FACULTAD DE ING. ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ÁNGULO SÓLIDO
CURSO: CURSO: MATEMATICA MATEMATICA III
MA-133 MA-133 N
PROFEROR: Rojas Cerna, Victor Danie!
INTE"RANTE: 1. Var$as "%ti&rre', (onat)an Ro*o+o!
0IMA-PER 12
Índice 1. Dis Discre creció ción n De Deriv rivati ativa va
C#DI"O: 1./.(
COORDENADAS CURVILÍNEAS Y ÁNGULO SÓLIDO A1!! " N #IEE " UNI
$. C% C%rv rvas as & 'ar 'ar() ()et etr* r*s s !. C**rdenadas C**rdenadas C%rvi C%rvi+,neas +,neas Gene Genera+i-a ra+i-adas das 3.1.Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.Coordenadas Cilíndricas. . Cilíndricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.Otros Sistemas Coordenados .................................... 3.4.1. 3.4 .1. Coo Coorde rdenad nadas as Tor oroid oidale aless . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. 3. 4.2. 2. Co Coor orde dena nada dass Elips Elipsoi oida dale les. s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vect*re ect*res/ s/ 0ens*re 0ens*res/ s/ trica & 0rans2* 0rans2*r)aci*n r)aci*nes es 4.1.Transformando Vectores. . Vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.T 4.2. Transforman ransformando do Tensores. ensores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Án4%+* só+id*.
1. Discreción Derivativa Los vectores podrán ser constantes o variales. !"ora ien esa característica se veri#car $a tanto en las componentes como en la ase. Esto %&iere decir %&e c&ando &n vector es variale podrán variar s& m'd&lo( s&
)irecci'n( s& sentido o todo *&nto o separado. Oviamente esta variailidad del vector depender $a de la ase en la c&al se e+prese( por lo c&al &n vector podrá tener &na componente constante en &na ase , constante en otra. -ait / 0 ak t //-ek it / 0 ak -5ek it / 0 ak t //-6ek i
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)e esta manera( c&ando &no piensa en &n vector variale -ait / ~at / &no rápidamente piensa en estalecer &n cociente incremental
5t 5t 67
5t 67
5t
dt
m
La misma prop&esta se c&mplir8a para las formas diferenciales propiedades de esta operaci8on serán d
d
"a-. Como siempre( las
d
dt
dt
d
t /
dt d
dαt // -ait / 9 αt / dt dt
dt :
d 0 -i 9 "a-
dt dt t / t / dt
!"ora ien( esto implica %&e d a t /
a
k t /
dt
dt
d 0
dt
-ek it / 9 a t / dt
con lo c&al "a, %&e tener c&idado al derivar vectores , cerciorarse de la dependencia f&ncional de ase , componentes. ;ará sistemas de coordenadas ases de vectores/ %&e sean constantes , otros con ases variales. !sí( el radio vector posici'n de &na partíc&la
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0 ~! t / dt 2
d~! t // 0 ~" t / 0 dt
d~" t // 0 ~at / 0
d2 ~! t // ~! dt 0
a"ora ien ~! =-! i 0 ! # -%! i 0 $ # -ii 9 % # - 7i 9 & # -8 i
con -%! i 0 cos' -ii 9 sin' - 7i
Si s&ponemos %&e la partíc&la descrie &n movimiento entonces
> & 0 & t /
-ii 0 const -7i 0 const ' 0 't / ? -% ! i 0 -%! it / ? -8 i 0 const con lo c&al
d
d d
d-
,a %&e p p @-%! i@ 0 "%! -%! i 0 Acos't / "i- 9 sin't / " 7-BAcos't / -ii 9 sin't / -7iB 0 1 p p @-%'i@ 0 "%' -%'i 0Asin' t //"i- 9 cos't /" 7-BAsin't //-ii 9 cos't / -7iB 0 1 , "%! -%'i 0 "%' -%! i 0 Asin' t //"i- 9 cos't /" 7-BAcos' t / "i- 9 sin' t / -7iB 0 7 Dás a&n d d Con lo c&al( &na partíc&la %&e descrie &n movimiento
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~" t / 0 d~! t / 0 d-! i/ 0 d $ # t /-ii 9 % # t / -7i 9 & # t /-8 i/
, la aceleraci'n
t //
d"
t //
d"
d"
t //
Dientras %&e en coordenadas polares ser $a
#
! dt t /#/ -%! it / 9
! t /
t /# d dt
dt
con lo c&al la velocidad la aceleraci'n ~" t //
dt dt
/0
dt
d -%! it / 9
dt
dt
d
d
dt
dt
9 d! dtt /# d'dt t / -%'it / 9 ! t /# d2d't 2t / -%'it / 9 ! t /# d dt
dt
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~at /
d 0
d t /
Claramente para el caso de &n movimiento circ&lar
! 0 R 0 const
0
)e a%&í podemos ver claramente %&e velocidad ~" t / , posici'n ~! t / son orto
F
es decir d~! t / 0 l8Gm 5t 67
5 ~! t )/ es tan
)
d
$.
C%rvas & 'ar()etr*s Fodemos
0
d
con lo c&al dI/ 0 9 d *
+*
+$ # */ + I/ 9
+% # */ + I/
+$ # */ +*
+%# */ +*
+& # */ + I/ + */
con lo c&al podemos considerar las cantidades como las componentes del vector( d~! */( , en
serán los vectores ase en esas coordenadas.
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!sí al considerar coordenadas
d m d5r +,1 */ +~!
+,2 */ +~!
0
+,3 */ +~!
9
9
d *
donde son la ase de vectores. For otro lado el m'd&lo del vector @d~! */@ representará la lon
d,)
d,
donde d~! d * */ es el vector tan
identi#camos claramente
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Ji<&ra 1K Coordenadas C&rvilíneas en 2 ). C&adrante ( coordenadas cilíndricas $ 0 /cos0? % 0 /sin0? & 0 & C&adrante ( coordenadas cilíndricas elípticas $ 0 acos"1cos" ? % 0 asin"1sin" ? & 0 & C&adrante coordenadas cilíndricas para'licas C&adrante V coordenadas cilíndricas ipolares
!.
C**rdenadas C%rvi+,neas Genera+i-adas Como "emos visto siempre se podrá de#nir &n sistema de coordenadas
,
?
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Es decir %&e identi#camos la métrica como 21 0 311? 22 0 322? 23 0
333.
)e tal forma %&e los casos partic&lares se rec&peran fácilmente.
!.1. C**rdenadas Cartesianas El primer caso( el más trivial( lo constit&,en las coordenadas cartesianas. Vale decir
-ri 0 $ -ii 9 % -7i 9 & -8 i 0 5r 0 $ 64 9 % 6 9 & 86
5r cosec&entemente
,
?
El elemento de línea viene de#nido como
, el tensor métrico8 ser $a 311 0 3 $$ 0 1?
322 0 3 %% 0 1? 322 0 3 && 0 1.
El "ec"o %&e para el caso de las coordenadas cartesianas 2 $ 0 2 % 0 2 & 0 1 si
!.$. C**rdenadas Ci+,ndricas Las coordenadas cilíndricas se e+presan como
-ri 0 $ /(0/-ii 9 % /(0/- 7i 9 & -8 i 5r 0 $ /(0/64 9 % /(0/6 9 & 86
5r 0 5r/(0(& /
0 d5r
,estas cantidades p&eden ser identi#cadas de las le,es de transformaci'n respecto a las coordenadas cartesianas
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H 0 & Con lo c&al es fácil identi#car
? , , de allí
2/ 0 @cos0 649sen0 6@ 0 1
, del mismo modo .
mientras %&e los vectores &nitarios serán
? 86
El elemento de línea viene de#nido como
el tensor métrico8 ser $a 311 0 3// 0 1?
322 0 300 0 /2?
333 0 3 && 0 1.
!.!. C**rdenadas Es2ricas Fara constr&ir el sistema de coordenadas esféricas
-ri 0 $ !(0('/-ii 9 % !(0('/- 7i 9 & !(0('/-8 i 0 $ !(0('/64 9 % !(0('/6 9 & !(0('/86
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5r 0 5r!(0('/
0 d5r
, estas cantidades p&eden ser identi#cadas de las le,es de transformaci'n respecto a las coordenadas carteP
sianas
0 d % 0 sen0sen'd! 9 ! cos0sen'd0 9 ! sen0cos'd'
$ 0 $ !(0('/ 0 ! cos0sen' % 0 % !(0('/
0 ! sen0sen' & !(0('/ 0 ! cos' con lo c&al es fácil identi#car
d $ 0 cos0sen'd! ! sen0sen'd0 9 ! cos0cos'd'
% de allí
, del mismo modo
% 20 0 @! sin0sin' 649! cos0sin' 6@ 0
! sin0sin'/2 9 ! cos0sin'/2 0 ! sin'
Jinalmente(
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% 2' 0 ! cos0cos'/2 9 ! sin0cos'/2 9 ! sin'/2 0 !
mientras %&e los vectores &nitarios serán 86
?
El elemento de línea viene de#nido como
El tensor métrico ser $a 311 0 3!! 0 1?
322 0 300 0 ! 2 sin2 ' ? 333 0 3'' 0 ! 2.
For completit&d( en&meraremos al<&nos otros sistemas de coordenadas , de*aremos al lector la laor de calc&lar los vectores &nitarios , la métrica del espacio e+presada en estas coordenadas.
!.. Otr*s Siste)as C**rdenad*s !..1. C**rdenadas 0*r*ida+es
/?
-ri 0 $ *(5(α/64 9 % *(5(α/6 9 & *(5(α/86
con
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$ 0 $ *(5(α/ 0 ! cosα? con % 0 % *(5(α/ 0 ! sinα
la métrica %&eda como d Las s&per#cies * 0 678t representan toros alrededor del e*e & ? las s&per#cies 5 0 678t son esferas con centro sore el e*e & ?, #nalmente las s&per#cies α 0 678t son planos %&e contiene al e*e & !..$. C**rdenadas E+i's*ida+es )ados tres nQmeros a( , 6? con a 9 9 6 9 7( la ec&aci'n
representa las s&per#cies c&adri
α 3 9 5 α2 9 R α 9 0 7
con 5 0 $ 27 9 % 72 9 & 72 a2 2 62
0 $ 27262 9 % 72a262 9 & 72a22 a2262 Las raíces de esta ec&aci'n α1 0 *?α2 0 5?α3 0 :/ de#nen las coordenadas elipsoidales del p&nto $(%(& / 0 /? , la le, de transformaci'n %&eda como
*(5(: *(5(: *(5(: -ri 0 $ *(5(:/64 9 % *(5(:/6 9 & *(5(:/86
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por c&al la métrica ser $a d
. Vect*res/ 0ens*res/ trica & 0rans2*r)aci*nes os toca a"ora constr&ir e+presiones de vectores , tensores a partir de s&s le,es de transformaci'n( "emos dic"o %&e los vectores , los tensores son independiente del sistema de coordenadas la ase/ en la c&al se e+prese.
.1. 0rans2*r)and* Vect*res !sí dada dos ases de vectores coordenados M- e1i(-e2i(-e3iN , M-5e1i(-5e2i(-5e3iN para el espacio vectorial U3 Entonces( se c&mple %&eK
con ello de cartesianas a cilíndricas $ 0 $ !(0/ 0 /cos0?
% 0 % !(0/ 0 /sen0? & 0 &
de lo c&al se deriva
? , ++ / & 0
7 ++ 0 & 0 7
Entonces dados -ai 0 a -e i 0 a1 -e1i 9 a2 -e2i 9 a3 -e3i 0 a $ -ii 9 a % - 7i 9 a & -8 i -ai 0 a) -5e)i 0 a1 -5e1i 9 a2 -5e2i 9 a3 -5e3i 0 a! -5e! i 9 a0 -5e0i 9 a & -5e & i
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con
? 86 Si tenemos en concreto &n vector - ai 0 -ii 9 4- 7i 9 3-8 i %&isiéramos conocer s& e+presi'n en coordenadas cilíndricas. ;a, %&e "acer la acotaci'n %&e e+iste &na familia de sistemas de coordenados cilíndricos parame triHados por el 8!n<&lo 0 , O &n Qnico sistema coordenado. Oviamente se p&ede especi#car el sistema coordenado , entonces tendremos &n con*&nto de componentes de#nido. !sí la familia de componentes en cilíndricas del vector -ai serán
con lo c&al al e+presar los vectores ase
a3 0 a & 0 " 5e & --ii 9 4- 7i 9 3-8 i/ 0 "8 --ii 9 4- 7i 9 3-8 i/
0 3 con lo c&al -ai 0 -ii 9 4- 7i 9 3-8 i 0 cos0 9 4sin0/-5e! i 9 sen0 9 4cos0/-5e0i 9 3-5e & i donde es claro %&e e+isten in#nitos sistemas cilíndricos parame triHados por el W!n<&lo 0 ( di
sen
con lo c&al "emos alineado el e*e -5e! i a lo lar
.$. 0rans2*r)and* 0ens*res l&stremos a"ora las transformaciones de tensores a*o camios de la ase del espacio vectorial. Consideremos el si<&iente tensor
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Es decir es &n tensor %&e "emos e+presado en coordenadas cartesianas , %&eremos pasarlo a cilíndricas. Fara ello recordamos %&e
donde con lo c&al
es decir
sen0
7
7
7
7
1
mientras %&e
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con lo c&al
cos0
/sen0
7
sen
7
7
1
For lo tanto
sen0 7
cos0 /sen0
7
7
T )
sen
7
7
1
7
7
1
es decir
Si s&ponemos %&e el ori
, entonces
Si consideramos &na n&eva ase
-5e1i
M-5e1i(-5e2i(-5e3iN
0 -ii
-5e2i 0 -ii 9 -7i
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-5e3i 0 -ii 9 -7i 9 -8 i para ese mismo espacio U3 encontraremos &na n&eva e+presi'n %&e toma en esa ase. <&almente encontraremos las e+presiones para los si<&ientes tensoresK T ) (T )(T ). 'tese %&e esta n&eva ase n* es *rt*4*na+ ( ( con lo c&al no se c&mplen m&c"as cosas entre ellas Fara encontrar la de la ase M-5e1i(-5e2i(-5e3iN e+presi'n e+presamos los vectores ase M- e1i( -e1i 0 -ii 0 e2i(-e3iN=M-ii(- 7i(-8 iN en 5e1i M-e1i(-e2i(-e3iN término 0 -e2i 0 -7i 0 -5e2i5e1i recordamos %&e &n vector
-e3i 0 -8 i 0 -5e3i-5e2i
-ai 0 a -e i 0 a -5e i 0
-ai 0 a -e i 0 a1 -5e1i 9 a2 -5e2i 9 a3 -5e3i 0 a1 -e1i 9 a2 -e1i 9 -e2i/ 9 a3 e1i
9
-e2i
9
-e3i/
con
lo
c&al
, como
01? 01? 01? Es de "acer notar %&e dado %&e la ase ortonormal M-e1i(-e2i(-e3iN=M-ii( -7i(-8 iN se tiene %&e
El mismo procedimiento se p&ede aplicar para e+presar el vector -ai como cominaci'n lineal de los vectores -5e i -ai 0 a -5e i 0 a -e i 0 a1 -e1i 9 a2 -e2i 9 a3 -e3i 0 a1 -5e1i 9 a2 -5e2i-5e1i/ 9 a3 -5e3i-5e2i/ 07?
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1? 0 7?
01?
'tese %&e( como era de esperarse(
Con las e+presiones matriciales para las transformaciones( estamos en capacidad de calc&lar( componente a componente( las representaci'n del tensor en la n&eva ase con lo c&al
es decir
del mismo modo
es decir
se p&ede contin&ar término a término o realiHar la m<iplicaci'n de las matrices provenientes de la transformaci'n de componentes de tensores. Vale decir
;a, %&e resaltar &n especial c&idado %&e se t&vo en la colocaci'n de la matrices para s& m<iplicaci'n. Si ien en la e+presi'n las cantidades son nQmeros , no
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importa el orden con el c&al se m<ipli%&en( c&ando se colocan como matrices dee respetarse la Xconcatenaci'n interna de 8índicesY. Esto es c&ando %&eramos e+presar T ;k como &na matriH( donde el 8índice contra variante k indica #las , el 8índice variante ; las col&mnas( #*amos primero estos índices , l&e
!"ora los o*etos p&eden ser s&stit&idos en s&s p&estos correspondientes/ por s& representaci'n matricial. Con lo c&al "emos encontrado la representaci'n matricial T ;k de las componentes del tensor T en la ase M-5e1i(-5e2i(-5e3iN
Fara encontrar la e+presi'n para T k; recordamos %&e T k; 0 3k8T ;8 es decir( re%&erimos las componentes covariantes , contravariantes del tensor métrico 3k8 %&e
%&e denominaremos tensor métrico como
4
4
Es de "acer notar %&e la representaci'n matricial para la métrica variante 3) de &na ase ortonormal M-e1i(-e2i(-e3iN=M-ii(- 7i(-8 iN es siempre dia
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con
lo
c&al
donde
"emos
denotado
"Ii
como
la
representaci'n matricial del o*eto
Fara el caso de la ase
"5e2 -5e1i 0 "i- 9 " 7-/-ii 0 1?
312 0 "5e1 -5e2i 0 "i--ii 9 -7i/ 0 1 ? 321 0
322 0 "5e2 -5e2i 0 "i- 9 " 7-/-ii 9 -7i/ 0 2 331 0
"5e3 -5e1i 0 "i- 9 " 7- 9 "8 -/-ii 0 1? 332 0 "5e3 -5e2i 0 "i- 9 " 7- 9 "8 -/-ii 9 -7i/ 0 2 ? , 313 0 "5e1 -5e3i 0 "i--ii 9 -7i 9 -8 i/ 0 1 ? 323 0 "5e2 -5e3i 0 "i- 9 " 7-/-ii 9 -7i 9 -8 i/ 0
2 333 0 "5e3 -5e3i 0 "i- 9 " 7- 9 "8 -/-ii 9 -7i 9 -8 i/ 0 3
consec&entemente
La otra forma de calc&lar la métrica correspondiente la ase ortonormal M-e1i(-e2i(-e3iN=M-ii( 7i(-8 iN , transformarla a la ase no ortonormal M- 5e1i(-5e2i(-5e3iN=M-ii(-ii 9 -7i(-ii 9 -7i 9 -8 iN esto es
La métrica para el la ase ortonormal ser $a dia
( con lo c&al
?
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,
'tese para conservar la convenci'n de índices , matrices "emos representado %&e "emos trasp&esto la matriH correspondiente a . La raH'n( como di*imos arria es
Fara poder representar m<iplicaci'n de matrices los 8índices deen estar consec&tivos( por tanto "a, %&e trasponer la representaci'n matricial para poder m<iplicarla. a estamos en capacidad de otener las representaciones matriciales para los tensoresK .
5. Ángulo sólido
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Para calcular el ángulo sólido de una superficie, se proyecta el objeto sobre una esfera de radio conocido. El ángulo sólido es el ángulo espacial que abarca un objeto visto desde un punto dado, que se corresponde con la zona del espacio limitada por una superficie cónica. Mide el tamaño aparente de ese objeto. a unidad del ángulo sólido en el !" es el estereorradián, cuyo s#mbolo es sr. Es el área del casquete esf$rico, en una esfera de radio unidad, abarcado por un cono cuyo v$rtice está en el centro de la esfera. Es una magnitud adimensional que se representa con la letra griega %. Para calcular el ángulo sólido bajo el cual se ve un objeto desde un punto, se proyecta el objeto sobre una esfera de radio conocido, centrada en el punto de vista. !i la superficie de la proyección del objeto sobre la esfera es , el ángulo sólido bajo el cual se ve el objeto es, por definición&
E+presiones diferencial e inte
[n<&lo s'lido. 'onsideremos una superficie dS, como se muestra en la (igura, y unamos todos los puntos de su contorno con un punto ). *e este modo obtendremos una superficie cónica, de v$rtice en ), que delimitará un área sobre la superficie de una esfera de radio unidad y centrada en ). *ic+a área constituye una medida de ángulo sólido bajo el cual se ve la superficie d S desde el punto ).
Se de#ne el án<&lo s'lido a*o el c&al se ve &na s&per#cie desde el p&nto O como el área de la pro,ecci'n c'nica de dic"a s&per#cie sore &na esfera de radio &nidad centrada en O.
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\n c*nd%ct*r e+ctric* es a%&el c&erpo %&e p&esto en contacto con &n c&erpo car.2 M!?m. 4;6 0 este valor es a lo que se llama 5223 "0'! y la conductividad del resto de los materiales se epresa como un cierto porcentaje de "0'!. a mayor#a de los metales tienen valores de conductividad inferiores a 5223 "0'! pero eisten ecepciones como la plata o los cobres especiales de muy alta conductividad designados '@528 y '@552. 48
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El ais+a)ient* e+ctric* se prod&ce c&ando se c&re &n elemento de &na instalaci'n eléctrica con &n material %&e no es cond&ctor de la electricidad( es decir( &n material %&e resiste el paso de la corriente a través del elemento %&e rec&re , lo mantiene en s& tra,ectoria a lo lar
#i4%ra 1. !n<&lo s'lido
Ω
. 9a: El elemento de án<&lo s'lido
relacionado por 71/ con el área
Δ S
ΔΩ
está
sore la s&per#cie de &na esfera de
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Ω
radio ^. 9;: Fara &na s&per#cie S( el án<&lo s'lido s&stentado es
. 9c: El
án<&lo Ω se otiene a partir de la s&per#cie interceptada sore &na esfera concéntrica de radio R. S&pon
Δ S R
2
01
4πR
Es fácil ver %&e el án<&lo s'lido total alrededor de &n p&nto es Fara "allar el án<&lo s'lido
Ω
2
R
2
4π.
s&stentado por &na s&per#cie S( tal 2
como m&estra la #<&ra 1( p&ede determinarse el área Ω R interceptada sore &na esfera de radio ^( se
)onde
cos θ dS
otener
Ω r.dS
Ω dΩ S
S
r
2
cos θ dS
r
r.dS
2
es el área pro,ectada sore &n plano normal a
r r
( inte
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2
02
. Fara
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Ji<&ra 2. !n<&lo s'lido s&stentado por &n disco de radio ^. El res<ado otenido se da en 7/. ! modo de e*emplo del cálc&lo de &n án<&lo s'lido( vamos a "allar el s&stentado por &n disco de radio ^ centrado en el e*e( a &na distancia L del ori
ρdϕdρ cos θ Ltg θ dϕLse c θ cos θ dΩ 2 2 2 r L cos θ senθ dθdϕ 04
Z&e es la e+presi'n
t g R L L R L R 1 tg 1 tg Ω2 π dϕ 0
K
0
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2 π 1
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2
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