Ejem Ejemp plo 3. 1: Determinar los momentos de inercia principales centrales del rectángulo de base b = 15 cm y altura h = 20 cm y los momentos momentos de inercia inercia para para los ejes girados girados 30º. 30º. Los ejes x e y son ejes de de simetría, por lo lo tanto ta nto son ejes principales de inercia inercia (Jxy = 0); los momentos de inercia principales c entrales ntra les valen: Jx = Jy =
b h
Jx
hb
100 00
=
=
12
12 Los radios de giro i x e i y valen: ix =
3
3
=
1 5 20
3
= 1 00 00 c m 4
12 2 0 15
3
= 5 62 5 cm 4
12
= 5, 77 cm ; i y =
Jy
=
5 62 5
F 3 00 F 3 00 Los módul módulos os resistentes valen: J y 5 62 5 J 1 00 00 Wx = x = = 1000 cm 3 ; Wy = = = 75 0 cm 3 h 20 h 15
= 4, 33 cm
2 2 2 2 Para calcular los momentos de inercia de los ejes girados 30º, aplicamos las fórmulas 3.19 y 3.20, 3.20, teniendo en cuenta que Jxy = 0, por por ser x e y ejes principales de inercia centrales 2
2
j = jx cos a + jy sen a - 2 jxy sena
1
2
2
j = xj sen a + jy cos a + 2 xjy sena
2
4
co sa = 1 00 00 0 ,75 + 562 5 0, 25 = 8 90 6 c m
cosa = 10 000 0,2 5 + 5 62 62 5 0 ,7 5 = 67 19 cm
4
Valores que se hallan comprendidos entre los los de Jx y Jy Los radios de giro valen: i1 =
8906
= 5, 45 c m ; i 2 =
671 9
= 4 ,73 cm 30 0 3 00 Los momentos resistentes valen: 8906 6719 = 742 cm3 ; w2 = = 5 85 cm3 w1 = 12 11,50 Los valores valores 12 y 11,50 salen salen del gráfico. gráfico.
ˆ
y
x
Ejemplo 3. 2: En la siguiente figura compuesta por perfiles, determinar: a) En forma analítica Jmax, J mín, a ° b) Los momentos de inercia para los ejes H y V ubicados en el punto A girados 30º
A 10 cm
X
Dibujamos la figura en escala, y trazamos los ejes x e y paralelos a los lados del contorno de la misma. Para obtener el centro de gravedad de toda la figura lo que hacemos es referir el centro de gravedad de cada uno de los perfiles a los ejes x e y, para lo cual recurrimos a las tablas de perfiles. 5,74
10
14
(0 ; 0)
x
(20 ; 00)
X1G
Y1G X2G Y2G
X3G 5,49
H2
10,53
2
A2 = 32,2 cm
(2)
(8 ; 7,5)
(00 ; 7,5)
Y2H
(20 ; 7,5)
9,76
H1 2
A1 = 12,3 cm
Y1H
G
H
Y3G Y3H
X1V
13,5 2
A3 = 34,3 cm
X2V
(1)
V1
(8 ; 15,5)
11,07
H3
V2 X3V
2
31,17º
1
y
(3)
V
V3
(20 ; 19,5)
Los cálculos que a continuación se desarrollan, conviene presentarlos en forma de tabla. 2 Por ejemplo: para el ángulo de lados iguales de 80 x 80 x 8 la sección es F1 = 12,3 cm , para el perfil U Nº 20 F2 = 32,2 cm2, y para el perfil normal doble te de las anchas, 2 caras paralelas Nº 12 F3 = 34,3 cm . Las coordenadas de los centros de gravedad de cada perfil respecto a los ejes xy son: Para el angu lar , X1G = 8 – 2,26 = 5,74 cm; Y1G = 7,5 + 2,26 = 9,76 cm Para el Perfi l U, X2G = 10 cm; Y2G = 7,5 – 2,01 = 5,49 cm Para el perfil doble te; X3G = 20 – 6 = 14 cm; Y1G = 7,5 + 10 = 13,5 cm
1. Determinación de las coordenadas del centro de gravedad de l a figura respecto de los ejes x, y Sx = A 1 YG1 + A2 YG2 + A3 YG3 Sy = A 1 XG1 + A2 XG2 + A3 XG3
S
AREAS cm
1
2
3
3
XG cm
YG cm
SX cm
SY cm
12,3
5,74
5,49
67,53
70,60
2
32,2
10
9,76
314,27
322
3
34,3
14
13,5
463,05
480,20
Total
78,80
844,85
872,80
XG =
SY A
=
872,8 78,8
= 11, 07 cm;
YG =
SX A
=
844,85 78,8
= 10, 72 cm
Para las coordenadas de los centros de gravedad de l os perfiles de la figura XIV e YIH respecto de los ejes H y V , tenemos: Para el angu lar , X1V = 5,74 – 11,07 = –5,33 cm; Y1H = 9,76 – 10,53 = – 0,77cm Para el perfil U, X2V = 10 – 11,07 = –1,07 cm; Y2H = 5,49 – 10,53 = – 5,04 cm Para el perfil doble te, X3V = 14 – 11,07 = 2,93 cm; Y3H = 13,5 – 10,53 = 2,97 cm En las tablas de perfiles hallamos los momentos de inercia respecto a los ejes centrales HiV i . 4 Para el angular, de la tabla Nº 5 obtenemos JH1 = J V1 = 72,3 cm Por las fórmulas para los momentos de inercia r especto a los ejes girados (3.22) hallamos:
h
n x
J H1V1 = ( J V - J H )
sen 2a
J H1V1 = (115 - 29,6 )
2 sen 2(45º) 2
= 42,8 cm 4
y Los ejes n 1, m1 son, para el angular ejes principales de inercia puesto que el eje m1 es un eje de simetría, por lo tanto Jn 1h 1 = 0. 4 4 Los valores de Jn 1 = 115 cm , y Jh 1 = 29,6 cm se obtienen de la tabla Nº 5. 4 4 Para el perfil U, de la t abla Nº 4 obtenemos JH2 = 148 cm ; J V2 = 1910 cm ; JH2V2 = 0 dado que los ejes H 2 y V2 son ejes principales de inercia del perfil U. Para el perfil doble te, de la t abla Nº 3 obtenemos JH3 = 864 cm4 ; JV3 = 318 cm4; JH3V3 = 0 dado que los ejes H3 y V 3 son ejes principales de inercia del perfil doble te.
2. Determinación de los momentos de inercia de la figura respecto de los ejes H,V J H = J H1 + A1 Y1H 2 + J H2 + A 2 Y2H 2 + J H3 + A 3 Y3H2
4
2
2
4
4
S
JH cm
A cm
YIH cm
A YI cm
JH cm
1
72,3
12,3
- 0,77
7,29
80
2
148
32,2
- 5,04
818
966
3
864
34,3
2,97
303
1167
2213
Total
2
2
J V = J V1 + A1 Y1V + J V2 + A 2 Y2V + J V3 + A 3 Y3V
4
2
2
2
4
S
JV cm
A cm
XIV cm
A XI cm
1
72,3
12,3
- 5,33
349
421
2
1910
32,2
- 1,07
36,8
1946
3
318
34,3
2,93
463
781
JV cm
4
3148
Total
J HV = J H1V1 + A1 Y1H X1V + J H2V2 + A 2 Y2H X 2V + J H3V3 + A3 Y3H X3V J H1V1 ; J H2V2 ; J H3V3 = 0
2
4
S
A cm
XI cm
YI cm
JHI Vi cm
JHV cm
1
12,3
- 5,33
- 0,77
42,8
93,3
2
32,2
- 1,07
- 5,04
0
173
3
34,3
2,93
2,97
0
298
Total
564
4
3. Determinación de la posición delos ejes pricipales de inercia 1, 2 de la figura. Tg 2α = α
2 J HV JH - J V
=-
2 564 2213 - 3148
= 0, 61
= 31,17º
Tenemos que a > 0, entonces el ángulo se mide a partir del eje H en el sentido de las agujas del reloj. Puesto que JHV > 0, el eje correspondiente al momento máximo de inercia es el eje 2, y pasará por los cuadrantes II y IV .
4. Cálculo de los momentos pricipales centrales de inercia de la figura.
J1-2 = J1-2 =
1 2 1 2
( J H +J V )
1 2
( 2213 + 3148 )
J1 = 3413 cm
2
( J H -J V ) 1 2
+ 4 J HV 2
( 2213 - 3148 )
2
+ 4 564 2
4
J 2 = 1948 cm 4 5. Cálculo de los radios de giro principales de la figura.
i max = i V =
i min = i H =
JV A
JH A
=
=
3148 78,8
2213 78,8
= 6,32 cm
= 5,30 cm
6. Cálculo de los momentos de inercia para los ejes JHA y JVA ubicados en el punto A girados 30º Lo que hacemos es trasladar los ejes baricéntricos al punto A aplicando el Teorema de Steiner (3.10), y a continuación giramos los ejes el ángulo indicado con las fórmulas (3.19) y (3.20). J HA = J H + A a
2
J HA = 2213 + 78,8 (19,5-10,53) 2 = 8553 cm 4 J VA = J V + A a 2 J VA = 3148 + 78,8 (20 -11,07) 2 = 9432 cm 4 2
2
J HA30º = J H cos a + J V sen a - 2 J HV sen 2
α
cos α
2
J HA30º = 2213 cos 30º + 3148 sen 30º - 2 564 sen 30º cos 30º = 29 35 cm J VA30º = J H sen 2a + J V cos 2a + 2 J HV sen
α
4
cos α
J VA30º = 2213 sen 2 30º + 3148 cos 2 30º + 2 564 sen 30º cos 30º = 3292 cm 4
Ejemplo 3. 3: Dada la siguiente figura geométrica, determinar: a) En forma analítica Jmax, J mín, a ° b) Dados JH , J V, JHV , verificar J max, Jm ín y a ° por el círculo de MOHR
-24,65
-0,75
-11,95
(-25,4 ; 0) (-23,9 ; 0)
0,75
x
(0 ; 0) (2)
2
A2 = 35,85 cm
(-23,9 ; 1,5)
(0 ; 1,5)
H2
(-1,5 ; 1,5)
6,94 6,35
Y2H
H1 2
A1 = 19,05 cm
G
Y1H
H
Y3H X2V
(-25,4 ; 12,7) (1)
13,45
(-23,9 ; 12,7)
2
2
A3 = 35,45 cm
H3 V2 X1V
V1
26,56º
1
10,19
(3)
(-1,5 ; 25,4) X3V
V
V3
(0 ; 25,4)
a) En forma analítica Jmax, Jmin y a0
1. Momentos estáticos y coordenadas del baricentro Sx = A1 YG1 + A2 YG2 + A3 YG3 Sy = A1 XG1 + A2 XG2 + A3 XG3
S
AREAS cm
1
2
3
3
XG cm
YG cm
SX cm
SY cm
19,05
- 24,65
6,35
- 469,58
120,87
2
35,85
- 11,95
0,75
- 428,40
26,89
3
35,85
- 0,75
13,45
- 26,89
482,18
Total
90,75
- 924,87
630,04
XG =
SY A
630, 04
=
90, 75
= - 10,19 cm;
YG =
SX A
=
924,87 90, 75
= 6,94 cm
2. Momento de inercia baricéntrico 2
2
J H = J H1 + A1 Y1H + J H2 + A 2 Y2H + J H3 + A 3 Y3H
4
S
JH cm
1
1,5 .12,7 /12=256
2
23,9 .1,5 /12=256
3
1,5. 23,9 /12=1706
Total
3
2
2
2
4
4
A cm
YIH cm
A YI cm
3
19,05
0,59
6,63
263
3
35,85
- 6,19
1374
1380
35,85
6,51
1519
3225
JH cm
4868
2 2 2 J V = J V1 + A1 Y1V + J V2 + A 2 Y2V + J V3 + A 3 Y3V
4
2
S
JV cm
1
1,5 .12,7/12=3,57
2
23,9 .1,5/12=1706
3
1,5 . 23,9/12=6,72
A cm
3
3
3
2
4
XIH cm
A XI cm
JV cm
- 14,46
3983
3987
- 1,76
111
1818
9,44
3195
3201
4
9006
Total
J HV = J H1V1 + A1 Y1H X1V + J H2V2 + A 2 Y2H X 2V + J H3V3 + A 3 Y3H X3V J H1V1 ; J H2V2 ; J H3V3 = 0
2
A cm
XI cm
YI cm
JHI Vi cm
JHV cm
1
19,05
- 14,46
0,59
0
163
2
35,85
- 1,76
- 6,19
0
391
3
35,85
9,44
6,51
0
2203
2757
Total
3. Ejes principales de inercia
Tg 2α = α
4
S
2 J HV JH - JV
= 26,55º
=-
2 2757 4868 - 9006
= 1,33
4
4. Momentos principales de inercia
J1-2 = J1-2 =
1 2 1 2
( J H +J V )
1
2
( J H -J V )
2
( 4868 + 9006 )
J 1 = 10383 cm
1 2
+ 4 J HV 2
( 4868 - 9006 )
2
+ 4 2757 2
4
J 2 = 3492 cm 4
b) Dados J H, JV, JHV verificar J1 y J2 por el círculo de MOHR
1
A ( JH ; JHV)
a1 2
JH
JV
j
B ( JV ; JHV) j HV
J1 = 10400 cm 4 J2 = 3450 cm a = 26,55º
4