EFECTOS DE LAS ACCIONES DE CONTROL INTEGRAL Y DERIVATIVA EN EL COMPORTAMIENTO DEL SISTEMA 1. ACCIÓN DE CONTROL INTEGRAL: La acción de control integral se denomina control de reajuste (reset). Aquí la razón de cambio de la salida del controlador m(t) es proporcional a la señal de error e(t), es decir:
() = ∗ () → () = ∫()() Donde K i es una constante ajustable. Si se duplica el valor de e(t), el valor valo r de m(t) varia dos veces más rápido. Para un error de cero, el valor de m(t) permanece estacionario. Usando Transformada de Laplace se obtiene que la función de transferencia del controlador integral es:
() = () Como se puede ver en la formula anterior el control integral añade un polo en el origen, con lo cual el sistema se vuelve menos estable. En el control proporcional de una planta, cuya función de transferencia no posee un integrador 1/s, hay un error en estado estacionario, o desplazamiento (offset), en la respuesta para una entrada escalón. Tal offset se elimina si se incluye la acción de control integral en el controlador. En el control integral de una planta, la señal de control, que es la señal de salida a partir del controlador, es en todo momento el área bajo la curva de la señal de error hasta tal momento.
Controlador i ntegral de una planta:
La señal de control u(t) tiene un valor diferente de cero cuando la señal de error e(t) es cero.
Controlador proporcional:
Una señal de control diferente de cero requiere de una señal de error diferente de cero.
2. Control proporcional de Sistemas: Se mostrará que el control proporcional de un sistema sin integrador originará un error en estado estacionario frente a una entrada escalón. Se verá que tal error se puede eliminar si se incluye una acción de control integral al controlador. Considérese el sistema que se muestra:
Se va a obtener el error en estado estacionario de la respuesta escalón unitario del sistema. Se define:
() = +1 Como
() = () −() = 1 − () = 1 () () () 1+() El error E(s) está dado por
( ) = 1 +1() () =
1 () 1 + +1
Para la entrada escalón unitario R(s)=1/s, se tiene
+1 (1) () = +1+ El error en estado estacionario es
+1 = 1 ( ) ( ) =lim =lim =lim →∞ → → +1+ + 1 Tal sistema sin un integrador en el camino directo siempre tiene un error en estado estacionario como respuesta a un escalón. Dicho error en estado estacionario se denomina offset.
Respuesta a escalón unidad y offset
3. Control Integral de Sistemas
Sistema en control Integral
Considérese el sistema que se muestra, el controlador es de tipo integral. La función de transferencia en lazo cerrado del sistema es:
() = () (+1) + De ahí
() = () −() = (+1) () () (+1) + Como el sistema es estable, el error en estado estacionario como respuesta a un escalón unitario se puede obtener aplicando el teorema del valor final de la manera siguiente:
=lim → () 2 (+1) 1 =lim → 2 + + =0 Por tanto, el control integral del sistema elimina el error en estado estacionario en respuesta a un escalón unitario. Esta es una mejora importante respecto al simple control proporcional, que produce un offset.
4. Respuesta a perturbaciones de par (control proporcional) Se va a investigar el efecto de una perturbación de par que ocurre en el elemento de carga. Considérese el siguiente sistema:
Sistema de control con par de pertubación
El controlador proporcional produce un par T para posicionar el elemento de carga, que consiste en el momento de inercia y una fricción viscosa. El par de la perturbación se representa mediante D. Suponiendo que la entrada de referencia es cero, o R(s) = 0, la función de transferencia entre C(s) y D(s) se obtiene mediante
() = 1 () 2 ++ Por tanto,
() = − () = − 1 () () 2 ++ El error en estado estacionario producido por un par de perturbación escalón de magnitud
se obtiene mediante =lim → ()
− =lim → 2 ++ = − En el estado estacionario, el controlador proporcional aporta el par igual magnitud pero signo opuesto que el par de perturbación
−, que tiene
. La salidad en
estado estacionario producida por el par de perturbación escalón es
= − = El error en estado estacionario se reduce si se incrementa el valor de la ganancia
. Sin embargo, acrecentar este valor haría que la respuesta del sistema fuera más oscilatoria.
5. Respuesta a perturbaciones de par (control proporcional – integral). Para eliminar el offset debido a una perturbación de par, el controlador proporcional se sustituye por un controlador porporcional-integral, y luego, mientras existe una señal de error, el controlador desarrolla un par para reducir este error, siempre y cuando el sistema de control sea estable.
Control proporcional – integral de un elemento de carga formado por un momento de inercia y una fricción viscosa
La función de transferencia en lazo cerrado entre C(s) y D(s) es
() = () 3 + 2 + + Ante la ausencia de la entrada de referencia, o r(t)=0, la señal de error se obtiene de
( ) = − 3 2 () + + + Si este sistema de control es estable, es decir, si las raíces de la ecuación característica
3 + 2 + + = 0 Tienen partes reales negativas, el error en estado estacionario en la respuesta a un par de perturbación escalón unitario se obtiene aplicando el teorema de valor final del modo siguiente:
=lim → () 2 (+1) 1 − =lim → 3 + 2 + + =0 Por tanto, el error en estado estacionario para el par de perturbación escalón se elimina si el controlador es del tipo proporcional-integral. Obsérvese que la acción de control integral agregada al control proporcional convirtió el sistema, originalmente de segundo orden, en uno de tercer orden. Por ende, el sistema de control puede volverse inestable para un valor grande de K p
ya que las raíces de la ecuación característica pueden tener partes reales positivas. (El sistema de segundo orden simpre es estable si los coefcientes de la ecuación diferencial del sistema son todos positivos.) Es importante señalar que, si el controlador fuera integral, el sistema siempre se volvería inestable,
Control integral de un elemento de carga formado por un momento de inercia y una fricción viscosa
porque la ecuación característica:
3 + 2 + = 0 Tendría raíces con partes reales positivas. Tal sistema inestable no sepu ede usar en la práctica. Obsérvese que, en el sistema, la acción de control proporcional tiende a establizar el mismo, en tanto que la acción de control integral tiende a eliminar o reducir el error en estado estacionario en respuesta a diversas entradas.
6. Acción de control derivativa Cuando una acción de control derivativa se agrega a un controlador proporcional, aporta un modo de obtener un controlador con alta sensibilidad. Una ventaja de usar una acción de control derivativa es que responde a la velocidad del cambio del error y produce una correción siginificativa antes de que la magnitud del error se vuelva demasiado grande. Por tanto, el control derivativo prevé el error, inicia una acción correctiva oportuna y tiende a aumentar la estabilidad del sistema.
Aunque el control derivativo no afecta en forma directa al error en estado estacionario, añade amortiguamiento al sistema y, por tanto, permite el uso de un valor más grande que la ganancia K, lo cual provoca una mejora en la precisión en estado estacionario. Debido a que el control derivativo opera sobre la velocidad de cambio del error, y no sobre el error mismo, este modo nunca se utiliza solo. Siempre se emplea junto con una acción de control proporcional o proporcional-integral.
7. Control proporcional de sistemas con carga de inercia Antes de analizar el efecto de una acción de control derivatica sobre el comportamiento de un sistem, se analizará el control proporcional de una carga de inercia. Considérese el siguiente sistema:
Control proporcional de un sistema con carga de inercia
La función de transferencia en lazo cerrado se obtiene mediante
() = () 2 + Como las raíces de la ecuación característica
2 + son imaginarias, la respuesta a una entrada escalón unitario oscila indefinidamente, como se observa acontinuación:
Respuesta a una entrada escalón unitario
No son convenientes los sistemas de control que muestran tales características de respuesta. Se verá que la adición de un control derivativo estabilizará el sistema.
8. Control proporcional-derivativo de un sistema con carga e inercia Se va a modificar el controlador proporcional para obtener un controlador
(1 + ). El par que desarrolla el controlador es proporcional a ( + ̇). El control
proporcional-derivativo cuya función de transferencia sea
derivativo es esencialmente de previsión, mide la velocidad instantánea del error, predice la sobreelongación significativa adelantándose en el tiempo y produce una respuesta adecuada antes de que ocurra una sobre elongación demasiado grande. Considérese el siguiente sistema:
Control proporcional-derivativo de un sistema con carga de inercia
La función de transferencia en lazo cerrado se obtiene mediante:
() = (1+) () 2 + +
La ecuación característica
2 + +
Tiene ahora dos raíces con partes reales negativas para valores positvos de , y
. Por tanto, el control derivativo introduce un efecto de amortiguamiento. La
siguiente figura presenta una curva de respuesta común c(t) para una entrada escalón unitario. Es evidente que la curva de respuesta muestra una marcada mejora sobre la curva de respuesta original de la figura.
Respuesta a entrada escalón unitario
