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1. Fundam undamen ento to te´ teorico o´rico 1.1.. Curv 1.1 Curva de remanso remanso Se denomina curva de remanso a la que se produce en un canal al presentarse un movimiento gradualmente variado. El c´ alculo alculo de la l a curva curva de remans rem anso o signifi sig nifica ca b´asicam asi camente ente la soluci sol uci´ ´on on de la ecuaci´ ecua ci´on on din´ din ´amica ami ca del movimiento gradualmente variado. Para obtener la longitud de la curva de remanso debemos integrar integrar la ecuaci´ on on general del M. G. V. La longitud de la curva de remanso se define como la longitud comprendida entre un punto extremo, extremo, que act´ ua ua como secci´on on de control, en la que el tirante es calculable, y otro ubicado en el extremo del escurrimiento en el que el tirante es igual, o pr´acticamente acticamente igual al tirante normal. La definici´on on de longitud de la curva de remanso tiene un sentido pr´actico. actico. Podr´ Podr´ıamos, por ejemplo, decir que la curva termina cuando la diferencia entre el tirante normal y el del movimiento gradualmente gradualmente variado es inferior a un valor dado (por ejemplo, 1 cm). En muchos casos no es posible p osible integrar directamente la ecuaci´ on on diferencial del movimiento gradualmente variado. En consecuencia es necesario proceder proce der con m´ etodos etod os aproximados, ap roximados, indirectos indire ctos o gr´aficos. aficos. El uso u so de d e un programa de c´ omputo omputo resulta particularme particularmente nte util. u´til. Para la obtenci´on on de la curva de remanso presentaremos tres m´ etodos: etodos:
Integraci´ on on gr´ afica afica
Aproximaciones sucesivas
Integraci´ on on directa
1.2. M´ etodo etodo de la integraci´ on on gr´ gr ´afic afi ca Como su nombre lo indica este m´ etodo etodo consiste en integrar gr´aficamente aficamente la ecuaci´on on diferencial del movimiento gradualmente variado. Examinemos Examinemos la siguiente siguiente figura: Consideremos dos secciones transversales pr´oximas oximas 1 y 2. Evidentemente que x2
x = x2 − x1 =
x1
y2
dx =
y1
dx dy dy
(1)
N´ otese otese que dx es igual a la inversa del segundo miembro de la ecuaci´on dy general del M. G. V.
P´ agina a gina 1 de 13
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Figura 1: Integraci´ on gr´ afica
Para el c´alculo de una curva de remanso, es decir, la longitud de la curva del movimiento gradualmente variado, es indispensable conocer un punto de dicha curva, lo que siempre es posible. Para iniciar el c´alculo de la curva de remanso con este m´etodo consideraremos que se conoce el valor de y en una secci´on de control. Luego se determina el tipo de curva que se presentar´a (M1, por ejemplo) y, a continuaci´on, se proceder´a de la manera que se se˜nala a continuaci´on.
Suponer un valor para el tirante.
Calcular el valor correspondiente de del M. G. V.
dx a partir de la ecuaci´on general dy
dx , que es la inversa del valor anterior. dy
Calcular
Construir una curva, como la mostrada a continuaci´on, con los valores de y (tirantes supuestos) y los valores obtenidos para
dx dy
El valor de x es el ´area achurada comprendida entre la curva, el eje y , y las ordenadas
dx correspondientes a los valores de y . Luego, dy y2
Area = x =
y1
dx dy dy
(2)
Al medir esta ´area se tiene el valor de x. P´ a gina 2 de 13
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Figura 2: Integraci´ on gr´ afica
Finalmente se obtendr´a una curva de este tipo:
Figura 3: Integraci´ on gr´ afica
De esta curva se puede obtener los correspondientes valores de
A.
Para una secci´on transversal cualquiera se sugiere trabajar con la siguiente tabla: Es decir, que para cada secci´ on se calcula a partir de un valor de y , el ´area, per´ımetro, radio hidr´aulico, factor de capacidad, factor de secci´ on, P´ a gina 3 de 13
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Figura 4: Integraci´ on gr´ afica
inclinaci´on del eje hidr´aulico, su inversa, el valor del ´area comprendida en el gr´afico y el correspondiente valor de x. Por u ´ ltimo se dibuja x e y y se obtiene la curva de remanso.
1.3. M´ etodo de subdivisi´on en tramos Se divide el canal en peque˜nos tramos y se calcula separadamente cada uno de ellos, considerando como que en ese tramo el movimiento es uniforme. En la Figura 5 se muestra un tramo de un canal prism´atico de longitud x en el que aparecen las secciones 1 y 2.
Figura 5: Esquema para el c´ alculo de la curva de remanso
Aplicando la ecuaci´ on de la energ´ıa entre las secciones 1 y 2 se tiene: S o x + y1 + α1
V 12
2g
=y +α 2
V 22 2
2g
+ S
E
x
(3) P´ a gina 4 de 13
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de donde, x(S o − S E )
= E
2
− E 1
= E
(4)
y por lo tanto, x
=
E
(5)
S o − S E
El valor de S se puede obtener, para una secci´on determinada, a partir de la f´ormula de Manning. E
2
S E =
2
n V R
(6)
4 3
Para un tramo (de longitud x) el valor de S es el promedio de los respectivos valores de S al principio y al final del tramo. E
E
Figura 6: Para el c´ alculo de la curva de remanso se parte del tirante y minado por la condici´ on de entrega al lago.
max
deter-
El c´alculo se puede empezar por la secci´on extrema de aguas abajo, en la cual el tirante alcanza su m´aximo valor, o m´ınimo seg´ un el caso. (Ver las figuras 6 y 7 como casos t´ıpicos).
Figura 7: Para el c´ alculo de la curva de remanso se parte del tirante y nado por la grada.
min
determi-
Para hacer el c´alculo asignaremos valores al tirante y de modo de acercarnos lentamente del valor extremo al normal.
P´ a gina 5 de 13
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Cada valor del tirante determina una secci´on para la que es posible calcular: ´ =⇒ Area (en funci´on de la geometr´ıa de la secci´on): A =⇒ Radio hidr´ aulico: R =
A P
=⇒ Velocidad media: V =
Q A 2
V =⇒ Energ´ıa de velocidad: hV = 2g 2
=⇒ Energ´ıa espec´ıfica: E = y +
V 2g
=⇒ Diferencia de energ´ıa espec´ıfica entre dos secciones:
E = ±(E 2 − E 2 )
=⇒ Pendiente de la l´ınea de energ´ıa en esa secci´on: S = [ E
Vn 2
]
R3
=⇒ Pendiente media de la l´ınea de energ´ıa para un tramo dado: S E =
S E1 + S E2
=⇒ Distancia:
2 x
=
E
S o − S E
Acumulando los valores de escogido.
x
se obtiene la distancia desde el origen
1.4. M´ etodo de la integraci´ on directa Se estableci´o que la ecuaci´on general del movimiento permanente gradualmente variado es:
dy = S o dx
K n 1− K
2
Z c 1− Z
2
(7)
Para la presente exposici´on de la integraci´on de la ecuaci´on (7) se sigue el procedimiento de Bakhmettef expuesto por Ven Te Chow en 1955.
En primer lugar es necesario recordar la suposici´on hecha por Bakhmettef de que el cuadrado del factor de capacidad K (ecuaci´on (6)) es proporcional a una cierta potencia del tirante, es decir P´ a gina 6 de 13
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2
K = c1 y
N
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(8)
c1 es una constante de proporcionalidad. N es el exponente hidr´aulico
para el c´alculo del movimiento uniforme. Sus caracter´ısticas se establecen a continuaci´ on. Tomando logaritmos neperianos en la ecuaci´on (8) se obtiene N
2(lnK ) = ln(c y ) 1
(9)
Derivando con respecto a y se llega a
2
d(lnk ) = dy
c1 N y
N −1
c1 y
dy dx
N
(10)
De donde, d(lnK ) N = dy 2y
(11)
Pero, al aplicar la f´ ormula de Manning, se obtiene que el factor de capacidad K es 2
AR 3 K = n
(12)
Tomando logaritmos en esta ´ultima expresi´on se obtiene
2
lnK = ln
AR 3 n
(13)
Derivando con respecto a y se llega a (lnK ) dy
2 1 dR 1 dA + A dy 3 R dy
=
(14)
Introducimos ahora, las conocidas expresiones, dA = T dy R=
A P
(15) (16)
y se obtiene, (lnK ) dy
=
2 1 dR 1 T + 3 R dy AA
(17)
Pero, P´ a gina 7 de 13
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(dR) dy
=
T − R
A d P
=
dy
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dP dy
(18)
P
Reemplazando se llega a (lnK ) dy
=
21 3R
T − R
dP dy
P
+
T A
(19)
De donde y
10 [1 + 2z ( b )] N = 3 [1 + z ( y )]
(20)
b
siendo b el ancho en el fondo y z el talud del canal. Para el caso particular de una secci´on rectangular ( z = 0) se obtiene y
10 N = 3
−
8 b 3 (1 + 2 y )
(21)
b
Si se tratase de una secci´ on muy ancha, entonces la relaci´on y b es muy peque˜ na y tiende a cero, con lo que N =
10 3
(22)
2. Objetivo
Hacer una gr´ afica representativa de una curva de remanso.
Determinar el tipo de curva que se tratar´a de representar.
3. Equipo y/o materiales
Canal de vidrio de secci´on rectangular
Mangueras
Flex´ ometro
Probeta
Bombas hidr´aulicas
P´ a gina 8 de 13
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4. Procedimiento experimental 1. Se procede a la instalaci´ on de las bombas respectivas.
2. Se mide los niveles del tubo transparente con una wincha simple.
3. Se empieza a vaciar agua agua hacia las mangueras, para poder usar las bombas. P´ a gina 9 de 13
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4. Se da inicio a la circulaci´ on del agua en el canal rectangular.
5. Mientas tanto, controlamos la ca´ıda del agua mediante mangueras, para el reiterado bombeo.
5. Anotaciones
Figura 8: Compuerta cerrada
P´ a gina 10 de 13
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=⇒ Compuerta cerrada ⇒ ⇒
1.6 = 0.016 100 y = 6.95 cm S = o
=⇒ Compuerta abierta ⇒ ⇒
0.8 = 0.008 100 y = 6.95 cm S = o
6. Tipo de curva Debido a que el agua flu´ıa de una pendiente suave a una menos suave se tiene lo siguiente: Se tiene que yn < yn 2
1
En ambos tramos se cumple que
yn
2
yn > yc (pendiente suave) 1 > yc (pendiente menos suave)
Como y y est´a m´as cerca de y que y , se dice que la pendiente es menos suave. n 2
La curva es de tipo
c
n 1
M2.
Figura 9: De pendiente suave a pendiente menos suave
P´ a gina 11 de 13
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7. Gr´afica de la curva de remanso
Figura 10: Curva de remanso
8. Conclusiones
Al aplicar el m´etodo de las subdivisiones por tramos, la realizaci´on de la gr´afica se hizo relativamente f´acil, debido a que en el laboratorio tomamos tramos de 0.20 cm y para cada tramo le tocaba su correspondiente tirante. Para aplicar el mismo m´etodo, tambi´en podr´ıamos haberlo graficado con otros datos tomados, por ejemplo: Q
(Caudal)
n
(Coeficiente de rugosidad )
S
o
b
(Pendiente inicial)
(Ancho de solera)
z (Talud)
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Referencias aulica de tuber´ıas y canales [1] Arturo Rocha Felices. Hidr´ anica de fluidos aplicada . Edi[2] Mott Robert, L. Mec´ torial Prentice-Hall Hispanoamericana, S. A., M´exico, 1996. anica de los fluidos . Universidad Nacio[3] Levi, Enzo Mec´ nal Aut´onoma de M´exico, 1965.
[4] http://es.scribd.com/doc/57213039/Calculo-de-UnaCurva-de-Remanso [5] http://es.scribd.com/doc/34146056/ExplicacionCurvas-de-Remanso
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