Pertemuan 6
Distribusi Bersyarat dan Bebas Stokastik
DISTRIBUSI BERSYARAT
Dalam Teori Peluang, kita sudah menjelaskan dua buah peristiwa yang bersyarat. Jika A dan B adalah dua buah peristiwa, maka peluang terjadinya peristiwa B diberikan peristiwa A dirumuskan dengan:
P(B A) =P(A B)P(A);PA>0
Jika A adalah peristiwa X = x dan B adalah peristiwa Y = y, maka:
P(Y = y X = x) = P(X=x Y=y)P(X=x)
p(y x) = p(x,y)p1(x);p1x>0
Dari perumusan di atas, kita dapat mendefinisikan fungsi peluang bersyarat dari sebuah peubah acak diberikan peubah acak lainnya.
Definisi : FUNGSI PELUANG BERSYARAT
Jika p(x,y) adalah fungsi peluang gabungan dari dua peubah acak diskrit X dan Y di (x,y) dan p2(y) adalah nilai fungsi peluang marginal dari Y di y, maka fungsi yang dinyatakan dengan:
pxy=p(x,y)p2(y);p2y>0
untuk setiap x dalam daerah hasil X, disebut sebagai fungsi peluang bersyarat dari X diberikan Y = y.
Jika p1(x) adalah nilai fungsi peluang marginal dari X di x, maka fungsi yang dirumuskan dengan:
pyx=p(x,y)p1(x);p1x>0
untuk setiap y dalam daerah hasil Y, dinamakan sebagai fungsi peluang bersyarat dari Y diberikan X = x.
Karena p(x y) dan p(y x) masing-masing merupakan fungsi peluang, maka kedua fungsi peluang itu harus memenuhi sifat sebagai berikut:
a. p(x"y) > 0
b.xpxy=1
a. p(y"x) > 0
b. ypyx=1
Definisi : FUNGSI DENSITAS BERSYARAT
Jika f(x,y) adalah nilai fungsi densitas gabungan dari dua peubah acak kontinu X dan Y di (x,y) dan f2(y) adalah nilai fungsi densitas marginal dari Y di y, maka fungsi yang dirumuskan dengan:
gxy=f(x,y)f2(y);f2y>0
untuk setiap x dalam daerah hasil X, dinamakan sebagai fungsi densitas bersyarat dari X diberikan Y = y.
Jika f1(x) adalah nilai fungsi peluang marginal dari X di x, maka fungsi yang dirumuskan dengan:
hyx=f(x,y)f1(x);f1x>0
untuk setiap y dalam daerah hasil Y, dinamakan sebagai fungsi densitas bersyarat dari Y diberikan X =x.
Karena g(x y) dan h(y x) masing-masing merupakan fungsi densitas, maka kedua fungsi densitas itu harus memenuhi sifat sebagai berikut:
a. g(x"y) > 0
b. - gxydx=1
a. h(y"x) > 0
b. - hyxdy=1
Contoh :
Diberikan sebuah fungsi peluang gabungan dari X dan Y berbentuk :
p(x,y) = k(x2 + y2); x = -1, 0, 1, 3 dan y = -1, 2, 3
tentukan fungsi peluang bersyarat dari X diberikan Y = y
tentukan fungsi peluang bersyarat dari Y diberikan X = x
Contoh :
Misalnya fungsi densitas gabungan dari Y dan Z berbentuk :
f(y,z) = 10yz2;0
tentukan fungsi densitas bersyarat u(y"z)
tentukan fungsi densitas bersyarat w(z"y)
KEBEBASAN STOKASTIK
Jika kita mempunyai dua buah peubah acak X dan Y, baik diskrit maupun kontinu, maka kita dapat mengetahui apakah kedua peubah acak itu bebas stokastik atau tidak bebas stokastik.
Definisi : KEBEBASAN STOKASTIK DISKRIT
Misalnya dua peubah acak diskrit X dan Y mempunyai nilai fungsi peluang gabungan di (x,y), yaitu p(x,y) serta masing-masing mempunyai nilai fungsi peluang marginal dari X di x, yaitu p1(x) dan nilai fungsi peluang marginal dari Y di y, yaitu p2(y).
Kedua peubah acak X dan Y dikatakan bebas stokastik, jika dan hanya jika:
p(x,y) = p1(x). p2(y) untuk semua pasangan nilai (x,y)
Dalam prakteknya, soal yang menyangkut kebebasan stokastik dua peubah acak diskrit ini fungsi peluang gabungan dari kedua peubah acak harus diketahui bentuknya. Kemudian kita menentukan dahulu fungsi peluang marginal dari masing-masing peubah acak. Selanjutnya kita mensubstitusikan semua pasangan nilai dari kedua peubah acak itu kedalam persyaratan kebebasan stokastik, dan kita memperhatikan hasilnya dengan kriteria sebagai berikut:
a. Apabila ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka kedua peubah acak itu dikatakan bebas stokastik.
b. Apabila ruas kiri tidak sama dengan ruas kanan, maka kedua peubah acak itu dikatakan tidak bebas stokastik atau bergantungan untuk minimal satu pasangan nilai peubah acak.
Definisi : KEBEBASAN STOKASTIK KONTINU
Misalnya dua peubah acak kontinu X dan Y mempunyai nilai fungsi densitas gabungan di (x,y), yaitu f(x,y) serta masing- masing mempunyai nilai fungsi densitas marginal dari X di x, yaitu f1(x) dan nilai fungsi densitas marginal dari Y di y, yaitu f2(y).
Kedua peubah acak X dan Y dikatakan bebas stokastik, jika dan hanya jika:
f(x,y) = f1(x). f2(y) untuk semua pasangan nilai (x,y)
Dalam prakteknya, soal yang menyangkut kebebasan stokastik dua peubah acak kontinu ini fungsi densitas gabungan dari kedua peubah acak harus diketahui bentuknya. Kemudian kita menentukan dahulu fungsi densitas marginal dari masing-masing peubah acak. Selanjutnya kita menggunakan persyaratan kebebasan stokastik, dan kita memperhatikan hasilnya dengan kriteria sebagai berikut:
a. Apabila ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka kedua peubah acak itu dikatakan bebas stokastik.
b. Apabila ruas kiri tidak sama dengan ruas kanan, maka kedua peubah acak itu dikatakan tidak bebas stokastik atau bergantungan
Contoh :
Misalnya fungsi peluang dari X dan Y berbentuk :
fx,y=x+y ; 0
Periksalah, apakah X dan Y bebas stokastik?
Latihan
misalnya fungsi densitas gabungan dari X dan Y berbentuk :
fx,y=x2+xy3 ;0
Apakah X dan Y merupakan dua peubah acak yang bebas stokastik?
Misalnya fungsi densitas gabungan dari X dan Y berbentuk :
fx,y=c6-x-y;0 x 2, 2 y 40 ;x dan y lainnya
Tentukan fungsi densitas bersyarat dari X diberikan Y = y
Tentukan fungsi densitas bersyarat dari Y diberikan X = x
