DERIVACIÓN POR REGLA DE LA CADENA Y DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS DIFERENCIALES TOTALES Y DERIVADAS TOTALES Dada la función z = f ( x, y) de dos variables independientes x e y, y definimos dx = Δx; dy = Δy . Cuando x varia con y fija, z es función de x tan sólo y la diferencial parcial ∂ z de z con respecto a x se define como d x z = fx (x, y)dx = dx análogamente, la diferencial ∂ x ∂ z parcial de z con respecto a y se define como d y z = f y (x, y)dx = dx La diferencial total dz se ∂ y ∂ z ∂z define como la suma de las diferenciales parciales. dz = dx + dy ∂ x ∂y Para una función de tres variables w = f ( x, y, z ) La diferencial total dw se define como ∂ z ∂z ∂z la suma de las diferenciales parciales. dw = dx + dy + dz ∂ x ∂y ∂z LA REGLA DE LA CADENA
De forma similar: Si w = f (u, v) y u = g ( x, y ), v = k (x, y ) donde f, g, y k son diferenciables, entonces. ∂w ∂w ∂u ∂w ∂v ∂w ∂w ∂u ∂w ∂v ; = + = + ∂ x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y En caso de tres variables: Si w es una función de u, v y r, donde u, v y r son cada una funciones de x , y y z, y se ∂w desea encontrar se toman los productos de los pares de derivadas parciales que ∂ y llevan de w a y , y se suman.
∂w ∂w ∂u ∂w ∂v ∂w ∂r = + + ∂ y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂r ∂ y
Ejemplo 3. Sean ω ( p, q, r ) = pqsen( r ), p = 2s + t , q = s − t , r = st Determine ∂ω ∂ω ∂ p ∂ω ∂q ∂ω ∂ r ∂ ω = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ = 2q se s enr + psenr + pqt cos r ∂s ∂ p ∂s ∂q ∂s ∂r ∂s ∂s
∂ω ∂ω y ∂s ∂t
∂F ∂F dx ∂F dy ∂F dy + = 0⇒ = − ∂ x , ≠0 ∂F ∂y ∂ x dx ∂y dx dx ∂ y x e y, Si la ecuación F ( x , y , z ) = 0 define implícitamente a z como función diferenciable de x e entonces al derivar ambos lados respecto a x, manteniendo y fijo obtenemos:
∂F ∂x ∂F ∂y ∂F ∂z ∂ z ∂ y y observamos que + + = 0 Si despejamos = 0 obtenemos la ∂ x ∂x ∂y ∂x ∂z ∂x ∂ x ∂ x ∂F ∂ z ∂F primera fórmula. = − ∂ x ; ≠0 ∂F ∂ x ∂z ∂ z ∂ z En forma similar, al derivar ambos lados respecto a y, manteniendo x fijo, despejamos ∂ y ∂F
puede despejar “z” de la ecuación f ( x, y, z ) = 0 , siendo “z” una función continua y derivable con respecto a x e y: z = Φ ( x, y ) conz0 = Φ ( x0 , y0 ) y
Ejemplo 4. Hallar
dy dx
∂F ∂F ∂ z ∂z ∂y = − ∂ x ; = − ∂F ∂y ∂F ∂ x ∂ z ∂z
siendo f ( x, y ) = y 3 + xy − 12 = 0 ,
∂ f dy y ∂ f ∂f = y; = 3 y 2 + x ⇒ = − ∂ x = − 2 ∂ f dx 3y + x ∂ x ∂y ∂ y Ejemplo 5. Hallar
dy dx
; sie siendo ndo e x ssen enyy + e y se senx nx = 1 ,
f ( x, y ) = e seny + e senx − 1 = 0 x
y
∂ f x y ∂ f ∂f dy ∂ x e seny + e cos x x y x y = e seny + e cos x; = e cos y + e senx ⇒ = = − x y ∂ f ∂ ∂
2. z = 1 + x 2 + y 2 , x = ln t , y = cos t 1 1 − − ∂z dx ∂z dy 1 1 1 2 2 2 2 = + = (1 + x + y ) 2 ( 2 x ) + (1+ x + y ) 2 ( 2 y ) ( − sent sen t ) = dt ∂x dt ∂y dt 2 t 2
dz
=
⎛ x ⎞ − y sen t ⎟ ⎜ ⎠ 1 + x 2 + y 2 ⎝ t 1
y
3. w = xe , x = t 2 , y = 1 − t , z = 1 + 2t z
y y y y ∂w dx ∂w dy ∂w dz x 2xy ⎞ ⎛1⎞ ⎛ y⎞ ⎛ z z z z = + − = e 2t + xe ⎜ ⎟ ( −1) + xe ⎜ − 2 ⎟ 2 = e ⎜ 2t − − 2 ⎟ ∂x dt ∂y dt ∂z dt dt z z ⎠ ⎝z⎠ ⎝ z ⎠ ⎝
dw
Mediante la regla de la cadena encuentre 4. z = x 2 y 3 , x = s cos t , y = s sent sen t ∂ z
∂z ∂x
∂z ∂y
∂ z ∂ z y ∂s ∂t
7. Si z = f ( x, y ) , donde f es diferenciable y además 2, h ( 3) = 7, g ′( 3) = 5, h′( 3) = −4, f x ( 2, 7) = 6, 6, f y ( 2, 7) = −8 x = g ( t ) , y = h ( t ) , g ( 3) = 2,
Determine
dz dt
cuando t = 3 .
Cuando t = 3, x = g ( 3) = 2 y y = h ( 3) = 7 . Por la regla de la cadena, dz dt
8.
=
∂f dx ∂f dy + = f x ( 2, 7 ) g ′ ( 3) + f y ( 2, 7 ) h′ ( 3) = ( 6) ( 5) + ( −8) ( −4) = 62 ∂x dt ∂y dt
Suponga
que
f
es
(
una
)
función
diferenciable
de
x
y
g ( u , v ) = f eu + sen v , e v + cos v . Mediante la tabla de valores calcule g v ( 0, 0 ) .
f
g
Fx
Fy
y ,
y
que
gu ( 0, 0 ) y
∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂ u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y = + = + = + , , ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t 10. w = f ( r , s , t ) , donde r = r ( x, y ) , s = s ( x , y ) , t = t ( x , y )
12. R = ln ( u 2 + v 2 + w 2 ) ; u = x + 2 y , v = 2 x − y , w = 2xy ;
∂ R ∂R cuando x = y = 1 ∂ x ∂y
2u 2v 2w ∂ R ∂R ∂u ∂R ∂v ∂R ∂w 1 2 = + + = 2 2 + + ( ) ( ) ( 2 y ) = ∂ x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x u + v + w 2 u 2 + v 2 + w2 u 2 + v2 + w2 2u + 4v + 4 wy = 2 2 u + v + w2 2u 2v 2w ∂ R ∂R ∂u ∂R ∂v ∂R ∂w 2 1 = + + = 2 2 + − + ( ) ( ) ( 2 x) = 2 2 2 2 2 2 ∂ y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y u + v + w 2 u +v +w u +v +w 4u − 2v + 4 wx = 2 2 2 u +v +w
Cuando x − y = 1 tenemos u = 3, v = 1 y w = 2 , así
∂ R 9 ∂ R 9 = . = y ∂ x 7 ∂ y 7
13. u = x 2 + yz, x = pr cos θ , y = pr sen θ , z = p + r ;
∂u ∂u ∂u cuando p = 2, r = 3,θ = 0 , , ∂ p ∂r ∂θ
15. ω = x 2 y 3 , x = t 3 , y = t 2 dw dt
= ( 2 xy3 ) ( 3t 2 ) + ( 3x2 y 2 ) ( 2t ) = ( 2t 9 ) ( 3t 2 ) + ( 3t 10 ) ( 2t ) = 12t 11
sen t 16. ω = x 2 y − y 2 x; x = cos t , y = sent dw 2 = ( 2 xy − y 2 ) ( − sent sen t ) + ( x − 2 xy ) ( cos t ) = ( sent sen t + cos t ) (1 − 3 sent sen t cos t ) dt
17. ω = e x sen y + e y sen x; x = 3t , y = 2t dw = ( e x sen y + e y cos x ) ( 3) + ( e x cos y + e y sen x ) ( 2 ) = dt = 3e3t sen 2t + 3e2t cos 3t + 2e3 t cos 2t + 2e2t sen 3t
⎛ x ⎞ 2 ⎟ ; x = tan t , y = sec t ⎝ y ⎠ ⎛ 1⎞ sec 2 t sec 2 t − 2 tan 2 t 1 − tan 2 t dw ⎛ 1 ⎞ 2 2 = ⎜ ⎟ sec t + ⎜ − ⎟ ( 2 sec t tan t ) = − 2 ta n t = = t t t t dt ⎝ ⎠ t t ⎝ ⎠
18. ω = ln ⎜
2
2
23. ω = e x + y ; x = s se sen t , y = t sen s 2 2 2 2 ∂w x2 + y2 =e ( 2 x ) ( s cos t ) + e x + y ( 2 y ) ( sen s ) = 2e x + y ( xs cos t + y sen s ) ∂t
= 2 ( s 2 sen t cos t + t sen 2s ) exp ( s 2sen 2t + t 2sen 2s ) 24. ω = ln ( x + y ) − ln ( x − y ) ; x = te s , y = e st s ( t +1) 2e ( st ) − 1 ∂w ⎡ −1 −1 −1 −1 s st = ( x + y ) − ( x − y ) ⎤ ( e ) + ⎡( x − y ) + ( x − y ) ⎤ ( se ) = 2 2 s 2 st ⎦ ⎣ ⎦ ∂t ⎣ t e −e
25. ω = x 2 + y 2 + z 2 ; x = cos st , y = sen st , z = s 2t 1 z ( s ) − x ( − s sen st ) y ( s cos st ) ∂w 4 4 2 = + + = s t (1 + s t ) 2 1 1 1 ∂t ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 2
30. Si ω = x 2 y + z 2 , x = ρ cos θ sen φ , y = ρ sen θ sen φ y z =
cos φ , determine
∂ω ∂θ ρ = 2,θ =π ,φ = π 2
∂w = ( 2 xy ) ( − sen θ sen φ ) + ( x 2 ) ( ρ cos θ sen φ ) + ( 2z ) ( 0 ) = ρ 3 cos θ sen φ ( −2 sen 2θ + cosθ ) ; ∂θ ⎛ ∂w ⎞ ⎜ ⎟⎛ π ⎞ = −8 ⎝ ∂θ ⎠⎜ 2,π , ⎟ ⎝
2⎠
31. Sean ω ( x, y, z ) = sen ( xyz) , x = t , y = t 2 , z = t 3 Determine: dω dt dω dt d ω dt
=
d ω dt
∂ω dx ∂ω dy ∂ω dz ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂x dt ∂y dt ∂z dt
= y x cos xyz + 2 txz cos xyz + 3t 2 xz cos xyz ⇒ = 6t 5 cos t 6 d ω ω
d ω dt
= t 5 cos t 6 + 2t 5 cos t 6 + 3t 5 cost 6
∂ω ∂ω ∂ x ∂ ω ∂y ∂ω ∂z = ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t 1/ 2
1/ 2
−2 ( st ) x + 2 ( st ) y + 2sz 2 x 2y 2sz ∂ω =− 2 + + = 1/ 2 1/ 2 x + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 ( st ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) ∂t ( st ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1/ 2
1/ 2
1/ 2
∂ω 4 s ( st ) − 2 ( s − t ) ( st ) + 2 ( s + t ) (st ) = 1/ 2 2 2 ∂t ( st ) ⎡⎣ ( s − t ) + 4st + ( s + t ) ⎤⎦
(
2
Otra forma: ω ( s, t ) =1n ( s − t ) + ( s + t )
2
=
) =1n ( 2s
2 ( 2s + 2t ) 2 s + 4 st + 2t 2
2
2
=
2 s+t
+ 4st + 2t 2 ) ,
2 2 ∂ω ∂ω ; = = ∂s s + t ∂t s + t
34. Sean ω ( u, v, z ) = u 2 + v 2 + z 2 , u = 3et sen(s ), v = 3et cos s z = 4et , Determine: dω d ω , ds dt
∂
3
t
3
t
i
3et ( u cos s v sin s )
∂ω ∂ω = 4s 3 + 8s 3t 2 ; = 4 s 4t − 4 t 3 ∂s ∂t 36. Si p = f ( x, y ) , x = x ( u, v, ω ) , y = y ( u, v, ω ) , Determine
∂ p ∂p ∂p , , ∂u ∂v ∂w
∂ p ∂f ∂x ∂f ∂y ∂p ∂f ∂x ∂f ∂y ∂p ∂f ∂x ∂f ∂y , = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ , = ⋅ + ⋅ ∂u ∂ x ∂u ∂y ∂u ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v ∂ω ∂x ∂ ω ∂y ∂ ω 37. Si p = f ( x, y, z ) , x = x ( u, v, ) , y = y ( u, v) , and z = ( u, v ) , Determine
∂ p ∂p , ∂u ∂v
∂ p ∂f ∂x ∂f ∂y ∂ f ∂z ∂p ∂ f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z ; = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ . ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂u ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v ∂z ∂v 38. Si p = f ( u, v, ω ) , u = u ( x, y, z ) , v = v ( x, y, z ) , ω = ( x, y, z ) Determine
∂ p ∂p ∂p , , ∂ x ∂y ∂z
∂ p ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂u ∂f ∂v = ⋅ + ⋅ . ⋅ + ⋅ . ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂u ∂t ∂v ∂t 42. Si ω = u 2 + v 2 + x 2 + y 2 , u = x − y , v = x + y, Determine
∂w ∂w , ∂ x ∂y
∂ω = 2u ⋅ u x + 2v ⋅ vx + 2 x = 2 ( x − y ) + 2 ( x + y ) + 2 x = 6x ∂ x ∂ω = 2u ⋅ u y + 2v ⋅ v y + 2 y = − 2 ( x − y ) + 2 ( x + y ) + 2 y = 6 y. ∂ y ∂w ∂w , 43. Si ω = uvxy , u = x − y , v = x + y , Calcular ∂ x ∂y w x =
vxy
4 x − y
+ uvxy
uxy
4 x+y
+
uvy
2 uvxy
uvxy
⇒ wx =
2 2 2 ∂ω xy ( 2 x − y ) = sust . u = x − y ; v = x + y ⇒ 3/ 2 ∂ x 2 2 2
(
)
2 2 vxy x − y + vxy x + y + 2uvy x − y
4 x2 − y2
uvxy
Determine
dy dx
(la derivada implícita) en los siguientes ejercicios.
46. xy = 1 + x 2 y 1 − 1 3 xy ) 2 ( y ) − 2 xy ( 4 xy y − 4 xy xy ( )2 − y F dy = − x = − 2 = − = 1 2 2 − 1 dx F y 2 x − 2 x xy xy x − 2 x xy xy 2 − xy x x ( ) ( ) 2 47. cos ( x − y ) = xe y
Así que Así que vamos a F ( x, y ) = cos ( x − y ) − xe y = 0 . sen ( x − y ) + e y − sen ( x − y ) − e y =− =− = y − sen ( x − y ) ( −1) − xe dx F y sen ( x − y ) − xe y
dy
F x
Determine
∂ z ∂ z y ∂ x ∂ y
51. F ( x, y, z ) = x3 + y 3 + z 3 − xyz. F x ∂ z 3x 2 − yz ; =− =− F z ∂ x 3 z − xy
F y ∂z 3 y 2 − xz =− =− F z ∂y 3 z − xy
2
2
52. F ( x, y, z ) = xe xy + ye zx + ze xy − 3. xy
2 F x F x ∂ z ∂z e xy + xye xy + yze zx + yze x e xy + e zx + xze =− =− =− =− ; zx xy zx xy ∂ x ∂y F z xye + e Fz xye + e
53. F ( x, y, z ) = x5 + xy 2 + yz − 5. F x ∂ z 5x 4 + y 2 =− =− ; ∂ x F z y
54. F ( x, y, z ) =
∂ z
F
x
2
a2
c2 x
+
y
2
b2
∂z
F ∂z 2 xy + x =− y =− ∂y Fz y
+
z
2
c2
− 1. F
c2 y
xy
58. Sean z = f ( t ) , t =
( x + y ) xy
. Probar que x2
∂ z ∂z = y2 . ∂ x ∂y
1 1 ∂ z ∂t ∂z ∂t = f ′ ( t ) = − f ′ ( t ) 2 ⇒ = f ′ ( t ) = − f ′ ( t ) 2 x y ∂ x ∂x ∂y ∂y ∂ z ∂z = − f ′ ( t ) ⇒ y 2 = − f ′ ( t ) Por tanto: x 2 ∂ x ∂y 59. Hallar z xx si z = f ( u, v ) , u = x 2 − y 2 y v = 2 xy . Expresar la respuesta en términos de u, v y las derivadas parciales de f .
Aplicamos la regla de la cadena:
∂ z ∂u ∂v = D1 f + D2 f = D1 f ( u, v ) ( 2 x ) + D2 f ( u, v ) ( 2 y) = 2 xD1 f ( u, v) + 2 yD2 f ( u, v) ∂ x ∂x ∂x ∂ 2 z z xx = 2 = 2D1 f + 2 x ( D11 f ( 2 x ) + D21 f ( 2 y ) ) + 2 y ( D12 f ( 2 x ) + D22 f ( 2 y ) ) ∂ x = 2 D1 f + 4 x2 D11 f + 8 xyD12 f + 4 y 2 D22 f Obsérvese que en la simplificación hemos usado la igualdad D21 f = D12 f que se deduce
∂w ∂2w 2 = 2 (1 + tg ( 2 x − 2ct ) ) ⇒ 2 = 8tg ( 2 x − 2ct ) (1+ tg 2 ( 2 x − 2ct ) ) ∂ x ∂x 61. Si F ( x, y , z ) = x 3e y + z − y sen ( x − z ) = 0 define a z implícitamente como función de x e y , encuentre
∂ z . ∂ x
∂F 3 x 2e y + z − y cos ( x − z ) ∂ z x ∂ =− = − 3 y + z ∂F ∂ x x e + y cos ( x − z ) ∂ z 2 ∂ 2 y 2 ∂ y 62. La ecuación de onda de la física es la ecuación diferencial parcial 2 = c donde ∂t ∂x 2 c es una constante. Demuestre que si f es cualquier función dos veces diferenciable,
entonces y ( x, t ) =
1
⎡ f ( x − ct ) + f ( x + ct ) ⎤⎦ satisface esta ecuación.
2⎣
temperatura cumple con T x ( 2, 3) = 4 y T y ( 2, 3) = 3 . ¿Qué tan rápido se eleva la temperatura en la trayectoria del animalito después de 3 segundos? Ya que x y y son cada uno de las funciones de t , T ( x, y ) es una función de t , así por así por la regla
de
la
cadena
dT dt
=
∂T dx ∂T dy . + ∂x dt ∂y dt
Después
de
3
segundos
1 1 1 1 1 dy 1 dx = . = = = , y x = 1 + t = 1 + 3 = 2, y = 2 + t = 2 + ( 3 ) = 3, 3 3 dt 3 dt 2 1 + t 2 1 + 3 4 dx dy ∂T ⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞ Entonces = T x ( 2, 3) − T y ( 2, 3) = 4 ⎜ ⎟ + 3 ⎜ ⎟ = 2 . Por lo tanto la temperatura ∂t dt dt ⎝ 4 ⎠ ⎝ 3⎠
está aumentando a un ritmo de 2 C/s. 65. La velocidad del sonido que viaja a través del agua del mar con salinidad de 35 partes por millar, está modelada por la ecuación C = 1449.2 + 4.6T − 0.055T 2 + 0.00029T 3 + 0.016 D donde C es la velocidad del sonido (en metros por segundo), T es la temperatura (en grados Celsius) y D es la profundidad por abajo de la superficie del mar (en metros). Un buzo en escalandra autónoma el del la profundidad del buzo la
66. La longitud l , ancho ω y altura h de una caja cambia con el tiempo. En un cierto instante, las dimensiones son l = 1m y ω = h = 2m , y l y ω se incrementan a razón de 2 m/s, en tanto que h disminuye a razón de 3 m/s. Encuentre en ese instante las razones a las cuales las siguientes magnitudes cambian. a) El volumen. b) El área superficial. c) La longitud de la diagonal. a) V = lω h , así por así por la regla de la cadena dV dt
=
∂V d l ∂V d ω ∂V dh dl d ω dh + + = ω h + lh + lω = 2.2.2 + 1. 1 .2.2 + 1. 1.2. ( −3 ) = 6 m3 / s dt dt dt ∂l dt ∂ω dt ∂h dt
b) S − 2 ( lω + lh + ω h ) , así por así por la regla de la cadena
∂S d l ∂S d ω ∂S dh dl d ω dh + + = 2 (ω + h ) + 2 ( l + h) + 2 ( l + ω ) = ∂l dt ∂ω dt ∂h dt dt dt dt dt = 2 ( 2 + 2 ) 2 + 2 (1 + 2 ) 2 + 2 (1 + 2 ) ( −3) = 10 m 2 / s dS
=
dx dt dA
dt
= 3,
=
dy
= − 2 , y porque A
dt ∂A dx
∂x dt
+
⎛ ⎝
1
dA
dt dx 1
=0
Por la regla de la cadena
∂A dy ∂A d θ dA 1 dy 1 d θ . + ⇒ = y sen θ + x sen θ + xy cos θ 2 ∂y dt ∂θ dt dt dt 2 dt 2 dt
x = 20, y = 30 y θ =
0−
es constante,
π⎞
π 6
tenemos
⎛ ⎝
1
π⎞
⎛ ⎝
1
π ⎞ d θ = dt ⎠
30 ) ⎜ sen ⎟ ( 3) + ( 20 ) ⎜ sen ⎟ ( −2) + ( 20) ( 30) ⎜ cos ⎟ (30 2 6 2 6 2 6
⎠
1
1
3 dθ
2
2
2 dt
= 45 − 20 − 300
Cuando
=
25 2
⎠
+ 150 3
d θ dt
69. Suponga que todas las funciones dadas son diferenciables: Si z = f ( x, y ) , donde x = r cosθ
∂ z ∂ z y y = r sen θ . a) Determine y y b) demuestre que ∂r ∂θ a)
la regla de la cadena
∂ z
∂z
cos θ +
∂z
θ
∂z
2
2
2
1 ⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂ z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ ⎜ ∂ x ⎟ + ⎜ ∂y ⎟ = ⎜ ∂r ⎟ + r 2 ⎜ ∂θ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∂z
(
θ)+
∂z
cosθ
2
Sea u = x + at , v − x − at . Entonces z = f ( u ) + g ( v ) , por lo que
∂ z ∂ z = f ′ ( u ) y = g ′ ( v ) . Así ∂v ∂u
∂ z ∂z ∂u ∂z ∂v = + = af ′ ( u ) − ag ′ ( v) ∂t ∂u ∂t ∂v ∂t ⎛ df ′ ( u ) ∂u dg ′ ( v ) ∂v ⎞ ∂ 2 z ∂ 2 2 ′ ′ ⎡ ⎤ = − = a f u g v a . ( ) ( )⎦ ⎜ ⎟ = a f ′′ (u ) + a g ′′ ( ¨v ) . 2 ⎣ ∂t ∂t dv ∂t ⎠ ⎝ du ∂t 2 ∂ 2 z ∂ 2 z ∂ z 2 ∂ z modo . = f ′ ( u ) + g ′ ( v ) y 2 = f ′′ ( u ) + g ′′ ( v ) . Así 2 = a ∂ x ∂ x ∂t ∂x 2
∂ 2 z 72. Si z = f ( x, y ) , donde x = r + s , y = 2rs , determine ∂r∂s 2
2
∂ z ∂z ∂z ∂2z ∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ ⎛ ∂z ⎞ = 2s + 2r ⇒ = ⎜ 2s ⎟ + ⎜ 2r ⎟ = ∂s ∂x ∂y ∂r∂s ∂r ⎝ ∂x ⎠ ∂r ⎝ ∂y ⎠
∂ 2 z ∂x ∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂y ∂z ∂ ∂ 2 z ∂y ∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂x ∂z = 2 + + + + 2s + 2 s 2 s 2 s 2 r 2 = ⎜ ⎟ ∂ x ∂r ∂y ⎜⎝ ∂x ⎟⎠ ∂r ∂x ∂r ∂y 2 ∂r ∂x ⎝ ∂y ⎠ ∂r ∂y
y Del
mismo
∂ 2 z ∂2z 2 2 +2r cos θ sen θ + r c os θ 2 ∂ x∂y ∂y 2
∂ 2 z 1 ∂ 2 z 1 ∂z ∂ 2z ∂ 2z 1 ∂z 2 2 2 2 + 2 + − ( cos θ + sen θ ) 2 + ( sen θ + cos θ ) 2 − cos θ − 2 2 ∂r ∂x ∂y r ∂x r ∂θ r ∂r ∂ z 1 ⎛ ∂z ∂z ⎞ ∂ 2 z ∂ 2 z − sen θ + ⎜ cos θ + sen θ ⎟ = 2 − 2 ∂y r ⎝ ∂x ∂y ⎠ ∂x ∂y r 1
74. La parte de un árbol que por lo general se corta para madera es el tronco, un sólido con forma aproximada de un cilindro circular recto. Si el radio del tronco de cierto árbol crece
1 2
pulgada/año y la altura aumenta 8 pulgadas/año, ¿Qué tan rápido aumenta el volumen cuando el radio es de 20 pulgadas y la altura es de 400 pulgadas? Exprese su respuesta en pies cuadrados/año (1 pie de tablón mide 1 pulgada por 12 pulgadas por 12 pulgadas).
⎛u⎞ 6. z = tan ⎜ ⎟ , u = 2s + 3t , v = 3s − 2t ⎝v⎠ 7. Sea W ( s , t ) = F ( u ( s, t ) , v ( s , t ) ) , donde F , u y v son diferenciables, u (1, 0 ) = 2, v (1, 0) = 3 us (1, 0 ) = −2, vt (1, 0) = 5 u x (1, 0 ) = 6, v y (1, 0) = 4 Fu ( 2, 3) = −1, F v ( 2, 3) = 10
Determine W s (1, 0 ) y W t (1, 0 ) 8.
Suponga
(
que
es
f
)
una
función
diferenciable
de
x
y
y ,
y
que
2 g ( r , s ) = f 2r − s, s − 4r . Mediante la tabla de valores del ejercicio 8 calcule g s (1, 2 ) y
g r (1, 2 ) .
a) ¿Cuál es el significado de los signos de estas derivadas parciales? b) Estime la razón de cambio actual de la producción de trigo
dW dt
.
19. El radio de un cono circular recto se incrementa a una razón de 1.8 pulg/s, mientras su altura disminuye a razón de 2.5 pulg/s. ¿A qué razón cambia el volumen del cono cuando el radio es 120 pulg y la altura es de 140 pulg? 20. El voltaje V en un circuito eléctrico simple disminuye con lentitud a medida que la batería se gasta. La resistencia R se incrementa lentamente cuando el resistor se calienta. Mediante la ley de Ohm, V = IR , determine cómo cambia la corriente I en el momento en que dV V dR Ω = −0.01 y = 0.03 . R = 400Ω, I = 0.08 A, dt s dt s 21. El automóvil A viaja hacia el norte por la carretera 16 y el automóvil B viaja hacia el oeste por la carretera 83. Los vehículos se aproximan a la intersección de dichas carreteras. En un cierto momento, el automóvil A está a 0.3 km de la intersección y se desplaza a 90 km/h mientras que
2
2
⎛ ∂ z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ ∂z ∂z 25. Si z = f ( x, y ) , donde x = s + t y y = s − t , demuestre que ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = ⎝ ∂ x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ∂s ∂t 26. Si u = f ( x, y ) , donde x = e′ cos t y y = e′sen t , demuestre que 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎤ −2 s ⎡ ∂ u + =e ⎢ 2 + 2 ⎥ ∂ x 2 ∂y 2 ∂t ⎦ ⎣ ∂s
∂ z ∂ z ∂ 2 z 27. Si z = f ( x, y ) , donde x = r cos θ , y = r sen θ , determine a) , b) y c) . ∂r ∂θ ∂r ∂θ 28. Suponga que z = f ( x, y ) , donde x = g ( s, t ) y y = h ( s, t ) . 2
2
∂ 2 z ∂ 2 z ⎛ ∂x ⎞ ∂ 2 z ∂x ∂y ∂ 2 z ⎛ ∂y ⎞ ∂z ∂ 2 x ∂z ∂ 2 y a) Demuestre que 2 = 2 ⎜ ⎟ + 2 + + ⎜ ⎟ + ∂t ∂x ⎝ ∂t ⎠ ∂x∂y ∂t ∂t ∂y 2 ⎝ ∂t ⎠ ∂x ∂t 2 ∂y ∂t 2 b)
∂ 2 z
