MODELO GRAVITATORIO EN TRANSPORTE DEDUCCION POR MAXIMIZACION DE LA ENTROPIA I INTRODUCCION
El problema clásico de transporte, fue formulado por Mongue (1781) e investigado posteriormente por Kantorovich (1939), Hitchcock (1941), Koopmans (1951), y Koopmans y Reiter (1951). Kantorovich (1976) atribuye la formulación moderna a Tolstoy (1930) sin acotar la referencia. Comparaciones entre el problema clásico de transporte y el modelo gravitatorio se han realizado por McDonald y Blunden (1968), Evans (1971), Evans (1973), Nijkamp (1975), y Black y Blunden (1977). El problema de mínimos cuadrados en una forma especial se resolvió por Gauss en 1795 y se dió en su forma actual por Pearson (1900). Trabajos sobre tablas de contingencia y modelos log-lineales se hicieron por Deming y Stephan (1940), Smith (1947), Ireland y Kullback (1968), Haberman (1977), y Bishop et al. (1975). Carey (1858) fue probablemente el primero en establecer la idea subyacente al modelo gravitatorio, es decir que el número de viajes es proporcional a las fuerzas atractivas e inversamente proporcional a la distancia. Ideas semejantes fueron usadas por Ravenstein (1885) en su estudio de migración. Carey y Ravenstein presentaron sus argumentos en prosa, sin el uso de fórmula alguna. La analogía directa con la fórmula clásica de la gravedad de Newton, requiere que el exponente de la distancia en el denominador sea dos. Esta fue la forma obtenida en el trabajo pionero de Lill (1891) sobre viajes en ferrocarril. La misma forma se usó por Young (1924) en su estudio sobre el movimiento de la población de granjeros y por Reilli( (1931) en un estudio más detallado. Stewart (1942,1947 y 1950) y Zipf (1946, 1949), usaron la unidad como exponente de la distancia. Voorhees(1955) reportó con base en soporte experimental, que la elección del exponente debe ser , 1, 2, o 3 dependiendo del tipo de viajes considerado. La forma de la función distancia (disuasiva) ha sido objeto de muchas investigaciones además de las ya mencionadas. Tanner (1961) sugirió una forma combinada potencia-exponencial. Bouchard y Piers(1965) usaron una fórmula deducida experimentalmente. El mismo acercamiento fue hecho por la oficina de carreteras públicas de los Estados unidos(1965), Murchland(1966) y Wilson (1967, 1970) dieron argumentos teóricos para la forma exponencial. Algunos autores (Dieter 1962; Sylvén 1965) encontraron que los factores de normalización que tienen que introducirse para satisfacer las restricciones marginales cuando se usa una fórmula de tipo Newton, varían de manera sistemática, siendo menores en el área central de una población e incrementándose hacia las orillas. Kirby(1970) y Wilson(1970) han dado interpretaciones cercanas a los primeros intentos usando los factores de normalización como medida de accesibilidad. Gorman (1963) dedujo la fórmula de Kruithof a partir de una formulación lagrangiana de un problema de optimización y probó la convergencia del método de balanceo de Kruithof (1937). Murchland (1966) obtuvo de manera similar el modelo gravitatorio con la distancia como función exponencial. Utilizando estadística mecánica, Spurkland (1966), Tomlin (1967) y Wilson (1967) dedujeron la misma fórmula. Más tarde Wilson(1970), desarrolló una familia completa de modelos a partir de su principio de máxima entropía. Otros autores en este campo fueron Loubal(1968) y Sasaki (1968). La formulación de entropía restringida de mínimo costo es debida a Erlander (1977, 1980). II DEFINICIONES Y TEOREMAS BASICOS USADOS. DEFINICIONES MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Suponga que una función tiene un extremo en un punto
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en la superficie
y
sea una curva con ecuación vectorial que se encuentra sobre y pasa por . Si es el valor del parámetro correspondiente al punto , entonces . La función compuesta representa los valores que toma sobre la curva . Como tiene un valor extremo en , por tanto . Pero si es diferenciable, se puede usar la regla de la cadena para escribir:
El operador nabla
se define como sigue:
y evidentemente: , y , son las derivadas parciales respecto de , , y respectivamente. El resultado anterior, muestra que el vector gradiente es ortogonal al vector tangente para cada una de estas curvas Sea una función que corresponde a otra curva que pasa por . Entonces el gradiente de expresado como también es ortogonal a lo cual significa que los vectores gradientes y deben ser oaralelos, por lo que si entonces debe existir un número real tal que
ese número se llama . El procedimiento basado en la última ecuación es como sigue: METODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Hallar los valores máximo y mínimo de sujetos a la restricción (suponiendo que existen tales valores extremos): (a) Encuentre todos los valores de y tales que
(b) Evaluar en todos los valores hallados en (a). El valor más grande, es el valor máximo de y el valor más pequeño es el valor mínimo de Si escribimos la ecuación vectorial en términos de sus componentes, entonces las ecuaciones del paso (a) se convierten en:
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Este es un sistema de cuatro ecuaciones simultáneas con cuatro incógnitas
y
CONJUNTO CONVEXO
Un conjunto S de se llama si para cada par de puntos número real que satisfaga , se verifica que De esta definición se desprende que: a) Cada intervalo n-dimensional es convexo b) El interior de un conjunto convexo es convexo c) La clausura de un conjunto convexo es convexa
e de
y cada
RECUBRIMIENTO
Una colección de conjuntos F se denomina de un conjunto dado , si Se dice también que la colección F recubre a . Además, si F es una colección de conjuntos abiertos, entonces F se denomina recubrimiento abierto de . Ejemplos: 1. La colección de todos los intervalos de la forma , es un recubrimiento abierto del intervalo . Además es un ejemplo de recubrimiento numerable. 2. La recta real está recubierta por la colección de todos los intervalos abiertos . Este recubrimiento es no numerable. Sin embargo, contiene un recubrimiento numerable de , a saber, todos los intervalos de la forma donde recorre los valores enteros. CONJUNTO COMPACTO
Un conjunto S de se llama si, y solo si, todo recubrimiento abierto de S contiene un subrecubrimiento finito; es decir una subcolección finita que también recubra aS TEOREMAS 1. TEOREMAS DE KUHN-TUCKER
Considerar el problema de minimización: sujeto a donde y tienen ambas primeras derivadas parciales continuas. TEOREMA 1.1. Sea un punto mínimo relativo para el problema sujeto a entonces hay un multiplicador tal que Enseguida considere un programa convexo ordinario
donde es un conjunto convexo no vacío en , , es una función finita, convexa, diferenciable sobre un conjunto abierto que contiene a para y es una función finita sobre para . TEOREMA 1.2 Suponiendo que el valor óptimo en el problema
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no es , y que existe en el interior de tal que para toda restricción no lineal. Entonces es una solución óptima si y solo si existen multiplicadores de Lagrange que junto con satisfacen las condiciones de Kuhn-Tucker: y para El tercer teorema de Kuhn-Tucker es una especialización del anterior para el caso de restricciones lineales, y con igual a un ortante no negativo. Sea una función convexa diferenciable sobre un conjunto abierto conteniendo al ortante no negativo de y sea una matriz de . TEOREMA 1.3 Suponiendo que el valor óptimo en el problema
no es , entonces es una solución óptima si y solo si existen multiplicadores de Lagrange tales que junto con satisfagan las condiciones de Kuhn-Tucker:
donde
está en el -ésimo renglón de la matriz
2. TEOREMA DE TAYLOR
Sea
en una vecindad
de
. Entonces para todo
tal que
,
donde 3. TEOREMAS DE LAGRANGE
Considerar el problema de minimización
donde
es un poliedro convexo no vacío, y
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son funciones convexas finitas sobre
Definición: es un coeficiente Kuhn-Tucker para si y si es finito e igual al óptimo en PROPOSICION 3.1 Suponiendo que el valor óptimo en no es y que existe tal que entonces existe un coeficiente de Kuhn-Tucker para TEOREMA 3.1 Sea un coeficiente de Kuhn-Tucker para El conjunto de todas las soluciones óptimas de es el conjunto de todos los puntos que realizan:
III ENFOQUE DEL PROBLEMA
El problema trata con determinar una matriz no negativa satisfaciendo las restricciones marginales
, así
como otras determinadas condiciones. El elemento representa el número relativo de viajes desde la zona origen a la zona destino . Los índices corresponden a un conjunto de índices y los elementos que no son forzados a cero por las restricciones marginales tienen índices que corresponden a un conjunto . Nos enfocaremos al modelo gravitatorio con masas interzonales dadas:
y al modelo doblemente restringido con función exponencial disuasiva:
En ambos casos, es el conjunto formado por todos aquellos índices correspondientes a elementos que no son forzados a cero por las restricciones marginales. Se mostrará que el modelo gravitatorio doblemente restringido es la única solución óptima al problema:
sujeto a
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donde
y
es la función de entropía:
la función costo promedio
La solución óptima depende del parámetro la cual mide el elemento compensatorio entre la función entropía y la función costo Entre otras cosas se demuestra que Centramos nuestra atención en los microestados que satisfacen las restricciones marginales mencionadas anteriormente y la restricción de costo . Se supone que todos los microestados que satisfacen tales restricciones son igualmente probables. El número de microestados que dan el macroestado correspondiente a la matriz resulta ser:
donde representa el número total de viajeros y representa el número de viajes realizados de la zona a la zona . Para encontrar el macroestado más probable, maximizamos esta fórmula combinatoria, con aproximación de los factoriales mediante la fórmula de Stirling, transformándolo en el problema equivalente:
Veremos que la única solución óptima la constituye al modelo gravitatorio doblemente restringido dado anteriormente. Nótese que puede reemplazarse por debido a la naturaleza matemática intrínseca del problema. 1. UN PROBLEMA DE MINIMIZACION CONVEXA
1.1 EL PROBLEMA En esta sección estableceremos algunos resultados preliminares relativos al problema de minimización convexa:
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donde \ es un cierto poliedro compacto con y es un conjunto de índices, no vacío. (Aquí, se define como ). La función es supuesta como convexa y tiene una derivada continua en algún conjunto abierto, conteniendo el ortante no negativo. Casos especiales del problema de minimización definido por (1.1) pueden ser familiares al lector, y alguno de ellos será estudiado en detalle en secciones subsecuentes. Se incluye el caso en que , en el cual (1.1) da el modelo gravitacional ordinario para la demanda entre los pares origen-destino indexados por 1.2 FORMA DE LA SOLUCION Sea un elemento de un -espacio Euclideano y supongamos que es un elemento del mismo espacio Euclideano. Sea . Sea un elemento de algún espacio Euclideano (normalmente diferente), sea una matriz rectangular real con tantas columnas como elementos tengan y juntos, y sea un vector real dado con tantos componentes como filas tenga si y solo si
y
si De modo que un vector es viable si satisface desigualdades restrictivas dadas, si es no negativo y si es cero para cada componente donde es cero. En muchas aplicaciones, las restricciones lineales dadas serán de hecho igualdades restrictivas, pero bajo las proposiciones pueden ser aplicadas escribiendo cada igualdad restrictiva como dos desigualdades restrictivas. Puede ser que ciertos componentes de sean forzados a cero si , aunque esos componentes estén en \. Introducimos una notación especial para los componentes en lo que esto no ocurra:
De modo que, es el conjunto de índices correspondientes a los elementos de que no son automáticamente forzados a cero por las restricciones definidas en \. La notación intenta sugerir "positivo", o mejor aún "posiblemente positivo". Ejemplo. Sea tal que no entra en el problema, y suponga con las restricciones lineales
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La viabilidad de implica que de la primera y notando que De modo que
, como puede verse sustrayendo la última restricción . Esto muestra que
PROPOSICION 1 Si es no vacío, entonces existe Demostración
tal que
para toda
en
Para cada hay un vector con . La media aritmética de esta colección de vectores satisface las condiciones dadas en la conclusión. Ahora estableceremos la forma general de la solución de (1.1). La única dificultad es que la derivada de la función objetivo no exista en PROPOSICION 2 Considerese el problema de minimización convexa definido por (1.1), donde , es convexa y \ es compacto y no vacío. Existe una solución óptima, única en , de la forma
donde es un vector y Aquí, es un vector con tantas componentes como filas tenga y tanto como representan la -ésima y -ésima columnas de respectivamente. Recíprocamente, cualquier solución de esta forma, es una solución óptima de (1.1). Demostración. La demostración, se basa en una versión de teorema 1.2 de Kuhn-Tucker dado en la sección I. Existe
tal que
para toda
. Esto es trivial cuando
, puesto
que \ es no vacío y se sigue de la proposición 1 cuando . (El superíndice intenta sugerir "positivo", pero nada sabemos acerca de que los componentes de sean positivos
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o cero.) También entonces, la función objetivo es convexa (estríctamente convexa en ), y \ es compacto, se sigue que existe una solución óptima
única en . Si
satisface
para todo , entonces puesto que las restricciones son lineales, las condiciones necesarias de Kuhn-Tucker implican que satisface las condiciones dadas en la conclusión del teorema. Supóngase, por otra parte, que sobre algún conjunto no vacío B, B En este caso, llegaremos a una contradicción. Para este caso, = es una dirección viable: Se define
para
entonces
donde existe
para toda Del teorema de Taylor dado en la sección I, tal que el valor absoluto de los últimos dos términos está sujeto a , para
suficientemente pequeño, puesto que pueden escribirse
en la vecindad de
de manera que en en total tenemos
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Los otros términos
puesto que
para
esto puede hacerse siempre negativo para
suficientemente pequeño, lo cual contradice la optimicidad de El recíproco del teorema se deduce de las condiciones suficientes de Kuhn-Tucker. 1.3 CONVEXIDAD COMO FUNCION DE VARIABLES SUBYACENTES Si es una función estríctamente convexa de , entonces la solución de (1.1) también es única en . Considérese ahora la posibilidad de que las variables o o ambas, sean funciones lineales de algunas variables subyacentes . Entonces, la función objetivo se mantiene convexa, pero no necesariamente estríctamente convexa. Esto se sigue de hacer y
ó
y
, en la siguiente proposición
PROPOSICION 3 Sea cualesquiera de las dos, función covexa o estríctamente convexa de y suponer que es una función lineal de . Entonces es una función convexa pero no necesariamente estrictamente convexa de . DEMOSTRACIÓN. Suponer que entonces
La desigualdad se sigue de la convexidad de ; no puede ser reemplazada por una desigualdad estricta cuando es estríctamente convexa y puesto que puede ser igual a aun si 2 EL PROBLEMA DE DISTRIBUCION
2.1 Antecedentes En este ensayo, estaremos interesados en el problema de determinar una matriz no negativa satisfaciendo ciertas restricciones marginales y otras condiciones. La representación de las es que representan el número relativo de viajes de la zona origen a la zona destino . Los tipos de restricciones marginales en los que estaremos primeramente interesados son de las formas
y
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donde
y
son constantes positivas dadas que representan la proporción de viajes
iniciandose en y la proporción de viajes terminando en respectivamente. Los modelos que involucran esos tipos de restricciones marginales serán referidos como modelos de distribución doblemente restringidos y frecuentemente se ilustrarán de la manera siguiente
Generalmente habrá un gran número de matrices factibles para un conjunto dado de , puesto que hay elementos matriciales e restricciones. Podrá hacerse una elección entre las matrices factibles, de acuerdo con algún criterio adicional. Por ejemplo si se da una matriz de coeficientes de costo , podemos elegir tal que se minimice
y
; este es el clásico problema de transportación.
Alternativamente, dado un conjunto de masas interzonales
podemos requerir que
satisfaga para algunas constantes , y , . Este es el clásico modelo gravitatorio. 2.2 MEDIDAS DE ACCESIBILIDAD, INTERACTIVIDAD Y EFICIENCIA El problema de distribución trata con el número de viajes de zonas de origen a zonas de destino dadas. Las nociones de accesibilidad e interactividad están estrechamente relacionadas con este problema. El número relativo de oportunidades, es decir oportunidades de trabajo que puede ser logrado desde una zona dada puede usarse como medida de accesibilidad para esa zona. Tal vez las más comunes, son las medidas de accesibilidad del tipo Hansen
donde es el número de viajes que terminan en la zona , y donde se introduce la función disuasiva para tomar en cuenta que la accesibilidad a una oportunidad disminuye al aumentar el costo del viaje o la distancia. La suma anterior es una medida de la accesibilidad a oportunidades en todas las zonas para un viajero que parte de la zona . Una medida de accesibilidad global para el área bajo estudio puede obtenerse
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multiplicando por el número relativo las zonas origen
de viajes que salen de la zona y sumando todas
Esta medida está relacionada con las oportunidades ofrecidas a los viajeros. No se relaciona directamente con el número de viajes que actualmente se hacen, aunque tal información se usa generalmente en la calibración de la función disuasiva . Ahora discutiremos una medida que depende del número de viajes, concfretamente la entropía de la matriz de viajes:
Esta medida está relacionada con la noción de accesibilidad, pero puesto que depende del número actual de viajes la llamaremos una medida de interactividad. Tanto la medida de accesibilidad de hansen como la de interactividad descritas, pueden usarse para evaluar los méritos de posibles sistemas de transportación futuros, pero requieren diferente información para su empleo: La medida de Hansen trata solamente con las oportunidades que se ofrecen y requiere de conocer y mientras que la medida de interactividad trata con las oportunidades tomadas y requiere del conocimiento de . Por otra parte, ambas medidas son similares si se asume que las están distribuidas de acuerdo con el modelo gravitatorio
donde
suponiendo además que puede demostrarse que es una función de monótonamente decreciente. Por supuesto que lo mismo es cierto para la medida tipo Hansen. La función de entropía tanto aquí como en otra parte del presente ensayo, se escribe de un modo conveniente para la deducción de varios modelos. Tendremos siempre que y entonces, nuestra función de entropía queda como
que es la forma normalmente usada para la entropía. El valor de la función entropía es cero si todos los viajes parten de una zona de origen a
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una zona de destino. A condición de que valor alacanza su máximo
no sea específicado a priori como cero, el
cuando es decir los viajes están distribuidos de una manera proporcional. Para cualquier elección de y este máximo es menor o igual que y el máximo en efecto alcanza ese valor en el caso y . Puede verse que la entropía puede depender del número de pares origen-destino. Puede usarse para definir una medida normalizada
la cual toma valores en el intervalo tales valores son fijados,
independientemente de los valores de
y
o si
Otra cantidad que puede emplearse para comparar el nivel de interactividad en diferentes situaciones es
que puede verse representando el número de celdas (pares origen-destino) necesarios para producir la entropía si es supuesta una distribución completamente uniforme. La argumentación es como sigue: Si hay celdas y la distribución es completamente uniforme, entonces la proporción de viajes en cada celda es por lo tanto
y
Si los viajes están dispersos sobre todas las zonas, entonces hay una gran cantidad de interacciones entre ellas y el valor de la función entropía es grande. Por otro lado, si hay pequeña variación presente en la matriz de viaje, es decir la mayoría de los viajes se concentran en un número limitado de pares origen-destino, entonces la interacción es pequeña y el valor de la función entropía también es pequeño. De este modo un gran valor de la función de entropía indica un alto grado de interactividad entre las zonas.
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Accesibilidad e interactividad como se discuten aquí, son ambas medidas que tratan de relacionarse con los conceptos básicos inherentes a la libre elección del viajero. Como se ha dejado establecido, la medida de accesibilidad da información sobre el número de oportunidades (ponderadas de acuerdo con su costo) que se ofrecen al viajero, no se considera la elección actual del viajero. (Sin embargo, en general, la función disuasiva será calibrada a partir de las elecciones actuales en la forma de una matriz de viajes observada. Por lo tanto aparecen indirectamente las elecciones actuales.) Las medidas de accesibilidad de tipo Hansen tratan en principio con la situación previa a que al viajero haga su elección. La entropía usada como medida de la interactividad, por otro lado, mide una propiedad de la matriz de viajes, es decir, después de que los viajeros han hecho sus elecciones. No mide las oportunidades ofrecidas, pero está relacionada con la libertad de elección de los viajeros. Un alto nivel de interactividad significa que los viajes están dispersos sobre muchas zonas. Un bajo nivel de interactividad, significa que los viajes están más concentrados. Es necesario hacer un comentario adicional sobre la entropía como medida de interactividad. la función de entropía se calcula por medio de las proporciones de viajes. Por lo tanto no depende del número total de viajes o la longitud de los mismos. Depende solamente de la distribución de los viajes sobre las celdas de la matriz de viajes. Por lo que querer incrementar el nivel de interactividad en el sistema de transporte no es lo mismo que incrementar el número de viajes. La accesibilidad y la interactividad son metas a largo plazo que la sociedad podría desear promover a través del sistema de transporte. Otra meta es la eficiencia. La más simple y común medida de la eficiencia es el costo promedio. Si el costo de un viaje de la zona a la zona es ( puede denotar si se quiere la distancia, el tiempo del viaje o el costo generalizado) entonces el costo promedio está definido por
Es claro que una alta eficiencia corresponde a un bajo costo promedio. Por lo tanto, el costo promedio es una muy simple medida de la eficiencia. 3 DEFINICIONES BASICAS Y ESTRUCTURA
3.1 INTRODUCCION Es conveniente ahora ver la matriz de elementos como un vector de dimensión con componentes obtenidas al concatenar las columnas de la matriz. Sea
,
, y sea dado \,
, donde
,
es la
proporción de viajes comenzando en la zona , , es la proporción de viajes que terminan en la zona , y es el conjunto de pares origen-destino para los cuales se restringe a priori a ser 0 (así mismo es el conjunto sobre el cual puede ser positivo). Se dice que es viable para el problema de distribución , si es viable en el sentido de la sección (1.2). Aquí tal que no está involucrada, hace el papel de y la matriz representa las restricciones de transportación:
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y
Definición: es viable, es decir, si y solo si satisface Aquí el conjunto está definido por: Definición:
y
Ilustrando el caso de dos orígenes y dos destinos, la restricción lineal
tiene la forma:
El ejemplo de la sección 1.2 corresponde exactamente a este ejemplo, en el caso es decir está restringida a priori a ser cero. Tal ejemplo puede presentarse en el formato introducido en la sección 2.1:
Puede recuperarse de la sección 1.2 que la viabilidad puede forzar ciertas componentes adicionales del vector solución a ser cero. En el presente ejemplo, la viabilidad de implica que . Se introdujo la notación para el subconjunto de \ que corresponde a los componentes no forzados a cero: aquí, Es una cuestión diferente dar las condiciones bajo las cuales será menor que \, es decir las condiciones bajo las cuales ciertos elementos de \ se forzarán a cero por las restricciones (3.1). Más adelante regresaremos a esta cuestión. No se presenta tal dificultad en el caso del modelo gravitatorio debido a que el método iterativo usual (Kruithof) produce una sucesión que tiene como límite a cero, para Sin embargo la razón de convergencia en este caso puede ser muy pequeña. Puede notarse que teniendo , , , existe si y solo si De la proposición 1 en la sección 1.2 si existe un tal que para todo
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. 3.2 MODELO GRAVITACIONAL DOBLEMENTE RESTRINGIDO CON MASAS INTERZONALES DADAS La primera formulación se presentó suponiendo que esta disponible un conjunto de masas interzonales para los pares origen-destino en \. Esas masas interzonales se han denotado por y se suponen normalizadas de manera que . Veremos que tales condiciones dan lugar a varias interpretaciones diferentes (impedancias interzonales, masas a priori, etc.), pero ahora las veremos simplemente como constantes dadas. Definición. Dada es una solución del modelo gravitatorio doblemente restringido con masas interzonales dadas si y solo si
Nótese que en primer lugar, la exclusión de conduce a la no pérdida de generalidad, puesto que podría implicar a priori, lo cual puede ser efectuado por la exclusión de de \. Por otro lado, nótese que (3.3a) se mantiene solamente sobre . Considérese otra vez el ejemplo de la sección 1.2, en la notación empleada cuando el ejemplo se discutió en la sección 3.1. Si , entonces no tiene la forma (3.3a). Tampoco hay pérdida de generalidad al suponer , en vista de la forma multiplicativa de (3.3a). PROPOSICION 1 Considérese el problema de minimización convexa
Si entonces existe una solución óptima única para (3.4) de la forma Además, cualquier de la forma (3.3) es la única solución óptima de (3.4). DEMOSTRACION La demostración se sigue de la proposición 2 de la sección 1.2, puesto que para el problema especial considerado en esta sección, \ es compacto. la condición (1.2a) de la proposición 2 de la sección 1.2 (condición necesaria de Kuhn-Tucker) aplicada a (3.4) da
en nuestro caso especial, y el resultado está establecido con Aquí, y son los multiplicadores de lagrange correspondientes a las igualdades de restricciones en PROPOSICION 2 Sea
,
Si
entonces existe una solución única del modelo
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gravitacional doblemente restringido con masas interzonales dadas, es decir, una solución única que satisface (3.3). La proposición 2, es un corolario inmediato de la proposición 1. Los resultados se establecen por separado en virtud de que la proposición 1 será invocada más adelante. Fue necesario asumir
solo para
en la proposición 2, pero puesto que
no se conoce sino hasta que el problema de minimización se ha resuelto, en la práctica será positivo para todo 3.3 MODELO GRAVITATORIO DOBLEMENTE RESTRINGIDO CON FUNCION DISUASIVA EXPONENCIAL Quizá el modelo de distribución más ampliamente usado es el obtenido por especificación de las masas interzonales en términos de un parámetro y constantes . Asumiremos en la definición, porque las constantes tienen una interpretación natural como costos o tiempos de viajes interzonales. Sin embargo las deducciones matemáticas que siguen se efectuarán sin asumir la no negatividad. Definición: Dada y , es una solución del modelo gravitatorio doblemente restringido con función disuasiva exponencial si y solo si ,
y
Podemos ver este modelo como uno que introduce un parámetro redundante en la especificación de las masas interzonales. El modelo es equivalente al que se presentó en la sección 3.2, y una solución de un modelo puede usarse para obtener una solución del otro. Algo de lo más interesante de la teoría relativa al modelo gravitatorio involucra el comportamiento de ciertas funciones de , concretamente las funciones de interactividad y de costo promedio discutidas en la sección 2.2, cuando las masas interzonales se cambian en la muy especial forma al variar mientras se mantiene fija. Establezcamos el análogo de la proposición 1 de la sección 3.2. PRPOPOISICION 1' Considérese el problema de minimización convexa
Si entonces existe una solución óptima única para (3.6), la cual tiene la forma (3.5). Además, cualquier de la forma (3.5) es la única solución óptima de (3.6). DEMOSTRACION La demostración es idéntica a la de la sección 3.2, excepto que ahora en lugar de juega el papel de PROPOSICION 2' Sea y . Si , existe una solución única del modelo gravitatorio
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doblemente restringido con función disuasiva exponencial , es decir, una solución única que satisface (3.5). No requiere demostración pues se trata de un corolario de la proposición 1'. Note que las condiciones y , corresponden exactamente a la condición , puesto que 3.4. FORMA ALTERNATIVA PARA LA FORMULACION CON FUNCION EXPONENCIAL DISUASIVA En la sección 2.2 se introdujo la función de entropía y la función costo promedio . En esta sección daremos una formulación alternativa a la presentada en la sección 3.3 (el modelo gravitatorio doblemente restringido con función exponencial disuasiva) usando la entropía como función objetivo mientras que la función costo promedio es restringida, y viceversa. El parámetro aparece como un coeficiente Kuhn-Tucker (o su inverso respectivamente). La forma particular de la teoría de Lagrange que usaremos, se ha presentado en la sección II. También discutiremos cómo las funciones y se relacionan entre sí en los puntos solución. Comenzamos redefiniendo la función de entropía y la función costo . Definición. La función de entropía se define como
Dada
La función costo (promedio) se define como
Con esta notación el problema de minimización Lagrangiana (3.6) se escribe
y como se demostró en la sección 3.3 la única solución óptima para este problema es de la forma (3.5):
Estableceremos aquí la equivalencia entre el problema de minimización Lagrangiana y un problema de máxima entropía. Para un valor dado de en (3.6) obtenemos una cierta solución óptima y valores correspondientes de las funciones de entropía y costo, y respectivamente. Comenzamos mostrando que tales funciones varían de un modo estríctamente monótono con . (Nótese que cuando se prueba la hipótesis de la siguiente proposición en un caso particular, uno debe considerar valores negativos de y ).
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PROPOSICION 3 Si , entonces y son funciones estríctamente monótonas decrecientes de , para con tal de que los costos no tengan la forma trivial para . Comentario. Nuestro interés se centra en el caso . Sin embargo de la demostración de esta proposición se desprende que en el caso en el cual es estríctamente monótona creciente, mientras que es estríctamente monótona decreciente. DEMOSTRACION Sea Entonces
y
sumando ambas ecuaciones se obtiene
lo cual implica que . Análogamente, multiplicando la primera desigualdad por y la segunda por y sumando, obtenemos
lo cual implica que Debido a la convexidad estricta de , todas las antreriores desigualdades pueden reemplazarse por desigualdades estrictas a menos que Pero esta última condición podría implicar:
o
lo cual contradice nuestra hipótesis de la naturaleza no trivial de Puesto que \ es compacto, y están acotadas por arriba y por abajo. Una ilustración aproximada del caso más general, dado lo establecido hasta aquí, se muestra en la figura 3.1
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En efecto, sin embargo puede decirse mucho más acerca de las relaciones entre y cuando varía ; demostraremos más adelante en esta subsección, que es una función diferenciable de con (Fig. 3.2)
Pero los resultados ya establecidos son suficientes para justificar las siguientes definiciones. Definición.
Es posible, en circunstancias triviales tener
y
Tendremos
si y solo si para para algunos , Si entonces y deben ser constantes como funciones de Y hemos visto en la demostración previa que constante implica que es independiente de , y para Recíprocamente para costos de esta forma trivial, para cualquier
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En lo que sigue, restringiremos nuestra atención al caso en el cual y hay alguna variación en : lo cual garantizará que puesto que ello implica que con , y (3.7) puede reemplazarse por
de la convexidad estricta de
Considérese ahora el problema de optimización restringida
donde
.
Dados \, , ,y , es la solución del problema de maxima entropía si es la solución óptima de (3.8). Justificamos escribir " en (3.8) por la compacidad de , y la continuidad de también justificamos escribir "la" solución óptima en la definición, porque es estríctamente cóncava. PROPOSICION 4 La única solución de (3.8) es para algún y . DEMOSTRACION Puesto que existe tal que . La proposición 3.1 de la sección II garantiza que existe un coeficiente de Kuhn-Tucker para
sujeto a
.
Sea este coeficiente. El teorema 1.3 de la sección II nos dice que el conjunto de todas las soluciones únicas de (3.8) es el conjunto que contiene el punto particular que minimiza sobre , y si . Si entonces de la estricta monotonicidad de , se desprende que , no puede ser cero, y . Si la monotonicidad solo garantiza que , pero puesto que cualesquiera que sea el valor de , tenemos , y debe ser cero por la monotonicidad estricta de . COROLARIO Cualquier
de la forma (3.5) tal que
es la única solución de un problema
de máxima entropía. DEMOSTRACION Sea
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definamos
,
y
por
Entonces es claramente la única solución del problema de máxima entropía que tiene el miembro derecho dado por , y
Que como sabemos es el modelo gravitacional doblemente restringido con función exponencial disuasiva. This document created by Scientific Notebook 4.1.
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