Ejercicio N° 1 Analice y grafique las funciones: a)
fx fx = 10 10
-para graficar esta función primero hallaremos los extremos relativos, igualando la primera derivada de la función a cero:
´´ = 0 La primera derivada de f(x):
´´ =10 ∗ 1 ´´ =10 Luego:
´´ = 0 ´´ =10 = 0 10 = 0 No es posible encontrar un valor real para “x”, por lo cual, la función f(x) no t iene extremos relativos.
-Para hallar el punto de inflexión hallaremos la segunda derivada y la igualaremos a cero:
´´´´ =10 ∗ 1 ´´´´ = 0 ´´´´ =10 = 0 Y con esto concluimos que no se puede encontrar un valor en el plano RxR entonces no posee un punto de inflexión. -podemos observar que el dominio de la función f(x) resulta que x pertenece al conjunto de los números reales. Por tanto:
∀→´ ∀→´ > 0 ´´´> > 0 1
lim = 0 →− lim = ∞ →+ Por lo tanto, tenemos:
b)
= −
-para graficar esta función primero hallaremos los extre mos relativos, igualando la primera derivada de la función a cero:
´´ = 0 La primera derivada de f(x):
1 2 2 1 ´´ = 1 ´´ = 2 1 Luego:
2
´´ = 0 2 = 0 1 2=0 =0 → → =0 = 2 → = 4 Ya tenemos los extremos relativos si embargo no sabes en qué punto la función convexa o cóncava, para ello, evaluaremos la segunda derivada:
222 22 22 1 ´´´´ = 1 2 ´´´´ = 1 Para hallar el punto de inflexión hallaremos la segunda derivada y la igualaremos a cero:
´´´´ = 0 2 =0 1 Como podemos observar no se puede hallar el punto de inflexión, entonces evaluaremos la función para y .
Evaluando:
2 = 2 2 < 0; ´´´´0 = 01 0; á á 2 = 2 2 > 0; ´´´´4 = 41 0; í Entonces tenemos que: (0;0) es el punto del máximo relativo en la función f(x). (2;4) es el punto del mínimo relativo en la función f(x).
-Se advierte que la función es discontinua en f´´(x) para valores distinto de
.
= 1
, por lo tanto, podemos evaluar f´(x) y
Por tanto:
3
∀< → ´´ > 0 ´´´< < 0
, entonces podemos afirmar que la función es cóncava y
tiene pendiente positiva.
Adicionando:
lim = ∞ → lim = ∞ →− ∀> → ´´ > 0 ´´´> > 0, entonces podemos afirmar que la función es convexa y tiene pendiente positiva.
lim = ∞ → lim = ∞ →+ El análisis anterior nos permite establecer el siguiente gráfico:
4
c)
f(x) = x − Ln(x)
-para graficar esta función primero hallaremos los extremos relativos, igualando la primera derivada de la función a cero:
´´ = 0 La primera derivada de f(x):
´´ = 1 1 ´´ = 1 Luego:
´´ = 0 ´´ = 1 = 0 1=0 =1 → → = 0 -Para hallar el punto de inflexión hallaremos la segunda derivada y la igualaremos a cero:
11 ´´´´ = 1 ´´´´ = 1 ´´´´ = 0 1=0 Y con esto concluimos que no posee un punto de inflexión. Evaluando
= 1
en la segunda derivada:
´´´´1 = 11 = 1 1< 1 < 0; 0; í í 5
Entonces tenemos que: (1;1) es el punto del mínimo relativo en la función f(x). -Se advierte que x pertenece <0;+∞> entonces podemos evaluar la función en y f´´(x) para valores distinto de
.
= 0
en f´(x)
Por tanto:
∀> → ´´ > 0 ´´´> > 0
, entonces podemos afirmar que la función es convexa y
tiene pendiente positiva.
Adicionando:
lim = ∞ → lim = ∞ →+ Con este análisis podemos graficar la función f(x):
6
Ejercicio N° 2 Se tiene una cuerda para delimitar un terreno. Si el terreno ha de tener un perímetro de 49 metros, ¿cuál debe ser el largo y el ancho para que el área sea el máximo posible? X= ancho y Y= largo
2=22 = 492 =
y
x
A max= YX
A max=
Dom <0;49/2>
A max=
0
Inicialmente hallaremos la primera derivada para después conocer los ex tremos relativos con la condición de primer orden: A´=0
´ = 492 2 49 2=0 2 =12.25 Finalmente, utilizaremos la condición de segundo orden: A´´<0
´´ = 2 2 < 0
la función A
Reemplazando: A max:
∗12.2512.25 7
A max= 150.0625 X= 12.25 Y=12.25 Entonces el largo y el ancho para que el área sea el máximo posible es de 12.25 para ambos casos
Ejercicio N° 3 Encontrar dos números reales tales que su suma sea 20 y su producto sea máximo. Sean X e Y dos números que pertenecen al conjunto de números reales (1) Nos piden hallar f máx.
= 20 , , = 2
Despejamos y de la ecuación número 1 y la reemplazamos en la ecuación ec uación número 2:
=20 = 20 20 = 20
Para hallar los extremos relativos comenzaremos hallando la primera derivada para después igualarla a cero.
= 10 =100
´´ =202 ´´ = 0 202=0
Finalmente, utilizaremos la condición de segundo orden: f´´(x)<0
´´´´ =2 2<0 La función es continua en 10 e ntonces x=10 es un máximo, por ende y=10 Entonces cuando los números x e y sean 10 y 10 su producto será ser á máximo.
Ejercicio N° 4 El costo total de producir q unidades de producto se expresa por la función:
=0.05 5500 8
¿Cuál debe ser el nivel de producción para que el costo medio sea mínimo? Sabiendo que:
= Reemplazando en la ecuación
5500 0. 0 5 = Inicialmente hallaremos la primera derivada para después conocer los ext remos relativos con la condición de primer orden:
´ ´ = 0 5500 0.150.05 ´ ´ = ´ ´ = 10000 20 10000 20 = 0 =100 =100 Para saber si los puntos que hallamos son convexos o cóncavos utilizaremos la condición de segundo orden:
Reemplazaremos
´´ ´´ > 0 0.1 10000 0. 1 ´´ ´´ = ´´ ´´ = 10000 10000 > 0 en la condición condición de segundo orden
10000 > 0 100 10000 > 0 100 Podemos observar que para q=100 se logra minimizar el Costo Medio(CMe)
9
Ejercicio N° 5 La empresa Cable TV tiene actualmente act ualmente 2000 suscriptores que pagan una cuota m ensual de S/ 350. Una encuesta revelo que te ndrían 50 suscriptores más por cada S/ 5 de disminución en la cuota. ¿Cuál será la cuota mensual para que el ingreso de la empresa sea máximo m áximo y cuantos suscriptores se tendría? S=2000 Y C= 50
= 50 =25 2 Primeramente, plantearemos una función para S= S=S(c)
= 25 1 Por datos se conoce que:
50 50 =2000 2 Reemplazando:
2000= 25∗50 3250= 3
Remmplazaremos (3) en (1)
=325025 El ingreso de la empresa es:
== == 325025 325025 = 325025 Condición de primer orden :
´´ = 0 ´´ =325050 325050 = 0 = 65 10
El ingreso correspondiente a c es:
= 3250∗652565 =105.625 Condición de segundo orden para maximizar los ingresos:
´´ ´´ < 0 ´´ ´´ =50
y -50<0 entonces la función es cóncava o sea en
se maximiza el ingreso
Para hallar la cantidad de suscriptores
=325026∗65 =1625
S( s(
Ejercicio N° 6 Un artículo aparecido en una revista de economía afirma que, si ahora se inicia un program a específico de servicios de salud, en t años, n miles de personas adultas recibirían beneficios directos. El número de personas adultas se expresa por la función:
= 13 6 32;0≤≤12 ¿En qué momento del tiempo t se te ndrá que atender al máximo número de beneficiarios del programa?
Para hallar los extremos relativos utilizaremos la condición de primer or den n´(t)=0 para lo cual hallaremos la primera derivada:
´ ´ = 33 1232 ´´ = 1232 1232=0 = 4 = 8 Para hallar el periodo t que maximizara m aximizara el numero de beneficiarios, utilizaremos la condición de segundo orden n´´(t)<0, para lo cual hallaremos la segunda derivada
´´ ´´ =212 ´´ ´´ < 0 11
212<0
´´ ´´4 =2∗412 ´´ ´´8 =2∗812
=-4 y -4<0; esta cumple la condición de de segundo orden =4 y 4>0; esto no cumple con CSO
De esta operación podemos deducir que en t=4 se maximizara el numero de usuarios
= 13 6 32 4 = 13 4 64 32∗4 4=53 Entonces 53 personas adultas recibirían beneficios directos para t que pertenece al Intervalo de
0≤≤12
Ejercicio N° 7 La función de demanda de un mercado monopólico es: p = 400 − 2q
Y la función de costo medio:
=0.24 400 a) Determinar el nivel de producción que maximiza las ganancias.
= 400 = 4002 40020.24 =2.2 ´=4.4396 ´=0 4.4396=0 =90 +396q-400
Condición de primer orden:
Nivel de producción máxima.
Condición de segundo orden:
´´<0
´´=4.4
entonces la función es cóncava b) Halle el precio al que ocurre la máxima ganancia.
=4002 =400290 90
c)
P=220 Encuentre el valor de la ganancia máxima.
12
396400 =2.2=17420
d) Si como medida regulatoria, el gobierno impone un impuesto de S/. 22 por unidad Impuesto(T)=22 al monopolista, ¿Cuál es el nuevo precio que maximiza las ganancias?
Si: T(q)=22q Entonces
=400222 P=400+20q
Ejercicio N° 8 Sea la función de demanda de un producto:
=∝ ∀
Donde x es el precio de dicho producto. Demostrar x, que la elasticidad puntual de f es igual a β. (Si la función f es una potencia de x , entonces la elasticidad es igual al ex ponente) Aplicando la siguiente fórmula para el cálculo de elasticidades:
= ∗ = ∗ = ∝ − ∗ ∝ ∝ = ∗ ∝ = Ejercicio N° 9 Sea la función de demanda del bien q:
= = 1000 a) Hallar la elasticidad puntual de la demanda.
= ∗ 13
= ∗ 1000∗2 = 2000 = 1000 = 1000 Reemplazamos :
= 2000 ∗ 1000 = 2
b) ¿Depende la elasticidad del nivel de precio en e ste caso? No depende del precio c) ¿Cuál sería el cambio relativo aproximado en la demanda si el precio p aumenta un 10%?
= = 0.1000 1 = ∗ = ∗0.1 1000∗0.2 0.1 = 200 0.1 = 0.1001 = 0.01 100 Reemplazamos:
200 0. 0 1 = 0.01 ∗ 100 14
= 2 No habría un cambio -2=-2
Ejercicio N° 10 Sea la función de demanda:
= = 500 2 a) Hallar la elasticidad puntual de la demanda. Se sabe que:
= ∗
o
=
Donde:
= = 500 = 44 500 2 2 = 44 = 1 2 = 1 44 =1 = 2
b) ¿Existe algún nivel de precio para el c ual la elasticidad es unitaria?
Ejercicio N° 11 Un fabricante de bicicletas puede vender actualmente 5 00 unidades por mes a un prec io de S/ 800 cada una. Si el precio se reduce a S/ 700, podrían venderse 50 bicicletas adicionales por mes. Estimar la elasticidad de la demanda para el precio actual.
15
∆%=10% ∆%=12.5%
=500 =550 =800 =700
Se sabe que:
= ∆% ∆% = 12.105 =0.8 Ejercicio N° 12 Si Q = Q(P) es una función de demanda con relación a su precio, entonces el ingreso del productor al vender Q unidades al precio P es I(P) = P.Q(P). Si denominamos EQ a la elasticidad de la demanda con relación al precio y EI a la elasticidad del ingreso con respecto al precio, demuestre que se cumple EI = 1 + EQ.
Ejercicio 8.1. (1) Determine la diferencial de dy dada: a)
=( =( )
Aplicando :
b)
c)
=´ =´. = 3 3 =3 =3 1 = ´´ = ´´ = 75 75 7 8 =1451 = + ´´ = 12 1 16
= 11 Ejercicio 8.3 1. Use las reglas de diferenciales para hallar a) a partir de
=3 2 6 6 6 6 6
=2 9 =2 9 9 2 = 29 9 2 b)
a partir de
.
Compruebe las respuestas contra las obtenidas en el ejercicio 8.2-2
de las siguientes funciones: a) = + = = b) = + =2 2 2 2 =2 2 2 2 2 2 2 2 = 2 2 = 2. Use las reglas de diferenciales para hallar
Compruebe las respuestas contra las obtenidas en el ejercicio 8.2-3
17
=
3. Dada: a) Determine
por la regla VII.
-Regla VII:
= -Recordando que una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una función, sus variables y sus derivadas.
= 2 1 53 3 52 1 32 1 5 5 2 5 2 1 =3 =32 1 = = 0 =32 1 5 2 502 10 5 =3 =32 1 b) Encuentre la diferencial de , si
4. Pruebe las reglas II, III, IV y V, suponiendo qué y son las variables independientes (en vez de funciones de algunas otras variables). Regla II:
=− -Utilizando la regla de la potencia:
− = =− Regla III:
± =±
-Utilizando la regla de la suma/diferencia:
[ ± ] = ± ± = 18
± =± Regla IV:
= [ ] = . . ′ = = -Utilizando la regla del producto
Regla V:
= 1 = . . ′ = = 1 = 1
-Utilizando la regla del cociente.
Ejercicio 8.4. (1) a)
= , , =5; ; = = 3 =5 =52 = ∗ 19
b)
c)
=6 +18 30 =4 32; = =832
= 4 32 = ∗ = 82 8 2; = 2 ; = 2 7 =22 = 4 = ∗ = 227 7 4 4
Ejercicio 8.5.
,, = 0 ,, = =0 = 2 3 = = 2 3 1. Para cada
use la regla de la función implícita para hallar
a)
y :
,, ,, = 4=0 = = 3 4 3 4 b)
20
,, ,, = 3 = 0 4 = = 6 9 23 2 = = 2 9 2 3 2 c)
Ejercicio 8.6. 1. Sea la condición de equilibrio para el ingreso nacional.
= ; , , >0 ; > Donde S, Y, T, I y G significan ahorro, ingreso nacional, impuestos, inversión y gasto público respectivamente. Todas las derivadas son contínuas. a) Interprete los significados económicos de las derivadas S’, T’ e I’. Solución:
= =
Propensión Marginal a Ahorrar
=Tasa de impuesto Marginal a la Renta Propensión Marginal a invertir
b) Compruebe si se satisfacen las condiciones del teorema de la función implícita, en caso afirmativo, escriba la identidad de equilibrio. -La condición de equilibrio exige:
, , =3 = 0 = ′≠0
-Encontramos que tiene derivada parcial
-Concluimos que el teorema de la función implícita es aplicable, entonces la identidad de equilibrio es:
∗∗ ∗ = 0 c) Encuentre
∗
y explique sus implicaciones económicas.
21
∗ = 1 ′ 1 ′ > 0
-Al aumentar
aumentará el ingreso nacional de equilibrio
Ejercicio 9.3. 1. Encuentre las derivadas segunda y tercera de las siguientes funciones:
= ′ = 2 = 2 = 0 = ′ =28 3 =84 ′′ =168 a)
Primera derivada de
Segunda derivada de
Tercera derivada de
b)
Primera derivada de
Segunda derivada de
Tercera derivada de
ℎ = − ; ≠1 ℎ 3 ℎ′ = 1 ℎ c)
Primera derivada de
Segunda derivada de
22
6 ℎ = 1 Tercera derivada de
ℎ
18 ℎ′′ = 1 + ; ≠1 − 2 ′ = 1 4 ′′ = 1 12 ′′′′′′ = 1 d) j(x)=
Primera derivada de
Segunda derivada de
Tercera derivada de
2. ¿Cuál de las siguientes funciones cuadráticas es estrictamente convex a? a) b)
=9 48 =3 39 =6 = 6 <0 ; ó =92 =4 = 4 <0 ; ó c)
23
=85 =25 ′ = 2 >0 ; d)
3. Dibuje: a) una curva cóncava que no es estrictamente cóncava b) una curva que califica al mismo tiempo como curva cóncava y convexa.
Ejercicio 9.4 1. Halle los máximos y mínimos relativos de y mediante el criterio de la segunda derivada: a)
=2 825 =48 48=0 =2
= 4 4<0
Existe un máximo relativo
-Reemplazando: a)
=2 =22 8225 =33 Existe un máximo relativo y absoluto
b)
= 6 9 3 = 12=0 3 12 == 40
=6012 12 > 0→=6412 íí 12 12 < 0 → á á
-Reemplazando:
=0 60 9 =9 =4 64 9 24
=9 = 3 53 =26 =65=0 65 5 = 25 6 = 4 > 0 → 1 = 21 6=4<0→ == 15 1 = 5 = 3 5 35 553 =5.33 5,5.33 1 = 1 = 3 1 31 513 =5.33 1,5.33 c)
existe un minimo existe un máximo
-Reemplazando: Para
-Existe un mínimo relativo en Para
-Existe un máximo relativo en
; ≠ = − 22 = 212 12 2 = 12 = 0 2 =0 12 = 0 d)
-No se puede evaluar
para ningún valor de x
-La función no tiene extremos relativos.
2. El señor Greenthumb desea cercar un campo de flores rectangular, usando una pared de su casa como un lado del rectángulo. Los otros tres lados se encerraran con malla
25
de alambre, de la cual tiene sólo 64pies disponibles. ¿Cuáles son la longitud L y el ancho W del rectángulo con el cual obtendría el área de plantación más grande posible? ¿Cómo ¿Có mo se asegura de que su respuesta sea el área más grande y no la más pequeña? Solución:
=ℎ = 2=64
-Los otros tres lados deben satisfacer:
64 = =642 =642 =<0,32> 644 644 = 0 = 16 64 642 L+2W=
Se advierte que:
Para maximizar es necesario ;
Lo cual ocurre sólo cuando
= 16
L+2W= L=
L=32 pies
= = 512 512 ′′ = 4 -Sabiendo que
es negativo no es un máximo
3. Una empresa tiene las siguientes funciones de costo total y demanda:
= 13 7 11150 =100
a) ¿La función de costo total satisface las restricciones de coeficientes de (9.5)?
26
Restricciones de coeficientes:
..>0 ; <0 ; <3 = 7 11150 = 13 =7 =111 =50 ..>0 1 , 111, ó ó 3 111,50 > 0 → <0 7< 7 < 0 → óó <3 7 31/3111 49<111→ ó Hallamos:
La función de CT si satisface la restricción de coeficientes
b) Escriba la función de ingreso total en términos de Q. -sabiendo que:
=
Para que la función de IT este en términos de Q, necesitamos despejar p de la función de demanda.
=100 =100 Hallamos IT
= = 100 =100 27
c) Formule la función de ganancia total en términos de Q
= =100 13 7 11150 = 13 6 1150 ∗ = 0 = 1211 1211=0 6 = 25 = 11 = 1 = 11 La función de ganancia es:
d) Encuentre el nivel de producción
de maximización de ganancia.
Si se desea maximizar las ganancias, es necesario: n ecesario:
El nivel de producción que maximiza la ganancia es
e) ¿Cuál es la ganancia máxima? Reemplazamos en la función de ganancias:
= 13 11 611 111150 =111.3
6. Una empresa en un mercado competitivo puro tiene una sola variable de insumo (Mano de obra), y la tasa de salario es por periodo. Sus costos fijos le cuestan un total de dólares por periodo. El precio del producto es
a) Escriba la función de producción, la función de ingreso, la función de costo y la función de ganancias de las empresas.
Función de producción
28
= Función de ingreso
= . ó = Función de costo
= Función de ganancias o beneficios
= ó b) ¿Cuál es la condición de primer orden para la maximización de ganancia? Dé a esta condición una interpretación económica.
Condición de primer orden: Exige:
= ′ = 0
c) ¿Qué circunstancias económicas asegurarían que se maximizara la ganancia en vez de minimizarse?
Condición de segundo orden: Exige:
= ′′<0
29
