Ejercicios Resueltos Diagrama de Bloques

Aut omá c a E j er c i c i os

Ca pí t ul o2. Di a g r a ma sdeBl oquesyF l uj og r a ma s

J os éRa mónL l a t aGa r c í a E s t herGonz á l e zS a r a bi a Dá ma s oF er ná nde zPér e z Ca r l osT or r eF er r er o Ma r í aS a ndr aRobl aGóme z De pa r t a me nt odeT e c nol og í aE l e c t r óni c a eI ng e ni e r í adeS i s t e ma syAut omác a

Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.

EJERCICIO 2.1.

Obtener la función de transferencia del siguiente diagrama de bloques: H3 _ G1

+_

G2

+

+_

G3

G4

H1

H2

H3/G4 _ G1

+_

G2

+

+_

G3

H1

G4

H2 H3/(G4·G1)

_ +

_

G1

+_

G2

+_

G3

H1

G4

H2 H3/(G4·G1)

_ +

G1  G 2 1  G1  G 2  H1

G3  G 4 1  G3  G 4  H2

G3  G4 G1  G 2 1  G 1  G 2  H1 1  G 3  G 4  H 2 G3  G4 H3 G1  G 2 1 1  G 1  G 2  H1 1  G 3  G 4  H 2 G 4 G 1

G1G 2G 3G 4 1  G1G 2 H1  G 3G 4 H 2  G 2G 3H 3  G1G 2G 3G 4 H1H 2

1

Diagramas de Bloques y Flujogramas.

EJERCICIO 2.2.

Obtener la función de transferencia global del sistema mediante el movimiento de bloques. c

H2 _

R(s) + +_ a +

G1 b

+ d

G2

C(s)

G3

H1

La señal en el punto d será: d  (a  b)G 1  cH 2  aG 1  bG 1  cH 2 Se mueve el bloque restador cuya salida es el punto d hasta situarlo a continuación del punto de suma a: c H2 R(s) + a +_

_ + + b

G1

d

G2

C(s)

G3

H1

Se analiza ahora de que está formada la señal que llega al punto d: d  (a  cH 2  b)G 1  aG 1  bG 1  cH 2 G 1

Con respecto al valor inicial de la señal se puede observar que sobra G1 en el último sumando. Para resolver esto se dividirá el bloque H2 entre G1. c

H2/G1 R(s) + a +_

_ + + b

G1

H1

2

d

G2

G3

C(s)


Resolviendo el bucle interno: M 1 (s ) 

G 1G 2 1  G 1G 2 H 1

Con lo que el diagrama de bloques ahora será: H2/G1 R(s) + a +_

_

G 1G 2 G 3 1 G 1G 2 H 1

c C(s)

Resolviendo el lazo interno entre a y c: G 1G 2 G 3 G 1G 2 G 3 1  G 1G 2 H 1 M 2 (s )   G 1G 2 G 3 H 1  G 1G 2 H 1  G 2 G 3 H 2 1  2 1  G 1G 2 H 1 G 1

R(s) +_

G 1G 2 G 3 1 G 1G 2 H 1  G 2 G 3 H 2

C(s)

Y resolviendo el último lazo: G 1G 2 G 3 1  G 1G 2 H 1  G 2 G 3 H 2 G 1G 2 G 3 M 3 (s )   G 1G 2 G 3 1  G 1G 2 H 1  G 2 G 3 H 2  G 1G 2 G 3 1 1  G 1G 2 H 1  G 2 G 3 H 2

R(s)

G1G 2 G 3 1  G1G 2 H 1  G 2 G 3 H 2  G1G 2 G 3

C(s)

Otra posible forma de resolver sería moviendo la señal de realimentación tomada a la salida del bloque G2 hasta la salida del bloque G3. De esta forma modificando los bloques afectados se tendría:

3


H2 R(s) +_

_ +

G1

+

+

G2

G3

C(s)

H1/G3

Resolviendo el bloque más interno: M 1 (s ) 

R(s) +_

+ +

G 2G 3 1  G 2G 3H 2

G2G3 1 G 2 G 3 H 2

G1

C(s)

H1/G3

Resolviendo el lazo más interno nuevamente: G 1G 2 G 3 1  G 2G 3H 2 G 1G 2 G 3 M 2 (s)   G 1G 2 G 3 H 1  G 2 G 3 H 2  G 1G 2 H 1 1  1 1  G 2G 3H 2 G 3

R(s) +_

G 1G 2 G 3 1  G 2 G 3 H 2  G 1G 2 H 1

C(s)

Y resolviendo el último lazo: G 1G 2 G 3 1  G 2 G 3 H 2  G 1G 2 H 1 G 1G 2 G 3 M 3 (s )   G 1G 2 G 3 1  G 2 G 3 H 2  G 1G 2 H 1  G 1G 2 G 3 1 1  G 2 G 3 H 2  G 1G 2 H 1

4


EJERCICIO 2.3.

Para el diagrama de bloques de la figura encontrar Geq y Heq de forma analítica y gráfica. e

R(s) r +_

1 s  10

K

z

u

2 s 3

v

1 s

Y(s)

0.1 + w +

+ +

Analíticamente: 1 s 1   e  r  z  r  (0.1u  w )  r  (0.1u  v  v )  r   0.1u  v  s s     s 1 2  2(s  1)  2(s  1)  K  u   r   0.1   r   0.1u   e   u  r   0.1   s s3  s(s  3)  s(s  3)  s  10     2(s  1)  K e  r   0.1  e  s(s  3)  s  10   0.1K 2 K (s  1)  e1   r s  10 s(s  3)(s  10)   1

e 1

0.1K 2 K (s  1)  s  10 s(s  3)(s  10) e

r 

1 r s(s  3)(s  10)  0.1Ks(s  3)  2 K(s  1) s(s  3)(s  10)

s(s  3)(s  10) 3

s  (13  0.1K )s 2  (30  2.3K )s  2 K

r

Por otro lado, la función de transferencia de lazo directo es directa: y

2K e s(s  3)(s  10)

G (s ) 

y 2K  e s(s  3)(s  10)

5


Entonces, la función de transferencia de lazo cerrado es:

M (s ) 

2K e s(s  3)(s  10)

Y (s )  R (s) s 3  (13  0.1K )s 2  (30  2.3K )s  2 K e s(s  3)(s  10)

M (s ) 

2K 3

2

s  (13  0.1K )s  (30  2.3K )s  2 K

Se busca ahora descomponer dicha función de lazo cerrado en las funciones correspondientes a la cadena directa, cuyo valor ya se conoce, y la realimentación. M (s ) 

G (s ) 1  G (s ) H (s )

Para este sistema, sustituyendo el valor de la cadena directa: 2K 2K 2K s(s  3)(s  10)   3 M (s )  2 2K s(s  3)(s  10)  2 K  H (s) s  13s  30s  2 K  H (s) H (s ) 1 s(s  3)(s  10)

Luego igualando los denominadores de las dos expresiones obtenidas para M(s):

s 3  (13  0.1K )s 2  (30  2.3K )s  2 K  s 3  13s 2  30s  2 K  H (s)

s 3  13s 2  30s  0.1Ks 2  2.3Ks  2 K  s 3  13s 2  30s  2 K  H (s) 0.1Ks 2  2.3Ks  2 K  2 K  H (s) H eq  0.05s 2  1.15s  1

R(s) +_

2K s(s  3)(s  10)

0.05s2  115 . s1

6

C(s)


Resolviendo ahora de forma gráfica: R(s) r +_

e

K

1 s  10

z

u

2 s 3

v

1 s

Y(s)

0.1 + w +

+ +

Pasando el último bloque delante del punto de bifurcación v:

R(s) r +_

e

K

1 s  10

z

u

2 s(s  3)

v

Y(s)

s

0.1 + w +

+ +

Agrupando las funciones de transferencia del último sumador:

R(s) r +_

e

u

K s  10

z

2 s(s  3)

v

Y(s)

s+1

0.1 + w +

Moviendo el bloque

R(s) r +_

2 delante del punto de bifurcación u: s(s  3)

e

u

2K s(s  3)(s  10)

v

01 . s(s  3) 2

z

+ w +

7

s+1

Y(s)


Agrupando los dos elementos del sumador: R(s) r +_

e

Y(s)

2K s(s  3)(s  10)

z

0.05s2  115 . s1

EJERCICIO 2.4.

Para el diagrama de bloques mostrado en la figura calcular las funciones de transferencia G(s) y H(s) equivalentes de forma analítica y gráfica. Calcular también la función de transferencia G(s) equivalente para que el sistema tenga realimentación unitaria. R(s) r +_

e

v

10 s1

z

1 s

Y(s) y

2 + +

Analíticamente: 1  1 1  10    e  r  z  r  (2v  y)  r   2 v  v   r   2   v  r   2   e s  s s s 1    1  10   e  r   2   e s  s  1     2s  1  10  e 1      r   s  s  1   e

r s2  s s(s  1)  2 r  2 r 20s  10 s  21s  10 s  21 s  10 1 2 s s

La función de transferencia de cadena directa se obtiene de forma directa: G (s ) 

y 10  e s(s  1)

8


y

10 e s(s  1)

Y la función de transferencia de lazo cerrado es:

M (s ) 

10 e s(s  1)

y 10  2  2 r s  21s  10 s  21s  10 e s(s  1)

Sabiendo que: M (s ) 

G (s ) 1  G (s ) H (s )

10 10 s(s  1) M (s )   2 10 1  H (s) s  s  10  H (s) s(s  1) Igualando los denominadores de las dos funciones de transferencia M(s) obtenidas: s 2  21s  10  s 2  s  10  H (s)

20s  10  10  H (s) H (s)  2s  1 R(s) +_

Y(s)

10 s(s  1)

2s+1

Resolviendo el diagrama de bloques de forma gráfica: R(s) r +_

e

v

10 s1

z

1 s

2 + +

9

Y(s) y


Moviendo el último bloque delante del punto v:

R(s) r +_

e

v

10 s(s  1)

z

Y(s) y

2s + +

Uniendo los elementos del sumador:

R(s) +_

10 s(s  1)

Y(s)

2s+1 Si se desea que Heq sea 1: R(s) +_

G’(s)

Y(s)

Como la función de transferencia de lazo cerrado es: M (s ) 

10 2

s  21s  10

Dividiendo el numerador y denominador de M(s) entre s 2  21s se tiene: 10 10 2 G ' (s ) M (s)  2 s  21s  s  21s  10 1  G ' (s ) s  21s 10 1 2  2 2 s  21s s  21s s  21s 2

R(s) +_

10 s(s  21)

10

Y(s)


De forma gráfica partiendo de la función obtenida con Geq y Heq: R(s) +_

Y(s)

10 s(s  1)

2s+1 R(s) +_

Y(s)

10 s(s  1)

2s 1

10 10 10 10 s(s  1) s(s  1)  2  2  G ' (s )  10 s(s  21)  2s s  s  20s s  21s 1 s(s  1) s(s  1) R(s) +_

Y(s)

10 s(s  21)

EJERCICIO 2.5.

Resolver el siguiente diagrama de bloques de forma gráfica y mediante la técnica de los flujogramas. C(s) R(s) G1 G2 + -

G3

+_

G4

+ +

G6

G8

11

G5

G7


Resolviendo primero gráficamente: En primer lugar se ha ordenado el diagrama de bloques de la forma típica:

R(s) +_

G3

+_

G5

G8

G1

G2

C(s)

G4

G7

+ +

G6

Ahora los bloques G5 y G2 se mueven delante del punto de bifurcación: R(s) +_

G3

+_

G1

G 8 G 5G 2

G7 G 5G 2

+ +

G6

Se agrupan los bloques de la realimentación interna:

12

G4

C(s)


R(s) +_

G3

+_

G1

G 8G 5G 2

C(s)

 G7   G 4  G 6   G 5G 2 

R(s) +_

G3

+_

G1

G 8G 5G 2

C(s)

G 6 (G 7  G 4 G 5 G 2 G 5G 2

Agrupando en un único bloque la realimentación interna:

G ' (s ) 

R(s) +_

G 8G 5G 2 G 8G 5G 2  G (G  G 4 G 5 G 2 1  G 8 G 6 ( G 7  G 4 G 5 G 2 ) 1  G 8 G 5G 2 6 7 G 5G 2

G3

G 8G 5G 2 1  G 8 G 6 (G 7  G 4 G 5 G 2 )

G1

C(s)

Agrupando finalmente los elementos restantes: G 1G 3 G 8 G 5 G 2 G 8G 5G 2 G1 1  G 8 G 6 (G 7  G 4 G 5 G 2 ) 1  G 8 G 6 (G 7  G 4 G 5 G 2 )  M (s )  G 8G 5G 2 G 1G 3 G 8 G 5 G 2 1  G3 G1 1  1  G 8 G 6 (G 7  G 4 G 5 G 2 ) 1  G 8 G 6 (G 7  G 4 G 5 G 2 ) G3

13


M (s ) 

M (s ) 

G 1G 3 G 8 G 5 G 2 1  G 8 G 6 (G 7  G 4 G 5 G 2 )  G 1 G 3 G 8 G 5 G 2

G 1G 2 G 3 G 5 G 8 1  G 6 G 7 G 8  G 2 G 4 G 5 G 6 G 8  G 1G 2 G 3 G 5 G 8

Aplicando la técnica de los flujogramas: Se construye en primer lugar el flujograma correspondiente al sistema: R

1

G3

G8

G2 G5

G1

1

C

G7 G4

-G6 -1

Se resuelve aplicando la regla de Mason: La relación entre la salida C(s) y la entrada R(s), viene dada por: C(s)  M (s )  R (s )

k Tk  k 

siendo:  (Determinante del flujograma.) = 1-i+ij-ijk+… Trayectos directos: "aquellos que partiendo de un nodo fuente llegan a un nodo final sin pasar dos veces por el mismo nodo" i: ganancia de cada lazo. i igual a la suma de ganancias de los bucles que tienen algún nodo común con cualquier trayecto directo. ij igual a la suma de productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de dos bucles disjuntos. TK es la ganancia del k-ésimo trayecto directo. K se calcula igual que , pero eliminando los bucles que tienen algún nodo común

14


con el k-ésimo trayecto directo. Trayectos directos: T1  G 3 G 8 G 2 G 5 G 1 Lazos:  1  G 3 G 8 G 2 G 5 G 1  2  G 8 G 7 G 6  3  G 8 G 2 G 5 G 4 G 6

  i   1   2   3  G 3 G 8 G 2 G 5 G 1  G 8 G 7 G 6  G 8 G 2 G 5 G 4 G 6 No existen lazos disjuntos.   1    i  1  1   2   3  1  G 3G 8 G 2 G 5G1  G 8 G 7 G 6  G 8 G 2 G 5G 4 G 6 1  1 C(s)  M (s )  R (s)

k Tk  k 



G 3G 8 G 2 G 5G1 1  G 3G 8 G 2 G 5G 1  G 8 G 7 G 6  G 8 G 2 G 5G 4 G 6

EJERCICIO 2.6.

Calcular la función de transferencia

C( s ) del siguiente flujograma: R (s )

-H2 R(s) 1

1

G1

G2

G3

1

C(s)

H1 -1

Trayectos Directos:

P1  G1G 2G 3

Lazos Independientes:

L1  G1G 2 H1 L 2  G 2 G 2 H 2

L3  G1G 2G 3 Determinante:

  1   La   L b Lc   Ld Le Lf  ...

15


  1  G1G 2 H1  G 2G 3H 2  G1G 2G 3  P1  G1G 2G 3

Cofactor:

1  1

Entonces: 1  Pk  k  k

M (s ) 

M (s ) 

G 1G 2 G 3 1  G 1G 2 H 1  G 2 G 3 H 2  G 1G 2 G 3

EJERCICIO 2.7.

Calcular la función de transferencia

Y (s ) del siguiente flujograma: R (s )

6 R(s) 1

1

1 s+1

-4 1

-3

s s+2

3

-5

Trayectos Directos: P1 

3s (s  1)(s  2)

P2 

4 (s  1)

P3  6 Lazos Independientes: L1 

3 (s  1)

L2 

 5s (s  2 )

Pares de lazos: L1 L 2  Determinante:

15s (s  1)(s  2)

  1   La   L b Lc   Ld Le Lf  ...

16

1 Y(s)


 3 5s  15s     1     (s  1) (s  2)  (s  1)(s  2)

Cofactores: P1 

3s (s  1)(s  2) 1  1

P2   4 (s  1) 5s 2  1  (s  2)

P3  6  3 5s  15s    3  1     (s  1) (s  2)  (s  1)(s  2)

Entonces: M (s ) 

1  Pk  k  k

    5s  3s 3 5s 15s   4     1    61  1  (s  2)  (s  1)(s  2)  (s  1) (s  2) (s  1)(s  2)   s  1  M (s )      3  3 5s  15s 5s  15s 1     1        (s  1) (s  2)  (s  1)(s  2)  (s  1) (s  2)  (s  1)(s  2) M (s ) 

36s 2  135s  40 6s 2  26s  8

EJERCICIO 2.8.

Calcular la función de transferencia del siguiente flujograma:

H1 R(s) 1

G1

G5

G2

H2 G3

H3 G6

H4 G7

17

G4

1 C(s)

G8


Trayectos Directos: P1  G1G 2G 3G 4 P2  G 5G 6 G 7 G 8 Lazos Independientes: L1  G 2 H1

L 2  G 3H 2 L3  G 6 H 3 L4  G 7H4 Pares de lazos: L1L 4  G 2 H1G 7 H 4 L 2 L 3  G 3H 2 G 6 H 3 Determinante:

  1   La   L b L c   Ld L e Lf  ...

  1  G 2 H1  G 3H 2  G 6 H 3  G 7 H 4   G 2 H1G 7 H 4  G 3H 2G 6 H 3  Cofactores: P1  G1G 2G 3G 4 1  1  G 6 H 3  G 7 H 4  P2  G 5G 6 G 7 G 8  2  1  G 2 H1  G 3H 2  Entonces: M (s ) 

M (s ) 

1  Pk  k  k

(G G G G )(1  (G H  G H ))  (G G G G )(1  (G H  G H )) 1 2 3 4 6 3 7 4 5 6 7 8 2 1 3 2 1  (G H  G H  G H  G H )  (G H G H  G H G H ) 2 1 3 2 6 3 7 4 2 1 7 4 3 2 6 3

EJERCICIO 2.9.

Calcular las funciones de transferencia indicadas para el siguiente flujograma:

18


-4

R1(s) 1 R2(s) 1

1 s

1 C1(s) s s+2 10 1 C2(s) 1 s+3

T11 

C 1 (s) R 1 (s )

T21 

C 2 (s ) R 1 (s )

T21 

C 1 (s ) R 2 (s )

T22 

C 2 (s ) R 2 (s )

1- T11  C1 (s) R1 (s)

-4

R1(s) 1 1 s

1 C1(s) s s+2 10 1 s+3

 10   s  1  1   s2  s(s  3)  T11 (s)    4s    40  1       s  2   s(s  3)  T11 (s) 

s 3  3s 2  10s  20 5s 3  17s 2  46s  80

2- T21  C 2 (s) R1 (s)

-4

R1(s) 1 1 s

s s+2 10 1 C2(s) 1 s+3

 1   1 s(s  3)   T21 (s)    4s    40  1       s  2   s(s  3) 

19


T21 (s) 

s2 3

5s  17s 2  46s  80

3- T21  C1 (s) R 2 (s)

-4 1 s

R2(s) 1

1 C1(s) s s+2 10 1 s+3

 10   1 (s  3)   T12 (s)    4s    40  1       s  2   s(s  3)  T12 (s)

10s 2  2s 5s 3  17s 2  46s  80

4- T22  C 2 (s) R 2 (s)

-4

R2(s) 1

1 s

s s+2 10 1 C2(s) 1 s+3

 1   40   1   (s  3)  s(s  3)   T22 (s)    4s    40  1       s  2   s(s  3)  T22 (s) 

5s 2  2s 5s 3  17s 2  46s  80

EJERCICIO 2.10.

Calcular las funciones de transferencia del siguiente flujograma:

20


R2(s) 1 s -2

R1(s) 1 1

R3(s) 1

6 -4

1 1 1 Y1(s) s -3

Y2(s) T11 

Y1 (s) R 1 (s )

T12 

Y1 (s) R 2 (s )

T13 

Y1 (s) R 3 (s )

T21 

Y2 (s) R 1 (s )

T22 

Y2 (s) R 2 (s )

T23 

Y2 (s) R 3 (s )

1- T11  Y1 (s) R1 (s)

1 s -2

R1(s) 1

6 -4

1 s -3

1 Y1(s)

 6  2  1 s  T11 (s)  2 3 24 6 1    s s s s2 T11 (s) 

6 s  29s  6 2

2- T12  Y1 (s) R 2 (s)

R2(s) 1 1 s 6 -2

1 s -3

-4

1 Y1(s)

6   1 s T11 (s)  2 3 24 6 1    s s s s2 T11 (s) 

6s s  29s  6 2

21


3- T13  Y1 (s) R 3 (s)

R3(s) 1 s -2

1 1 1 Y1(s) s -3

6 -4

1 1  2 

T13 (s) 

s  2 3 24 6 1    s s s s2

T13 (s) 

s( s  2 ) s 2  29s  6

4- T21  Y2 (s) R1 (s)

1 s -2

R1(s) 1 1

6 -4

1 s -3

Y2(s)

1 1  3  24  T21 (s) 



s

s 

2 3 24 6    s s s s2

1

T21 (s) 

s(s  27) s 2  29s  6

5- T22  Y2 (s) R 2 (s)

R2(s)

1

1 1 s 6 -2

-4

1 s -3

Y2(s)

 2  1  3 

T22 (s) 

s  2 3 24 6 1    s s s s2

22


T22 (s) 

 s( 2s  6) s 2  29s  6

6- T23  Y2 (s) R 3 (s)

R3(s) 1 s -2

1

6 -4

Y2(s) T23 (s) 

1 1 s -3

81 2 3 24 6    s s s s2

1

T23 (s) 

8s 2 s 2  29s  6

EJERCICIO 2.11.

La función de transferencia G(s) viene definida por el siguiente diagrama de flujo:

Donde:

G1 = 1

G2 = 1/s

G3 = 1/s

G4 = 1/s

G5 = 4

G6 = 1

G7 = -1

G8 = -2

G9 = -3

G10 = 1

G11 = 2.

Calcular, mediante Mason, la función de transferencia de G(s).

G (s) 

1  TK   K  K

Trayectos directos: 1 1 1 4 T1  G1  G 2  G 3  G 4  G 5  G 6  1     4  1  3 s s s s 1 1 T2  G 1  G 2  G 10  G 6  1   1  1  s s

23


1 1 2 T3  G1  G 2  G 3  G11  G 6  1    2  1  2 s s s

Determinante del sistema:   1   La   L b Lc ... 1 2 3   1  G 2  G 7  G 2  G3  G8  G 2  G3  G 4  G9  1   2  3 s s s Cofactores: 1  1 2  1 3  1

Función de transferencia: 4  2s  s 2 4 1 2   2 3 3 s s  3 2s G (s)  s 1 2 3 1   2  3 s  s  2s  3 s s s s3 G (s) 

s 2  2s  4 s3  s 2  2s  3

EJERCICIO 2.12.

Calcular la función de trasferencia del sistema de la figura mediante la aplicación de la regla de Mason: Y(s) R(s) +

-

G2(s)

G1(s)

+

-

G5(s)

G4(s)

G3(s)

+ +

G6(s)

G7(s)

G8(s) 1 s2 1 G 5 (s)  s

G1 (s) 

G 2 (s)  (s  1)

G 3 (s)  5

G 6 (s)  1

G 7 (s) 

T (s) 

 Tn  n 

Trayectos: T1  G 3G 8G 5G 2G1

24

1 s 1

G 4 (s)  s

G 8 (s)  s


Lazos: L1  G 3G 8G 5G 2G1 L 2   G 8G 5G 2 G 4 G 6 L 3  G 8G 7 G 6   1  (G 3G 8G 5G 2G1  G 8G 5G 2G 4G 6  G 8G 7 G 6 ) T (s ) 

G 3G 8 G 5G 2 G1 1  ( G 3 G 8 G 5 G 2 G 1  G 8 G 5 G 2 G 4 G 6  G 8 G 7 G 6 )

1 1 5  s   (s  1)  2 s s T (s )  1 1 1 1   1    5  s   (s  1)  2  s   (s  1)  s  1  s   1 s s s 1  s  T (s ) 

5(s  1) 2 s 5  2s 4  3s 3  6s 2  10s  5

EJERCICIO 2.13.

G(s) está definida por el diagrama de flujo: 3

U(s)

2

1/s

1

1/s -4

-5

Obtener la función de transferencia.

Aplicando la regla de Mason: T Trayectos directos:

Lazos independientes:

 Tn  n 

T1 

3 s

1  1

T2 

2 s2

2  1 L1  

25

4 s

Y(s)


L2     1

5 s2

4 5  s s2

3 2 3s  2  2 2 3s  2 s s  2 s  2 G (s )  4 5 1   2 s  4s  5 s  4s  5 s s s2 G (s ) 

3(s  0.66) s 2  4s  5

EJERCICIO 2.14.

Obtener la función de transferencia de una planta que viene definida por el siguiente flujograma: 1 R'(s) 4 31 1 2 /(s+1) /(s+1) 7

6

1

5

C'(s)

La relación entre la salida C'(s) y la entrada R'(s), viene dada por: C' (s)  M ' (s)  R ' (s)

k Tk  k 

T1  2  5  10

1  1

T2  3  6  18

2 1

T3  4  7  28

3  1

26


Bucles:

T4  2 

1 12 6 s 1 s 1

4 1

T5  2 

1 1 14  7  s 1 s 1 (s  1) 2

5  1

T6  3 

1 21 7  s 1 s 1

6  1

No hay

Bucles disjuntos: No hay. Luego, sustituyendo: . = 1-i+ij-ijk+… = 1 - 0= 1 Se tiene entonces: M ' (s) 

k Tk  k 

M ' (s)  10  18  28 

M ' (s) 



T11  T2  2  ...  T6  6 1

12 14 21 33 14    56   2 s  1 (s  1) s 1 s  1 (s  1) 2

56 s 2  112 s  56  33 s  33  14 (s  1) 2

M ' (s) 

56 s 2  145 s  103 (s  1) 2

EJERCICIO 2.15.

Para el sistema del ejercicio 1.14. hallar la función de transferencia que relaciona la altura del líquido en el depósito h(t) y la tensión de referencia u(t), mediante la técnica de flujogramas. En el ejercicio 1.14. el sistema quedó definido por el siguiente diagrama de bloques: F(s) U(s) E(s) Qe(s) 1 H(s)  0.2  V(s) 10 101   +_ +_ s s   Qs(s) 0.009

27


Obtener en primer lugar el flujograma correspondiente al diagrama de bloques mostrado en la figura. U

1

E

 0.2  10  1   s V 

10

1 s

Qe

H

-0.009 -1

Aplicando la Regla de Mason se obtendrá la función de transferencia: T

 Tn  n 

  1   L1   L 2  

1  0.2  T1  10  1    10  s  s  1  1

1  0.2  L1  101    10   (1) s  s  1 L 2  (0.009) s

   0.2  1 1   1  101    10   (1)  (0.009) s  s s    s  0.2 H(s) s2  T s  0.2 0.009 U(s) 1  100 2  s s 100

T

H(s) 100(s  0.2)  2 U(s) s  100s  20  0.009s

T

H(s) 100(s  0.2)  2 U(s) s  100.009s  20

28

1

H


EJERCICIO 2.16.

Dado un sistema de control representado por el siguiente diagrama de bloques: R2(s)

R1(s)

Y(s) G2(s)

G1(s)

+

-

H1(s)

+

H2(s)

+ H3(s)

1.- Dibujar el flujograma correspondiente. 2.- Si se hace R2(s) = 0, hallar mediante la regla de Mason,

Y(s)  M (s) R1 (s)

1 1 . ; G1(s) = K y G2(s) = ( s  4)( s  6) s Obtener la función de transferencia G3(s) para que M(s) sea equivalente al sistema de la figura:

3.- Si en M(s), hacemos H2(s) = H3(s) = 1; H1(s) =

C(s)

R(s) G3(s)

+

-

1 s

1. Flujograma: Sustituyendo el diagrama de bloques: R2(s) 0

1

1

G1(s)

2

R1(s)

1

-1

3

-1

-H1(s)

G2(s)

5

H2(s)

4 -H3(s)

2- Ahora R2(s) = 0. La función de transferencia global del sistema será: M (s) 

Y(s)  R1 (s)

29

 TK   K 

1

6 Y(s)


Trayectos directos: 0 – 1 – 2 – 3 – 5 – 6 : G1(s)G2(s) Bucles:

B1:

1 – 2 – 3 – 5 – 1 : G1(s)G2(s)[-H3(s)]

B2:

1 – 2 – 3 – 5 – 4 – 1: G1(s)G2(s)[-H1(s)]H2(s)

B3:

2 - 3 – 5 – 4 –2 : G2(s)[-H2(s)]

Bucles disjuntos: No hay. Luego, sustituyendo: . = 1 – [G1(s)G2(s)[-H3(s)] + G1(s)G2(s)[-H1(s)]H2(s) +G2(s)[-H2(s)]] + 0 = = 1 + G2(s)[G1(s)[-H3(s)] + G1(s)[-H1(s)]H2(s) + H2(s)] K = 1 = 1 – 0 = 1 T1 = G1(s)G2(s) Se tiene entonces: M (s) 

Y(s)  R1 (s)

 TK   K  

G1 (s)  G 2 (s) 1  G 2 (s)  G1 (s)  H 3 (s)  G1 (s)  H1 (s)  H 2 (s)  H 2 (s)

1 1 3. Ahora, H 2 (s)  H 3 (s)  1; H1 (s)  ; G1 (s)  K; G 2 (s)  s (s  4)(s  6) sustituyendo en la ecuación anterior de M(s), se tiene: K Ks Ks (s  4)(s  6) M (s)    3 2 1 K 1  (K   1) s(s  4)(s  6)  s(K  1)  K s  10s  (25  K )s  K (s  4)(s  6) s

R1(s)

Ks 3 2 s  10 s  (25  K ) s  K

Y(s)

R(s) 

C(s) G3(s)

1 s

M(s)

30


G 3 (s)

M (s) 

1  G 3 (s) 

1 s



s  G 3 (s) s  G 3 (s)

 G 3 (s) 

s  M (s) K  2 s  M (s) s  10s  (25  K )

Luego la función de transferencia en lazo abierto del nuevo sistema, teniendo en cuenta que K = 1000, será: 1 F.T.L.A.'   K  G 3 (s) s F.T.L.A.' 

1000 s(s 2  10s  1025)

EJERCICIO 2.17.

G(s) es la función de transferencia de una planta, de la que se conoce su flujograma, que es el siguiente: -4 1 s 1 1

+1

2 s2

1 2 s s

2

-s

4

3

3 s3

5

+1

+10 6

1 s 4

8 s8

2

9

1 s

8

-7

1 s 10

-6

Calcular la función de transferencia de la planta, aplicando la regla de Mason.

Trayectos directos:

31

7


1  2  3  4  9  10  6  7  P1 

1  2  8  9  10  6  7  P2  Lazos disjuntos: L1 

1 1 10 1 1  2  10    2 2 s s s (s  s)(s  1) s 1 s  s 1 8 1 1 8     2 2 s  4 s  8 s s s (s  4)(s  8) 2

4  56 8 1 6 ; L 2  s; L3  7   ; L 4  6   ; s8 s8 s s s s 1 1 3 s 30   L5  10    s s s  3 s  2 s(s  2)(s  3) 2

Determinante del flujograma:   1  L1  L 2  L 3  L 4   L1 L 2  L1 L 3  L1 L 4  L 2 L 3  L 2 L 4   L1 L 2 L 3  L1 L 2 L 4  56 6    4( s)    4( 56)    4( 6)   4    1  2 s   2  s  8 s   s  s   (s 2  s)(s  8)   s(s 2  s)  s s  6  56 4   s( 56)    s( 6 )   4  ( s )   2  ( s )         2  s8 s s s  s s  s8   s  

s 5  72s 4  193s 3  450s 2  520s  192 s 2 (s  1)(s  8)

Cofactores: 1  1  L 2  1  (s)  1  s 3 2   4s  s  2s  5s  4  4   (s)    2  2  1  (L1  L 2 )  L1  L 2  1   2  s(s  1)  s s s s

Luego, G (s ) 

P1   1  P2   2 

Y sustituyendo los valores queda: G (s ) 

18s 3  96s 2  80s  352 s(s 2  4)(s 5  72s 4  193s 3  450s 2  520s  192)

32

Ejercicios Resueltos Diagrama de Bloques

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