ACCIONES DE CONTROL P, PI Y PD.
1.1 Introducción.
En la actualidad los sistemas controlados están presentes en nuestras vidas sin que nos percatemos de ellos. El control automático es parte importante e integral de los procesos industriales y de manufactura. Con los avances en la teoría y en la práctica del control automático se obtiene un desempeño óptimo de los sistemas dinámicos, se aligera la carga de muchas operaciones manuales repetitivas y se obtiene una mejor productividad. Es necesario recordar los conceptos básicos de la teoría de control, para esto se citarán los conceptos de “Ingeniería de Control Moderna” [2]. 1.1.1 Variable controlada y variable manipulada.
La variable controlada es la cantidad o condición que se mide y controla. En este proyecto la variable controlada será el desplazamiento de un carro como se describirá más adelante. Por lo común, la variable controlada es la salida del sistema. La variable manipulada es la cantidad o condición que el controlador
modifica para afectar el valor de la variable controlada. La posición del carro se manipula para determinar el giro del motor que desplaza al carro. Controlar significa medir el valor de la variable controlada del sistema y aplicar la variable manipulada al sistema para corregir o limitar una desviación del medio a partir de un valor deseado. 1.1.2 Planta.
La planta puede ser una parte de un equipo o un conjunto de partes de una máquina que funcionan juntas, es decir, cualquier objeto físico que se va a controlar. La planta tiene el propósito de ejecutar una operación particular. La planta tiene el propósito de desplazar el carro a una posición dada. 1.1.3 Proceso.
El proceso es una operación o un desarrollo personal progresivamente continuo, el proceso está marcado por una serie de cambios que se suceden uno al otro de forma relativamente fija y llevan a un resultado. También se puede definir como una operación artificial o voluntaria progresiva que consiste en una serie de acciones o movimientos controlados, sistemáticamente dirigidos hacia un resultado. El proceso es cualquier operación que se va a controlar. 1.1.4 Sistema.
El sistema es la combinación de componentes que funcionan juntos y realizan un objetivo determinado.
1.1.5 Perturbaciones.
A una señal que tiende a afectar negativamente el valor de la salida de un sistema se le conoce como perturbación. Si ésta se genera dentro del sistema se le conoce como perturbación interna, pero si se produce fuera del sistema se le llama perturbación externa y es una entrada. 1.1.6 Control realimentado.
El control realimentado es una operación que reduce la diferencia entre la salida de un sistema y alguna entrada de referencia y lo continúa haciendo tomando como base a esta diferencia. 1.1.7 Sistema de control en lazo cerrado.
Un sistema de control realimentado se denomina sistema de control en lazo cerrado. En este tipo de sistema se alimenta al controlador con la señal de error
que es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de realimentación, a fin de reducir el error. El control de lazo cerrado implica el uso de una acción de control realimentado para reducir el error del sistema. 1.1.8 Sistemas de control en lazo abierto.
Un sistema de control en lazo abierto es aquel donde la salida no afecta la acción de control. En un sistema de control en lazo abierto no se mide la salida ni se realimenta para compararla con la entrada, es decir, a cada entrada le corresponde una condición operativa fija. La precisión del sistema depende de la calibración.
1.2 Función de Transferencia.
El primer paso para poder implementar las acciones de control es analizar la respuesta transitoria de la planta. Por medio de este análisis se obtiene un sistema matemático conocido como “Función de Transferencia” que representa la planta que se va a controlar. La forma de la entrada a la que el sistema estará sujeto con mayor frecuencia determina cual de las señales de entrada típicas se debe usar para analizar las características del sistema. Si un sistema está sujeto a perturbaciones repentinas, la función escalón será la señal de prueba. El sistema de control se diseña en base a la función de prueba para que las respuestas a las entradas reales sean las deseadas. La mayoría de los sistemas a controlar tienen funciones de transferencia de segundo orden: ( )
ω = ( ) + ζω + ω (1.1)
donde ωn es la frecuencia natural no amortiguada y ζ se define como factor de amortiguamiento relativo del sistema. Un sistema de segundo orden tiene dos polos en: = −ζω ± ω ζ − (1.2)
El valor de ζ determina la forma de la respuesta transitoria: |ζ ζ| > 1
Dos polos reales diferentes. "Caso sobre amortiguado".
|ζ ζ| = 1
Dos polos reales e iguales. "Caso críticamente amortiguado".
0 < ζ < 1
Dos polos complejos conjugados. "Caso subamortiguado".
ζ = 0
Dos polos complejos conjugados puros. "Caso oscilador".
En la figura siguiente se presenta la respuesta transitoria para los factores de amortiguamiento para una entrada escalón unitario.
ζ ζ ζ
ζ
ζ
Figura 1.1 Curvas de Respuesta al Escalón Unitario de Sistemas de Segundo Orden.
La frecuencia natural no amortiguada ωn y el factor de amortiguamiento ζ, se presentan de forma gráfica a continuación en el plano imaginario: ω ω ω
ω −ζ
β
− σ
σ
ζω
Figura 1.2 Definición del Ángulo β .
Las variables de la figura anterior se calculan con las siguientes ecuaciones: ω β = − σ ω = ω − ζ θ =
ω
σ = ω ζ
= − ζ
θ =
σ = ζ ω (1.3)
donde ωd se define como la frecuencia natural amortiguada y σ es el coeficiente de atenuación.
1.3 Respuesta Transitoria.
Las características de desempeño deseadas del sistema de control se especifican en términos del dominio del tiempo. La respuesta transitoria de un sistema de control muestra con frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estable. Las especificaciones de la respuesta transitoria en el dominio del tiempo, se definen en función de las variables ωn, ωd, ζ y σ.
Figura 1.3 Especificaciones de la Respuesta Transitoria.
1. Tiempo de retardo (td): Es el tiempo para que la respuesta alcance la primera vez la mitad del valor final. 2. Tiempo de levantamiento (tr): Tiempo para que la respuesta pase del 10 al 90%, del 5 al 95% o del O al 100% de su valor final. 3. Tiempo pico (tp): Tiempo en el cual la respuesta alcanza el primer pico del sobrepaso. =
π ω (1.4)
4. Máximo sobreimpulso (Mp%): Es el valor pico máximo de la respuesta transitoria, medido a partir de la unidad. La cantidad de sobrepaso máximo indica de forma directa la estabilidad relativa del sistema. −
=
ζπ −ζ
(1.5)
5. Tiempo de asentamiento (ts): Tiempo para que la curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor final y permanezca dentro de este rango. Este rango es un porcentaje absoluto del valor final, por lo general, de 2% a 5%. El tiempo de asentamiento se relaciona con la mayor constante de tiempo del sistema de control. ≈
ξω (1.6)
donde C es 4 para un criterio de 2% o 3 para un criterio de 5%.
1.4 Acciones de Control.
Una vez definidos los conceptos básicos de control, la función de transferencia y la respuesta transitoria se analizan las acciones de control. Existen varias acciones de control, entre las cuales se encuentran: Acción de Control Encendido-Apagado (Brecha Diferencial). Acción de Control Proporcional. Acción de Control Integral. Acción de Control Derivativa. Acción de Control Proporcional Integral. Acción de Control Proporcional Derivativa. Acción de Control Proporcional Integral Derivativa.
Las acciones de control que se van a plantear es este proyecto son la acción de control proporcional, la acción de control proporcional integral y la acción de control proporcional derivativa. Las acciones de control encendido-apagado y Proporcional Integral Derivativa se pueden consultar en “Prácticas de Control para un SED (Encendido Apagado y PID). 1.4.1 Acción de Control Proporcional (P).
La acción de control proporcional es en esencia un amplificador con ganancia ajustable. Este control sirve para reducir el tiempo de subida, incrementar el sobretiro y reducir el error de estado estable.
Para una acción de control proporcional la relación entre la salida del controlador u(t) y la señal de error e(t) es: ( ) = ( ) (1.7)
donde Kp es la ganancia proporcional. Si se aplica la transformada de Laplace se obtiene: ( ) = ( ) ( ) ( )
= (1.8)
Si se aplica la transformada Z se obtiene: ( ) = ( ) ( ) ( )
= (1.9)
1.4.2 Acción de Control Proporcional Integral (PI).
Una acción de control proporcional integral es la unión de un controlador proporcional y uno integral, por lo que es necesario definir la acción de control integral. En una acción de control integral la relación entre la salida del controlador u(t) y la señal de error e(t) es: ( )
= ( )
( ) = ( )
(1.10)
donde Ki es una constante ajustable.
Si se duplica el valor de e(t), el valor de u(t) varía dos veces más rápido. Cuando el error es cero, el valor de u(t) permanece estacionario. Esta acción de control integral se denomina control de reajuste ( reset ). Como se puede observar en la ecuación 1.10, el control integral añade un polo en el origen, con lo cual el sistema se vuelve menos estable. En el control proporcional integral decrece el tiempo de subida, se incrementa el sobrepaso y el tiempo de estabilización. Como se mencionó anteriormente la parte integral, el polo en el origen vuelve a un sistema de segundo orden menos estable, por lo que la parte proporcional ayuda a la estabilización. La acción de control proporcional-integral se define mediante: ( ) = ( ) +
( )
(1.11)
en donde Kp es la ganancia proporcional y Ti se denomina tiempo integral. El tiempo integral ajusta la acción de control integral, el inverso de éste se denomina velocidad de reajuste. La velocidad de reajuste es la cantidad de veces que se duplica la parte proporcional de la acción de control. Un cambio en Kp afecta a las dos partes, la parte integral y proporcional de la acción de control. Para facilitar las operaciones y el diseño de los controladores es necesario obtener la transformada de Laplace. También es necesaria la transformada para realizar los controles de forma analógica. Si se desea implementar un controlador digital es necesario utilizar la transformada Z.
Si se aplica a la ecuación 1.10 la transformada de Laplace se obtiene: ( ) = ( ) +
( )
= +
( )
( )
(1.12)
Cuando se aplica la transformada de Z se obtiene: ( + − ) ( ) = ( ) − ( ) ( − − ) ( ) ( ) ( ) ( )
= −
( + − )
( − − )
= −
( − − )
+
(1.13)
donde T es el tiempo de muestreo. 1.4.3 Acción de Control Proporcional Derivativa (PD).
Al combinar una acción de control proporcional y una acción de control derivativa se obtiene un controlador proporcional derivativo. En un controlador derivativo la relación entre la salida del controlador u(t) y la señal de error e(t) es: ( ) =
( ) (1.14)
donde Kd es una constante ajustable. En la ecuación 1.14 se puede observar que se agrega un cero a la función de transferencia. El efecto de este control es introducir un grado de previsión al sistema y acelerar la respuesta transitoria. Sin embargo, es obvio que una acción de control derivativa nunca prevé una acción que nunca ha ocurrido.
El control proporcional derivativo se encarga de reducir el sobrepaso y el tiempo de estabilización, es decir se incrementa la estabilidad del sistema mejorando la respuesta. La relación de un controlador proporcional-derivativo entre la salida u(t) y la señal de error e(t) está dada por: ( ) = ( ) +
( ) (1.15)
en donde Kp es la ganancia proporcional y Td es una constante denominada tiempo derivativo. La acción de control derivativa, en ocasiones llamada control de velocidad, ocurre donde la magnitud de la salida del controlador es proporcional a la velocidad de cambio de la señal de error. El tiempo derivativo Td es el intervalo de tiempo durante el cual la acción de la velocidad hace avanzar el efecto de la acción proporcional. Aunque la acción de control derivativa tiene la ventaja de ser de previsión, tiene las desventajas de que amplifica las señales de ruido y puede provocar un efecto de saturación en el actuador. Al igual que en los casos anteriores es necesario obtener las transformadas de Laplace y la transformada Z del controlador para facilitar los cálculos. La transformada de Laplace de la ecuación 1.14 es: ( ) = ( ) + ( ) ( ) ( )
= ( + ) (1.16)
También se obtiene la transformada Z del controlador y se obtiene: ( ) = ( ) + ( ) ( ) ( ) ( )
= +
= +
( − − ) ( )
( − − )
−
− (1.17)
donde T es el tiempo de muestreo. Una vez definidos los conceptos de control y las acciones de control que se implementan es este proyecto es necesario conocer la planta que se va a controlar.
