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Clase 1: C´ alculo II alculo La integral definida Prof. Jonathan Briones Universidad de Concepci´ on on

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Introducci´ on on Dos problemas, ambos de geometr´ geometr´ıa, son los que motivaron motivaron las dos ideas mas importantes del C´ alculo Diferencial e Integral (C´ alculo alculo I y II). Por un lado, el problema de encontrar la pendiente la pendiente de de la recta tangente a una curva en un punto, nos condujo a uno de los objetos matemáticos aticos mas importantes dentro del Cálculo alculo Diferencial, que corresponde al concepto de Derivada.









Problema inicial Sea f : [a.b] → R una función on continua y no negativa, es decir, f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b], tal como se observa en la imágen. agen.









Problema inicial Una forma de proceder, es aproximar por defecto por defecto y exceso el area a´rea de R mediante superficies rectángulares angulares inscritas y circunscritas como sigue:









Conceptos previos Pero, ¿Cómo omo proceder para obtener los rect´ angulos angulos mencionados mencionados anteriormente? Necesitamos de algunos conceptos previos:

on on de [a, b] al conjunto Definición on 1: Llamaremos 1: Llamaremos Partici´ P = {x0 , x1 , x2 ... ..., xn }

de n + 1 puntos de [a, b] tales que:









Definiciones Observación on 2: Notar 2: Notar que dada una partición on P , esta divide al intervalo [a, b] en n subintervalos subintervalos de la forma [xi−1 , xi ], donde cada uno de ellos tiene longitud

xi = xi − xi−1 y son tales que: n

[

xi−1 , xi ] = [a, b]











Definiciones Definición on 2: Llamaremos 2: Llamaremos norma de la partición on P , denotada por ||P || a la longitud del subintervalo mas largo, osea ax{xi : 1 ≤ i ≤ n} ||P || := máx











Definiciones (3) Para (3) Para una partición on general se verifica que b−a ≤n ||P ||











Suma superior e inferior Ahora si estamos en condiciones de construir formalmente los rectánangulos inscritos y circunscritos mencionados en un comienzo.











Suma superior e inferior Luego, sumando sumand o los i-ésimos esimos rectángulos angulos desde i = 1, ...n podemos Suma inferio inferior r y Suma Suma superior superior de f definir los conceptos de Suma como sigue:











Suma superior e inferior Geom´ etricamente, etricamente, la suma inferior y superior se visualiza como:













Ejemplo 1











Suma superior e inferior











Integral superior e inferior































































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