EJERCICIO N°1 La variabilidad en la cantidad de impurezas presentes en un lote de productos químicos, utilizada para un proceso en particular, depende del tiempo que tarda el proceso. Un fabricante que emplea dos líneas de producción 1 y 2, hizo un pequeño ajuste al proceso 2, con la esperanza de reducir la variabilidad, así como la cantidad media de impurezas en los productos químicos. Muestras de n 1=25 y n 2=20 mediciones de dos lotes produjeron las siguientes siguientes medias y varianzas:
¿Presentan los datos evidencia suficiente para indicar que las variaciones del proceso son menores para el 2? Realice una prueba con un α = 0.05.
Solución Datos:
Estadístico de prueba:
Población 1 Población 2
La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor. n1 = 25 n2 = 20 = 0.05
Entonces los grados de libertad uno será el tamaño de la muestra de la población uno menos uno.
Ensayo de hipótesis: 1=
Regla de decisión: Si Fc 2.11 No se rechaza H o, Si la Fc > 2.11 se rechaza H o. Cálculo:
25-1 = 24 y
2 = 20-1=19.
SOLUCIÓN CON MINITAB
P= 1-0.509 P= 0.05 0.05 ≥ 0.05
Como el valor de P =0.05 es igual a 0.05 no se rechaza H o, y se concluye con un α = 0.05 que no existe suficiente evidencia para decir que la varianza del proceso 2 es menor que la del proceso 1.
EJERCICIO N°2 En su incansable búsqueda de un sistema de llenado adecuado de aceites para motor, cierta empresa prueba dos máquinas. Robo-fill se usa para llenar 16 tarros y da una desviación estándar estándar de 1.9 onzas en el llenado. Con Automat-fill se llenan 21 frascos f rascos que dan una desviación estándar de 2.1 onzas. Si la empresa tiene que elegir uno de estos sistemas en función de la uniformidad de llenado. ¿Cual deberá seleccionar? Use un α= 0.10.
SOLUCIÓN Datos:
Ensayo de hipótesis:
Robo-Fill sRF = 1.9 nRF = 16 α
= 0.10
Estadístico de prueba:
Automat-Fill sAF = 2.1 nAF = 21
La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor. Entonces los grados de libertad uno será el tamaño de la muestra de la población uno menos uno .
Regla de decisión: Si Fc 2.20 No se rechaza H o, Si la Fc > 2.20 se rechaza H o. Cálculo:
1=
21-1 = 20 y
2 = 16-1=15.
SOLUCIÓN CON MINITAB
P= 1-0.93626 P= 0.0632 0.10 ≥ 0.0632
Como 0.0632 es menor que 0.10 no se rechaza H o, y se concluye con un α = 0.10 que la variación de llenado de la máquina Robo-Fill no es menor a la de Automat-Fill, por lo que se selecciona cualquier máquina.
EJERCICIO N°3 Las capas de óxido en las obleas semiconductoras son depositadas en una mezcla de gases para alcanzar el espesor apropiado. La variabilidad del espesor es una característica crítica de la oblea, y lo deseable para los siguientes pasos de la fabricación es tener una variabilidad baja. Para ello se estudian dos mezclas diferentes de gases con la finalidad de determinar con cuál se obtienen mejores resultados en cuanto a la reducción en la variabilidad del espesor del óxido. Veintiún obleas son depositadas en cada gas. Las desviaciones estándar de cada muestra del espesor del óxido son s 1 = 1.96 angstroms y s2 = 2.13 angstroms. ¿Existe evidencia que indique una diferencia en las desviaciones? Utilice α=0.05. Solución:
Datos: s1= 1.96 n1 = 21 s2 = 2.13 n2= 21
Ensayo de hipótesis:
La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor . Entonces los grados de libertad uno será el tamaño de la muestra de la población uno menos uno. 1= 21-1 = 20 y 2 = 21-1=20. Regla de decisión: Si Ho= Fc
2.46 No se rechaza H o,
Si Ho= Fc > 2.46 se rechaza H o.
Cálculo: Estadístico de prueba:
SOLUCIÓN CON MINITAB
P= 1-0.974464 P= 0.02554 0.05 ≥ 0.02554
Como 0.02554 es menor que 0.05 no se rechaza H o.
EJERCICIO N°4
La variabilidad en la cantidad de grasa presente en un lote de un complemento dietético, utilizada para un proceso de fabricación de un alimento, depende del origen del complemento. Un fabricante que recibe el complemento de dos proveedores 1 y 2, hizo una comparación analizando muestras de ambos proveedores. Muestras de n 1=10 y n2=16 mediciones de dos lotes produjeron las varianzas: S21=1.25 y S22=0.5 ¿Presentan los datos evidencia suficiente para indicar que la variabilidad en el contenido de grasa es menor para el producto que se recibe del proveedor 2? Realice una prueba con un = 0.05.
Solución. Datos:
La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor.
n1 = 21 n2= 16
Entonces los grados de libertad uno será el tamaño de la muestra de la población uno menos uno.
Ensayo de hipótesis: 1=
10-1 = 20 y
2 = 16-1=20.
Regla de decisión: Si Ho= Fc
Estadístico de prueba:
2.58 No se rechaza H o,
Si Ho= Fc > 2.58 se rechaza H o.
Cálculo:
F= 2.5
SOLUCIÓN CON MINITAB
P= 1-0.94 P= 0.05 0.05 ≥ 0.05
Como 0.05 ≤0.05 no se rechaza H o, y se concluye con un
= 0.05 que no existe suficiente evidencia para decir que la variabilidad del contenido de grasa del complemento del proveedor 2 es menor que la del complemento suministrado por el proveedor 1.
EJERCICIO N°5 Encontrar el valor de f en cada caso 1. 2. 3. 4.
α= 0.25 F1=4 F2=9 α= 0.95 F1=15 F2=10 α= 0.25 F1=6 F2=8 α= 0.25 F1=24 F2=24
1. F=3.633
2. F=2.845
3. F= 3.581
4. F=1.984
EJERCICIO N°6 Un ingeniero, investiga si la duración de un material de construcción guarda relación con el tiempo en que se ha producido, recogió la información de 216 muestras recogidos y categorizados por su tiempo y duración.
La primera hipótesis nos dice que la falla si depende del tiempo Y la segunda hipótesis la contradice. Falla leve Falla media Falla alta
I 15 8 1
II 32 29 20
III 18 23 25
SOLUCIÓN CON MINITAB
Según los datos obtenidos, la falla si guarda relación con el tiempo
IV 5 18 22
EJERCICIO N°7 Un investigador quiere estudiar si hay asociación entre la práctica deportiva y la sensación de bienestar. Extrae una muestra aleatoria de 100 sujetos. Los datos aparecen a continuación. Sensación de
Práctica deportiva
Bienestar
Sí
no
Sí
20
25
45
No
10
45
55
Total
30
70
100
SOLUCIÓN 1) Grados de libertad, son: K = (número de fila-1)x(número de columnas-1) = (2-1)x(2-1) = 1 2) El valor alfa 0,05 3) El valor que buscamos 2
g .l .;
2
1;0, 01
6,63
4) Tenemos 2
8,13 SOLUCIÓN CON MINITAB exp
Total
0.05 > 0.017 SIGNIFICADO en el ejemplo: La práctica deportiva y la sensación de bienestar estás asociadas.
EJERCICIO N°8 Se desea estudiar hasta qué punto existe relación entre el tiempo de residencia de inmigrantes en nuestro país y su percepción de integración. Se dispone de una muestra pequeña de 230 inmigrantes a los que se les evaluó en ambas variables obteniéndose la siguiente tabla de frecuencias observadas. ¿Confirman estos datos la hipótesis planteada con un nivel de confianza del 95%? Tiempo de residencia
Grado de integración
Total
Bajo
Alto
Más tiempo
40
90
130
Menos tiempo
90
10
100
Total
130
100
230
1) Grados de libertad, son: K = (número de fila-1)x(número de columnas-1) = (2-1)x(2-1) = 1 2) El valor alfa 0,05 3) El valor que buscamos 2
g .l .;
2
1;0, 05
3,84
4) Tenemos 2
exp
80,69
SOLUCIÓN CON MINITAB
0.00 < 0.05 SIGNIFICADO en el ejemplo: El tiempo de residencia y el grado de integración estás asociadas.
EJERCICIO N°9 El artículo “Ozone for Removal of Acute Toxicity from Logyard Run-off” (M. Zenaitis y S.
Duff, en Ozone Science and Engineering, 2002:83-90) presenta análisis químicos del agua que escurre de aserraderos en la Columbia Británica. Incluye seis mediciones de pH para seis muestras de agua: 5.9, 5.0, 6.5, 5.6, 5.9, 6.5. Suponiendo que éstas sean una muestra aleatoria de las muestras de agua de una población aproximadamente normal, encuentre un intervalo de confianza de 95% para la media del pH.
SOLUCIÓN CON MINITAB
EJERCICIO N°10 El artículo “An Automatic Visual System for Marble Tile Classification” (L. Carrino, W. Polini,
y S. Turchetta, en Journal of Engineering Manufacture, 2002:1095-1108) describe una medida para la sombra del azulejo de mármol en el cual la cantidad de luz reflejada por éste se mide en una escala de 0-255. Un azulejo perfectamente negro no refleja luz alguna y mide 0, y un azulejo perfectamente blanco mediría 255. Se midió una muestra de nueve azulejos Mezza Perla, con los siguientes resultados: 204.999 206.149 202.102 207.048 203.496 206.343 203.496 206.676 205.831 ¿Es adecuado utilizar la estadística t de Student para construir un intervalo de confianza de 95% para la media de la sombra del azulejo Mezza Perla? Si es así, hágalo. Si no, explique por qué.
SOLUCIÓN CON MINITAB
EJERCICIO N°11 Una química hizo ocho mediciones independientes del punto de fusión del tungsteno. Obtuvo una media muestral de 3 410.14°C y una desviación estándar muestral de 1.018°C. a) Determine un intervalo de confianza de 95% para el punto de fusión del tungsteno.
SOLUCIÓN CON MINITAB
EJERCICIO N°12 Se toman cinco mediciones de la clasificación de octano para un tipo especial de gasolina. Los resultados (en %) son 87.0, 86.0, 86.5, 88.0, 85.3. Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la media de la clasificación de octano de media para este tipo de gasolina.
SOLUCIÓN CON MINITAB
EJERCICIO N°13 Actualmente en el Perú las supervisiones de obra son relativamente importante, debido a que la corrupción en nuestro país cada día es peor. Para esto tenemos un cuadro donde nos representa una muestra de la supervisión de obras en la región de Cajamarca. SUPERVISIÓN DE OBRA S1 S2 S3 S4
Peor
Igual
Mejor
7 15 10 5
28 20 30 40
115 85 90 115
Donde la hipótesis nula es la que la variable supervisión de obra con la variable estado de la obra son independientes. Determinar por medio de la prueba chi cuadrada y dar la conclusión con respecto a la hipótesis. RESOLUCIÓN 1. Copio la tabla en Excel 2. Lo paso a Minitab
3. Resuelvo e identifico p value. Primero voy a tablas, luego a tabla cruzada chi cuadrado.
4. EL VALOR DE P- VALUE ES DE 0.037, es menor a 0.05 entonces se concluye que la supervisión de obra influye en el estado de una obra y por lo tanto se rechaza la hipótesis nula.
EJERCICIO N°14 Para la construcción de caminos en el Perú, se necesita de instrumentos en buen estado, como también la cantidad de instrumentos tiene que ser elevada para que sea rápida la entrega. En el siguiente cuadro de contingencia se muestra la construcción de caminos en 4 departamentos del Perú con sus respectivos estados y frecuencias. Determinar por medio de la prueba chi cuadrado, si se rechaza o no la hipótesis nula, siendo esta que los instrumentos no influyen en la construcción de los caminos del Perú. CAMINOS C1 C2 C3 C4
Mal estado Intermedio Buen estado 22 50 37 15 20 19 20 30 17 28 40 25
1. Copiamos la tabla a Excel 2. Transcribimos a Minitab
3. Resolvemos y encontramos el valor de p value.
4. Conclusión: Como el valor de p-value es mucho mayor al de 0.05 entonces se rechaza la hipótesis nula y esto quiere decir que la influencia del estado de los instrumentos influye bastante en la construcción de caminos y carreteras.
EJERCICIO N°15 En la ciudad de Cajamarca se quiere construir un supermercado para lo cual se necesita de personal de servicio con su mucha eficiencia al trabajar. A continuación, se muestra una tabla de contingencia donde se muestran los obreros por cada nivel. Determinar por medio de chi cuadrado el valor de p – value y ver si es que se rechaza o acepta la hipótesis nula, siendo esta que la eficiencia de los obreros influye en la construcción de los niveles del edificio. NIVEL DE EDIFICIO N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7
No eficiente 22 15 20 28 10 12 15
1. Se copia los datos a minitab
Intermedio
Eficiente
25 20 30 28 22 19 23 RESOLUCIÓN
18 19 17 25 15 16 22
2. Le damos en tabla, y luego en asociación chi cuadrada y encontramos el valor de p value
4 Se concluye que como el valor de p value es mayor que 0.05, entonces quiere decir que se rechaza la hipótesis nula y por lo tanto la eficiencia de los obreros influye en la construcción de los niveles de un edificio.
EJERCICIO N°16 Para la construcción de canales en el Perú, se necesita de instrumentos en buen estado, como también la cantidad de instrumentos tiene que ser elevada para que sea rápida la entrega. En el siguiente cuadro de contingencia se muestra la construcción de canales de irrigación en 4 departamentos del Perú con sus respectivos estados y frecuencias. Determinar por medio de la prueba chi cuadrado, si se rechaza o no la hipótesis nula, siendo esta que los instrumentos no influyen en la construcción de los canales de irrigación del Perú CANALES
Mal estado Intermedio Buen estado C1 22 50 37 C2 15 20 19 C3 20 30 17 C4 28 40 25 1. Copiamos la tabla a Excel 2. Transcribimos a Minitab
3. Resolvemos y encontramos el valor de p value.
4. Conclusión: Como el valor de p-value es mucho mayor al de 0.05 entonces se rechaza la hipótesis nula y esto quiere decir que la influencia del estado de los instrumentos influye bastante en la construcción de canales de irrigación.
EJERCICIO N°17 Se sabe que la resistencia a la compresión promedio de un conjunto de ladrillos es de 170 / . El estudio se hizo en la ciudad de Arequipa con una muestra de 50 ladrillos, pues estos tuvieron una resistencia a la compresión media de 195 /, con una desviación estándar de 28 /. Usando un nivel de significancia del 98%. ¿Este grupo es significativamente (con respecto a la resistencia a la compresión) de la población regular?
Solución:
RESPUESTA Como p 0.02 se rechaza la hipótesis nula. Por lo tanto, la resistencia la compresión promedio, 170 kg/cm2 es diferente a la de la población regular.
EJERCICIO N°18 Se sabe que la resistencia la compresión promedio de un conjunto de probetas de concreto con aditivo plastificante a los 28 días tienen una resistencia de 180 kg/cm2. El estudio se realizo en la ciudad de Trujillo con una muestra de 30 probetas, estas tuvieron una resistencia a la compresión de 190 kg/cm2 con una desviación estandas de 15 kg/cm2. Usando un nivel de significancia del 95% ¿Este grupo es significativamente de la población regular?
RESPUESTA Como p 0.05 se rechaza la hipótesis nula. Por lo tanto, la resistencia la compresión promedio, 180 kg/cm2 es diferente a la de la población regular.
EJERCICIO N°19 La resistencia a la compresión promedio de un conjunto de probetas de yeso proveniente de una cantera de Trujillo tiene una resistencia a la compresión promedio de 100 kg/cm2. El estudio se realizó con una muestra de 50 probetas, estas tuvieron una resistencia a la compresión de 110 kg/cm2 con una desviación estándar de 8 kg/cm2. Usando un nivel de significancia del 98% ¿Este grupo es significativamente de la población regular?
RESPUESTA Como p 0.02 se rechaza la hipótesis nula. Por lo tanto, la resistencia la compresión promedio, 100 kg/cm2 es diferente a la de la población regular.
EJERCICIO N°20 Se sabe que la resistencia a la compresión promedio de un conjunto de ladrillos es de 180 / . El estudio se hizo en la ciudad de Cajamarca con una muestra de 35 ladrillos, pues
estos tuvieron una resistencia a la compresión media de 196.5 /, con una desviación estándar de 32.12 /. Usando un nivel de significancia del 95%. ¿Este grupo es significativamente (con respecto a la resistencia a la compresión) de la población regular?
RESPUESTA Como p 0.05 se rechaza la hipótesis nula. Por lo tanto, la resistencia la compresión promedio, 180 kg/cm2 es diferente a la de la población regular.