Ejercicios 1. Variables Separables.: Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Ejercicios de ecuaciones diferenciales: diferenciales:

Ejercicios 1. Variables Separables. Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de variables separables (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionada en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollar del mismo).

 =    +1 + 1;  0 = 2  Ejercicios 2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas.

Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de Homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollo del mismo)

4 + 3  77     + 11 = 0 Ejercicios 3. Ecuaciones Diferenciales Exactas.

Solucionar las siguientes ecuaciones diferenciales empleando el método de exactas (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollo del mismo)

a.

2   +  (1 + ) )  = 0

Ejercicio 4. Situación problema.

A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas.

Problema: Un  tanque Hemisférico posee un radio de 4 pies y en el instante inicial (t=0) está completamente lleno de un líquido acuoso que se requiere para hacer una mezcla. En ese momento; en el fondo del tanque se abre un agujero circular con diámetro de una (1) pulgada. ¿Cuánto tiempo tardará en salir todo el líquido acuoso del tanque? 

a. b. c. d.

28 35 30 41

minutos minutos minutos minutos

30 50 20 40

segundos segundos segundos segundos

Ejercicio 5. Análisis y evaluación de la solución de una situación planteada.

A continuación, se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si considera que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, debe realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si luego del debate el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, se debe realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución.

Situación problema: Si observamos cierta cantidad inicial de sustancia o material radiactivo, al paso del tiempo se puede verificar un cambio en la cantidad de dicho material; esto quiere decir que un material radioactivo se desintegra inversamente proporcional a la cantidad presente.

Si desde un principio hay 50 Miligramos (mm) de un material radioactivo presente y pasadas dos horas se detalla que este material ha disminuido el 10% de su masa original , se solicita hallar:

a. Una fórmula para la masa del material radioactivo en cualquier momento t. b. La masa después de 5 horas.

Solución planteada:

a. Sea

;        

La ecuación corresponde a:

 = +  Transponiendo términos se tiene;

  = +  Aplicando propiedades algebraicas tenemos:

  = ∫ ∫  Resolviendo las integrales se obtiene:

ln =   . Aplicando propiedades especiales de las integrales contemplamos que

 = − Por tanto, ésta es la fórmula para la masa de un material radiactivo en algunos momentos t

 = 0; se tiene:  = 50; por ende, 50 = 

Cuando

Ahora bien, cuando

 = 2 Se tiene

 = 40; debido a que corresponde al porcentaje que se disminuyó

pasadas dos horas en un 10%. Por lo que la expresión matmática en este caso correspondería así:

40 =  −− 45 = 40 Aplicando propiedades trigonométricas obtenemos:

2 = |45 40| 45     = 240 Por lo que el valor de la constante c, corresponde a:

 = 0,0526803 Es por ello, que ésta es la fórmula para la masa de un material radiactivo en cualquier momento t en este caso de aplicación.

 = 45−, Ahora bien, para hallar la masa después de 5 horas es:

5 = 45−,− Observación: Debo multiplicarlo por -5, para que la expresión elevada a la e me quede de forma positiva y pueda resolver la situación. Por lo tanto, la masa después de 5 horas corresponde a:

5 = 40,5 