Se tiene que: n
Sesión Nº 02
CUATRO OPERACIONES
Luego: S
ADICIÓN
cantidades (sumandos)
1.
3. 4.
5.
6.
SUMA DE LOS NATURALES
PRIMEROS
S1
n(n 1) 2
Ejemplo: hallar el valor de “A”. A = 1 + 2 + 3 + . . . + 10
ASOCIATIVA. Dadas ciertas cantidades de sumandos, la suma total también resulta al hacer grupos de sumandos. a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c
A 2.
CONMUTATIVA. El orden de los sumandos no altera la suma total.
10 . 11 55 2
SUMA DE LOS CUADRADOS DE PRIMEROS NÚMEROS NATURALES S2 12 22 32 ... n2 S2
Ejemplo: Hallar el valor de “B”
UNIFORMIDAD. Si se tienen varias igualdades, estas se pueden sumar miembro a miembro resultando otra igualdad.
B
B 12 22 32 ... 102
3.
MONOTONIA * a
EN
SUMA DE LOS CUBOS DE LOS PRIMEROS NÚMEROS NATURALES
n(n 1) 2
2
S3
Ejemplo: Hallar el valor de “C” C 13 23 33 ... 103
PROGRESIÓN
10.11 2
C
Sea : S t1 t2 t3 ......... tn S
10.11.21 385 6
S3 13 23 33 ... n3
a >b (El resultado no se puede c
SUMA DE TÉRMINOS ARITMÉTICA
LOS
n(n 1)(2n 1) 6
MODULATIVA. Para todo número entero existirá su elemento neutro o módulo de la suma denotado por cero, tal que se cumpla que a + 0=a.
*
NÚMEROS
S1 1 2 3 ... n
{S
Suma total
LEYES FORMALES 1. CLAUSURA. La suma de dos o más números enteros resulta otro número entero. 2.
49 2 98 2450 2
SUMAS NOTABLES
Es una operación aritmética directa, que tiene por objeto unir varias cantidades homogéneas en una sola llamada suma total. A 4 4 B 44 2 C 4 4 ...443N 1
98 0 49 2
4.
n t1 tn 2
2
3025
SUMA DE LAS CUARTAS POTENCIAS DE LOS NÚMEROS NATURALES S4 14 24 34 ... n4
Donde: n = # de términos t1 = primer término tn = último término
S4
n(n 1)(2n 1)(3n2 3n 1) 30
Ejemplo: Hallar el valor de “D” D 14 24 34 ... 104
Ejemplo: Calcular el valor de S S = 2 + 4 + 6 + . . . + 98
1
D
10.11.21.329 30
01.
D = 25333. 5.
Resolución Una forma de sumas es como sigue: 8 57 + 7 98 64 19 Suma de unidades 20 Suma de decenas 15 Suma de centenas 17 19
SUMA DE LOS PRIMEROS NÚMEROS PARES
S5 2 4 6 ... 2n S5 n(n 1)
Donde: n = # de términos Ejemplo: Hallar el valor de “E”
E 2 4 6 ... 20
Es recomendable este método cuando la suma de cada orden es mayor de 2 cifras.
10términos
E = 10(11) = 110 02. 6. SUMA IMPARES
DE
LOS
PRIMEROS
Sumar 857 + 798 + 64
NÚMEROS
Sumar: 423(5) 134(5) 233(5) Resolución 2
S6 1 3 5 ... (2n 1)
2
4 2 3 (5) + 1 3 4 (5) 2 3 3 (5)
S6 K 2
Donde: K = # de términos
1 4 0 0 (5)
19 (1) 10 2
03.
S7 1.2 2.3 3.4 ... n(n 1) n(n 1)(n 2) 3
Ejemplo: Hallar el valor de “G” G = 1. 2 + 2. 3 + 3. 4 + . . . + 8. 9
se lleva se coloca
Hallar la suma de todos los números pares de 3 cifras.
a b c 1 0 0 2 1 2 3 2 4 3. 6 .. 9 9 8 9 x10x 5 = 450 números
8.9.10 240 3
S8 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... n(n 1)(n 2) S8
se lleva se coloca
Resolución * Si el número es de 3 cifras será de la forma abc donde c toma los valores 0, 2, 4, 6, 8 por ser números pares.
Donde: n = # de términos
G
II) 2+2+3+3=10= 2x5+0
9 5 4 1
CASOS ESPECIALES: S7
se lleva se coloca
III) 2+4+1+2=9= 1x5+4
F 102 100 *
10 5 0 2
10 5 0 2
Ejemplo: Hallar el valor de “F” F= 1 + 3 + 5 + . . . + 19
n
I) 3+4+3=10= 2x5+0
n(n 1)(n 2)(n 3) 4
Donde: n = # de términos
Luego para calcular la suma de estos 450 números se procede del siguiente modo:
Ejemplo: Hallar el valor de “H” H=1.2.3+2.3. 4+3.4.5 + . . . + 8. 9. 10
H
8.9.10.11 1980 4
EJERCICIOS DESARROLLADOS
2
En las unidades Se divide la cantidad de números entre la cantidad de valores que toma la cifra de unidades y se multiplica por la suma de todos los valores que toma la cifra de sus unidades.
En forma análoga se hace para las decenas, centenas, etc. y luego se aplica una suma abreviada cuyo resultado final será efectivamente la suma de todos estos 450 numerales de esta forma.
SUSTRACCIÓN Es una operación inversa a la adición, que consiste en que dadas dos cantidades llamadas minuendo y sustraendo, para encontrar otra cantidad llamada diferencia, tal que sumada con el sustraendo reproduzca el minuendo.
450 (0 + 2 + 4 + 6 + 8) = 1800 5 450 D: (0+ 1 + 2 + 3 +…+9)= 2025 10 450 C: (0+ 1 + 2 + 3 +…+9)= 2250 9
U:
*
Término: M: minuendo S: sustraendo D: diferencia
Suma total: 1800
Condición:
2025 2250
M S D
247050
04.
De A restarB
La expresión: A – B RestarB deA
A excedea B
Propiedades: 1. La suma de los tres términos de una sustracción es igual al doble del minuendo.
22222 2222 222 "5"sumandos 5 22 2
M S D 2M
2.
5 2 10 4 2 8 3 2 6 2 2 4
24 690
05.
MS D
Nota:
Al efectuar: 2 + 22 + 222 + … + 22222 Resolución Colocando en forma vertical:
1 2 2
aplicando un nuevo método alternativo.
Para todo número de tres cifras (no capicúa) abcn . Se cumple que al restarle el número que resulta de invertir el orden de sus cifras, se obtiene una diferencia xyzn , tal que la cifra de 2do orden es ( n – 1) y la suma de las cifras de 1er y 3er orden es: (n – 1) Es decir:
Calcular el valor de M, si: M = A +B + C
abcn
Donde: A= 1 + 2 + 3 + … + 16 B= 2 + 4 + 6 + … + 24 C= 1 + 3 + 5 + … + 29
xyzn
cban
y= n- 1 x+ z = n - 1
Además: xyzn
Resolución Efectuando: A= 1 + 2 + 3 + … + 16
+
zyxn 10(n - 2)(n - 1) n
16 17 136 = 2 2+ 4+ + 424 1 44 4462+ 4 ... 44 3
B=
_
Complemento aritmético ( C.A.) El C.A. de un número, es igual a las unidades que le faltan a dicho número, para ser igual a la unidad seguida de tantos ceros, como cifras tenga el número. Ejemplo: C.A. (72) = C.A. (857) =
12 términos
= 12 x 13 =156 1 + 3 + 52+4 ... 29 4+ 44 3 C = 1 4 41544términos = (15)2 = 225
(ab .......c C.A. n cifras
Luego: M= 136+ 156 + 225 M = 517
3
E 9
EJERCICIOS DESARROLLADOS 01.
03.
Hallar a +b + c, si: xab4 x1ab bc3
Resolución Del problema:
Resolución Del problema: xab4
abc C.A (abc) 296 Pero: C.A. (abc) = 103 – abc
x1ab bc3 *
Entonces: abc 103 abc 296
4 – b = 3 b = 1
Luego: xa14
2.abc 1296 abc 648
x1a1 1c3
04.
11 – a = c a + c = 11 a+ b + c = 12 02.
Si: abc cba mn(m 1) Hallar: (a – c) Resolución Del problema: abc
Si: abc cba mnp , simplificar: E
¿Cuál es el número de 3 cifras que restado su C.A da 296?
(m n)2 (n p)2 3(m p)
cba mn(m 1)
Resolución Recordando que: xyz * a b 9
Recordando que: *
xyz zyx p9q
zyx
*
p q 9
a9b
Luego: n = 9 y m + m +1= 9 m = 4
Del problema: abc * n 9 cba
Entonces: abc cba 495
* m p 9
Haciendo la descomposición polinómica 100a + 10b + c – 100c – 10b – a= 495 99a – 99c = 495 99(a – c) = 495 a–c=5
mnp Luego: (m n)2 (n p)2 E 3(m p) 05. Recordando que: a2 b2 (a b)(a b)
La suma del minuendo, sustraendo y la diferencia de una sustracción es 19 456 y el minuendo es el cuádruplo del sustraendo. Hallar el sustraendo. Resolución Recordar que:
Entonces: (m 2n p)(m p) m 2n p E 3(m p) 3
M S D M minuendo S sustraendo D diferencia
Como m+p = 9 y n = 9, entonces: 9 2(9) E 3
Del problema: * M + S + D = 19 456 ……(I)
4
* M = 4S ……………………(II) Reemplazando (2) en (1): 5S + D = 19 456 ……………(III) De la fórmula: D = M – S = 4S – S D= 3S Reemplazando (4) en (3): 5S + 3S = 19456 8S = 19 456 S = 2 432
4.
Distributiva. a(b+c) = a . b + a . c
5.
Uniformidad Dadas 2 ó más igualdades estas se pueden multiplicar miembro a miembro dando como resultado otra igualdad. a=b c=d a.c=b.d
El sustraendo es 2 432 6.
MULTIPLICIÓN
Monotonía a b cd
a b c d
a.c b.d
a.c b.d
CANTIDADES DE CIFRAS DE UN PRODUCTO La cantidad de cifras de un producto de “n” factores será máximo igual a la suma de las cantidades de cifras de cada factor y como mínimo dicha suma disminuida en (n – 1)
Es una operación aritmética directa cuyo origen proviene de la adición y consiste en dadas 2 cantidades, multiplicando y multiplicador, se debe hallar una tercera cantidad llamada producto, que contenga al multiplicando las mismas veces que el multiplicador contenga a la unidad.
A1. A2 . A ...... A Sea: P = 3 n
a a a .... a p Origen: 1 4 44 2 4 4 43
a1 cif
n veces
a2 cif a3 cif .. ..
P = a.n Producto Multiplicando
¿Cuántas cifras como máximo y como mínimo puede tener “P”? Máximo : a1 a2 a3 .... an S Mínimo : S – (n – 1)
Multiplicador Se cumple:
an cif
P n a 1
Ejemplo : P = A . B . C . D
LEYES FORMALES 1.
6 cif
Clausura El producto de 2 números enteros es otro número. a b c d
8 cif 4 cif
a.c?b.d(No se puede anticipar) 2.
Conmutativa El orden de los factores no altera el producto. a.b=b.a
3.
Modulativa Existen un solo número conocido como la unidad (elemento neutro de la multiplicación). tal que: a.1=a
3 cif
Donde: n = 4 (# de factores) Cantidad de cifras de “P” Máximo : 6 + 8 + 4 + 3 = 21 Mínimo : 21 – (4 – 1) = 18 EJERCICIOS DESARROLLADOS 01.
5
Hallar a + b + c + d + e, si:
N × 52 = … 396 …………….(Ψ)
abcde7 × 5 = 7abcde
Multiplicando por 3 a (Ψ)
Resolución Del problema: *
*
N × 52 × 3 = (…396) × 3 N × 156 = …188
abcde7 = abcde0 +7 = 10 abcde +7
Las 3 últimas cifras de: N × 156 son 188
7abcde = 700000 + abcde
04.
Entonces:
Si: abc bc cb 162500
abcde7 × 5 = 7abcde (10. abcde +7)× 5= 700000 + abcde 50 . abcde + 35 = 700000 + abcde
Resolución Descomponiendo en factores a 162 500 tenemos: 162 500 = 4 × 13 × 25 × 125 162 500 = 125 × 25 × 52
49 . abcde = 699965 abcde = 14285
Igualando: abc bc cb 125 25 52 a = 1, b = 2 y c = 5 a + b +c = 8
a + b + c +d + e = 20 02.
Hallar: a + b + c
Sí: aabb × 77 termina en …041, hallar a + b.
05.
Resolución Del problema: aabb 77
Hallar la suma de las cifras del producto en: * 1* 3* 2 * 3* 3* 2* * 2* 5
...041 *
1* 8 * * 0 Resolución Dándole letras diferentes a cada asterisco:
b × 7 = …1 b= 3 (3×7=21)
Luego:
a1b
2 2
aa33 77
3c2
* 7 a 2 ...7 a 5 (7 5 2 37)
d3e 3g2f k 2h5
731 31 ...041 03.
1p 8 n m0
a b 8
Si: N × 375 = … 625 N × 427 = … 021
*
e=0
*
2 × b=10 b 5
Hallar las 3 últimas cifras de N × 156
*
a15 2 2 a a ......(1)
Resolución Del problema:
d30 *
N × 375 = …625 …………….(α) N × 427 = … 021 …………….(β)
a15 c 3g2f
Restando (α) y (β) N × 52 = …21 – … 625
6
c 5 gf g c 1 ....(2)
C no puede ser 1; ya que C × 5 = 5 y no es un número de 2 cifras. Si C = 8 8 × 5 = 40 (g = 4, f = 0) y 4 + (8) × 1= 12
b)
Por Exceso: D = d . qe - re D d re qe = qd + 1
Ejemplo: 59 7 8+1 4
Luego: 8 × a = 3g 8 × 4 = 32 a = 4 y g = 2 Reemplazando: a = 4 en (1) 2 × 4 = d d=8
PROPIEDADES rmin 1 rmax d 1
1.
0 r d
2.
rd + re = d
3.
qe = qd + 1
4.
En toda división entera inexacta, si al dividendo y al divisor se le multiplica o divide por una misma cantidad, el cociente no se altera, pero si el residuo quedará multiplicado o divido por dicha cantidad. 2
Entonces: 415 × 382 = 158 530 = 1p8nm0 p=5,n=5ym=3 La suma de cifras del producto es 22.
DIVISIÓN
42 8 2 5
Es una operación aritmética inversa a la multiplicación que tiene por objeto en dadas 2 cantidades, dividendo y divisor, hallar una tercera cantidad llamada cociente que ponga en manifiesto las veces que el dividendo contiene al divisor. ELEMENTOS DE UNA DIVISIÓN Dividendo : (D) Divisor : (d) Cociente por exceso Cociente por defecto Residuo por defecto Residuo por exceso
tambien x2
(qe) (qd) (rd) (re)
II.
a)
d q
1.
Distributiva a b c a b c d d d d
2.
Monotonía. a>b c=d
D=d.q
División Inexacta Es cuando existe presencia de resto y a su vez se clasifican en dos. Por Defecto: D d rd qd Ejemplo: 59 7 3 8
84 16 4 5 no se altera
LEYES FORMALES
División Exacta Es cuando no existe presencia de resto
D
x2
2
tambien x 2
TIPOS DE DIVISIÓN ENTERA I.
21 4 1 5 no se altera
2
42 8 2 5 : : : :
59 = 7 . (8 + 1) - 4
a c
>
b
a
d
c
a>b c
D = d . qd + rd
a c 59 = 7 . 8 + 3
>
a=b c
d
a>b c > d.
b
a
d
c
?
El resultado no se puede anticipar (?)
7
b
b d
CANTIDAD DE CIFRAS DE UN COCIENTE La cantidad de cifras del cociente de dos números, puede ser como mínimo igual a la diferencia entre las cantidades de cifras del dividendo y divisor y como máximo la diferencia aumentada en una unidad. A a cifras q B b cifras
Recuerda que Dd
rmáx d 1
r q
¿Cuántas cifras como mínimo y como máximo puede tener “q”?
Entonces:
Máximo : a – b + 1 Mínimo : a – b
b a 12b (b 1) a b 1 12 a 13b 1 .............(2)
CASO ESPECIAL
Igualando (1) y (2):
Cuando el numerador y denominador tienen varios factores Primero se calcula la cantidad de cifras como máximo y como mínimo, tanto del numerador como denominador, mediante la regla del producto. Luego para hallar el máximo del cociente se compara el máximo del numerador, con el mínimo del denominador, análogamente para hallar el mínimo del cociente se compara el mínimo del numerador con el máximo del denominador, ambos mediante la determinación de la cantidad de un cociente.
107 + b = 13b – 1 12b = 108 b=9 Reemplazando el valor de “b” en (1) a = 107 + 9 a = 116 El mayor es 116 02.
Ejemplo: A ; B y C tienen 12 ; 9 y 5 cifras respectivamente. ¿Cuántas cifras tiene E? E
Resolución Del problema; sea “D” el dividendo y “d” e divisor:
A 2 .B3 C
4
max : 2(12) 3(9) 51 min : 51 (5 1) 47
3
2
* D d D 156 6 ......()
A .B
C4
6 156 * (D 1000) d D 1000 173d 54
max : 4(5) 20 min : 20 (4 1) 17
E
En una división el cociente es 156 y el residuo es 6; al agregar 1000 unidades al dividendo y al repetir la división se obtiene un cociente de 173 y un residuo de 54. Hallar el dividendo.
54 173 D 173d 946 ....() Igualando (α) y (β)
max : 51 17 1 35 min : 47 20 27
156d + 6 = 173d – 946 952 = 17d d = 56 Reemplazando el valor de “d” en (α):
EJERCICIOS DESARROLLADOS 01.
D = 156(56) + 6 D = 8742
La diferencia de 2 números es 107 y su cociente es 12, dejando un residuo que es lo mayor posible. Hallar el mayor de dichos números.
El dividendo es 8742 03.
Resolución Del problema:
Determinar un número N si es el mayor posible y además al dividirlo por 50 se obtiene un resto que es igual al triple del cociente respectivo. Resolución Del problema: N 50 N 50q 3q
* a – b = 107 a = 107 + b ……(1) * a b ,rel mayor posible r 12
3q q
8
N 53q
Reemplazando el valor de xy en (1)
Como N tiene que ser mayor posible, entonces que tiene que ser el mayor posible.
abc = 11 × 64 + 25 abc = 729 a = 7 , b = 2 c = 9
Además: 3q < 50 3q = 48 q = 16
a + b + c + x + y = 28
N = 848 04.
El cociente de dos números es 15, y el residuo es 3. Si la suma de ellos es 211, entonces el mayor excede al cuadrado de menor en: Resolución Del problema: * D d 3 15 D 15d 3 ...(1) * D + d = 211 ………..(2) Sumando “d” a ambos miembros de (1), tenemos: D + d = 16d + 3 ………(3) Reemplazando (2) en (3): 211 = 16d + 3 d = 13 Reemplazando el valor de “d” en (2): D + 13 = 21 D = 198 Nos piden: D – d2 = 198 – (13)2 D = d2 = 29
05.
Al dividir un número de 3 cifras y otro de 2 cifras, se obtiene 11 de cociente y 25 de residuo; se les toma el complemento aritmético y se vuelve a dividir, esta vez se obtiene 7 de cociente y 19 de residuo. Hallar la suma de las cifras del dividendo y divisor. Resolución Del problema: * abc xy 25 11
* C.A.(abc) C.A (xy) 19
7
Luego: *
abc 11 xy 25 ...(1)
*
103 – abc = (102 – xy ) × 7 + 19 abc – 7 . xy = 281 …(2)
Reemplazando (1) en (2): 4 . xy + 25 = 281 xy = 64 x = 6 y = 4
9
