Ejercicios Ejercicio s de derivadas derivadas e integrales integrales
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Departament d’Estad´ıstica i Investigacio´ Operativa Unive Uni vers rsita itatt de Va Val` l`en enci cia a
Derivadas Reglas de derivacion
Suma
Producto
ociente
d [ ) (d ) + ( )] = t ( ) + x gt f x gx f x (x d t [kf(x)] = kf (x) dx d t f [ (x)g(x)] =f (x)g( x) f + (x)gt (x) dx r l t − (x)gt (x) d f (x) f ( x)g( x) f = dx g(x) g(x)2 d
Regla de la cadena
{ [g(x)] } f = t [g(x )]gt (x f )
dx
d
)])gt [h(x)]ht (x) f { (g[h(x)]) } f = t (g[h(x
dx
d
d k f [ (x )k ] = f
(xk ) = kxk −1
1 t (x)k − f (x )
dx
dx
Potencia
d
√
( x) =
dx
d
1
=
1
d
(x1 / 2 ) = √ 2 x dx d
−1 (x )=
−
1 2
t d l f (x ) [ f (x)] = l dx 2 f (x) r l t d f 1 (x) =−
2
2
Reglas de derivacion !continuacion" d [sin f(x )] = cos f( f x) t (x) dx d f(x)] = f( f x) t ( x) [cos − sin
d (sin xd x x) = cos
#rigonom´etricas
$unciones de arco
d 2 f(x f [tan )] = [1 + tan f (x )]
d (tan ) = 1 + tan2 xd x x
t
d 1 (arcsin x) = √ 2 dx 1−x
d f(x ) [arcsin )] =l t f(x dx 1 f − (x)2
d −1 (arc cos x) =√ 2 dx 1−x
d f − (x) t [arc cos f(x)] =l dx − (x)2 1 f
d (arctan x) =
d f(x) f(x [arctan )] = t 1 f + (x )2 dx
dx
E%ponenciales
dx
d − (cos ) = sin xd x x
1
1 + x2
d x x dx(e) = e d x x (x ln a) = a ad
(x)
d f ( x ) x ) t ( ) (e ) = ef ( f x dx d f x (a ( ) ) = af ( x ) ln aft (x) dx
d 1 (ln x) = x dx
d f( x) (ln f(x )) = t f(x dx )
d 1 1 (lga x) = xln a dx
t d f ( x) 1 (lga ( )) = (x) ln a dx fx f
&ogar´ıtmicas
Ejercicios de derivadas 1. Determinar las tangentes de los ´angulos que forman con el eje positio de las xlas l ´!neas tangentes a la cura y = x3 cuando x= 1/2 " x= −1# construir la gr´afica " representar las l´!neas tangentes. Soluci´on'( a) $%&# )" $. 2. Determinar las tangentes de los ´angulos que forman con el eje positio de las xlas l ´!neas tangentes a la cura y = 1/xcuando x= 1/2 " x= 1# construir la gr´afica " representar las l´!neas tangentes. Soluci´on'( a) '&# )" '1. 2 $. allar la deriada de la funci´on y= x4 + $x − .
Soluci´on'( yt = &x3 + x. &. allar la deriada de la funci´on y= x3 − x2. Soluci´on'( yt = 1*x2 − 2x. 5 .allar
la deriada de la funci´on y= x − x .
2
5
Soluci´on'( 2 x
.
yt = 5 x −
a+b
a−b
4
a+b
a−b 2
3
. allar la deriada de la funci´on y= x
− x +1
.
5
2
− Soluci´on'( t y = 3 x 5
. allar la deriada de la funci´on y= 2ax3 −b x + c . 2
Soluci´on'( yt = ax2 − b
2 x
. 7
5
*. allar la deriada de la funci´on y= x + &x + 2x. 2
5
2
3
Soluci´on'( yt = 21x + 1,x + 2. 2
2
√
√
3
-. allar la deriada de la funci´on y= $x+ Soluci´on'( 3
yt = √ + √ 2
1,.
x
1
3
−
√3
1
x
.
x 2 x
2
allar la deriada de la funci´on y= 3
Soluci´on'( yt =
2 3( x +1) ( x −1)
2 x
5
√
3
3
x x
ax
√3
x 3 3
−
bx− 5 + − x 7.
2
2
6
√
2 x − 2 x+ . √
2
12.allar la deriada de la funci´on y=
3
.
.
2
Soluci´on'( yt = 5 ax2
( x +1)
2 x 3
11. allar la deriada de la funci´on y= 2 1 t Soluci´on'( y =√ −1 . √ 3
x+ 1 .
3
+
b √
−
x x
x
√
. x
1
6
1$.allar la deriada de la funci´on y= (1 + &x3)(1 + 2x2). 3 Soluci´on'( yt = &x(1 + $x+ 1,x ).
1&.allar la deriada de la funci´on y= x (2x− 1)($x+ 2).
Soluci´on'( yt = 2(-x2 + x− 1).
1.allar la deriada de la funci´on y= (2x− 1)(x2 − x+ $). Soluci´on'( yt = x2 − 2x+ 12. 1.allar la deriada de la funci´on t
Soluci´on'(y
4 x (2b − x ) 3
=
2
2
y
=
4
.
2 x
b2− x 2
.
(b2− x 2)2
1.allar la deriada de la funci´on y=a+a− x . 2a Soluci´on'( yt = − . (a+ x )
f(t 1*. allar la deriada de la funci´on ) 1+ = tt . 3
2
2
2
t (3+t t Soluci´on'( (t )= . f (1+t 2 2 (s+4)
1-.allar la deriada de la funci´on ) = s+3 f(s t f Soluci´on'( ( s) =
(s+2)(s+4) s+3
.
. 3
2,.
allar la deriada de la funci´on = x +1 y x − x −2 2
4
y Soluci´on'(
2
3
−2 x −6 x −2 x +1 = x( x . 2 x −2)2 −
t
2 21.allar la deriada de la funci´on y= (2x − $)2. 2 Soluci´on'( yt = *x(2x − $).
22. allar la deriada de la funci´on y= (x2 + a2)5. 2 Soluci´on'( yt = 1,x(x + a2)4.
√
2$. allar la deriada de la funci´on y= x2 + a2. x
Soluci´on'( yt =
.
x 2+a2
√
√
2&. allar la deriada de la funci´on y= (a+ x) a− x. Soluci´on'( yt = a−3 x . 2
a−
2. allar la deriada de la funci´on y= /
1+ x
1− x
Soluci´on'( yt =
1 √ (1− x )
.
.
12− x
2. allar la deriada de la funci´on y=√2 x −1 . 2
x
1+4 x
t
Soluci´on'( y =
2 3
x 2(1+ x 2)
. 2
2. allar la deriada de la funci´on y= Soluci´on'( yt = √ 2 x +1 3
1+ x 2
√
3
2 + x+ 1. x
.
3 2
2
( x + x +1)
2*. allar la deriada de la funci´on y= (1 + 2
1
Soluci´on'( yt = r1 +√ \
x
3
√
3
x )3.
.
2-.
allar la deriada de la funci´on y= sin2 x.
Soluci´on'( yt = sin 2x. $,.
allar la deriada de la funci´on y= 2 sin x+ cos $x.
Soluci´on'( yt = 2 cos x− $ sin $x. $1.allar la deriada de la funci´on y= tan(ax+ b). Soluci´on'( yt = cos
a
.
2
$2.
y= sin x . allar la deriada de la funci´on 1+cos
1 Soluci´on'( yt =1+cos .
$$.
allar la deriada de la funci´on y= sin 2xcos $x.
Soluci´on'( yt = 2 cos 2xcos $x− $ sin 2xsin $x. $&.
allar la deriada de la funci´on y= cot2 x.
Soluci´on'( yt = −1, cot xcsc2 x. $. . t
f(t allar la deriada de la funci´on ) = tsin t+ cos
t f Soluci´on'( (t ) = tcos t .
$.
f(t allar la deriada de la funci´on ) = sin3 tcos t .
t f Soluci´on'( (t ) = sin2 t ($ cos2 t− sin2 t ).
√
allar la deriada de la funci ´on y= a
3 7 .
a sin Soluci´on'( yt = − cos
$*.
2 x
cos 2x.
.
allar la deriada de la funci´on y= 1 tan2 x. 2
Soluci´on'( yt = tan xsec2 x. $-.
allar la deriada de la funci´on y= ln cos x.
Soluci´on'( yt = − tan x. &,.
allar la deriada de la funci´on y= ln tan x.
Soluci´on'( yt =sin2
.
&1.allar la deriada de la funci´on y= ln sin2 x. Soluci´on'( yt = 2 cot x. &2.
y= tan x −1 . allar la deriada de la funci´on sec
Soluci´on'( yt = sin x+ cos x. &$.
allar la deriada de la funci´on y= ln /
x
1−sin x
Soluci´on'( yt =cos1 &&.
1+sin
.
f(x allar la deriada de la funci´on ) = sin(ln x). cos(ln
t (x) = x f Soluci´on'(
x )
.
.
&. allar la deriada de la funci´on ) = tan(ln x). f(x t
Soluci´on'( )= f(x
2
sec (ln
x )
x
.
f(x &. allar la deriada de la funci´on ) = sin(cos x). t f Soluci´on'( (x) = − sin xcos(cos x).
&. allar la deriada de la funci´on y= ln 1+ x . 1− x
2
t
Soluci´on'(y = . 1− x 2
2 &*. allar la deriada de la funci´on y= log3(x − sin x).
Soluci´on'( y
t
2 x −cos x
=
.
( x 2−sin x ) ln 3 2
&-.
allar la deriada de la funci´on = ln 1+ x 1− x y 2
Soluci´on'(y t = 4 x . 1− x 4
,. allar la deriada de la funci´on y= ln(x2 + x). Soluci´on'( yt = x 2 x +1 . 2
1.allar la deriada de la funci´on y= ln(x3 − 2x+ ). Soluci´on'( t = 3 x −2 . y x −2 x +5 2
3
2. allar la deriada de la funci´on y= xln x. Soluci´on'( yt = ln x+ 1. $. allar la deriada de la funci´on y= ln3 x. 2
Soluci´on'( t y = 3 x ln
√
&. allar la deriada de la funci´on y= ln(x+ 1 + x2). Soluci´on'( yt = √
1
.
1+ x 2
. allar la deriada de la funci´on y= ln(ln x). 1 Soluci´on'( yt = x ln
.
(4 x +5) . allar la deriada de la funci´on y= e .
Soluci´on'( yt = & e(4 x +5). 2
x . allar la deriada de la funci´on y= a .
Soluci´on'( yt = x 2xa
2
ln a.
*. allar la deriada de la funci´on y= ( x +2 x ). 2
Soluci´on'( yt = 2(x+ 1)( x +2 x ) ln . 2
x -. allar la deriada de la funci´on y= e (1 − x2).
x Soluci´on'( yt = e (1 − 2x− x2). x
e ,. allar la deriada de la funci´on ye= x x
2e . y =(e x +1) Soluci´on'( t
2
−1
.
.
1.allar la deriada de la funci´on y= esin x . sin x Soluci´on'( yt = e cos x.
2.
allar la deriada de la funci´on y= atan
Soluci´on'( yt = natan $.
nx
nx
.
sec2 nxln a.
allar la deriada de la funci´on y= ecos x sin x.
Soluci´on'( yt = ecos x (cos x− sin2 x). &.
x allar la deriada de la funci´on y= e ln(sin x).
x Soluci´on'( yt = e (cot x+ ln(sin x)).
.
1
allar la deriada de la funci´on y= x x . 1
Soluci´on'( t y = x x −1
x 2
.
allar la deriada de la funci´on y= xln x .
Soluci´on'( yt = xln x −1 ln x2. .
x allar la deriada de la funci´on y= x .
x Soluci´on'( yt = x (1 + ln x).
*.
x
x allar la deriada de la funci´on y= e . x
x x Soluci´on'( yt = e (1 + ln x)x .
Integrales #a)la de integrales inmediatas r
p+1 x
p
xdx= + C p −1) ( p+ 1 = / r
r
f (x ) p+1 p t f(x f ) (x )dx= + C p −1) ( p+ 1 = /
r t f (x )
1
dx= ln |x |+C x r
) f(x r
sin xdx= − cos x+ C r
t f(x)dx= − cos f(x f (x) sin )+C
r
cos xdx= sin x+ C
r
t f (x) cos f(x)dx= sin f(x )+C
r
1
dx= tan x+ C cos2 x r
r
1
r
1 + x2
√
1
dx= arctan x+ C
dx= arcsin x+ C 2 1−x
dx= − cot f(x) + C
t ( x) f
1 f + (x)2 r
f(x) + C dx= tan
t f ( x) 2 sin f (x)
r
1
t f ( x) 2 cos f (x)
dx= − cot x+ C sin 2 x
r
dx= ln f | (x)| + C
dx= arctan f(x )+C
t f ( x) l
1− (x)2 f
dx=
f arcsin (x) + C
1
#a)la de integrales inmediatas !continuacion" r
−1
dx= arc cos x+
r
f − (x)
2
r
r
x
t f (x )ef ( x ) dx= ef ( x ) + C
x
edx= e + C
r
x a dx=
x a
r
t f (x )af ( x ) dx=
+C
ln a
Ejercicios de integrales inde*inidas [ 1. /alcular la integral x5dx. x 6 Soluci´on'( + C. [ √ 2. /alcular la integral (x+ x)dx. √x 2 x 2x Soluci´on'( + + C. $ 2 √ $ xx 3. /alcular la integral[ √ − dx. & x
√
1 √ Soluci´on'( x− x2 x+ C. 1, 2 [ x &. /alcular la integral √ dx. x
Soluci ´on'(
√
2
x+ C.
2
5.
dx= arc cos f(x )+
C 1 f − (x)2
C
−
t
1[ x /alcular la integral
&
+ √ +2 xx
1 Soluci´on'(
$
−
*
2 x
− √ + 2x+ C.
x
x
dx.
fa ( x )
+C
ln a
. /alcular la integral Soluci ´on'(
&
[ 1
√ x3 + C. 4
dx . x
1
. /alcular la integral Soluci ´on'(
[
5 x e dx.
1 x 5
e + C.
[ *. /alcular la integral cos xdx. sin x Soluci + C. ´on'( [ -. /alcular la integral sin axdx. cos ax + C. Soluci´on'( a − [ ln x dx. /alcular la integral 1,. x
Soluci ´on'(
1 ln2 x+ C. 2 [ 1 11. /alcular la integral dx. 2 sin $x Soluci´on'( cot $x + C. − $ [ 1 12./alcular la integral dx. 2 cos x Soluci ´on'(
tan x
+ C.
1$./alcular la integral Soluci ´on'(
[
1
dx. $x−
1
ln |$x− | + C. $ [ 1 1&./alcular la integral dx. 1−x Soluci´on'( − ln |1 − x| + C. [ 1 1. /alcular la integral dx. − 2x 1
Soluci´on'( −
ln | − 2x| + C. 2 [ 1./alcular la integral tan 2x dx. 1
Soluci´on'( −
2
1 7 .
[
Soluci ´on'(
ln | cos 2x | + C. /alcular la integral
sin2 xcos xdx. sin3
x
+ C. $ /alcular la integral 1 8 . [ cos3 xsin xdx.
cos4 x + C. Soluci´on'( − &
1
1-./alcular la integral
[
√
x x2 + 1dx .
1l
Soluci ´on'(
(x2 + 1)3 + C.
$
x [ 2,.
lcular la/a integral 2x2 + $ dx. 1l 2 + $ + C. 2 x Soluci 2 ´on'( [ cos x 21./alcular la integral dx. 2 sin x 1
Soluci´on'( −
+ C. sin x [ sin x dx. 22. /alcular la integral 3 cos x Soluci ´on'(
1 2cos2
+ C.
x
2$. /alcular la integral Soluci ´on'(
[ tan x dx . 2 cos x
tan2 x + C. 2
2&. /alcular la integral cot2 x
Soluci´on'( −
2
[ cot x dx. sin2 x
+ C.
2. /alcular la integral
[ ln(x+ 1)
dx.
x+ 1 2 ln (x+ + C. 1) 2
Soluci ´on'(
[
√
cos x
2 6 . + 1 /a 2 sin lcular la integral
x Soluci´on'( 2 sin x+ 1 + C.
√
2. $
. dx
/alcular la integral (1 + cos 2 x)2 Soluci´on'(
[
sin 2x
dx.
1 1
+ C.
2(1 + cos 2x) 2*.
/alcular la integral 1 + sin2 x
l l
Soluci´on'( 2
1 + sin2 x+ C.
√
[tan x+ 1 29. /alcular la integral dx. cos2 2 x l Soluci (tan x+ 1)3 + C. ´on'(
[
sin 2x
dx.
$,.
2
/alcular la integral
[ ln x dx.
x 3
Soluci ´on'(
ln + C. x $
[ arcsin x $1./alcular la integral √ dx. 2 1−x 2 arcsin + C. Soluci x ´on'(
2 $2.
/alcular la integral 2 x
Soluci ´on'(
1
$&. Soluci ´on'( $.
dx.
+1
ln( x2 + 1) + C.
2
$$. Soluci ´on'(
[ x
/alcular la integral 2 x + 2x+ $
1
[ x+ 1
dx.
ln( x2 + 2x+ $) + C.
2
/alcular la integral
[
e2 x dx.
1 x 2
2
e + C. [
/alcular la integral 2
ex dx .
x
Soluci´on'( 2e + C. 2
$.
/alcular la integral
[
esin x cos x dx.
Soluci´on'( esin x + C. $. Soluci ´on'( $*.
/alcular la integral x $ x e ln $ + + C. 1
/alcular la integral 1
Soluci´on'( − e−
$-. Soluci ´on'(
[
[
x dx $ x e .
e−3 x dx.
3 x
+ C. $
/alcular la integral
[
x 2 e
+4 x +3
(x+ 2) dx.
1 x2 +4 x +3 + C. e 2
&,. 1
/alcular la integral 2 1 + 2x
√
2x) + C.
Soluci´on'( √ 2 arctan(
1
&1./alcular la integral [ √ dx. 2 1 − $x 1
√
[ 1
dx.
Soluci´on'( √ $ arcsin(
$x ) + C.
1
[
1
/alcular la integral √ - − x2 x Soluci´on'( arcsin + C. $ [ 1 dx. &$. /alcular la integral & + x2 &2.
Soluci ´on'(
1 x 2 arctan 2
+ C.
dx .
15
Integraci´on por partes 0ecordemos la f´ormula de la deria del producto de funciones d t t dx[u(x)v(x)] = u(x)v(x) + u(x)v(x), que epresada ajo forma de diferencial da lugar a
)v(x)] d[u(x
= d[u(x)]v(x) +
)d[v(x)]. u(x
u(x)d[v(x)] = d[u(x)v(x)] − v(x)d[u(x)].
De donde se otiene#
3ntegrando a4ora amos miemros tendremos r
r
u(x )d[v(x)] = u(x )v (x )−
v(x)d[u(x)],
que se escrie tami´en en forma areiada# r
r
udv= uv−
(1)
vdu.
Esta epresio´n es conocida como la f´ormula de la integraci´on por partes " es de[gran [ partir depara udva utilidad ladu resoluci´on de integrales. 5e aplica a la resoluci´on las integrales v la integral que se supone m´as sencilla. 6a aplicaci´on de (1)de eige primero identificar adecuadamente en el integrando las funciones u(x) " v(x). 7eamos un ejemplo
Ejemplo + Si queremos calcular la integral r
x3 ln xdx,
observemos que la integral de x3 es inmediata y que la derivada de ln xes tambi´en muy sencilla. As´ı, si asignamos 3 u= ln x y dv= x dx , tendrem 4 os dx x du= + C, y v= x
si integramos ahora r
x3 ln xdx =
=
=
ln x d
+ x C1 & 4
4
+
x C1 &
4
=
x
r
r
x &
1
&
l
+ C1
4
&
ln x r
−
ln x r
−
4
ln −
x
1
+ C.
+ x C1 & 4
3
C1
dx
x
x + dxx &
1
Observemos que la primera constante de integraci´on C1 se cancela de la respuesta nal ! C1 ln x− C1 ln x ". #ste es siempre el caso cuando integramos por partes, por ello, en la pr´actica, nunca incluimos una constante de integracio´n en v(x), simplemente tomaremos para v(x) cualquier primitiva de dv(x).
16
,lgunos tipos de integrales -ue se resuelven por partes [
n x x edx
u= xn
d
x dx =e
[
n xn sin x dx u= x
v
[
n xn cos x dx u= x
d
= cos xdx
[
n x dx u= ln x ln x
arctan xdx u= arctan x d = dx
ln xdx
u= ln x
d
[
arcsin xdx u= arcsin x
= dx
Ejercicios de integraci´on por partes [
x x e dx.
x x e Soluci´on'( x + C. −e [ 2. /alcular la integral ln xdx.
Soluci´on'( xln x− x+ C. [ $. /alcular la integral x2e3 x dx. 2 2 2 + C. Soluci´on'( e3 x x − x + $ 2
&. /alcular la integral
[
3 − x e dx. x
( ) 3 2 + $x + x+ + C. Soluci´on'( −e− x x [ . /alcular la integral xsin xdx.
Soluci´on'( −xcos x+ sin x+ C. [ . /alcular la integral x2 cos 2xdx. 2 xsin 2x xcos 2x 1 Soluci´on'( + − sin 2x+ C. & 2 2 [ x . /alcular la integral e sin xdx. x
Soluci´on'( −
x
e cos x+ e sin x + C. 2
*. /alcular la integral x 3
Soluci´on'( e (x3 $
[
x 3 dx . x5e
1) + C.
d v
v
1. /alcular la integral
d
= xndx
v
v
[
= sin xdx
v
v
[
d
= dx
17
Ejercicios de integrales de*inidas . c´alculo de ´areas 1. /alcular la integral definida 0 Soluci´on'(
1
.
2. /alcular la integral definida
[
1
x e dx .
0
Soluci´on'( e− 1. [π
$. /alcular la integral definida 0 Soluci´on'( 1. &. /alcular la integral definida Soluci´on'(
π . &
[ 0
2
sin xdx.
1
1
dx.
2 1+x
[
1
4 x dx.
. allar el ´area de la figura comprendida entre la cura y= & − x2 " el eje X. 2 Soluci´on'( 1, . $ . allar el ´area de la figura comprendida entre las curas y2 = -xe y= $x. 1 Soluci´on'( . 2 X " las . allar el ´area de la figura limitada por la 4ip´erola equil´atera xy= a2# el eje rectas x= a " x= 2a.
Soluci´on'( a2 ln 2.
