Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental Ejercicio 1 ¿Cuál es la solución de la siguiente ecuación diferencial?
′ + 7 ′ + 3 = 0 2 : 0 = 3,3, ′0 = 0 ℒℒ22′′ + +7ℒ′7 + ′3 +=ℒ03 = ℒ0 22[[ 3] 0+ 7[′0] +37[7[] +33 =00] + 33 = 0 2 [22 + +7 77 +3]3 ]+ =3321+ =621 + 6 = 2 21 ++76+ 3
Solución Aplicando la transformada de Laplace, podemos obtener:
Aplicando la Propiedad 4 y 1, podemos obtener las si guientes transformadas:
Resolviendo la transformada de Laplace para hallar la ecuación real, mediante el uso de la transformada inversa, primero tenemos que desglosar la transformada de Laplace en una suma de fracciones, de la siguiente manera:
= 2 21 ++67 + 3 = 2 21++ 116 + 33 = 2+ 1 + + 3 21 +16 12 = → = 7.2 2 +3+ 3 21233+ 66 +3311 = → = 0.6 ℒ− = ℒ− {2+1+ 1} + ℒ− { + 3} = 2 ℒ− +1 12 + ℒ− { +1 3} = −.5 + − = 3.6−.5 0.6−
Si hacemos que s = -1/2, encontramos el valor de A:
Si hacemos que s = -3, encontramos el valor de B:
Aplicando la propiedad distributiva para la inversa de Laplace:
Despejando el valor de A y B, ya que son constantes:
Finalmente hallando las inversas de Laplace:
Reemplazando los valores de A y B respectivamente podemos obtener la función final:
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Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental Ejercicio 2 B-1-22. Simplifique el diagrama de bloques y obtenga la función de tranferencia de lazo
R(s)
cerrado C(s)/R(s).
H1
G1
G2
+
-
+
-
+
-
+
+
G3
C(s)
H2
H3
H1 / G2
R(s)
+
-
G1
+
-
+
-
G2
+
+
C(s)
G3
H2
H3
H1 / G2
R(s)
+
-
G1
+
-
1 +
1
+
+
G3
H3
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C(s)
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R(s)
+
G1
-
+
1+ +
-
C(s)
H3
R(s)
+
+ + + 1 +
-
C(s)
1
+ + + + + 1+1 +
R(s)
C(s)
Por tanto:
+ = + + + + 1+1 +
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Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental Ejercicio 3 Diseñe el modelado matemático para el control de nivel de un tanque
Solución Haciendo una grafica de la siguiente manera: Donde: Q: Caudal Promedio (m 3 /s) H: Altura Promedio (m) q ,i qo: Perturbaciones del caudal R: Resistencia de la válvula. C: Área de la Base (m 2 )
Haciendo un balance de materiales en el estado no estacionario:
= ± ó = =
Si decimos que el area de la base A puede ser caambiada por C, debido a la capacitancia del tanque, el cual se define como la variación en la cantidad del liquido, acumulado necesaria para producir una variación unitaria en el potencial potenci al (presión hidrostática). Como es un líquido incompresible entonces la densidad es constante, quedando finalmente la ecuación:
=1 = ⋯ ⋯ ⋯ 1 , ⁄, , = = ℎ ⋯ ⋯ ⋯ 2 ℒ { } ⟹ = 1 ( ) = ⟹ = 1
La resistencia está dada por la siguiente razón:
Es decir:
Aplicando la transformada de Laplace, podemos obtener las siguientes transformadas: Para la ecuación 1:
Si despejamos para obtener la ganancia:
En diagrama de bloques:
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ℒ ⟹ = = ⟹ = 1
Para la ecuación 2:
Si despejamos para obtener la ganancia:
En diagrama de bloques:
Ensamblando los diagramas de bloques obtenidos de la ecuación 1 y de la ecuación 2, podemos obtener:
Hallando el diagrama de bloques equivalente, podemos encontrar que:
1 + = 1 1 = 1 +11 1 = + 1 ℒ− {1+ 1} = 1 ∗ ℒ− +11 = −
Podemos decir finalmente que:
Reemplazando el valor respectivo de G 1 y G2:
Hallando la ecuación real, mediante la transformada inversa de Laplace:
Finalmente, podemos obtener:
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− = = ℎ = ∗
Despejando para poder hallar el caudal de entrada:
Del mismo modo para poder hallar la altura de la ecuación 2: Donde podemos decir que: C: Área de la base del tanque. R: Resistencia al flujo del fluid o (oscila 0.2≤R≤1) Una forma de encontrar el verdadero calor de R es graficando los valores experimentales de la altura en función del gasto o caudal, de la siguiente manera:
Así el verdadero de la resistencia se puede p uede obtener trazando la tangente la curva hasta que esta intercepte con la ordenada, de esta manera se puede evalual el verdadero valor de R.
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Tuberia 1 0.25
0.2
0.15 ) m ( a r u t l A
Tuberia 1 Polinómica (Tuberia 1)
0.1
0.05
0 0
0.000005
0.00001
0 . 0 00 01 5
0 . 00 00 2
0.000025
0.00003
0 . 0 00 035
Caudal (m3/s)
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