Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencias. Depto. de Matem´atica atica y Ciencias de la Computaci´on. on.
Funda un dame mento ntoss y Dedu Deducc cci´ i´on on de F´ormul ormula a de Manning
Alumno Alu mno:: V´ıctor ıcto r Cald C alder´ er´on on Maldonado ´ ro San Profesor: Alvaro Alva Sa n Mart Mar t´ın
1.
Fundamentos de la F´ ormula de Manning
La formula de Manning, tambi´ en llamada de Manning-Gauckler es una f´ormula determinar el flujo de canal abierto, o por una superficie libre impulsado por la gravedad, determinada de forma emp´ırica, es decir, es una expresi´on matem´atica que sintetiza, por medio de regresiones, correlaciones u otro medio num´ erico, una serie resultados observados en diversos ensayos, sin que sea necesario para ello disponer de una teor´ıa que la sustente. Esta se present´o por primera vez por el ingeniero franc´es Philippe Gauckler en 1867 y luego fue re-elaborada por el ingeniero irland´es Robert Manning en 1890. El coeficiente principal para esta f´ormula es el coeficiente de rugosidad de Manning, ´este depende de muchos factores como la rugosidad superficial y la sinuosidad. Para determinar este coeficiente se debe hacer un estudio de la superficie que esta en contacto con el flujo, si esto no es posible, se debe recurrir a fotografias de r´ıos donde n se ha determinado mediante la f´ormula de Manning. Finalmente, esta f´ormula depende de el coeficiente de rugosidad de Manning, de la pendiente de la l´ınea de agua o gradiente hidr´aulico y del radio hidr´aulico. El radio hidr´aulico no es la mitad del di´ametro hidr´aulico como el nombre puede sugerir. Es una funci´on de la forma de la tuber´ıa, canal o r´ıo en el que el agua est´a fluyendo.
Figura 1: Ejemplos de secciones de canales regulares
2
2.
Deducci´ on de la F´ ormula de Manning
Para comenzar con la deducci´o n de la Ecuaci´o n o f´ormula de Manning, primero debemos conocer algunas relaciones. la primera es la ecuaci´o n de Darcy-Weisbach , ´esta describe p´erdidas de cabeza debidas a la fricci´on en paredes. En mec´anica de fluidos, la p´ erdida de cabeza o p´ erdidas por fricci´ on hf a lo largo de una longitud L de una tuber´ıa de di´ametro D, para un flujo con velocidad V , est´a dada por la ecuaci´on de Darcy-Weisbach. L V 2 hf = f D 2g
(1)
donde f es el factor de fricci´on de Darcy-weisbach y g es la aceleraci´on de gravedad. Usando la definici´o n de la pendiente de fricci´ on, pendiente de la l´ınea de agua o gradiente hidr´ aulico (m/m). , S f = hf /L y reemplazando, podemos despejar V . Nos queda: V =
2g DS f f
(2)
El radio Hidr´aulico R de una tuber´ıa circular es, 2
πD A D = 4 = R= 4 P πD
(3)
Luego, el di´ametro de la tuber´ıa D puede reemplazarse en (2) por D = 4R
(4)
para llegar a la ecuaci´on de Darcy-Weisbach de la forma:
√
V =
8g RS f f
(5)
Ahora, Tomando la expresi´on C = 8f g , definiendola como el coeficiente de Chezy y utilizandolo en la ecuaci´on (5), ´esta se reescribe como V = C RS f
(6)
que es la ecuaci´on de Chezy para el flujo en canales abiertos. La ecuaci´on de Manning / se deriva de la ecuaci´on de Chezy haciendo C = Rn , donde n es el Coeficiente de rugosidad de Manning. Luego nos queda: 1 6
/
R2/3 S f 1 2 / = 1/n × R2/3 × S f 1 2 V = n 3
(7)
La ecuaci´on de Manning (7) es v´alida en unidades SI, con R en metros y V en metros por segundo (S f es adimensional por ser una pendiente). Para V en pies por segundo y R en pies, la ecuaci´on de Manning se reescribe como V =
1,49 n
×R
2/3
1/2
(8)
× S f
[1,49 = (3,281)1/3 y 3.281 pies = 1 m]. y sabiendo que el caudal Q puede ser expresado como Q = A · V
(9)
Podemos expresar las ecuaciones (7) y (8) de la forma: /
1 2 Q = A × 1/n × R2/3 × S f 1,49 1/2 / × R2 3 × S f Q = A× n entonces tenemos una expresi´on para calcular el caudal.
(10) (11)
Comparando las ecuaciones (5) y (7), el n de Manning puede expresarse en t´erminos del factor de fricci´on de Darcy-Weisbach, f , como sigue: n=
f 1/6 R 8g
(12)
con todos los valores en unidades del SI. La ecuaci´on de Manning es v´alida para flujo completamente turbulento , para el cual es factor de fricc´on de Darcy-Weisbach f es independiente del n´ umero de Reynolds Re . Henderson sugiere el siguiente criterio para flujo completamente turbulento:
√ √ 6
n o n6
RS f ≥ 1,9 × 10−13
RS f ≥ 1,1 × 10−13
con R en pies
(13)
con R en metros
(14)
Finalmente, podemos ver que para la deducci´o n de la F´ormula de Manning es fundamental conocer: a. La ecuaci´on (1) de Darcy-Weisbach, que corresponde a la p´erdida por fricci´on. b. La definici´on de la pendiente de la l´ınea de agua o gradiente hidr´aulico. c. El radio hidr´aulico de una tuber´ıa circular (3). d. El coeficiente de Chezy. e. Expresion para describir el caudal que atraviesa una secci´on transversal. 4
