Ejemplos de Diagramas de Bode

Ejemplos de Diagramas de Bode Dibuje la traza de Bode para los siguientes casos 1)  H (s ) = 2)  H (s ) =

K (s + 3) s (s + 1)(s + 2 )

( s + 3) (s + 2)(s 2 + 2s + 25)

Solución caso 1) Se escribe la función de transferencia en la forma estándar de los factores

ω   3K    1 +  j  2   3  

 H ( jω ) =

   

 jω (1 +  jω )1 +  j

ω    2  

Luego aplicando el operador 20 log sobre la función de transferencia se obtiene la expresión de la magnitud en dB

 3K     ω   ω     1 +  j  − 20 log jω (1 +  jω )1 +  j  dB 3    2      2    3K  ω   ω        M dB (ω ) = 20 log + 20 log1 +  j  − 20 log  jω  − 20 log(1 +  jω ) − 20 log1 +  j  dB 2 3   2        M dB (ω ) = 20 log

lo que implica que la l a magnitud es la suma de componentes constate, de primer orden e integrador. La fase se encuentra como

φ (ω ) = 0 + tan −1

ω  3

− 90° −

tan −1 ω  − tan −1

ω  2

Luego graficando las asíntotas individualmente se obtiene el resultado de la Fig.1 En la Fig. 2 se grafica la curva exacta de la fase.  Ejercicio para el alumno: En este caso obtener gráfica exacta para MdB y la s asíntotas para la fase.

Figura 1. Diagrama de bode de asíntotas para H(s) del caso 1). No se incluyó el término de desplazamiento u offset generado por la ganancia del sistema.

Figura 2. Diagrama de fase para H(s) del caso 1).

Solución caso 2) Escribimos la función de transferencia para el caso 2)

 H ( jω ) =

ω   3   1 +  j  2   3   ω     2 1 +  j (− ω  2    

+

2 jω  + 25)

Para el cual tenemos la suma (resta) de los términos  M dB (ω ) = 20 log

3 2

+

   

20 log1 +  j

ω   ω     2  − 20 log1 +  j  − 20 log(− ω  3   2    

+

En este caso prestamos especial atención al factor de orden 2 Comparando con la forma estándar

ω n

=5

2

− ω  +

2 jω  + 25) 2

− ω  +

2 jω  + 25 .

2

2 jζω nω  + (ω n ) es posible encontrar que

y ζ  = 0.2 . Esto implica que la frecuencia de corte es 5 y el coeficiente de

amortiguamiento igual a 0.2 generará un “peak" o ripple al valor de esa frecuencia natural. La asíntota para este caso es una curva que entre 0 y 5 es igual a 0 dB y para frecuencias mayores a 5 decae linealmente con la frecuencia con una pendiente de -40 dB (sistema de segundo orden).

Figura 3. Asíntotas del diagrama de Bode para el caso 2).  Ejercicio para el alumno: En este caso obtener gráfica exacta para MdB y la s asíntotas y curva exacta para la fase.

Sistema de Fase Mínima y Fase no mínima Un sistema es de fase mínima si la función de transferencia en ‘s’ (es decir en el dominio de Laplace) no tiene ni polos no ceros en el semiplano derecho de ‘s’. Un ejemplo es el siguiente sistema:  H 1 ( jω ) =

1 +  j T  1 +  jω T 1

.

Un sistema es de fase no-mínima si la función de transferencia en ‘s’ (es decir en el dominio de Laplace) tiene polos y/o ceros en el semiplano derecho de ‘s’. Un ejemplo es:  H 2 ( jω ) =

1 −  j T  1 +  jω T 1

.

Nótese que los diagramas de Bode en magnitud son iguales pero se diferencian sólo en la fase como se observa en la Figura 4.

Figura 4. Diagramas de fase para los sistemas de mínima fa se y fase no-mínima.  Ejercicio para el alumno: La función  H (ω ) = e − j Obtenga el diagrama de magnitud y fase.

ω T 

se denomina retardo de transporte.