98
Análisis de Redes. Teoría y problemas
PROBLEMAS Problema V.1
El cuadripolo de la figura adjunta funciona en régimen sinusoidal permanente a una frecuencia angular ω . 1.- Hallad los parámetros de transmisión del cuadripolo. 2.- Suponiendo que se cortocircuitan los nudos 3 y 4, ¿qué impedancia se observaría desde los nudos 1-2?
I1
I2
1
+
1:a
C
R1
3
R2
L
V1
V2
-
-
2
Solución A PA RT AD O
1.-
El comportamiento de un cuadripolo en función de los parámetros de transmisión está definido por V1 = AV 2 − BI 2
I1 = CV 2 − DI 2
;
Además, debido a la restricción impuesta por el transformador ideal, se verifica que I1 = − aI 2 Por tanto, I 2 = 0
B = −
C =
⇒
V1 I2
=−
V 2 I =0 2
=
I1 I2
⇒
A =
I1 R1 − j
V 2 = 0
I1
D = −
I1 = 0
− aI 2 V2
=−
V 2 I =0 2
=
V1 aV1
=
1 a
− 1 I (R + jω L ) ω L a R ω C a 2 2 = aR1 + 2 + j a − ω C I2 a 1
=0
−aI 2
V 2 =0
V1
I2
=a
A PA RT AD O 2 . -
Z12 =
V1 I1
= V 2 =0
V1
−aI 2 V =0 2
=
1 a
+
B = R1 +
R2 a
2
ω L + j 2 − a
ω C 1
4
Cuadripolos
99
Problema V.2
Dado el cuadripolo de la figura, 1.- Calculad la función de transferencia V 2 /V g en función de los parámetros de admitancia, Zg y ZL. 2.- Calculad el valor de Z L necesario para obtener máxima transferencia de potencia en funci ón de Zg y de los parámetros de transmisión. 3.- Calculad la ganancia de corriente I 2 /I 1 en función de ZL y los parámetros hí bridos (h).
I1 Zg Vg
I2 +
+
V1
V2
-
-
ZL
Solución A PA RT AD O
1.-
El cuadripolo queda definido por las expresiones I1 = y11V1 + y12V2
;
I2 = y21V1 + y22V2
Por otra parte, V 2 = − I 2 Z L = − ( y 21V1 + y 22 V 2 )Z L
⇒
V1 = − V2
V g = I1Z g + V1 = V1(1 + y11Z g ) + V 2 y12 Z g = V2 y12 Z g −
1 + y 22 Z L y 21Z L
(1 + y11Z g )(1 + y 22 Z L )
y 21Z L
Despejando, V2 Vg
=
y 21Z L y12 y 21Z g Z L − (1 + y11Z g )(1 + y 22 Z L )
A PA RT AD O 2 . -
El valor de ZL que provoca mayor transferencia de potencia es Utilizando los par ámetros de transmisión, junto con el circuito mostrado en la figura adjunta, se puede escribir
Zg
* Z Th .
V1 = − I1Z g
⇒
I1
AV 2 − BI 2 = − (CV2 − DI 2 )Z g
Luego,
+ V1 -
Z Th =
V2 I2
=
B + DZ g A + CZ g
A PA RT AD O 3 . -
El cuadripolo queda definido por las expresiones V1 = h11I1 + h12V2
;
I2 = h21I1 + h22V2
y, como V2 = -I2ZL, se puede escribir I 2 = h 21I1 − h 22 I 2 Z L
⇒
I2 I1
=
h 21
1 + h 22 Z L
I2 V2
100
Análisis de Redes. Teoría y problemas
Problema V.3
Z1 El circuito de la figura funciona en r égimen sinusoidal permanente. 1.- Obtened los par ámetros Z del cuadripolo equivalente. 2.- Suponiendo que entre los terminales a-b se conecta una fuente de tensión sinusoidal (frecuencia angular: ω ; fasor: Vg, real, terminal positivo en el nudo a), en serie con una impedancia Z g, obtened el equivalente Thévenin entre los puntos c-d (expresado exclusivamente en funci ón de Vg, Z g y los parámetros Z anteriormente calculados).
+
I1
L1 Z2
V1
M L2
-
I2
1.-
El cuadripolo de la figura queda definido por las expresiones V1 = I1 (Z1 + jω L1 + jω L 2 + j2ω M) + I2 (jω L 2 + jω M) V 2 = I1 ( jω L 2 + jω M) + I2 (Z 2 + jω L 2 )
Identificando términos con la definición funcional de los parámetros Z, se obtiene z11 = Z1 + jω L1 + jω L2 + j2ω M
;
z12 = jω L2 + jω M
z21 = jω L2 + jω M
;
z22 = Z2 + jω L2
A PA RT AD O 2 . -
Zg I1 Vg
c
+
+
V1
VTh
-
-
b
d
Utilizando la notación mostrada en la figura adjunta, I1 =
V g − V1
Zg
=
V g − z11I1
Zg
V Th = z 21I1 =
⇒
I1 =
Vg
Z g + z11
z 21V g Z g + z11
Utilizando la notación mostrada en la figura adjunta,
Zg
a
I1 Vg
a
c
+
Isc = − I2 =
I2
V1
I1 =
b
d
V g − V1
=
Zg
La impedancia del equivalente de Th évenin está dada por V Th Isc
= z 22 −
z 22
V g − (z11I1 + z12 I 2 )
Isc = − I 2 =
Z Th =
z 21
z12z 21 Z g + z11
Zg
V2
-
Solución A PA RT AD O
c
+
I1
⇒
I1 =
z 21V g z 22 Z g + z11z 22 − z12 z 21
V g − z12 I 2
Z g + z11
d
Cuadripolos
101
Problema V.4
L El circuito de la figura funciona en r égimen sinusoidal permanente. 1.- Obtened los parámetros de admitancia del circuito. + I1 El circuito es insertado entre una fuente de tensi ón sinusoidal (el fasor V1 representativo de su voltaje es V g, y su resistencia interna —en serie— es R nula) y una carga resistiva (de valor R L). La fuente se conecta a la izquierda del circuito, y la carga a la derecha. 2.- Obtened la relaci ón I2 / Vg en función de RL y de los par ámetros calculados anteriormente. 3.- Calculad la frecuencia angular para la que el m ódulo de I2 es máximo.
C I2
+ V2
-
Solución A PA RT AD O
1.-
y11 =
I1 V1
= V 2 =0
1 jω L +
=
R 1 + jω RC
1 + jω RC jω L − ω 2 RLC + R
jω RL 1 − I2 R + jω L jω L − jω RC I1 = = y12 = 1 V2 V = 0 jω RL jω L − ω 2 RLC + R + I2 jω C R + jω L 1
− I1 jω C R 1 + jω RC − jω RC I = = y 21 = 2 V1 jω L − ω 2 RLC + R R V =0 I1 jω L + 1 + jω RC 2
y 22 =
I2 V2
= V1 = 0
1 jω C
+
1 jω RL
=
R + jω L
2
jω RC − ω LC jω L − ω 2 RLC + R
A PA RT AD O 2 . -
Empleando la notación utilizada en la figura adjunta se tiene I 2 = y 21V g + y 22 V 2 = y 21V g − y22 R L I 2 I2 Vg
=
I1 Vg
y 21
+ V1
-
1 + y22 R L
I2
RL
A PA RT AD O 3 . -
Aplicando el resultado del apartado anterior y los valores calculados en el primero, se puede escribir
− jω RC jω L − ω 2 RLC + R I 2 = V g = 2 jω RC − ω LC 1+ RL jω L − ω 2 RLC + R
− Vg L R 1 + R L + jω L 1 + L − RC R ω C
I2 será máxima cuando la parte imaginaria del denominador se anule. Es decir,
R ω L 1 + L − R
1
ω C
=0 ⇒ ω=
R LC(R + R L )
+ V2
-
102
Análisis de Redes. Teoría y problemas
Problema V.5
El cuadripolo de la figura adjunta funciona en r égimen sinusoiL R a dal permanente. + + 1.- Obtened los parámetros hí bridos (h). I1 I2 El circuito es insertado entre una fuente de tensi ón sinusoidal V1 V2 C (el fasor representativo de su voltaje es Vg, y su impedancia interna k V2 —en serie— es Zg) y una carga (de valor Z L). La fuente se conecta a b la izquierda del circuito, y la carga a la derecha. 2.- Calculad la expresión de I1 en función de los parámetros h y de Vg, Zg y ZL. 3.- Calculad la potencia reactiva en la fuente de tensi ón. ¿Se absorbe o se libera? 4.- Calculad el equivalente Norton del cuadripolo cargado entre los terminales a y b en función de los parámetros h y de Vg, Zg y ZL. Solución A PA RT AD O
1.-
El cuadripolo de la figura queda definido por las expresiones V1 = I1 jω L + k V2 I 2 = jω CV 2 +
V 2 − k V 2
R
= jω C +
1 − k V2 R
Por tanto,
jω L = h 22 V 2 0
V1 h11 = I 2 h 21
I1 1 − k V jω C + R 2 k
h12 I1
A PA RT AD O 2 . -
Zg I1 Vg
Con la notación de la figura adjunta se puede escribir
a
+ V1
-
+
I2
ZL
I 2 = h 22 V L = −
VL
VL
ZL
En general, h22 ≠ -1/ZL, por lo que tiene que cumplirse que VL = 0. Luego,
-
b
V1
= h11I1 = Vg − I1Zg ⇒
I1 =
Vg
Zg
+ h11
A PA RT AD O 3 . -
En la fuente (entendida como el conjunto formado por el generador y la impedancia interna) la potencia compleja es S = −
1 2
* V1I1
=−
1 2
2
I1 h11 = −
1
Vg
2 Z g + jω L
2
jω L
Como S es imaginaria, la potencia reactiva (Q) coincide con la compleja y, por ser negativa, se libera. A PA RT AD O 4 . -
La tensión de Thévenin es, en este caso, V1. Aplicando el resultado del apartado 2, V Th = V1 = I1h11 =
V g h11
Z g + h11
Cuadripolos
103
Por otra parte, la corriente en cortocircuito es I N = I sc =
V g
Zg
Luego, Z N =
V Th IN
=
Z g h11 Z g + h11
Problema V.6
I1
Dado el cuadripolo de la figura adjunta, al que se conecta una carga R L entre los terminales c-d, 1.- Obtened, en función de RL y de los par ámetros h del cuadripolo, las expresiones algebraicas de las ganancias de corriente (Gi = I2 /I1) y de tensi ón (Gv = V2 /V1). 2.- Sabiendo que A = 0.02, B = 10, Ro = 50 k Ω , Gi = 5 y Gv = 100, calculad los valores de R L y R i, y los de los parámetros h del cuadripolo.
I2
a
c
+
Ri
V1 b
+
AV2
-
BI1
Ro
V2 -
d
Solución A PA RT AD O
1.-
Una vez conectada RL y utilizando la notación mostrada en la figura, se puede escribir
⇒
G i =
I2
− = h 21I1 + h 22 V2 = h 21 V1 h12 V 2 + h 22 V 2 ⇒ h11
G v =
V2
I 2 = h 21I1 + h 22 V2 = h 21I1 − h 22 I 2 R L
I 2 = −
V2 RL
I1
=
V1
h 21 1 + h 22 R L
=
h 21R L h 21h12 R L − h11h 22 R L − h11
A PA RT AD O 2 . -
V1 = I1R i + AV2 I 2 = BI1 +
V2 Ro
⇒ ⇒
h 21 = B = 10
R L =
R i = h11 =
h11 = R i
; ;
h12 = A = 0. 02 h 22 =
1 Ro
= 20 µS
h 21 − 1 = 50 k Ω h 22 G i 1
h R h 21h12 R L − 21 L = 2. 5 k Ω ( h 22 R L + 1) G v 1
Problema V.7
I1 I2 El cuadripolo de la figura adjunta funciona en r égimen sinu1 3 soidal permanente. + + 1.- Hallad los parámetros de transmisi ón, de admitancia e V1 V2 hí bridos (g) del cuadripolo. Ri gmV1 Rd 2.- Se aplica una fuente de tensi ón (V g, terminal positivo – – 2 4 hacia el nudo 1) en serie con una impedancia Z g entre los nudos 1 y 2, y una carga Z L entre 3 y 4. Obtened V 2 / V g en función de los par ámetros g, Zg y Z L. ¿Cuánto vale esta relación si Ri → ∞ ?
104
Análisis de Redes. Teoría y problemas
Solución A PA RT AD O
1.-
El comportamiento de un cuadripolo en función de los parámetros de transmisión está definido por V1 = AV 2 − BI 2
I1 = CV 2 − DI 2
;
En el circuito se verifican las relaciones g m V1 = I 2 −
V 2
⇒
Rd
V1 = I1R i
⇒
V2
V1 = −
I1 = −
gm R d
V2
gmRd Ri
+
+
I2
gm
I2
gm R i
Por tanto, A = −
1
B = −
;
gm R d
1
C = −
;
gm
1
D = −
;
gmRd Ri
1 gmRi
El comportamiento de un cuadripolo en función de los parámetros de admitancia está definido por I1 = y11V1 + y12 V 2
I 2 = y 21V1 + y 22 V 2
;
En el circuito se verifican las relaciones I1 =
V1
I 2 = g m V1 +
;
Ri
V 2
Rd
Por tanto, y11 =
1
;
Ri
y12 = 0
y 21 = g m
;
y 22 =
;
1 Rd
El comportamiento de un cuadripolo en funci ón de los parámetros hí bridos (g) está definido por I1 = g11V1 + g12 I 2
V 2 = g21V1 + g 22 I 2
;
En el circuito se verifican las relaciones I1 =
V1
V 2 = − g m R d V1 + R d I 2
;
Ri
Por tanto, g11 =
1 Ri
;
g12 = 0
;
g21 = –gmRd
;
g22 = Rd
A PA RT AD O 2 . -
Zg
En el circuito de la figura se verifica V2
V 2 = g 21V1 + g22 I 2 = g 21V1 − g 22
1
I1
ZL Vg
V g = I1Z g + V1 = (g11Z g + 1)V1 + g12 Z g I 2
3
+
I2
V1
ZL
2
4
con lo que V g = (g11Z g + 1)
Z L + g22 g 21Z L
V 2 − g12 Z g
V2
⇒
ZL
V2 Vg
=
g 21Z L ( g11Z g + 1)( Z L + g22 ) − g21g12 Z g
Cuando Ri → ∞, g11→ 0, y, aplicando los valores de los parámetros g obtenidos antes, V2 Vg
=
− gm R d Z L Z L + R d
+ V2
-
Cuadripolos
105
Problema V.8 c
1.- Obtened los parámetros Z del cuadripolo abcd funcionando en continua. 2.- Obtened los parámetros Z del cuadripolo abcd funcionando en régimen sinusoidal permanente, siendo ω = 1 / LC . En la entrada del cuadripolo (nodos a y b) se conecta un generador independiente de tensión (vg), y en la salida (nodos c y d) se conecta una carga (v éase figura). 3.- Obtened la expresión instantánea de v0. 4.- Obtened la expresión instantánea de la potencia en la resistencia marcada con !.
R C L 2R M
a
v /R i
L
+ vi -
R
L
2R C
b
d
c
+ C
a
L
2R
3
ω =1/
v0
LC = 10 rad/s
L = 1 mH 2R
g
b
vg(t) = 30 + 9 cos( ω t + 45°) V
M = 0.5 mH
!
R = 0.5
-
Ω
d
Solución A PA RT AD O
1.-
i1
En continua, el cuadripolo original es equivalente al de la figura, donde
a
v1 = vi = i1R
+ v1 -
v v2 = i 2 − i R = − i1R + i 2 R R
i2 + vi -
R
v /R i
2R
c
+ v2 2R -
b
d
Identificando términos con los parámetros Z de un cuadripolo z11 = R
;
z12 = 0
;
z21 = –R
;
z22 = R
A PA RT AD O 2 . -
A la frecuencia se ñalada, el cuadripolo original es equivalente al de la figura donde (ω M ) Z = jω L + R
I1
I2
c
2
2 (ω M ) V1 = I1 R + jω L + R
V 2 = I 2 −
a
V i 2R = −2 I1R + 2R I 2 R
+ V1 b
Z R
+ Vi -
V /R i
2R
+ V2 d
106
Análisis de Redes. Teoría y problemas
Identificando términos con los parámetros Z de un cuadripolo 2 (ω M ) z11 = R + jω L + R
;
z12 = 0
;
z21 = –2R
;
z22 = 2R
A PA RT AD O 3 . -
I1
La situación general en este caso es la representada en la figura, donde
I2
V g = I1z11 + I 2 z12
+ V0 -
Vg
ZL
V 0 = I1z 21 + I 2 z 22 I 2 = −
V0 ZL
Despejando, se obtiene I1 = V 0 =
1 z11
Vg +
z12 z11Z L
V0
z 21Z L z11Z L − z12z 21 + z11z 22
Vg
Las anteriores son expresiones gen éricas; para hallar el valor concreto de v 0 en este caso, y teniendo en cuenta que la señal de entrada tiene dos componentes (una continua y otra cosenoidal), emplearemos el principio de superposición. Así , para la parte continua tenemos que z11 = R
;
z12 = 0
;
z21 = –R
;
z22 = R
;
Vg = 30 V
;
ZL = 2R
Por tanto, V 0 =
−2R 2 = − 20 2 2 Vg 2R + R
V
Para la componente cosenoidal, y teniendo en cuenta la frecuencia de trabajo, tenemos (ω M )
z11 = R + jω L +
R
2
;
z12 = 0
;
z21 = –2R
;
z22 = 2R
;
j45 °
V g = 9e
V
;
ZL = R
Por tanto,
−2R 2 −3 V 0 = V g = 2 2 (ω M ) + ω + R j L 3R R
V
Entonces, la expresión temporal de v0 completa será v 0 (t) = −20 −
3 2
cos(103 t) V
(con t en s)
A PA RT AD O 4 . -
Por la resistencia indicada no circula corriente continua, puesto que ésta es bloqueada por la capacidad de su rama. Por tanto, la potencia disipada depender á sólo de la parte cosenoidal de v 0. Además, a la frecuencia indicada, la inducción y la capacidad de la rama de inter és se hallan en resonancia, por lo que las tensiones de ambos elementos se anulan y en la resistencia estudiada se observa directamente una tensi ón v0. Por tanto, p(t) =
v20alterna 2R
= 4.5cos2 (103 t)
W
(con t en s)
Cuadripolos
107
Problema V.9 6
R2
1
+ V1
I1
-
I2 +
+
I2
(a)
V2
AI1
R1
+ I1
2
L
V1
-
3
4
R3
-
(b)
V2
8
Dados los circuitos de la figura (en régimen sinusoidal permanente): 1.- Calculad los parámetros Z de los cuadripolos (a) y (b). 2.- Los circuitos (a) y (b) se conectan uniendo los terminales 3-5 y 4-6 . Indicad de qu é tipo de conexión se trata y calculad los par ámetros Z del cuadripolo resultante. El circuito resultante de la conexi ón realizada en el apartado anterior es conectado entre una fuente de tensión senoidal vg(t) (con resistencia interna R g, en serie) y una carga Z L. 3.- Sabiendo que vg = 10 cos(2000t) V, Rg = 2 Ω, R1 = R2 = R3 = 1 Ω, A = 3 V/A y L = 1 mH, calculad el valor de Z L que proporciona máxima transferencia de potencia a la carga. 4.- Usando los valores numéricos del apartado anterior, calculad la potencia media entregada a la carga Z L y los valores instantáneos de tensión y corriente en dicha carga. Solución A PA RT AD O
1.-
El cuadripolo de la figura (a) queda definido por las expresiones V1 = I1R1
V2 = A I1 + I2R2
;
Identificando términos con la definición funcional de los parámetros z se obtiene za11 = R1
;
za12 = 0
;
za21 = A
;
za22 = R2
El cuadripolo de la figura (b) queda definido por la expresi ón V1 = V2 = (I1 + I2) (R3 + jω L)
Luego, zb11 = z b12 = z b21 = z b22 = R 3 + jω L A PA RT AD O 2 . -
Al unir los terminales 3-5 y 4-6 se realiza una conexi ón en serie, por tanto z11 = R1 + R3 + jω L
z12 = R3 + jω L
;
;
z21 = A + R 3 + jω L
;
z22 = R2 + R3 + jω L
A PA RT AD O 3 . -
El valor de Z L que provoca mayor transferencia de potencia es Para hallar Z Th puede emplearse el circuito mostrado en la figura adjunta, en el que * Z Th .
V = z 21I1 + z 22 I 2
− V1 − (z11I1 + z12 I 2 ) = ⇒ I1 = Rg
Rg
Z Th =
V I2
= z22 −
− z12 I 2 I1 = R g + z11
z12 z 21 R g + z11
Rg I1
1
2
+
I2
V1
V
7
8
108
Análisis de Redes. Teoría y problemas
Aplicando los valores numéricos, se obtiene z11 = 2+ j2 Ω
z12 = 1 + j2 Ω
;
z21 = 4+ j2 Ω
;
z22 = 2+ j2 Ω
;
Luego, Z Th = 1
Z L = Z*Th
Ω ⇒
=1 Ω
A PA RT AD O 4 . -
Rg
En el circuito de la figura adjunta, VL = z 21I1 + z 22I2 = - I2ZL I1 =
V g − V1
Rg
=
V g − (z11I1 + z12 I 2 )
Rg
⇒
I1 =
1
I1
V g − z12 I 2
Vg
R g + z11
I2
V1
ZL
7
− z21V g = −5 (R g + z11 )(z 22 + Z L ) − z12 z 21 V L = − I 2 Z L = 5 V
P =
Problema
+
-
Despejando, I 2 =
2
1 2
⇒
A
⇒
VL
-
8
i 2 (t) = −5cos(2000t) A
v L ( t ) = 5 cos(2000t ) V
+
(con t en s)
(con t en s)
2
I 2 R Th = 12.5 W
V.10
1.- Calculad los par ámetros de transmisión del cuadripolo de la figura. + I1 R I2 + 2.- Hallad los parámetros de transmisión del cuadripolo resulV1 V2 R R 2I1 tante de la conexión en cascada de dos cuadripolos como el mostrado en la figura. El cuadripolo resultante de la conexi ón mencionada en la pregunta anterior es insertado entre una fuente de tensi ón continua (de voltaje Vg y resistencia interna R g en serie) y una carga resistiva (de valor R L). La fuente se conecta a la izquierda de la figura y la carga a la derecha. 3.- Calculad la ganancia de tensi ón V ′2 / V g . Esta ganancia deber á ser expresada en funci ón de Rg, RL y los parámetros de transmisión. 4.- Obtened el valor de R L para el que se obtiene la m áxima potencia media en la carga. Este valor deber á ser expresado en funci ón de Rg y de los parámetros de transmisión. 5.- Obtened el valor numérico de la carga calculada en la pregunta anterior si R g = R = 1 Ω. Solución A PA RT AD O
1.-
En el circuito se verifica que I1 = V1 − V2 R
V1 R
+
V1 − V2 R
− V2 + 2I1 + I 2 = 0 R
A partir de estas expresiones, se obtiene V1 =
4 5
V 2 −
R 5
I2
;
I1 =
3 5R
V 2 −
2 5
I2
Cuadripolos
109
Identificando estas ecuaciones con las que definen los parámetros ABCD de un cuadripolo resulta
V1 A = I1 C
B V 2
4 / 5 = D − I 2 3 / (5R)
R / 5 V 2
2 / 5 − I 2
A PA RT AD O 2 . -
A′ C′
B′
A = D′ C
B A
B
19 / 25 = D 18 / (25R)
D C
6R / 25
7 / 25
A PA RT AD O 3 . -
Rg
Utilizando la notación mostrada se puede escribir I ′2 = −
V′2 RL
Vg
=
I2´
V´1
Vg
Vg = I1′ R g + V1′ = (C′R g + A′ )V′2 − ( D′R g + B′ )I ′2 V2′
+
I´1
RL
-
RL C′R g R L + A′R L + D′R g + B′
A PA RT AD O 4 . -
El valor necesario de R L para obtener m áxima transferencia de potencia es R Th. Vg V Th = V′2 I ′ =0 = V′2 R =∞ = 2 L C′R g + A ′ Isc = − I ′2 V ′ =0 = − 2
R Th =
V′2 RL
V Th I sc
=
= R L = 0
Vg D′R g + B′
D′R g + B′ C′R g + A′
A PA RT AD O 5 . -
R Th =
Problema
+ Va1
B
Ia1
C′R g + A′
= 13 Ω 37
V.11
Ri
A
D′R g + B′
+ Vi -
E
C
Ia2
C
gVi
Ro
+ Va2
D
(a)
+ Ib1 Vb1
G
L
Ib2 + Vb2
-
-
F
H
Los circuitos de la figuras adjuntas funcionan en r égimen sinusoidal permanente. 1.- Obtened los par ámetros Z del cuadripolo (a). 2.- Obtened los parámetros Z del cuadripolo (b).
(b)
+ V´2 -
110
Análisis de Redes. Teoría y problemas
A
Conectando B con E y D con G, se forma el cuadripolo AFCH (figura c). 3.- Obtened los par ámetros Z de dicho cuadripolo. 4.- Hallad la funci ón de transferencia VL / Vg. 5.- ¿Cuánto vale la función de transferencia del apartado anterior si la impedancia de carga es sustituida por un cortocircuito? ¿Y si es sustituida por un circuito abierto?
C
+
Zg
VL
Vg
ZL F
-
H
(c)
Solución A PA RT AD O
1.-
El cuadripolo de la figura (a) queda definido por las expresiones
Va1 = I a1 R i − j
ω C 1
V a2 = I a2 + j
;
gI a1 R ω C o
Identificando términos con la definición funcional de los parámetros Z, se obtiene z a11 = R i − j
1
;
ω C
za12 = 0
z a21 = j
;
gR o
;
ω C
za22 = Ro
A PA RT AD O 2 . -
El cuadripolo de la figura (b) queda definido por la expresi ón V b1 = V b2 = ( I b1 + Ib2 )jω L
Identificando términos con la definición funcional de los parámetros Z, se obtiene zb11 = z b12 = z b21 = z b22 = j ω L A PA RT AD O 3 . -
La conexión de los terminales B-E y D-G es una conexión en serie, por lo que la matriz de par ámetros z del cuadripolo resultante es la suma de las matrices de par ámetros z de los cuadripolos originales. Por tanto
ω L − 1 ω C
z11 = R i + j
z12 = jω L
;
gR o + ω L ω C
z 21 = j
;
;
z22 = Ro + jω L
A PA RT AD O 4 . -
Zg
A
I1 Vg
C
+
I2
V1
ZL
F
Utilizando la notación de la figura adjunta, se tiene VL = z21 I1 + z 22I2 = - I2ZL
+ VL
-
I1 =
V g − V1
=
Zg
V g − (z11I1 + z12 I 2 )
Zg
⇒
I1 =
V g − z12 I 2
Z g + z11
H
Por tanto, I 2 =
− z 21V g (Z g + z11 )(z 22 + Z L ) − z12 z 21
;
VL Vg
=
z 21Z L (Z g + z11 )(z 22 + Z L ) − z12z 21
A PA RT AD O 5 . -
Si la carga es sustituida por un cortocircuito, VL = 0, independientemente de la entrada; luego Si es sustituida por un circuito abierto, Z L = ∞; luego
VL Vg
=
z 21 Z g + z11
.
VL Vg
= 0.
