Coordenadas Curvilineas y Angulo Solido

FACULTAD DE ING. ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ÁNGULO SÓLIDO

CURSO: CURSO: MATEMATICA MATEMATICA III

MA-133 MA-133 N

PROFEROR: Rojas Cerna, Victor Danie!

INTE"RANTE: 1. Var$as "%ti&rre', (onat)an Ro*o+o!

0IMA-PER 12

Índice 1. Dis Discre creció ción n De Deriv rivati ativa va

C#DI"O: 1./.(

COORDENADAS CURVILÍNEAS Y ÁNGULO SÓLIDO A1!! " N #IEE " UNI

$. C% C%rv rvas as & 'ar 'ar() ()et etr* r*s s !. C**rdenadas C**rdenadas C%rvi C%rvi+,neas +,neas Gene Genera+i-a ra+i-adas das 3.1.Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.Coordenadas Cilíndricas. . Cilíndricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.Otros Sistemas Coordenados .................................... 3.4.1. 3.4 .1. Coo Coorde rdenad nadas as Tor oroid oidale aless . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. 3. 4.2. 2. Co Coor orde dena nada dass Elips Elipsoi oida dale les. s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vect*re ect*res/ s/ 0ens*re 0ens*res/ s/ trica & 0rans2* 0rans2*r)aci*n r)aci*nes es 4.1.Transformando Vectores. . Vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.T 4.2. Transforman ransformando do Tensores. ensores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Án4%+* só+id*.

1. Discreción Derivativa Los vectores podrán ser constantes o variales. !"ora ien esa característica se veri#car $a tanto en las componentes como en la ase. Esto %&iere decir %&e c&ando &n vector es variale podrán variar s& m'd&lo( s&

)irecci'n( s& sentido o todo *&nto o separado. Oviamente esta variailidad del vector depender $a de la ase en la c&al se e+prese( por lo c&al &n vector podrá tener &na componente constante en &na ase , constante en otra. -ait / 0 ak t //-ek it / 0 ak -5ek it / 0 ak t //-6ek i

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - FIEE “AÑO DE LA CONSOLIDACIÓN DEL MAR DE GRAU¨


)e esta manera( c&ando &no piensa en &n vector variale -ait /  ~at / &no rápidamente piensa en estalecer &n cociente incremental

5t 5t 67

5t 67

5t

dt

m

La misma prop&esta se c&mplir8a para las formas diferenciales propiedades de esta operaci8on serán d

d

"a-. Como siempre( las

d

dt

dt

d

t /

dt d

dαt // -ait / 9 αt / dt dt

dt :

d 0 -i 9 "a-



dt dt t / t / dt

!"ora ien( esto implica %&e d a t /

a

k t /

dt

dt

d 0

dt

-ek it / 9 a t / dt

con lo c&al "a, %&e tener c&idado al derivar vectores , cerciorarse de la dependencia f&ncional de ase , componentes. ;ará sistemas de coordenadas ases de vectores/ %&e sean constantes , otros con ases variales. !sí( el radio vector posici'n de &na partíc&la


0 ~! t / dt 2

d~! t // 0 ~" t / 0 dt

d~" t // 0 ~at / 0

d2 ~! t // ~! dt 0

a"ora ien ~! =-! i 0 ! # -%! i 0 $ # -ii 9 % # - 7i 9 & # -8 i

con -%! i 0 cos' -ii 9 sin' - 7i

Si s&ponemos %&e la partíc&la descrie &n movimiento entonces

> & 0 & t /

-ii 0 const -7i 0 const ' 0 't / ? -% ! i 0 -%! it / ? -8 i 0 const con lo c&al

d

d d

d-

,a %&e p p @-%! i@ 0 "%! -%! i 0 Acos't / "i- 9 sin't / " 7-BAcos't / -ii 9 sin't / -7iB 0 1 p p @-%'i@ 0 "%' -%'i 0Asin' t //"i- 9 cos't /" 7-BAsin't //-ii 9 cos't / -7iB 0 1 , "%! -%'i 0 "%' -%! i 0 Asin' t //"i- 9 cos't /" 7-BAcos' t / "i- 9 sin' t / -7iB 0 7 Dás a&n d d Con lo c&al( &na partíc&la %&e descrie &n movimiento


~" t / 0 d~! t / 0 d-! i/ 0 d $ # t /-ii 9 % # t / -7i 9 & # t /-8 i/

, la aceleraci'n

t //

d"

t //

d"

d"

t //

Dientras %&e en coordenadas polares ser $a

#

! dt t /#/ -%! it / 9

! t /

t /# d dt

dt

con lo c&al la velocidad  la aceleraci'n ~" t //

dt dt

/0

dt

d -%! it / 9

dt

dt

d

d

dt

dt

9 d! dtt /# d'dt t / -%'it / 9 ! t /# d2d't 2t / -%'it / 9 ! t /# d dt

dt





~at /

d 0

d t /

Claramente para el caso de &n movimiento circ&lar

! 0 R 0 const

0

)e a%&í podemos ver claramente %&e velocidad ~" t / , posici'n ~!  t / son orto
F

es decir d~! t / 0 l8Gm 5t 67

5 ~! t )/ es tan
)

d

$.

C%rvas & 'ar()etr*s Fodemos
0

d

con lo c&al dI/ 0 9 d *

+*

+$ #  */ + I/ 9

+% #  */ + I/

+$ #  */ +*

+%#  */ +*

+& #  */ + I/ +&#  */

con lo c&al podemos considerar las cantidades como las componentes del vector( d~!  */( , en
serán los vectores ase en esas coordenadas.



!sí al considerar coordenadas
d m d5r +,1  */ +~!

+,2  */ +~!

0

+,3  */ +~!

9

9

d *

donde son la ase de vectores. For otro lado el m'd&lo del vector @d~!  */@ representará la lon
d,)

d, 

donde d~! d * */ es el vector tan
identi#camos claramente



Ji<&ra 1K Coordenadas C&rvilíneas en 2 ). C&adrante ( coordenadas cilíndricas $ 0 /cos0? % 0 /sin0? & 0 & C&adrante ( coordenadas cilíndricas elípticas $ 0 acos"1cos" ? % 0 asin"1sin" ? & 0 & C&adrante  coordenadas cilíndricas para'licas C&adrante V coordenadas cilíndricas ipolares

!.

C**rdenadas C%rvi+,neas Genera+i-adas Como "emos visto siempre se podrá de#nir &n sistema de coordenadas

,

?



Es decir %&e identi#camos la métrica como    21 0 311? 22 0 322? 23 0

333.

)e tal forma %&e los casos partic&lares se rec&peran fácilmente.

!.1. C**rdenadas Cartesianas El primer caso( el más trivial( lo constit&,en las coordenadas cartesianas. Vale decir

-ri 0 $ -ii 9 % -7i 9 & -8 i 0 5r 0 $ 64 9 % 6 9 & 86

5r cosec&entemente

,

?

El elemento de línea viene de#nido como

, el tensor métrico8 ser $a 311 0 3 $$ 0 1?

322 0 3 %% 0 1? 322 0 3 && 0 1.

El "ec"o %&e para el caso de las coordenadas cartesianas 2 $ 0 2 % 0 2 & 0 1 si
!.$. C**rdenadas Ci+,ndricas Las coordenadas cilíndricas se e+presan como

-ri 0 $ /(0/-ii 9 % /(0/- 7i 9 & -8 i 5r 0 $ /(0/64 9 % /(0/6 9 & 86

5r 0 5r/(0(& /

0 d5r

,estas cantidades p&eden ser identi#cadas de las le,es de transformaci'n respecto a las coordenadas cartesianas



H 0 & Con lo c&al es fácil identi#car

? , , de allí

2/ 0 @cos0 649sen0 6@ 0 1

, del mismo modo .

mientras %&e los vectores &nitarios serán

? 86


 el tensor métrico8 ser $a 311 0 3// 0 1?

322 0 300 0 /2?

333 0 3 && 0 1.

!.!. C**rdenadas Es2ricas Fara constr&ir el sistema de coordenadas esféricas

-ri 0 $ !(0('/-ii 9 % !(0('/- 7i 9 & !(0('/-8 i 0 $ !(0('/64 9 % !(0('/6 9 & !(0('/86



5r 0 5r!(0('/

0 d5r

, estas cantidades p&eden ser identi#cadas de las le,es de transformaci'n respecto a las coordenadas carteP

sianas

0 d % 0 sen0sen'd! 9 ! cos0sen'd0 9 ! sen0cos'd'

$ 0 $ !(0('/ 0 ! cos0sen' % 0 % !(0('/



0 ! sen0sen' & !(0('/ 0 ! cos' con lo c&al es fácil identi#car  

d $ 0 cos0sen'd! ! sen0sen'd0 9 ! cos0cos'd'



% de allí

, del mismo modo

% 20 0 @! sin0sin' 649! cos0sin' 6@ 0

! sin0sin'/2 9 ! cos0sin'/2 0 ! sin'

Jinalmente(



% 2' 0 ! cos0cos'/2 9 ! sin0cos'/2 9 ! sin'/2 0 !

mientras %&e los vectores &nitarios serán 86

?


El tensor métrico ser $a 311 0 3!! 0 1?

322 0 300 0 ! 2 sin2 ' ? 333 0 3'' 0 ! 2.

For completit&d( en&meraremos al<&nos otros sistemas de coordenadas , de*aremos al lector la laor de calc&lar los vectores &nitarios , la métrica del espacio e+presada en estas coordenadas.

!.. Otr*s Siste)as C**rdenad*s !..1. C**rdenadas 0*r*ida+es

/?

-ri 0 $  *(5(α/64 9 %  *(5(α/6 9 &  *(5(α/86

con



$ 0 $  *(5(α/ 0 ! cosα? con % 0 %  *(5(α/ 0 ! sinα

la métrica %&eda como d Las s&per#cies * 0 678t representan toros alrededor del e*e & ? las s&per#cies 5 0 678t son esferas con centro sore el e*e & ?, #nalmente las s&per#cies α 0 678t son planos %&e contiene al e*e & !..$. C**rdenadas E+i's*ida+es )ados tres nQmeros a( , 6? con a 9  9 6 9 7( la ec&aci'n

representa las s&per#cies c&adri
α 3 9 5 α2 9 R α 9  0 7

con 5 0 $ 27 9 % 72 9 & 72  a2  2  62

 0 $ 27262 9 % 72a262 9 & 72a22  a2262 Las raíces de esta ec&aci'n α1 0 *?α2 0 5?α3 0 :/ de#nen las coordenadas elipsoidales del p&nto  $(%(& / 0 /? , la le, de transformaci'n %&eda como

*(5(: *(5(: *(5(: -ri 0 $  *(5(:/64 9 %  *(5(:/6 9 &  *(5(:/86



por c&al la métrica ser $a d

. Vect*res/ 0ens*res/ trica & 0rans2*r)aci*nes os toca a"ora constr&ir e+presiones de vectores , tensores a partir de s&s le,es de transformaci'n( "emos dic"o %&e los vectores , los tensores son independiente del sistema de coordenadas la ase/ en la c&al se e+prese.

.1. 0rans2*r)and* Vect*res !sí dada dos ases de vectores coordenados M- e1i(-e2i(-e3iN , M-5e1i(-5e2i(-5e3iN para el espacio vectorial U3 Entonces( se c&mple %&eK

con ello de cartesianas a cilíndricas $ 0 $ !(0/ 0 /cos0?

% 0 % !(0/ 0 /sen0? & 0 &

de lo c&al se deriva

? , ++ / & 0

7 ++ 0 & 0 7

Entonces dados -ai 0 a  -e i 0 a1 -e1i 9 a2 -e2i 9 a3 -e3i 0 a $ -ii 9 a % - 7i 9 a & -8 i -ai 0 a) -5e)i 0 a1 -5e1i 9 a2 -5e2i 9 a3 -5e3i 0 a! -5e! i 9 a0 -5e0i 9 a & -5e & i



con

? 86 Si tenemos en concreto &n vector - ai 0 -ii 9 4- 7i 9 3-8 i %&isiéramos conocer s& e+presi'n en coordenadas cilíndricas. ;a, %&e "acer la acotaci'n %&e e+iste &na familia de sistemas de coordenados cilíndricos parame triHados por el 8!n<&lo 0 , O &n Qnico sistema coordenado. Oviamente se p&ede especi#car el sistema coordenado , entonces tendremos &n con*&nto de componentes de#nido. !sí la familia de componentes en cilíndricas del vector -ai serán

con lo c&al al e+presar los vectores ase

a3 0 a & 0 " 5e & --ii 9 4- 7i 9 3-8 i/ 0 "8 --ii 9 4- 7i 9 3-8 i/

0 3 con lo c&al -ai 0 -ii 9 4- 7i 9 3-8 i 0 cos0 9 4sin0/-5e! i 9 sen0 9 4cos0/-5e0i 9 3-5e & i donde es claro %&e e+isten in#nitos sistemas cilíndricos parame triHados por el W!n<&lo 0 ( di
sen

con lo c&al "emos alineado el e*e -5e! i a lo lar
.$. 0rans2*r)and* 0ens*res l&stremos a"ora las transformaciones de tensores a*o camios de la ase del espacio vectorial. Consideremos el si<&iente tensor



Es decir es &n tensor %&e "emos e+presado en coordenadas cartesianas , %&eremos pasarlo a cilíndricas. Fara ello recordamos %&e

donde con lo c&al

es decir

sen0

7



7  

7

7

1

mientras %&e



con lo c&al





cos0

/sen0

7

sen 

7



7

1

For lo tanto

 

sen0 7 

cos0 /sen0

7

 

7





T )

 



sen 

7

7

1

7

7





1

es decir

Si s&ponemos %&e el ori
, entonces

Si consideramos &na n&eva ase

  -5e1i

M-5e1i(-5e2i(-5e3iN

0 -ii

-5e2i 0 -ii 9 -7i





-5e3i 0 -ii 9 -7i 9 -8 i para ese mismo espacio U3 encontraremos &na n&eva e+presi'n %&e toma en esa ase. <&almente encontraremos las e+presiones para los si<&ientes tensoresK T  ) (T )(T ). 'tese %&e esta n&eva ase n* es *rt*4*na+ ( ( con lo c&al no se c&mplen m&c"as cosas entre ellas Fara encontrar la de la ase M-5e1i(-5e2i(-5e3iN e+presi'n e+presamos  los vectores ase M- e1i( -e1i 0 -ii 0 e2i(-e3iN=M-ii(- 7i(-8 iN en 5e1i M-e1i(-e2i(-e3iN término 0 -e2i 0 -7i 0 -5e2i5e1i recordamos %&e &n vector


-e3i 0 -8 i 0 -5e3i-5e2i

-ai 0 a -e i 0 a -5e i 0 



-ai 0 a  -e i 0 a1 -5e1i 9 a2 -5e2i 9 a3 -5e3i 0 a1 -e1i 9 a2 -e1i 9 -e2i/ 9 a3 e1i

9

-e2i

9

-e3i/

con

lo

c&al

, como

01? 01? 01? Es de "acer notar %&e dado %&e la ase ortonormal M-e1i(-e2i(-e3iN=M-ii( -7i(-8 iN se tiene %&e

El mismo procedimiento se p&ede aplicar para e+presar el vector -ai como cominaci'n lineal de los vectores -5e i -ai 0 a  -5e i 0 a  -e i 0 a1 -e1i 9 a2 -e2i 9 a3 -e3i 0 a1 -5e1i 9 a2 -5e2i-5e1i/ 9 a3 -5e3i-5e2i/ 07?



1? 0 7?

01?

'tese %&e( como era de esperarse(

Con las e+presiones matriciales para las transformaciones( estamos en capacidad de calc&lar( componente a componente( las representaci'n del tensor en la n&eva ase con lo c&al

es decir

del mismo modo

es decir

se p&ede contin&ar término a término o realiHar la m<iplicaci'n de las matrices provenientes de la transformaci'n de componentes de tensores. Vale decir

;a, %&e resaltar &n especial c&idado %&e se t&vo en la colocaci'n de la matrices para s& m<iplicaci'n. Si ien en la e+presi'n las cantidades son nQmeros , no



importa el orden con el c&al se m<ipli%&en( c&ando se colocan como matrices dee respetarse la Xconcatenaci'n interna de 8índicesY. Esto es c&ando %&eramos e+presar T ;k como &na matriH( donde el 8índice contra variante k indica #las , el 8índice variante ; las col&mnas( #*amos primero estos índices , l&e
!"ora los o*etos p&eden ser s&stit&idos en s&s p&estos correspondientes/ por s& representaci'n matricial. Con lo c&al "emos encontrado la representaci'n matricial T ;k de las componentes del tensor T en la ase M-5e1i(-5e2i(-5e3iN

Fara encontrar la e+presi'n para T k; recordamos %&e T k; 0 3k8T ;8 es decir( re%&erimos las componentes covariantes , contravariantes del tensor métrico 3k8 %&e
%&e denominaremos tensor métrico como

4

4

Es de "acer notar %&e la representaci'n matricial para la métrica variante 3) de &na ase ortonormal M-e1i(-e2i(-e3iN=M-ii(- 7i(-8 iN es siempre dia


con

lo

c&al

donde

"emos

denotado

"Ii

como

la

representaci'n matricial del o*eto

Fara el caso de la ase
"5e2 -5e1i 0 "i- 9 " 7-/-ii 0 1?

312 0 "5e1 -5e2i 0 "i--ii 9 -7i/ 0 1 ? 321 0

322 0 "5e2 -5e2i 0 "i- 9 " 7-/-ii 9 -7i/ 0 2 331 0

"5e3 -5e1i 0 "i- 9 " 7- 9 "8 -/-ii 0 1? 332 0 "5e3 -5e2i 0 "i- 9 " 7- 9 "8 -/-ii 9 -7i/ 0 2 ? , 313 0 "5e1 -5e3i 0 "i--ii 9 -7i 9 -8 i/ 0 1 ? 323 0 "5e2 -5e3i 0 "i- 9 " 7-/-ii 9 -7i 9 -8 i/ 0

2 333 0 "5e3 -5e3i 0 "i- 9 " 7- 9 "8 -/-ii 9 -7i 9 -8 i/ 0 3

consec&entemente

La otra forma de calc&lar la métrica correspondiente la ase ortonormal M-e1i(-e2i(-e3iN=M-ii( 7i(-8 iN , transformarla a la ase no ortonormal M- 5e1i(-5e2i(-5e3iN=M-ii(-ii 9 -7i(-ii 9 -7i 9 -8 iN esto es

La métrica para el la ase ortonormal ser $a dia
( con lo c&al

?



,

'tese para conservar la convenci'n de índices , matrices "emos representado %&e "emos trasp&esto la matriH correspondiente a . La raH'n( como di*imos arria es

Fara poder representar m<iplicaci'n de matrices los 8índices deen estar consec&tivos( por tanto "a, %&e trasponer la representaci'n matricial para poder m<iplicarla. a estamos en capacidad de otener las representaciones matriciales para los tensoresK .

5. Ángulo sólido



Para calcular el ángulo sólido de una superficie, se proyecta el objeto sobre una esfera de radio conocido. El ángulo sólido es el ángulo espacial que abarca un objeto visto desde un punto dado, que se corresponde con la zona del espacio limitada por una superficie cónica. Mide el tamaño aparente de ese objeto. a unidad del ángulo sólido en el !" es el estereorradián, cuyo s#mbolo es sr. Es el área del casquete esf$rico, en una esfera de radio unidad, abarcado por un cono cuyo v$rtice está en el centro de la esfera. Es una magnitud adimensional que se representa con la letra griega %. Para calcular el ángulo sólido bajo el cual se ve un objeto desde un punto, se proyecta el objeto sobre una esfera de radio conocido, centrada en el punto de vista. !i la superficie de la proyección del objeto sobre la esfera es , el ángulo sólido bajo el cual se ve el objeto es, por definición&

E+presiones diferencial e inte
[n<&lo s'lido. 'onsideremos una superficie dS, como se muestra en la (igura, y unamos todos los puntos de su contorno con un punto ). *e este modo obtendremos una superficie cónica, de v$rtice en ), que delimitará un área sobre la superficie de una esfera de radio unidad y centrada en ). *ic+a área constituye una medida de ángulo sólido bajo el cual se ve la superficie d S desde el punto ).

Se de#ne el án<&lo s'lido a*o el c&al se ve &na s&per#cie desde el p&nto O como el área de la pro,ecci'n c'nica de dic"a s&per#cie sore &na esfera de radio &nidad centrada en O.



\n c*nd%ct*r e+ctric* es a%&el c&erpo %&e p&esto en contacto con &n c&erpo car.2 M!?m. 4;6 0 este valor es a lo que se llama 5223 "0'! y la conductividad del resto de los materiales se epresa como un cierto porcentaje de "0'!. a mayor#a de los metales tienen valores de conductividad inferiores a 5223 "0'! pero eisten ecepciones como la plata o los cobres especiales de muy alta conductividad designados '@528 y '@552. 48



El ais+a)ient* e+ctric* se prod&ce c&ando se c&re &n elemento de &na instalaci'n eléctrica con &n material %&e no es cond&ctor de la electricidad( es decir( &n material %&e resiste el paso de la corriente a través del elemento %&e rec&re , lo mantiene en s& tra,ectoria a lo lar
#i4%ra 1. !n<&lo s'lido

Ω

. 9a: El elemento de án<&lo s'lido

relacionado por 71/ con el área

Δ S

ΔΩ

está

sore la s&per#cie de &na esfera de



Ω

radio ^. 9;: Fara &na s&per#cie S( el án<&lo s'lido s&stentado es

. 9c: El

án<&lo Ω se otiene a partir de la s&per#cie interceptada sore &na esfera concéntrica de radio R. S&pon
Δ S R

2

01

4πR

Es fácil ver %&e el án<&lo s'lido total alrededor de &n p&nto es Fara "allar el án<&lo s'lido

Ω

2

R

2

4π.

s&stentado por &na s&per#cie S( tal 2

como m&estra la #<&ra 1( p&ede determinarse el área Ω R interceptada sore &na esfera de radio ^( se
)onde

cos θ dS

otener

Ω r.dS

Ω dΩ S

S

r

2

cos θ dS

r

r.dS

2

es el área pro,ectada sore &n plano normal a

r r

( inte

2

02

. Fara


Ji<&ra 2. !n<&lo s'lido s&stentado por &n disco de radio ^. El res<ado otenido se da en 7/. ! modo de e*emplo del cálc&lo de &n án<&lo s'lido( vamos a "allar el s&stentado por &n disco de radio ^ centrado en el e*e( a &na distancia L del ori
ρdϕdρ cos θ Ltg θ dϕLse c θ cos θ dΩ 2 2 2 r L cos θ senθ dθdϕ 04

Z&e es la e+presi'n
t g R L L R L R 1 tg 1 tg Ω2 π dϕ 0

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Coordenadas Curvilineas y Angulo Solido

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