Correccion de Analisis Por Multiplicadores de Lagrange

Corrección de Análisis Granulométricos y Químicos por Multiplicadores de Lagrange KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 1 Universidad Universidad Nacional Nacional de Ingeniería Ingeniería

Facultad de Ingeniería Geológica, Minera y Metalúrgica Av. Túpac Amaru 210 Rímac - Apartado 1301 Lima - Perú 19 de mayo de 2004

1

e-mail: [email protected]

Índice general Resumen

6

1. Intro ducción

8

2. Pasos para corregir p or Multiplicadores de Lagrange

10

3. Corrección Corrección de Análisis Análisis Gran Granulomé ulométricos tricos en en un Nodo - Método Método General General 12

3.1. Balance de Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Notación: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Ecuaciones de Balance de Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Método Lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. 3.4. Métod Métodoo Lagr Lagran angi gian anoo usa usand ndoo Facto actore ress de Pond Ponder erac ació iónn . . . . . . . . . . 3.4.1. Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

4. Aplicaciones

12 13 13 20 23 24 27 30 32

4.1. Corrección Corrección de Análisis Análisis Granulométr Granulométricos icos en un Hidrociclón Hidrociclón - MultiplicaMultiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. 4.1.1. Correc Correcció ciónn usando usando los Porce Porcent ntajes ajes Acum Acumula ulados dos Pasan Pasantes tes . . . . . 4.2. Corrección Corrección de Análisis Análisis Granulométr Granulométricos icos en un Hidrociclón Hidrociclón - MultiplicaMultiplicadore doress de Lagr Lagran ange ge con con Facto actore ress de Ponde ondera raci ción ón . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. 4.2.1. Correc Correcció ciónn usando usando los Porce Porcent ntajes ajes Acum Acumula ulados dos Pasan Pasantes tes . . . . . 4.3. Corrección Corrección de de Análisis Análisis Granul Granulométr ométricos icos en un un Hidrociclón Hidrociclón - Funció Funciónn J(R) 4.3.1. Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Aplicación del Método odo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. 4.3.3. Correc Correcció ciónn usando usando los Porce Porcent ntajes ajes Acum Acumula ulados dos Pasan Pasantes tes . . . . . 4.4. Corrección Corrección de Análisis Análisis Granulométr Granulométricos icos en un Circuito Circuito Inverso Inverso de Molienda Clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Corrección Corrección de Análisis Análisis Granulométr Granulométricos icos en un Circuito Circuito Inverso Inverso de Molie lienda nda Clasi lasific ficac ació iónn toma tomanndo Dos Nodo Nodoss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1. Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2. Aplicación del Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. 4.6. Correc Correcció ciónn de Anális Análisis is Químic Químicos os en un Circui Circuito to de Flo Flotac tación ión PlomoCobre-Zinc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1. Desarr arrollo del Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

32 36 43 46 51 52 54 58 63 73 79 80 91 92

KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio

4.6.2. Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 98

5. Corr Correc ecci ción ón de An Anál ális isis is Qu Quím ímic ico o en un Nodo Nodo - Mé Méto todo do Ge Gene nera rall

100 100

6. Aplicaciones

101

Bibliografía

102

Índice de figuras 3.1. Esquema del Sistema a Corregir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Variación de los factores de ponderación con respecto a las fracciones granulométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

Esquema del Hidrociclón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variación de la Función J (R) vs. R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema del Circuito Inverso de Molienda Clasificación . . . . . . . Esquema del Circuito Inverso de Molienda Clasificación (Dos Nodos) Diagrama de Flujo del Circuito de Flotación Pb-Cu-Zn . . . . . . .

3

12 29

. . 32 . . 55 . . 63 . . 73 . . 91

Índice de cuadros 3.1. Análisis Granulométricos a Corregir (Forma Simbolica) . . . . . . . . . .

13

4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7.

35 35 35 35 37 37

Hidrociclón: Análisis Granulométricos a Corregir . . . . . . . . . . . . . Hidrociclón: Errores para cada intervalo de tamaños . . . . . . . . . . . Hidrociclón: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños Hidrociclón: Correcciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hidrociclón: Análisis Granulométricos Corregidos . . . . . . . . . . . . . Análisis Granulométricos - Porcentajes Acumulados Pasantes . . . . . . Hidrociclón: Errores para cada intervalo de tamaños - Fracciones Acumuladas Pasantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Hidrociclón: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños - Fracciones Acumuladas Pasantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Hidrociclón: Correcciones - Fracciones Acumuladas Pasantes . . . . . . . 4.10. Hidrociclón: Análisis Granulométricos Corregidos . . . . . . . . . . . . . 4.11. Análisis Granulométricos Corregidos - Fracciones en Peso . . . . . . . . 4.12. Hidrociclón: Factores de Ponderación para cada intervalo de tamaños . . 4.13. Hidrociclón: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños - usando Factores de Ponderación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.14. Hidrociclón: Correcciones usando Factores de Ponderación . . . . . . . . 4.15. Hidrociclón: Análisis Granulométricos Corregidos . . . . . . . . . . . . . 4.16. Hidrociclón: Factores de Ponderación para cada intervalo de tamaños Porcentajes Acumulados Pasantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.17. Hidrociclón: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños - usando Factores de Ponderación - Porcentajes Acumulados Pasantes . 4.18. Hidrociclón: Correcciones usando Factores de Ponderación - Fracciones Acumuladas Pasantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.19. Hidrociclón: Análisis Granulométricos Corregidos . . . . . . . . . . . . . 4.20. Análisis Granulométricos Corregidos - Fracciones en Peso . . . . . . . . 4.21. Hidrociclón: Función J (R), Valores de S u . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.22. Hidrociclón: Función J (R), Análisis Granulométricos Corregidos . . . . . 4.23. Hidrociclón: Función J (R), Valores de S u . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.24. Hidrociclón: Función J (R), Análisis Granulométricos Corregidos . . . . . 4.25. Circuito Inverso Molienda Clasificación: Análisis Granulométricos a Corregir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.26. Circuito Inverso Molienda Clasificación: Análisis Granulométricos a Corregir (Porcentajes Acumulados Pasantes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

37 39 39 39 39 45 45 45 45 47 47 47 56 56 56 60 60 60 64 64


4.27. Circuito Inverso Molienda Clasificación: Errores para cada intervalo de tamaños . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.28. Hidrociclón: Factores de Ponderación para cada intervalo de tamaños . . 4.29. Circuito Inverso Molienda Clasificación: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.30. Circuito Inverso Molienda Clasificación: Correcciones . . . . . . . . . . . 4.31. Circuito Inverso Molienda Clasificación: Análisis Granulométricos Corregidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.32. Análisis Granulométricos Corregidos - Fracciones en Peso . . . . . . . . 4.33. Circuito Inverso Molienda Clasificación (Dos Nodos): Análisis Granulométricos a Corregir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.34. Circuito Inverso Molienda Clasificación (Dos Nodos): Análisis Granulométricos a Corregir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.35. Circuito Inverso Molienda Clasificación (Dos Nodos): Errores para cada intervalo de tamaños . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.36. Circuito Inverso Molienda Clasificación (Dos Nodos): Factores de Ponderación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.37. Circuito Inverso Molienda Clasificación (Dos Nodos): Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.38. Circuito Inverso Molienda Clasificación (Dos Nodos): Correcciones . . . 4.39. Circuito Inverso Molienda Clasificación (Dos Nodos): Análisis Granulométricos Corregidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.40. Circuito Inverso Molienda Clasificación (Dos Nodos): Análisis Granulométricos Corregidos - Porcentaje en Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

66 66 68 68 69 69 81 81 83 83 85 85 87 87

Resumen En el presente trabajo se elaboró una serie de pasos para poder establecer en forma general la corrección de Análisis Granulométricos y/o Químicos, en forma particular se desarrolló el método general para corregir los Análisis Granulométricos y Químicos (Mallas Valoradas) en un nodo. El mejor método para corregir los Análisis Granulométricos se obtuvo usando datos de un Hidrociclón, las razones para emplear dichos datos fueron básicamente por su simplicidad (un nodo con una entrada y dos salidas), aparte que es un equipo comunmente usado en la industria del procesamiento de minerales. Los métodos aplicados fueron los Multiplicadores de Lagrange sin y con el uso de Factores de Ponderación, y finalmente se hace la comparación con el método de la función J (R). Estos tres métodos se corrigieron usando las Fracciones en Peso y las Fracciones Acumuladas Pasantes. En la corrección de los Análisis Granulométricos para el Hidrociclón se observa: Los Análisis Granulométricos Corregidos por los métodos empleados son semejantes. Se obtiene un menor error al corregir los Porcentajes Acumulados Pasantes; pero al convertir dichos análisis a Porcentajes en peso, se observa un ligero incremento en el error, mayor incluso a las correcciones efecutadas a los Porcentajes en Peso. En el caso de la Corrección por Multiplicadores de Lagrange sin Factores de Ponderación y la Corrección usando la Función J (R) se pueden obtener fracciones negativas, esto se presenta básicamente cuando los Porcentajes en Peso son cero (incluso valores pequeños) ó los Porcentajes Acumulados Pasantes son 100 %. El problema anterior queda resuelto al usar Factores de Ponderación para cada intervalo de tamaños, estos Factores tienen la forma: W =

f 2

1 · (1 − f )2

Es decir, los Factores de Ponderación son siempre positivos y tienden al infinito cuando las fracciones tienden a ser cero o uno (100 %) y como esta formulado, a un mayor valor de los Factores de Ponderación, menor será el valor de la corrección. Lo anterior ocasiona un error al corregir los Porcentajes en Peso, el cual consiste en que la suma de las Fracciones en Peso es diferente de 1 (100 %), esto se resuelve corrigiendo los Porcentajes Acumulados Pasantes. 6


7

El método para la corrección de Análisis Granulométricos recomendado es corregir los Porcentajes Acumulados usando Multiplicadores de Lagrange con Factores de Ponderación.

El otro caso aplicado fue el de un Circuito Inverso de Molienda Clasificación, esto puede representarse en una forma simple como un nodo con dos Entradas y Dos salidas, o desarrollarse en forma detallada usando dos nodos. En esta última forma, el algoritmo se complica pero se obtiene una mayor coherencia con el sistema en la realidad (Se asume que en el molino no existe acumulación de partículas). Para una mejor comprensión de la forma de corregir se presentan los códigos de los programas en Matlab (R13, versión 6.5). Si se estudia con detenimiento se verá que los pasos para las correcciones son similares, variando únicamente en las ecuaciones usadas para cada sistema y/o método.

Capítulo 1

Introducción En el procesamiento de minerales se efectúan muestreos con diversos fines (determinar parámetros de la operación, eficiencia de equipos, detección y análisis de errores en los procesos, etc.). Existen equipos (Clasificadores, Hidroclasificadores, celdas de flotación, mesas gravimétricas, etc.) que pueden tomarse como un nodo en el cual puede haber varias alimentaciones y salidas. Al obtener los Análisis Granulométricos en un nodo determinado, el problema con que uno se encuentra inicialmente es: “Los Análisis Granulométricos del sistema tienen que ser matemáticamente consistentes.” ¿Qué significa esto? Simplemente que todo lo que entra tiene que ser igual a lo que sale: Exponiendo un caso simple: En un proceso X se sabe que: AR = BR + C R O que: 3 = 1 + 2 (asumiendo esto como “real”). Pero debido a errores de muestreo, análisis, o cualquier operación en la cual se manipule las muestras, nos puede dar valores como: 3,1 = 0 ,9 + 2 ,3 Lo cual no es correcto o “Matemáticamente Inconsistente”. Es decir tenemos un error de: A − (B + C ) = ∆ M 3,1 − (0,9 + 2 ,3) = 0,1

Ahora el objetivo es hacer que ∆M sea cero, con lo cual sería “Matemáticamente consistente”. Se establecen valores corregidos como:

8


9

A − [B + C ] = 0

ó (A − ∆A) − [(B − ∆B ) + ( C − ∆C )] = 0

Donde: A, B , C A, B , C ∆A, ∆B , ∆C

: son los valores muestreados : son los valores corregidos : son las correcciones.

Se puede cumplir dicho objetivo de varias formas. Una de las formas más simples (pero con una mayor distorsión con respecto a los datos originales) es que las correcciones sean iguales: ∆A = ∆ B = ∆ C (A − ∆A) − [(B − ∆B ) + ( C − ∆C )] = 0 A − (B + C ) = ∆ A − (∆B + ∆C ) = ∆ M

Con la cual se obtiene que: ∆A = ∆ B = ∆ C = ∆ M = 0 ,1

Por lo tanto: A = 3 ,1 − 0 ,1 = 3 ,0 B = 0 ,9 − 0,1 = 0 ,8 C = 2 ,3 − 0,1 = 2,2

Obteniéndose: A − (B + C ) = 3 ,0 − (0,8 + 2 ,2) = 0

Nótese que esto se aleja de lo “real” 3,0 − (1,0 + 2 ,0) = 0

Con esto se debe de tener en cuenta que las correcciones no darán los datos exactos que realmente ocurren en el proceso X, pero serán matemáticamente consistentes y aproximados a los valores reales. Más aún, de todos los métodos de corrección que podrían elaborarse, se debe de escoger el que menos se desvíe de los datos muestreados (es decir, las correcciones deben de ser de valores mínimos posibles). Es por esta razón que se escogió el método de multiplicadores de Lagrange (ver [1], [2] ). Este método es simplemente un optimizador la cual es usado para minimizar una función objetivo bajo ecuaciones restrictivas.

Capítulo 2

Pasos para corregir por Multiplicadores de Lagrange Se presenta a continuación una serie de pasos con la finalidad de comprender la corrección por Multiplicadores de Lagrange en forma sistemática. 1. Obtener los datos a corregir (Análisis Granulometricos, Químicos, etc.) 2. Establecer las ecuaciones de Balance de Masa. (Ecuaciones de Flujo, Análisis Granulométricos, Leyes, etc.) 3. Normalizar las ecuaciones dividiendo por un flujo “A” (ej: Alimentación Fresca a un Circuito). 4. Establecer las ecuaciones de error debido a los Flujos Normalizados ( ∆Q) Nota 2.1

Los Flujos Normalizados deben de ser Linealmente Independientes.

5. Definir una función  la cual representa la suma de los errores al cuadrado ( =



∆Q2



∆Q2 )

6. Derivar parcialmente la función  por cada flujo Normalizado (Linealmente independientes) e igualar a cero. En este paso se obtendrá una ecuación cuya solución dará los Flujos Normalizados Corregidos que hacen que la función  tome un valor mínimo.

Nota 2.2

7. Calcular los errores ∆M debido a los Flujos Normalizados Corregidos. Reemplazar los Flujos Normalizados corregidos hallados en el paso 6 y reemplazarlos en las ecuaciones establecidas en el paso 4.



2

∆M = min() = min

8. Definir las correcciones.

10



∆Q2

11


Correcciones = Datos - Datos Corregidos 9. Reemplazar las ecuaciones del paso 8 en ∆M (Ecuaciones dadas en el paso 7) para obtener las ecuaciones de ∆M en función de las correcciones. 10. Definir la Función Lagrangiana L(χ, λ) (Función Objetivo y Ecuaciones Restrictivas). L(χ, λ) = f (χ) −



[λi · gi (χ)]

La función función objetivo objetivo f (χ) será la suma de los cuadrados de todas las correcciones. Las ecuaciones restrictivas g (χ) deben de cumplir g(χ) = 0 y estarán dadas por las ecuaciones de ∆M definidas en 9 λ : son los Multiplicadores de Lagrange χ : son las Correcciones. 11. Derivar parcialmente la función Lagrangiana (L(χ, λ)) por los Multiplicador Multiplicadores es de Lagrange y las Correcciones e igualar a cero. En este paso se obtendran las correcciones de los Analisis en función de los Multiplicadores de lagrange. Estas correcciones harán que la función objetivo f (χ) tome un valor mínimo sujeto a las ecuaciones restrictivas g (χ).

Nota 2.3

12. De las relaciones del paso anterior obtener una ecuacion que que permita hallar los Multiplicadores de Lagrange en función de los errores ∆M 13. Reemplaza Reemplazarr los Multiplicador Multiplicadores es de Lagrange Lagrange en las relaciones relaciones determinadas determinadas en el paso 11 para obtener las correccion correcciones. es. 14. Corregir Corregir los Análisis Análisis por las siguientes siguientes relaciones: relaciones: (ver Paso Paso 8) Datos Corregidos = Datos - Correcciones

Capítulo 3

Corrección de Análisis Granulométricos en un Nodo Método General 3.1. 3.1.

Bala Balanc ncee de Masa Masa

Se tiene el sistema de la Figura 3.1: En el método propuesto se considera que existe una Entrada Principal, una Salida Principal, “m” entradas secundarias y “n” salidas secundarias. Todas estas entradas y salidas están aplicadas a un nodo y se considera que en dicho nodo no existen procesos de reducción de tamaños. Cada una de estas entradas y salidas mencionadas tienen una granulometría determinada que se puede representar por la siguiente tabla: Entrada Principal A ; fA

Salida Principal Z ; fZ

Entrada E1 ; fE1 Entrada E2 ; fE2

Salida S1 ; fS1

NODO

Salida S2 ; fS2

Entrada E3 ; fE3

Salida S3 ; fS3

Entrada Em ; fEm

Salida Sn ; fSn

Figura 3.1: Esquema del Sistema a Corregir

12

13

KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio ENTRADA u

A

E1

E2

1 2 3 .. . k−1

f A1 f A2 f A3

f E 11 f E 12 f E 13

f E 21 f E 22 f E 23

.. .

.. . f E 1k 1 f E 1k

.. . f E 2k 1 f E 2k

k

f Ak 1 f Ak −

−

−

SALIDA ... ... ... ... .. . ... ...

Em

Z

S1

S2

f Em 1 f Em 2 f Em 3

f Z 1 f Z 2 f Z 3

f S 11 f S 12 f S 13

f S 21 f S 22 f S 23

.. .

.. .

.. . f S 1k 1 f S 1k

.. . f S 2k 1 f S 2k

f Em k 1 f Em k −

f Z k 1 f Z k −

−

−

... ... ... ... .. . ... ...

Sn

f Sn 1 f Sn 2 f Sn 3

.. . f Sn k 1 f Sn k −

Cuadro 3.1: Análisis Granulométricos a Corregir (Forma Simbolica) 3.1.1.

Notación:

m n u = {1, 2, 3, . . . , k − 1, k} k

: : : :

A Z E 1,E 2, . . . ,Em S 1,S 2, . . . ,Sn f X u

: : : : :

Número de Entradas Secundarias. Número de Salidas Secundarias. Intervalos de Tamaños. Intervalo de tamaños más fino (numéricamente igual al número de intervalos de tamaño). Entrada Principal. Salida Principal. Entradas Secundarias Salidas Secundarias Denota la Fracción (ó Porcentaje) del Análisis Granulométrico de “ X ” en el intervalo de tamaños “ u”.

3.2.

Ecuaciones de Balance de Masa

Paso 1

Obtener los datos a corregir (Análisis Granulometricos, Químicos, etc.)

Para este caso en particular, los datos serán los Análisis Granulométricos de Entrada y Salida del Nodo: f Au : Análisis Granulométrico correspondiente a la Entrada Principal. f Ei u : Análisis Granulométricos correspondientes a las Entradas Secundarias. f Z u : Análisis Granulométrico correspondiente a la Salida Principal. f Sj u : Análisis Granulométricos correspondientes a las Salidas Secundarias. Nota 3.1

En el método presentado no se requiere saber los flujos de Entrada y Salida

del Nodo. Establecer las ecuaciones de Balance de Masa. (Ecuaciones de Flujo, Análisis Granulométricos). Paso 2

Se presentan las ecuaciones ideales (error=0) y/o corregidas.

14


Caudales Corregidos(Flujos): m

A+



n

Ei = Z +

i=1



(3.1)

Sj

j =1

Para un Intervalo de Tamaños “ u” (donde: u = {1, 2, 3, . . . , k − 1, k }). m

f Au · A +



n

f Ei u · Ei = f Z u · Z +

i=1

Paso 3



f Sj u · Sj

(3.2)

j =1

Normalizar las ecuaciones dividiendo por un flujo “A”.

Definimos a los flujos reducidos como la relacion de los flujos de Entradas y Salidas con respecto al flujo de la Entrada Principal “A”: Ei A Z A Sj

= αi

i = {1, 2, 3, . . . , m}

,

j = {1, 2, 3, . . . , n}

= βZ = βj

A

,

Con lo cual se tiene en las ecuaciones de balance de masa: m

1+



n

αi = βZ +

i=1



j =1

m

f Au +



n

f Ei u · αi = f Z u · βZ +

i=1

Paso 4

(3.3)

βj



f Sj u · βj

(3.4)

j =1

Establecer las ecuaciones de error debido a los Flujos Normalizados ( ∆Q)

Para los datos reales se obtendrán los siguientes errores: El error por los caudales normalizados (α y β ) que se tiene en el análisis granulométrico por cada malla se toma como: ∆Q1 , ∆Q2 , ∆Q3 , . . . , ∆Qk

1 , ∆Qk

−

Siendo para un Intervalo de Tamaños “ u”: m

∆Qu = f Au +

 i=1

Nota 3.2

n

f Ei u · αi − f Z u · βZ −



f Sj u · βj

j =1


(3.5)

15


La siguiente ecuación muestra la dependencia lineal de βZ con respecto a los flujos normalizados αi y βj m

βZ = 1 +

n

  αi −

i=1

(3.6)

βj

j =1

Reemplázandolo en la Ecuación 3.5 obtenemos: m

∆Qu = f Au +



m

n

n

  

f Ei u · αi − f Z u · (1 +

αi −

i=1

i=1

βj ) −

j =1

(3.7)

f Sj u · βj

j =1

Reordenando obtenemos: m

∆Qu = ( f Au − f Z u ) +



n

[(f Ei u − f Z u ) αi] −

i=1

Paso 5 Definir ( ∆Q2 )





(3.8)

[(f Sj u − f Z u ) βj ]

j =1

una función  la cual representa la suma de los errores al cuadrado

Para corregir los análisis granulométricos con una variación mínima, tenemos que tomar derivadas parciales de la sumatoria de los cuadrados de los errores ( ∆Q2 ) (la sumatoria es debido a cada intervalo de tamaños) con respecto a los caudales reducidos (α y β ) e igualarlas a cero.



Es decir:

     k

=

k

∆Q2u =

u=1

m

(f Au − f Z u ) +

u=1



[(f Ei u − f Z u ) αi] −

i=1

  2

n



[(f Sj u − f Z u ) βj ]

j =1

Derivar parcialmente la función  por cada flujo Normalizado (Linealmente independientes) e igualar a cero. Paso 6

∂ ∂ = ∂αi ∂αi ∂ ∂ = ∂β j ∂β j

    k

∆Q2u

u=1 k

u=1

 

=0

,

i = [1 , 2, 3, . . . , m]

=0

,

j = [1, 2, 3, . . . , n]

∆Q2u

Con lo cual tendremos “m” ecuaciones con respecto a α y “n” ecuaciones con respecto a β , esto con el fin de hallar los caudales corregidos: α1, α2, . . ., αm, β 1, β 2, . . ., βn Por ejemplo, para α1:

  k

=

u=1

(f Au − f Z u ) + [(f E 1u − f Z u ) α1] +

m

n





i=2

[(f Ei u − f Z u ) αi] −

j =1

2



[(f Sj u − f Z u ) βj ]

16


Hacemos el siguiente cambio de variables: ψu = ( f E 1u − f Z u ) m

φu = ( f Au − f Z u ) +

n



[(f Ei u − f Z u ) αi] −

=



i=2

Tenemos:

 

[(f Sj u − f Z u ) βj ]

j =1

k

(ψu · α1 + φu )2

u=1

Derivamos parcialmente respecto a αi, βj e igualamos a cero (al hacer esto, se obtendrán los valores de α y β que darán el valor mínimo de . ∂ ∂α 1



k

= α1=α1

 



2 ψu · α1 + φu ψu = 0

u=1

k

2

   

ψu2 · α1 + ψu · φu = 0

u=1 k

k

2

α1

ψu +

u=1

Entonces: 0

=

+

u=1

(f E 1u − f Z u )2

 

α1

(ψu · φu ) = 0



m

(f E 1u − f Z u ) · (f Au − f Z u ) +



n

 

(f Ei u − f Z u ) αi −

i=2

(f Sj u − f Z u ) βj

j =1

Desarrollándolo obtenemos:

 α2

    

α1



2

(f E 1u − f Z u )



+

[(f E 1u − f Z u ) · (f E 2u − f Z u )] + . . . ...+

[(f E 1u − f Z u ) · (f Em u − f Z u )] +

αm

−β 1 −β 2

[(f E 1u − f Z u ) · (f Au − f Z u )] +

[(f E 1u − f Z u ) · (f S 1u − f Z u )] +

[(f E 1u − f Z u ) · (f S 2u − f Z u )] + . . .

−βn

...+

[(f E 1u − f Z u ) · (f Sn u − f Z u )] = 0



17


Análogamente para α2

             

[(f E 2u − f Z u ) · (f Au − f Z u )] +

α1

[(f E 2u − f Z u ) · (f E 1u − f Z u )] + α2

−β 1

+

...+

[(f E 2u − f Z u ) · (f S 1u − f Z u )] +

[(f E 2u − f Z u ) · (f S 2u − f Z u )] + . . .

−βn

Para βn

(f E 2u − f Z u )



[(f E 2u − f Z u ) · (f Em u − f Z u )] +

αm

−β 2

2

...+

[(f E 2u − f Z u ) · (f Sn u − f Z u )] = 0

[(f Sn u − f Z u ) · (f Au − f Z u )] +

α1

α2

αm

−β 1 −β 2

[(f Sn u − f Z u ) · (f E 1u − f Z u )] +

[(f Sn u − f Z u ) · (f E 2u − f Z u )] + . . . ...+

[(f Sn u − f Z u ) · (f Em u − f Z u )] + [(f Sn u − f Z u ) · (f S 1u − f Z u )] +

[(f Sn u − f Z u ) · (f S 2u − f Z u )] + . . .

−βn

...+ 2

(f Sn u − f Z u )



= 0

De las relaciones anteriores se obtendrá la siguiente ecuación lineal: (3.9)

A · X = B

Obsérvese que la matriz A es simétrica de orden ((m + n), (m + n))       A=     

  (f E1 fZ )   [(f E1 fZ ) (fE 2 f Z)] −

−

2

−

 [(fE 2 

f Z ) (fE 1

−

. . .

 [(fE 1  [(fE 1  [(fE 1

−

fZ ) (fE m − f Z )]

−

f Z ) (fS 1

−

fZ )]

−

f Z ) (fS 2

−

fZ )]

−

fZ ) (f Sn

−

... .

f Z ) (fE m − f Z )]

fZ )]

 [(f E2

f Z )]

...

−

f Z ) (f S2

−

f Z )]

... .

fZ ) (fS n − fZ )]

X (m+n,1) =

   

−α1 −α2

.. .

−αm β 1 β 2

.. .

βn

.

fZ ) (fE 1

−

f Z )]

−

fZ ) (fE 2

−

f Z )]

 [(fS 1  [(fS 1

−

fZ ) (fE 1

−

f Z )]

−

fZ ) (fE 2

−

f Z )]

. . .

 [(fE m  [(fE m

fZ )

−

f Z ) (fS 1

−

fZ )]

−

f Z ) (fS 2

−

fZ )]

−

2

,

−

−

fZ ) (f E 1 − fZ )]

...

−

fZ ) (f E 2 − fZ )]

...

fZ ) (f Sn

. . .

−

−

−

2

−

−

−

−

−

−

−

. . . −

fZ )]

B (m+n,1) =

.

 [(fS 1 fZ ) (fE m f Z)]  [(fS 2 fZ ) (f Em fZ )]   (fS 1 fZ )   [(fS 2 fZ ) (fS 1 fZ )]  [(f S1 f Z) (fS 2 fZ )]   (fS 2 fZ ) 

. . .

 [(f Em

 [(fS 2  [(fS 2

. . .



.

...

   

−

  (f Em

...

−

−

 [(fE m  [(fE m

.

f Z ) (f S1

. . . −

.

−

1 8

Nota 3.3

...

. . .

 [(fE 2  [(fE 2  [(fE 2

. . .

 [(f E1

 f Z)]

−

(fE 2 − fZ )2

 [(fS 1

       

−

2

. . .

fZ ) (f Sn

−

fZ )]

 [(f S2

−

[(f E 1 − f Z ) (f A − f Z )] [(f E 2 − f Z ) (f A − f Z )]

.. .

[(f Em − f Z ) (f A − f Z )] [(f S 1 − f Z ) (f A − f Z )] [(f S 2 − f Z ) (f A − f Z )]

.. .

[(f Sn − f Z ) (f A − f Z )]

f Z ) (fS n

   

Por razones de espacio se obviaron los subíndices “u” correspondientes a los Intervalos de Tamaño.

f Z )]

... ... .

−

fZ ) (fE 1

−

f Z )]

−

fZ ) (fE 2

−

f Z )]

. . .

.

...

.

−

.

 [(fS n  [(fS n

.

...

 [(fS n  [(fS n  [(fS n

−

fZ ) (fE m − fZ )]

−

fZ ) (fS 1 − fZ )]

−

fZ ) (fS 2 − fZ )] . . .

  (fS n

−

fZ )2



           

19


De este sistema de ecuaciones obtenemos los caudales corregidos: α1, α2, . . ., αm, β 1, β 2, . . ., βn βZ se halla por la Ecuación 3.6 Paso 7

Calcular los errores ∆M debido a los Flujos Normalizados Corregidos.

El siguiente paso es hallar los errores para cada Intervalo de Tamaños ∆M 1, ∆M 2 , ∆M 3 , . . . , ∆M k usando los caudales normalizados corregidos mediante la siguiente ecuación: m

n

       ∆M u = f Au +


i=1

Nota 3.4

Paso 8

k u=1

k u=1

∆M u2 = min



f Sj u · βj

(3.10)

j =1

∆Q2u

Definir las correcciones. Correcciones = Datos - Datos Corregidos

Sean: f Au , f E 1u , f E 2u , . . . , f Em u , f Z u , f S 1u , f S 2u, . . . , f Sn u los valores corregidos del análisis granulométrico. Definimos las correcciones como: ∆f Au ∆f Ei u ∆f Z u ∆f Sj u

= = = =

f Au − f Au f Ei u − f Ei u f Z u − f Z u f Sj u − f Sj u

;

i = {1, 2,...,m }

;

j = {1, 2,...,n }

Reemplazar las ecuaciones del paso 8 en ∆M (Ecuaciones dadas en el paso 7) para obtener las ecuaciones de ∆M en función de las correcciones. Paso 9

Si reemplazamos las relaciones anteriores en la Ecuación 3.10 obtenemos: m

n



∆M u = (f Au +∆f Au )+



(f Ei u +∆f Ei u )αi−(f Z u +∆f Z u )βZ −

i=1

(f Sj u +∆f Sj u )βj

j =1

Simplificando: m

∆M u = [f Au +



n


i=1

+[∆f Au +



f Sj u · βj ]

j =1 m



n

∆f Ei u · αi − ∆f Z u · βZ −

i=1



∆f Sj u · βj ]

j =1

Pero la ecuación 3.4 se puede expresar de la siguiente manera: m

0 = f Au +

 i=1

n




j =1

f Sj u · βj

20


Por lo tanto el error que se comete por las fracciones de un Intervalo de tamaños es: m

∆M u = ∆f Au +



n

∆f Ei u · αi − ∆f Z u · βZ −

i=1

3.3.



∆f Sj u · βj

(3.11)

j =1

Método Lagrangiano

Se trata de optimizar funciones restringidas. Para nuestro caso es minimizar una función de error con restricciones de igualdad. El procedimiento se desarrolla formalmente como sigue: L(χ, λ) = f (χ) − λ · g (χ) L(χ, λ) λ f (χ) g (χ)

: : : :

Función Lagrangiana Multiplicadores de Lagrange Función a Optimizar Funciones Restrictivas Donde: g (χ) = 0

y g(χ) se suponen funciones dos veces diferenciables contínuamente. La idea de utilizar derivadas restringidas es encontrar una expresión de forma cerrada para las primeras derivadas parciales de f (χ) en todos los puntos que satisfacen las restricciones g (χ) = 0 1 Nota 3.5 f (χ)

Las ecuaciones:

∂L =0 ∂λ

;

∂L =0 ∂χ

Dan las condiciones necesarias para determinar los puntos estacionarios de f (χ) sujetos a g(χ) = 0 Los puntos estacionarios se identifican como los puntos en los que estas derivadas parciales se hacen cero. Paso 10

Definir la Función Lagrangiana L(χ, λ) (Función Objetivo y Ecuaciones Res-

trictivas). Determinamos una función la cual es la sumatoria de los cuadrados de los errores por Intervalo de Tamaños, la cual debe de ser mínima. m

2

f u (χu ) = S u = ∆ f Au +



n

2

∆f Ei u + ∆f Z u +

i=1

Se tiene sólo una ecuación restrictiva (Ecuación 3.11).



gu (χu ) = 0 = ∆ M u − ∆f Au + 1

2



∆f Sj u2

j =1

m

 i=1

n

∆f Ei u · αi − ∆f Z u · βZ −



j =1

Hamdy A. Taha: “ Investigación de Operaciones ”, Sexta Edición, página 753.

∆f Sj u · βj



21


χu = {∆f Au , ∆f E 1u , ∆f E 2u , . . . , ∆f Em u , ∆f Z u , ∆f S 1u , ∆f S 2u , . . . , ∆f Sn u }

La función Lagrangiana será: m

2

Lu (χu , λu ) = ∆f Au +



n

2

2

∆f Ei u + ∆f Z u +

i=1

 

−λu · ∆M u −



∆f Sj u2

j =1 m

∆f Au +



n

∆f Ei u · αi − ∆f Z u · βZ −

i=1



∆f Sj u · βj

j =1

Derivar parcialmente la función Lagrangiana ( L(χ, λ)) por los Multiplicadores de Lagrange y las Correcciones e igualar a cero. Paso 11

Hallamos los puntos estacionarios: ∂L u (χu , λu ) = 0 = ∆ M u − ∂λ u



m

∆f Au +

∂L u (χu , λu ) =0 = ∂ ∆f Au



n

∆f Ei u · αi − ∆f Z u · βZ −

i=1

∂ (∆f A2

u



∆f Sj u · βj

j =1



(3.12)

+ λu · ∆f Au + θAu ) = 2∆ f Au + λu ∂ ∆f Au

∆f Au = −λu ·

1 2

∂L u (χu , λu ) ∂ (∆f Ei 2u + λu · ∆f Ei u · αi + θEiu ) =0 = = 2∆f Ei u + λu · αi ∂ ∆f Ei u ∂ ∆f Ei u

∆f Ei u = −λu ·

αi

2

;

i = {1, 2,...,m }

∂L u (χu , λu ) ∂ (∆f Z u2 − λu · ∆f Z u · βZ + θZu ) =0 = = 2∆ f Z u − λu · βZ ∂ ∆f Z u ∂ ∆f Z u

∆f Z u = + λu ·

βZ

2

∂ (∆f Sj u2 − λu · ∆f Sj u · βj + θSj u ) ∂L u (χu , λu ) =0 = = 2∆ f Sj u − λu · βj ∂ ∆f Sj u ∂ ∆f Sj u

∆f Sj u = + λu · Nota 3.6 θu

βj

2

;

j = {1, 2,...,n}

es un factor en el cual no está incluido la variable a Derivar.

De las relaciones del paso anterior obtener una ecuacion que permita hallar los Multiplicadores de Lagrange en función de los errores ∆M Paso 12



22


Sustituimos ∆f Au , ∆f Ei u , ∆f Sj u , ∆f Z u en la ecuacion 3.12.

0 = ∆ M u −



−λu ·

1 + 2

 m

−λu ·

αi

i=1

2



· αi − λu ·

βZ

2

 n

· βZ −

λu ·

j =1

βj

2

· βj



Por lo tanto, hallaremos los Multiplicadores de Lagrange ( λ) para cada intervalo de tamaño mediante la siguiente ecuación: λu = −2 ·

1+



∆M u m i=1

2

2

αi + βZ +



n j =1

βj

(3.13)

2

Reemplazar los Multiplicadores de Lagrange en las relaciones determinadas en el paso 11 para obtener las correcciones. Paso 13

Se hallan las correcciones para cada Intervalo de Tamaño ∆f Au = −λu · ∆f Ei u = −λu · ∆f Z u = +λu · ∆f Sj u = +λu · Paso 14

1 2 αi

2

;

i = {1, 2,...,m}

;

j = {1, 2,...,n }

βZ

2 βj

2

Corregir los Análisis por las siguientes relaciones: (ver Paso 8) Datos Corregidos = Datos - Correcciones

Se procede a corregir los Análisis Granulométricos mediante las siguientes relaciones: f Au f Ei u f Z u f Sj u

= = = =

f Au − ∆f Au f Ei u − ∆f Ei u f Z u − ∆f Z u f Sj u − ∆f Sj u

;

i = {1, 2,...,m }

;

j = {1, 2,...,n }

Se halla el error de la corrección. k

S =

k

  S u =

u=1

u=1

k

2

∆f Au +

m

 u=1 i=1

k

2

∆f Ei u +



u=1

k

2

∆f Z u +

n

 u=1 j =1

∆f Sj u2

(3.14)

23


3.3.1.

Algoritmo

1. Obtener los Análisis Granulométricos del Sistema. f Au : Análisis Granulométrico correspondiente a la Entrada Principal. f Ei u : Análisis Granulométricos correspondientes a las Entradas Secundarias. f Z u : Análisis Granulométrico correspondiente a la Salida Principal. f Sj u : Análisis Granulométricos correspondientes a las Salidas Secundarias. donde: i = { 1,2, ..., m } j = { 1,2, ..., n } u = { 1,2, ..., k } m n k

: : :

Número de Entradas Secundarias. Número de Salidas Secundarias. Número de Intervalo de Tamaños.

2. Resolver la Ecuación Lineal A · X = B (Ecuación 3.9) para obtener los caudales normalizados (αi, βj ). 3. Hallar βZ (Ecuación 3.6). m

βZ = 1 +

n

  αi −

i=1

βj

j =1

Recuérdese: α : Caudales Reducidos de Entrada al Nodo. β : Caudales Reducidos de Salida del Nodo.

Nota 3.7

Ei A Sj A Z A

= αi

,

i = {1, 2, 3, . . . , m}

= βj

,

j = {1, 2, 3, . . . , n}

= βZ

4. Hallar los errores para cada Intervalo de Tamaños (Ecuación 3.10). m

∆M u = f Au +



n


i=1



f Sj u · βj

j =1

5. Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada Intervalo de Tamaños (Ecuación 3.13). λu = −2 ·

1+



m i=1 αi

∆M u

2

2

+ βZ +



2 n j =1 βj

24


6. Hallar las Correcciones. ∆f Au = −λu · ∆f Ei u = −λu · ∆f Z u = +λu · ∆f Sj u = +λu ·

1 2 αi

2

;

i = {1, 2,...,m }

;

j = {1, 2,...,n}

βZ

2 βj

2

7. Corregir los Análisis Granulométricos. = = = =

f Au f Ei u f Z u f Sj u


;

i = {1, 2,...,m}

;

j = {1, 2,...,n}

8. Hallar el Error de la Corrección (Opcional) (Ecuación 3.14). k

S =

k

  S u =

u=1

3.3.2.

k

2

∆f Au +

u=1

m



k

2

∆f Ei u +

u=1 i=1



k

2

∆f Z u +

u=1

n



∆f Sj u2

u=1 j =1

Propiedades

Las propiedades que se presentan a continuación se cumplen cuando los Analisis Granulométricos a Corregir son las Fracciones (Porcentajes) en Peso (No Acumulados). Propiedad 1

La suma de las Fracciones en Peso del Análisis Granulométrico es 1

(100%) k



f X u = 1

u=1

Propiedad 2

La suma de los errores ∆M es cero.

De la ecuación 3.10 (Para un solo Intervalo de Tamaños). m

∆M u = f Au +



n


i=1



f Sj u · βj

j =1

Hacemos la sumatoria de los errores: k



u=1

k

∆M u =

k

m

  f Au +

u=1

u=1 i=1

k

f Ei u · αi −



u=1

k

f Z u · βZ −

n

 u=1 j =1

f Sj u · βj

25


 

k u=1 f X u

Tomando en cuenta la Propiedad 1 ( expresar como: k



= 1) la relación anterior se puede

m

∆M u = 1 +

u=1

n

αi − βZ −

i=1

Pero la Ecuación 3.3 es:

1+

n

αi = βZ +

i=1

Por lo tanto:

βj

j =1

m

 





βj

j =1

k

∆M u = 0

u=1

Propiedad 3

La suma de los Multiplicadores de Lagrange es cero.

De la Ecuación 3.13 λu = −2 ·

1+



∆M u m i=1

2

2

αi + βZ +



n j =1

βj

2

Donde el denominador es constante, por lo tanto al hacer la sumatoria obtenemos: k



λu = −2 ·

u=1

   

k u=1 ∆M u

1+

m i=1

2

2

αi + βZ +

k u=1 ∆M u

Tomando en cuenta la Propiedad 2 (



n j =1

βj

2

= 0)

k

λu = 0

u=1

Propiedad 4

La sumatoria de las correcciones es cero.

Se tienen las correcciones: ∆f Au = −λu · ∆f Ei u = −λu · ∆f Z u = +λu · ∆f Sj u = +λu ·

Hacemos la sumatoria:

1 2 αi

2

;

i = {1, 2,...,m}

;

j = {1, 2,...,n }

βZ

2 βj

2

26


k

   

∆f Au

u=1

k

    

1 = − · 2 u

λu

=1

k

∆f Ei u = −

u=1 k

∆f Z u = +

u=1 k

∆f Sj u = +

u=1

αi

2

k

·

βj

2

k

i = {1, 2,...,m }

;

j = {1, 2,...,n}

k

·

λu

u=1 k

·

λu

u=1

Tomando en cuenta la Propiedad 3 (

   

;

u=1

βZ

2

λu

k u=1 λu

= 0 ) obtenemos:

∆f Au = 0

u=1 k

∆f Ei u = 0

;

i = {1, 2,...,m}

;

j = {1, 2,...,n }

u=1 k

∆f Z u = 0

u=1 k

∆f Sj u = 0

u=1

La suma de las Fracciones en Peso de los Análisis Granulométricos Corregidos es 1 (100 %). De las correcciones: Propiedad 5

= = = =

f Au f Ei u f Z u f Sj u


;

i = {1, 2,...,m }

;

j = {1, 2,...,n }

Hacemos la sumatoria:

 

k u=1 f Au k u=1 f Ei u k u=1 f Z u k u=1 f Sj u

 

 

k u=1 f Au − k u=1 f Ei u − k u=1 f Z u − k u=1 f Sj u −

= = = =

k u=1 ∆f Au k u=1 ∆f Ei u k u=1 ∆f Z u k u=1 ∆f Sj u

;

i = {1, 2,...,m }

;

j = {1, 2,...,n }

Tomando en cuenta las propiedades 1 y 4 obtenemos:

 

k u=1 f Au k u=1 f Ei u k u=1 f Z u k u=1 f Sj u

= = = =

1 1 1 1

;

i = {1, 2,...,m}

;

j = {1, 2,...,n }

27


3.4.

Método Lagrangiano usando Factores de Ponderación

En esta sección introduciremos los factores de ponderación. Lo que se trata de hacer es una analogía a los métodos de regresión con estudio de los residuales, los cuales permiten identificar puntos para los cuales el modelo no ajuste bien (detección de ajustes “individuales”); es decir, definiremos la funcion objetivo f u (χ) de la sección 3.3 pero con respecto a los “residuales estandarizados ” (ver [6] página 19) los cuales se definen como: zi =

residual P i · (1 − P i )

(3.15)

La expresión 3.15 para nuestro caso toma las siguientes formas: ∆f Au f Au · (1 − f Au ) ∆f Ei u ∆f Ei u = f Ei u · (1 − f Ei u )

 

∆f Au =

∆f Z u f Z u · (1 − f Z u ) ∆f Sj u ∆f Sj u = f Sj u · (1 − f Sj u )

; ;

Por lo tanto la función objetivo a minimizar es: m

 

∆f Z u =

n

        2

f u (χ) = S u = ∆ f Au +

2

2

∆f Ei u + ∆f Z u +

i=1

2

∆f Sj u

j =1

o también:



fu (χ) =

∆f A2u + f A2u · (1 − f Au )2 +

m

  i=1 n

∆f Z u2 + f Z u2 · (1 − f Z u )2

∆f Ei 2u f Ei 2u · (1 − f Ei u )2

j =1

∆f Sj u2 f Sj u2 · (1 − f Sj u )2

La ecuación anterior puede tomar la siguiente forma: m

 

2

fu (χ) = Su = W Au · ∆f Au +



n

2

2

W Ei u · ∆f Ei u + W Z u · ∆f Z u +

i=1



W Sj u · ∆f Sj u2

j =1

Donde: 1 f A2u · (1 − f Au )2 1 W Ei u = f Ei 2u · (1 − f Ei u )2 W Au =

; ;

1 f Z u2 · (1 − f Z u )2 1 W Sj u = f Sj u2 · (1 − f Sj u )2 W Z u =

La ecuación Restrictiva es idéntica a la ecuación 3.11. Por lo tanto, la función Lagrangiana será:

28


m

    2

Lu (χu , λu ) = W Au · ∆f Au +

n

2

2

W Ei u · ∆f Ei u + W Z u · ∆f Z u +

i=1



W Sj u · ∆f Sj u2

j =1

m

−λu · ∆M u −

∆f Au +

n

∆f Ei u · αi − ∆f Z u · βZ −

i=1



∆f Sj u · βj

j =1



Derivar parcialmente la función Lagrangiana ( L(χ, λ)) por los Multiplicadores de Lagrange y las Correcciones e igualar a cero. Hallamos los puntos estacionarios: ∂L u (χu , λu ) = 0 = ∆ M u − ∂λ u



m

∆f Au +

∂L u (χu , λu ) ∂ (W Au =0 = ∂ ∆f Au



n

∆f Ei u · αi − ∆f Z u · βZ −

i=1



∆f Sj u · βj

j =1

· ∆f A2



(3.16)

+ λu · ∆f Au + θAu ) = 2 · W Au · ∆f Au + λu ∂ ∆f Au 1 ∆f Au = −λu · 2 · W Au u

∂L u (χu , λu ) ∂ (W Ei u · ∆f Ei 2u + λu · ∆f Ei u · αi + θEiu ) =0 = = 2 ·W Ei u ·∆f Ei u +λu ·αi ∂ ∆f Ei u ∂ ∆f Ei u

∆f Ei u = −λu ·

αi 2 · W Ei u

;

i = {1, 2,...,m }

∂L u (χu , λu ) ∂ (W Z u · ∆f Z u2 − λu · ∆f Z u · βZ + θZu ) =0 = = 2 · W Z u · ∆f Z u − λu · βZ ∂ ∆f Z u ∂ ∆f Z u

∆f Z u = + λu ·

βZ 2 · W Z u

∂ (W Sj u · ∆f Sj u2 − λu · ∆f Sj u · βj + θSj u ) ∂L u (χu , λu ) =0 = = 2 ·W Sj u ·∆f Sj u −λu ·βj ∂ ∆f Sj u ∂ ∆f Sj u

∆f Sj u = + λu · Nota 3.8 θu

βj 2 · W Sj u

;

j = {1, 2,...,n }

es un factor en el cual no está incluido la variable a Derivar.

De las relaciones del paso anterior obtener una ecuacion que que permita hallar los Multiplicadores de Lagrange en función de los errores ∆M Sustituimos ∆f Au , ∆f Ei u , ∆f Sj u , ∆f Z u en la ecuación 3.16.



0 = ∆M u − −λu ·

1 2 · W Au

 m

+

−λu ·

i=1

2

αi 2 · W Ei u



2

− λu ·

βZ − 2 · W Z u



2

n

j =1

λu ·

βj 2 · W Sj u



29


Por lo tanto, hallaremos los Multiplicadores de Lagrange ( λ) para cada intervalo de tamaño mediante la siguiente ecuación: λu = −2 ·

1 W Au

+



∆M u 2

m αi i=1 W Ei u

+

2

βZ W Z u

+



(3.17)

2

n βj j =1 W Sj u

Se hallan las correcciones para cada Intervalo de Tamaño ∆f Au = −λu · ∆f Ei u = −λu · ∆f Z u = +λu · ∆f Sj u = +λu ·

1 2 · W Au

= −λu ·

1 · f A2u · (1 − f Au )2 2

αi αi = −λu · · f Ei 2u · (1 − f Ei u )2 2 · W Ei u 2

;

i = {1, 2,...,m}

;

j = {1, 2,...,n }

βZ βZ = + λu · · f Z u2 · (1 − f Z u )2 2 · W Z u 2 βj βj = + λu · · f Sj u2 · (1 − f Sj u )2 2 · W Sj u 2

Variacion del factor de ponderacion con la fraccion granulometrica 12000 ) W ( 10000 n o i c 8000 a r e d n 6000 o P e d 4000 r o t c a 2000 F

0 0 ) W / 1 0.07 ( n o 0.06 i c a r e d 0.05 n o P0.04 e d r 0.03 o t c a F 0.02 l e d 0.01 o s r e 0 v 0 n I

0.1

0.2

0.3

0.4 0.5 0.6 Fraccion Granulometrica (f)

0.7

0.8

0.9

1

Variacion del inverso del factor de ponderacion con la fraccion granulometrica

0.1

0.2

0.3

0.4 0.5 0.6 Fraccion Granulometrica (f)

0.7

0.8

0.9

1

Figura 3.2: Variación de los factores de ponderación con respecto a las fracciones granulométricas Obsérvese que con los factores de ponderación, las fracciones que sufrirán una mayor variación son las cercanas a 0.5 (50 %) y cuando las fracciones son cero o uno (100 %) estas no serán modificadas. Nota 3.9

Corregir los Análisis por las siguientes relaciones:

30


Datos Corregidos = Datos - Correcciones f Au f Ei u f Z u f Sj u


= = = =

;

i = {1, 2,...,m }

;

j = {1, 2,...,n }

Se halla el error de la corrección. k

S =

k

  S u =

u=1

3.4.1.

k

2

∆f Au +

u=1

m



k

2

∆f Ei u +

u=1 i=1



k

2

∆f Z u +

u=1

n



∆f Sj u2

(3.18)

u=1 j =1

Algoritmo

1. Obtener los Análisis Granulométricos del Sistema. f Au : Análisis Granulométrico correspondiente a la Entrada Principal. f Ei u : Análisis Granulométricos correspondientes a las Entradas Secundarias. f Z u : Análisis Granulométrico correspondiente a la Salida Principal. f Sj u : Análisis Granulométricos correspondientes a las Salidas Secundarias. donde: i = { 1,2, ..., m } j = { 1,2, ..., n } u = { 1,2, ..., k } m n k

: : :

Número de Entradas Secundarias. Número de Salidas Secundarias. Número de Intervalo de Tamaños.

2. Resolver la Ecuación Lineal A · X = B (Ecuación 3.9) para obtener los caudales normalizados (αi, βj ). 3. Hallar βZ (Ecuación 3.6). m

βZ = 1 +

n

  αi −

i=1

Nota 3.10

α β

βj

j =1

Recuérdese:

: Caudales Reducidos de Entrada al Nodo. : Caudales Reducidos de Salida del Nodo. Ei A Sj A Z A

= αi

,

i = {1, 2, 3, . . . , m}

= βj

,

j = {1, 2, 3, . . . , n}

= βZ

31


4. Hallar los errores para cada Intervalo de Tamaños (Ecuación 3.10). m

∆M u = f Au +



n


i=1



f Sj u · βj

j =1

5. Hallar los Factores de Ponderación para cada Intervalo de Tamaños. 1 f A2u · (1 − f Au )2 1 W Ei u = f Ei 2u · (1 − f Ei u )2 W Au =

1 f Z u2 · (1 − f Z u )2 1 W Sj u = f Sj u2 · (1 − f Sj u )2

;

W Z u =

;

6. Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada Intervalo de Tamaños (Ecuación 3.17). λu = −2 ·

1 W Au

+

7. Hallar las Correcciones. ∆f Au = −λu · ∆f Ei u = −λu · ∆f Z u = +λu · ∆f Sj u = +λu ·

1 2 · W Au

∆M u



2

m αi i=1 W Ei u

= −λu ·

+

2

βZ W Z u

+



(3.19)

2

n βj j =1 W Sj u

1 · f A2u · (1 − f Au )2 2

αi αi = −λu · · f Ei 2u · (1 − f Ei u )2 2 · W Ei u 2

;

i = {1, 2,...,m}

;

j = {1, 2,...,n }

βZ βZ = + λu · · f Z u2 · (1 − f Z u )2 2 · W Z u 2 βj βj = + λu · · f Sj u2 · (1 − f Sj u )2 2 · W Sj u 2

8. Corregir los Análisis Granulométricos. f Au f Ei u f Z u f Sj u

= = = =


;

i = {1, 2,...,m}

;

j = {1, 2,...,n}


S =

k

  S u =

u=1

u=1

k

2

∆f Au +

m

 u=1 i=1

k

2

∆f Ei u +



u=1

k

2

∆f Z u +

n

 u=1 j =1

∆f Sj u2

Capítulo 4

Aplicaciones Nota 4.1

Se deberá de tomar en cuenta lo siguiente:

Sólo las tablas de los Análisis Granulométricos y Químicos se presentan en Porcentaje. Todas las operaciones se harán con respecto a las Fracciones (No Porcentajes).

4.1.

Corrección de Análisis Granulométricos en un Hidrociclón - Multiplicadores de Lagrange

1. Obtener los Análisis Granulométricos del Sistema En un hidrociclón tenemos una Entrada (m = 0) (Alimento) y dos Salidas ( n = 1 ) (Overflow y Underflow). El esquema adoptado es el siguiente: Alimento ⇒ fA : Entrada Principal al Nodo Overflow ⇒ fZ : Salida Principal del Nodo Underflow ⇒ fS1 : Salida Secundaria del Nodo Se muestra a continuación los Porcentajes en Peso del Análisis Granulométrico de un Hidrociclón1 (ver tabla 4.1 en la página 35) Observamos que se tiene 7 intervalos de tamaño (“1” corresponde al material más grueso y “7” al más fino) es decir k = 7 . 2. Resolver la ecuación lineal A*X=B para obtener los caudales normalizados αi, βj . Como se observa, sólo existe una salida secundaria, por lo tanto sólo existiran β 1 y βZ , consecuentemente la Matriz A, B y X serán de orden (1, 1). 7

A=



((f S 1u − f Z u )2 )

u=1 1

Datos extraídos de [4] página 127

32

33


) s o n w i u o F l Z f r s f e o , v d Z i l O ó S (

Alimento A, fA u

) s o s w e u o l u r 1 f S r G f e , d s 1 n o S d U l i ó S (

Figura 4.1: Esquema del Hidrociclón

A = (0 ,180 − 0,000)2 + (0,177 − 0,001)2 + . . . + (0,078 − 0,517)2 = 0,3404

7

B=



((f S 1 − f Z ) · (f A − f Z ))

u=1

B

= (0,180 − 0,000) · (0,119 − 0,000) + (0,177 − 0,001) · (0,122 − 0,001) + . . . +(0,078 − 0,517) · (0,220 − 0,517) = 0 ,2290 1

−

X = β 1 = A

β 1 = 0 ,3404

1

−

·B

· 0,2290 = 0 ,6728

3. Hallar βZ βZ = 1 − β 1

βZ = 1 − 0,6728 = 0 ,3272

34


4. Hallar los Errores para cada Intervalo de Tamaños ∆M u = f Au − f Z u · βZ − f S 1u · β 1

∆M 1 = 0,119 − 0,000 · 0,3272 − 0,180 · 0,6728 = −0,0021 ∆M 2 = 0,122 − 0,001 · 0,3272 − 0,177 · 0,6728 = 0 ,0026

.. .

.. .

.. .

∆M 7 = 0,220 − 0,517 · 0,3272 − 0,078 · 0,6728 = −0,0016

Los errores para cada intervalo de tamaños son: (ver tabla 4.2 en la página 35) 5. Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada Intervalo de Tamaños λu = −2 ·

Donde:

2

∆M u 2

1 + βZ + β 1

2

2

1 + βZ + β 1 = 1 + 0 ,32722 + 0,67282 = 1 ,5597 0,0021 1,5597 0,0026 1,5597

= 0,0027 = −0,0033

0,0016 1,5597

=

−

λ2

= −2 · = −2 ·

λ7

= −2 ·

−

λ1

.. .

.. .

.. .

0,0021

Los Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños son (ver tabla 4.3 en la página 35): 6. Hallar las correcciones ∆f Au = −λu · ∆f Z u = +λu · ∆f S 1u

1 2 βZ

2 β 1 = +λ u · 2

Para el primer intervalo de tamaños 1 = −0,0014 2 0,2530 = +(0,0027) · = 0 ,4422 · 10 2 0,7470 = +(0,0027) · = 0 ,0009 2

∆f A1 = −(0,0027) · ∆f Z 1 ∆f S 11

Las correcciones son (ver tabla 4.4 en la página 35):

3

−

35


u

1 2 3 4 5 6 7

Fracción +m65 65/100 100/150 150/200 200/270 270/400 -m400

f Au

f Z u

f S 1u

R

11.9 % 0.0 % 18.0 % 1.951 12.2 % 0.1 % 17.7 % 2.200 18.0 % 2.1 % 25.9 % 2.013 15.9% 12.0% 18.1% 1.773 11.5 % 17.2 % 8.1 % 1.676 8.5 % 16.9 % 4.4 % 2.049 22.0 % 51.7 % 7.8 % 2.095

Cuadro 4.1: Análisis Granulométricos a Corregir u

∆M u

1 2 3 4 5 6 7

-0.0021 0.0026 -0.0011 -0.0020 0.0042 0.0001 -0.0016

Cuadro 4.2: Errores para cada intervalo de tamaños u

λu

1 2 3 4 5 6 7

0.0027 -0.0033 0.0015 0.0026 -0.0054 -0.0001 0.0021

Cuadro 4.3: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños u

∆f Au

∆f Z u

∆f S 1u

1 2 3 4 5 6 7

-0.0014 0.0004 0.0009 0.0017 -0.0005 -0.0011 -0.0007 0.0002 0.0005 -0.0013 0.0004 0.0009 0.0027 -0.0009 -0.0018 0.0001 -0.0000 -0.0000 -0.0010 0.0003 0.0007 Cuadro 4.4: Correcciones

36


7. Corregir los Analisis Granulometricos f Au

= f Au − ∆f Au

f Z u

= f Z u − ∆f Z u = f S 1u − ∆f S 1u

f S 1u

Los Analisis Granulométricos corregidos son (ver tabla 4.5 en la página 37): 8. Hallar el error de la correccion 7

S =



7



2

(∆f Au ) +

u=1

7

2

(∆f Z u ) +

u=1



(∆f S 12u )

u=1

S = ((−0,0014) 2 + (0 ,0017) 2 + . . . + (−0,0010) 2 ) +

((0,4422 · 10

3 2

−

) + (−0,5419 · 10

3 2

−

2

2

) + . . . + (0,3422 · 10 2

(0,0009 + (−0,0011) + . . . + 0,0007 ) = 2 ,3789 · 10

3 2

−

) )+

5

−

Cálculo de R (En un circuito cerrado directo de Molienda-Clasificación sería el Porcentaje de Carga Circulante) R=

R=

4.1.1.

β 1 βZ

0,6728 = 2 ,0564 0,3272

(205 ,64%)

Corrección usando los Porcentajes Acumulados Pasantes

1. Obtener los Análisis Granulométricos del Sistema (ver tabla 4.6 en la página 37): 2. Resolver la ecuación lineal A*X=B para obtener los caudales normalizados αi, βj . 7

A=



((f S 1u − f Z u )2 )

u=1

A = 1 ,4518 7

B=



((f S 1 − f Z ) · (f A − f Z ))

u=1

B = 0,9760

37


1

−

X = β 1 = A

·B

β 1 = 0 ,6723

3. Hallar βZ βZ = 1 − β 1

βZ = 0 ,3277

4. Hallar los Errores para cada Intervalo de Tamaños ∆M u = f Au − f Z u · βZ − f S 1u · β 1

(ver tabla 4.7 en la página 37) 5. Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada Intervalo de Tamaños ∆M u

λu = −2 ·

2

1 + βZ + β 1

2

(ver tabla 4.8 en la página 39) 6. Hallar las correcciones ∆f Au = −λu · ∆f Z u = +λu ·

1 2 βZ

2 β 1 = +λ u · 2

∆f S 1u

(ver tabla 4.9 en la página 39) 7. Corregir los Analisis Granulometricos f Au

= f Au − ∆f Au

f Z u

= f Z u − ∆f Z u

f S 1u

= f S 1u − ∆f S 1u

Los Analisis Granulométricos corregidos son (ver tabla 4.10 en la página 39): 8. Hallar el error de la correccion 7

S =



7

2

(∆f Au ) +

u=1



7

2

(∆f Z u ) +

u=1



(∆f S 12u )

u=1

38


u

f Au

f Z u

f S 1u

1 2 3 4 5 6 7

12.0351 % 12.0344 % 18.0725 % 16.0309 % 11.2290 % 8.4934% 22.1046 %

-0.0442 % 0.1542 % 2.0763 % 11.9572 % 17.2887 % 16.9022% 51.6658 %

17.9091 % 17.8114 % 25.8512 % 18.0119 % 8.2823 % 4.4044% 7.7296 %

Cuadro 4.5: Análisis Granulométricos Corregidos u

1 2 3 4 5 6 7

f Au

f Z u

f S 1u

88.10 % 100.00 % 82.00 % 75.90 % 99.90 % 64.30 % 57.90 % 97.80 % 38.40 % 42.00 % 85.80 % 20.30 % 30.50 % 68.60 % 12.20 % 22.00 % 51.70 % 7.80 % 0.00 % 0.00 % 0.00 %

Cuadro 4.6: Análisis Granulométricos - Porcentajes Acumulados Pasantes u

∆M u

1 2 3 4 5 6 7

0.0020 -0.0007 0.0003 0.0023 -0.0018 -0.0019 0.0000

Cuadro 4.7: Errores para cada intervalo de tamaños - Fracciones Acumuladas Pasantes u

λu

1 2 3 4 5 6 7

-0.0026 0.0009 -0.0004 -0.0030 0.0024 0.0024 -0.0000

Cuadro 4.8: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños - Fracciones Acumuladas Pasantes

39


S = 1 ,0869 · 10

5

−

Calculo de R (En un circuito cerrado directo de Molienda-Clasificación sería el Porcentaje de Carga Circulante) R=

R = 2 ,0514

β 1 βZ

(205 ,14%)

Pasando los Analisis Corregidos a Porcentajes en Peso obtenemos (ver tabla 4.11 en la página 39): Calculamos el error S pero con respecto las diferencias de los Porcentajes en Peso. S = 2 ,3860 · 10

5

−

Si comparamos los errores (con respecto a las fracciones en peso) vemos que al corregir los Porcentajes Acumulados Pasantes obtenemos un error ligeramente mayor que al corregir los Porcentajes en Peso ( 2,3860 · 10 5 respecto a 2,3789 · 10 5 ). Nota 4.2

−

−

Código del programa en Matlab para el cálculo: hidrociclon.m %-------------------------------------------------------------------------%-------------------------------------------------------------------------% Correccion de Analisis Granulometricos por Multiplicadores de Lagrange: % Sistema: % Hidrociclon % % hidrociclon.m % % KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio % UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA % FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA, MINERA Y METALURGICA %-------------------------------------------------------------------------%-------------------------------------------------------------------------% Analisis Granulometricos % Paso 1: Obtener los Analisis Granulometricos del Sistema % Analisis Granulometricos % Fracciones en Peso

40


u

∆f Au

∆f Z u

∆f S 1u

1 0.0013 -0.0004 -0.0009 2 -0.0004 0.0001 0.0003 3 0.0002 -0.0001 -0.0001 4 0.0015 -0.0005 -0.0010 5 -0.0012 0.0004 0.0008 6 -0.0012 0.0004 0.0008 7 0.0000 -0.0000 -0.0000 Cuadro 4.9: Correcciones - Fracciones Acumuladas Pasantes

u

1 2 3 4 5 6 7

f Au

f Z u

f S 1u

87.9711 % 100.0422% 82.0867 % 75.9429 % 99.8859 % 64.2712 % 57.8786 % 97.8070 % 38.4144 % 41.8498 % 85.8492 % 20.4010 % 30.6177 % 68.5614 % 12.1209 % 22.1199 % 51.6607% 7.7194 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 %

Cuadro 4.10: Análisis Granulométricos Corregidos

u

1 2 3 4 5 6 7

f Au

12.0289 % 12.0282 % 18.0643 % 16.0288 % 11.2321 % 8.4978% 22.1199 %

f Z u

-0.0422 % 0.1563 % 2.0789 % 11.9578 % 17.2878 % 16.9007% 51.6607 %

f S 1u

17.9133 % 17.8155 % 25.8568 % 18.0134 % 8.2801 % 4.4015% 7.7194 %

Cuadro 4.11: Análisis Granulométricos Corregidos - Fracciones en Peso


% Alimento al Hidrociclon fA=[11.9 12.2 18.0 15.9 11.5 8.5 22.0]/100.’; % Overflow del Hicrociclon (Salida Principal) fZ=[0 0.1 2.1 12.0 17.2 16.9 51.7]/100.’; % Underflow del Hidrociclon (Salida Secundaria) fS1=[18.0 17.7 25.9 18.1 8.1 4.4 7.8]/100.’;

% Analisis Granulometricos % Fracciones en Peso Acumulados Pasantes % Alimento al Hidrociclon %fA=1-cumsum([11.9 12.2 18.0 15.9 11.5 8.5 22.0]/100.’); % Overflow del Hicrociclon (Salida Principal) %fZ=1-cumsum([0 0.1 2.1 12.0 17.2 16.9 51.7]/100.’); % Underflow del Hidrociclon (Salida Secundaria) %fS1=1-cumsum([18.0 17.7 25.9 18.1 8.1 4.4 7.8]/100.’); % Paso 2: Resolver la ecuacion lineal A*X=B para obtener los caudales % normalizados alpha_i, beta_j A=sum((fS1-fZ).^2) B=sum((fS1-fZ).*(fA-fZ)) X=A\B beta_1=X % Paso 3: Hallar beta Z beta_Z=1-beta_1 % Paso 4: Hallar los Errores para cada Intervalo de Tamaños DM=fA-fZ*beta_Z-fS1*beta_1 % Paso 5: Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada Intervalo de % Tamaños lambda=-2/(1+beta_Z^2+beta_1^2)*DM % Paso 6: Hallar las correcciones DfA=-lambda*(1/2) DfZ=lambda*(beta_Z/2) DfS1=lambda*(beta_1/2)

41


42

% Paso 7: Corregir los Analisis Granulometricos fAc = fA - DfA fZc = fZ - DfZ fS1c = fS1 - DfS1 % Paso 8: Hallar el error de la correccion S = sum(DfA.^2)+sum(DfZ.^2)+sum(DfS1.^2) % Calculo de R (En un circuito cerrado directo de Molienda-Clasificacion % seria el Porcentaje de Carga Circulante) R=beta_1/beta_Z % Verificacion de la correccion DMc=fAc-fZc*beta_Z-fS1c*beta_1

43


4.2.

Corrección de Análisis Granulométricos en un Hidrociclón - Multiplicadores de Lagrange con Factores de Ponderación

Los datos son los empleados en la sección 4.1, por lo tanto, los pasos del 1 al 4 serán identicos a la sección referida: 1. Obtener los Análisis Granulométricos del Sistema 2. Resolver la ecuación lineal A*X=B para obtener los caudales normalizados αi, βj . 3. Hallar βZ 4. Hallar los Errores para cada Intervalo de Tamaños 5. Hallar los Factores de Ponderación para cada Intervalo de Tamaños. W Au

=

W Z u

=

W S 1u

=

1 2 u · (1 − f Au ) 1 2 f Z u · (1 − f Z u )2 1 2 f S 1u · (1 − f S 1u )2 f A2

Para el primer intervalo de tamaños: W A1

=

W Z 1

=

W S 11

=

1 = 90,9817 0,1192 · (1 − 0,119)2 1 =∞ 0,0002 · (1 − 0,000)2 1 = 45,9015 0,1802 · (1 − 0,180)2

Los factores de Ponderación obtenidos son (ver tabla 4.12 en la página 45): 6. Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada Intervalo de Tamaños (Ecuación 3.17). λu = −2 ·

∆M u

1 W Au

−2 ·

λ1

=

λ2

= −2 ·

.. . λ7

+

2

βZ W Z u

+

0,0021

−

2 67282 1 + 0,3272 + 0,45 ,90 90,98 ∞

0,0026

2 67282 1 + 0,3272 + 0,47 87,15 1002003,00 ,13

=

−2 ·

0,0016

−

32722 ,67282 1 + 0,16 + 0193 33,96 ,04 ,35

0,2022

= −0,2451

.. .

=

(4.1)

2

β 1 W S 1u

.. . =

0,0848

Los Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños son (ver tabla 4.13 en la página 45):

44


7. Hallar las Correcciones. ∆f Au = −λu · ∆f Z u = +λu · ∆f S 1u = +λu ·

1

= −λu ·

2 · W Au

1 · f A2u · (1 − f Au )2 2

βZ βZ = + λu · · f Z u2 · (1 − f Z u )2 W Z 2· 2 u β 1 β 1 = +λu · · f S 12u · (1 − f S 1u )2 2 · W S 1u 2

Para el primer intervalo de tamaños 1 = −0,0011 2 · 90,9817 0,3272 = +(0,2022) · = 0,0000 2·∞ 0,6728 = +(0,2022) · = 0 ,0015 2 · 45,9015

∆f A1 = −(0,2022) · ∆f Z 1 ∆f S 11

Las correcciones son (ver tabla 4.14 en la página 45): 8. Corregir los Análisis Granulométricos. f Au f Z u f S 1u

= f Au − ∆f Au = f Z u − ∆f Z u = f S 1u − ∆f S 1u

Los Analisis Granulométricos corregidos son (ver tabla 4.15 en la página 45): Aquí se comete un error al usar las fracciones en peso ya que la suma de las fracciones no da 1 (100%) Para el Alimento: f Ac = 0 ,999871 Para el Overflow: f Zc = 1 ,000813 Para el Underflow: f S 1c = 0 ,999413 Nota 4.3

   


k

S =

S u =

u=1

k

2

∆f Au +

u=1



u=1

k

2

∆f Z u +



∆f S 12u

u=1

S = ((−0,0011) 2 + 0,0014 2 + . . . + (−0,0012) 2 ) +

(0,0000 2 + (−0,0000)2 + . . . + 0,0009 2 ) + (0,0015 2 + (−0,0017)2 + . . . + 0,0001 2 ) = 2 ,7534 · 10

Calculo de R R=

R=

β 1 βZ

0,6728 = 2 ,0564 0,3272

(205 ,64%)

5

−

45


u

W Au

W Z u

W S 1u

∞ 1 90.98 45.90 2 87.15 1002003.00 47.13 3 45.90 2365.90 27.15 4 55.93 89.68 45.51 5 96.54 49.30 180.47 6 165.32 50.70 565.17 7 33.96 16.04 193.35

Cuadro 4.12: Factores de Ponderación para cada intervalo de tamaños u

λu

1 2 3 4 5 6 7

0.2022 -0.2451 0.0588 0.1407 -0.5622 -0.0229 0.0848

Cuadro 4.13: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños usando Factores de Ponderación u

∆f Au

∆f Z u

∆f S 1u

1 2 3 4 5 6 7

-0.0011 0.0000 0.0015 0.0014 -0.0000 -0.0017 -0.0006 0.0000 0.0007 -0.0013 0.0003 0.0010 0.0029 -0.0019 -0.0010 0.0001 -0.0001 -0.0000 -0.0012 0.0009 0.0001

Cuadro 4.14: Correcciones usando Factores de Ponderación u

f Au

f Z u

f S 1u

1 2 3 4 5 6 7

12.0111 % 12.0594 % 18.0640 % 16.0258 % 11.2089 % 8.4931% 22.1249 %

0.0000 % 0.1000 % 2.0996 % 11.9743 % 17.3865 % 16.9074% 51.6135 %

17.8518 % 17.8750 % 25.8272 % 17.9960 % 8.2048 % 4.4014% 7.7852 %


46


4.2.1.


Pasos del 1 al 4 ver 4.1.1 1. Obtener los Análisis Granulométricos del Sistema 2. Resolver la ecuación lineal A*X=B para obtener los caudales normalizados αi, βj . 3. Hallar βZ 4. Hallar los Errores para cada Intervalo de Tamaños 5. Hallar los Factores de Ponderación para cada Intervalo de Tamaños. W Au

=

W Z u

=

W S 1u

=

1 f A2u · (1 − f Au )2 1 f Z u2 · (1 − f Z u )2 1 f S 12u · (1 − f S 1u )2

Los factores de Ponderación obtenidos son (ver tabla 4.16 en la página 47): 6. Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada Intervalo de Tamaños (Ecuación 3.17). λu = −2 ·

∆M u

1 W Au

+

2

βZ W Z u

+

2

β 1 W S 1u

(4.2)

Los Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños son (ver tabla 4.17 en la página 47): 7. Hallar las Correcciones. ∆f Au = −λu · ∆f Z u = +λu · ∆f S 1u = +λu ·

1 2 · W Au

= −λu ·

1 · f A2u · (1 − f Au )2 2

βZ βZ = + λu · · f Z u2 · (1 − f Z u )2 2 · W Z u 2 β 1 β 1 = +λu · · f S 12u · (1 − f S 1u )2 2 · W S 1u 2

Las correcciones son (ver tabla 4.18 en la página 47): 8. Corregir los Análisis Granulométricos. f Au f Z u f S 1u

= f Au − ∆f Au = f Z u − ∆f Z u = f S 1u − ∆f S 1u

Los Analisis Granulométricos corregidos son (ver tabla 4.19 en la página 56):

47


W S 1u

u

W Au

W Z u

1 2 3 4 5 6 7

∞ 90.98 45.90 29.89 1002003.00 18.98 16.83 2160.12 17.87 16.85 67.37 38.20 22.26 21.55 87.15 33.96 16.04 193.35 ∞

∞

∞

Cuadro 4.16: Factores de Ponderación para cada intervalo de tamaños - Porcentajes Acumulados Pasantes

u

λu

1 2 3 4 5 6 7

-0.1929 0.0234 -0.0079 -0.0644 0.0666 0.0972 Indeterminado

Cuadro 4.17: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños usando Factores de Ponderación - Porcentajes Acumulados Pasantes

u

∆f Au

∆f Z u

∆f S 1u

1 0.0011 0.0000 -0.0014 2 -0.0004 0.0000 0.0004 3 0.0002 -0.0000 -0.0001 4 0.0019 -0.0002 -0.0006 5 -0.0015 0.0005 0.0003 6 -0.0014 0.0010 0.0002 7 0.0000 0.0000 0.0000 Cuadro 4.18: Correcciones usando Factores de Ponderación - Fracciones Acumuladas Pasantes

48



S =

k

  S u =

u=1

k

2

∆f Au +

u=1



k

2

∆f Z u +

u=1



∆f S 12u

u=1

S = 1,3138 · 10

5

−

Calculo de R R=

R = 2 ,0514

β 1 βZ

(205 ,14%)

Pasando los Analisis Corregidos a Porcentajes en Peso obtenemos (ver tabla 4.20 en la página 56): Nota 4.4

En este método se obtiene la suma de las fracciones igual a 1 (100 %).

Calculamos el error S pero con respecto las diferencias de los Porcentajes en Peso. S = 2 ,8310 · 10

5

−

Si comparamos los errores (con respecto a las fracciones en peso) vemos que al corregir los Porcentajes Acumulados Pasantes obtenemos un error ligeramente mayor que al corregir los Porcentajes en Peso 2,8310 · 10 5 respecto a 2,7534 · 10 5 . Nota 4.5

−

−

Código del programa en Matlab para el cálculo: hidrociclon_FP.m %-------------------------------------------------------------------------%-------------------------------------------------------------------------% Correccion de Analisis Granulometricos por Multiplicadores de Lagrange: % Sistema: % Hidrociclon % % hidrociclon_FP.m % % KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio % UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA % FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA, MINERA Y METALURGICA %-------------------------------------------------------------------------%-------------------------------------------------------------------------% Analisis Granulometricos


49

% Paso 1: Obtener los Analisis Granulometricos del Sistema % Analisis Granulometricos % Fracciones en Peso % Alimento al Hidrociclon fA=[11.9 12.2 18.0 15.9 11.5 8.5 22.0]/100.’; % Overflow del Hicrociclon (Salida Principal) fZ=[0 0.1 2.1 12.0 17.2 16.9 51.7]/100.’; % Underflow del Hidrociclon (Salida Secundaria) fS1=[18.0 17.7 25.9 18.1 8.1 4.4 7.8]/100.’;

% Analisis Granulometricos % Fracciones en Peso Acumulados Pasantes % Alimento al Hidrociclon %fA=1-cumsum([11.9 12.2 18.0 15.9 11.5 8.5 22.0]/100.’); % Overflow del Hicrociclon (Salida Principal) %fZ=1-cumsum([0 0.1 2.1 12.0 17.2 16.9 51.7]/100.’); % Underflow del Hidrociclon (Salida Secundaria) %fS1=1-cumsum([18.0 17.7 25.9 18.1 8.1 4.4 7.8]/100.’); % Paso 2: Resolver la ecuacion lineal A*X=B para obtener los caudales % normalizados alpha_i, beta_j A=sum((fS1-fZ).^2) B=sum((fS1-fZ).*(fA-fZ)) X=A\B beta_1=X % Paso 3: Hallar beta Z beta_Z=1-beta_1 % Paso 4: Hallar los Errores para cada Intervalo de Tamaños DM=fA-fZ*beta_Z-fS1*beta_1 % Paso 5: Hallar los Factores de Ponderacion para cada Intervalo de Tamaños WA=1./(fA.*(1-fA)).^2; WZ=1./(fZ.*(1-fZ)).^2;


50

WS1=1./(fS1.*(1-fS1)).^2; % Paso 6: Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada Intervalo de % Tamaños lambda=-2./(1./WA+beta_Z^2./WZ+beta_1^2./WS1).*DM % Paso 7: Hallar las correcciones DfA=-lambda.*(1./(2*WA)) DfZ=lambda.*(beta_Z./(2*WZ)) DfS1=lambda.*(beta_1./(2*WS1)) % Paso 8: Corregir los Analisis Granulometricos fAc = fA - DfA fZc = fZ - DfZ fS1c = fS1 - DfS1 % Paso 9: Hallar el error de la correccion S = sum(DfA.^2)+sum(DfZ.^2)+sum(DfS1.^2) % Calculo de R (En un circuito cerrado directo de Molienda-Clasificacion % seria el Porcentaje de Carga Circulante) R=beta_1/beta_Z % Verificacion de la correccion DMc=fAc-fZc*beta_Z-fS1c*beta_1

51


4.3.

Corrección de Análisis Granulométricos en un Hidrociclón - Función J(R)

A continuación se muestra un método alternativo (ver [3]) para la corrección de Análisis Granulométricos en un Hidrociclón, la cual consiste en minimizar la siguiente función: k

J (R) =



J u (R)

(4.3)

u=1

Donde: k = Número de Intervalos de Tamaño. J u = Es la suma de los cuadrados ajustados para cada Intervalo de tamaños. J u (R) = ( f Au − f Au )2 + (f Z u − f Z u )2 + (f S 1u − f S 1u )2

La ecuación anterior puede expresarse como sigue: [(f Au − f Z u ) + R · (f Au − f S 1u )]2 J u (R) = 2 · (1 + R + R2 )

(4.4)

Tomamos la misma notación que en el ejemplo anterior: Alimento ⇒ fA : Entrada Principal al Nodo Overflow ⇒ fZ : Salida Principal del Nodo Underflow ⇒ fS1 : Salida Secundaria del Nodo

Nota 4.6

Si reemplazamos la Ecuación 4.4 en la Ecuación 4.3 obtendremos: k

J (R) =



u=1

[(f Au − f Z u ) + R · (f Au − f S 1u )]2 2 · (1 + R + R2 )

Expandiendo la ecuación anterior obtendremos: J (R) =

ˆ · R2 + B ˆ · R + C ˆ A 2 · (1 + R + R2 )

(4.5)

donde: k

ˆ = A

  

(f Au − f S 1u )2

u=1

k

ˆ B

= 2·



[(f Au − f Z u ) · (f Au − f S 1u )]

u=1

k

ˆ = C

(f Au − f Z u )2

u=1



Si derivamos la Ecuación 4.5 e igualamos a cero, obtendremos el valor de R que minimizará la función J (R) el cual se hallará por medio de la siguiente relación:

52


∂J (R) ∂R



=

ˆ ) · R2 + 2 · (Aˆ − C ˆ ) · R + (B ˆ − C ˆ) (Aˆ − B 2 · (1 + R + R2 )2

R=RMin

RM in =

ˆ − Aˆ ± C



 

=0 R=RMin

ˆ2 + B ˆ 2 + C ˆ 2 − Aˆ · B ˆ −B ˆ · C ˆ − C ˆ · Aˆ A ˆ−B ˆ A

(4.6)

Nota 4.7 RM in ∈ +

Los valores ajustados que minimizan la funcion J (R) están dados por: Para u = {1, 2, · · · , k − 1} f Au

= f Au − (1 + RM in ) · S u

f Z u

= f Z u + S u

f S 1u

= f S 1u + RM in · S u

Para u = k (Intervalo de tamaños más fino) k−1

f Ak

= 1−

  

f Au

u=1 k−1

f Z k

= 1−

f Z u

u=1 k−1

f S 1k

= 1−

f S 1u

u=1

El valor se S u varía para cada Intervalo de Tamaños y está dado por: S u =

4.3.1.

(f Au − f Z u ) + RM in · (f Au − f S 1u ) 2 2 · (1 + RM in + RM in )

Algoritmo

El método puede resumirse en los siguientes pasos: 1. Obtener los Análisis Granulométricos del Sistema. f Au : Análisis Granulométrico correspondiente al Alimento f Z u : Análisis Granulométrico correspondiente al Overflow (Finos) f S 1u : Análisis Granulométricos correspondientes a Underflow (Gruesos). donde: u = { 1,2, ..., k } k : Número de Intervalo de Tamaños.

53


2. Obtener los Coeficientes Óptimos k

  

ˆ = A

(f Au − f S 1u )2

u=1

k

ˆ B

= 2·



[(f Au − f Z u ) · (f Au − f S 1u )]

u=1

k

ˆ = C

(f Au − f Z u )2

u=1



3. Cálculo de R que minimiza la función J (R) RM in =

ˆ − Aˆ ± C



ˆ2 + B ˆ 2 + C ˆ 2 − Aˆ · B ˆ−B ˆ · C ˆ − C ˆ · Aˆ A ˆ−B ˆ A


4. Cálculo de los valores de S u (f Au − f Z u ) + RM in · (f Au − f S 1u ) 2 · (1 + RM in + R2M in )

S u =

5. Corrección de los Análisis Granulométricos u = {1, 2,...,k − 1} f Au

= f Au − (1 + RM in ) · S u

f Z u

= f Z u + S u = f S 1u + RM in · S u

f S 1u

6. Corrección de los Análisis Granulométricos u = k k−1

f Ak

= 1−

  

f Au

u=1 k−1

f Z k

= 1−

f Z u

u=1 k−1

f S 1k

= 1−

f S 1u

u=1

7. Hallar el error de la corrección 7

S =



7

2

(∆f Au ) +

u=1



7

2

(∆f Z u ) +

u=1



(∆f S 12u )

u=1

54


4.3.2.

Aplicación del Método

1. Obtener los Análisis Granulométricos del Sistema. Con el fin de establecer una comparación con el método de los Multiplicadores de Lagrange utilizaremos los mismos datos que en 4.1. 2. Obtener los Coeficientes Óptimos 7

ˆ = A

  

(f Au − f S 1u )2

u=1

7

ˆ = 2· B



[(f Au − f Z u ) · (f Au − f S 1u )]

u=1

7

ˆ = C

(f Au − f Z u )2

u=1

ˆ = A ˆ B

 

  

(0,119 − 0,180) 2 + (0,122 − 0,177)2 + . . . + (0,220 − 0,078)2 = 0 ,0365

= 2 · [(0,119 − 0,000) · (0,119 − 0,180) + (0 ,122 − 0,001) · (0,122 − 0,177) + . . . +(0,220 − 0,517) · (0,220 − 0,078)] = −0,1498

ˆ = C

(0,119 − 0,000) 2 + (0,122 − 0,001)2 + . . . + (0,220 − 0,517)2 = 0 ,1541


ˆ − Aˆ ± C




RM in1

= 2,0567

RM in2

= −0,7934

RM in = 2 ,0567

(205 ,67%)


Obsérvese que la forma de la curva J (R) tiene un valor máximo y un valor mínimo. En este caso la curva tiende a converger en un valor de 0.018217 cuando R → ±∞. Nota 4.10

55


Variacion de J(R) vs. R 0.2

0.15 ) R ( J

0.1

0.05

0 −10

−8

−6

−4

−2

0 R

2

4

6

8

10

2000

3000

4000

5000

Variacion de J(R) vs. R 0.2

0.15 ) R ( J

0.1

0.05

0 −5000

−4000

−3000

−2000

−1000

0 R

1000

Figura 4.2: Variación de la Función J (R) vs. R 4. Cálculo de los valores de S u S u =

S 1

=

S 2

=

S 7

=

.. .

(f Au − f Z u ) + RM in · (f Au − f S 1u ) 2 · (1 + RM in + R2M in )

(0,119−0,000)+2,0567·(0,119−0,180) 2·(1+2,0567+2,05672 ) (0,122−0,001)+2,0567·(0,122−0,177) 2·(1+2,0567+2,05672 )

= −0,4430 · 10

(0,220−0,517)+2,0567·(0,220−0,078) 2·(1+2,0567+2,05672 )

= −0,3399 · 10

=

0,5410 · 10

.. .

3

−

.. .

Los valores de S u obtenidos son (ver tabla 4.21 en la página 56): 5. Corrección de los Análisis Granulométricos u = {1, 2, ..., 6} f Au

= f Au − (1 + RM in ) · S u

f Z u

= f Z u + S u

f S 1u

3

−


3

−

56


u

1 2 3 4 5 6 7

f Au

f S 1u

f Z u

87.9940 % 100.0000% 82.1413 % 75.9391 % 99.9000 % 64.2586 % 57.8766 % 97.8001 % 38.4148 % 41.8090 % 85.8157 % 20.3566 % 30.6496 % 68.5494 % 12.1743 % 22.1431 % 51.6007% 7.7831 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 %


u

f Au

f Z u

f S 1u

1 2 3 4 5 6 7

12.0060 % 12.0549 % 18.0624 % 16.0676 % 11.1593 % 8.5066% 22.1431 %

0.0000 % 0.1000 % 2.0999 % 11.9844 % 17.2663 % 16.9487% 51.6007 %

17.8587 % 17.8827 % 25.8438 % 18.0581 % 8.1823 % 4.3912% 7.7831 %


u

1 2 3 4 5 6 7

S u

−0,4430 · 10 0,5410 · 10 −0,2386 · 10 −0,4286 · 10 0,8870 · 10 0,0222 · 10 −0,3399 · 10

3

−

3

−

3

−

3

−

3

−

3

−

3

−

Cuadro 4.21: Valores de S u

57


f A1 f Z 1 f S 11

= 0,1190 − (1 + 2 ,0567) · (−0,4430 · 10 3 ) = 0,120354 = 0,0000 + ( −0,4430 · 10 3 ) = −0,000443 3 = 0,1800 + 2 ,0567 · (−0,4430 · 10 ) = 0,179089

f A2 f Z 2 f S 12

= 0,1220 − (1 + 2,0567) · 0,5410 · 10 = 0,0010 + 0 ,5410 · 10 3 = 0,1770 + 2 ,0567 · 0,5410 · 10 3

−

f A6 f Z 6 f S 16

= 0,0850 − (1 + 2,0567) · 0,0222 · 10 = 0,1690 + 0 ,0222 · 10 3 = 0,0440 + 2 ,0567 · 0,0222 · 10 3

−

−

−

−

3

= 0,120346 = 0,001541 = 0,178113

(12 ,0346 %) (0 ,1541 %) (17 ,8113 %)

3

= 0,084932 = 0,169022 = 0,044046

(8 ,4932 %) (16 ,9022 %) (4 ,4046 %)

−

−

−

−

u

1 2 3 4 5 6

f Au

(12 ,0354 %) ( −0,0443 %) (17 ,9089 %)

f S 1u

f Z u

12.0354 % -0.0443 % 12.0346 % 0.1541 % 18.0729 % 2.0761 % 16.0310 % 11.9571 % 11.2289 % 17.2887 % 8.4932% 16.9022%

17.9089 % 17.8113 % 25.8509 % 18.0118 % 8.2824 % 4.4046%

6. Corrección de los Análisis Granulométricos u = 7 k−1

f A7

= 1−

  

f Au

u=1 k−1

f Z 7

= 1−

f Z u

u=1 k−1

f S 17

= 1−

f S 1u

u=1

= 1 − (0,120354 + 0 ,120346 + . . . + 0,084932) = 0 ,221039 = 1 − (−0,000443 + 0 ,001541 + . . . + 0,169022) = 0 ,516660 = 1 − (0,179089 + 0 ,178113 + . . . + 0,044046) = 0 ,077301

f A7 f Z 7 f S 17

Los Análisis Granulométricos Corregidos son (ver tabla 4.22 en la página 60): 7. Hallar el error de la corrección 7

S =

 u=1

7

2

(f Au − f Au )

  +

7

2

(f Z u − f Z u )

u=1

  +

u=1

(f S 1u − f S 1u )2



58


S

=



(0,119000 − 0,120354)2 + (0,122000 − 0,120346)2 + (0,220000 − 0,221039)2

     

     



+ (0,000000 − (−0,000443))2 + (0,001000 − 0,001541)2 + (0,517000 − 0,516660)2 + . . .

 

+ (0,180000 − 0,179089)2 + (0,177000 − 0,178113)2 + (0,078000 − 0,077301)2

S = 2 ,3789 · 10

4.3.3.





5

−


1. Obtener los Análisis Granulométricos del Sistema. Con el fin de establecer una comparación con el método de los Multiplicadores de Lagrange utilizaremos los mismos datos que en 4.1. 2. Obtener los Coeficientes Óptimos 7

ˆ = A

  

(f Au − f S 1u )2

u=1

7

ˆ = 2· B



[(f Au − f Z u ) · (f Au − f S 1u )]

u=1

7

ˆ = C

(f Au − f Z u )2

u=1



ˆ = 0,1559 A ˆ B

= −0,6397 ˆ = 0,6562 C


ˆ − Aˆ ± C




RM in1

= 2,0514

RM in2

= −0,7940

RM in = 2 ,0514 Nota 4.11 RM in ∈ +

(205 ,14%)

59


4. Cálculo de los valores de S u S u =

(f Au − f Z u ) + RM in · (f Au − f S 1u ) 2 · (1 + RM in + R2M in )

Los valores de S u obtenidos son (ver tabla 4.23 en la página 60): 5. Corrección de los Análisis Granulométricos u = {1, 2, ..., 6} f Au

= f Au − (1 + RM in ) · S u

f Z u

= f Z u + S u

f S 1u u

1 2 3 4 5 6


f Au

f S 1u

f Z u

87.9711 % 100.0423 % 82.0867 % 75.9428 % 99.8860 % 64.2712 % 57.8785 % 97.8070 % 38.4144 % 41.8497 % 85.8493 % 20.4011 % 30.6176 % 68.5615 % 12.1209 % 22.1198% 51.6607 % 7.7194 %

6. Corrección de los Análisis Granulométricos u = 7 - Para el caso de las Fracciones Acumuladas Pasantes, en el último intervalo de tamaños corresponde un valor de cero f A7

= 0

f Z 7

= 0

f S 17

= 0

Los Análisis Granulométricos Corregidos son (ver tabla 4.24 en la página 60):: 7. Hallar el error de la corrección 7

S =

 u=1

7

2

(f Au − f Au )

7

  +

2

(f Z u − f Z u )

u=1

S = 1 ,0869 · 10

  +

(f S 1u − f S 1u )2

u=1



5

−

Código del programa en Matlab para el cálculo: hidrociclon_JR.m %-------------------------------------------------------------------------%-------------------------------------------------------------------------% Correccion de Analisis Granulometricos por la Funcion J(R): % Sistema: % Hidrociclon %

60


u

f Au

f Z u

f S 1u

1 2 3 4 5 6 7

12.0354 % 12.0346 % 18.0729 % 16.0310 % 11.2289 % 8.4932% 22.1039 %

-0.0443 % 0.1541 % 2.0761 % 11.9571 % 17.2887 % 16.9022% 51.6660 %

17.9089 % 17.8113 % 25.8509 % 18.0118 % 8.2824 % 4.4046% 7.7301 %


u

1 2 3 4 5 6 7

S u

0,4225 · 10 −0,1404 · 10 0,0704 · 10 0,4926 · 10 −0,3854 · 10 −0,3927 · 10 0,0000 · 10

3

−

3

−

3

−

3

−

3

−

3

−

3

−

Cuadro 4.23: Valores de S u

u

1 2 3 4 5 6 7

f Au

f Z u

f S 1u

87.9711 % 100.0423% 82.0867 % 75.9428 % 99.8860 % 64.2712 % 57.8785 % 97.8070 % 38.4144 % 41.8497 % 85.8493 % 20.4011 % 30.6176 % 68.5615 % 12.1209 % 22.1198 % 51.6607% 7.7194 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 %



61

% hidrociclon_JR.m % % KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio % UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA % FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA, MINERA Y METALURGICA %-------------------------------------------------------------------------%-------------------------------------------------------------------------% Analisis Granulometricos % Analisis Granulometricos % Fracciones en Peso % Alimento al Hidrociclon fA=[11.9 12.2 18.0 15.9 11.5 8.5 22.0]/100.’; % Overflow del Hicrociclon (Salida Principal) fZ=[0 0.1 2.1 12.0 17.2 16.9 51.7]/100.’; % Underflow del Hidrociclon (Salida Secundaria) fS1=[18.0 17.7 25.9 18.1 8.1 4.4 7.8]/100.’;

% Analisis Granulometricos % Fracciones en Peso Acumulados Pasantes % Alimento al Hidrociclon %fA=1-cumsum([11.9 12.2 18.0 15.9 11.5 8.5 22.0]/100.’); % Overflow del Hicrociclon (Salida Principal) %fZ=1-cumsum([0 0.1 2.1 12.0 17.2 16.9 51.7]/100.’); % Underflow del Hidrociclon (Salida Secundaria) %fS1=1-cumsum([18.0 17.7 25.9 18.1 8.1 4.4 7.8]/100.’); % Paso 2: Obtener los Coeficientes Optimos A=sum((fA-fS1).^2); B=2*sum((fA-fZ).*(fA-fS1)); C=sum((fA-fZ).^2); % Paso 3: Calculo de R que minimiza la funcion JR R=(C-A+sqrt(A^2+B^2+C^2-A*B-B*C-C*A))/(A-B) R1=(C-A-sqrt(A^2+B^2+C^2-A*B-B*C-C*A))/(A-B) % Paso 4: Calculo de los valores de Sk


Sk=((fA-fZ)+R*(fA-fS1))/(2*(1+R+R^2)); % Paso 5: Correccion de los Analisis Granulometricos u=1, 2, ..., k-1 k=length(fA); fAc=fA(1:k-1)-(1+R)*Sk(1:k-1); fZc=fZ(1:k-1)+Sk(1:k-1); fS1c=fS1(1:k-1)+R*Sk(1:k-1); % Paso 6: Correccion de los Analisis Granulometricos u=k fAc(k)=1-sum(fAc); fZc(k)=1-sum(fZc); fS1c(k)=1-sum(fS1c); % Fracciones en Peso Acumulados Pasantes %fAc(k)=0; %fZc(k)=0; %fS1c(k)=0; % Paso 7: Hallar el error de la correccion S = sum((fA-fAc).^2)+sum((fZ-fZc).^2)+sum((fS1-fS1c).^2) figure(1) % Funcion J(R) Ri=-10:0.1:10; J=(A*Ri.^2+B*Ri+C)./(2*(1+Ri+Ri.^2)); subplot(2,1,1), plot(Ri,J) xlabel(’R’); ylabel(’J(R)’); title(’Variacion de J(R) vs. R’) % Funcion J(R) Rii=-5*10^3:0.1:5*10^3; Jii=(A*Rii.^2+B*Rii+C)./(2*(1+Rii+Rii.^2)); subplot(2,1,2), plot(Rii,Jii) xlabel(’R’); ylabel(’J(R)’); title(’Variacion de J(R) vs. R’) print -f -deps variajr_exp % crea variajrexp.eps

62

63


4.4.

Corrección de Análisis Granulométricos en un Circuito Inverso de Molienda Clasificación

1. Obtener los Análisis Granulométricos del Sistema En este ejemplo, tomaremos al Hidrociclón como un nodo el cual se tiene dos Entradas (m = 1) (Alimentacion Fresca y Descarga del Molino); y dos Salidas (n = 1 ) (Overflow y Underflow). El esquema adoptado es el siguiente: ) s o n w i o F u l Z f r s f e o , v d Z i l O ó S (

Alimento A, fA u

Descarga del Molino E1, fE1 u

Underflow (Sólidos Gruesos) S1, fS u

Figura 4.3: Esquema del Circuito Inverso de Molienda Clasificación Alimentación Fresca al Circuito Descarga del Molino Overflow del Hidrociclón Underflow del Hidrociclón

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

fA fE1 fZ fS1

: : : :

Entrada Principal al Nodo Entrada Secundaria al Nodo Salida Principal del Nodo Salida Secundaria del Nodo

La alimentación compuesta (Alimentación Fresca & Descarga del Molino) no se tomará como dato para la corrección. Nota 4.12

Se muestra a continuación los Análisis Granulométricos de un Circuito Inverso de Molienda Clasificación 2 (Porcentaje en Peso: ver tabla 4.25 en la página 64; Porcentaje Acumulados Pasantes: ver tabla 4.26 en la página 64): Observamos que se tiene 13 intervalos de tamaño (“1” corresponde al material más grueso y “13” al más fino) es decir k = 13 . 2. Resolver la ecuación lineal A*X=B para obtener los caudales normalizados αi, βj . Como se observa, solo existen una entrada secundaria y una salida secundaria, por lo tanto solo existiran α1, β 1 y βZ , consecuentemente la Matriz A será de orden (2, 2), B de orden (2, 1) y X de orden (2, 1).

A= 2

 

13 u=1 [(f E 1u

− f Z u )2 ] 13 u=1 [(f E 1u − f Z u ) · (f S 1u − f Z u )]

Datos extraídos de [1], página 157.

 

13 u=1 [(f S 1u − f Z u ) · (f E 1u − 13 2 u=1 [(f S 1u − f Z u ) ]

f Z u )]



64


f Au f E 1u f Z u f S 1u Malla Tyler +m8 0.1 % 0.0 % 0.0 % 0.0 % -m8 +m10 0.4 % 0.0 % 0.0 % 0.3 % -m10 +m14 1.0 % 0.0 % 0.0 % 0.2 % -m14 +m20 1.2 % 0.1 % 0.0 % 0.2 % -m20 +m28 1.6 % 0.1 % 0.0 % 0.3 % -m28 +m35 2.2 % 0.2 % 0.0 % 0.6 % -m35 +m48 2.9 % 0.7 % 0.0 % 1.2 % -m48 +m65 4.7 % 1.5 % 0.1 % 2.1 % -m65 +m100 8.1 % 4.9 % 0.3 % 5.7 % -m100 +m150 9.3 % 9.3 % 0.8 % 9.9 % -m150 +m200 12.8% 24.6 % 2.6 % 25.4 % -m200 +m325 14.1 % 32.0 % 13.8 % 33.5 % -m325 41.6 % 26.6 % 82.4 % 20.6 %

Cuadro 4.25: Análisis Granulométricos a Corregir

Malla Tyler 1 -m8 2 -m10 3 -m14 4 -m20 5 -m28 6 -m35 7 -m48 8 -m65 9 -m100 10 -m150 11 -m200 12 -m325 13 u

f Au

f E 1u

f Z u

f S 1u

99.9 % 100.0 % 100.0 % 100.0 % 99.5 % 100.0 % 100.0 % 99.7 % 98.5 % 100.0 % 100.0 % 99.5 % 97.3 % 99.9 % 100.0 % 99.3 % 95.7 % 99.8 % 100.0 % 99.0 % 93.5 % 99.6 % 100.0 % 98.4 % 90.6 % 98.9 % 100.0 % 97.2 % 85.9 % 97.4 % 99.9 % 95.1 % 77.8 % 92.5 % 99.6 % 89.4 % 68.5 % 83.2 % 98.8 % 79.5 % 55.7 % 58.6 % 96.2 % 54.1 % 41.6 % 26.6 % 82.4 % 20.6 % 0.0 % 0.0 % 0.0 % 0.0 %

Cuadro 4.26: Análisis Granulométricos a Corregir (Porcentajes Acumulados Pasantes)

65


A=

B=

 



0,482884 0 ,542089 0,542089 0 ,610345



13 u=1 [(f E 1 − f Z ) · (f A − f Z )] 13 u=1 [(f S 1 − f Z ) · (f A − f Z )]



B=

X =



0,447597 0,514465

    −α1 β 1

X =

1

−

=A



·B

−6,5837 6,6904

α1 = 6,5837 β 1 = 6,6904

Según la Figura 4.3, si consideramos que no existe acumulación de material dentro del molino, el flujo del Alimento al Molino (Undeflow del Hidrociclón S 1) debe de ser igual al flujo de la Descarga del Molino ( f E 1), es decir α1 = β 1. Nota 4.13

3. Hallar βZ βZ = 1 + α1 − β 1 βZ = 0 ,8934

4. Hallar los Errores para cada Intervalo de Tamaños ∆M u = f Au + f E 1u · α1 − f Z u · βZ − f S 1u · β 1

Los Errores para cada intervalo de tamaños son (ver tabla 4.27 en la página 66): 5. Hallar los Factores de Ponderación para cada Intervalo de Tamaños. W Au

=

W E 1u

=

W Z u

=

W S 1u

=

1 2 u · (1 − f Au ) 1 2 f E 1u · (1 − f E 1u )2 1 2 f Z u · (1 − f Z u )2 1 2 f S 1u · (1 − f S 1u )2 f A2

Los factores de Ponderación obtenidos son (ver tabla 4.28 en la página 66):

66


u

∆M u

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-0.0010 0.0151 0.0185 0.0132 0.0107 0.0157 0.0209 0.0165 -0.0030 -0.0388 -0.0638 0.0529 0.0000

Cuadro 4.27: Errores para cada intervalo de tamaños

u

W Au

W E 1u

W Z u

W S 1u

∞ ∞ ∞ 1 1002003.00 ∞ ∞ 111780.79 2 40403.02 ∞ ∞ 3 4580.84 40403.02 ∞ 4 1448.93 1002003.00 20696.91 ∞ 5 590.53 251003.01 10203.04 ∞ 6 270.74 63003.02 4034.32 ∞ 7 137.88 8449.33 1350.05 8 68.17 1559.32 1002003.00 460.52 9 33.52 207.78 63003.02 111.36 10 21.48 51.18 7114.16 37.65 11 16.42 16.99 748.31 16.22 12 16.94 26.23 47.55 37.38 ∞ ∞ ∞ ∞ 13

Cuadro 4.28: Factores de Ponderación para cada intervalo de tamaños

67


6. Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada Intervalo de Tamaños ∆M u

λu = −2 ·

1 W Au

+

2

α1 W E 1u

+

2

βZ W Z u

+

(4.7)

2

β 1 W S 1u

Los Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños son (ver tabla 4.29 en la página 68): 7. Hallar las correcciones 1

1 · f A2u · (1 − f Au )2 2 · W Au 2 α1 α1 = −λu · = −λu · · f E 12u · (1 − f E 1u )2 2 · W E 1u 2

∆f Au = −λu · ∆f E 1u

= −λu ·

βZ βZ = + λu · · f Z u2 · (1 − f Z u )2 2 · W Z u 2

∆f Z u = +λu ·

β 1 β 1 = + λu · · f S 12u · (1 − f S 1u )2 2 · W S 1u 2

∆f S 1u = +λu ·

Las correcciones son (ver tabla 4.30 en la página 68): 8. Corregir los Analisis Granulometricos = f Au − ∆f Au

f Au f E 1u

= f E 1u − ∆f E 1u = f Z u − ∆f Z u

f Z u f S 1u

= f S 1u − ∆f S 1u

Los Analisis Granulométricos corregidos son (Porcentajes Acumulados Pasantes: ver tabla 4.31 en la página 69; Porcentajes en Peso: ver tabla 4.32 en la página 69): 9. Hallar el error de la correccion 13

S =



13

2

(∆f Au ) +

u=1



13

2

(∆f E 1u ) +

u=1

13



2

(∆f Z u ) +

u=1



(∆f S 12u )

u=1

S = 1,7791 · 10

4

−

Código del programa en Matlab para el cálculo: cinverso_mc.m %-------------------------------------------------------------------------%-------------------------------------------------------------------------% Correccion de Analisis Granulometricos por Multiplicadores de Lagrange: % Sistema:

68


u

λu

1 2004.01 2 -70.89 3 -27.83 4 -9.15 5 -3.43 6 -2.03 7 -0.92 8 -0.24 9 0.01 10 0.04 11 0.02 12 -0.04 13 0.00 Cuadro 4.29: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños

u

∆f Au

∆f E 1u

∆f Z u

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-0.0010 0.0009 0.0030 0.0032 0.0029 0.0037 0.0033 0.0017 -0.0001 -0.0009 -0.0007 0.0011 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0021 0.0000 0.0000 -0.0023 0.0000 0.0000 -0.0015 0.0000 0.0000 -0.0011 0.0001 0.0000 -0.0017 0.0004 0.0000 -0.0023 0.0005 -0.0000 -0.0017 -0.0001 0.0000 0.0003 -0.0024 0.0000 0.0033 -0.0046 0.0000 0.0049 0.0045 -0.0003 -0.0032 0.0000 0.0000 0.0000

Cuadro 4.30: Correcciones

∆f S 1u

69


u

f Au

f E 1u

f Z u

f S 1u

1 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 % 2 99.4123 % 100.0000 % 100.0000 % 99.9122 % 3 98.1963 % 100.0000 % 100.0000 % 99.7304 % 4 96.9843 % 99.8970 % 100.0000% 99.4479 % 5 95.4093 % 99.7955 % 100.0000% 99.1126 % 6 93.1251 % 99.5894 % 100.0000% 98.5683 % 7 90.2670 % 98.8642 % 100.0000% 97.4275 % 8 85.7262% 97.3500% 99.9000% 95.2721% 9 77.8141% 92.5150% 99.6000% 89.3716% 10 68.5868% 83.4398% 98.7998% 79.1687% 11 55.7723% 59.0604% 96.1986% 53.6099% 12 41.4932% 26.1460% 82.4340% 20.9238% 13 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % Cuadro 4.31: Análisis Granulométricos Corregidos

f Au f E 1u f Z u Malla Tyler +m8 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % -m8 +m10 0.5877% 0.0000% 0.0000% -m10 +m14 1.2160% 0.0000% 0.0000% -m14 +m20 1.2120% 0.1030% 0.0000% -m20 +m28 1.5750% 0.1015% 0.0000% -m28 +m35 2.2842% 0.2061% 0.0000% -m35 +m48 2.8581% 0.7252% 0.0000% -m48 +m65 4.5407% 1.5142% 0.1000% -m65 +m100 7.9121 % 4.8350 % 0.3000% -m100 +m150 9.2273 % 9.0752 % 0.8002 % -m150 +m200 12.8145 % 24.3794 % 2.6012% -m200 +m325 14.2791 % 32.9144 % 13.7646 % -m325 41.4932 % 26.1460 % 82.4340%

f S 1u

0.0000 % 0.0878% 0.1818% 0.2825% 0.3353% 0.5442% 1.1408% 2.1554% 5.9005% 10.2029 % 25.5589 % 32.6861% 20.9238%



70

% Circuito Inverso de Molienda Clasificacion % % cinverso_mc.m % % KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio % UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA % FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA, MINERA Y METALURGICA %-------------------------------------------------------------------------%-------------------------------------------------------------------------% Nota: Tomar al Hidrociclon como un Nodo. % Analisis Granulometricos % Paso 1: Obtener los Analisis Granulometricos del Sistema % Alimento Fresco (Entrada Principal) %fA=[0.1 0.4 1.0 1.2 1.6 2.2 2.9 4.7 8.1 9.3 12.8 14.1 41.6]/100.’; % Producto de Molienda (Entrada Secundaria) %fE1=[0 0 0 0.1 0.1 0.2 0.7 1.5 4.9 9.3 24.6 32.0 26.6]/100.’; % Overflow del Hicrociclon (Salida Principal) %fZ=[0 0 0 0 0 0 0 0.1 0.3 0.8 2.6 13.8 82.4]/100.’; % Underflow del Hidrociclon (Salida Principal) %fS1=[0 0.3 0.2 0.2 0.3 0.6 1.2 2.1 5.7 9.9 25.4 33.5 20.6]/100.’; % Alimentacion Compuesta (Alimento al Hidrociclon) % Nota: NO SE TOMA EN CUENTA PARA LA CORRECCION. %fA_HC=[0 0 0 0.4 0.3 0.3 0.9 1.7 4.7 8.9 21.6 30.9 30.3]/100.’; %Fracciones Acumuladas Pasantes: % Alimento Fresco (Entrada Principal) fA=1-cumsum([0.1 0.4 1.0 1.2 1.6 2.2 2.9 4.7 8.1 9.3 12.8 14.1 41.6]/100.’); % Producto de Molienda (Entrada Secundaria) fE1=1-cumsum([0 0 0 0.1 0.1 0.2 0.7 1.5 4.9 9.3 24.6 32.0 26.6]/100.’); % Overflow del Hicrociclon (Salida Principal) fZ=1-cumsum([0 0 0 0 0 0 0 0.1 0.3 0.8 2.6 13.8 82.4]/100.’); % Underflow del Hidrociclon (Salida Principal) fS1=1-cumsum([0 0.3 0.2 0.2 0.3 0.6 1.2 2.1 5.7 9.9 25.4 33.5 20.6]/100.’);


71

% Alimentacion Compuesta (Alimento al Hidrociclon) % Nota: NO SE TOMA EN CUENTA PARA LA CORRECCION. fA_HC=1-cumsum([0 0 0 0.4 0.3 0.3 0.9 1.7 4.7 8.9 21.6 30.9 30.3]/100.’);

% Paso 2: Resolver la ecuacion lineal A*X=B para obtener los caudales % normalizados alpha_i, beta_j A=[sum((fE1-fZ).^2) sum((fS1-fZ).*(fE1-fZ)) sum((fE1-fZ).*(fS1-fZ)) sum((fS1-fZ).^2)]; B=[sum((fE1-fZ).*(fA-fZ)) sum((fS1-fZ).*(fA-fZ))]; X=A\B alpha_1=-X(1); beta_1=X(2); % Paso 3: Hallar beta Z beta_Z=1+alpha_1-beta_1 % Paso 4: Hallar los Errores para cada Intervalo de Tamaños DM=fA+fE1*alpha_1-fZ*beta_Z-fS1*beta_1 % Paso 5: Hallar los Factores de Ponderacion para cada Intervalo de Tamaños WA=1./(fA.*(1-fA)).^2; WE1=1./(fE1.*(1-fE1)).^2; WZ=1./(fZ.*(1-fZ)).^2; WS1=1./(fS1.*(1-fS1)).^2; % Paso 6: Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada Intervalo de % Tamaños lambda=-2./(1./WA+alpha_1^2./WE1+beta_Z^2./WZ+beta_1^2./WS1).*DM k=length(lambda); lambda(k)=0; % F(0)=0 % Paso 7: Hallar las correcciones DfA=-lambda.*(1./(2*WA)) DfE1=-lambda.*(alpha_1./(2*WE1)) DfZ=lambda.*(beta_Z./(2*WZ)) DfS1=lambda.*(beta_1./(2*WS1)) % Paso 8: Corregir los Analisis Granulometricos fAc = fA - DfA fE1c = fE1 - DfE1 fZc = fZ - DfZ


fS1c = fS1 - DfS1 % Paso 9: Hallar el error de la correccion S = sum(DfA.^2)+sum(DfE1.^2)+sum(DfZ.^2)+sum(DfS1.^2)

% Calculo del alimento Compuesto fA_HC_calc=(fAc+alpha_1*fE1c)/(1+alpha_1) % Error ErrAC=fA_HC_calc-fA_HC % Verificacion de la correccion DMc=fAc+fE1c*alpha_1-fZc*beta_Z-fS1c*beta_1

72

73


4.5.

Corrección de Análisis Granulométricos en un Circuito Inverso de Molienda Clasificación tomando Dos Nodos

1. Obtener los datos a corregir Para este caso los análisis granulométricos a corregir son:

1

2

Alimento A, fA u

) s o n w i o F u l Z f r s f e o , v d Z i l O ó S (

Alimento Compuesto AC, fAC u

Descarga del Molino E1, fE1 u

Underflow (Sólidos Gruesos) S1, fS u

Figura 4.4: Esquema del Circuito Inverso de Molienda Clasificación (Dos Nodos) En este caso tomaremos dos nodos: Nodo 1 : Punto en donde se unen la Alimentación Fresca al Circuito y la Descarga del Molino (Carga Circulante) Nodo 2 : Hidrociclón Alimentación Fresca al Circuito ⇒ fA : Entrada Principal al Nodo 1 Descarga del Molino ⇒ fE1 : Entrada Secundaria al Nodo 1 Alimentación Compuesta ⇒ fAC : Salida Principal del Nodo 1 y/o Entrada Principal al Nodo 2 Overflow del Hidrociclón ⇒ fZ : Salida Principal del Nodo 2 Underflow del Hidrociclón ⇒ fS1 : Salida Secundaria del Nodo 2 2. Establecer las ecuaciones de Balance de Masa. (Ecuaciones de Flujo, Análisis Granulométricos, Leyes, etc.)

A + E 1 = AC AC = Z + S 1 f Au · A + f E 1u · E 1 = f AC u · AC f AC u · AC = f Z u · Z + f S 1u · S 1

(4.8) (4.9) (4.10) (4.11)

3. Normalizar las ecuaciones dividiendo por un flujo “A” (ej: Alimentación Fresca a un Circuito).

74


E 1 A AC A Z A S 1 A

= α1 = φ = βZ = β 1

1 + α1 = φ φ = βZ + β 1 f Au + f E 1u · α1 = f AC u · φ f AC u · φ = f Z u · βZ + f S 1u · β 1

(4.12) (4.13) (4.14) (4.15)

4. Establecer las ecuaciones de error debido a los Flujos Normalizados ( ∆Q) Nota 4.14


Por la Figura 4.4 y asumiendo que no existe acumulación de material en el molino tomamos al flujo de ingreso del molino igual al flujo de salida del molino. α1 = β 1

Por lo tanto de las ecuaciones 4.12 y 4.13 βZ = 1

Se sabe también que el flujo φ es linealmente dependiente de α1 por lo tanto, las ecuaciones para cada nodo resultan: Nodo 1: ∆Q1u = f Au + f E 1u · α1 − f AC u · (1 + α1) ∆Q1u = (f Au − f AC u ) + ( f E 1u − f AC u ) · α1

Nodo 2: ∆Q2u = f AC u · (1 + α1) − (f Z u + f S 1u · α1) ∆Q2u = (f AC u − f Z u ) + ( f AC u − f S 1u ) · α1

Como se puede apreciar, las dos ecuaciones de error están en función de sólo una variable independiente ( α1). Nota 4.15

75




5. Definir una función  la cual representa la suma de los errores al cuadrado ( =



∆Q2

k

=



∆Q12u + ∆Q22u

u=1

∆Q2 )



k

 =

 

[(f Au − f AC u ) + ( f E 1u − f AC u ) · α1]2 +

u=1 k

[(f AC u − f Z u ) + ( f AC u − f S 1u ) · α1]2

u=1

6. Derivar parcialmente la función  por cada flujo Normalizado (Linealmente independientes) e igualar a cero. En este paso se obtendrá una ecuación cuya solución dará los Flujos Normalizados Corregidos que hacen que la función  tome un valor mínimo. Nota 4.16

∂ ∂α 1



k

= 2· α1=α1

 

{[(f Au − f AC u ) + ( f E 1u − f AC u ) · α1] · (f E 1u − f AC u )} +

u=1 k

2·

{[(f AC u − f Z u ) + ( f AC u − f S 1u ) · α1] · (f AC u − f S 1u )} = 0

u=1

Reordenando obtenemos:

α1 = −



k u=1 [(f Au

− f AC u ) · (f E 1u − f AC u ) + ( f AC u − f Z u ) · (f AC u − f S 1u )]



k u=1 [(f E 1u

− f AC u )2 + (f AC u − f S 1u )2 ]

7. Calcular los errores ∆M debido a los Flujos Normalizados Corregidos. Reemplazar los Flujos Normalizados corregidos hallados en el paso 6 y reemplazarlos en las ecuaciones establecidas en el paso 4.



∆M 2 = min() = min



∆Q2

∆M 1u = (f Au − f AC u ) + ( f E 1u − f AC u ) · α1 ∆M 2u = (f AC u − f Z u ) + ( f AC u − f S 1u ) · α1

76


Los errores también pueden expresarse como:

∆M 1u = f Au + f E 1u · α1 − f AC u · φ ∆M 2u = f AC u · φ − f Z u · βZ − f S 1u · β 1

8. Definir las correc correcciones. ciones. Correcciones = Datos - Datos Corregidos ∆f Au ∆f Ei u ∆f AC u ∆f Z u ∆f Sj u

= = = = =

f Au − f Au f Ei u − f Ei u f AC u − f AC u f Z u − f Z u f Sj u − f Sj u

;

i = {1, 2,...,m }

;

j = {1, 2,...,n}

9. Reemplazar las ecuaciones del paso 8 en ∆M (Ecuaciones dadas en el paso 7) para obtener las ecuaciones de ∆M en función de las correcciones.

∆M 1u = (∆f Au − ∆f AC u ) + (∆f E 1u − ∆f AC u ) · α1 ∆M 2u = (∆f AC u − ∆f Z u ) + (∆f AC u − ∆f S 1u ) · α1 Nota 4.17

Reordenando las Ecuaciones 4.14 y 4.15 obtenemos: 0 = (f Au − f AC u ) + ( f E 1u − f AC u ) · α1 0 = (f AC u − f Z u ) + ( f AC u − f S 1u ) · α1

Los errores también pueden expresarse como:

∆M 1u = ∆f Au + ∆f E 1u · α1 − ∆f AC u · φ ∆M 2u = ∆f AC u · φ − ∆f Z u · βZ − ∆f S 1u · β 1

10. Definir la Función Lagrangiana L(χ, λ) (Función Objetivo y Ecuaciones Restrictivas). L(χ, λ) = f (χ) −



[λi · gi (χ)]

La función función objetivo objetivo f (χ) será la suma de los cuadrados de todas las correcciones. Las ecuaciones restrictivas g (χ) deben de cumplir g(χ) = 0 y estarán dadas por las ecuaciones de ∆M definidas en 9 λ : son los Multiplicadores de Lagrange

77


χ

: son las Correcciones.

La función objetivo a minimizar es: 2

  

2

2

2

 

2

f fu (χ) = ∆ f Au + ∆f E 1u + ∆f AC u + ∆f Z u + ∆f S 1u

Donde:

∆f Au f Au · (1 − f Au ) ∆f E 1u ∆f E 1u = f E 1u · (1 − f E 1u ) ∆f AC u ∆f AC u = f AC u · (1 − f AC u )

 

∆f Au =



; ;



∆f Z u f Z u · (1 − f Z u ) ∆f S 1u ∆f S 1u = f S 1u · (1 − f S 1u )

 

∆f Z u =

La ecuación anterior puede tomar la siguiente forma:



f f u (χ) = W Au ·∆f Au2 +W E 1u ·∆f E 1u2 +W AC u ·∆f AC u2 +W Z u ·∆f Z u2 +W S 1u ·∆f S 1u2

Donde: 1 f Au2 · (1 − f Au )2 1 W E 1u = f E 1u2 · (1 − f E 1u )2 1 W AC u = f AC u2 · (1 − f AC u )2 W Au =

; ;

1 f Z u2 · (1 − f Z u )2 1 W S 1u = f S 1u2 · (1 − f S 1u )2 W Z u =





g1 (χ) = ∆M 1u − (∆f Au − ∆f AC u ) + (∆f E 1u − ∆f AC u ) · α1 g2 (χ) = ∆M 2u − (∆f AC u − ∆f Z u ) + (∆f AC u − ∆f S 1u ) · α1

Las ecuaciones restrictivas pueden expresarse también como:



g1 (χ) = ∆M 1u − ∆f Au + ∆f E 1u · α1 − ∆f AC u · φ



g2 (χ) = ∆M 2u − ∆f AC u · φ − ∆f Z u · βZ − ∆f S 1u · β 1

11. Derivar parcialmente la función Lagrangiana ( L(χ, λ)) por los Multiplicadores de Lagrange y las Correcciones e igualar a cero. ∂L (χ, λ) ∂λ 1u ∂L (χ, λ) ∂λ 2u

 

 

= ∆M 1u − (∆f Au − ∆f AC u ) + (∆f E 1u − ∆f AC u ) · α1 = 0 = ∆M 2u − (∆f AC u − ∆f Z u ) + (∆f AC u − ∆f S 1u ) · α1 = 0

78


∂L (χ, λ) ∂ ∆f Au ∂L (χ, λ) ∂ ∆f E 1u ∂L (χ, λ) ∂ ∆f AC u ∂L (χ, λ) ∂ ∆f Z u ∂L (χ, λ) ∂ ∆f S 1u

= 2 · W Au · ∆f Au + λ1u = 0 = 2 · W E 1u · ∆f E 1u + λ1u · α1 = 0 = 2 · W AC u · ∆f AC u − λ1u · (1 + α1) + λ2u · (1 + α1) = 0 = 2 · W Z u · ∆f Z u − λ2u = 0 = 2 · W S 1u · ∆f S 1u − λ2u · α1 = 0

1

∆f Au = −λ1u · ∆f E 1u = ∆f AC u = ∆f Z u = ∆f S 1u =

2 · W Au α1 λ1u · 2 · W E 1u φ (1 + α1) (λ1u − λ2u ) · = (λ1u − λ2u ) · 2 · W AC u 2 · W AC u βZ 1 λ2u · = λ2u · 2 · W Z u 2 · W Z u α1 β 1 λ2u · = λ2u · 2 · W S 1u 2 · W S 1u

12. De las relaciones del paso anterior obtener una ecuacion que que permita hallar los Multiplicadores de Lagrange en función de los errores ∆M



2

1



2

2 · ∆M 1u

φ α1 = −λ1u · + + W Au W AC u W E 1u

2 · ∆M 2u

φ βZ φ β 1 = +λ1u · + + − λ2u · W AC u W Z u W AC u W S 1u



2



2

1 W Au

2

2

1 + W φAC u + WαE 1u 2 φ − W AC u

2

− W φAC u 2 2 2 βZ φ β 1 + W AC u + W S 1u W Z u

2

φ + λ2u · W AC u 2

2

    ·

λ1u λ2u

= −2 ·



∆M 1u ∆M 2u



13. Reemplazar los Multiplicadores de Lagrange en las relaciones determinadas en el paso 11 para obtener las correcciones. 14. Corregir los Análisis por las siguientes relaciones: (ver Paso 8) Datos Corregidos = Datos - Correcciones

79


4.5.1.

Algoritmo

1. Obtener los datos a corregir Se deberá de tener los Análisis Granulométricos de los siguientes flujos: Alimentación Fresca al Circuito ⇒ fA : Entrada Principal al Nodo 1 Descarga del Molino ⇒ fE1 : Entrada Secundaria al Nodo 1 Alimentación Compuesta ⇒ fAC : Salida Principal del Nodo 1 y/o Entrada Principal al Nodo 2 Overflow del Hidrociclón ⇒ fZ : Salida Principal del Nodo 2 Underflow del Hidrociclón ⇒ fS1 : Salida Secundaria del Nodo 2 Nodo 1 : Punto en donde se unen la Alimentación Fresca al Circuito y la Descarga del Molino (Carga Circulante) Nodo 2 : Hidrociclón 2. Obtener el Flujo Normalizado α1

α1 = −



k u=1 [(f Au




k u=1 [(f E 1u

− f AC u )2 + (f AC u − f S 1u )2 ]

β 1 = α1 βZ = 1 φ = 1 + α1

3. Calcular los errores ∆M 1u y ∆M 2u debido a α1 para cada Intervalo de Tamaños ∆M 1u = f Au + f E 1u · α1 − f AC u · φ ∆M 2u = f AC u · φ − f Z u · βZ − f S 1u · β 1

4. Hallar los Factores de Ponderación para cada Intervalo de Tamaños. 1 2 u · (1 − f Au ) 1 W E 1u = 2 f E 1u · (1 − f E 1u )2 1 W AC u = 2 f AC u · (1 − f AC u )2 W Au =

;

f A2

;

1 2 u · (1 − f Z u ) 1 W S 1u = 2 f S 1u · (1 − f S 1u )2 W Z u =

f Z 2

5. Calcular los Multiplicadores de Lagrange λ1u y λ2u para cada Intervalo de Tamaños



1 W Au

2

2 1 + W φAC u + WαE 1u 2 φ − W AC u

2

− W φAC u 2 2 2 βZ φ β 1 + + W Z u W AC u W S 1u

    ·

λ1u λ2u

= −2 ·

∆M 1u ∆M 2u



80


6. Reemplazar los Multiplicadores de Lagrange en las relaciones determinadas en el paso 11 para obtener las correcciones.

∆f Au = −λ1u · ∆f E 1u

1

2 · W Au α1 = λ1u · 2 · W E 1u

∆f AC u = (λ1u − λ2u ) ·

φ 2 · W AC u

∆f Z u = λ2u ·

βZ 2 · W Z u

∆f S 1u = λ2u ·

β 1 2 · W S 1u

7. Corregir los Análisis por las siguientes relaciones: (ver Paso 8) Datos Corregidos = Datos - Correcciones

f Au f E 1u

= f E 1u − ∆f E 1u

f AC u

= f AC u − ∆f AC u

f Z u f S 1u

4.5.2.

= f Au − ∆f Au

= f Z u − ∆f Z u = f S 1u − ∆f S 1u

Aplicación del Algoritmo

1. Obtener los datos a corregir Se deberá de tener los Análisis Granulométricos de los siguientes flujos: Alimentación Fresca al Circuito ⇒ fA : Entrada Principal al Nodo 1 Descarga del Molino ⇒ fE1 : Entrada Secundaria al Nodo 1 Alimentación Compuesta ⇒ fAC : Salida Principal del Nodo 1 y/o Entrada Principal al Nodo 2 Overflow del Hidrociclón ⇒ fZ : Salida Principal del Nodo 2 Underflow del Hidrociclón ⇒ fS1 : Salida Secundaria del Nodo 2 Nodo 1 : Punto en donde se unen la Alimentación Fresca al Circuito y la Descarga del Molino (Carga Circulante) Nodo 2 : Hidrociclón Los Análisis Granulometricos a usar son los mismos que en la Sección 4.4 pero utilizando los Análisis Granulométricos de la Alimentación Compuesta 3 (ver tabla 4.33 en la página 81):

81


f Au f E 1u f AC u f Z u f S 1u Malla Tyler +m8 0.1 % 0.0 % 0.0 % 0.0 % 0.0 % -m8 +m10 0.4 % 0.0 % 0.0 % 0.0 % 0.3 % -m10 +m14 1.0 % 0.0 % 0.0 % 0.0 % 0.2 % -m14 +m20 1.2 % 0.1 % 0.4 % 0.0 % 0.2 % -m20 +m28 1.6 % 0.1 % 0.3 % 0.0 % 0.3 % -m28 +m35 2.2 % 0.2 % 0.3 % 0.0 % 0.6 % -m35 +m48 2.9 % 0.7 % 0.9 % 0.0 % 1.2 % -m48 +m65 4.7 % 1.5 % 1.7 % 0.1 % 2.1 % -m65 +m100 8.1 % 4.9 % 4.7 % 0.3 % 5.7 % -m100 +m150 9.3 % 9.3 % 8.9 % 0.8 % 9.9 % -m150 +m200 12.8 % 24.6 % 21.6 % 2.6% 25.4% -m200 +m325 14.1 % 32.0 % 30.9 % 13.8 % 33.5 % -m325 41.6 % 26.6 % 30.3 % 82.4 % 20.6 %


u

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Malla Tyler -m8 -m10 -m14 -m20 -m28 -m35 -m48 -m65 -m100 -m150 -m200 -m325 0

f Au

f E 1u

f AC u

f Z u

f S 1u

99.9 % 100.0 % 100.0 % 100.0 % 100.0 % 99.5 % 100.0 % 100.0 % 100.0 % 99.7 % 98.5 % 100.0 % 100.0 % 100.0 % 99.5 % 97.3 % 99.9 % 99.6 % 100.0 % 99.3 % 95.7 % 99.8 % 99.3 % 100.0 % 99.0 % 93.5 % 99.6 % 99.0 % 100.0 % 98.4 % 90.6 % 98.9 % 98.1 % 100.0 % 97.2 % 85.9 % 97.4 % 96.4 % 99.9 % 95.1 % 77.8 % 92.5 % 91.7 % 99.6 % 89.4 % 68.5 % 83.2 % 82.8 % 98.8 % 79.5 % 55.7 % 58.6 % 61.2 % 96.2 % 54.1 % 41.6 % 26.6 % 30.3 % 82.4 % 20.6 % 0.0 % 0.0 % 0.0 % 0.0 % 0.0 %


82


Como se vió en la sección 4.2, se deberá de corregir con las Fracciones Acumuladas (ver tabla 4.34 en la página 81) 2. Obtener el Flujo Normalizado α1

α1 = −



k u=1 [(f Au




k u=1 [(f E 1u

− f AC u )2 + (f AC u − f S 1u )2 ]

α1 = 4 ,7891

β 1 = α1 = 4,7891 βZ = 1 φ = 1 + α1 = 5 ,7891

3. Calcular los errores ∆M 1u y ∆M 2u debido a α1 para cada Intervalo de Tamaños

∆M 1u = f Au + f E 1u · α1 − f AC u · φ ∆M 2u = f AC u · φ − f Z u · βZ − f S 1u · β 1

Por ejemplo, para el primer intervalo de tamaños:

∆M 11 = 0,9990 + 1 ,0000 · 4,7891 − 1,0000 · 5,7891 = −0,0010 ∆M 21 = 1,0000 · 5,7891 − 1,0000 · 1 − 1,0000 · 4,7891 = 0 ,0000

Los errores obtenidos son (ver tabla 4.35 en la página 83): 4. Hallar los Factores de Ponderación para cada Intervalo de Tamaños. 1 f A2u · (1 − f Au )2 1 W E 1u = f E 12u · (1 − f E 1u )2 1 W AC u = f AC u2 · (1 − f AC u )2 W Au =

; ;

1 f Z u2 · (1 − f Z u )2 1 W S 1u = f S 12u · (1 − f S 1u )2 W Z u =

Los Factores de Ponderación obtenidos son (ver tabla 4.36 en la página 83): 3

Datos extraídos de [1], página 157.

83


u

∆M 1u

∆M 2u

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-0.0010 0.0000 -0.0050 0.0144 -0.0150 0.0239 -0.0086 0.0104 -0.0121 0.0074 -0.0263 0.0187 -0.0367 0.0241 -0.0571 0.0273 -0.1007 0.0311 -0.1238 -0.0020 -0.1795 -0.0100 -0.0642 -0.0565 0.0000 0.0000

Cuadro 4.35: Errores para cada intervalo de tamaños

u

W Au

W E 1u

W AC u

W Z u

W S 1u

∞ ∞ ∞ ∞ 1 1002003.00 ∞ ∞ ∞ 111780.79 2 40403.02 ∞ ∞ ∞ 3 4580.84 40403.02 ∞ 4 1448.93 1002003.00 63003.02 20696.91 ∞ 5 590.53 251003.01 20696.91 10203.04 ∞ 6 270.74 63003.02 10203.04 4034.32 ∞ 7 137.88 8449.33 2878.42 1350.05 8 68.17 1559.32 830.31 1002003.00 460.52 9 33.52 207.78 172.63 63003.02 111.36 10 21.48 51.18 49.30 7114.16 37.65 11 16.42 16.99 17.74 748.31 16.22 12 16.94 26.23 22.42 47.55 37.38 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 13

Cuadro 4.36: Factores de Ponderación

84


5. Calcular los Multiplicadores de Lagrange λ1u y λ2u para cada Intervalo de Tamaños



1 W Au

2

   

2

2 1 + W φAC u + WαE 1u 2 φ − W AC u

− W φAC u 2 2 2 βZ φ β 1 + + W Z u W AC u W S 1u

·

Para el primer intervalo de tamaños obtenemos:



1 1002003,00

+

5,78912

−

5,78912

12

∞

∞

∞

+

4,78912

−

∞

+

5,78912 ∞

5,78912

+

∞

λ1u λ2u

4,78912 ∞

= −2 ·

∆M 1u ∆M 2u



   ·

λ1u λ2u

−0,0010 = −2· 0,0000

Resolviendo obtenemos: λ11

= 2004,01

λ21

= 0,00

Los Multiplicadores de Lagrange obtenidos son (ver tabla 4.37 en la página 85): 6. Reemplazar los Multiplicadores de Lagrange en las relaciones determinadas en el paso 11 para obtener las correcciones. ∆f Au = −λ1u · ∆f E 1u = −λ1u ·

1 2 α1

2

∆f AC u = (λ1u − λ2u ) · ∆f Z u = λ2u · ∆f S 1u = λ2u ·

1 2

(1 + α1) 2

α1

2

Las correcciones obtenidas son (ver tabla 4.38 en la página 85): 7. Corregir los Analisis Granulometricos f Au

= f Au − ∆f Au

f E 1u

= f E 1u − ∆f E 1u

f AC u

= f AC u − ∆f AC u

f Z u f S 1u

= f Z u − ∆f Z u = f S 1u − ∆f S 1u

Los Análisis Granulométricos Corregidos son (ver tabla 4.39 en la página 87):



85


u

λ1u

λ2u

1 2004.01 0.00 2 404.03 -140.04 3 137.43 -84.36 4 9.83 -9.45 5 6.58 -1.05 6 6.32 -1.86 7 3.19 -0.39 8 1.74 0.17 9 0.71 0.19 10 0.31 0.16 11 0.17 0.10 12 0.15 0.16 13 0.00 0.00 Cuadro 4.37: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños

u

∆f Au

∆f E 1u

∆f AC u

∆f Z u

∆f S 1u

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-0.0010 -0.0050 -0.0150 -0.0034 -0.0056 -0.0117 -0.0116 -0.0127 -0.0106 -0.0071 -0.0051 -0.0044 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0002 -0.0009 -0.0027 -0.0082 -0.0143 -0.0235 -0.0137 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0009 0.0011 0.0023 0.0036 0.0055 0.0088 0.0083 0.0107 -0.0011 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0017 0.0000

0.0000 -0.0030 -0.0050 -0.0011 -0.0002 -0.0011 -0.0007 0.0009 0.0041 0.0105 0.0150 0.0102 0.0000

Cuadro 4.38: Correcciones

86


8. Hallar el error de la corrección 13

S =



13

2

(∆f Au ) +

u=1



13

2

(∆f E 1u ) +

u=1



13

2

(∆f AC u ) +

u=1



13

2

(∆f Z u ) +

u=1



(∆f S 12u )

u=1

S = 0,00276315151037

Los análisis granulométricos corregidos expresados en Porcentajes en peso son (ver tabla 4.40 en la página 87): El error de la corrección usando las fracciones en peso resulta:

S = 0,00117523516467

Código del programa en Matlab para el cálculo: cinverso_mc_total.m %-------------------------------------------------------------------------%-------------------------------------------------------------------------% Correccion de Analisis Granulometricos por Multiplicadores de Lagrange: % Sistema: % Circuito Inverso de Molienda Clasificacion % % cinverso_mc_total % % KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio % UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA % FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA, MINERA Y METALURGICA %-------------------------------------------------------------------------%-------------------------------------------------------------------------% Nota: Tomar al Hidrociclon como un Nodo. % Analisis Granulometricos % Paso 1: Obtener los Analisis Granulometricos del Sistema % Alimento Fresco (Entrada Principal) %fA=[0.1 0.4 1.0 1.2 1.6 2.2 2.9 4.7 8.1 9.3 12.8 14.1 41.6]/100.’; % Producto de Molienda (Entrada Secundaria) %fE1=[0 0 0 0.1 0.1 0.2 0.7 1.5 4.9 9.3 24.6 32.0 26.6]/100.’; % Alimentacion Compuesta (Alimento al Hidrociclon) %fAC=[0 0 0 0.4 0.3 0.3 0.9 1.7 4.7 8.9 21.6 30.9 30.3]/100.’;

87


u

f Au

f E 1u

f AC u

f Z u

f S 1u

1 100.0000% 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 % 2 100.0000% 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 % 3 100.0000% 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 % 4 97.6392% 99.9023 % 99.5114 % 100.0000 % 99.4094 % 5 96.2572% 99.8063 % 99.1932 % 100.0000 % 99.0248 % 6 94.6674% 99.6240 % 98.7678 % 100.0000 % 98.5105 % 7 91.7555% 98.9903 % 97.7406 % 100.0000 % 97.2688 % 8 87.1749% 97.6669% 95.8545% 99.9000% 95.0098% 9 78.8629% 93.3213% 90.8238% 99.5998% 88.9913% 10 69.2126% 84.6320% 81.9684% 98.7988% 78.4541% 11 56.2080% 60.9516% 60.1322% 96.1932% 52.6023% 12 42.0445% 27.9747% 30.4051% 82.2331% 19.5830% 13 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % Cuadro 4.39: Análisis Granulométricos Corregidos

f Au f E 1u f AC u f Z u Malla Tyler +m8 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % -m8 +m10 0.0000% 0.0000% 0.0000% 0.0000% -m10 +m14 0.0000% 0.0000% 0.0000% 0.0000% -m14 +m20 2.3608% 0.0977% 0.4886% 0.0000% -m20 +m28 1.3820% 0.0961% 0.3182% 0.0000% -m28 +m35 1.5898% 0.1823% 0.4254% 0.0000% -m35 +m48 2.9119% 0.6337% 1.0273% 0.0000% -m48 +m65 4.5806% 1.3234% 1.8860% 0.1000% -m65 +m100 8.3120 % 4.3456 % 5.0308 % 0.3001% -m100 +m150 9.6504 % 8.6893 % 8.8553 % 0.8010 % -m150 +m200 13.0046 % 23.6804 % 21.8363 % 2.6056 % -m200 +m325 14.1635 % 32.9769 % 29.7271 % 13.9602 % -m325 42.0445 % 27.9747 % 30.4051 % 82.2331 %

f S 1u

0.0000 % 0.0000% 0.0000% 0.5906% 0.3846% 0.5142% 1.2418% 2.2590% 6.0186 % 10.5372 % 25.8518 % 33.0193% 19.5830 %

Cuadro 4.40: Análisis Granulométricos Corregidos - Porcentaje en Peso


88

% Overflow del Hicrociclon (Salida Principal) %fZ=[0 0 0 0 0 0 0 0.1 0.3 0.8 2.6 13.8 82.4]/100.’; % Underflow del Hidrociclon (Salida Principal) %fS1=[0 0.3 0.2 0.2 0.3 0.6 1.2 2.1 5.7 9.9 25.4 33.5 20.6]/100.’;

%Fracciones Acumuladas Pasantes: % Alimento Fresco (Entrada Principal) fA=1-cumsum([0.1 0.4 1.0 1.2 1.6 2.2 2.9 4.7 8.1 9.3 12.8 14.1 41.6]/100.’); % Producto de Molienda (Entrada Secundaria) fE1=1-cumsum([0 0 0 0.1 0.1 0.2 0.7 1.5 4.9 9.3 24.6 32.0 26.6]/100.’); % Alimentacion Compuesta (Alimento al Hidrociclon) fAC=1-cumsum([0 0 0 0.4 0.3 0.3 0.9 1.7 4.7 8.9 21.6 30.9 30.3]/100.’); % Overflow del Hicrociclon (Salida Principal) fZ=1-cumsum([0 0 0 0 0 0 0 0.1 0.3 0.8 2.6 13.8 82.4]/100.’); % Underflow del Hidrociclon (Salida Principal) fS1=1-cumsum([0 0.3 0.2 0.2 0.3 0.6 1.2 2.1 5.7 9.9 25.4 33.5 20.6]/100.’); k=length(fA); % Paso 2: Obtener el Flujo Normalizado alpha_1 alpha_1=-sum((fA-fAC).*(fE1-fAC)+(fAC-fZ).*(fAC-fS1))/... (sum((fE1-fAC).^2+(fAC-fS1).^2)); beta_1=alpha_1; beta_Z=1; phi=1+alpha_1 % Paso 3: Calculo de los errores DM1 y DM2 %DM1=(fA-fAC)+(fE1-fAC)*alpha_1; DM1=fA+fE1*alpha_1-fAC*phi; %DM2=(fAC-fZ)+(fAC-fS1)*alpha_1; DM2=fAC*phi-fZ*beta_Z-fS1*beta_1; % Paso 4: Hallar los Factores de Ponderacion para cada Intervalo de Tamaños WA=1./(fA.*(1-fA)).^2; WE1=1./(fE1.*(1-fE1)).^2;


89

WAC=1./(fAC.*(1-fAC)).^2; WZ=1./(fZ.*(1-fZ)).^2; WS1=1./(fS1.*(1-fS1)).^2; % Paso 4: Calcular los Multiplicadores de Lagrange %a11=1./WA+(1+alpha_1)^2./WAC+alpha_1^2./WE1 a11=1./WA+phi^2./WAC+alpha_1^2./WE1 %a12=-(1+alpha_1)^2./WAC a12=-phi^2./WAC a21=a12; a22=beta_Z^2./WZ+phi^2./WAC+beta_1^2./WS1 for u=1:k A=[a11(u) a12(u) a21(u) a22(u)]; B=-2*[DM1(u) DM2(u)]; X=A\B; lambda1(u)=X(1); lambda2(u)=X(2); end lambda2(1)=0; lambda1(k)=0; lambda2(k)=0; % El error DM2 en el primer intervalo es 0, al igual que los errores (DM1 y % DM2) en el intervalo mas fino, por lo tanto no necesitan de correccion. % Paso 5: Hallar las Correcciones DfA=-lambda1.*(1./(2*WA)) DfE1=-lambda1.*(alpha_1./(2*WE1)) %DfAC=(lambda1-lambda2).*((1+alpha_1)./(2*WAC)) DfAC=(lambda1-lambda2).*(phi./(2*WAC)) %DfZ=lambda2.*(1./(2*WZ)) DfZ=lambda2.*(beta_Z./(2*WZ)) %DfS1=lambda2.*(alpha_1./(2*WS1)) DfS1=lambda2.*(beta_1./(2*WS1)) % Paso 6: Corregir los Analisis Granulometricos fAc = fA - DfA fE1c = fE1 - DfE1 fACc = fAC - DfAC fZc = fZ - DfZ fS1c = fS1 - DfS1


% Paso 8: Hallar el error de la correccion S = sum(DfA.^2)+sum(DfE1.^2)+sum(DfAC.^2)+sum(DfZ.^2)+sum(DfS1.^2) % Verificacion de la correccion %DM1=(fA-fAC)+(fE1-fAC)*alpha_1; DM1c=fAc+fE1c*alpha_1-fACc*phi %DM2=(fAC-fZ)+(fAC-fS1)*alpha_1; DM2c=fACc*phi-fZc*beta_Z-fS1c*beta_1

90

91


4.6.

Corrección de Análisis Químicos en un Circuito de Flotación Plomo-Cobre-Zinc

(En Desarrollo) El diagrama de flujo propuesto es: o ) t n A e L m i l A A (

Relave Pb - Cu (F2 - L2)

Flotación Pb - Cu

o d ) a r u 1 t C L n - e c b 1 n P F o ( C

Relave Circuito (F6 - L6) Flotación Zn

o d ) a 5 r t L n n e Z c 5 n ( F o C

Concentrado Pb (F4 - L4)

Flotacion Cu

o d ) a 3 r t L n u e C c 3 n F o ( C

Figura 4.5: Diagrama de Flujo del Circuito de Flotación Pb-Cu-Zn Se observa que el flujo “A” es alimentado al banco de celdas de Flotación Pb-Cu (Nodo 1), de las cuales se obtiene un concentrado de Pb-Cu (Flujo F 1 con ley L1 ) y un relave (Flujo F 2 con ley L2 ). El Flujo F1 posteriormente alimenta a un banco de Celdas en donde se obtiene un Concentrado de Cobre (Flujo F 3 con ley L3 ) y un Concentrado de Plomo (Flujo F 4 con ley L4 ). El Flujo F2 alimenta a un banco de Celdas en donde se obtiene un concentrado de Zinc (Flujo F 5 con ley L5 ) y el Relave del Circuito (Flujo F 6 con ley L6 )


4.6.1.

92

Desarrollo del Algoritmo

Ecuaciones de Balance de Masa

Ecuaciones de Flujo A = F 1 + F 2 F 1

= F 3 + F 4

F 2

= F 5 + F 6

A = F 3 + F 4 + F 5 + F 6

(4.16) (4.17) (4.18) (4.19)

Ecuaciones de Leyes LA A = L1 F 1 + L2 F 2 L1 F 1 L2 F 2

= L3 F 3 + L4 F 4 = L5 F 5 + L6 F 6

LA A = L3 F 3 + L4 F 4 + L5 F 5 + L6 F 6

(4.20) (4.21) (4.22) (4.23)

Ecuaciones Normalizadas

Para normalizar las ecuaciones 4.16 al 4.23 se dividirán entre el flujo A obteniendose: 1 = φ1 + φ2 φ1

= φ3 + φ4

φ2

= φ5 + φ6

(4.24) (4.25) (4.26)

1 = φ3 + φ4 + φ5 + φ6

(4.27)

LA

= L1 φ1 + L2 φ2

L1 φ1

= L3 φ3 + L4 φ4

L2 φ2

= L5 φ5 + L6 φ6

(4.28) (4.29) (4.30)

= L3 φ3 + L4 φ4 + L5 φ5 + L6 φ6

(4.31)

LA

Errores debido a los Flujos Normalizados

Se establecen los errores de las leyes debido a los flujos normalizados (4.28 al 4.30). ∆Q = LA − (L1 φ1 + L2 φ2 ) ∆Q1 = L1 φ1 − (L3 φ3 + L4 φ4 ) ∆Q2 = L2 φ2 − (L5 φ5 + L6 φ6 )

(4.32) (4.33) (4.34)

El siguiente paso es establecer las ecuaciones anteriores en terminos independientes que para el presente trabajo se tomarán como φ1 , φ3 y φ5 .

93


Las ecuaciones 4.32 ~ 4.34 se representarán como: ∆Q = (LA − L2 ) − (L1 − L2 )φ1 ∆Q1 = (L1 − L4 )φ1 − (L3 − L4 )φ3 ∆Q2 = (L2 − L6 ) − (L2 − L6 )φ1 − (L5 − L6 )φ5

(4.35) (4.36) (4.37)

Cálculo de los Caudales Reducidos

Para obtener los caudales reducidos que den un valor mínimo de ∆Q las ecuaciones 4.35 - 4.37 se derivarán e igualarán a cero las sumatorias de dichas ecuaciones elevadas al cuadrado; es decir: k

  

k

2

∆Q

  

=

i=1

[(LA − L2 ) − (L1 − L2 )φ1 ]2

(4.38)

[(L1 − L4 )φ1 − (L3 − L4 )φ3 ]2

(4.39)

[(L2 − L6 ) − (L2 − L6 )φ1 − (L5 − L6 )φ5 ]2

(4.40)

i=1

k

k

∆Q21

=

i=1

i=1

k

k

∆Q22

=

i=1

i=1

Cambio de Variables

Hacemos un cambio de variables segun: ; Ω2 = L1 − L2 ; Ω4 = L3 − L4 ; Ω6 = L5 − L6

Ω1 = LA − L2 Ω3 = L1 − L4 Ω5 = L2 − L6

Con lo cual las ecuaciones 4.38 - 4.40 resultan: k

  

k

∆Q

2

=

i=1

[Ω1 − Ω2 φ1 ]2

(4.41)

[Ω3 φ1 − Ω4 φ3 ]2

(4.42)

[Ω5 − Ω5 φ1 − Ω6 φ5 ]2

(4.43)

i=1

k

k

∆Q21

=

i=1

i=1

k

k

∆Q22

=

i=1

Función a derivar

   i=1

Establecemos como función a derivar a: k

f (φi ) =

k

k

   2

∆Q21

∆Q +

i=1

i=1

+

i=1

∆Q22

(4.44)

94


Derivamos parcialmente con respecto a φ1 : ∂f (φi ) =0=2 ∂φ 1

k



k

(Ω1 − Ω2 φ1 )·(−Ω2 )+2

i=1



k



(Ω3 φ1 − Ω4 φ3 )·Ω3 +2·

i=1

(Ω5 − Ω5 φ1 − Ω6 φ5 )·(−Ω5 )

i=1

(4.45)

Simplificando obtenemos:

     k

0 = φ1

k

Ω22

i=1

k

Ω23

+

k

Ω25

+

i=1

− φ3

i=1

k

Ω3 · Ω4 + φ5

i=1

k



Ω5 · Ω6 −

i=1

 i=1

k

Ω1 · Ω2 −



Ω25

i=1

(4.46)


Simplificando obtenemos:

k

 i=1

k

0 = −φ1



k

(Ω3 Ω4 ) + φ3

i=1

Simplificando obtenemos: 0= −

Ω24

(Ω5 − Ω5 φ1 − Ω6 φ5 ) · (−Ω6 )

(4.49)

i=1

k

(Ω5 Ω6 ) + φ1

i=1

(4.48)

k



k



  i=1


(4.47)

(Ω3 φ1 − Ω4 φ3 ) · (−Ω4 )



k

(Ω5 Ω6 ) + φ5

i=1

  Ω26

(4.50)

i=1

Establecimiento de la Ecuación Matricial

Reordenando las ecuaciones 4.46, 4.48 y 4.50 obtenemos la siguiente ecuación matricial

                      Ω22 + Ω23 + Ω25 − (Ω3 Ω4 ) + (Ω5 Ω6 )

−

(Ω3 Ω4 ) + Ω24 0

(Ω5 Ω6 ) 0 Ω26

·

φ1 φ3 φ5

=

(Ω1 Ω2 ) + Ω25 0 (Ω5 Ω6 )

(4.51)

Como se puede observar la matriz cuadrada es simétrica. Calculados los valores de φ1, φ3 y φ5 se procede a calcular φ2 , φ4 y φ6 por las ecuaciones 4.24, 4.25 y 4.26

95


Cálculo de los Errores

El siguiente paso es calcular los errores ∆M i ∆M = LA − (L1 φ1 + L2 φ2 ) ∆M 1 = L1 φ1 − (L3 φ3 + L4 φ4 ) ∆M 2 = L2 φ2 − (L5 φ5 + L6 φ6 )

(4.52) (4.53) (4.54)

Cálculo de los Multiplicadores de Lagrange Establecimiento de las correcciones de las leyes

∆LA = LA − LAc ∆L1 = L1 − L1c ∆L2 = L2 − L2c ∆L3 = L3 − L3c ∆L4 = L4 − L4c ∆L5 = L5 − L5c ∆L6 = L6 − L6c

Si reemplazamos las correcciones en las ecuaciones 4.52, 4.53 y 4.54 obtenemos. ∆M = (∆LA + LAc ) − [(∆L1 + L1c )φ1 + (∆L2 + L2c )φ2 ] ∆M 1 = (∆L1 + L1c )φ1 − [(∆L3 + L3c )φ3 + (∆L4 + L4c )φ4 ] ∆M 2 = (∆L2 + L2c )φ2 − [(∆L5 + L5c )φ5 + (∆L6 + L6c )φ6 ]

(4.55) (4.56) (4.57)

Pero se sabe que las leyes corregidas deben de cumplir: 0 = LAc − (L1c φ1 + L2c φ2 ) 0 = L1c φ1 − (L3c φ3 + L4c φ4 ) 0 = L2c φ2 − (L5c φ5 + L6c φ6 )

(4.58) (4.59) (4.60)

Errores en función de las correcciones

Si reemplazamos las ecuaciones 4.58, 4.59 y 4.60 en las ecuaciones 4.55, 4.56 y 4.57 obtendremos: ∆M = ∆LA − (∆L1 φ1 + ∆L2 φ2 ) ∆M 1 = ∆L1 φ1 − (∆L3 φ3 + ∆L4 φ4 ) ∆M 2 = ∆L2 φ2 − (∆L5 φ5 + ∆L6 φ6 ) Método Lagrangiano

(4.61) (4.62) (4.63)

96


La funcion lagrangiana tiene la siguiente forma: L(χ, λ) = f (χ) − [λ g (χ) + λ1 g1 (χ) + λ2 g2 (χ)]

(4.64)

Donde: λ, λ1 y λ2 son los Multiplicadores χ son las correcciones.

de Lagrange.

g (χ) = ∆M − ∆LA + (∆L1 φ1 + ∆L2 φ2 ) g1 (χ) = ∆M 1 − ∆L1 φ1 + (∆L3 φ3 + ∆L4 φ4 ) g2 (χ) = ∆M 2 − ∆L2 φ2 + (∆L5 φ5 + ∆L6 φ6 )

(4.65) (4.66) (4.67)

Función Objetivo

La función objetivo f (χ) se define como f (χ) = ∆ L2A + ∆L21 + ∆L22 + ∆L23 + ∆L24 + ∆L25 + ∆L26

(4.68)

Derivamos parcialmente respecto a los multiplicadores de Lagrange y las correcciones: Derivación parcial respecto a los Multiplicadores de Lagrange

∂L (χ, λ) = 0 = ∆ M − ∆LA + (∆L1 φ1 + ∆L2 φ2 ) ∂λ 1 ∂L (χ, λ) = 0 = ∆ M 1 − ∆L1 φ1 + (∆L3 φ3 + ∆L4 φ4 ) ∂λ 2 ∂L (χ, λ) = 0 = ∆ M 2 − ∆L2 φ2 + (∆L5 φ5 + ∆L6 φ6 ) ∂λ 3

(4.69) (4.70) (4.71)

Derivación parcial respecto a las Correcciones

∂L (χ, λ) = 0 = 2∆ LA + λ ∂ ∆LA −λ ∆LA =

(4.72)

∂L (χ, λ) = 0 = 2∆ L1 − λφ1 + λ1 φ1 ∂ ∆L1 (λ − λ1 )φ1 ∆L1 =

(4.73)

2

2

97


∂L (χ, λ) = 0 = 2∆ L2 − λφ2 + λ2 φ2 ∂ ∆L2 (λ − λ2 )φ2 ∆L2 =

(4.74)

∂L (χ, λ) = 0 = 2∆L3 − λ1 φ3 ∂ ∆L3 λ1 φ3 ∆L3 =

(4.75)

∂L (χ, λ) = 0 = 2∆L4 − λ1 φ4 ∂ ∆L4 λ1 φ4 ∆L4 =

(4.76)

∂L (χ, λ) = 0 = 2∆L5 − λ2 φ5 ∂ ∆L5 λ2 φ5 ∆L5 =

(4.77)

∂L (χ, λ) = 0 = 2∆L6 − λ2 φ6 ∂ ∆L6 λ2 φ6 ∆L6 =

(4.78)

2

2

2

2

2

Si reemplazamos las correcciones 4.72, 4.73, . . . , 4.78 en las ecuaciones 4.69, 4.70 y 4.71 obtendremos: (λ − λ1 )φ21 (λ − λ2 )φ22 0 = ∆M + + + 2 2 2 2 2 (λ − λ1 )φ1 λ1 φ3 λ1 φ24 0 = ∆M 1 − + + 2 2 2 2 2 (λ − λ2 )φ2 λ2 φ5 λ2 φ26 0 = ∆M 2 − + + 2 2 2 λ

(4.79) (4.80) (4.81)

Cálculo de los Multiplicadores de Lagrange

Las ecuaciones 4.79, 4.80 y 4.81 puede expresarse como una ecuación matricial, la cual es:

 

1 + φ21 + φ22 −φ21 −φ22



−φ21 φ21 + φ23 + φ24 0



−φ22 0 2 φ2 + φ25 + φ26

      ·

λ λ1 λ2

= −2

∆M ∆M 1 ∆M 2

(4.82)

Como se puede observar la matriz cuadrada es simétrica. Una vez calculados los multiplicadores de Lagrange, se hallan las correcciones de las leyes mediante las ecuaciones: 4.72, 4.73, . . . , 4.78 y Luego se corrigen las leyes.

98


4.6.2.

Algoritmo

1. Obtener las leyes Li del circuito en mención. 2. Establecer las variables Ω: Ω1 = LA − L2 Ω3 = L1 − L4 Ω5 = L2 − L6

; Ω2 = L1 − L2 ; Ω4 = L3 − L4 ; Ω6 = L5 − L6

3. Calcular los flujos normalizados φi :

                      Ω22 + Ω23 + Ω25 − (Ω3 Ω4 ) + (Ω5 Ω6 )

−

(Ω3 Ω4 ) + Ω24 0

(Ω5 Ω6 ) 0 Ω26

φ2

= 1 − φ1

φ4

= φ1 − φ3

φ6

= φ2 − φ5 = 1 − φ1 − φ5

·

φ1 φ3 φ5

=

(Ω1 Ω2 ) + Ω25 0 (Ω5 Ω6 )

4. Calcular los Errores ∆M i : ∆M = LA − (L1 φ1 + L2 φ2 ) ∆M 1 = L1 φ1 − (L3 φ3 + L4 φ4 ) ∆M 2 = L2 φ2 − (L5 φ5 + L6 φ6 )

5. Calcular los Multiplicadores de Lagrange λi :

 

1 + φ21 + φ22 −φ21 −φ22



−φ21 φ21 + φ23 + φ24 0

6. Calcular las Correcciones:



−φ22 0 2 φ2 + φ25 + φ26

∆LA = ∆L1 = ∆L2 = ∆L3 = ∆L4 = ∆L5 = ∆L6 =

     

−λ 2 (λ − λ1 )φ1 2 (λ − λ2 )φ2 2 λ1 φ3

2 λ1 φ4

2 λ2 φ5

2 λ2 φ6

2

·

λ λ1 λ2

= −2

∆M ∆M 1 ∆M 2


7. Corregir las leyes: LAc

= LA − ∆LA

L1c

= L1 − ∆L1

L2c

= L2 − ∆L2

L3c

= L3 − ∆L3

L4c L5c

= L4 − ∆L4 = L5 − ∆L5

L6c

= L6 − ∆L6

99

Capítulo 5

Corrección de Análisis Químico en un Nodo - Método General (En Desarrollo)

100

Capítulo 6

Aplicaciones (En Desarrollo)

101

Correccion de Analisis Por Multiplicadores de Lagrange

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