Curva de Remanso

´ NICA DE FLUIDOS II LABORATORIO DE MECA

UNSCH

1. Fundam undamen ento to te´ teorico o´rico 1.1.. Curv 1.1 Curva de remanso remanso Se denomina curva de remanso a la que se produce en un canal al presentarse un movimiento gradualmente variado. El c´ alculo alculo de la l a curva curva de remans rem anso o signifi sig nifica ca básicam asi camente ente la soluci sol uci´ ón on de la ecuaci´ ecua ción on din´ din ámica ami ca del movimiento gradualmente variado. Para obtener la longitud de la curva de remanso debemos integrar integrar la ecuaci´ on on general del M. G. V. La longitud de la curva de remanso se define como la longitud comprendida entre un punto extremo, extremo, que act´ ua ua como sección on de control, en la que el tirante es calculable, y otro ubicado en el extremo del escurrimiento en el que el tirante es igual, o prácticamente acticamente igual al tirante normal. La definición on de longitud de la curva de remanso tiene un sentido práctico. actico. Podr´ Podr´ıamos, por ejemplo, decir que la curva termina cuando la diferencia entre el tirante normal y el del movimiento gradualmente gradualmente variado es inferior a un valor dado (por ejemplo, 1 cm). En muchos casos no es posible p osible integrar directamente la ecuaci´ on on diferencial del movimiento gradualmente variado. En consecuencia es necesario proceder proce der con m´ etodos etod os aproximados, ap roximados, indirectos indire ctos o gráficos. aficos. El uso u so de d e un programa de c´ omputo omputo resulta particularme particularmente nte util. u´til. Para la obtención on de la curva de remanso presentaremos tres m´ etodos: etodos: 

Integraci´ on on gr´ afica afica



Aproximaciones sucesivas



Integraci´ on on directa

1.2. M´ etodo etodo de la integraci´ on on gr´ gr áfic afi ca Como su nombre lo indica este m´ etodo etodo consiste en integrar gráficamente aficamente la ecuación on diferencial del movimiento gradualmente variado. Examinemos Examinemos la siguiente siguiente figura: Consideremos dos secciones transversales próximas oximas 1 y 2. Evidentemente que x2

x = x2 − x1 =



x1

y2

dx =



y1

dx dy dy

(1)

N´ otese otese que dx es igual a la inversa del segundo miembro de la ecuación dy general del M. G. V.

P´ agina a gina 1 de 13

´ LABORATORIO DE MECANICA DE FLUIDOS II

UNSCH

Figura 1: Integraci´ on gr´ afica

Para el cálculo de una curva de remanso, es decir, la longitud de la curva del movimiento gradualmente variado, es indispensable conocer un punto de dicha curva, lo que siempre es posible. Para iniciar el cálculo de la curva de remanso con este método consideraremos que se conoce el valor de y en una sección de control. Luego se determina el tipo de curva que se presentará (M1, por ejemplo) y, a continuación, se procederá de la manera que se señala a continuación. 

Suponer un valor para el tirante.



Calcular el valor correspondiente de del M. G. V.

dx a partir de la ecuación general dy

dx , que es la inversa del valor anterior. dy



Calcular



Construir una curva, como la mostrada a continuación, con los valores de y (tirantes supuestos) y los valores obtenidos para

dx dy

El valor de x es el área achurada comprendida entre la curva, el eje y , y las ordenadas

dx correspondientes a los valores de y . Luego, dy y2

Area = x =



y1

dx dy dy

(2)

Al medir esta área se tiene el valor de x. P´ a gina 2 de 13


UNSCH

Figura 2: Integraci´ on gr´ afica 

Finalmente se obtendrá una curva de este tipo:


De esta curva se puede obtener los correspondientes valores de

A.

Para una sección transversal cualquiera se sugiere trabajar con la siguiente tabla: Es decir, que para cada secci´ on se calcula a partir de un valor de y , el área, per´ımetro, radio hidráulico, factor de capacidad, factor de secci´ on, P´ a gina 3 de 13


UNSCH


inclinación del eje hidráulico, su inversa, el valor del área comprendida en el gráfico y el correspondiente valor de x. Por u ´ ltimo se dibuja x e y y se obtiene la curva de remanso.

1.3. M´ etodo de subdivisión en tramos Se divide el canal en pequeños tramos y se calcula separadamente cada uno de ellos, considerando como que en ese tramo el movimiento es uniforme. En la Figura 5 se muestra un tramo de un canal prismático de longitud x en el que aparecen las secciones 1 y 2.

Figura 5: Esquema para el c´ alculo de la curva de remanso

Aplicando la ecuaci´ on de la energ´ıa entre las secciones 1 y 2 se tiene: S o  x + y1 + α1

V 12

2g

=y +α 2

V 22 2

2g

+ S

E

x

(3) P´ a gina 4 de 13


UNSCH

de donde, x(S o − S E )

= E

2

− E 1

= E

(4)

y por lo tanto, x

=

E

(5)

S o − S E

El valor de S se puede obtener, para una sección determinada, a partir de la fórmula de Manning. E

2

S E =

2

n V R

(6)

4 3

Para un tramo (de longitud x) el valor de S es el promedio de los respectivos valores de S al principio y al final del tramo. E

E

Figura 6: Para el c´ alculo de la curva de remanso se parte del tirante y minado por la condici´ on de entrega al lago.

max

deter-

El cálculo se puede empezar por la sección extrema de aguas abajo, en la cual el tirante alcanza su máximo valor, o m´ınimo seg´ un el caso. (Ver las figuras 6 y 7 como casos t´ıpicos).

Figura 7: Para el c´ alculo de la curva de remanso se parte del tirante y nado por la grada.

min

determi-

Para hacer el cálculo asignaremos valores al tirante y de modo de acercarnos lentamente del valor extremo al normal.

P´ a gina 5 de 13


UNSCH

Cada valor del tirante determina una sección para la que es posible calcular: ´ =⇒ Area (en función de la geometr´ıa de la sección): A =⇒ Radio hidr´ aulico: R =

A P

=⇒ Velocidad media: V =

Q A 2

V =⇒ Energ´ıa de velocidad: hV = 2g 2

=⇒ Energ´ıa espec´ıfica: E = y +

V 2g

=⇒ Diferencia de energ´ıa espec´ıfica entre dos secciones:

E = ±(E 2 − E 2 )

=⇒ Pendiente de la l´ınea de energ´ıa en esa sección: S = [ E

Vn 2

]

R3

=⇒ Pendiente media de la l´ınea de energ´ıa para un tramo dado: S E =

S E1 + S E2

=⇒ Distancia:

2 x

=

E

S o − S E

Acumulando los valores de escogido.

x

se obtiene la distancia desde el origen

1.4. M´ etodo de la integraci´ on directa Se estableció que la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado es:

dy = S o dx

K n 1− K

2

Z c 1− Z

2

   

(7)

Para la presente exposición de la integración de la ecuación (7) se sigue el procedimiento de Bakhmettef expuesto por Ven Te Chow en 1955.

En primer lugar es necesario recordar la suposición hecha por Bakhmettef de que el cuadrado del factor de capacidad K (ecuación (6)) es proporcional a una cierta potencia del tirante, es decir P´ a gina 6 de 13


2

K = c1 y

N

UNSCH

(8)

c1 es una constante de proporcionalidad. N es el exponente hidráulico

para el cálculo del movimiento uniforme. Sus caracter´ısticas se establecen a continuaci´ on. Tomando logaritmos neperianos en la ecuación (8) se obtiene N

2(lnK ) = ln(c y ) 1

(9)

Derivando con respecto a y se llega a

2

d(lnk ) = dy

c1 N y

N −1

c1 y

dy dx

N

(10)

De donde, d(lnK ) N = dy 2y

(11)

Pero, al aplicar la f´ ormula de Manning, se obtiene que el factor de capacidad K es 2

AR 3 K = n

(12)

Tomando logaritmos en esta última expresión se obtiene

    2

lnK = ln

AR 3 n

(13)

Derivando con respecto a y se llega a (lnK ) dy

2 1 dR 1 dA + A dy 3 R dy

=

(14)

Introducimos ahora, las conocidas expresiones, dA = T dy R=

A P

(15) (16)

y se obtiene, (lnK ) dy

=

2 1 dR 1 T + 3 R dy AA

(17)

Pero, P´ a gina 7 de 13


(dR) dy

=

T − R

A d P

=

dy

UNSCH

dP dy

(18)

P

Reemplazando se llega a (lnK ) dy

=

21 3R

T − R

dP dy

P

+

T A

(19)

De donde y

10 [1 + 2z ( b )] N = 3 [1 + z ( y )]

(20)

b

siendo b el ancho en el fondo y z el talud del canal. Para el caso particular de una sección rectangular ( z = 0) se obtiene y

10 N = 3

−

8 b 3 (1 + 2 y )

(21)

b

Si se tratase de una secci´ on muy ancha, entonces la relación y b es muy peque˜ na y tiende a cero, con lo que N =

10 3

(22)

2. Objetivo 

Hacer una gr´ afica representativa de una curva de remanso.



Determinar el tipo de curva que se tratará de representar.

3. Equipo y/o materiales 

Canal de vidrio de sección rectangular



Mangueras



Flex´ ometro



Probeta



Bombas hidráulicas

P´ a gina 8 de 13


UNSCH

4. Procedimiento experimental 1. Se procede a la instalaci´ on de las bombas respectivas.

2. Se mide los niveles del tubo transparente con una wincha simple.

3. Se empieza a vaciar agua agua hacia las mangueras, para poder usar las bombas. P´ a gina 9 de 13


UNSCH

4. Se da inicio a la circulaci´ on del agua en el canal rectangular.

5. Mientas tanto, controlamos la ca´ıda del agua mediante mangueras, para el reiterado bombeo.

5. Anotaciones

Figura 8: Compuerta cerrada

P´ a gina 10 de 13


UNSCH

=⇒ Compuerta cerrada ⇒ ⇒

1.6 = 0.016 100 y = 6.95 cm S = o

=⇒ Compuerta abierta ⇒ ⇒

0.8 = 0.008 100 y = 6.95 cm S = o

6. Tipo de curva Debido a que el agua flu´ıa de una pendiente suave a una menos suave se tiene lo siguiente: Se tiene que yn < yn 2

1

En ambos tramos se cumple que

yn

2

yn > yc (pendiente suave) 1 > yc (pendiente menos suave)

Como y y está más cerca de y que y , se dice que la pendiente es menos suave. n 2

La curva es de tipo

c

n 1

M2.

Figura 9: De pendiente suave a pendiente menos suave

P´ a gina 11 de 13


UNSCH

7. Gráfica de la curva de remanso

Figura 10: Curva de remanso

8. Conclusiones 

Al aplicar el método de las subdivisiones por tramos, la realización de la gráfica se hizo relativamente fácil, debido a que en el laboratorio tomamos tramos de 0.20 cm y para cada tramo le tocaba su correspondiente tirante. Para aplicar el mismo método, también podr´ıamos haberlo graficado con otros datos tomados, por ejemplo:  Q

(Caudal)

 n

(Coeficiente de rugosidad )

 S

o

 b

(Pendiente inicial)

(Ancho de solera)

 z (Talud)

P´ a gina 12 de 13


UNSCH

Referencias aulica de tuber´ıas y canales [1] Arturo Rocha Felices. Hidr´ anica de fluidos aplicada . Edi[2] Mott Robert, L. Mec´ torial Prentice-Hall Hispanoamericana, S. A., México, 1996. anica de los fluidos . Universidad Nacio[3] Levi, Enzo Mec´ nal Autónoma de México, 1965.

[4] http://es.scribd.com/doc/57213039/Calculo-de-UnaCurva-de-Remanso [5] http://es.scribd.com/doc/34146056/ExplicacionCurvas-de-Remanso

P´ a gina 13 de 13

Curva de Remanso

Recommend Documents