : 2 2




2 1 3



1 t 2 p1 + p2 + p2 = 0: 2 2

Como nós queremos que os preços sejam os mesmos da letra (c), nós sabemos que t tem que ser tal que a equação acima seja verdadeira quando p1 = p2 = 1. Quando p1 = p2 = 1 a equação acima nos dá t = 23 . De forma similar, quando a loja 1 está cobrando um preço p 1 , o problema da loja 2 agora é



1 max 1 p2 3



1 p1 + p2 p1 + (1 2







1 t) 1 p2 + p1 p2 : 2

Vocês podem checar que quando p1 = 1 e t = 23 , a solução do problema de maximização acima é p 2 = 1: k Questão 27.3.2. Considere o modelo de perigo moral que estudamos nas notas de aula. Ou

seja, suponha que uma …rma queira contratar um gerente para a realização de um projeto. O retorno do projeto pode ser alto, H = 8 ou baixo, L = 5. O gerente tem a opção de se esforçar ou não. Quando o gerente se esforça a probabilidade do retorno do projeto ser alto é p e = 2=3, quando ele não se esforça a probabilidade do retorno ser alto é apenas p n = 1=3. Quando o gerente se esforça ele incorre em um custo c e = 2. A …rma oferecerá um contrato de trabalho, (wH ; wL ) ; que estipula o salário do gerente no caso de um retorno alto e de um retorno baixo. O objetivo da …rma é maximizar o seu lucro esperado. Isto é, maximizar pi (H  wH ) + (1  pi ) (L  wL ) em que i = e ou n, dependendo de o gerente se esforçar ou não. Para completar, suponha que o gerente é neutro ao risco. Ou seja, quando ele se esforça a sua utilidade é dada por U e (wH ; wL ) = p e wH + (1  pe) wL  ce e no caso em que ele não se esforça é dada por U n (wH ; wL ) = pn wH + (1  pn) wL . (a) (1,5 pontos) Suponha primeiro que o esforço seja observável. Escreva a condição que

caracteriza a solução do problema da …rma nos casos em que ela exige que o gerente se esforce e quando ela não exige (lembre-se que ambos os problemas têm in…nitas soluções). Calcule o lucro obtido pela …rma nos dois casos. (b) (2 pontos) Suponha agora que o esforço não seja observável. Qual o contrato ótimo para

a …rma neste caso? Mostre que o gerente aceitará tal contrato e mostre se este contrato fará com que o gerente se esforce ou não (Explique bem o raciocínio da sua solução). Solução.


162

(a) Quando a …rma exige que o gerente se esforce o seu problema pode ser escrito como e = max pe (H wH ;wL

 w

H )

+ (1

 p ) (  w e

L)

L


 p ) w  c  0: e

L

e


 w

H )

+ (1

 p ) (  w e

L)

L


 p ) w e

L = c e :




w

L)

 




 p ) w e

L = c e :

O lucro da …rma neste caso será e = pe H + (1 pe ) L 2 1 = 8+ 5 2 3 3 = 5:

  



c

e

O problema da …rma quando ela não exige esforço pode ser escrito como n = max pn (H wH ;wL

 w

H ) + (1

 p ) (  w ) n

L

L


 p ) w  0: n

L

O mesmo argumento que …zemos acima nos garante que qualquer solução do problema satisfaz a restrição do problema com igualdade. O problema simpli…ca-se, então, para n = max pn (H wH ;wL

 w

H ) + (1

 p ) (  w ) n


 p ) w n

L =

0:

L

L


163

É fácil ver que com qualquer contrato que satisfaça a restrição acima o lucro da …rma é n = pn ( H wH ) + (1 pn ) (L = pn H + (1 pn )  L 1 2 = 8+ 5 3 3 = 6:







 

w

L)

Portanto, a condição que caracteriza as soluções do problema da …rma neste caso é pn wH + (1

 p ) w n

L =

0:

(b) Nós sabemos que quando o gerente é neutro ao risco a …rma pode obter o mesmo lucro

que ela obteria no caso de esforço observável oferecendo um contrato que pode ser interpretado como a venda do projeto para o gerente. No caso, como o maior lucro no caso de esforço observável ocorre quando a …rma não exige esforço, o contrato oferecido pela …rma terá a forma wH =  H n = 8 6 = 2

 

e wL =  L n = 5 6 = 1:

  

Nós precisamos primeiro mostrar que o gerente aceitará tal contrato. Para tanto, nós só precisamos mostrar que o gerente consegue obter uma utilidade esperada maior ou igual a zero com tal contrato. Vejamos, então, qual seria a utilidade esperada do gerente se ele aceitasse tal contrato e resolvesse não se esforçar. Neste caso a sua utilidade esperada seria U n (wH ; wL ) = pn wH + (1 pn ) wL 1 2 = 2+ ( 1) 3 3 = 0:



  

Só nos resta agora veri…car se tal contrato levaria o gerente a se esforçar ou não. Mas observe que a utilidade do gerente com tal contrato, quando ele se esforça, é dada por U e (wH ; wL ) = pe wH + (1 pe ) wL ce 2 1 = 2+ ( 1) 2 3 3 = 1:

 

    

Portanto, tal contrato levará o gerente a não se esforçar.

k


164

Questão 27.3.3. Um famoso ator de televisão está contratando um advogado para abrir um

processo de danos morais contra um jornal. O valor esperado da indenização que o ator vai receber (levando em conta a probabilidade do ator ganhar ou não a ação e o valor desta em caso de vitória) é l, em que l é o esforço que o advogado dedica a causa. O custo de se esforçar, para o advogado, é dado pela função c (l) = l2 : 2

(a) (0,5 pontos) Qual o esforço que o advogado faz quando este recebe como pagamento uma fração  do que for obtido na ação judicial (ou seja, quando a indenização é x o advogado recebe um pagamento x). Calcule os lucros do advogado e do ator neste

caso. (b) (0,5 pontos) Qual seria a taxa  ótima, do ponto de vista do ator. Calcule os lucros do

ator e do advogado com tal taxa. (c) (1,5 pontos) Suponha agora que o ator tenha a opção de vender o projeto para o advogado.

Ou seja, o advogado paga um valor inicial ao ator e depois …ca com tudo que ele conquistar na ação judicial. Suponha que o advogado não esteja trabalhando em nenhuma outra causa e, portanto, caso ele não aceite o contrato oferecido pelo ator a sua renda naquele mês será zero. Suponha, também, que quando indiferente entre aceitar ou não o contrato o advogado o aceite. Calcule o preço pelo qual a ação será vendida. Calcule os lucros do ator e do advogado neste caso. Eles estão melhores agora ou na parte (b)? Solução. (a) Se o advogado recebe uma fração  da indenização, o seu problema de maximização é 2

max l l

 l2

A condição de primeira ordem para o problema acima nos dá l = . O lucro do ator neste caso é (1  ) l = (1  )  e o lucro do advogado é l  l2 = 2 : 2

2

(b) A taxa  ótima, do ponto de vista do ator é aquela que maximiza o seu lucro. Ou seja, aquela que maximiza (1 ) . A condição de primeira ordem para a maximização de tal expressão nos dá  = 12 . O lucro do ator com tal taxa é 14 , já o lucro do advogado é 18 :



(c) O problema agora é parecido com a questão 2. Tudo que o ator tem que fazer é escolher

dentre os contratos que dão um lucro de pelo menos zero para o advogado, aquele que maximiza o seu lucro. Porém, observe que depois que o advogado comprar a causa, logicamente ele vai querer maximizar o seu lucro com a mesma. Ou seja, uma vez que o advogado seja o dono da ação ele resolverá o seguinte problema max l l



l 2 : 2

A solução do problema acima é l = 1, o que dá um lucro igual 12 para o advogado. Portanto, o máximo preço pelo qual o ator pode vender a ação para o advogado é 1=2.


165

Observe que o ator está melhor agora do que na letra (b), já que o seu lucro aumentou de 14 para 12 . Por outro lado, o advogado está obviamente pior. Antes ele obtinha um lucro de 18 e agora ele compra a ação exatamente pelo lucro que ele vai obter com ela. k Ou seja, seu lucro …nal é zero.

27.4

Prova Substitutiva

Questão 27.4.1. (1,5 pontos) Uma economia é constituída por dois indivíduos cujas utilidades são uA (f; mA ) = 43 f + mA e uB (f; mB ) = ln(1 f ) + mB , em que f é a poluição gerada pelos cigarros consumidos pelo indivíduo A (medida por uma escala que varia entre 0 e 1) e mi representa a quantidade de dinheiro do indivíduo i. As riquezas iniciais de ambos os indivíduos são wA = wB = 10. Suponha que o indivíduo B tenha direito a todo o ar puro, mas que possa vender, ao preço unitário p, o direito de poluir parte do ar ao indivíduo A. Qual o preço p que vigorará em equilíbrio?

p



Solução. Como o indivíduo B tem direito a todo o ar puro, nós podemos representar a situação como se o indivíduo B tivesse um estoque inicial wBf = 1 de ar puro e o indivíduo A tivesse um estoque inicial w Af = 0 de ar puro. Agora o problema vira um de equilíbrio geral tradicional. Dado um preço p , o indivíduo A resolve o seguinte problema: 4 max f;m A 3

sujeito a

p

f + mA

f pf + mA = 10 + pwA

Substituindo a restrição na função objetivo e usando o fato que wAf = 0, nós podemos escrever o problema acima como max f

4 3

p

f + 10

 pf

A condição de primeira ordem para o problema acima é 2 1 = p; 3 f

p

o que implica que f =

4 1 9 p2

. Já o problema do indivíduo B é max ln(1 f;m B

 f ) + m

B

sujeito a mB = 10 + pf

Substituindo a restrição na função objetivo do problema acima nós …camos com max ln(1 f

 f ) + 10 + pf


166

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá f = 1

 1 p :

Para que o mercado esteja em equillíbrio é necessário que a quantidade f escolhida pelos dois indivíduos seja a mesma, ou seja 41 =1 9 p2

 1 p :

A solução positiva da equação acima é p = 43 .

k

Questão 27.4.2. Suponha que Robinson Crusoé produza e consuma peixe (F) e côco (C).

Suponha que durante um certo período ele tenha decidido trabalhar 200 horas e que ele seja indiferente entre gastar este tempo catando côco ou pescando. A função de produção de peixe de Robinson é dada por 1

F = (lF ) 2

e a de côco é

1

C = (lC ) 2 :

em que lF e lC são o número de horas que Robinson passa pescando e catando côco, respectivamente. Consequentemente, lC + lF = 200:

A sua função de utilidade para consumo de peixe e côcos é dada por 1

U (F; C ) = (F C ) 2 :



(a) (1,0 ponto) Se Robinson não pode negociar com o resto do mundo, quantas horas ele

trabalha catando côco e quantas horas ele trabalha pescando? Quantos côcos e peixes ele produzirá? Qual será sua utilidade? (Dica: Conhecendo a função demanda do consumidor Cobb-Douglas você pode economizar muitas contas.) (b) (1,5 pontos) Suponha que após Robinson já ter produzido as quantidades F e C acima,

mas antes de ele haver consumido qualquer parte de sua produção, o comércio internacional se abra. Suponha que o preço de uma unidade de peixe seja 2 e o preço de uma unidade de côco seja 1. Quantos peixes e quantos côcos Robinson consumirá agora? Qual será sua utilidade? (Dica: Novamente, saber a função demanda do consumidor Cobb-Douglas economiza contas aqui. Caso você não tenha conseguido resolver a letra (a), suponha que os valores encontrados lá tenham sido F = C = 20 e resolva a letra (b) partindo destes valores. ATENÇÃO! Esta NÃO é a resposta correta da letra (a)) (c) (1,5 pontos) Suponha agora que o comércio internacional se abra antes que Robinson

tome as suas decisões de produção. Os preços continuam os mesmos da letra (b). Quantos côcos e quantos peixes Robinson produzirá agora? Quantos côcos e quantos peixes ele consumirá? Qual será a sua utilidade? Solução.


167

(a) Neste caso, Robinson resolve o seguinte problema:



1 2

max (lF ) (lC ) lF ;lC

sujeito a

1 2



1 2

lF + lC = 200:

Mas o problema acima está no formato de maximização de uma função de utilidade Cobb-Douglas, em que os preços dos dois “bens” são iguais a 1, a riqueza do agente é igual 200 e os pesos dos dois bens são iguais. Portanto, a solução do problema acima é dada por l F = lC = 100. Com tais valores de l F e l C serão produzidos 10 peixes e 10 côcos. Finalmente, com tal produção Robinson obterá uma utilidade de 10. (b) O problema agora é o problema de uma agente que começa com uma dotação inicial de

10 unidades de peixes e 10 unidades de côcos, e que pode negociar de acordo com os preços acima. Ou seja, Robinson resolve o seguinte problema: 1

max (F C ) 2 F;C



sujeito a 2F + C = 2 10 + 1 10 = 30:





Mas o problema acima continua no formato Cobb-Douglas, em que os dois bens tem o mesmo peso. Isto implica que o agente gastará metade da sua renda com cada um dos bens. Ou seja F = 12 302 = 152 e C = 12 301 = 15. A utilidade de Robinson com tais 15 valores será U 152 ; 15 = p : 2

 

(c) O problema de Robinson agora é 1

max (F C ) 2

F;C;lF ;lC



sujeito a 2F + C = 2

e

p p lF +

lC

lF + lC = 200:

Nós poderíamos escrever o lagrangeano e resolver o problema acima, mas é mais fácil dividí-lo em duas partes. Obviamente, em qualquer solução do problema acima, Robinson vai maximizar a sua renda com a produção de peixes e côcos. Ou seja, Robinson primeiro resolve o seguinte problema

p p

max 2 lF + lF ;lC

sujeito a

lC

lF + lC = 200:


168

Usando a restrição para eliminar l C da função objetivo o problema reduz-se para

p p

max 2 lF + lF

200

l

F :


p 1l

=

F

1 p 2 200  l

;

F

o que implica que lF = 160. Dap restrição nós aprendemos que lC = 40.p Isto dá uma produção de peixes igual a 4 10 e uma produção de côcos igual a 2 10. Ou seja, a p renda de Robinson com a venda de peixes e côcos no mercado internacional p p é 2  4 10 + 1  2 10 = 10 10. Na segunda metade do problema de Robinson ele maximiza a sua utilidade dada a sua renda. Ou seja, ele resolve

p

max F C F;C

sujeito a



p

2F + C = 10 10:

Mas o problema acima está no formato Cobb-Douglas com pesos 1/2. Logo, Robinson dividirá a suap renda igualmente entre os dois bens. p Ou seja,p o seu consumo de peixes p 1 10 10 5 10 1 10 10 será F = 2 2 = 2 e o de côcos será C = 2 1 = 5 10. A sua utilidade será p p p p 5 10 k U 2 ; 5 10 = 25  5 = 5 5.





Questão 27.4.3. (1,5 pontos) Suponha que a função de utilidade (função de Bernoulli) de um investidor seja dada por U (M ) = m, em que m é sua riqueza. Suponha que este investidor tenha uma riqueza inicial w = 150 e que ele pretenda investir toda a sua riqueza inicial em um par de ações A e B . Hoje, os preços unitários de ambos os tipos de ação são pA = pB = 25. O preço futuro de tais ações depende de dois estados da natureza conforme a

p

seguinte tabela:

Estado da Natureza Probabilidade pA pB 0 1=2 12 0 . 1 1=2 8 40 Determine a utilidade esperada do investidor admitindo que ele invista metade da sua renda inicial em ações da empresa A e metade em ações da empresa B: Solução. Como o investidor gastará 75 unidades monetárias em ações de cada empresa, ele comprará 3 unidades de ações da empresa A e 3 unidades de ações da empresa B . Isto implica que no estado 0 a sua renda será 3  12 + 3  0 = 36. Já no estado 1 a sua renda p seráp 3  8 + 3  40 = 144. Logo, a sua utilidade esperada com tal portifólio será 1 2

36 +

1 2

144 = 9:

k

Questão 27.4.4. Uma empresa monopolista produz um bem q de acordo com uma função custo dada por c (q ) = q + q 2 . Suponha que a curva de demanda inversa do mercado seja dada por p (q ) = 13 q .




169

(a) (1,5 pontos) Calcule a quantidade q produzida pelo monopolista. Qual o seu lucro? (b) (1,5 pontos) Suponha agora que, embora a empresa monopolista funcione em um mercado

protegido contra a importação, esta tenha a opção de vender o seu bem no mercado exterior. Mais especi…camente, o monopolista tem a opção de vender o bem no mercado doméstico, em que este enfrenta uma curva de demanda inversa dada por pd (q d ) = 13  q d , mas tem também a opção de vender o bem no mercado internacional por um preço pi = 11. O preço do bem no mercado internacional não depende da quantidade q i vendida pelo monopolista neste mercado. A função custo da …rma continua sendo dada por c (q ) = q + q 2 . A diferença é que agora q = q d + q i . Quanto a …rma venderá no mercado doméstico e no mercado internacional? Qual o seu lucro agora? (Dica: A intuição pode ser traiçoeira aqui. É melhor con…ar na matemática e resolver o problema do monopolista completo.) Solução. (a) Neste caso o problema do monopolista é max (13 q

2

 q ) q  q  q

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá q = 3 Tal quantidade implica que o preço cobrado pelo monopolista será 10 e o seu custo será 12. Portanto o seu lucro será  = 10  3  12 = 18: (b) O problema da …rma agora é max (13 qd ;qi

2

 q ) q + 11q  (q + q )  (q + q ) d

d

i

d

i

d

i


 4q  2q = 0

10

 2q  2q = 0:

d

i

e d

i

Resolvendo o sistema acima nós obtemos q d = 1 e q i = 4. O preço no mercado doméstico será 12. O custo da …rma será 5 +52 = 30. Portanto, o lucro do monopolista será  = 12 1 + 11 4 = 26:



k

  30

170



Primeira Prova

Questão 28.1.1. Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as funções de 2 1 utilidade dos consumidores são dadas por U A (x1A ; x2A ) = (x1A ) 3 (x2A ) 3 e U B (x1B ; x2B ) = x 1B + 1 2 x2B . Suponha que as dotações iniciais dos consumidores são (wA1 ; wA2 ) = (0; 1) e (wB ; wB )= (1; 0). (a) Dado um vetor de preços genérico ( p1 ; p2 ), escreva e resolva o problema do consumidor B (Use apenas lógica, matemática não será de nenhuma utilidade aqui) (1,5 pontos). (b) Encontre o único equilíbrio competitivo desta economia (1,5 pontos).

Solução. (a) O problema do consumidor B é max x1B + x2B 1 2

xB ;xB

sujeito a p1 x1B + p2 x2B x1B

 

1 2 p1 wB + p2 wB = p 1 2 0 e x B 0:



Obviamente, se p1 > p2 o consumidor B vai gastar toda a sua riqueza com o bem 2. Se p 2 > p1 , então ele gastará toda a sua riqueza com o bem 1. Finalmente, se p 1 = p2 , então qualquer par (x1B ; x2B ) que exaura toda a riqueza do indivíduo B é solução para o seu problema. Em resumo, a solução do problema acima é

 

(x1B ; x2B ) = 0; pp12 (x1B ; x2B ) = (1; 0) (x1B ; x2B ) : x 1B ; x2B

f

, se p 1 > p2 , se p 2 > p1  0 e p 1x1B + p2x2B = p1g , se p 1 = p2 171

9>= >;

:


172

(b) Como apenas preços relativos são determinados em equilíbrio, façamos o bem 1 como numerário. Ou seja, façamos p1 = 1 e p2 = p. O nosso trabalho agora é encontrar p que

equilibre os mercados em nossa economia. Para tanto, primeiro precisamos resolver o problema do consumidor A . O problema do consumidor A é max x1A 1 2

xA ;xA

sujeito a x1A + px2A x1A

2 3

x2A

    

1 3

2 wA1 + pwA = p 2 0 e x A 0:



Nós sabemos que a solução do problema acima é dada por x1A =

2 p 1 e x 2A = : 3 3

Portanto, idependentemente do valor de p, em equilíbrio, o consumidor A consumirá apenas 1=3 de unidades do bem 2. Mas observe que a dotação agregada do bem 2 na economia é igual a 1. Ou seja, para que o mercado para o bem 1 esteja equilibrado, nós precisamos que x 2B = 2=3. Isto implica que o segundo caso na solução do problema do consumidor B não pode ocorrer. Ou seja, nós temos que ter p  1. Mas se p  1, então x1A = 23 p  23 . Como a dotação agregada do bem 1 é também igual a 1, isto implica que, para que o mercado para o bem 1 esteja em equilíbrio, nós precisamos que x1B > 0. Ou seja, em equilíbrio, o consumidor estará consumindo quantidades posisitvas dos bens 1 e 2. Isto só pode ocorrer se p = 1. Se p = 1, da solução do problema do consumidor A nós aprendemos que x1A = 2=3 e x2A = 1=3. Das condições de equilíbrio dos mercados nós aprendemos que x1B = 1=3 e x2B = 2=3. Observe que a cesta de consumo (x1B ; x2B ) = (1=3; 2=3) de fato exauri a riqueza do consumidor B e, portanto, é solução do seu problema quando p = 1. Conclusão: o único equilíbrio competitivo desta economia é ( p1 ; p2 ) = (1; 1), (x1A ; x2A ) = (2=3; 1=3) e (x1B ; x2B ) = (1=3; 2=3) : k Questão 28.1.2. Considere uma economia na caixa de Edgeworth, isto é, uma economia de

trocas com dois consumidores e dois bens. (a) Suponha que a dotação agregada de ambos os bens seja igual a 1 e as funções de utilidade dos dois agentes sejam dadas por U A (x1A ; x2A ) = (x1A ) (x2A )1 , para algum 0 <  < 1, e U B (x1B ; x2B ) = min x1B ; x2B . Caracterize todas as alocações e…cientes no sentido

f

g

de Pareto para esta economia (Dica: Na minha opinião o jeito mais fácil de resolver a questão é usar apenas lógica. Se você prestar atenção na de…nição de e…ciência no sentido de Pareto e olhar principalmente para o indivíduo B a situação …ca clara. Algumas pessoas podem achar mais fácil resolver a questão desenhando a situação na caixa de Edgeworth) (1,5 pontos).

(b) Suponha que a dotação agregada de ambos os bens seja igual a 1 e as funções de utilidade dos dois agentes sejam dadas por U A (x1A ; x2A ) = (x1A ) (x2A )1 para algum 1=2 <  < 1


173

e U B (x1B ; x2B ) = max fx1B ; x2B g. Caracterize todas as alocações e…cientes no sentido de Pareto para esta economia (Dica: Novamente o jeito mais fácil de resolver a questão é usar apenas lógica. Alocações em que x1B ; x2B > 0 podem ser e…cientes? E alocações em que x1B > 0 e x2B = 0? E alocações em que x1B = 0 e x2B > 0? Neste caso tentar desenhar a situação na caixa de Edgeworth provavelmente atrapalhará mais do que ajudará. Observe que a hipótese de que  > 1=2 é fundamental.) (1,5 pontos). Solução. (a) Primeiro testemos se existe alguma alocação e…ciente em que x 1B > x2B . Como a dotação agregada de ambos os bens é 1, nós temos que x1A = 1 x1B e x2A = 1 x2B . Além disto, dada a função de utilidade do indivíduo B , é claro que sua utilidade com tal cesta de consumo é apenas x2B . Mas então poderíamos de…nir uma nova alocação (^x1B ; ^ x2B ) := (x2B ; x2B ) e (^x1A ; ^ x2A ) := (x2A ; x2A ). É claro que U B (^x1B ; ^ x2B ) = U B (x1B ; x2B ) e U A (^x1A ; ^x2A ) > U A (x1A ; x2A ). Portanto, alocações em que x1B > x2B não podem ser





e…cientes no sentido de Pareto. Um raciocínio completamente simétrico mostra que alocações em que x2B > x1B também não podem ser e…cientes. As únicas alocações que podem ser e…cientes, então, são aquelas em que x1B = x2B . De fato, nós podemos mostrar que todas as alocações desse tipo são e…cientes. Para ver isto, considere uma alocação em que x1B = x2B . Neste caso, x1A = x2A = 1  x 1B . A única forma de aumentar a utilidade do consumidor B é aumentar x1B e x2B ao mesmo tempo. Mas isto diminui x1A e x2A , o que claramente reduz a utilidade do agente A. De forma similar, a única forma de aumentar a utilidade do agente A é aumentar x1A ou x2A . Mas ao fazer isto nós diminuímos min fx1B ; x2B g, o que diminui a utilidade de B . Portanto, é impossível aumentar a utilidade de um dos agentes sem diminuir a utilidade do outro. Nós concluímos que todas as alocações em que x1B = x2B são e…cientes no sentido de Pareto.

(b) Considere primeiro uma alocação em que 1 > x1B

x2B > 0. Novamente, como a dotação agregada de ambos os bens é igua a 1, nós temos que x1A = 1 x 1B e x2A = 1 x2B . Com tal alocação nós temos que U B (x1B ; x2B ) = x1B . Mas agora considere uma nova alocação tal que (^x1B ; ^x2B ) := (x1B ; 0). É claro que U B (^x1B ; ^x2B ) = U B (x1B ; x2B ), mas U A (1 x^1B ; 1 x^2B ) > U A (x1A ; x2A ). Portanto, alocações em que 1 > x1B x2B > 0 não são e…cientes. Um raciocínio absolutamente simétrico mostra que alocações em que 1 > x2B > x1B > 0 também não são e…cientes. Considere agora alocações em que 1 > x1B > 0 = x2B . Neste caso, (x1A ; x2A ) = (1 x1B ; 1). De…na uma nova alocação (^x1B ; ^x2B ) := (0; x1B ). Observe que U B (^x1B ; ^x2B ) = U B (x1B ; x2B ). No entanto, U A (1 x^1B ; 1 x^2B ) = (1 x1B )1 > (1 x1B ) = U A (x1A ; x2A ).28.1 Portanto, alocações em que 1 > x1B > 0 não são e…cientes. Testemos agora alocações em que x1B = 0 e x2B < 1. Neste caso, x1A = 1 e x2A = 1 x2B . Considere uma cesta  1 (^x1A ; ^ x2A ) qualquer. Se x ^1A x2A , então U A (^x1A ; ^ x2A ) U A (x2A ; 1) = (x2A ) < (x2A ) = A 2 2 2 A 1 2 A 2 U (1; xA ). Se x Â x A , então U (^xA ; ^ xA ) U (1; xA ). Portanto, qualquer cesta de 1 2 A 1 2 consumo (^xA ; ^xA ) tal que U (^xA ; ^xA ) > U A (1; x2A ) necessariamente satisfaz x^1A > x2A





















28.1 Para

ver que 1

1





xB

> 1







    1



1

xB

(1xB )  note que (1x ) = 1 B



1

1

1

  x1B

12

=

1

(

1

1xB

)

21

> 1:


174

e x^2A > x2A . Mas isto implica que U B (1  x^1A ; 1  x^2A ) < U B (0; 1  x2A ). Portanto, é impossível aumentar a utilidade do consumidor A sem diminuir a utilidade do consumidor B . Considere agora uma cesta de consumo (^x1B ; ^x2B ) qualquer. Suponha que U B (^x1B ; ^x2B ) > U B (0; x2B ). É claro que isto só pode ocorrer se ^x1B > x 2B ou ^x2B > x 2B . No primeiro caso nós teríamos U A (1  x^1B ; 1  x^2B ) < U A (1  x2B ; 1) = (1  x2B ) < 1 (1  x2B ) = U A (1; 1  x2B ). No segundo caso, U A (1  x^1B ; 1  x^2B ) < U A (1; 1  x2B ). Portanto, é impossível aumentar a utilidade do consumidor B sem diminuir a utilidade do consumidor A. Nós concluímos que todas as alocações em que x1B = 0 e x2B < 1 são e…cientes no sentido de Pareto. Finalmente, considere alocações em que ou x1B = 1 ou x2B = 1. Neste caso, U B (x1B ; x2B ) = 1 e é impossível aumentar a utilidade do consumidor B . Por outro lado, U A (1  x1B ; 1  x2B ) = 0 e a única forma de aumentar a utilidade do consumidor A é dar a B uma cesta (^x1B ; ^x2B ) em que x^1B ; ^x2B < 1. Mas isto claramente diminui a utilidade de B . Nós concluímos que todas as alocações em que ou x 1B = 1 ou x 2B = 1 também são e…cientes no sentido de Pareto. k Questão 28.1.3. Suponha que um revendedor seja monopolista em um mercado em que a curva de demanda inversa seja dada por p (q ) = 16 2q .



(a) Suponha que o revendedor adquira o bem q do produtor a um preço por unidade igual a r. Calcule a quantidade vendida, q , e o preço, p , cobrado pelo revendedor como funções de r (1,5 pontos). (b) Suponha que o custo marginal de produção do produtor seja constante e igual a zero. Usando o que você aprendeu na letra (a) calcule o preço r que o produtor cobrará do

revendedor (1,5 pontos). Solução. (a) O problema do revendedor é max (16 q

 2q ) q  qr

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá

 2q  2q = r:28.2 Isolando q na expressão acima nós obtemos q = 4  . Substituindo tal valor na curva 16

r 4

de demanda inversa nós obtemos p = 8 + 2r :

(b) Como o custo marginal do produtor é nulo, seu problema de maximização de lucro se

resume a maximizar a sua receita. Ou seja, o problema do produtor é max 4 r

r r 4




 r4  4r = 0:

Isolando r na expressão acima nós obtemos r = 8: 28.2 Ou

seja, receita marginal é igual ao custo marginal.

k


175

Questão 28.1.4. Suponha que tenhamos uma sociedade com N indivíduos que têm preferências sobre duas alternativas, x e y. Lembre-se, das notas de aula, que neste caso a preferência do indivíduo i pode ser representada por um número f i = 1; 0, ou 1. A interpretação é que 1 signi…ca que i prefere x a y , -1 signi…ca que i prefere y a x, e 0 sigini…ca que i é indiferente entre x e y. Um funcional de bem-estar social é uma regra que mapeia um per…l de preferências dos agentes em uma preferência social f S . Ou seja, um funcional de bem-estar social associa a cada possível vetor (f 1 ;:::;f N ) um valor f S (f 1 ;:::;f N ) = 1; 0; ou 1. Lembremos das três propriedades de funcionais de bem-estar social que discutimos nas





notas de aulas: De…nição 28.1 (Anonimidade). Para qualquer vetor (f 1 ;:::;f N ), o valor f S (f 1 ;:::;f N ) só depende do número de 1’s, 0’s e -1’s em (f 1 ;:::;f N ). De…nição 28.2 (Neutralidade Entre Alternativas). Dizemos que um funcional de bem-estar social é neutro entre as alternativas se sempre temos f S (f 1 ;:::;f N ) = f S ( f 1 ; :::; f N ).

 



De…nição 28.3 (Resposta Positiva). Dizemos que um funcional de bem-estar social responde

de forma positiva a mudanças de preferências individuais, se para quaisquer dois per…s ( ^ f 1 ;:::; f ^N ) e (f 1 ;:::;f N ) tais que f î  f i pra todo i, com desigualdade estrita para algum i, e f S (f 1 ;:::;f N )  0, então f S ( ^ f 1 ;:::; f ^N ) = 1. Nas notas de aula nós aprendemos que o único funcional de bem-estar social que satisfaz as três propriedades acima é a regra da maioria. (a) Dê um exemplo de funcional de bem-estar social, diferente da regra da maioria simples,

que satisfaz Anonimidade e Neutralidade Entre Alternativas (Dica: de certa forma um funcional que satisfaz Resposta Positiva respeita a vontade das pessoas. Que tal uma versão da regra da maioria que desrespeite a vontade das pessoas?) (1 ponto). (b) Dê um exemplo de funcional de bem-estar social, diferente da regra da maioria simples,

que satisfaz Anonimidade e Resposta Positiva (Dica: um funcional que satisfaz Neutralidade entre Alternativas trata as duas alternativas de forma simétrica. Que tal uma versão da regra da maioria que, a priori, tenha uma tendência maior de escolher uma das alternativas do que a outra?) (1 ponto). (c) Dê um exemplo de funcional de bem-estar social, diferente da regra da maioria simples,

que satisfaz Neutralidade Entre Alternativas e Resposta Positiva (Dica: um funcional que satisfaz Anonimidade dá a mesma importância para todas as pessoas na sociedade. O que seria uma versão da regra da maioria que dá mais importância para alguns indivíduos especí…cos?) (1 ponto). Solução. (a) Seguindo a dica, nós podemos usar o funcional de bem estar social que sempre contraria a vontade da maioria. Ou seja, se a maioria das pessoas prefere x a y, então tal funcional diz que y é preferível a x socialmente, e se a maioria das pessoas prefere y a


176

x, então tal funcional diz que x é preferível a y socialmente. Usando o formalismo no

enunciado da questão tal funcional pode ser escrito como: f S (f 1 ;:::;f N ) =

N i=1 N i=1 N i=1

1 se 0 se 1 se

8<  PP : P

f i > 0; f i = 0; f i < 0:

(b) Um funcional de bem estar social que tem uma tendência maior de escolher x do que y, pode ser um que exija mais do que uma maioria simples para declarar y preferível a x. Por exemplo, suponha que o nosso funcional de bem estar social dê um voto de vantagem para x no início da votação. É fácil ver que tal procedimento satisfaz

Anonimidade e Resposta Positiva, mas não satisfaz Neutralidade entre Alternativas. Seguindo o formalismo no enunciado da questão, tal funcional pode ser escrito como: f S (f 1 ;:::;f N ) =

N i=1 N i=1 N i=1

1 se 0 se 1 se

8< PP : P

f i > f i = f i <

1; 1; 1:

(c) Uma variação da regra da maioria simples que dá mais importância a alguns indivíduos

do que outros pode ser um funcional que dê diferentes pesos aos indivíduos. Suponha que  1 ; 2 ;:::;N > 0 . No formalismo do enunciado da questão, a versão da regra da maioria em que os indivíduos têm pesos diferentes pode ser escrita como: f S (f 1 ;:::;f N ) =

N i=1 N i=1 N i=1

1 se 0 se 1 se

8< PP : P

i f i > 0; i f i = 0; i f i < 0:

É fácil ver que o procedimento acima satisfaz Neutralidade entre Alternativas e Resposta Positiva, mas não satisfaz Anonimidade. k

28.2

Segunda Prova

Questão 28.2.1. Duas empresas, F 1 e F 2 , vendem exatamente o mesmo produto e a competição

entre ambas se dá pela …xação simultânea das suas quantidades a serem produzidas. A parte da demanda nesta economia é representada pela seguinte curva de demanda inversa: p (y1 + y2 ) = 120

 (y + y ) : 1

2

Finalmente, os custos de produção das …rmas 1 e 2 são dados por C (yi ) = yi2 , para i = 1; 2: A situação acima pode ser representada por um jogo. Os conjuntos de estratégias de ambos os jogadores são dados por A 1 = A 2 = [0; 1), em que uma estratégia y i 2 Ai é simplesmente a quantidade que a …rma F i decide produzir. Os ganhos dos jogadores serão dados pelos seus lucros, dadas as escolhas de produção de ambos. (a) Calcule as quantidades y 1 e y 2 que ambas as …rmas vão produzir em equilíbrio. Ou seja,

encontre o único equilíbrio de Nash do jogo descrito acima. (1 ponto)

28.2. SEGUNDA PROVA

177

(b) Suponha que as empresas façam um conluio e resolvam maximizar o lucro agregado.

Quanto cada empresa vai produzir agora? (1 ponto) (c) Suponha agora que, após a empresa 2 já haver de…nido a sua produção de acordo com o

valor encontrado na letra (b), a empresa 1 resolva trapacear e simplesmente maximizar o seu lucro individual. Quanto a empresa 1 produzirá neste caso? (1 ponto) Solução. (a) Suponha que a …rma 2 esteja produzindo uma quantidade genérica y 2 . A escolha ótima

da …rma 1 resolve o seguinte problema: max (120 y1

2 1

 (y + y )) y  y 1

2

1

A condição de primeira ordem do problema acima é dada por 4y1 = 120

y . 2

Similarmente, a condição que caracteriza a escolha ótima da …rma 2 quando a …rma 1 produz uma quantidade genérica y 1 é 4y2 = 120

y : 1

Um equilíbrio de Nash para jogo acima é um par (y1 ; y2 ) que satisfaz as duas equações acima simultaneamente. Resolvendo o sistema acima nós obtemos y 1 = y2 = 24: (b) O problema que caracteriza a maximização do lucro agregado é dado por max (120 y1 ;y2

2 1

2 2

 (y + y )) (y + y )  y  y 1

2

1

2

As condições de primeira ordem do problema acima são 4y1 = 120

 2y

4y2 = 120

 2y :

2

e 1

Resolvendo o sistema acima nós obtemos y 1 = y2 = 20: (c) Agora, a produção da empresa 2 já está …xa no valor y2 = 20. Portanto, o problema

que caracteriza a escolha ótima da …rma 1 é max (120 y1

2 1

 (y + 20)) y  y 1

1

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá y 1 = 25:

k

178


Questão 28.2.2. Considere o seguinte jogo em forma matricial:




 



Encontre todos os equilíbrios de Nash em estratégias mistas para o jogo acima. (2 pontos) Solução. Na verdade, o jogo acima é exatamente o jogo de par ou ímpar que estudamos nas notas de aula. Tudo que eu …z foi multiplicar o ganho do jogador 1 por 2 e o do jogador 2 por 3 em todas as situações. Como vamos ver abaixo, isto não altera em nada a solução do jogo.28.3 Sejam  2 [0; 1] as estratégias do jogador 1 e  2 [0; 1] as do jogador 2. Conforme o nosso roteiro usual de solução, tentemos primeiro encontrar um equilíbrio de Nash ( ;   ) em que   = 1. Se   = 1, o ganho de uma estratégia  genérica do jogador 2 é dado por U 2 (1;  ) =  ( 3) + (1



  )  3.

É claro que a única melhor resposta para o jogador 2 neste caso é  = 0 . Portanto, se existe um equilíbrio de Nash em que  = 1, este tem que ser ( ;   ) = (1; 0). Mas observe que, se 2 está jogando   = 0, então o ganho de uma estratégia  genérica do jogador 1 é dado por U 1 (; 0) =  ( 2) + (1



 )  2:




  )  (3) :




 )  (2) :

Mas é evidente que a única melhor resposta para 1 neste caso é jogar  = 1. Portanto o per…l (0; 1) não é um equilíbrio de Nash do jogo e nós concluímos que o jogo não tem nenhum equilíbrio de Nash em que  = 0. Só nos resta agora tentar encontrar um equilíbrio de Nash ( ;   ) em que 0 <  < 1 . Pela proposição que aprendemos nas notas de aula, nós sabemos que tal estratégia  só pode ser uma melhor resposta contra   (independentemente de quem seja   ) se U 1 (1;   ) = U 1 (0;   ) : 28.3 Este

é um resultado geral. Em qualquer jogo, se você multiplicar os ganhos de um jogador por uma constante positiva, a solução do jogo não se altera. Isto está relacionado com o fato de que se você multiplicar uma representação por utilidade esperada de uma preferência por uma constante positiva você obtém outra representação por utilidade esperada da mesma preferência.

28.2. SEGUNDA PROVA

179

Em termos dos ganhos no nosso jogo a condição acima pode ser escrita como    2 + (1    )  (2) =    (2) + (1    )  2:

Resolvendo a equação acima nós obtemos   = 1=2. Portanto, em um equilíbrio de Nash com 0 <  < 1, o jogador 2 tem que estar jogando   = 1=2. Mas observe que 0 <   < 1. Como   também tem que ser uma melhor resposta contra   , novamente, pela proposição nas notas de aula, nós temos que ter. U 2 ( ; 1) = U 2 (; 0) : Em termos dos ganhos no nosso jogo a condição acima pode ser escrita como   (3) + (1   )  3 =    3 + (1   )  (3) :

Resolvendo a equação acima nós obtemos  = 1=2. Portanto,  = 1=2 faz com que qualquer estratégia do jogador 2 seja uma melhor resposta para ele e   = 1=2 faz com que qualquer estratégia do jogador 1 seja uma melhor resposta para ele. Logo  = 1=2 é uma melhor resposta contra   = 1=2 e   = 1=2 é uma melhor resposta contra  = 1=2. Nós concluímos que (1=2; 1=2) é um equilíbrio de Nash para o jogo acima. Como nós já testamos todas as possibilidades, este na verdade é o único equilíbrio do jogo. k Questão 28.2.3. Considere o modelo de perigo moral que estudamos nas notas de aula. Ou seja, suponha que uma …rma queira contratar um gerente para a realização de um projeto. O retorno do projeto pode ser alto,  H , ou baixo,  L , em que  H >  L . O gerente tem a opção de se esforçar ou não. Quando o gerente se esforça a probabilidade do retorno do projeto ser alto é pe e quando ele não se esforça a probabilidade do retorno ser alto é pn , em que 0 < pn < pe < 1. Quando o gerente se esforça ele incorre em um custo ce > 0. A …rma oferecerá um contrato de trabalho, (wH ; wL ) ; que estipula o salário do gerente no caso de um retorno alto e de um retorno baixo. O objetivo da …rma é maximizar o seu lucro esperado. Isto é, maximizar pi (H  wH ) + (1  pi) (L  wL ) em que i = e ou n, dependendo de o gerente se esforçar ou não. Para completar, suponha que o gerente seja um maximizador de utilidade esperada com uma função de utilidade genérica. Ou seja, quando ele se esforça a sua utilidade esperada é dada por U e (wH ; wL ) = p eu (wH ) + (1  pe) u (wL )  ce, e no caso em que ele não se esforça é dada por U n (wH ; wL ) = p nu (wH )  (1  pn ) u (wL ), em que u é um função qualquer. (a) Suponha que a …rma consiga observar se o gerente se esforça ou não. Escreva o problema

que representa a escolha do contrato ótimo para a …rma quando ela exige que o gerente se esforce (1,5 pontos). (1,5 pontos) (b) Suponha que a função u acima seja estritamente convexa. Ou seja, o gerente é estritamente

AMANTE ao risco. Argumente, de forma apenas intuitiva, que neste caso o problema que você escreveu na letra (a) não tem solução (Dica: mostre que para qualquer contrato (wH ; wL ) que satisfaça a restrição do problema que você escreveu na letra (a) existe um outro contrato (w^H ; w^L ) que também satisfaz a restrição do problema, mas que dá um lucro esperado maior para a …rma. Isto é mais ou menos o que signi…ca o problema não ter solução. A sua tarefa é explicar intuitivamente como construir (w^H ; w^L ). ATENÇÃO! É para explicar apenas intuitivamente, não é para fazer nenhuma conta.) (1,5 pontos)


180 Solução.

(a) Como os esforço é observável, a …rma só tem que escolher o melhor contrato dentre

aqueles que o gerente considera melhor do que não trabalhar. Ou seja, o problema da …rma é max pe (H

 w

wH ;wL

H )

+ (1

 p ) (  w e

L)

L

sujeito a pe u (wH ) + (1

 p ) u (w )  c  0: e

L

e

(b) Para um dado contrato de salários (wH ; wL ) de…na E (wH ; wL ) como o valor esperado do contrato (wH ; wL ) quando o gerente se esforça. Ou seja, E (wH ; wL ) := pe wH + (1 pe ) wL . Observe que o lucro esperado da …rma quando ela oferece um contrato de trabalho (wH ; wL ) e o gerente se esforça pode ser escrito como



 = pe H + (1

 p )   E (w e

H ; wL ) :

L

Intuitivamente, como o gerente é amante do risco, dentre dois contratos de salário que tenham o mesmo valor esperado ele prefere estritamente aquele que tem mais risco. Suponha que (wH ; wL ) satisfaça a restrição do problema escrito na letra (a). Ou seja, suponha que (wH ; wL ) satisfaça pe u (wH ) + (1

 p ) u (w )  c  0: e

L

e

O valor esperado do contrato salarial acima é E (wH ; wL ) = p e wH + (1  pe ) wL . Vamos agora construir um contrato (w~H ; w~L ) que tenha o mesmo valor esperado do contrato acima, mas que seja mais arriscado. Fixe  > 0. Note que se de…nirmos w ~H := wH +  e w ~L := w L  1p pe e  , nós temos E (w~H ; w ~L ) = pe ~ wH + (1  pe ) w ~L = pe wH + (1  pe ) wL = E (wH ; wL ). Ou seja, o contrato (w ~H ; w ~L ) tem o mesmo valor esperado do contrado (wH ; wL ). No entanto, (w~H ; w~L ) é um contrato mais arriscado. De…na (1 pe ) (wH wL ) : (1 pe ) (wH wL ) + 

   +(1  ) ( p w +(1  p ) w  :=



Observe agora que w~H ~L +(1  ) ( pe wH + e H e L ) = w H e w (1  pe ) wL ) = w L . Como u é uma função estritamente convexa nós temos pe u (wH ) + (1 pe ) u (wL ) ce = pe u (w~H + (1 ) ( pe wH + (1 pe ) wL )) + (1 pe ) u (w ~L + (1 ) ( pe wH + (1 pe ) wL )) ce <  ( pe u(w ~H ) + (1 pe ) u(w ~L )) + (1 ) u ( pe wH + (1 pe ) wL ) ce <  ( pe u(w ~H ) + (1 pe ) u(w ~L )) + (1 ) ( pe u (wH ) + (1 pe ) u (wL ))



 



 







 



 



c

Da primeira e última linha acima nós …camos com  ( pe u(w ~H ) + (1

 p ) u(w~ )  c ) >  ( p u (w e

L

e

e

H )

+ (1

 p ) u (w )  c ) : e

L

e

e

28.2. SEGUNDA PROVA

181

Como pe u (wH )+(1  pe) u (wL )ce  0, nós concluímos que pe u(w~H )+(1  pe ) u(w~L ) ce > 0. Ou seja, o contrato (w ~H ; w ~L ) satisfaz a restrição do problema de forma estrita. Além disto, o contrato (w~ H ; w~L ) tem o mesmo valor esperado do contrato (wH ; wL ) e, portanto, como nós vimos acima, dá o mesmo lucro para …rma. Mas então, se de…nirmos um novo contrato (w^H ; w^L ) em que w^H = w~H  " e w ^L = w ~L  ",para " su…cientemente pequeno, a restrição do problema continuará sendo satisfeita. Porém, o contrato (w^H ; w^L ) dá um lucro estritamente maior para a …rma do que o contrato (wH ; wL ). Como o contrato inicial (wH ; wL ) foi escolhido de forma totalmente arbitrária, isto mostra que o problema escrito na letra (a) não tem solução.28.4 k Questão 28.2.4 (competição x cooperação). Um dono de restaurante pode escolher entre

dois esquemas de incentivos para gerenciar os seus dois garçons. Ele pode dividir as mesas entre os garçons de modo que cada um deles atenda somente às mesas que lhe são designadas, ou ele pode permitir que ambos cooperem e atendam a todas as mesas. No primeiro caso, quando o primeiro garçom coloca um esforço x e o segundo um esforço y , o lucro do estabelecimento é igual a 10x + 10y. Além disto, o primeiro garçom recebe uma grati…cação igual a 101  10x = x e o segundo recebe uma grati…cação igual a 101  10y = y. Ou seja, ambos os garçons recebem uma grati…cação igual a 10% do que eles venderam. No segundo caso, quando os garçons cooperam, existe uma externalidade positiva entre eles e o lucro do estabelecimento acaba sendo igual a 10x + 10y + 10xy, em que  é um parâmetro. Neste caso, cada garçom recebe uma grati…cação igual a 5% do lucro do estabelecimento. Ou seja, a grati…cação de cada garçom é dada por 201 (10x + 10y + 10xy) = x+y+xy . Finalmente, 2 em ambos os casos, quando o primeiro garçon faz um esforço x, este paga um custo igual a x2 . Similarmente, quando o segundo garçon faz um esforço y este paga um custo igual a y 2 . A utilidade de cada garçon é dada pela diferença entre o que ele recebe de grati…cação e o custo que ele paga pelo esforço. Ou seja, no primeiro caso a utilidade do primeiro garçom é  x2. A utilidade do segundo garçom tem um formato análogo. x  x2 e no segundo é x+y+xy 2 (a) Suponha que o dono do restaurante implemente o primeiro esquema de incentivos.

Quanto cada garçom se esforçará e qual será o lucro do restaurante neste caso? (1,5 pontos) (b) Suponha agora que o dono do restaurante implemente o segundo esquema de incentivos. Quanto cada garçom se esforçará agora? Calcule o lucro do restaurante para  = 0; 1 e 2, e diga que esquema de incentivos é melhor (do ponto de vista do dono do

restaurante) em cada caso (Dica: A situação agora é estratégica e vocês já sabem que tipo de ferramenta tem que ser usada para modelar situações estratégicas). (1,5 pontos). 28.4 Eu

…z a análise formal completa na solução acima, mas, como estava claro no enunciado da questão, uma análise intuitiva era su…ciente. O que eu queria ver mesmo na questão era a idéia de que sempre se pode aumentar wH e diminuir wL de modo a se fazer um contrato mais arriscado e de mesmo valor esperado. Como o agente é amante ao risco ele achará o novo contrato estritamente melhor do que o contrato original. Mas então nós podemos diminuir um pouco os dois salários que o gerente continuará achando que é melhor trabalhar sob o novo contrato do que não trabalhar. Isto aumenta o lucro da …rma e mostra que o problema não tem solução.


182 Solução.

(a) O problema de maximização de utilidade do primeiro garçom é max x x

2

x

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá x = 1=2. O problema do segundo garçom é análogo e nós também obtemos y = 1=2. O lucro do restaurante, antes do desconto das grati…cações dos garçons, é 10x + 10y = 10.28.5 (b) Quando o dono do restaurante implementa o segundo esquema de incentivos a situação

se torna estratégica e tem que ser modelada como um jogo. Tentemos encontrar os equilíbrios de Nash do jogo em que os garçons escolhem quanto esforço fazer. Se o garçom 2 estiver fazendo um esforço genérico y o esforço ótimo do garçom 1 resolve max x

x + y + xy 2

2

x

A condição de primeira ordem do problema acima pode ser escrita como x =

1 + y : 4

O problema do segundo garçom é análogo e, portanto, a escolha ótima do segundo garçom quando o primeiro faz um esforço x satisfaz y =

1 + x : 4

Um equilíbrio de Nash para o jogo acima é um par (x ; y ) que satisfaz as duas equações acima simultaneamente. Resolvendo o sistema acima nós obtemos x = y = 41  . Com 2 tais níveis de esforço o lucro do restaurante é  = 10 42  +  41  .28.6 Quando e, …nalmente,  = 0 a expressão acima nos dá  = 5. Quando  = 1 nós temos  = 70 9 quando  = 2 nós temos  = 15. Nos dois primeiros casos o primeiro esquema de incentivos é melhor e quando  = 2 o segundo esquema de incentivos é melhor. k



28.3

 

Prova Substitutiva

Questão 28.3.1 (Equilíbrio Geral com Preferências Homotéticas.). Existe uma classe de

funções de utilidade chamada de funções homotéticas. Estas funções têm a propriedade de que o preço de equilíbrio independe de como as dotações iniciais são distribuídas entre os indivíduos. Abaixo nós estudaremos duas destas funções: 28.5 O lucro após o pagamento das grati…cações dos garçons será igual a 28.6 Este é o lucro antes do pagamento da grati…cação dos garçons.

grati…cações será 9



  2

2 4

+

1

4

.

9. O lucro após o pagamento das


183

(a) Considere uma economia de trocas com dois indivíduos, A e B e dois bens, x e y . As dotações iniciais dos indivíduos satisfazem wAx + wBx = w x e w Ay + wBy = w y . As funções

de utilidade dos dois indivíduos são dadas por U i (xi ; yi ) =

p x + p y , para i = A; B: i

i

Mostre que o preço que vigora no único equilíbrio competitivo da economia acima independe dos exatos valores de wAx , wAy , wBx e wBy . Ou seja, encontre o preço de equilíbrio competitivo da economia acima e mostre que o seu valor é função apenas de wx e wy . (1,4 pontos) (b) Suponha agora que a nossa economia tenha n indivíduos, 1; 2;:::;n, e dois bens, x e y . Suponha que as dotações iniciais na nossa economia satisfaçam w1x +w2x +:::+wnx = w x e w1y + w2y + ::: + wny = w y . As funções de utilidade dos indivíduos são dadas por U i (xi ; yi ) = (xi ) (yi )1 , para i = 1; 2;:::;n, para algum 0 <  < 1:

Ou seja, todos os consumidores são Cobb-Douglas com o mesmo parâmetro . Novamente, mostre que o preço que vigora no único equilíbrio competitivo da economia acima independe das exatas dotações iniciais e, também, independe do número de indivíduos, n, na economia. Ou seja, encontre o preço de equilíbrio competitivo da economia acima e mostre que o seu valor é função apenas de w x e wy . (1,4 pontos) Solução. (a) Fazendo o preço do bem x como numerário, o problema dos consumidores pode ser

escrito como:

p p y

max xi + xi ;yi

sujeito a

i

xi + pyi = w ix + pwiy

Usando a restrição para eliminar x i da função objetivo, o problema simpli…ca-se para max yi

 py + p y

q

wix + pwiy

i

i

Da condição de primeira ordem do problema acima nós temos 1 1 p = 2 yi 2

p

1 wix + pwiy

 py :

p

i

Elevando os dois lados da equação acima ao quadrado, simpli…cando os termos possíveis e, posteriormente, invertendo as duas frações, nós …camos com wix + pwiy

2

 py = p y : i

i

Isolando y i na expressão acima, nós obtemos wix + pwiy , para i = A; B: yi = p2 + p


184

Para encontrar o preço de equilíbrio, basta equilibrar o mercado para o bem y . A condição de equilíbrio de mercado para o bem y é yA + yB = w y

()

x wA + pwAy w Bx + pwBy + = w y 2 2 p + p p + p

()

y y x x (wA + wB ) + p (wA + wB ) = p2 + p wy

  () 

wx + pwy = p2 + p wy

()

wx p = y : w 2

Portanto, em equilíbrio, p =

w x =wy .

p

(b) Agora todos os consumidores são Cobb-Douglas e nós já sabemos que as suas demandas pelo bem x , por exemplo, serão dadas por xi =  (wix + pwiy ) :

Equilibrando o mercado para o bem x nós temos x1 + ::: + xn = w x

()

 (w1x + pw1y ) + ::: +  (wnx + pwny ) = w x  (w1x

+ ::: +

wnx ) +

()

p (w1y + ::: + wny ) = w x

()

wx + pwy = w x

() (1  ) w p =

x

wy



:

k

Questão 28.3.2 (Descontos para Estudantes). Suponha que um monopolista venda em um

mercado que tenha dois tipos de consumidores: estudantes e consumidores regulares. A curva de demanda dos estudantes é dada por q e = (2

e a dos consumidores regulares é dada por q r = (1

 3 p ) e

 p ) : r

Por simplicidade, suponha que o custo de produção do monopolista é constante e igual a zero.


185

(a) Suponha que o mercado seja composto só por estudantes. Que preço o monopolista

cobrará? E se o mercado for composto só por consumidores regulares, que preço o monopolista cobrará? (1,2 pontos) (b) Suponha agora que uma fração  dos consumidores seja de estudantes e uma fração (1 ) seja de consumidores regulares. Isto é, o lucro do monopolista assume o seguinte formato:  = (lucro obtido com estudantes ) + (1 ) (lucro obtido com consumidores regulares ). Suponha, também, que o governo imponha uma lei que obrigue





que o preço cobrado dos estudantes seja sempre igual à metade do preço cobrado dos consumidores regulares. Assumindo que o monopolista vá sempre tentar atender aos dois mercados, calcule o preço cobrado dos consumidores regulares (o preço cobrado dos estudantes será a metade) como função de . Observe que a fórmula para o preço encontrada é uma função crescente em relação a , ou seja, quanto maior é a parcela da população composta por estudantes, maior é o preço. Explique intuitivamente por que isto ocorre, utilizando o que você aprendeu na letra (a). (1,4 pontos) Solução. (a) Se o mercado for composto só por estudantes, o problema do monopolista pode ser

escrito como max (2 pe

 3 p ) p :28.7 e

e

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá pe = 1=3. Quando o mercado é composto só por consumidores regulares o problema do monopolista pode ser escrito como max (1 pr ) pr



pr

Da condição de primeira ordem do problema acima nós obtemos que p r = 1=2. (b) Agora o problema do monopolista pode ser escrito como p p 3 + (1 2 2

 

max  2 p

 ) (1  p) p

Da condição de primeira ordem do problema acima nós temos

 

 1

3 p + (1 2

 ) [1  2 p] = 0 ()

p = 28.7 Eu

2

4

 :

estou escrevendo o monopolista como um em que ele escolhe o preço. Alternativamente, eu poderia ter derivado a curva de demanda inversa e escrito o problema como um em que ele escolhe a quantidade. As duas abordagens se equivalem, mas como na letra (b) será mais conveniente escrever o problema como um em que o monopolista escolhe o preço, eu optei por usar a abordagem em que o monopolista escolhe o preço desde o início.


186

Como o exercício já havia nos informado, p é uma função crescente de  . Além disto, nós podemos observar que quando  = 0 e, portanto, só existem consumidores regulares no mercado, p = 1=2, que é o preço que encontramos na letra (a). Além disto, quando  = 1 e, portanto, só existem estudantes, p = 2=3, o que nos dá um preço para estudantes igual a 1=3, que é exatamente o valor que encontramos na letra (a). A razão pela qual o preço é uma função crescente de  é simples. Quando  é pequeno, o monopolista se importa mais com as vendas para consumidores regulares e, portanto, quanto menor , mais p se aproxima de 1=2. A medida que  aumenta, as vendas para estudantes passam a ser mais importantes e p=2 se aproxima de 1=3 o que é equivalente a dizer que p se aproxima de 2=3: k Questão 28.3.3. Suponha que em um mercado de carros usados existam dois tipos de carros:

os de qualidade alta, que têm um valor monetário, para os potenciais vendedores, igual a q h = 110, e os de qualidade baixa, que têm um valor monetário, para os potenciais vendedores, igual a q l = 70. A princípio, metade dos carros são de qualidade alta e metade são de qualidade baixa. Os potenciais compradores aceitam pagar um valor igual a 32 q por um carro de qualidade esperada igual a q . (a) Suponha que um potencial comprador veja um carro sendo vendido por um preço p. Qual o máximo valor de p pelo qual um potencial comprador (100% racional) aceitará

comprar o carro? Considere que quando indiferentes entre vender e não vender um carro os potenciais vendedores o vendem. (1,4 pontos) (b) Suponha agora que exista ainda um outro tipo de carro, o de qualidade baixíssima, com valor, para os vendedores, igual a q b = 30. Considere que 1=3 dos carros tenham qualidade q b , 1=3 tenham qualidade q l e 1=3 tenham qualidade q h . Qual o máximo valor p que um potencial comprador aceitará pagar por um carro usado agora. (1,4

pontos) Solução. (a) Suponha que p

 110. Neste caso, os potenciais compradores sabem que tanto os donos

de carros de qualidade q l como os donos de carros de qualidade q h estão vendendo os seus carros. Portanto, a qualidade esperada de um carro usado sendo vendido é 1 q + 12 q h = 90. O máximo valor que um potencial comprador aceita pagar por um 2 l carro de qualidade esperada igual a 90 é 90  32 = 135. Ou seja, 135 é o máximo valor que um potencial comprador aceitará pagar por um carro usado neste caso. (b) Suponha primeiro que p

 110.

Neste caso, os potenciais compradores sabem que carros de todas as qualidades estão a venda e a qualidade esperada de um carro usado no mercado é 13 q b + 13 q l + 13 q h = 70. O máximo valor que um potencial comprador aceita pagar por um carro de qualidade esperada igual a 70 é 70  32 = 105. Portanto, um potencial comprador nunca comprará um carro com preço maior ou igual a 110. Testemos um preço p tal que 70  p < 110. Neste caso, os potenciais compradores sabem que apenas carros de qualidade q b e q l estão a venda. A qualidade esperada de um carro usado no mercado é 12 q b + 12 q l = 50. O máximo valor que um potencial


187

comprador aceita pagar por um carro de qualidade esperada igual a 50 é 50  32 = 75. Portanto, o máximo valor que um potencial comprador aceitará pagar por um carro usado neste caso é 75 . k Questão 28.3.4 (Praia Inclinada). Considere, novamente, o problema de dois sorveteiros

que estão escolhendo aonde se posicionarem em uma praia. Como nas notas de aula, modele a praia como o intervalo [0; 1] e suponha que os consumidores estejam distribuídos de maneira uniforme pela praia. A diferença é que agora nós assumiremos que a praia encontra-se em uma rampa, em que 0 é o ponto mais baixo da rampa e 1 é o ponto mais alto. A nossa hipótese será que os consumidores não gostam de subir a praia para comprar sorvete, portanto, sempre que um sorveteiro estiver à direita do consumidor e o outro à esquerda, o consumidor comprará do vendedor à esquerda (os consumidores …cam tão felizes ao comprar um sorvete que não se importam com o fato de que eles precisarão subir a praia para voltar aos seus lugares quando descem a praia para comprar o sorvete). Caso os dois sorveteiros estejam à direita ou à esquerda do consumidor, então este compra do sorveteiro mais próximo. A nossa análise aqui será mais intuitiva, portanto, não será necessário discretizar o intervalo [0; 1] como nas notas de aula. Ou seja, suponha que os sorveteiros podem escolher qualquer número entre 0 e 1. (a) Argumente intuitivamente (com …guras, etc.) que o per…l em que ambos os sorveteiros

se posicionam no centro da praia ainda é um equilíbrio de Nash do jogo neste caso. (1,4 pontos) (b) Será que existem outros equilíbrios? Justi…que bem a sua resposta. Discuta bem o

máximo de casos que você conseguir analisar. (1,4 pontos) Solução. (a) Seja  a posição escolhida pelo sorveteiro 1 e  a posição escolhida pelo sorveteiro 2. Vamos mostrar que o per…l ( ;   ) = (1=2; 1=2) é equilíbrio de Nash do jogo.

Para tanto, precisamos mostrar que ambos estão jogando uma melhor resposta contra a estratégia que o outro está usando. Primeiro, observe que, como os dois estão exatamente na mesma posição, ambos vendem uma quantidade igual a 1=2. Vamos mostrar que o sorveteiro 2 está jogando uma melhor resposta. Suponha que o sorveteiro 2 desvie para uma posição à direita de 1=2, ou seja, suponha que o sorveteiro 2 jogue um  > 1=2. Neste caso, todos os consumidores à esquerda desta nova posição comprarão do sorveteiro 1 e o ganho do sorveteiro 2 será igual a 1   < 1=2. Suponha agora que o sorveteiro 2 desvie para uma posição  < 1=2. Neste caso, todos os consumidores à esquerda de 1=2 comprarão do sorveteiro 2 e os à direita de 1=2 comprarão do sorveteiro 1. O ganho do sorveteiro 2 continua sendo 1=2 neste caso. Nós concluímos que jogar 1=2 é de fato uma melhor resposta contra 1=2. Como o problema do sorveteiro 1 é análogo ao do sorveteiro 2, isto mostra que (1=2; 1=2) é um equilíbrio de Nash do jogo. (b) É fácil mostrar que não existem outros equilíbrios. Analisemos primeiro per…s em que  =  . Neste caso, ambos os jogadores estarão obtendo um ganho igual a 1=2. Se  =  > 1=2, o sorveteiro 1, por exemplo, poderia desviar para uma posição  ^ :=

CAPÍTULO CAPÍTULO 28. PRIMEIR PRIMEIRO O SEMESTRE SEMESTRE DE 2010

188

 " > 1= 1 =2. Neste caso o seu ganho seria igual a  , que é estritamente maior do que sorveteiro 1 poderia desviar para uma posição ^ :=  1=2. Se  =  =   < 1= 1 =2, o sorveteiro := + + " < 1= 1 =2. Neste caso o seu ganho seria igual a 1 ( + ") > 1 > 1==2. Nós concluímos que per…s em que  =  = 1=2 não são equilíbri equilíbrios os de Nash. Nash. Suponha, Suponha, então, então, que  >  . Nest Nestee caso, o ganho do jogador 1 é igual a 1 . Mas se ele desviasse para um ^ (; ( ; ) o seu ganho seria igual a 1 ^ > 1 . Nós Nós conc concluí luímo moss que que também também não existe existe equilíbrio de Nash neste caso. Como o caso  >  é análogo, isto mostra que, de fato, ( ;   ) = (1= (1=2; 1=2) é o único equilíbrio de Nash do jogo.



6



  

2

k

Capítulo 29 Segundo Semestre de 2010 29.1 29 .1

Prim Primei eira ra Pro Prova


trocas com dois consumidores e dois bens. Suponha que a dotação agregada de ambos os bens seja igual a 1. Para Para os pares pares de funções funções de utilidade utilidade abaixo, abaixo, caracteriz caracterizee todas todas as aloca alocaçõ ções es e…cientes no sentido de Pareto e diga quais dessas alocações e…cientes são justas. 1 2 1 2 e U B (xB1 ; xB2 ) = xB1 + xB2 . (Dic (Dica: Para Para resolve resolverr a questão questão use (a) U A (xA ; xA ) = xA + x + xA

apenas lógica. Se você prestar atenção na de…nição de e…ciência no sentido de Pareto e olhar para as funções de utilidades dos agentes com atenção tudo …cará claro. Além disto, não precisa ser muito formal. Se você me explicar bem a sua lógica com palavras já é su…ciente. su…ciente. Mas tem que explicar.) explicar.) (1,5 pontos). pontos).

1 2 1 2 e U B (xB1 ; xB2 ) = xB1 + 2xB2 . (Dica: (Dica: Novamente, Novamente, para para resolver resolver (b) U A (xA ; xA ) = 2xA + x + xA

a questão use apenas apenas lógica. lógica. Agora gora voc você tem que pensar um pouco ouco mais, mas se voc você prestar atenção na de…nição de e…ciência no sentido de Pareto e olhar para as funções de utilidades dos agentes com atenção provavelmente você ainda será capaz de resolver a questão.) (1,5 pontos).

Solução. (a) Note que para qualquer alocação factível na economia acima 1 2 1 2 U A xA ; xA + U B xB ; xB

1 2 1 2 = xA + xA + xB + xB 1 1 2 2 = xA + xB + xA + xB = 2:

    





Como a soma das utilidades dos dois indivíduos é constante, …ca claro que sempre que aumen aumentar tarmos mos a utilidad utilidadee de um deles deles a utilidad utilidadee do outro irá diminu diminuir. ir. Isto mostra mostra que todas as alocações factíveis, isto é todas as alocações em que xA1 + x B1 = 1 e 2 2 e…cientes es no sentido sentido de Pareto. Pareto. Finalme Finalment nte, e, como como as funções funções de xA + x B = 1, são e…cient utilidade dos dois indivíduos são iguais, caso um tenha utilidade maior do que o outro, o outro outro sempre sempre sentirá sentirá inveja inveja.. Isto mostra mostra que as alocações alocações justas são as alocações alocações 1 2 1 2 factíveis que satisfazem x A + xA = 1 = x B + xB . 189


190

1 2 Neste caso, caso, considere considere uma uma (b) Primeiro estudemos alocações em que xA < 1 e xB < 1. Neste 1 2 1 2 1 2 1 2 nova alocação (^xA ; ^xA) := (x (xA + "; xA ") e (^xB ; ^ xB ) := (x (xB "; xB + "), em que " 1 2 1 2 é pequeno o su…ciente de modo que [(^xA ; ^xA) ; (^xB ; ^xB )] seja uma alocação factível.





Agora observe que

1 2 U A xÂ ; ^ xA

= = > =

1 2 2 xA + " + xA 1 2 2xA + xA + " 1 2 2xA + xA 1 2 U A xA ; xA

1 2 U B x^B ; ^ xB

= = > =

1 2 xB " + 2 xB + " 1 2 xB + 2x 2 xB + " 1 2 xB + 2x 2 xB 1 2 U B xB ; xB :

 

         

e

 

"

Isto mostra que alocações em que xA1 < 1 e xB2 < 1 não são e…cient e…cientes. es. Estudem Estudemos os 2 2 agora alocações do tipo [(1; [(1; xA ) ; (0; (0; 1  xA )]. Fixe uma outra alocação factível factível qualquer qualquer 1 2 1 2 1 1 2 1 2 [(^xA ; ^ xA ) ; (1  xÂ ; 1  xÂ )]. De…na  := := 1xÂ . Se  = = 0, então [(^xA ; ^ xA ) ; (1  xÂ ; 1  xÂ )] é somente uma transferência de bem 2 de um indivíduo para o outro e, logicamente, não pode melhorar a situação de um indivíduo sem piorar a do outro. Se  > 0 , para 2 2 que U A (^xA1 ; ^xA2 )  U A (1;  xA2  2 (1; xA ) nós necessariamente temos que ter x Â 2  . Mas isto implica que U B 1



1 xÂ ;1

2 A

B

2 A

 

 x^  U

0; 1

x



2 =  2 xÂ  4 < 0:

  



2 A

x



1 2 2 1 2 Ou seja, se ^xA1 < 1 < 1 e U A (^xA ; ^ xA )  U A (1; (1; xA ), então necessariamente U B (1  xÂ ; 1  xÂ ) < 2 2 2 Isto mostra mostra que todas todas as alocaçõ alocações es do tipo [(1; U B (0; (0; 1  xA ). Isto [(1; xA ) ; (0; (0; 1  xA )] são e…cientes no sentido de Pareto. Um raciocínio simétrico mostra que todas as alocações 1 1 do tipo [(x também bém são e…cien e…cientes. tes. Resta Resta investig investigar ar quais dessas [(xA ; 0) ; (1  xA ; 1)] tam 2 2 alocações alocações são justas. justas. Conside Considere re uma alocação alocação do tipo [(1; fácil [(1; xA ) ; (0; (0; 1  xA )]. É fá A 2 A 2 checar que U (1; (1; xA ) > U (0; (0; 1  xA ), portanto o agente A não inveja o agente B . Para que o agente B não tenha inveja do agente A é necessário que

U B 0; 1



2 A

  

2 1

x

2 xA

1 4 2 Portanto, alocações do tipo [(1; [(1; xA ) ; (0; (0; 1

 ()  () 

2 U B 1; xA

 

2 1 + 2x 2 xA

2 xA :

serão justas se, e somente se, xA2  1=4. 1 1 Um raciocínio simétrico mostra que alocações do tipo [(x [( xA ; 0) ; (1  xA ; 1)] serão justas 1 se, e somente se, 1  xA  1=4, ou, equivalentemente, se, e somente se, x A1  3=4. k 2 A )]

x


191

Questão 29.1.2. Considere uma …rma que atue em um mercado em que a curva de demanda inversa seja dada por p (q ) = 12 2q . Suponha que a função custo da …rma seja dada por c (q ) = q 2 .



(a) Suponha primeiro que o mercado seja competitivo. Calcule o lucro da …rma neste caso.

Explique o seu raciocínio, só a resposta não vale nada. (1 ponto). (b) Suponha agora que a …rma atue como monopolista. Calcule o lucro da …rma. (1 ponto). (c) Finalmente, suponha que a …rma atue como monopolista e pratique discriminação de

preços de primeiro grau. Calcule o lucro da …rma. (1,5 pontos) Solução. (a) Neste caso, a …rma age como tomadora de preços e resolve o seguinte problema: max pq q

2

 q

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá q = p2 . Em equ equil ilíb íbri rio, o, a quantidade ofertada pela …rma tem que ser mesma quantidade utilizada para a determinação do preço na curva de demanda inversa o que implica que p satisfaz p = p = 12

 p;

o que por sua vez implica que p = p = 6. Dado o que nós aprendemos acima, isto implica que q = q = 3. O lucro da …rma neste caso será  = 6  3  32 = 9: (b) O problema da …rma monopolista é max (12 q

2

 2q ) q  q

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá 12

 4q  2q = = 0;

o que implica que q = 2. Da curva curva de demanda demanda invers inversaa nós obtemos obtemos que p = 8. O lucro do monopolista neste caso é  = 8  2  4 = 12: 12: (c) Quando o monopolista pode praticar discriminação de preços de primeiro grau, ele vende

cada unidade do bem para o consumidor que está disposto a pagar o preço máximo por ela e ele continua vendendo até que o preço da última unidade vendida seja exatamente igual ao seu custo marginal. Ou seja, a quantidade quantidade vendida por um monopolista que pratica discriminação de preços de primeiro grau resolve 12

 2q = = 2q;

o que implica que q = 3. Como Como cada unidade unidade é vendid vendidaa pelo máximo máximo preço preço que um consumidor está disposto a pagar pela unidade, a receita do monopolista neste caso é 3

Z 0

12

 2qdq = = 27: 27:

Como o custo do monopolista é dado por c (3) = 9, o seu lucro é  = 18: 18:

k


192


Suponha que durante um certo período ele tenha decidido trabalhar 128 horas e que ele seja indifere indiferente nte entre gastar este tempo tempo catando catando côco côcoss ou pescando. escando. A função de pro produção de peixes de Robinson é dada por 1

F = (lF ) 2

e a de côcos é

1

C = (lC ) 2 :

em que lF e lC são o número de horas que Robinson passa pescando e catando côcos, respec respectivamente. tivamente. Consequentemente, Consequentemente, lC + lF = 128: 128:

A sua função de utilidade para consumo de peixes e côcos é dada por 1

U (F; ( F; C ) = (F ( F C ) 2 :

 

(a) Se Robinson vive sozinho e não pode negociar com ninguém, quantas horas ele trabalha

catando atando côcos e quantas quantas horas horas ele trab trabalha alha pescand pescando? o? Quanto Quantoss côcos e peixes eixes ele produz? (Dica: Conhecendo a função demanda do consumidor Cobb-Douglas você pode economizar muitas contas. Além disto, lembre-se que maximizar f (x; ( x; y ) ou maximizar f (x; (x; y) sempre dá a mesma resposta.) (1 ponto)

p

acima, ele encontre (b) Suponha que após Robinson já ter produzido as quantidades F e C acima, Sexta-feira, que possui uma dotação de 12 peixes e 2 côcos. A função de utilidade de Sexta-feira é dada por 1

U Sexta (F; C ) = (F ( F C ) 2 :

 

Considerando Robinson e Sexta-feira como tomadores de preços nos mercados de peixes e de côcos, encontre o único equilíbrio competitivo da economia acima. Quantos peixes e quantos côc côcos Robinson Robinson consome consome neste equilíbrio? quilíbrio? Quantos Quantos peixes peixes e quantos quantos côcos cos Sexta-feira consome? (1 ponto) Suponha agora agora que no perío período do seguinte seguinte Robinson Robinson resolva resolva trabalhar trabalhar 80 horas. horas. Suponha Suponha (c) Suponha ainda que no período seguinte Robinson encontre Sexta-feira antes de tomar as suas decisões de produção (isto é, antes de decidir quantas das 80 horas ele gastará pescando e quantas ele gastará catando côcos) e que na ocasião Sexta-feira tenha uma dotação de 16 peixes e 2 côcos. Novamente considerando Robinson e Sexta-feira como tomadores de preços nos mercados de peixes e côcos, é possível veri…car que tal economia tem um equilíbr quilíbrio io comp competitivo etitivo em que o pre preço do peixe eixe é 1 e o pre preço do côco é 2. Quanto Quantos s côcos ôcos e quantos quantos peixes Robinson obinson pro produz nesse equilíbrio equilíbrio competitivo? ompetitivo? Quantos Quantos côcos cos e quantos quantos peixes ele consome consome?? Quantos Quantos peixes peixes e quantos quantos côcos cos Sexta-feir Sexta-feiraa consome? onsome? (1,5 pontos) Solução.


193

(a) Neste caso, o problema de Robinson pode ser escrito como



1 2


sujeito a

1 2



1 2

lF + lC = 128: 128:

Conforme explicado na dica, maximizar a função objetivo é o mesmo que maximizar uma função Cobb-Douglas com pesos iguais a 1/2. Observe, também, que a restrição do problema pode ser interpretada como uma restrição orçamentária em que os dois preços preços são iguais iguais a 1. Dado Dado o que discutim discutimos os acima, acima, nós sabemos sabemos que a solução solução do problema problema acima será l F = lC = 64. Dadas as tecnologias de produção, isto implica que Robinson produz 8 peixes e 8 côcos. (b) Como somente preços relativos podem ser determinados em equilíbrio, façamos o preço do peixe como numerário. numerário. O nosso trabalho agora é encontrar encontrar o preço p do côco que

equilibre os mercados. O problema de Robinson é max F R C R

F R ;C R

sujeito a







1 2

F R + p C R = 8 + p 8:





Nós sabemos que a solução do problema acima é F R = problema de Sexta-feira é max F S C S

F S ;C S

sujeito a







8+8 p 2

e C R =

8+8 p 2 p

. Já o

1 2

F S + p C S = 12 + p + p 2:





p p Nós sabemos que a solução do problema acima é F S = 12+2 e C S = 12+2 . A condição 2 2 p de equilíbrio de mercado para o bem F é

8 + 8 p 8 p 12 + 2 p 2 p + = 20 , 2 2

o que implica que p = 2. Com tal preço as quantida quantidades des consumi consumidas das são F R = 12, C R = 6, F S = 8 e C S = 4 . (c) Como a questão já nos deu os preços de equilíbrio, tudo que temos a fazer é resolver

os problem problemas as dos agentes agentes para para encon encontra trarr as grande grandezas zas solicita solicitadas das.. Primeira Primeiramen mente, te, em uma situação com possibilidade de negociação é claro que Robinson produzirá quantidades de peixes e côcos que maximizem sua renda. Ou seja, as horas dedicadas a cada atividade resolvem o seguinte problema: 1

1

max (lF ) 2 + 2 (lC ) 2 lF ;lC


194 sujeito a

lF + lC = 80:

Usando a restrição para eliminar l C o problema simpli…ca-se para 1

max (lF ) 2 + 2 (80 lF

1

l

2 F )

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá 1 1 = 2 lF

p

p 801 l

; F

o que implica que lF = 16. Da restrição do problema nós aprendemos que lC = 64. Dadas as tecnologias de produção, nós concluímos que Robinson produz 4 peixes e 8 côcos. Dados os preços de equilíbrio, isto dá a ele uma renda igual 20. Para decidir como dividir sua renda entre peixes e côcos Robinson resolve o seguinte problema: max F R C R R R

F ;C

sujeito a







1 2

F R + 2 C R = 20:



A solução do problema acima é F R = 10 e C R = 5. Finalmente, o problema de Sexta-feira é



S

max F

F S ;C S

sujeito a

S

 C



1 2

F S + 2 C S = 16 + 2 2:





A solução do problema acima é F S = 10 e C S = 5. Observe que, conforme informado no enunciado da questão, os mercados de peixes e côcos de fato estão equilibrados. k Questão 29.1.4. Considere uma sociedade com 3 indivíduos em que um governante tenha que decidir entre 2 projetos públicos, a e b. A utilidade do indivíduo i quando o projeto x a; b é escolhido é ui x; wi = v i (x) + wi ;

2f g

 

em que wi é a riqueza do indivíduo i e v i (x) é o valor monetário que o indivíduo i dá ao projeto x. (a) Suponha que o governante utilize uma votação por maioria simples para escolher o

projeto a ser implementado. Mostre através de um exemplo que se considerarmos a possibilidade de transferências monetárias entre os indivíduos pode ser que tal escolha não seja e…ciente no sentido de Pareto. Isto é, construa um exemplo com 3 indivíduos em que 2 indivíduos preferem o projeto a, um indivíduo prefere o projeto b, mas existem transferências monetárias que fazem com que todos os indivíduos …quem mais felizes com a implementação do projeto b e sua nova riqueza do que se o projeto a for implementado e eles mantiverem a sua riqueza inicial. (1,5 pontos)

29.2. SEGUNDA PROVA

195

(b) Considere agora uma votação em que os pesos dos votos dos indivíduos sejam diferentes. Mais especi…camente, suponha que o peso do voto do individuo i seja dado por i := v i (a) v i (b) . Suponha que nesta votação com pesos diferentes para cada indivíduo o projeto vencedor tenha sido a. Mostre que, mesmo considerando a possibilidade de

j



j

transferências monetárias entre os indivíduos, tal escolha é e…ciente no sentido de Pareto. (1,5 pontos) Solução. (a) Suponha que v 1 (a) = 1, v 1 (b) = 6, v 2 (a) = v 3 (a) = 2 e v 2 (b) = v 3 (b) = 1. Em uma votação por maioria simples o projeto a é implementado e os indivíduos …cam com utilidades u 1 (a; w1 ) = w 1 + 1, u 2 (a; w2 ) = w 2 + 2 e u 3 (a; w3 ) = w 3 + 2. Mas considere a alocação em que o projeto b é implementado e o indivíduo 1 paga 2 reais a cada um dos outros dois indivíduos. Observe que as utilidades neste caso são u 1 (b; w1 4) = w 1 4+6 = w 1 +2 , u2 (b; w2 + 2) = w 2 +2+1 = w 2 +3 e u3 (b; w3 + 2) = w 3 +2+1 = w 3 +3.





Observe que as utilidades de todos os indivíduos aumentaram. (b) Considere agora uma votação como a explicada no enunciado da questão. Observe que a ganha a votação se e somente se 3i=1 vi (a) > 3i=1 vi (b). Considere primeiro alocações em que o projeto a é implementado e transferências monetárias ti 3i=1 são

P

P

f g

feitas. Como as transferências ocorrem entre os indivíduos, elas têm que satisfazer 3 i=1 ti = 0. Observe agora que com qualquer alocação em que o projeto a seja implementado

P

3

3

X i

i

i

u a; w + t

i=1

 X =

3 i

v (a) +

i=1

X

wi :

i=1

Ou seja, com qualquer alocação em que o projeto a é implementado a soma das utilidades dos agentes é sempre a mesma. Consequentemente, é impossível encontrar uma alocação em que o projeto a é implementado que domine no sentido de Pareto a alocação em que o projeto a é implementado e nenhuma transferência é feita. Considere agora alocações em que o projeto b é implementado. Neste caso nós temos 3

3

X i

i

u b; w + t

i=1

3

 X X P P i

i

=

v (b) +

i=1

wi :

i=1

Mas acima nós já aprendemos que 3i=1 vi (a) > 3i=1 vi (b), o que implica que a soma das utilidades dos indivíduos quando o projeto b é implementado é estritamente menor do que a soma da utilidade dos indivíduos quando o projeto a é implementado. Nós concluímos que nenhuma alocação em que o projeto b é implementado domina, no sentido de Pareto, a alocação em que o projeto a é implementado e nenhuma transferência é feita. k

29.2

Segunda Prova

Questão 29.2.1. Suponha que duas empresas vendam exatamente o mesmo produto e que

a competição entre ambas se dê pela …xação simultânea das quantidades a serem produzidas.


196

Suponha que a demanda seja representada pela seguinte curva de demanda inversa linear: p (y1 + y2 ) = 7

 (y + y ) : 1

2

Suponha, também, que o custo de produção de ambas as …rmas seja dado por C (yi ) = y i : (a) Calcule o lucro das …rmas em equilíbrio. Calcule também o lucro que uma …rma monopolista

com a mesma função custo acima obteria com a mesma curva de demanda inversa. (1,8 pontos) (b) Suponha agora que para entrarem no mercado as …rmas antes têm que fazer um investimento

inicial que custa 6 unidades monetárias. Após feito tal investimento, o lucro da …rma que fez o investimento será dado pelos lucros calculados na letra (a), dependendo da outra …rma ter entrado ou não no mercado. Modele tal situação como um jogo matricial em que as estratégias das …rmas são fazer ou não fazer o investimento inicial e encontre todos os equilíbrios de Nash, em estratégias mistas, de tal jogo. (1,7 pontos) Solução. (a) Suponha que a empresa 2 esteja produzindo uma quantidade genérica y 2 . Neste caso, a

melhor resposta da empresa 1 resolve o seguinte problema de maximização: max p (y1 + y2 ) y1 y1

y

1

A condição de primeira ordem do problema acima é p0 (y1 + y2 ) y1 + p (y1 + y2 ) = 1: Em termos da forma funcional da curva de demanda inversa que nós assumimos acima a expressão acima pode ser reescrita como

y + 7  (y + y ) = 1: 1

1

2

Isolando y 1 na equação acima nós encontramos y1 =

7

= 3

 1  y 2



y 2 : 2

2

2

Um raciocínio análogo nos mostra que se a …rma 1 estiver produzindo uma quantidade genérica y 1 , então a melhor resposta para a …rma 2 será y2 = 3

 y2 : 1

As duas equações acima formam um sistema linear com duas equações e duas incógnitas. Resolvendo o sistema acima nós obtemos y1 = y 2 = 2:

Nós concluímos que o único equilíbrio de Nash do jogo acima é (y1 ; y2) = (2; 2). Agora observe que p (2 + 2) = 3, o que implica que o lucro de cada uma das …rmas é dado por  1 (2; 2) =  2 (2; 2) = 4:

29.2. SEGUNDA PROVA

197

Suponha agora que só existe uma …rma monopolista atuando nesse mercado. O problema de tal …rma é max p (y) y y

y

A condição de primeira ordem do problema acima é p0 (y) y + p (y) = 1: Em termos da forma funcional da curva de demanda inversa que nós assumimos acima a expressão acima pode ser reescrita como

y + 7  y = 1:

Isolando y na equação acima nós encontramos y = 3: Tal quantidade induz um preço p (3) = 4, o que implica que o lucro de uma …rma monopolista é dado por  (3) = 4 3

  3 = 9:

(b) Se uma …rma não faz o investimento inicial ela não entra no mercado e o seu lucro é

zero. Se as duas …rmas fazem o investimento inicial, ambas obtêm o lucro de duopólio, 4, mas têm ainda que pagar o custo do investimento inicial, o que lhes dá um ganho de 4  6 = 2. Finalmente, se apenas uma …rma faz o investimento inicial, esta obtém o lucro de monopólio, 9 , e paga o custo do investimento, 6 . Isto lhe dá uma ganho de 9  6 = 3. Tais ganhos induzem o seguinte jogo matricial: Firma 2 Firma I 1

N

I N : 2; 2 3; 0 0; 3 0; 0

 

Tentemos agora encontrar os equilíbrios de Nash do jogo acima. Seja  a probabilidade com que a …rma 1 joga I e  a probabilidade com que a …rma 2 joga I . Testemos primeiro se existe algum equilíbrio de Nash do jogo em que a …rma 1 jogue  = 1. Quando a …rma 1 joga I com probabilidade 1, a única melhor resposta da …rma 2 é jogar N com probabilidade 1, ou seja, é jogar   = 0. Quando a …rma 2 joga   = 0 também é verdade que a única melhor resposta da …rma 1 é jogar   = 1. Nós concluimos que ( ;   ) = (1; 0) é o único equilíbrio de Nash do jogo em que a …rma 1 joga  = 1. Testemos agora se existe um equilíbrio em que a …rma 1 joga   = 0. Quando a …rma 1 joga   = 0 a única melhor resposta da …rma 2 é jogar   = 1. Quando   = 1 jogar  = 0 é a única melhor resposta da …rma 1. Nós concluimos que ( ;   ) = (0; 1) é o único equilíbrio de Nash do jogo em que a …rma 1 joga   = 0. Finalmente, testemos se existe algum equilíbrio em que a …rma 1 joga um  2 (0; 1). Para que isto aconteça é necessário que a estratégia   da …rma 2 satisfaça U 1 (1;   ) = U 1 (0;  )

()   (2) + (1    ) 3 = 0 ()   =

3 : 5


198

Ou seja, para que a …rma 1 esteja jogando uma estratégia mista não degenerada em equilíbrio é necessário que a …rma 2 esteja jogando a estratégia mista não degenerada   = 3=5. Mas isto só pode acontecer se   satis…zer U 2 ( ; 1) = U 2 ( ; 0)

()  (2) + (1  ) 3 = 0 () 3 : 5

 =

A análise acima mostra que quando  = 3=5 qualquer estratégia é melhor resposta para a …rma 2. Similarmente, quando   = 3=5 qualquer estratégia é melhor resposta para a …rma 1. Em particular,   = 3=5 é melhor resposta contra   = 3=5 e   = 3=5 é melhor resposta contra  = 3=5. Nós concluimos que ( ;   ) = (3=5; 3=5) é um equilíbrio de Nash do jogo e a análise acima mostra que este é o único equilíbrio de Nash do jogo em que a …rma 1 joga uma estratégia mista não degenerada. Como nós esgotamos todos os casos possíveis, isto mostra que os três equilíbrios acima são os únicos do jogo. k Questão 29.2.2. Um apiário e uma fazenda produtora de maçãs estão localizados lado a lado. Seja “ a” a quantidade de maçãs produzidas e “ h” a quantidade de mel. Os custos de

produção do apiário e da fazenda são, respectivamente, ch (h; a) = 3h2

e

a2 c (a; h) = 2 a

 ah

 ah:

Ou seja, a produção de mel gera uma externalidade positiva para a produção de maçãs e a produção de maçãs gera uma externalidade positiva para a produção de mel. O preço do quilo de mel é 6 reais e cada quilo de maçã é vendido por 4 reais. (a) Calcule as quantidades de mel e maçãs produzidas em equilíbrio. (1,8 pontos) (b) Suponha que o fazendeiro compre o apiário. Quanto ele produzirá de mel e maçãs? (1,7

pontos) Solução. (a) O problema do apiário pode ser escrito como max 6h h



3h2





 ah

A condição de primeira ordem do problema acima é 6h = 6 + a:

29.2. SEGUNDA PROVA

199

O problema da fazenda é max 4a a

 

a2 2



 ah

A condição de primeira ordem do problema acima é a = 4 + h:

A solução do sistema linear formado pelas condições de primeira ordem dos dois problemas acima nos dá h = 2 e a = 6: (b) O novo problema de maximização do fazendeiro é max 6h h;a



3h2



 ah

+ 4a

 

a2 2



 ah

As condições de primeira ordem do problema acima são h : 6h = 6 + 2a a : a = 4 + 2h

A solução do sistema acima nos dá h = 7 e a = 18:

k

Questão 29.2.3. Suponha que em um mercado de carros usados existam três tipos de carros:

os de qualidade alta, que têm um valor monetário para os potenciais vendedores igual a q h = 100, os de qualidade média, que têm um valor monetário para os potenciais vendedores igual a q m = 70, e os de qualidade baixa, que têm um valor monetário para os potenciais vendedores igual a q l = 10. A princípio, um terço dos carros é de qualidade alta, um terço é de qualidade média e um terço é de qualidade baixa. Os potenciais compradores aceitam pagar até um valor igual a 32 q por um carro de qualidade esperada igual a q . (a) Suponha que um potencial comprador veja um carro sendo vendido por um preço p. Qual o máximo valor de p pelo qual um potencial comprador (100% racional) aceitará

comprar o carro? Considere que quando indiferentes entre vender e não vender um carro os potenciais vendedores o vendem. (1,8 pontos) (b) Suponha agora que, por lei, um comprador de um carro usado tenha o direito de revendê-lo

imediatamente para o governo pela metade do preço que ele pagou. Ou seja, se um comprador comprar um carro por um preço p ele pode, após aprender qual é a qualidade do carro, revendê-lo ao governo por p=2, se assim o desejar. Qual o preço máximo que um potencial comprador aceita pagar por um carro usado agora? (1,7 pontos) Solução. (a) Suponha que p

100. Neste caso, os potenciais compradores sabem que tanto os donos de carros de qualidade q l , como os donos de carros de qualidade q m , como os donos de carros de qualidade q h estão vendendo os seus carros. Portanto, a qualidade esperada de um carro usado sendo vendido é 13 q l + 13 q m + 13 q h = 60. O máximo valor




200

que um potencial comprador aceita pagar por um carro de qualidade esperada igual a 60 é 60  32 = 90. Ou seja, um potencial comprador não aceita comprar um carro por um preço p  100. Suponha agora que 70  p < 100. Neste caso, os potenciais compradores sabem que apenas donos de carros com qualidade q l e q m estão vendendo os seus carros. A qualidade esperada de um carro sendo vendido é 12 q l + 12 q m = 40. O máximo valor que um potencial comprador aceita pagar por um carro de valor esperado igual a 40 é 40  32 = 60. Ou seja, um potencial comprador não aceita comprar um carro por um preço p tal que 70  p < 100 . Suponha agora que 10  p < 70 . Agora, um potencial comprador sabe que apenas carros de qualidade q l estão sendo vendidos. O máximo valor que um potencial comprador aceita pagar por um carro de qualidade q l é 10  32 = 15. Portanto, o máximo valor que um potencial comprador aceita pagar por um carro usado neste mercado é p = 15: (b) Suponha que p > 150. Neste caso, mesmo se um potencial comprador tivesse certeza de que o carro é de qualidade q h , ainda assim não valeria a pena para ele comprá-lo

(note que a possibilidade de devolver o carro e recuperar metade do valor pago não muda esta conclusão). Suponha agora que 100  p  150. Neste caso, um potencial comprador sabe que todas as qualidades de carro estão sendo vendidas. Observe que se um potencial comprador compra um carro e o revende para o governo ele recebe no máximo 75 unidades monetárias de volta, o que é menor que o valor que ele atribui aos carros de qualidade q m e q h. Observe, também, que ao revender o carro ao governo o potencial comprador recebe de volta pelo menos 50 unidades monetárias, que é maior que o valor que ele atribui a um carro de qualidade q l . Ou seja, se 100  p  150, e o potencial comprador tiver pago p por um carro, ele o devolve se e somente se a qualidade do carro é q l . Portanto, o retorno esperado que o potencial comprador obtém quando ele compra um carro por um preço p tal que 100  p  150 é 13  p2 + 1  p)+ 13 (150  p). Tal retorno é não negativo se e somente se p  102: Portanto, 3 (105 o máximo preço que um potencial comprador aceita pagar por um carro usado agora é p = 102: k

 

29.3

Prova Substitutiva

Questão 29.3.1. Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as funções de 1 2 utilidade dos consumidores são dadas por U A (x1A ; x2A ) = (x1A ) 3 (x2A ) 3 e U B (x1B ; x2B ) = x 1B + ln x2B . Suponha que a dotação agregada do bem 1 seja 2 e a dotação agregada do bem 2 seja 6. É possível mostrar que a alocação (x1A ; x2A ) ; (x1B ; x2B ) = (1; 4) ; (1; 2) é e…ciente no sentido

f

g f

g

Pareto. Como a economia descrita acima satisfaz as condições no segundo teorema do bem estar, nós sabemos que com a correta distribuição das riquezas na economia a alocação acima pode ser obtida como parte de um equilíbrio competitivo. Isto é, existem valores (wA1 ; wA2 ) e (wB1 ; wB2 ) que fazem a alocação acima ser parte de um equilíbrio competitivo quando as dotações iniciais dos indivíduos são exatamente (wA1 ; wA2 ) e (wB1 ; wB2 ). Na verdade, é possível encontrar uma distribuição de riquezas em que wA1 = 2 que induz a alocação acima em equilíbrio. Encontre tal distribuição e encontre também o vetor de preços de equilíbrio (Dica: Do problema do consumidor A você consegue descobrir os preços associados ao equilíbrio.


201

De posse dos preços, descobrir as dotações iniciais é quase imediato) (2 pontos). Solução. Como apenas preços relativos são determinados em equilíbrio, façamos p1 = 1 e p2 = p . Em um equilíbrio competitivo (x1A ; x2A ) tem que resolver o seguinte problema: 1 3

1 max x A 1 2

xA ;xA

sujeito a

2 3

x2A

  

x1A + px2A

1 2 A + pwA :

 w

Nós sabemos que a solução do problema acima satisfaz x1A =

e x2A =

1 1 wA + pwA2 3





2 2 wA1 + pwA : 3 p

Dividindo a primeira expressão pela segunda nós obtemos: x1A p = : x2A 2

Substituindo os valores de x1A e x2A que queremos que ocorram em equilíbrio na expressão acima nós aprendemos que p = 1=2. Como também sabemos que wA1 = 2, da função demanda para x 1A acima nós temos 1 2



1 1 2 2 + wA 3 2

=

()



wA2 :

=

Como wA1 = 2 e a quantidade agregada do bem 1 também é 2, nós sabemos que wB1 = 0. Além disto, de wA2 + wB2 = 6 nós aprendemos que wB2 = 4. Só para checar, vamos veri…car que tais dotações iniciais e preço realmente induzem o indivíduo B a escolher os valores desejados. O problema do indivíduo B agora é max x1B + ln x2B 1 2

xB ;xB

sujeito a

1 x1B + x2B = 2: 2

Usando a restrição para eliminar x1B na função objetivo o problema de maximização acima simpli…ca-se para max 2 2 xB

 12 x

2 B + ln

x2B

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá x2B = 2:

Agora, da restrição orçamentária nós aprendemos que x 1B = 1:

k


202

Questão 29.3.2. Considere dois consumidores que têm funções de utilidade U A (x1A ; x2A ) = 1 2 2 1 (x1A ) 3 (x2A ) 3 e U B (x1B ; x2B ) = (x1B ) 3 (x2B ) 3 . Suponha que tenhamos que alocar duas unidades

do bem 1 e quatro unidades do bem 2 entre esses dois consumidores. Encontre uma alocação justa nessa situação (ou seja, uma alocação e…ciente em que nenhum dos consumidores tenha inveja do outro) (2 pontos). Solução. Seguindo as notas de aula, nós sabemos que para encontrarmos uma alocação justa tudo que temos que fazer é encontrar o equilíbrio competitivo de uma economia em que 1 os indivíduos têm as mesmas dotações iniciais. Isto é, uma economia em que wA; wA2 = (wB1 ; wB2 ) = (1; 2). Façamos o bem 1 como numerário e chamemos de p o preço do bem 2. O problema do consumidor A é

 

max x1A 1 2

xA ;xA

sujeito a

1 3

x2A

  

2 3

x1A + px2A

 1 + 2 p:

A solução do problema acima é

1 x1A = (1 + 2 p) 3

e

x2A =

2 1 + 2 p 3 p

Já o problema do consumidor B é max x1B 1 2

xB ;xB

sujeito a

2 3

x2B

  

1 3

x1B + px2B

A solução do problema acima é e

 1 + 2 p

2 x1B = (1 + 2 p) 3 x2B =

1 1 + 2 p 3 p

Equilibrando o mercado para o bem 1 nós temos 1 2 (1 + 2 p) + (1 + 2 p) = 2; 3 3

o que implica que p = 1=2. Tal preço gera a alocação (x1A ; x2A ) = (2=3; 8=3) and (x1B ; x2B ) = (4=3; 4=3) :

k

Questão 29.3.3 (Duas praias). Considere novamente o problema dos dois sorveteiros, mas

suponha agora que existam duas faixas de areia isoladas. As pessoas estão distribuídas de maneira uniforme pelas duas faixas de areia, mas a segunda faixa de areia tem o dobro do tamanho da primeira. Quando os dois sorveteiros se posicionam na mesma faixa de areia, as pessoas naquela faixa de areia compram do sorveteiro que estiver mais próximo delas.


203

Quando ambos se posicionam em um mesmo lugar metade das pessoas naquela faixa de areia compram de um sorveteiro e a outra metade compra do outro. As pessoas em uma faixa de areia não têm como comprar sorvete de um sorveteiro que esteja posicionado na outra faixa de areia, mesmo que isto signi…que que elas …carão sem sorvete, o que ocorre sempre que os dois sorveteiros estiverem posicionados na outra faixa de areia. (a) Existe algum equilíbrio de Nash do jogo acima em que os dois sorveteiros se posicionem

em faixas de areia diferentes? Argumente intuitivamente, mas use o conceito de equilíbrio de Nash de forma clara na sua explicação (1 ponto). (b) Existe algum equilíbrio de Nash em que os dois sorveteiros se posicionem na mesma faixa

de areia? Novamente, argumente intuitivamente, mas use o conceito de equilíbrio de Nash de forma clara na sua explicação (1 ponto). (c) Como as suas respostas nas letras (a) e (b) mudariam se a segunda faixa de areia fosse

do mesmo tamanho da primeira? E se o tamanho da segunda faixa de areia fosse o triplo da primeira? (1 ponto) Solução. (a) Suponha que o sorveteiro A esteja posicionado na faixa de areia menor e o sorveteiro B esteja posicionado na faixa de areia maior. Neste caso, o sorveteiro A está vendendo uma quantidade igual a 1=2 de sorvetes e o sorveteiro B está vendendo uma quantidade igual a 1 de sorvetes. Suponha agora que o sorveteiro B não esteja posicionado no

centro da faixa de areia maior. Digamos que ele esteja mais pra esquerda. Mas então, se o sorveteiro A se posicionasse na faixa de areia maior logo à direita do sorveteiro B ele venderia uma quantidade maior do que 1=2 de sorvetes. Isto mostra que quando o sorveteiro B não se posiciona no centro da faixa de areia maior se posicionar na faixa de areia menor não é uma melhor resposta para o sorveteiro A. Suponha, então, que o sorveteiro B esteja posicionado no centro da faixa de areia maior. Neste caso, se o sorveteiro A se posicionar na faixa de areia maior, mas não no centro, ele venderá uma quantidade menor do que 1=2 de sorvetes. Já se ele se posicionar exatamente no centro da faixa de areia maior ele vende uma quantidade exatamente igual a 1=2 de sorvetes. Ou seja, em nenhum local na faixa de areia maior o sorveteiro A vende mais sorvetes do que quando ele se posiciona na faixa de areia menor. Isto mostra que qualquer posição na faixa de areia menor é melhor resposta para o sorveteiro A neste caso. Analisemos agora a situação sob o ponto de vista do sorveteiro B . Como o sorveteiro A está posicionado na faixa de areia menor, em qualquer lugar da faixa de areia maior o sorveteiro B vende uma quantidade igual a 1 de sorvetes. Já se ele se posicionar na faixa de areia menor ele vende uma quantidade menor do que 1=2 de sorvetes. Isto mostra que se posicionar exatamente no centro da faixa de areia maior é uma melhor resposta para o sorveteiro B . Nós concluimos que os equilíbrios de Nash em que os sorveteiros se posicionam em faixas de areia diferentes são aqueles em que um deles se posiciona exatamente no centro da faixa de areia maior e o outro se posiciona em qualquer lugar da faixa de areia menor.

204


(b) É evidente que não existe equilíbrio em que os dois se posicionem na faixa de areia

menor, já que qualquer um dos dois poderia se mudar para a faixa de areia maior e passar a vender uma quantidade igual a 1 de sorvetes. Suponha, então, que os dois estejam posicionados na faixa de areia maior, mas que pelo menos um deles não esteja posicionado no centro da praia. Digamos que o sorveteiro A esteja posicionado no lado esquerdo da praia mais à esquerda do que o sorveteiro B . Mas aí o sorveteiro B poderia aumentar o seu ganho movendo-se para uma nova posição mais próxima do sorveteiro A.29.1 Isto mostra que o único candidato a equilíbrio com os dois sorveteiros …cando em uma mesma faixa de areia é o per…l em que ambos se posicionam exatamente no centro da faixa de areia maior. De fato, quando o sorveteiro B se posiciona no centro da faixa de areia maior qualquer outra posição nesta mesma faixa de areia faz com que o sorveteiro A venda uma quantidade menor do que 1=2 de sorvetes. Já qualquer posição na faixa de areia menor faz com que o sorveteiro A venda uma quantidade exatamente igual a 1=2. Isto mostra que se posicionar no centro da faixa de areia maior é realmente uma melhor resposta para o sorveteiro A neste caso. O mesmo raciocínio mostra que se posicionar no centro da faixa de areia maior é também uma melhor resposta para o sorveteiro B . Isto mostra que o único equilíbrio em que ambos os sorveteiror …cam na mesma faixa de areia é o per…l em que ambos se posicionam no centro da faixa de areia maior. (c) Suponha que as duas faixas de areia sejam do mesmo tamanho. Agora, se os dois

estiverem na mesma faixa de areia ambos estarão vendendo uma quantidade menor do que 1 de sorvetes. Mas então qualquer um deles poderia se mover para a outra faixa de areia e vender uma quantidade exatamente igual a 1 de sorvetes. Suponha, então, que ambos estejam em faixas de areia diferentes. Neste caso, ambos estão vendendo uma quantidade 1 de sorvetes. Em qualquer outra posição na mesma faixa de areia que eles estão posicionados eles também vendem uma quantidade 1 e em qualquer posição na outra faixa de areia eles vendem uma quantidade menor do que 1. Isto mostra que qualquer per…l em que ambos se posicionem em faixas de areia diferentes é equilíbrio de Nash neste caso. Se a faixa de areia maior tiver o triplo do tamanho da faixa de areia menor, então é fácil ver que se posicionar na faixa de areia menor nunca será uma melhor resposta para nenhum dos dois sorveteiros, já que qualquer um deles poderia vender mais sorvetes movendo-se para o centro da faixa de areia maior, por exemplo. Resta testar equilíbrios em que os dois se posicionem na faixa de areia maior. O mesmo raciocínio da letra (b) mostra que o único equilíbrio neste caso é o per…l em que os dois se posicionam exatamente no centro da faixa de areia maior. k Questão 29.3.4. Considere o problema que vimos em sala. Uma associação de moradores está estudando se constrói ou não uma ponte. O custo de construção da ponte é c > 0. Cada um dos N moradores associa à ponte um valor vi > 0. Embora a associação de moradores não tenha como descobrir os vi ’s dos diversos moradores, ela sabe que só é socialmente desejável construir a ponte se N c. O problema da associação é desenvolver um i=1 vi N mecanismo que a permita descobrir se i=1 vi c. 29.1 A

P P



análise aqui está meio resumida, mas o raciocínio é exatamente o mesmo do problema dos sorveteiros tradicional.


205

(a) Considere o mecanismo de Groves. Cada jogador anuncia um valor si . Caso N c i=1 si c a ponte é construída e cada indivíduo i contribui com N . Além disto, todos os indivíduos

P



recebem uma transferência que será de…nida abaixo. De…namos primeiro o benefício líquido anunciado pelo jogador i como s~i = si  N c . Quando a ponte é construída, a transferência recebida pelo indivíduo i é ti = j6=i ~s j + h i (s1 ;:::;si1 ; si+1 ; sN ) e quando a ponte não é construída a transferência recebida pelo indivíduo i é ti = hi (s1 ;:::;si1 ; si+1 ; sN ), em que hi é qualquer função que depende apenas dos valores anunciados pelos indivíduos diferentes de i. Mostre que ao se deparar com tal mecanismo, anunciar um valor si = vi é uma estratégia fracamente dominante para o jogador i. Isto é, independentemente do anúncio dos outros indivíduos, se i anunciar si = vi o seu ganho é garantidamente maior ou igual ao ganho que ele teria se anunciasse qualquer outro valor si (Dica: Você tem que dividir a análise em dois casos. Primeiro suponha que vi  nc + j=6 i ~s j  0 . Mostre que anunciar si = v i é a melhor coisa que o indivíduo i tem a fazer neste caso. Feito isto, suponha que vi  nc + j =6 i ~s j < 0. Mostre que também neste caso anunciar s i = v i é a melhor coisa que o indivíduo i tem a fazer) (2 pontos).

P

P

P

(b) Considere agora o mecanismo de Clarke que estudamos em sala. Lembre-se que o mecanismo de Clarke é aquele em que quando o indivíduo i é pivotal ele paga uma multa igual a j 6=i ~s j . O mecanismo de Clarke é um caso particular do mecanismo de Groves acima. Mostre isto. Isto é, diga qual a função h i que transforma o mecanismo

P

de Groves no mecanismo de Clarke (2 pontos).

Solução. (a) Suponha primeiro que vi

si = v i 6  0. Neste caso, se o indivíduo i anunciar c a ponte será construída e a utilidade do indivíduo i será U i (vi ) = v i  n + j 6=i ~s j + hi (s1 ;:::;si1 ; si+1 ; sN ). Observe que com qualquer valor si tal que si  nc + j = 6 i ~s j  0 a ponte continua sendo construída e a utilidade do indivíduo i continua sendo U i (si ) = vi  nc + j = i1 ; si+1 ; sN ). Suponha agora que o indivíduo i anuncie 6 i ~s j + hi (s1 ;:::;s c um valor si tal que si  n + j=6 i ~s j < 0. Neste caso a ponte não é construída e a utilidade do indivíduo i é apenas U i (si ) = h i (s1 ;:::;si1 ; si+1; sN ). Mas por hipótese,

P



c + n

P

s j j =i ~

P

vi

vi

P P

 nc +

X j =i

6



c + s~ j n j 6=i

X

 0

()

s~ j + hi (s1 ;:::;si1 ; si+1 ; sN )

 h (s ;:::;s  ; s i

1

i 1

i+1 ; sN ) :

Ou seja, nenhum anúncio dá ao indivíduo i uma utilidade maior do que anunciar vi . Suponha agora que vi  nc + j6=i ~s j < 0. Neste caso, se o indivíduo i anunciar si = vi a ponte não será construída e a utilidade do indivíduo i será U i (vi ) = hi (s1 ;:::;si1 ; si+1 ; sN ). Com qualquer anúncio si tal que si  nc + j = 6 i ~s j < 0 a ponte continua não sendo construída e a utilidade do indivíduo i continua sendo U i (si ) = hi (s1 ;:::;si1 ; si+1 ; sN ). Suponha agora que o indivíduo i anuncie um valor s i

P

P


206

tal que si  nc + j 6=i ~s j  0. Neste caso a ponte é construída e a utilidade do indivíduo i é U i (si ) = v i  nc + j 6=i ~s j + hi (s1 ;:::;si1 ; si+1 ; sN ). Mas por hipótese,

P P

vi

 nc +

X j =i

6

vi



c + s~ j < 0 n j = 6i

X

()

s~ j + hi (s1 ;:::;si1 ; si+1 ; sN ) < hi (s1 ;:::;si1 ; si+1 ; sN ) :

Ou seja, novamente nenhum anúncio dá ao indivíduo i uma utilidade maior do que a que ele obtem quando fala a verdade. Isto mostra que anunciar a verdade é de fato fracamente dominante para o jogador i: (b) De…na h i como s j se j 6=i ~ s j j 6 =i ~ 0 se j 6=i ~s j < 0

P PP P   P  P P P  P  P P P  P

hi (s1 ;:::;si1 ; si+1 ; sN ) :=



 0



:

Note que quando j 6=i ~s j 0 e s i nc + j 6=i ~s j 0 e, portanto, o indivíduo i não é pivotal, a transferência recebida por i é dada por ti = j 6=i ~s j +hi (s1;:::;si1 ; si+1 ; sN ) = c 0. Similarmente, quando j = 6 i ~s j < 0c e si n + j=6 i ~s j < 0 , ti = hi (s1 ;:::;si1 ; si+1; sN ) = por i é 0. Já quando j = 0 e si n + j = 6 i ~s j 6 i ~s j < 0 a transferência recebida c ti = h i (s1 ;:::;si1 ; si+1 ; sN ) = j = 6 i ~s j e quando j =6 i ~s j < 0 e si  n + j =6 i ~s j  0 a transferência recebida por i é ti = j =6 i ~s j + hi (s1 ;:::;si1; si+1; sN ) = j=6 i ~s j . Estes são exatamente os valores que aparecem no mecanismo de Clarke. k

P P


Primeira Prova

Questão 30.1.1 (Monopsônio). Suponha que uma empresa produza um bem y que é vendido no mercado internacional por um preço p y = 24. O único insumo para a produção do bem y é um bem super especializado, x. O bem y é produzido de acordo com a função de produção y := ln x. O preço pago por unidade do insumo x segue a curva de oferta inversa w(x) = 2+x. (a) Suponha primeiro que o mercado para o bem x seja competitivo. Isto é, suponha que a …rma aja como tomadora de preços em relação ao preço w. Calcule quanto a …rma utilizará do insumo x neste caso. (Atenção! Embora a …rma aja como tomadora de preços em relação a w , posteriormente w tem que ser tal que a oferta e a demanda pelo bem x …quem equilibradas). (Dica: No …nal você chegará em uma equação do segundo

grau que tem uma raiz positiva e uma negativa. Logicamente, a solução do problema é a raiz positiva.) (1,3 pontos) (b) Suponha agora que a …rma seja o único consumidor do insumo x e que esta entenda que a sua decisão em relação a quantidade utilizada de x afeta diretamente o preço pago w(x). Isto é, a …rma não é mais tomadora de preços em relação ao bem x. Calcule quanto a …rma utilizará do insumo x neste caso. (Dica: Novamente você chegará em

uma equação do segundo grau que tem uma raiz positiva e uma negativa em que a solução do problema é a raiz positiva.) (1,3 pontos) (c) Se você fez as contas corretamente, você veri…cou que a quantidade de insumo x utilizada

na letra (a) foi maior do que na letra (b). Suponha que no caso tratado na letra (b) o governo queira implementar um esquema de incentivos que faça com que a …rma utilize a mesma quantidade de insumos da letra (a). O esquema funcionará da seguinte forma: o governo subsidiará uma fração s dos custos da …rma com o insumo x. Isto é, se os gastos da …rma com o insumo x forem l, esta receberá uma ajuda de s  l do governo. Qual o valor de s que faz com que a …rma utilize a mesma quantidade de insumo x encontrada na letra (a)? (Dica: Lembre-se que as soluções de uma equação do segundo grau da forma x2 + bx + c = 0 são dois números u e v tais que u + v = b e u  v = c. Portanto, se você conhece u, imediatamente você sabe que v = b  u e também sabe que c = u  v:). (1,2 pontos) 207


208 Solução.

(a) Quando a …rma age como tomadora de preços o seu problema é: max 24ln x x

 wx


Para que o mercado do bem x esteja equilibrado, o w que aparece na solução do problema da …rma tem que coincidir com o que aparece na curve de oferta inversa. Ou seja, a seguinte equação tem que ser satisfeita: 24 = 2 + x; x

o que nos dá a seguinte equação do segundo grau: x2 + 2x

 24 = 0:

A solução positiva da equação acima é x = 4: (b) O problema da …rma agora é max 24ln x x

 (2 + x)x

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá 24 = 2 + 2x; x


 12 = 0:

A solução positiva da equação acima é x = 3:

(c) Com o subsídio descrito na questão o problema da …rma vira: max 24ln x x

 (1  s)(2 + x)x

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá 24 = (1 x

 s)(2 + 2x);


 1 12  s = 0:

Seguindo a dica, como queremos que uma das raízes da equação acima seja 4, nós sabemos que a outra tem que ser 5. Ainda seguindo a dica, nós concluimos que s tem que satisfazer 12

1

o que implica que s = 2=5.

 s = 20;

k


209

Questão 30.1.2. Robinson Crusoé e Sexta-feira vivem em ilhas vizinhas e produzem e

consomem peixe (F) e côco (C). Suponha que em um certo mês ambos tenham decidido trabalhar 180 horas e que eles sejam indiferentes entre gastar o tempo catando côcos ou R pescando. As funções de produção de Robinson são dadas por F R := 2lF R e C R := lC , em R R R R que F e C são as quantidades de peixe e côco produzidas por Robinson e lF e lC são os números de horas que Robinson passa pescando e catando côcos, respectivamente. Já as S S funções de produção de Sexta são dadas por F S := l F S e C S := 2lC , em que F S ; C S ; lF S e lC são interpretados de forma similar ao caso de Robinson. A função de utilidade de Robinson é dada por U R (F; C ) = F C e a função de utilidade de Sexta é dada por U S (F; C ) = F C . 1 3

2 3

1 3

2 3

(a) Suponha que em uma determinada época do ano as duas ilhas estejam completamente

isoladas pela maré. Quantas horas Robinson trabalha pescando e quantas horas ele trabalha catando côcos? E Sexta-feira? Quantos peixes e quantos côcos Robinson consome? E Sexta-feira? (Dica: Para um número a > 0 o vetor (x ; y ) que maximiza a função a  f (x; y) é o mesmo que maximiza a função f (x; y)) (1,3 pontos) (b) Suponha que após Robinson e Sexta já haverem produzido as quantidades acima, mas

antes deles haverem consumido qualquer coisa, a maré esvazie e apareça uma oportunidade de comércio entre as suas duas ilhas. Considerando Robinson e Sexta como tomadores de preços, encontre o único equilíbrio competitivo da economia. Quantos peixes e quantos côcos Robinson e Sexta-feira consomem em tal equilíbrio? (1,2 pontos) (c) Suponha agora que a maré esvazie antes de Robinson e Sexta haverem tomado as suas

decisões de produção. Mostre que esta nova economia tem um equilíbrio competitivo em que p C = 2 pF . Quantos peixes e quantos côcos Robinson e Sexta-feira produzem em tal equilíbrio? Quantos peixes e quantos côcos Robinson e Sexta-feira consomem? (Dica: Observe que você pode dividir os problemas de Robinson e Sexta em dois. Primeiro um de maximização da riqueza dado o número de horas que eles podem trabalhar e depois um de maximização de utilidade dada a riqueza acumulada). (1,2 pontos) Solução. (a) O problema de Robinson é 1

2

1

1

2

R 3 R 3 R 3 R 3 max (2lF ) (lC ) = 2 3 (lF ) (lC ) R R lF ;lC



sujeito a R R lF + lC = 180

Seguindo a dica, nós sabemos que a solução do problema acima é a mesma de um problema Cobb-douglas em que os preços são iguais a 1 e a riqueza é 180. A solução R do problema acima é l F R = 60 e l C = 120, o que implica que F R = 120 e C R = 120. O problema de Sexta é 1

2

2

1

2

S 3 S 3 S 3 S 3 3 max (l ) (2l ) = 2 (l ) (lC ) F C F S S lF ;lC



sujeito a S S lF + lC = 180


210

Novamente o problema acima é um do tipo Cobb-douglas cuja solução é lF S = 60 e S lC = 120, o que implica que F S = 60 e C S = 240: (b) Como apenas preços relativos podem ser determinados em equilíbrio, façamos p F = 1 e pC = p . O problema de Robinson pode ser escrito como 1

2

R 3 R 3 max (F ) (C ) R R

F ;C

sujeito a F R + p C R = 120 + 120 p




1 F R = (120 + 120 p) 3

e C R =

2 120 + 120 p : 3 p

O problema de Sexta pode ser escrito como 1

2

max (F S ) 3 (C S ) 3

F S ;C S

sujeito a F S + p C S = 60 + 240 p




1 F S = (60 + 240 p) 3

e C S =

2 60 + 240 p : 3 p

Equilibrando o mercado para o bem F nós …camos com a seguinte equação: 1 1 (120 + 120 p) + (60 + 240 p) = 180 3 3

Resolvendo a equação acima nós obtemos p = 1: Tal valor de p nos dá F R = 80, C R = 160, F S = 100 e C S = 200: (c) Façamos pF = 1 e, consequentemente, p C = 2. O problema de Robinson pode ser escrito

como

max R

R ;l ;F R ;C R lF C

1

2

(F R ) 3 (C R ) 3

sujeito a R R F R + 2C R = 2lF + 2lC

e R R lF + lC = 180


211

Seguindo a dica, nós sabemos que o problema acima pode ser dividido em dois. Primeiro Robinson resolve o seguinte problema: R R max 2lF + 2lC R ;lR lF C

sujeito a R R lF + lC = 180 R É fácil ver que qualquer combinação de l F R e lC que satisfaz a restrição é solução para o problema acima e gera uma riqueza para Robinson igual a 360. Posteriormente, Robinson resolve o seguinte problema: 1

2

max (F R ) 3 (C R ) 3

F R ;C R

sujeito a F R + 2C R = 360

A solução do problema acima é F R = 120 e C R = 120: O problema de maximização de riqueza de Sexta-feira é S S max lF + 4lC lS ;lS F C

sujeito a S S lF + lC = 180 S É evidente que a única solução para o problema acima é l F S = 0 e l C = 180, o que gera uma riqueza de 720 para Sexta. O problema de maximização de utilidade de Sexta é 1

2

max (F S ) 3 (C S ) 3 S S

F ;C

sujeito a F S + 2C S = 720

A solução do problema acima é F S = 240 e C S = 240. Isto gera um consumo agregado de peixe igual a 360. Como Sexta não produz peixe, todo o peixe deve ser produzido por Robinson. Isto é, a solução do problema de maximização de riqueza de Robinson R que será parte do equilíbrio é lF R = 180 e lC = 0. Note que todos os mercados estão equilibrados. k Questão 30.1.3. Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as funções de 1 1 utilidade dos consumidores sejam dadas por U A (x1A ; x2A ) = (x1A ) 2 (x2A ) 2 e U B (x1B ; x2B ) = 2 x1B + ln x2B . Suponha que as dotações iniciais dos consumidores sejam (wA1 ; wA ) = (1; 0) e 1 2 (wB ; wB ) = (0; 1). (a) Encontre o único equilíbrio competitivo desta economia. Isto é, encontre o vetor de

preços e a alocação que constituem um equilíbrio competitivo para esta economia. (1,3 pontos)


212

(b) É possível mostrar que a alocação (x1A ; x2A ) =

e (x1B ; x2B ) = 13 ; 35 é e…ciente no sentido de Pareto. Como a economia acima satisfaz as condições do segundo teorema do bem estar nós sabemos que com a correta redistribuição das dotações iniciais nós podemos fazer com que tal alocação seja parte de um equilíbrio competitivo. Ou seja, existem 0  t1 ; t2  1 tais que quando (wA1 ; wA2 ) = (1  t1 ; t2 ) e (wB1 ; wB2 ) = (t1 ; 1  t2 ) a alocação resultante do equilíbrio competitivo da economia é exatamente (x1A ; x2A ) = 2 2 e (x1B ; x2B ) = 13 ; 35 . Na verdade, existe um vetor de tranferências (t1 ; t2 ) com 3; 5 t1 = 1=2 que gera a alocação acima em equilíbrio. Encontre o vetor de preços e a transferência t2 relacionados a tal equilíbrio. (1,2 pontos)

 

2 2 ; 3 5

 

 

 

Solução. (a) Como somente preços relativos são determinados em equilíbrio, faça p 1 = 1 e p 2 = p. O problema do consumidor A é 1 12 2 12 max (x ) (x A A) 1 2 xA ;xA

sujeito a x1A + px2A = 1

A solução do problema é x 1A =

1 2

e x 2A =

1 2 p

. Já o problema do consumidor B é

max x1B + ln x2B 1 2

xB ;xB

sujeito a x1B + px2B = p

Isolando x1B na restrição e substituindo na função objetivo o problema simpli…ca-se para max p 2 xB

2 B + ln

 px

x2B

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá 1 = p; x2B

o que implica que x2B = p1 e x1B = p  1. Equilibrando o mercado para o bem 1 nós obtemos a seguinte equação: 1 + p 2

 1 = 1;

o que implica que 3 p = : 2

Isto implica que x 2A = 13 , x 1B =

1 2

e x 2B = 23 .

30.2. SEGUNDA PROVA

213

(b) O problema do consumidor B agora é 1 2 max x + ln x B B 1 2

xB ;xB

sujeito a

1 x1B + px2B = + p(1 2

t ) 2

Isolando x1B na restrição e substituindo na função objetivo o problema simpli…ca-se para 1 max + p(1 x2B 2

2 B + ln

 t )  px 2

x2B

Da condição de primeira ordem do problema acima nos aprendemos que x2B = p1 . Como sabemos que x2B = 35 , nós aprendemos que p = 53 . Substituindo tais valores, juntamente com x 1B = 13 na restrição do problema acima nós obtemos que t 2 = 12 : k

30.2

Segunda Prova

Questão 30.2.1 (Liderança de quantidade com custo quadrático). Suponha que duas empresas produzam o mesmo produto e suas funções de custo sejam dadas por c(yi ) = yi2 . Suponha também que a demanda pelo bem y seja representada pela seguinte curva de demanda inversa: p(y1 + y2 ) = 56

 (y + y ): 1

2

Finalmente, suponha que a …rma 1 tome a sua decisão de produção antes da …rma 2. Somente após tomar conhecimento da decisão de produção da …rma 1 é que a …rma 2 decide o quanto ela vai produzir. Modele a situação acima como um jogo sequencial e encontre as quantidades que as duas …rmas vão produzir em equilíbrio usando o método de indução retroativa. (2 pontos) Solução. O jogo é simplesmente o jogo de Stackelberg descrito nas notas de aula. A árvore de decisão do jogo pode ser representada por

em que 1 (y1 ; y2 ) = p(y1 + y2 )y1

2 1

y


214 e

2 (y1 ; y2 ) = p(y1 + y2 )y2

2 2

y :


2 2

 (y + y ))y  y 1

2

2


56

y : 1

4



 3y4 )y  y 1

1

2 1

Da condição de primeira ordem do problema acima nós obtemos que y 1 = 12. Substituindo tal valor na expressão que nós encontramos para y 2 nós obtemos y 2 = 11: k Questão 30.2.2 (Provimento de bem público). Suponha que dois países vizinhos estejam decidindo o quanto investir em um determinado bem público G. As funções de utilidade dos países são dadas por U (xi ; G) := xi + 2 G, em que x i é o quanto o país i gasta em consumo privado e G := g1 +g2 é a soma das contribuições dos dois países para o bem público. Suponha que o país 1 tenha uma renda igual a w 1 e o país 2 tenha uma renda igual a w2. Nós temos que ter wi = xi + gi , para i = 1; 2.

p


quantidade que maximiza a soma das utilidades dos dois países. Atenção! Existem várias combinações de g1 e g2 que estão relacionadas a alocações e…cientes, mas a soma g 1 + g2 é a mesma em todas elas. (1,5 pontos) (b) Suponha agora que os dois países estejam agindo de forma não coordenada. Quanto será produzido do bem público? Agora, várias combinações de g1 e g2 serão equilíbrios de Nash do jogo, mas em todos esses equilíbrios a soma g 1 + g2 é a mesma. (1,5 pontos)

Solução.

30.2. SEGUNDA PROVA

215

(a) Note que nós sempre temos que ter x i = w i


1

1

1

i

2

2

2

1

2


p g 2 + g

g2 :

p g 2 + g

1

1

=1

()

g1 + g2 = 4

=1

()

g1 + g2 = 4:

2

2

As condições acima nos mostram que qualquer combinação de g1 e g2 tal que g1 +g2 = 4 maximiza a soma das utilidades dos países. (b) Suponha que o país 2 esteja fornecendo uma quantidade g2 do bem público. A melhor

resposta do país 1 neste caso resolve o seguinte problema: max w1 g1

 g + 2p g + g 1

1

2

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá g1 = 1  g2 : Similarmente, quando o país 1 está produzindo uma quantidade genérica g1 do bem público, a melhor resposta do país 2 é produzir uma quantidade g2 = 1  g1 . Isto mostra que os equilíbrios de Nash do jogo são as combinações de g 1 e g 2 tais que g 1 + g2 = 1: k Questão 30.2.3 (Estratégias Mistas no Modelo de Sinalização). Considere o modelo de

sinalização que vimos em sala. Isto é, suponha que existam dois tipos de trabalhadores, os de produtividade alta,  H , e os de produtividade baixa,  L . A nossa hipótese é que  H > L > 0. Um fração  dos trabalhadores é do tipo H e uma fração 1   é do tipo L , em que 0 <  < 1. Ambos os trabalhadores têm a possibilidade de obter educação. O trabalhador do tipo H pode obter educação sem custo algum, enquanto o tipo L tem que pagar um custo cL para isto. Finalmente, nós faremos a hipótese de que o mercado de …rmas é competitivo e que quando os dois tipos de trabalhadores tomam decisões diferentes em relação a obter ou não educação isto funciona como um sinal que os identi…ca. Deste modo, se ambos os tipos obtiverem educação ou ambos não obtiverem, o salário pago pelas …rmas será igual a  H + (1  )L . Se apenas um dos tipos obtiver educação, o salário pago ao trabalhador do tipo H será H e o pago ao tipo L será L . (a) A situação descrita acima pode ser representada por um jogo 2

 2 em que as estratégias

dos jogadores são obter ou não educação. Escreva a matriz de tal jogo. (Dica: É exatamente o mesmo jogo das notas de aula) (1,5 pontos) (b) Suponha que  = 2=3,  H = 6,  L = 3 e cL = 1. Encontre todos os equilíbrios de Nash,

em estratégias mistas, do jogo que você escreveu na letra (a). 30.1 (1,5 pontos)

Solução. 30.1 Só

para garantir que você não deixe de fazer a letra (b) por não ter conseguido fazer a letra (a), aí vai


216 (a) A matriz do jogo descrito acima é

Jogador L Jogador E H

H + (1

N



E ) L ; H + (1  H ; L cL



 )   c L

L

H + (1



N  H ; L ) L ; H + (1

 ) 

(b) Com tais valores a matriz do jogo vira

Jogador L E N Jogador E 5; 4 6; 3 H N 6; 2 5; 5

Seja  a probabilidade com que o jogador H joga E e  a probabilidade com que o jogador L joga E . Tentemos primeiro encontrar equilíbrios em que H jogue  = 1. Neste caso, a única melhor resposta para L é jogar  = 1. Mas quando L joga  = 1 a única melhor resposta para H é jogar  = 0. Nós concluimos que não existe equilíbrio neste caso. Tentemos agora equilíbrios com  = 0. Neste caso, a única melhor resposta para L é  = 0. Mas quando L joga  = 0 a única melhor resposta para H é jogar  = 1. Nós concluimos que não existe equilíbrio neste caso. Finalmente, tentemos equilíbrios com  2 (0; 1). Nós sabemos que para que isto ocorra  tem que fazer H indiferente entre jogar  = 1 e  = 0. Isto é,  tem que satisfazer  5 + (1



  )  6 =   6 + (1   )  5:

Resolvendo a equação acima nós obtemos  = 1=2. Como  = 1=2 é uma estratégia mista não degenerada, para que L a jogue em equilíbrio é necessário que a estratégia  do jogador H faça L indiferente entre jogar  = 1 e  = 0. Isto é,  tem que satisfazer  4 + (1



 )  2 =   3 + (1  )  5:

Resolvendo a equação acima nós obtemos  = 3=4. Portanto, o único equilíbrio de Nash do jogo é o per…l (;  ) = (3=4; 1=2): k Questão 30.2.4 (Divisão de Torta). Suponha que uma torta vá ser dividida entre dois

indivíduos. A divisão ocorrerá da seguinte forma. Primeiro o indivídio 1 parte a torta em dois pedaços. Posteriormente o indivíduo 2 escolhe o seu pedaço e o pedaço restante …ca para o indivíduo 1. Usando o conceito de indução retroativa de forma intuitiva, descreva todas as soluções por indução retroativa do jogo nas três situações abaixo. Quando eu escrevo de forma intuitiva isto signi…ca que você não precisa escrever a árvore de decisão do jogo nem usar matemática. Você deve explicar a sua solução apenas com palavras. a matriz após a substituição dos valores na letra (b): Jogador L Jogador H

E N

E 5; 4 6; 2

N 6; 3 5; 5

L

30.2. SEGUNDA PROVA

217

(a) Suponha primeiro que a torta seja de um único sabor e ambos os indivíduos gostem do

sabor em questão. Descreva todas as soluções por indução retroativa do jogo neste caso. (1 ponto) (b) Suponha agora que a torta seja metade de chocolate e metade de baunilha. Suponha

ainda que o indivíduo 1 só goste de chocolate e o indivíduo 2 só goste de baunilha. Suponha ainda que ao se deparar com dois pedaços com a mesma quantidade de baunilha o indivíduo 2 pre…ra aquele que tem menos quantidade de chocolate. Descreva todas as soluções por indução retroativa do jogo neste caso. (1 ponto) (c) Suponha agora que a torta seja metade de chocolate e metade de baunilha. Suponha

ainda que o indivíduo 1 goste igualmente dos dois sabores, mas que o indivíduo 2 só goste de baunilha. Suponha ainda que ao se deparar com dois pedaços com a mesma quantidade de baunilha o indivíduo 2 pre…ra aquele que tem menos quantidade de chocolate. Descreva todas as soluções por indução retroativa do jogo neste caso. (1 ponto) Solução. (a) Comecemos analisando a situação do …nal. Isto é, após o indivíduo 1 já haver partido

a torta. Se os dois pedaços não tiverem o mesmo tamanho o indivíduo 2 certamente escolherá o maior pedaço, o que deixará o indivíduo 1 com menos do que a metade da torta. Agora analisemos a situação do ponto de vista do indivíduo 1. Do ponto de vista do indivíduo 1, sempre que ele não partir a torta exatamente ao meio este …cará com um pedaço menor do que a metade da torta. Logo, a melhor ação para o indivíduo 1 é partir a torta exatamente no meio. (b) Novamente, comecemos analisando o jogo do …nal. Como o indivíduo 2 só gosta de

baunilha, este sempre escolherá o pedaço que tem mais baunilha. Em particular, se o indivíduo 1 partir a torta separando a metade de chocolate da metade de baunilha o indivíduo 2 escolherá a metade de baunilha. Isto mostra que do ponto de vista do indivíduo 1 ele tem como obter a sua utilidade máxima no jogo, mas esta não é a única solução do jogo. Note que qualquer particionamento da torta em que a metade de chocolate …que toda em um mesmo pedaço e o pedaço sem chocolate inclua pelo menos metade da quantidade de baunilha faz com que o indivíduo 2 escolha o pedaço sem chocolate e também dá utilidade máxima ao indivíduo 1. Com qualquer outro particionamento o indivíduo 1 …cará com um pedaço que não incluirá toda a metade de chocolate e, portanto, não estará tomando uma ação ótima. Nós concluimos que as soluções por indução retroativa agora são os particionamentos em que um dos pedaços inclui toda a parte de chocolate e no máximo metade da parte de baunilha. Nestas soluções o indivíduo 2 escolherá o pedaço sem chocolate. (c) Comecemos analisando o jogo pelo …nal. Como o indivíduo 2 só gosta de baunilha, este

sempre escolherá o pedaço que tem mais baunilha. Como existe sempre um pedaço com uma quantidade de baunilha igual a pelo menos 1/4 da torta, isto garante que o indivíduo 1 nunca terminará o jogo com um pedaço maior do que 3/4 da torta. De


218

fato, existe apenas um particionamento que faz com que o indivíduo 1 termine com um pedaço igual a 3/4 da torta. Tal particionamento consiste de um pedaço que inclui toda a parte de chocolate e metade da parte de baunilha e outro que inclui apenas metade da parte de baunilha. Observe que ao se deparar com tais pedaços o indivíduo 2 escolhe o que tem apenas baunilha. k

30.3

Prova Substitutiva

Questão 30.3.1. (a) Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as dotações iniciais agregadas são dadas por A1 = 1 e A2 = 2 e as funções de utilidade dos

q

1 3

consumidores são dadas por U = x1i + (x2i ) , para i = A; B . Utilize o que aprendemos nas notas de aula e na lista de exercícios para encontrar uma expressão algébrica que caracterize a curva de contrato desta economia. Ou seja, ache uma expressão do tipo x2A = f (x1A ) que caracterize todas as alocações e…cientes para esta economia. Represente gra…camente, na caixa de Edgeworth, esta curva de contrato. (1,5 pontos) i

(x1i ; x2i )

(b) Uma das alocações e…cientes que você deve ter encontrado acima é a alocação (x1A ; x2A ) = ( 13 ; 1) e (x1B ; x2B ) = ( 23 ; 1). A economia acima satisfaz as condições do segundo teorema do bem estar e existe um vetor de dotações iniciais (wA1 ; wA2 ); (wB1 ; wB2 ) com w A1 = 1=2

que faz com que a alocação acima seja parte de um equilíbrio competitivo. Encontre o vetor de preços e o restante da dotação inicial relacionados a tal equilíbrio. (1,5 pontos)

Solução. (a) Vamos primeiro encontrar as alocações e…cientes no interior da caixa de Edgeworth. Tais alocações são caracterizadas pela condição TM gS (A) = TMgS (B), ou seja: U 1A (x1A ; x2A ) U 2A (x1A ; x2A ) 3(x2A )

2 3

x2A x2A

U 1B (x1B ; x2B ) U 2B (x1B ; x2B )

=

()

2

3(x2B ) 3

=

()

x2B

=

()

x2B = 1

=

Portanto, as alocações e…cientes no interior da caixa de Edgeworth são aquelas em que x2A = x 2B = 1. Tentemos agora alocações em que x1A = 0. Tais alocações são e…cientes quando TMgS (A)  TMgS (B), ou seja, quando 2

3(x2A ) 3

2 23 B)

 3(x

.


219

Como as expressões acima são funções crescentes de x2A e x2B , a condição acima será verdade sempre que x2A  x2B . Isto é, sempre que x2A  1.Testemos agora alocações em que x1A = 1. Tais alocações são e…cientes quando TMgS (A)  TMgS (B). Isto é quando 3(x2A )  3(x2B ) . 2 3

2 3

A condição acima será verdade sempre que x2A  x2B , ou seja, sempre que x2A  1. Finalmente, testemos alocações com x2A = 0 e com x2A = 2. Tais alocações serão e…cientes quando TMgS (A)  TMgS (B) e TMgS (A)  TMgS (B), respectivamente. Porém, no primeiro caso nós temos 2

TMgS (A) = 0 < 3(2) 3 = TMgS (B)

e no segundo caso nós temos 2

TMgS (A) = 3(2) 3 > 0 = TMgS (B):

Nós concluimos que não existem alocações e…cientes nesses casos. Portanto, as alocações e…cientes no interior da caixa de Edgeworth são aquelas em que x1A 2 (0; 1) e x 2A = 1 e as alocações e…cientes na fronteira da caixa de Edgeworth são aquelas em que x 1A = 0 e x 2A  1 ou x 1A = 1 e x 2A  1. Gra…camente:



Figura 30.1: Alocações e…cientes


220

(b) Fazendo p 1 = 1, o primeiro passo é encontrar p2 = p: O problem do consumidor A pode

ser escrito como

max 1 2

xA ;xA

sujeito a

q

1

x1A + (x2A ) 3

1 x1A + px2A = + pwA2 2

Substituindo a restrição na função objetivo o problema simpli…ca-se para max 2 xA

r

1 2 + pwA 2

1

2 2 3 A + (xA )

 px

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá 1 2

  

1

q

1 + pwA2 2

2 2 A + (xA )

 px

1 2  23 x 3 A

1 3

p = 0:

2 3

A condição acima só pode ser verdade se 13 (x2A ) = p. Como na alocação em questão nós temos x2A = 1, isto implica que o preço de equilíbrio é p = 13 . De posse do preço de equilíbrio, a restrição orçamentária do consumidor A implica que 2 wA

x1A + px2A = p 1 1 + 3 12 3 = 1



1 2



3

=

1 : 2

Como a dotação agregada do bem 1 é 1, o fato de que wA1 = 12 implica que wB1 = 12 . Similarmente, o fato de que a dotação agregada do bem 2 é 2 implica que w B2 = 32 : k Questão 30.3.2 (Monopsônio revisitado). Suponha que uma empresa produza um bem y que é vendido no mercado internacional por um preço p y = 96 . O único insumo para a produção do bem y é um bem super especializado, x. O bem y é produzido de acordo com a função de produção y = ln x. O preço pago por unidade do insumo x segue a curva de oferta inversa w(x) = 4 + x. (a) Suponha primeiro que o mercado para o bem x seja competitivo. Isto é, suponha que a …rma aja como tomadora de preços em relação ao preço w. Calcule quanto a …rma utilizará do insumo x neste caso. (Atenção! Embora a …rma aja como tomadora de preços em relação a w , posteriormente w tem que ser tal que a oferta e a demanda pelo bem x …quem equilibradas). (Dica: No …nal você chegará em uma equação do segundo

grau que tem uma raiz positiva e uma negativa. Logicamente, a solução do problema é a raiz positiva.) (1,5 pontos)


221

(b) Suponha agora que a …rma seja o único consumidor do insumo x e que esta entenda que a sua decisão em relação a quantidade utilizada de x afeta diretamente o preço pago w(x). Isto é, a …rma não é mais tomadora de preços em relação ao bem x. Calcule quanto a …rma utilizará do insumo x neste caso. (Dica: Novamente você chegará em

uma equação do segundo grau que tem uma raiz positiva e uma negativa em que a solução do problema é a raiz positiva.) (1,5 pontos) (c) Se você fez as contas corretamente, você veri…cou que a quantidade de insumo x utilizada

na letra (a) foi maior do que na letra (b). Suponha que no caso tratado na letra (b) o governo queira implementar um esquema de incentivos que faça com que a …rma produza a mesma quantidade de bem y da letra (a). O esquema funcionará da seguinte forma: o governo fornecerá uma certa quantidade do insumo x de graça para a …rma. Esta quantidade vem de um estoque do governo e, portanto, não afeta a curva de oferta do bem x. Qual a quantidade x do bem x que o governo tem que fornecer para a …rma? (Dica: Observe que o que você sabe é que a soma da quantidade de bem x fornecida pelo governo mais a quantidade que a …rma vai comprar no mercado tem que ser igual a quantidade de insumo usada na letra (a)) (1 ponto) Solução. (a) O problema da …rma neste caso é max 96ln x x

 wx


Em equilíbrio, o w que aparece na expressão acima tem que concordar com o w que aparece na curva de oferta inversa. Isto é, x tem que satisfazer 96 x x2 + 4x

 96

=

() =

4 + x 0

A raiz positiva da equação acima é x = 8: (b) O problema da …rma agora é max 96ln x x

 (4 + x)x

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá 96 x x2 + 2x

 48

A raiz positiva da equação acima é x = 6:

=

() =

4 + 2x 0


222

(c) Seja x  a quantidade do bem x que o governo vai doar para …rma. O problema da …rma

agora é max 96ln(x + x) x

 (4 + x)x

A condição de primeira ordem do problema acima é 96 = 4 + 2x: x + x

Como nós queremos que x + x = 8, a equação acima implica que x = 4: Ou seja a quantidade que o governo tem que doar para a …rma é x  = 4: k Questão 30.3.3 (Perigo Moral). Considere o modelo de perigo moral que estudamos nas

notas de aula. Ou seja, suponha que uma …rma queira contratar um gerente para a realização de um projeto. O retorno do projeto pode ser alto,  H = 3 ou baixo,  L = 1. O gerente tem a opção de se esforçar ou não. Quando o gerente se esforça a probabilidade do retorno do projeto ser alto é pe = 2=3, quando ele não se esforça a probabilidade do retorno ser alto é apenas pn = 1=3. Quando o gerente se esforça ele incorre em um custo ce = 1. A …rma oferecerá um contrato de trabalho, (wH ; wL ) ; que estipula o salário do gerente no caso de um retorno alto e de um retorno baixo. O objetivo da …rma é maximizar o seu lucro esperado. Isto é, maximizar pi (H  wH ) + (1  pi) (L  wL ) em que i = e ou n, dependendo de o gerente se esforçar ou não. Para completar, suponha que o gerente sejap estritamente avesso ao risco com função de utilidade em relação a salário dada por u(w)p = w. Ou seja, quando p e ele se esforça a sua utilidade esperada é dada por U (wH ; wL ) = pp e wH + (1  pe ) wL  ce p e no caso em que ele não se esforça é dada por U n (wH ; wL ) = p n wH + (1  pn) wL . (a) Suponha primeiro que o esforço seja observável. Escreva e resolva os problemas da …rma

quando ela exige que o gerente se esforce e quando ela não exige. Calcule o lucro obtido pela …rma nos dois casos e descubra qual o melhor contrato para a …rma neste caso. (Dica: Podem aparecer salários negativos ou nulos, não tem problema) (1,5 pontos). (b) Suponha agora que o esforço não seja observável. Qual o melhor contrato para a …rma

neste caso? (Dica: Você não precisa fazer nenhuma conta. Mas explique bem a lógica da sua solução) (1 ponto) Solução. (a) O problema da …rma pode ser escrito de forma genérica como max pi ( H

 w

wH ;wL

sujeito a

p

pi wH + (1

H ) + (1

 p )(  w i

L

 p )p w  c  0 i

L

L)

i

em que p i = pe no caso em que a …rma exige que o gerente se esforce e p i = pn quando a …rma não exige. Similarmente, ci = 1 no caso em que a …rma exige que o gerente se esforce e ci = 0 quando não. O argumento tradicional nos garante que a restrição acima tem que ser satisfeita com igualdade. Conforme discutido na prova, a escolha da


223

p

função de utilidade acima não foi muito apropriada, já que w não está de…nida para valores negativos. De qualquer forma, seguindo o raciocínio nas notas de aula, nós sabemos que a solução do problema da …rma quando o gerente é estritamente avesso ao risco, envolve a …rma p absorvendo todo o risco da situação. Isto é, será um salário constante w que satisfaz w = c i . Isto implica que no caso em que a …rma não exige esforço o contrato ótimo será wH = wL = 0 e no caso em que a …rma exige esforço será wH = w L = 1. O lucro da …rma no caso que ela não exige esforço é pn H + (1

 p ) n

L

1 2 3+ 1 3 3 5 = 3

=

e o lucro dela no caso em que ela exige esforço é pe (H

 1) + (1  p )(  1) e

L

2 1 2+ 0 3 3 4 = : 3 =

Ou seja, o melhor contrato para a …rma é aquele em que ela não exige que o gerente se esforce. (b) Como o melhor contrato no caso em que o esforço é observável é aquele em que a …rma

não exige que o gerente se esforce, nós sabemos que este também será o melhor contrato no caso em que o esforço não é observável. Observe que tal contrato dá ao gerente uma utilidade não negativa, portanto ele o aceita. Além disto, como o salário em tal contrato é constante, é claro que ele vai aceitá-lo e não vai se esforçar. Finalmente, como o problema da …rma no caso de esforço não observável tem mais restrições, nós sabemos que o seu lucro não pode ser maior no caso de esforço não observável que no caso de esforço observável. Isto implica que o contrato ótimo no caso de não exigir esforço encontrado na letra (a) de fato é também o melhor contrato no caso de esforço não observável. k Questão 30.3.4 (Praia com densidade de pessoas diferente). Considere novamente o problema

dos dois sorveteiros que têm que escolher uma posição em uma faixa de areia. Porém, suponha agora que na metade esquerda da praia a densidade de pessoas seja três vezes maior do que na metade direita. Seja  a posição escolhida pelo sorveteiro 1 e  a escolhida pelo sorveteiro 2. Por exemplo, se os sorveteiros estiverem posicionados como na …gura 30.2 1 abaixo, o ganho do sorveteiro 1 será 3  + e o ganho do sorveteiro 2 será 3  ( 12  + . 2 2 )+ 2 Encontre todos os equilíbrios de Nash do jogo. A sua solução pode ser bem intuitiva, mas o conceito de equilíbrio de Nash deve estar claro. (1,5 pontos)

224


Figura 30.2: Exemplo de posicionamento na praia

Solução. A exata densidade de pessoas em cada parte da praia não importa muito para o raciocínio. O que importa mesmo é identi…car o ponto tal que metade das pessoas se encontre à direita daquele ponto e metade à esquerda. Pela descrição do problema é fácil ver que tal ponto é a posição 1=3. Agora o mesmíssimo raciocínio usado nas notas de aula mostra que o per…l em que ambos os sorveteiros se posicionam na posição 1=3 é o único equilíbrio de k Nash do jogo.


Primeira Prova


trocas com dois consumidores e dois bens. (a) Suponha que a dotação agregada de ambos os bens seja igual a 1 e as funções de utilidade dos dois agentes sejam dadas por U A (x1A ; x2A ) = x1A + 2x2A e U B (x1B ; x2B ) = min x1B ; x2B . Caracterize todas as alocações e…cientes no sentido de Pareto para esta

f

g

economia. Quais dessas alocações são justas? (Dica: Na minha opinião o jeito mais fácil de resolver a questão é usar apenas lógica. Se você prestar atenção na de…nição de e…ciência no sentido de Pareto e olhar principalmente para o indivíduo B a situação …ca clara. Algumas pessoas podem achar mais fácil resolver a questão desenhando a situação na caixa de Edgeworth) (1,5 pontos).

(b) Suponha que a dotação agregada de ambos os bens seja igual a 1 e as funções de utilidade dos dois agentes sejam dadas por U A (x1A ; x2A ) = x 1A +x2A e U B (x1B ; x2B ) = max x1B ; x2B .

f

g

Caracterize todas as alocações e…cientes no sentido de Pareto para esta economia. Quais dessas alocações são justas? (Dica: Novamente o jeito mais fácil de resolver a questão é usar apenas lógica. Alocações em que x1B ; x2B > 0 podem ser e…cientes? E alocações em que x1B > 0 e x 2B = 0 ? E alocações em que x1B = 0 e x 2B > 0? Neste caso tentar desenhar a situação na caixa de Edgeworth provavelmente atrapalhará mais do que ajudará.) (1,5 pontos).

Solução. (a) Primeiro testemos se existe alguma alocação e…ciente em que x 1B > x2B . Como a dotação agregada de ambos os bens é 1, nós temos que x1A = 1 x1B e x2A = 1 x2B . Além disto, dada a função de utilidade do indivíduo B , é claro que sua utilidade com tal cesta de consumo é apenas x2B . Mas então poderíamos de…nir uma nova alocação (^x1B ; ^ x2B ) := (x2B ; x2B ) e (^x1A ; ^ x2A ) := (x2A ; x2A ). É claro que U B (^x1B ; ^ x2B ) = U B (x1B ; x2B ) e U A (^x1A ; ^x2A ) > U A (x1A ; x2A ). Portanto, alocações em que x1B > x2B não podem ser





e…cientes no sentido de Pareto. Um raciocínio completamente simétrico mostra que alocações em que x2B > x1B também não podem ser e…cientes. As únicas alocações 225


226

que podem ser e…cientes, então, são aquelas em que x1B = x2B . De fato, nós podemos mostrar que todas as alocações desse tipo são e…cientes. Para ver isto, considere uma alocação em que x1B = x2B . Neste caso, x1A = x2A = 1  x 1B . A única forma de aumentar a utilidade do consumidor B é aumentar x1B e x2B ao mesmo tempo. Mas isto diminui x1A e x2A , o que claramente reduz a utilidade do agente A. De forma similar, a única forma de aumentar a utilidade do agente A é aumentar x1A ou x2A . Mas ao fazer isto nós diminuímos min fx1B ; x2B g, o que diminui a utilidade de B . Portanto, é impossível aumentar a utilidade de um dos agentes sem diminuir a utilidade do outro. Nós concluímos que todas as alocações em que x1B = x2B são e…cientes no sentido de Pareto. Finalmente, é claro que sempre que x1A = x2A > x1B = x2B o indivíduo B prefere a cesta do indivíduo A. Similarmente, sempre que x1B = x2B > x1A = x2A o indivíduo A prefere a cesta do indivíduo B . Isto mostra que a única alocação justa é a alocação x1A = x 2A = x 1B = x 2B = 1=2: (b) Considere primeiro uma alocação em que x1B

> 0. Novamente, como a dotação agregada de ambos os bens é igua a 1, nós temos que x1A = 1 x 1B e x2A = 1 x2B . Com tal alocação nós temos que U B (x1B ; x2B ) = x1B . Mas agora considere uma nova alocação tal que (^x1B ; ^x2B ) : = (x1B ; 0) e (^x1A ; ^x2A ) := (1 x1B ; 1). É claro que U B (^x1B ; ^ x2B ) = U B (x1B ; x2B ), mas U A (^x1A ; ^ x2A ) > U A (x1A ; x2A ). Portanto, alocações em que x1B x2B > 0 não são e…cientes. Um raciocínio absolutamente simétrico mostra que alocações em que x2B > x1B > 0 também não são e…cientes. Considere agora alocações em que x2B = 0. Neste caso, U B (x1B ; x2B ) = x1B e U A (x1A ; x2A ) = 2 x 1B . Considere uma alocação (^x1A ; ^ x2A ) e (^x1B ; ^ x2B ) qualquer. Se U A (^x1A ; ^ x2A ) > U A (x1A ; x2A ), então x^1B + x ^2B < x1B , o que implica que U B (^x1B ; ^ x2B ) = max x^1B ; ^ x2B < x1B = U B (x1B ; x2B ). Alternativamente, se max x^1B ; ^ x2B = U B (^x1B ; ^ x2B ) > U B (x1B ; x2B ) = x1B , então U A (^x1A ; ^ x2A ) = 2 (^x1B + x ^2B ) < 2 max x^1B ; ^ x2B < 2 x1B = U A (x1A ; x2A ). Isto mostra que todas as alocações em que x 2B = 0 são e…cientes. Um raciocínio simétrico mostra que as alocações em que x 1B = 0 também são e…cientes. Olhemos agora para as alocações em que x 1B = 0 . Isto implica que x 1A = 1 e, portanto, a não ser que x 2B = 1 o indivíduo B preferirá a cesta do indivíduo A a sua. Note, também, que as cestas (0; 1) e (1; 0) dão utilidade um para ambos os indivíduos. Ou seja, a alocação (x1A ; x2A ) = (1; 0) e (x1B ; x2B ) = (0; 1) é justa. Um raciocínio simétrico mostra que a única outra alocação justa é (x1A ; x2A ) = (0; 1) e (x1B ; x2B ) = (1; 0) : 2 B

 x















f

f

g

f

g

g



k

Questão 31.1.2. Considere uma economia com um consumidor e duas …rmas. Nesta economia existem dois insumos para produção, T e L. O consumidor recebe uma dotação inicial de 15 unidades de L e 10 unidades de T . Os insumos T e L são utilizados para produzir dois tipos de bens, A e B . Suponha que a tecnologia de produção do bem A seja

dada pela seguinte função de produção: A = min L; T :

f

g

Ou seja, para produzir uma unidade de A é necessário utilizar pelo menos uma unidade de T e uma unidade de L. Por outro lado, o bem B tem a seguinte função de produção: B = L + T:


227

Para …nalizar a descrição de nossa economia, suponha que as preferências do nosso consumidor sejam dadas pela seguinte função de utilidade: 2

3

U (A; B) = A 5 B 5 :

As letras abaixo o ajudam a encontrar o único equilíbrio competitivo desta economia. (a) Para um vetor de preços genérico (você já pode escolher um dos preços como numerário se quiser), resolva o problema da …rma produtora do bem A e escreva também a solução

do problema do consumidor. (1,5 pontos) (b) Usando o que você aprendeu na letra (a), argumente que em equilíbrio necessariamente a …rma produtora do bem B vai usar uma quantidade positiva do insumo L em seu

processo produtivo (Você não tem que fazer conta. Isto vem de uma lógica simples relacionada às dotações iniciais do consumidor.). Use isto para derivar uma relação entre os preços dos bens B e L. (1,5 pontos) (c) Encontre o único equilíbrio competitivo desta economia (Dica: divida a análise em 2 casos. O caso em que pT > pL e o caso em que pT = pL . Ambos os casos são fáceis

de analisar, mas você só será capaz de equilibrar os mercados em um dos casos). (1,5 pontos)

Solução. (a) Escolhendo o preço do bem L como numerário, o problema da …rma produtora do bem A pode ser escrito como max pA min LA ; T A

f

LA ;T A

g  L  p A

T T A

Dada a função de produção acima, é claro que a solução do problema acima só pode ocorrer em um ponto em que L A = T A .31.1 Portanto, nós podemos escrever o problema acima como função apenas de L A . Isto é, podemos escrevê-lo como max pA LA

 (1 + p

LA

T )LA


1, se p > 1 + p 0, se p < 1 + p [0; 1), se p = 1 + p A

LA =

T

A

T

A

T

9= ;

:

Dada a nossa observação anterior, nós concluimos que a solução do problema da …rma produtora do bem A é

1, se p > 1 + p 0, se p < 1 + p [0; 1), se p = p < 1 + p A

T A = LA =

T

A

T

A

31.1 Notação: Nós

A

T

9= ;

:

usaremos LA ; T A ; LB ; T B para representar as quantidades de L e T utilizadas na produção dos bens A e B , respectivamente.


228

O consumidor é do tipo Cobb-Douglas e nós sabemos que a solução do seu problema é dada por A =

2 15 + 10 pT + A + B 5 pA

B =

3 15 + 10 pT + A + B ; 5 pB

e

em que  A e  B são os lucros das …rmas produtoras dos bens A e B , respectivamente. (b) O problema da …rma produtora do bem B pode ser escrito como max pB (LB + T B )

LB ;T B

 L  p B

T T B

Da letra (a) nós sabemos que a …rma produtora do bem A utiliza quantidades iguais de ambos os bens no seu processo produtivo. Mas a dotação inicial que o consumidor tem do bem L é maior do que a dotação que este tem do bem T . Em equilíbrio esta quantidade extra do bem L tem que ser utilizada em algum lugar e o único lugar disponível é na produção do bem B . Dado o problema do produtor do bem B , é fácil ver que para que este utilize uma quantidade positiva do bem L no seu processo produtivo duas coisas têm que ocorrer. Primeiramente, como L e T são substitutos perfeitos na produção do bem B , nós necessariamente temos que ter p L  pT , ou seja, 1  pT . Além disto, para que a …rma não queira produzir uma quantidade in…nita nem uma quantidade nula é necessário que p B = pL = 1. (c) Tentemos primeiro um equilíbrio com pT > pL = 1. Neste caso, apenas o insumo L é utilizado na produção do bem B , o que implica que 10 unidades do bem T e 10 unidades do bem L são usadas na produção do bem A. Isto por sua vez implica que apenas 5 unidades do bem L são usadas para produção do bem B . As observações acima implicam que 10 unidades do bem A e 5 unidades do bem B são produzidas. Para que o mercado do bem B esteja equilibrado é necessário que o consumidor consuma 5

unidades de tal bem. Isto é, 3 (15 + 10 pT ) = 5 5 pT

() 2 = ; 3

o que é uma contradição.31.2 Nós concluimos que não existe equilíbrio neste caso. Tentemos agora um equilíbrio com p T = p L = 1. Neste caso, a quantidade consumida do bem B será igual a 3 (15 + 10) 5 = 15:

B =

31.2 Note que ambas as …rmas têm lucro zero em equilíbrio, portanto os termos

nas funções demanda do consumidor são nulos e podem ser ignorados.

 A e  B que antes apareciam


229

Para que o mercado do bem B esteja equilibrado é necessário, então, que 15 unidades do bem B sejam produzidas. Ou seja, é necessário que L B + T B = 15. Note ainda que para que o problema de produção do bem A tem uma solução diferente de zero e de in…nito nós temos que ter p A = 1 + pT = 2. Substituindo tal valor na função demanda pelo bem A nós encontramos 2 15 + 10 5 2 = 5:

A =

Isto implica que LA = T A = 5 e, consequentemente, LB = 10 e T B = 5. Note que os mercados de todos os bens estão equilibrados e todos os agentes estão tomando decisões ótimas dados os preços. Isto mostra que o único equilíbrio competitivo desta economia é dado por ( pL ; pT ; pA ; pB ) = (1; 1; 2; 1), (LA ; T A ) = (5; 5), (LB ; T B ) = (10; 5) e (A; B) = (5; 15). k Questão 31.1.3 (Quantidade ótima de seguro). Considere um agente com riqueza inicial igual a 1600 reais. Com probabilidade 1=3 um evento que implica em uma perda de 1100 reais para o agente vai ocorrer. O agente tem a oportunidade de fazer um seguro para receber X reais caso o evento que desencadeie a perda dos 1100 reais ocorra. Suponha que o preço pago por cada real segurado seja 1=2 real. (a) Suponha que o agente tenha contratado um seguro para X reais. Como não sabemos ainda se o evento que ocasiona a perda dos 1100 reais vai ocorrer, a riqueza futura

do agente é para nós uma variável aleatória, ou, na nossa terminologia, uma loteria. Escreva a loteria que representa a riqueza futura de um agente que contratou um seguro de X reais. (1 ponto) (b) Encontre a quantidade de seguro que um agente maximizador de utilidade esperada com função de Bernoulli dada por u(x) = ln(x) contrataria. (1,5 pontos)

Solução. (a) A loteria que representa a situação é:



2 1600 3



 

1 X 2

1 1600 3

 1100 

 

1 2 X + X = 1600 2 3



 

1 X 2



1 1 500 + X : 3 2

(b) A utilidade esperada do agente quando este contrata um seguro de X reais é



2 ln 1600 3









1 1 1 X + ln 500 + X : 2 3 2

O valor de X que maximiza a expressão acima satisfaz a seguinte condição de primeira ordem:

 12 23 1600 1

1 1 1 = 0: 1 1 2 3 X 500 + X 2 2 +

Resolvendo a equação acima nós obtemos X = 400:

k


230

Questão 31.1.4. Suponha que um monopolista atue em um mercado em que existam dois

grupos de consumidores com curvas de demanda dadas por y1 ( p1 ) = 14

 2 p

y2 ( p2 ) = 36

 3 p :

1

e 2

Suponha que a função custo do monopolista seja dada por c(y1 + y2 ) = 2 (y1 + y2 ). (a) Supondo que o monopolista possa praticar discriminação de preços, calcule quanto o

monopolista venderá para os consumidores do tipo 1 e para os consumidores do tipo 2. (1,5 pontos) (b) Suponha agora que a discriminação de preços seja proibida por lei. Calcule quanto o

monopolista venderá para os consumidores do tipo 1 e para os consumidores do tipo 2 (Dica: você terá que investigar dois casos. O caso em que o monopolista resolve atender a apenas um dos grupos de consumidores e o caso em que o monopolista resolve atender aos dois grupos. A solução do problema do monopolista será o caso que lhe der o maior lucro). (1,5 pontos) Solução. (a) Não é necessário fazer isto, mas vamos primeiro obter as curvas de demanda inversa

correspondentes aos dois grupos de consumidores. 31.3 Tais curvas são dadas por p1 (y1 ) = 7

e p2 (y2 ) = 12

 12 y

1

 13 y : 2

Agora podemos escrever o problema do monopolista como

  

max 7 y1 ;y2

1 y1 y1 + 12 2





1 y2 y2 3

 2 (y + y ) 1

2

As condições de primeira ordem do problema acima nos dão y 1 = 5 e y 2 = 15: (b) Olhando para as curvas de demanda dos dois grupos de consumidores nós vemos que a

demanda dos consumidores do tipo 1 zera para preços superiores a 7 e a demanda dos consumidores do tipo 2 zera para preços superiores a 12. Portanto, as duas situações a serem consideradas são quando o monopolista resolve atender apenas aos consumidores do tipo 2 e quando o monopolista resolve atender aos dois grupos de consumidores. Suponha primeiro que o monopolista resolva atender apenas aos consumidores do tipo 2. Neste caso o problema do monopolista pode ser escrito como



max 12 y2

31.3 Lembre

o resultado.





1 y2 y2 3

 2y

2

que nós podemos modelar o monopolista como escolhendo preço ou quantidade. Isto não altera

31.2. SEGUNDA PROVA

231

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá y2 = 15, o que implica em um preço p2 = 7. Note que tal preço de fato induz uma demanda nula dos consumidores do tipo 1. Consequentemente, o lucro do monopolista em tal caso é  = 12  13  15 15  2  15 = 75. Consideremos agora o caso em que o monopolista resolve atender aos dois grupos. A curva de demanda do mercado agora é composta pela soma das demandas dos dois grupos. Isto é, nós trabalharemos com a seguinte curva de demanda:



y ( p) = 50



 5 p:

A curva de demanda inversa correspondente à curva de demanda acima é p (y) = 10

 15 y:

O problema do monopolista pode ser escrito como



max 10 y





1 y y 5

2y

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá y = 20, o que implica que o preço cobrado será p = 6, que é consistente com o fato de que o monopolista está atendendo aos dois grupos de consumidores. Finalmente, o lucro do monopolista em tal caso é  = 10  15  20 20  2  20 = 80. Portanto, quando a discriminação de preços é proibida o monopolista cobrará um preço igual a 6 reais. Isto implica que os consumidores do tipo 1 consumirão 2 unidades e os consumidores do tipo 2 consumirão 18 unidades. k



31.2



Segunda Prova

Questão 31.2.1 (Fixação simultânea de preços com bens distintos) . Suponha que duas

lojas em um mesmo shopping vendam dois produtos distintos. A competição entre elas se dá pela …xação simultânea de seus preços. Embora as lojas vendam produtos distintos, o preço cobrado por uma loja afeta as vendas da outra. Mais especi…camente, a curva de demanda para o bem 1 é dada por Q 1 = 2  2 p1 + p2 . Já a curva de demanda para o bem 2 é dada por Q2 = 6  6 p2 + 3 p1 . Por simplicidade, suponha que os custos …xos e marginais de ambas as lojas sejam nulos. (a) Calcule os preços que ambas as lojas cobrarão em equilíbrio. (1 ponto) (b) Suponha agora que as duas lojas tenham o mesmo dono. Que preços elas cobrarão? (1

ponto) (c) Voltemos ao caso em que as lojas têm donos diferentes. Suponha que o administrador do

shopping ao perceber que as lojas estão praticando uma política de preços predatória, e percebendo que ambas poderiam obter um lucro agregado maior se agissem de forma coordenada, implemente a seguinte política: o administrador se compromete a comprar uma quantidade …xa de  unidades do bem 1 e uma quantidade …xa de  unidades do


232

bem 2 pelos preços que as lojas estiverem cobrando. Encontre os valores de  e  que fazem com que as lojas escolham os mesmos preços da letra (b) mesmo tendo donos diferentes. Atenção! Você deve assumir que o administrador do shopping só cumpre o acordo se os preços forem razoáveis. Isto é, a solução do problema das lojas não é colocar o preço igual a in…nito e vender apenas para o administrador. Na prática, considere que a solução dos problemas das duas …rmas sejam caracterizadas por suas condições de primeira ordem. (1 ponto) Solução. (a) Dado um preço p2 , o preço p1 que maximiza o lucro da loja 1 resolve o seguinte problema

de maximização:

max (2 p1

 2 p + p ) p 1

2

1


 4 p + p = 0; 1

2

o que implica que a melhor resposta da loja 1 quando a loja 2 está jogando um preço p2 genérico é p 1 = 12 + 14 p2 : Similarmente, dado um preço p 1 , o preço p 2 que maximiza o lucro da loja 2 resolve o seguinte problema de maximização: max (6 p2

 6 p + 3 p ) p 2

1

2


 12 p + 3 p = 0; 2

1

o que implica que a melhor resposta da loja 2 quando a loja 1 está jogando um preço p1 genérico é p 2 = 12 + 14 p1 . Em equilíbrio, o preço p1 tem que ser uma melhor resposta ao preço p2 e o preço p2 tem que ser uma melhor resposta ao preço p1 . Ou seja, p1 e p2 têm que resolver o seguinte sistema: 1 1 p1 = + p2 2 4

e

1 1 p2 = + p1 : 2 4 Resolvendo o sistema acima nós obtemos p 1 = p2 = 23 . (b) Se as duas lojas têm o mesmo dono, então este só vai se preocupar com o lucro agregado.

Ou seja, o problema de maximização do dono das lojas é max (2

p1 ;p2

 2 p + p ) p + (6  6 p + 3 p ) p 1

2

1

2


 4 p + 4 p = 0 1

2

1

2

31.2. SEGUNDA PROVA

233

e 6

 12 p + 4 p = 0: 2

1

Resolvendo o sistema acima nós obtemos p 1 =

3 2

e p 2 = 1.

(c) Suponha que a loja 2 esteja jogando um preço p 2 genérico. O preço p 1 que maximiza o

lucro da loja 1 agora resolve o seguinte problema: max (2 p1

 2 p + p ) p + p 1

2

1

1


 4 p + p +  = 0; 1

2

o que implica que a melhor resposta da loja 1 quando a loja 2 está jogando um preço 1 . Como nós estamos atrás de um equilíbrio em que p 1 = 32 p2 genérico é p 1 = 2+ 4 + 4 p2 e p2 = 1, isto implica que nós temos que ter  = 3: Suponha agora que loja 1 esteja jogando um preço p1 genérico. O preço p2 que maximiza o lucro da loja 2 agora resolve o seguinte problema: max (6 p2

 6 p + 3 p ) p + p 2

1

2

2


 12 p + 3 p +  = 0; 2

1

o que implica que a melhor resposta da loja 2 quando a loja 1 está jogando um preço 1 . Como nós estamos atrás de um equilíbrio em que p 1 = 32 p1 genérico é p 2 = 6+ 12 + 4 p1 k e p 2 = 1, isto implica que nós temos que ter  = 32 : Questão 31.2.2. Suponha que em um mercado de carros usados existam dois tipos de carros:


comprar o carro? Considere que quando indiferentes entre vender e não vender um carro os potenciais vendedores o vendem. (1 ponto) (b) Suponha agora que exista ainda um outro tipo de carro, o de qualidade baixíssima, com valor, para os vendedores, igual a q b = 24. Considere que 1=3 dos carros tenham qualidade q b , 1=3 tenham qualidade q l e 1=3 tenham qualidade q h . Qual o máximo valor p que um potencial comprador aceitará pagar por um carro usado agora. (1,5

pontos) Solução.


234 (a) Suponha que p


de carros de qualidade q l como os donos de carros de qualidade q h estão vendendo os seus carros. Portanto, a qualidade esperada do carro sendo vendido é 12 q l + 12 q h = 90. O máximo valor que um potencial comprador aceita pagar por um carro de qualidade esperada igual a 90 é 90  32 = 135. Como 135 < 140, um potencial comprador não aceita comprar o carro por um preço maior ou igual a 140. Suponha agora que 40  p < 140. Neste caso, os potenciais compradores sabem que necessariamente o carro é de qualidade baixa. Portanto, o máximo valor que o potencial comprador aceita pagar por tal carro é 40  32 = 60. Como 40  60 < 140 , 60 é o máximo valor que um potencial comprador aceitará pagar pelo carro. (b) Suponha primeiro que p

 140. Neste caso, os potenciais compradores sabem que carros

de todas as qualidades estão a venda e a qualidade esperada do carro sendo vendido é 1 q + 13 q l + 13 q h = 68. O máximo valor que um potencial comprador aceita pagar por 3 b um carro de qualidade esperada igual a 68 é 68  32 = 102. Portanto, um potencial comprador nunca comprará um carro com preço maior ou igual a 140. Testemos um preço p tal que 40  p < 140. Neste caso, os potenciais compradores sabem que apenas carros de qualidade q b e q l estão a venda. A qualidade esperada do carro sendo vendido é 12 q b + 12 q l = 32. O máximo valor que um potencial comprador aceita pagar por um carro de qualidade esperada igual a 32 é 32  32 = 48 . Como 40  48 < 140 , o máximo valor que um potencial comprador aceitará pagar pelo carro neste caso é 48 . k Questão 31.2.3. Suponha que dois países vizinhos estejam decidindo o quanto investir em um determinado bem público G. As funções de utilidade dos países são dadas por U 1 (x1 ; G) := x1 + 2 G e U 2 (x2 ; G) := x 2 + 4 G, em que x i é quanto o país i gasta em consumo privado e G := g 1 + g2 é a soma das contribuições dos dois países para o bem público. Suponha que o país 1 tenha uma renda igual a w 1 e o país 2 tenha uma renda igual a w 2 . Nós temos que ter wi = xi + gi , para i = 1; 2.

p

p


quantidade que maximiza a soma das utilidades dos dois países. Atenção! Existem várias combinações de g1 e g2 que estão relacionadas a alocações e…cientes, mas a soma g 1 + g2 é a mesma em todas elas. (1,5 pontos) Os dois itens seguintes mostram que o jogo que representa a situação em que os dois países escolhem o quanto produzir do bem público de forma isolada tem um equilíbrio de Nash em que um país pega carona completamente na contribuição do outro. Isto é, um dos países produz uma quantidade igual a zero do bem público (na verdade, este é o único equilíbrio, mas mostrar isto dá um pouco de trabalho e eu resolvi deixar fora da prova). (b) Sem fazer conta, dê um palpite a respeito de quem vai produzir e quem não vai produzir o

bem público em equilíbrio (quem …caria mais tentado a produzir se o outro não estivesse produzindo nada?). Seja o país i o que você acha que produzirá zero em equilíbrio. Suponha que o país i esteja de fato produzindo zero. Calcule a melhor resposta do país j neste caso. (1 ponto)

31.2. SEGUNDA PROVA

235

(c) Seja g j a quantidade que você encontrou na letra (b). Escreva o ganho do país i como função de gi quando g j = g j . Mostre que este ganho é uma função estritamente decrescente de g i para todo g i 0, o que implica que escolher g i = 0 é de fato a melhor resposta do país i quando o país j produz a quantidade g j . (1 ponto)



Solução. (a) Note que nós sempre temos que ter x i = w i


1

1

1

i

2

2

2

1

2


p g 1 + g

+

g2 :

p g 1 + g

+

1

1

2

p g 2 + g

2

p g 2 + g

2

1

2

1

=1

()

g1 + g2 = 9

=1

()

g1 + g2 = 9:

As condições acima nos mostram que qualquer combinação de g1 e g2 tal que g1 +g2 = 9 maximiza a soma das utilidades dos países. (b) O país 2 obtém mais utilidade com o bem público do que o país 1, portanto, faz sentido acreditar que ele será quem produzirá o bem G em equilíbrio. Suponha que o país 1 esteja de fato produzindo uma quantidade g 1 = 0 do bem público. A melhor resposta

do país 2 neste caso resolve o seguinte problema: max w2 g2

 g + 4p g 2

2


p 2g

= 1; 2

o que implica que g 2 = 4. (c) Suponha que o país 2 esteja produzindo uma quantidade g 2 = 4 do bem público. Neste caso, o ganho do país 1 com uma quantidade g 1 genérica é dado por w1

 g + 2 1

p

g1 + 4:

A derivada da expressão acima em relação a g 1 é

1 + p g 1 + 4 : 1

Como a expressão acima é negativa para qualquer valor g1  0, nós concluimos que o ganho do país 1 é uma função decrescente de g1 , o que mostra que a sua melhor resposta é produzir g1 = 0. Isto mostra que (g1 ; g2 ) = (0; 4) é um equilíbrio de Nash do jogo (conforme o enunciado adiantou, é o único, mas a demonstração deste fato …cará para uma próxima ocasião.). k


236

Questão 31.2.4 (Praia com buraco). Considere mais uma vez o problema dos dois sorveteiros

que têm que se posicionar em uma faixa de areia. Como sempre, suponha que as pessoas estejam distribuídas uniformemente pela praia e que estas sempre compram do sorveteiro que está mais próximo delas. O objetivo dos sorveteiros é maximizar o número de sorvetes vendidos. A diferença agora é que existe uma região da praia em que os sorveteiros estão proibidos de se posicionarem. Atenção! Apenas os sorveteiros estão proibidos de …carem na região mencionada, as pessoas estão distribuídas de maneira uniforme por toda a faixa de areia, incluindo o pedaço proibido para os sorveteiros. (a) Suponha primeiro que a região proibida seja composta por um intervalo aberto simétrico

ao redor do centro da praia. Por exemplo, suponha que a praia seja o intervalo [0;1] e a região proibida seja o intervalo aberto (0,4;0,6). Encontre todos os equilíbrios de Nash do jogo neste caso. (1 ponto) (b) Suponha agora que a região proibida seja composta por um intervalo aberto no canto da

praia. Por exemplo, suponha que a praia seja o intervalo [0;1] e a região proibida seja o intervalo (0,8;1]. Encontre todos os equilíbrios de Nash do jogo neste caso. (1 ponto) (c) Suponha agora que a região proibida seja composta por um intervalo aberto não simétrico

ao redor do centro praia. Por exemplo, suponha que a praia seja o intervalo [0;1] e a região proibida seja o intervalo aberto (0,4;0,7). Encontre todos os equilíbrios de Nash do jogo neste caso. (1 ponto) Solução. (a) Suponha que o sorveteiro 1 esteja em uma posição que não seja nem 0; 4 e nem 0; 6. Digamos que ele esteja em uma posição à esquerda de 0; 4. Se o sorveteiro 2 estiver

posicionado à direita do sorveteiro 1 (incluindo o caso em que ele está na mesma posição do sorveteiro 1 e não importando se ele está à esquerda ou à direita do buraco), o sorveteiro 1 pode aumentar o seu lucro se movendo um pouco para à direita. Se o sorveteiro 2 estiver posicionado à esquerda do sorveteiro 1, o sorveteiro 1 pode aumentar o seu lucro se movendo um pouco para à esquerda. Isto mostra que não existe equilíbrio de Nash em que o sorveteiro 1 se posicione à esquerda de 0; 4. Dada a simetria do jogo, nós concluimos que não existe equilíbrio de Nash em que um dos jogadores se posicione em uma posição diferente de 0; 4 e de 0; 6. Nós agora podemos mostrar que qualquer per…l em que os dois jogadores estejam posicionados nestas duas posições é equilíbrio de Nash. Para ver isto, suponha que o sorveteiro 1 esteja na posição 0; 4. Note que se o sorveteiro 2 se posicionar em 0; 4 ou em 0; 6 o seu ganho será igual a 1=2 e em qualquer outra posição o seu ganho será estritamente menor do que 1=2. Ou seja, as únicas melhores respostas do sorveteiro 2 contra 0; 4 são 0; 4 e 0; 6. Similarmente, as únicas melhores respostas do sorveteiro 2 contra 0; 6 são 0; 4 e 0; 6 e, dada a simetria do jogo, as melhores respostas do sorveteiro 1 contra 0; 4 ou 0; 6 também são 0; 4 e 0; 6. Isto mostra que o conjunto de equilíbrios de Nash do jogo é

f(0; 4; 0; 4); (0; 6; 0; 6); (0; 4; 0; 6); (0; 6; 0; 4)g: (b) Suponha que o sorveteiro 1 esteja posicionado à esquerda da praia, isto é, em uma posição menor do que 1=2. Se o sorveteiro 2 estiver à sua direita, incluindo a possibilidade


237

de estar na mesma posição, o sorveteiro 1 pode aumentar o seu lucro se movendo um pouco para à direita. Se o sorveteiro 2 estiver posicionado à sua esquerda, então o sorveteiro 1 pode aumentar o seu lucro se movendo um pouco para a esquerda. Isto mostra que em qualquer possível equilíbrio de Nash do jogo o sorveteiro 1 tem que estar posicionado exatamente no centro da praia. Por simetria, isto também tem que valer para o sorveteiro 2. É fácil veri…car que o per…l (s1 ; s2 ) = (1=2; 1=2) é equilíbrio de Nash do jogo. Para ver isto, simplesmente note que quando o jogador i se posiciona em 1=2 o jogador j obtém um ganho estritamente menor do que 1=2 em qualquer posição diferente de 1=2. (c) O mesmo raciocínio usado na letra (a) nos permite concluir que em qualquer possível

equilíbrio neste caso os dois sorveteiros necessariamente têm que estar posicionados nas posições 0; 4 ou 0; 7. No entanto, agora nós podemos mostrar que não existe equilíbrio em que um dos sorveteiros se posicione em 0; 7. Para ver isto, note que independentemente do outro sorveteiro estar posicionado em 0; 4 ou em 0; 7, um sorveteiro posicionado em 0; 7 pode aumentar o seu ganho se ele mudar para a posição 0; 4.31.4 Isto mostra que o nosso único candidato a equilíbrio é o per…l (s1 ; s2 ) = (0; 4; 0; 4). É fácil veri…car que quando o outro sorveteiro está posicionado na posição 0; 4, qualquer k posição diferente de 0; 4 dá ao sorveteiro um ganho menor do que 1=2.

31.3

Prova Substitutiva




 y:

(a) Suponha primeiro que o mercado para o bem y seja competitivo. Calcule o preço e a quantidade produzida do bem y neste caso (1,4 pontos). (b) Suponha agora que a …rma F aja como monopolista. Calcule o preço cobrado e a

quantidade produzida neste caso (1,4 pontos). Solução. (a) Em um mercado competitivo a …rma comporta-se como tomadora de preços. Neste caso


31.4 Se

y

2

o outro estiver posicionado também em 0; 7 o ganho do sorveteiro passa de 1=2 para um valor estritamente maior do que 1=2. Se o outro sorveteiro estiver posicionado em 0; 4, o ganho do sorveteiro passa de um valor menor do que 1=2 para 1=2.


238


 2y = 0;

o que nos dá a condição y = p=2. Substituindo tal condição na expressão para a curva de demanda inversa nós obtemos p p = 2

 2:

Resolvendo a equação acima para p nós obtemos p = 4=3. Consequentemente, o nível de produção neste caso será y = 2=3: (b) O problema de uma …rma monopolista pode ser escrito como max (2

 y) y  y

2


 4y = 0:

O que nos dá um nível de produção y = 1=2. Substituindo tal valor na curva de demanda inversa nós obtemos p = 3=2: k Questão 31.3.2 (Quantidade ótima de seguro). Considere um agente com riqueza inicial igual a 3200 reais. Com probabilidade 1=3 um evento que implica em uma perda de 2000

reais para o agente vai ocorrer. O agente tem a oportunidade de fazer um seguro para receber X reais caso o evento que desencadeie a perda dos 2000 reais ocorra. Suponha que o preço pago por cada real segurado seja 1=2 real. Encontre a quantidade de seguro que um agente maximizador de utilidade esperada com função de Bernoulli dada por u(x) = ln(x) contrataria. (1,4 pontos) Solução. A utilidade esperada do agente quando este contrata um seguro de X reais é



2 ln 3200 3









1 1 1 X + ln 1200 + X : 2 3 2


 12 23 3200 1

1 2 X

+

1 1 1 = 0: 2 3 1200 + 12 X

Resolvendo a equação acima nós obtemos X = 1600=3:

k

Questão 31.3.3. Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as funções de 1 1 utilidade dos consumidores sejam dadas por U A (x1A ; x2A ) = (x1A ) 2 (x2A ) 2 e U B (x1B ; x2B ) = 2 x1B + ln x2B . Suponha que as dotações iniciais dos consumidores sejam (wA1 ; wA ) = (1; 0) e 1 2 (wB ; wB ) = (0; 1). (a) Encontre o único equilíbrio competitivo desta economia. Isto é, encontre o vetor de

preços e a alocação que constituem um equilíbrio competitivo para esta economia. (1,4 pontos)


239

(b) É possível mostrar que a alocação (x1A ; x2A ) =

e (x1B ; x2B ) = 13 ; 35 é e…ciente no sentido de Pareto. Como a economia acima satisfaz as condições do segundo teorema do bem estar nós sabemos que com a correta redistribuição das dotações iniciais nós podemos fazer com que tal alocação seja parte de um equilíbrio competitivo. Ou seja, existem 0  t1 ; t2  1 tais que quando (wA1 ; wA2 ) = (1  t1 ; t2 ) e (wB1 ; wB2 ) = (t1 ; 1  t2 ) a alocação resultante do equilíbrio competitivo da economia é exatamente (x1A ; x2A ) = 2 2 e (x1B ; x2B ) = 13 ; 35 . Na verdade, existe um vetor de tranferências (t1 ; t2 ) com 3; 5 t1 = 1=2 que gera a alocação acima em equilíbrio. Encontre o vetor de preços e a transferência t2 relacionados a tal equilíbrio. (1,5 pontos)

 

2 2 ; 3 5

 

 

 




1 2

e x 2A =

1 2 p



xB ;xB



2 B + ln

 px

x2B



 1 = 1;


Isto implica que x 2A = 13 , x 1B =

1 2

e x 2B = 23 .


240


xB ;xB

sujeito a

1 x1B + px2B = + p(1 2

t ) 2


2 B + ln

 t )  px 2

x2B

Da condição de primeira ordem do problema acima nós aprendemos que x2B = p1 . Como sabemos que x2B = 35 , nós aprendemos que p = 53 . Substituindo tais valores, juntamente k com x 1B = 13 na restrição do problema acima nós obtemos que t 2 = 12 : Questão 31.3.4 (Praia com buraco 2). Considere mais uma vez o problema dos dois

sorveteiros que têm que se posicionar em uma faixa de areia. Suponha que as pessoas estejam distribuídas uniformemente em um pedaço da praia e que estas sempre compram do sorveteiro que está mais próximo delas. O objetivo dos sorveteiros é maximizar o número de sorvetes vendidos. A diferença agora é que existe uma região da praia sem pessoas. Atenção! Apesar das pessoas não se posicionarem na região mencionada, estas podem atravessar a região para comprar sorvete, caso o sorveteiro mais próximo esteja do outro lado. Além disto, os sorveteiros podem se posicionar na região sem pessoas. (a) Suponha primeiro que a região sem pessoas seja composta por um intervalo fechado

simétrico ao redor do centro da praia. Por exemplo, suponha que a praia seja o intervalo [0;1] e a região sem pessoas seja o intervalo fechado [0,4;0,6]. Encontre todos os equilíbrios de Nash do jogo neste caso. (1,5 pontos) (b) Suponha agora que a região sem pessoas seja composta por um intervalo fechado não

simétrico ao redor do centro praia. Por exemplo, suponha que a praia seja o intervalo [0;1] e a região sem pessoas seja o intervalo fechado [0,4;0,8]. Encontre todos os equilíbrios de Nash do jogo neste caso. (1,4 pontos) Solução. (a) Seja s 1 a posição do sorveteiro 1 e s 2 a posição do sorveteiro 2. Considere um per…l em que que s1 < 0; 4 e s1 < s2 . Note que o sorveteiro 2 poderia aumentar o seu ganho escolhendo uma nova posição em (s1 ; s2 ), o que implica que não existe equilíbrio de

Nash neste caso. O mesmo raciocínio mostra que nenhum per…l em que pelo menos um dos sorveteiros esteja posicionado fora de [0; 4; 0; 6] é equilíbrio de Nash. Nós podemos agora mostrar que qualquer per…l em que s1 ; s2 2 [0; 4; 0; 6] é equilíbrio. Para isto, considere um per…l em que s1 ; s2 2 [0; 4; 0; 6]. Observe que, independentemente dos exatos valores de s1 e s2, ambos os sorveteiros estão vendendo para exatamente 0; 4 das pessoas. Note que isto não se altera se um dos sorveteiros desviar para uma nova


241

posição ainda dentro de [0; 4; 0; 6]. Já se um dos sorveteiros desviar para uma posição fora de [0; 4; 0; 6], ele certamente não atenderá às pessoas do outro lado do buraco, o que garante que tal desvio lhe dará um ganho menor ou igual a 0; 4. Isto mostra que quando um dos sorveteiros está posicionado dentro do buraco, qualquer posição dentro do buraco é melhor resposta para o outro sorveteiro. Nós concluimos que os únicos equilíbrios de Nash são os per…s (s1 ; s2 ) em que 0; 4  s1 ; s2  0; 6: (b) Primeiramente, observe que o tamanho agregado da extensão de praia em que existem pessoas posicionadas é 0; 6. Isto implica que a posição 0; 3 é a posição divide o número

de pessoas ao meio. Agora um raciocínio exatamente igual ao problema dos sorveteiros original mostra que o único equilíbrio de Nash é o per…l em que os dois sorveteiros …cam posicionados em 0; 3. k

242


Capítulo 32 Primeiro Semestre de 2012 32.1 32 .1

Prim Primei eira ra Pro Prova


Suponha que durante um certo período ele tenha decidido trabalhar 180 horas e que ele seja indiferente entre gastar este tempo catando côco ou pescando. A função de produção de peixe de Robinson é dada por F = 2l 2 lF

e a de côco é C = lC :

em que l lF e l lC são o número de horas que Robinson passa pescando e catando côco, respectivamente. Consequentemente, lC + lF = 180: 180:

A sua função de utilidade para consumo de peixe e côcos é dada por 1

2

U (F; (F; C ) = F 3 C 3 :



(a) Se Robinson não puder negociar com o resto do mundo, quantas horas ele trabalhará

catando côc côco e quantas quantas horas horas ele trab trabalhará alhará pescando? escando? Quantos Quantos côcos ôcos e peixes ele   pro produzirá? duzirá? (Dica: (Dica: Para Para um número número a > 0, o vetor (x ; y ) que maximiza a função sempre,, sabendo sabendo a fórmula a  f (x; (x; y) é o mesmo que maximiza a função f (x; (x; y). Como sempre para ara a demanda demanda de um consumidor onsumidor Cobb-Dougla Cobb-Douglass voc você economiza onomiza muitas contas.) contas.) (1 ponto) (b) Suponha que após Robinson já ter produzido as quantidades F e C acima, mas antes

de ele haver consumido qualquer parte de sua produção, o comércio internacional se abr abra. Sup Suponha onha que que os pre preços ços de uma uma unid unidade ade de peixe eixe e de uma uma unida unidade de de côco sejam iguais a 1. Quantos Quantos peixes peixes e quantos quantos côcos ôcos Robinson obinson consumirá onsumirá agora? agora? (Dica: (Dica: Novamente, saber a função demanda do consumidor Cobb-Douglas economiza contas aqui. (1 ponto) (c) Suponha agora que o comércio internacional se abra antes que Robinson tome as suas

decisõ decisões es de prod produção. ução. Os preços preços continuam continuam os mesmos mesmos da letra (b). Quantos Quantos côco côcoss e 243


244

quantos peixes Robinson produzirá produzirá agora? Quantos côcos côcos e quantos peixes ele consumirá? consumirá? (Dica: (Dica: Observe Observe que voc você pode ode dividir o problema problema de Robinson Robinson em dois: Primeiro Primeiro um de maximização de riqueza dado o número de horas que ele pode trabalhar e depois um de maximização de utilidade dada a riqueza acumulada). (1,5 pontos) Solução. (a) O problema de Robinson é 1

2

1

1

2

max(2l (2lF ) 3 (lC ) 3 = 2 3 (lF ) 3 (lC ) 3 lF ;lC



sujeito a lF + lC = 180

Seguindo a dica, nós sabemos que a solução do problema acima é a mesma de um problema Cobb-douglas em que os preços são iguais a 1 e a riqueza é 180. N’ós sabemos que a solução de tal problema é lF = 60 6 0 e lC = 120, o que implica que Robinson produz F = = 120 e C = C = 120. (b) O problema de Robinson pode ser escrito como 1

2

max(F ) F ) 3 (C ) 3 F;C

sujeito a 1 F + 1 C = 1 120 + 1 120







A solução do problema acima é F = 80 e C = C = 160: 160:



(c) O problema de Robinson pode ser escrito como 1

2

max (F ) F ) 3 (C ) 3

lF ;lC ;F;C

sujeito a 1 F + 1 C = 1 2lF + 1 lC

e









lF + lC = 180

Segu Seguind indoo a dica, dica, nós nós sabem sabemos os que o prob problem lemaa acima acima pode ser dividi dividido do em dois. dois. Primeiro Robinson resolve o seguinte problema: max 2lF + lC lF ;lC

sujeito a lF + lC = 180

É fácil ver que a solução do problema acima é lF = 180, o que implica que Robinson produz 360 unidade unidadess de peixe e nenhu nenhuma ma unidade unidade de côco. côco. Isto lhe dá uma riqueza riqueza igual a 360 . Posteriormente, Robinson resolve o seguinte problema: 1

2

max(F ) F ) 3 (C ) 3 F;C


245

sujeito a 1 F + 1 C = = 360





A solução do problema acima é F = F = 120 e C = C = 240.

k

Questão 32.1.2. Considere uma empresa monopolista em um mercado com curva de demanda inversa dada por P (Q funçãoo custo custo do mono monoppolista olista é dada dada por por C (Q ( Q) = 34 Q. A funçã (Q) = 2 Q + 2Q 2 Q + 6.



(a) Encontre o preço cobrado pelo monopolista e calcule o excedente agregado da economia

neste caso. (1,5 pontos) (b) Suponha agora que o governo obrigue o monopolista a cobrar um preço igual a 24

unidades monetárias. Calcule o excedente agregado da economia neste caso. (1 ponto) Solução. (a) O problema do monopolista é max (34 Q

 Q) Q 



Q2 + 2Q 2Q + 6




 2Q  2Q  2 = 0:0 :

Resolvendo a equação acima, nós obtemos Q = Q = 8, o que implica em um preço P = 26. A curva de custo marginal é dada por C 0 (Q (Q) = 2Q 2Q + 2

Gra…camente, tal solução pode ser representada como na …gura abaixo:

Figura 32.1: Excedente agregado sem intervenção.


246

O excedente do consumidor é dado pela área da região A na …gura. Já o do produtor é dado pela soma das áreas das regiões B e C . Calculando tais áreas nós obtemos um excedente excedente do consumidor consumidor igual a 32 e um excedente do produtor igual a 64 + 64 = 128 128. Isto dá um excedente agregado igual a 160 . (b) Com um preço igual a 24 , a quantidade vendida do bem será igual a 10 . Gra…camente,

tal situação pode ser representada por:

Figura 32.2: Excedente agregado com intervenção. Novamente, o excedente do consumidor é dado pela área da região A na …gura e o do produtor é dado pela soma das áreas das regiões B e C . Calcula Calculando ndo tais tais áreas áreas nós obtemos um excedente do consumidor igual a 50 5 0 e um excedente do produtor igual a k 20 + 100 = 120. Isto dá um excedente agregado igual a 170 . Questão 32.1.3. Responda os seguintes itens sobre a teoria da utilidade esperada.

p x, em que x é a sua

(a) Considere um agente com função de Bernoulli dada por u(x) =

riqueza. Suponha que tal agente participe de um jogo em que os ganhos são dados pela tabela abaixo. Ganho Ganho Prob Probabi abilida lidade de $ 400 1/3 $ 225 1/3 $ 100 1/3 Calcule a utilidade esperada do indivíduo com tal jogo. (1 ponto) (b) Um indivíduo tem uma propriedade que lhe proporciona uma colheita de $ 100.000

quando as condições climáticas são favoráveis, algo que ocorre com probabilidade igual a 0,6. Quando as condições climáticas não são favoráveis o indivíduo tem um prejuízo de $ 20.000. Suponha que um arrendatário ofereça $ 60.000 pelo aluguel da propriedade por um ano. ano. Se o indiví indivíduo duo é avesso avesso ao risco, risco, é possíve ossívell a…rmar a…rmar que ele aceita aceitarrá a oferta do arrendatário? Explique muito bem a sua resposta. (1 ponto)


247

Solução. (a) A utilidade esperada do indivíduo será dada por

p

p

p

1 1 1 1 1 1 u (400) + u (225) + u (100 (100)) = 400 + 225 + 100 3 3 3 3 3 3 1 1 1 = 20 + 15 + 10 3 3 3 = 15: 15: (b) O valor esperado do lucro do indivíduo com a propriedade é dado por 0; 0; 6 100: 100:000+0; 000+0; 4 arrendatário oferece ao indivíduo um valor valor certo igual a 60: ( 20: 20:000) = 52: 52:000. O arrendatário 60:000,







que é maior maior do que o valor esperado esperado que acabamos acabamos de calcular. calcular. Como Como o indivídu indivíduoo é avesso ao risco ele preferiria receber 52: 52 :000 com certeza a permanecer na propriedade. Como o arrendatário oferece 60: k 60 :000 > 000 > 52 52::000, o indivíduo aceita a proposta.

Questão 32.1.4. Considere uma economia de trocas com 180 consumidores e 2 bens, x e y y .

As dotações iniciais são distribuídas da seguinte forma: 120 consumidores têm como dotação inicial apenas 10 unidades do bem x e os outros 60 consumidores têm como dotação inicial apenas 5 unidades do bem y y . Todos os consumidores têm a mesma função de utilidade dada por por U (x; (x; y) = x y . Calcule o único equilíbrio competitivo desta economia. Em particular, encontre os preços que equilibram os mercados e as quantidades agregadas consumidas por cada tipo de consumidor. (2 pontos) 2 3

1 3

Solução. Como somente preços relativos podem ser determinados em equilíbrio, façamos px := 1. O nosso trabalho passa a ser encontrar o valor p := p y que equilibra os mercados. O problema dos consumidores que têm dotação apenas do bem x é 2

1

max x 3 y 3 x;y

sujeito a 1 x + p y = 1 10







A solução do problema acima é x = 23 101 = 203 , y = consumidores que têm apenas dotação do bem y é 2

1 10 3 p

=

10 1 3 p

. Já o pro probl blem emaa dos dos

1

max x 3 y 3 x;y

sujeito a 1 x + p y = p = p 5

A solução do problema acima é x = o bem x nós temos: 20 3



2 5 p 3 1



, = 10 3 p y =



1 5 p 3 p

= 53 . Equilibrando o mercado para

 120 + 103 p  60 = 120  10 () 800 + 200 p = p = 1200

()

p = p = 2:


248

As quanitdades agregadas consumidas pelos consumidores que têm dotação apenas do bem  120 = 800 e Y = 103 12  120 =10 200. Já as consumid consumidas as pelos consum consumidor idores es x serão X = 20 3 5 que têm dotação apenas do bem y serão X = 3  2  60 = 400 e Y = 3  60 = 100. k

32.2 32 .2

Segu Segund nda a Pro Prova


seja, suponha que uma …rma queira contratar um gerente para a realização de um projeto. O retorno do projeto pode ser alto, H = 3 ou baixo, L = 1. O geren gerente te tem a opçã opçãoo de se esforçar esforçar ou não. Quando Quando o gerente gerente se esforça esforça a prob probabilida abilidade de do retorno retorno do projeto projeto ser alto é pe = 2=3, quando ele não se esforça a probabilidade do retorno ser alto é apenas pn = 1=3. Quando o gerente se esforça ele incorre em um custo c e = 1=3. A …rma oferecerá um contrato de trabalho, (wH ; wL ) ; que estipula o salário do gerente no caso de um retorno alto e de um retorno etorno baixo. baixo. O objetivo objetivo da …rma …rma é maximi maximizar zar o seu lucro lucro esper esperado. ado. Isto é, maximizar p p i ( (H  wH )+(1  pi ) (L  wL ) em que i = i = e e ou n n , dependendo de o gerente se esforçar ou não. Para completar, suponha que o gerente é neutro ao risco. Ou seja, quando ele se esforça a sua utilidade é dada por U e (wH ; wL ) = pe wH + (1  pe ) wL  ce e no caso em que ele não se esforça é dada por U n (wH ; wL ) = p nwH + (1  pn ) wL . Suponha onha primei primeirro que o esfor esforço seja seja observ observáve ável.l. Enc Encontr ontre o contr ontrato ótimo, ótimo, ou os (a) Sup contr ontratos ótimos, ótimos, para ara a …rma …rma neste neste caso? caso? Atençã Atenção! o! A sua resp resposta osta deve indic indicar o salário salário pago pago no caso caso de retorno retorno alto e o salário salário pago pago no caso caso de retorno retorno baixo baixo.. No caso de in…nitas soluções a sua resposta deve indicar qual a condição que caracteriza todos os pares (wH ; wL ) que são ótimos. Além disto, a sua resposta deve indicar se os contratos ótimos exigem que o gerente se esforce ou não. (1,5 pontos). (b) Suponha agora que o esforço não seja observável. Qual o contrato ótimo, ou os contratos

ótimos, ótimos, para ara a …rma …rma neste neste caso? caso? Expliqu Expliquee bem o racio aciocínio cínio da sua resp resposta. osta. (1,5 pontos). Solução. (a) Quando a …rma quer que o gerente se esforce o seu problema pode ser escrito como e = max pe ( (H wH ;wL

 w

H )

+ (1

 p ) (  w e

L

L)


 p ) w  c  0: e

L

e

Obviamente, qualquer solução do problema acima tem que satisfazer a restrição com igualdade.32.1 Mas então o problema acima simpli…ca-se para e = max pe ( (H wH ;wL

32.1 Ver

notas de aula e lista de exercícios.

 w

H )

+ (1

 p ) (  w e

L

L)

32.2. SEGUNDA PROVA

249


 p ) w e

L = c e :

Mas observe que o lucro da …rma com qualquer par de contratos que satisfaz a restrição acima é e = pe (H wH ) + (1 pe ) (L = pe H + (1 pe ) L ce :



w

L)

 



Ou seja, o lucro da …rma não depende dos exatos valores de wH e wL , desde que estes satisfaçam a restrição do problema com igualdade. Portanto, qualquer contrato (wH ; wL ) que satisfaça a restrição com igualdade é solução para o problema da …rma neste caso. O lucro da …rma com tal tipo de contrato é dado por e = pe H + (1 pe ) L 2 1 1 = 3+ 1 3 3 3 = 2:

  



c

e

Se a …rma não quiser que o gerente se esforce o seu problema é n = max pn (H

 w

wH ;wL

H ) + (1

 p ) (  w ) n

L

L


 p ) w  0: n

L

Um raciocínio exatamente análogo ao caso anterior mostra que qualquer contrato que satisfaça pn wH + (1

 p ) w n

L =

0

é solução para o problema da …rma agora. O lucro da …rma com tal tipo de contrato é dado por n = pn ( H wH ) + (1 pn ) (L = pn H + (1 pn )  L 1 2 = 3+ 1 3 3 5 = : 3





 



w

L)

Portanto, os contratos ótimos para a …rma exigem que o gerente se esforce e satisfazem 2 1 1 3 wH + 3 wL = 3 :

(b) Da letra (a) nós vemos que o máximo lucro que a …rma pode esperar obter agora é 2, já

que o lucro no caso de esforço não observável não pode ser superior ao lucro no caso de esforço observável. Da lista de exercícios, nós sabemos que com um gerente neutro ao risco a …rma pode de fato obter o seu lucro máximo mesmo no caso de esforço não observável. Para tanto, o contrato oferecido pela …rma tem que ter o formato de venda


250

do projeto para o gerente, deixando que este decida depois se vale a pena se esforçar ou não. Se a …rma vai conseguir atingir o lucro máximo com tal tipo de contrato, então o preço pelo qual o projeto tem que ser vendido é P = e = 2.32.2 Ou seja, o contrato oferecido pela …rma será w H =  H  e = 1 e w L =  L  e = 1. É óbvio que com tal contrato o lucro da …rma será exatamente e. Resta checar que o gerente aceita tal contrato. Se o gerente aceitar tal contrato e se esforçar a sua utilidade esperada é pe (H

  ) + (1  p ) (   )  c e

e

L

e

e

2 (3 3 = 0:

=

 2) + 13 (1  2)  13

Portanto, aceitar tal contrato é pelo menos tão bom para o gerente quanto não aceitar contrato algum. Logo, o gerente aceitará tal contrato.32.3 k Questão 32.2.2. O planeta X tem duas super potências que estão à beira de uma guerra

nuclear. Ambas estão considerando a possibilidade de bombardear ou não o inimigo. Se as duas decidirem não atacar, então ambas …cam com uma utilidade igual a 10. Se uma delas resolve atacar e a outra não, a que ataca …ca com uma utilidade de 0 e a que não ataca e é destruída …ca com uma utilidade de -10990. Finalmente, se os dois países atacam, o planeta X é destruído e ambos …cam com uma utilidade de -1000 (se é para morrer é melhor morrer sabendo que o inimigo também foi destruído). (a) Represente a situação acima como um jogo matricial. (1 ponto) (b) Encontre todos os equilíbrios de Nash, permitindo o uso de estratégias mistas, do jogo

que você escreveu na letra (a) e indique qual a probabilidade do mundo acabar em cada um desses equilíbrios. (1,5 pontos). Solução. (a) A situação pode ser representada pelo seguinte jogo:

País 2 País A 1

N

A N : 1000; 1000 0; 10990 10990; 0 10; 10









(b) Seja  a probabilidade com que o país 1 joga A e  a probabilidade com que o país 2 joga A. Tentemos primeiro encontrar equilíbrios em que o país 1 jogue  = 1. Neste caso, a única melhor resposta para o país 2 é jogar  = 1 . Quando o país 2 joga  = 1, jogar  = 1 é de fato a única melhor resposta para o país 1. Nós concluimos que (;  ) = (1; 1) é um equilíbrio de Nash do jogo. Neste equilíbrio a probabilidade do 32.2 Observe

que na letra (a) nós calculamos que o lucro da …rma era maior no caso em que ela exige que o gerente se esforce. 32.3 Nós podemos veri…car que sob tal contrato a utilidade esperada do gerente é maior quando ele se esforça do que quando ele não se esforça. Portanto, o gerente aceitará tal contrato e se esforçará, mas a questão não perguntou isto.

32.2. SEGUNDA PROVA

251

mundo acabar é 1. Tentemos agora equilíbrios em que o país 1 jogue  = 0. Agora, a única melhor resposta do país 2 é  = 0. Quando o país 2 joga  = 0 a única melhor resposta para o país 1 é jogar  = 0. Nós concluimos que (;  ) = 0 é um outro equilíbrio de Nash do jogo. Neste equilíbrio a probabilidade do mundo acabar é zero. Finalmente, tentemos encontrar equilíbrios em que 0 <  < 1. Para que jogar tal valor de  seja uma melhor resposta para o país 1 a estratégia  do jogador 2 tem que satisfazer U 1 (1;  ) = U 1 (0;  ). Isto é,  tem que satisfazer

1000 = 10990 + (1   ) 10: 1 1 Resolvendo a equação acima nós obtemos  = 1000 . Como 0 < 1000 < 1, para que 1 o país 2 jogue  = 1000 em equilíbrio, a estratégia  do país 1 tem que satisfazer U 2 (; 1) = U 2 (; 0). Isto é,  tem que satisfazer

1000 = 10990 + (1  ) 10: 1 1 Resolvendo a equação acima nós obtemos  = 1000 . Ou seja, quando  = 1000 qualquer 1 coisa é melhor resposta para o país 1. Similarmente, quando  = 1000 qualquer coisa 1 é melhor resposta para o país 2. Em particular,  = 1000 é melhor resposta contra 1 1 1  = 1000 e  = 1000 é melhor resposta contra  = 1000 . Nós concluimos que (;  ) = 1 ; 1 é mais um equilíbrio de Nash do jogo. A probabilidade do mundo acabar 1000 1000 1 neste equilíbrio é 1000000 k :





Questão 32.2.3. Um bar funciona dentro de uma danceteria. Em uma determinada noite,

a curva de demanda inversa da entrada na danceteria é dada por P D (QD ) = 1200

 2Q

D

.

Já a curva de demanda inversa para um drink no bar é dada por P B (QB ) = Q D

 2Q

B;

em que QD é o número de pessoas que entram na danceteria em uma determinada noite e está fora do controle do dono do bar. Os custos da danceteria e do bar são nulos. (a) Supondo que a danceteria e o bar tenham donos diferentes, responda quantas pessoas

entrarão na danceteria e quantas consumirão no bar em uma determinada noite. (1 ponto). (b) E se a danceteria e o bar pertencerem a um mesmo dono? Quantas pessoas entrarão na

danceteria em uma determinada noite? E quantas consumirão no bar? (1,5 pontos). Solução. (a) O problema do dono da danceteria é max (1200 QD

 2Q

D ) QD


252

A condição de primeira ordem do problema acima é 4QD = 1200;

o que implica que QD = 300. O problema do dono do bar em uma noite em que 300 pessoas entram na danceteria é max (300

 2Q

B ) QB

QB

A condição de primeira ordem do problema acima é 4QB = 300;

o que implica que Q B = 75: (b) Vamos primeiro resolver o problema do bar para uma quantidade genérica Q D . Isto é,

vamos primeiro resolver o seguinte problema: max (QD QB

 2Q

B ) QB

A condição de primeira ordem do problema acima é 4QB = Q D ;

o que implica que QB = Q4D . Tal valor de QB dá um lucro ao bar de QD  2 Q4D Q4D = QD . O dono da danceteria agora tem interesse de maximizar o lucro do bar mais o da 8 danceteria. O seu problema é



2

max (1200 QD





Q 2D 2QD ) QD + 8

A condição de primeira ordem do problema acima é 4QD

 Q4

D

= 1200;

o que implica que QD = 320. Quando 320 pessoas entram na danceteria nós já vimos k que o bar atenderá um número Q B = 320 = 80 de clientes. 4 Questão 32.2.4 (Liderança de preços). Suponha que duas empresas concorram através da

…xação de seus preços, mas que, diferentemente das notas de aula, a …rma 1 …xe o seu preço primeiro e somente após haver observado o preço …xado pela …rma 1 é que a …rma 2 …xe o seu preço. Ambas as …rmas têm o mesmo custo marginal constante e igual a c > 0 e a curva de demanda do mercado é dada por Q (P ) = a

 bP:

Os consumidores compram apenas da …rma que estiver cobrando o preço mais barato e a nossa hipótese será de que quando as duas …rmas cobram o mesmo preço todos os consumidores compram da …rma 2. Nós vamos investigar as soluções por indução retroativa do jogo. Sua análise deve ser completamente intuitiva, sem fazer contas, mas tenha certeza de que você está usando a idéia de indução retroativa no seu raciocínio.


253

(a) Existe alguma solução por indução retroativa em que apenas a …rma 2 venda? Se a

resposta for sim, descreva todas elas. (1,5 pontos). (b) Existe alguma solução por indução retroativa em que apenas a …rma 1 venda? Se a

resposta for sim, descreva todas elas. (1,5 pontos). Solução.  o preço que maximizaria o lucro da …rma 2 em uma situação de monopólio. Vamos (a) Seja P agora analisar as melhores escolhas da …rma 2 como função do preço P 1 escolhido pela …rma 1. Se P 1 < c, então não é interessante para a …rma 2 entrar neste mercado, então qualquer preço maior do que P 1 é uma melhor ação para a …rma 2 neste caso. Se P 1 = c, então a …rma 2 é indiferente entre escolher um preço P 2 = c e …car com todo o mercado, ou escolher um preço P 2 > c e deixar o mercado para a …rma 1. Se  , então a melhor ação para a …rma 2 é escolher P 2 = P 1 . Tal escolha faz c P  , já que isto lhe dará o lucro de monopólio. Resumidamente, em qualquer P 2 = P



solução por indução retroativa do jogo a estratégia da …rma 2 tem que satisfazer P 2 (P 1 ) =

8>< >:

P 2 (P 1 ; ) se P 1 < c; P 2 [c; ) se P 1 = c; P 2 = P 1 se c P : P 2 = P

2 1 2 1



É fácil ver que sempre que a estratégia da …rma 2 satis…zer as condições acima nenhuma escolha de P 1 fará com que a …rma 1 tenha um ganho positivo, sendo que valores de P 1 < c lhe darão um ganho negativo. Na verdade, contra qualquer estratégia da …rma 2 que satisfaça as condições acima as melhores respostas da …rma 1 consistem de todas  existe uma as estratégias P 1  c . Note ainda que para valores de P 1 tais c  P 1  P estratégia da …rma 2 que satisfaz as condições acima em que a …rma 2 joga exatamente  , todas as estratégias da P 2 = P 1 e …ca com todo o mercado. Já para valores de P 1 > P  . Estas são todas as soluções …rma 2 que satisfazem as condições acima jogam P 2 = P por indução retroativa do jogo em que apenas a …rma 2 vende. (b) Na letra (a) nós já vimos que a …rma 1 nunca jogará P 1 < c em equilíbrio. Quando a …rma 1 joga P 1 > c a …rma 2 sempre joga um valor P 2 P 1 e a …rma 1 …ca fora



do mercado. Logo, a única possibilidade para um equilíbrio em que apenas a …rma 1 venda é se esta jogar P 1 = c. Neste caso, existem estratégias da …rma 2 que são parte de soluções por indução retroativa do jogo em que a …rma 2 joga qualquer P 2 > c após observar P 1 . Todos estes per…s são soluções por indução retroativa do jogo em que k somente a …rma 1 vende.

32.3

Prova Substitutiva

Questão 32.3.1. Em uma dada economia existem um insumo, x, e dois bens produzidos, y e z . Na economia existem duas …rmas, f e g, capazes de produzir os dois bens e com


254

funções de produção dadas por f y xf y = ln xf y , f z (xf z ) = 2 l n xf z , gy xgy = 2ln xgy e gz (xgz ) = ln xgz . Lembre-se que xf y é a quantidade do insumo x que a …rma f usa para produzir o bem y , xf z é a quantidade do insumo x que a …rma f usa para produzir o bem z , etc..

 

 

(a) Para um plano de produção xf y ; xf z e xgy ; xgz qualquer, de…na X y := xf y + x gy e X z := x f z + xgz . Ou seja, X y é a quantidade agregada do bem x usada para produzir o bem y e X z é a quantidade agregada do bem x usada para produzir o bem z . Supondo que o plano de produção em questão seja e…ciente, escreva xf y , xf z , xgy e xgz como funções de X y e X z apenas.(1,2 pontos).



 



(b) Considere novamente um plano de produção e…ciente xf y ; xf z e xgy ; xgz . Suponha que a quantidade do insumo x utilizada neste plano de produção seja igual a 12.32.4 Além disto, suponha que neste plano de produção a quantidade produzida do bem y seja igual a 5 ln 2. Usando o que você aprendeu na letra (a), encontre xf y ; xf z e xgy ; xgz . (Dica: Lembre-se que ln ab = ln a + ln b)(1,5 pontos).





Solução.



 

 



(a) Em um plano de produção e…ciente x f y e x gy têm que ser solução do seguinte problema: max ln xf + 2ln xg xf ;xg

sujeito a xf + xg = X y :

Isolando xg na restrição e substituindo na função objetivo o problema simpli…ca-se para max ln xf + 2 ln (X y xf

x ) f

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá xf y = X y =3. Substituindo tal valor na restrição do problema, nós obtemos x gy = 2X y =3: Similarmente, xf z e x gz têm que ser solução do seguinte problema: max 2 ln xf + ln xg xf ;xg

sujeito a xf + xg = X z :

Isolando xg na restrição e substituindo na função objetivo o problema simpli…ca-se para max 2 ln xf + ln (X z xf

x ) f

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá xf z = 2X z =3. Substituindo tal valor na restrição do problema, nós obtemos x gy = X z =3: 32.4 Ou

seja, x f + x f + x g + x g = 12 . y

z

y

z


255

(b) Como a quantidade produzida do bem y é 5 ln 2 , nós temos que ter ln xf y + 2ln xgy = 5ln 2:

Usando o que aprendemos na letra (a), nós podemos escrever a expressão acima como ln

ln X y

    X y 3

2X y 3

+ 2ln

= 5 ln 2

()

 ln 3 + 2 ln 2 + 2 ln X  2 ln 3 = 5 ln 2 () y

3 ln X y = 3 ln 2 + 3 ln 3

()

ln X y = ln 6

()

X y = 6:

Isto implica que X z = 6 e, consequentemente, xf y = X y =3 = 2, X gy = 2X y =3 = 4, k xf z = 2X z =3 = 4 e x gz = X z =3 = 2: Questão 32.3.2. Suponha que a …rma F produza um determinado bem y e que a sua função custo seja dada por C (y) = y 2. Ou seja, para produzir y unidades do bem a …rma gasta y 2. Seja a função demanda inversa do bem y dada por p (y) = 2

 y:

(a) Suponha primeiro que o mercado para o bem y seja competitivo. Calcule o lucro da …rma F neste caso. (0,8 pontos) (b) Suponha agora que a …rma F seja monopolista neste mercado. Calcule o lucro da …rma F neste caso. (0,7 pontos). (c) Finalmente, suponha que a …rma F seja monopolista e pratique discriminação de preços de primeiro grau. Calcule o lucro da …rma F neste caso. (1 ponto)

Solução. (a) Neste caso, a …rma age como tomadora de preços e o seu problema é: max py y

y

2

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá p = 2y . Em equilíbrio, o preço em tal expressão tem que concordar com o preço obtido a partir da curva de demanda inversa. Isto é, em equilíbrio y satisfaz 2y = 2

 y;

o que implica que y = 2=3. O preço de equilíbrio é p = 2y = 4=3, o que implica que o 2 lucro da …rma é py  y2 = 43 23  23 = 49 :




256 (b) Agora o problema da …rma é

max (2 y

 y) y  y

2

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá y = 1=2. Substituindo tal valor na curva de demanda inversa nós obtemos p = 3=2. O lucro da …rma é py

y

2

=

31 22



1 2 2



= 12 :

(c) Quando a …rma pratica discriminação de preços de primeiro grau, esta produz até o ponto em que o preço é igual ao custo marginal. Isto é, y satisfaz 2

 y = 2y;

o que implica que y = 23 . A receita da …rma neste caso é  23 2 = 23 : 10=9. O lucro da …rma é 10 9



2 3

R 0

p (y) dy =

2 3

R 0

2

 ydy = k

Questão 32.3.3. Um famoso ator de televisão está contratando um advogado para abrir um

processo de danos morais contra um jornal. O valor esperado da indenização que o ator vai receber (levando em conta a probabilidade do ator ganhar ou não a ação e o valor desta em caso de vitória) é l, em que l é o esforço que o advogado dedica à causa. O custo de se esforçar, para o advogado, é dado pela função c (l) = l4 : 2

(a) Qual o esforço que o advogado faz quando este recebe como pagamento uma fração  do que for obtido na ação judicial (ou seja, quando a indenização é x o advogado recebe um pagamento x). Calcule os lucros do advogado e do ator neste caso. (0,5 pontos) (b) Qual seria a taxa  ótima, do ponto de vista do ator. Calcule os lucros do ator e do

advogado com tal taxa. (0,8 pontos) (c) Suponha agora que o ator tenha a opção de vender o projeto para o advogado. Ou seja,

o advogado paga um valor inicial ao ator e depois …ca com tudo que ele conquistar na ação judicial. Suponha que o advogado não esteja trabalhando em nenhuma outra causa e, portanto, caso ele não aceite o contrato oferecido pelo ator a sua renda naquele mês será zero. Suponha, também, que quando indiferente entre aceitar ou não o contrato o advogado o aceite. Calcule o preço pelo qual a ação será vendida. Calcule os lucros do ator e do advogado neste caso. Eles estão melhores agora ou na parte (b)? (1,3 pontos) Solução. (a) O problema do advogado neste caso é max l l



l 2 4

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá l = 2. O lucro do advogado é 22  (2) =  2 e o do ator é 2  22 . 4 2


257

(b) A taxa ótima do ponto de vista do ator resolve max 2 

 2

2

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá  = 12 . O lucro do advogado é 14 e o do ator é 12 : (c) Da letra (a) nós sabemos que quando o advogado recebe 100% do retorno do processo 2 ele escolhe um esforço l = 2. Isto dá um lucro para o advogado igual a l l4 = 1 . Como



não aceitar o contrato dá ao advogado lucro zero e quando indiferente entre aceitar ou não o advogado aceita, o contrato aceito neste caso dará lucro zero ao advogado. Isto é, o preço de venda da ação será igual a 1 . O lucro …nal do advogado é zero e o lucro do ator é exatamente o preço pelo qual ele vende a ação, ou seja, é igual a 1. É claro que o ator está melhor e o advogado está pior do que na parte (b). k

Questão 32.3.4 (Divisão de dinheiro). Dois indivíduos têm que decidir como dividir 100

reais entre eles. Considere os seguintes procedimentos: (a) O indivíduo A faz uma proposta (isto é, ele diz com quanto ele …cará e com quanto o indivíduo B …cará). Se a proposta for aceita pelo indivíduo B , ambos recebem as quantias propostas imediatamente. Se o indivíduo B rejeitar a proposta, uma taxa de

10 reais é cobrada e os dois acabam por receber, no dia seguinte, 45 reais cada. Ambos os indivíduos preferem receber mais dinheiro do que menos, mesmo que tenham que esperar por isto. No entanto, ambos preferem receber uma certa quantia de dinheiro imediatamente a recebê-la no dia seguinte. Só são permitidas propostas com valores inteiros. Por exemplo, 50,50 e 40,50 não é uma proposta válida. Descreva todas as soluções por indução retroativa do jogo.(1 ponto). (b) Agora nós adicionaremos mais um estágio ao jogo. Novamente, o jogo começa com o indivíduo A propondo uma divisão dos 100 reais. Se o indivíduo B aceitar a divisão, ambos recebem as quantias propostas imediatamente e o jogo acaba. Se o indivíduo B

rejeitar a proposta, uma taxa de 5 reais é cobrada e o jogo se reinicia no dia seguinte com o indivíduo B fazendo uma proposta para a divisão dos 95 reais restantes. Se o indivíduo A aceitar a proposta, ambos recebem os valores propostos imediatamente e o jogo é encerrado. Se o indivíduo A recusar a proposta, uma nova taxa de 5 reais é cobrada e cada um deles recebe 45 reais no dia seguinte. Novamente, só são permitidas propostas com números inteiros, ambos os indivíduos preferem receber mais dinheiro do que menos, mesmo que tenham que esperar por isto, e ambos preferem receber uma certa quantia de dinheiro imediatamente a receber a mesma quantia no dia seguinte. Descreva todas as soluções por indução retroativa do jogo neste caso.(1,2 pontos). Solução. (a) Comecemos analisando o comportamento do indivíduo B . Neste caso, é claro que ele

recusará qualquer proposta em que ele …que com menos de 45 reais e aceitará qualquer proposta em que ele receba pelo menos 45 reais. Dado tal comportamento do indivídua B , é claro que o indivíduo A irá oferecer a divisão 45 reais para B e 55 reais para A . Tal proposta será aceita por B .

258


(b) Novamente, comecemos pelo …nal do jogo. No último estágio, é claro que o indivíduo A recusará qualquer proposta em que ele receba menos de 45 reais e aceitará qualquer

proposta em que ele receba pelo menos 45 reais. Olhemos agora para os nós de decisão do indivíduo B , após ele ter recusado a primeira proposta do indivíduo A . Neste caso, B sabe que se ele …zer uma proposta em que A …que com menos de 45 reais, este a recusará e B acabará …cando com apenas 45 reais, no dia seguinte. É claro que a melhor proposta para B neste caso é fazer a proposta 50 reais para B e 45 reais para A. Olhemos agora para os nós de decisão de B após A ter feito uma proposta. Como B sabe que se ele recusar a proposta ele receberá 50 reais no dia seguinte, é claro que B recusará qualquer proposta em que ele …que com menos de 50 reais e aceitará qualquer proposta em que ele receba pelo menos 50 reais. Dado tal comportamento de B , é claro que A fará a proposta de divisão em que ambos recebem 50 reais. k


Primeira Prova

Questão 33.1.1. Considere uma economia na caixa de Edgeworth, isto é, uma economia

de trocas com dois consumidores e dois bens. Suponha que a dotação agregada de ambos os bens seja igual a 1 e as funções de utilidade dos dois agentes sejam dadas por U A (x1A ; x2A ) = minfx1A ; x2A g e U B (x1B ; x2B ) = max fx1B ; x2B g. (a) Caracterize todas as alocações e…cientes no sentido de Pareto para esta economia. (Dica:

Na minha opinião o jeito mais fácil de resolver a questão é usar apenas lógica. Se você prestar atenção na de…nição de e…ciência no sentido de Pareto e nas funções de utilidade dos indivíduos a situação começa a …car clara. Algumas pessoas podem achar mais fácil resolver a questão desenhando a situação na caixa de Edgeworth) (2 pontos) (b) Caracterize todas as alocações justas para esta economia. (Dica: Novamente, na minha

opinião, o jeito mais fácil de resolver a questão é usar apenas lógica.) (1 ponto) Solução. (a) Fixe uma alocação factível (x1A ; x2A ) e (x1B ; x2B ) qualquer. Note que max x1B ; x2B = max 1 x1A ; 1 x2A = 1 min x1A ; x2A . Isto implica que U A (x1A ; x2A )+U B (x1B ; x2B ) = 1,

f

 g

 f

f

g

g

para qualquer alocação factível. Ou seja, a soma das utilidades dos dois indivíduos é sempre a mesma, para qualquer alocação factível. Logo, qualquer que seja a alocação factível inicial, é impossível aumentar a utilidade de um indivíduo sem piorar a do outro. Nós concluimos que todas as alocações factíveis são e…cientes neste caso.

(b) Fixe uma alocação factível qualquer (x1A ; x2A ) e (x1B ; x2B ). Suponha que U B (x1B ; x2B ) = x1B x2B . Isto implica que U A (x1A ; x2A ) = x 1A x2A . O indivíduo A não sente inveja de B se e somente se x 1A x2B = 1 x2A , o que é equivalente a x1A + x2A 1. Já o indivíduo B não sente inveja de A se e somente se 1 x1A = x1B x2A , o que é equivalente a 1 x1A + x2A . Ou seja, a alocação é livre de inveja se e somente se x1A + x2A = 1. A mesma conclusão é obtida se começarmos com a hipótese x2B x1B . Nós concluimos que as alocações justas são aquelas em que x 1A + x2A = 1.





 











259

k


260

Questão 33.1.2. Considere uma empresa monopolista em um mercado com curva de demanda inversa dada por P (Q) = 36 Q. A função custo do monopolista é dada por C (Q) = Q2 .



(a) Encontre o preço cobrado pelo monopolista e calcule o seu lucro neste caso. (2 pontos) (b) Suponha agora que o monopolista tenha a opção de construir uma segunda planta cujo custo de produção também será dado por C (Q) = Q2 . Ou seja, se o monopolista

construir a nova planta ele poderá dividir a sua produção entre duas plantas com função custo C (Q) = Q2 cada. O custo de construção da nova planta é de 100 unidades monetárias. Dado o lucro encontrado na letra (a), o monopolista optará por construir a nova planta ou não? (1 ponto) Solução. (a) O problema do monopolista é 2

max(36

 Q)Q  Q

Q

A solução do problema acima é Q = 9. preço cobrado pelo monopolista é P = 36  9 = 27 e o seu lucro é  = 27  9  92 = 162: (b) Quando a …rma tem duas plantas o seu problema pode ser escrito como max (36

Q1 ;Q2

2 1

2 2

 Q  Q )(Q + Q )  Q  Q 1

2

1

2

As condições de primeira ordem do problema acima são Q1 : 36

 2Q  2Q  2Q = 0

Q2 : 36

 2Q  2Q  2Q = 0:

1

2

1

e 2

1

2

A única solução do sistema acima é Q1 = Q2 = 6. O preço do bem neste caso será P = 36  Q1  Q2 = 24. O lucro da …rma será  = 24(Q1 + Q2 )  Q21  Q22 = 216. Como o 216  162 < 100 , o monopolista não optará por construir a nova planta. k Questão 33.1.3. Suponha que um monopolista atue em um mercado em que existam dois grupos de consumidores com curvas de demanda dadas por y 1 ( p1 ) = 28 2 p1 e y 2 ( p2 ) = 72 3 p2 . Suponha ainda que a função custo do monopolista seja dada por c(y1 +y2 ) = 2 (y1 + y2 ).





(a) Supondo que o monopolista possa praticar discriminação de preços, calcule quanto o

monopolista venderá para os consumidores do tipo 1 e para os consumidores do tipo 2. (2 pontos) (b) Suponha agora que a discriminação de preços seja proibida por lei. Calcule quanto o

monopolista venderá para os consumidores do tipo 1 e para os consumidores do tipo 2 (Dica: você terá que investigar dois casos e compará-los. O caso em que o monopolista resolve atender a apenas um dos grupos de consumidores e o caso em que o monopolista resolve atender aos dois grupos. (1 ponto)


261

Solução. (a) Vamos primeiro calcular as curvas de demanda inversa dos dois grupos. Estas são dadas

por p1 (y1 ) = 14

 y2

p2 (y2 ) = 24

 y3 .

e

1

2

O problema do monopolista agora pode ser escrito como max(14 y1 ;y2

 y2 )y + (24  y3 )y  2 (y + y ) 1

2

1

2

1

2

As condições de primeira ordem do problema acima nos dão y 1 = 12 e y 2 = 33. (b) Vamos primeiro identi…car a curva de demanda agregada da economia. Esta terá a

seguinte forma: y( p) =

100 5 p, se p 14, 72 3 p, se 14 p 24, 0, se p 24.

8< :







Isto gera a seguinte curva de demanda inversa: p(y) =



24 20

 

y 3 y 5

  

, se y  30, , se y  30.

Caso o monopolista queira atender apenas aos consumidores do tipo 2 o seu problema é y max(24 y

 3 )y  2y

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá y = 33. Note, porém, que y = 33 já está na região em que o monopolista atende aos dois grupos de consumidores em sua curva de demanda. Isto implica que o monopolista escolherá atender aos dois grupos de consumidores e o seu problema será max(20 y

 y5 )y  2y

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá y = 45. Isto implica que o preço cobrado será p = 20  455 = 11 . Substituindo tal valor nas curvas de demanda dos dois grupos de consumidores nós obtemos y1 = 28  2  11 = 6 e y2 = 72  3  11 = 39. k Questão 33.1.4. Suponha que Robinson Crusoé produza e consuma peixe (F) e côco (C).

Suponha que durante um certo período ele tenha decidido trabalhar 80 horas e que ele seja indiferente entre gastar este tempo catando côco ou pescando. A função de produção de peixe de Robinson é dada por F = (lF ) e a de côco é dada por C = (lC ) , em que lF e lC são os números de horas que Robinson passa pescando e catando côco, respectivamente. Consequentemente, lF + lC = 80. Robinson sabe ainda que no próximo período as condições climáticas não serão favoráveis e ele não conseguirá produzir nem côco nem peixe. Portanto, 1 2

1 2


262

parte do que ele produzir no primeiro período será consumido apenas no segundo período. A função de utilidade de Robinson é: 1 4 1 4 U (F 1 ; C 1 ; F 2 ; C 2 ) = ln F 1 + ln C 1 + ln F 2 + ln C 2 ; 5 5 5 5

em que F 1 e F 2 são as quantidades de peixe que ele consome no primeiro e segundo períodos, respectivamente, e C 1 e C 2 são as quantidades de côco que ele consome no primeiro e segundo períodos, respectivamente. (a) Supondo que Robinson pode armazenar quantos côcos e quantos peixes quiser para o

próximo período, calcule quanto tempo Robinson trabalhará produzindo côco, quanto tempo ele trabalhará produzindo peixe e quantos côcos e peixes ele consumirá em cada período. (Dica 1: Suponha que Robinson tenha produzido uma quantidade C de côcos. Quantos destes côcos serão consumidos no primeiro período e quantos serão consumidos no segundo período? Respondendo esta questão a sua vida …ca muito mais fácil. Dica 2: Para ; > 0 e  2 R a solução do problema max  ln x +  ln y +  xy

s:a: px x + py y = I

é x =

 I + px

e y =

 I + py

. Dica 3: ln x =  ln x e ln xy = ln x + ln y: ) (2 pontos)

(b) Suponha agora que não exista tecnologia de armazenamento. Isto é, côcos e peixes não

podem ser armazenados para o próximo período. No entanto, existem mercados de côcos e peixes nos dois períodos. No primeiro período o preço do côco é 1 e do peixe é 2. No segundo isto se inverte e o preço do côco é 2 e o do peixe é 1. Quanto tempo Robinson trabalhará produzindo côco e peixe? Quantos côcos e peixes ele consumirá em cada período? (Dica 1: O problema pode ser dividido em duas partes e isto facilita muito a vida. Dica 2: Para ; ;;  > 0 , a solução do problema max  ln x +  ln y +  ln w +  ln z

x;y;w;z

s:a: px x + py y + pw w + pz z = I

é x =

 I ++ + px

, y =

 I ++ + py

, w =

 I ++ + pw

e z =

) (1 ponto)

 I : ++ + pz

Solução. (a) Seguindo a dica, vamos primeiro investigar como Robinson distribui o consumo de côcos entre os dois períodos. Suponha que Robinson tenha produzido uma quantidade C de côcos. Ele escolherá C 1 e C 2 de forma a resolver o seguinte problema: 4 4 max ln C 1 + ln C 2 C 1 ;C 2 5 5 s:a: C 1 + C 2 = C

O problema acima está no formato de um problema de um consumidor Cobb-Douglas e sua solução é C 1 = C 2 = C=2 (ver dica 1). É claro que a mesma coisa vale para a


263

distribuição do consumo de peixes entre os dois períodos. Agora nós podemos escrever o problema da escolha de l C e l F como 1

1

1

1

1 (lF ) 2 4 (lC ) 2 1 (lF ) 2 4 (lC ) 2 max ln + ln + ln + ln lC ;lF 5 2 5 2 5 2 5 2 s:a: lC + lF = 80:

O problema acima é equivalente a 1 4 max ln lF + ln lC lC ;lF 5 5 s:a: lC + lF = 80:

 2 l n 2

A solução do problema acima é lC = 45 801 = 64 e lF = 15 801 = 16. Isto implica que ele produzirá 8 côcos e 4 peixes. Consequentemente, ele consumirá 4 côcos e 2 peixes em cada período. (b) Como existem preços para côco e peixe nos dois períodos, é claro que Robinson produzirá

côcos e peixes de modo a maximizar o valor monetário de sua produção. Isto é, Robinson primeiro resolve o seguinte problema: 1

1

max(lC ) 2 + 2(lF ) 2 lC ;lF

s:a: lC + lF = 80

Isolando lF na restrição e substituindo na função objetivo o problema simpli…ca-se para 1

max(lC ) 2 + 2(80 lC

l

1

C ) 2

A condição de primeira ordem do problema acima é 1 1 = 2 lC

p

p 801 l

; C

o que nos dá lC = 16. Consequentemente, nós temos lF = 64. Isto implica que Robinson produzirá 4 côcos e 8 peixes. O valor monetário de tal produção é I = 4 + 2  8 = 20. Agora temos que ver como Robinson distribui tal riqueza entre os dois períodos. Isto é, temos que resolver o seguinte problema: 1 4 1 4 ln F 1 + ln C 1 + ln F 2 + ln C 2 F 1 ;C 1 ;F 2 ;C 2 5 5 5 5 s:a: 2F 1 + C 1 + F 2 + 2C 2 = 20 max

A solução do problema acima é F 1 = 4 20 . C 2 = 10 2 =4

1 20 10 2

= 1, C 1 =

4 20 10 1

= 8, F 2 =

1 20 10 1

= 2 e

k


264

33.2

Segunda Prova


seja, suponha que uma …rma queira contratar um gerente para a realização de um projeto. O retorno do projeto pode ser alto,  H = 24, ou baixo, L = 6. O gerente tem a opção de se esforçar ou não. Quando o gerente se esforça a probabilidade do retorno do projeto ser alto é p e = 2=3, quando ele não se esforça a probabilidade do retorno ser alto é apenas p n = 1=6. Quando o gerente se esforça ele incorre em um custo c e = 6. A …rma oferecerá um contrato de trabalho, (wH ; wL ) ; que estipula o salário do gerente no caso de um retorno alto e de um retorno baixo. O objetivo da …rma é maximizar o seu lucro esperado. Isto é, maximizar pi (H  wH ) + (1  pi ) (L  wL ) em que i = e ou n, dependendo de o gerente se esforçar ou não. Para completar, suponha que o gerente é neutro ao risco. Ou seja, quando ele se esforça a sua utilidade é dada por U e (wH ; wL ) = p e wH + (1  pe) wL  ce e no caso em que ele não se esforça é dada por U n (wH ; wL ) = pn wH + (1  pn) wL . (a) Suponha primeiro que o esforço seja observável. Escreva a condição que caracteriza os

contratos ótimos para a …rma neste caso. (1,5 pontos) (b) Suponha agora que o esforço não seja observável. Qual o contrato ótimo para a …rma

neste caso? Mostre que o gerente aceitará tal contrato e mostre se este contrato fará com que o gerente se esforce ou não. (Explique bem o raciocínio da sua solução.) (1,5 pontos) Solução. (a) Quando a …rma exige que o gerente se esforce o seu problema pode ser escrito como e = max pe (H wH ;wL

 w

H )

+ (1

 p ) (  w e

L)

L


 p ) w  c  0: e

L

e


 w

H )

+ (1

 p ) (  w e

L)

L


 p ) w e

L = c e :






 

w

L)

33.2. SEGUNDA PROVA

265


 p ) w

L = c e :

e

O lucro da …rma neste caso será e = pe H + (1 pe ) L 2 1 = 24 + 6 6 3 3 = 12:

 c  



e

O problema da …rma quando ela não exige esforço pode ser escrito como n = max pn (H

 w

wH ;wL

H ) + (1

 p ) (  w ) n

L

L


 p ) w  0: n

L

O mesmo argumento que …zemos acima nos garante que qualquer solução do problema satisfaz a restrição do problema com igualdade. O problema simpli…ca-se, então, para n = max pn (H

 w

wH ;wL

H ) + (1

 p ) (  w ) n

L

L


 p ) w

L =

n

0:

É fácil ver que com qualquer contrato que satisfaça a restrição acima o lucro da …rma é n = pn ( H wH ) + (1 pn ) (L = pn H + (1 pn )  L 1 5 = 24 + 6 6 6 = 9:







 

w

L)

Como o maior lucro foi obtido no caso que a …rma exige que o gerente se esforce, os contratos ótimos no caso de esforço observável satisfazem pe wH + (1

 p ) w e

L = c e

e exigem esforço. (b) Nós sabemos que quando o gerente é neutro ao risco a …rma pode obter o mesmo lucro

que ela obteria no caso de esforço observável oferecendo um contrato que pode ser interpretado como a venda do projeto para o gerente. No caso, como o maior lucro


266

no caso de esforço observável ocorre quando a …rma exige esforço, o contrato oferecido pela …rma terá a forma wH =  H e = 24 12 = 12

 

e wL =  L e = 6 12 = 6:

  

Nós precisamos primeiro mostrar que o gerente aceitará tal contrato. Para tanto, nós só precisamos mostrar que o gerente consegue obter uma utilidade esperada maior ou igual a zero com tal contrato. Vejamos, então, qual seria a utilidade esperada do gerente se ele aceitasse tal contrato e resolvesse se esforçar. Neste caso a sua utilidade esperada seria U e (wH ; wL ) = pe wH + (1 pe ) wL ce 2 1 = 12 + ( 6) 6 3 3 = 0:



    

Só nos resta agora veri…car se tal contrato levaria o gerente a se esforçar ou não. Mas observe que a utilidade do gerente com tal contrato, quando ele não se esforça, é dada por U n (wH ; wL ) = pn wH + (1 1 5 = 12 + 6 6 = 3:

 

 p ) w  (6) n

L

Portanto, tal contrato levará o gerente a se esforçar.

k

Questão 33.2.2. Um apiário e uma fazenda produtora de maçãs estão localizados lado a lado. Seja “ a” a quantidade de maçãs produzidas e “ h” a quantidade de mel. Os custos de produção do apiário e da fazenda são, respectivamente, ch (h; a) = 6h2 2ah e ca (a; h) = a2 2ah. Ou seja, a produção de mel gera uma externalidade positiva para a produção de





maçãs e a produção de maçãs gera uma externalidade positiva para a produção de mel. O preço do quilo de mel é 12 reais e cada quilo de maçã é vendido por 8 reais. (a) Calcule as quantidades de mel e maçãs produzidas em equilíbrio. (1,5 pontos) (b) Suponha que o fazendeiro compre o apiário. Quanto ele produzirá de mel e maçãs? (1,5

pontos)

33.2. SEGUNDA PROVA

267

Solução. (a) O problema do apiário pode ser escrito como max 12h h



6h2





 2ah

A condição de primeira ordem do problema acima é 12h = 12 + 2a:




a2





 2ah

A condição de primeira ordem do problema acima é 2a = 8 + 2h:






6h2



 2ah

+ 8a



a2



As condições de primeira ordem do problema acima são



 2ah

h : 12h = 12 + 4a a : 2a = 8 + 4h


k

Questão 33.2.3 (Liderança de preços com seguidor escolhendo quantidade) . Suponha que

duas …rmas que vendem o mesmo produto atuem em um mercado com curva de demanda dada por y( p) = 20

 p:

2 2

A função custo da …rma 1 é dada por c1 (y1 ) = 2y1 e a da …rma 2 é dada por c2 (y2) = y2 . O mercado funciona da seguinte forma: primeiro a …rma 1 escolhe o preço p que ela irá cobrar. A …rma 2 observa tal preço e sabe que ela terá que respeitá-lo. Encarando o preço estipulado pela …rma 1 como dado, a …rma 2 escolhe y2 para maximizar o seu lucro. Dado y2, a quantidade y 1 que a …rma 1 vende é dada pela diferença entre a quantidade demandada sob o preço p e y2 . Isto é, y1 = y( p)  y2. Resolva tal jogo por indução retroativa e encontre as quantidades y1 e y2 produzidas pelas duas …rmas em equilíbrio, bem como o preço p estipulado pela …rma 1 no primeiro estágio do jogo. (Dica: Primeiro encontre a melhor escolha, y 2 ( p), da …rma 2 dado um preço p genérico. Isto permite que você calcule o lucro da …rma 1 para cada valor de p que ela escolher. Encontre p que maximize este lucro.) (3 pontos)


268

Solução. Seguindo a dica, suponha que a …rma 1 tenha escolhido um preço p. O problema da …rma 2 é 2 max py2 y2

 y2

2

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá y2 = p. Isto implica que y1 = 20  p  p, o que dá um lucro à …rma 1 igual a  1 ( p) = p(20  2 p)  2(20  2 p). A condição de primeira ordem para a maximização de tal expressão nos dá p = 6. Portanto, em equilíbrio nós temos p = 6, y 1 = 8 e y 2 = 6. k Questão 33.2.4. Três indivíduos disputam um mesmo objeto em um leilão selado de terceiro

preço. Isto é, os três indivíduos colocam os seus lances em envelopes fechados. Quando os envelopes são abertos, o indivíduo que deu o maior lance leva o objeto e paga por ele apenas o terceiro maior lance. Os valores que os indivíduos atribuem ao objeto satisfazem v1 > v2 > v3 > 0 e v1 , v2 e v3 são conhecimento comum. Isto é, todos os indivíduos sabem exatamente qual o valor que os outros atribuem ao objeto. Finalmente, se o indivíduo i ganha o objeto pagando o preço b por ele, a sua utilidade é v i  b. Se ele não ganha o objeto a sua utilidade é zero. Responda cada uma das questões abaixo. As suas respostas devem ser claras, objetivas e inteiramente baseadas no conceito formal do que é um equilíbrio de Nash. (a) Argumente que não existe equilíbrio de Nash do jogo em que o indivíduo 3 vença o leilão.

(1 ponto) (b) Construa um equilíbrio de Nash do jogo em que o indivíduo 2 vença o leilão. Após

apresentar o per…l de estratégias você tem que argumentar que ele é de fato um equilíbrio. (1 ponto) (c) Construa um equilíbrio de Nash do jogo em que o vencedor do leilão pague exatamente v 3

pelo objeto. Novamente, após apresentar o per…l de estratégias você tem que argumentar que ele é de fato um equilíbrio. (1 ponto)

Solução. (a) Suponha que exista um equilíbrio em que o indivíduo 3 vença o leilão. Para que vencer

o leilão seja uma melhor resposta para o jogador 3, é necessário que o terceiro lance seja menor ou igual a v 3 . Considere agora o jogador dono do segundo maior lance no suposto equilíbrio acima (em caso de empate no segundo maior lance pegue qualquer um dos dois jogadores). Este jogador não está jogando uma melhor resposta. Observe que, por construção, o terceiro lance é menor ou igual a v 3 que é menor do que o valor que o dono do segundo maior lance dá ao objeto. Mas então, para tal jogador seria estritamente melhor ganhar o leilão. Ou seja, seria estritamente melhor dar um lance maior do que o lance do jogador 3. (b) Considere o seguinte per…l: O jogador 1 dá um lance b1 (v3 ; v2 ). Os jogadores 2 e 3 dão lances b2 > b3 > v1 . Para o jogador 1 ganhar o leilão ele teria que dar um lance maior ou igual a b2 , mas isto faria b3 o terceiro lance. Como b3 > v1 , o jogador 1 …caria

2

pior em tal situação. Similarmente, se o jogador 3 resolver dar um lance vencedor, o


269

terceiro lance continua sendo b1 > v3 , portanto, não vale a pena para o jogador 3 dar tal lance. Finalmente, o jogador 2 está ganhando o leilão e tendo um ganho positivo. Com qualquer outro lance que faça o jogador 2 ganhar o leilão sozinho o seu ganho não se altera. Com um lance que faça o jogador 2 ganhar o leilão de forma empatada o seu ganho vira metade do que era antes. Com um lance que faça o jogador 2 não ganhar o leilão o seu ganho é nulo. Isto mostra que todos o jogadores estão jogando melhores respostas e, de fato, o per…l acima é um equilíbrio de Nash. (c) Suponha que b 1 = v 3 , b 2 > b3 > v1 . O jogador 3 é indiferente entre não ganhar o leilão

e ganhar o leilão. O jogador 2 está vencendo o leilão e tendo um ganho positivo. Com qualquer outro lance que ele ganhe o leilão o seu ganho não muda. Com um lance em que ele ganhe o leilão de forma dividida ou não ganhe o leilão o seu ganho diminui. Finalmente, para o jogador 1 ganhar o leilão ele teria que dar um lance maior ou igual a b 2 o que faria com que o terceiro lance …casse maior do que v 1 . Isto dá ao indivíduo 1 um ganho negativo e, portanto, não vale a pena para ele. Nós concluímos que tal per…l é de fato um equilíbrio de Nash. k

33.3

Prova Substitutiva

Questão 33.3.1. Considere uma economia de trocas com três consumidores e dois bens. As 2 1 funções de utilidade dos consumidores são dadas por U A (x1A ; x2A ) = (x1A ) 3 (x2A ) 3 , U B (x1B ; x2B ) = 1 2 1 1 (x1B ) 3 (x2B ) 3 e U C (x1C ; x2C ) = (x1C ) 2 (x2C ) 2 . 2 (a) Suponha que as dotações iniciais dos consumidores sejam (wA1 ; wA ) = (6; 0), (wB1 ; wB2 ) = 1 2 (3; 3) e (wC ; wC ) = (0; 2). Encontre o único equilíbrio competitivo desta economia. Isto

é, encontre o vetor de preços e a alocação que constituem um equilíbrio competitivo para esta economia. (1,3 pontos)

(b) É possível mostrar que a alocação (x1A ; x2A ) = (4; 1), (x1B ; x2B ) = (3; 3) e (x1C ; x2C ) = (2; 1)

é e…ciente no sentido de Pareto. Como a economia acima satisfaz as condições do Segundo Teorema do Bem-estar, nós sabemos que com uma correta redistribuição das dotações iniciais nós podemos fazer com que tal alocação seja parte de um equilíbrio 2 competitivo. Na verdade, existem wA2 , wB2 e wC tais que quando wA1 = 0, wB1 = 9 e 1 wC = 0 a alocação acima é parte de um equilíbrio competitivo quando a dotação inicial 2 dos consumidores é [(0; wA2 ); (9; wB2 ); (0; wC )]. Encontre o vetor de preços e os valores 2 2 2 wA , wB e wC relacionados a tal equilíbrio. (Dica: a partir do problema de qualquer dos consumidores você consegue encontrar o vetor de preços. A partir daí encontrar 2 2 e wC é fácil.) (1,2 pontos) wA2 , wB

Solução. (a) Primeiramente, como apenas preços relativos são determinados em equilíbrio, façamos p1 = 1 e p2 = p . Todos os consumidores são do tipo Cobb-Douglas e nós já sabemos como são as suas funções demanda. Dado um vetor de preços genérico (1; p), as quantidades consumidas de cada bem pelos consumidores serão: (x1A ; x2A ) = ( 23 61 ; 13 p6 ) =


270

p 2 3+3 p p (4; p2 ), (x1B ; x2B ) = ( 13 3+3 ; 3 p ) = (1 + p; 2+2 ) e (x1C ; x2C ) = ( 12 2 p ; 1 2 p ) = ( p; 1). A 1 p 1 2 p

condição de equilíbrio de mercado para o bem 1 pode ser escrita como 4 + 1 + p + p = 9,

o que implica que p = 2. Tal preço induz a alocação (x1A ; x2A ) = (4; 1), (x1B ; x2B ) = (3; 3) e (x1C ; x2C ) = (2; 1) em equilíbrio. (b) Novamente, seja p 1 = 1 e p 2 = p . Como o consumidor A é Cobb-douglas, nós sabemos 2 2 que x 1A = 4 = 23 wA1 p e x 2A = 1 = 13 w pA p . Dividindo x 1A por x 2A nós obtemos 4 = 2 p, 1 2 o que implica que p = 2. Agora só temos que encontrar os valores wA2 , wB2 e wC que fazem os consumidores consumirem as quantidades estipuladas na questão quando p = 2. Vamos fazer isto olhando para as quantidades que cada consumidor consome do bem 1. Assim: 2

x1A = 4 =

o que implica que w A2 = 3, x1B

2 2wA ; 3 1

2 1 9 + 2wB =3= ; 3 1

o que implica que w B2 = 0 e x1C

2 1 2wC =2= ; 2 1

2 o que implica que w C = 2.

k

Questão 33.3.2. Considere um agente que tem uma riqueza inicial igual a 3200 reais. Com probabilidade 1=3 um evento que implica em uma perda de 2200 reais vai ocorrer. O agente tem a oportunidade de fazer um seguro para receber X reais caso o evento que desencadeia a perda dos 2200 reais ocorra. Suponha que o preço por cada real segurado seja 1=2 real.

Encontre a quantidade ótima de seguro que um agente maximizador de utilidade esperada com função de Bernoulli dada por u(x) = ln(x) contratará. (2,5 pontos) Solução. Quando o agente contrata um seguro de X reais a sua utilidade esperada é dada por



1 ln 3200 3













1 2 1 2200 X + X + ln 3200 X 2 3 2 = 1 1 2 1 ln 1000 + X + ln 3200 X 3 2 3 2











A condição de primeira ordem para a maximização da expressão acima nos dá X = 800.

k


271

Questão 33.3.3. Suponha que em um mercado de carros usados existam dois tipos de carros:

os de qualidade alta, que têm um valor monetário, para os potenciais vendedores, igual a q h = 2800, e os de qualidade baixa, que têm um valor monetário, para os potenciais vendedores, igual a q l = 800. A princípio, metade dos carros são de qualidade alta e metade são de qualidade baixa. Os potenciais compradores aceitam pagar um valor igual a 32 q por um carro de qualidade esperada igual a q . (a) Suponha que o preço de mercado de um carro usado seja p. Qual o máximo valor de p

pelo qual um potencial comprador (100% racional) aceitará comprar um carro usado? Considere que quando indiferentes entre vender e não vender um carro os potenciais vendedores o vendem. (1,3 pontos) (b) Suponha agora que exista ainda um outro tipo de carro, o de qualidade baixíssima, com valor, para os vendedores, igual a q b = 480. Considere que 1=3 dos carros tenham qualidade q b , 1=3 tenham qualidade q l e 1=3 tenham qualidade q h . Qual o máximo valor p que um potencial comprador aceitará pagar por um carro usado agora? (1,2

pontos) Solução. (a) Suponha primeiro que p

 2800.

Neste caso, os potenciais compradores sabem que os carros das duas qualidades estão sendo vendidos e, portanto, a qualidade esperada de um carro à venda é 12 2800 + 12 800 = 1800. O máximo preço que um potencial comprador aceitaria pagar por um carro de qualidade esperada igual a 1800 é 1800  32 = 2700. Portanto, se p  2800 os potenciais compradores não compram carros usados. Considere agora p tal que 800  p < 2800. Neste caso, apenas carros de qualidade baixa estão à venda e, consequentemente, a qualidade esperada de um carro no mercado é 800. O máximo preço que um potencial comprador aceita pagar por um carro de qualidade esperada 800 é 800  32 = 1200. Como 800  1200 < 2800, este é o máximo preço pelo qual um potencial comprador aceitaria comprar um carro usado neste mercado.

(b) Novamente, suponha primeiro que p

 2800.

Neste caso, os potenciais compradores sabem que os carros das três qualidades estão sendo vendidos e, portanto, a qualidade esperada de um carro à venda é 13 2800 + 13 800 + 13 480 = 1360. O máximo preço que um potencial comprador aceitaria pagar por um carro de qualidade esperada igual a 1360 é 1360  32 = 2040. Portanto, se p  2800 os potenciais compradores não compram carros usados. Considere agora p tal que 800  p < 2800. Neste caso, apenas carros de qualidade q l e q b estão à venda e, consequentemente, a qualidade esperada de um carro no mercado é 12 800 + 12 480 = 640. O máximo preço que um potencial comprador aceita pagar por um carro de qualidade esperada 640 é 640  32 = 960. Como 800  960 < 2800, nós concluimos que o máximo preço pelo qual um potencial comprador aceitaria comprar um carro usado neste mercado é 960 . k

Questão 33.3.4. Três indivíduos disputam um mesmo objeto em um leilão. Os valores que os indivíduos atribuem ao objeto satisfazem v 1 > v2 > v3 > 0 e v 1 , v2 e v 3 são conhecimento

comum. Isto é, todos os indivíduos sabem exatamente qual o valor que os outros atribuem


272

ao objeto. Finalmente, se o indivíduo i ganha o objeto pagando o preço b por ele, a sua utilidade é v i  b. Se ele não ganha o objeto a sua utilidade é zero. Responda cada uma das questões abaixo. As suas respostas devem ser claras, objetivas e inteiramente baseadas no conceito formal do que é um equilíbrio de Nash. (a) Suponha primeiro que o leilão seja um leilão selado de primeiro preço. Isto é, os três

indivíduos colocam os seus lances em envelopes fechados. Quando os envelopes são abertos, o indivíduo que deu o maior lance leva o objeto e paga por ele exatamente o seu lance. Existe algum equilíbrio de Nash do jogo em que o indivíduo 1 não ganhe o leilão? Em caso de resposta a…rmativa, apresente o per…l e argumente que ele é um equilíbrio em que o indivíduo 1 não ganha o leilão. Em caso de resposta negativa, explique claramente as razões porque é impossível que o indivíduo 1 não ganhe o objeto em equilíbrio. (1,3 pontos) (b) Suponha agora que o leilão seja um leilão selado de segundo preço. Isto é, os três

indivíduos colocam os seus lances em envelopes fechados. Quando os envelopes são abertos, o indivíduo que deu o maior lance leva o objeto e paga por ele o segundo maior lance. Existe algum equilíbrio de Nash do jogo em que o indivíduo 1 não ganhe o leilão? Novamente, em caso de resposta a…rmativa, apresente o per…l e argumente que ele é um equilíbrio em que o indivíduo 1 não ganha o leilão. Em caso de resposta negativa, explique claramente as razões porque é impossível que o indivíduo 1 não ganhe o objeto em equilíbrio. (1,2 pontos). Solução. (a) Suponha que um indivíduo diferente do indivíduo 1 esteja ganhando o leilão, digamos, o indivíduo j . Como sempre é possível para o indivíduo j dar um lance igual a zero,

garantindo assim uma utilidade de pelo menos zero, para que ganhar o leilão seja uma melhor resposta para ele é necessário que o seu lance satisfaça b j  v j < v1 . Mas então, o indivíduo j está ganhando o leilão pagando menos do que v1. Claramente seria melhor para o indivíduo 1 dar um lance b1 2 (b j ; v1 ) e ganhar o leilão obtendo uma utilidade estritamente positiva. Nós concluimos que em qualquer equilíbrio de Nash do jogo o indivíduo 1 ganha o leilão. (b) Considere um per…l em que b3 > v1 e b1 < b2 < v3 . Note que o indivíduo 3 está ganhando o leilão e pagando apenas b 2 < v3 pelo objeto. Sua utilidade em tal situação é v3 b2 > 0 . Ele também teria esta utilidade com qualquer outro lance que o …zesse



ganhar o leilão. Com um lance que o …zesse perder o leilão a sua utilidade seria zero. Isto mostra que o indivíduo 3 está jogando uma melhor resposta. Os indivíduos 1 e 2 não estão ganhando o leilão e, portanto, estão …cando com utilidade zero. Com qualquer lance que …zesse um deles ganhar o leilão eles teriam utilidade negativa, já que teriam que pagar b3 > v1 > v2 pelo objeto. Isto mostra que os indivíduos 1 e 2 também estão jogando melhores respostas. Nós concluimos que o per…l apresentado é um equilíbrio de Nash em que o indivíduo 3 vence o leilão. k


Primeira Prova

Questão 34.1.1. Suponha que existam dois estados possíveis da natureza, ! 1 ; !2 . A idéia é que no futuro um dos dois estados vai ocorrer. Suponha que a probabilidade de que !1 vá ocorrer seja p (!1 ) = 1=4 e a probabilidade de que ! 2 vá ocorrer seja p (!2 ) = 3=4. Suponha que a economia tenha dois ativos de risco. O primeiro ativo, A1 , paga 4 reais no estado ! 1 e paga 1 real no estado ! 2, já o ativo A2 paga 0 reais no estado ! 1 e paga 3 reais no estado !2 .

f

g

(a) Suponha que os preços por unidade dos ativos A1 e A 2 sejam, respectivamente, p A1 = 2 e pA2 = 1. Seja agora um agente com função de Bernoulli u (x) = ln x. Suponha que

tal agente tenha 100 reais para gastar entre os dois ativos descritos acima. Quanto ele comprará de cada ativo e, dado o seu portifólio, quanto será o retorno …nanceiro do agente em cada um dos estados? (1,5 pontos)

(b) Suponha agora que o ativo A 1 pague 9 reais no estado ! 1 e pague 5 reais no estado ! 2 , e suponha que o ativo A2 pague 12 reais no estado ! 1 e 4 reais no estado ! 2. O preço por unidade de ambos os ativos é pA1 = pA2 = 1. Novamente, suponha que o agente

tenha 100 reais para gastar entre os dois ativos. Quanto ele comprará de cada ativo agora? Observação: é permitido ao agente adquirir uma quantidade negativa de algum dos ativos. A interpretação é que o agente vende aquele ativo ao invés de comprá-lo. Dica: a quantidade adquirida de um dos dois ativos será negativa aqui. (1,5 pontos)

Solução. (a) O problema do agente pode ser escrito como 1 3 max ln(4A1 ) + ln(A1 + 3A2 ) A1 ;A2 4 4

s.a. 2A1 + A2 = 100

273


274

Isolando A 2 na restrição e substituindo na função objetivo, o problema vira 1 3 max ln(4A1 ) + ln(300 A1 4 4

 5A ) 1

A condição de primeira ordem do problema acima é 1 4 3 5 = : 4 4A1 4 300 5A1



Isolando A1 na expressão acima nós obtemos A1 = 15. Substituindo tal valor na restrição do problema original nós obtemos A2 = 70. O retorno no estado 1 é 4A1 = 60. Já o retorno no estado 2 é A 1 + 3A2 = 225: (b) O problema do agente agora é 1 3 max ln(9A1 + 12A2 ) + ln(5A1 + 4A2 ) A1 ;A2 4 4

s.a. A1 + A2 = 100:

Isolando A 2 na restrição e substituindo na função objetivo nós …camos com o seguinte problema simpli…cado: 1 max ln(9A1 + 12(100 A1 4

 A )) + 34 ln(5A + 4(100  A )) 1

1

1

O problema acima pode ser escrito como 1 max ln(1200 A1 4

 3A ) + 34 ln(400 + A ) 1

1

A condição de primeira ordem do problema acima é 1 3 3 1 = : 4 1200 3A1 4 400 + A1



Isolando A1 na expressão acima nós obtemos A1 = 200. Substituindo este valor na restrição do problema original nós obtemos A 2 = 100. k Questão 34.1.2. Em uma dada economia existem um insumo, x, e dois bens produzidos, y e z . Na economia existem duas …rmas, f e g, capazes de produzir os dois bens e com funções de produção dadas por f y xf y , f z (xf z ), gy xgy e gz (xgz ). Lembre-se que xf y é a quantidade do insumo x que a …rma f usa para produzir o bem y, xf z é a quantidade do insumo x que a …rma f usa para produzir o bem z , etc.. Responda verdadeiro ou falso para

 

 

os ítens abaixo. Justi…que muito bem o seu raciocínio. A resposta certa sem o raciocínio correto não tem valor algum. (a) Suponha que f y xf y = ln xf y , f z (xf z ) = 2 ln xf z , gy xgy = 2 ln xgy e gz (xgz ) = ln xgz . Neste caso, o plano de produção xf y = 4, xf z = 4, xgy = 2 e xgz = 2 é um plano

 

e…ciente. (1,5 pontos)

 


275

(b) Suponha agora que f y xf y = xf y , f z (xf z ) = 2xf z , gy xgy = xgy e gz (xgz ) = 2xgz . Neste caso, apenas planos de produção em que xf y = xgy e xf z = xgz são e…cientes.

 

(1,5 pontos)

 

Solução. (a) Seja X y := x f y + xgy = 6 . Para que o plano de solução acima seja e…ciente x f y e x gy têm

que ser soluções do seguinte problema:

max ln xf + 2ln xg xf ;xg

s.a. xf + xg = X y = 6

Isolando xg na restrição do problema acima e substituindo na função objetivo o problema vira max ln xf + 2 ln(6 xf

x ) f

A condição de primeira ordem do problema acima é 1 2 = xf 6 xf



Isolando xf na expressão acima nós obtemos xf = 2 . Substituindo tal valor na restrição do problema nós obtemos x g = 4. Isto mostra que o plano de produção sugerido pela questão não é e…ciente. Nós concluimos que o item é falso. (b) O item é falso. Na verdade, qualquer plano de produção é e…ciente, dadas as tecnologias de produção na questão. Para ver isto, considere quantidades X y e X z arbitrárias. Para que um plano de produção x f y ; xf z ; xgy ; xgz , com x f y + xgy = X y e x f z + xgz = X z seja e…ciente, (xf y ; xgy ) tem que ser solução do problema max xf + xg xf ;xg

s.a. xf + xg = X y

e (xf z ; xgz ) tem que ser solução do problema max 2xf + 2xg xf ;xg

s.a. xf + xg = X z

Note agora que quaisquer valores que satisfaçam a restrição são solução dos problemas acima, o que mostra que qualquer plano de produção é e…ciente neste caso. k Questão 34.1.3. Suponha que um monopolista atue em um mercado com curva de demanda inversa p(q ) = 24 q . Suponha ainda que a função custo do monopolista seja dada por c(q ) =  + q 2 , em que  > 0 .




276

(a) Calcule o preço e a quantidade que o monopolista produziria se ele agisse como se o

mercado fosse competitivo. Isto é, se o monopolista agisse como tomador de preço. (1 ponto) (b) Vamos agora …xar o valor de  em 70 e supor que o mercado realmente funcione em uma

situação de monopólio. No entanto, suponha que o mercado é regulado e o monopolista seja obrigado pelo governo a cobrar o preço encontrado na letra (a) e seja obrigado a atender toda a demanda que aquele preço gere. Mostre que neste caso o monopolista preferirá não entrar no mercado. (1 ponto) (c) Encontre o mínimo preço que o governo pode obrigar o monopolista a cobrar de modo

que este ainda permaneça no mercado. Suponha que quando indiferente entre entrar ou não no mercado o monopolista entre. (1 ponto) Solução. (a) Quando o monopolista age como tomador de preço o seu problema é max pq q

2

   q

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá p = 2q:

Tal preço tem que ser o mesmo que se obteria na curva de demanda inversa com a mesma quantidade q . Isto é, a quantidade q de equilíbrio tem que satisfazer 24

 q = 2q;

o que implica que q = 8 e p = 16. (b) Com a quantidade e o preço encontrados na letra (a), o lucro do monopolista é  = 16 8 70 64 = 6. Logo o monopolista não vai querer entrar nesse mercado sob o

  

preço em questão.



(c) Dada uma quantidade q e um preço p = 24 q , o lucro do monopolista é  = (24 q )q 70 q 2 . O polinômio acima tem raízes 5 e 7, o que mostra que o máximo valor de q que mantém o lucro do monopolista não negativo é q = 7. Isto implica que o mínimo preço que o governo pode obrigar o monopolista a pagar é p = 24 7 = 17.





 



k


trocas com dois consumidores e dois bens. (a) Suponha que a dotação agregada de ambos os bens seja igual a 1. Os dois agentes têm funções de utilidades pessoais dadas por U pA (x1A ; x2A ) = min x1A ; x2A e U pB (x1B ; x2B ) = min x1B ; x2B . No entanto, ambos são altruistas e levam em conta o bem estar do

f

g

f

g

outro. Mais especi…camente, a utilidade de ambos os indivíduos é dada pela média entre a sua utilidade pessoal e a do outro. Isto é, U A (x1A ; x2A ; x1B ; x2B ) = 12 U pA (x1A ; x2A ) +

34.1. PRIMEIRA PROVA 1 B U 2 p

277

(x1B ; x2B ) e U B (x1B ; x2B ; x1A ; x2A ) = 12 U pB (x1B ; x2B ) + 12 U pA (x1A ; x2A ). Caracterize todas

as alocações e…cientes no sentido de Pareto para esta economia. Dica: Na caixa de Edgeworth, a utilidade de um indivíduo altruista pode ser escrita em função apenas da cesta de consumo do próprio indivíduo. A partir daí a análise …ca bem mais clara. (1,5 pontos).

(b) Suponha agora que apenas o indivíduo A seja altruista. Isto é, a utilidade do indivíduo A é dada por U A (x1A ; x2A ; x1B ; x2B ) = 12 U pA (x1A ; x2A ) + 12 U pB (x1B ; x2B ), mas a utilidade de B é apenas U B (x1B ; x2B ) = U pB (x1B ; x2B ). Caracterize todas as alocações e…cientes no

sentido de Pareto neste caso. (1,5 pontos)

Solução. (a) Primeiramente, observe que para qualquer alocação em que x1A = x 2A e, consequentemente, x1B = x 2B as utilidades dos dois indivíduos são 1 1 U A (x1A ; x2A ; x1B ; x2B ) = x1A + (1 2 2

2 A)

x

e

=

1 1 U B (x1B ; x2B ; x1A ; x2A ) = x1B + (1 x1B ) = 2 2 1 2 Por outro lado, sempre que xA < xA e, consequentemente, x2B



dois indivíduos são

1 2 1 : 2 < x1B as utilidades dos

1 1 1 2 x + x 2 A 2 B 1 1 < x1A + x1B 2 2 1 1 1 = xA + (1 x1A ) 2 2 1 = 2

U A (x1A ; x2A ; x1B ; x2B ) =



e 1 2 1 1 x + x 2 B 2 A 1 1 < x2B + x2A 2 2 1 1 = x2B + (1 x2B ) 2 2 1 = : 2

U B (x1B ; x2B ; x1A ; x2A ) =



Isto mostra que qualquer alocação em que x 1A < x2A é dominada no sentido de Pareto por qualquer alocação em que x 1A = x2A . Um raciocínio simétrico mostra que qualquer alocação em que x1A > x2A também é dominada no sentido de Pareto por qualquer alocação em que x1A = x2A . Nós concluimos que as alocações e…cientes são apenas aquelas em que x 1A = x2A .


278

(b) Note agora que a alocação (x1A ; x2A ) = (0; 0) e (x1B ; x2B ) = (1; 1) dá utilidade igual a 1 para o indivíduo A e utilidade igual a 1 para o indivíduo B . Nós vimos na letra 2 (a) que 12 é a máxima utilidade que o indivíduo A pode obter com qualquer alocação. Além disto, é fácil ver que 1 é a máxima utilidade que o indivíduo B pode obter com

qualquer alocação e a única alocação que lhe dá tal utilidade é a descrita acima. Isto mostra que qualquer outra alocação é dominada no sentido de Pareto pela alocação acima. Nós concluimos que a alocação acima é a única e…ciente no sentido de Pareto para esta economia. k

34.2

Segunda Prova

Questão 34.2.1. Suponha que em um mercado de carros usados existam dois tipos de carros:


comprar o carro? Considere que quando indiferentes entre vender e não vender um carro os potenciais vendedores o vendem. (1,5 pontos) (b) Suponha agora que exista ainda um outro tipo de carro, o de qualidade baixíssima, com valor, para os vendedores, igual a q b = 30. Considere que 1=3 dos carros tenham qualidade q b , 1=3 tenham qualidade q l e 1=3 tenham qualidade q h . Qual o máximo valor p que um potencial comprador aceitará pagar por um carro usado agora. (1,5



de carros de qualidade q l como os donos de carros de qualidade q h estão vendendo os seus carros. Portanto, a qualidade esperada de um carro usado sendo vendido é 1 1 . O máximo valor que um potencial comprador aceita pagar por um 2 q l + 2 q h = 90 carro de qualidade esperada igual a 90 é 90  32 = 135. Ou seja, 135 é o máximo valor que um potencial comprador aceitará pagar por um carro usado neste caso. (b) Suponha primeiro que p

 110.

Neste caso, os potenciais compradores sabem que carros de todas as qualidades estão a venda e a qualidade esperada de um carro usado no mercado é 13 q b + 13 q l + 13 q h = 70. O máximo valor que um potencial comprador aceita pagar por um carro de qualidade esperada igual a 70 é 70  32 = 105. Portanto, um potencial comprador nunca comprará um carro com preço maior ou igual a 110. Testemos um preço p tal que 70  p < 110. Neste caso, os potenciais compradores sabem que apenas carros de qualidade q b e q l estão a venda. A qualidade esperada

34.2. SEGUNDA PROVA

279

de um carro usado no mercado é 12 q b + 12 q l = 50. O máximo valor que um potencial comprador aceita pagar por um carro de qualidade esperada igual a 50 é 50  32 = 75. Portanto, o máximo valor que um potencial comprador aceitará pagar por um carro k usado neste caso é 75 . Questão 34.2.2. Um bar funciona dentro de uma danceteria. Em uma determinada noite,


 2P Q B

D

,

em que P B é o preço da cerveja no bar. Já a curva de demanda para o consumo de cerveja no bar é dada por QB (P B ) = QD

 75P ; B


entrarão na danceteria e qual será o preço da cerveja em uma determinada noite. Modele o problema da danceteria como o de alguém que escolhe QD e o do bar como o de alguém que escolhe P B . O conceito de equilíbrio é o de equilíbrio de Nash. (1,5 pontos). (b) Suponha agora que o governo imponha um imposto de 2 de reais por cerveja vendida,

pago pelo bar. Suponha ainda que a curva de demanda do bar agora seja dada por QB (P B ) = Q2D  75P B . Responda quantas pessoas entrarão na danceteria e qual será o preço da cerveja agora. (1,5 pontos). Solução. (a) Suponha que o dono do bar tenha estipulado o preço da cerveja em um valor P B . A

melhor resposta para o dono da danceteria resolve o seguinte problema: max(2400 QD

 2P Q B

D )QD

A condição de primeira ordem do problema acima pode ser escrita como QD = 600 . P B Suponha agora que o dono da danceteria tenha decidido deixar QD pessoas entrarem na danceteria. A melhor resposta para o dono do bar resolve o seguinte problema: max P B (QD P B

 75P ) B

A condição de primeira ordem do problema acima pode ser escrita como Q D = 150P B . Resolvendo o sistema formado pelas duas condições de primeira ordem dos dois problemas acima nós encontramos que o único equilíbrio de Nash do jogo é o per…l QD = 300 e P B = 2.


280

(b) Neste caso, o problema do dono da danceteria não se altera e a sua condição de primeira

ordem continua igual à da letra (a). Já o problema do dono do bar agora pode ser escrito como: max(P B P B





QD 2) 2

 75P

B



A condição de primeira ordem do problema acima pode ser escrita como QD = 300P B  300. Resolvendo o sistema formado por esta condição e a condição de primeira ordem do problema do dono da danceteria, nós encontramos que o único equilíbrio de Nash do jogo é o per…l QD = 300 e P B = 2. Observe que neste equilíbrio nenhuma cerveja é vendida, mas isto é apenas uma curiosidade. k Questão 34.2.3 (Liderança de quantidade com custo quadrático). Suponha que duas empresas produzam o mesmo produto e suas funções de custo sejam dadas por c(yi ) = yi2 . Suponha, também, que a demanda pelo bem y seja representada pela seguinte curva de demanda inversa: p(y1 + y2 ) = 56

 (y + y ): 1

2

(a) Suponha primeiro que a empresa 1 seja monopolista. Ou seja, suponha que a empresa 2

não exista e a curva de demanda inversa da economia seja simplesmente a apresentada acima, mas com y2 = 0. Calcule o lucro da empresa 1 neste caso. (1 ponto) (b) Agora suponha que a empresa 2 esteja no mercado, mas que a empresa 1 tome a sua

decisão de produção antes da empresa 2. Somente após tomar conhecimento da decisão de produção da empresa 1 é que a empresa 2 decide o quanto ela vai produzir. Modele a situação acima como um jogo sequencial e encontre as quantidades que as duas …rmas vão produzir em equilíbrio usando o método de indução retroativa. (1 ponto) y2

(c) Suponha agora que a função custo da empresa 2 seja dada por c2 (y2 ) = 300 + 22 . A

função custo da empresa 1 continua a mesma de antes e esta continua tomando a sua decisão de produção antes da empresa 2. Argumente que agora a empresa 1 consegue obter o mesmo lucro da letra (a) em equilíbrio. Dica: a empresa 1 só pode obter o mesmo lucro da situação de monopólio se ela for de fato monopolista no mercado. (1 ponto)

Solução. (a) Quando a empresa 1 é monopolista o seu problema é: max(56 y1

2 1

 y )y  y 1

1

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá y 1 = 14. Isto dá um lucro à …rma 1 de  1 = 392. (b) O jogo é simplesmente o jogo de Stackelberg descrito nas notas de aula. A árvore de

decisão do jogo pode ser representada por

34.2. SEGUNDA PROVA

281

em que 2 1

 1(y1 ; y2 ) = p(y1 + y2 )y1

y

 2 (y1 ; y2 ) = p(y1 + y2 )y2

y :

e 2 2


2 2

 (y + y ))y  y 1

2

2


56

y : 1

4



 3y4 )y  y 1

1

2 1

Da condição de primeira ordem do problema acima nós obtemos que y1 = 12. Substituindo tal valor na expressão que nós encontramos para y 2 nós obtemos y 2 = 11:


282

(c) Suponha que a empresa 2 tenha observado a empresa 1 produzir a quantidade de monopólio y 1 = 14. Neste caso, o problema da empresa 2 é max(56 y2

y 22 2

 (14 + y ))y   300 2

2

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá y2 = 14. Neste caso o lucro da empresa 2 é 2 = 6. Ou seja, neste caso é melhor a empresa 2 não entrar no mercado. Para caracterizar a solução por indução retroativa do jogo nós ainda teríamos que investigar as melhores respostas da empresa 2 após todas as possíveis escolhas de y1 da empresa 1. No entanto, para responder a questão o que temos já é su…ciente. O lucro de monopólio é o maior possível para a empresa 1. Nós veri…camos que ela obtém tal lucro se ela produz a quantidade de monopólio. Nós não calculamos que lucro ela obterá com outros valores de y1 , mas como sabemos que nesses casos o lucro será menor do que o de monopólio, nós já podemos concluir que em equilíbrio a empresa 1 produzirá a quantidade de monopólio.

k

Questão 34.2.4. Considere o problema dos dois sorveteiros que têm que se posicionar em

uma faixa de areia. As pessoas estão distribuídas de maneira uniforme pela praia, mas agora nós assumiremos que as pessoas preferem o sorvete do sorveteiro 1. Por conta disto, uma pessoa só compra o sorvete do sorveteiro 2 se a distância entre ela e o sorveteiro 1 for pelo menos o dobro da distância entre ela e o sorveteiro 2. Quando isto não é verdade, a pessoa compra o sorvete do sorveteiro 1. Responda as questões abaixo usando apenas lógica, mas tome cuidado para que o raciocínio envolvendo o conceito de equilíbrio de Nash esteja claro nas suas respostas. (a) Suponha primeiro que a praia seja uma faixa de areia em linha reta e a modele como sendo o intervalo [0; 1]. Mostre que não existe equilíbrio de Nash neste caso. Dica:

suponha que o sorveteiro 2 esteja em uma determinada posição. Qual a melhor resposta para o sorveteiro 1? (1,5 pontos). (b) Suponha agora que a praia seja circular. Caracterize todos os equilíbrios de Nash neste

caso. Dica: lembre-se que as vezes nós podemos chegar no mesmo lugar por dois caminhos diferentes. (1,5 pontos) Solução. (a) Suponha que o sorveteiro 2 esteja posicionado na posição s2 . Neste caso, a única melhor resposta para o sorveteiro 1 é escolher s1 = s 2. Note que neste caso apenas o sorveteiro 1 vende sorvetes. Porém, quando o sorveteiro 1 está em uma dada posição s1 , qualquer posição s2 = s 1 dá um ganho ao sorveteiro 2 maior do que zero, que é o seu ganho se ele escolher a posição s 2 = s 1 . Ou seja, nunca jogar s 2 = s 1 é melhor resposta para o

6

sorveteiro 2. Nós concluimos que o jogo não tem equilíbrio de Nash.

(b) O mesmíssimo raciocínio da letra (a) mostra que também neste caso não existem

equilíbrios de Nash no jogo.34.1

34.1 A

pegadinha não era minha intenção. Eu me confundi ao elaborar a questão.

k


34.3

283

Prova Substitutiva

Questão 34.3.1. Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as funções de utilidade dos consumidores sejam dadas por U A (x1A ; x2A ) = l n x1A + x2A e U B (x1B ; x2B ) = 2 x1B + ln x2B . Suponha que as dotações iniciais dos consumidores sejam (wA1 ; wA ) = (2; 1) 1 2 e (wB ; wB ) = (0; 1). (a) Encontre o único equilíbrio competitivo desta economia. Isto é, encontre o vetor de

preços e a alocação que constituem um equilíbrio competitivo para esta economia. (1,5 pontos) (b) É possível mostrar que a alocação (x1A ; x2A ) =

e (x1B ; x2B ) = 13 ; 35 é e…ciente no sentido de Pareto. Como a economia acima satisfaz as condições do segundo teorema do bem estar, nós sabemos que com a correta redistribuição das dotações iniciais nós podemos fazer com que tal alocação seja parte de um equilíbrio competitivo. Ou seja, existe dotação inicial [(wA1 ; wA2 ); (wB1 ; wB2 )] tal que a alocação resultante do equilíbrio competitivo da economia é exatamente (x1A ; x2A ) = 53 ; 75 e (x1B ; x2B ) = 13 ; 35 . Na verdade, existe uma dotação inicial que gera a alocação acima em equilíbrio e além disto satisfaz w A1 = 32 . Encontre esta dotação inicial e o vetor de preços relacionado a tal equilíbrio. (1,5 pontos) 5 7 3; 5

 

 

 

 

Solução. (a) Como somente preços relativos são determinados em equilíbrio, faça p 1 = 1 e p 2 = p. O problema do consumidor A é max ln x1A + x2A 1 2 xA ;xA

sujeito a x1A + px2A = 2 + p

Isolando x 2A na restrição e substituindo na função objetivo nós …camos com o seguinte problema: max ln x1A + 1 2

xA ;xA

2 + p x1A p



A condição de primeira ordem do problema acima nos dá x1A = p. Isto implica que x2A = p2 . O problema do consumidor B é 1 2 max x + ln x B B 1 2

xB ;xB



2 B + ln

 px

x2B


284

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá x2B = p1 . Isto implica que x1B = p  1. Equilibrando o mercado para o bem 1 nós obtemos a seguinte equação: p + p

 1 = 2;


Isto implica que (x1A ; x2A ) = ( 32 ; 43 ) e (x1B ; x2B ) = ( 12 ; 23 ). (b) Como somente preços relativos são determinados em equilíbrio, faça p 1 = 1 e p 2 = p. O problema do consumidor A é 1 2 max ln x + x A A 1 2 xA ;xA

sujeito a 3 2 x1A + px2A = + wA p 2

Isolando x 2A na restrição e substituindo na função objetivo nós …camos com o seguinte problema: 3 1 2 + max ln x + A x1A

2 wA p p

1 A

x

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá x1A = p. Isto implica que +(wA 1) p x2A = . Como nós queremos que a alocação de equilíbrio satisfaça que x1A = 53 , p nós aprendemos que o preço relacionado a tal equilíbrio tem que ser p = 53 . Como nós queremos que a alocação de equilíbrio satisfaça x2A = 75 , nós …camos com a seguinte equação em termos de w A2 : 3 2

2

3 2 7 2 + (wA = 5 5 3

 1)

5 3

:

Resolvendo a equação acima nós obtemos w A2 = 32 . Isto implica que w B1 = 2  32 = wB2 = 2  32 = 12 .

1 2

e

k




 y:

(a) Calcule os preços e as quantidades produzidas pela …rma quando o mercado para o bem y é competitivo e quando a …rma é monopolista. (1,5 pontos).


285

(b) Suponha agora que o governo, na tentativa de eliminar a ine…ciência do monopólio,

implemente o seguinte esquema de imposto e subsídio. Primeiramente, o governo subsidiará uma fração s dos custos da …rma. Ou seja, se a …rma tiver um custo de produção total igual a x, ela receberá sx do governo. Juntamente com isto, o governo cobrará um imposto sobre os lucros da …rma. Tal imposto será uma fração do lucro total da …rma. Isto é, se a …rma tiver um lucro , ela terá de pagar t de imposto. Atenção, o lucro da …rma será dado pela receita que ela obtém com a venda do bem y, menos o custo de produção da …rma, mais o valor do subsídio recebido pela …rma. Calcule os valores de s e t que satisfazem as seguintes condições: (i) Com tais valores de s e t , a …rma produz a quantidade e…ciente, ou seja, a mesma quantidade produzida na letra (a) quando o mercado era competitivo. (ii) O esquema é balanceado, isto é, a quantidade total paga à …rma em forma de subsídio deve ser igual à quantidade recebida da …rma na forma de imposto (1,5 pontos). Solução. (a) Em um mercado competitivo a …rma comporta-se como tomadora de preços. Neste caso,


y

2


 2y = 0;

o que nos dá a condição y = p=2. Substituindo tal condição na expressão para a curva de demanda inversa nós obtemos p = 300

 p2 :

Resolvendo a equação acima para p nós obtemos p = 200. Consequentemente, o nível de produção neste caso será y = 100. O problema de uma …rma monopolista pode ser escrito como max (300

 y) y  y

2


 4y = 0:

O que nos dá um nível de produção y = 75. Substituindo tal valor na curva de demanda inversa nós obtemos p = 225: (b) O problema da …rma neste caso pode ser escrito como max (1 y

 t)



(300

 y) y  (1  s) y

2






max (300 y

 y) y  (1  s) y

2




286


 t)[300  2y  2 (1  s) y] = 0: É fácil agora ver que o termo (1  t) de fato é irrelevante para a solução do problema. Ou seja, o nível de produção escolhido pela …rma vai satisfazer a condição 300

 2y  2 (1  s) y = 0:

Lembre-se que queremos descobrir o valor do subsídio s que faz com que a …rma produza a mesma quantidade que ocorreria em uma situação competitiva. O melhor a fazer, então, é susbtituir o valor y = 100 na expressão acima e resolvê-la para encontrar o valor de s . Fazendo isto nós obtemos a equação 300

 200  200(1  s) = 0;

que resolvida para s nos dá s = 1=2. Ou seja, para fazer com que a …rma produza a quantidade e…ciente o governo tem que subsidiar 50% do custo de produção da …rma. Como a …rma produz y = 100, o governo gasta 1 1002 = 5000 2

em subsídios à …rma. O imposto t é cobrado sobre o lucro da …rma. Com tal nível de produção, o preço cobrado pela …rma é p = 200, o que dá um lucro, antes do imposto, igual a  = 200 100



= 15000:

    1

1 1002 2

Portanto, o valor de t que zera os gastos do governo com a …rma resolve a equação 15000t = 5000;

o que nos dá t = 1=3:

k

Questão 34.3.3. Um apiário e uma fazenda produtora de maçãs estão localizados lado a lado. Seja “ a” a quantidade de maçãs produzida e “ h” a quantidade de mel. Os custos de produção do apiário e da fazenda são, respectivamente, ch (h; a) = 12h2 4ah e ca (a; h) = 2a2 4ah. Ou seja, a produção de mel gera uma externalidade positiva para a produção de





maçãs e a produção de maçãs gera uma externalidade positiva para a produção de mel. O preço do quilo de mel é 24 reais e cada quilo de maçã é vendido por 16 reais. (a) Calcule as quantidades de mel e maçãs produzidas em equilíbrio. (1,5 pontos) (b) Suponha que o fazendeiro compre o apiário. Quanto ele produzirá de mel e maçãs? (1,5

pontos)


287

Solução. (a) O problema do apiário pode ser escrito como max 24h h



12h2





 4ah

A condição de primeira ordem do problema acima é 24h = 24 + 4a:




2a2





 4ah

A condição de primeira ordem do problema acima é 4a = 16 + 4h:






12h2



 4ah

+ 16a





2a2



 4ah

As condições de primeira ordem do problema acima são h : 24h = 24 + 8a a : 4a = 16 + 8h


k

Questão 34.3.4. Um potencial vendedor possui um objeto ao qual ele atribui um valor v. Um potencial comprador atribui um valor c > v ao mesmo objeto. Tanto v como c são

conhecimento comum entre o vendedor e o comprador. A negociação acontece da seguinte forma: o vendedor e o comprador anunciam preços pv e pc em envelopes fechados. Quando os envelopes são abertos, se pc  pv , a negociação ocorre e o vendedor vende o objeto ao v comprador pelo preço p = pc + p . Se pc < pv , a negociação não ocorre e o objeto permanece 2 com o vendedor. Modele a situação como um jogo simultâneo e responda as questões abaixo. (a) O jogo tem algum equilíbrio de Nash em que o vendedor e o comprador anunciam os mesmos preços? Isto é, existe equilíbrio de Nash do jogo em que p v = pc ? Se a resposta

for negativa, demonstre a sua a…rmação. Se a resposta for positiva, caracterize todos os valores pv = pc que são equilíbrios de Nash do jogo. (1,5 pontos).

(b) O jogo tem algum equilíbrio de Nash em que o vendedor e o comprador anunciam preços diferentes? Isto é, existe equilíbrio de Nash do jogo em que p v = pc ? Se a resposta for

6

negativa, demonstre a sua a…rmação. Se a resposta for positiva, caracterize todos os valores pv 6 = pc que são equilíbrios de Nash do jogo. (1,5 pontos)


288 Solução. (a) Sim, sempre que v

 p = p  c nós temos um equilíbrio de Nash em que a negociação se concretiza. Para ver isto, suponha que o vendedor esteja jogando um preço v  p  c. Se o comprador jogar um preço p < p , a negociação não se concretiza e o seu ganho é zero. Por outro lado, se o comprador jogar um preço p  p , a negociação se concretiza e o seu ganho é c  . É claro, então, que é melhor resposta para o comprador jogar p = p , o que lhe dá um ganho de c  p  0. Similarmente, suponha que o comprador esteja jogando um preço v  p  c. Se o vendedor jogar um preço p > p , a negociação não se concretiza e o seu ganho é v . Já se o vendedor jogar um preço . Claramente, jogar p = p p  p , a negociação se concretiza e o seu ganho é é melhor resposta para o vendedor, o que lhe dá um ganho de p  v. Isto mostra que todos os per…s em que v  p = p  c são equilíbrios de Nash. Per…s em que v

c

v

c

v

c

pv + pc 2

c

v

v

v

c

v

v

pv + pc 2

c

v

c

c

c

v

c

pv = p c < v não são equilíbrio de Nash, pois neste caso o vendedor estaria tendo ganho pc < v , o que não é uma melhor resposta para ele, já que ele poderia obter ganho de v simplesmente jogando um preço pv > pc . Similarmente, per…s em que pv = pc > c

também não são equilíbrio de Nash, já que neste caso o ganho do comprador seria c  pv < 0 e este poderia obter um ganho igual a zero simplesmente jogando um preço pc < pv . Isto caracteriza todos os equilíbrios de Nash em que p v = pc .

(b) Sim, os per…s em que pc v < c pv são equilíbrios de Nash. Para ver isto, note que quando pv c, se o comprador joga um preço pc pv , a negociação ocorre e o seu ganho é c pv +2 pc 0. Portanto, qualquer preço p c < pv é melhor resposta para o comprador,



 







já que com tais lances a negociação não ocorre e o ganho do comprador é exatamente zero. Em particular, os preços pc  v são melhores respostas para o comprador. Sob a ótica do vendedor, quando o comprador joga um preço pc  v , se o vendedor jogar um preço pv  p c, a negociação ocorre e seu ganho é pv +2 pc  v . Por outro lado, com qualquer lance pv > pc , a negociação não ocorre e o ganho do vendedor é exatamente v . Em particular, isto mostra que jogar qualquer pv  c é melhor resposta para o vendedor. Nós concluimos que todos os per…s em que p c  v < c  pv são equilíbrios de Nash do jogo em que a negociação não ocorre. Por outro lado, sempre que p v < c, a única melhor resposta para o comprador é jogar p c = p v . Similarmente, sempre que pc > v , a única melhor resposta do vendedor é jogar pv = p c . Isto mostra que os únicos equilíbrios de Nash do jogo em que o comprador e o vendedor jogam preços diferentes são os per…s em que p c  v < c  pv . k


Primeira Prova




 y:

(a) Calcule os preços e as quantidades produzidas do bem y quando a …rma age como

monopolista e quando o mercado é competitivo. (2 pontos). (b) Suponha agora que o governo, na tentativa de eliminar a ine…ciência do monopólio,

implemente o seguinte esquema de imposto e subsídio. Primeiramente, o governo dará à …rma um subsídio s por unidade produzida. Ou seja, se a …rma produzir uma quantidade y do bem, ela receberá sy do governo, independentemente do preço do bem y. Juntamente com isto, o governo cobrará um imposto sobre os lucros da …rma. Tal imposto será uma fração do lucro total da …rma. Isto é, se a …rma tiver um lucro , ela terá de pagar t de imposto. Calcule os valores de s e t que satisfazem as seguintes condições: (i) Com tais valores de s e t, a …rma monopolista produz a quantidade e…ciente, ou seja, a …rma monopolista produz a mesma quantidade que ela produziria na situação de mercado competitivo na letra (a). (ii) O esquema é balanceado, isto é, o valor total pago à …rma em forma de subsídio deve ser igual ao valor total recebido da …rma na forma de imposto (2 pontos). Solução. (a) Em um mercado competitivo a …rma comporta-se como tomadora de preços. Neste caso


289

y

2


290


 2y = 0;

o que nos dá a condição y = p=2. Substituindo tal condição na expressão para a curva de demanda inversa nós obtemos p = 12

 p2 :

Resolvendo a equação acima para p nós obtemos p = 8. Consequentemente, o nível de produção neste caso será y = 4. Suponha agora que a …rma aja como monopolista. Agora o seu problema é: max (12

 y) y  y

2


 4y = 0:

O que nos dá um nível de produção y = 3. Substituindo tal valor na curva de demanda inversa nós obtemos p = 9: (b) O problema da …rma neste caso pode ser escrito como max (1 y

 t)



(12 + s

 y) y  y

2






max (12 + s y

 y) y  y

2




 t) [12 + s  4y] = 0: É fácil agora ver que o termo (1  t) de fato é irrelevante para a solução do problema. Ou seja, o nível de produção escolhido pela …rma vai satisfazer a condição 12 + s

 4y = 0:

Lembre-se que queremos descobrir o valor do subsídio s que faz com que a …rma produza a mesma quantidade que ocorreria em uma situação competitiva. O melhor a fazer, então, é susbtituir o valor y = 4 na expressão acima e resolvê-la para encontrar o valor de s . Fazendo isto nós obtemos a equação 12 + s

 16 = 0;

que resolvida para s nos dá s = 4. Ou seja, para fazer com que a …rma produza a quantidade e…ciente o governo tem que pagar à …rma 4 reais por cada unidade vendida.


291

Como a …rma produz y = 4, neste caso, o governo gasta 4  4 = 16 em subsídios à …rma. O imposto t é cobrado sobre o lucro da …rma. Com tal nível de produção, o preço cobrado pela …rma é p = 8, o que dá um lucro, antes do imposto, igual a 2

 = (8 + 4) 4 = 32:

4

Portanto, o valor de t que zera os gastos do governo com a …rma resolve a equação 32t = 16;

o que nos dá t = 1=2:

k


Suponha que durante um certo período ele tenha decidido trabalhar 81 horas e que ele seja indiferente entre gastar este tempo catando côcos ou pescando. A função de produção de peixes de Robinson é dada por 1

F = (lF ) 3

e a de côcos é

2

C = (lC ) 3 ;

em que lF e lC são o número de horas que Robinson passa pescando e catando côcos, respectivamente. Consequentemente, lC + lF = 81:


U (F; C ) = (F C ) 2 :



(a) Se Robinson vive sozinho e não pode negociar com ninguém, quantas horas ele trabalha

catando côcos e quantas horas ele trabalha pescando? (Dica: Conhecendo a função demanda do consumidor Cobb-Douglas você pode economizar muitas contas. Além disto, lembre-se que maximizar f (x; y) ou qualquer transformação estritamente crescente de f (x; y) sempre dá o mesmo resultado.) (2 pontos) (b) Suponha agora que Robinson encontre Sexta-feira e este, como política de vizinhança,

lhe presenteie com uma vara de pescar. De posse de uma vara de pescar, Robinson consegue produzir duas vezes mais peixe do que ele conseguia antes, trabalhando o mesmo tempo. Quantas horas Robinson trabalha catando côco e pescando agora? (2 pontos) Solução. (a) Neste caso, o problema de Robinson pode ser escrito como



1 3


2 3



1 2


292 sujeito a

lF + lC = 81:

Conforme explicado na dica, maximizar a função objetivo é o mesmo que maximizar a função



1 3

(lF ) (lC )

2 3

1 2



2

1

2

= (lF ) 3 (lC ) 3 . Ou seja, é o mesmo que maximizar uma

função Cobb-Douglas com pesos iguais a 1/3 e 2/3. Observe, também, que a restrição do problema pode ser interpretada como uma restrição orçamentária em que os dois preços são iguais a 1. Dado o que discutimos acima, nós sabemos que a solução do problema acima será l F = 813 = 27 e l C = 23 81 = 54. 1

(b) Agora a função de produção de peixe é F = 2 (lF ) 3 . O problema de Robinson agora é:



1 3

max 2 (lF ) (lC ) lF ;lC

sujeito a

2 3



1 2

lF + lC = 81:

Seguindo a dica da letra (a), nós podemos observar que maximizar a função objetivo acima é o mesmo que maximizar a função



1 3

2 (lF ) (lC )

2 3

1 2



2

1

2

=2 = (lF ) 3 (lC ) 3 . Ou

seja, o problema acima tem a mesma solução do problema da letra (a). Isto é, l F = 27 e l C = 54. k Questão 35.1.3 (Preferências saciadas). Considere uma economia na caixa de Edgeworth,

isto é, uma economia de trocas com dois consumidores e dois bens. (a) Suponha que a dotação agregada de ambos os bens seja igual a 1 e as funções de utilidade dos dois agentes sejam dadas por U A (x1A ; x2A ) = min x1A ; x2A ; 12 e U B (x1B ; x2B ) =



x1B +x2B 2



. Caracterize as alocações e…cientes no sentido de Pareto para esta economia. Quais destas alocações são justas (isto é, além de e…cientes nenhum dos dois consumidores inveja a cesta de consumo do outro)? Dica: Na minha opinião o jeito mais fácil de resolver a questão é usar apenas lógica. Se você prestar atenção na de…nição de e…ciência no sentido de Pareto o resultado …ca claro. (2 pontos) (b) Suponha que a dotação agregada de ambos os bens seja igual a 1 e as funções de utilidade 1 2 A 1 dos dois agentes sejam dadas por U A (x1A ; x2A ) = min xA+x ; 2 e U B (x1B ; x2B ) = 2

n

x1B +x2B 1 ;2 2

o

n

o

. Caracterize as alocações e…cientes no sentido de Pareto para esta economia. Quais destas alocações são justas (isto é, além de e…cientes nenhum dos dois consumidores inveja a cesta de consumo do outro)? Dica: Novamente o jeito mais fácil de resolver a questão é usar apenas lógica. Se você prestar atenção na de…nição de e…ciência no sentido de Pareto o resultado …ca claro. (2 pontos) min

Solução.

35.2. SEGUNDA PROVA

293

(a) Primeiro observe que as alocações em que x1A = x 2A não podem ser e…cientes. De fato, se x 1A x2A =  > 0 , por exemplo, a alocação (x1A ; x2A ) e (x1B + ; x2B ) dá a mesma utilidade para o consumidor A e aumenta a utilidade do consumidor B . O mesmo raciocínio mostra que alocações em que x2A > x1A também não são e…cientes. Além disto, como o consumidor A tem um nível de saciedade igual a 1=2, também é claro que alocações em que x1A = x2A > 1=2 também não são e…cientes. Neste caso, a alocação (1=2; 1=2) e (x1B + x1A 1=2; x2B + x2A 1=2) dá a mesma utilidade para o consumidor A e aumenta a utilidade do consumidor B . As alocações candidatas a e…cientes são, portanto, aquelas em que x 1A = x2A 1=2. Nós podemos mostrar que, de fato, todas as

6











alocações deste tipo são e…cientes. Para ver isto, note que para aumentar a utilidade do consumidor B nós necessariamente temos que aumentar o seu consumo de pelo menos um dos bens, mas é claro que isto diminui a utilidade do consumidor A. Já para aumentarmos a utilidade de A , nós precisamos aumentar o seu consumo de ambos os bens. Isto claramente diminui a utilidade de B . Finalmente, neste tipo de alocação, a utilidade de um dos consumidores com a cesta de consumo do outro é exatamente a utilidade do outro. Portanto, a única forma de um não invejar o outro é se ambos tiverem a mesma utilidade. Isto mostra que a única alocação justa é aquela em que ambos os consumidores consomem uma quantidade igual a 1=2 de ambos os bens.

(b) Note que, dadas as funções de utilidade acima, a máxima utilidade que ambos os consumidores podem obter é 1=2. Note ainda que a alocação x1A = x2A = x1B = x2B = 1=2 dá utilidade exatamente igual a 1=2 para ambos os consumidores. Isto mostra que qualquer alocação em que um dos consumidores …que com utilidade menor do que 1=2 é ine…ciente, já que esta é dominada pela alocação [(1=2; 1=2); (1=2; 1=2)]. Por outro lado,

isto também mostra que qualquer alocação em que os dois consumidores …quem com utilidade igual a 1=2 é e…ciente, já que a utilidade de ambos os consumidores é máxima x +x A em tais alocações. Nós concluimos que todas as alocações em que xA +x = B 2 B = 12 2 são e…cientes. Como em tais alocações todos os consumidores estão obtendo suas utilidades máximas, é claro que ninguém inveja ninguém e, portanto, todas estas alocações são justas. k 1

35.2

2

1

2

Segunda Prova

Questão 35.2.1. Um investidor está pensando em comprar um campo de petróleo. A probabilidade de que existam 30 barris de petróleo no campo é igual a 1=2, a probabilidade de que existam 60 é 1=4 e a probabilidade de que existam 120 é também igual a 1=4. O dono

atual do campo de petróleo poderia obter um lucro de 1 real por barril. Ou seja, se o campo tivesse 40 barris o seu lucro seria de 40 reais. O investidor é um produtor mais e…ciente e conseguiria obter um lucro de 1,50 reais por barril caso este comprasse o campo. Ou seja, se o campo tivesse 40 barris ele obteria um lucro de 60 reais. O dono do campo fez uma pesquisa intensa e sabe exatamente quantos barris existem lá, mas o investidor não sabe. O investidor é neutro ao risco, ou seja, sua única preocupação é maximizar o seu lucro esperado. Seja p o preço pelo qual o campo de petróleo está sendo vendido. Além disto, suponha que se o dono do campo de petróleo fosse indiferente entre vender ou não vender o campo pelo preço p,


294

então ele venderia. Qual o máximo valor de p pelo qual um investidor inteiramente racional aceitaria comprar o campo? (2 pontos). Solução. Suponha que o investidor observe um preço p  120. Neste caso, o vendedor aceitaria vender o campo qualquer que fosse a quantidade de barris nele e, portanto, o número esperado de barris no campo é 12  30 + 14  60 + 14  120 = 60. O lucro esperado do investidor com um campo com valor esperado de barris igual a 60 é 60  1; 50 = 90. Como p  120, o investidor não aceita comprar o campo por nenhum valor p  120. Considere agora um preço p tal que 60  p < 120. Neste caso, o investidor sabe que o vendedor não estaria aceitando vender o campo se a quantidade de barris fosse 120 . Como anteriormente a chance do número de barris ser 30 era o dobro da chance do número de barris ser 60 , isto tem que continuar sendo verdade após o investidor concluir que a chance do campo ter 120 barris é nula. Isto é, o investidor agora acreditará que a chance do campo ter 30 barris é 23 e a chance deste ter 60 barris é 13 . O número esperado de barris no campo é, portanto, igual a 23  30 + 13  60 = 40. O lucro esperado do investidor com um campo com valor esperado de barris igual a 40 é 40  1; 5 = 60. Logo, com um preço p = 60, o investidor sabe que o campo pode ter 30 ou 60 barris e aceita comprá-lo. Este é o maior valor que o investidor aceita pagar pelo campo. k Questão 35.2.2. Suponha que duas lojas em um mesmo shopping vendam dois produtos

distintos. A competição entre elas se dá pela …xação de seus preços. Embora as lojas vendam produtos distintos, o preço cobrado por uma loja afeta as vendas da outra. Mais especi…camente, a curva de demanda para o bem 1 é dada por Q 1 = 1  p1 + 12 p2. Já a curva de demanda para o bem 2 é dada por Q2 = 1  p2 + 12 p1 . Por simplicidade, suponha que os custos …xos e marginais de ambas as lojas sejam nulos. (a) Calcule os preços que ambas as lojas cobrarão em equilíbrio (equilíbrio de Nash). (2

pontos) (b) Suponha agora que a loja 1 tome a sua decisão de preço antes da loja 2 e apenas após

observar o preço escolhido pela loja 1 é que a loja 2 escolha o seu preço. Calcule os preços que ambas as lojas cobrarão em equilíbrio (indução retroativa). (2 pontos) Solução. (a) Dado um preço p2 , o preço p1 que maximiza o lucro da loja 1 resolve o seguinte problema

de maximização:



max 1 p1



1 p1 + p2 p1 2


 2 p + 12 p = 0; 1

2

o que implica que a melhor resposta da loja 1 quando a loja 2 está jogando um preço p2 genérico é p1 = 12 + 14 p2 : O problema da loja 2 é absolutamente simétrico ao problema da loja 1, portanto, a melhor resposta da loja 2 contra um preço p1 genérico é p2 = 12 + 14 p1 .

35.2. SEGUNDA PROVA

295

Em equilíbrio, o preço p1 tem que ser uma melhor resposta ao preço p2 e o preço p2 tem que ser uma melhor resposta ao preço p1 . Ou seja, p1 e p2 têm que resolver o seguinte sistema: 1 1 p1 = + p2 2 4

e

1 1 p2 = + p1 : 2 4 Resolvendo o sistema acima nós obtemos p 1 = p2 = 23 . (b) Suponha que a …rma 1 esteja cobrando um preço p 1 . O problema da …rma 2 é igual ao da letra (a) e a melhor ação para a …rma 2 é cobrar um preço p 2 ( p1 ) = 12 + 14 p1 . Dado

tal comportamento da …rma 2, o problema da …rma 1 é



max 1 p1

1 p1 + 2



1 1 + p1 2 4



p1

O problema acima pode ser escrito como max p1

   5 4

7 p1 p1 8

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá p1 = 57 . Isto implica que . k p2 = 19 28 Questão 35.2.3. Um bar funciona dentro de uma danceteria. Em uma determinada noite,


 4Q

D

.

Já a curva de demanda inversa para a venda de cervejas no bar é dada por P B (QB ) = 4QD

Q

B;


entrarão na danceteria e quantas cervejas serão consumidas no bar em uma determinada noite. (2 pontos). (b) Suponha agora que o bar seja obrigado a repassar metade do seu lucro para a danceteria.

Responda quantas pessoas entrarão na danceteria e quantas cervejas serão consumidas no bar. Observação: Trate a questão como um jogo sequencial. Isto é, primeiro o dono da danceteria escolhe quantas pessoas entram na danceteria. Somente após saber quantas pessoas entraram na danceteria é que o dono do bar escolhe quantas cervejas vender. Nós estamos interessados na solução por indução retroativa do jogo. (2 pontos)


296 Solução.

(a) O problema do dono da danceteria é max (2400 QD

 4Q

D ) QD

A condição de primeira ordem do problema acima é 8QD = 2400;

o que implica que QD = 300. O problema do dono do bar em uma noite em que 300 pessoas entram na danceteria é max (1200 QB

Q

B ) QB

A condição de primeira ordem do problema acima é 2QB = 1200;

o que implica que Q B = 600: (b) Em uma noite em que Q D pessoas entram na danceteria o problema do dono do bar é 1 max (4QD QB 2

Q

B ) QB

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá que Q B = 2QD . O lucro do bar, antes de pagar à danceteria, é 4Q2D . O problema da danceteria agora pode ser escrito como max (2400 QD

 4Q

2 D ) QD + 2QD

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá Q D = 600. Isto implica que k QB = 1200. Questão 35.2.4 (Sorveteiros em uma Ilha). Considere o problema de dois sorveteiros que

têm que se posicionar em qualquer lugar de uma ilha que é um círculo perfeito. As pessoas estão distribuídas de maneira uniforme por toda a ilha e sempre compram do sorveteiro mais próximo. Quando os dois sorveteiros se posicionam no mesmo lugar, ambos vendem para exatamente metade das pessoas. Encontre todos os equilíbrios de Nash deste jogo. A sua explicação pode ser apenas com palavras e, talvez, desenhos, mas nela deve …car claro o uso do conceito de equilíbrio de Nash. Atenção! Este problema não é igual ao da praia circular. Os sorveteiros e as pessoas podem se posicionar em toda a área do círculo e não apenas em seu perímetro, como naquele outro problema. (2 pontos). Solução. Primeiro vamos argumentar que não pode haver um equilíbrio de Nash em que um dos sorveteiros venda para menos do que metade das pessoas. Isto ocorre porque o sorveteiro que estivesse vendendo para menos do que metade das pessoas poderia desviar para a mesma posição do outro sorveteiro e assim passar a vender para exatamente metade


297

das pessoas. Consideremos agora um per…l em que ambos estejam vendendo para exatamente metade das pessoas. Vamos mostrar que se um dos sorveteiros, por exemplo o sorveteiro 2, não estiver posicionado exatamente no centro da ilha, então o outro sorveteiro, no caso o sorveteiro 1, não estará jogando uma melhor resposta. Isto ocorre porque o sorveteiro 1 poderia desviar para exatamente o centro da praia. Para veri…car que nesta nova situação o sorveteiro 1 venderá para mais do que metade das pessoas, considere o semi-círculo formado pelo seguimento de reta perpendicular ao seguimento de reta que liga os dois sorveteiros (ver …gura 35.1). É fácil ver que todas as pessoas na metade do círculo oposta ao sorveteiro 2 agora estão mais próximas do sorveteiro 1 do que do sorveteiro 2. Além disto, é claro que existem pessoas na metade do círculo que inclui o sorveteiro 2 que estão mais próximas do sorveteiro 1 do que do sorveteiro 2. O único per…l restante é o em que ambos os sorveteiros se posicionam exatamente no centro da ilha. Tal per…l é de fato um equilíbrio de Nash. Em tal per…l ambos os sorveteiros vendem para exatamente metade das pessoas e nós acabamos de ver que qualquer um dos sorveteiros que desviar deste per…l venderá para menos do que k metade das pessoas.

Figura 35.1: Sorveteiros em uma Ilha

35.3

Prova Substitutiva

Questão 35.3.1. Uma economia é constituída por dois indivíduos cujas utilidades são uA (f; mA ) = 23 f + mA e uB (f; mB ) = 12 ln (1 f ) + mB , em que f é a poluição gerada pelos cigarros consumidos pelo indivíduo A (medida por uma escala f que varia entre 0 e 1 ) e mi representa a quantidade de dinheiro do indivíduo i. As riquezas iniciais de ambos os indivíduos são wA = wB = 10. Suponha que o indivíduo B tenha direito a todo o ar puro, mas que possa vender, ao preço unitário p, o direito de poluir parte do ar ao indivíduo A. Qual o preço p que vigorará em equilíbrio competitivo? Dica: Você pode ignorar a restrição 0 f 1 nos problemas dos dois indivíduos. (2,5 pontos)

p



 

Solução. Como o indivíduo B tem direito a todo o ar puro, nós podemos representar a situação como se o indivíduo B tivesse um estoque inicial wBf = 1 de ar puro e o indivíduo f A tivesse um estoque inicial wA = 0 de ar puro. Agora o problema vira um de equilíbrio


298

competitivo tradicional. Dado um preço p , o indivíduo A resolve o seguinte problema: max f;m A

2 3

sujeito a

p

f + mA

pf + mA = 10

Substituindo a restrição na função objetivo, nós podemos escrever o problema acima como max f

2 3

p

f + 10

 pf

A condição de primeira ordem para o problema acima é 1 1 = p; 3 f

p

o que implica que f =

1 9 p2

. Já o problema do indivíduo B é 1 max ln (1 f;m B 2

 f ) + m

B

sujeito a mB = 10 + pf

Substituindo a restrição na função objetivo do problema acima nós …camos com 1 max ln(1 f 2

 f ) + 10 + pf

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá f = 1

 21 p :

Para que o mercado esteja em equillíbrio é necessário que a quantidade f escolhida pelos dois indivíduos seja a mesma, ou seja 1 =1 9 p2

 21 p :

A solução positiva da equação acima é p = 23 .

k

Questão 35.3.2. Considere uma …rma que atue em um mercado em que a curva de demanda inversa seja dada por p (q ) = 24 4q . Suponha que a função custo da …rma seja dada por c (q ) = 2q 2 .



(a) Suponha primeiro que o mercado seja competitivo. Calcule o lucro da …rma neste caso.

Explique o seu raciocínio, só a resposta não vale nada. (0,8 pontos).


299

(b) Suponha agora que a …rma atue como monopolista. Calcule o lucro da …rma. (0,7

pontos). (c) Finalmente, suponha que a …rma atue como monopolista e pratique discriminação de

preços de primeiro grau. Calcule o lucro da …rma. (1 ponto) Solução. (a) Neste caso, a …rma age como tomadora de preços e resolve o seguinte problema: max pq q

2

 2q

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá q = p4 . Em equilíbrio, a quantidade ofertada pela …rma tem que ser a mesma quantidade utilizada para a determinação do preço na curva de demanda inversa o que implica que p satisfaz p = 24

 4  p4 ;

o que por sua vez implica que p = 12. Dado o que nós aprendemos acima, isto implica que q = 3. O lucro da …rma neste caso será  = 12  3  2  32 = 18: (b) O problema da …rma monopolista é max (24 q

2

 4q ) q  2q

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá 24

 8q  4q = 0;

o que implica que q = 2. Da curva de demanda inversa nós obtemos que p = 16. O lucro do monopolista neste caso é  = 16  2  2  22 = 24: (c) Quando o monopolista pode praticar discriminação de preços de primeiro grau, ele vende

cada unidade do bem para o consumidor que está disposto a pagar o preço máximo por ela e ele continua vendendo até que o preço da última unidade vendida seja exatamente igual ao seu custo marginal. Ou seja, a quantidade vendida por um monopolista que pratica discriminação de preços de primeiro grau resolve 24

 4q = 4q;

o que implica que q = 3. Como cada unidade é vendida pelo máximo preço que um consumidor está disposto a pagar pela unidade, a receita do monopolista neste caso é 3

Z 0

24

 4qdq = 54:

Como o custo do monopolista é dado por c (3) = 2  32 = 18, o seu lucro é  = 36:

k


300

Questão 35.3.3 (Quantidade ótima de seguro). Considere um agente com riqueza inicial igual a 1600 reais. Com probabilidade 1=3 um evento que implica em uma perda de 1100

reais para o agente vai ocorrer. O agente tem a oportunidade de fazer um seguro para receber X reais caso o evento que desencadeie a perda dos 1100 reais ocorra. Suponha que o preço pago por cada real segurado seja 1=2 real. Encontre a quantidade de seguro que um agente maximizador de utilidade esperada com função de Bernoulli dada por u(x) = ln(x) contrataria. (2,5 pontos) Solução. A utilidade esperada do agente quando este contrata um seguro de X reais é



2 ln 1600 3









1 1 1 X + ln 500 + X : 2 3 2


 12 23 1600 1

+ 1 X 2

1 1 1 = 0: 2 3 500 + 12 X

Resolvendo a equação acima nós obtemos X = 400:

k

Questão 35.3.4 (Ilha com buraco). Considere o problema de dois sorveteiros que têm

que se posicionar em uma ilha que é um círculo perfeito. As pessoas estão distribuídas de maneira uniforme por toda a ilha e sempre compram do sorveteiro mais próximo. Quando os dois sorveteiros se posicionam no mesmo lugar, ambos vendem para exatamente metade das pessoas. A diferença agora é que existe uma região de formato circular, simetricamente posicionada no centro da ilha, em que os sorveteiros são proibidos de se posicionarem (ver …gura 35.2). Isto é, dentro desta região existem pessoas e as pessoas podem atravessar esta

Figura 35.2: Região proibida para os sorveteiros. região para comprar sorvete, mas não é permitido que os sorveteiros se posicionem dentro desta região. Encontre todos os equilíbrios de Nash deste jogo. A sua explicação pode ser apenas com palavras e, talvez, desenhos, mas nela deve …car claro o uso do conceito de equilíbrio de Nash. (2,5 pontos). Solução. Primeiro, considere qualquer per…l em que os sorveteiros estejam em posições diferentes e trace a reta perpendicular ao segmento de reta que liga os dois sorveteiros e


301

Figura 35.3: Pessoas mais próximas de cada sorveteiro que passa exatamente no meio deste segmento de reta (ver …gura 35.3). Um argumento de trigonometria básico mostra que todas as pessoas que estão do lado da reta em que o sorveteiro 1 está, estão mais próximas deste sorveteiro do que do sorveteiro 2. Similarmente, todas as pessoas que estão do lado da reta em que o sorveteiro 2 está, estão mais próximas deste sorveteiro do que do sorveteiro 1. Note ainda que toda vez que um dos sorveteiros estiver mais próximo do centro do círculo do que o outro, a reta que passa no meio do segmento de reta entre os dois sorveteiros divide o círculo em duas partes desiguais. Isto mostra que em qualquer per…l em que um dos sorveteiros esteja mais distante do centro da ilha do que o outro, o sorveteiro mais distante do centro estará vendendo para menos do que metade das pessoas. Logo, tais per…s não podem ser equilíbrios de Nash, já que neste caso o sorveteiro mais distante do centro poderia desviar para a mesma posição do outro sorveteiro e passar a vender para metade das pessoas. Considere agora per…s em que os dois sorveteiros estão à mesma distância do centro da ilha, mas não estão no limite da região em que eles são proibidos de …carem. Em tais per…s ambos estão vendendo para exatamente metade das pessoas. No entanto, qualquer um deles poderia desviar para uma posição mais próxima ao centro e passar a vender para mais da metade das pessoas. Isto mostra que tais per…s também não são equilíbrio de Nash. Resta considerarmos per…s em que os dois sorveteiros se posicionem exatamente no limite da região de proibição. Neste caso, ambos estão vendendo para exatamente metade das pessoas. Qualquer sorveteiro que desviar necessariamente terá que desviar para uma posição pelo menos tão distante do centro quanto a sua posição atual. Nós já vimos que tais desvios ou farão com que o sorveteiro continue vendendo para a mesma quantidade de pessoas (no caso em que ele desvie para outra posição tão distante do centro quanto a posição atual), ou farão com que o sorveteiro venda para menos pessoas (no caso em que ele desvie para uma posição mais distante do centro do que a posição atual). Isto mostra que os per…s em que ambos os sorveteiros se posicionam no limite da região de proibição são os únicos equilíbrios de Nash. k

302



Primeira Prova




Calcule o lucro da …rma nas seguintes situações:

 2y:

(a) A …rma atua em um mercado competitivo. (1 ponto) (b) A …rma atua como monopolista. (1 ponto) (c) A …rma atua como monopolista e pratica discriminação de preços de primeiro grau. (1

ponto) Solução. (a) Em um mercado competitivo, a …rma comporta-se como tomadora de preços. Neste

caso, o problema da …rma pode ser escrito como max py y

y

2

A condição de primeira ordem do problema acima é simplesmente p = 2y:

Tal valor de p tem que concordar com o valor proveniente da curva de demanda inversa e, portanto, nós …camos com a seguinte equação: 2y = 120

303

 2y:


304

Resolvendo a equação acima para y nós obtemos y = 30. Consequentemente, o preço neste caso será p(30) = 120  2  30 = 60. O lucro da …rma será dado por  = p(30) 30 c(30) = 60 30 900 = 900:

   

(b) Agora o problema da …rma é: max (120

 2y) y  y

2


 6y = 0:

O que nos dá um nível de produção y = 20. Substituindo tal valor na curva de demanda inversa nós obtemos p(20) = 120  2  20 = 80. O lucro da …rma será dado por  = p(20) 20 c(20) = 80 20 400 = 1200:

   

(c) Em discriminação de preços de primeiro grau a …rma produz até o ponto em que o custo marginal é igual ao preço proveniente da curva de demanda inversa. Ou seja, y satisfaz 2y = 120

 2y;

o que implica que y = 30, como no caso de equilíbrio competitivo. A diferença é que a …rma vende cada unidade pelo preço máximo que alguém está disposto a pagar por ela. Consequentemente, a receita da …rma é dada pela área cinza da …gura 36.1. Nós vemos, então, que a receita da …rma é dada por r(30) = (120260)30 + 60  30 = 2700. Logo, o lucro da …rma é (30) = r(30)  c(30) = 2700  900 = 1800: k Questão 36.1.2. Suponha que Robinson Crusoé produza e consuma peixe (F) e côco (C).

Suponha que durante um certo período ele tenha decidido trabalhar 80 horas e que ele seja indiferente entre gastar este tempo catando côcos ou pescando. A função de produção de peixes de Robinson é dada por F =

e a de côcos é C =

p p

lF

lC :

em que lF e lC são o número de horas que Robinson passa pescando e catando côcos, respectivamente. Consequentemente, lC + lF = 80:


4

U (F; C ) = F 5 C 5 :




305

Figura 36.1: Receita do monopolista sob discriminação de primeiro grau (a) Se Robinson vive sozinho e não pode negociar com ninguém, quantas horas ele trabalha

catando côcos e quantas horas ele trabalha pescando? Quantos côcos e peixes ele produz? (Dica: Conhecendo a função demanda do consumidor Cobb-Douglas você pode economizar muitas contas. Além disto, lembre-se que maximizar f (x; y) ou maximizar (f (x; y))2 sempre dá a mesma resposta.) (1,5 pontos) (b) Suponha que após Robinson já ter produzido as quantidades F e C acima, ele encontre

Sexta-feira, que possui uma dotação de 4 peixes e 2 côcos. A função de utilidade de Sexta-feira é dada por 1

U Sexta (F; C ) = (F C ) 2 :



Considerando Robinson e Sexta-feira como tomadores de preços nos mercados de peixes e de côcos, encontre o único equilíbrio competitivo da economia acima. Quantos peixes e quantos côcos Robinson consome neste equilíbrio? Quantos peixes e quantos côcos Sexta-feira consome? (1,5 pontos) Solução. (a) Neste caso, o problema de Robinson pode ser escrito como max lF ;lC

sujeito a

1 5

p  p  lF

lC

4 5

lF + lC = 80:

Conforme explicado na dica, maximizar a função objetivo é o mesmo que maximizar ela elevada ao quadrado. Ou seja, é o mesmo que maximizar a função (lF ) (lC ) que é simplesmente uma função Cobb-Douglas. Observe, também, que a restrição do problema pode ser interpretada como uma restrição orçamentária em que os dois preços 1 5

4 5


306

são iguais a 1. Dado o que discutimos acima, nós sabemos que a solução do problema acima será l F = 15  80 = 16 e l C = 45  80 = 64. Dadas as tecnologias de produção, isto implica que Robinson produz 4 peixes e 8 côcos. (b) Como somente preços relativos podem ser determinados em equilíbrio, façamos o preço do peixe como numerário. O nosso trabalho agora é encontrar o preço p do côco que

equilibre os mercados. O problema de Robinson é max F R

F R ;C R

sujeito a

1 5

C R

  

4 5

F R + p C R = 4 + 8 p:



Nós sabemos que a solução do problema acima é F R = 15 (4 + 8 p) e C R = problema de Sexta-feira é



S

max F

F S ;C S

sujeito a

S

 C



4 4+8 p 5 p

. Já o

1 2

F S + p C S = 4 + 2 p:



Nós sabemos que a solução do problema acima é F S = de equilíbrio de mercado para o bem F é

4+2 p 2

e C S =

4+2 p 2 p

. A condição

4 + 8 p 4 + 2 p + = 8; 5 2

o que implica que p = 2. Com tal preço as quantidades consumidas são F R = 4, k C R = 8, F S = 4 e C S = 2 . Questão 36.1.3. Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as funções de 1 2 utilidade dos consumidores sejam dadas por U A (x1A ; x2A ) = (x1A ) 3 (x2A ) 3 e U B (x1B ; x2B ) = 2 x1B + ln x2B . Suponha que as dotações iniciais dos consumidores sejam (wA1 ; wA ) = (1; 0) e 1 2 (wB ; wB ) = (0; 1). (a) Encontre o único equilíbrio competitivo desta economia. Isto é, encontre o vetor de

preços e a alocação que constituem um equilíbrio competitivo para esta economia. (1,5 pontos) (b) Suponha agora que o nosso objetivo seja dividir uma unidade do bem 1 e uma unidade

do bem 2 entre os dois consumidores na letra (a). Encontre uma divisão justa neste caso. (1,5 pontos) Solução. (a) Como somente preços relativos são determinados em equilíbrio, faça p 1 = 1 e p 2 = p. O problema do consumidor A é 1 13 2 23 max (x ) (x A A) 1 2 xA ;xA


307



1 3

e x 2A =

21 3 p



xB ;xB



2 B + ln

x2B

 px



o que implica que Isto implica que x 2A = 25 , x 1B =

 1 = 1;

5 p = : 3 2 3

e x 2B = 35 .

(b) Nós sabemos que para encontrar uma divisão justa tudo o que temos que fazer é

encontrar um equilíbrio competitivo para a economia acima partindo de uma dotação inicial que divide os bens igualmente entre os dois consumidores. Fazendo o preço do bem 1 como numerário, o problema do consumidor A agora é 1

2

max (x1A ) 3 (x2A ) 3 1 2

xA ;xA

sujeito a 1 p x1A + px2A = + 2 2

A solução do problema acima é x1A = consumidor B agora é

1 3

p 1 2 + 2

 

e x2A =


xB ;xB

sujeito a

1 p x1B + px2B = + 2 2

2 3 p

p 1 2 + 2

 

. O problema do


308

Isolando x1B na restrição e substituindo na função objetivo o problema simpli…ca-se para 1 p max + 2 x2B 2

2 B + ln

 px

x2B

Da condição de primeira ordem do problema acima nós aprendemos que x2B = p1 , o que implica que x 1B = p2  12 . Equilibrando o mercado para o bem 1 , nós obtemos 1 3

  1 p + 2 2

+

p 2

 12 = 1;

o que implica que p = 2. Nós encontramos a seguinte alocação justa: x1A = 12 , x 2A = 12 , k x1B = 12 e x 2B = 12 . Questão 36.1.4. Joãozinho tem 16 reais. A sua função de Bernoulli como função de sua riqueza w é u(w) = w. Nós sabemos que Joãoazinho apostou com um amigo que o time A ganharia do time B no jogo de futebol do próximo domingo. É um jogo decisivo, com disputa de pênaltis, portanto apenas dois resultados são possíveis: vitória do time A ou do time B . Joãozinho conseguiu convencer o amigo que ele estava em desvantagem e, portanto, se o time A ganhar o amigo pagará 9 reais para Joãozinho, já se o time B ganhar Joãozinho

p

pagará apenas 7 reais para o amigo. Qual a mínima probabilidade que nós podemos concluir que Joãozinho atribui à vitória do time A. (3 pontos) Solução. A riqueza futura de Joãozinho pode ser tratada como uma loteria. Quando Joãozinho não faz a aposta, esta corresponde a uma loteria que paga 16 reais com probabilidade 1. Quando Joãozinho faz a aposta, esta corresponde a uma loteria que paga 25 reais se o time utilidade A ganhar, e paga 9 reais se o time B ganhar. Joãozinho só fará a aposta se a p esperada dele for maior ou igual a utilidade esperada de não fazer a aposta, que é 16 = 4. Seja  a probabilidade do time A ganhar. Para que fazer a aposta seja vantajoso para Joãozinho  tem que satisfazer

p

 25 + (1

p

 ) 9  4;

o que implica que   1=2. Ou seja, a mínima probabilidade que Joãozinho tem que atribuir à vitória do time A para que a aposta faça sentido é 1=2. k

36.2

Segunda Prova

Questão 36.2.1. Duas …rmas têm que decidir simultaneamente o quanto investir em pesquisa

e desenvolvimento, na tentativa de descobrir um novo produto. Elas escolhem intensidades r1 ; r2  0 para colocar em pesquisa e o custo para colocar intensidade ri em pesquisa é C (ri ) = r i . A probabilidade da …rma i ser bem sucedida na obtenção do novo produto é p(ri ) =

ri . 1 + ri

Se uma das …rmas consegue obter o novo produto e a outra não, o retorno da …rma que obteve o novo produto é de 8 unidades monetárias. Se as duas …rmas obtêm o novo produto, elas

36.2. SEGUNDA PROVA

309

entram em uma competição a la Bertrand e, consequentemente, ambas …cam com retorno zero. Quando uma das …rmas não consegue obter o novo produto, o seu retorno também é zero. Ambas as …rmas são maximizadoras de lucro esperado (ou seja, retorno esperado menos o custo do investimento em pesquisa). Encontre o único equilíbrio de Nash do jogo e diga qual a probabilidade do novo produto ser desenvolvido (seja por uma única …rma ou pelas duas ao mesmo tempo). Dica: Dada a simetria do problema, tente um equilíbrio em que r 1 = r 2 . (3 pontos) Solução. Quando a …rma 2 investe r2 em pesquisa, o problema de maximização de lucro esperado da …rma 1 é r1 max r1 1 + r1

  1

r2 1 + r2

8

r1 :

A condição de primeira ordem do problema acima é 1 + r1 r1 (1 + r1 )2



  1

r2 1 + r2

8 = 1;

que é equivalente a (1 + r1 )2 (1 + r2 ) = 8:

Similarmente, do problema de maximização de lucro esperado da …rma 2 nós obtemos a condição (1 + r2 )2 (1 + r1 ) = 8:

Um equilíbrio de Nash é um par (r1 ; r2 ) que satisfaz as duas equações acima. Seguindo a dica, vamos tentar uma solução em que r 1 = r 2 = r . As equações acima viram (1 + r)3 = 8;

o que implica que r1 = r2 = 1 resolve o sistema acima e, portanto, é o único equilíbrio de Nash do jogo. A chance do produto ser desenvolvido é dada por 1 1 P (1 desenvolver) + P (2 desenvolver e 1 não) = + 1+1 1+1 3 = : 4

Isto completa a solução da questão.

  1

1 1+1

k

Questão 36.2.2. Uma …rma monopolista e um sindicato negociam o salário. A função lucro

da …rma é dada por  = 16L

2

 L  wL;

em que w é o salário pago e L é a quantidade de mão de obra contratada pela …rma. A função ganho do sindicato é dada por U = wL:

A negociação se dá da seguinte forma: primeiramente o sindicato escolhe o salário w . Apenas após observar o salário w é que a …rma escolhe a quantidade de mão de obra L . Resolva tal jogo por indução retroativa e encontre as quantidades L e w de equilíbrio. (3 pontos)


310

Solução. Vamos primeiro identi…car qual a escolha ótima da …rma para um salário arbitrário w. O problema da …rma é dado por max 16L L

2

 L  wL:

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá que L = 8  w=2. Usando isto na solução por indução retroativa do jogo, nós podemos escrever o problema do sindicato como w : 2

 

max w 8 w

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá que w = 8. Substituindo isto na estratégia que encontramos para …rma, nós obtemos que em equilíbrio L = 8  8=2 = 4. k Questão 36.2.3. Considere o modelo de perigo moral que estudamos nas notas de aula. Ou

seja, suponha que uma …rma queira contratar um gerente para a realização de um projeto. O retorno do projeto pode ser alto, H = 3 ou baixo, L = 1. O gerente tem a opção de se esforçar ou não. Quando o gerente se esforça a probabilidade do retorno do projeto ser alto é p e = 2=3, quando ele não se esforça a probabilidade do retorno ser alto é apenas p n = 1=3. Quando o gerente se esforça ele incorre em um custo c e = 1. A …rma oferecerá um contrato de trabalho, (wH ; wL ) ; que estipula o salário do gerente no caso de um retorno alto e de um retorno baixo. O objetivo da …rma é maximizar o seu lucro esperado. Isto é, maximizar pi (H  wH )+(1  pi ) (L  wL ) em que i = e ou n , dependendo de o gerente se esforçar ou não. Para completar, suponha que o gerente seja p estritamente avesso ao risco com função de utilidade em relação a salário dada por u(w) p = w. Ou seja, quando ele se esforça a sua p e utilidade esperada é dada por U (wH ; wL ) = p ep wH + (1  pe) p wL  ce e no caso em que ele não se esforça é dada por U n (wH ; wL ) = pn wH + (1  pn ) wL . (a) Suponha primeiro que o esforço seja observável. Escreva e resolva os problemas da …rma

quando ela exige que o gerente se esforce e quando ela não exige. Calcule o lucro obtido pela …rma nos dois casos e descubra qual o melhor contrato para a …rma neste caso. (Dica: Podem aparecer salários negativos ou nulos, não tem problema) (1,5 pontos). (b) Suponha agora que o esforço não seja observável. Qual o melhor contrato para a …rma

neste caso? (Dica: Você não precisa fazer nenhuma conta. Mas explique bem a lógica da sua solução) (1,5 pontos) Solução. (a) O problema da …rma pode ser escrito de forma genérica como max pi ( H

 w

wH ;wL

sujeito a

p

pi wH + (1

H ) + (1

 p )(  w i

L

 p )p w  c  0 i

L

L)

i

em que p i = pe no caso em que a …rma exige que o gerente se esforce e p i = pn quando a …rma não exige. Similarmente, ci = 1 no caso em que a …rma exige que o gerente

36.2. SEGUNDA PROVA

311

se esforce e ci = 0 quando não. O argumento tradicional nos garante que a restrição acima tem que ser satisfeita com igualdade. Conforme discutido na prova, a escolha da p função de utilidade acima não foi muito apropriada, já que w não está de…nida para valores negativos. De qualquer forma, seguindo o raciocínio nas notas de aula, nós sabemos que a solução do problema da …rma quando o gerente é estritamente avesso ao risco, envolve a …rma p absorvendo todo o risco da situação. Isto é, será um salário constante w que satisfaz w = c i . Isto implica que no caso em que a …rma não exige esforço o contrato ótimo será wH = wL = 0 e no caso em que a …rma exige esforço será wH = w L = 1. O lucro da …rma no caso que ela não exige esforço é pn H + (1

 p ) n

L

1 2 3+ 1 3 3 5 = 3

=

e o lucro dela no caso em que ela exige esforço é pe (H

 1) + (1  p )(  1) e

L

2 1 2+ 0 3 3 4 = : 3 =

Ou seja, o melhor contrato para a …rma é aquele em que ela não exige que o gerente se esforce. (b) Como o melhor contrato no caso em que o esforço é observável é aquele em que a …rma

não exige que o gerente se esforce, nós sabemos que este também será o melhor contrato no caso em que o esforço não é observável. Observe que tal contrato dá ao gerente uma utilidade não negativa, portanto ele o aceita. Além disto, como o salário em tal contrato é constante, é claro que ele vai aceitá-lo e não vai se esforçar. Finalmente, como o problema da …rma no caso de esforço não observável tem mais restrições, nós sabemos que o seu lucro não pode ser maior no caso de esforço não observável que no caso de esforço observável. Isto implica que o contrato ótimo no caso de não exigir esforço encontrado na letra (a) de fato é também o melhor contrato no caso de esforço não observável. k Questão 36.2.4. Suponha que em um mercado de carros usados existam dois tipos de carros:


comprar o carro? Considere que quando indiferentes entre vender e não vender um carro os potenciais vendedores o vendem. (1,5 pontos)


312

(b) Suponha agora que exista ainda um outro tipo de carro, o de qualidade baixíssima, com valor, para os vendedores, igual a q b = 24. Considere que 1=3 dos carros tenham qualidade q b , 1=3 tenham qualidade q l e 1=3 tenham qualidade q h . Qual o máximo valor p que um potencial comprador aceitará pagar por um carro usado agora. (1,5



de carros de qualidade q l como os donos de carros de qualidade q h estão vendendo os seus carros. Portanto, a qualidade esperada do carro sendo vendido é 12 q l + 12 q h = 90. O máximo valor que um potencial comprador aceita pagar por um carro de qualidade esperada igual a 90 é 90  32 = 135. Como 135 < 140, um potencial comprador não aceita comprar o carro por um preço maior ou igual a 140. Suponha agora que 40  p < 140. Neste caso, os potenciais compradores sabem que necessariamente o carro é de qualidade baixa. Portanto, o máximo valor que o potencial comprador aceita pagar por tal carro é 40  32 = 60. Como 40  60 < 140 , 60 é o máximo valor que um potencial comprador aceitará pagar pelo carro. (b) Suponha primeiro que p

 140. Neste caso, os potenciais compradores sabem que carros

de todas as qualidades estão a venda e a qualidade esperada do carro sendo vendido é 1 q + 13 q l + 13 q h = 68. O máximo valor que um potencial comprador aceita pagar por 3 b um carro de qualidade esperada igual a 68 é 68  32 = 102. Portanto, um potencial comprador nunca comprará um carro com preço maior ou igual a 140. Testemos um preço p tal que 40  p < 140. Neste caso, os potenciais compradores sabem que apenas carros de qualidade q b e q l estão a venda. A qualidade esperada do carro sendo vendido é 12 q b + 12 q l = 32. O máximo valor que um potencial comprador aceita pagar por um carro de qualidade esperada igual a 32 é 32  32 = 48 . Como 40  48 < 140 , o máximo valor que um potencial comprador aceitará pagar pelo carro neste caso é 48 . k

36.3

Prova Substitutiva

Questão 36.3.1. Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as funções de 1 1 utilidade dos consumidores sejam dadas por U A (x1A ; x2A ) = (x1A ) 2 (x2A ) 2 e U B (x1B ; x2B ) = 2 x1B + ln x2B . Suponha que as dotações iniciais dos consumidores sejam (wA1 ; wA ) = (1; 0) e 1 2 (wB ; wB ) = (0; 1). (a) Encontre o único equilíbrio competitivo desta economia. Isto é, encontre o vetor de

preços e a alocação que constituem um equilíbrio competitivo para esta economia. (1,5 pontos) (b) É possível mostrar que a alocação (x1A ; x2A ) =

e (x1B ; x2B ) = 13 ; 35 é e…ciente no sentido de Pareto. Como a economia acima satisfaz as condições do segundo teorema do bem estar nós sabemos que com a correta redistribuição das dotações iniciais nós podemos fazer com que tal alocação seja parte de um equilíbrio competitivo. Ou seja, 2 2 3; 5

 

 


313

existem 0  t1 ; t2  1 tais que quando (wA1 ; wA2 ) = (1  t1 ; t2 ) e (wB1 ; wB2 ) = (t1 ; 1  t2 ) a alocação resultante do equilíbrio competitivo da economia é exatamente (x1A ; x2A ) = 2 2 e (x1B ; x2B ) = 13 ; 35 . Na verdade, existe um vetor de tranferências (t1 ; t2 ) com 3; 5 t1 = 1=2 que gera a alocação acima em equilíbrio. Encontre o vetor de preços e a transferência t2 relacionados a tal equilíbrio. (1,5 pontos)

 

 




1 2

e x 2A =

1 2 p



xB ;xB



2 B + ln

 px

x2B



o que implica que Isto implica que x 2A = 13 , x 1B =

1 2

 1 = 1;

3 p = : 2 e x 2B = 23 .


xB ;xB

sujeito a

1 x1B + px2B = + p(1 2

t ) 2


314


2 B + ln

 t )  px 2

x2B

Da condição de primeira ordem do problema acima nos aprendemos que x2B = p1 . Como sabemos que x2B = 35 , nós aprendemos que p = 53 . Substituindo tais valores, juntamente com x 1B = 13 na restrição do problema acima nós obtemos que t 2 = 12 : k Questão 36.3.2. Um apiário e uma fazenda produtora de maçãs estão localizados lado a lado. Seja “ a” a quantidade de maçãs produzidas e “ h” a quantidade de mel. Os custos de

produção do apiário e da fazenda são, respectivamente, ch (h; a) = 3h2

e

a2 c (a; h) = 2 a

 ah

 ah:

Ou seja, a produção de mel gera uma externalidade positiva para a produção de maçãs e a produção de maçãs gera uma externalidade positiva para a produção de mel. O preço do quilo de mel é 6 reais e cada quilo de maçã é vendido por 4 reais. (a) Calcule as quantidades de mel e maçãs produzidas em equilíbrio. (1,5 pontos) (b) Suponha que o fazendeiro compre o apiário. Quanto ele produzirá de mel e maçãs? (1,5

pontos) Solução. (a) O problema do apiário pode ser escrito como max 6h h



3h2





 ah

A condição de primeira ordem do problema acima é 6h = 6 + a:


 

a2 2



 ah

A condição de primeira ordem do problema acima é a = 4 + h:

A solução do sistema linear formado pelas condições de primeira ordem dos dois problemas acima nos dá h = 2 e a = 6:


315

(b) O novo problema de maximização do fazendeiro é max 6h h;a



3h2



 ah

+ 4a

 

a2 2



 ah

As condições de primeira ordem do problema acima são h : 6h = 6 + 2a a : a = 4 + 2h


k

Questão 36.3.3. Duas …rmas têm que decidir simultaneamente o quanto investir em pesquisa

e desenvolvimento, na tentativa de descobrir um novo produto. Elas escolhem intensidades r1 ; r2  0 para colocar em pesquisa e o custo para colocar intensidade ri em pesquisa é C (ri ) = 2ri . A probabilidade da …rma i ser bem sucedida na obtenção do novo produto é p(ri ) =

ri . 1 + ri

Se uma das …rmas consegue obter o novo produto e a outra não, o retorno da …rma que obteve o novo produto é de 54 unidades monetárias. Se as duas …rmas obtêm o novo produto, elas entram em uma competição a la Bertrand e, consequentemente, ambas …cam com retorno zero. Quando uma das …rmas não consegue obter o novo produto, o seu retorno também é zero. Ambas as …rmas são maximizadoras de lucro esperado (ou seja, retorno esperado menos o custo do investimento em pesquisa). Encontre o único equilíbrio de Nash do jogo e diga qual a probabilidade do novo produto ser desenvolvido (seja por uma única …rma ou pelas duas ao mesmo tempo). Dica: Dada a simetria do problema, tente um equilíbrio em que r 1 = r 2 . (3 pontos) Solução. Quando a …rma 2 investe r2 em pesquisa, o problema de maximização de lucro esperado da …rma 1 é r1 max r1 1 + r1

  1

r2 1 + r2

8

r1 :

A condição de primeira ordem do problema acima é 1 + r1 r1 (1 + r1 )2



  1

r2 1 + r2

8 = 1;

que é equivalente a (1 + r1 )2 (1 + r2 ) = 8:

Similarmente, do problema de maximização de lucro esperado da …rma 2 nós obtemos a condição (1 + r2 )2 (1 + r1 ) = 8:

Um equilíbrio de Nash é um par (r1 ; r2 ) que satisfaz as duas equações acima. Seguindo a dica, vamos tentar uma solução em que r 1 = r 2 = r . As equações acima viram (1 + r)3 = 8;


316

o que implica que r1 = r2 = 1 resolve o sistema acima e, portanto, é o único equilíbrio de Nash do jogo. A chance do produto ser desenvolvido é dada por 1 1 P (1 desenvolver) + P (2 desenvolver e 1 não) = + 1+1 1+1 3 = : 4

Isto completa a solução da questão.

  1

1 1+1

k

Questão 36.3.4. Suponha que a economia tenha dois tipos de consumidores e que a …rma


e a dos consumidores do tipo B é dada por q B ( pB ) = 16

 p

A

 p2 : B


preços é permitida. Calcule o excedente agregado dos consumidores neste caso. Isto é, a soma dos excedentes dos dois tipos de consumidores (Dica: Para fazer a questão você primeiro vai ter que derivar as curvas de demanda inversa para os dois tipos de consumidores) (1,5 pontos). (b) Suponha agora que a prática de discriminação de preços seja proibida por lei. Encontre o

preço cobrado pela …rma neste caso. Também neste caso, calcule o excedente agregado dos consumidores (Dica: Para fazer esta questão você terá que derivar a curva de demanda agregada para este caso. Esta curva terá 3 regiões. Para preços abaixo de um certo valor, os dois tipos de consumidores consomem. Para preços entre o valor previamente mencionado e um valor mais alto apenas um tipo de consumidor consome. Para preços acima do valor mais alto citado anteriormente, nenhum consumidor consome. De posse da curva de demanda agregada, você pode agora derivar a curva de demanda inversa. Esta também será dividida em regiões. A solução do problema da …rma se dará na região em que esta resolve atender aos dois tipos de consumidores. Portanto, na hora de resolver o problema da …rma você pode assumir que a curva de demanda inversa da economia corresponde à parte da curva da demanda inversa em que a …rma atende aos dois consumidores. Porém, para calcular o excedente dos consumidores você precisará olhar para a curva de demanda inversa completa, considerando todas as suas regiões) (1,5 pontos). Solução.


317

(a) Conforme a dica, vamos primeiro encontrar as curvas de demanda inversa para os dois tipos de consumidores. Para tanto, tudo que temos que fazer é isolar p nas suas funções

demanda, o que nos dá as seguintes curvas de demanda inversa: pA (q A ) = 20

 q

A

e pB (q B ) = 32

 2q : B

O custo marginal de produção do monopolista é constante e igual a 4. Como o monopolista pode praticar discriminação de preços, suas escolhas ótimas igualarão a sua receita marginal com cada tipo de consumidor ao seu custo marginal. Ou seja, resolverão as seguintes equações: 20

 2q = 4

32

 4q

A

e B

= 4:


q A = 8

e q B = 7:

As quantidades acima implicam que os preços cobrados pelo monopolista serão pA = 12 e pB = 18. O excedente dos consumidores do tipo A será dado pela área escura da …gura abaixo.



318

Figura 36.3: Excedente dos consumidores do tipo B. Ou seja, o excedente dos consumidores do tipo B é 49. O excedente agregado, então, é 32 + 49 = 81: (b) A curva de demanda agregada agora é dada por q ( p) =

8< :

36 32 p , se p 20; 16 p2 , se 20 32:









Tal curva de demanda agregada está associada com a seguinte curva de demanda inversa: 32  2q , se q  6; p (q ) = 24  23 q , se q > 6: Seguindo a dica, nós sabemos que a solução do problema do monopolista se dará na região em que este atende aos dois tipos de consumidores. Ou seja, na região em que a curva de demanda inversa da economia é



p (q ) = 24

 23 q:


 43 q = 4:

Ou seja, a quantidade produzida pela …rma será q = 15. Isto dá um preço p = 14. Finalmente, o excedente dos consumidores será dado pela área escura da …gura abaixo:


319

Figura 36.4: Excedente dos consumidores sem discriminação de preços. Ou seja, o excedente dos consumidores é A + B + C = 36 + 36 + 27 = 99:

k

320



Primeira Prova

Questão 37.1.1. Questão 3 da prova substitutiva do primeiro semestre de 2009. Questão 37.1.2. Questão 2 da primeira prova do segundo semestre de 2010. Questão 37.1.3. Considere um agente com riqueza inicial igual a 1600 reais. Com probabilidade 1=3 um evento que implica em uma perda de 1100 reais para o agente vai ocorrer. O agente tem a oportunidade de fazer um seguro para receber X reais caso o evento que desencadeie a perda dos 1100 reais ocorra. Suponha que o preço pago por cada real segurado seja 1=2 real. (a) Encontre a quantidade de seguro que um agente maximizador de utilidade esperada com função de Bernoulli dada por u(x) = ln(x) contrataria. (2,5 pontos) (b) Qual o preço que faz com que o agente contrate um seguro total? Explique muito bem a

sua resposta. (1 ponto) Solução. (a) A loteria que representa a situação é:



2 1600 3



 

1 X 2

1 1600 3

 1100 

 

1 2 X + X = 1600 2 3



 

1 X 2



1 1 500 + X : 3 2

A utilidade esperada do agente quando este contrata um seguro de X reais é



2 ln 1600 3









1 1 1 X + ln 500 + X : 2 3 2


 12 23 1600 1

1 1 1 = 0: 1 1 2 3 X 500 + X 2 2 +

Resolvendo a equação acima nós obtemos X = 400: 321


322

(b) Sabemos que o preço que faz com que o agente contrate um seguro total é o chamado

preço justo. Isto é, aquele em que o preço por real segurado é exatamente igual ao valor esperado daquele real segurado. Ou seja, o preço que faz com que o agente contrate k um seguro total é 1  13 = 13 .

37.2

Segunda Prova

Questão 37.2.1. Maria perdeu uma carteira cujo valor monetário para ela é de 10 reais e

vai oferecer uma recompensa para quem devolvê-la. Joana, a pessoa que encontrou a carteira, obtém uma utilidade igual a U se resolver não devolver a carteira encontrada. Neste valor já estão incluidos, por exemplo, os custos psicológicos da culpa por não devolver um objeto que pertence a outra pessoa. Quando Joana devolve a carteira recebendo uma recompensa de x reais por isto, sua utilidade é de x  18 x2 . A interpreteção é que  18 x2 é o custo psicológico de Joana por estar aceitando receber uma recompensa para fazer a coisa certa. Modele a situação como um jogo sequencial em que Maria primeiro oferece o valor da recompensa e, após observar tal valor, Joana resolve se devolve ou não a carteira, aceitando exatamente a recompensa oferecida por Maria. (a) Suponha que U := 32 . Encontre uma solução por indução retroativa do jogo em que Joana

devolve a carteira. (Dica: Você tem que se preocupar com os valores da recompensa que fazem Joana devolver a carteira e os que não fazem) (1,5 pontos).

(b) Encontre qual o mínimo valor de U que faz com que o jogo tenha uma solução por

indução retroativa em que Joana não devolve a carteira. (Dica: Você tem que se preocupar com a máxima utilidade que Joana pode obter devolvendo a carteira e recebendo uma recompensa) (1,5 pontos). Solução. (a) Suponha que Maria tenha oferecido a recompensa x . Devolver a carteira é uma melhor resposta para Joana se, e somente se, x 18 x2 U = 32 . Resolvendo esta inequação, nós obtemos 2 x 6. Para valores de x tais que x < 2, ou x > 6, Joana prefere não devolver a carteira. Para valores de x tais que 2 < x < 6, Joana prefere devolver a carteira. Para x = 2 e x = 6, Joana é indiferente entre devolver ou não a carteira. De



 



qualquer forma, uma possível solução por indução retroativa é o per…l em que Joana devolve a carteira para todo x tal que 2  x  6 e não devolve quando isto não ocorre, e Maria oferece uma recompensa de 2 reais.37.1 (b) Seguindo a dica, vamos calcular a máxima utilidade que Joana pode obter devolvendo a carteira. Isto é, vamos calcular o valor da recompensa x que resolve: max x x

37.1 Na

 18 x

2

verdade, esta é quase a única solução por indução retroativa do jogo. A única outra solução é o per…l em que Joana devolve a carteira quando 2  x < 6 e não devolve caso contrário. Maria continua oferecendo uma recompensa de 2 reais.

37.2. SEGUNDA PROVA

323

A condição de primeira ordem do problema acima nos dá x4 = 1,. o que implica que x = 4. Com tal valor de x, a utilidade de Joana é 2. Logo, sempre que U < 2, Joana devolve a carteira quando Maria oferece uma recompensa de 4 reais. Portanto, quando U < 2, em qualquer solução por indução retroativa do jogo, Joana devolve a carteira (já que Maria tem, no mínimo, a opção de oferecer uma recompensa de 4 reais, que Joana necessariamente aceita.). Por outro lado, quando U = 2, Joana é indiferente entre devolver ou não a carteira quando observa uma recompensa de 4 reais. Com qualquer outro valor, ela prefere não devolver a carteira. Portanto, os per…s em que Joana não devolve a carteira para nenhum valor da recompensa e Maria oferece qualquer recompensa são soluções por indução retroativa em que a carteira não é devolvida, quando U = 2. Isto mostra que o menor valor de U para o qual existem soluções por indução retroativa em que Joana não devolve a carteira é U = 2. k Questão 37.2.2. Questão 3 da prova substitutiva do primeiro semestre de 2010. Questão 37.2.3. Questão 2 da segunda prova do segundo semestre de 2010. Questão 37.2.4 (Problema dos sorveteiros com região de …delidade a um dos sorveteiros) .

Considere mais uma vez o problema dos dois sorveteiros que têm que se posicionar em uma faixa de areia. Como sempre, suponha que as pessoas estejam distribuídas uniformemente pela praia. O objetivo dos sorveteiros é maximizar o número de sorvetes vendidos. A diferença agora é que existe uma região da praia em que as pessoas são …éis ao sorveteiro 1 e sempre comprarão deste sorveteiro, independentemente de quanto elas tenham que caminhar para isto. As outras pessoas sempre compram do sorveteiro mais próximo. (a) Suponha primeiro que a região de …delidade ao sorveteiro 1 seja composta por um

intervalo aberto no canto da praia. Por exemplo, suponha que a praia seja o intervalo [0;1] e a região de …delidade ao sorveteiro 1 seja o intervalo (0,8;1]. Encontre todos os equilíbrios de Nash do jogo neste caso. (Dica: Você pode responder a questão intuitivamente. Não é necessário fazer conta nem ser muito formal. No entanto, é necessário que na sua resposta estejam claros os conceitos de melhores respostas e equilíbrio de Nash.) (1,5 pontos) (b) Suponha agora que a região de …delidade ao sorveteiro 1 seja composta por um intervalo

fechado simétrico ao redor do centro da praia. Por exemplo, suponha que a praia seja o intervalo [0;1] e a região de …delidade seja o intervalo fechado [0,4;0,6]. Encontre todos os equilíbrios de Nash do jogo neste caso. (1,5 pontos) Solução. (a) O problema é praticamente igual ao original, mas agora a região (0,8;1] não importa.

Vamos mostrar que o único equilíbrio é o per…l em que ambos se posicionam exatamente na posição 0,4. Para ver isto, suponha primeiro que exista um equilíbrio em que o sorveteiro 1 tenha um ganho menor do que 0,6, ou o sorveteiro dois tenha um ganho menor do que 0,4. Neste caso, o sorveteiro que estiver tendo um ganho menor do que o mencionado pode desviar para a mesma posição do outro sorveteiro e passar a ter um


324

ganho exatamente igual a 0,6, no caso do sorveteiro 1, ou 0,4, no caso do sorveteiro 2. Concluímos que em qualquer equilíbrio o ganho do sorveteiro 1 tem que ser 0,6 e o do sorveteiro 2 tem que ser 0,4. Suponha agora que tenhamos um equilíbrio em que um dos sorveteiros esteja posicionado em uma posição diferente da posição 0,4. Neste caso, o outro sorveteiro pode desviar para a posição 0,4. Observe que isto lhe dará um ganho maior do que 0,6, no caso do outro sorveteiro ser o de número 1, e lhe dará um ganho maior do que 0,4, no caso do outro sorveteiro ser o sorveteiro 2. Dado o que aprendemos antes, o per…l original não pode ser um equilíbrio de Nash do jogo. Isto mostra que o único per…l que possivelmente é equilíbrio do jogo é aquele em que ambos …cam na posição 0,4. Observe que tal per…l é de fato um equilíbrio de Nash, já que qualquer sorveteiro que desviar terá o seu ganho diminuido. (b) O mesmo raciocínio do item anterior mostra que em qualquer equilíbrio o ganho do

sorveteiro 1 tem que ser 0,6 e o do sorveteiro 2 tem que ser 0,4. Suponha agora que exista um equilíbrio em que um dos sorveteiros esteja posicionado fora da região de …delidade. Neste caso, o outro sorveteiro pode desviar para a posição 0,4, por exemplo. Note que isto faz com que o seu ganho seja maior do que 0,6, no caso do outro sorveteiro ser o de número 1, e faz com que o seu ganho seja maior do que 0,4, no caso do outro sorveteiro ser o sorveteiro 2. Isto mostra que em qualquer possível equilíbrio do jogo, ambos têm que estar posicionados dentro da região de …delidade. De fato, é possível mostrar que qualquer per…l em que ambos estejam posicionados na região de …delidade é equilíbrio de Nash do jogo. Para ver isto, note que quando um sorveteiro está posicionado na região de …delidade, qualquer posição na região de …delidade faz com que o outro sorveteiro obtenha um ganho igual a 0,6, no caso do outro sorveteiro ser o de número 1, ou igual a 0,4, no caso do outro sorveteiro ser o sorveteiro 2. Já se o outro sorveteiro escolher uma posição fora da região de …delidade, o seu ganho é menor do que 0,6, no caso do sorveteiro 1, e menor do que 0,4, no caso do sorveteiro 2. Isto mostra que todos os per…s em que ambos os sorveteiros se posicionam dentro da região de …delidade são equilíbrios de Nash do jogo. k

37.3

Prova Substitutiva

Questão 37.3.1. Exercício 17.2 das notas de aula. Questão 37.3.2. Terceira questão da terceira prova do primeiro semestre de 2009. Questão 37.3.3. Primeira questão da segunda prova do primeiro semestre de 2010. Questão 37.3.4. Considere o seguinte jogo em forma matricial:






Encontre todos os equilíbrios de Nash em estratégias mistas para o jogo acima. (2 pontos)


325

Solução. Na verdade, a solução do jogo acima é igual a do jogo de par ou ímpar que estudamos nas notas de aula. Para que isto …que clara, vamos reproduzi-la aqui. Sejam  2 [0; 1] as estratégias do jogador 1 e  2 [0; 1] as do jogador 2. Conforme o nosso roteiro usual de solução, tentemos primeiro encontrar um equilíbrio de Nash ( ;   ) em que  = 1. Se   = 1, o ganho de uma estratégia  genérica do jogador 2 é dado por U 2 (1;  ) =  ( 2) + (1



  )  4.

É claro que a única melhor resposta para o jogador 2 neste caso é  = 0 . Portanto, se existe um equilíbrio de Nash em que  = 1, este tem que ser ( ;   ) = (1; 0). Mas observe que, se 2 está jogando   = 0, então o ganho de uma estratégia  genérica do jogador 1 é dado por U 1 (; 0) =  0 + (1



 )  4:




  )  (2) :




 )  0:

Mas é evidente que a única melhor resposta para 1 neste caso é jogar  = 1. Portanto o per…l (0; 1) não é um equilíbrio de Nash do jogo e nós concluímos que o jogo não tem nenhum equilíbrio de Nash em que  = 0. Só nos resta agora tentar encontrar um equilíbrio de Nash ( ;   ) em que 0 <  < 1 . Pela proposição que aprendemos nas notas de aula, nós sabemos que tal estratégia  só pode ser uma melhor resposta contra   (independentemente de quem seja   ) se U 1 (1;   ) = U 1 (0;   ) : Em termos dos ganhos no nosso jogo a condição acima pode ser escrita como    4 + (1    )  0 =    0 + (1   )  4: Resolvendo a equação acima nós obtemos   = 1=2. Portanto, em um equilíbrio de Nash com 0 <  < 1, o jogador 2 tem que estar jogando   = 1=2. Mas observe que 0 <   < 1. Como   também tem que ser uma melhor resposta contra   , novamente, pela proposição nas notas de aula, nós temos que ter. U 2 ( ; 1) = U 2 (; 0) : Em termos dos ganhos no nosso jogo a condição acima pode ser escrita como   (2) + (1   )  4 =    4 + (1   )  (2) :

326


Resolvendo a equação acima nós obtemos  = 1=2. Portanto,  = 1=2 faz com que qualquer estratégia do jogador 2 seja uma melhor resposta para ele e   = 1=2 faz com que qualquer estratégia do jogador 1 seja uma melhor resposta para ele. Logo  = 1=2 é uma melhor resposta contra   = 1=2 e   = 1=2 é uma melhor resposta contra  = 1=2. Nós concluímos que (1=2; 1=2) é um equilíbrio de Nash para o jogo acima. Como nós já testamos k todas as possibilidades, este na verdade é o único equilíbrio do jogo.


Primeira Prova

Questão 38.1.1. Primeira questão da prova substitutiva do segundo semestre de 2010. Questão 38.1.2. Terceira questão da prova substitutiva do segundo semestre de 2009. Questão 38.1.3 (Equilíbrio competitivo com externalidade). Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as funções de utilidade dos consumidores são dadas por U A (xA ; yA ; xB ) = 1 2 1 2 (xA ) 3 (yA ) 3 +xB e U B (xB ; yB ) = (xB ) 3 (yB ) 3 , para algum  > 1 . Suponha que as dotações iniciais dos consumidores sejam dadas por (wAx ; wAy ) = (1; 2) e (wBx ; wBy ) = (2; 1). (a) Encontre o único equilíbrio competitivo desta economia. Atenção: Embora xB apareça na função de utilidade do consumidor A, xB não é uma variável de escolha para tal consumidor. Você deve tratar xB como algo exógeno ao resolver o problema do consumidor A. (Dica: Quando somamos uma constante à função objetivo de um

problema de maximização, a solução do problema não se altera. A função Cobb-Douglas é nossa amiga e nos faz economizar muitas contas.) (1,5 pontos). (b) Mostre que a alocação que você obteve na letra (a) não é e…ciente. (Dica: Existe uma

alocação bem simples que aumenta a utilidade dos dois consumidores) (1,5 pontos). Solução. (a) Como apenas preços relativos podem ser determinados em equilíbrio, façamos p x = 1 e py = p. O problema do consumidor A pode ser escrito como 1

2

max (xA ) 3 (yA ) 3 + xB

(xA ;yA )

sujeito a xA + pyA xA ; yA

327

 

1 + 2 p 0:


328

Seguindo a dica, sabemos que a solução do problema acima coincide com a solução do seguinte problema: 1

2

max (xA ) 3 (yA ) 3

(xA ;yA )

sujeito a xA + pyA xA ; yA

 

1 + 2 p 0:

O problema acima é apenas a maximização de utilidade de um consumidor Cobb-Douglas p e sabemos que a sua solução é xA = 13 (1+2 p) e yA = 23 1+2 . O problema do consumidor p Bé 1

2

max (xB ) 3 (yB ) 3

(xB ;yB )

sujeito a xB + pyB xB ; yB

 

2 + p 0:

O problema acima também é um de maximização de utilidade de um consumidor p Cobb-Douglas e a sua solução é xB = 13 (2 + p) e y B = 23 2+ . Equilibrando o mercado p do bem x , nós chegamos à condição 1 1 (1 + 2 p) + (2 + p) = 3: 3 3

Resolvendo a equação acima para p, nós obtemos p = 2. Isto implica que a alocação de equilíbrio é (xA ; yA ) = ( 53 ; 53 ) e (xB ; yB ) = ( 43 ; 43 ). (b) Nós só precisamos encontrar uma outra alocação factível que melhore a utilidade de

um dos consumidores sem piorar a do outro. Neste caso, é possível encontrar uma alocação simples que aumente a utilidade dos dois consumidores. Um possível exemplo é a alocação (xA ; yA ) = ( 43 ; 43 ) e (xB ; yB ) = ( 53 ; 53 ). Sob tal alocação, é claro que a utilidade do consumidor B é maior. Por outro lado, a utilidade do consumidor A é 4 U A ( 43 ; 43 ; 53 ) = 43 +  53 = 43 +  53 . Como  > 1, tal valor é maior do que 3 5 k U A ( 53 ; 53 ; 43 ) = 53 +  43 = 53 +  43 . 3 1 3

   1 3

2 3

2 3

Questão 38.1.4. Uma …rma atua em um mercado com curva de demanda inversa P (Q) = 20 3Q. A função custo da …rma é C (Q) = 2Q.



(a) Calcule o preço e a quantidade de equilíbrio quando a …rma age como tomadora de preço

(mercado competitivo). (1 ponto). (b) Calcule o preço e a quantidade de equilíbrio quando a …rma age como monopolista. (1

ponto).


329

(c) Em um grá…co, desenhe a curva de demanda inversa, a curva de receita marginal e a

curva de custo marginal. Indique no grá…co as quantidades e preços de equilíbrio no caso competitivo e de monopólio. Calcule os excedentes do produtor e do consumidor nos dois casos. (1 ponto) Solução. (a) Quando a …rma age como tomadora de preço, sabemos que a solução ocorrerá no ponto

em que o preço é igual ao custo marginal. Isto é, a solução satisfará a condição 20  3Q = 2, o que implica que Q = 6 e P = 2. (b) Quando a …rma age como monopolista, sabemos que a solução ocorrerá no ponto em

que a receita marginal é igual ao custo marginal. Isto é, a solução satisfará a condição 20  6Q = 2, o que implica que Q = 3 e P = 11. (c) Na …gura 38.1 estão descritas as soluções no caso competitivo e de monopólio. No caso

competitivo, o excedente do produtor é nulo, enquanto o excedente do consumidor é dado pela área cinza na …gura. Logo, o excedente do consumidor no caso competitivo c é dado por E Consumidor = 6(202 2) = 54. No caso de monopólio, o excedente do consumidor é dado pela área cinza claro na …gura. Logo, o excedente do consumidor m me caso de monopólio é dado por E Consumidor . Já o excedente do = 3(20211) = 27 2 m produtor é dado pela área cinza escura da …gura e, portanto, é dado por E Produtor = k 3  (11  2) = 27.

Figura 38.1: Excedentes


330

38.2

Segunda Prova

Questão 38.2.1. Segunda questão da segunda prova do segundo semestre de 2009. Questão 38.2.2. Primeira questão da terceira prova do primeiro semestre de 2009. Questão 38.2.3. Responda as seguintes questões sobre um processo de barganha entre duas

pessoas. (a) Primeiramente, suponha que duas pessoas tenham que dividir 10 reais. A negociação ocorrerá da seguinte forma: Primeiro a pessoa A propõe uma divisão. Após a proposta, a pessoa B responde se aceita ou não a divisão. Caso a pessoa B aceite, cada um pega a sua parcela e o jogo acaba. Caso a pessoa B não aceite a divisão, 2 reais do bolo de 10 reais são queimados, restando apenas 8 reais. Agora é a pessoa B quem propõe uma divisão dos 8 reais restantes. Novamente, se a pessoa A aceitar a divisão, cada um pega a sua parcela e o jogo acaba. Se a pessoa A rejeitar a divisão, o jogo também acaba,

mas ambos …cam sem dinheiro algum. Sempre as propostas têm que consistir em uma divisão do montante em números inteiros (Por exemplo, 8 reais para mim e 2 para você. Algo como 7,50 para mim e 2,50 para você não é uma oferta permitida). Além disto, o mínimo valor que uma pessoa pode oferecer para a outra é um real (Isto é, 10 ou 8 reais para mim e nada para você não são ofertas permitidas). Além disto, ambos os jogadores têm uma preferência por receber logo o dinheiro. Assim, entre aceitar uma oferta de x reais agora ou receber x reais no próximo período, após mais uma rodada de negociação, ambos preferem estritamente aceitar a oferta de x reais.. Analise a situação usando indução retroativa. Você não precisa ser muito formal. A explicação pode ser só com palavras, mas eu quero que o raciocínio de indução retroativa …que claro. (2 pontos) (b) A situação é como a descrita na primeira parte. Duas pessoas vão dividir 10 reais através de um processo de propostas alternadas, em que a pessoa A faz a primeira

proposta. Novamente, quando uma proposta é rejeitada, 2 reais do montante disponível no momento são queimados, as propostas consistem sempre de valores inteiros e o mínimo valor que pode ser oferecido ao outro jogador em qualquer momento do jogo é 1 real. Além disto, ambos os jogadores têm uma preferência por receber logo o dinheiro. Assim, entre aceitar uma oferta de x reais agora ou receber x reais no próximo período, após mais uma rodada de negociação, ambos preferem estritamente aceitar a oferta de x reais. O jogo prossegue até que uma proposta seja aceita, ou até que o dinheiro acabe. Uma vez mais, analise a situação usando indução retroativa. Novamente, você não precisa ser muito formal, mas eu quero que o raciocínio de indução retroativa …que claro. (2 pontos). Solução. (a) Temos que começar analisando o jogo pelos últimos nós de decisão, que são da pessoa A. É fácil ver que, como a mínima oferta que a pessoa B pode fazer é de 1 real, então qualquer que seja a oferta da pessoa B a pessoa A vai aceitar. Isto agora implica que em qualquer nó de decisão anterior aos nós de decisão …nais, a oferta da pessoa B será


331

7 reais para ela e apenas 1 real para a pessoa A . Lembre que em todas essas situações a pessoa A aceitará a oferta. Analisemos agora o que ocorre com os nós de decisão anteriores aos que acabamos de analisar, em que a pessoa B têm que aceitar ou não a oferta da pessoa A. Como a pessoa B já sabe que se ela recusar a oferta ela ganhará 7 reais no próximo período, ela só aceitará propostas que lhe ofereçam pelo menos 7 reais. Dado isto, é claro que a proposta que será oferecida pela pessoa A é a proposta de 3 reais para ela e 7 para a pessoa B . A pessoa B aceitará tal proposta. (b) No estágio …nal do jogo, caso todas as ofertas anteriores sejam rejeitadas, a pessoa B decide se aceita ou não uma oferta da pessoa A a respeito da divisão dos 2 reais restantes. Como a mínima oferta é de 1 real para a pessoa B , esta aceitará qualquer oferta. Em vista disto, nos nós de decisão anteriores, a oferta da pessoa A será de 1 real para ela e 1 real para a pessoa B . Tal oferta será sempre aceita. Agora, nos nós anteriores, a pessoa A decide se aceita ou não ofertas da pessoa B a respeito da divisão de 4 reais. Como a pessoa A sabe que se ela rejeitar a oferta ela …cará com um

real no próximo período e como a mínima oferta permitida é de 1 real para a pessoa A, esta aceitará qualquer oferta. Dado isto, nos nós de decisão anteriores a pessoa B fará a oferta de 3 reais para ela e 1 real para a pessoa A . Dando mais um passo para trás, agora quem decide se aceita ou não uma proposta a respeito da divisão de 6 reais é a pessoa B . Ela toma tal decisão sabendo que se ela recusar a oferta ela ganhará 3 reais no próximo período. Portanto, ela só aceitará propostas que lhe oferçam pelo menos 3 reais. Em vista disto, nos nós de decisão anteriores, a oferta da pessoa A será de exatamente 3 reais para cada pessoa. Tal oferta sempre será aceita. Nos nós de decisão anteriores a pessoa A decide se aceita ou não uma divisão de 8 reais. Ela faz isto sabendo que ela tem 3 reais garantidos no próximo período. Logo, ela só aceitará propostas que lhe ofereçam pelo menos 3 reais. Dado isto, nos nós de decisão anteriores, a pessoa B faz a proposta de 5 reais para ela e 3 para a pessoa A. Tal proposta é sempre aceita. Finalmente, nos nós de decisão anteriores a pessoa B decide se aceita ou não uma divisão dos 10 reais. Ela faz isto sabendo que se ela rejeitar a proposta ela receberá 5 reais no próximo período. Logo, ela só aceita propostas que lhe ofereçam pelo menos 5 reais. Dado isto, a pessoa A faz a proposta de dividir os 10 reais em 2 parcelas de 5 reais. Tal proposta é imediatamente aceita. k

38.3

Prova Substitutiva

Questão 38.3.1. Primeira questão da segunda prova do primeiro semestre de 2010. Questão 38.3.2. Terceira questão da prova substitutiva do primeiro semestre de 2010. Questão 38.3.3. Segunda questão da segunda prova do segundo semestre de 2010. Questão 38.3.4 (Quantidade ótima de seguro) . Terceira questão da primeira prova do

segundo semestre de 2011.

332



Primeira Prova

Questão 39.1.1. Segunda questão, da primeira prova, do primeiro semestre de 2010. Questão 39.1.2. Segunda questão, da primeira prova, do primeiro semestre de 2014. Questão 39.1.3. Segunda questão, da prova substitutiva, do primeiro semestre de 2012. Questão 39.1.4 (Unicidade da representação por utilidade esperada). Seja X um conjunto …nito e (X ) o conjunto de medidas de probabilidades (loterias) sobre X . O nosso objeto de estudos é uma relação de preferências % sobre (X ). Suponha que u : X R seja uma função não constante que é uma representação por utilidade esperada de %. Isto é, pra qualquer par de loterias p; q (X ),

!

2

p % q

()

X

p(x)u(x)

x X

2



X

q (x)u(x):

x X

2

Suponha agora que v : X ! R seja outra representação por utilidade esperada da mesma preferência %. Mostre que existem a > 0 e b 2 R tais que v(x) = au(x) + b;

pra todo x 2 X . Dica: Como X é …nito, existem x e x em X tais que u(x )  u(x)  u(x ) pra todo x 2 X . Além disto, como u não é constante, nós sabemos que u(x ) > u(x ). Primeiro, encontre a e b tais que v(x ) = au(x ) + b e v(x ) = au(x) + b. Agora, …xe um x qualquer em X e observe que existe x 2 [0; 1] tal que u(x) = x u(x) + (1  x )u(x ). Use isto e o fato de que u e v representam a mesma relação de preferências para concluir que v(x) = au(x) + b, em que a e b são os mesmos escalares que você encontrou antes. (3 pontos) Solução. A ser escrita.

k 333


334

39.2

Segunda Prova

Questão 39.2.1. Segunda questão, da segunda prova, do segundo semestre de 2013. Questão 39.2.2. Terceira questão, da segunda prova, do segundo semestre de 2013. Questão 39.2.3. Primeira questão, da segunda prova, do primeiro semestre de 2010. Questão 39.2.4. Caracterize todos os equilíbrios de Nash dos jogos abaixo. Use apenas

lógica, mas explique muito bem as suas respostas. Em particular, nas suas respostas deve estar claro por que os per…s indicados como equilíbrios são equilíbrios e por que os per…s não indicados não o são. (a) Um grupo de n pessoas está jogando o seguinte jogo: Cada uma delas escolhe um número real no intervalo [0; 1]. A pessoa, ou as pessoas, que se aproximarem mais da média de

todos os palpites ganham dez reais. Adicionalmente, se alguém acertar exatamente na média, esta pessoa leva um real adicional, além dos dez reais. Observe que não existe divisão de prêmio. Se houver mais de um ganhador, todos que mais se aproximaram da média levam dez reais. (1,5 pontos) (b) O jogo é o mesmo. Ou seja, as pessoas continuam escolhendo um número em [0; 1]. A diferença é que agora levam dez reais as pessoas que se aproximarem mais de 2=3 da média. Novamente, se alguém acertar exatamente em 2=3 da média, esta pessoa leva

um real adicional. (1,5 pontos) Solução. (a) Fixe um jogador i e considere um per…l qualquer de estratégias dos outros jogadores. Se o jogador i jogar exatamente a média das apostas dos outros jogadores, ele leva 11

reais. Observe que esta é a única estratégia que lhe dá este ganho. Ou seja, contra qualquer per…l de estratégias dos outros jogadores a única melhor resposta de i é jogar exatamente a média das apostas dos outros. Como isto vale para todos os jogadores, em qualquer equilíbrio de Nash do jogo nós temos que ter todos os jogadores jogando exatamente a média das apostas. Isto só pode ocorrer se todos jogarem a mesma coisa. De fato, é claro que qualquer per…l em que todos joguem a mesma coisa é equilíbrio de Nash, já que, neste caso, todos obtêm o máximo ganho possível, que é 11 reais. Conclusão: Os equilíbrios de Nash do jogo são todos os per…s em que todos os jogadores escolhem o mesmo número (independentemente de qual seja esse número). (b) Novamente, …xe um jogador i e considere um per…l qualquer de estratégias dos outros jogadores. O jogador i pode jogar um valor que faça com que a sua aposta seja exatamente igual a 2=3 da média. Formalmente, suponha que a média das apostas 1) , sua aposta será dos outros jogadores seja  [0; 1]. Se o jogador i jogar 2(n 3n2 exatamente 2=3 da média e ele ganhará 11 reais. Além disto, esta é a única aposta que

2

lhe dará este ganho. Como isto vale para todos os jogadores, um equilíbrio de Nash só pode ocorrer se todos os jogadores estiverem jogando um valor que é exatamente igual a 2=3 da média. Isto só pode ocorrer se todos estiverem jogando exatamente zero. Conclusão: O único equilíbrio de Nash do jogo é o per…l em que todos jogam zero. k


39.3

Prova Substitutiva

Questão 39.3.1. Quarta questão, da segunda prova, do primeiro semestre de 2014. Questão 39.3.2. Primeira questão, da segunda prova, do primeiro semestre de 2012. Questão 39.3.3. Segunda questão, da primeira prova, do segundo semestre de 2009.

335

Exercícios e Provas Resolvidos de Microeconomia 2

Recommend Documents